Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische ... · 1 Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS...

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 4 / Vorlesung 4 1

Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) /EFT I) /EFT I) /EFT I) /Electromagnetic Field Theory I (EFT I)Electromagnetic Field Theory I (EFT I)Electromagnetic Field Theory I (EFT I)Electromagnetic Field Theory I (EFT I)

4th Lecture / 44th Lecture / 44th Lecture / 44th Lecture / 4. Vorlesung. Vorlesung. Vorlesung. Vorlesung

University of KasselUniversity of KasselUniversity of KasselUniversity of Kassel

Dept. Electrical Engineering / Computer Science Dept. Electrical Engineering / Computer Science Dept. Electrical Engineering / Computer Science Dept. Electrical Engineering / Computer Science (FB 16)(FB 16)(FB 16)(FB 16)

Electromagnetic Field Theory Electromagnetic Field Theory Electromagnetic Field Theory Electromagnetic Field Theory

(FG TET)(FG TET)(FG TET)(FG TET)

WilhelmshWilhelmshWilhelmshWilhelmshööööher Allee 71her Allee 71her Allee 71her Allee 71

Office: Room 2113 / 2115Office: Room 2113 / 2115Office: Room 2113 / 2115Office: Room 2113 / 2115

DDDD----34121 Kassel34121 Kassel34121 Kassel34121 Kassel

UniversitUniversitUniversitUniversitäääät Kasselt Kasselt Kasselt KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik Fachbereich Elektrotechnik / Informatik Fachbereich Elektrotechnik / Informatik Fachbereich Elektrotechnik / Informatik

(FB 16)(FB 16)(FB 16)(FB 16)Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)(FG TET)(FG TET)(FG TET)WilhelmshWilhelmshWilhelmshWilhelmshööööher Allee 71her Allee 71her Allee 71her Allee 71BBBBüüüüro: Raum 2113 / 2115ro: Raum 2113 / 2115ro: Raum 2113 / 2115ro: Raum 2113 / 2115

DDDD----34121 Kassel34121 Kassel34121 Kassel34121 Kassel

Dr.Dr.Dr.Dr.----Ing. RenIng. RenIng. RenIng. Renéééé MarkleinMarkleinMarkleinMarkleinmarklein@unimarklein@unimarklein@[email protected]

http://www.tet.ehttp://www.tet.ehttp://www.tet.ehttp://www.tet.e----technik.unitechnik.unitechnik.unitechnik.uni----kassel.dekassel.dekassel.dekassel.dehttp://www.unihttp://www.unihttp://www.unihttp://www.uni----kassel.de/fb16/tet/marklein/index.htmlkassel.de/fb16/tet/marklein/index.htmlkassel.de/fb16/tet/marklein/index.htmlkassel.de/fb16/tet/marklein/index.html


FaradayFaradayFaradayFaraday‘‘‘‘s Induction Law in Integral Form /s Induction Law in Integral Form /s Induction Law in Integral Form /s Induction Law in Integral Form /Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (1)Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (1)Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (1)Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (1)

( ) ( ) ( )S t C t S t= ∂

m( ) ( ) ( ) ( )

d( , ) ( , ) ( , )

dC t S t S t S tt t t

t=∂= − −∫ ∫∫ ∫∫E R dR B R dS J R dSi i i�

FaradayFaradayFaradayFaraday‘‘‘‘s Induction Laws Induction Laws Induction Laws Induction Law / Faradaysches Induktionsgesetz/ Faradaysches Induktionsgesetz/ Faradaysches Induktionsgesetz/ Faradaysches Induktionsgesetz

Time Dependent Surface /Time Dependent Surface /Time Dependent Surface /Time Dependent Surface /ZeitabhZeitabhZeitabhZeitabhäääängige Flngige Flngige Flngige Fläääächechecheche

Time Dependent Contour /Time Dependent Contour /Time Dependent Contour /Time Dependent Contour /ZeitabhZeitabhZeitabhZeitabhäääängige Konturngige Konturngige Konturngige Kontur

2


FaradayFaradayFaradayFaraday‘‘‘‘s Induction Law in Integral Forms Induction Law in Integral Forms Induction Law in Integral Forms Induction Law in Integral Form ////Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (2)Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (2)Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (2)Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (2)

FaradayFaradayFaradayFaraday‘‘‘‘s Induction Laws Induction Laws Induction Laws Induction Law / Faradaysches Induktionsgesetz/ Faradaysches Induktionsgesetz/ Faradaysches Induktionsgesetz/ Faradaysches Induktionsgesetz

[ ]( ) ( )C t S t=∂∫ dR� i�

( , )tE R

dR

( , )tE R dRiScalar Product of E and dR = tangential projection of E onto dR Scalar Product of E and dR = tangential projection of E onto dR Scalar Product of E and dR = tangential projection of E onto dR Scalar Product of E and dR = tangential projection of E onto dR / / / / Skalarprodukt von E auf dR = Tangentialprojektion von E auf dRSkalarprodukt von E auf dR = Tangentialprojektion von E auf dRSkalarprodukt von E auf dR = Tangentialprojektion von E auf dRSkalarprodukt von E auf dR = Tangentialprojektion von E auf dR

[V][V][V][V]

Vectorial Differential Line Element Vectorial Differential Line Element Vectorial Differential Line Element Vectorial Differential Line Element / Vektorielles differentielles / Vektorielles differentielles / Vektorielles differentielles / Vektorielles differentielles LinienelementLinienelementLinienelementLinienelement

[m][m][m][m]

Electric Field Strength Electric Field Strength Electric Field Strength Electric Field Strength / Elektrische Feldst/ Elektrische Feldst/ Elektrische Feldst/ Elektrische Feldstäääärkerkerkerke[V/m][V/m][V/m][V/m]

Closed Contour Integral / Closed Contour Integral / Closed Contour Integral / Closed Contour Integral / Geschlossenes KurvenintegralGeschlossenes KurvenintegralGeschlossenes KurvenintegralGeschlossenes Kurvenintegral[m][m][m][m]

dR=dR s

Vectorial Differential Line Element / Vectorial Differential Line Element / Vectorial Differential Line Element / Vectorial Differential Line Element / VektoriellesVektoriellesVektoriellesVektorielles differentiellesdifferentiellesdifferentiellesdifferentiellesLinienelementLinienelementLinienelementLinienelement

Tangential Unit Vector / Tangential Unit Vector / Tangential Unit Vector / Tangential Unit Vector / Tangentialer EinheitsvektorTangentialer EinheitsvektorTangentialer EinheitsvektorTangentialer Einheitsvektor

Scalar Differential Line ElementScalar Differential Line ElementScalar Differential Line ElementScalar Differential Line Element / Skalares / Skalares / Skalares / Skalares differentielles Linienelementdifferentielles Linienelementdifferentielles Linienelementdifferentielles Linienelement

m( ) ( ) ( ) ( )

d( , ) ( , ) ( , )

dC t S t S t S tt t t

t=∂= − −∫ ∫∫ ∫∫E R dR B R dS J R dSi i i�


Different Products / Different Products / Different Products / Different Products / Verschiedene ProdukteVerschiedene ProdukteVerschiedene ProdukteVerschiedene Produkte

C = A BiScalar Product / Scalar Product / Scalar Product / Scalar Product / SkalarproduktSkalarproduktSkalarproduktSkalarprodukt

=C A B

=C A × BVector Product / Vector Product / Vector Product / Vector Product / VektorproduktVektorproduktVektorproduktVektorprodukt

Dyadic Product / Dyadic Product / Dyadic Product / Dyadic Product / DyadischesDyadischesDyadischesDyadisches PPPProduktroduktroduktrodukt

