Elektrizitätslehre

37 Wichtige elektrische Größen

37.1 Vorbemerkungen

Ohne die ElektrotechniklElektronik wäre das menschliche Dasein nicht mehr denkbar. Beleuchtungen, Heizungen, elektronlOtorische Antriebe, Einrichtungen zur lnforrnations­gewinnung, Informationsübertragung sowie -nutzung wie Fernsprecher, Steuerungen, Re­gelungen, Rundfunk und Fernsehen und schließlich alle EDV-Anlagen sind unmittelbar von elektrischen Erscheinungen abhängig. Trotz aller Vielfalt der Vorgänge und der unter­schiedlichsten Anwendungsmöglichkeiten lassen sich diese durch relativ wenige physika­lische Gesetze verstehen. Die Behandlung dieser Gesetze soll in den nächsten Abschnitten geschehen, wobei es auch hier wie in den bisherigen Darstellungen nicht möglich ist, das Vollständigkeitsprinzip zu verwirklichen. Dabei werden einige grundlegende Erfahrungen vorausgesetzt:

1. Bestimmte Körper (z. B. Glas, Hartgummi, Kunststoffe usw.) ziehen nach Reibung an­dere Körper an oder stoßen sie ab. Körper in diesem Zustand heißen elektrisch geladen (s.39.1).

2. Es gibt zwei Arten der elektrischen Ladung, die man willkürlich als positive (Glas) und negative Ladung (Hartgummi) bezeichnet hat.

3. Erfahrungsgemäß ist stoffliche Materie elektrisch neutral.

4. Elektrische Ladung ist an stoffliche Materie gebunden, sie ist eine Eigenschaft der Materie. So sind z. B. Elektronen negativ und Protonen positiv geladen. Auch andere Elementarteilchen (s. 56.2) haben positive oder negative Ladung oder sind elektrisch neutral (z. B. das Neutron). Haben Atome oder Moleküle eine elektrische Ladung, hei­ßen sie Ionen.

5. Die elektrische Ladung ist quantisiert, d. h., es gibt eine kleinste in der Natur frei vor­kommende Ladung. Diese nennt man Elementarladung (z. B. hat das Elektron die ne­gative, das Proton die positive Elementarladung).

6. Elektrische Ladungen üben Kräfte aufeinander aus. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an.

7. Makroskopisch bedeutet eine negative Ladung einen Elektronenüberschuß, positive einen Elektronenmangel.

8. Für die elektrische Ladung gibt eS einen Erhaltungssatz. Dieser ist eines der funda­mentalsten Gesetze in der PhYsik. Selbst bei Kernumwandlungen (s. Kapitel 52) wird

37.2 Elektrische Stromstärke und elektrische Ladung 441

dieses Gesetz nicht verletzt, d. b., in jedem abgeschlossenen System ist die Gesamtla­dung (die Summe aus positiven und negativen Ladungen) konstant.

9. Unter einem elektrischen Strom versteht man die relativ langsame Bewegung von La­dungsträgern in einem Körper beliebigen Aggregatzustandes. Man unterscheidet Elek­tronenleitung, Ionenleitung und Mischleitung (Elektronen und Ionen bewegen sich).

10. Elektrische Ströme können drei Wirkungen hervorrufen: thermische, magnetische und chemische Wirkungen.

11. Der elektriscbe Strom wird von den einzelnen Stoffen unterschiedlich geleitet. Bei üblichen Umgebungstemperaturen von mehr als -50 oe unterscheidet man:

(a) Leiter, z. B. Metalle, Metallegierungen und Elektrolyte. In den Leitern sind die Ladungsträger relativ gut beweglich. Der spezifische elektrische Widerstand (s. 37.4) guter Leiter ist (} < 10-8 Q . m.

eb) Nichtleiter oder Isolatoren, z. B. Harze, nicbtleitende Gläser, Keramik, Paraffin u. a. In diesen sind keine frei beweglieben Ladungen vorbanden. Der spezifi che Widerstand guter Isolatoren ist (} > 108 Q . m.

Ce) Halbleiter, z. B. Germanium, Silicium, Galliumarsenid, Metallsulfide und Oxide. Bei den Halbleitern wird die Leitfähigkeit sehr stark durcb die Temperatur und durch besondere Behandlung (Dotierung, s. 43.8) weitgehend beemftußt. Der spe­zifische elektrische Widerstand liegt bei Zimmertemperatur in der Größenordnung von 1 Q. m. Auf Supraleiter wird im Abschnitt 43.4 eingegangen.

37.2 Elektrische Stromstärke und elektrische Ladung

Die elektrische Stromstärke ist eine Basisgröße. Sie wird mit dem Formelzeichen I oder i bezeichnet, je nachdem, ob die Stromstärke zeitlich konstant ist oder nicht. Die Basiseinheit der Stromstärke ist das Ampere (A). Die Definition lautet, etwas verein­facht dargestellt (Bild 37.1):

1A

TA

1m

t Bild 37.1: Zur Definition des Ampere

Das Ampere ist die Stärke eines elektrischen Stromes durch zwei parallele Lei­ter, die einen Abstand von 1 m haben und zwischen denen die durch den Strom hervorgerufene Anziehungskraft je 1 m Leitungslänge 2· 10-7 N beträgt.

Die Messung erfolgt durch geeichte Stromstärkemeßgeräte (Strommesser), die von dem zu messenden Strom durchflossen werden. Der Aufbau und die Wirkungswei e dieser Geräte werden in 40.6 beschrieben.

~ __ 2 ____________________________________ ~3~7~~VV~i~c~h~ti~g~e~e~le=k~tn~·s~c~h~e~G~r~ö~·ß~e~n

b er elektrische Strom entsteht durch die Bewegung einer elektrischen Ladung (Elektri­:titätsmenge) Q in der Zeit t durch einen Leiter oder Halbleiter. Es gilt omit

1 i ~ d Q I oder bei konstanter I, ~ Q I Elektriscbe (37.1) dt Stromstärke t Stromstärke

bie Einheit der elektrischen Ladung ist: [Q] = A· s = C (Coulomb).

