EINSTEIN DE HAAS

E F F E K T

Historischer Aufbau des Einstein - de Haas Experiments in der PTB

(Physikalisch-Technische Bundesanstalt)

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INHALT: EINSTEIN - DE HAAS EFFEKT

Deckblatt .....................................................................................................................................................1

Inhalt: Einstein-de-Haas-Effekt ..............................................................................................................2

Stichworte und Literaturhinweise ...............................................................................................................3

1. Einleitung und historischer Zusammenhang......................................................................................4

2. Gyromagnetisches Verhltnis und Land-Faktor..............................................................................7

3. Berechnung des Land-Faktors mit experimentellen Gren ................................................................9

4. Torsionsschwingungen........................................................................................................................10

4.1 Die Schwingung.........................................................................................................10

4.2 Die Differentialgleichung.......................................................................................11

5. Die Magnetisierung.....................................................................................................................13

5.1 Die Magnetisierung eines Stoffes..............................................................................................13

5.2 Die Hysterese ...........................................................................................................................13

5.3 Berechnung des Magnetfeldes einer Spule...............................................................................14

5.3.1 Durchflutungsgesetz - das Ampresche Gesetz...........................................................14 5.3.2 Magnetfeld eines geraden Leiters................................................................................14 5.3.3 Magnetfeld einer Zylinderspule.......................................................................................15

5.4 Mathematischer Einschub - Fourier-Analyse..........................................................................15

5.5 Berechnung von maxM& ........................................................................................................16 5.5.1 Herleitung von (dM/dt)1 aus der Sttigungsmagnetisierung Ms...............................17 5.5.2 Herleitung von (dM/dt)1 aus genauerer Betrachtung von dM / dt............................19

6. Das Erdmagnetfeld...............................................................................................................................20

6.1 Das Magnetfeld der Erde......................................................................................................20

6.2 Das resultierende Drehmoment............................................................................................20

6.3 Die Abschirmung des Erdmagnetfeldes...............................................................................21

7. Zusammenfassung............................................................................................................................22

8. Der Versuchsaufbau.........................................................................................................................23

9. Aufgabenstellung: Einstein - de Haas Effekt...............................................................................26

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Stichworte gyromagnetisches Verhltnis, Land-Faktor, erzwungene Schwingungen, Magnetisierung, Hysterese, Induktionsgesetz, Erdmagnetfeld, Fourieranalyse, ballistisches Galvanometer

Literatur [1] Paul A. Tipler - Physik

[2] Westphal - Physikalisches Praktikum

[3] Richard P. Feynman - Vorlesungen ber Physik, Band II [4] Halliday/Resnick - Physik 2

[5] Bergmann/Schfer - Elektromagnetismus

[6] A. Einstein und W.J. de Haas - Verh. d. dtsch. Phys. Ges. 1915

Maximilian Schuster /2005

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1. EINLEITUNG UND HISTORISCHER ZUSAMMENHANG

Um 1820 entdeckte H. C. Oerstedt, dass ein elektrischer Strom durch einen Leiter zu einer Auslenkung einer in der Nhe befindlichen Magnetnadel fhrt; dass also ein stromdurchflossener Leiter von einem Magnetfeld umgeben ist.

Man sah sich nun mit dem Problem konfrontiert zwei Arten von Magnetismus unterscheiden zu mssen. Zum einen war es die magnetische Wirkung, die von einem stromdurchflossenen Leiter ausgeht - Mag-netismus durch bewegte Ladung - andererseits waren da die ferromagnetische Stoffe wie Eisen, Kobalt und Nickel, die offenbar magnetisiert werden konnten und somit ein magnetisches Feld besaen, ohne dafr irgendeinen flieenden Strom zu bentigen.

Um gleiche Wirkungen auf gleiche Ursachen zurckzufhren, begab man sich nun auf die Suche nach den elektrischen Strmen (sich bewegende Ladungstrger; im Inneren der ferromagnetischen Stoffe.

Kurz nach Oerstedts Entdeckung stellte A. M. Ampre sein Modell der Molekularstrme vor. Diese Hypothese postulierte elektrische Strme in den Moleklen der Ferromagnetika. Damit lie sich zwar der Ferromagnetismus auf bewegte Ladungstrger zurckfhren, aber es gab ein groes Problem: diese Strme htten widerstandslos flieen mssen und da dies nach damaligem Kenntnisstand unmglich schien, verwarf man die Idee wieder.

In Anlehnung an Rutherfords Vorstellung des Atoms - der Atomkern ist winzig klein im Vergleich zu den Ausmaen des ganzen Atoms - formulierte Niels Bohr 1913 sein Atommodell in Analogie zum Aufbau unseres Planetensystems. Demnach wrden sich die Elektronen auf stationren, kreisfrmigen Bahnen um den Atomkern herum bewegen. Elektronen jedoch, die sich auf einer Kreisbahn um den Kern bewegen, stellen einen reibungsfreien, geschlossenen Stromkreislauf dar und laut Oerstedt erzeugt jeder elektrische Strom auch ein magnetisches Feld. Die Richtung des erzeugten magnetischen Momentes ist fr ein negativ geladenes Teilchen antiparallel zum Bahndrehimpuls (also antiparallel zur Rotationsachse des Elektrons). Aus der Kopplung dieser zwei Achsen folgt, dass wenn man eine davon

dreht, die jeweils andere automatisch mitgedreht wird. Mit Hilfe dieses Modells, so schien es, hatte man endlich die sich bewegenden Ladungstrger, somit die elektrischen Strme und vor allem die elementaren magnetischen Momente im Inneren der ferromagnetischen Stoffe gefunden und man hatte auch das Problem mit dem Widerstand nicht mehr. Aus heutiger Sicht handelt es sich dabei um das mit dem Bahndrehimpuls verknpfte magnetische Moment der Elektronen.

Von Bohrs Modell inspiriert, entwarfen A. Einstein1 und W. J. de Haas ein gyromagnetisches2 Experiment, das sie 1915 in Deutschland durchfhrten. Dieser Versuch sollte beweisen, dass sich das Phnomen des Ferromagnetismus tatschlich auf die magnetischen Momente der einzelnen Elektronen (auf ihren Bahnen um die Kerne) zurckfhren lsst. In einfachen Worten kann man

1 Dies war Einsteins einziges verffentlichtes Experiment. Seine Verffentlichungen betrafen blicherweise die theoretische Physik. 2 gyromagnetisch : kreiselmagnetisch; gyros Kreis, Drehung

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sagen, dass sie ein Magnetfeld auf einen Eisenstab wirken lieen, und dann eine Rotation des Stabes feststellten (Abb.1.2). Die Rotation des Stabes resultiert aus der Erhaltung des Drehimpulses. Wenn sich die magnetischen Momente an dem ueren Magnetfeld ausrichten, dann drehen sich wegen der Richtungskopplung auch die Achsen der Bahndrehimpulse mit und der Eisenstab muss darauf, makroskopisch sichtbar, mit einer Rotation reagieren um den Gesamtdrehimpuls zu erhalten. Aus dieser Rotation und dem angelegten Magnetfeld konnten sie den Land-Faktor im gyromagnetischen Verhltnis33 berechnen, erhielten aber nur sehr ungenaue Werte, die sie als g = 1 interpretierten.