3


Scalar Product (Dot or Inner Product) / Scalar Product (Dot or Inner Product) / Scalar Product (Dot or Inner Product) / Scalar Product (Dot or Inner Product) / Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (1)Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (1)Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (1)Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (1)

cos ( , )

cos

AB

ABAB

φ

φ

= ∠

=

A B A B A Bi��

cos ABB φ=

ABφ

A

B

cos ABA φ=

ABφEnclosed Angle / Enclosed Angle / Enclosed Angle / Enclosed Angle / Eingeschlossener WinkelEingeschlossener WinkelEingeschlossener WinkelEingeschlossener Winkel

cos

cos

BA

AB

BA

AB

φ

φ

=

=

=

A B B Ai i

( ) ( )cos c osAB ABφ φ= −

cos

arccos

AB

AB

φ

φ

=

=

A B

A B

A B

A B

i

i



� �

� �

1 00

0 1 0

10 0

( ) ( )

+

+

x y z x y zx y z x y z

x x x y x zx x x y x z

y x y y y zy x y y y z

z x z y z zz x z y z z

A A A B B B

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A B

A

= ==

= = =

== =

= + + + +

= + +

+ +

+ +

=

A B e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

i i

i i i��

i i i��

i i i��

x x y y z zB A B A B+ +

1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

3

1

( ) ( )

( ) ( )

i i


x x y y z z

x x x x x xx x x x x x

x x x x x x

x x

i

A A A B B B

A B A B A B

A A A B B B

A B A B A B

A B

=

= + + + +

= + +

= + + + +

= + +

=∑

A B e e e e e e

e e e e e e

i i

i

x y z⊥ ⊥e e e

Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale Einheitsvektoren

1

0

0

x x

x y

x z

=

=

=

e e

e e

e e

i

i

i

0

1

0

y x

y y

y z

=

=

=

e e

e e

e e

i

i

i

0

0

1

z x

z y

z z

=

=

=

e e

e e

e e

i

i

i

1

2

3

x x

y x

z x

=

=

=

Cartesian Coordinates / Cartesian Coordinates / Cartesian Coordinates / Cartesian Coordinates / Kartesische KoordinatenKartesische KoordinatenKartesische KoordinatenKartesische Koordinaten

4



3 3

1 1

3 3

1 1

3 3

1 1

( ) ( )

or/oder

i ji j

i ji j

i j i j

ij

i j i j

ij

i j

xi


x xx xi j

x xx xi j

x x x xi j

x x x x

x x ij

B

A A A B B B

A B

A B

A B

A B

A B

δ

δ

δ

= =

= =

= ==

=

=

= + + + +

=

=

=

=

=

∑ ∑

∑∑

∑∑

A B e e e e e e

e e

e e

e e

e e

i i

i

i

i��

i��

��

i j

x j

x xj j

i i

x ij x

A

A B

x x

A B

A B

δ

=

=

=

��

1

0ij

i j

i jδ

==

≠

Kronecker Delta / Kronecker Delta / Kronecker Delta / Kronecker Delta / KroneckerKroneckerKroneckerKronecker----DeltaDeltaDeltaDelta

with Einsteinwith Einsteinwith Einsteinwith Einstein’’’’s Summation Convention / s Summation Convention / s Summation Convention / s Summation Convention / mit Einsteinscher Summationskonventionmit Einsteinscher Summationskonventionmit Einsteinscher Summationskonventionmit Einsteinscher Summationskonvention

EinsteinEinsteinEinsteinEinstein‘‘‘‘s Summation Conventions Summation Conventions Summation Conventions Summation Convention: If a index appears two : If a index appears two : If a index appears two : If a index appears two times at one side of an equation (and not at the other side), times at one side of an equation (and not at the other side), times at one side of an equation (and not at the other side), times at one side of an equation (and not at the other side), the index is automatically summed over 1 to 3. / the index is automatically summed over 1 to 3. / the index is automatically summed over 1 to 3. / the index is automatically summed over 1 to 3. / Einsteinsche SummenkonventionEinsteinsche SummenkonventionEinsteinsche SummenkonventionEinsteinsche Summenkonvention: Wenn ein Index auf einer : Wenn ein Index auf einer : Wenn ein Index auf einer : Wenn ein Index auf einer Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der anderen nicht), wird daranderen nicht), wird daranderen nicht), wird daranderen nicht), wird darüüüüber von 1 bis 3 summiert. ber von 1 bis 3 summiert. ber von 1 bis 3 summiert. ber von 1 bis 3 summiert.


Magnitude of a Vector / Magnitude of a Vector / Magnitude of a Vector / Magnitude of a Vector / Betrag eines VektorsBetrag eines VektorsBetrag eines VektorsBetrag eines Vektors

� �

� �

1 00

0 1 0

10 0

(A A A ) (A A A )

A A A A A A

+ A A A A A A

+ A A A A A A




z x z y z zz x z y z z

= ==

= = =

== =

=

= + + + +

= + +

+ +

+ +

A A A

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

i

i

i i i��

i i i��

i i i��

1

2

2 2 2

A A A A A A

A A A

A

x x y y z z

x y z

= + +

= + +

=

3 3

1 1

2

i ji j

i ji j

i j i j

ij

i

x xx xi j

x xx x

x x x x

x

A B

A A

A A

A

δ

= =

=

=

=

=

=

=

∑ ∑

A A A

e e

e e

e e

i

i

i

i��

5


Example: Position Vector and Electric Field Strength Vector /Example: Position Vector and Electric Field Strength Vector /Example: Position Vector and Electric Field Strength Vector /Example: Position Vector and Electric Field Strength Vector /Beispiel: Ortsvektor und elektrischer FeldstBeispiel: Ortsvektor und elektrischer FeldstBeispiel: Ortsvektor und elektrischer FeldstBeispiel: Ortsvektor und elektrischer Feldstäääärkevektorrkevektorrkevektorrkevektor

( , , ) R ( , , ) R ( , , ) R ( , , )

x y zx y z

x y z

x y z x y z x y z x y z

x y z

= + +

= + +

R e e e

e e e

Cartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate System / Kartesisches Koordinatensystem/ Kartesisches Koordinatensystem/ Kartesisches Koordinatensystem/ Kartesisches Koordinatensystem

( , ) ( , , , )

E ( , , , ) E ( , , , ) E ( , , , )x y zx y z

t x y z t

x y z t x y z t x y z t

=

= + +

E R E

e e e

Electric Field Strength Vector / Electric Field Strength Vector / Electric Field Strength Vector / Electric Field Strength Vector / Elektrische FeldstElektrische FeldstElektrische FeldstElektrische Feldstäääärkevektor rkevektor rkevektor rkevektor

2 2 2

( , , )ˆ ( , , )( , , )

x y z

x y zx y z

x y zx y z

x y z

=

+ +=

+ +

RR

R

e e e

( ) ( )2 2 2

( , , ) ( , , ) ( , , )

x y z x y z

x y z x y z x y z

x y z x y z

x y z

=

= + + + +

= + +

R R R

e e e e e e

i

i

2 2 2

( , , )ˆ ( , , )( , , )

E E E

E E E

x y zx y z

x y z

x y zx y z

x y z=

+ +=

+ +

EE

E

e e e

( ) ( )2 2 2

( , , ) ( , , ) ( , , )

E E E E E E

E E E


x y z

x y z x y z x y z=

= + + + +

= + +

E E E

e e e e e e

i

i

Position Vector / Position Vector / Position Vector / Position Vector / OrtsvektorOrtsvektorOrtsvektorOrtsvektor

Magnitude of the Position Vector (Distance) / Magnitude of the Position Vector (Distance) / Magnitude of the Position Vector (Distance) / Magnitude of the Position Vector (Distance) / Betrag des Ortsvektor (Abstand)Betrag des Ortsvektor (Abstand)Betrag des Ortsvektor (Abstand)Betrag des Ortsvektor (Abstand)

Magnitude of the Electric Field Strength Vector Magnitude of the Electric Field Strength Vector Magnitude of the Electric Field Strength Vector Magnitude of the Electric Field Strength Vector (Strength) / (Strength) / (Strength) / (Strength) / Betrag des elektrische FeldstBetrag des elektrische FeldstBetrag des elektrische FeldstBetrag des elektrische Feldstäääärkevektors rkevektors rkevektors rkevektors

(St(St(St(Stäääärke)rke)rke)rke)

Position Unit Vector (Direction) / Position Unit Vector (Direction) / Position Unit Vector (Direction) / Position Unit Vector (Direction) / OrtseinheitsvektorOrtseinheitsvektorOrtseinheitsvektorOrtseinheitsvektor (Richtung)(Richtung)(Richtung)(Richtung)

