EINFUHRUNG IN DIE THEORETISCHE¨ INFORMATIK · Uberblick und Vorbemerkungen¨ In diesem Kapitel...

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EINF ¨ UHRUNG IN DIE THEORETISCHE INFORMATIK Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies Sommersemester 2011 13. ZEIT- UND PLATZKOMPLEXIT ¨ AT VON MEHRBAND-TURINGMASCHINEN Theoretische Informatik (SoSe 2011) 13. Zeit- und Platzkomplexit¨ at 1 / 27

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EINFUHRUNG IN DIE THEORETISCHEINFORMATIK

Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies

Sommersemester 2011

13. ZEIT- UND PLATZKOMPLEXITATVON MEHRBAND-TURINGMASCHINEN

Theoretische Informatik (SoSe 2011) 13. Zeit- und Platzkomplexitat 1 / 27

Uberblick und VorbemerkungenIn diesem Kapitel geben wir eine kurze Einfuhrung in die Zeit- und Platz-komplexitat von Mehrband-Turingmaschinen.

Hierzu fuhren wir den Begriff der zeit- und platzbeschrankten Turingmaschineein und leiten hieraus die Definition der Zeit- und Platz(komplexitats)klassenab. Es folgen Beispiele wichtiger Komplexitatsklassen.

Wir diskutieren dann:

Vergleich Zeit - Platz

Abhangigkeit der Komplexitat von der Anzahl der Bander(Bandreduktionssatze).

Komplexitats-Overhead bei universellen Maschinen

Hierarchiesatze

Bei der Einfuhrung der Konzepte greifen wir nicht auf die im letzten Kapiteleingefuhrten allgemeineren Konzepte zuruck sondern erwahnen nur einigeder dort erzielten Ergebnisse. Dieses Kapitel kann daher unabhangig vonKapitel 12 gelesen werden.Theoretische Informatik (SoSe 2011) 13. Zeit- und Platzkomplexitat 2 / 27

Uberblick (Fortsetzung)

Wir betrachten im Folgenden:

KOSTENFUNKTIONEN:

Rechenzeit und Speicherplatzbedarf

RECHNERMODELL:

Mehrband-TM (zunachst immer deterministisch, spater auch nichtdet.)

ASYMPTOTISCHE WORST-CASE-KOMPLEXITAT:

Wir betrachten die Komplexitat nicht in Abhangigkeit der einzelnen Eingabensondern in Abhangigkeit von der Eingabenlange.Dabei interessieren wir uns fur die maximalen Kosten (worst-case), die beiEingaben einer Lange n auftreten.Weiter werden wir nur das asymptotische Komplexitatsverhalten, namlich dieKomplexitat auf hinreichend großen Eingaben betrachten, d.h. endlich vieleAusnahmen bei Komplexitatsschranken zulassen.

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Probleme = Sprachen

In der Regel werden wir unsere Komplexitatsuntersuchungeneinfachheitshalber auf den Fall von rekursiven (= entscheidbaren)Binarsprachen, d.h. Sprachen uber dem binaren Alphabet Σ = {0,1}beschranken.

(Dabei ist eine Binarsprache L rekursiv, wenn die zugehorige ZahlenmengeL′ = {n : wn ∈ L} rekursiv ist.)

Die Erweiterung der Begriffe und Ergebnisse auf• andere Alphabete,• (Wort-)Funktionen• mehrdimensionale Sprachen und Funktionen

lasst sich in der Regel leicht durchfuhren. (Ubung!)

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Zahlmengen und -funktionen

Betrachten wir

• Mengen (oder Funktionen) von Zahlen,

so gehen wir davon aus, dass diese binar kodiert sind, d.h. wir identifizierendie Zahl n mit dem nten Binarwort wn und fassen z.B. die Menge A⊆ N alsdie Binarsprache LA = {wn : n ∈ A} auf.

Entsprechend schreiben wir |n| fur die Lange |wn| von wn (NB: |n| ≈ log(n)).

Da wir die Komplexitat von Rechnungen in Abhangigkeit von derEingabenlange messen, mussen wir - um bedeutungsvolle Ergebnisse zuerhalten - Zahlen (und ebenso andere Daten) moglichst kompakt darstellen.

Die im Berechenbarkeitsteil benutzte Unarkodierung verbietet sich daher furKomplexitatsuntersuchungen. Die Binardarstellung ist dagegen - moduloeines linearen Faktors, den wir vernachlassigen konnen - von optimalerLange.