Da in diesen Jahren der erste Weltkrieg die westliche Welt in Atem hielt, wussten Einstein und de Haas nicht, dass S. J. Barnett in den USA bereits 1914 ein ganz hnliches Experiment durchgefhrt hatte. Barnett ging allerdings von dem

umgekehrten Ansatz aus. Er rotierte einen entmagnetisierten Eisenstab und stellte dann, wiederum wegen der Achsenkopplung von magnetischem Moment und Drehimpuls, eine zwar schwache aber dennoch messbare Magnetisierung des Eisenstabes fest. Der von ihm berechnete Land-Faktor betrug jedoch g = 2 (12%).

Wiederholungen des von Einstein und de Haas konzipierten Experimentes zwischen 1918 und 1920 besttigten Barnetts Ergebnis.

Zusammenfassend lsst sich also sagen, dass Einstein und de Haas die richtige Idee hatten, wie man den

Ursachen des Ferromagnetismus experimentell nher kommt, sie irrten sich jedoch bei der Interpretation ihrer Ergebnisse, denn sie gingen davon aus, dass das magnetische Moment von der Bewegung des Elektrons um den Kern herrhrt, dies erklrt auch warum sie g = 1 interpretiert hatten.

Tatschlich verhlt es sich aber so, dass der Effekt hauptschlich durch den Elektronenspin hervorgerufen wird (g = 2!). M. Abraham hatte zwar bereits 1903 gezeigt, dass ein um seine Mittelachse rotierendes, kugelfrmiges Teilchen mit homogener Oberflchenladungsdichte einen g-Faktor von 2 hat, der Elektronenspin als solcher war 1915 aber noch unbekannt.

Als W. Pauli 1925 den Elektronenspin s = / 2 einfhrte, erntete er zunchst Widerspruch, da sich Teile des Elektrons mit berlichtgeschwindigkeit htten bewegen mssen. Heute betrachtet man den Spin

3 Das gyromagnetische Verhltnis y ist der Quotient aus magnetischem Moment und Drehimpuls. Dieses Verhltnis enthlt den so genannten Lande Faktor. Fr ein Elektron auf einer Kreisbahn bekommt man einen Land-Faktor von g = 1; fr den Spin des Elektrons g = 2. (-> Kap. 2)

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Abb 1.3 Analogie zum Einstein - de Haas Effekt

als inneren Freiheitsgrad des Elektrons und verzichtet auf die makroskopische Vorstellung einer rotierenden Kugel.

Im Prinzip gleicht das Einstein-de-Haas-Experiment der bekannten Vorlesungsdemonstration mit Drehstuhl und Schwungrad zur Erhaltung des Drehimpulses. Eine Person sitzt auf dem ruhenden Stuhl whrend eine andere das Rad in Schwung bringt. In dem Augenblick in dem die Person auf dem Stuhl das Rad mit vertikaler Drehachse bernimmt, passiert noch nichts. Wenn aber die Drehachse nun um 180 gedreht wird, dann fngt auch die Person auf dem Stuhl an sich zu drehen. Durch eine weitere Drehung der Drehachse - diesmal um -180 - ndert sich auch der Drehsinn des Systems Stuhl/Person. Man kann nun eine Resonanzschwingung anregen indem man immer dann die Drehachse des Rades umkehrt wenn der Stuhl durch seine Ruheposition geht.

In unserem Fall entspricht das Schwungrad den elementaren magnetischen Momenten der Elektronen und das System Stuhl/Person dem ferromagnetischen Stab.

Der Einstein-de-Haas-Effekt ist wegen g 2 der makroskopische Beweis dafr, dass der Ferro-magnetismus zu ungefhr 95% auf den magnetischen Spinmomenten einzelner Elektronen beruht. Die restlichen 5% rhren von den magnetischen Bahnmomenten dieser Elektronen.

Zum theoretischen Konzept des Experimentes

Obwohl der Ferromagnetismus und damit der Einstein-de-Haas-Effekt eigentlich vorwiegend quanten-mechanische Phnomene sind, beruhen die zum Durchfhren des Experimentes notwendigen theoretischen Grundlagen auf der klassischen Physik.

Der gedankliche rote Faden - sowohl durch die Mappe als auch durch den Versuch - ist, dass man bei der Vorbereitung - genauso wie Einstein und de Haas - davon ausgeht, dass der beobachtete Effekt durch die Drehung der Elektronen um die Atomkerne verursacht wird. Aufbauend auf diese Vorbereitung berechnet man dann den Landschen g-Faktor und erwartet den Wert g = 1. Unter idealen Bedingungen wrde man aber g = 2 erhalten.

Dieses laut Vorbereitung 'falsche' Resultat ist dennoch richtig wenn man eben nicht mehr von der Bahn-drehbewegung der Elektronen ausgeht, sondern von der Eigendrehbewegung (Quantenmechanik!). Die fr diesen Versuch notwendigen, klassisch hergeleiteten Formeln sind auch quantenmechanisch korrekt. (siehe auch die Bemerkung am Ende des 2. Kapitels)

Alle Daten, die man zur Berechnung des Landschen g-Faktors braucht, erhlt man aus dem Magnetfeld der Spule, in der sich der Stab befindet und der Drehung des Stabes.

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2. GYROMAGNETISCHES VERHLTNIS UND LAND-FAKTOR

Das gyromagnetische Verhltnis ist der Quotient aus dem magnetischen Moment und dem Gesamtdreh-impuls eines geladenen Teilchens. Fr ein gegebenes Teilchen und eine bestimmte Rotation - entweder auf einer Kreisbahn oder um sich selbst - ist das Verhltnis zwischen dem Drehimpuls und dem magnetischen Moment unabhngig von der Geschwindigkeit des Teilchens oder dem Radius der Kreisbahn. Es hngt nur von der Ladung und der Masse des Teilchens ab.

Fr ein Elektron auf seiner Bahn um den Atomkern (ohne Bercksichtigung seines Spins) berechnet sich das gyromagnetische Verhltnis folgendermaen:

Magnetisches Bahnmoment Da jedes sich bewegende, geladene Teilchen4 einen

elektrischen Strom darstellt, erzeugt es ein magnetisches Feld dessen Richtung durch das magnetische Moment gegeben ist. Dieses magnetische Moment berechnet sich aus dem Strom und der von der Elektronenbahn eingeschlossenen Flche:

.)(DefAIlrr = (2.1)

Die Stromstrke ist nach Definition die Ladung pro Zeit. Fr das Elektron gilt demnach:

2

)( == miteIr (2.2) Wenn man davon ausgeht, dass die

eingeschlossene Flche ein Kreis ist (A = r2), ergibt sich fr das magnetische Moment die skalare Gre:

2)(21 reAI l ==

r (2.3)

Bahndrehimpuls Der Bahndrehimpuls eines Elektrons auf einer

Kreisbahn ist definiert als

prL rrr = (Def.) (2.4)

vrmerr= .

wobei me die Masse des Elektrons ist, r der Abstand des Elektrons vom Kern, v der Geschwindigkeitsvektor und p der Impuls. Da man die Gren skalar betrachten kann und auerdem

rv rrr = (oder eben skalar v = r) gilt, folgt daraus:

2rmL e= (2.5)

4 Das Neutron (elektrisch neutral) ist berraschenderweise magnetisch nicht neutral. Sein magnetisches Spinmoment entspricht dem einer rotierenden negativen Ladung.