Electric Field Strength Unit Vector (Direction) / Electric Field Strength Unit Vector (Direction) / Electric Field Strength Unit Vector (Direction) / Electric Field Strength Unit Vector (Direction) / Elektrische FeldstElektrische FeldstElektrische FeldstElektrische Feldstäääärkeeinheitsvektor (Richtung) rkeeinheitsvektor (Richtung) rkeeinheitsvektor (Richtung) rkeeinheitsvektor (Richtung)


Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / VektorVektorVektorVektorproduktproduktproduktprodukt (Kreuzprodukt oder (Kreuzprodukt oder (Kreuzprodukt oder (Kreuzprodukt oder ääääuuuußßßßeres Produkt) (1)eres Produkt) (1)eres Produkt) (1)eres Produkt) (1)

sin ( , )

sin

AB

AB

AB

C

AB

S

φ

φ

=

= ∠

=

=

C A×B

A B A B��

ABφ

A

B

C

ABS

and /

und⊥ ⊥C A C B

Surface / Surface / Surface / Surface / FlFlFlFläääächechecheche

6


Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder ääääuuuußßßßeres Produkt) (2)eres Produkt) (2)eres Produkt) (2)eres Produkt) (2)

= −A ×B B× A

0

0

( ) ( )

+

+

yz

z x

y x




z x z y zz x z y

A A A B B B

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A

= =−=

=− = =

= =−

= + + + +

= + +

+ +

+ +

ee

e e

e e

A × B e e e × e e e

e ×e e ×e e ×e

e ×e e ×e e ×e

e ×e e ×e

��

��

�� 0

( ) ( ) ( )

z z z

y z z y z x x z x y y xx x y z

B

A B A B A B A B A B A B

=

= − + − + −

e ×e

e e e e

��

=A × A 0

x y z⊥ ⊥e e e

Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale Einheitsvektoren

x x

x y z

x z y

y x z

y y

y z x

z x y

z y x

z z

=

=

= −

= −

=

=

=

= −

=

e × e 0

e × e e

e × e e

e × e e

e × e 0

e × e e

e × e e

e × e e

e × e 0


Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder ääääuuuußßßßeres Produkt) (3)eres Produkt) (3)eres Produkt) (3)eres Produkt) (3)

( )

+ ( )

( )

x y z

x y z

x y z

x y z x y

x y z x y

x y z x y

y z z y x

z x x z y

x y y x z

A A A

B B B

A A A A A

B B B B B

A B A B

A B A B

A B A B

=

=

= −

−

+ −

e e e

A×B

e e e e e

e

e

e

Add the first two ColumnsAdd the first two ColumnsAdd the first two ColumnsAdd the first two Columns / / / / Addiere die beiden ersten SpaltenAddiere die beiden ersten SpaltenAddiere die beiden ersten SpaltenAddiere die beiden ersten Spalten

SarrusSarrusSarrusSarrus LawLawLawLaw ////Regel von Regel von Regel von Regel von SarrusSarrusSarrusSarrus

[Pierre Frédéric Sarrus, 1831]http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus

7


Dyadic Product / Dyadic Product / Dyadic Product / Dyadic Product / DyadischesDyadischesDyadischesDyadisches PPPProduktroduktroduktrodukt

3 3

1 1

3 3

1 1

i ji j

i ji j

i ji j

i j i j

i j i j

x xx xi j

x xx x

i j

x xx x

x x x x

x x x x

x xi jD

A B

A B

A B

A B

D

= =

= =

=

=

=

=

=

=

=

∑ ∑

∑ ∑

A B e e

e e

e e

e e

e e

D

��

≠B A A B

=

=

D ε E

B µ H

i

i


ElectrostaticElectrostaticElectrostaticElectrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder(ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder(ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder(ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder

8


Electrostatic Field Problem Electrostatic Field Problem Electrostatic Field Problem Electrostatic Field Problem –––– Example: Parallel Plate Capacitor / Example: Parallel Plate Capacitor / Example: Parallel Plate Capacitor / Example: Parallel Plate Capacitor / Elektrostatisches FeldproblemElektrostatisches FeldproblemElektrostatisches FeldproblemElektrostatisches Feldproblem –––– Beispiel: Paralleler PlattenkondensatorBeispiel: Paralleler PlattenkondensatorBeispiel: Paralleler PlattenkondensatorBeispiel: Paralleler Plattenkondensator

Scalar Field: Electrostatic PotentialScalar Field: Electrostatic PotentialScalar Field: Electrostatic PotentialScalar Field: Electrostatic Potential ////Skalarfeld: Elektrostatisches PotenzialSkalarfeld: Elektrostatisches PotenzialSkalarfeld: Elektrostatisches PotenzialSkalarfeld: Elektrostatisches Potenzial

Vector Field: Electrostatic Field Strength /Vector Field: Electrostatic Field Strength /Vector Field: Electrostatic Field Strength /Vector Field: Electrostatic Field Strength /Vektorfeld: Elektrostatische FeldstVektorfeld: Elektrostatische FeldstVektorfeld: Elektrostatische FeldstVektorfeld: Elektrostatische Feldstäääärkerkerkerke


e

( ) 0

( ) ( ) d

C S

S V VVρ

=∂

=∂

=

=

∫

∫∫ ∫∫∫

E R dR

D R dS R

i

i

�

e

( )

( ) ( )ρ

∇ =

∇ =

× E R 0

D R Ri

Integral Form / Differential Form / Integralform Differentialform

Curl-Free E Field /

Rotationsfreies E Feld

Divergence of D Represents Electric Charge Density /

Quellstärke von D entspricht der elektrischen Raumladungsdichte

ElectrostaticElectrostaticElectrostaticElectrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: Governing Equations Governing Equations Governing Equations Governing Equations / / / / GrundgleichungenGrundgleichungenGrundgleichungenGrundgleichungen

ElectrostaticElectrostaticElectrostaticElectrostatic (ES) Fields (ES) Fields (ES) Fields (ES) Fields –––– Governing Equations Governing Equations Governing Equations Governing Equations / / / / Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder Elektrostatische (ES) Felder –––– GrundgleichungenGrundgleichungenGrundgleichungenGrundgleichungen

e

( ) ::( )

( ) :ρ

E R

D RR

Electric Field Strength / Elektrische Feldstärke

Electric Flux Density / Elektrische Flussdichte

Electric Charge Density / Elektrische Raumladungsdichte

Electrostatic /Elektrostatik 0

t

∂≡

∂

No Time Dependence and No Magnetic Field Quantities /Keine Zeitabhängigkeit und keine magnetischen Feldgrößen

9


e

e

( ) 0

( ) ( ) d

C S

S V VV

Q

ρ

=∂

=∂

=

=

=

∫

∫∫ ∫∫∫

E R dR

D R dS R

i

i

�

e

( )

( ) ( )ρ

∇ =

∇ =

× E R 0

D R Ri

Integral Form / Integral Form / Integral Form / Integral Form / IntegralformIntegralformIntegralformIntegralform



0( ) ( )ε=D R E R

0 r( ) ( )ε ε=D R E R

Vacuum / Vacuum / Vacuum / Vacuum / VakuumVakuumVakuumVakuum

Electric Field Constant / Electric Field Constant / Electric Field Constant / Electric Field Constant / Elektrische FeldkonstanteElektrische FeldkonstanteElektrische FeldkonstanteElektrische Feldkonstante(IEEE, VDE)(IEEE, VDE)(IEEE, VDE)(IEEE, VDE)Permittivity of Free SpacePermittivity of Free SpacePermittivity of Free SpacePermittivity of Free Space / / / / PermittivitPermittivitPermittivitPermittivitäääätttt des Freiraumesdes Freiraumesdes Freiraumesdes Freiraumes

Side Remark: In some Cases /Side Remark: In some Cases /Side Remark: In some Cases /Side Remark: In some Cases /Nebenbemerkung: In einigen FNebenbemerkung: In einigen FNebenbemerkung: In einigen FNebenbemerkung: In einigen Fäääällenllenllenllen

