Elektrodynamische Wellen - Numerik · @t das Geschwindigkeitsfeld der Ladung q ist. Hannah Vogel...

Elektrodynamische Wellen

Hannah Vogel

23.01.2017

Hannah Vogel Elektrodynamische Wellen 23.01.2017 1 / 33

Inhaltsverzeichnis

1 Elektrische und Magnetische Krafte und Felder

2 Die Maxwell’schen Gleichungen

3 Ebene Elektromagnetische Wellen

4 Leiter und Isolatoren


Elektrische und Magnetische Krafte und Felder Elektrik

1 Elektrische und Magnetische Krafte und FelderElektrikMagnetikLorentz-Kraft






experimentelles Grundgesetz der Elektrik

Die elektrische Kraft FE wird durch das Coulomb’sches Gesetzbeschrieben:

FE =q1q24πε0

r1 − r2|r1 − r2|3

,

wobei q1 bzw. q2 stationaren Punktladungen bei r1 bzw. r2 sind und undε0 die elektrische Permitivitat des Vakuums ist.



Das elektrische Feld

Definition des elektrische Feld E:

F = qE

Daher folgt:

E = Er0,q0(r, q) =1

qF =

q04πε0

r− r0|r− r0|3

.

Es gilt das Superpositionsprinzip.Ladungsdichte ρ(r):

ρ(r) := 1V

∑V

q bzw. stetig: ρ(r) :=dq

dV,

wobei V ein Raumvolumen um r ist.


Elektrische und Magnetische Krafte und Felder Magnetik







experimentelles Grundgesetz der Magnetik

Biot-Savart-Gesetz: Magnetische Kraft FB zwischen zwei beliebigenstromtragenden, geschlossen Schleifen C1 und C2:

FB =µ0I1I2

4π

∮C1

∮C2

dr1 × (dr2 × (r1 − r2))

|r1 − r2|3

mit:

- r1 und r2 sind Punkte auf den Kurven C1, bzw. C2.

- µ0 ist die magnetische Permitivitat des Vakuums.

- I1, I2 ist der Strom, der entlang C1, bzw. C2 fließt: I := dqdt .



Das magnetische Feld

Erinnerung an das Biot-Savart-Gesetz: FB = µ0I0I4π

∮C0

∮C

dr×(dr0×(r−r0))|r−r0|3

Definition des magnetischen Feldes B: dFB = Idr× dB

⇒ dB =µ04π

I0dr0 ×r− r0|r− r0|3

⇒ B(r) :=µ04π

∮C0

I0dr0 × (r− r0)

|r− r0|3.

Es gilt das Superpositionsprinzip.

Stromdichte: I =∫F jdf bzw. interpretiert als Ladungsfluss: j(r) = ρ(r)v,

wobei v = ∂r∂t das Geschwindigkeitsfeld der Ladung q ist.


Elektrische und Magnetische Krafte und Felder Lorentz-Kraft






Elektrische und Magnetische Krafte und Felder Lorentz-Kraft

Die Lorentz-Kraft

Mit Idr = j(r)dV folgt:∮CIdr =

∫j(r)dV =

∫ρ(r)vdV =

∫ρ(r)dV v = qv .

Das elektrische und magnetische Feld ergeben gemeinsam dieLorentz-Kraft:

F = FE + FB = qE + I

∮Cdr× B(r) = qE + q(v× B) ,

wobei v = ∂r∂t das Geschwindigkeitsfeld der Ladung q ist.

Erinnerung: dFB = Idr× dB .


Die Maxwell’schen Gleichungen


2 Die Maxwell’schen Gleichungen2. Maxwell’sche Gleichung




Die Maxwell’schen Gleichungen

Maxwell’s Gleichungen

Die Maxwell’schen Gleichungen sind:

∇ · E =ρ

ε0, (1)

∇ · B = 0 , (2)

∇× E = −∂B∂t

, (3)

∇× B = µ0j +1

c20

∂E

∂t, (4)

wobei c0 := 1√µ0ε0

gilt.


