Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic ... · 3 Electrostatic (ES) Fields /...

1

Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) /Electromagnetic Field Theory I (EFT I)

Lecture 9 / 9. Vorlesung

University of KasselDept. Electrical Engineering / Computer

Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik

(FB 16)Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder

Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ... (2)

Application: Numerical Solution of Unbounded Static Problems / Anwendung: Numerische Lösung von unbegrenzten statischen Problemen

ee

0

( )( )

ρε

∆Φ = −RR

Problem: Parallel Plate Capacitor in an Unbounded Region / Problem: Paralleler Plattenkondensator in einem unbegrenzten Gebiet

e+η eη −

Electrostatic Surface Charges / Elektrostatische Flächenladungen

Parallel Plates / Parallele Platten

Numerical Solution: We need to Specify Boundary Conditions at the Boundaries of the Simulation Area which

is always bounded. / Numerische Lösung: Wir müssen für die Ränder des

numerischen Simulationsgebietes, welches immer begrenzt ist, Randbedingungen spezifizieren.

e+η eη −

Outline of the Problem / Entwurf des Problems

Boundary Condition (BC) ? /

Randbedingung (RB) ?

Open Boundary Condition (OBC) ? /

Offene Rand-bedingung (ORB) ?

2


Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ... (2)

Application: Numerical Solution of Unbounded Static Problems / Anwendung: Numerische Lösung von unbegrenzten statischen

Problemen

ee

0

( )( )

ρε

∆Φ = −RR

eη + eη −

With Dirichlet Boundary Condition / Mit Dirichlet Randbedingung With Open Boundary Condition (OBC) / Mit offener Randbedingung (ORB)

Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol


e e e0, , Q ≠ = =p 0 q 0

z

y

x

Monopole Moment / Monopolmoment

One Point Charge /Eine Punktladung

z

y

x

Dipole Moment / Dipolmoment

Two Point Charges /Zwei Punktladungen

z

y

x

Quadrupole Moment/ Quadrupolmoment

Four Point Charges /Vier Punktladungen

eQ

d

d

eQ

eQ−

d

eQ−

eQ−

eQ

eQ

e e e0, , Q = ≠ =p 0 q 0

e e e0, , Q = = ≠p 0 q 0

3


Reference: Oleg D. Jefimenko: Electricity and Magnetism. An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields. Electret Scientific Company, 1989 (reprint of the 1966 edition)

Field Lines of the Electric Field Strength of Two Spheres Carrying Charges of Opposite Sign / Feldlinien der

elektrischen Feldstärke zweier ungleich geladener Kugeln

+ +

+-

Electric Field Lines of Two Spheres Carrying Charges of the Same Sign / Feldlinien der elektrischen Feldstärke zweier

gleich geladener Kugeln

The Field Lines - Lines of Force – of the Electrostatic Fields were Formed by Grass Seeds (Kentucky Blue Grass) Strewed on Glass Plates. To Make the Seeds more Mobile, the Plates were Waxed with a Liquid Wax. /

Die Feldlinien – Kraftlinien – elektrostatischer Felder formiert durch Grassamen (Kentucky Blue Grass) gestreut auf Glasplatten. Um den Samen mobiler zu machen, wurden die Glasplatten mit flüssigem Wachs behandelt.

Electrostatic Field Lines / Elektrostatische Feldlinien

The Field Lines - Lines of Force – of the Electrostatic Fields were Formed by Grass Seeds (Kentucky Blue Grass) Strewed on Glass Plates. To Make the Seeds more Mobile, the Plates were Waxed with a

Liquid Wax. /Die Feldlinien – Kraftlinien – elektrostatischer Felder formiert durch Grassamen (Kentucky Blue Grass) gestreut auf Glasplatten. Um den Samen mobiler zu machen, wurden die Glasplatten mit

flüssigem Wachs behandelt.

Reference: Oleg D. Jefimenko: Electricity and Magnetism. An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields. Electret Scientific Company, 1989 (reprint of the 1966 edition)

Kentucky Blue Grass (Bot.), a Valuable Pasture and Meadow Grass (Poa Pratensis), found in Both Europe and America. A Species of Grass which has Running Rootstocks and Spreads Rapidly. It is Valuable as a Pasture Grass, as it Endures both Winter and Drought Better than Other Kinds, and is

very Nutritious. /Kentucky Blue Grass (Bot.), ist ein wertvolles Weide- und Wiesengras (Poa Pratensis), welches man in Europa und Amerika vorfindet. Es ist eine Grasart, welches einen laufenden Wurzelstock hat und sich schnell ausbreitet. Es ist sehr wertvoll als Weidegras, weil es Winter als auch Dürre besser als andere

Arten übersteht, und es ist sehr nahrhaft.

