Ek Skript Final
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Zusatzprüfung ausDarstellender Geometrie
ARCH/BI/Geodäsie
VU 104.218
Tutorenskriptum
Institut für Diskrete Mathematik und GeometrieGeometrische Modellierung und Industrielle Geometrie
www.geometrie.tuwien.ac.at/student/arch
A1
A2
a
a
M
https://tuwel.tuwien.ac.at/ 104.218 - 2015W
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Einführung in AutoCAD
Arbeitsoberfläche
Statuszeile (Grundeinstellungen)
Diese Einstellungen können beim rechten Button derStatuszeile vorgenommen werden. Blenden Siefolgende Funktionen mit einem Mausklick ein:
3-8,10-12,14-16,22
Und aktivieren Sie folgende Funktionen (blau unterlegt):
3,5,6,8,11,12,14,15
Multifunktionsleiste(Werkzeuge)
ViewCube
Zeichenfenster
Navigationsleiste
StatuszeileBefehlszeile
Konstruktionsebene
Dies sind die Funktionen für:(3) Raster,(5) Abhängigkeit ableiten: Parallelität, Orthogonalität bleiben bei Änderung eines Punktes erhalten(6) Dynamische Eingabe: Koordinateneingabe neben dem Cursor (8) Polare Spur: Hilfslinien z.B. alle 45°(11,15) Objektfang: Fangfunktionen (Mittelpunkt einer Strecke, ...)(12) Linienstärke(14) Wechselnde Auswahl: Auswahlmenü bei übereinander liegenden Objekten
Zeitweise ausgewählte Funktionen(4) Fangmodus: Nur Gitterpunkte des Rasters auswählbar
(7) Orthomodus: Zeichnen nur in Koordinatenrichtungen möglich(10) Objektfangspuren: Koordinatenparallele Hilfslinien von Objektpunkten ausgehend(16) Dynamisches BKS: Anheften des Koordinatensystems an ein Volumenmodell
3 5 6 8 11 12 14 15
4 7 10 16
22
1
2
34
5
6
7
89
1011
12
13
14
15
16
17181920
2122
23
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25
2627
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Befehlszeile
In der Befehlszeile können Sie Werkzeuge aufrufen, Koordinaten eingeben und Optionen der Toolseinstellen. Wenn Sie nicht wissen was Sie eingeben müssen, dann werfen Sie einen Blick auf dieseZeile.
Navigationsleiste/ ViewCube
Diese Tools ermöglichen eine Ansichtsteuerung. Sie können auch die Seitenflächen desViewCubes anklicken, um spezielle Ansichten, wie etwa Auf-, Grund- oder Kreuzriss, einzustellen.
Mit dem Kreisring um den ViewCube können Sie die Ansicht drehen, indem sie diesen auswählenund mit gedrückter linker Maustaste die Maus verschieben.
+
Ansicht verschieben
Zoomen
Ansicht drehen
Konstruktionsebenen
Am rechten Rand des Zeichenfensters können Sie unterhalb des ViewCubes die aktiveKonstruktionsebene einstellen.
Ist etwa die xy-Ebene ausgewählt, so können Sie nur in dazu parallelenEbenen zeichnen. Wollen Sie beispielsweise einen Drehkegel mit y-paralleler Achse zeichnen, müssen Sie zunächst auf „xz“ umstellen, umden Basiskreis in einer xz-parallelen Ebene zu konstruieren.
yx
z
yx
z
yx
z
Grundkörper
Extrusion (Erzeugung vonPrismen aus Polygonen)
Kappen (zB. ebene Schnitte)
Polylinie, Kreis,regelm. Polygon, Rechteck
Spiegeln, Verschieben, Kopieren,Drehen
Multifunktionsleiste (Werkzeuge)
(22) in der Statuszeile ermöglicht den Wechsel auf 3D-Modellierung
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Layer
Layer dienen der übersichtlichen Gestaltung einer Zeichnung. Mit dem Tool Layereigenschaften können Sie neue Layer erstellen und vorhandene Layer bearbeiten.Um auf einem bestimmten Layer zu zeichnen wählen Sie diesen im Dropdownmenü in der GruppeLayer aus (siehe links). Zum Ausblenden eines Layers klicken Sie auf die Glühbirne neben demNamen. Das Schloss dient dem Sperren eines Layers (Objekte können nicht bearbeitet oder
gelöscht werden).