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Rechenzeit

Sei M eine deterministische Mehrband-TM.

Die Rechenzeit timeM(x) von M bei Eingabe x ist die Lange derRechnung von M bei Eingabe x , falls diese endlich ist, und undefiniertsonst.

BEMERKUNG 1. Die Rechenzeit timeM : Σ∗→ N ist partiell rekursiv. Ist Mtotal, so ist timeM total rekursiv.

BEMERKUNG 2. Ist timeM(x) undefiniert, so interpretiert man dies beiVergleichen auch als timeM(x) = ∞.

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(Speicher-)Platzbedarf

Sei M eine deterministische Mehrband-TM.

Der Platzbedarf spaceM(x) von M bei Eingabe x ist genau danndefiniert, wenn die rechnung terminiert. In diesem Fall ist spaceM(x)die kleinste Zahl n, sodass die benutzten Felder (d.h. die relevantenBandteile) von M bei Eingabe x in dem Adressintervall [−n,n] liegen(falls M terminiert, und undefiniert sonst). Hierbei wird ein Feldbenutzt, wenn es zum Beginn der Rechnung einen Teil der Eingabetragt oder im Laufe der Rechnung Arbeitsfeld ist.

BEMERKUNG 1. Ist M total, so ist der Platzbedarf eine totale rekursiveFunktion spaceM : Σ∗→ N. (Dies uberlegt man sich wie fur die Rechenzeit.)

BEMERKUNG 2. Ist spaceM(x) undefiniert, so interpretieren wir dies beiVergleichen wiederum als spaceM(x) = ∞. (Obwohl es passieren kann, dassM bei Eingabe x nicht terminiert und dabei in eine Schleife gerat, also dierelevanten Bandteile beschrankt sind.)

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Turingakzeptoren

Da wir es nun meist nur mit Sprachen A zu tun haben, andern wir dasRechenmodell ein wenig. (Dies wird auch hilfreich sein, wenn wirnichtdeterministische Maschinen betrachten.) Statt die charakteristischeFunktion cA der Sprache A zu berechnen, gehen wir nun von(Mehrband-)Turingakzeptoren (TAs) M aus, deren Stoppzustande inakzeptierende und verwerfende Zustande aufgeteilt sind. In der von Makzeptierten (oder erkannten) Sprache L(M) liegen dann dieEingabe-(Binar)Worter x , bei denen die Rechnung in einem akzeptierendenZustand endet.

Wie man sich leicht uberlegt, ist eine Sprache A genau dann rekursiv(Turing-entscheidbar), wenn sie von einem totalen (d.h. bei jeder Eingabeterminierenden) Turingakzeptor erkannt wird, und A ist genau dann rekursivaufzahlbar (Turing-aufzahlbar), wenn A von einem (nicht notwendigerweisetotalen) Turingakzeptor erkannt wird. In der Tat lasst sich eine TM zurBerechnung von cA (mit konstantem zusatzlichen Zeitaufwand) in einentotalen Turingakzeptor fur A konvertieren und umgekehrt, sodass sich auchan der Komplexitat nichts andert.

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Zeit- und Platzbeschrankte Turingmaschinen

DEFINITION. Sei f : N→ N eine total rekursive Funktion. Eine totaleMehrband-Turingmaschine M zur Berechnung einer 1-stelligenFunktion uber dem binaren Alphabet Σ ist f (n)- zeitbeschrankt, falls

∀x ∈ Σ∗(timeM(x)≤ f (|x |)),

und M ist f (n)- platzbeschrankt, falls

∀x ∈ Σ∗(spaceM(x)≤ f (|x |)).

Entsprechend sind zeit- und platzbeschrankte Turingakzeptorendefiniert.

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Komplexitatsklassen

Hiermit konnen wir die Funktionen und Sprachen, die vonTuringmaschinen innerhalb einer gegebenen Zeit- bzw. Platzschrankeberechnet werden, in Komplexitatsklassen zusammenfassen:

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Deterministische Zeit-(Komplexitats-)klassen

Fur eine total rekursive Zeitschranke t : N→ N definieren wir

DTIMEk (t(n)) = {A⊆ Σ∗ : cA wird von einer t(n)-zeitbeschranktenk -Band-TM berechnet}

DTIME(t(n)) = {A⊆ Σ∗ : cA wird von einer t(n)-zeitbeschranktenMehrband-TM berechnet}

