Einfuhrung in die mathematische Logik¨ · PDF file 2018-01-11 · Einfuhrung in...

Einführung in die mathematische Logik
Prof. Dr. Holger Brenner
Universität Osnabrück
Fachbereich Mathematik/Informatik
Sommersemester 2016

2
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 9
1. Vorlesung - Probleme 10
1.1. Probleme 10
1.2. Offene mathematische Probleme 11
1.3. Das Goldbach-Problem 12
1.4. Mersenne-Primzahlen 13
1.5. Primzahlzwillinge 14
1.6. Der große Fermat und der Satz von Wiles 15
1.7. Helfen Maschinen? 16
1.8. Universelle Lösungsverfahren 17
1. Arbeitsblatt 19
1.1. Übungsaufgaben 19
1.2. Aufgaben zum Abgeben 22
2. Vorlesung - Formale Sprachen 22
2.1. Sprache als Symbolketten 22
2.2. Rekursive Definitionen 24
2.3. Die Sprache der Aussagenlogik 26
2.4. Aussagenlogische Interpretationen 29
2. Arbeitsblatt 30
3. Vorlesung - Tautologien 35
3.1. Tautologien 35
3.2. Die Folgerungsbeziehung 37
3.3. Ein Ableitungskalkül für die aussagenlogischen Tautologien 37
3.4. Weitere Tautologien und Regeln 39
3. Arbeitsblatt 44
4. Vorlesung - Vollständigkeit der Aussagenlogik 49
4.1. Die Ableitungsbeziehung 49

3
4.2. Der Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik I 50
4.3. Auffüllungsstrategien 52
4. Arbeitsblatt 53
5. Vorlesung - Das Lemma von Zorn 56
5.1. Das Lemma von Zorn 56
5.2. Der Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik II 61
5. Arbeitsblatt 62
6. Vorlesung - Prädikatenlogik 66
6.1. Terme 67
6.2. Relationen 72
6.3. Quantoren 73
6.4. Junktoren 73
6. Arbeitsblatt 75
7. Vorlesung - Semantik der Prädikatenlogik 78
7.1. Sprachen erster Sufe 78
7.2. Strukturen und Interpretationen 79
7.3. Interpretation von Termen 81
7.4. Interpretation von Ausdrücken 82
7.5. Beispiele 83
7. Arbeitsblatt 84
8. Vorlesung - Folgerungen 91
8.1. Allgemeingültige Ausdrücke 91
8.2. Gültigkeit von Ausdrucksmengen 92
8.3. Axiomensysteme 92
8.4. Die Folgerungsbeziehung 94

4
8.5. Sortenprädikate 95
8. Arbeitsblatt 97
9. Vorlesung - Substitution 101
9.1. Freie Variablen 101
9.2. Das Koinzidenzlemma 102
9.3. Substitution 103
9. Arbeitsblatt 109
10. Vorlesung - Ableitungskalkül 112
10.1. Ableitungskalkül der Prädikatenlogik 112
10.2. Gleichheitstautologien 115
10. Arbeitsblatt 118
11. Vorlesung - Quantorenregeln 120
11.1. Quantorenaxiome und -regeln 120
11.2. Abgeleitete Regeln und weitere Tautologien 124
11.3. Die Ableitungsbeziehung 127
12. Vorlesung - Natürliche Zahlen 132
12.1. Dedekind-Peano-Axiome 132
12.2. Addition auf natürlichen Zahlen 135
12.3. Multiplikation auf natürlichen Zahlen 136
12.4. Erststufige Peanoaxiome 138
13. Vorlesung - Peano-Arithmetik 143

5
13.1. Erststufige Peano-Arithmetik - Folgerungen und Ableitungen 143
14. Vorlesung - Satz von Henkin 152
14.1. Die Korrektheit des Ableitungskalküls 152
14.2. Der Satz von Henkin 153
15. Vorlesung - Der Vollständigkeitssatz 160
15.1. Auffüllungsstrategien 160
15.2. Der Vollständigkeitssatz 163
16. Vorlesung - Elementare Äquivalenz I 169
16.1. S-Homomorphismen und elementare Äquivalenz 169
16.2. Elementare Äquivalenz und Isomorphiesatz 171
16.3. Elementare Äquivalenz für Elemente 173
17. Vorlesung - Elementare Äquivalenz II 181
17.1. Isomorphie und elementare Äquivalenz im endlichen Fall 181
17.2. Nichtstandardmodelle 184
17.3. Reell-abgeschlossene Körper 185
18. Vorlesung - Registermaschinen 191
18.1. Registermaschinen 191
18.2. Programmbeispiele 193