Permittivity / Permittivity / Permittivity / Permittivity / PermittivitPermittivitPermittivitPermittivitäääätttt

2

3e

( ) [V/m Newton /Coulomb = N/C]

[As/ m ]( )

( ) [As/m ]ρ

=E R

D R

R

Differential Form /Differential Form /Differential Form /Differential Form /DifferentialformDifferentialformDifferentialformDifferentialform rMaterial

1.006

Paper / Papier 2...4

Wet Earth / Nasse Erde 5...15

Gallium Arsenide / Gallium Arsenid 13

Seawater / Seewasser 70

Air / Luft

ε


( ) [ ](2)e

12

(1)e

212

1 N

4 R

Q Q

πε= RF R

CoulombCoulombCoulombCoulomb’’’’s Law / s Law / s Law / s Law / CoulombschesCoulombschesCoulombschesCoulombsches GesetzGesetzGesetzGesetzCharles Augustin de Charles Augustin de Charles Augustin de Charles Augustin de CoulombCoulombCoulombCoulomb (1736 (1736 (1736 (1736 –––– 1806)1806)1806)1806)

ES Fields ES Fields ES Fields ES Fields –––– Electric Points Charge and Electric Field Strength Electric Points Charge and Electric Field Strength Electric Points Charge and Electric Field Strength Electric Points Charge and Electric Field Strength –––– CoulombCoulombCoulombCoulomb’’’’s Laws Laws Laws Law / / / / ES Felder ES Felder ES Felder ES Felder –––– Elektrische Punktladung und elektrische FeldstElektrische Punktladung und elektrische FeldstElektrische Punktladung und elektrische FeldstElektrische Punktladung und elektrische Feldstäääärke rke rke rke –––– CoulombschesCoulombschesCoulombschesCoulombsches GesetzGesetzGesetzGesetz

(1)e

(2)e

Force /( ) [N]

Kraft

Electric Point Charge /[As]

Elektrische Punktladung

Electric Point Charge /[As]

Elektrische PunktLadung

Distance /[m]

Abstand

Distance Unit Vector /[1]

Abstandseinheitsvektor

Pe

Q

Q

R

RF

R

rmittivity of Free-Space /[As/Vm]

Permittivität des Freiraumesε

12R

(2)eQ

(1)eQ

12R

[ ] 1R

= =R R

RR

[ ]= mR = R R Ri

( ) (2)

12

(1)

1

ee

224

QQ

Rπε=R RF

( )

2 2 2

2 2 2,

x y z

x y z

R

x y z

R x y z

x y z

x y z

ϑ ϕ

= + +

= = + +

+ += =

+ +e

R e e e

R R

e e eR

i

1R2R

12 2 1= −R R R

10


( )( ) [ ]

(1)e

(2) 2e

N/C or V/m4

Q

Q Rπε= =

RR

FE R

Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Elektrische FeldstElektrische FeldstElektrische FeldstElektrische Feldstäääärke: Kraft pro Einheitsladungrke: Kraft pro Einheitsladungrke: Kraft pro Einheitsladungrke: Kraft pro Einheitsladung


ES Fields ES Fields ES Fields ES Fields –––– Electric Charge and Electric Field Strength Electric Charge and Electric Field Strength Electric Charge and Electric Field Strength Electric Charge and Electric Field Strength –––– CoulombCoulombCoulombCoulomb’’’’s Laws Laws Laws Law / / / / ES Felder ES Felder ES Felder ES Felder –––– Elektrische Ladung und elektrische FeldstElektrische Ladung und elektrische FeldstElektrische Ladung und elektrische FeldstElektrische Ladung und elektrische Feldstäääärke rke rke rke –––– CoulombschesCoulombschesCoulombschesCoulombsches GesetzGesetzGesetzGesetz

(2)e

(1)e

Electric Field Strength /( ) [V/m]

Elektische Feldstärke

Force /( ) [N]

Kraft

Electric Charge /[As]

Elektrische Ladung

Electric Test Charge /[As]

Elektrische Testladung

Distance /[m]

Abstand

Distance

Q

Q

R

R

R

E

F

Unit Vector /[1]


Permittivity of Free-Space /[As/Vm]

Permittivität des Freiraumesε

R

R

(2)eQ

(1)eQ

R

Electric Test Charge / Elektrische Testladung

Move … / Bewege...

Radial Field / Radialfeld

(2)eQ

Electric Test Charge / Elektrische Testladung

( )( )

(1)e

)

2

(2e

4

Q

Q

Rπε

=

=

EF R

R

R


( ) [ ]

e

2

e V/m44 RR

R

Q Q

πεπε= =

=

R RE R

R R

Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Elektrische FeldstElektrische FeldstElektrische FeldstElektrische Feldstäääärke: Kraft pro Einheitsladungrke: Kraft pro Einheitsladungrke: Kraft pro Einheitsladungrke: Kraft pro Einheitsladung


ES Fields ES Fields ES Fields ES Fields –––– Electric Charge and Electric Electric Charge and Electric Electric Charge and Electric Electric Charge and Electric FieldFieldFieldField StrengthStrengthStrengthStrength –––– CoulombCoulombCoulombCoulomb’’’’s Laws Laws Laws Law / / / / ES Felder ES Felder ES Felder ES Felder –––– Elektrische Ladung und elektrische FeldstElektrische Ladung und elektrische FeldstElektrische Ladung und elektrische FeldstElektrische Ladung und elektrische Feldstäääärke rke rke rke –––– CoulombschesCoulombschesCoulombschesCoulombsches GesetzGesetzGesetzGesetz

e

Electric Field Strength /( ) [V/m]

Elektische Feldstärke

Electric Charge /[As]

Elektrische Ladung

Distance /[m]

Abstand

Distance Unit Vector /[1]


Permittivity of Free-Space /

Permitt

Q

R

R

R

E

[As/Vm]ivität des Freiraumes

ε

ReQ

R

Radial Field / Radialfeld

( ) 2

e

e

4

4

R

Q

R

Q

πε

πε

=

=

R RE

R

11


e

( ) 0

( ) ( ) d

C S

S V VVρ

=∂

=∂

=

=

∫

∫∫ ∫∫∫

E R dR

D R dS R

i

i

�

e

( )

( ) ( )ρ

∇ =

∇ =

× E R 0

D R Ri

Integral Form / Differential Form / Integralform Differentialform

Curl-Free E-Field /Rotationsfreies E-Feld

Divergence of D Represents Electric Charge Density /Quellstärke von D entspricht der elektrischen Raumladungsdichte

Method of Gauss’ Electric Law /Methode des Gaußschen elektrischen Gesetzes



e

( ) ::( )

( ) :ρ

E R

D RR

Electric Field Strength / Elektrische Feldstärke

Electric Flux Density / Elektrische Flussdichte

Electric Charge Density / Elektrische Raumladungsdichte

Electrostatic /Elektrostatik 0

t

∂≡

∂

No Time Dependence and No Magnetic Field Quantities /Keine Zeitabhängigkeit und keine magnetischen Feldgrößen


Source Distribution Source Distribution Source Distribution Source Distribution / Quellverteilung/ Quellverteilung/ Quellverteilung/ Quellverteilung

se

s

0( )

0

V

Vρ

≠ ∈=

= ∈/

RR

R

sV

e ( ) 0ρ >R

Source Volume Source Volume Source Volume Source Volume / / / / QuellvolumenQuellvolumenQuellvolumenQuellvolumen

C S= ∂Integration Contour Integration Contour Integration Contour Integration Contour / / / / IntegrationskonturIntegrationskonturIntegrationskonturIntegrationskontur

( ) 0C S=∂

=∫ E R dRi�

( )E R

ES FieldsES FieldsES FieldsES Fields –––– Method of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric Gauss’’’’ LawLawLawLaw / / / / ESESESES----Felder Felder Felder Felder –––– Methode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen Gaußßßßschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzes

12


Source Distribution Source Distribution Source Distribution Source Distribution / Quellverteilung/ Quellverteilung/ Quellverteilung/ Quellverteilung

se

s

0( )