Abb. 2.1 Das magnetische Moment eines geladenen Teilchens auf einer Kreisbahn

Abb. 2.2 Der Bahndrehimpuls eines Teilchens auf einer Kreisbahn

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Das Verhltnis des magnetischen Momentes zum Bahndrehimpuls lautet damit:

Diese klassische Herleitung gilt fr ein Elektron ohne Spin auf einer Kreisbahn. Wenn man nun ein Elektron betrachtet, welches sich nur um sich selbst dreht, ohne sich auf einer Kreisbahn zu bewegen, so erhlt man aus rein quantenmechanischen Grnden - es gibt dafr keine klassische Erklrung - ein gyromagnetisches Verhltnis, das doppelt so gro ist:

Das gyromagnetische Verhltnis eines Teilchens hngt also zum einen von dessen Ladung q und Masse mq ab und zum anderen von der Art der Drehbewegung. Die Art der Drehbewegung spiegelt sich im Land-Faktor - oder auch g-Faktor - wider. g, steht fr eine Kreisbahnbewegung und gs fr eine Eigendrehbewegung 5. gj steht fr die Kombination der beiden Rotationsarten 6, mit J= L+ S.

Das allgemeine Verhltnis yl,s,j> fr ein Teilchen lautet dann:

Bei einem Elektron, welches sich um einen Atomkern bewegt, berlagern sich das magnetische Bahnmoment und das Spinmoment aber letzteres dominiert (~95%). Deshalb haben wir in der Einleitung gesagt der Ferromagnetismus sei ein 'vorwiegend' quantenmechanisches Phnomen.

Bemerkung Eine quantenmechanische Herleitung der Gleichungen (2.7) bzw. (2.10) wrde vertiefte Kenntnisse der

Quantenelektrodynamik voraussetzen, wir wissen aber, dass sie korrekt sind. Die Gleichungen (2.6) bzw. (2.9) sind - wie in der Einleitung bereits erwhnt - ebenfalls quantenmechanisch korrekt sind, obwohl wir sie klassisch hergeleitet haben.

Dies ist der Grund warum wir die ganze Herleitung klassisch - und damit einfacher zu verstehen - gehalten haben, denn das Ergebnis ist auch quantenmechanisch richtig. Und das ist auch der Grund warum das klassisch 'falsche' Resultat g = 2 so einfach quantenmechanisch als richtig interpretiert werden kann.

5 Zahlenwerte fr gs : theoretisch gs = 2,002 319 304 76 ; experimentell gs = 2,002 319 304 82 6 Der Bahndrehimpuls L und der Eigendrehimpuls S addieren sich zum Gesamtdrehimpuls J.l , s und j sind die zugehrigen Quantenzahlen.

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3. BERECHNUNG DES LAND-FAKTORS MIT EXPERIMENTELLEN GRSSEN

Da sich das magnetische Moment und der Drehimpuls eines Elektrons nicht unmittelbar messen lassen, muss man zur Berechnung des Land-Faktors auf andere, experimentell bestimmbare Megren zurckgreifen. Dazu gehen wir von der Gleichung (2.9)7 aus:

L

emg lel =

2 (3.1)

Die Magnetisierung M eines ferromagnetischen Stabes ist gleich dem Quotienten aus dem gesamten magnetischem Moment und dem Volumen des Stabes (siehe Gl.(5.1)). In unserem Fall ist das gesamte magnetische Moment r Stab = Nr l, wobei r l das magnetische Bahnmoment eines einzelnen Elektrons ist. N ist die Anzahl der ungepaarten Elektronen im Stab deren Spin- beziehungsweise Bahndrehimpulse nicht kompensiert sind; die anderen Elektronen sind in tieferen, abgeschlossenen Schalen der Atome, wo sich deren Impulse zu Null summieren. Demnach gilt fr die Magnetisierung:

Stab

Stab

VMrr = (Def.)

Stab

l

VNMrr = (3.2)

Fr den Gesamtdrehimpuls des Stabes gilt:

LNLStabrr = ( Lr ist der Bahndrehimpuls eines einzelnen Elektrons) (3.3)

Wenn man nun die Gleichungen (3.2) und (3.3) nach r beziehungsweise Lr auflst und die Betrge in Gleichung (3.1) einsetzt, so erhlt man:

Stab

Stabel L

VMe

mg =2

(3.4)

Man beachte, dass die Anzahl N der ungepaarten Elektronen durch diese Quotientenbildung wegfllt. Aufgrund der Torsionsschwingung des Stabes in unserem Experiment sind die Magnetisierung und der Drehimpuls des Stabes Funktionen der Zeit, also M(t) und LStab(t). Was man also in Gleichung (3.4) eigentlich betrachtet, sind die zeitlichen nderungen dieser Gren:

max

max2DMV

emg Stabel

&= mit )()()( tLdtdtLtD == & (Def.) (3.5)

Somit htten wir den Land-Faktor auf die experimentell bestimmbaren Gren 'zeitliche nderung der

Magnetisierung' dM(t)/dt und Drehmoment D(t) das auf den Stab wirkt, zurckgefhrt, da alles andere Konstanten sind. Zur expliziten Berechnung des g-Faktors in Gleichung (3.5) betrachten wir die zwei Gren zu dem Zeitpunkt in dem die jeweiligen Amplituden maximal sind - also maxM& und Dmax

max

max2DMV

emg Stabel

&= (3.6) maxM& und Dmax werden in den nun folgenden Kapiteln 4 bzw. 5 hergeleitet.

7 An der Vektorform der Gleichung (2.9) kann man sehen, dass das magnetische Bahnmoment und der Bahndrehimpuls des Elektrons antiparallel zueinander sind, und es wird klar, dass eine Richtungsnderung des magnetischen Momentes zu einer nderung des Drehimpulses, also zu einem Drehmoment D fhrt:

Lmeg

ell

rr2=

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4. TORSIONSSCHWINGUNGEN

Ziel dieses Kapitels ist es, die fr uns notwendigen theoretischen Grundlagen der Torsionsschwingungen zu verdeutlichen und eine Formel fr das maximale Drehmoment D., welches man zur Berechnung des g-Faktors braucht ( Gl. (3.6)), zu finden.

Wie schon in der Einleitung erwhnt, beruht der Einstein - de Haas Effekt darauf, dass sich der Stab aufgrund der Drehimpulserhaltung dreht. Man schickt also einen Strom durch die Spule, in der der Stab hngt; durch das uere Magnetfeld werden die elementaren magnetischen Momente ausgerichtet und dadurch auch die Bahn- beziehungsweise Spindrehimpulse der Elektronen. Diese nderung der Drehimpulse fhrt zu einem Gesamtdrehmoment, auf das der Stab mit einer makroskopischen Drehung in umgekehrter Richtung reagiert.