FDTIMEk (t(n)) = {f : Σ∗→ Σ∗ total : f wird von einert(n)-zeitbeschrankten k - Band-TM berechnet}

FDTIME(t(n)) = {f : Σ∗→ Σ∗ total : f wird von einert(n)-zeitbeschrankten Mehrband-TM berechnet}

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Deterministische Platz-(Komplexitats-)klassen

Fur eine total rekursive Platzschranke s : N→ N definiert man entsprechenddie Platzklassen

DSPACEk (s(n)) = {A⊆ Σ∗ : cA wird von einer s(n)-platzbeschranktenk -Band-TM berechnet}

DSPACE(s(n)) = {A⊆ Σ∗ : cA wird von einer s(n)-platzbeschranktenMehrband-TM berechnet}

FDSPACEk (s(n)) = {f : Σ∗→ Σ∗ total : f wird von einers(n)-platzbeschrankten k - Band-TM berechnet}

FDSPACE(s(n)) = {f : Σ∗→ Σ∗ total : f wird von einers(n)-platzbeschrankten Mehrband-TM berechnet}

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Bemerkungen1. Bei Zeitschranken t geht man davon aus, dass t(n)≥ n + 1 gilt, und liestdaher t(n) als max(t(n),n + 1).(Zeitschranken t mit t(n0)≤ n0 fur ein n0 erlauben fur Eingaben der Lange> n0 nicht, diese vollstandig zu lesen, und fuhren zu konstantenZeitschranken.)

2. Bei Platzschranken kann man auch sublineare Schranken betrachten.Hierzu muss man jedoch off-line Turingmaschinen betrachten, bei denen dieEingabe auf ein Eingabeband geschrieben wird, auf das man nur lesendzugreifen darf. Das Eingabeband wird dann beim Platzbedarf nichtmitgerechnet.Hier kann man bis s(n) = log(n) heruntergehen, wahrend kleinere Schrankenwieder auf konstante Schranken kollabieren. (Der Grund hierfur ist, dass einBinarzahler von 0 bis n mit log(n) Platz auskommt.)

3. Ist C(f (n)) eine Komplexitatsklasse wie oben, und ist F eine Familie totalrekursiver Funktionen, so schreiben wir

C(F ) =⋃f∈F

C(f (n)).

Insbesondere steht C(O(f )) fur⋃

k≥1 C(kf (n) + k).Theoretische Informatik (SoSe 2011) 13. Zeit- und Platzkomplexitat 13 / 27

Einige bedeutende deterministische Zeitklassen

(Deterministische) Linearzeit:

LIN := DTIME(O(n))

(Deterministische) Polynomialzeit:

P := PTIME := DTIME(poly(n)) :=⋃

p Polynom

DTIME(p(n))

(Deterministische) lineare Exponentialzeit:

E := DTIME(2O(n))

(Deterministische) polynomielle Exponentialzeit:

EXP := DTIME(2poly(n)) :=⋃

p Polynom

DTIME(2p(n))

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Einige bedeutende deterministische Platzklassen

(Deterministisch) logarithmisch Platz:

LOGSPACE := DSPACE(log(O(n)))

(Deterministisch) polynomiell Platz:

PSPACE := DSPACE(poly(n))

(Deterministisch) linear Exponentialplatz:

ESPACE := SPACE(2O(n))

(Deterministisch) polynomiell Exponentialplatz:

EXPSPACE := DSPACE(2poly(n))

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Einfache Beziehungen zwischen denKomplexitatsklassenAus den Definitionen der Komplexitatsklassen erhalt man unmittelbarfolgende Beziehungen:

• Fur k ≤ k ′ gilt:

DTIMEk (f (n))⊆ DTIMEk ′(f (n))⊆ DTIME(f (n))

DSPACEk (f (n))⊆ DSPACEk ′(f (n))⊆ DSPACE(f (n))

• Fur rek. Funktionen f gilt:

DTIME(f (n)) =⋃k≥1

DTIMEk (f (n))

DSPACE(f (n)) =⋃k≥1

DSPACEk (f (n))

• Fur rek. Funktionen f und f ′ mit f (n)≤ f ′(n) fast uberall (f.u.) gilt:

DTIME(k)(f (n))⊆ DTIME(k)(f ′(n))

DSPACE(k)(f (n))⊆ DSPACE(k)(f ′(n))

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Vergleich von Rechenzeit und Platzbedarf

SATZ. (a) Jede t(n)-zeitbeschrankte Turingmaschine ist auch t(n)-platz-beschrankt.

