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EINFÜHRUNG ZUR FEHLERRECHNUNG im Praktikum „Klassische Physik“

Einleitung

Beispiel:Eine Messung ergibt (I) c = (3.09 ± 0.15)·108 m/s.

3,2

3,3

3,2

3,3

Alle Messungen, egal wie sorgfältig und wissenschaftlich sie auch durchgeführt werden, unterliegen Meßabweichungen.

Meßfehler Meßunsicherheit

Die Kenntnis der Meßunsicherheit kann für die Bewertung eines Meßergebnisses entscheidend sein.

Dr. H.J. Simonis, Fakultät für Physik, Praktikum Klassische Physik

Die Messung einer physikalischen Größe ohne Angabe der Messunsicherheit ist wertlos!

Eine Messung ergibt (I) c = (3.09 ± 0.15)·108 m/s.Das Ergebnis ist in Übereinstimmung mit dem "wahren" Wert(Literaturwert: (II) c = 2.99792458·108 m/s)

Angenommen die Messung wäre zu (III) c = (3.09 ± 0.01)·108 m/sbestimmt worden.Dann steht das Meßergebnis im Widerspruch zum "wahren" Wert! 2,8

2,9

3

3,1

2,8

2,9

3

3,1

c (1

08m

/s)

(I) (II) (III)

Messung einer physikalischen Größe bedeutet, experimentell die Maßzahl zurvorgegebenen Maßeinheit zu ermitteln:

G = (G)·[G]

Zur vollständigen Angabe eines Meßergebnisses gehört die Angabe der Maßzahl ,gegeben durch den Bestwert der Messung x und der Maßeinheit ,sowie die Angabe der Meßabweichung ∆x.

Man unterscheidet zwei Schreibweisen:

1) Angabe der absoluten Meßabweichung, diese kennzeichnet den Bereich,

Darstellung von Meßergebnissen


innerhalb dessen der wahre Wert mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt:

G = (x ± ∆x)·(Maßeinheit)

Dies ermöglicht den einfachen Vergleich mit anderen Messungen

2) Angabe der relativen Meßabweichung:

G = (x)·(Maßeinheit) ± ∆x/x

Hieran erkennt man die Präzision der Messung (grob <-> präzise)∆x/x wird meistens in Prozent angegeben.

Nicht alle Dezimalstellen, die ein Rechner „ausspuckt“, gehören ins Protokoll !

Regel 1: Im Praktikum sollen Meßabweichungen („Fehler“) auf eine signifikanteStelle gerundet werden.

Regel 2: Die letzte signifikante Stelle des Meßwertes soll dieselbe Größenordnunghaben wie die Meßunsicherheit.(Ausnahme: werden die Ergebnisse in Rechnungen weiter verwendet, so wird mindestens eine weitere signifikante Stelle mitgenommen und nur das Endergebnis auf eine signifikante Stelle gerundet.)

Signifikante Stellen eines Messergebnisses


Beispiel: Die Messung der Erdbeschleunigung liefert als rechnerisches Ergebnis:g = 9.8243 m/s 2 und ∆∆∆∆g = ± 0.02385 m/s 2

nach Regel 1 folgt: ∆∆∆∆g = ± 0.02 m/s2

nach Regel 2 folgt: g = 9.82 m/s2

d.h. wir schreiben: g = (9.82 ± 0.02) m/s 2

bzw: g = 9.82 m/s 2 ± 0.2 %

Hinweis (1): die Schreibweise sollte übersichtlich gewählt werden:

Beispiel: Masse eines Objekts:

m = (0.0000082 ± 0.0000003) kg (korrekt, aber schwer lesbar)m = 0.0000082 kg ± 0.3 mg (dito)

m = (8.2 ± 0.3) x 10-6 kg das liest sich leichter

oder nutzen Sie die Tausender-Präfixe: [ G M k . m µ n ]

Signifikante Stellen eines Messergebnisses


m = (8.2 ± 0.3) mg

Hinweis (2): Implizite Fehlerangabe:Man findet manchmal in wissenschaftlichen Schriften Meßwerte ohne Fehlerangabe. Hier kann man folgendes über den Fehler annehmen:

Alle angegebenen Stellen sind signifikant; der Fehler ist kleiner als die halbe folgende Stelle.Beispiel: U = 250 V bedeutet: U = (250.0 ± 0.5) V

Zu jeder Messung muss eine Fehleranalyse durchgeführt werden.Dabei werden Ursache und Grösse von Meßabweichungen untersucht.