Darstellungsstile
Wenn Sie in der linken oberen Ecke auf den rechten Eintrag (hier:Drahtkörper) drücken, wird ein Menü geöffnet, in dem Sie denDarstellungsstil ändern können.Zum Konstruieren ist der Darstellungsmodus Drahtkörper geeignet.Wollen Sie realistischere Bilder erhalten, wählen Sie hier etwa
Realistisch, Schattiert oder Schattierung mit Kanten.
Hintergrundfarbe
Die Hintergrundfarbe können Sie bei den Optionen (Rotes „A” in der linken oberen Ecke,Button „Optionen” ) in der Registerkarte „Anzeige” unter dem Button „Farben...” ändern.
ObjektfangZum genauen Zeichnen benötigt man häufigden Objektfang, mit dem man etwaEndpunkte von Strecken, Schnittpunkte vonKurven oder Mittelpunkte von Kreisen exaktauswählen kann. Sind die Funktionen (6)und (7) in der Statuszeile eingeschaltet, sosind die wichtigsten Objektfänge dauerhaftaktiv. Benötigt man zusätzlich einmalig einenweiteren Fang (zB. Lot), so kann man diesen
aus einer Liste auswählen, die man mittelsStrg + rechte Maustaste aufrufen kann.
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Koordinaten
AutoCad ermöglicht die Eingabe von Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten.Bei Polarkoordinaten erfolgt die Eingabe wie folgt: „Radius” < „Winkel”.Bei kartesischen Koordinaten: „x-Wert” , „y-Wert”. Außerdem kann zwischen absoluter und relativer Koordinateneingabe gewechselt werden. Absolut bedeutet hierbei, dass die Koordinaten bezüglich des WKS - Ursprungs eingemessen
werden. Relativkoordinaten beziehen sich auf den zuletzt angewählten Punkt.
Die Dynamische Eingabe in der Statuszeile ist hierbei eine wichtige Einstellung. Ist sie deaktivierterfolgt die Eingabe automatisch als absolute Koordinaten. Ist sie aktiviert, als relative Koordinaten.Möchte man nur einen einzelnen Punkt anders eingeben, kann man dies mit der # oder @ Taste wieunten beschrieben tun.
kartesischeKoordinaten
Polar-koordinaten
absolut * #1,3 #2<60
relativ ** @1,3 @2<6060°
60°
1
1
y
x
Start
@1,3
#1,3
#2<60
@2<60
* Standard, wenn dynamische Eingabe deaktiviert ist (# kannweggelassen werden)
** Standard, wenn dynamische Eingabe aktiviert ist (@ kannweggelassen werden)
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Inhalt der 1. Übung:Ÿ 2D Modellierung mit AutoCADŸ Konstruieren von Hauptrissen
Übung 1
Aufgabe 1.1: Modellieren Sie folgende Objekte in AutoCAD.
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Aufgabe 1.2: Konstruieren Sie Grund-, Auf- und Kreuzriss der gegebenen Objekten.
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x´
x´˝
z´˝ z˝
y˝
y´
x´
x´˝
z´˝ z˝
y˝
y´
x´
x´˝
z´˝ z˝
y˝
y´
x´
x´˝
z´˝ z˝
y˝
y´
zp
xp
yp
Up
zp
xp
yp
Up
zp
xp
yp
Up
zp
xp
yp
Up
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x´
x´˝
z´˝ z˝
y˝
y´
x´
x´˝
z´˝ z˝
y˝
y´
x´
x´˝
z´˝ z˝
y˝
y´
x´
x´˝
z´˝ z˝
y˝
y´
zp
xp
yp
Up
zp
xp
yp
Up
zp
xp
yp
Up
zp
xp
yp
Up
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z'' z'''
y'' x'''
4
Inhalt der 2. Übung:Ÿ Modellieren mit VolumsmodellenŸ Raumtransformationen mit AutoCAD
Übung 2
Aufgabe 2.1: Modellieren Sie die folgenden Grundkörper und platzieren Sie diese richtig. (Angabeblatt 1, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
1
Aufgabe 2.2: Modellieren Sie das durch Grund-, Auf-, und Kreuzriss gegebeneVolumenmodell.
(Arbeitsblatt 11, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
y''
y'
x'
z''
1
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a
Aufgabe 2.3: Modellieren Sie das, in den Hilfswürfel (s=100) eingeschriebene Objekt mit AutoCAD und spiegeln Sie dieses an der Ebene.
