Einfu¨hrung in MATLAB DLR Gottingen¨ - num.math.uni...

Einfuhrung in MATLABDLR Gottingen

Visualisierung22.11.2005

Gerd [email protected]

Institut fur Numerische und Angewandte Mathematik

Georg-August Universitat Gottingen

Dr. G. Rapin Einfuhrung in MATLAB – p.1/64

http://www.num.math.uni-goettingen.de/grapin

VisualisierungInput und Output

Zweidimensionale Grafikmöglichkeiten

Eindimensionale Inter- und Extrapolation

Dreidimensionale Grafikmöglichkeiten

Mehrdimensionale Interpolation


Input / Output


Input und OutputFormatierte Ausgabe

Schreiben in Dateien

Einlesen von Daten aus Dateien

Durch help iofun erhält man eine Übersichtaller Ein- und Ausgabe - Befehle


AusgabeAngeben einer Variable ohne Semicolon:>> text=[’Pi mit 6 signifikanten Stellen : ’ num2str(pi,6)]

text =

Pi mit 6 signifikanten Stellen : 3.14159

Ausgabe des Strings X durch disp(X)>> disp(text)

Pi mit 6 signifikanten Stellen : 3.14159

Ausgabe durch fprintf()>> fprintf(’Pi mit %1.0f Nachkomma-Stellen : %6.4f \n’,4,p i)

Pi mit 4 Nachkomma-Stellen : 3.1416


fprintf- Formartierte Ausgabefprintf( Format, Argument1, Argument2,...)

Format ist ein String der das genaue Output-Form der Argumente (Werte der Variablen)bestimmt:

Format=’< * >%<±> <v1.n1><typ1>< * >%<±> <v2.n2><typ2>< * >...’

<*> Hier kann beliebieger Text eingegeben werden.

<±> Durch ’+’ wird die Angabe des Vorzeichens erzwungen. Durch ’-’ wird einelinksbündige Ausgabe erzeugt. Weglassen von <±> erzeugt eine rechtsbündigeAusgabe ohne Anzeige des ’+’ Zeichens.

vi Durch vi wird die Anzahl der insgesamt dargestellten Zeichen von Argumentigesteuert.

ni Hierdurch wird entsprechend die Anzahl von Nachkommastellen angegeben.

typi Gibt den Datentyp und Darstellungsformat von Argumenti an: f(Standarddarstellung von Gleitkommazahlen), e (Expontialdarstellung von Gl.), g(entweder Darst. f oder e), s (Strings),...


Bemerkungen zu fprintfDie formatierte Ausgabe ist an den Ansi-CStandard angelehnt.

Durch ’\n’ wird ein Zeilenumbruch bewirkt.’\%’ erzeugt %.

sprintf funktioniert wie fprintf . Allerdingswird die Ausgabe als String zurückgegeben.

Ist ein Argument eine Matrix, so wird fprintf’vektorisiert’.


Schreiben in Dateien - Beispiel% waehrung.m

%

% Erstellt eine Umrechnungstabelle zwischen

% Euro und anderer Waehrung

waehrung_name=input(’Umrechnungstabelle fuer welche Wa ehrung ? ’,’s’);

fprintf(’Ein Euro entspricht wievielen %s ? ’,waehrung_na me);

umrechnung=input(’’);

a=[1 2 3 5 10 20 50 100 200 1000];

fid=fopen(’umrechnung.txt’,’w’);

fprintf(fid,[’Umrechnungstabelle: Euro-’,waehrung_na me,’\n\n’]);

fprintf(fid,[’%7.2f Euro = %7.2f ’,waehrung_name,’\n’], ...

[a;umrechnung * a]);

fprintf(fid,’\n \n Umrechnungskoeffizient: %3.2f \n’,um rechnung);

fclose(fid);


fopenfid=fopen(dateiname, erlaubnis)fopen öffnet die Datei dateiname im Moduserlaubnis und erzeugt einen Datei-Handle fid .Für erlaubnis gibt es u.a. die folgendenMöglichkeiten:

’r’ Lesen aus der Datei.

’w’ Schreiben in die Datei (Erzeugen falls nötig)

’a’ Hinzufügen (Erzeugen falls nötig)

’r+’ Lesen und schreiben (aber nicht erzeugen)


Weitere Kommandosfclose(fid) schliesst die Datei mit demHandle fidMit dem Befehlfprintf( Datei-Handle, Format, Argument1, Argument2,... )

wird in die durch das Datei-Handle angegebeneDatei gemäß der obigen Konventionengeschrieben.