Wir wollen zwei Begriffe unterscheiden:

Präzision: kennzeichnet die Reproduzierbarkeit einer Messung („Streuung“).sie wird durch den statistischen Fehler charakterisiert.

Genauigkeit: gibt an, wie nahe der Meßwert dem "wahren" Wert ist.sie wird durch den systematischen Fehler charakterisiert.

Fehleranalyse


sie wird durch den systematischen Fehler charakterisiert.

wahrer Wert

unpräzise und ungenau

wahrer Wert

präzise und genau

Beispiel:

Ursachen: 1) Fehlerhafte Bedienung von Meßgeräten (z.B. falsch kalibriert)2) Irrtum beim Protokollieren oder der Auswertung (z.B. Zahlendreher)3) Meßverfahren oder Meßbedingung ungeeignet

Grobe Abweichungen müssen durch sorgfältiges Experimentieren und Kontrolle (mindestens eine Kontrollmessung möglichst durch eine zweite Person) vermieden werden. Grob fehlerhafte Werte einer Meßreihe werden nicht weiter verwendet.

Eine nicht zu unterschätzende Fehlerquelle ist eine mangelnde Objektivität des Experimentators. Oft entstehen falsche Meßresultate auch dadurch, dass der Experimentator das Resultat, das er haben will, aus unzureichenden Daten herausliest oder sogar Daten manipuliert.

Grobe Abweichungen


kleiner Exkurs: der Fall „Schön“ (DPA-Meldung vom 11.06.2004)Die Universität Konstanz entzieht dem Physiker Jan Hendrik Schön seinen Doktortitel!

Die Universität bezieht sich ausdrücklich nicht auf Fehler in seiner Doktorarbeit, sondern stuft Datenmanipulationen während seiner späteren Forschertätigkeit an den Bell-Labs in den USA als wissenschaftlich unwürdiges Handeln ein. Das baden-württembergische Universitätsgesetz lässt einen Titelentzug auch auf Grund späteren unwürdigen Verhaltens zu.

„Systematische Fehler“ zeigen bei identischen Meßbedingungen immer um den gleichen Betrag in die gleiche Richtung. Sie können durch Meßwiederholung weder erkannt noch eliminiert werden. Daher beeinflussen sie die Genauigkeit einer Messung. Sie sind erfassbar durch Variation der Meßmethode oder der Meßbedingungen.

Ursachen Beispiele

Fehlerhafte Meßgeräte Eich- oder Justierfehler, Drift,...

Umwelteinflüsse Temperatur, Druck,...

Rückwirkung der Meßgeräte Innenwiderstand, Verformung, ..

Systematische Abweichungen


Rückwirkung der Meßgeräte Innenwiderstand, Verformung, ..

Unzulänglichkeit des Experimentators

Gültigkeitsgrenzen der phys. Gesetze

Die gute Nachricht:Erkannte systematische Fehler können korrigiert wer den.

Beispiel: Messung der Länge eines Tisches mit einem Metallmaßstab.Präzision = 1/2000; T = 30°C Ergebnis L = 1.982 m

Systematische Fehlerquellen:

a) Eichfehler: Maßstab geeicht bei 20°C-> Korrektur: α = 0.0005 K-1

L' = L·[1 + 0.0005·(30-20)] = 1.005·L-> L' = 1.992 m



b) Parallaxenfehler: Beobachtung des Maßstabes unter einem Winkel-> ∆L = 1 mm-> L" = 1.992 ± 0,001 m

Falls systematische Fehler aus meßtechnischen Gründen oder auf rechnerischem Wege nicht erfasst werden können, muss man die Meßabweichungen abschätzen.

Weitere Beispiele für systematische Fehlerquellen:

Güteklasse bei analogen Meßgeräten: z.B. 0,5 bedeutet: Eichfehler von 0,5% des Endwertes

d.h. bei einem Meßbereich von 200 mA hat man einen Anzeigefehler von 1 mA.- wenn man im Experiment einen Strom von 25 mA misst (d.h. die Skala nicht ausnutzt), sind das 4% Meßunsicherheit!!

⊥



Gebrauchslage : ⊥ bzw.

