Fürst-Johann-Ludwig-Schule HadamarMittwoch, den 6. März 2013; 15:00 Uhr - 18:00 Uhr

Matthias Grasse, FJLS Hadamargrasse@fjls.de

Bisher von mir an der FJLS durchgeführte Fortbildungen:

09.02.2004 Einführung in den CAS-Rechner TI Voyage 20030.03.2004 Euklid20.04.2004 Erstellung von Arbeitsblättern mit MS WORD für den Mathematikunterricht11.05.2004 Arbeiten mit dem Computeralgebrasystem (CAS) Derive in der Sekundarstufe II27.05.2004 Arbeiten mit dem Tabellenkalkulationsprogramm MS Excel im MU03.05.2005 Funktionen darstellen und untersuchen mit DERIVE, EXCEL/OpenOffice Calc,

EUKLID und TI INTERACTIVE – ein Vergleich05.12.2005 Stationenlernen im Mathematikunterricht21.02.2006 Einsatz von DERIVE in der SI23.04.2007 Einsatz einer Tabellenkalkulation in Stochastik19.06.2011 Euklid vs. Geogebra zur Funktionsdarstellung09.01.2012 CAS-Einsatz im Mathematikunterricht der SII06.03.2013 Taschenrechner im Landesabitur: Ti nSpire vs. Casio fx 991

(bisher 12 Fortbildungen)

0. Ablauf/Inhalt

1. Übersicht: verfügbare CAS-Technik/Software 1.1 Rechner 1.2 Software 1.3 Apps

2. nSpire (Schulmodell) 2.1 Schnelleinstieg 2.2 Vollständige Funktionsuntersuchung

3. Lösung von zwei Abituraufgaben 3.1 Lösung der Aufgabe: Landesabitur Hessen, 2012, LK B1 3.2 Lösung der Aufgabe: Landesabitur Hessen, 2011, GK A2

Taschenrechner im LandesabiturTI nSpire vs. Casio fx 991

1. Verfügbare CAS-Technik/Software

1.1 Rechner

a) An unserer Schule ist ein Klassensatz (25 Exemplare) des ersten nSpire vorhanden.

Preis: 90 €

b) aktuelles Modell: TI-NSpireCX-CAS inkl. Farbdisplay und Software für den PC.

Preis: 130 €

1.2 Software

a) Für den Computer gibt es passend eine Software mit der vollen Funktionalität des Rechners, inkl. Dokumentenverwaltung und Import-/Exportfunktion. Preis: 30 €

b) Mittlerweile ganz stark aufgeholt hat GEOGEBRA CAS.Preis: kostenlos

1.3 APPsDie APP ist bisher nur für das Betriebssystem iOS verfügbar. In Kürze auch für Android.

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2. nSpire (Schulmodell)2.1 Schnelleinstieg

Schalten Sie das Gerät ein.Sie sehen den Startbildschirm.

Wählen Sie 1 (Neues) und dann wieder 1 (Calculator hinzufügen).

Sie können den nSpire wie einen normalen Taschenrechner benutzen.Berechnen Sie:2,45 · 1,85 (Abschluss mit der Taste ENTER )

Berechnen Sie weiter:

a) 12+ 2

3

b) √18 Die Brüche erhalten Sie mit der Taste mit einem weißen Buch drauf. Dann 5 und dann mit dem Cursor den Bruch auswählen.

Wahlweise auch mit der Taste mit dem abgebildeten blauen Bruch. (In Kombination mit ctrl).

Mit enter erhalten Sie einen gerundeten Wert.

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Der nSpire rechnet auch mit Variablen:

a) x2

+ x3

b) Als nächstes sind die Nullstellen des Terms:x4-1 zu bestimmen.Dazu dient der Befehl solve(Gleichung, Variable)

Sie erhalten den Befehl auch über menü – 3 – 1.

Es werden alle reellen NST ermittelt.Speichern Sie den Term als Funktion f(x) ab.Wir werden später diesen Term weiter verwenden.Befehl: f(x):=x4-1

Sie können die Funktion f(x) jetzt bequem verwenden.a) Berechnen Sie f(3,75).b) Berechnen Sie die erste Ableitung und speichern Sie das Ergebnis in f1(x).

Das Ableitungssymbol erhalten Sie wieder mit der Taste mit dem weißen Buch und 5.

Sie können sich die erste Ableitung durch f1(x) auch ausgeben.