Durch ein zusätzliches Output-Argumentkönnen Fehler aufgefangen werden.[fid, message]=fopen(dateiname, erlaubnis)

Ist die Datei nicht zu öffnen, so ist fid=-1 .


Lesen aus einer Datei% waehrung_auslesen.m

%

% Liest eine Umrechnungstabelle aus der

% Datei ’umrechnung.txt’

clear all;

fid=fopen(’umrechnung.txt’,’r’);

waehrung_name=fscanf(fid,’Umrechnungstabelle: Euro-% s’);

daten=fscanf(fid,[’%f Euro = %f ’,waehrung_name],[2 inf] );

umrechnung=fscanf(fid,’Umrechnungskoeffizient: %f’);

fclose(fid);

% Ausgabe

fprintf(’Umrechnung: Euro - %s: Kurs: %f \n’,...

waehrung_name,umrechnung);

fprintf(’ %7.2f Euro = %7.2f \n’,daten);


fscanf[daten,anz]=fscanf(fid,format,Gr oße)

fscanf liest Daten aus der Datei mit demHandle fid .

Die Daten werden in daten gespeichert. Deroptionale Wert anz gibt die Anzahl erfolgreichgelesener Daten an.

format gibt das vorgegebene Suchmuster vor.

Die Große gibt die Dimension der Output-Matrixan.


Weitere BefehleDer Befehl fgetl(fid) liest eine Zeile aus derDatei mit Handle fid und gibt die Zeile alsString zurück.

Ob das Dateiende erreicht ist, kann durch denBefehl feof(fid) geprüft werden. feof(fid)gibt eine 1 zurück, falls das Dateiende erreichtist und 0 sonst.


Beispiel - BubblesortBubblesort durchläuft die Datenmenge vonAnfang bis zum Ende und vergleicht paarweisedie nebeneinanderstehenden Elemente.

Sind zwei benachbarte Elemente nicht in derrichtigen Reihenfolge, so werden siemiteinander vertauscht.

Ist man am Ende angekommen, beginnt manwieder von vorne.

Die Datenmenge ist sortiert, falls bei einemDurchlauf keine Vertauschungen mehrvorgenommen werden.


Beispiel - Bubblesortfunction sortieren(dateiname1, dateiname2)

% sortieren Die Datei dateiname1 wird alphabetisch sortier t

% und als dateiname2 abgespeichert.

% INPUT: STRING dateiname1

% STRING dateiname2

% Datei laden

[fid,message]=fopen(dateiname1,’r’);

if fid==-1

error(’Datei nicht gefunden’);

end;

% Datei lesen

anz=0;

while feof(fid)==0

anz=anz+1;

inhalt{anz}=fgetl(fid);

end

fclose(fid);


Beispiel - Bubblesort (Forts.)% Sortieren

sortierungen=1;

while sortierungen>0

sortierungen=0;

for k=1:anz-1

% vergleich_gr(a,b) ist 1 fuer a<b, 0 sonst

if vergleich_gr(inhalt{k+1},inhalt{k})

hilf=inhalt{k}; inhalt{k}=inhalt{k+1}; inhalt{k+1}=hi lf;

sortierungen=sortierungen+1;

end

end

end

% Datei schreiben

fid=fopen(dateiname2,’w’);

for k=1:anz

fprintf(fid,’%s \n’,inhalt{k});

end;

fclose(fid);


BemerkungenEs ist auch möglich temporäre Dateien zuerzeugen.

Binäre Dateien können erzeugt und gelesenwerden mit Hilfe der Befehle fread undfwrite .

Mittels xlsread können Excel-Tabelleneingeladen werden.

Bilddateien werden durch imread importiert.

Audiodateien (.wav) bzw. Videodateien (.avi)können durch wavread bzw. avireadimportiert werden.


