Elementare Losungen der Wellengleichung isentropischer Gasstromungen

Herrn J o s e p h L e n s e zum 60. Geburtstag am 28. 10. 1950 gewidmet von RobPrt S r r w r in Miinchcn

I l i c I t ’r l len~l~~chici ig ( le i rcndcm oncilrn nrilitclalionoreiz ismtropischen S t ~ o n i t ~ n g e n idpi i l rr Gase /ic/31 b i r h b d n n n l l i c h losen m i 1 IIilri c i n c i lii/~irryeoitirlrischen Funlitaon als Raemnnnsrhe Funklaon: i m f ‘ ( i l l P ti-cktoniigtr Casr sand d i e Losnngrn cluich P I i nLcn1ikrr Fwnklionrik g r g e b m . Es ward gczcaql, dab die- j i l h c n Losicngen aurh f u r ( h e nrit icllgPnieinc/rr 1 i l iccbatenglcic . l~ni ig grlten nnd dap naan nnalogr Ergebnaase ci it ch Jib r d i r IV f Ilen gl i r 6 ii n g dc r z wet d z in r 11 9 z o n a1 i n stat i o u a r c n a wn tropzschen Slro mu nge ia erh all.

The icavc cqnnlion OJ o n r dinicnszonal uns lpad i / zscnlropzc Jloui of aden1 gacrr ran be solvrd, as zt zs well knozon, by rnr(inr of a hyprrgromrtiic Jicncfiou as f f i e m a n n Jicnction: an the caw oJ n-atomzc gases, lh r solu- tions ate y i a r n hi/ rlcmc~nlciiy Junctions. I n /h i s y ~ c p r r i t 2s slaown that the 6ame solutions hold Jor gages o h e i j i n g inure g r n c i n l ncliabal~c lau s ccnd, J n ~ t h r r n i o ~ r , tha t u n c obtazns annloyous results for the wavr q u a t i o n of t w o dinrcnszonal slcady a s o i l t o p i c f l i)zo.

L’tqnution d’ondra drs Lconlc ni<ntLs non da l ionna i ips ircntropayurs ic urie danzrnsioia des gaz icl6au.z f a / r i w l n r , co inmc i I r i l h e n cunnu, il l’aidr d’iinc fonctiou hyprrg6ometirqn~ cumnic Jonclion dr Rirmann; ilnirs l e cas dcs gaz a n rilonies, a 1 eaialr drs solnlzons i e p i ( s e u t C e s par des Jonctions elkmentaires. I1 eat d6- t n o n l i P , dniia la n o t c p i f s r n l e , q n e I P ) ?n&nics w l n l i o n s ~ ~ i i t vcilnblrs aiLssa dans l e cav de gaz obkzssant iL des lois d’cidrabate p l u s grndialrs, et p ’ o n o b t i p n l dra I i , \ i c l t i i / ~ analogues p o u r l’tquation d’ondas d e s tcoulements slolaonaares ioentropzqzce a rleitc dzinensroitv.

KOJIHOBOC y p t w m c m e O A I I O M C ~ O ~ O IIecTnr i€ iorI~L] ) I Ioro H ~ ~ I I T ~ O ~ J ~ ~ ~ C I C O ~ O I I O T O K ~ q e a a h - I i o r o r i13c~ MOXWT r ) w r L , KRK ~ B F C T I I O , perucno n p ~ n o ~ o q a rsnepreoMcTpmsecmx @ ~ H K I A H ~ ~ ICRIC QYIIIZI\HR P H M a I I t t . B CJIy9Rc ?Z-BTORIIIO~O I’n3d PCLIEIIl lR II]X’,T(CTRBJIEIOTCR 3JICMCHTB]3HLIMH $yIIKqIi$TMEI. B 3TOf i p a 6 o ~ e IlOKCd31~IBAf3TCf1, 9 T O &!IH rtt30B, I I 0 ~ 9 H H R I o ~ l l X C R 6onee 06qeMy 3dKOIIya,T(I<R6t1TM, AefiCTBI.1 T€‘JIbIIhI TC-Xt ’ CCIMILC ~ K ’ i l I ~ I I I I R , R 9 T O B C J I y 9 a C BOJIHOBOrO y]12iBHeHHR A B y M e p I l O r O C T a ~ P I O H a p H O r O I13~IITI)OII€i9CCIZOi~O IIOTOKiL IIO.rlY95IoTCR aIIiLJIOrH9HL-IC p e 3 y J I b T a T I J .