(Arbeitsblatt 13, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
Aufgabe 2.4: Modellieren Sie das, in den Hilfswürfel (s=100) eingeschriebene Objekt mit
AutoCAD und drehen Sie dieses um -90° um die Achse a. (Arbeitsblatt 14, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
Zusatzmaterial(Arbeitsblatt 11, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
x'
y'
y''
z''
2
x'''
z''' z''
y''
5
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Inhalt der 3. Übung:Ÿ Modellieren mit Booleschen OperationenŸ Wiederholen der Raumtransformationen
Übung 3
Aufgabe 3.1: Modellieren Sie mittels der Werkzeuge Vereinigung und Differenz die folgenden technischen Objekte mit den angegebenen Maßen. (Angabeblatt 3, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
6
8
Aufgabe 3.2: Modellieren Sie mit dem Werkzeug Durchschnitt folgende Turmspitzen. (Angabeblatt 2, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
Erklärungsfigur
10
20
50
50
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Aufgabe 3.3: Modellieren Sie das gegebene Objekt durch Drehung des einen Quaders. Die Maße der Quader betragen 10x10x30. (Angabeblatt 2, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
Zusatzmaterial(Angabeblatt 2 + 3, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
Überlegen Sie sichgeeignete Maße
14
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y´´y´´
z´´
Ellipse Parabel Hyperbel
ε´´
ε´´
ε´´
z´´ z´´
y´´
Übung 4Inhalt der 4. Übung:Ÿ Erzeugungsweisen von KegelschnittenŸ Kegelschnitte als Schnittkurven auf Objekten erkennenŸ Brennpunktsdefinition- und Eigenschaften von Ellipse und Parabel kennen und nutzen
Aufgabe 4.1: Modellieren Sie das folgende Objekt mit Hilfe der Booleschen Operationen. Die Bemaßung sind am Hilfswürfel zu orientieren. (Angabeblatt 3, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
FRAGE: Welche Schnittkurventreten hier auf?
Aufgabe 4.2: Konstruieren Sie ebene Drehkegelschnitte (Ell., Hyp. Par.) in AutoCAD durch Kappen mit geeigneten Ebenen gemäß der unstehenden Abbildungen.
Aufgabe 4.3: Machen Sie sich mit dem theoretischen Teil des Arbeitsblatte über Ellipsenvertraut und führen den zugehörigen Arbeitsauftrag aus.Aufgabe 4.3: Machen Sie sich mit dem theoretischen Teil des Arbeitsblattes über Ellipsen vertraut und führen Sie den zugehörigen Arbeitsauftrag aus.
Aufgabe 4.3: Machen Sie sich mit dem theoretischen Teil des Arbeitsblatte über Ellipsenvertraut und führen den zugehörigen Arbeitsauftrag aus.Aufgabe 4.5: Machen Sie sich mit dem theoretischen Teil des Arbeitsblattes über Parabeln vertraut und führen Sie den zugehörigen Arbeitsauftrag aus.
Aufgabe 4.3: Machen Sie sich mit dem theoretischen Teil des Arbeitsblatte über Ellipsenvertraut und führen den zugehörigen Arbeitsauftrag aus.Aufgabe 4.4: Konstruieren Sie folgendes Objekt mit Hilfe Boolescher Operationen. (Angabeblatt, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
50
50
50
40
20
20
40
y‘‘
z‘‘z‘‘‘
x‘‘‘
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Arbeitsblatt KegelschnitteZusatzprüfung aus Darstellender Geometrie ARCH/BI/Geodäsie VU 104.218
Ellipse Raumgeometriebuch Seite 116/117
Brennpunktsdefinition: Alternativ zur Definition über den ebenen Schnitteines Drehkegels kann eine Ellipse auch als die Menge aller in einer Ebeneliegenden Punkte P definiert werden, für die die Summe der Abstände PF und1
PF von zwei festen Punkten F und F (Brennpunkte) konstant ist .2 1 2 F1 F2
P
F1 F2
P
2a
2 b
F1 F2
P
Brennpunktsdefinition:
Tangentenkonstruktion nach de la Hire:Mit Hilfe von Haupt- und Nebenscheitelkreis einerEllipse können rasch und genau weitere Ellipsen-punkte samt Tangenten konstruiert werden.
