Einführung in die Meteorologie (met210) - Teil IV: Dynamik der Atmosphäre

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Clemens Simmer Einführung in die Meteorologie (met210) - Teil IV: Dynamik der Atmosphäre

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Einführung in die Meteorologie (met210) - Teil IV: Dynamik der Atmosphäre. Clemens Simmer. IV Dynamik der Atmosphäre. Kinematik Divergenz und Rotation Massenerhaltung Stromlinien und Trajektorien Die Bewegungsgleichung Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte Navier-Stokes-Gleichung - PowerPoint PPT Presentation

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Clemens Simmer

Einführung in die Meteorologie (met210)

- Teil IV: Dynamik der Atmosphäre

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IV Dynamik der Atmosphäre

1. Kinematik– Divergenz und Rotation– Massenerhaltung– Stromlinien und Trajektorien

2. Die Bewegungsgleichung– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte– Navier-Stokes-Gleichung– Skalenanalyse

3. Zweidimensionale Windsysteme– natürliches Koordinatensystem– Gradientwind und andere– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes

Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne

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IV.3 Zweidimensionale Windsysteme

• Vereinfachte zweidimensionale Bewegungsgleichung• Geostrophischer Wind• Gradientwind• Zyklostrophischer Wind• Trägkeitskreis• Einfluss der Reibung• Ekman-Spirale

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IV.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (1) einfachere Beschreibung, welche Zentrifugalbeschleunigung durch

gekrümmte Isobaren explizit enthältAusgangspunkt: horizontale Bewegungsgleichung ohne 2Ωwcosφ-Term

hRhhh fvkfp

dtdv

,

1

hv

s

n

dtsdvs

svv

tv

dtsdvsv

k

n

s

vvv

tv

dtsdvsvv

tv

dtsdvs

dtdvsv

dtd

dtvd

hh

sh

vvvv

hh

k

n

sh

hhh

hh

hh

knsh

0

Effekt-KrümmungsAdvektion

Änderung.lokalzeitl

dtsdvs

s

vs

tv

dtvd

h

hhh

22

?dtsd

Übergang in natürliches Koordinaten- system

… mitProduktregel

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IV.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (2)

:dtsd

R

Δφ

)( 0ts

)( tts 0

Rl

nsss

sssss

tsttss

c)

|| b)

da , a)

)()(

1

00

s

s

n

n

R>0 R<0

nRvn

tl

R

ntt

sdtsd

h

v

ba

h

1c

)),

dtsdvs

s

vs

tv

dtvd

h

hhh

22

Bahn zur links

gungBeschleuniBahn der entlang

gungBeschleuni

nRvs

s

vs

tv

dtvd h

hhh

22

2

s

Δl

Achtung: Der Krümmungsradius R ist wieder so definiert, dass er bei zyklonaler Krümmung positiv ist!

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IV.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (3)

nRvs

s

vs

tv

dtvd h

hhh 2

2

2

Annahmen: a) Stationarität →∂vh/∂t=0b) keine Änderung des Betrags der Windgeschwindigkeit entlang der Bahn →∂(vh

2/2)/∂s=0

nRv

dtvd hh 2

hRhhh fvkfpn

Rv

,

12

nRhh

R,s

ffvnp

Rvn

f sps

, :

:

1

10

2

Keine Reibung senkrecht zur Strömung

Reibung und Druckgradient kompensieren sich entlang der Strömung.

Zentrifugal-, Druckgradient und Coriolisbeschleunigung kompensieren sich senkrecht zur Strömung

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IV.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (4)

Fallunterscheidung - BezeichnungenDruck-gradient

Coriolis-Beschl.

Reibung Zentrifu-galbe-schleu-ni-gung

geostrophischer W.

synoptische SystemeGradientwind

zyklostro-phischer W. Staubteufel

TrägheitskreisGrenzschichtstrahlstrom

antitriptischer W.Äquator

hh

R,s

fvnp

Rvn

fsps

:

:

1

10

2

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IV.3.2 Geostrophischer Wind

- keine Reibung- keine Zentrifugalbeschleunigung, vh

2/R=0 → R=±∞ , also gradlinige Isobaren!

np

fvvfv

npn

sps

ghh

110

10

:

Isobaren || nStromlinie :

p

p 3 p

p 2 p

p 1 p

g

T

H

n

V

f Vg

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IV.3.3 Gradientwind (1)- keine Reibung

Rv

np

fvvfv

np

Rvn

sps

h

fv

Ghhh

g

22 111

10

:

Isobaren || nStromlinie :

T n s

Hn

s

g

hG

v

Rv

np

fv

np

R

211

0

0

g

hG

v

Rv

np

fv

np

R

211

0

0

Im T kompensieren Coriolis und Zentrifugalbeschleunigung gemeinsam den Druckgradient.