4

Method of Images / Spiegelungsmethode

Medium

nB(oundary)S


e ( )η R

e

e B

( ) pec / iel( ) 0,

( )S

σ →∞Φ = ∈⇒ =

RR R

n×E R 0

z

y

x

eQ

Problem:

−∞← ∞→

B e: ( ) 0 ( )

S ≠∈ Φ⇒ ≠

R Rn×E R 0

B e: ( ) 0 ( )

S∈ Φ =⇒ =

R Rn×E R 0

e

e

known / bekannt!,

QΦ E unknown / unbekannt!

+R

e e( ) ( )Qρ δ += −R R R e e e( ) ( ) ( )Q Qρ δ δ+ −= − − −R R R R R

0z

B e: ( ) 0 ( )

S∈ Φ =⇒ =

R Rn×E R 0

Method of Images / SpiegelungsmethodeElectrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder

B e: ( ) 0 ( )

S∈ Φ =⇒ =

R Rn×E R 0

ee

0

1 1( )4Qπε + −

Φ = − − −

RR R R R

e

e 0

1 1 0( ) 4

0 0

Qz

z

πε + −

− ≥ Φ = − −

<

R R R R R

5


B e: ( ) 0 ( )

S∈ Φ =⇒ =

R Rn×E R 0

Medium

nB(oundary)S

e ( )η R

e

e B

( ) pec / iel( ) 0,

( )S

σ →∞Φ = ∈⇒ =

RR R

n×E R 0

z

y

x

eQ

−∞← ∞→ Medium

nB(oundary)S

e ( )η R

e

e B

( ) pec / iel( ) 0,

( )S

σ →∞Φ = ∈⇒ =

RR R

n×E R 0

z

y

x

eQ

−∞← ∞→

eQ−

+R +R

−R

Problem: Solution / Lösung:

Image Charge / Spiegelladung


Medium

nB(oundary)S

e ( )η R

e

e B

( ) pec / iel( ) 0,

( )S

σ →∞Φ = ∈⇒ =

RR R

n×E R 0

z

y

x

eQ

−∞← ∞→

eQ−

+R

−R

Solution by Applying the Method of Images / Lösung durch Anwendung der Spiegelungsmethode

Image Charge / Spiegelladung

e

e 0

1 1 0( ) 4

0 0

Qz

z

πε + −

− ≥ Φ = − −

<

R R R R R

e e e( ) ( ) ( )Q Qρ δ δ+ −= − − −R R R R R

0 0 with

mit z zz z+ − += = − = −R e R R e

6


e

e 0

1 1 0( ) 4

0 0

Qz

z

πε + −

− ≥ Φ = − −

<

R R R R R

e e e( ) ( ) ( )Q Qρ δ δ+ −= − − −R R R R R 0 0 with

mit z zz z+ − += = − = −R e R R e

e

e3 3

0

0

e3 3

( ) ( )

04

0 0( ) ( )

04

0 0

Qz

z

Q z

z

πε

ε

π

+ −

+ −

+ −

+ −

= −∇Φ

− − − ≥= − − <

=

− − − ≥= − − <

E R R

R R R R

R R R R

D R E R

R R R R

R R R R


Medium

nB(oundary)S

e( )

,x yx y

x y

η= +

−∞< <∞

RR e e

z

eQ

y−∞← y→∞–– –– – ––

+

PEC / IEL

Induced Electrostatic Surface Charge Density / Induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte (Influenz)

Field Lines of E / Feldlinien von E

Without the Method of Images we have to Solve the Following Integral Equation for the Unknown Induced Electrostatic Surface Charge / Ohne die Spiegelungsmethode muss man die folgende Integralgleichung für die induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte lösen

2e ee

00

( )1( ) 04

z

Q dηπε

′

∞

+ =−∞ +=

′ ′Φ = + = − ′ −

∫∫R

RR RR R R R

Unknown / Unbekannt

x∞←

x→−∞

e 0f

(or

f r

0ü

) z=Φ =R

7


B

knownbekan

( )ntS∈ =RD R

Medium

nB(oundary)S

e( )η R

z

y

x

eQ

−∞← ∞→–– –– – ––

+

PEC / IEL

Induced Electrostatic Surface Charge Density / Induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte (Influenz)

Field Lines of E / Feldlinien von E If D is known from the Method of Images /

Falls D über die Spiegelungsmethode bekannt ist

B

B

e

e3 3

e3 3

0

( ) ( )

04

4

forfür

S

S

z

z

Qz

Q

η

π

π

∈

+ −

+ − ∈

+ −

+ − =

=

− − = − = − −

− − = − − −

R

R

R n D R

R R R Rn

R R R R

R R R Re

R R R R

i

i

i

ηe(R) is Defined by the Normal Component of D / ηe(R) ist definiert über die Normalkomponente von D

!