6
19. Vorlesung - Das Halteproblem 199
19.1. Entscheidbarkeit und Berechenbarkeit 199
19.2. Die Churchsche These 199
19.3. Das Halteproblem 200
19.4. Aufzählbarkeit von Programmen 203
20. Vorlesung - Arithmetische Repräsentierungen 206
20.1. Arithmetische Repräsentierbarkeit 206
20.2. Registerprogramme als Abbildungen 207
20.3. Repräsentierbarkeit der Registerbefehle 208
20.4. Die β-Funktion 210
21. Vorlesung - Die Unentscheidbarkeit der Arithmetik 214
21.1. Repräsentierbarkeit der Halteeigenschaft 215
21.2. Die Unentscheidbarkeit der Arithmetik 216
21.3. Folgerungen aus der Unentscheidbarkeit 217
22. Vorlesung - Der Fixpunktsatz 222
22.1. Repräsentierbarkeit in einer Theorie 222
22.2. Der Fixpunktsatz 224
23. Vorlesung - Die Unvollständigkeitssätze 229

7
23.1. Der erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz 229
23.2. Der zweite Gödelsche Unvollständigkeitssatz 232
24. Vorlesung - Modallogik I 238
24.1. Modallogik 238
24.2. Die formale Sprache der Modallogik 240
24.3. Das System K 241
24.4. Einige modallogische Axiomenschemata 243
25. Vorlesung - Modallogik II 249
25.1. Weitere Axiomenschemata 249
25.2. Paradoxe Axiome 250
25.3. Einige klassische modallogische Systeme 252
25.4. Gerichtete Graphen 254
26. Vorlesung - Semantik der Modallogik 259
26.1. Semantik der Modallogik 259
26.2. Semantik der einzelnen modallogischen Systeme 264
27. Vorlesung - Vollständigkeit der Modallogik 271
27.1. Maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmengen 271
27.2. Das universelle modallogische Modell 272
27.3. Die Vollständigkeit der Modallogik 275

8
Anhang A: Bildlizenzen 279
Abbildungsverzeichnis 279

9
Vorwort

10
1. Vorlesung - Probleme
Kultur ist Reichtum an Problemen.
Egon Friedell
1.1. Probleme.
In vielen Lebensbereichen gibt es Probleme: Alltagsprobleme, Beziehungs- probleme, Gesundheitsprobleme, Gewichtsprobleme, Umweltprobleme, Fi- nanzierungsprobleme, technische Probleme, politische Probleme, philosophi- sche Probleme. Zu diesen Problemen gehören jeweils Vorstellungen, wie eine Lösung aussehen könnte oder zumindest eine Ahnung, in welche Richtung man nach einer Lösung suchen könnte; eine präzise Formulierung, wann ein Problem gelöst wäre, fehlt allerdings in den meisten Fällen.
Für Probleme gibt es in der Regel verschiedene Lösungsansätze oder Lösungs- strategien. Ihr Erfolg variiert und hängt stark von unbeeinflussbaren Be- gleitumständen, aber auch von der Unschärfe der Problemstellung und den eigenen Bewertungsmaßstäben ab. Eine Strategie, die für dieses und jenes Problem erfolgreich war, stellt sich bei einem neuen Problem plötzlich als unbrauchbar heraus.
Könnte es eine (Meta)-strategie geben, die bei allen Problemen hilft bzw. alle Probleme löst? Eine solche Strategie kann es für die oben formulierten Pro- blembereiche allein schon wegen der angesprochenen Unschärfe nicht geben. Die Probleme sind nie so k

Einfuhrung in die mathematische Logik¨ · PDF file 2018-01-11 · Einfuhrung in...

Documents

Transcript of Einfuhrung in die mathematische Logik¨ · PDF file 2018-01-11 · Einfuhrung in...