Größere Ladungen werden in Ab (Amperestunden) gemessen. babei ist 1 A . b = 3,6 kA . s = 3,6 kC.

bje kleinste in der Natur frei vorkommende Ladung ist die Elementarladung e (z. B. das Elektron hat die negative und das Proton die positive Elemantarladung). Sie beträgt

I e = 1,60217653.10- 19 C I Elektrische Elementarladung

Bruchteile der Elementarladung sind bisher nicht beobachtet worden, nur ganzzahlige Viel-/ lA

fache davon. Bei einer Stromstärke von 1 A fließen demnach wegen - = . 19 e 1, 6 . 10- A· s

etwa 6,2 Trillionen Elektronen innerhalb einer Sekunde durch den Drahtquerschnitt, d. h. 1 C ~ 6, 24 . 1018e.

Die Richtung des elektrischen Stromes wurde willkürlich festgelegt:

Die elektrische Stromrichtung ist die Bewegungsrichtung positiver Ladungs­träger.

Für die Beurteilung der Belastbarkeit elektrischer Leitungen ist die elektrische Stromdich­te J von Bedeutung. Ist die Stromstärke über dem gesamten Leiterquerschnitt konstant, ist die Stromdichte der Quotient aus der Stromstärke / und dem Leiterquerschnitt A:

1 J ~ ~ I Elektrische Stromdichte (37.2)

Die SI-Einheit der Stromdichte ist zwar Nm 2 , es ist oft praktisch günstiger, mit A/mm2

= ] 06 A/m2 = MA/m2 zu rechnen.

Beispiele: 1. Die Stärke des Stromes durch im Haushalt genutzte Glühlampen liegt je nach Leistung etwa zwi­schen 0, I A und 0,5 A. Bei Sparlampen ist die Stromstärke ungefähr zwischen 20 mA und 70 mA. Fernsehgeräte nehmen etwa 0,5 A und Waschmaschinen und Elektroherde ca. 10 A oder 16 A auf.

2. U ngeflihre Ladungen sind bei Taschenlampenbatterien etwa I, 25 Ah = 4, 5 kC, bei Autobatterien zwischen 36 Ah und 60 Ah.

3. Für die Belastbarkeit von mehradrigen elektrischen Leitungen bei GebäudeinstaJlationen unter Putz liegen für Dauerbetrieb, 30°C Umgebungstemperatur und 60°C Betriebstemperatur die zuläs-igen Stromdichten zwischen 10,3 Nmm 2 (1,5 mm2 Cu) und 2,00 A/mm2 (120 mm2 Cu). Sind

dje Leitungen auf Putz im Installationskanal verlegt, sind die zulässigen Stromdichten zwischen 9,33 Almm2 (l,5 mm2) und 2,7 I Nmm2 (35 mm2) und bei frei in der Luft verlegten Leitungen zwischen 12,3 Nmm2 (1,5 mm2) und 3,6 Nmm2 (35 mm2).

37.3 Elektrische Spannung 443

37.3 Elektrische Spannung

In einem Körper mit dem elektrischen Widerstand R (s. 37.4) fließt nur dann ein elektri­scher Strom 1, wenn eine bestimmte Ursache die Ladungsträger in Bewegung setzt. Diese Ursache wird Quellenspannung Uq genannt.

Die Quellenspannung ist die Ursache des elektrischen Stromes. Ihre Richtung wird der elektrischen Stromrichtung entgegen festgelegt (Bild 37.2).

Elektrische Quellenspannungen werden von Spannungsquellen erzeugt (galvanische Ele­mente, Akkumulatoren, Generatoren, im Hausgebrauch die Steckdose). Spannungsquellen sind Energiequellen, die in einem geschlossenen Stromkreis an die dort bereits vorhande­nen Elektronen Energie abgeben und somit deren Bewegung bewirken. Die Spannungs­quelle selbst führt dem Stromkreis keine Elektronen zu.

Zuvor muß den Spannungsquellen selbst Energie zugeführt werden, die eine räumliche Trennung der ursprünglich nicht getrennten elektrischen Ladungen beiden Vorzeichens in + Q und - Q erreicht. Die zugeführte Energie ist meistens nichtelektrischer Natur (che­mische Reaktionen, Induktionsvorgänge, thermoelektrischer Effekt, Fotoeffekt). Die ge­trennten Ladungen sind die Ursache der Quellenspannung. Die Überlegungen führen zur Definition der QueUenspannung Uq als Quotienten aus der zur Ladungstrennung nötigen zugeführten Energie Ezu und der Größe dieser Ladung Q eines Vorzeichens:

QueUenspannung (37.3)

Von der Spannungsquelle bewegt sich in einem geschlossenen Stromkreis die Ladung Q durch die einzelnen Teile dieses Stromkreises (Leitungen, Lampen, Motoren usw., allge­mein elektrische Widerstände). Dort wird die Energie wieder abgegeben, d. h. in andere Energieformen umgesetzt (Wärmeenergie, mechanische Energie usw.). Die dadurch an den Enden eines Widerstandes auftretende Spannung wird als SpannungsabfaJl bezeichnet. Der Spannungsabfall U ist der Quotient aus der im Widerstand umgesetzten Energie Eab

und der Ladung Q, die den Energieumsatz bewirkt:

Spannungsabfall (37.4)

Die Richtung des Spannungsabfalles ist die gLeiche wie die des elektrischen Strome.

Die Einheit der Spannung ist das Volt (V). Es besteht folgender Zusammenhang:

[U) = J/C = W . s/(A . s) = W/A = V

Aus Bild 37.2 sind alle Richtungsfestlegungen zu erkennen:

1. Der elektrische Strom fließt durch den äußeren Stromkrei vom +-Pol zum --Pol der Spannungsquelle.

2. In der Spannungsquelle fließt der elektrische Strom in der gleichen Richtung weiter, also vom --Pol zum +-Pol.

444 37 Wichtige elektrische Größen

CfJ/ U1•2 CfJ2

Elektron ------+'-IJ c=:::J~·1 _ .. 1 2

+ CfJ/ > 0 CfJ2 = 0

F ~ Bild 37.2: Vorzeichenfestlegungen im elektrischen Stromkreis

Bild 37.3: Zum Potential

3. Der Spannungsabfall hat die Richtung des elektrischen Stromes im äußeren Stromkreis.

4. Da die Elektronen negative Ladungsträger sind, bewegen sie sich der festgelegten elek­trischen Stromrichtung entgegen.