Einstein und de Haas benutzten in ihrem Versuch einen groen Kondensator, der bei seiner Entladung den Strom fr die Spule zur Verfgung stellte. Die daraus resultierende Drehung des ferromagnetischen Stabes war aber wegen des kurzzeitigen Stromstosses ziemlich klein und die Magnetisierung des Stabes erst recht. Eine diesbezgliche Verbesserung des Versuchsaufbaus besteht darin, die Spule mit Wechselstrom zu betreiben. Der Vorteil dabei ist, dass der Stab zu einer Torsionsschwingung angeregt wird und im Falle der Resonanzschwingung wird die Drehung des Stabes so verstrkt, dass die gemessenen Daten um einiges prziser werden.

4.1 Die Schwingung

Die hier betrachtete Schwingung ist eine erzwungene, harmonische Torsionsschwingung mit schwacher Dmpfung. Erzwungen ist die Schwingung, weil das System von auen durch einen cosinusfrmigen Strom angeregt wird und die schwache Dmpfung beruht auf den Torsionseigenschaften des Glasfadens an dem der ferromagnetische Stab hngt.

Nach der Einschwingphase dreht sich der Stab mit der Anregefrequenz der Spule. Je weiter die Anregefrequenz err von der Eigenfrequenz 0 der ungedmpften Schwingung entfernt ist, desto kleiner wird die Amplitude der Drehung. Nhert man sich hingegen mit der Erregerfrequenz der Eigenfrequenz, so wird die Amplitude immer grer und fr eine schwache Dmpfung (02 2), wie hier der Fall, erreicht man fr err 0 die maximal mgliche Amplitude ( Abb. 4.1). Die Resonanzkurve hat eine Breite von D = 2 bei der Amplitude 2 .

Nach Abschalten des Spulenstroms fllt die Erregerschwingung weg und der Stab geht mit einer gedmpften Schwingung langsam zurck in seine Ruheposition. Die Drehamplitude nimmt dabei exponentiell ab und wird deshalb durch ihre Einhllende beschrieben, wie man in Abbildung 4.2 sehen kann:

tet = )( (4.1) Dabei ist der Winkel um den sich der Stab

dreht und die Dmpfungs- oder Abklingkonstante. Die Dmpfungskonstante lsst sich mit Hilfe von Gleichung (4.1) oder alternativ aus der Breite der Resonanzkurve bestimmen.

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4.2 Die Differentialgleichung

Die Bewegungsgleichung fr eine erzwungene, harmonische Torsionsschwingung mit schwacher Dmpfung lautet:

)cos(2 max20 errD =++ &&& (Def.) (4.2)

Dmax bezeichnet die maximale, reelle Amplitude des Drehmomentes wie in Kapitel 3. Um einfacher rechnen zu knnen, betrachten wir diese Gleichung als Realteil folgender Differentialgleichung:

ti erreD max2

02 =++ &&& (4.3) Dabei bezeichnet die Dmpfungskonstante

0 die Eigenfrequenz der ungedmpften Schwingung

D die komplexe Amplitude des Drehmomentes das Trgheitsmoment des Stabes

err die Erregerfrequenz.

Mathematisch gesehen ergibt sich die allgemeine Lsung dieser inhomogenen Differentialgleichung aus der allgemeinen Lsung der zugehrigen homogenen Differentialgleichung plus eine spezielle Lsung der Inhomogenen. Um Dmax zu bestimmen, brauchen wir aber die allgemeine Lsung nicht, wenn wir nach Einschalten des Wechselstromes nach (4.1) einige -1 warten (die Einheit von -1 ist [s]). Wir knnen einen Ausdruck fr Dmax aus der speziellen Lsung der Inhomogenen herleiten.

Nach der Einschwingphase schwingt der Stab mit der Erregerfrequenz. Die Funktion (err, t), welche diese Drehung beschreibt, ist die stationre Lsung der Differentialgleichung (4.3) und man macht folgenden Ansatz (0 ist die komplexe Amplitude):

tierr

erret 0),( = (4.4) Die Gleichung (4.4) leiten wir zwei Mal nach der Zeit ab, setzten es in Gleichung (4.3) ein und krzen den Exponentialterm:

Di errerr =++ 020020 2 (4.5)

Umstellung nach D liefert:

( )( )errerr iD 2 220 += (4.6) Der Betrag von D ist das in Kapitel 3 gesuchte, maximale, reelle Drehmoment Dmax:

( ) ( )( )2222022max 2 errerrDD +== (4.7) ( ) ( )22220max 2 errerrD += .

Wie wir in diesem Kapitel weiter oben bereits gesehen haben, ist nur die Resonanzschwingung fr uns interessant, weil in diesem Fall die Drehamplitude des Stabes sehr gro wird. Das heit, da wir uns nicht fr irgendeine Drehamplitude 0 bei irgendeiner Erregerfrequenz 0, interessieren, sondern fr die Drehamplitude im Resonanzfall - also Res und Res.

Um diese zwei Gren mit Dmax in Verbindung zu bringen, stellen wir zuerst die Gleichung (4.7) nach 0 um:

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( ) 22220max

04

1

errerr

D += (4.8)

Da die maximale Amplitude der Drehung von der Anregefrequenz abhngt, erhalten wir durch Nullsetzung der ersten Ableitung von 0 nach 0, die Bedingung dafr, dass die Amplitude maximal wird und somit die Schwingung in Resonanz ist - wir erhalten also die Resonanzfrequenz und die Resonanzamplitude:

00 =errd

d

(4.9)

220Re 4 == serr (4.10)

Die Gleichung (4.10) in (4.8) eingesetzt liefert die Resonanzamplitude Res:

0

maxRe 2

1

Ds = (4.11)

Da wir es mit einer schwach gedmpften Schwingung zu tun haben, gilt in Gleichung (4.10) 02 2 und somit folgt Res 0. Fr die Gleichung (4.11) bedeutet das:

ssD ReRemax 2= (4.12)

Damit haben wir das maximale Drehmoment, wie wir es in Kapitel 3, Gleichung (3.6) gesucht hatten.

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5. DIE MAGNETISIERUNG

Bevor wir in Kapitel 5.5 mit der Berechnung von maxM& beginnen, wollen wir zuerst ein paar Grund-lagen zum Thema Magnetisierung wiederholen, da wir spter auf sie zurckgreifen werden.

5.1 Die Magnetisierung eines Stoffes

Wenn im Inneren eines Stoffes die elementaren, magnetischen Dipolmomente ausgerichtet werden, so sagt man das Material sei magnetisiert. Diese Magnetisierung M

v ist definiert als resultierendes

magnetisches Moment pro Volumeneinheit:

dVdMrr = (Def.) (5.1)

Dies bedeutet, dass ein magnetisierter ferromagnetischer Stab sein eigenes Magnetfeld hat. Wenn man eine gleichmige Magnetisierung voraussetzt, so ergibt sich fr das magnetische Feld des Stabes:

MBStabrr

0= (5.2) Betrachten wir nun eine lange Zylinderspule. Bringt man den Stab in die Spule, so wird er durch das

Hr

-Feld der Spule magnetisiert und besitzt die Magnetisierung Mr

. Innerhalb der Spule setzt sich dann das resultierende Magnetfeld SpuleB

r aus dem von der Spule erzeugten Feld SpuleH

r0 und dem Magnetfeld

des magnetisierten Stabes Mr

0 zusammen:

( )MHB SpuleSpule rrr += 0 (5.3) Dabei ist H

r die durch den Spulenstrom hervorgerufene magnetische Erregung und B

r die aus H

r und

Mr

resultierende magnetische Flussdichte.