( ) ( )

( ) ( )

Be

e3 3

0

e 0 03/ 2 3/ 22 22 2 2 2

0 00

e 0 03/ 2 3/ 22 2 2 2 2 2

0 0

e 0

2 2 20

( ) ( )

4

4

4

2

S

z z

z

z

Q

Q z z z z

x y z z x y z z

Q z z

x y z x y z

Q z

x y z

η

π

π

π

π

∈

+ −

+ − =

=

=

− − = − − −

− +

= − + + − + + −

− = −

+ + + +

= − + +

RR n D R

e R R e R R

R R R R

i

i i

3/ 2

e 03/ 22 2

02Q z

r zπ= −

+

8


Be

e 03/ 22 2

0

( ) ( )

2

S

Q z

r z

η

π

∈=

= − +

RR n D RiTotal Electric Charge at the xy Plane at z=0 /

Gesamtladung auf der xy Ebene bei z=0

( )

2tot e 0e 3/ 22 20 0 0

2e 0

3/ 22 20 002

e 0 3/ 22 20 0

e 0 2 2 00

0e

2

2

1 1

r

r

r

Q zQ r dr d

r z

Q zr dr d

r z

rQ z drr z

Q zzr z

Q

π

ϕ

π

ϕ

π

ϕπ

ϕπ

∞

= =

∞

= =

=∞

=

→

= − +

= − +

= − +

= −

→∞ +

= −

∫ ∫

∫ ∫

∫3/ 2 2 22 2

1x dxx ax a

= − ++ ∫

tote eQ Q= −

Electrostatic Dipole / Elektrostatischer Dipol


e e e

e e

( ) ( ) ( )

( ) ( )2 2z z

Q Qd dQ Q

ρ δ δ

δ δ

+ −= − − −

= − − +

R R R R R

R e R e

z

y

x

d

eQ

eQ−

with 2

2

z

z

d

d

+

−

=

= −

R e

R e

+R

−R

ee

0

1 1( )4Qπε + −

Φ = − − −

RR R R R

Electrostatic Dipole Moment / Elektrische Dipolmoment

zd=d e

Distance Vector / Abstandsvektor2 2z z zd d d+ −= − = + =d R R e e e

3 3e e ee

3 3e e e e e e

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

d Q Q d

Q d Q d Q Q Q Q

ρ δ δ

δ δ

′ ′

′ ′

+ −

∞ ∞

+ −=−∞ =−∞

∞ ∞

+ − + − + −=−∞ =−∞

= =

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= = − − −

′ ′ ′ ′ ′ ′= − − − = − = − =

∫∫∫ ∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫

R R

R R

R R

p R R R R R R R R R

R R R R R R R R R R R R d

Electrostatic Volume Charge Density / Elektrostatische Raumladungsdichte

Electrostatic Potential / Elektrostatisches Potential

e3 3

0( )

4Qπε

+ −

+ −

− − = − − −

R R R RE R

R R R R

Electrostatic Field Strength / Elektrostatische Feldstärke

9

Electrostatic Dipole / Elektrostatischer Dipol


z

y

x

d

eQ

eQ−

+R

−R

zd=d e

3ee

3e e

3 3e e

e e

e

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2z z

d

Q Q d

Q d Q d

Q Q

d dQ

ρ

δ δ

δ δ

′

′

′ ′

+ + − −

∞

=−∞∞

+ −=−∞

∞ ∞

+ −=−∞ =−∞

= =

+ + − −

′ ′ ′ ′=

′ ′ ′ ′ ′= − − −

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= − − −

= −

=

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫

R

R

R R

R R R R

q R R R R

R R R R R R R

R R R R R R R R R R

R R R R

e e

e

2 2z z

z z z z

d d

Q d d=

− − − = −

=0

e e

e e e e

0

Electrostatic Dipole Moment / Elektrostatisches Dipolmoment

ee

e eˆ

Q

p

=

=

p d

pe

eˆ

e ep Q Q + −

+ −

= = +

= = +

d R R

p d R Rwith / mit

Electrostatic Quadrupole Moment / Elektrostatisches Quadrupolmoment

Magnetostatic (MS) Fields / Magnetostatische (MS) Felder

e( ) ( )