Ellipsengleichung:
Parameterdarstellung: x = a•cos u
PF + PF = 2a1 2
y = b•sin u
2 2x y2 2a b
+ = 1
Die Skalierung x´=x, y´=y•a/b bildet Punkte P samt
Tangenten t der Ellipse auf Punkte P´ samt Tangentent´ des Hauptscheitelkreises ab. Punkte auf der x-
Achse (Hauptachse) bleiben bei der Skalierung fest.
aa
tP
M A1 A2
B1
B2
P=(x|y)
P´=(x´|y´)
Aufgabe zur Reflexionseigenschaft der Ellipse:1.) Einzeichnen der Brennpunkte F , F1 2
2.) Einzeichnen eines Lichtstrahls aus F durch P1
3.) Reflexion des Strahls an der Ellipse4.) graphische Kontrolle ob der reflektierte Strahl durch den
Brennpunkt F verläuft.2Einfallswinkel = Ausfallswinkel
Reflexionsgesetz
P
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Parabel Raumgeometriebuch Seite 70, 118
Brennpunkt-Leitgeraden-Definition: Alternativ zur Definition als ebener Schnitt eines Drehkegels kann eineParabel auch als die Menge aller in einer Ebene liegenden Punkte Pdefiniert werden, deren Abstände PF und Pl von einem festen Punkt F
(Brennpunkt) und einer festen Geraden l (Leitgerade) jeweils gleich sind.
Brennpunktsdefinition:
Tangentenkonstruktion: Die Tangente t in einem Punkt P derParabel steht normal auf die entsprechende Verbindungsstrecke FL .P
Parabelgleichung:2y = 2px
PF = Pl
Aufgabe zur Reflexionseigenschaft der Parabel:1.) Parallel zur Achse einfallenden Lichtstrahl e durch den
Punkt P einzeichnen.2.) Reflexion r des Lichtstrahls e an der Parabel konstruieren3.) Reflektierten Lichtstrahl r erneut an der Parabel reflektieren4.) graphische Kontrolle ob der ausfallende Lichtstrahl a
parallel zum einfallenden Lichtstrahl e verläuft und ob der
Lichtstrahl r durch den Brennpunkt verläuft.
F
l
Einfallswinkel = Ausfallswinkel
Reflexionsgesetz
F
PLP
l t
S
p/2p/2
y
x
P
d
d
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Inhalt der 5. Übung:Ÿ Modellieren fortgeschrittener technischer ObjekteŸ Arbeiten mit dem Benutzerkoordinatensystem (BKS)
Übung 5
Aufgabe 5.1: Modellieren Sie das Objekt mit Hilfe der Funktion „dynamisches BKS” und der Booleschen Operationen.
(Angabeblatt 3, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
TIPP:Verwenden Sie dieFunktion (16) „dynamisches BKS”
Aufgabe 5.3: Modellieren Sie die folgenden Extrusionskörper. (Angabeblatt 4+5, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
1
5TIPP zu 5:Das Objekt ist als Durchschnittzweier Extrusionskörper zukonstruieren.
Aufgabe 5.2: Modellieren Sie das folgende Objekt. Orientieren Sie dafür das BKS gemäß der Abbildung an der Raumdiagonalen.
(S.20, Fig. 3.12, Raumgeometrie-Theoriebuch)
x y
z
A
B
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Aufgabe 5.4: Modellieren Sie die folgenden technischen Objekte.(Angabeblatt 5, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
TIPP zu 2:Das innere Profildreieckerhalten Sie mit dem
Werkzeug „Versetzen”.
Zusatzmaterial:(Angabeblatt 3-5, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
8
16
6
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Übung 6
Inhalt der 6. Übung:Ÿ Verwendung des Torus bei ModellierungsaufgabenŸ Konstruktion archimedischer Polyeder Ÿ Modellieren von Modellen aus Architektur, Kunst und Design
Der Torus ist eine Fläche, die durch Drehung eines Kreises(Meridiankreis) um eine Achse entsteht, wobei die Achse inder Trägerebene des Meridiankreises liegt. DieMeridiankreismittelpunkte liegen auf dem so genanntenMittenkreis. Der Torus ist somit durch die Radien r 1(Mittenkreisradius) und r (Meridiankreisradius) festgelegt.2
Genau dies ist auch die Eingabe in AutoCAD: Mittelpunktdes Mittenkreises + r + r .
1 2
Infobox: Torus(vgl. S.23, Raumgeometrie-Theoriebuch)
Aufgabe 6.1: Modellieren Sie das gegebene Objekt mit Hilfe Boolescher Operationen(S.23, Fig. 3.22, Raumgeometrie-Theoriebuch)
Aufgabe 6.2: Modellieren Sie das gegebene Objekt mit Hilfe Boolescher Operationen(S.23, Fig. 3.21, Raumgeometrie-Theoriebuch)
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X
y
xy
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Zusatzmaterial(Arbeitsblatt 7+9, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
2
Aufgabe 6.3: Modellieren Sie folgende Archimedische Polyeder. In TUWEL finden sich Anleitungen zur Konstruktion, falls diese erforderlich sein sollten.(Angabeblatt 11, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
Aufgabe 6.4: Modellieren Sie die Skulpturen aus Würfeln. Überlegen Sie hierzu, wie dieDrehparameter für die einzelnen Würfel gewählt werden müssen. Meiden Siealso vorerst die Anleitungen (TUWEL) und nutzen Sie diese nur im Ernstfall,oder zur Kontrolle für Ihre Überlegungen.