5. Die Quellenspannung hat die gleiche Richtung wie die sich bewegenden Elektronen, also in der Spannungsquelle von + zu -.

Die Messung von Spannungen erfolgt mit einem Spannungsmeßgerät (Spannungsmesser), welches nur dann anzeigt, wenn es von einem schwachen Strom durchflossen wird. Span­nungsmesser sind in Volt geeichte Strommesser mit sehr großem Innenwiderstand. Für Eichzwecke dient das Weston-Normalelement, welches bei 20 oe eine Quellenspannung von 1,01865 V hat.

Wählt man einen willkürlichen Bezugspunkt (z. B. die Erde) und setzt für diesen die Span­nung null fest, so wird eine neue Größe eingeführt, die elektrisches Potential <P genannt wird (die exakte Definition des Potentials steht in 39.3.3):

Das Potential eines Punktes in einem Leitersystem ist die Spannung gegenüber einem bestimmten, willkürlich gewählten Bezugspunkt, dessen Potential gleich null gesetzt wird.

Das Potential ist positiv, wenn zum Transport positiver Ladungen vom Bezugspunkt zum betrachteten Punkt Arbeit aufzuwenden ist.

Zwischen zwei Punkten unterschiedlichen Potentials besteht eine Potentialdifferenz. Diese muß nach Festlegung des Potentialbegriffs gleich dem Spannungsabfall U zwischen diesen Punkten sein (Bild 37.3).

I UI,2 = <PI - <P21 Spannungsabfall = Potentialdifferenz (37.5)

Elektrischer Strom fließt immer von Stellen höheren Potentials zu solchen niedrigeren Po­tentials.

37.4 Elektrischer Widerstand und elektrischer Leitwert 445

37.4 Elektrischer Widerstand und elektrischer Leitwert

Jeder Stoff leitet den elektrischen Strom unterschiedlich. Jeder Körper hat einen elektri­schen Widerstand R, der als Quotient aus dem an ihm vorhandenen Spannungsabfall U und der durch ihn fließenden Stromstärke I definiert ist:

Elektrischer Widerstand (Resistanz) (37.6)

Sein reziproker Wert wird als elektrischer Leitwert G bezeichnet.

Elektrischer Leitwert (Konduktanz) (37.7)

Aus den Gleichungen ergeben sich die Einheiten:

[R]=V/A=Q (Ohm); [G]=l/Q=S (Siemens)

Für einen homogenen Stoff mit konstantem Querschnitt kann durch einfache Versuche ge­zeigt werden, daß der elektrische Widerstand R proportional seiner Länge 1 und indirekt proportional der Querschnittsfläche A ist. Der Proportionalitätsfaktor ist ein Materialwert und wird als spezifischer elektrischer Widerstand Q (Resistivität) bezeichnet. Damit er­gibt sich

Widerstand eines homogenen Leiters mit konstantem Querschnitt

(37.8)

Die SI-Einheit von Q ergibt sich durch Umstellen von (37.8) und Einsetzen der Einheiten: [Q] = Q. rn. Für praktische Berechnungen bietet sich Q. mm2/m = 10- 6 Q . m = Il-Q . m an.

Der reziproke spezifische elektrische Widerstand heißt elektrische Leitfähigkeit y (Kon­duktivität).

Elektrische Leitfähigkeit (Konduktivität)

I [y] = -- = S/m (Siemens je Meter), SI-fremde Einheit: S · m/mm2

Q·m

(37.9)

Einige elektrische Kennwerte sind in den nachfolgenden Tabellen enthalten. Ver chiedene Größen werden in den nächsten Abschnitten behandelt. Man erkennt die gute Leitfähigkeit der Metalle.

446 37 Wichtige elektrische Größen

Elektrische Kennwerte einiger Metalle bei 20 oe Spezifischer Widerstand Leitfähigkeit Temperaturkoeffizient Q bei 20 °C Y a ß·106

inQ·mm2/m inS· mlmm2 in lIK in 1/K2

Silber 0,0163 62,5 0,0038 0,7

Reinkupfer 0,0172 58,1 0,0039 0,6

Leitungsku pfer 0,0178 56 0,0039 0,6

Leitungsaluminium 0,0286 35 0,0037 1,3

Zink 0,059 17 0,0037 2,0

Eisen 0,098 10 0,0066 6,0

Platin 0,105 9,5 0,003 0,6

Platin 10 / Rhodium 90 0,20 5,0 0,0017 0,4

Konstantan. (54 Cu, 45 Ni, 1 Mn) 0,50 2,0 0,0035.10- 3 -

Chromnickel (79 Ni , 20 Cr) 1,1 0,91 0,2.10-3 -

Quecksilber 0,96 1,04 0,92.10- 3 1,2

Elektrische Kennwerte einiger Isolatoren

Spezifischer Perrnittivitätszahl cr Ver! us tfaktor Widerstand Q tan.5 .103

inQ·cm bei 600 kHz

Bernstein 1016 2,8 5

Quarz 1012 3,8 .. . 5,0 0,1

Paraffin 10 14 .. . 1016 2,1 .. . 2,2

Glimmer 1013 ... 1015 7, 1 . .. 7,7 0,2

Gut destilliertes Wasser 5.105 81 ,57

Porzellan ::::::: 5 . 1012 5 . . . 6,5

Polystyrol ::::::: 1016 2,5 . . . 2,7

nichtleitende Gläser ::::::: 1010 .. . 1012 5 . . . 16

Transformatorenö1 ::::::: 10 10 .. . 1013 2,2 .. . 2,5

Beispiele: 1. Welchen Widerstand hat eine Kochplatte, die 10 m Chromnickeldraht von 0,45 mm Durchmesser enthält?

Ql 4Ql 1, 1 Q . rnm2 . 10 m . 4 Nach (37.8) ist R = - = -2 = 2 2 = 69, 2 Q.

A red m . re . 0, 45 mrn

2. Ein Thermoelement, bestehend aus zwei gleich langen Drähten aus Platin (Pt) und Platin (Pt90)/ Rhodium (RhlO) mit dem gleichen Durchmesser von 0,50 mm, soll bei 20 °C den Widerstand 1,00 Q haben. Wie lang müssen die Drähte sein?

. QII Q21 (QI + ( 2)1 RA Es Ist R = Rpt + Rpt/ Rh = - + - = und daraus I = ---

A A A QI +Q2 0, 64 m. Jeder Thermoelementdraht hat diese Länge.