Nullpunktsfehler : meist abgleichbar

Innenwiderstand : korrigierbar

Digitale Meßinstrumente: ± letzte Ziffer, Eichung, Temperatur

„Statistische Fehler“ beeinflussen das Meßergebnis bei identischen Meßbedingungen unterschiedlich in Betrag und Vorzeichen. Sie sind zufällig in dem Sinne, dass ihre Ursachen im Einzelnen nicht verfolgt werden können. Sie sind unvermeidbar und nicht exakt erfassbar. Sie bestimmen die Präzision einer Messung.

Subjektive Ursachen Objektive Ursachen

Parallaxenfehler Äußere Einflüsse (p, T)

Skaleninterpolation Statistische Messgröße (Rauschen)

Statistische (zufällige) Meßabweichungen


Reaktionsvermögen

Die gute Nachricht:Zufällige Meßabweichungen lassen sich durch Meßwiederholung und Mittelung

reduzieren.

die zentrale Frage für den Experimentalphysiker:

Wie kommt man konkret an Werte für Meßabweichungen?


....und wie sind sie zu interpretieren?

Fallunterscheidung:(a) eine Größe ist direkt meßbar (z.B: Länge s; Zeit t)(b) eine Größe wird aus verschiedenen meßbaren Größen berechnet (z.B: v=s/t)

(a) bei fein unterteilter Skala:⇒ ± 0.5·(Intervallbreite)

(b) bei grob unterteilter Skala:

L = 36,0 ± 0.5 mm

Wenn eine physikalische Grösse nur einmalig gemesse nen wird:

Bei einmalig gemessenen Größen schätzt man die Meßunsicherheiten


(b) bei grob unterteilter Skala:⇒ ± 0.1·(Intervallbreite)

U = 4.0 ± 0.2 V

keine „Fehlerrechnung“ erforderlich.(Interpretation: der „wahre Wert“ liegt mit Sicherheit im angegebenen Intervall)

Bestwert für die Messgröße x = 1N

x i∑

Bestwert für die Messabweichung s = 1(x − x )2∑

Eine physikalische Größe wird mehrfach gemessen : Meßreihen

Meßreihen stellen eine Stichprobe aus der Menge aller möglichen Meßwerte dar.

Sind nur zufällige Fehler im Spiel, wird die Meßwertverteilung durch die Normalverteilung (Gaussverteilung) beschrieben.

Mittelwert

Standardabweichung

Bei Meßreihen erfolgt eine statistische Analyse.


Der Bereich x ±±±± k·sx (k=1,2,…) wird als Vertrauensbereich des Mittelwertesbezeichnet, d. h. der Bereich, innerhalb dessen der wahre Wert der Meßgröße mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit P liegt.Der Wert von k hängt von der geforderten statistischen Sicherheit P ab.(Vertrauensniveau)

Üblicherweise verwendet man k=1 P ~ 68%.

(k=2 --> P=95,5%; k=3 --> P=99,7%; vorausgesetzt dass N ausreichend groß ist)

Bestwert für die Messabweichung sx = 1

N −1(x i − x )2∑

Abweichung des Mittelwertes sx = sx

N

Standardabweichung

Fehler des Mittelw.

x

0

Beispiel: Messung eines Widerstandes R

U \ V I \ mA7,8 3515,6 6523,4 7831,3 12639,0 14246,9 17154,7 194

R=U/I (Ω)222.86240.00300.00248.41274.65274.27281.96


54,7 19462,6 22678,3 24586,0 25887,6 25893,6 271101,6 277109,6 284118,0 290

281.96276.99319.59333.33339.53345.39366.79385.91406.90

N = 15 Messungen

R=U/I (Ω)222.86240.00300.00248.41274.65274.27281.96276.99319.59333.33339.53

(ff) Beispiel: Widerstandsmessung

Aber Achtung!Die Mittelwertbildung ist hier unsinnig, was durch eine graphische Darstellung ersichtlich wird:


339.53345.39366.79385.91406.90

∑ Ω== 77,3071

iRN

R

Ω=−−

=∆ ∑ 14)()1(

1 2RRNN

R i

R = (308±14) Ω

Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes nurin einem bestimmten Spannungsbereich(Verlustleistung – Erwärmung –Widerstandsänderung)

