Ek Skript Final

25
7/23/2019 Ek Skript Final http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 1/25 Zusatzprüfung aus Darstellender Geometrie ARCH/BI/Geodäsie VU 104.218 Tutorenskriptum Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie Geometrische Modellierung und Industrielle Geometrie www.geometrie.tuwien.ac.at/student/arch  A 1  A 2 a a M https://tuwel.tuwien.ac.at/ 104.218 - 2015W

Transcript of Ek Skript Final

Page 1: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 1/25

Zusatzprüfung ausDarstellender Geometrie

ARCH/BI/Geodäsie

VU 104.218

Tutorenskriptum

Institut für Diskrete Mathematik und GeometrieGeometrische Modellierung und Industrielle Geometrie

www.geometrie.tuwien.ac.at/student/arch

 A1

 A2

a

a

M

https://tuwel.tuwien.ac.at/ 104.218 - 2015W

Page 2: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 2/25

Zusatzprüfung aus Darstellender GeometrieSeite 1

Page 3: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 3/25

Einführung in AutoCAD

Arbeitsoberfläche

Statuszeile (Grundeinstellungen)

Diese Einstellungen können beim rechten Button derStatuszeile vorgenommen werden. Blenden Siefolgende Funktionen mit einem Mausklick ein:

 3-8,10-12,14-16,22

Und aktivieren Sie folgende Funktionen (blau unterlegt):

3,5,6,8,11,12,14,15

Multifunktionsleiste(Werkzeuge)

ViewCube

Zeichenfenster 

Navigationsleiste

StatuszeileBefehlszeile

Konstruktionsebene

Dies sind die Funktionen für:(3) Raster,(5) Abhängigkeit ableiten: Parallelität, Orthogonalität bleiben bei Änderung eines Punktes erhalten(6) Dynamische Eingabe: Koordinateneingabe neben dem Cursor (8) Polare Spur: Hilfslinien z.B. alle 45°(11,15) Objektfang: Fangfunktionen (Mittelpunkt einer Strecke, ...)(12) Linienstärke(14) Wechselnde Auswahl: Auswahlmenü bei übereinander liegenden Objekten

Zeitweise ausgewählte Funktionen(4) Fangmodus: Nur Gitterpunkte des Rasters auswählbar 

(7) Orthomodus: Zeichnen nur in Koordinatenrichtungen möglich(10) Objektfangspuren: Koordinatenparallele Hilfslinien von Objektpunkten ausgehend(16) Dynamisches BKS: Anheften des Koordinatensystems an ein Volumenmodell

3 5 6 8 11 12 14 15

4 7 10 16

22

1

2

34

5

6

7

89

1011

12

13

14

15

16

17181920

2122

23

24

25

2627

Zusatzprüfung aus Darstellender Geometrie Seite 2

Page 4: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 4/25

Befehlszeile

In der Befehlszeile können Sie Werkzeuge aufrufen, Koordinaten eingeben und Optionen der Toolseinstellen. Wenn Sie nicht wissen was Sie eingeben müssen, dann werfen Sie einen Blick auf dieseZeile.

Navigationsleiste/ ViewCube

Diese Tools ermöglichen eine Ansichtsteuerung. Sie können auch die Seitenflächen desViewCubes anklicken, um spezielle Ansichten, wie etwa Auf-, Grund- oder Kreuzriss, einzustellen.

Mit dem Kreisring um den ViewCube können Sie die Ansicht drehen, indem sie diesen auswählenund mit gedrückter linker Maustaste die Maus verschieben.

+

 Ansicht verschieben

Zoomen

 Ansicht drehen

Konstruktionsebenen

 Am rechten Rand des Zeichenfensters können Sie unterhalb des ViewCubes die aktiveKonstruktionsebene einstellen.