Die Maxwell’schen Gleichungen 2. Maxwell’sche Gleichung

Dazu noch eine kleine Nebenrechung:

∇r1

|r− r0|= ∇r

1√(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2

= ((2x − 2x0 · (−1

2))

|r− r0|3, − y − y0|r− r0|3

, − z − z0|r− r0|3

)t

=1

|r− r0|3

−(x − x0)−(y − y0)−(z − z0)

= − r− r0|r− r0|3


Die Maxwell’schen Gleichungen 2. Maxwell’sche Gleichung

2. Maxwell’sche Gleichung

Mit I dr = j(r) dV folgt:

B(r) =µ04π

∮C0

I0dr0 ×r− r0|r− r0|3

=µ04π

∫j(r0)dV0 ×−∇r

1

|r− r0|

=µ04π

∫j(r0)×−∇r

1

|r− r0|dV0 =

µ04π

∫∇r

1

|r− r0|× j(r0) dV0

=µ04π

∫∇r ×

j(r0)

|r− r0|dV0 =

µ04π∇r×

∫j(r0)

|r− r0|dV0

⇒ 2. Maxwell’sche Gleichung:

∇ · B = 0


Ebene Elektromagnetische Wellen Herleitung der Wellenform



3 Ebene Elektromagnetische WellenHerleitung der WellenformEnergiePolarisation




Wir werden jetzt die Maxwell’schen Gleichungen im Vakuum betrachten,namlich die Gleichungen 1 bis 4 mit ρ = 0 und j = 0, sodass gilt:

∇ · E = 0 (5)

∇ · B = 0 (6)

∇× E = −∂B∂t

(7)

∇× B =1

c20

∂E

∂t(8)

Graßmann-Identitat:

a× (b× c) = (a · c)b− (a · b)c

∇× (∇× E) = (∇ · E)∇− (∇ · ∇)E



Wellengleichung

∇2E =1

c20

∂2E

∂t2

∇2B =1

c20

∂2B

∂t2

Das elektrische Feld E und das magnetische Feld B sind Wellen mitWellengeschwindigkeit c0.



von Horst Frank / Phrood / Anony - Horst Frank, Jailbird and Phrood, CC BY-SA 3.0,https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3726606



Ansatz: ebene Welle

Wir betrachten ebene Losungen der Wellengleichungen:

Ec(r, t) = Ec0ei(kr−ωt)

Bc(r, t) = Bc0ei(k′r−ω′t)

mit

- k, k′ ∈ R3 beliebige Wellenvektoren,- ω, ω′ beliebige Kreisfrequenzen und- Ec0, Bc0 ∈ C3 beliebige, konstante, Amplitudenvektoren.

Die realen physikalischen Felder sind

E(r, t) = Re(Ec(r, t)),

B(r, t) = Re(Bc(r, t))

Ein schones Applet zur ebenen Welle findet man hier:http://www.falstad.com/wavebox/



Die 3. Maxwellsche Gleichung ∇× E = −∂B∂t liefert:

∇× Ec = ∇× Ec0ei(kr−ωt)

=

∂x∂y∂z

×Ec0xe

i(k1x+k2y+k3z−ωt)

Ec0yei(k1x+k2y+k3z−ωt)

Ec0zei(k1x+k2y+k3z−ωt)

= ik× Ec0e

i(kr−ωt)

!= −∂Bc

∂t= −∂Bc0e

i(k′r−ω′t)

∂t

= −Bc0(−iω′)e i(k′r−ω′t)

d.h.k× Ec0e

i(kr−ωt) = ω′Bc0ei(k′r−ω′t)

Damit folgt: Bc0 = 1ω′k× Ec0 , k = k′ und ω = ω′



Die 1. Maxwellsche Gleichung ∇ · E = 0 liefert:

0 = ∇ · Ec(r, t) = ∇ · Ec0ei(kr−ωt) = ik · Ec(r, t)

Also folgt:k ⊥ Ec(r, t) bzw. k ⊥ Ec0

Analog liefert die 2. Maxwellsche Gleichung ∇ · B = 0 :

k ⊥ Bc(r, t) bzw. k ⊥ Bc0



Die 4. Maxwellsche Gleichung ∇× B = 1c20

∂E∂t liefert:

∇× Bc = ik× Bc =i

ω(k× (k× Ec))

∗=

i

ω((k · Ec)k− (k · k)Ec) = − ik2

ωEc

!=

1

c20

∂Ec

∂t=

1

c20

∂Ec0ei(kr−ωt)