=

37.5 Elektrischer Widerstand und Temperatur 447

37.5 Elektrischer Widerstand und Temperatur

Der spezifische elektrische Widerstand der meisten Stoffe ist mehr oder weniger stark tem­peraturabhängig. Bei Metallen nimmt er im allgemeinen mit steigender Temperatur t zu. Die Tabellenwerte gelten nur für die Bezugstemperatur t20 = 20 oe genau. Bis etwa 200 oe genügt für Metalle die Annahme einer linearen Abhängigkeit des Widerstandes von der Temperatur t. Ist R20 der Widerstand bei t20 = 20 oe, ergibt sich die Widerstandsänderung !1R bzw. die Änderung des spezifischen Widerstandes !1Q zu

I !1R = a R20(t - 20 oe) I bzw. I!1Q = aQ20(t - 20 oe) I (37.10)

Hierin ist a der Temperaturkoeffizient mit der Einheit 1/K. Für den elektrischen Widerstand Rr bei der Temperatur t ergibt sich daraus für kleine Tem­peraturdifferenzen !1t < 200 K

Temperaturabhängigkeit des Widerstandes bei kleinem !1t (37.11)

Bei größeren Temperaturdifferenzen gilt genauer eine Funktion 2. Grades (Überlegungen analog 17.2.1, Ausdehnungskoeffizient)

(37.12)

worin ß ein weiterer Temperaturkoeffizient mit der Einheit l/K2 ist.

Zu beachten ist schließlich, daß einige Stoffe einen negativen Temperaturkoeffizienten haben, d. h., ihr Widerstand nimmt mit steigender Temperatur ab (z. B. Kohle, Elektrolyte, bestimmte Arten von Halbleitern). Der Temperaturkoeffizient des Eisens ist in besonderem Maße von der Temperatur selbst abhängig, erreicht bei etwa 850 oe den Wert 0,01811K und nimmt dann wieder ab.

Wenn die Temperaturabbängigkeit des Widerstandes sich stärend bemerkbar macht (z. B. bei Widerständen für Meßzwecke), sind daher besondere Legierungen mit recht kleinem Temperaturkoeffizienten, z. B. Konstantan, zu empfehlen.

Beispiele: 1. Die Kupferwicklung eines Elektromotors hat bei 20°C einen Widerstand von 500 Q. Welchen Widerstand hat sie im Betrieb bei 62 °C?

R = 500 . (J + 0, 0039 . 42) Q = 582 Q.

2. Das Platin-Widerstandsthermometer Ptloo hat bei 0 °C den Widerstand 100,0 Q und bei 100 °C 138,3 Q. Wie groß ist unter Annahme linearer Temperaturabhängigkeit des Widerstandes für den an­gegebenen Temperaturbereich der Temperaturkoeffizient a? Wie groß ist die gemessene Temperatur einer Flüssigkeit, wenn das Widerstandsthermometer den Widerstand 120 Q hat?

Aus (37. I I) folgt für die Bezugstemperatur '0 = O°C a = Rr / RO - I = 0,00383 K- 1 . Für den , - 10

Widerstand Rr = 120 Q ergibt sich die Temperatur I = Rr / Ro - I + 10 = 52, 2°C. a

448 38 Gleichstromkreis

38 Gleichstromkreis

38.1 Ohmsches Gesetz

Die Definition des elektrischen Widerstandes (37.6) wird für sogenannte lineare Wider­stände, bei denen der elektrische Widerstand konstant ist, als Ohmsches Gesetz bezeich­net:

Ih~1 ] = GU Ohmsches Gesetz für Rund G konstant (38 .1 )

Es wird bei unveränderlicher Temperatur von den Metallen und Elektrolyten streng erfüllt. Für derartige lineare Widerstände ergibt die Stromstärke-Spannungs-Kennlinie (Cha­rakteristik) eine Gerade, der Anstieg f:::,.] / f:::,.U = 1/ R = G ist konstant (Bild 38.1)

1

u- Bild 38.1 : Einige Stromstärke-Spannungs-Kennlinien

Die Stromstärke-Spannungs-Kennlinien der Widerstände sind jedoch höchstens annähernd linear. So haben z. B. Widerstandslegierungen eine geringe Temperaturabhängigkeit und sind mit guter Näherung lineare Widerstände. In den meisten Fällen liegen nichtlineare Widerstände vor, für die das OHMsche Gesetz nicht gilt. Einige typische nichtlineare Wi­derstände sind z. B.

- Heißleiter (NTC-Widerstände); ihr Widerstand nimmt mit zunehmender Temperatur ab (Bild 38.1 Kennlinie 2). Halbleiter zeigen dieses Verhalten.

- Kaltleiter (PTC-Widerstände); hier nimmt der Widerstand mit der Temperatur zu (Kenn­linie 3). Das Verhalten der Metalle ist dadurch gekennzeichnet.

- Gasentladungsstrecken haben eine fallende Kennlinie (4), d. h., mit zunehmender Strom­stärke nimmt der Spannungsabfall ab.

- Bauelemente mit Sättigungskennlinie (5), z. B. die Ausgangskennlinienfelder von Tran­sistoren, haben solche Kennlinien. Ab einem bestimmten Spannungsabfall nimmt die Stromstärke nicht mehr zu, es sind nicht mehr Ladungsträger für eine weitere Erhöhung der Leitfähigkeit vorhanden.

- Weiterhin gibt es u. a. spannungsabhängige Widerstände (VDR-Widerstände oder Vari­storen) und lichtempfindliche Widerstände (LDR-Widerstände).

38.2 KIRCHHOFFsche Gesetze 449

Für die nichtlinearen Widerstände ist der Anstieg der Kennlinien variabel. Der reziproke Anstieg ist vom Arbeitspunkt abhängig und wird differentieller Widerstand r genannt:

I ' ~ dU I bzw. I r ~ W I dl 111

DifferentieUer Widerstand (38.2)

Der Widerstand R selbst ist vom Arbeitspunkt abhängig, d. h. , für jedes Wertepaar U , 1 ergibt sich der jeweilige Arbeitswiderstand R = U / I.

Beispiele: 1. Der Zeiger eines Spannungsmessers gibt 300 V an, wobei das Instrument von 0, I A durchflo sen wird. WeIchen Widerstand hat das Gerät?