Beispiel: Binäre Daten%-------------------- beispiel_bin_data.m

A = hilb(10);

% Schreibe binaere Datei

fwriteid = fopen(’hilb10.bin’,’w’);

count = fwrite(fwriteid,A,’double’);

fclose =(fwriteid);

% Lesen binaere Datei

freadid = fopen(’hilb10.bin’,’r’);

B = fread(freadid, count, ’double’);

C = reshape(B,10,10);

disp(norm(A - C))


Statistische GrößenMinimum min , Maximum max

Durschschnittswert mean, Median median

Summe sum, Produkt prod

Standardabweichung std


Statistische Größen>> x=1:2:100;>> [min(x), max(x)]

ans = 1 99>> [mean(x), median(x)]

ans = 50 50>> sum(x), prod(x)

ans = 2500ans = 2.7254e+78

>> std(x)ans = 29.1548


ZweidimensionaleGrafikmöglichkeiten


Standard–Plotplot(x,y)zeichnet für Vektoren x = (x1, . . . , xN) undy = (y1, . . . , yN) eine Grafik, die die Punkte (xi, yi)und (xi+1, yi+1) miteinander verbindet.

>> x=linspace(0,2 * pi,100);

>> y1=sin(3 * x);

>> plot(x,y1)

0 1 2 3 4 5 6 7−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Erweiterungenplot(x,y, string )

String besteht aus drei Elementen, die die Farbe,Linienstil und die Markierung der Punktekontrollieren. Die Reihenfolge der drei Elemente istbeliebig.

Beispiel: Durchplot(x,y,’r * --’) wirddie Linie gestrichelt (- -) inrot (r) gezeichnet und diePunkte durch * markiert.

0 1 2 3 4 5 6 7−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Optionen

Farben r (rot), g (grün), b (blau), c (hellblau),m (magenta), y (gelb), k (schwarz), w(weiß)

Marker o (Kreis), * (Stern), . (Punkt), + (Plus),x (Kreuz), s (Quadrat), d (Raute),...

Linien-Stil - (durchgezogene Linie), -- (gestri-chelte Linie), : (gepunktete Linie), -.(Strich-Punkt Linie)

Läßt man den Linien-Stil weg, so werden die Punkte

nicht verbunden.


Optionen IIplot(x,y, string , Eigenschaft , Spez.)

Eigenschaften:’MarkerSize’ (Default 6), ’LineWidth’ (Default0.5), ’MarkerEdgeColor’ , ’MarkerFaceColor’

Beispiel:

>>plot(x,y1,’b-.d’,’LineWidth’,3,...

’MarkerEdgeColor’,’g’)

0 1 2 3 4 5 6 7−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Beispiel - Legendre Polynome

>> x=linspace(-1,1,100);

>> p1=x;

>> p2=(3/2) * x.ˆ2-1/2;

>> p3=(5/2) * x.ˆ3-(3/2) * x;

>> p4=(35/8) * x.ˆ4 - (15/4) * x.ˆ2+3/8;

>> plot(x,p1,’r:’,x,p2,’g--’,x,p3,...

’b-.’,x,p4,’m-’,’LineWidth’,2)

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Darstellung von Daten

Daten:>> n=linspace(0,10,40);>> y=n.ˆ2. * exp(-n);

Balkendiagramm: bar(y)

Histogramm: hist(y,5)

einfacher Plot: area(n,[y’,2 * y’])

Tortengrafik: pie3([ 1 2 3 4])


Darstellung von Daten

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6Balkendiagramm

0 0.2 0.4 0.60

5

10

15

20Histogramm

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2Area plot

40%

30%

Tortengrafik

10%

20%


Darstellung von Datenn=linspace(0,10,40);

y=n.ˆ2. * exp(-n);

% Balkendiagramm

subplot(2,2,1),

bar(y); title(’Balkendiagramm’);

% Histogramm

subplot(2,2,2),

hist(y,5); title(’Histogramm’);

% Area plot

subplot(2,2,3),

area(n,[y’,2 * y’]); title(’Area plot’);

% Tortengrafik

subplot(2,2,4),

pie3([ 1 2 3 4]); title(’Tortengrafik’);


Aufgabe 1Betrachten Sie die Datei daten.dat mittelsdes Befehls type daten.dat

Schreiben Sie ein Programm, dass die Datenimportiert und die Funktion anhand dergegebenen Daten plottet.


Aufgabe 2Importieren Sie die Daten mittelsload beispiel.mat .

Stellen Sie die Daten grafisch dar.

Erstellen Sie ein Histogramm.

Berechnen Sie das Maximum, das Minimum unddie Standardabweichung.


PolynomeInterpolationExtrapolation


PolynomeIn MATLAB werden Polynome

p(x) = p1xn + p2x

n−1 + · · · + pn+1

repräsentiert durch einen Zeilenvektorp = [p(1) p(2) . . . p(n + 1)].