0

V

Vρ

≠ ∈=

= ∈/

RR

R

( ) ( )( )

d

nD

S=

R

D R dS D R ni i��

sV

e ( ) 0ρ >R

e ( ) 0ρ =R

Source Volume Source Volume Source Volume Source Volume ////QuellvolumenQuellvolumenQuellvolumenQuellvolumen

V

Integration Volume Integration Volume Integration Volume Integration Volume / / / / IntegrationsvolumenIntegrationsvolumenIntegrationsvolumenIntegrationsvolumen

e ( ) 0ρ =Re

e

( ) ( ) deS V V

V

Q

ψ ρ=∂

= =

=

∫∫ ∫∫∫D R dS RiTotal Electric Charge in V /

Elektrische Gesamtladung in V

( )

e

( ) d

Total electric charge inside thevolume with the cl

Summation of all = Contributions /Summation aller = -Beiträge

( ) ( ) d

eS V

Dn

n

n

S V V

QS

VD

D

Vρ

=∂

=∂=

∫∫

∫∫ ∫∫∫

R

D R n

n D

n D

D R dS R

i��

ii

i��

��

osed surface /Gesamte elektrische Ladung im Volumen mit der geschlossenen Oberfläche

S V

V S V

=∂

=∂

��

e

e

Flux of through in /Fluss von durch in

S Q VS Q V

==

D

D

ES FieldsES FieldsES FieldsES Fields –––– Method of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric Gauss’’’’ LawLawLawLaw / / / / ESESESES----Felder Felder Felder Felder –––– Methode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen Gaußßßßschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzes


S V= ∂

Integration Volume Integration Volume Integration Volume Integration Volume / / / / IntegrationsvolumenIntegrationsvolumenIntegrationsvolumenIntegrationsvolumen

e

e

( ) ( ) d

S V VV

Q

ρ=∂

=

=

∫∫ ∫∫∫D R dS Ri

ES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric Gauss’’’’ Law /Law /Law /Law /

Methode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen Gaußßßßschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzes

ES FieldsES FieldsES FieldsES Fields –––– Method of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric Gauss’’’’ LawLawLawLaw / / / / ESESESES----FelderFelderFelderFelder –––– Methode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen Gaußßßßschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzes

0 source- free / quellenfrei

( ) 0 Source / Quelle

0 Sink / SenkeS V=∂

=

> <

∫∫ D R dS

i

e ( )ρ R

SS1S

2S

2n

1n

1 1

2 2

1

2

e

( ) d

( ) d

( ) d

S SSS V

S V

S V

S

S

S

Q

=∂

=∂

=∂

=

=

=

∫∫

∫∫

∫∫

D R n

D R n

D R n

i

i

i

Sn

13


sVSource Volume Source Volume Source Volume Source Volume / / / / QuellvolumenQuellvolumenQuellvolumenQuellvolumen

S V= ∂Integration Surface (Closed Surface) Integration Surface (Closed Surface) Integration Surface (Closed Surface) Integration Surface (Closed Surface) / / / / IntegrationsflIntegrationsflIntegrationsflIntegrationsflääääche (geschlossene Oberflche (geschlossene Oberflche (geschlossene Oberflche (geschlossene Oberflääääche)che)che)che)

v ( )

v

( ) ( ) d

v ( ) d

n

S V S V

nS V

S

S

ψ

=∂ =∂=

=∂

=

=

=

∫∫ ∫∫

∫∫

i i��

R

v R dS v R n

R

ES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric Gauss’’’’ Law /Law /Law /Law /

Methode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen Gaußßßßschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzes

Example: Fluid MechanicsExample: Fluid MechanicsExample: Fluid MechanicsExample: Fluid Mechanics –––– Spring of WaterSpring of WaterSpring of WaterSpring of Water / / / / Beispiel: StrBeispiel: StrBeispiel: StrBeispiel: Ströööömungsmechanik mungsmechanik mungsmechanik mungsmechanik –––– WasserquelleWasserquelleWasserquelleWasserquelle

vv

v

Spring of Water Spring of Water Spring of Water Spring of Water / / / / WasserquelleWasserquelleWasserquelleWasserquelle

Total Flux through the Closed Surface Total Flux through the Closed Surface Total Flux through the Closed Surface Total Flux through the Closed Surface / / / / Gesamtfluss durch die geschlossene OberflGesamtfluss durch die geschlossene OberflGesamtfluss durch die geschlossene OberflGesamtfluss durch die geschlossene Oberfläääächechecheche

v

n


ES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric Gauss’’’’ Law Law Law Law ---- Example /Example /Example /Example /

Methode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen Gaußßßßschen Gesetzes schen Gesetzes schen Gesetzes schen Gesetzes ---- BeispielBeispielBeispielBeispiel

Example: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge DistExample: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge DistExample: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge DistExample: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge Distribution /ribution /ribution /ribution /Beispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen RaumladungsBeispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen RaumladungsBeispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen RaumladungsBeispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen Raumladungsdichtedichtedichtedichte

e0 00e e

0

( ) ( )

0

RR R

RR

R R

ρρ ρ

<

= = >

R

Prescribed: Electric Charge Density / Prescribed: Electric Charge Density / Prescribed: Electric Charge Density / Prescribed: Electric Charge Density / Vorgegeben: Elektrische RaumladungsdichteVorgegeben: Elektrische RaumladungsdichteVorgegeben: Elektrische RaumladungsdichteVorgegeben: Elektrische Raumladungsdichte

+

++

+

++

+

+

+ +

+

+++

+

+

++

+ + + ++

+

+

+

+

+

+ + ++

++

+++

+

+

+

+

+

+

+

ϕ

ϑ

0RR

R

R

0R

0R

e0 ( )Rρ

( )RD R

sin dR ϑ ϕ

dR ϑdR

e

e

( )

( ) ( ) d ( ) d

n

S V S V VD

Q

S Vρ=∂ =∂

= =

= =∫∫ ∫∫ ∫∫∫i i��

R

D R dS D R n RConsider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Betrachte den elektrostatischen (ES) FallBetrachte den elektrostatischen (ES) FallBetrachte den elektrostatischen (ES) FallBetrachte den elektrostatischen (ES) Fall

Radial Symmetry /Radial Symmetry /Radial Symmetry /Radial Symmetry /RadialsymmetrieRadialsymmetrieRadialsymmetrieRadialsymmetrie

!!!!

Charged Sphere with Radius RCharged Sphere with Radius RCharged Sphere with Radius RCharged Sphere with Radius R0000/ / / /

Geladene Kugel mit dem Radius Geladene Kugel mit dem Radius Geladene Kugel mit dem Radius Geladene Kugel mit dem Radius RRRR0000

Solution for D(Solution for D(Solution for D(Solution for D(RRRR) / ) / ) / ) / LLLLöööösung fsung fsung fsung füüüür r r r D(D(D(D(RRRR))))

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

n R

R

D D

n RD D

= =

=

=

R R

D R n D R e

R R

i i��

14


Vector Differential Surface Element Vector Differential Surface Element Vector Differential Surface Element Vector Differential Surface Element / / / / Vektorielles differentielles FlVektorielles differentielles FlVektorielles differentielles FlVektorielles differentielles Fläääächenelement (1)chenelement (1)chenelement (1)chenelement (1)

d S=d S nDefinition:Definition:Definition:Definition:

Surface /Surface /Surface /Surface /FlFlFlFläääächechecheche

y

z

x

( )1 2,σ σR

( )1 1 2,dσ σ σ+R1σ

d S1σdR

( )

( )

( )

1

2

1 2

1 2

1 1 2

1 2 2

,

,

d ,

, d

σ

σ

σ σ

σ σ

σ σ σ

σ σ σ

+

+

R

R

R

dR

dR

Surface Parameters Surface Parameters Surface Parameters Surface Parameters / / / / FlFlFlFläääächenparameterchenparameterchenparameterchenparameter

Position Vector Position Vector Position Vector Position Vector / / / / OrtsvektorOrtsvektorOrtsvektorOrtsvektor