Im H wirkt Coriolis entgegen der Zentrifugalbeschleunigung, daher höhere Geschwindigkeit bei gleichem Druckgradient!

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IV.3.3 Gradientwind (2)

Rv

np

fvvfv

np

Rvn

sps

G

fv

Ghhh

g

22 111

10

:

Isobaren || nStromlinie :

m/s ..

10000001

101010

114

2

Rv

fhGrößenabschätzung des

„Korrekturterms“ 1/f vh2/R:

Formale Bestimmung von vG

(quadratische Gleichung) npRfRfRvG

2

22

Es gibt also 2 Lösungen.Differenziert man weiter zwischen i) R>=<0 und ii) ∂p/∂n>=<0,so gewinnt man insgesamt 18 „Lösungen“ für den Gradientwind.

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+ = - fCfP fZ

IV.3.3 Gradientwind (4)• Vor einer mathematischen Untersuchung der verschiedenen Lösungen wollen

wir erst qualitative Überlegungen anstellen.• Im Gradientwind halten sich drei parallel zueinander ausgerichtete aber quer

zur Bahn wirkende Kräfte die Waage: fP, fC, und fZ.• Mit Geschwindigkeit (und damit fC) fest gibt es vier Möglichkeiten, wie sich fP

und fZ dazu orientieren können:

fC

hv

+ = - fCfP fZ

+ = - fCfP fZ

+ = - fCfP fZ

T

anormalesTief

H

anormalesHoch

H

normalesHoch

T

normalesTief

hohe Druckgradientenschwache Krümmung

niedrige Druckgradientenstarke Krümmung

• Bei beiden Tiefs kann der Druckgradient bei konstanter Windgeschwindigkeit unbegrenzt zunehmen (Ausgleich über stärkere Krümmung, während Hochs hier limitiert sind.

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IV.3.3 Gradientwind (5)

+ = - fCfP fZ

fC

hv

+ = - fCfP fZ

+ = - fCfP fZ

+ = - fCfP fZ

Tanormales

Tief

Hanormales

Hoch

Hnormales

Hoch

Tnormales

Tiefhohe Druckgradientenschwache Krümmung

niedrige Druckgradientenstarke Krümmung

20 40 m/s0

5x10-3 m/s²

0

|fvh|

|vh2/R|Wirbel mit R=250 km

A,B

DC

A B C D

• Die rechte Darstellung zeigt die Coriolisbeschleunigung (mit f=10-4 s1) und die Zentrifugalbeschleunigung bei einem Wirbel mit 250 km Radius.

• Hochs sind nur bis zum Kreuzungspunkt von fC und fZ möglich da fC>fZ sein muss. Mit zunehmender Geschwindigkeit nimmt dabei der Druckgradient erst zu (normales Hoch) und dann wieder ab (anormales Hoch).

• Bei hohen Geschwindigkeiten ist nur ein (normales oder anormales) Tief möglich.

• Anomale Systeme können nur durch Störungen erzeugt werden.

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IV.3.3 Gradientwind (5)Analyse der 2x3x3 Lösungen von n

pRfRfRvG

2

22

• R=0 → vG=0 triviale Lösung (nur noch 12 Lösungen übrig)• ∂p/∂n=0 → vG=-fR/2±|fR/2|

R>0 → vG≤0 triviale oder unphysikalische LösungR<0 → vG=0 triviale Lösung → vG = - fR Trägheitskreis, antizyklonal Es verbleiben noch 2 x 2 x 2 = 8 Lösungen, von denen noch 4

unphysikalisch sein müssenR>0 R<0

∂p/∂n>0 +√ vG<0 anormales Tief

-√ vG<0 vG<0

∂p/∂n<0 +√ normales Tief anormales Hoch

-√ vG<0 normales Hoch

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IV.3.3 Gradientwind (6)

DiskussionnpRfRfRvG

2

22

• Geostrophischer Wind ist in allen Lösungen mit R=±∞ enthalten• Anormale Fälle werden auf der synoptischen Skala nicht beobachtet da

Druckgradient die primäre Bewegungsursache ist.• Anormale Fälle können nur auf sehr kleiner Skala durch Trägheitseffekte

auftreten (Staubteufel, Badewanne) • Besonderheit des Hochs:

Druckgradient muss zum Zentrum abnehmen. Hochs sind flach. Tiefs haben diese Beschränkung nicht.