Ist etwa die xy-Ebene ausgewählt, so können Sie nur in dazu parallelenEbenen zeichnen. Wollen Sie beispielsweise einen Drehkegel mit y-paralleler Achse zeichnen, müssen Sie zunächst auf „xz“ umstellen, umden Basiskreis in einer xz-parallelen Ebene zu konstruieren.

yx

z

yx

z

yx

z

Grundkörper 

Extrusion (Erzeugung vonPrismen aus Polygonen)

Kappen (zB. ebene Schnitte)

Polylinie, Kreis,regelm. Polygon, Rechteck

Spiegeln, Verschieben, Kopieren,Drehen

Multifunktionsleiste (Werkzeuge)

(22) in der Statuszeile ermöglicht den Wechsel auf 3D-Modellierung

Zusatzprüfung aus Darstellender GeometrieSeite 3

Page 5: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 5/25

Layer 

Layer dienen der übersichtlichen Gestaltung einer Zeichnung. Mit dem Tool Layereigenschaften können Sie neue Layer erstellen und vorhandene Layer bearbeiten.Um auf einem bestimmten Layer zu zeichnen wählen Sie diesen im Dropdownmenü in der GruppeLayer aus (siehe links). Zum Ausblenden eines Layers klicken Sie auf die Glühbirne neben demNamen. Das Schloss dient dem Sperren eines Layers (Objekte können nicht bearbeitet oder

gelöscht werden).

Darstellungsstile

Wenn Sie in der linken oberen Ecke auf den rechten Eintrag (hier:Drahtkörper) drücken, wird ein Menü geöffnet, in dem Sie denDarstellungsstil ändern können.Zum Konstruieren ist der Darstellungsmodus Drahtkörper geeignet.Wollen Sie realistischere Bilder erhalten, wählen Sie hier etwa

Realistisch, Schattiert oder Schattierung mit Kanten.

Hintergrundfarbe

Die Hintergrundfarbe können Sie bei den Optionen (Rotes „A” in der linken oberen Ecke,Button „Optionen” ) in der Registerkarte „Anzeige” unter dem Button „Farben...” ändern.

ObjektfangZum genauen Zeichnen benötigt man häufigden Objektfang, mit dem man etwaEndpunkte von Strecken, Schnittpunkte vonKurven oder Mittelpunkte von Kreisen exaktauswählen kann. Sind die Funktionen (6)und (7) in der Statuszeile eingeschaltet, sosind die wichtigsten Objektfänge dauerhaftaktiv. Benötigt man zusätzlich einmalig einenweiteren Fang (zB. Lot), so kann man diesen

aus einer Liste auswählen, die man mittelsStrg + rechte Maustaste aufrufen kann.

Zusatzprüfung aus Darstellender Geometrie Seite 4

Page 6: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 6/25

Koordinaten

 AutoCad ermöglicht die Eingabe von Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten.Bei Polarkoordinaten erfolgt die Eingabe wie folgt: „Radius” < „Winkel”.Bei kartesischen Koordinaten: „x-Wert” , „y-Wert”. Außerdem kann zwischen absoluter und relativer Koordinateneingabe gewechselt werden. Absolut bedeutet hierbei, dass die Koordinaten bezüglich des WKS - Ursprungs eingemessen

werden. Relativkoordinaten beziehen sich auf den zuletzt angewählten Punkt.

Die Dynamische Eingabe in der Statuszeile ist hierbei eine wichtige Einstellung. Ist sie deaktivierterfolgt die Eingabe automatisch als absolute Koordinaten. Ist sie aktiviert, als relative Koordinaten.Möchte man nur einen einzelnen Punkt anders eingeben, kann man dies mit der # oder @ Taste wieunten beschrieben tun.

kartesischeKoordinaten

Polar-koordinaten

absolut * #1,3 #2<60

relativ ** @1,3 @2<6060°

60°

1

1

y

x

Start

@1,3

#1,3

#2<60

@2<60

* Standard, wenn dynamische Eingabe deaktiviert ist (# kannweggelassen werden)

** Standard, wenn dynamische Eingabe aktiviert ist (@ kannweggelassen werden)

Zusatzprüfung aus Darstellender GeometrieSeite 5

Page 7: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 7/25

Inhalt der 1. Übung:Ÿ 2D Modellierung mit AutoCADŸ Konstruieren von Hauptrissen

Übung 1

Aufgabe 1.1: Modellieren Sie folgende Objekte in AutoCAD.

Zusatzprüfung aus Darstellender Geometrie Seite 6

Page 8: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 8/25

Aufgabe 1.2: Konstruieren Sie Grund-, Auf- und Kreuzriss der gegebenen Objekten.