(b) Jede s(n)-platzbeschrankte Turingmaschine ist O(2O(s(n)))-zeitbe-schrankt.

BEWEISIDEE. (a): Die Laufzeit ist eine obere Schranke fur die Anzahl der aufeinem Band benutzen Felder.

(b): Ist M s(n)-platzbeschrankt, so ist die Anzahl der theoretisch erreichbarenKonfigurationen durch O(2O(s(n))) beschrankt. Die Rechenzeit ist daherentsprechend beschrankt, da sich in einer terminierenden Rechnung keineKonfiguration wiederholen kann.

KOROLLAR.DTIME(k)(t(n))⊆ DSPACE(k)(t(n))

DSPACE(k)(s(n))⊆ DTIME(k)(2O(s(n)))

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Bandreduktionssatze

Als nachstes betrachten wir den Einfluss der Anzahl der Bander auf dieKomplexitat: Beim Vergleich der Speichervarianten bei Turingmaschinenhaben wir bereits gezeigt:

1. BANDREDUKTIONSSATZ. Zu jeder t(n)-zeit- und s(n)-platzbeschranktenMehrband-Turingmaschine gibt es eine aquivalente O(t(n)2)-zeit- undO(s(n))-platzbeschrankte 1-Band-Turingmaschine.

KOROLLAR.• DSPACE(s(n))⊆ DSPACE1(O(s(n)))• DTIME(t(n))⊆ DTIME1(O(t(n)2))

Der Platzverlust bei der Reduktion auf 1 Band ist also gering (und, wie wirnoch sehen werden, vernachlassigbar). Der Zeitverlust dagegen istquadratisch und damit sehr gross. Er lasst sich i.a. nicht vermeiden: Z.B. giltfur die Sprache L = {wwR : w ∈ Σ∗}, wobei wR das Spiegelwort von w ist:L ∈ DTIME2(O(n)), aber L 6∈ DTIME1(t(n)) fur jede Zeitschranke t vonsubquadratischer Ordnung, d.h. fur t mit limn→∞

t(n)

n2 = 0.

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Bandreduktionssatze (Forts.)Bei der Reduktion auf zwei Bander lasst sich der bei der Reduktion aufein Band auftretende Zeitverlust stark verringern:2. BANDREDUKTIONSSATZ. Zu jeder t(n)-zeitbeschrankten Mehrband-Turingmaschine M gibt es eine aquivalente O(t(n) log(t(n)))-zeitbeschrankte2-Band-Turingmaschine M ′. Insbesondere gilt also

DTIME(t(n))⊆ DTIME2(O(t(n) log(t(n)))).

NB. 1. Im Gegensatz zum 1. Bandreduktionssatz ist es nicht bekannt, ob der2. Bandreduktionssatz optimal ist, oder ob die Schranke verbessert werdenkann.

2. Wir werden diesen Satz wie eine Reihe weiterer grundlegender Satze uberdie Zeit- und Platzkomplexitat hier nicht beweisen. Fur Beweise verweisen wirauf die Literatur oder die Vorlesung BERECHENBARKEIT UNDKOMPLEXITAT.

3. Der Zeitverlust bei der Bandreduktion ist zu beachten, wenn man denZeitverlust betrachtet, der bei der Simulation beliebiger Mehrband-TMs durcheine universelle TM auftritt:Theoretische Informatik (SoSe 2011) 13. Zeit- und Platzkomplexitat 19 / 27

Satz uber universelle Turingmaschinen

Aus dem im Teil uber die Berechenbarkeitstheorie gezeigtenExistenzsatz fur universelle Turingmaschinen ergibt sich zusammenmit dem 2. Bandreduktionssatz:

SATZ UBER UNIVERSELLE TURINGMASCHINEN. Es gibt eine4-Band-Turingmaschine U mit folgender Universalitatseigenschaft:

Zu jeder t(n)-zeit- und s(n)-platzbeschrankte Mehrband-TM M zurBerechnung einer Funktion f : Σ∗→ Σ∗ gibt es ein Wort w ∈ Σ∗ mit

• ∀x ∈ Σ∗ (ϕM(x) = ϕU(w ,x))

• timeU(w ,x) ∈O(t(|x |) log(t(|x |))) (fur w fest w.o.)

• spaceU(w ,x) ∈O(s(|x |)) (fur w fest w.o.)