$j 1. Einleitung nic Wcllcnglcicliung fur die cindimciisiorialcn niclilslationimn iscntropischcn Slrbmungcn

itlenlcr Gasc init dcr Druck-~iclilc-Bczicli~iiig p : consl. la131 sicli bckanntlichl) in den Spczial-

lallvn 1c L- ~ Iin folgenden wird gczcigl, (la13 die

cxplizilcn Losungen niclil nur iur die idealcn Chse sondcrn aucli fur hypo Llietisclie Gase mit 31 Igemcincren Druclt-Diclile-Bczicliungcn gel lcw ( 9 2) und (la13 sich analoge cxplizilc Losungen aurh fur die Wellcnglcichung der zwcidimcn~ionalcii slalionaren iscntropisclien Stroinungen gmisscr Iiypolhctisclicr Gaw angcbcn lasscn ( 3 3 ) .

hnachlicBcnd wcrtlcn die Sondcrlallc n = 0 und n = - 1 diskulicrl, wobci aucli aul’ die pr:dtlische Anwenclung dicscr Falle zur Approximation von Stroniungcn rcalcr Gasc mil belie- bigcr I)ruck-l)ic.lilc-Bczieliung eiiigcgangcn m i i t l ( 3 4). Zum SchluB wird auf Zusammciiliangc r i l l ( tlcr l‘licwrie tlcr L)illcrcnlialglcieliurigcn iriil gcratlliiiigeri (:liaraklcristilien Iiingcwicsen ( 5 5).

8 8. NichtstationLe eindiiriensionale StrSniungen

2n+3 2)%+l

(12 = - 1, 0, 1, 2, . . .) eupli/it loscn.

I3ci tlcr c~iiitliiiicnsioiialcn niclits talioiiarcn iscntropischcn SlrDniung cines C h w s iiiil tlcr

i:: I)i uc.k-l>ic.l~tc-l~c.ziC.hunji 11 = 11 (Q) uiid tlcr tlatlurcli lxstiniinlcn Scliallgescliwiiitlifikci 1 CL =

la111 sic11 ciii StroiiiurigspolciiIialf (A, p) eiiiluhrcn”) :11s Funldion der cliaraltlcrislisclieii ZU5~311dS- variablcii

t c bcdeu le l Iiicrbci (lie Clnsgcschwindigkcil uiitl 1’s wird vorausgesctzt, dall A niclil ltonstanl, also cc eiiic 17unltlion a ( A ) ist. Durcli Auflosung von (1) crgibt sich

Nnch Ikiiiittlung (lea Strorriungsl)otcritiaIs f (A, ,I/) is1 der Strornungsverlauf (x = OrLsltoordinaLc, t = Zcil) durcli

z c = A - p , i l = A f p , also n = a ( A + p ) .

vollsl findig fcs tgclcg 12).

I ) I. Hadanlard, Lcpns siir la propagation c1c.s orltlc~s. - C. Darboux, Tli6oriv tlcis snrfnccs, 11. Paris 1913. S. 65. - Love untl l’idduck, Phil. Trans. ROY. SOC. London, A 222,

. .

Paris 1903, S. 163, 16s.

Z. nngew. Math. Milecli. S LZ u e r , Elenlentarc Liisungen dcr Wellcnglcichung ,ltl :il Nr, 11,12 Nov,,Dcz, 1931 ~-

340

Das Slroriiungspolential gcnugt dcr Wellengleicliung

' ( 3 ) 9 . . . . . . . . . . .

wobcbi tlcr Slricli die Ahleilung dcr durcli die Ihuck-1 )iclilc-Bczichung p(e) g(~gvbciicri Iunlilion u ( A + - p ) nach 3L+p hcdcuiel.

