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Physik Block 1 ETHZ – BAUG - HS 2011

03.02. Januar 2012 S e i t e | 1 Christoph Hager

PHYSIK © chager - Version 2.0 Prof. Dr. L. Degiorgi, ETHZ

GRUNDLAGEN

GRÖ SSEN

EI NH EI TE N

Strom [ ] Ampère Dichte, Stromdichte [ ⁄ ] Ladung [ ] [ ] Coulomb Spannung [ ] [ ⁄ ] [ ⁄ ] Volt Widerstand [ ] [ ⁄ ] Ohm Leitwert [ ] [ ⁄ ] Siemens Spez. Widerstand [ ] Spez. Leitfähigkeit [ ]

Elektr. Fluss [ ] Elektr. Potential [ ] Volt Energie [ ], [ ] Elektronenvolt Elektr. Feldstärke [ ⁄ ], [ ⁄ ] Verschiebungsdichte [ ⁄ ] Flächenladungsdichte [ ⁄ ] Dichte, Ladungsverteilung [ ⁄ ]

C Kapazität [ ] [ ⁄ ] Farad

Kraft [ ] [ ⁄ ] Newton Arbeit/Energie [ ] [ ] [ ] Joule Leistung [ ] [ ] [ ⁄ ] Watt

Magnetischer Fluss [ ] [ ] Weber Magnetische Feldstärke [ ] Magnetische Flussdichte [ ] [ ⁄ ] Tesla Magnetisches Dipolmoment [ ] Induktivität [ ], [ ⁄ ] Henry

Querschnittsfläche [ ] Länge [ ] Meter Windungsdichte (Spule) [ ⁄ ] Radius [ ] Meter Zeit [ ] Sekunde

Masse [ ] Kilogramm Molekülmasse [ ] Kilogramm rel. Atommasse [ ⁄ ]“ Stoffmenge, Zahl der Mole [ ] Mol Zahl der Moleküle Temperatur [ ] Kelvin

Impedanzen [ ] Ohm Kreisfrequenz = = [ ] (Herz) Frequenz [ ] [ ] Herz Periode [ ] Sekunde Phasenverschiebung [ ] [ ] Winkel Wellenlänge [ ] Meter

Innere Energie [ ] Joule Volumenarbeit [ ] Joule Wärmeenergie [ ] Joule Enthalpie [ ] Joule Entropie [ ] Adiabatenexponent [ ] Freiheitsgrad [ ] Wirkungsgrad [ ] LIchtstärke [ ] Candela Anm: Für Physiker Einheitenoperator: [ ] Für ZF viel zu Umständlich, also who cares?

MAT ERIALEIG E NSC HAFT E N Spezifischer Widerstand [ ]

Dielektrizitätskonstante [ ] Permeabilität → [ ] relative Atommasse spezifische Gaskonstane [

]

mol. spez. Wärmekap. , [

] s106

mol. spez. Wärmekap. ,

spez. Wärmekapazität, [

]

spez. Wärmekapazität,

spez. Umwandlungswärme [

]

KONS TA NTE N

Elektr. Feldkonstante ⁄ _ Magn. Feldkonstante _ Lichtgeschwindigkeit _c Elementarladung _q Elektronenvolt _q_v atomic mass unit _amu Masse Elektron _me Masse Neturon _mn Masse Proton _mp

Avogadro Konstante ⁄ _na Loschmidt-Zahl Faraday-Konstante _na_q Molares Normvolumen _vm Gaskonstante ( ) ( ) _rc Boltzmann Konstante _k Absoluter Nullpunkt ( ) Normaldruck 1_atm Gravitationskonstante ( ) _gc Erdbeschleunigung _g Planksche Konstante _h Rydberk-Frequenz _rdb_c

Beziehungen:

Einheiten Voyage: → P… → 2nd g … für grichische Buchstaben

Vorsicht: Bei Brüchen mit Einheiten, dass sie wirklich unter Bruch sind Coulomb: _coul Stunde: _hr Gramm: _gm Kelvin = _°k (Immer mit Kelvin, Grad wird nicht umgerechnet)

NORMA LBEDI NG U NG E N

Temperatur: Druck: , (Druck IUPAC: )

GRÖSS E N

Yotta Z Dezi d

Zetta Y Zenti c Exa E Milli m Peta P Mikro Tera T Nano n

Giga G Pico p Mega M Femto f Kilo k Atto a Hekto h Zepto z Deka da Yokto y

ELEK TRO MA GN ET ISCH E S SP EKTR U M

SCH ALTU NG EN

Symbole

Batterie

Separates Spannungsmessgerät

Widerstand

Messgerät G = Galvanometer für U I = Messger. Für Strom

Kondensator

Diode Strom fliesst nur in eine Richtung

Spule

Schalter

Lampe

Knoten

Peltierelement: Strom Temperaturänderung (Kühlung)