Zusatzprüfung aus Darstellender GeometrieSeite 7

x´˝ 

z´˝  z˝ 

y˝ 

x´˝ 

z´˝  z˝ 

y˝ 

x´˝ 

z´˝ z˝  

y˝ 

x´˝ 

z´˝ z˝  

y˝ 

zp

xp

yp

Up

zp

xp

yp

Up

zp

xp

yp

Up

zp

xp

yp

Up

Page 9: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 9/25

x´˝ 

z´˝  z˝ 

y˝ 

x´˝ 

z´˝  z˝ 

y˝ 

x´˝ 

z´˝ z˝  

y˝ 

x´˝ 

z´˝ z˝  

y˝ 

zp

xp

yp

Up

zp

xp

yp

Up

zp

xp

yp

Up

zp

xp

yp

Up

Zusatzprüfung aus Darstellender Geometrie Seite 8

Page 10: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 10/25

z'' z'''

y'' x'''

4

Inhalt der 2. Übung:Ÿ Modellieren mit VolumsmodellenŸ Raumtransformationen mit AutoCAD

Übung 2

Aufgabe 2.1: Modellieren Sie die folgenden Grundkörper und platzieren Sie diese richtig.  (Angabeblatt 1, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

1

Aufgabe 2.2: Modellieren Sie das durch Grund-, Auf-, und Kreuzriss gegebeneVolumenmodell.

  (Arbeitsblatt 11, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

y''

y'

x'

z''

1

Zusatzprüfung aus Darstellender GeometrieSeite 9

Page 11: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 11/25

a

Aufgabe 2.3: Modellieren Sie das, in den Hilfswürfel (s=100) eingeschriebene Objekt mit AutoCAD und spiegeln Sie dieses an der Ebene.

  (Arbeitsblatt 13, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

Aufgabe 2.4: Modellieren Sie das, in den Hilfswürfel (s=100) eingeschriebene Objekt mit

 AutoCAD und drehen Sie dieses um -90° um die Achse a.  (Arbeitsblatt 14, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

Zusatzmaterial(Arbeitsblatt 11, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

x'

y'

y''

z''

2

x'''

z''' z''

y''

5

Zusatzprüfung aus Darstellender Geometrie Seite 10

Page 12: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 12/25

Inhalt der 3. Übung:Ÿ Modellieren mit Booleschen OperationenŸ Wiederholen der Raumtransformationen

Übung 3

Aufgabe 3.1: Modellieren Sie mittels der Werkzeuge Vereinigung und Differenz die folgenden  technischen Objekte mit den angegebenen Maßen.  (Angabeblatt 3, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

6

8

Aufgabe 3.2: Modellieren Sie mit dem Werkzeug Durchschnitt folgende Turmspitzen.  (Angabeblatt 2, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

Erklärungsfigur

10

20

50

50

Zusatzprüfung aus Darstellender GeometrieSeite 11

Page 13: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 13/25

Aufgabe 3.3: Modellieren Sie das gegebene Objekt durch Drehung des einen Quaders.  Die Maße der Quader betragen 10x10x30.  (Angabeblatt 2, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

Zusatzmaterial(Angabeblatt 2 + 3, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

Überlegen Sie sichgeeignete Maße

14

Zusatzprüfung aus Darstellender Geometrie Seite 12

Page 14: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 14/25

Zusatzprüfung aus Darstellender GeometrieSeite 13

y´´y´´

z´´

Ellipse Parabel Hyperbel

ε´´

ε´´

ε´´

z´´ z´´

y´´

Übung 4Inhalt der 4. Übung:Ÿ Erzeugungsweisen von KegelschnittenŸ Kegelschnitte als Schnittkurven auf Objekten erkennenŸ Brennpunktsdefinition- und Eigenschaften von Ellipse und Parabel kennen und nutzen

Aufgabe 4.1: Modellieren Sie das folgende Objekt mit Hilfe der Booleschen Operationen. Die  Bemaßung sind am Hilfswürfel zu orientieren.  (Angabeblatt 3, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

FRAGE: Welche Schnittkurventreten hier auf?

Aufgabe 4.2: Konstruieren Sie ebene Drehkegelschnitte (Ell., Hyp. Par.) in AutoCAD durch  Kappen mit geeigneten Ebenen gemäß der unstehenden Abbildungen.