Ein Speziallall der Wellcnglcichung ( 3 ) is1 dic 11 arbouxsclie ~iflcrciilialglcicliurlfi

. . . . . . . . . . . . (4,

mil 11 - - 1, 0, 1, 2, . . . . Diese besilzt die cxplizilcn Losungen1)2) fur ? b = 0

riiit tlcn liinreiclicnd of t diffcrciizicrbarcn, sons1 aber v illkurlithcn l~unlilioncn L(J.), M(p). Wir fragcri nun nach den allgcmcinslcn Druck-Uiclilc-Bezicliurlgcri p(p), fur welclic tlicx

Wellcnglcichung ( 3 ) sich zur 11 a rbouxichen G1. (4) spcsialisicrt, (I. 11. nnch dcnjenigcn Gnscir, dcrcii eindimcnsionale nichlstationiire Slrornungcn durcli die G1. (5) expliLi t gcgcbcn sintl.

Die gesuchlcn l)ruck-l)iclitc-Bczicliungc~i crgeben sich aus dcr Bccliiigurig 1-a' ?% - - -

2 a - A-tp ' L)ie LBsung dicser Difiercrilialgleichung is1

I I

I

mil tlcr Inlcgratioriskonslariten C.

Uiclile e uncl dcii Drucli p ebenfalls als 1;unktioncn vo~i A dar. Aus Urn dic durch G1. (6) leslgeltqjlen ~rucli-11iclile-UcziclluIlffcri zu finden, s lcllen wir div

L ~ A == d l ) ~ = i b $2 - - E!P ap d p a p p

cr11iill I l l a l l

also

Iiicrnacli licfcrl

solor 1

Dichlc-Bczichung vor, fur wclche diesclbc Wellcnglcichung (4) mit dcmsclben Losungen (5) wic bci dcn idealcn Gasen gill.

Z u s a l z b e m e r k u n g : F u r nichl ganzzalilig~~ Wci Ic von 1) hat R i c m a n n fiir die Losungen tlcr Wcllenglcicliung (4) cine Integraldarstcllung ni i l h~~~ergeoinclrischeii Funktionen angcgcbcn unct durcli dicse Liisungtn dici Ausbrcilung cndlichcr 1)ruckwcllen in idealen Gasen bcschrie- bcn3). Die vorangclienden Lhlcrsuchungcn zcligcn, da13 d i e Hie mannsclicn Ldsungcn niclil nur liir dic idealen Gasc, sondcrn cbensowolil fur die (lurch G1. (9) gcltc~nnzeichnclcn hypothe- lihchcn Gasc gclten.

§ 3. Stationlre zweidimensionale Striimiingcn Wir fuhren nun analogc Unlcmuchungcn durcli fur die zwcitlinicnsionalc slalioniire iscn-

lropische Gasstriimung. Hier kann nian ein Slrbriiungspolential f(1, p) einfiihrcn2) als Funlition dcr charaltlcristischen Zuslandsvariablcn

W

211 w2-a2 = A fi+ w rnil w = \c- d w . . . . . . . (10). aw -

W

20 is1 der. Bclrag und 6 dcr Winkcl des Gesch~indiglieitsveklors und cs wird vorausgesetzt, (l:kfJ W nichl konstant, also ui eine Funklion w(W) von 10 ist. Aul3erdcm sol1 w >a scin, (1. 11.

wir bcschranken uns auf Slrijmungcn mit ~berscliallgcschwi~idigkeit ; dann sind die charak- tcrislischcn Variablcn rcell. Durch Aufliisung von GI. (10) crgihl sich

6 = A -p , W = 3, $- p, also w = u(?. + p) . N : d i Errriitllung des Striirriungspotcntinls f ( A , p) ist der Siriiniungsvcrlauf ( 2 , y = Orlskoor- tlinalen) durch

. . . . . . (11)

1 1 . W‘

1 1 ,LO‘

2 2 = cos (A-p) ( f A + f , ( ) - sin (A-p) ( f A - f p )

2 y = sin (A- p) (fA-kfk) -1 w- cos (A-p) (fA-fp) volls-tiindig fes-lgclcgt.

Das Slriiniungspolenlial gcniigt der Wellcnglcichung

I

wcibci die Strichc Ablcilungcn dcr durch die Druck-Dichle-Beziehung p ( p ) gegebenen Funktion z ~ ( ? ~ + p ) nach A+p bedculen.