KRAFT, ARBEIT UND LEISTUNG 35

KRAFT UND DRU CK -

Coulombsche Gesetz

Gravitationsgesetz:

Zentripetalkraft:

Lorentzkraft: (vereinfacht)

Auftrieb:

ARBE IT /E N ERG IE UND L E ISTU NG 3 5

Arbeit

∫

∫

Leistung

KINE MAT IK

Geschwindigkeit:

Winkelgeschwind:

IN TE GRAL E, J ACC OB I

Kreis: ∫ ∫ ( )

Kugel: ∫ ∫ ∫ ( )



STROM UND LADUNG 3

STR OM UND LAD UN G 4

Strom

Ladung

∫

SP AN NU N G 7

Spannung Ohm’sche Leiter:

Nicht-ohmsche Leiter:

OHM SCH E L E ITE R 9

Widerstand nach Geometrie

Spezifischer Widerstand Leiter: , Halbleiter: , Isolator:

Temperaturabhängigkeit bei Metallen: ( ) [ ( )]

Temperaturkoeffizient [ ⁄ ] und beliebige bekannte Grösse Supraleitend: Kein Widerstand mehr bei tiefer Temperatur Halbleiter: Je nach Temperatur Isolator oder Leiter

Spezifische Leitfähigkeit :

KIRCHH OFF SCH E R EG EL N 1 0

KNOT E NREG E L 1 1

∑ ∑

MASCH E NRE GE L 3 2

∑ ∑ ∑ ∑

SER IES CHA LT UNG 1 2

∑ [∑

]

PARALLELE SC HALT U NG 3 4

[∑

]

∑

→ Knoten trennen bei kein Strom fliesst

LADU NG UND K AP AZITÄT 2 9

Kapazität

∫

PLA T TE NK ONDE NSA T OR 3 0

ZY LI ND ERK OND E NSA TOR

( )

(

)

(

)

KUG E LK OND E NSA T OR 3 0

( ) ( )

(

)

(

)

LAD EV ORGA NG 3 5

RC-Schaltung

( )

( ) ( )

Relaxationszeit als charakteristische Zeitkonstante bis Sättigung im Kondensator erreicht ist.

KOND E NSA T OR MI T DI E L EK TRIK UM 3 9

1)

2)

→ Tabelle Seite 41

BERE CHN UN G K AP AZ IT ÄT /W ID ER STAND

Annehmen → einmal plus einmal minus pro Platte → Pro Abstand somit immer Ladung Q in Kondensator

Gauss anwenden auf homogene Fläche:

∫ ( ) ( ) ∫ ( ) Wegintegral von Platte zu Platte

∫ ,

ELEKTRISCHES FELD 16

ELEK TR ISC HE S FELD 1 7

FE LDSTÄR K E A LLGE MEI N

Elektrische Feldstärke (vektorielle Grösse)

Verschiebungsdichte

Spannung

∫

Wenn

E LE KTRIS CH ES P OTE NTI A L 1 9

Potential (skalare Funktion)

( ) ( ) ∫

Das Elektrische Feld ist konservativ:

∮

GE LADE NE K UG EL – C OU LOMB P OT E NTIA L 2 1

(Ober)flächenladungsdichte

( )

Verschiebungsdichte

( )

Coulomb-Feldstärke

( )

Allgemein: Sphären mit ( ) ( )

Integrieren ∫ ( ) ∫

Coulomb-Potential

( )

( )

∫

( )

D IPOL 2 2

Siehe Skript

E LE KTRIS CH ER FLUS S 2 4

Elektrischer Fluss

∫

∫

GAUS SSC H E SA TZ: 2 6

∯

∑

∫

zB. Ladungsverteilung → Elektrische Feldstärke Beispiele auf Seite 27+28 3. Maxwell Gleichung

FE LDER B EILS PIE L

Lineare Ladungsverteilung: ( )

in [

]

Ebene Ladungsverteilung:

Geladene Vollkugel:

WECHSELSTROM 73

KOMPL EX ER STRO M 7 9

Auffassen als Komplexe Zahl:

( ) Phasenverschiebung, Kreisfrequenz =

IMPEDA NZI EN 8 0

Wirkungswiderstand, Blindwiderstand

Scheinwidertand (Effektiver Totalwidertand)

| | √

Phasenverschiebung

(

) ( )

Ohmscher Widerstand:

Induktiver Widerstand:

Kapazitiver Widerstand:

Mit darf wie mit normalen Widerständen gerechnet werden. → Knoten/Maschenregel

Bsp: Serie Spule + Widerstand:

WIRKLEIS TU NG UND EFF EK TIVS PA NNU NG

Wirkleistung:

√

√

Effektivspannung: (

∫ ( )

)

Periodendauer

TRA NSF ORMAT OR

Im Leerlauf: |

|

→ Proportional zu Windungen der Primär und Sekundärspule



MAGNET. FELD / INDUKTION 44

GRU NDLE GE ND E S 4 5

Magentische Feldstärke In Spule:

Spannungsstoss

∫

FLUSS 4 7

Magnetischer Fluss

Allgemein:

∫

Homogene Felder:

Magnetische Flussdichte

IN DUKT ION /LE NZ SCH E R EG EL 4 8

Allgemein:

∮ ( )

∫

Vereinfacht:

( )

Kompakt:

DURCHFLUTU NG SGE SETZ 5 1

Allgemein:

∮ ∫ ⏟

∫

⏟

Vereinfacht:

∮ ∫

∮

In Spule:

∫

∫

ANW E ND UNG 5 4

Um dünnen Leiter: ( )

Homogenes Kabel: ( )

( )

In Spule:

KRÄFT E / M OM EN TE DURCH M AG EN T ISM U S 5 7

LORE NTZ SCH ES KRAF TG E S ET Z 5 7

Lorentzkraft

∫( )

( )

Vollständig:

( )

Mit Ladung , Ladungsgeschw. Kraftdichte

Magnetisches Dipolmoment in Leiterschleife

Drehmoment eines Dipols

Kraft auf Dipol in inhom. Feld

Potentielle Energie Dipol

( )

KR AFT ZWIS CH E N PARA LLE LEN LEI TER N 6 1

Mit Abstand: , Länge

BIO T - SA VA RT SCHE G E SETZ 6 2

Gesetz

∫

Mit Einheitsvektor

ANW E ND UNG 6 3

Magnetische Feldstärke auf Achse Leiterschleife

( ) ⁄

IN DUKT IVITÄT BE RECH N EN

Annehmen

bestimmen (Ampere)

Fluss berechnen (durch Induzierte Schlaufe)

SELBST INDUKT IO N /G E GE N IND UKT ION 6 4

Induktionsspannung:

Induktivität

Lange dünne Spule

Gegeninduktion zweier Spulen:

kleiner als Abhängigkeit Induktivität:

Energiedichte magnetisches Feld

( )

Feldenergie einer Spule

Induktionsgesetz

∮ ( )

∮ ∫( )

∫

MAT ER IE IM EL EKTR/M A GN ET ISCH EN F ELD 7 0- 72

→ →

Diamagnetische Materialien: Entgegengesetz

Paramagnetische Materialien: Verstärkung

Ferromagnetische Materialien

ÜBERSICHT

SA TZ V ON G AU SS

∯

∑

∫

DURCHFLUTU NG SGE SETZ

∮ ∫ ⏟

∫

⏟

IN DUKT ION S GE SETZ

∮ ∫( )

∫

MAG N ETF ELD

→ Keine Magnetischen Monopole

RECHT E H A ND R EG EL



THERMODYNAMIK 93

MA SSE N UND T EILC HE N

Molare Masse, Relative Atommasse (In Periodensystem) Aus Stoffmenge: Aus Teilchenzahl:

ST OFFM ENGE (M OL)

Aus Masse:

Aus Volumen:

Aus Teilchenzahl:

Aus Konzentration: mit → In Literatur:

TEMP ER ATUR 9 6

Immer in Kelvin Rechnen:

ID EAL E GA SE 9 7

GASGLEIC HU NG 9 8

( )

( )

( )

Gegeben: - Anzahl Mole: - Anzahl Moleküle: - Masse:

Innere Energie ( )

WÄRM ELEH RE 103

WÄRMEM E NG E 103

Wärme: Phasenumwandlung:

Mit spezifische Wärmekapazität ( oder ) Und Umwandlungswärme

bei konstantem Volumen

bei konstantem Druck

ARBEIT 106

Ausdehnungsarbeit: ∫

Verdrängungsarbeit: Hubarbeit:

INNERE E NERGI E 108

( ), Zustandsgrösse, besteht aus:

Thermische innere Energie (Bewegung Moleküle)

Chemische innere Energie (Bindungsenergie Moleküle)

Nukleare Energie (Bewegung/Bindung im Kern)

1. Hauptsatz der Thermodynamik ⏟

⏟

→ positive Vergrösserung der inneren Energie

I SOC H ORE PR OZESS E 109

Anwendung oder Phasenänderung ( mit )

I SOBAR E PR OZE SSE 110

( )

⏟

⏟

(ohne Phasenumwandl.)

