Einschaltvorgänge in Stromkreisen mit Kondensatoren und

Widerständen

Inhalt

• Spannungen im Stromkreis bei Reihenschaltung von Kapazität und Widerstand– Analyse der Schaltung nach der Maschenregel

• Spannung über dem Widerstand bei– Anlegen einer Gleichspannung zwischen

Kondensator und Widerstand – „Kurzschließen“ dieses Stromkreises

• Die Zeitkonstante

Uc

UR

I

0,1 F

10 Ω

10

0

-10

10

0

Strom und Spannung im RC Kreis beim Anlegen einer

Spannungsquelle

1

0

-1 -10

Zeit [s]

Zeit [s]

Sp

an

nu

ng

am

Ko

nd

en

sato

r [V

]

Sp

an

nu

ng

am

Wid

ers

tan

d [

V]

U0

Nach Entfernen der Spannungsquelle U0 = 9 V bleibt der Kondensator geladen

A

V

V

Uc

UR

I

0,1 F

10 Ω

10

0

-10

10

0

Strom und Spannung im RC Kreis beim Entladen des Kondensators über den

Widerstand

1

0

-1 -10

Zeit [s]

Zeit [s]

Sp

an

nu

ng

am

Ko

nd

en

sato

r [V

]

Sp

an

nu

ng

am

Wid

ers

tan

d [

V]

A

V

V

Im Beispiel:

R = 10 Ω , C = 0,1 F τ = 1 s

Uc

UR

I

0,1 F

10 Ω

10

0

-10

10

0

Zeitkonstante im RC Kreis

1

0

-1 -10

Zeit [s]

Zeit [s]

Sp

an

nu

ng

am

Ko

nd

en

sato

r [V

]

Sp

an

nu

ng

am

Wid

ers

tan

d [

V]

U0

τ = R·C [s] nach Anlegen der Spannung erreichen die Spannungen über den Bauteilen etwa die Hälfte der Maximalspannung U0

A

V

V

Uc

UR

I

0,1 F

10 Ω

10

0

-10

10

0

Zeitkonstante beim Entladen des Kondensators über den

Widerstand

1

0

-1 -10

Zeit [s]

Zeit [s]

Sp

an

nu

ng

am

Ko

nd

en

sato

r [V

]

Sp

an

nu

ng

am

Wid

ers

tan

d [

V]

A

V

V

Im Beispiel:

R = 10 Ω , C = 0,1 F τ = 1 s

Versuch

• Spannung über dem Widerstand eines RC Kreises bei Anlegen einer Rechteckspannung

U0

0/0 UIRCQ

CQUC /

RIUR

RC Kreis beim Aufladen des Kondensators über den Widerstand

0U

Analyse nach der Kirchhoffschen Maschenregel, Umlauf von + nach – am Kondensator, Quellen von + nach – zählen positiv, im Gegensinn durchlaufene negativ

1 V Kapazitiv

1 V Ohmsch

Spannungen über den Bauteilen

C

tQtU

)()(

)()( tIRtU

1 V(Differential-) Gleichung für die Ladung am Kondensator

Spannungen im RC Stromkreis beim Einschalten einer Gleichspannung U0

dt

tdQR

C

tQU

)()(0

1 CLösungs-Ansatz für die Ladung am Kondensator

1 ADurch Ableitung folgt der Strom

t

eQtQ 1)( 0

t

eQ

dtdQtI

0/)(

1 V Ansatz eingesetzt

1 V Speziell: t=0

1 V Speziell: t=∞

1Zeile 2 dividiert durch Zeile 3

1 s Zeitkonstante

Lösung der Gleichung für die Spannungen im RC Stromkreis

tt

eRQeC

QU

0

00

11

C

QU 00

00

1RQU

RC1

1

RC

1 VSpannung am Kondensator

1 VSpannung am ohmschen

Widerstand

Spannungen über den Bauteilen des RC Kreises bei Einschalten einer Spannung U0

)1(/)()( 0RC

t

C eUCtQtU

RC

t

R eUtIRtU

0)()(

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-2 -1 0 1 2 3 4 5

U C [V]

U R [V]

Zeit [s]

Spannung [V]

UC am Kondensator

UR am Widerstand

Beginn der Aufladung

τ = R·C = 1 [s]

Zeitlicher Verlauf der Spannung an Kondensator ( 0,1 F) und Widerstand (10 Ω) beim Anlegen einer Spannung

IRCQ /0

CQUC /

RIUR

RC Kreis beim Entladen des Kondensators über den Widerstand

Analyse nach der Kirchhoffschen Maschenregel, Umlauf von + nach –

1 V(Differential-) Gleichung für die Ladung am Kondensator

Spannungen im RC Stromkreis beim Entladen des Kondensators

dt

tdQR

C

tQ )()(0

1 CLösungs-Ansatz für die Ladung am Kondensator

1 ADurch Ableitung folgt der Strom

t

eQtQ

0)(

t

eQ

dtdQtI

0/)(

τ = R·C [s]

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-2 -1 0 1 2 3 4 5

Zeitlicher Verlauf der Spannung an Kondensator ( 0,1 F) und Widerstand (10 Ω) beim Entladen des Kondensators

Zeit [s]

Spannung [V]

UR am Widerstand

UC am Kondensator

Beginn der Entladung

Zusammenfassung

Sind Widerstand und Kondensator hintereinander geschaltet, dann erscheint bei Anlegen einer Gleichspannung U0

• Eine Spannungsspitze U0 über dem Widerstand• Von Null ansteigende Spannung über dem Kondensator Die Zeitkonstante τ =RC [s] ist die charakteristische Zeit für

– das Abklingen der Spannungsspitze über dem Widerstand auf etwa die Hälfte der angelegten Spannung

• genauer: Teil 1/e = 0,37

– den Anstieg der Spannung über dem Kondensator auf etwa die Hälfte der angelegten Spannung

• genauer: Teil 1-1/e = 0,63

• Die Spannung über dem Widerstand entspricht der Ableitung der Spannung am Kondensator: „Die RC Schaltung differenziert das anliegende Signal“

Uc

UR

I

0,1 F

10 Ω

10

0

-10

10

0

1

0

-1 -10

Zeit [s]

Zeit [s]

Sp

an

nu

ng

am

Wid

ers

tan

d [

V]

U0

A

V

V

finis