Position Vectors Position Vectors Position Vectors Position Vectors / / / / OrtsvektorenOrtsvektorenOrtsvektorenOrtsvektoren

Vector Differential Line Vector Differential Line Vector Differential Line Vector Differential Line Elements / Elements / Elements / Elements / Vektorielle Vektorielle Vektorielle Vektorielle differentielle differentielle differentielle differentielle LinienelementeLinienelementeLinienelementeLinienelemente

( )1 2,σ σR

2σ2σdRn

Position Vector Position Vector Position Vector Position Vector / Ortsvektor/ Ortsvektor/ Ortsvektor/ Ortsvektor

Tangential Vectors Tangential Vectors Tangential Vectors Tangential Vectors / Tangentialvektoren/ Tangentialvektoren/ Tangentialvektoren/ Tangentialvektoren ( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 211

1 2 1 222

, ,

, ,

σ σ σ σσ

σ σ σ σσ

∂=

∂

∂=

∂

σ R

σ R

( )1 2 2, dσ σ σ+R

dS


Vector Differential Surface Element / Vector Differential Surface Element / Vector Differential Surface Element / Vector Differential Surface Element / Vektorielles differentielles FlVektorielles differentielles FlVektorielles differentielles FlVektorielles differentielles Fläääächenelement (2)chenelement (2)chenelement (2)chenelement (2)

( )

( )1

2

1 2 11

1 2 22

, d

, d

σ

σ

σ σ σ

σ σ σ

=

=

dR σ

dR σ

Vector Differential Line Elements / Vector Differential Line Elements / Vector Differential Line Elements / Vector Differential Line Elements / Vektorielles differentielles LinienelementVektorielles differentielles LinienelementVektorielles differentielles LinienelementVektorielles differentielles Linienelement

( ) ( )1 2

1 2 1 2 1 21 2

d

, , d d

S σ σ

σ σ σ σ σ σ

=

=

dR × dR

σ ×σ

Scalar Differential Surface Elements / Scalar Differential Surface Elements / Scalar Differential Surface Elements / Scalar Differential Surface Elements / Skalares differentielles FlSkalares differentielles FlSkalares differentielles FlSkalares differentielles Fläääächenelementchenelementchenelementchenelement

( ) ( )( ) ( )

1 2 1 21 2

1 2 1 21 2

, ,

, ,

σ σ σ σ

σ σ σ σ=σ ×σ

nσ ×σ

Normal UnitNormal UnitNormal UnitNormal Unit----Vector / Vector / Vector / Vector / NormaleneinheitsvektorNormaleneinheitsvektorNormaleneinheitsvektorNormaleneinheitsvektor

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 21 21 2 1 2 1 21 2

1 2 1 21 2

1 2 1 2 1 21 2

d

, , , , d d

, ,

, , d d

S

σ σ σ σσ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

=

=

=

dS n

σ ×σσ ×σ

σ ×σ

σ ×σ

Vector Differential Surface Element / Vector Differential Surface Element / Vector Differential Surface Element / Vector Differential Surface Element / Vektorielles differentielles FlVektorielles differentielles FlVektorielles differentielles FlVektorielles differentielles Fläääächenelement chenelement chenelement chenelement

15


GaussGaussGaussGauss’’’’ Electric Law Electric Law Electric Law Electric Law / Gau/ Gau/ Gau/ Gaußßßßsches elektrisches Gesetzsches elektrisches Gesetzsches elektrisches Gesetzsches elektrisches Gesetz

e eQψ =

Closed Surface Integral /Geschlossenes Flächenintegral Summation of all Normal Componentes of

at the Closed Surface of the Volume /

Summation a

( )

( ) ( ) d

n

S V S V

S= VV

D

S=∂

∂

=∂=

=∫∫ ∫∫i i��

R

D

D R dS D R n

e

Volume In

ller Normalkomponenten von auf der geschlossenen Oberfläche des

Volumens

Flux Through the Colsed Surface /Fluss durch die geschlossene Oberfläche

e ( ) d

S= VV

VV

ψ

ρ

∂

=

= ∫∫∫

��

��

��

��

��

�

D

R

e

tegral /Volumenintegral

Summation of all charges inside the Volume /

Summation aller Ladungen in dem Volumen

V

V

Q=

��

��

��

��

��

��

z

S∈R

y

x

Outward Normal Unit-Vector / Nach Außen zeigender Normaleneinheitsve

: ktor

n

S V= ∂

nD

nD = D ni

Sphere/Kugel: V

dS=dS n

dS

nn D=D n

ExampleExampleExampleExample / Beispiel:/ Beispiel:/ Beispiel:/ Beispiel:


Example: Sphere with Radius Example: Sphere with Radius Example: Sphere with Radius Example: Sphere with Radius a a a a / / / / Beispiel: Kugel mit Radius Beispiel: Kugel mit Radius Beispiel: Kugel mit Radius Beispiel: Kugel mit Radius aaaa (1)(1)(1)(1)

( )2

2

0 0( ) [ ( , , )][ ( , , )]

e

( ) ( ) d [ ( , , )] , sin d d

=

n R

n

RS V S VD D R a

D R a

S R a a

π π

ϕ ϑ ϑ ϕϑ ϕ

ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ

ψ

=∂ =∂= == = =

= =

= = =∫∫ ∫∫ ∫ ∫i i i��

R R

R

D R dS D R n D R e

z

S∈R

y

x


: ktor

n

S V= ∂

nD

nD = D ni

Sphere/Kugel: V

dS=dS n

dS

nn D=D n

( ) ( )2 2

d d

d ( d d )

, sin d d , sin d dR R

S SR a

S h h

R a

ϑ ϕϑϕ ϑ ϕ

ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ

=

= =

= =��

n n

dS n n

e e

0

0 2

ϑ π

ϕ π

≤ ≤

≤ <

( )

e

( ) d

( ) d

n

S VD

V

S

Vρ

=∂=

=

∫∫

∫∫∫

i��

R

D R n

R

16


Example: Sphere with Radius Example: Sphere with Radius Example: Sphere with Radius Example: Sphere with Radius a a a a / / / / Beispiel: Kugel mit Radius Beispiel: Kugel mit Radius Beispiel: Kugel mit Radius Beispiel: Kugel mit Radius aaaa (2)(2)(2)(2)

z

S∈R

y

x


: ktor

n

S V= ∂

nD

nD = D ni

Sphere/Kugel: V

dS=dS n

dS

nn D=D n

0

0

0 2

R a

ϑ π

ϕ π

≤ ≤

≤ ≤

≤ <

( )

e

( ) d

( ) d

n

S VD

V

S

Vρ

=∂

=

∫∫

∫∫∫

i��

R

D R n

R

( )2d sin d d d d d d RV R R h h h Rϑ ϕϑ ϑ ϕ ϑ ϕ= =

22

e e

0 0 0

e

( )d [ ( , , )] sin d d d

a

VR

V R R R

Q

π π

ϕ ϑ

ρ ρ ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ= = =

=

=

∫∫∫ ∫ ∫ ∫R R



e0 00e

0

( )

0

RR R

R

R R

ρρ

<

= >

RElectric Charge Density / Electric Charge Density / Electric Charge Density / Electric Charge Density / Elektrische RaumladungsdichteElektrische RaumladungsdichteElektrische RaumladungsdichteElektrische Raumladungsdichte

+

++

+

++

+

+

+ +

+

+++

+

+

++

+ + + ++

+

+

+

+

+

+ + ++

++

+++

+

+

+

+

+

+

+

ϕ

ϑ

0R R

R

R

0R

0R

e0ρ

RD

sin dR ϑ ϕ

dR ϑdR

e

( )

( ) d ( ) d

n

S V VD

S Vρ=∂

=

=∫∫ ∫∫∫i��

R

D R n RConsider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Betrachte den elektrostatischen FallBetrachte den elektrostatischen FallBetrachte den elektrostatischen FallBetrachte den elektrostatischen Fall

Radial Symmetry / Radial Symmetry / Radial Symmetry / Radial Symmetry / RadialsymmetrischRadialsymmetrischRadialsymmetrischRadialsymmetrisch !!!!