Relative Häufigkeiten

∑

∑

∑

⋅=

=⇔=

=

=

=k

1i

k

1i

h Messgröße diefür Bestwert

1h H

hen Häufigkeit relative

Hen Häufigkeit

xx

N

N

ii

i

i

Für die Auswertung umfangreicher Meßreihen ist es sinnvoll, die Rohdaten in Klassen einzuteilen. Die Häufigkeit einer Klasse stellt ihr Gewicht für die Mittelwertbildung dar.

z.B. werden N Einzelmessungen auf k Klassen mit unterschiedlichen Häufigkeiten Hi aufgeteilt:


∑

∑−⋅=

⋅=2)(h hungMessabweic diefür Bestwert

h Messgröße diefür Bestwert

xxs

xx

iix

ii

Die Darstellung als Balkendiagramm gibt Aufschluss über mögliche Fehlmessungen

Rohdaten:140,073

Beispiel: Widerstandsmessung mittels Ohmmeter

ΩTemperatur-sensor(Pt 100)

ZuleitungHäufigkeitsverteilung der Messungen

0

1

2

3

4

5

6

7

140,05 140,07 140,09 140,11 140,13 140,15 140,17 140,19 140,21

Widerstandsklassen in ΩΩΩΩ

Mittelwert =140,12 ΩΩΩΩs_m = 0,01 Ω Ω Ω Ω

Systematische Abweichung: statistische Unsicherheit 0,01 ΩΩΩΩ

Klasse/Ω Häufigkeit140.05 0140.07 1140.09 2140.11 6140.13 3140.15 1140.17 1140.19 1140.21 0 .

Summe = 15


140,073140,082140,096140,101140,103140,108140,109140,113140,119140,124140,130140,131140,147140,172140,183

Messergebnis: 140,12 ΩΩΩΩ

Systematische Abweichung:Zuleitungswiderstand 1,00 ΩΩΩΩ

Korrektur: Messergebnis - Abweichung139,12 Ω

Herstellergarantie 0,05 ΩΩΩΩ

statistische Unsicherheit 0,01 ΩΩΩΩ

Endergebnis: (139,12 ± 0,01 ± 0,05) ΩΩΩΩ

Falls die Gesamtunsicherheit gefordert wird: quadratische Addition

Mit zunehmender Anzahl von Messungen nähert sich die Häufigkeitsverteilung einer Gaussfunktion (Voraussetzung: rein statistische Fehler)

Übergang zur Grenzverteilung


22 2/)(- 2

1)( σµ

πσ−⋅= xexf

Die Gaussfunktion ist auf 1 normiert:

68.0 2

1 22 2/)( =∫+

−

−−σµ

σµ

σµ

πσdxe x

1 2

1 22 2/)( =∫+∞

∞−

−− dxe x σµ

πσDer Parameter µ ist der Mittelwert der Verteilung

Der Parameter σ ist ein Mass für die Breite der Verteilung (Messfehler). σ hat folgende Eigenschaft:

Wenn eine Meßgröße x mehrfach mit unterschiedlichen Messungen bestimmt wurde:(x1 ± ∆x1, x2 ± ∆x2 , x3 ± ∆x3, …),

und man ein Gesamtresultat als Ergebnis angeben möchte, dann wird ein gewichteter Mittelwert gebildet:

Gewichteter Mittelwert

2i

i

321

332211 1 mit

g

g

..

...

i

ii

xg

x

ggg

xgxgxgx

∆=

⋅=

++++⋅+⋅+⋅=

∑∑

Die reziproken Einzelfehlerquadrate sind die Gewichte. („die präzisere Messung erhält das stärkere Gewicht“)


∑=

=∆N

iig

x

1

1

das stärkere Gewicht“)

Die Meßunsicherheit des gewichteten Mittelwerts berechnet sich folgendermaßen:

(Beweis mit Gauss‘scher Fehlerfortpflanzung (später)

Oft lässt sich eine Meßgröße y als lineare Funktion einer anderen Größe x darstelleny = ax + b

die gesuchte physikalische Größe steckt dann in einem der Parameter (a,b).siehe Beispiel von eben: (I,U): I = (1/R) U

σ = σ 0e−E / 2kT ⇔ lnσ = lnσ 0 −E

kT

manchmal hilft es, den funktionalen Zusammenhang erst zu linearisieren:z.B.: Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit σ eines Halbleiters (lnσ,1/T)

Zu einem Satz von N Wertepaaren (xi,yi) wird das optimale Parameterpaar a,b gesucht.