Rfnp

npRRf

npRfR

npRfRfRvG

4

22

22

2

22

2

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IV.3.4 Zyklostrophischer Wind

- keine Reibung- keine Coriolisbeschleunigung (z. B. Äquatornähe, kleiner Krümmungsradius)

chen Vorzei

setzteentgegenge und :

Isobaren || nStromlinie :

npR

np

Rvn

sps

h

1

10

2

TTF Z F ZP P

vH

vH

Isobare und S trom lin ie

nn

p/ n > 0 , d .h . T ie fantizyklonal R < 0 zyklonal R > 0

p/ n < 0 , d .h . T ief

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IV.3.5 Trägheitskreis (1)- keine Reibung- kein Druckgradient

nsgeschw."Erdrotatio" doppelte

it,chwindigke Winkelgeskonstante ,

alantizyklon 0R also , f :

:

h

h

fRv

fRvvRvn

s

hh

2

00

F Z

vH

n

C

S trom lin ie

0° 20° 43,3 60° 90°

f in 10-4s-10 0,5 1 1,26 1,46

Rotationszeit, T=2π|R|/vh =2π/f, in Stunden ∞ 35 17,5 13,8 12

|R| bei vh=10 m/s ∞ 200 100 79 69

Als solche in der Atmosphäre kaum direkt beobachtet. Im Ozean dagegen sind diese Trägheitsschwingungen durchaus häufig.

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IV.3.5 Trägheitskreis (2)• Der Trägheitskreis taucht aber in der Form des sogenannten

Grenzschichtstrahlstroms auf:- Ausgangspunkt ist der subgeostrophische Wind in der Grenzschicht

bedingt durch Reibung über den Kontakt zur Erdoberfläche.- Stabilisiert sich die Luftschicht durch Ausbleiben der Heizung vom

Boden in der Nacht, so reduziert sich die Reibung.- Nehmen wir an, dass die Reibung vollständig aufhört, so haben wir

es mit einem stark ageostrophischen Wind zu tun bei gegebenem Druckgradient und Coriolisbeschleunigung.

- Der Wind beschleunigt dann zunächst so lange die Windrichtung eine Komponente zum Druckgradient hat.

- Ist der Wind parallel zu den Isobaren ist er supergeostrophisch und wird bei weiterer Rechtsablenkung abgebremst bis die Coriolisbeschleunigung kleiner als der Druckgradient ist und wieder eine Linksbeschleunigung wirkt….

• Um dies quantitativ zu beschreiben müssen wir wieder zur Bewegungsgleichung im x,y,z-System zurück.

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IV.3.5 Trägheitskreis (3)

agag

ghgh

hhh

vkfdtvd

vvkfdt

vvd

vkfpdtvd

1 • Ausgangspunkt: stationäres Druckfeld,

ageostrophische Windkomponente, ohne Reibung.

• Die Zentrifugalbeschleunigung ist jetzt wieder im ersten Term enthalten!

agag

ag

vv

| )(

:aber zunächst

v :gBezeichnun

ifdt

d

ivuifivudtd

ifudt

dv

fvdt

du

vkfdtvd

ivu

agagagag

agag

agag

agag

agag

agv

x ,

y ,

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19

IV.3.5 Trägheitskreis (4)

constv

ftvvftuuvv

ftvvftuuuu

ftiftt

iftt

vifdtvd

ag

ggg

ggg

agag

:Beachte

cossin

sincos:ilImaginärte und Real in Zerlegung

sincos)(v

exp)(vv

: von Lösung

ag

agag

00

00

0

0

ag, ft = /2v

v

gvag,t>0

t>0v t=0

v ag,t=0

P

F

F

P

C

P

F

F

P

Cfür v = vg

vg

v

v ft = /2

bafür v = vg

v

vv

v

ft = 3 /2

t = 0

ft = /2

ft =

P

c

• Weicht der ursprüngliche Wind vom geostrophischen ab, so führt der Windvektor eine Kreisbewegung mit der Winkelgeschwindigkeit f um letzteren aus (a, b).