Nach (38.1) ist R = U / 1= 300 V/(O, I A) = 3000 Q .

2. Ein Widerstand nimmt beim Spannungsabfall 110 V die Stromstärke 140 mA, bei 115 V 144 mA auf. Wie groß sind der differentielle Widerstand in diesem Bereich und die Betriebswiderstände in den betrachteten Arbeitspunkten?

Es wird r = 6.U / 6./ = 1250 Q sowie mit R = U / I für RI = 786 Q und R2 = 799 Q .

38.2 Kirchhoffsche Gesetze

Für die Berechnung von einzelnen und vernetzten Stromkreisen hat KIRCHHOFF zwei nach ihm benannte bedeutsame Gesetze entdeckt.

1. Kirchhoffsches Gesetz (Knotensatz)

Dieses Gesetz spielt bei der Auf teilung von elektrischen Strömen an einer Stromverzwei­gung (Knotenpunkt) eine Rolle. Nach dem Gesetz von der Erhaltung der Ladung ind alle in einer bestimmten Zeit einem Knotenpunkt zufließenden Ladungen gleich den in die­ser Zeit abfließenden Ladungen. Gibt man den zufließenden elektrischen Stromstärken ein positives Vorzeichen, den abfließenden ein negatives, lautet der Knotensatz für n Strom­stärken

[EI,~O[ k= 1

1. Kirchhoffsches Gesetz (Knotensatz) (38.3)

Die Summe aUer elektrischen Stromstärken ist unter Beachtung der festgeleg­ten Vorzeichen in einem Stromverzweigungspunkt (Knotenpunkt) gleich null.

Für die Stromstärken im Bild 38.2 gilt somit I1 + 13 + 14 - 12 - 15 = o. 2. Kirchhoffsches Gesetz (Maschensatz)

Einen geschlossenen einzelnen Stromkreis oder einen Teil tromkreis in einem aus mehre­ren Stromkreisen bestehenden Netzwerk bezeichnet man al Masche. Wird durch eine 01-che Masche Ladung Q transportiert, sind nach dem Energieerhaltungssatz die zugeführte und die abgegebene Energie gleich groß: L IlEzu = L 11 E ab . Nach der Definition der elektrischen Spannung (37.3) und (37.4) können für die zugeführten Energien die Quellen­spannungen und für die abgegebenen die Spannungsabfälle als Energiemaß gelten, d. h., die

450 38 Gleichstromkreis

in der Masche vorhandenen Quellenspannungen Vq müssen gleich den Spannungsabfällen V an den Widerständen sein. Werden die Vorzeichen aller Spannungen und der fließenden Ströme entsprechend den FestJegungen in 37.3 verwendet, ergibt sich für m Spannungs­quellen und n Widerstände in der Masche

i=m }=n

LVqi+ LU} =0 2. Kirchhoffsches Gesetz (Maschensatz) (38.4) i=! }=I

Unter Beachtung der Vorzeichen ist für jeden geschlossenen Stromkreis (Ma­sche) die Summe aller Quellenspannungen und Spannungsabfälle gleich null.

Bild 38.2: Zum Knotensatz Bild 38.3: Masche mit mehreren Spannungsquellen

Für die Masche im Bild 38.3 z. B. lautet der Maschensatz Vq2 - Vql - Vq3 + VI + V2 + V3 + V4 = O. Bei der Anwendung beider Gesetze muß streng auf die Vorzeichen geachtet werden. Dies ist besonders dann wichtig, wenn in der Masche mehrere Spannungsquellen enthalten sind und von vornherein die Richtung der Stromstärke und damit der Spannungs­abfälle nicht bekannt ist. In diesem Fall wird ein zunächst beliebiger Umlaufsinn festge­legt (Bild 38.6 im Beispiel 2 im Abschnitt 38.4). In diesem Umlaufsinn wird die Rich­tung der Stromstärke als positiv angenommen (auch wenn sie noch nicht bekannt ist). Alle Spannungsabfäl1e erhalten einen Pfeil in Stromrichtung und werden ebenfalls positiv an­genommen. Die Richtung der Quellenspannungen ist jeweils vom Plus- zum Minuspol der Spannungsquelle festgelegt. Ergeben sich im Verlauf der Berechnungen für die Stromstärke und die Spannungsabfälle positive Größen, so war die angenommene positive Zählrichtung richtig gewählt.

Im Fal1e eines negativen Ergebnisses müssen die Richtungen umgekehrt sein (Beispiel 2 im Abschnitt 38.4).

38.3 Verzweigter Stromkreis

Jeder Stromkreis besteht mindestens aus einer Spannungsquelle und irgendeiner Leiteran­ordnung, durch welche der von der Quellenspannung angetriebene elektrische Strom fließt.

38.3 Verzweigter Stromkrei 451

Zur Darstellung werden Schaltzeichen verwendet. Widerstände werden durch das Symbol R angedeutet, die als Linien gezeichneten Leitungen sind widerstandslos zu deuten.

I -

B

+ 0------,---,

u ~

Bild 38.4: Verzweigter Stromkreis

Auf die Parallelschaltung (Bild 38.4) angewendet, ergibt der Knotensatz für beide Knoten A und B das gleiche Ergebnis:

Knoten A 1 - I] - h - h = 0

Knoten B I1 + h + h - 1 = 0, also

II = I1 + h + 13 I bz:v. be~. n WIderstanden

Gesamt­stromstärke

(38.5)

Bei parallelgeschalteten Widerständen ist die Gesamtstromstärke gleich der Summe der Teilstromstärken.

Da an allen Widerständen der gleiche Spannungsabfall U auftritt, ist U = RI h = R2h = ... , d. h., für zwei Widerstände ist

II1 : h = R2 : RI I bzw. allgemein (38.6)

Durch den größeren Widerstand fließt also stets der kleinere elektrische Strom und um­gekehrt. Die Division von (38.5) durch die gemeinsame Spannung U liefert den Ersatz­widerstand R ers (Gesarntwiderstand) bzw. den Ersatzleitwert Gers der Schaltung. E i t 1 I1 h h . - = - + - + - + ... odermü(38.1) U U U U

I 1 1 1 -=-+-+­Rers RI R2 R3

oder

Für n Widerstände muß dann gelten:

k=1I

Gers = GI + G2 + G3

oder G = .L:Gk k=1

Ersatz­leitwert

(38.7)

(38.8)

452 38 Gleichstromkreis

Bei Parallelschaltung von Widerständen ist der Gesamtleitwert (ErsatzJeitwert) 1/ R = G gleich der Summe der Teilleitwerte.