17


Metric CoefficientsMetric CoefficientsMetric CoefficientsMetric Coefficients / Metrische Koeffizienten/ Metrische Koeffizienten/ Metrische Koeffizienten/ Metrische Koeffizienten

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( , , )

( , , )

( , , )

x x

y y

z z

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

=

=

=

Orthogonal Curvilinear CoordinatesOrthogonal Curvilinear CoordinatesOrthogonal Curvilinear CoordinatesOrthogonal Curvilinear Coordinates / / / / Orthogonale Krummlinige KoordinatenOrthogonale Krummlinige KoordinatenOrthogonale Krummlinige KoordinatenOrthogonale Krummlinige Koordinaten

1 2 3

1 2 3

1 2 3, ,

, ,ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

⊥ ⊥

e e e

e e e

Cartesian CoordinatesCartesian CoordinatesCartesian CoordinatesCartesian Coordinates / / / / Kartesische KoordinatenKartesische KoordinatenKartesische KoordinatenKartesische Koordinaten

1 2 3

1 2 3

1 2 3 , , , ,

, , , ,

, ;

x y z x x x

x y z x x x

x y z x x x=

=

⊥ ⊥ ⊥ ⊥

e e e e e e

e e e e e e

1 1

2 2

3 3

( , , )

( , , )

( , , )

x y z

x y z

x y z

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ

=

=

=


x

y

z

R

xe ye

ze

3ξ

R

1ξe

2ξ1ξ

1ξe 2ξe

3ξe

Metric Scaling Metric Scaling Metric Scaling Metric Scaling / / / / Metrische SkalierungMetrische SkalierungMetrische SkalierungMetrische Skalierung


Metric CoefficientsMetric CoefficientsMetric CoefficientsMetric Coefficients –––– Cylindrical Coordinate SystemCylindrical Coordinate SystemCylindrical Coordinate SystemCylindrical Coordinate System / / / / Metrische Koeffizienten Metrische Koeffizienten Metrische Koeffizienten Metrische Koeffizienten –––– ZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystem

ze

re

ϕe

r

r

dR

+R dR

dϕ

d z

dr

dr ϕ

( )d dr r ϕ+

R

18


Metric Coefficients Metric Coefficients Metric Coefficients Metric Coefficients –––– Spherical Coordinate SystemSpherical Coordinate SystemSpherical Coordinate SystemSpherical Coordinate System / / / / Metrische Koeffizienten Metrische Koeffizienten Metrische Koeffizienten Metrische Koeffizienten –––– KugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystem

z

sin

R ϑ d R

+R dRϑ

x

R

y

dR

ϕ dϕ

dϕ

dR ϑ

sin dR ϑ ϕ

dϑ

R



1 2 3

1 2 3

1 2 3

( , , )

( , , )

( , , )

x x

y y

z z

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

=

=

=

Orthogonal Curvilinear CoordinatesOrthogonal Curvilinear CoordinatesOrthogonal Curvilinear CoordinatesOrthogonal Curvilinear Coordinates / / / / Orthogonale Krummlinige KoordinatenOrthogonale Krummlinige KoordinatenOrthogonale Krummlinige KoordinatenOrthogonale Krummlinige Koordinaten

1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) ( , , )x y zx y zξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ= + +R e e e

1 2 3

1 2 3 1 2 3

2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

( , , )

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

1,2,3

ii

i i

i i i

h

x y z

i

ξξ ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂=

∂

∂ ∂=

∂ ∂

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

=

R

R Ri


1 1

2 2

3 3

( , , )

( , , )

( , , )

x y z

x y z

x y z

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ

=

=

=

1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) ( , , )

1,2,3

x y zi i i i

x y z

i

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂

=

Re e e

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Magnitude /Betrag

Direction /Richtung

e

( , , )

( , , ), 1,2,3

( , , )

i

i

i

i i

i

h

i

ξ

ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ

ξ

=

=

∂

∂ ∂∂= =

∂ ∂ ∂

∂

R

RR

R��

��

��


1 2 3, ,ξ ξ ξ1 2 3 1 2 3, , , , , ,x y z x x x ξ ξ ξ= =

19


Example: Metric CoefficientsExample: Metric CoefficientsExample: Metric CoefficientsExample: Metric Coefficients of the of the of the of the CartesianCartesianCartesianCartesian CoordinateCoordinateCoordinateCoordinate System /System /System /System /Beispiel: Metrische Koeffizienten des Kartesischen KoordinatensyBeispiel: Metrische Koeffizienten des Kartesischen KoordinatensyBeispiel: Metrische Koeffizienten des Kartesischen KoordinatensyBeispiel: Metrische Koeffizienten des Kartesischen Koordinatensystemsstemsstemsstems

1 2 3; ;x y zξ ξ ξ= = =

� � �

2 2 2

2 2 2

1 0 0

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

1

x

x y z x y z x y zh

x x x

x x y z y x y z z x y z

x x x

x y z

x x x

= = =

∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ = + +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ = + + =

∂ ∂ ∂

iR R R

� � �

2 2 2

2 2 2

0 1 0

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

1

y

x y z x y z x y zh

y y y


y y y

x y z

y y y

= = =

∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= + + =

∂ ∂ ∂

iR R R

� � �

2 2 2

2 2 2

0 0 1

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

1

z

x y z x y z x y zh

z z z


z z z

x y z

z z z

= = =

∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ = + +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ = + + =

∂ ∂ ∂

iR R R

Cartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate SystemCartesian Coordinate System / / / / Kartesisches KoordinatensystemKartesisches KoordinatensystemKartesisches KoordinatensystemKartesisches Koordinatensystem

1

1

1

x

y

z

h

h

h

=

=

=




1

1

1

x

y

z

h

h

h

=

=

=

Cylindrical Coordinate SystemCylindrical Coordinate SystemCylindrical Coordinate SystemCylindrical Coordinate System / / / / ZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystemZylinderkoordinatensystem

1

1

r

z

h

h r

h

ϕ

=

=

=

Spherical Coordinate SystemSpherical Coordinate SystemSpherical Coordinate SystemSpherical Coordinate System / / / / KugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystemKugelkoordinatensystem

1

sin

Rh

h R

h R

ϑ

ϕ ϑ

=

=

=

20


Metric CoefficientsMetric CoefficientsMetric CoefficientsMetric Coefficients –––– Cylindrical and Spherical Coordinate SystemCylindrical and Spherical Coordinate SystemCylindrical and Spherical Coordinate SystemCylindrical and Spherical Coordinate System / / / / Metrische Koeffizienten Metrische Koeffizienten Metrische Koeffizienten Metrische Koeffizienten –––– ZylinderZylinderZylinderZylinder---- und Kugelkoordinatensystemund Kugelkoordinatensystemund Kugelkoordinatensystemund Kugelkoordinatensystem

ze

re

ϕe

r

r

dR

+R dR

dϕ

d z

dr

dr ϕ

( )d dr r ϕ+

R

z

sin

R ϑ d R

+R dRϑ

x

R

y

dR

ϕ dϕ

dϕ

dR ϑ

sin dR ϑ ϕ

dϑ

R


Metric Coefficients and Vector Differential Line ElementsMetric Coefficients and Vector Differential Line ElementsMetric Coefficients and Vector Differential Line ElementsMetric Coefficients and Vector Differential Line Elements / / / / Metrische Koeffizienten und vektorielle differentielle LinieneleMetrische Koeffizienten und vektorielle differentielle LinieneleMetrische Koeffizienten und vektorielle differentielle LinieneleMetrische Koeffizienten und vektorielle differentielle Linienelementementementemente