Wir fragen je lz l wicdcr nach den allgcmeinsten Ihuck-Dichtc-Bcziehungcn p ( e ) , fiir wel- chc sich die Wcllcnglcichung (12) zur I>a rboux~chcn (31. (4) spczialisiert. Sie crgebcn sich aus tlcr Bcdingung

W n w I ) I

- ’-+--- = o . . . . . . . . . . . . 2w’ A + p aiis tlcr man (vgl. E. Kaiiilic : I~iffere~ilialglcicliu~igc~n, Ldsungsnelhoden und Tisungen, I, 19/12, s. 425, 2.105)

I w = C, [(A + p + C,) sin (A + p) + cob (2 + ,,A)] ~ i i r 1% = -1

crh8lt. Durcli Gl. (14) is1 in ahnliclier Wcise U I C in $ 2 die Druck-L)ichle-Bczicliurlg p ( e ) be- sliinml. Wir bcschrankcn uns darauf, dicsc im Sondcrfall n = 0 in § 4 hcrzulcilen.

Wahrcnd tlie bci dcr nichtslalionarcn eiiidimc~nsio~~alcn Stromung cingcfulirlcn, durcli Crl. (9) gckennzeichnctcn liypolhetisclicn Gasc als Spc~zialfall die idcalcn Gasc enlhicllcn, sind tlie idealen Gasc unter den bei dcr s Laiionarcn z~vcidiiriciisionalcn S~roniung cingciiihrtcn, durch Gl. (14) gekcnnzeichnelen hypollictischcn (;asen (- voni Sonderfall 1~ = 0 abgcschcn -) niclil cTllhal Len .

Z u s a l z b e r n c r k u n g : 1;ur die liypothclischcn Gase, wckhe tlurch dic IXlfcrcnlialglei- chung (13) mil niclit ganzzahligcn Werlcn von ’ I I gekcnnzciclincL sind, lassen sich die zwcidinien- hionalcn slalionaren Slromungcn mil IIilfc der l< i e mannschcn Losungen3) der 11 arbouxschen Clcicliung durch hy~)ergconictrisclic l~unklioncn darslcbllcn.

S a u e r , Elcmentnrc Losiingrn dcr Wellengleichung Rd, n l xr. Z ll,,e nnjiew. No.i,,ntz, Yath. Mrrh. ~~ - - ~

342

5 4. Diskussion dor Sonderfalle n = 0 und n = -1 Im Fall 72 = 0 erhalt man bei clen cindimensionalcn nichtslationaren Strotnungcn an Slcllc

tlcr Gln. (6), (7) und (8) c a = A + c, Q = CI(A + C) , p = p o + f ( A + C)3

uncl dahcr an Slcllc dr r G1. (9) dic 'Drucli-Diclilc-Bcziehunfi

p = 11, + C,@ . . . . . . . . . . . . . . . (15). u IJicr rcduzierl sich die Zalil der Parameter von 3 auf 2, cs crgibt sicli also im wcscnllichen nur die Uruck-Dichte-Bezichung dcr idealcn Gase mit ~t = 3 .

Bti den zweidimensionalcn stalionaren SLrbtnungrn spczialisicrt sich C1. (14) im Fall n=O zu

rnit wiedcrum nur zwei Integrationskons Lantcn w, , 8,. Um liicraus die Druck-Dichle-Bc- zicliung hcrzuleilcn, bilden wir zunitchst nach G I . (10) und (16)

w = C, cos (A + p) + C, sin (A + p) == w, cos (A + p - 8,). . . . . . . (16)

Dann crgibt sich aus dcr Bcrnoullischcn Glcichung

alsu

. . . (17)

c (Cil - 1) lL - A (cn - 1) I' I ~~ ~- , tz '1, C' (C'A - 1)2 rl A A

uiid hieraus dic Uruck-L)icliLe-Bczic~l~u~tg

Bc>i t lc i i zweitlinncnsionalcii stalionaren Strumungcn init 9% = - 1 lassen sicli die zur Xulslcllung tkr 1~ruck-L)ic~lilc-BrzicIiung crfordcrliclicn Eliminnlioncn nichl explizil tlurclifiihrcn.