Aufgabe 4.3: Machen Sie sich mit dem theoretischen Teil des Arbeitsblatte über Ellipsenvertraut und führen den zugehörigen Arbeitsauftrag aus.Aufgabe 4.3: Machen Sie sich mit dem theoretischen Teil des Arbeitsblattes über Ellipsen  vertraut und führen Sie den zugehörigen Arbeitsauftrag aus.

Aufgabe 4.3: Machen Sie sich mit dem theoretischen Teil des Arbeitsblatte über Ellipsenvertraut und führen den zugehörigen Arbeitsauftrag aus.Aufgabe 4.5: Machen Sie sich mit dem theoretischen Teil des Arbeitsblattes über Parabeln  vertraut und führen Sie den zugehörigen Arbeitsauftrag aus.

Aufgabe 4.3: Machen Sie sich mit dem theoretischen Teil des Arbeitsblatte über Ellipsenvertraut und führen den zugehörigen Arbeitsauftrag aus.Aufgabe 4.4: Konstruieren Sie folgendes Objekt mit Hilfe Boolescher Operationen.  (Angabeblatt, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

50

50

50

40

20

20

40

y‘‘

z‘‘z‘‘‘

x‘‘‘

Page 15: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 15/25

Zusatzprüfung aus Darstellender Geometrie Seite 14

Arbeitsblatt KegelschnitteZusatzprüfung aus Darstellender Geometrie ARCH/BI/Geodäsie VU 104.218

 Ellipse Raumgeometriebuch Seite 116/117 

Brennpunktsdefinition:  Alternativ zur Definition über den ebenen Schnitteines Drehkegels kann eine Ellipse auch als die Menge aller in einer Ebeneliegenden Punkte P definiert werden, für die die Summe der Abstände PF und1

PF von zwei festen Punkten F und F (Brennpunkte) konstant ist .2 1 2   F1   F2

P

F1   F2

P

2a

        2        b

F1   F2

P

Brennpunktsdefinition:

Tangentenkonstruktion nach de la Hire:Mit Hilfe von Haupt- und Nebenscheitelkreis einerEllipse können rasch und genau weitere Ellipsen-punkte samt Tangenten konstruiert werden.

Ellipsengleichung:

Parameterdarstellung: x = a•cos u

 PF + PF = 2a1 2

y = b•sin u

2 2x y2 2a b

+ = 1

Die Skalierung x´=x, y´=y•a/b bildet Punkte P samt

Tangenten t der Ellipse auf Punkte P´ samt Tangentent´ des Hauptscheitelkreises ab. Punkte auf der x-

 Achse (Hauptachse) bleiben bei der Skalierung fest.

aa

tP

M   A1 A2

B1

B2

P=(x|y)

P´=(x´|y´)

Aufgabe zur Reflexionseigenschaft der Ellipse:1.) Einzeichnen der Brennpunkte F , F1 2

2.) Einzeichnen eines Lichtstrahls aus F durch P1

3.) Reflexion des Strahls an der Ellipse4.) graphische Kontrolle ob der reflektierte Strahl durch den

Brennpunkt F verläuft.2Einfallswinkel = Ausfallswinkel 

Reflexionsgesetz 

P

Page 16: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 16/25

 Parabel Raumgeometriebuch Seite 70, 118

Brennpunkt-Leitgeraden-Definition: Alternativ zur Definition als ebener Schnitt eines Drehkegels kann eineParabel auch als die Menge aller in einer Ebene liegenden Punkte Pdefiniert werden, deren Abstände PF und Pl von einem festen Punkt F

(Brennpunkt) und einer festen Geraden l (Leitgerade) jeweils gleich sind.

Brennpunktsdefinition:

Tangentenkonstruktion: Die Tangente t in einem Punkt P derParabel steht normal auf die entsprechende Verbindungsstrecke FL .P

Parabelgleichung:2y = 2px

 PF = Pl

Aufgabe zur Reflexionseigenschaft der Parabel:1.) Parallel zur Achse einfallenden Lichtstrahl e durch den

Punkt P einzeichnen.2.) Reflexion r des Lichtstrahls e an der Parabel konstruieren3.) Reflektierten Lichtstrahl r erneut an der Parabel reflektieren4.) graphische Kontrolle ob der ausfallende Lichtstrahl a

parallel zum einfallenden Lichtstrahl e verläuft und ob der

Lichtstrahl r durch den Brennpunkt verläuft.

