1

Elektrische Schwingungen und Wellen1. Wechselströme

2. Elektrischer Schwingkreisi. Freie Schwingungii. Erzwungene Schwingungiii. Tesla Transformator

3. Elektromagnetische Welleni. Wellenii. Elektromagnetische Welleniii. Hertzscher Dipoliv. Wellenausbreitung im Vakuumv. Wellen auf Leitungen

Hertz‘scher Dipol

C und L werden immer kleiner gemacht, damit erhöht sich die Resonanzfrequenz!

Extremfall: Ein Stück Leiter mit Länge l, wie groß wird die Resonanzfrequenz? Leiter: L = l L‘ Induktivität = Länge x Induktivität/Länge

C = l ε C‘ Kapazität = Länge x Dielektrizitätskonstante der Umgebung xKapazität/Länge

''111CLl r

res εω =

ωres steigt mit Verkürzung des Dipols und hängt von Umgebung ab

2

Feldverteilung

L und C: Felder konzentriert auf Inneres der Spule bzw Kondensatoraußerhalb der Elemente Felder ~ 0

Hetzscher Dipol: Felder reichen weit nach außenUmgebung spürt Felder

Feldverteilung eines Dipols

Die in der ersten Schwingungsperiode erzeugten E- und B-Felder breiten sich im Raum aus, dann wechseln die Vorzeichen und die äußeren Feldbereiche schnüren und koppeln sich ab (Seifenblase!)

Energie wird abgestrahlt:Schwingkreis wird gedämpft

3

Abstrahlung Hertz‘scher Dipol

Felddarstellung: elektrisches Feld

Abstrahlung Hertz‘scher Dipol

Poynting Darstellung: Punktdichte prop zu Energie

4

Erzwungene Schwingung

Ohmsche Verluste in Leiter und angestrahlte Energie dämpfen SchwingkreisAufrechterhaltung durch Wechselspannugsquelle

Resonanz

Damit vom Sender effektiv Energie abgestrahlt werden kann, muss erin Resonanz mit dem Dipol sein.Resonanzbedingung: Wellenlänge muss gleich 2 l sein

Stationäre Strom und Spannungsverteilung

Randbedingung: offenes Ende Strom muss null werdenmaximale Spannung zwischen Enden

Experiment: Wellenlänge λ = 2,4 m ⇒ Dipollänge =1,2m

5

Nachweis der Verteilung

Schleife mit GlimmlampeNachweis von B bzw I

EntladungslampeNachweis von E bzw U

Spannung auf Leiter hängt vom Ort ab!!! Stehende Welle

Hertzscher Dipol

≈

SendedipolErzwungene Schwingung

Empfangsdipol

Sendedipol f = 125MHzλ = c/f = 2.4m Wellenlänge

Optimaler Empfang, wennEmpfänger und Sender inResonanz

''111CLl r

res εω =

Abstimmung über LängeEmpfänger = Senderoder Dielektrizitätskonstante

ElektrischerSender

Nachweis von Strom

6

Hertzscher Dipol in Wasser

Optimaler Empfang, wenn Empfänger und Sender in Resonanz

''111CLl r

res εω =

Abstimmung über Länge: OptimumLänge Empfänger = Länge Sender

Wasser: εr = 81

Verhältnis Dipollänge Luft : Dipollänge Wasser = 1 : √εr = 1 : 9

Aber Länge hängt auch von Eigenschaften des umgebenden Medium ab:

Abstrahlcharakteristik eines Dipols

In welche Richtung strahlt ein Dipol ab?

Die maximale Abstrahlung erfolgt normal zur DipolachseKeine Abstrahlung in Richtung der DipolachseP(θ) prop sin(θ)2

θ

7

Polarisation

Polarisation gibt die Richtung des elektrischen Feldes an

Dipol: E parallel zu Stabachse und daher normal auf Ausbreitungsrichtung

Nachweis: Empfangsdipol nur empfangsfähig, wenn Stabachseparallel zu Polarisationsrichtung, d.h. Richtung des E Feldes

Ausbreitungs-richtung

Hertzscher Dipol mikroskopisch

Ortsfeste positive KerneFrei bewegliche ElektronenNeutrales Metall: Ladungsschwerpunkte gleich

Wechselfeld ( E0sin(ωt) ) angelegt: Elektronen schwingen relativ zu KernenLadungsschwerpunkte verschobenBeschreibung mit Dipolmoment p = q d0

+ + +

Auslenkung dSchwerpunkt +q

Schwerpunkt -q

( ) ( ) zetqdtdqtprrr

ωsin0==Zeitabhängiges Dipolmoment

Wie groß ist max. Auslenkung d0?Weg nach viertel Periode T: d = v T/4 v Driftgeschwindigkeit << cv ≈1m/s, f = 10MHz ⇒ T= 0.1µs: d0 = 4 10-8 m Antennenlänge l = λ/2= c T/2 = 15m >> d0

8

Theorie des Hertzschen Dipols

Leiter mit Ladungsdichte ρWechselstrom Oszillationen Stromdichte j = ρ vStromdichte verknüpft mit Vektorpotenzial AVektorpotenzial in P gegeben