Die Sonderlallc 71 = 0 und l a = - 1 kann riian d:izu vcrnendcn, 11111 Stromunge~i rcalcr Gase mit bclicbig vorgcgebener l ) r i i ck - l ) i c l i l c -12c~ i~~ l i~ in~ zii approximicrcn. In tler lkgc~l ~ n u Q iii:in sich bci den in der Praxis vorlicgcndcn Anlaugs- und I~andwcrlpro~~lcnicn dcr Gasstro- inungim rnil numcrischcn Losungcn dcs IGnzclfalls begnugin. Zur Gewinnung allgcrncinerc~r Kiiisichlen is1 es claher sclir wunschcnswcrl cxplizilc I_)arstellungcn von SlrOinungeri zur Vcrlh- guiig zu haben, dic sich in vcrhiillnismalJig cinfachcr Weise den vorlicgenclcn Aniangs- und Kantl- Iwtlingungcn anpasscn lasscn. Die Sontlerlallc TZ = 0 und w, = - 1 licfcrn solche L)arstcllungcm, nllcrtling\ mil pliysil<alisch nichl rcalisicrlui hypolliclischcm I ) r u c l < - I ) i c l i l c - B ~ ~ z i ~ ~ l i ~ i ~ i ~ ~ ~ i i Ilurc.11 gcseignclc Wall1 dcr in dcn hypo\liclisclicri I~ruc l~- l~ ic l t tc -13cz ic l iu1 i~~~r i aul'lrclcntlcn

Parameter kann jedoch einc gewissc Approximalion dcr rralcn Druck-Dichle-Bcziehung cr- rcichl wcrdcn. Die Drucli-Diclilc-Bezicliungcn (15) h w . (17) dcs li7allcs n = 0 cnlhallen 2 Pa- r:inictcr und crm6glichcn dadurch cine Approxirnalion ersler Ordnung, d. 11. cine l h r c i n s l i m - niung der realcn und hypolliclisclicn I)ruckkurvcn p = p (e) in cincin I’unkl untl dcr l‘angcnlc in tlicscni I’unkl. Die Il)rucli-DicIrlc-Beziclriing (18) d c s Fallcs n = -1, C 4- 0 cnllrR11 3 I’aramctcr uiitl crnioglicht dadurch sogar einc Approximalion zwcilcr Ordnung, d. 11. cinc U1)ercinslinimung tlw l h c k k u r v e n in tler Kriirnmung.

1)ic I_)ruck-DicIrlc-Rc.zicliungcn (115), (1 7) untl (18) sind in antlerem Zusanirnenhang schon nichrfacli bei gasdynamisclicn Unlersuchungcn vcrwcindel wordcn. Die Bezicliung (15) IintlcL sic11 in Arbeilcn von B e c h e r t und Pf r ien i , die Ik~zichung (17)wuidc gclegcnllichvon l-’randLl. Rlunli und Pi.r&s, die Beziehung (18) v o ~ i S a u t c r I)cniitzt.

§ 5. Beziehungcn zur Theorie der I)iffer~ntialgleichu~gcIi mit gcradliriigeri Charakteristiken

Ini Vorangclrcnden wurden cxplizite 1)arslcllungcn von Gasstromungcn dadurch gcfun- drn, daB die Wellenglcichung ( 3 ) bzw. (1%) in dic. 1:orrri der Darbou xschen I~iffercIilialfilcicliu~ig (4) gchraclit wurdc. Eine andcre Mogliclilicil, zu explizitcn ljarslcllungen von Gasslrdmungcn z i i gelangen, bietet die Thcoric der ~iffcrenlialglcicliungcn mil gcradlinigcn Cl~araklcrislikcn~). l)icsc beziehl sich auf lincare Uifferenlialglricliiing~~n

die in den hblcilungen weiler Ortlnung lromogcn sind, und auf die durch die Legendre-Trans- forination - c = f t , H = f , , F = E % + r l H - f , t = F 3 , q = F H

zugcordnclcn quasilinearen Diffcrcnlialglcicliunjicn

\Venn die Cliarakleristikcn dcr Gl. (19) gcradlinig sind oder ein I<iickungsnclz mil 2 Scharcri- par a1 lclcr kongruen ler Kurvc n 1) ildcn, s ind die C: harali l (’r i stilic nnc 1 ze tler G 1 . (20) l<h ckung s - n c t z ( ~ bzw. Geradennclze. In beitlen I’dlen lnsscn sicli div Lijsungcn der 1)iffcrcnlialgleiclruirgcIi (1 9) untl (20) niit Hilfc zwcicr willliiirliclier l~unlilioncn cxplizil angcben4).