5.2. Die Hysterese

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Wird ein entmagnetisierter, ferromagnetischer Stoff einem oszillierenden ueren Magnetfeld ausgesetzt, so werden im Inneren die elementaren magnetischen Momente ausgerichtet und der Stoff wird magnetisch. Mit steigendem Magnetfeld H

r nimmt auch die Magnetisierung M

r des Materials zu; bis zur

Sttigung (X). Selbst wenn dann Hr

noch weiter zunimmt, bleibt die Magnetisierung dieselbe. Wird das uere Magnetfeld wieder auf Null zurckgefahren, stellt man fest, dass M

r nicht ebenfalls bei Null ist.

Es ist ein Remanenzfeld und eine Remanenzmagnetisierung brig geblieben (Y). Um die Magnetisierung auf Null zu bringen, muss man das H

r-Feld umpolen und bis zur Strke des Koerzitivfeldes steigern (Z).

Mit zunehmendem uerem Magnetfeld erreicht die Magnetisierung die umgekehrte Sttigung ([). (Abb. 5.1)

5.3 Berechnung des Magnetfeldes einer Spule

5.3.1 Durchflutungsgesetz - das Ampresche Gesetz

In speziellen, symmetrischen Fllen, wie bei einem gerader Leiter oder einer Spule, kann das Durchflutungsgesetz dazu benutzt werden, das erzeugte Magnetfeld in Abhngigkeit vom angelegten Strom zu berechnen. Dabei verknpft dieses Gesetz die Tangentialkomponente des magnetischen Feldstrke H

r mit dem Strom Ic , der durch die Flche hindurchfliet, die von einer Kurve C umrandet

wird ( ldr

ist ein infinitesimal kleines Stck auf dieser Kurve). Die Kurve C luft entlang einer Magnetfeldlinie. Die Formel wird klarer wenn man sich die Abbildung 5.2 zum geraden Leiter anschaut.

CC

IldH = rr ; C ist eine beliebige, geschlossene Kurve (Magnetfeldlinie) (5.4) Das Durchflutungsgesetz kann aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet werden:

==+=C F

CIfdjldHDjHrotrrrr&vrr (fr D&

r= 0) (5.5)

5.3.2 Magnetfeld eines geraden Leiters

Dieser Abschnitt soll dem besseren Verstndnis des Durchflutungsgesetzes dienen.

Wie wir wissen, laufen die Magnetfeldlinien immer senkrecht zum elektrischen Leiter (Rechte-Hand-Regel). Das Durchflutungs-gesetz integriert nun die Tangential-komponente des Magnetfeldes entlang der Kurve C - also entlang einer Magnetfeldlinie - und setzt es gleich dem Strom, der durch die Flche fliet, die von C umrandet wird.

Die Strke des radialen Magnetfeldes nimmt mit dem Abstand r zum Leiter ab. Das bedeutet, dass auf einem Kreis mit Radius r um den Leiter das Feld konstant ist. Je grer der Radius ist, desto schwcher wird das Feld.

Somit sind wir in der Lage das Hr

-Feld des geraden Leiters anzugeben. Da die Kurve C ein Kreis mit Radius r um den Leiter ist und I der Strom im Leiter, ergibt sich aus dem Durchflutungsgesetz:

===C r

IHIrHldH 22rr

(5.6)

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5.3.3 Magnetfeld einer Zylinderspule

Im Zusammenhang mit unserem Experiment interessiert uns nur das Magnetfeld innerhalb der Spule, da der Stab in der Spule hngt. Das Feld auerhalb hat fr uns keinerlei Bedeutung. Das Feld innerhalb der Spule sollte jedoch mglichst homogen sein. Aus diesem Grund benutzen wir eine lange, dicht gewickelte Spule, bei der die Lnge gro ist, im Verhltnis zum Durchmesser.

Fr eine solche Spule kann man das uere Magnetfeld vernachlssigen. Dies bedeutet, dass nur der Teil der Kurve C, der innerhalb der Spule luft, zum Integral beitrgt - dies ist aber gerade die Lnge 1 der Spule. Der Strom, der durch die von C umrandete Flche fliet, ist gleich dem angelegten Strom multipliziert mit der Anzahl N der Windungen der Spule. Da der Integrationsweg wieder entlang einer Magnetfeldlinie verluft, ist H

r entlang dieses Weges konstant.

Aus dem Durchflutungsgesetz folgt dann:

lIN

HINlHldH SpuleC

Spule

=== rr (5.7)

5.4 Mathematischer Einschub - Fourier-Analyse

Jede periodische Funktion f(t) kann durch eine Fourierzerlegung mathematisch als Fourierreihe beschrieben werden, das heit als Summe von sinus- beziehungsweise cosinusfrmigen Teilschwingungen.

( )=

+=0

00 )sin()cos()(n

nn tnbtnatf (5.8) Die Fourierkoeffizienten an und bn sind definiert wie folgt:

= Tn dttntfTa 0 0 )cos()(2

= Tn dttntfTb 0 0 )sin()(2

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5.5 Berechnung von maxM& Das Magnetfeld der Feldspule wird mit Hilfe eines cosinusfrmigen Wechselstromes erzeugt, woraus

mit Gleichung (5.6) folgt, dass H(t) ebenfalls cosinusfrmig sein wird:

)cos()( Re tIlNtH s= (5.9)

Aufgrund der Hystereseeigenschaft des ferromagnetischen Stabes wird die zeitliche Entwicklung der Magnetisierung und von SpuleB

r, nicht ebenfalls cosinusfrmig sein; vielmehr wird die Amplitude im

Bereich der Sttigung abgeplattet sein. Und das wiederum fhrt zu dem zackenfrmigen Aussehen der zeitlichen Ableitung der Magnetisierung. Die Spitzen der Kurve werden immer mehr zu -Peaks, je weiter man den Stab in die Sttigung fhrt. Wenn man also die maximale Amplitude des ueren Magnetfeldes so whlen wrde, dass die Magnetisierung des Stabes an den Umkehrpunkten exakt die Sttigungsmagnetisierung erreichen wrde, dann wren alle drei Funktionen - das Magnetfeld der Spule, die Magnetisierung des Stabes und dessen zeitliche Ableitung - ziemlich genau cosinus- beziehungsweise sinusfrmig (Abb. 5.1).

Da im Resonanzfall hauptschlich nur die erste Fourierkomponente des Drehmomentes als Anregung wirkt, ist es gnstig die zeitliche nderung der Magnetisierung in eine Fourierreihe zu entwickeln und nur noch mit der Grundschwingung (also n = 1) weiterzuarbeiten. Wie man in Abb. 5.5 sieht, trgt die 2. Fourierkomponente nicht zur Amplitude der Magnetisierungsnderung bei und die weiteren Komponenten haben bereits eine so kleine Amplitude, dass man sie vernachlssigen kann.

Aus diesem Grund werden wir ab jetzt die maximale Amplitude der Magnetisierungs-nderung maxM& , mit der maximalen Amplitude der ersten Fourierkomponente abschtzen. Das heit, wir werden diesen ersten Fourierkoeffizienten anstelle von maxM& in die Formel fr den Land-Faktor einsetzen (Gl. (3.6)).