Vorsicht: Normalerweise werden Polynome in der

Form∑n

i=0pix

i dargestellt. In MATLAB dagegen ist

die Darstellung invers und beginnt bei 1.


Problemstellungen1. Auswerten: Bei gegebenen Koeffizienten, das

zugehörige Polynom an bestimmten Stellenauswerten.

2. Nullstellenbestimmung: Bestimme zugegebenen Koeffizienten die Nullstellen deszugehörigen Polynoms.

3. Interpolation: Bestimme zu einer gegebenenMenge von Punkten (xi, yi)

ni=0

ein Polynomn.-ten Grades, das durch diese Punkte verläuft.


AuswertenDurch y=polyval(p,x) werden aus einemvorgegebenen Koeffizientenvektor p undentsprechenden Stellen x die zugehörigenFunktionswerte y berechnet. x kann eine Matrixsein. y ist dann von der gleichen Dimens. wie x.

Beispiel: p(x) := x3− x2 + 1

>> x=-2:0.1:2;

>> y=polyval([1 -1 0 1],x);

>> plot(x,y,’r--’,’Linewidth’,3);

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6


Bestimmung von NullstellenIst p der obige Koeffizientenvektor, so können dieNullstellen z durch z= roots(p) berechnet werden.

Beispiel:Nullstellen von p(x) := x3

− x2 + 1>> roots([1 -1 0 1])

ans =

0.8774 + 0.7449i

0.8774 - 0.7449i

-0.7549

>> x=-1:0.1:1; [X,Y]=meshgrid(x,x);

>> Z=abs(polyval([1 -1 0 1],X+i * Y));

>> surf(X,Y,Z)−1

−0.5

0

0.5

1

−1−0.8

−0.6−0.4

−0.20

0.20.4

0.60.8

1

0

1

2

3

4

5


InterpolationSuche zu gegebenen Punkten (xi, yi)

ni=0

einPolynom p n.-ten Grades, so dass p(xi) = yi gilt füri = 0, . . . , n.In MATLAB: p=polyfit(x,y,n)

Ruft man p=polyfit(x,y,m) mit m < n auf, sosucht MATLAB die Least Square Lösung, d.h. dasPolynom p der Ordnung m, welches∑n

i=0(p(xi) − yi)

2 minimiert.


Data FittingEin weiterer Befehl zur Interpolation istyi=interp1(x,y,xi,’method’).Dabei sind (x, y) die gegebenen Punkte, xi sind dieStellen, an die die Interpolante berechnet wird undyi sind die entsprechenden Funktionswerte. Als’methode’ gibt es

’nearest’ stückweise konstante Approximation

’linear’ Lineare Interpolation

’spline’ stückweise kubischer Spline u (u ∈ C2, u|[xi,xi+1] ∈ P3)

’cubic’ kubische Hermite Interpolation


Beispiel

−5 0 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1Punkte

−5 0 5−0.5

0

0.5

1

1.5

2polynomial

−5 0 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1Linearer Spline

−5 0 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1Kubischer Spline

−5 0 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1kubische Interpol.

−5 0 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1konst. Approx.


BemerkungenNur für die Spline-Methoden können beiinterp1 auch Stellen außerhalb desInterpolationsintervalls berechnet werden.

Data Fitting kann auch über die Oberflächedurchgeführt werden. Plotten Sie die Daten undwählen Sie Basic Fitting im Menü Tools .


Aufgabe 3(a) Laden Sie mittels load census die U.S.

Population von 1790 bis 1990 in ihren Speicherund stellen Sie die Zahlen grafisch dar.

(b) Interpolieren Sie mit Hilfe der Oberfläche dieDaten! Welche Methode funktioniert am besten!

(c) Schätzen Sie mit Hilfe des kubischen Splinesdie Bevölkerungszahl 2050.