Man kann nun cxplizitc Darslellungcn von Gasslrornungcn dadurch crhaltcn, (la13 mat1 (lie \Vcllcnglcicliungcn ( 3 ) untl (12) durch Auswahl gceignelcr Drucli-Dichle-Bczichungcn in die GI. (19) zu transformiercn suclit, derarl, daB die Cliarakleristiken in der t, q-Ebcne ein Gcratlcn- nvtz oder Riickungsnetz bildcn. Die allgcrneinc 1)urclifiilirung diescr Aulgabe sol1 eincir spalcrcn Arbcit vorbcliallcn bleibcn. Wir wollen olinc au1 tlic Bcwcisc einzugelicn, lcdiglicli auseinantlcr- sctzcn, daO man als Sondcriallc von neucni dic in $ 1 tliskulicrlcn S1riiniungc.n riiil )& = 0 untl 91 Z= - 1 crhall:

Ini Fall 11 = 0 tler zwcidimcnsionnlcn s l alioniircn Slroniung, tlcr durcli die 1)ruck-I jic.11 Lc- 1k~zic~liung(l7) gckennzciclincL isl, l i m n nian als 6, rjl-1‘:l)enc die ? A , v-Hoclograpliencbc~i~~ ( I I , I ‘ - car- Icsischc (;cschwindigIititsIioor(liiiat(~n) untl als %, H-Ebene die %, y- Striirnungscbc~nc ncIi- ni(m. llic Cliaraklcrislikcn in dcr u, v-Ebcnil biltlcii ciii I<iickungsnclz, das durch I h l a t i o n c~incs Kwiscs uni cinen PunliL tlcssclbcn erzeugl wird. Ilic Gleiclrurig tlicser CliarakIcrisLikcn in 1’0- ~ n i koortIinaic>n ergibl sicli aus (il. (lti), i ~ i t l c m ni:m iinler 13eriicltsicliligung von 1. -p == 0 ill GI. (l6)an S t c l l e v o n , l + ~ c ~ i ~ ~ c ~ l ~ ~ r 2 ~ ~ - ~ o ~ l ~ ~ r ~ p + Ocinliihrt u u d , l = cor is lbzw.~~=e011st s c l z l .

Ini liall n = 0 dcr eiiidiiiicIisiorialcii nich Lsl alioiiiircn Slrbiiiung, dcr durcli clic I )ruck- 1)iclilc-Bczieliung (15) gcltcnnzciclinel i s l , liann ~ i i n i i als 6, q-Ebcne die u, g-Zuslantlscbcric

A([, q ) f E + = ( t 3 q ) jk , + Q ( t 9 q ) f q ? j = 0 . . * . - . . . . (19),

A ( P g , PH)EIHH - 2 B ( P q , FH)FH,- - t G ( P g , E I H ) F ~ ~ = O . . . . (20).

I)

u == Gasgeschwindigkcil, q = - u2 - [g:) untl als E , H-Ebcnc die x, t-EI~cnr ~vi i I i Ics i i . I>iv 2 . ._

P (:li:ir~iliLcrislilicn in dcr u, q-Ebene bildcn cin Riickunjisric~lz, clas von liongrucnlcm uiitl parallc~lcn l’arabeln erzeugl wirtl und als Einliiillcnde cinc pnrallclc I’arabcl doppcllcr GroWc bcsilzlz).

Irn Fall 91. = - 1 dcr cindirriciisionnlcii iiiclitsl:ilitinarcii Slroniung, tler (lurch die Uruc.1;- I)ichtc-13czichung (1s) gekennzeiclinet i s t , haI inan tlic Unlcrlallc C = 0 untl C‘+= 0 zu untcr- wliciclcn. Hci c‘ = 0 kann man als t, q-Ebcnc untl E, H-Elwne wictlcr tlic u, q- uritl LC, t-El)cnc~i l)enulzen und crliiill dann in der t i , q-EI)ene vin gcwtllinigvs, von clcn Tangc1nLc.n cincr 1’arnl)c~l c r - zcugles Cliaraktcrislilterinc t?). Uci C‘ + 0 crgibt sicli tlnssc~lbe Cliaralttcrisliken~ic~z, jc~t loch ha t inan j e l z l

5 = tc, q = .1 (A2 -uz), 2 = x - ( “) u t , H = - t zusc~lzen. 1 - 2a

+.A A 4)pRr ScLiic\r, Z. angcxw. JIatli. JI(>cli. 23,27, 1047, S. 151-153.

Eingcgmgcti a m 27. Oktober 1‘350