• Ohne Druckgradient ergibt sich der Trägheitskreis (c).

• Wie sehen die Trajektorien für die 3 Fälle aus?

allgemein v(t0)=0 vg=0→ →

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IV.3.6 Einfluss der ReibungFallunterscheidung1. Ist Coriolisbeschleunigung und Zentrifugalbeschleunigung

vernachlässigbar, so sind im stationären Fall Druchgradientbeschleunigung und Reibung entgegengesetzt und gleich. Der dann resultierende antitripische Wind weht direkt vom hohen zum niedrigen Druck.

2. Erweitern wir um den Beitrag der Coriolisbeschleunigung bei Beschränkung auf gradlinige Isobaren (also keine Zentrifugalbeschleunigung), so muss der Windvektor eine Komponente zum tiefen Druck haben. Die Reibung selbst kann dabei nicht genau parallel zum Windvektor wirken.

3. Eine vereinfachte mathematische Analyse ergibt, dass der Wind vom Boden, wo er mit ca. 45° in das Tief weht, mit der Höhe zunehmend in den geostrophische Wind in der freien Atmosphäre in Form der Ekman-Spirale hineindreht.

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IV.3.6.1 Antitriptischer Wind

Annahmen:

Coriolisbeschleunigung = 0 (z. B. Äquatornähe)Zentrifugalbeschleunigung =0 (gradlinie Isobaren)

hRhhRh fpfp ,, ||

1

H

Tpf

Rf

Der antitriptische Wind ist ein Ausgleichswind zwischen Druckgradientbeschleunigung und Reibungsbremsung: Die Luft wird gerade so stark beschleunigt, dass die mit dem Wind zunehmenden Reibung die Druckgradientbeschleunigung gerade ausgleicht.

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IV.3.6.2 Richtung der ReibungAnnahmen:1. stationäre Strömung2. gradlinige Isobaren3. keine horizontale Windscherung4. Reibung durch Turbulenz: nach 3. reduziert sich dann die Divergenz des

Schubspannungstensors auf eine reduzierte vertikale Komponente

agghghh

hh

vkf

h

vvvvvkfzvK

z

zvK

zvkfp

g

R

aus

f also

01

Die Reibungsbeschleunigung steht senkrecht auf dem ageostrophischen Wind nicht parallel zum Windvektor. Dies ist auch ersichtlich aus der Form des Reibungsterms unter Berücksichtigung einer zunächst mit der Höhe stark, dann schwächer zunehmenden Windgeschindigkeit.

T

H

pf

Rf

Cf

hv

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23

Konstruktion des Reibungsvektors

T

H

hv

gv

Pf

PRC fff

RC ff

ghagR vvvf

RichtungRf

hC vf

Richtung

RichtungCf

llelogrammKräftepara , RC ff

Cf

Rf

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Ekman-Spirale (1)

ghh vvkf

zvK

z

Wir beginnen mit:

Annahmen:a) turbulenter Diffusionskoeffizient K höhenunabhängigb) geostrophischer Wind

höhenunabhängig agag vkf

zv

K

2

2

Komponentenweise aufschreiben

v-Komponente mit i multiplizieren

Komponenten addieren )()(

)( *

agagagag

agag

agag

ivuifz

ivuK

ifuzv

K

fvzu

K

2

2

2

2

2

2

1

Definiere:

Homogene Diff‘gleichung 2. Ordnung

agagag ivuv

agag vif

zv

K

2

2

Page 25: Einführung  in die Meteorologie (met210)  - Teil IV: Dynamik der Atmosphäre

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Ekman-Spirale (2)Lösung der homogenen Diff‘gleichung 2. Ordnungmit

agagag ivuv

agag vif

zv

K

2

2

Lösungsschritte:1. Möglichst allgemeinen Lösungsansatz machen

charakteristische Gleichung i.a. unterschiedliche Lösungen

2. Die allgemeine Lösung ergibt sich dann durch Addition aller Lösungen mit freien Koeffizienten

3. Die Bestimmung der freien Koeffizienten erfolgt aus der Anwendung bekannter Bedingungen an den Rändern (z.B. v=0 am Boden) oder aus physikalischen Erwartungen an die Lösung (z.B. kein Wachsen nach ∞)

Schritt 1: Allgemeiner Ansatz schlägt eine Höhenabhängigkeit vor exponentielle Zunahme oder Abnahme wenn m imaginär ist periodische Änderung, wenn m real ist, da