DreidimensionaleGrafikmöglichkeiten


Dreidimensionale GrafikenDreidimensionale Version von plot : plot3

Darstellung von Funktionen f : R2→ R:

• Contourplot (zeichnet die Niveaulinien):contour , contourf , contour3

• Darstellung des Graphen mit Gitterlinien:mesh , meshc

• Flächige Darstellung des Graphen: surf ,surfc

Darstellung von Funktionen f : R3→ R:

Streifenansichten slice


Beispiel plot3t=0:0.1:20 * pi;x=exp(-t/20). * sin(t);y=exp(-t/20). * cos(t);z=t;

plot3(x,y,z,’b-o’,’LineWidth’,1);grid onxlabel(’x(t)’), ylabel(’y(t)’);

zlabel(’z(t)’);title(’Beispiel: plot3’,’FontSize’,15);


3D-FunktionenplotsDarstellung von Funktionen

f : R2

→ R

Beispiel:

f(x, y) := exp(−x2− y2) sin(πxy)


Beispiel: Funktionenplot

−20

2

−2

0

2−0.5

0

0.5

mesh

−20

2

−2

0

2−0.5

0

0.5

surf

−2 −1 0 1 2−2

−1

0

1

2contour

−20

2−2

0

2−0.5

0

0.5

surfc


Programm% Erzeugen des Gitters

x=linspace(-2,2,30);

y=linspace(-2,2,30);

[X,Y]=meshgrid(x,y);

% Funktionswerte

Z=exp(-X.ˆ2-Y.ˆ2). * sin(pi * X. * Y);

% verschiedenen Darstellungen

subplot(2,2,1),

mesh(X,Y,Z), title(’mesh’);

subplot(2,2,2),

surf(X,Y,Z), title(’surf’);

subplot(2,2,3),

contour(X,Y,Z,10), title(’contour’);

subplot(2,2,4),

surfc(X,Y,Z);

view(-26,20), title(’surfc’);


meshgrid

Zu Vektoren x = (xi)ki=1

, y = (yj)nj=1

erzeugt[X,Y]=meshgrid(x,y)

Matrizen X,Y ∈ Rn×k, wobei jede Zeile von X eine

Kopie des Vektors x ist und Y als Spalten denVektor y enthält.Dann hat Z=X. * Y die Komponenten

Z(i, j) = x(j) ∗ y(i).


DarstellungsmöglichkeitenContourplot (zeichnet die Niveaulinien):contour

Darstellung des Graphen mit Gitterlinien: mesh ,meshc

Flächige Darstellung des Graphen: surf ,surfc

mesh(X,Y,Z) z.B. stellt für MatrizenX,Y, Z ∈ R

n×k die Punkte

(X(i, j), Y (i, j), Z(i, j)) dar.

(Die Koordinaten (x,y) müssen ein kartesisches Gitter bilden).Dr. G. Rapin Einfuhrung in MATLAB – p.49/64

Contour Plots% verschiedenen Darstellungen

subplot(2,2,1),

contourf(X,Y,Z,10), title(’contourf’)

subplot(2,2,2),

contour(X,Y,Z,[0 0.2 0.4]), title(’special contours’);

subplot(2,2,3),

[C,h]=contour(X,Y,Z,[0 0.05 0.1 0.15 0.2 ]);

title(’contour with labeling’);

clabel(C,h)

subplot(2,2,4),

contour3(X,Y,Z,10), title(’contour3’)


Funktionenplota mit Contour

contourf

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2special contours

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.05

0.05

0.05

0.05

0.05

0.0

5

0.1

0.1

0.1

0.1

0.15

0.15

0.2

0.2

contour with labeling

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

−2−1

01

2

−2

0

2−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

contour3


Erläuterungen zu Contourcontour(X,Y,Z,n) zeichnet für n ∈ N

n-Konturlinien. Ist n ein Vektor, werdenKonturlinien zu den Werten in dem Vektor ngeplottet.

contourf funktioniert wie contour nur das dieFlächen zwischen den Konturlinien ausgefülltwerden.

label(C,h) beschriftet die Konturlinien, derenWerte in C gespeichert sind und die zumGrafik-Handle h gehören.

contour3 zeichnet jede Konturlinie auf eineranderen Höhe.


Sliceslice(X,Y,Z,V,sx,sy,sz)

zeichnet Schnitte zu den Funktionswerten V (i) zu(X(i), Y (i), Z(i)). Schnitte sind durch die Vektorensx, sy und sz gegeben.

Beispiel:

f(x, y, z) := exp(−x2− y2) sin(πxyz)


Beispielx = linspace(-2,2,20);[X,Y,Z] = meshgrid(x,x,x);V = exp(-X.ˆ2-Y.ˆ2). * sin(pi * X. * Y. * Z);sx = [-0.5,0,0.5]; sy = [-1,0,1];sz = [];slice(X,Y,Z,V,sx,sy,sz)alpha(0.6) % Transparency


MehrdimensionaleInterpolation


ProblemDaten liegen häufig in Form von Vektoren(x, y, z) vor. Man möchte eine Funktion F mitz(i) = F (x(i), y(i)) plotten.