Die Funktion dM/dt ist ungerade (d.h. dM/dt(t0)= - dM/dt(-t0)) und deshalb fllt der cosinusfrmige Teil der Fourierzerlegung weg; auerdem wird aus der Frequenz 0 in Gleichung (5.8) unsere Resonanzfrequenz Res:

)sin( Re1

tndt

dMdt

dMs

nn

=

= (5.10)

Der uns interessierende erste Koeffizient ergibt sich fr n=1 zu

=T

s dttdtdM

TdtdM

0Re

1

)sin(2 (5.11)

Und unsere weiter oben gemachte Abschtzung liefert

1max

dtdMM& (5.12)

Um die nderung der Magnetisierung messen zu knnen, mssen wir in unsere Feldspule (Sl mit Nl Windungen) eine Induktionsspule (S2 mit N2 Windungen) bringen, um dann aus der Induktionsspannung einen Ausdruck fr die zeitliche Ableitung der Magnetisierung herleiten zu knnen.

17

Die induzierte Spannung wird erzeugt durch:

)(0 MHtBErot

rr&rr +== (5.13)

Das Induktionsgesetz besagt, dass durch einen zeitlich vernderlichen magnetischen Fluss eine Spannung in der Induktionsspule induziert wird.

=dtdNUind 2 (5.14)

Ganz allgemein ist der magnetisch Flu durch eine beliebig geformte Flche F definiert als:

==F F

ndFBfdBrrr

(Def.) (5.15)

Hierbei bezeichnet Bn den Anteil des Magnetfeldes, der senkrecht auf dem Flchenelement dF steht. Da in unserem Versuch auch die nderung des magnetischen Flusses auerhalb des Stbchens zu bercksichtigen ist, ergibt sich

+=

Spule StabF F

dFMdFHrr

0 (5.16)

( )MFHF StabSpule += 0

+=dt

dMFdt

dHFdtd

StabSpule0 (5.17) FSpule und FStab sind die Querschnittsflchen der Induktionsspule beziehungsweise des Stabes.

Fr die Induktionsspannung ergibt sich damit:

dtdMFN

dtdHFNU StabSpuleind 2020 += (5.18)

Wir werden in den folgenden zwei Kapiteln zwei Arten kennen lernen wie man (dM / dt) herleiten kann. Einmal aus der Sttigungsmagnetisierung und einmal ber den zeitlichen Verlauf der Magnetisierungs-nderung. Beide Varianten beginnen mit der Amplitude der Grundschwingung, also mit dem ersten Fourierkoeffizienten wie er in der Gleichung (5.11) definiert ist. Die zweite Variante fhrt zu einem genaueren Wert fr (dM / dt).

5.5.1 Herleitung von (dM/dt)1 aus der Sttigungsmagnetisierung Ms

Unter der Annahme, dass die Peaks der Magnetisierungsnderung schmal sind gegenber der Periodendauer T, kann man (dM/dt)1 aus der Sttigungsmagnetisierung ableiten. Der Ausgangspunkt unserer berlegungen ist die Definition des ersten Fourierkoeffizienten der Magnetisierungsnderung:

=T

s dttdtdM

TdtdM

0Re

1

)sin(2 (5.19)

Die schmalen Peaks bedeuten im Idealfall, da dM/dt = 0 ist, auer fr Res = /2 ( t = T/4) und Res= 3/2 ( t = 3T/4). Daraus folgt

+=T TT

T

s dtdtdMdt

dtdMdtt

dtdM

0 2/

2/

0Re )2/3sin()2/sin()sin(

18

= TT

T

dMdM2/

2/

0

( ) ( ))2/()()0()2/( TMTMMTM = (5.20)

Mit MS = M(0) = M(T) = -M(T/2) folgt daraus

S

T

s MdttdtdM 4)sin(

0Re = (5.21)

Damit haben wir das Integral in Gleichung (5.19) gelst und es ergibt sich:

TM

dtdM S8

1

=

(5.22)

Nun muss man mit Hilfe der Induktionsspannung einen Ausdruck fr die Sttigungsmagnetisierung finden. Dazu gehen wir von Gleichung (5.18) aus und integrieren auf beiden Seiten von 0 bis T/2. Diese Integrationsgrenzen ergeben sich aus der Bedingung, dass das Integral nicht Null wird.

+= 2/0

20

2/

020

2/

0

T

Stab

T

Spule

T

ind dtdtdMFNdt

dtdHFNdtU

+= 2/0

20

2/

0ReRe

120 )sin(

T

Stab

T

ssSpule dMFNdtTIlNFN

+

===

44 344 214434421SM

StabsSpule MTMFNTI

lNFN

2

20

)1(

Re1

20 )0(2)0cos(

2cos

SStabSpule MFNIlNFN 20120 22 = (5.23)

Dadurch folgt fr die Sttigungsmagnetisierung:

Stab

SpuleT

indStab

S FF

lINdtU

FNM

21 1

2/

020

= (5.24)

Mit Gleichung (5.22) ergibt sich daraus:

Stab

SpuleT

indStab F

FTl

INdtUFNTdt

dM 84 12/

0201

+=

(5.25)

Den Wert des Integrals in (5.25) kann man mit Hilfe eines Galvanometers bestimmen ( Kap. 8).

19

5.5.2 Herleitung von (dM/dt)1 aus genauerer Betrachtung von dM / dt

Wenn man die Bedingung der schmalen Peaks weglsst, kann man nicht mehr davon ausgehen, dass die Magnetisierungsnderung fr fast alle Zeitpunkte gleich Null ist. Stattdessen leiten wir aus der Gleichung (5.17) einen Ausdruck fr die zeitliche nderung der Magnetisierung her

=dt

dHFdtd

FdtdM

SpuleStab

00

1 (5.26)

und setzen es in den 1. Fourierkoeffizienten (Gl. (5.11)) ein:

=

T

sSpuleStab

dttdt

dHFdtd

TFdtdM

0Re0

01

)sin(2

=

444 3444 21444 3444 21

11

0Re0

0Re

0

)sin(2)sin(21

dtB

T

sSpule

dtd

T

sStab

Spule

dttdt

dHT

Fdttdtd

TF (5.27)

+=

=

44 344 21444 3444 21

2/

0Re

21Re0

)(

0Re

20

)(sin2)sin(211

1 T

T

ssSpule

U

T

sindStab

dttl

NIT

FdttUTNF

ind

{ lFFIN

KUFNdt

dMStab

Spules

Eichfaktorind

Stab

Re11

201

)(1

+=

(5.28)

Der erste Fourierkoeffizient der Induktionsspannung (Uind)1 in Gleichung (5.28) lsst sich ber eine

Rechtecksumme anhand eines Oszilloskopbildes berechnen, jedoch muss der Wert mit Hilfe des Faktors K geeicht werden, da die Auflsung des Oszilloskops nicht gro genug ist ( Kap. 8).

Der Eichfaktor ergibt sich durch:

)(

)(

2/

0

2/

0

pOszilloskodemmitgemessendtU

erGalvanometdemmitgemessendtUK T

ind

T

ind

= (5.29)

20

6. DAS ERDMAGNETFELD

In diesem Kapitel wollen wir zeigen warum und wie man bei unserem Experiment das Erdmagnetfeld abschirmen sollte.