Aus (38.8) wird der Gesamtwiderstand (Ersatzwiderstand) R berechnet:

(

k=n 1 )-1 R= L-

k=' Rk

Ersatzwiderstand bei ParaUelschaltung (38.9)

Beispiele: ]. An der Spannung 230 V liegen zwei parallelgeschaltete Lampen mit den Widerständen R] = 807 Q und R2 = 484 Q. Wie groß sind die Teilstromstärken, Gesamtstromstärke und Ersatz­widerstand?

/, = U / R] = 230 V /(807 Q) = 0,285 A; /2 = U / R2 = 0,475 A; / = I, + /2 = 0,760 A; aus (38.9) wird

R R2 807 . 484 U R = '= Q = 303 Q oder R = - = 303 Q

R,+R2807+484 /

2. Zu einem Widerstand von 650 Q soll ein zweiter Widerstand parallelgeschaltet werden, so daß bei einer angelegten Spannung von 125 V die Gesamtstromstärke 200 mA beträgt. Wie groß ist der zweite Widerstand, und wie groß sind die Teilstromstärken?

U ( / 1 )-1 Mit Rers = - und (38.8) wird R2 = - - - und daraus R2 = '16,25 kQ. Die Teilstrom-/ U R,

U U stärken ergeben sich aus /] = - und lz = - zu I[ = 192,3 mA und /2 = 7, 7 mA.

R[ R2

38.4 Unverzweigter Stromkreis

Bei Reihenschaltung (Serienschaltung) von Widerständen (Bild 38.5) wird jeder Wider­stand vom gleichen elektrischen Strom I durchflossen, und die zugeführte Energie Ezu wird in Teilenergien abgegeben: Ezu = E, + E2 + E3.

R,[ r-

-- R, I-

R3

v,

v,

v3

+ <r-----r,

v rz::p vq R.,,] V

Bild 38.5: Unverzweigter Stromkreis

Nach dem Maschensatz (38.4) ergibt sich daher für die im Bild 38 .5 angegebene Schaltung Vq - V, - V2 - V3 = 0 oder

bzw. bei n Widerständen (38.10)

38.4 Unverzweigter Stromkreis 453

und für die Spannungsabfälle

(38.11)

Bei Reihenschaltung ist die Quellenspannung gleich der Summe der Span­nungsabfalle.

Dividiert man die letzte Gleichung durch die gemeinsame Stromstärke I , erhält man

V VI V2 V 3 -=-+-+-I I I I

und daraus für den Ersatzwiderstand (Gesamtwiderstand) der Schaltung

I I bzw. bei n ~ers = RI + R2 + R3 W'd .. d 1 erstan en

k=n

Rers = LRk k=1

Ersatz­widerstand

(38.12)

Bei Reihenschaltung ist der Ersatzwiderstand (Gesamtwiderstand) gleich der Summe der Teilwiderstände.

A I VI I V2 & I fü' . W'd .. d us = -; = - USW. lO gt r zwei I erstan e RI R2

bzw. allgemein (38.13)

An einem größeren Teilwiderstand findet auch der größere Spannung abfaU statt und um­gekehrt.

Bild 38.6: Zur Anwendung des Maschen atzes im Bei piel2

Beispiele: I. Ein elektrisches Gerät mit einem Widerstand von RI = 85 , 0 Q ist an eine Spannung quelle von V = 230 V angeschlossen. Der Anschluß erfolgt über eine Kupferleitung von 60.0 m Länge (zweiadrig!) und mit einer Querschnittsfläche von 1,5 mm2 . Wie groß sind der Wider tand R2 der Leitung, der Gesamtwiderstand, die elektri che Stromstärke und der Spannungsabfall VI an dem Gerät?

454 38 Gleichstromkreis

Nach (37.8) ist R2 = eil A = 0, 0178 n· mm2 Im· 2·60 mll, 5 mm2 = 1,42 n. (38.12) ergibt den Ersatzwiderstand R = Rl + R2 = 86,4 n. Über (37.6) wird die Stromstärke [ = V I R = 2,66 A und der Spannungsabfall VJ = [Rl = 2,66 A . 85 n = 226 V. An dem Gerät wird nicht die volle Spannung wirksam, die Ursache sind Leitungsverluste!

2. Die im Bild 38.6 angegebenen Quellenspannungen seien alle 4,0 V und die Widerstände alle 5,0 n. Wie groß ist die elektrische Stromstärke?

In der Masche wird zunächst ein Umlaufsinn (Uhrzeigersinn) festgelegt. Stromstärke und Spannungs­abfaJle sind in dieser Richtung positiv zu wählen und einzuzeichnen. Von den Quellenspannungen sind dann nur Vql und Vq3 positiv (UmJaufsinn). Die Anwendung des Maschensatzes (38.4) ergibt [Rl + [R2 + I R3 + [R4 + Vql - Vq2 + Vq3 = O. Umstellung nach I liefert

[= Vql - Vq2 - Vq3 = 4 V - 4 V - 4 V = -0 20 A Rl + R2 + R3 + R4 20 n '

Das negative Vorzeichen bedeutet, daß die angenommene Richtung der elektrischen Stromstärke falsch ist. Es hat eine Korrektur der Stromstärkerichtung und der Spannungsrichtung entsprechend Bild 38.3 zu erfolgen.

+ + p------, MB 150mA

U U=24V

Bild 38.7: Schaltung zu Beispiel 3 Bild 38.8: Schaltung zu Beispiel 4

3. In welchen Grenzen ändert sich der Ersatzwiderstand der im Bild 38.7 angegebenen Schaltung, wenn Rl = R2 = 100 n und R3 stufenlos zwischen 0 und 200 n einstellbar ist?

Für R3 = 0 ist der Ersatzwiderstand der Parallelschaltung ebenfalls gleich null und damit der Er­satzwiderstand der Schaltung 100 n. Ist dagegen R3 = 200 n, gilt für die gesamte Schaltung Rers = Rl + (lIR2 + IIR3)-] = 167 n.

