Clemens Simmer

Einführung in die Meteorologie (met211) - Teil VI: Dynamik der Atmosphäre - Teil VII: Synoptik - Teil VIII: Grenzschicht

2

VI Dynamik der Atmosphäre

1. Kinematik – Massenerhaltung -> Kontinuitätsgleichung (4. meteorol. Grundgl.)

– Stromlinien und Trajektorien

2. Die Bewegungsgleichung – Navier-Stokes-Gleichung

– Skalenanalyse (geostrophischer Wind+statische Grundgleichung)

3. Zweidimensionale Windsysteme – natürliches Koordinatensystem und geostrophischer Wind

– Gradientwind und andere

Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur

und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie

teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne

3

VII Synoptische Meteorologie

Synoptik ist die Zusammenschau der Wettervorgänge in

Raum und Zeit mit dem Ziel der Wetteranalyse und

Wettervorhersage. Die Synoptik ist Teil der Angewandten

Meteorologie.

1. Allgemeines

- Darstellungsweisen/Wetterkarten

- dreidimensionale Sicht – thermischer Wind

2. Synoptische Systeme mittlerer Breiten

- verschiedene Skalen

- Wie entstehen Tiefs und Hochs?

- Frontentheorien

4

VIII Grenzschicht-Meteorologie

Die Grenzschicht ist die Schicht der Atmosphäre die

maßgeblich vom Untergrund geprägt wird. Sie weist

insbesondere Tagesgänge in allen Zustandsgrößen auf.

1. Grundlagen und Einteilung der Grenzschicht

2. Die Prandtl-Schicht

3. Die Ekman-Schicht

5

• Die Kinematik befasst sich mit der Analyse und Struktur

von Windfeldern

– unter Berücksichtigung der Massenerhaltung,

– ohne Betrachtung der Ursachen (Kräfte).

• Windfelder lassen sich charakterisieren durch ihre

– Divergenz : Volumen von Luftkörpern wachsen oder schrumpfen.

– Rotation : Luftkörper drehen sich im Raum.

– Deformation : Luftkörper ändern ihre Form.

VI.1 Kinematik

6

VI.1.1 Divergenz und Massenerhaltung

H H

u v wdiv v v

x y z

u vdiv v v

x y

x < 0 > 0 < 0

t=0

t=t1

Bei Beschränkung auf die horizontalen

Windkomponenten wird der

Zusammenhang zwischen Form des

Strömungsfeldes und Divergenz

unmittelbar deutlich.

Die Divergenz eines Windfeldes quantifiziert das Zusammen-

(Konvergenz, negative Divergenz) oder Auseinanderströmen

(Divergenz) der Luft.

y

7

Beispiele zur Divergenz

1111

1

1

1

0111

1

1

1

sz

ms

y

ms

x

msv

ms

ms

ms

v)()()(

1

1

1

1

3

sz

z

y

y

x

xv

msz

msy

msx

v

L

x

L

u

x

L

xu

vL

xu

v

22

2

0

0

2

0

00

cos

sinsin

0

0

20

0

vL

xv

u

v

sin

L/2 L

L/4 L/2

8

Divergenz und Massenerhaltung (1)

sei der Nettomassenfluss aus einem konstant gehaltenem

Volumen mit .

Dann gilt mit Gesamtmasse im Volumen und Dichte:

( )

M

V [M] kg / s

m

m VM V

t t t

V, m, ρ=m/V

Mi

Sei der Massenfluss durch eine beliebige Randfläche .

ist proportional zur Windgeschwindigkeit senkrecht zu

und zur Dichte des Mediums, also

= 0, wenni

i i

i i

i F i

M F

M M

M v F ρ

Fluss aus heraus.

/ = / ² / ³

V

kg s m s m kg m

Ein Nettomassenfluss M durch die festen

Volumenberandungen führt zu einer Massen-

und damit Dichteänderung innerhalb des

Volumens:

0 0 0

Achtun

Für den Nettomassenfluss gilt .

Betrachte zunächst nur den Nettomassenfluss durch Massenflussänderungen in x-Richtung:

, ,2

zx y

x x y y z z

MM M

x x x

M M M M M M M

xM M M u x y z

0 0 0

0 0 0

g: Klammer bedeutet hier

"an der Stelle , , " 2

0 0 0

dann Reduktion auf 1. Term

, , der Taylor-Entwicklung2

um den zentralen Punkt

, ,

xF

xx y z

xu x y z y z

uu x y z x

x

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

, , , , , ,2 2

, ,

x

x u xy z u x y z x y z y z

x

ux y z x y z

x

uV M

x 9

Divergenz und Massenerhaltung (2)

x

y

z

Δy

Δz

Δx

0r

Ein Würfel sei mit seinen Kanten parallel zu den

Koordinatenachsen ausgerichtet.