Einfuhrung in die Mathematische · PDF fileFragestellungen: * Uberlappung der Generationen in stetiger Zeit (ist das ein Problem?) * Wie schnell w achst Zn? ... Die Bernoulli-Prozesse

Einführung in die Mathematische Logik - math.uni-bonn.de logik... · PDF fileEinführung in die Mathematische Logik by Peter Koepke Bonn, Sommersemester 2015 Vorläuﬁges Skript

1. Mathematische Grundlagen und Logik - Fachbereich Mathematik · PDF fileNaive Mengenlehre Fragen im 19. Jahrhundert: Was sind die Grundlagen der Mathematik/Arithmetik? Was sind Zahlen?

Einführung in die mathematische Logik - ub- · PDF file 2012. 1. 22. · Logik-1 Einführung in die mathematische Logik Ein Crashkurs über die Grundlagen wichtiger Logiken und Beweiskalküle

I Grundlagen 1. Logik Mathematische Aussagen 1 ist kleiner als 2. Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl. Für drei Punkte gibt

New Einfuhrung˜ in das mathematische Arbeiten · PDF file 2017. 11. 28. · Mathematik zu verfehlen und die wahren Schwierigkeiten, besonders am Anfang, zu ˜ub ersehen. Zus˜atzlic

Einführung in die mathematische Logik - ub-net.de · PDF fileLogik-5 Historischer Überblick • Aristoteles (384 - 322 v. Chr.): Syllogismus „Jeder Grieche ist ein Mensch Jeder

Vorlesung Logik, Diskrete Mathematik und Lineare · PDF file 5 Lineare Algebra 51 5.1 Einfuhrung: Anschauliche Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 51 ... Die Grundlagen der

2. Mathematische Logik mit Datenbank-Anwendungen 2-1 Teil ...users. brass/db08/d2_logic.pdfPDF fileStefan Brass: Datenbanken I Universit¨at Halle, 2008. 2. Mathematische Logik mit

Einfuhrung in die Datenbanktheorie · PDF fileEinfuhrung in die Datenbanktheorie Vorlesung im Wintersemester Prof. Dr. Nicole Schweikardt Lehrstuhl Logik in der Informatik Institut

Logik und Algebra - Homepage von Andreas Zeh-Marschkezeh- · PDF fileSkript Logik und Algebra Mathematische Grundlagen Andreas Zeh-Marschke Version 8.1

Mathematische Logik SS 2019 - RWTH Aachen University · PDF file 5 Modallogik, temporale Logiken und monadische Logik Denition 5.2. Ein Transitionssystem oder eine Kripkestruktur mit

Holger Brenner - Einführung in Die Mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012)

Mathematische Grundlagen 1: Logik und Algebra · PDF fileBruckner, Emanuele Delucchi, Martin Dlugosch, Eva-Maria Feichtner, Di- mitryFeichtner-Kozlov,TimHaga,DamienImbs,Jan-PhilippLitza,Lennart

1 Einfuhrung¨ - Mathematisches · PDF file 1 Einfuhrung¨ 1.1 Philosophisches ... 1.1.6 Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie Die mathematische Eingliederung der mathematischen

Einfuhrung in die Fuzzy-Logik¨ · PDF fileSpezialvorlesung Einfuhrung in die Fuzzy-Logik¨ Helmut Thiele Universit¨at Dortmund Fachbereich Informatik Lehrstuhl f¨ur Informatik I

Mathematische Logik SS 2017 Eine besonders simple und bekannte Logik ist die Aussagenlogik, die insbesondere in den Grundlagen der Informatik oft genutzt wird oder implizit vorkommt.

Mathematische Abstraktion Daniel Wickert Proseminar Logik / WS 2003

Einführung in die mathematische Logik · PDF filestand ist zerlegbar, (b) Jeder unzerlegbare Gegenstand ist atomar, (c) Jedes Atom be- steht aus Protonen, Neutronen und Elektronen,

Mathematische Logik SS 2009 - RWTH Aachen University · PDF file 3 Modallogik, temporale Logiken und monadische Logik zuordnen, also die Menge der Zustände v, an denen y in K gilt.