Lineare Regression


Zu einem Satz von N Wertepaaren (xi,yi) wird das optimale Parameterpaar a,b gesucht.Methode der kleinsten Quadrate : Wähle a und b derart, dass die Summe der Quadrate der vertikalen Abstände von Funktion und Messwert yi minimal wird.

( )2∑ −−= baxyS ii

( )( )

( )( )120

20

−−−=∂∂=

−−−=∂∂=

∑

∑

baxyb

S

xbaxya

S

ii

iii

minimiere S(a,b); d.h. die partiellen Ableitungen müssen verschwinden:

( ) ( ) ( ) 02 =⋅−⋅− ∑∑∑ iiii xbxayx

( ) ( ) 0=⋅−⋅− ∑∑ Nbxay ii

xNyN

(I)

(II)

xayb ⋅−=(II)

einsetzten in (I) ergibt ( ) ( ) ( ) 02 =⋅⋅−−⋅− ∑∑ xNxayxayx iii

( )( ) 22 xNx

yxNyxa

i

ii

⋅−⋅−

=⇒∑∑

Im allgemeinen werden diese Formeln etwas umfangreicher, wenn man noch die


Im allgemeinen werden diese Formeln etwas umfangreicher, wenn man noch die Gewichtung mit den Einzelfehlern berücksichtigt.

Man kann mit verschiedenen Methoden auch beliebige Funktionen an Datensätze anpassen. (least square fit; log likelihood fit)Wenn man fertige Programme (z.B. Excel) benutzt, sollte man wenigstens wissen, was sie tun....

Wenn eine Grösse q nicht direkt messbar ist sondern als Funktion von anderen messbaren Grössen ki (mit Fehlern δki) gebildet wird

q = f(k1,k2,k3,....)

dann ergibt sich der Fehler δq nach dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz:

.....23

2

3

22

2

2

21

2

1

+

∂∂+

∂∂+

∂∂= k

k

qk

k

qk

k

qq δδδδ

Hierbei wird die Unabhängigkeit der Grössen ki vorausgesetzt. („die Größen sind unkorreliert“)

Fehlerfortpflanzung


unkorreliert“)

( ) babaf +=, 222 baf δδδ +=

( )z

yxzyxf

⋅=,,( )( )

2222

,,

,,

+

+

=

z

z

y

y

x

x

zyxf

zyxf δδδδ

Beispiele:

Summe:

Produkt:

„Addition der Fehler-quadrate“

„Addition der relativen Fehler-quadrate“

Falls die Größen ki statistisch nicht unabhängig voneinander sind, (korrelierte Größen)so verwendet man das arithmetische Fehlerfortpflanzungsgesetz:

Dies entspricht einer Grösstfehlerabschätzung der Messung.

....3

32

21

1

+∂∂+

∂∂+

∂∂= k

k

qk

k

qk

k

qq δδδδ

Fehlerfortpflanzung II


Praktischer Hinweis:http://www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/~quast/VMroot/

Chi2Method.pdf (= Ausführliches Script)

RooFiLab auf ubuntu (=virtuelle Machine)


RooFiLab auf ubuntu (=virtuelle Machine)Ein GUI auf root (CERN) aufgesetzt.- berücksichtigt Fehler in x und y

kafe – ein Python-Paket zur Datenanalyse

Empfehlenswerte Bücher zum Thema Fehlerrechnung

W.H. Gränicher; Messung beendet - was nun?,Teubnerverlag Stuttgart, 1996

B.P. Roe; Probability and Statistics in Experimental Physics, Springerverlag Berlin, 2001

P.R. Bevington and D.K. Robinson;Data Reduction and Error Analysis for the Physical Science, 3rd Edition, McGraw-Hill, 2002

J.R. Taylor; Fehleranalyse, VCH-Verlag, 19882nd Edition 1997 by University Science Books


2nd Edition 1997 by University Science Books

Louis Lyons; A Practical Guide to Data Analysis for Physical Science Students, Cambridge University Press, 1991

Manfred Drosg; Der Umgang mit Unsicherheiten: ein Leitfaden zur Fehleranalyseautorisierte dt. Ausg.. - Wien : Facultas, 2006--Klaus Weltner; Mathematik für Physiker15. Auflage Springer 2008

Gerhard Bohm, Günter Zech; Introduction to Statistics and Data Analysis for PhysicistsVerlag Deutsches Elektronen-Synchrotron 2014

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