1, 1, 1x y zh h h= = =



1, , 1r zh h r hϕ= = = 1, , sinRh h R h Rϑ ϕ ϑ= = =

d

d

d

d

d

d

d

d

d

r

rr

r

z

zz

z

R

h r

r

R

h

r

R

h z

z

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

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=

=

=

=

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e

e

dR s

e

e

dR s

e

e

d

d

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d

d

d

d

d

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R

RR

R

R

h R

R

R

h

R

R

h

R

ϑ

ϑϑ

ϑ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϑ

ϑ

ϕ

ϑ ϕ

=

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=

=

=

dR s

e

e

dR s

e

e

dR s

e

e

d

d

d

d

d

d

d

d

d

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x

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yy

y

z

zz

z

R

h x

x

R

h y

y

R

h z

z

=

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=

=

=

=

=

=

=

dR s

e

e

dR s

e

e

dR n

e

e

21


Metric Coefficients and Differential Volume and Surface ElementsMetric Coefficients and Differential Volume and Surface ElementsMetric Coefficients and Differential Volume and Surface ElementsMetric Coefficients and Differential Volume and Surface Elements / / / / Metrische Koeffizienten und differentielle VolumenMetrische Koeffizienten und differentielle VolumenMetrische Koeffizienten und differentielle VolumenMetrische Koeffizienten und differentielle Volumen---- und Flund Flund Flund Fläääächenelementechenelementechenelementechenelemente


1, 1, 1x y zh h h= = =



1, , 1r zh h r hϕ= = = 1, , sinRh h R h Rϑ ϕ ϑ= = =

d d d d

d d d

d d d

d

( ) d d

d d

d

( ) d d

d d

d

( ) d d

d d

r z

r z

z

zz

r

rz

r zz r

r

rr

z

V h r h h z

h h h r y

r r z

S

h h z

r y z

S

h h r z

r z

S

h h r

r r

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

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dS n

e ×e

e

dS n

e ×e

e

dS n

e ×e

e

2

2

d d d d

d d d

sin d d d

d

( ) d d

sin d d

d

( ) d d

sin d d

d

( ) d d

d d

R

R

R

r

RR

R

RR

V h Rh h

h h h R

R R

S

h h

R

S

h h R

R R

S

h h R

R R

ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑϕ

ϑ ϕϑ ϕ

ϕ

ϕϕ

ϑ

ϑ

ϑϑ

ϕ

ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑ ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑ ϑ ϕ

ϕ

ϑ ϕ

ϑ

ϑ

=

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=

=

=

=

=

=

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=

=

dS n

e ×e

e

dS n

e ×e

e

dS n

e ×e

e

d d d d

d d d

d d d

d

( ) d d

d d

d

( ) d d

d d

d

( ) d d

d d

x y z

x y z

yz

y zy z

x

xz

x zz x

y

xy

x yx y

z

V h xh y h z

h h h x y z

x y z

S

h h y z

y z

S

h h x z

x z

S

h h x y

x y

=

=

=

=

=

=

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=

=

dS n

e ×e

e

dS n

e ×e

e

dS n

e ×e

e



e0 00e

0

( )

0

RR R

R

R R

ρρ

<

= >

RElectric Charge Density / Electric Charge Density / Electric Charge Density / Electric Charge Density /

Elektrische RaumladungsdichteElektrische RaumladungsdichteElektrische RaumladungsdichteElektrische Raumladungsdichte

+

++

+

++

+

+

+ +

+

+++

+

+

++

+ + + ++

+

+

+

+

+

+ + ++

++

+++

+

+

+

+

+

+

+

ϕ

ϑ

0R R

R

R

0R

0R

e0ρ

RD

sin dR ϑ ϕ

dR ϑdR

e

( )

( )

( ) d ( )d

n

R

S V VD

D

S Vρ=∂

=

=

=∫∫ ∫∫∫R

R

D R n Ri��

��

Consider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Betrachte den elektrostatischen FallBetrachte den elektrostatischen FallBetrachte den elektrostatischen FallBetrachte den elektrostatischen Fall


22





e

( )

( )e

( ) d ( )d

n

R

S V VD R

D R

S V

Q

ρ=∂

=

=

=

=

∫∫ ∫∫∫D R n Ri��

��

e0 00e

0

( )

0

RR R

RR

R R

ρρ

≤

= >

00 R R≤ <

( ) ( )

( )

( )

2

0 0

22

0 0

22

e e

0 0 0

d d

d d

sin d d

( )d ( ) sin d d d

R RS V S V

R

R

V

R

R

D R S D R S

D R h h

D R R

R V R R R

π π

ϕ ϑ

ϑ ϕ

π π

ϑ ϕ

π π

ϑ ϕ

ϕ ϑ

ϑ ϕ ϑ

ρ ρ ϑ ϕ ϑ

=∂ =∂

= =

= =

= =

=

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=

=

=

∫∫ ∫∫

∫ ∫

∫ ∫

∫∫∫ ∫ ∫ ∫

2 Cases / 2 2 Cases / 2 2 Cases / 2 2 Cases / 2 FFFFäääällellellelle

0R R>

( ) ( )

( )

( )

0

2

0 0

22

0 0

22

e e

0 0 0

d d

d d

sin d d

( )d ( ) sin d d d

R RS V S

R

V

R

R

VR

D R S D R S

D R h h

D R R

R V R R R

π π

ϕ ϑ

ϑ ϕ

π π

ϑ ϕ

π π

ϑ ϕ

ϕ ϑ

ϑ ϕ ϑ

ρ ρ ϑ ϕ ϑ

=∂ =∂

= =

= =

= ==

=

=

=

=

∫∫ ∫∫

∫ ∫

∫ ∫

∫∫∫ ∫ ∫ ∫

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0R R<

( ) ( )

( )

( )

( )

22

0 0

22

0 0

4

2

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sin d d

sin d d

4

R RS V S V

R

R

R

D R S D R S

D R R

D R R

D R R

π π

ϑ ϕ

π π

ϑ ϕ

π

ϑ ϕ ϑ

ϑ ϕ ϑ

π

=∂ =∂

= =

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∫∫ ∫∫

∫ ∫

∫ ∫��


0R R>

( ) ( )

( )

( )

( )

22

0 0

22

0 0

4

2

d d

sin d d

sin d d

4

R RS V S V

R

R

R

D R S D R S

D R R

D R R

D R R

π π

ϑ ϕ

π π

ϑ ϕ

π

ϑ ϕ ϑ

ϑ ϕ ϑ

π

=∂ =∂

= =

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∫∫ ∫∫

∫ ∫

∫ ∫��

23





0R R<

22

e e

0 0 0

22

e000 0 0

4

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4e0

0 0

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4

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sin d d d

4d

4

4

4

4

R

VR

R

R

R

R

R

R

R V R R

RR

R

RR

R

R

R

R

R

R

R

R

R

π π

ϑ ϕ

π π

ϑ ϕ

π

ρ ρ ϑ ϕ ϑ

ρ ϑ ϕ ϑ

πρ

πρ

πρ

πρ

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∫∫∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

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0

0

0

0

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e e

0 0 0

22

e000 0 0

4

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0 0

4e0

0 0

4e0 0

0

3e0 0

( )d ( ) sin d d d

sin d d d

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4

4

4

4

R

VR

R

R

R

R

R

R

R V R R

RR

R

RR

R

R

R

R

R

R

R

R

π π

ϑ ϕ

π π

ϑ ϕ

π

ρ ρ ϑ ϕ ϑ

ρ ϑ ϕ ϑ

πρ

πρ

πρ

πρ

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∫ ∫ ∫

∫

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4

e00

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4

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4

R

RS V V

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R

R

R

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R

R

RD R

R

R

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ρ

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2

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4

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R

RS V V

D R R R

R

R

D R S R V

D R R R

RD R

R

R

R

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ρ

π πρ

πρ

π

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∫∫ ∫∫∫��

24





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2

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30

02

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RR R

RD R

RR R

R

ρ

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e0 00e

0

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0

RR R

R

R R

ρρ

<

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RElectric Charge Density / Electric Charge Density / Electric Charge Density / Electric Charge Density / Elektrische RaumladungsdichteElektrische RaumladungsdichteElektrische RaumladungsdichteElektrische Raumladungsdichte

+

++

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+

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ϕ

ϑ

0R R

R

R

0R

0R

e0ρ

RD

sin dR ϑ ϕ

dR ϑdR



End of Lecture 4 /Ende der 4. Vorlesung

Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische ... · 1 Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS...

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