∂t=

1

c20Ec(−iω)

Also folgt:

k2

ω=

ω

c20⇔ ω2 = c20k

2

*: Graßmann-Identitat: a× (b× c) = (a · c)b− (a · b)c



Damit sind die Maxwell-Gleichungen vollstandig gelost. Fur jeden Vektor kexistieren zwei Losungen mit Kreisfrequenzen ω = ω+ = c0|k| bzw.ω− = −c0|k| und es folgt:

Ec = Ec0e±i(kr−ωt)

Bc =1

ωk× Ec0e

±i(kr−ωt) =1

c0k× Ec

mit k := k|k|

Schone Applets zu elektromagnetischen Wellen findet man hier:

http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=35

http://www.amanogawa.com/archive/PlaneWave/PlaneWave-2.html


Ebene Elektromagnetische Wellen Energie







Allgemeines zur Berechnung der LeistungIn einem geschlossenen System gilt: Leistung = − d

dt Energie.

Also schauen wir uns zunachst die Leistung=ArbeitZeit an.

Es gilt: Arbeit =∫ ba F · dr, wobei r ein Weg von a nach b ist an dem die

Kraft F verrichtet wird.

Speziell zur Leistung in elektromagnetischen WellenErinnerung: Lorentz-Kraft F = qE + q · (v× B)

⇒ Kraft pro Raumvolumgen F = ρE + ρ(v× B)⇒ Leistung pro Raumvolumen

W =d Arbeit

dt=

F · drdt

= F · v

= E · ρv︸︷︷︸j

+ρ (v× B) · v︸︷︷︸v×B ⊥ v

= E · j



Energie

Leistung WV =

∫VE · jdV

= − ddt (

∫V

ε02 |E|

2 + 12µ0|B|2dV )− 1

µ0

∫∂V

E× B · ndS

≈ − ddt (

∫V

ε02 |E|

2 + 12µ0|B|2dV )

Daher ist die Energie, die in einem elektromagnetischen Feld gespeichertist, gleich

J =ε02|E|2 +

1

2µ0|B|2.

P0 := 1µ0E× B gibt den Energiefluss pro Flacheneinheit an.



Energieubertragungsgeschwindigkeit

Die Gruppengeschwindigkeit, mit der Energie transportiert wird ist:

cg =P0

< J >= c0

k

|k|Wellengeschwindigkeit

⇒ keine Dispersion (im Vakuum)


Ebene Elektromagnetische Wellen Polarisation







Die Vektoren Ec , k und Bc = 1ωk× Ec bilden ein paarweise orthogonales

System.

Die Ebene, die k und E enthalt, heißt Polarisationsebene.



Ec = Ec0e±i(kr−ωt)

Spezialfalle, wenn k ∈ R3 :

Falls Ec0 ∼ a ∈ R3 ⇒ lineare Polarisation

Falls |Re(Ec0)| = |Im(Ec0)| ⇒ kreisformige Polarisation

Jede Welle kann in eine linear/kreisformig polarisierten Wellen zerlegtwerden:lineare Zerlegung: Ec = Re(Ec) + Im(Ec)ikreisformiger Zerlegung:Ec = 1

2(1 + i)(Re(Ec) + Im(Ec)) + 12(1− i)(Re(Ec)− Im(Ec))

Ein schones Applet zur Polarisation findet man hier:http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=284.0


Leiter und Isolatoren








Gase bei Raumtemperatur ≈ VakuumFlussigkeiten und Festkorper:

perfekte Isolatoren: Elektronen sind fest gebunden ⇒ kein Stromisotropische Leiter:

Ohm’sches Gesetz: j = σE

mit σ = Leitfahigkeit des MaterialsPerfekte Leiter haben eine unendlich hohe Leitfahigkeit σ.



Quellen

J.Billingham, A.C. King: Wave motion

W. Nolting: Grundkurs theoretische Physik 3

T. Fließbach: Elektrodynamik, Lehrbuch zur Theoretischen Physik II

S. Brandt, H. Dahmen: Elektrodynamik, Eine Einfuhrung in Theorieund Praxis

E. Rebhan: Theoretische Physik: Elektrodynamik


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