(Entsprechend fur Akzeptoren)

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Hierarchiesatze

FRAGESTELLUNG: Finde zu einer Schrankenfunktionen f eineSchranke f ′ (mit f (n)≤ f ′(n) f.u.), so dass C(f (n)) echt in C(f ′(n))enthalten ist (fur C = DTIME,DSPACE).

Als erstes beobachten wir hierzu, dass die Vergroßerung einerSchranke um einen linearen Faktor nicht ausreicht, um dieKomplexitatsklasse zu vergrossern:

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Lineare Kompression und BeschleunigungLINEARER KOMPRESSIONSSATZ. Sei s(n) eine hyperlogarithmischerekursive Funktion und seien c,k ≥ 1. Zu jeder s(n)-platzbeschranktenk -Band-Turingmaschine gibt es eine aquivalente s(n)/c-platzbeschranktek -Band-Turingmaschine M ′.

LINEARER BESCHLEUNIGUNGSSATZ. Sei t(n) eine hyperlineare rekursiveFunktion, sei c ≥ 1 und sei k ≥ 2. Zu jeder t(n)-zeitbeschranktenk -Band-Turingmaschine M gibt es eine aquivalente t(n)/c-zeitbeschranktek -Band-Turingmaschine M ′.

BEWEISIDEE. Zur linearen Kompression fasst man (durch geeigneteAnderung des Bandalphabets c Buchstaben zu einem Buchstabenzusammen. Die lineare Beschleunigung basiert ebenfalls auf dieser Idee.(Details: Vorlesung “Berechenbarkeit und Komplexitat”)

KOROLLAR.

DSPACE(s(n)) = DSPACE(O(s(n))) (fur s(n) >> log(n))

DTIME(t(n)) = DTIME(O(t(n))) (fur t(n) >> n)

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Allgemeiner Luckensatz

Wahrend die lineare Beschleunigung zeigt, dass bei allen Zeitschrankenlineare Lucken auftreten, zeigt der im Teil uber allgemeine Komplexitatsmaßevorgestellte Luckensatz, dass bei gewissen Zeitschranken beliebig großeLucken auftreten:

ALLGEMEINER LUCKENSATZ FUR DTIME. Zu jeder rekursiven Funktion fmit f (n) > n f.u. gibt es eine rekursive Zeitschranke t mit

DTIME(t(n)) = DTIME(f (t(n))).

Ein Zeithierarchiesatz kann daher (wie fur jedes andere Komplexitatsmaßauch) nicht fur alle Schranken t(n) gelten. Man beobachtet jedoch, dass dieStellen t , an denen Lucken auftreten, keine “naturlichen” Schranken-funktionen sind, sodass das allgemeine Luckenphanomen eher vontheoretischem Interesse ist. Die ublicherweise betrachteten Schranken sindzeitkonstruierbar und - wie wir sehen werden - treten bei diesen keine großenLucken auf.

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Der Zeithierarchiesatz

DEFINITON. Eine rekursive Funktion f (n) zeitkonstruierbar, wenn es eineMehrband-Turingmaschine M gibt, deren Rechenzeit bei jeder Eingabe derLange n gerade f (n) betragt.

ZEITHIERARCHIESATZ. Seien t(n),T (n) > n rekursive Funktionen, fur diet(n)≤ T (n) f.u. und

(T1) T (n) 6∈O(t(n) log(t(n))) und

(T2) T (n) zeitkonstruierbar

gilt. Dann giltDTIME(t(n))⊂ DTIME(T (n)).

BEMERKUNG. Es ist nicht bekannt ob (T1) optimal ist (hier geht neben denlinearen Lucken noch der Zeitverlust bei der Bandreduktion ein); (T2) istdagegen notwendig (Allgemeiner Luckensatz). Fur die Praxis bedeutet (T2)jedoch (wie bereits erwahnt) keine wesentliche Einschrankung, da dieublichen (monotonen) Schrankenfunktionen zeitkonstruierbar sind.

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Beweis(idee) des ZeithierarchiesatzesWir konstruieren durch ein Diagonalargument eine Sprache A ∈ DTIME(T (n)), die nicht in DTIME(t(n)) liegt. Hierzu geben wireine TM M0 an, die die charakteristische Funktion von A berechnet, T (n)-zeitbeschrankt ist und zu keiner t(n)-zeitbeschranktenTM M aquivalent ist.

• Um A ∈ DTIME(T (n)) zu sichern, lasst man bei jeder Eingabe x eine “Uhr” mitlaufen und stoppt die Berechnung von M0nach T (|x |) Schritten.