Enthalpie: ist eine Zustandsgrösse [ ]

Experiment mit konstantem Aussendruck zB. Kolben mit konst. Gewicht oder Eis schmelzen ect.

I SOTH ERM E PROZ ESSE 111

∫

Zugeführte Wärme wird sofort im Volumenarbeit umgesetzt

Ideales Gasgesetz anwendbar

Nicht realistisch

ADIABATISC HE PR OZES S E 112

, aber Temperatur kann sich ändern!

Perfekt isoliertes System

Prozesse die sehr schnell ablaufen

Adiabatische Expansion:

POISS ON GLEIC H U NGE N (ADIABATI SCH) 114

Beziehungen:

(

)

Einatomige Gase: Zweiatomige Gase: (Luft)

JOU LE T H OMS ON -EFF E KT 115

→ siehe Skript

BARO MET RISCH E HÖH E NF OR MEL

( )

Herleitung: ( )

Mit Gas-Gl: ( )

( )

( )

REAL E GA SE 101

Van-der-Waals Zustandsgleichung:

(

) ( )

Kohäsionsdruck Kovolumen, sind Kenngrössen der jeweiligen Gase

WÄRM EKR AFTM ASCHIN EN 116

→ Wärmepumpe, Heissluftmotor siehe Skript Seite 118-122

WIRK UN GSGR AD 124

| |

→ Fläche des Kreisprozesses Arbeit

Carnotsche WG für reversiblen Prozess → Optimal

STRA NGES B EISPI EL Der Kompressor eines Kühlschranks hat eine Ausgangsleistung von 200 W. Im Gefrierfach herrscht die Temperatur 270 K, im Aussenraum 300 K. Wieviel Wärme kann dem Gefrierfach in 10 Minuten maximal entzogen werden?

( )

(

)

EN TRO PIE 125

DEFI NTI ON 125

Wächst bei irreversiblen Prozessen

Bleibt gleich bei reversiblen Prozessen

∫

Zweiter Hauptsatz:

Bei irreversiblen Prozessen wird stets Entropie erzeugt, bei reversiblen bleibt sie konstant. → Entropie „Unordnung“

E NTR OPIEÄ ND ER U NG ID E A LER GAS E 130

Rev. Adiab. Prozess:

Isotherme Expansion:

Isochore Erwärmung:

Isobare Erwärmung:

Mischungsentropie: (

)

→ siehe Seite 134

BEISPI E L WÄRM E KRAFTMAS CHI NE

Reservoir das Wärme abgibt: Reservoir das Wärme aufnimmt: Wärmekraftmaschine ist Zyklisch: Änderung Universum: ∑ ( )

TRANSPORTVORGÄNGE 135

TRA NSPOR T M AT ER IE 136

→ Diffusion

Teilchenstromdichte:

Diffusionsgleichung:

Diffusionskonstante:

: Anzahldichte [ ], [ ] : mittl. therm. Geschw., : mittl. freie Weglänge

TRA NSPOR T EN ER GIE 138

→ Wärmeleitung

Energiestromdichte:

Wärmeleitungs-Gl:

Wärmeleitungsfähigk.: [ ] → wie beim Grundwasser betrachten

Seriell: (∑

)

TRA NSPOR T L ADU NG 139

→ Elektrizitätsleitung in Metallen

Ladungsstromdichte:

Elektrische Leitfähigkeit:

: Potential in Volt, : [ ⁄ ]

→ Sonst siehe Skript



QUANTENPHYSIK 141 Grössen sind Quantisiert (diskretisiert), ändern sich in Schritten (Quanten). Welle-Teilchen-Dualismus

PHOT O EFFE KT 142

→ Durch Licht werden von Kathode Elektronen gelöst → Es wird immer Ein Photon und ein Elektron betrachtet → Zuerst muss mit Austrittsarbeit Elektron gelöst

werden, mit überschüssiger Energie wird Elektron beschleunigt, was zur Bremsspannung ( ) führt.