)exp(imzvag

)sin()cos()exp( mzimzimz

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Ekman-Spirale (3)

02

2

agag vif

zv

K

)exp(imzvag

Einsetzen von

ergibt

in

Gleichung stischeCharakteri

)exp()(

)exp()exp(

sonst da

Kifm

imzifKmimzifimzKm

agv

2

00

2

2

0

0

)()( )( beachte

xfxf ezxfe

z

)( d.h. )(

da ,

in werdenaufgeteilt kann komplex, also ist

Kfiim

Kfi

iiKfi

Kf

Kifm

21

21

21

21

22

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27

Ekman-Spirale (4)

)exp(imzvag

Mit dem Ansatz

und dercharkteristischen Gleichung

ergibt sich dann die allgemeine Lösung zu

)( Kfiim

21

Schritt 2: Allgemeine Lösung durch Addition der möglichen Lösungen

z

KfiCz

KfiCvag 2

12

1 21 )(exp)(exp

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28

Ekman-Spirale (5)

Schritt 3: Einschränkung der allgemeinen Lösung durch Randbedingungen u.ä.

z

KfiCz

KfiCvag 2

12

1 21 )(exp)(exp

21

0

00

CCv

vz

vvvz

g

g

aggh

)(v ag

00

0

1

a(ax)C

z

vvvvz gaggh

für exp da ,

)(v ag

zKfiz

Kfz

Kfv

zKfiz

Kfv

zKfivvvv

g

g

gghag

222

22

21

sincosexp

expexp

)(exp

Page 29: Einführung  in die Meteorologie (met210)  - Teil IV: Dynamik der Atmosphäre

29

Ekman-Spirale (6)

zKfiz

Kfz

Kfvv

zKfiz

Kfz

Kfvvvv

gh

gghag

2221

222

sincosexp

sincosexp

Teile wieder auf nach gggh ivuvivuv

,

zKfz

Kfuz

Kfz

Kfvv

zKfz

Kfvz

Kfz

Kfuu

gg

gg

22221

22221

sinexp cosexp

sinexp cosexp

Annahme: 0gv

zKfz

Kfuv

zKfz

Kfuu

g

g

22

221

sinexp

cosexp

Page 30: Einführung  in die Meteorologie (met210)  - Teil IV: Dynamik der Atmosphäre

30

Ekman-Spirale (7)

z

Kfz

Kfuvz

Kfz

Kfuu gg 2222

1 sinexp , cosexp

0 2 4 6 8 10

0

2

4v in m /s

u in m /s

100 150

200

250

vg45°

0 4 8 12 16

0

2

4

6v in m /s

u in m /s

5 02 0 0 3 5 0

5 0 0

6 5 0

8 0 0

v g

Theorie: Ablenkwinkel bei z=0 ist 45°

Beispiel einer Messung

Achtung: K war höhenkonstant angesetzt, ändert sich aber mit der Höhe, Stabilität und Windgeschwindigkeit

Beobachtungen in 10 m Höhe:φ=20° φ=45° φ=70°

labil stabil labil stabil labil stabil

Ozean 25 40 15 30 10 25

Land glatt 35 50 25 40 20 35

Land rauh 45 60 35 50 30 45

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Ekman-Spirale (8)

Reibung gibt dem bodennahen Wind eine Komponente zum tiefen Druck→ Auffüllen des Tiefs→ Abbau des Hochs

T H

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Übungen zu IV.31. In einem horizontalen Windfeld ohne Bahnbeschleunigung herrsche

ein Druckgradient von 5 hPa/200km. Wie groß ist bei 0°, 20°, 50° und 90° geographischer Breite a) der geostrophische Wind, b) der Gradientwind bei R ± 200 km (alle möglichen Fälle), c) der zyklostrophische Wind bei R = 100 km., d) der antitriptische Wind, wenn für die Reibungsbeschleunigung als grobe über Land gültige Beziehung angenommen wird aR = - 1 x 10-4 s -1 vH. Bei allen Fällen sei angenommen, daß die Dichte 1 kg/m3 beträgt.

2. Schätze die Größenordnung der Zentrifugalbeschleunigung und der Coriolisbeschleunigung in einer tropischen Zyklone (Hurrikan, Taifun), einem Tornado und einem Staubteufel ab.

3. Berechne und zeichne die Trajektorien für die drei Fälle auf Folie IV.3.5 Trägheitskreis (4).