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MengenlehreRelationenFunktionen

Eigenschaften von Relationen

Einfuhrung in die Semantik, 2./3. SitzungMengen / Relationen / Funktionen

Gotz Keydana

Gottingen2. November 2006

Gotz Keydana Einfuhrung in die Semantik, 2./3. Sitzung Mengen / Relationen / Funktionen



MengenlehreGrundlegende KonzepteMengentheoretische OperationenMengentheoretische Gesetze

Relationen

Funktionen





Grundlegende KonzepteMengentheoretische OperationenMengentheoretische Gesetze

Das Konzept Menge

Eine Menge ist eine abstrakte Zusammenfassungwohlunterschiedener (diskreter) Objekte.

Die Objekte, die zu einer Menge gehoren, sind die Elemente derMenge.

I abstrakt: Die Zusammenfassung muß nirgendwo realitervorliegen.

I Zusammenfassung: Ob ein Objekt Element einer gegebenenMenge ist, muß angebbar sein. Die Elemente einer Menge sindungeordnet (Mengen sind keine Tupel/Listen).

I diskret: Die Objekte mussen unterscheidbar sein. Kein Objektkommt in einer Menge mehr als einmal vor (Mengen sindkeine Systeme/bags).





Weiteres zum Begriff Menge

I Große von Mengen:I Mengen konnen endlich sein.I Mengen konnen unendlich sein.I Es gibt Einermengen. (Achtung: Die Einermenge ist nicht

dasselbe wie ihr Element!)I Es gibt die leere Menge.

I Die Elemente einer Menge konnen von jeder beliebigen Artsein. (Achtung: Mengen konnen Elemente von Mengen sein!)

I Mengen konnen vollig arbitrar sein.





Notation von Mengen

I Mengen werden mit Großbuchstaben A,B,C,X,Y etc.bezeichnet.

I Elemente von Mengen werden mit Kleinbuchstaben a,b,c,x,yetc. bezeichnet.

I a ∈ A “a ist ein Element von A”.

I a /∈ A “a ist kein Element von A”.





Spezifizierung von Mengen: Aufzahlung

Die einfachste Art, eine Menge zu spezifizieren, besteht in derAufzahlung der Elemente oder Listennotation:

(1) {Pynchon, Ellison, Thompson}(2) {Pynchon, {Ellison, Thompson}}(3) {4, 6, 8, . . .}





Spezifizierung von Mengen: Abstraktion

(Fast) ohne Probleme auch bei der Spezifizierung unendlicherMengen ist die Abstraktion oder Pradikatsnotation:

(4) {x |x ist ein amerikanischer Schrifsteller}(5) {x |x ist eine gerade Zahl großer als 3}(6) {x |x ist durch 2 teilbar und grosser oder gleich 4}





Spezifizierung von Mengen: Rekursive Regeln

Rekursive Regeln spezifizieren Mengen rekursiv auf einer finitenBasis:

(7) (a) 4 ∈ E

(b) Wenn x ∈ E , dann x + 2 ∈ E .

(c) Nichts anderes gehort zu E .





Identitat und Machtigkeit

IdentitatZwei Mengen sind identisch gdw. sie exakt dieselben Elementehaben. = bezeichnet mengentheoretische Identitat.

(8) {4, 6, 8, . . .} = {x |x ist eine gerade Zahl großer als 3}

Machtigkeit / Kardinalitat

Die Machtigkeit von Mengen ist die Anzahl ihrer Elemente. |A|oder #(A) oder card(A) bezeichnet die Machtigkeit einer Menge A.

(9) |{Pynchon, Ellison, Thompson}| = 3

(10) |{4, 6, 8, . . .}| = ℵ0





Teilmengen

Wenn alle Elemente einer Menge A auch Elemente von B sind,so ist A eine Teilmenge von B , B die Obermenge von A.

(11) A ⊆ B gdw. fur alle x : Wenn x ∈ A, dann x ∈ B.

n.b.: Nach dieser Definition ist jede Menge eine Teilmenge ihrerselbst. Ausgeschlossen ist dieser Fall in der echtenTeilmengenbeziehung:

(12) A ⊂ B gdw. A ⊆ B und B * A.





Eigenschaften von Teilmengen

I Die leere Menge ∅ ist Teilmenge jeder Menge.