Grenzfrequenz, Gerade genug Energie um Elektron zu lösen

aber nicht zu beschleunigen. in der Regel klein,

ALLGEM EI N 144 -1 4 8

Licht ist Strom aus Photonen mit jeweils der Energie:

√( ) ( )

Intensität: Photonenstromdichte Energie: [ ]

Frequenz Photon:

Emissionsrate:

[

]

Strom der Photoel.: [ ]

Photonenimpuls:

mit

Lichtdruck: [ ]

[ ]

Impulsstromdichte

Erhöhung Intensität mehr Photonen,

der Elektronen kann nicht verändert werden bei gleichbleibender Frequenz der Photonen

RÖNTG E NS TRAH LU NG

→ Umgekehrter Photoeffekt, Skript Seite 146

IMP ULS:

[ ]

MAT ER IEW ELL EN N ACH BRO GL IE 149

→ Licht kann auch als Teilchen beschrieben werden (Broglie):

√ ⏟

√ ⏟

PH OTON 152

MAT ERIE T EILCH E N 152

HE ISSE NBER SCH E U NSC H ÄRF ER EL AT IO N 152

→ Zwei Grössen können nicht gleichzeitig beliebig genau beschrieben werden.

Je nach Literatur,

oder

WELLE NFU NKT IO N U ND W ELL E NGL E ICHUG N 154

Schrödingergleichung:

( )

ATOMPHYSIK 157

ATO ME 158

→ Siehe Konstanten, Formelbuch

E LE KTR ON E N

Beschleunigen und Rotieren in und -Feld:

√

→ El wird über gesamte Länge Feld beschleunigt, über Hälfte wäre

Schräges -Feld:

Aufteilen {

, mit Radius berechnen

Schraubhöhe: oder über Periode

SP EKTR E N U ND E N ERG IN IV EA U S 160

Gesetzmässigkeit Spektroskopien von Stoffen (Balmerserie):

(

) ( )

Rydberg-Frequenz: ,

Anwendung: |

| |

| |

|

WASSERS T OFFAT OM 164

Energiezustände, Energieniveaus (Potentielle Energie):

( )

( )

Kernladung Rydberg-Energie:

( )

Energie eines emittierten/absorbierten Photons:

Bahnradien (stabile Bohrsche Radien):

Elektronengeschwindigkeit:

→ Bohrsche Model inkonsistent (Unschärfe)

ST EHE ND E EL EKTR ON E NW ELLE N

→ Skript Seite 166

RELATIVITÄT 213 Licht braucht kein Medium um sich fortzubewegen, immer

LÄN GE N VE RZER RU NG . D IL ATA TIO N

→ Korrekturfaktor bei relativistischen Betrachtungen

√

→ Betrachtungssystem als unbewegt betrachten

Wer schnell reist:

Zeit „vergeht“ schneller als in Ruhe

Distanzen erscheinen kürzer

LORE NTZ TRA N SFO RMA TIO NE N 216

Transformationen:

Distanzen:

Geschwindigkeiten:

: Geschwindigkeitsunterschied für A Total Relativistische Energie:

√

DOPPL ER EFF EKT

NIC HT R ELA TIVIS TISC H F ÜR SC HALL

Für Frequenzen gilt:

Bewegte Quelle:

aufeinander zu

voneinander weg

Bewegter Empfänger: (

) aufeinander zu

(

) voneinander weg

→ Akustischer Dopplereffekt: Sirene, Flugzeug (Seite 222) → Bis 10% Lichtgeschwindigkeit anwendbar für Licht

L IC HT IM VAK U UM , R ELA TIVIS TISC H

Periode:

√

Frequenzen:

Voneinander weg: √

Aufeinander zu: √

→ Bsp siehe Skritp Seite 223



WELLEN 193

WELLE NGL E ICHU N G 195

ALLGEM EI N

1-D IM

( ) ( )

EBE NE HARM ONISC H E W E LLE

Wellenfunktion: ( ) ( )

( ) ( ) mit ,

einer Kugelwelle:

( )

Phasengeschwindigkeit:

Intensität: | | (prop. Amplitude)

Energiestromdichte: [ ]

SUP ER PO SIT ION WELL E N 198

STE H E ND E W E LLE N 200

→ 2 Wellen die gegeneinader laufen

INTERF ER E NZ 202

→ Mehrere identische Wellen die Phasenverschoben sind

PE NDELK ETT E 205

√

|

|

: Pendelabstand

SEILW ELL EN ( SAITE ) 206

FE STE K ÖRP ER 208

Druck:

Schub:

( )

Gas:

BEZ IEH UN G W INK EL - E XP

( )

( )

( )

( )

ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN 83 → Hertzscher Dipol: Seite 84-88 im Skript

KO NV E NT IO N

( ) Betrachtungsrichtung, Polarisation Ausbreitungsrichtung ( zu Polarisation) Transversal: Schwingung senkrecht zu Ausbreitungsrichtung Longitudinal: Schwingung in Ausbreitungsrichtung

EBE N E EL EKTR OMA G . W E LL EN

WE LLE NG LEIC HU NG

( )

( )

( )

( )

Wellenfunktionen: ( ) ( )

( ) ( )

Felder: ( ) ( ) ( )

Phasengeschwindigkeit:

Vakuum:

√ Medium:

, Brechungindex

E NERGI ES TR OM

Energiedichte: ( ) ( )

( )

[ ]

Energiestromdichte: (Poyntingvektor)

[ ⁄ ] | | | | ( )

Intensität [ ⁄ ]: | | | |

Impulsstromdichte:

Impulsdichte:

Strahlungsdruck:

[ ⁄ ]

→ Im elektrischen und Magnetischen Teil der elektromagn. Welle steckt die gleiche Energie. Diese Energie wird mit Lichtgeschw. transportiert. Der zeitliche Mittelwert der Energiestromdichte ist die Intensität der Welle.