F

l

Einfallswinkel = Ausfallswinkel 

Reflexionsgesetz 

F

PLP

l t

S

p/2p/2

y

x

P

d

d

Zusatzprüfung aus Darstellender GeometrieSeite 15

Page 17: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 17/25

Inhalt der 5. Übung:Ÿ Modellieren fortgeschrittener technischer ObjekteŸ  Arbeiten mit dem Benutzerkoordinatensystem (BKS)

Übung 5

Aufgabe 5.1: Modellieren Sie das Objekt mit Hilfe der Funktion „dynamisches BKS” und der   Booleschen Operationen.

(Angabeblatt 3, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

TIPP:Verwenden Sie dieFunktion (16) „dynamisches BKS” 

Aufgabe 5.3: Modellieren Sie die folgenden Extrusionskörper.  (Angabeblatt 4+5, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

1

5TIPP zu 5:Das Objekt ist als Durchschnittzweier  Extrusionskörper zukonstruieren.

Aufgabe 5.2: Modellieren Sie das folgende Objekt. Orientieren Sie dafür das BKS gemäß der Abbildung an der Raumdiagonalen.

  (S.20, Fig. 3.12, Raumgeometrie-Theoriebuch)

x y

z

 A

B

Zusatzprüfung aus Darstellender Geometrie Seite 16

Page 18: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 18/25

Aufgabe 5.4: Modellieren Sie die folgenden technischen Objekte.(Angabeblatt 5, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

TIPP zu 2:Das innere Profildreieckerhalten Sie mit dem

Werkzeug „Versetzen”.

Zusatzmaterial:(Angabeblatt 3-5, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

8

16

6

Zusatzprüfung aus Darstellender GeometrieSeite 17

Page 19: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 19/25

Zusatzprüfung aus Darstellender Geometrie Seite 18

Übung 6

Inhalt der 6. Übung:Ÿ Verwendung des Torus bei ModellierungsaufgabenŸ Konstruktion archimedischer Polyeder Ÿ Modellieren von Modellen aus Architektur, Kunst und Design

Der Torus ist eine Fläche, die durch Drehung eines Kreises(Meridiankreis) um eine Achse entsteht, wobei die Achse inder Trägerebene des Meridiankreises liegt. DieMeridiankreismittelpunkte liegen auf dem so genanntenMittenkreis. Der Torus ist somit durch die Radien r 1(Mittenkreisradius) und r (Meridiankreisradius) festgelegt.2

Genau dies ist auch die Eingabe in AutoCAD: Mittelpunktdes Mittenkreises + r + r . 

1 2

Infobox: Torus(vgl. S.23, Raumgeometrie-Theoriebuch)

Aufgabe 6.1: Modellieren Sie das gegebene Objekt mit Hilfe Boolescher Operationen(S.23, Fig. 3.22, Raumgeometrie-Theoriebuch)

Aufgabe 6.2: Modellieren Sie das gegebene Objekt mit Hilfe Boolescher Operationen(S.23, Fig. 3.21, Raumgeometrie-Theoriebuch)

Page 20: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 20/25

X

y

xy

Zusatzprüfung aus Darstellender GeometrieSeite 19

Zusatzmaterial(Arbeitsblatt 7+9, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

2

Aufgabe 6.3: Modellieren Sie folgende Archimedische Polyeder. In TUWEL finden sich Anleitungen zur Konstruktion, falls diese erforderlich sein sollten.(Angabeblatt 11, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

Aufgabe 6.4: Modellieren Sie die Skulpturen aus Würfeln. Überlegen Sie hierzu, wie dieDrehparameter für die einzelnen Würfel gewählt werden müssen. Meiden Siealso vorerst die Anleitungen (TUWEL) und nutzen Sie diese nur im Ernstfall,oder zur Kontrolle für Ihre Überlegungen.