I Einermengen sind von Elementen zu unterscheiden:

(13) Wenn N die Menge der naturlichen Zahlen ist, danngilt:{4} ⊆ N, aber nicht 4 ⊆ N, ebenso4 ∈ N, aber nicht {4} ∈ N.





Potenzmengen

Die Menge aller Teilmengen von A ist die Potenzmenge von A.

(14) ℘(A) = def {X |X ⊆ A}

Beispiele:

(15) ℘({a}) = {{a}, ∅}(16) ℘({a, b}) = {{a}, {b}, {a, b}, ∅}

Machtigkeit von Potenzmengen

(17) Wenn |A| = n, dann |℘(A)| = 2n





Vereinigung

Die Vereinigung zweier Mengen A und B ist die Menge, die alleElemente enthalt, die in A und B vorkommen, und nur diese.

(18) A ∪ B = def {x |x ∈ A oder x ∈ B}

Beispiele

(19) {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}(20) {1, 2, 3} ∪ ∅ = {1, 2, 3}





Durchschnitt

Der Durchschnitt zweier Mengen A und B ist die Menge, diealle Elemente enthalt, die sowohl in A als auch in Bvorkommen, und nur diese.

(21) A ∩ B = def {x |x ∈ A und x ∈ B}

Beispiele

(22) {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3}(23) {1, 2, 3} ∩ {4, 5, 6} = ∅





Differenz

Die Differenz zweier Mengen A und B ist die Menge, diegenau die Elemente enthalt, die in A vorkommen, nicht aber inB , und nur diese.

(24) A\B = def {x |x ∈ A und x /∈ B}

Beispiele

(25) {1, 2, 3}\{3, 4, 5} = {1, 2}(26) {1, 2, 3}\∅ = {1, 2, 3}





Komplement

Das Komplement einer Menge A relativ zu einem Universum Uist die Menge, die genau die Elemente enthalt, die in Uvorkommen, nicht aber in A, und nur diese.

(27) A′ = def U\A

Beispiel

(28) Wenn U = N:{1, 2, 3}′ = {x |x eine naturliche Zahl und x ≥ 4}





Fundamentale mengentheoretische Gleichungen

dazu unbedingt lesenswert Partee et al. (1990:17-23)!

(29) Idempotenz

(a) X ∪ X = X

(b) X ∩ X = X

(30) Kommutativitat

(a) X ∪ Y = Y ∪ X

(b) X ∩ Y = Y ∩ X

(31) Assoziativitat

(a) (X ∪ Y ) ∪ Z = X ∪ (Y ∪ Z )

(b) (X ∩ Y ) ∩ Z = X ∩ (Y ∩ Z )





Fundamentale mengentheoretische Gleichungen cont.

(32) Distributivitat

(a) X ∪ (Y ∩ Z ) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z )

(b) X ∩ (Y ∪ Z ) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z )

(33) Identitat

(a) X ∪ ∅ = X

(b) X ∪ U = U

(c) X ∩ ∅ = ∅(d) X ∩ U = X





Fundamentale mengentheoretische Gleichungen cont.

(34) Komplementaritat

(a) X ∪ X ′ = U

(b) (X ′)′ = X

(c) X ∩ X ′ = ∅(d) X\Y = X ∩ Y ′

(35) de Morgan

(a) (X ∪ Y )′ = X ′ ∩ Y ′

(b) (X ∩ Y )′ = X ′ ∪ Y ′

(36) Konsistenz

(a) X ⊆ Y gdw.X ∪ Y = Y

(b) X ⊆ Y gdw.X ∩ Y = X





Anwendung: Beweis von A ∩ B ⊆ A ∪ B

(37) (a) X ⊆ Y gdw.X ∩ Y = X , gesetzt X := (A ∩ B) undY := (A ∪ B), dann ist zu zeigen:(A ∩ B) ∩ (A ∪ B) = A ∩ B

(b) Beweis(A ∩ B) ∩ (A ∪ B)((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ B) Distributivitat(A ∩ (A ∩ B)) ∪ ((A ∩ B) ∩ B) Kommutativitat((A ∩ A) ∩ B) ∪ (A ∩ (B ∩ B)) Assoziativitat (2mal)(A ∩ B) ∪ (A ∩ B) Idempotenz (2mal)A ∩ B Idempotenzq.e.d.