E IN SP A NN UN GE N

Feste Einspannung Freies Ende

Auslenkung verschwindet

Spannung verdoppelt

RB: ( )

Auslenkung verdoppelt

Spannung verschwindet

RB: ( )

SCHWINGUNGEN 171

BEWE GU NG SGLE ICH UN G

Mechanisches System:

Elektrischer Schwingkreis:

M-K-System 176 M-D-K-System 178-180 Gekoppelte Schwingungen 181-185

Pendel schwingt mit Frequenz des Erregers

Pendel schwingt gegenüber Erreger mit Phasenverschiebung

Gekoppelte Systeme 185+191

MECHANIK

IMP ULSSATZ

∑

äussere Kräfte (inkl. Eigengewicht)

SP INSATZ

∑

∑

RUHE

Ruhe herrscht wenn:



LINEARE SCHWINGUNG

GRU NDGL EICHU NG

Bewegungsgleichung: : Masse : Dämpfung : Steifigkeit

( ) ( )

Krafterregung: ( ) ( ) Wegerregung: ( ) ( )

Substitutionen

Dämpfungswert [

]

√

Eigenkreisfrequenz [

]

( ) dim-lose Zeit

√

Lehrsche Dämpfung [ ]

( )

(

) normierte Erregerfunktion [ ]

Neue DGL:

( )

HOM OG E NE LÖ SU N G

E IGE NWER T E

( √ )

( √ )

[

] Frequenz

[ ] Periode

U NGE DÄMPF T E SC HWI NG U NG

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Phasenverscheibung

[ ] U NT ERKRI TISC H G EDÄ MP F TE SC H W.

mit

( )

(komplex konjugierte EW) Pseudofrequenz

( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) → ist nicht periodisch

Logarithmisches Dekrement:

( )

( ) √(

)

√

√

Parameter in Praxis bestimmen:

→ Ausschwingversuch:

KR ITISC H E DÄ MPF U NG

( )

(

)

[

(

) (

) ( )

⏟ ]

ÜBER KRITIS CH E DÄMPF U NG

mit

( )

( ) (

)

( ) ( )

GRE NZFA LL

√

VER LAU F D ER EIG E NWER T E NA CH DÄMPFU NG

ZEI TK URV E N NA CH DÄM P FU NG

PART IKUL ÄR E L Ö SU NG

Beschränkung in Mech III auf harmonische Anregung:

( ) (geht auch mit Sinus)

, ,

Frequenzverhältnis

( )

PARTI KU LÄR E LÖSU NG

( )

( ) ( ( ))

AMPLI T UDE N UND P HAS E NGA NG

Amplitudengang: ( )

√( )

Phasengang: ( ) (

)

→ Betrachte Eingangs/Ausgangssignal; Gänge stellen Amplitudenverstärkung und Phasenveränderung dar

BEISPI E LE

( ) ( ) langsame Anregung, keine Vergrösserung

( ) ( )

( )

( ) Phasensprung: ( ) Resonanzamplituden werden → Bämmm! (Ansatz für diese Lösung nicht gültig)

ALLG EM EIN E L Ö SU NG

( )

1) : System asymtotisch stabil → → Homogene klingt ab → Für : ( ) ( ) (Erregung)

2) : System Grenzstabil → → Homogene klingt nicht ab Fall A Schwebung

(Resonanznähe) ,

| |

→ Langsame zeitveränderliche Amplitude Fall B Resonanz (eig. ) :

Fall A Fall B



ANALYSIS

TRIG O N OME TR ISC HE FU N KT ION E N

Aus Geometrie: Einheitskreis

DAS DREI CK

Sinussatz:

Cosinussatz:

Flächensatz:

Wenn rechtwinklig:

WERT E TAB ELLE

( ) ⁄ √

⁄ √

⁄

( ) √

⁄ √

⁄

⁄

( ) √

⁄ √

BEZI E HU NG E N

( ) ( ) (

)

( ) ( ) (

)

( ) (

)

( ) ( )

( ) ( )