Dies ist wegen der Zeitkonstruierbarkeit von T moglich: man lasst “parallel” zur Rechnung eine Maschine M mittimeM (x) = T (|x |) laufen und bricht die Rechnung von M0 (z.B. mit Ergebnis 0) ab, sobald M stoppt. (Hierbei benutzt die

Maschine M zusatzlich bereitgestellte Bander.)

• Um A 6∈ DTIME(t(n)) zu sichern, diagonalisiert man gegen die universelle Maschine U wie folgt. Bei einer Eingabex = 1|w |0wy simuliert man U bei Eingabe (w ,x). Wenn die Zeit ausreicht, die Simulation zu beenden, diagonalisiertman, d.h. gibt das Ergebnis 0 aus, falls das Ergebnis von U von 0 verschieden ist, und sonst das Ergebnis 1.

Dass man auf diese Art gegen jede Sprache L ∈ DTIME(t(n)) diagonalisiert, d.h. L(M0) 6= L sicherstellt, sieht man wie folgt:

1. Sei L ∈ DTIME(t(n)).

2. Dann gibt es eine t(n)-zeitb. Mehrband-TM M, die cL berechnet, d.h. ϕM = cL.

3. Nach dem Satz uber universelle Turingmaschinen gibt es dann ein Wort w mit

∀x ∈Σ∗ (cL(x) = ϕM (x) = ϕU (w ,x)) und timeU (w ,x) ∈O(t(|x |) log(t(|x |)))

4. Wegen (T1) gibt es also unendlich viele Worter x = 1|w |0wy , sodass M0 bei Eingabe x die Simulation von U bei Eingabe(w ,x) beendet und diagonalisiert:

cL(x) = ϕM (x) = ϕU (w ,x) 6= ϕM0(x) = cA(x)

Also insbesondere: A 6= L

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Der PlatzhierarchiesatzEntsprechend kann man den folgenden Hierarchiesatz fur die Platz-komplexitat zeigen, den wir ohne Beweis vorstellen:

PLATZHIERARCHIESATZ. Seien s(n),S(n)≥ log(n) rekursive Funktionen,fur die s(n)≤ S(n) f.u. und

(S1) S(n) 6∈O(s(n)) und

(S2) S(n) platzkonstruierbar

gilt. Dann giltDSPACE(s(n))⊂ DSPACE(S(n)).

Hierbei heisst eine rekursive Funktion s(n)≥ log(n) platzkonstruierbar, wennes eine Mehrband-Turingmaschine M gibt, fur die spaceM(x) = s(|x |) fur alleWorter x gilt.

BEMERKUNG. Im Gegensatz zum Zeithierarchiesatz weiss man, dass derPlatzhierarchiesatz optimal ist: (S1) ist wegen der Linearen Kompressionnotwendig, (S2) wegen des allg. Luckensatzes.Fur die Praxis bedeutet (S2) wiederum keine Einschrankung, da die dortbetrachteten “naturlichen” (monotonen) Schrankenfunktionenplatzkonstruierbar sind.Theoretische Informatik (SoSe 2011) 13. Zeit- und Platzkomplexitat 26 / 27

Beispiele zu den Hierarchiesatzen

Polynome p(n), die Exponentialfunktionen 2k ·n und 2nk(k ≥ 1) und die

Fakultatsfunktion n! sind zeit- und platzkonstruierbar.

Aus den Hierarchiesatzen folgt daher:

DTIME(nk )⊂ DTIME(nk+1) und DSPACE(nk )⊂ DSPACE(nk+1)

DTIME(2k ·n)⊂ DTIME(2(k+1)·n) undDSPACE(2k ·n)⊂ DSPACE(2(k+1)·n)

DTIME(2nk)⊂ DTIME(2n(k+1)

) und DSPACE(2nk)⊂ DSPACE(2n(k+1)

)

PTIME ⊂ DTIME(2n)⊂ E ⊂ DTIME(2n2)⊂ EXP

und PSPACE ⊂ DSPACE(2n)⊂ ESPACE ⊂ DSPACE(2n2)⊂ EXPSPACE

Die Trennung DSPACE(2n)⊂ DSPACE(n2n) folgt ebenfalls aus demPlatzhierarchiesatz.

Die Trennung DTIME(2n)⊂ DTIME(n2n) lasst sich dagegen nicht mitdem Zeithierarchiesatz zeigen (jedoch mit Hilfe anderer Methoden).

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