0

r2 r1

r12 P

Allgemein: zeitabhängige Strom- und LadungsverteilungBerechnung von Potenzial bzw. Vektorpotenzial als Funktionvon Ort und Zeit, B und E daraus berechnen

( ) ( )2

12

21 dV

rrjrA ∫∝rr

rrStationäre Stromdichte

( ) ( )2

12

1221

/,, dVr

crtrjtrA ∫−

∝rr

rr

Zeitliche Änderung des Stroms in r2wird in r1 nur verzögert wahrgenommenEM Welle breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus

Vektorpot zum Zeitpunkt t wird von Stromdichte zu Zeitpunkt t-∆t bestimmt∆t = Abstand/ Lichtgeschwindigkeit = r12/c = Retardierung

Theorie des Hertzschen Dipols

Aus Vektorpot folgen zwei Terme:Nahfeld von E und B: r12 ≈ WellenlängeFernfeld von E und B: r12>> Wellenlänge

tEjrotB∂∂

+= 000 εµµ

Woher kommen die?Nahfeld: Magnetfeld durch Stromim Dipol erzeugt

Fernfeld: Magnetfeld durch Verschiebungsstrom

E im Nahfeld durch Ladungsverteilung (Quellenfeld)E im Fernfeld durch Induktion dB/dt (Wirbelfeld)

( ) ( )

( )

( ) ( )c

kr

krtqdtrA

qvtptpqdVvj

dVr

crtrjtrA

ωωω

ωρρ

=−

∝⇒

====

−∝

∫

∫

cos,

dtdp und sin sowie mit

/,,

01

0

212

1221

rr

rrrr Ladungen schwingen mit Frequenz ω

Zeitlich veränderliches Vektorpot,das sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet

9

Ergebnisse Fernfeld1. E und B in Phase2. B konzentrische Kreise um Dipolachse, E immer senkrecht auf B

und senkrecht auf Abstandsvektor zum Mittelpunkt3. E = c B (EM Wellen)4. In großem Abstand B und E näherungsweise linear polarisierte

ebene Wellen, Ebene senkrecht durch Zentrum 5. Abgestrahltes Feld proportional zu Dipolbeschleunigung, Amplitude

nimmt mit 1/r ab (Kugelwelle)

( ) ( )

( ) ( )krtr

pc

E

rtrptrp

trBE

−=

=∂∂

∝∝

ωθωπε

sinsin4

1

,,1

20

20

2

2 &&

Hertzscher Dipol Abstrahleigenschaften

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Energiestromdichte Poynting Vektor

30

420

2

242

0

0

12

sin

1

cpP

rpS

BES

πεω

θω

µ

=

∝

×=

r

rrrθ

Sr

Folgerungen:1) Abstrahlungscharakteristik eines Dipols: ∝ sin2θ

Keine Abstrahlung in Richtung des Dipols2) Abstandsgesetz: S ∝1/r2(Energieerhaltung)3) Frequenzabhängigkeit: ∝ ω4, 1/λ4

Beispiel: Himmelsblau ("Rayleigh –Streuung")

Betrag der mittleren Dichte

Gesamte abgestrahlte Leistung

10

Abstrahlung einer beschleunigten Ladung

2

3

2

32

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

dtdv

cePε

Theorie: Jede beschleunigte Ladung strahlt wie ein Dipol eine elektromagnetische Welle ab.

Gesamte abgestrahlte Leistung proportional zum Quadrat der Beschleunigung

Harmonisch bewegte Ladung: Definition eines „Dipolmoments“p(t) = p0 sin(ωt) = e x0 sin(w t) Beschleunigung = d2 p(t)/dt2

3

420

32

cpPεω

=

Abstrahlcharakteristik wie bei Dipolstrahlung

Abstrahlung einer beschleunigten Ladung

Jede beschleunigte Ladung strahlt Energie ab

Beispiel: Lineare Teilchenbeschleuniger (LINAC Stanford)Elektron gewinnt in einem Meter eine kinetische Energie von 10MeV

Was heisst beschleunigt?

Abgestrahlte Leistung P ~ 10-40 (10 MV)2 = 10-26 W so gut wie nichtsverlustfrei

Damit Leistung abgestrahlt wird, müsste Energie um 1014 MeV proMeter erhöht werden

Makroskopisch beschleunigte Teilchen strahlen offensichtlich nichtWelche dann?

11

Röntgenröhre

Elektronen in E-Feld beschleunigtAuftreffen an Anode: Kollision mit AtomenAbbremsung (negative Beschleunigung)Emission von EM Welle

Elektronen stoßen nicht mit Atomen zusammen, sondern werden abgelenkt

Synchrotron

Synchrotrons: Elektronen laufen mit nahezu Lichtgeschwindigkeit auf KreisbahnUm Elektronen auf Kreisbahn zu halten ist Zentripetalbeschleunigung erforderlich

12

Synchrotronstrahlung

Durch relativistische Effekte Abstrahlung in Bündel in Richtungder Geschwindigkeit

Elektronen auf KreisbahnGeschwindigkeit konstantaber Richtung wird geändert(Zentripetalbeschleunigung)