Bestimmen Sie die Nullstellen der ersten Ableitung. (menü-3-1)

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) mitx .

Hinweis: Das Grenzwertsymbol erhalten Sie wieder mit der Taste mit dem weißen Buch und 5.

Das Zeichen erhlten Sie mit ctrl und Taste mit dem weißen Buch.

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Berechnen Sie den Flächeninhalt im Intervall [0 | 2].

usw.

Graphische Dartsellung der Funktion:Gehen Sie auf die Home-Taste (Haus). Wählöen Sie unten „Graphs hinzufügen“.

Tragen Sie unter f(x)=f(x) ein.Die Funktion wird gezeichnet.

Gehen Sie mit dem Cursor auf z.B. die Achse, bis diese markiert wird. Drücken Sie etwas länger auf die Taste im Cursorrad, bis die Hand sich schließt. Sie können jetzt den Achsmaßstab verändern.

Führen Sie jetzt zur Übung eine vollständige Fkt.-untersuchung von

f(x) = 14  · x2 · (x-4)2

durch.

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2.2 Vollständige Fkt.-untersuchung der Fkt. f(x) = 14  · x2 · (x-4)2

mit dem nSpire.

Festlegen der Funktion

Berechnung der Nullstellen(an den Stellen x=0 und x=4)

Bestimmung der ersten Ableitung

Bestimmung der NST der ersten Ableitung

Bestimmung der 2. Ableitung

Überprüfung auf Minima und Maxima(Minima bei x=4 und x=0; Maxima bei x=2)

Bestimmung der Extrempunkte(Bei (4|0) und (0|0) befinden sich Minima, bei (2|4) Maxima)

Bestimmung der Wendestellen

Überprüfung mit 3. Ableitung

Berechnung der Wendepunkte(Bsp. für einen Punkt, genau und gerundet.)

Graphische Darstellung

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3. Lösung von zwei Abituraufgaben

3.1 Lösung mit TI nSpire und Casio fx 991 – Beispiel 1 – Lineare AlgebraIn den letzten Jahren wurden im Bereich B und C für alle 3 Rechnertechnologien die gleichen Abituraufgaben gestellt.

Hessisches Kultusministerium Landesabitur 2012Leistungskurs (TR / GTR / CAS) Vorschlag B1Gegeben sind drei jeweils von dem Parameter t, t IR\{0}, abhängige Punkte At (t|0|0), Bt(0|2t|0)und Ct(0|0|3t).1.1 Begründen Sie, warum durch die drei Punkte für jeden Wert von t genau eine Ebene Ht aufgespanntwird.

Rechnereinsatz bei beiden Technologien nicht sinnvoll.Der Punkt At liegt auf der x-Achse, Bt liegt auf der y-Achse und Ct liegt auf der z-Achse. Daher sind die drei Punkte kollinear und spannen eine Ebene auf.

Leiten Sie eine Koordinatengleichung für die Ebenen schar her und beschreiben Sie die Lage derEbenen zueinander.[mögliche Lösung: 6x + 3y + 2z = 6t]

(TI nSpire)Man stellt ein LGS auf und löst dieses:

Erklärung: Mit dem Befehl linSolve kann man LGS lösen. Man setzt in die Gleichung ax+by+cz=d die drei Punkte A, B und C ein.Als Lösung {a,b,c,d} erhält man (c1=Parameter) {c1/t, c1/2t, c1/3t,c1}. Diesen Lösungsvektor multipliziert man mit 6t/c1 und erhält: {6,3,2,6t} und als Koordinatengleichung: 6x+3y+z=6t.(Lösungsdokumentation nächste Seite)

(Casio)Kein sinnvoller Einsatz möglich. (siehe handschriftliche Lösung)

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1.2 In einer dieser Ebenen Ht liegt der Punkt P(2|–2|3). Berechnen Sie den zugehörigen Wert von t.Zeichnen Sie die Punkte At, Bt und Ct für diesen Wert von t in ein Koordinatensystem und verbindenSie diese zu einem Dreieck.

Lösung: klar bzw. ohne Rechnereinsatz1.3 Berechnen Sie den Parameter t so, dass die Ebene Ht den Abstand d = 6 vom Koordinatenursprunghat.