( )

TH E OR EME

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ( ) ( ))

( ) ( )

( ( ) ( ))

( ) ( )

( ( ) ( ))

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

WINKE L EX P

( )

( )

( )

( )

HYP ERBOL ISCH E UND AR E A-FU NK TION E N

( )

( ) ungerade

( )

( ) gerade

( ) ( )

( )

( ) ( √ )

( ) ( √ )

( )

(

) | | |

BEZI E HU NG E N

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

√

√

√

√

√

√

Zur Hyperbel: ( ) {

Areafunkton weil: Fläche unter ( ) und Graf ist immer

( ) ( )

KO ORDIN AT ENT RA N SFOR M AT IO N

KART ESISC H

Zylindrisch Sphärisch

√

(

)

√

(√

)

(

)

ZY LI NDRISC H

Kartesisch Sphärisch

| |

√

(

)

SPHÄRISC H

Kartesisch Zylindrisch

| | ( )

ANW E NDU NG

A. DGL - K ONST. K OEFF . , H OM OG E N

1. Charakteristisches Polynom ( ) eruieren. Bsp.: ( )

2. Jedes der NS von ( ) gibt ein Summenglied der Lösung: o Einfache reelle Lösungen

( ) ∑

o P-fache reelle Lösung

( ) (

)

o Einfache komplexkonj. Lösung

( ) ( ( ) ( )) [ ]

o R-fache komplexkonj. Lösung

( ) (∑

) ( ( ) ( ))

3. Lösung: ( ) ∑

B . DGL - K ONST. K OEFF . , I NH OM OGE N

1. Zuerst homogene DLG lösen ( ) Vorgehen wie bei A

2. Betrachte Störfunktion ( ) siehe Tabelle mit Störfunktionen

3. Ansatz für partikuläre Lösung in inhomogene DGL

einsetzen und Koeff. Bestimmen

4. Lösung:

C . DG L - 1.ORD NU NG , H OM OG EN

1. Da DGL separierbar Separation der Variablen:

( ) ( ) ( )

∫

( ) ∫ ( )

2. Nach auflösen

D. DG L - 1. ORD NU NG , I NHOMOG E N

1. Zuerst homogene DGL lösen ( ) Vorgehen wie bei C

2. Variation der Konstanten anwenden: Die partikuläre Lösung entsteht durch wobei die Konstante durch ( ) ersetzt wird(Siehe auch Tabelle). wird in die inhom.

DGL eingesetzt und kann berechnet werden.

3. Lösung: [ ] kürzt sich häufig weg

WINKE LF U NK TI ONE N

( ) ( )

( ) ( )

WINKE LB EGRIFF E

( ) ( ) ( )

mit √ ( )

ST ÖRFU NKT ION E N

Für lineare DGL mit konst. Koeffizienten 1. und 2. Ordnung

Störfunktion ( ) Lösungsansatz

Konst Funktion

Lineare Funktion

Polynom Grad n

Exponentialfkt. ( )

1. ist keine Lösung von ( ):

2. ist p-fache Lösung von ( ):

Winkelfunktion ( ) ( ) ( )

1. ist keine Lösung von ( ) ( ) ( )

2. ist p-fache Lösung von ( ): [ ( ) ( )]

Ist Lösungsansatz bereits eine Lösung der homogenen DGL Ansatz mit multiplizieren.

Ansatz gilt auch wenn Störfunktion konstanten Faktor hat.

( ) muss eine Lösung des homogenen DGL sein; Ansatz ist richtig wenn GLS eindeutig lösbar ist.

Ist ( ) ( ) ( ) so ist

Ist ( ) ( ) ( ) so ist

TIP PS

Ist erst ab n-ter Ableitung vorhanden, Substitution zu

Beginn mit ( ) ( )( )

Sind und nicht vorhanden: DGL mit multiplizieren

QUICKRE ZE PTE

DGL Lösung

( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) = ( )

( )

( ) ( ) ∫ ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

MITT ER NA CHT SFO MREL

√



SA TZ V ON GR E EN

Linienintegral Flächenintegral Für ebene Vektorfelder

Sei eine positiv orientierte, geschlossene Kurve in der Ebene. Sei das Gebiet begrenzt von :

Sei ( ) ( ( ) ( )) ein

stetig differenzierbares Vektorfeld

auf so gilt:

∮ ∫

∬

Vorsicht mit Kreisen → evtl. nicht bestimmt in ( )

ANW E ND UNG E N

Flächenberechnung:

∬

∫

∫

∫

SA TZ V ON STO KE S

Linienintegral Flächenintegral (diverser Flächen)