Elektro-magnetisches Spektrum

Transversale EM Wellen

fc

=λ

Wellenlänge λFrequenz fLichtgeschwindigkeit c(2.998 108 m/s)

Vakuum

13

Mikrowellen

Mikrowellen sind elektromagnetische WellenWellenlänge im cm bzw. mm Bereich

Eignen sich gut zur Demonstration der Welleneigenschaften vonelektromagnetischer Strahlung

MikrowellensenderDipol

MikrowellenempfängerDipol(mit Lautsprecher verbunden)

Absorption von Mikrowellen

Messung der Transmission von Mikrowellen:Isolatoren: Kunststoff, PapierMetallenWasser Eis

Mikrowellen: Elektromagnetische StrahlungDipole werden ausgerichtetEnergieaufnahme: Resonanz

Eis: Dipole fixkeine Resonanz

10 GHz

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Reflexion von Mikrowellen

Sender

Empfänger

Mikrowellen werden reflektiertEinfallswinkel = Ausfallswinkel

PolarisationE Feld

Empfangsdipol orthogonal zu E Feld:kein Empfang

Schlitze parallel zu E Feld:kein Empfang(vgl. Seilwelle)

Schlitze normal zu E FeldEmpfang(Seilwelle würde nicht druchgehen)

Mikrowellen linear polarisierte EM Wellen

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Brechung

Bei Übergang von Medien, ändert EM Welle ihre Richtung

Herleitung: Stetigkeitsbedingungen an Grenzflächen

Wellenoptik mit Mikrowellen

Mikrowellen zeigen Welleneigenschaften: Interferenz und Beugung

Mehrere Spalte: Intensität in Schattenraumund starke räumliche Modulation des Intensitätsverlaufs:Interferenz

16

Stehende Wellen

SenderEmpfänger

Welle wird an Metall reflektiertPhasengeschwindigkeit Metall < Luft π Phasensprung: Knoten an MetallAbstand zwischen zwei Maxima λ/2 (wg. Leistung ∝ E2)f = 10GHz ⇒ λ = 3cm

λ

Welleneigenschaften1. Absorption: Welle wird beim Durchgang durch Medium

abgeschwächt, Energie wird in Medium deponiert (Wärme)Absorption hängt von Material, Aggregatzustand, Frequenz, …ab

2. Reflexion: Welle dringt nicht in Medium ein, Energie wird in bestimmten Winkel reflektiert

3. Polarisation: EM Wellen sind polarisiert, Nachweis mit Orientierung des Dipols, bzw. Polarisator der nur eine Polarisationsrichtung durchlässt

4. Beugung: EM Welle gelangt in den Schattenraum von Hindernissen (die klein bzw. vergleichbar groß wie Wellenlänge sind)

5. Interferenz: EM Wellen überlagern sich, es kommt lokal zu Überhöhungen bzw. Auslöschungen (stehende Welle, Gitter..)

6. Brechung: EM weichen von geradliniger Ausbreitung ab

17

Wellenleiter

Man kann Wellen auch in Hohlleitern (z.B. in Rohren) transportieren:

Da das Material leitend ist, verschwindet die elektrische Feldstärke an den Rändern. Die Verwendung von Hohlleitern zum Energietransport ist der von normalen Drähten bei hohen Frequenzen deutlich überlegen: Es gibt keine Verluste durch den ohmschen Widerstand und durch die Abstrahlung von elektromagnetischen Wellen!

Rechteckförmiger Wellenleiter: Hohlleiter

E Feld

H- Feld

Hohlleiter eignen sich nurfür hohe Frequenzen > fgrenz

fgrenz = c/ 2 a

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Kurzwellenübertragung

Ionosphäre und Erde bilden WellenleiterKurzwellen können empfangen werden, wo sie durch geometrischeAusbreitung nicht erwartet werden können.

Glasfaser

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Drahtwellen

Stehende Wellen auf offener Leitung

Jede am Ende offene Leitung (Leerlauf) besitzt dort ein Spannungsmaximum und ein Stromminimum.

20

Kurzgeschlossene Leitung

Jede am Ende kurzgeschlossene Leitung besitzt dort ein Strommaximum und ein Spannungsminimum.

LecherleitungEntlang von parallelen Drähten (Doppelleitung, Flachbandkabel) kann man elektromagnetische Wellen transportieren: Wenn der Drahtabstand d klein ist gegenüber der Wellenlänge λ interferieren die von beiden Leitern erzeugten elektromagnetischen Wellen destruktiv, so dass auch hier die Abstrahlungsverluste klein sind.

Die Ströme auf den beiden Leitern sind um 180° phasenverschoben, daher überlagern sich die abgestrahlten elektromagnetischen Wellen destruktiv. Ist das zweite Ende offen, gibt es dort Knoten in der Stromverteilung und Bäuche in der Spannungsverteilung.

Nachweis Spannung mit Glimmlampe

Nachweis Strom Spule

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Koaxialkabel

Hier dient der äußere (geerdete) Mantel als Abschirmung. Die elektromagnetischen Wellen können nicht nach außen entweichen. Der Innenraum ist meist mit einem Dielektrikum ausgefüllt.