6.1 Das Magnetfeld der Erde

Bis heute ist es der Wissenschaft nicht gelungen eine umfassende Erklrung fr den Erdmagnetismus zu finden. Man geht davon aus, dass flssige Materie im Erdkern durch kreisende, so genannte Konvektionsstrme das Magnetfeld erzeugt.

Bereits im 17. Jahrhundert fand man heraus, dass die Kompassnadel nicht berall auf der Erde in die geographische Nordrichtung zeigte. Der Winkel zwischen der geographischen Nordrichtung und der magnetischen Nordrichtung heit Deklination. Man muss zwischen zwei Polachsen unterscheiden: die geographische Nord-Sd-Achse, die nichts

anderes ist als die Rotationsachse der Erde und die magnetische Nord-Sd-Achse, die durch die magnetischen Pole der Erde festgelegt wird. Der Winkel zwischen den beiden Achsen betrgt ungefhr 12. Aus einiger Entfernung von der Erde betrachtet, lsst sich das Erdmagnetfeld mit dem Feld eines Dipols vergleichen. Die Magnetfeldlinien schlieen an den magnetischen Polen einen Winkel von 90 mit der Erdoberflche ein, wohingegen die Feldlinien am magnetischen quator parallel zur selben verlaufen. Diesen Winkel, den die Magnetfeldlinien mit der Erdoberflche einschlieen, nennt man Inklination und er hat an jedem Ort auf der Erde einen charakteristischen Wert. An Orten auf dem gleichen magnetischen Breitenkreis ist auch die Inklination gleich. In Deutschland betrgt die Deklination ungefhr l in westlicher Richtung und die Inklination ungefhr 60.

Aufgrund der Neigung des Erdmagnetfeldes an der Erdoberflche, kann man es in eine Horizontal- und eine Vertikalkomponente zerlegen. Fr unseren Versuch ist nur die Horizontalkomponente von Bedeutung.

6.2 Das resultierende Drehmoment

Ein magnetisierter Stab erfhrt in einem homogenen Magnetfeld ein Drehmoment, welches senkrecht zu dem magnetischen Moment des Stabes und zu dem Magnetfeld steht:

BDrrr = (6.1)

Diesen Effekt kennt man von der Kompassnadel. Die Nadel selbst ist ein magnetisierter Zeiger aus Metall, der im lokal homogenen Erdmagnetfeld ein Drehmoment erfhrt. Das Drehmoment wirkt solange bis die zwei magnetischen Achsen antiparallel zueinander stehen.

Der Stab aus unserem Versuch reagiert auf das Magnetfeld der Erde sehr hnlich. Er versucht sich wegen seines magnetischen Momentes antiparallel zur horizontalen Komponente des Erdmagnetfeldes zu drehen.

21

Da sein magnetisches Moment mit der Anrege-frequenz der Spule oszilliert, ndert sich auch jedes Mal die Richtung des Drehmomentes und es kommt zu einer transversalen Schwingung des Stabes.

Wegen der Modenkopplung (Interferenz der transversalen Schwingung mit der Drehschwingung) wird dadurch die Drehamplitude sehr gro. Dieser Effekt wird zustzlich noch verstrkt wenn der Stab nicht gut in der Spule zentriert wird.

Um diese Probleme zu vermeiden, ist erstens auf eine mglichst gute Zentrierung des Stabes zu achten, und zweitens muss die horizontale Komponente des Erdmagnetfeldes kompensiert werden. Die vertikale Komponente des Feldes kann man vernachlssigen, da ihre Richtung bereits mit der Richtung des magnetischen

Momentes des Stabes bereinstimmt und es somit zu keiner Schwingung kommt.

6.3 Die Abschirmung des Erdmagnetfeldes

Um das Erdmagnetfeld zu kompensieren, benutzen wir ein Paar Helmholtzspulen, deren Abstand dem Radius der Spulen entspricht. Auf diese Weise erhlt man im Zentrum des Raumes, der von ihnen eingeschlossen wird, einen faustgroen Bereich in dem das Magnetfeld homogen ist. Man muss die Spulen dann an der Horizontalkomponente des Erdmagnetfeldes ausrichten und den Stab so aufhngen, dass er sich in diesem zentralen Bereich befindet. Die korrekte Richtung der Spulen kann man mit Hilfe einer Kompanadel ermitteln. Die richtige Feldstrke erhlt man ber die maximale Drehamplitude des Stabes. Wie wir vorher schon gesehen haben, wird die Drehamplitude durch den Einfluss des Erdmagnetfeldes grer; das heit, da die maximale Drehamplitude ein Minimum erreicht wenn das Feld gnzlich kompensiert wurde. Man probiert also verschiedene Feldstrken an den Spulen und versucht die Drehamplitude zu minimieren; wenn man das Minimum erreicht hat, ist dies die richtige von den Helmholtzspulen erzeugte Feldstrke.

22

7. ZUSAMMENFASSUNG

Fassen wir kurz die Schritte und Formeln zur Berechnung des g-Faktors zusammen. Die Herleitungen der Formeln kann man in den vorangegangenen Kapiteln nachlesen.

Wir gehen vom gyromagnetischen Verhltnis aus, welches ber das magnetische Bahnmoment und den Bahndrehimpuls des Elektrons definiert ist.

el

ll m

egL

2== (7.1)

Da sich l und L nicht unmittelbar messen lassen, mssen wir den g-Faktor auf die experimentell messbaren, zeitlich vernderlichen Gren Magnetisierung und Drehmoment zurckfhren, die wir in dem Augenblick betrachten, in dem sie ihren Maximalwert erreichen.

max

max2DMV

emg Stabel

&= (7.2)

Um das maximale Drehmoment aus der Torsionsschwingung des Stabes zu bestimmen, sehen wir uns die dazugehrige Bewegungsgleichung

)cos(2 max20 tD

err =++ &&& (7.3) nher an und finden den Ausdruck:

ssD ReRemax 2= (7.4) Da die Magnetisierung, im Unterschied zum Magnetfeld der Feldspule, nicht cosinusfrmig verluft

sondern im Bereich der Sttigung ein Plateau aufweist, ist die Magnetisierungsnderung, genauso wie die induzierte Spannung, durch Peaks charakterisiert, die umso schmaler werden je weiter man den Stab in die Sttigungsmagnetisierung bringt. Mit Hilfe der Fourieranalyse knnen wir die maximale nderung der Magnetisierung durch den ersten Fourierkoeffizienten abschtzen:

1max

dtdMM& (7.5)

Wenn wir nun die letzten zwei Ergebnisse in Gl. (7.2) einsetzen, bekommen wir

1ReRe

= dt

dMe

Vmgss

Stabel (7.6)

Zur Erinnerung: das Trgheitsmoment eines homogenen Zylinders, der um seine Lngsachse rotiert, ist gegeben durch = 1/2mR2.