Tupel

Geordnete Paare konnen uber Mengen definiert werden:

(38) 〈a, b〉 = def {{a}, {a, b}}, weil {{a}, {a, b}} ={{b}, {a, b}} (d.h. 〈a, b〉 = 〈b, a〉) nur dann, wenn a = b.

Tripel werden auf geordnete Paare ruckgefuhrt:

(39) 〈a, b, c〉 = def 〈〈a, b〉, c〉

Generell gilt: n-Tupel werden auf (n − 1)-Tupel ruckgefuhrt.




Kartesische Produkte

Die Gesamtheit aller Paare, die sich aus zwei gegebenenMengen A und B bilden lassen, indem das erste Element aus Aund das zweite aus B genommen wird, ist das KartesischeProdukt.

(40) A× B = def {〈x , y〉|x ∈ A, y ∈ B}

Beispiele

(41) Wenn K = {a, b} und L = {1, 2}, dann

(a) K × L = {〈a, 1〉, 〈a, 2〉, 〈b, 1〉, 〈b, 2〉}(b) L× K = {〈1, a〉, 〈2, a〉, 〈1, b〉, 〈2, b〉}




Relationen

Relationen sind Paarungen von Objekten.

I Die Relation “Mutter” besteht zwischen einer Mutter undihren Kindern.

I Transitive Verben bezeichnen i.d.R. Relationen: “lesen” ist dieRelation zwischen zwei Objekten dergestalt, daß das ersteObjekt das zweite liest.

I Die Teilmenge ist eine Relation zwischen Mengen.

I etc.




Relationen cont.

I Rab bzw. aRb ist die Relation R zwischen a und b.I R ⊆ A× B ist die Relation R zwischen Objekten aus den

Mengen A und B.I R ⊆ A× B ist eine Relation von A auf B.I Eine Relation zwischen Objekten aus einer Menge A ist eine

Relation in A.I Die Projektion von R auf die erste Koordinate ist der

Definitionsbereich (engl. domain), die Projektion von R auf diezweite Koordinate der Wertebereich (engl. range) von R.

I R von A auf B ist eine Teilmenge des kartesischen ProduktsA× B.

I Wir haben damit die Relation R mengentheoretisch reduziertauf eine Menge geordneter Paare {〈a, b〉|aRb}.




Funktionen und Relationen

Funktionen sind rechtseindeutige Relationen.

(42) Eine Relation R von A auf B ist eine Funktion gdw.

(a) jedes Element des Definitionsbereichs (DOM(R)) mitgenau einem Element im Wertebereich (RNG (R))gepaart ist,

(b) DOM(R) = A.

Eine Teilmenge des kartesischen Produkts A× B ist also genaudann eine Funktion, wenn jedes Element von A genau einmal alserste Koordinate in den geordneten Paaren der Menge auftaucht.

(43) DOM(F ) = def {x | es gibt y so, daß 〈x , y〉 ∈ F}(44) RNG (F ) = def {y | es gibt x so, daß 〈x , y〉 ∈ F}




Beispiel fur Funktionen

(45) Wenn A = {a, b, c} und B = {1, 2, 3, 4}, dann sind diefolgenden Relationen von A auf B Funktionen:

(a) P = {〈a, 1〉, 〈b, 2〉, 〈c , 3〉}(b) Q = {〈a, 3〉, 〈b, 4〉, 〈c , 1〉}(c) R = {〈a, 3〉, 〈b, 2〉, 〈c , 2〉}




Terminologie

I F : A → B bezeichnet die Funktion F von A auf B,F : A → A die Funktion F in A.

I Elemente in DOM(F ) sind Argumente von F , Elemente inRNG (F ) sind Werte von F . Hat eine Funktion wie P in (43a)den Wert 1 bei Argument a, so schreibt man P(a) = 1. Mansagt, P wird auf a angewendet; P bildet a auf 1 ab.

I A sei DOM(F ), B sei RNG (F ). Wenn A ⊂ C , dann gilt, daßF eine partielle Funktion von C auf B ist.

I F ist ein-eindeutig, wenn jedes Argument in DOM(F ) aufgenau einen Wert in RNG (F ) abgebildet wird und jeder Wertin RNG (F ) der Wert genau eines Arguments in DOM(F ) ist.