  (Angabeblatt 11, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

y

Page 21: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 21/25

Inhalt der 7. Übung:Ÿ Modellieren von RohrverbindungenŸ Modellieren von ÜberdachungenŸ Volumsmodelle in Flächenmodelle umwandeln

Übung 7

Aufgabe 7.1: Modellieren Sie folgende Rohrverbindungen.  (Angabeblatt 13, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

6

1 8

12

TIPP: Modellieren Sie sämtliche Beispiele als Volumsmodelle und wandeln sie dieseam Schluss mit dem Werkzeug „Ursprung” in Flächenmodelle um.

Aufgabe 7.2: Modellieren Sie folgende Überdachungen.  (Angabeblatt 14, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

Drehzylindrische Schalen

4

y''

z''6

Zusatzprüfung aus Darstellender Geometrie Seite 20

Page 22: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 22/25

Zusatzmaterial:(Angabeblatt 14, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)

4 1

Zusatzprüfung aus Darstellender GeometrieSeite 21

Page 23: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 23/25

Zusatzprüfung aus Darstellender Geometrie Seite 22

Inhalt der 7. Übung:Ÿ Konstruieren einer Bezierkurve mittels Algorithmus von De CasteljauŸ Berechnen einer BezierkurveŸ  Anwenden der Eigenschaften der Bezierkurven

Übung 8

Aufgabe 8.1: Leiten Sie die Parameterdarstellung einer Bezierkurve her.

Aufgabe 8.2: Sei eine Bezierkurve durch die Kontrollpunkte B ,..,B gegeben. Konstruieren0 3

Sie den zum Paramterwert u=0,5 gehörenden Kurvenpunkt P.

b0

b1

b2

1b0

1b1

2b0

1b = b + t(b - b ) = (1 - t) b + t b0 0 1 0 0 1

1b =1

2b =0

1    -  t     

      t

t     

    t

     1   -      t

   1  -    t

Page 24: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 24/25

Aufgabe 8.3: Überprüfen Sie den in der vorigen Aufgabe konstruierten Kurvenpunkt Panhand einer Rechnung und geben Sie eine Parameterdarstellung derTangente in P an. Die Kantenlänge des Würfels ist 10.

3 2 2 3. . . . . . . .c(u) = (1-u) B + 3 (1-u) u B + 3 (1-u) u B + u B0 1 2 3

.c(u) =

..t = c(u) + r c(u) =u

Infobox: Eigenschaften von Bezierkurven

Ÿ Eine Bezierkurve n-ten Grades wird durch n+1Kontrollpunkte festgelegt.

Ÿ Endpunktinterpolation: Eine Bezierkurve berührtihr Kontrollpolygon im Anfangs- und imEndpunkt.

Ÿ Konvexe Hülle Eigenschaft: Eine Bezeirkurve

befindet sich immer in der konvexen Hülle ihrerKontrollpunkte.

Ÿ Unterteilungseigenschaft: Eine Bezierkurvekann in jedem ihrer Punkte in zwei Bezierkurvengleichen Grades zerteilt werden.

Ÿ Variationsreduzierende Eigenschaft: EineGerade schneidet eine Bézierkurve höchstens

so oft, wie sie ihr Kontrollpolygon schneidet.

g

Unterteilungseigenschaft

Variationsreduzierende Eigenschaft

Konvexe Hülle Eigenschaft

Zusatzprüfung aus Darstellender GeometrieSeite 23

Page 25: Ek Skript Final

7/23/2019 Ek Skript Final

http://slidepdf.com/reader/full/ek-skript-final 25/25

Infobox: B-Spline Kurve

Ÿ Eine B-Splinekurve ist aus mehreren Bezierkurven gleichen Grades zusammengesetzt.Ÿ Sie ist durch ein Kontrollpolygon und den Grad n eindeutig festgelegt.Ÿ Bezierkurven sind Spezialfälle von B-Spline Kurven, deren Grad die Anzahl der

Kontrollpunkte -1 ist. Dies ist zugleich auch der höchstmögliche Grad eine B-Spline Kurve.

Aufgabe 8.4: Kann es sich bei den folgenden Abbildungen um Bezier- oder B-Splinekurven  handeln? Begründen Sie ihre Antwort.

B A EG

F

C

H

D

J

IK

L M

Zusatzmaterial: Auf TUWEL befinden sich zwei JPG-Dateien. Fügen Sie diese in Auto-CAD ein undapproximieren Sie die gegebenen Kurven durch Bezier- oder B-Splinekurven.

 Abb. 1

 Abb. 2