(dM/dt)1 lt sich anschlieend auf zwei Arten bestimmen. Einmal aus der Sttigungsmagnetisierung:

Stab

SpuleT

indStab F

FTl

INdtUFNTdt

dM 84 12/

0201

+=

(7.7) und zweitens, genauer aus dem zeitlichen Verlauf der Magnetisierungsnderung:

{ lFFIN

KUFNdt

dMStab

Spules

Eichfaktorind

Stab

Re11

201

)(1

+=

(7.8) Benutzen sie die Gleichung (7.6) als Ausgang fr die Fehlerrechnung.

23

8. Der Versuchsaufbau

Spulen Laser Sinusgenerator Oszilloskop Galvanometer 2. Spiegel Rechner

Glasfaden Feldspule

Spiegel

Skala

Helmholtz-Spulen

24

Schaltung zur Eichung des Galvanometers:

Das ballistische Spiegelgalvanometer

Galvanometer sind im physikalischen Sinn fast ideale (rauschfreie und lineare) Messgerte fr kleinste elektrische Signale. Das Funktionsprinzip beruht darauf, dass der zu messende Strom durch eine Bndchenspule fliet, die sich dann in einem Magnetfeld verdreht. In unserem Experiment haben wir ein Spiegelgalvanometer, welches statt eines Zeigers einen Spiegel zur Ablenkung eines Lichtstrahls hat. Dadurch dass die Trgheit des Zeigers wegfllt, ist die Messgenauigkeit erheblich gesteigert.

25

Ein ballistisches Galvanometer ist so aufgebaut, dass es sehr trge in Relation zu dem ankommenden elektrischen Impuls reagiert, das heit, es mit nur die Menge der ankommenden Ladungen, von der zeitlichen Verteilung dieser Ladungen merkt es nichts und dementsprechend ist der Ausschlag A0 proportional zur Ladung. Der Proportionalittsfaktor (die so genannte Galvanometerkonstante) kann aber nicht berechnet werden; sondern mu empirisch bestimmt werden. Die Kalibrierung wird anhand von Messungen mit bekannten Ladungen nach der Formel Q = CU mit genau bekannten Spannungen vorgenommen.

Man kann sagen, dass das Galvanometer ber die Zeit integriert denn die Ladung, die es misst ist

=== dtURIdttIQ ind1 (8.1) Der Zeitraum, ber den das Galvanometer bei der Messung in Aufgabe c) integriert, entspricht einer

Magnetfeldnderung von BBSpule = bis BSpule = 0, also von t = 0 bis t = T /4. Der Wert, den man misst ist also (1/R) 0T/4 Uinddt. Fr die Bestimmung der Sttigungsmagnetisierung muss man danach nur noch beachten, dass 0T/2 Uind dt = 2 0T/4 Uind dt ist.

Whrend der Messung besteht der Stromkreis aus der Induktionsspule, dem Widerstand und dem Galvanometer und es gilt (Abb. 8.1):

++==4/

00 255,937

1 Tind dtUAkQ (8.2)

Graphische Auswertung mit Oszilloskop und Computer

In Aufgabenteil d.) sollen Sie (dM/dt)1 aus dem zeitlichen Verlauf der Induktionsspannung anhand des Integrals 0T|Uindsin(Rest)dt| berechnen. Der Betrag ist wichtig, da sonst das Integral gleich Null wre; uns interessiert ja die tatschliche Flche unter der Funktion.

Dazu ist das Oszilloskop an den Computer angeschlossen und die Messdaten werden mittels der Software FreeCapture gespeichert und graphisch dargestellt. Das generierte Bild sollte so, oder so hnlich aussehen, wie in Abbildung 8.2 gezeigt. Dabei stellt die orangefarbene Kurve die induzierte Spannung dar und die graue Sinuskurve die Wechselspannung an der Feldspule.

Das Oszilloskop nimmt pro Kstchen 25 Werte in x- und in y-Richtung auf. Es hat also eine Auflsung von jeweils 25 Einheiten pro Kstchen in beide Richtungen.

Um das Integral ber der Induktionsspannung mittels einer Rechtecksumme berechnen zu knnen, brauchen Sie die Messdaten fr jeden Zeitpunkt. Diese Daten sollen Sie auf Diskette oder USB-Stick abspeichern.

In der gespeicherten Datei finden Sie 500 Zahlenpaare, die durch ein Komma getrennt sind; dabei stellen die linken Zahlen die Zeitschritte und die Rechten die dazugehrigen Spannungsmesswerte dar. Ganz unten finden Sie die Einstellungen des Oszilloskops whrend der dargestellten Messung, denen Sie die Eichung der x- bzw. y-Achse entnehmen knnen. Hierbei wird ein Kstchen mit der Abkrzung "DIV'' bezeichnet. Beispielsweise bedeutet die Angabe "TIME/DIV,10.00ms", dass jedes Kstchen in x-Richtung 10ms lang ist und demnach zwischen zwei Messungen jeweils 10ms / 25 = 0,4ms vergehen. Bringen Sie eine Diskette oder einen USB-Stick mit, um die Daten speichern zu knnen.

26

9. AUFGABENSTELLUNG: EINSTEIN - DE HAAS EFFEKT

Bitte beachten:

Zentrierarbeiten nur unter Aufsicht des betreuenden Assistenten durchfhren. Der Torsionsfaden, an dem der Stab hngt ist aus Glas, mit einen Durchmesser von nur 0,5mm und ist deswegen sehr empfindlich.

Die Hauptaufgabe bei diesem Experiment besteht darin den g-Faktor zu bestimmen. Die einzelnen Teilaufgaben dienen dazu, die notwendigen Messdaten aufzunehmen, die man fr diese Bestimmung braucht. a.) Zuerst sollen die mechanischen Eigenschaften des Systems, d.h. die Resonanzfrequenz der

Torsionsschwingung und die Dmpfungskonstante bestimmt werden. Whlen Sie den Wechselstrom durch die Feldspule zu 0,6Aeff. Suchen Sie die Resonanzfrequenz und nehmen Sie die Resonanzkurve in der Umgebung dieser Frequenz auf. Es darf dabei nur eine reine Torsionsschwingung angeregt werden, d.h. in vertikaler Richtung darf keine Ablenkung des Lichtzeigers auftreten. Das Lichtband muss nach dem Einschwingen zeitlich konstant bleiben und symmetrisch zum Nullpunkt liegen. Da diese Messungen bei groer Resonanzamplitude genauer durchgefhrt werden knnen, wird das Erdmagnetfeld vorerst nicht kompensiert. Bestimmen sie ebenfalls die Abklingzeit der Torsionsschwingung.

b.) Zur Messung der Resonanzamplitude muss der Stab gut justiert sein. Um die Justierung zu kontrollieren, lassen Sie einen Gleichstrom durch die Feldspule flieen. Whrend Sie den Strom langsam von 0 auf 0,7A erhhen, darf sich der Stab nur wenig aus seiner Ruhelage wegbewegen. Jetzt soll die Horizontalkomponente des Erdmagnetfeldes mit Hilfe der Helmholtzspulen kompensiert werden. Die Richtung des kompensierenden Magnetfeldes stellen Sie mit der Kompanadel fest, die Strke mit Hilfe der Amplitude bei Resonanzfrequenz. Messen Sie die Resonanzamplitude bei einem Wechselstrom durch die Feldspule von 0,6Aeff in Abhngigkeit vom Strom durch die Helmholtzspulen (IH