Reflexivitat

Gegeben sei eine Menge A und eine Relation R in A: R ist reflexivgdw. alle geordneten Paare 〈x , x〉 fur jedes x ∈ A in R sind.

Beispiele

(46) Die Relation R = {〈1, 1〉, 〈2, 2〉, 〈3, 3〉, 〈3, 1〉} in der MengeA = {1, 2, 3}.

(47) Die Relation “hat denselben Geburtstag wie” in der Mengeder Menschen.

Enthalt eine Relation R kein geordnetes Paar 〈x , x〉, so ist Rirreflexiv. (Beispiel: “ist großer als”)




Symmetrie

Gegeben sei eine Menge A und eine Relation R in A: R istsymmetrisch gdw. fur jedes geordnete Paar 〈x , y〉 das Paar 〈y , x〉ebenfalls in R ist.

Beispiele

(48) Die Relationen R1 = {〈1, 3〉, 〈3, 1〉},R2 = {〈2, 2〉} in derMenge A = {1, 2, 3}.

(49) Die Relation “ist Vetter/Base von” in der Menge derMenschen.




Symmetrie cont.

I Enthalt eine Relation R kein geordnetes Paar 〈x , y〉 dergestalt,daß das Paar 〈y , x〉 ebenfalls in R ist, so ist R asymmetrisch.(Beispiel: “ist alter als”)

I Eine Relation R ist antisymmetrisch, wenn immer, wenn 〈x , y〉und 〈y , x〉 in R sind, x = y .




Transitivitat

Gegeben sei eine Menge A und eine Relation R in A: R ist transitivgdw. fur alle geordneten Paare 〈x , y〉 und 〈y , z〉 das Paar 〈x , z〉ebenfalls in R ist.

Beispiele

(50) Die Relationen R1 = {〈1, 2〉, 〈2, 3〉, 〈1, 3〉},R2 = {〈2, 2〉}in der Menge A = {1, 2, 3}.

(51) Die Relation “ist Vorfahre” in der Menge der Menschen.

Enthalt eine Relation R keine geordneten Paare 〈x , y〉 und 〈y , z〉dergestalt, daß das Paar 〈x , z〉 ebenfalls in R ist, so ist Rintransitiv. (Beispiel: “ist Mutter von”)




Konnektivitat

Gegeben sei eine Menge A und eine Relation R in A: R ist konnexgdw. fur alle distinkten Elemente x und y in A 〈x , y〉 ∈ R oder〈y , x〉 ∈ R (oder beide).

Beispiele

(52) Die Relationen R1 = {〈1, 2〉, 〈3, 1〉, 〈3, 2〉},R2 ={〈1, 1〉, 〈2, 3〉, 〈1, 2〉, 〈3, 1〉, 〈2, 2〉} in der MengeA = {1, 2, 3}.

(53) Die Relation “ist großer als” in N.




Aquivalenzrelationen

Aquivalenzralationen sind

I reflexiv

I symmetrisch

I transitiv

Beispiele:

I Gleichheit

I “ist gleichaltrig mit” etc.

Jede Aquivalenzrelation R in A erlaubt es, A in disjunkteTeilmengen zu partitionieren, die sogenanntenAquivalenzklassen.

JxK sei die Menge aller y , fur die gilt: 〈x , y〉 ∈ R, R sei eineAquivalenzrelation. Dann ist JxK die Aquivalenzklasse fur x .




Abfolgerelationen

Abfolgerelationen sind

I immer transitiv

I zudem entweder: irreflexiv und asymmetrisch: strenge AbfolgeA = {a, b, c},R = {〈a, b〉, 〈b, c〉, 〈a, c〉}

I oder: reflexiv und antisymmetrisch: schwache AbfolgeA = {a, b, c},R = {〈a, a〉, 〈b, b〉, 〈c , c〉, 〈a, b〉, 〈b, c〉, 〈a, c〉}

Beispiel:

I strenge Abfolge: > in N.

I schwache Abfolge: ≥ in N.




Partee, Barbara H., Alice ter Meulen, & Robert E.Wall.1990.Mathematical Methods in Linguistics.Dordrecht: Kluwer.


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