( ) 0C S S

S

=∂=

=

∫ ∫∫∫∫

H R dR J R dS

B R dS

i i

ie( ) ( )

( ) 0∇ =∇ =

×H R J RB Ri

( ) ( )=∇B R × A R

0( ) ( )= µB R H R

0

0

1( ) ( )

1 ( )

=

= ∇

µ

µ

H R B R

× A R

Governing Equations / Grundgleichungen

Integral Form / Differential Form / Integralform Differentialform

e ( )J Ris a Known Prescribed Electric Current Density: For Example a

Electric Current Density in a Wire /ist eine bekannte vorgegebene elektrische Stromdichte: Zum

Beispiel eine elektrische Stromdichte in einem Draht

( ) 0∇ =B RiBecause of /Weil

B Can be Represented by / B kann dargestellt werden über

In Vacuum we have / Im Vakuum gilt

10

( ) 0∇ =iA R

0 ( ) ( )µ =∇H R ×A R

0

0 e

( ) ( )( )

µµ

∇ =∇ ∇=

×H R × × A RJ R

0

( ) ( ) ( )

( )( )

=

∇ ∇ =∇∇ −∇ ∇

= −∇ ∇= −∆

× ×A R A R A R

A RA R

i i

i

0 e( ) ( )µ∆ = −A R J R


Coulomb Gauge / Coulomb-Eichung

It follows / Es folgt

Applying the Curl Operator Gives / Die Anwendung des Rotationsoperators ergibt

Vector Possion’s Equation / Vektorielle Possion-Gleichung

30 e( ) ( ) ( )

SVG dµ ′ ′ ′= −∫∫∫A R R R J R R

0

30 e

0

3e

1( ) ( )

1 ( ) ( )

( ) ( )

S

S

V

V

G d

G d

µ

µµ

= ∇

′ ′ ′= ∇ −

′ ′ ′= ∇ −

∫∫∫

∫∫∫

H R × A R

× R R J R R

× R R J R R

( )∇ Φ = Φ∇ +∇Φ× A × A × A

e e e[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )G G G=

′ ′ ′ ′ ′ ′∇ − = − ∇ +∇ −0

× R R J R R R × J R R R ×J R


0 e( ) ( )µ∆ = −A R J R Vector Possion’s Equation / Vektorielle Possion-Gleichung

Solution / Lösung

1 1( )4 | |

Gπ

′− =′−

R RR R

With the Three-Dimensional Static Green’s Function / Mit der dreidimensionalen statischen Greenschen Funktion

11

3

1 1 1 1 1( )4 4 4| | | | | |

Gπ π π

′−′∇ − = ∇ = ∇ = −′ ′ ′− − −

R RR RR R R R R R

3e3

3e3

3e3

1( ) ( )4 | |

( ) ( )14 | |

( ) ( )14 | |

S

S

S

V

V

V

d

d

d

π

π

π

′− ′ ′= −′−

′ ′− ′=′−

′ ′− ′=′−

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

R RH R × J R RR R

J R × R RR

R R

J R × R RR

R R


3e3

( ) ( )1( )4 | |SV

dπ

′ ′− ′=′−

∫∫∫J R × R R

H R RR R

Biot-Savart’s Law (for a Given Volume Source) / Biot-Savartsches Gesetz (für eine Volumenquelle)


0 0 0e ( ) ( ) ( ) , 0I r - r z rϕδ δ= >J R e

3e3

20 0

30 0

200

30 0 : 0

( ) ( )1( )4 | |

( ) ( ) ( ) ( )14 | |

( ) ( ) ( )

4 | |

SV

z r

r z

d

I r r zr dr d dz

r rI r dr d

πϕ

ϕ

πϕ

ϕ

π

δ δ ϕϕ

π

δ ϕϕ

π

∞ ∞′

′ ′ ′−∞ = =

∞′

′ ′= = ′ ′=

′ ′− ′=′−

′′ ′ ′− −′ ′ ′ ′=

′−

′′ ′− −′ ′ ′=

′−

∫∫∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫R

J R × R RH R R

R R

e × R R

R R

e × R R

R R

Biot-Savart’s Law for a Line Source / Biot-Savartsches Gesetz für eine Linienquellez

y

x

0r

: SCSourceQuelle

0I e ( )J R

Wire Carrying a Constant Electric Current I0 / Biot-Savartsches Gesetz für eine Linienquelle