4. Ein Widerstand ist zwischen 100 n und 500 n einstellbar. Er soll mit einem Festwiderstand so in Reihe geschaltet werden, daß bei Anschluß an 24,0 V der Meßbereich 150 mA eines Stromstärke­meßgerätes nicht überschritten wird. Wie groß muß der Festwiderstand gewählt werden? In welchen Grenzen ändern sich die Stromstärke im Stromkreis und der Spannungsabfall am Festwiderstand?

Bezeichnungen nach Bild 38.8. Der kleinste Ersatzwiderstand Rers,min wird durch die Spannung V

V = 24,0 V und die zulässige Stromstärke [zul = [max = 150 mA bestimmt: Rers min = -, [zul

V 24 V Damit ergibt sich für den Festwiderstand R] = [zul - R2.min = 150 mA - 100 n = 60,0 n.

Die kleinste Stromstärke ist Imin = V = 42, 9 mA. Der Spannungsabfall am Festwider-Rl + R2 max

stand schwankt zwischen VI ,min = Rl ImiD ~ 2, 57 V und Vl,max = Rl/max = 9, 00 V.

38.5 Innerer Widerstand von Spannungsquellen, Klemmenspannung 455

38.5 Innerer Widerstand von Spannungsquellen, Klemmenspannung

Jede Spannungsquelle gehört mit zum Stromkreis und wird vom gLeichen elektrischen Strom durchflossen wie der äußere Stromkreis. Wie jeder andere Leiter hat auch sie einen inneren Widerstand, der z. B. bei galvanischen Elementen von der elektrolytischen Flüs­sigkeit oder bei Dynamomaschinen von der Drahtwicklung herrührt. Da der äußere Wi­derstand Ra des Stromkreises und der innere Widerstand Rj der Spannungsquelle nach Bild 38.9 in Reihe geschaltet sind, gilt

Gesamtwiderstand eines Stromkreises (38.14)

Spannungsquelle I -

Bild 38.9: Innerer und äußerer Spannungsabfall

Der innere Widerstand Rj hat zur Folge, daß die an den Anschlußklemmen der Spannungs­quelle zur Verfügung stehende Spannung um Uj = I Rj (innerer Spannungsabfall) kLeiner ist als die Quellenspannung Uq . Ein Spannungsmesser mißt somit die Klemmenspannung (äußerer Spannungsabfall) Uk = Ua = I Ra. Für diese gilt auch

Klemmenspannung = äußerer Spannungsabfall (38.15)

und daraus für die Stromstärke

Stromstärke unter Beachtung des Innenwiderstandes

(38.16)

Im Sonderfall des Leerlaufes einer Spannungsquelle (offener Stromkreis, Stromstärke 1= 0) wird aus (38.15) Uk = Uq:

Die Quellenspannung ist gleich der Leerlaufspannung einer SpannungsquelJe. (Quellen spannung = Spannung im unbelasteten Zustand)

Zur Bestimmung des inneren Widerstandes einer Spannungsquelle gibt es mehrere Mög­lichkeiten. In vielen praktischen Fällen ist der Widerstand eines Spannungsmesser sehr groß gegenüber dem inneren Widerstand der Spannungsquelle. Durch unmittelbaren An­schluß des Meßgerätes an die Spannungsquelle ist deshalb die durch da Meßwerk flie­ßende Meßstromstärke Iv so klein, daß Uj = Iv Rj in (38.15) vernachlässigt werden kann, alBO Uk praktisch gleich Uq ist. Dann schaltet man parallel zum Spannungsmesser einen

456 38 Gleichstromkreis

kleineren Widerstand Ra und mißt nun die kleiner gewordene Klemmenspannung Uk. Die Umstellung der Gleichung (38.15) nach Rj liefert mit I = Uk/ Ra den inneren Widerstand der Spannungsquelle:

Innerer Widerstand (38.17)

Bild 38.1 0: Reihen- und Parallel­schaltung gleicher Spannungsquel­len

Für n gleiche Spannungsquellen mit der QueUenspannung Uql und dem inneren Wider­stand Rj I erhält man nach Bild 38.10

Uq = Uql

Beispiele:

Reihenschaltung gleicher SpannungsqueUen

Parallelschaltung gleicher SpannungsqueUen

(38.18)

I. Der innere Widerstand eines Gleichstromgenerators beträgt 3,50 Q, und seine Quellenspannung i t 125 Y. Wie groß sind elektrische Stromstärke und Klemmenspannung, wenn der Widerstand im äußeren Stromkreis 65,0 Q beträgt?

Nach (38.16) ist 1 = Uq/(Rj + Ra) = 125 V/(68, 5 Q) = 1,82 A; Uk = 1 Ra = 118 V.

2. Die Batterie eines Radios hat die Quellenspannung 9,00 Y. Bei einer Stromentnahme von 20,0 mA ist die Klemmenspannung 8,80 V. Welchen inneren Widerstand hat die Batterie?

Aus (38.16) folgt Rj = (Uq - Uk)/I = 10, 0 Q.

3. Die Klemmenspannung eines Akkumulators ist 12,0 V, wenn ihm ein Strom der Stärke 5,00 A entnommen wird. Bei einer Stromstärke von 10,0 A ist die Klemmenspannung 11,0 V. Wie groß sind Quellenspannung und innerer Widerstand der Batterie?

Die Anwendung von (38.16) für beide Wertepaare Ukl, 1I und Uk2, 12 liefert Ukl - Uk2 6Uk

Rj = = -- = 0, 20 Q . Uq = Ukl + 11 Rj = Uk2 + 12Rj = 13, 0 V. 1I - /2 6/

4. Ein in den Grenzen 0,0 Q bi 50,0 Q einstellbarer Belastungswiderstand Ra wird an eine Span­nungsquelle mit der Quellenspannung Uq = 12,0 V und einem inneren Widerstand Rj = 4,0 Q

38.6 Meßbereichserweiterungen von Strom- und Spannungsmessern 457

angeschlossen. Elektrische Stromstärke I und Klemmenspannung Uk ist unter der Voraussetzung, daß Rj konstant bleibt, in Abhängigkeit vom äußeren Widerstand Ra grafisch darzustellen.