Befehle surf und mesh funktionieren nur wenndie Einträge in x und y monoton sind und dieDaten auf einem kartesischen Gitter vorliegen.

Ausweg: Interpolieren der Daten auf einentsprechendes Gitter.


Beispiel>> load seamount>> plot(x,y,’.’,’markersize’,10)>> figure, plot3(x,y,z,’.’)

210.8 210.9 211 211.1 211.2 211.3 211.4 211.5 211.6 211.7 211.8−48.45

−48.4

−48.35

−48.3

−48.25

−48.2

−48.15

−48.1

−48.05

−48

−47.95


Beispiel>> xi=linspace(min(x),max(x),40);>> yi=linspace(min(y),max(y),40);>> [XI,YI]=meshgrid(xi,yi);>> ZI=griddata(x,y,z,XI,YI,’cubic’);>> surf(XI,YI,ZI)

210.8

210.9

211

211.1

211.2

211.3

211.4

211.5

211.6

211.7

211.8

−48.45−48.4−48.35−48.3−48.25−48.2−48.15−48.1−48.05−48−47.95

−4000−2000

0


griddataZI=griddata(x,y,z,XI,YI,methode);

Vektoren x, y, z enthalten Werte (x(i), y(i), z(i)).

griddata interpoliert auf die Stellen(XI(i, j), Y I(i, j)) mit Matrizen XI, Y I. ErgebnisZI(i, j).

Die Art des Interpolierens ist entweder ’nearest’ ,’linear’ oder ’cubic’ . Entsprechend wirdentweder stückweise konstant, linear oder durchbi-kubische Splines interpoliert.

Es wird nur innerhalb der konvexen Hülle der Punkte(x(i), y(i)) interpoliert. Ansonsten FunktionswertNaN .


BemerkungenDer Interpolation liegt eine DelaunayTriangulation zugrunde. Die Werte (x(i), y(i))sind Eckpunkte der entstehendenDreiecksmenge.

Danach werden mit Hilfe der DreieckeFunktionen definiert, die entsprechende Wertebesitzen.

Mittels griddatan ist die Technik auch aufhöhere Dimensionen anwendbar. Dreieckewerden durch entsprechendehöher-dimensionale Simplizes ersetzt.(In 3D Tetraeder)


interp2ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,methode)

Allgemein sind X,Y, Z Matrizen. Dabei istZ(i, j) der Funktionswert an (X(i, j), Y (i, j)).X und Y sind in der Regel durch meshgriderzeugt.

Es wird an den Stellen (XI(i, j), Y I(i, j))interpoliert. Das Ergebnis ist ZI(i, j). DieEinträge von XI bzw. Y I können beliebig sein.

Die Art des Interpolierens ist entweder’nearest’ , ’linear’ oder ’cubic’ .


Aufgabe 4Plotten Sie die Funktionen

(a) f(t) := ((1 + t2) sin(20t), (1 + t2) cos(20t), t),t ∈ [−5, 5],

(b) g(x, y) := sin(3y − x2 + 1) + cos(2y2− 2x) auf

[−2, 2] × [−1, 1] (mittels contour )

(c) h(z) := real(z1

3 ), z = x + iy mit x, y ∈ [−1, 1](mittels mesh)


Aufgabe 5Erzeugen Sie die beiden Vektorenx = linspace(-5,5,13);y = 1./(1+x.ˆ2);

Plotten Sie die Punkte (x, y).

Interpolieren Sie die Daten mit Hilfe einesPolynoms 12.-Ordnung, 3.-Ordnung und 8.-terOrdnung. Benutzen Sie auch die anderenMethoden.

Vergleichen Sie die Ergebnisse.


Aufgabe 6Erzeugen Sie drei Vektoren durch

x = rand(2000,1);y = rand(2000,1);z = sin(4 * pi * x). * cos(2 * pi * y);

Plotten Sie zuerst nur die Punkte.

Erstellen Sie Grafiken mit surf , mesh undcontour .

Beschriften Sie die Konturlinien von contour .

Untersuchen Sie den Einfluß der verschiedenenInterpolationsmethoden.


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