12

0

0

0

200

30

: ; 0

20

30 : ; 0

03

: ; 0

( ) ( )( )

4 | |

( )4 | |

( )4 | |

S

r r z

r r z

C r r z

r dI

I

I

πϕ

ϕ

π

ϕ

ϕ ϕπ

π

π

′=

′

′=′ ′ ′= =

′= ′ ′ ′= =

′ ′ ′= =

′′ ′ −=

′−

′ ′−=′−

′ ′−=′−

∫

∫

∫

dR

R

R

R

e × R RH R

R R

dR × R R

R R

dR × R R

R R

03

( )( )4 | |

SC

Iπ

′ ′−=′−

∫dR × R RH R

R R

Biot-Savart Law for a Line Source with Contour CS / Biot-Savartsches Gesetz für eine Linienquelle mit der

Kontur CS


Biot-Savart’s Law for a Line Source / Biot-Savartsches Gesetz für eine Linienquelle

03

( )( )4 | |

′ ′−=′−

∫SC

Iπ

dR × R RH RR R

0

( )

( )

,

( )

r z

r z r

z

r z

z

r z

r z

z z

r z zd dzdzdz

ϕ

ϕ′ ′=

= +

′ ′ ′ ′= +

′ ′= −∞ ≤ ≤ ∞

′ ′− = + −

′ ′ ′=′′=

R e e

R e e

e

R R e e

dR R

e

( )

32 2

( ) 0 00

( )

r z

dzr z z

r dz

r z z

ϕ

ϕ

ϕ′ ′ ′− =

′−

′=

′ ′− = + −

e e e

dR × R R

e

R R

Magnetostatic (MS) Fields / Magnetostatische (MS) FelderExample: Magnetostatic Field of a Infinite Thin and Long Wire Carrying an Electric Line Current /

Beispiel: Magnetostatische Feld eines unendlich dünnen und langen Drahtes, der einen elektrischen Linienstrom führt (1)z

y

x

: SCSourceQuelle

0I

z↓−∞

z

∞↑

13

:

:

=

z zdz dz z

z z

αα

α

α

′= −′ = −′ = −∞ = +∞

∞′ = ∞ = −∞

= −∞

( )

( )

( )

03 / 22 2

03 / 22 2

03 / 22 2

03/ 22 2

02 2 2

( )4 ( )

4

4

( )4

( )4

z

rIdz

r z z

I drr

I drr

I drr

Ir

r r

ϕ

ϕα

ϕα

ϕα

ϕα

ϕπ

αϕπ α

αϕπ α

αϕπ α

αϕπ α

∞

′=−∞

−∞

=∞

∞

=−∞

∞

=−∞

∞

=−∞

′= ′+ −

= − +

= +

= +

=+

∫

∫

∫

∫

eH R

e

e

e

e

3/ 2 22

2 1,

dx x

b ax bax b

a b r

= ++

= =

∫

withmit

With the Substitution / Mit der Substitution


Beispiel: Magnetostatische Feld eines unendlich dünnen und langen Drahtes, der einen elektrischen Linienstrom führt (2)

[ ]

02 2

02 2

02 2 2 2

1 1

0

2

0

sgn( )1( ) ( )4

sgn( )1 ( )4 1 /

1 sgn( ) sgn( )lim lim ( )4 1 / 1 /

1 1 ( 1) ( )4

1 ( )2

Ir r

Ir r

Ir r r

Ir

Ir

ϕα

ϕ

α

ϕα α

ϕ

ϕ

α αϕ

π α

α αϕ

π α α

α α ϕπ α α

ϕπ

ϕπ

∞

=−∞∞

=−∞

→∞ →−∞

= =−

=+

=+

= − + +

= − −

=

H R e

e

e

e

e

1 0sgn( )

1 0

sgn( )

αα

αα α α

− <= >=

With the Signum Function /Mit der Signum-Funktion



2 =α αWith /

Mit

14

, ( )z H rϕ

,y r

x

: SCSourceQuelle

0I



( )

( )

0

( )

1( )2

( )

H r

Ir

H r

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕπ

ϕ

=

=

=

H R e

e

1( ) ( )H rrϕ=H R ∼

1( )H rrϕ ∼

( )H RField Lines of the Magnetic Field Strength / Feldlinien der magnetischen Feldstärke

End of Lecture 9 /Ende der 9. Vorlesung

Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic ... · 3 Electrostatic (ES) Fields /...

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