Uq 12, 0 V Uk Es ist I = , also I = , und aus Uq = Uk + I Rj und I = - entsteht

Rj + Ra 4, 0 Q + Ra Ra U 12,OV

Uk = q , also Uk = . Die Darstellung zeigt Bild 38.11 . 1 + Rjj Ra 1 + 4, 0 Qj Ra

12 3 -V A

8 2

--e--

\ /' UK = f(R.)

V 4

2 0,5

!\ \ ~= f(R.) --r--

o 0 10 20 30 Q 50

R. Bild 38.11: Zu Beispiel 4

38.6 Meßbereichserweiterungen von Strom- und Spannungsmessern

Strommesser: Eine wichtige Anwendung der l. KIRCHHOFFschen Regel (38 .3) ist die Meßbereichserweiterung von Strommeßgeräten durch Nebenwiderstände (Shunts), ohne das Meßwerk zu verändern. Soll der Meßbereich um den Faktor n vergrößert werden, muß durch das Meßwerk mit dem Widerstand RjA (Bild 38.12) die Stromstärke Ij fließen, durch den Nebenwiderstand Rn jedoch die Stromstärke In = (n - l)/j. Nach dem Knotensatz ist dann I = Ij + (n - 1)1j. Den Zusammenhang zwischen den Stromstärken und den Widerständen bei Parallelschaltung liefert (38.6); es ergibt sich danach mit Jj : [(n - l)Jj) = Rn : RjA die Größe des Nebenwiderstandes:

~jA Rn =-­

n-l

+0----,

uj

Nebenwiderstand

Bild 38.12: Meßbereich erweiterung eines Strommessers

+o---...----r--..

I U,

U R.

Uv

Bild 38.13: Meßbereichserweilerung eines Spannungsmessers

(38.19)

39.8 Lade- und Entladevorgänge in einem Stromkreis mit Kondensator

und daraus

1 2 1 Wel = -coE = -ED

2 2 Elektrische Energiedichte

Diese Gleichung enthält nur noch Feldgrößen und gilt somit für jeden Feldbereich!

Beispiele:

491

(39.46)

1. Zur Speisung eines Blitzgerätes mit der Energie eines Kondensators sind J 00 J bei 800 V Spannung nötig. Welche Kapazität muß der Kondensator mindestens haben?

Die Kapazität beträgt C = 2 WeIl U2 = 313 j..lF.

2. Welchen Plattenabstand haben zwei Kondensatorplatten (Durchmes er 330 mm), wenn bei 2000 V die Energie 1,50 mJ gespeichert werden soll?

Aus (39.43) folgt s = eorrU2d 2/(8Wel) = 1, 01 mm ~ 1,0 mm.

3. Welche Feldstärke herrscht an einem Ort mit der elektrischen Energiedichte 1,0 mJ/m3?

Man erhält aus (39.46) E = .j2wel/eo = 15,0 kV Im.

39.8 Lade- und Entladevorgänge in einem Stromkreis mit Kondensator

Wie aus Bild 39.38 erkennbar, läßt sich der Kondensator C in SchaltersteIlung f über den Widerstand R aufladen, beim Umschalten auf 2 erfolgt die Entladung über den Wider land. Bei hinreichend großem Widerstand zeigt der Strommes er die in den Bildern 39.38 a) (Aufladung) und c) (Entladung) dargestellte Abhängigkeit der elektrischen Strom tärke von der Zeit.

U

2

Uc LlJdeyorgänge in einem Stromkreis mit Kondensator Avfladllng

Bild 39.38: Ladevorgänge in einem Stromkrei mit Kondensator a) und b) Aufladung, c) und d) Entladung

Entladvng

Es fließt nur so lange ein elektrischer Strom, bis der Kondensator aufgeladen bzw. entladen ist. Gleichstrom wird gesperrt.

Der Spannungsabfall am Kondensator kann über ein 0 zilloskop ichtbar gemacht werden. Die Abhängigkeit des Spannungsabfalle am Kondensator von der Zeit zeigen die Bilder

492 39 Elektrisches Feld

39.38 b) (Auftadung) und d) (Entladung). Die mathematische Herleitung geschieht über den Maschensatz. Bei bei den Vorgängen ist danach V = V C + V R, und mit V R = IR sowie Vc = Q/C erhält man für V = const. nach Differentiation

dQ 1 dI O=--+R-

dt C dt oder

I dI -+R- =0 C dt

Die Lösung dieser Differentialgleichung 1. Ordnung liefert unter Beachtung der Anfangs­bedingungen (Werte für t = 0) bei

Auftadung Entladung

vc=v(l-e-lc ) I I

t

I Vc=Ve- RC

(39.47) V __ l_

I

V __ l_

I 1= -e RC 1= --e RC

R R

in Übereinstimmung mit dem Experiment.

Derartige Reihenschaltungen spielen in der Elektronik eine große Rolle und werden RC­Glieder genannt. Das Produkt RC heißt Zeitkonstante (es hat die Einheit der Zeit) und bestimmt die Zeitdauer der geschilderten Vorgänge. Nach der Zeit t = 5 . RC sind Lade­und Entladevorgänge praktisch abgeschlossen.

39.9 Elektrisches Feld und Stoff

39.9.1 Perrnittivitätszahl (Dielektrizitätszahl)

Wird in den Raum des nach Bild 39.30 geladenen und von der Spannungsquellegetrennten Kondensators ein Isoliermaterial gebracht, zeigt das elektrostatische Spannungsmeßgerät eine geringere Spannung V an. Entfernt man den Isolator wieder, steigt die Spannung auf den ur pcünglichen Wert Vo. Das elektrische Feld wurde durch den Versuch nicht zerstört, auch wenn der Zwischenraum vollständig mit einem Nichtleiter ausgefüllt wird.

+0 -0

+ 1-------+-1 + f------.J + I------~

+ f----:E::----.J + f---="'---.J + I-------.J + 1------.-1

+ 1-------+-1 + L-____ ~

+0

+ + + + + + + +

+

-,Eil

--

Bild 39.39: Polarisation im Dielektrikum

-0

+

+

+

+0

+ + + + +

+ + + +

f---

1---

1---

-0

+ ....

E + ....

+ ....

In Nichtleitern sind die Ladungsträger nicht frei beweglich . Während Leiter im Innern feld­frei sind, ist daher auch im Nichtleiter ein elektrisches Feld vorhanden. Das Feld greift