(TI nSpire)Die Lösung ist mit einer Zeile möglich. Man verwendet die Abstandsformel Punkt-Ebene: d=|⃗r− p⃗|· n⃗0.Der Rechner kann diese Formel nach t auflösen und gibt auch beide Lösungen an.

solve löst die Gleichungdotp SkalarproduktunitV normiert den Normalenvektor

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2. Für den Flächeninhalt F eines Dreiecks ABC mit dem Innenwinkel α an der Ecke A kann manin Formelsammlungen folgende Formel finden: F=0,5 ·|AB|·|AC|·sin∝.2.1 Leiten Sie die Formel F(t) = 3,5t2 für den Flächeninhalt F(t) des Dreiecks AtBtCt aus Aufgabe 1 (für beliebiges t) her.

Durch den Operator „Herleiten“ ist kein sinnvoller Rechnereinsatz möglich.2.2 Bestimmen Sie die Gerade durch den Punkt Ct, die das Dreieck AtBtCt in zwei gleich große Teilflächenzerlegt.

Der Mittelpunkt der Strecke ¿ At Bt| ist Mt(t/2|t|0). Die gesuchte Gerade gt ist durch die Punkte Ct und Mt bestimmt.

Zunächst werden die drei Ortsvektoren zu den gegebenen Punkten festgelgt. Im rechten

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Fenster wird dann noch der Winkel zwischen A⃗B und A⃗C bestimmt.Nach der Festlegung von Mt wird mit der angegebenen Formel und unter Verwendung des berechneten Winkels der Flächeninhalt berechnet werden, der genau dem halben Flächeninhalt des Dreiecks AtBtCt entspricht.

norm Berechnet die Länge eines Vektors

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3.1 Bestimmen Sie die Matrix M der linearen Abbildung des IR3 in sich, die den Punkt A1 auf denPunkt A2, den Punkt B1 auf den Punkt B2 und den Punkt C1 auf den Punkt C2 abbildet.

A1(1|0|0)A2(2|0|0)B1(0|2|0)B2(0|4|0)C1(0|0|3)C2(0|0|6)Nach der Regel, dass die Bilder der Einheitsvektoren die Spalten der Abbildungsmatrix sind, lautet die Matrix:

M=[2 0 00 2 00 0 2]

Zumindest ist eine Überprüfung mit dem Rechner möglich.

3.2 Mit E sei die 3x3-Einheitsmatrix bezeichnet. Begründen Sie, dass die Matrix N=u

t· Edie

Ebene Ht auf die Ebene Hu abbildet.

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3.2 Lösung mit TI nSpire und Casio fx 991 – Beispiel 1 – Lineare AlgebraIn den letzten Jahren wurden im Bereich A oft sehr ähnliche Aufgaben für den Einsatz des Taschenrechners bzw. GTR/CAS gestellt.

Beispiel: GK Mathematik – 2011 – Vorschlag A2

TR GTR/CAS1. Die nachträgliche Auswertung der Aufzeichnungen des Höhenbarometers eines Heißluftballons ergab, dass sich die Höhe des Ballons über dem Startpunkt der Ballonfahrt durch die Funktion h mit der Gleichung: h(t) = –0,5t3 + 2t2 + t beschreiben lässt. t: Zeit in Stunden h(t): Höhe in 100 Metern Der Ballon startet zum Zeitpunkt t = 0 in der Höhe h = 0. 1.1 Berechnen Sie die Dauer der Ballonfahrt sowie die größte erreichte Höhe unter der Annahme, dass der Ballon eine ebene Landschaft überfliegt. Geben Sie einen für den Sachzusammenhang sinnvollen Definitionsbereich an.

1. Die nachträgliche Auswertung der Aufzeichnungen des Höhenbarometers eines Heißluftballons ergab, dass sich die Höhe des Ballons über dem Startpunkt der Ballonfahrt durch die Funktion h mit der Gleichung:h(t) = –0,5t3 + 2t2 + t beschreiben lässt. t: Zeit in Stunden h(t): Höhe in 100 Metern Der Ballon startet zum Zeitpunkt t = 0 in der Höhe h = 0. 1.1 Skizzieren Sie den Graphen von h (Höhenprofil der Ballonfahrt) in Ihrer Lösungsdokumentation. Berechnen Sie die Dauer der Ballonfahrt sowie die größte erreichte Höhe unter der Annahme, dass der Ballon eine ebene Landschaft überfliegt. Geben Sie einen für den Sachzusammenhang sinnvollen Definitionsbereich an.