Sei eine positiv orientierte Fläche im Raum deren Rand eine einfache geschlossene Kurve mit positiver Orientierung. Sei ein Vektorfeld mit stetig

partiellen Ableitungen so gilt:

∮ ∬

∬ ( ( )) ( )

→

ANW E ND UNG

Fläche wechseln: Seien und zwei Flächen mit gleichem Rand (gleiche Orientierung) so gilt:

∬

∮ ∬

SA TZ V ON G AU SS

Flächenintegral Volumenintegral

Sei ein Gebiet im Raum mit Rand mit positiver Orientierung (Normalenvektor nach aussen) Sei ein Vektorfeld mit stetig partiellen

Ableitungen, so gilt:

∬ ∭

ÜBER SICHT FL U SS/ INT EG TAL SÄTZ E

DIFF ERE NT IALO PER AT OR EN

NAB LA - OP ERAT OR

(

⁄

⁄

⁄) Differentialoperator 1. Ordnung

GRADIE NT

( ) (

( )

( )

( )

)

Der Gradient steht senkrecht auf Niveaufläche oder Niveaulinie, zeigt in Richtung der grössten Zuwachsrate

Der Betrag des Gradienten ist zugleich die Zuwachsrate

Für eine parametrisierte Kurve auf Niveaufläche gilt: ( ) ( )

Gradient entspricht dem Normalvektor der Tangentialebene: ( )

Rechenregeln

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Skalarfelder, Konstante

DIVERG E NZ

Gibt Quelldichte oder Quellstärke pro Volumeneinheit an.

Ist ein Vektorfeld quellenfrei so gilt: , Feld ist inkompressibel

Gilt in einem Punkt hat das Vektorfeld dort eine Quelle hat das Vektorfeld dort eine Senke

Feld divergiert oder konvergiert

Rechenregeln

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Vektorfelder, Skalares Feld, konst. Vektor, Konstante

ROTA TI ON

(

)

(

)

Beschreibt Wirbeldichte oder Wirbelfeld zu

zeigt in Richtung der Rotationsachse

In 2D gilt:

Ist ein Vektorfeld wirbelfrei, so gilt:

Rechenregeln

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Vektorfelder, Skalares Feld, konst. Vektor, Konstante

SPE ZIE LLE VE KT ORF E LD ER

Quellenfreie Vektorfelder:

( )

Wirbelfreie Vektorfelder:

( )

LAP LAC E

Laplace Operator:

( )

Differentialoperator 2. Grades

Ein quell- und wirbelfreies Vektorfeld ist als Gradient eines

skalaren Feldes darstellbar, d.h. , wobei der

Laplaceschen DGL genügt:

MEHRFA CH OPERA TI ONE N

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

POLAR KOORI NA TE N

Skalarfeld: ( ) Vektorfeld: ( )

Gradient: ( )

Divergenz: ( )

( )

Rotation: [ ( )]

( )

Laplace: ( )

ZY LI ND ERK OORI NAT E N


Gradient: ( )

Divergenz: ( )

( )

Rotation: ( )

(

) (

) (

( )

)

Laplace: ( )

(

)

KUG E LK OORDI NA TE N


Gradient: ( )

Divergenz: ( )

( )

[

( )

]

Rotation: ( ) {

(

( )

)}

{

( )} {

( )

}

Laplace: ( )

{

(

)

(

)

}

KO NSER V ATIV E S V EKT OR FELD

Ein Vektorfeld heisst konservativ, wenn das Linien oder Kurvenintegral

∫

nur vom Anfangs- und Endpunkt, nicht aber vom Verbindungsweg

abhängig abhängig ist. Äquivalente Bezeichnungen und Eigenschaften:

Konservatives Vektorfeld

Ist ein Potentialfeld, Feld hat ein Potential

Integral ist wegunabhängig, das Linienintegral entlang einer geschlossen Kurve ist stets

∮

geschlossene Kurven

Das Vektorfeld ist in einem einfachzusammenhängenden Bereich wirbelfrei

Das Skalarprodukt ist das totale Differential einer

Potentialfunktion

Wichtig: Das Vektorfeld muss stetig sein, Gebiet muss einfach zusammenhängend sein.

GE OM ETR ISCH E F ORM EN 3D

Würfel

√ Kugel

( ) ( )

( )

( ) (

)

Kegel

( )

( ) (

) (steht auf Kopf)

Zylinder

( )

( ) (

)

Pyramide

Tetraeder

√

√

Flächenwinkel: ( )

Oktaeder

√

√

Helix (Schraube)

( ) ( ( )

( )

)

( ) √ Steigung: ⁄

Torus ( ) (

( )

( )

)

Ellipsoid

Paraboloid

Simpson:

( )

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