Es gelten folgende Bezeichnungen für Randflächen und

die Windkomponenten aus dem Volumen und senkrecht

zu den Randflächen 𝐹𝑥+, 𝐹𝑥

−, 𝐹𝑦+, 𝐹𝑦

−, 𝐹𝑧+, 𝐹𝑧

−

, , , ,

,

x x y y

z z

F F F F

F F

v u v u v v v v

v w v w

Taylor Entwicklung

Benötigt man eine Näherung einer Funktion f an einer Stelle

x, die nahe an einer Stelle x0 liegt, bei der man die Funktion

exakt kennt, so kann man f(x) auch schreiben als:

10

0 0 0

0 0

0

2 32 3

0 0 0 02 3

1

0 0 0 0 0

1 1

2

0 0 0

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...

2 6

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

! !

( ) ( ) ( )

x x x

n nmn n m

n nn nx x

x

f f ff x f x x x x x x x

x x x

f ff x x x f x x x O x x

n x n x

ff x x x O x x

x

0

0 0( ) ( ) ( ) Approximation erster Ordnungx x

ff x f x x x

x

11

Divergenz und Massenerhaltung (3)

x

y

z

Δy

Δz

Δx

0r

…analog für die zwei anderen

Richtungen durchführen, also insgesamt:

, , Vz

wMV

y

vMV

x

uM zyx

VvV

w

v

u

z

y

x

Vz

w

y

v

x

u

MMMVt

M zyx

vt

Kontinuitätsgleichung

(Massenerhaltung)

12

Eulersche und Lagrangesche

Kontinuitätsgleichung

vt

vtdt

d

Euler‘sche Zerlegung für ρ:

Euler‘sche Kont‘gleichung:

Umrechnung:

aus Produktreg el anwenden

auf

v

dv v

dt

v v v

Lagrange‘sche Kont‘gleichung vdt

d

13

Sonderfall: Inkompressibles Medium • Ein Medium ist inkompressibel, wenn man es weder

zusammenpressen noch auseinander ziehen kann (z.B.

näherungsweise Wasser). Dabei kann es durchaus seine Form

verändern oder im Inneren inhomogen sein (veränderliche Dichte,

z.B. eine Wasser-Öl-Mischung).

• Auch Luft kann für bestimmte Betrachtungen in guter Näherung als

inkompressibel angenommen werden. Dann gibt es z.B.

keine Ausdehnung beim Aufsteigen,

keine Schallwellen (Vereinfachung der Numerik bei Modellen).

• Man macht daher die Annahme der Inkompressibilität oft bei der

Beschreibung der Strömungsprozesse bei relativ geringen und

langsamen Vertikalauslenkungen, z.B. Strömungen in der

Grenzschicht.

• Es gilt dann offensichtlich:

beachte aber:

00 vdt

d

!!! 0

t

dicht

dünn

14

Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit (1) • Nehmen wir Inkompressibilität an, so folgt aus dem Zusam-

menströmen von Luft in der Horizontalen (horizontale Konver-

genz), dass die Luft in vertikaler Richtung ausweichen muss.

• Erfolgt dabei die horizonale Konvergenz am Boden, so muss

die Luft durch Aufsteigen nach oben ausweichen.

Bodennahe horizontale Konvergenz erzwingt Aufsteigen

darüber.

Bodennahe horizontale Divergenz erzwingt Absteigen

darüber.

y

v

x

u

z

w

z

w

y

v

x

uv 00

0

h

© Mario Lehwald

• Beispiel: Küstenkonvergenz

15

Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit (2)

y

v

x

u

z

w

z

w

y

v

x

uv 00

• Gehen wir weiter von stationären Verhältnissen aus (∂/∂t=0), und dass w sich

nur vertikal verändert (∂z→dz), so kann man die Gleichung integrieren.

0 0 0 0

höhen-gemittelte horizontale Divergenz

1( )

( )

h h h h

h

H H

dw u v u vw h dw dz dz dz h

dz x y h x y

w h v h

→ Am Boden (h=0) ist w=0; w nimmt linear mit der Höhe zu.

0

h

• Beispiel Küstenkonvergenz: Der Horizontalwind (nur x-Richtung) nehme

über einen Kilometer in einer Schicht von 1 km Dicke im Mittel um 1 m/s

ab. Wie groß ist die Hebungsgeschwindigkeit in 1 km Höhe?

16

Beispiel: Aufsteigen in Tiefs und Absteigen in Hochs

H T

• Beobachtung: In Hochs ist der bodennahe Windvektor leicht aus dem Hoch

heraus gerichtet.

Aus Kontinuitätsgründen muss Luft (bei stationären Verhältnissen)

im Hoch absinken

• Beobachtung: In Tiefs ist der bodennahe Windvektor leicht in das Tief hinein

gerichtet

Aus Kontinuitätsgründen muss Luft (bei stationären Verhältnissen)

im Tief aufsteigen.

Vorgriff: Das bodennahe Ausströmen im dynamischen Hoch bzw. Einströmen

im dynamischen Tief folgt aus Kon- bzw. Divergenzen in der Höhe

und der bodennahen Reibung.

Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit (3)

17

Horizontale Divergenz und Drucktendenz (∂p/∂t)

( )

Kont´gleichung

Aufspaltunghoriz.+vertical

Ketten-regel

( ) ´ mit ( ) 0 (stat. GG, barom. HF)

( )´ ´

´ ´

( )

g z g z

z z

H

z z

H

dp gdz p z g dz p

p zg dz g v dz

t t

wg v dz g dz

z

p zg v

t)) )

´ H H H

z ca b

v dz g w

→Eine Druckzunahme in der Höhe z kann verursacht werden durch:

a) Advektion von dichterer Luft in der Luft darüber

b) horizontale Konvergenz in der Luft darüber

c) Aufsteigen von Luft durch die Höhe z

Beispiel Küstenkonvergenz: Berechne Druckzunahme am Boden

Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit (4)

z,

a)

b)

c) t

p

18

Konvergenz und Konfluenz

• Von Null verschiedene Konvergenz lässt ein Strömungsvolumen

wachsen oder schrumpfen – die Dichte nimmt dabei ab bzw. zu.

• Bei zweidimensionaler Konvergenz gilt der Zusammenhang mit

Dichteänderungen nicht zwingend, da wir nicht wissen, was in der

vertikalen Dimension passiert. Das Volumen könnte sich z.B. nach oben

ausdehnen.

• Konfluenz und Diffluenz (auch Richtungskonvergenz bzw. –divergenz)

bezeichnen das Konvergieren oder Divergieren der Strömungs-

richtungen (unabhängig von der Strömungsgeschwindigkeit).

• Konfluente oder diffluente Strömungen können konvergent oder

divergent sein! Das gilt in 2D und in 3D.

Beispiel:

2D-Strömung mit Konfluenz und

Diffluenz, aber verschwindender

Divergenz (angedeutet durch

gleichbleibendes Volumen).

Es gleichen sich jeweils Richtungs-

und Geschwindigkeitskonvergenz

gerade aus.

19

Flächenmittel der horizontalen Divergenz

und der Integralsatz von Gauss (1) • Die 2D-Divergenz eines Windfeldes ist offensichtlich eine wichtige Eigenschaft,

die insbesondere Wetter-relevante Vertikalgeschwindigkeiten beeinflusst.

• Die Berechnung der Divergenz benötigt ein kontinuierliches Feld, da der Nabla-

Operator ein differentieller Operator ist.

• Bei Messungen und Modellen sind die Felder der meteorologischen Größen

nur an verteilten Punkten bekannt, also diskret und nicht kontinuierlich.

• Der Integralsatz von Gauss (hier nur in 2 Dimensionen für die horizontale

Divergenz, gilt analog aber auch für 3D mit F→V, s(F)→F(V) ) verbindet die

differenzielle Formulierung mit einer integralen Formulierung.

( ) ( )

Satz von Gauss (Beweis nächste Folie)

1:

1 1

F

F

H H H H H

FF dF

H n

s F s F

D v v dFF

v nds v dsF F

x

y

F

ds

. Hv

Hn vnv

n

s(F)

20

( )

Grenzwert-bildung

1

1 ( ) ( )

1

1 1

über die1 mit

H n

s F

a b c d

a b c d

a b c d

F

c a d b

a a

a

D v dsF

u da v db u dc v ddF

u y v x u y v xx y

u v u vu u v v

x y x y x y

u u day

Strecke a gemittelte

u-Komponente

Die seien Positionen, an denen der Wind

gemessen (oder modelliert) wird.

Man denkt sich ein Rechteck (gestrichelt), das

die Stationen wie angedeutet verbindet.

x

y

F

a

b c

d

Δx

Δy

Anmerkung:

Grenzwertbildung bei D hinter dem

letzten Gleichheitszeichen

(Klammer [ ]) führt mit ∆x,∆y→0

wieder zurück zur Definition der

Divergenz, womit der Satz von

Gauss indirekt bewiesen ist.

Flächenmittel der horizontalen Divergenz

und der Integralsatz von Gauss (2)

21

Übung zu VI.1.1 (a)

x

y

F

a

b c

d

Δx=100 km

Δy=50 km

4 m/s, 60°

10 m/s

90°

4 m/s, 120°

8 m/s

90°

1. Schätze die mittlere horizontale

Divergenz D für nebenstehende

Beobachtungen ab.

2. Wie ändern sich die Werte, wenn

wegen Messfehler tatsächlich an

der Westseite die Windstärke 1

m/s höher und an der Ostseite 1

m/s niedriger ist?

3. Im Zentrum eines Tiefdruckgebietes sei der Vertikalwind in 1000 m Höhe 1 cm/s.

Wie groß ist dort dann die mittlere horizontale Divergenz zwischen Boden und

1000 m unter Annahme inkompressibler Luft?

4. Im Windfeld von 3. liege bei 1000 m die Unterkante einer Wolkenschicht. Es

herrsche dort eine Temperatur von 10°C. Berechne die Niederschlagsmenge in

mm/h unter der Annahme, dass alles beim Aufsteigen kondensierende

Wasser sofort ausfällt (der Sättigungsdampfdruck von Wasser bei 10°C ist

12,2 hPa; die Gaskonstante von Wasserdampf ist 461 J/(kg K)).