(Angabeblatt 11, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
y
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Inhalt der 7. Übung:Ÿ Modellieren von RohrverbindungenŸ Modellieren von ÜberdachungenŸ Volumsmodelle in Flächenmodelle umwandeln
Übung 7
Aufgabe 7.1: Modellieren Sie folgende Rohrverbindungen. (Angabeblatt 13, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
6
1 8
12
TIPP: Modellieren Sie sämtliche Beispiele als Volumsmodelle und wandeln sie dieseam Schluss mit dem Werkzeug „Ursprung” in Flächenmodelle um.
Aufgabe 7.2: Modellieren Sie folgende Überdachungen. (Angabeblatt 14, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
Drehzylindrische Schalen
4
y''
z''6
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Zusatzmaterial:(Angabeblatt 14, Raumgeometrie-Arbeitsbuch)
4 1
Zusatzprüfung aus Darstellender GeometrieSeite 21
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Zusatzprüfung aus Darstellender Geometrie Seite 22
Inhalt der 7. Übung:Ÿ Konstruieren einer Bezierkurve mittels Algorithmus von De CasteljauŸ Berechnen einer BezierkurveŸ Anwenden der Eigenschaften der Bezierkurven
Übung 8
Aufgabe 8.1: Leiten Sie die Parameterdarstellung einer Bezierkurve her.
Aufgabe 8.2: Sei eine Bezierkurve durch die Kontrollpunkte B ,..,B gegeben. Konstruieren0 3
Sie den zum Paramterwert u=0,5 gehörenden Kurvenpunkt P.
b0
b1
b2
1b0
1b1
2b0
1b = b + t(b - b ) = (1 - t) b + t b0 0 1 0 0 1
1b =1
2b =0
1 - t
t
t
t
1 - t
1 - t
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Aufgabe 8.3: Überprüfen Sie den in der vorigen Aufgabe konstruierten Kurvenpunkt Panhand einer Rechnung und geben Sie eine Parameterdarstellung derTangente in P an. Die Kantenlänge des Würfels ist 10.
3 2 2 3. . . . . . . .c(u) = (1-u) B + 3 (1-u) u B + 3 (1-u) u B + u B0 1 2 3
.c(u) =
..t = c(u) + r c(u) =u
Infobox: Eigenschaften von Bezierkurven
Ÿ Eine Bezierkurve n-ten Grades wird durch n+1Kontrollpunkte festgelegt.
Ÿ Endpunktinterpolation: Eine Bezierkurve berührtihr Kontrollpolygon im Anfangs- und imEndpunkt.
Ÿ Konvexe Hülle Eigenschaft: Eine Bezeirkurve
befindet sich immer in der konvexen Hülle ihrerKontrollpunkte.
Ÿ Unterteilungseigenschaft: Eine Bezierkurvekann in jedem ihrer Punkte in zwei Bezierkurvengleichen Grades zerteilt werden.
Ÿ Variationsreduzierende Eigenschaft: EineGerade schneidet eine Bézierkurve höchstens
so oft, wie sie ihr Kontrollpolygon schneidet.
g
Unterteilungseigenschaft
Variationsreduzierende Eigenschaft
Konvexe Hülle Eigenschaft
Zusatzprüfung aus Darstellender GeometrieSeite 23
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Infobox: B-Spline Kurve
Ÿ Eine B-Splinekurve ist aus mehreren Bezierkurven gleichen Grades zusammengesetzt.Ÿ Sie ist durch ein Kontrollpolygon und den Grad n eindeutig festgelegt.Ÿ Bezierkurven sind Spezialfälle von B-Spline Kurven, deren Grad die Anzahl der
Kontrollpunkte -1 ist. Dies ist zugleich auch der höchstmögliche Grad eine B-Spline Kurve.
Aufgabe 8.4: Kann es sich bei den folgenden Abbildungen um Bezier- oder B-Splinekurven handeln? Begründen Sie ihre Antwort.
B A EG
F
C
H
D
J
IK
L M
Zusatzmaterial: Auf TUWEL befinden sich zwei JPG-Dateien. Fügen Sie diese in Auto-CAD ein undapproximieren Sie die gegebenen Kurven durch Bezier- oder B-Splinekurven.
Abb. 1
Abb. 2