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TR GTR/CAS1.2 Berechnen Sie den Wendepunkt des Graphen von h und deuten Sie diesen im Sachzusammenhang

1.2 Berechnen Sie den Wendepunkt des Graphen von h und deuten Sie diesen im Sachzusammen-hang. Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt der Ballon am schnellsten sinkt. Bestimmen Sie die größte Sinkgeschwindigkeit.

Ab dieser Stelle laufen die Aufgaben zu weit auseinander.

TR1.3 Skizzieren Sie den Graphen von h (Höhenprofil der Ballonfahrt).Lösung: klar bzw. ohne Rechnereinsatz2. Die Ballonhülle eines Heißluftballons wird durch horizontale und vertikale Lastbänder, die in die Hülle eingenäht sind, stabilisiert. Die horizontalen Lastbänder verlaufen wie Fassringe rund um die Hülle. Die vertikalen Lastbänder laufen vom höchsten Punkt des Ballons seitlich herab bis zum runden Brennerrahmen, der oberhalb der Austrittsdüse des Brenners sitzt (siehe Material 1). Am Ballonäquator ist der Umfang des Ballons maximal. 2.1 Die Funktionen f1 mit der Gleichung

f 1 ( x )= 12000

· x4− 1100

· x3− 11000

· x2+ 3100

· x−1

und f2 mit der Gleichung

f 2 ( x )= −12000

· x4+ 1100

· x3+ 11000

· x2− 3100

· x+1

stellen den Umriss des Heißluftballons hinreichend genau dar.

Ordnen Sie die Graphen in Material 2 den Funktionsgleichungen f1(x) und f2(x) zu.Begründen Sie Ihre Entscheidung.

Lösung: klar bzw. ohne Rechnereinsatz2.2 Begründen Sie an einem wesentlichen Gesichtspunkt, warum die Graphen von f1(x) und f2(x) die reale Ballonhülle nicht optimal beschreiben. Lösung: klar bzw. ohne Rechnereinsatz2.3 Bestimmen Sie die Ableitung von f1(x) und zeigen Sie, das auch

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f ' ( x )= 1500

· ( x−1 ) · ( x+1 ) ·(x−15) gilt.

Lösung: klar bzw. ohne Rechnereinsatz2.4 Berechnen Sie die Länge des horizontalen Lastbandes am Ballonäquator.

2.5 Erläutern Sie die Bedeutung der folgenden Gleichung im Sachzusammenhang und beschreiben Sie die zur Berechnung notwendigen Schritte.

π·∫1

20

( 12000

· x4− 1100

· x3− 11000

· x2+ 3100

· x−1)2

dx=2033,9

Lösung: klar bzw. ohne Rechnereinsatz

GTR/CAS2. Die Ballonhülle eines Heißluftballons wird durch horizontale und vertikale Lastbänder, die in die Hülle eingenäht sind, stabilisiert. Die horizontalen Lastbänder verlaufen wie Fassringe rund um die Hülle. Die vertikalen Lastbänderlaufen vom höchsten Punkt des Ballons seitlich herab bis zum runden Brennerrahmen, der oberhalb der Austrittsdüse des Brenners sitzt (siehe Abbildung 1 und 2). Am Ballonäquator ist der Umfang des Ballons maximal.Die vertikalen Lastbänder werden durch die Funktion f: f ( x )= x

4 √a−x ; a>0 beschrieben, wobei sich der Ursprung des KOS an der Austrittsdüse des Brenners befindet und die x-Achse der vertikalen Rotationssymmetrieachse des Ballons entspricht.

2.1 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der vertikalen Laufbänder, wenn sich der Ballonäquator 13 1/3m über der Austrittdüse des Brenners befindet. Erklären Sie Ihren Lösungsansatz. [Kontrollergebnis: a = 20]

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2.2 Berechnen Sie die Höhe des Ballons (Austrittsdüse des Brenners bis Ballonspitze), die Länge des horizontalen Lastbandes am Ballonäquator sowie den Durchmesser des Brennerrahmens, der 1 Meter über der Austrittsdüse des Brenners angebracht ist.

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3. Bestimmen Sie das Volumen des Ballons (vom Brennerrahmen bis zur Ballonspitze) über das Rotationsvolumen des Graphen von f.Erläutern Sie wie man mit Hilfe von Zylindern die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bestimmt.

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