Elementare Stochastik - uni-wuerzburg.de · Methode der kleinsten Quadrate, Normalverteilung...

Markus RuppertLehrstuhl für Didaktik der Mathematik

Elementare StochastikSS 2011

Organisatorisches zur Vorlesung

Der Übungsbetrieb

Klausur

Was ist Stochastik?

Beschreibende Statistik

Markus Ruppert, Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik – Universität Würzburg


Vorlesung (2 SWS): Di, 10.00 – 11.45 Uhr, Zuse-Hörsal

Übungen (2 SWS): Mo, 13.30 – 15.00 Uhr, SE 37Mo, 15.15 – 16.45 Uhr, SE 37Mo, 17.00 – 18.30 Uhr, SE 37Mi, 8.15 – 9.45 Uhr, SE 36 und SE 37Do, 8.15 – 8.45 Uhr, SE 37

Termine



Anmeldungen

SB@Home

Anmeldung zu einer Übungsgruppe –Alternativtermine angeben! (Termin: 5. Mai 2011)

Benachrichtigung abwarten – ggf. in eine freie ÜG eintragen. (Termin: 12. Mai 2011)

Verbuchung der Klausurzulassung und der Klausurergebnisse (Termin: Semesterende)

https://www-sbhome1.zv.uni-wuerzburg.de/qisserver/rds?state=user&type=0



Anmeldungen

Automatische Eintragung durch die Anmeldung bei SB@Home

Nachrichtenforum, Diskussionsforum, Skript, Übungsblätter, Bewertungen, Zusatzmaterial

Wichtig: stud-mail-Adresse regelmäßig abrufen!Oder: Adressumleitung einrichten!

https://wuecampus.uni-wuerzburg.de/moodle/course/view.php?id=13786



Anmeldungen

vhb-Kurs:Stochastik in der Sekundarstufe I

Anmeldung überhttp://kurse.vhb.org

Bei Teilnahme an der Kurs-Abschlussklausur: 2 ECTS-Punkte

http://www.vhb.org/

http://kurse.vhb.org/

http://kurse.vhb.org/


Der Übungsbetrieb

Übungsblätter

• Wöchentliche Übungsaufgaben

• Abgabe in Papierform und/oder als Upload im WueCampus-Kurs

Tutorien

• Aufgaben als Vorbereitung für die Übungsblätter

• Besprechung der Übungsaufgaben

• Fragen zur Vorlesung


• Beginn des Übungsbetriebs: Morgen (!) Mittwoch 05.04.

• Bitte Laptop mitbringen!

• Tabellenkalkulationsprogramm (Excel oder OpenOffice Calc)

• Inhalte: Erste Schritte beim Sammeln und Auswerten von Daten

Der Übungsbetrieb

Die ersten Tutorien


Der Übungsbetrieb

Die ersten Tutorien

In der ersten Woche: Nehmen Sie an einer der folgenden Übungsgruppen teil:

Mi, 04.05. um 8.15-9.45 Uhr im SE 36:

Mi, 04.05. um 8.15-9.45 Uhr im SE 37:

Do, 05.05. um 8.15-9.45 Uhr im SE 37:

Mo, 09.05. um 13.30-15.00 Uhr im SE 37:

Mo, 09.05. um 15.15-16.45 Uhr im SE 37:

Mo, 09.05. um 17.00-18.30 Uhr im SE 37:

OpenOfficeCalc

MicrosoftExcel


Der Übungsbetrieb

Das erste Übungsblatt

../Übungen/Übung01/ueb01.pdf


Zeitaufwand

1 ECTS-Punkt entspricht etwa 30 Arbeitsstunden

Gesamtaufwand ca. 150 Stunden

13 Semesterwochen

ca. 11,5 Stunden pro Woche

3 Stunden für Vorlesung und Übung

ca. 8,5 Stunden pro Woche für Nachbereitung der Vorlesung und Bearbeitung der Übungsblätter


Klausur

Elementare Mathematik (Geometrie + Stochastik)

Zulassungsvoraussetzungen

• Erfolgreiche Teilnahme an den Übungen zur Elementaren Geometrie(z. B. letztes Semester)

• Erfolgreiche Teilnahme an den Übungen zur Elementaren Stochastik

Modulklausur (10-M-EL2)

(d. h. 50% der Übungspunkte)

Klausurtermin

Samstag, 30 Juli 2011

11.30 – 13.30 Uhr, Zuse-HS und Turing-HS


Literatur

Literatur

Kütting, H.:Elementare Stochastik.Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2007

Henze, N.: Stochastik für EinsteigerVieweg Verlag, 2009

Eichler, A.; Vogel, M.Leitidee Daten und Zufall Vieweg+Teubner, 2009

Büchter, A.; Henn, H.-W.:Elementare Stochastik. Eine Einführung in die Mathematik der Daten und des Zufalls.Springer Verlag, Berlin, 2005.

Markus RuppertElementare Stochastik

Kapitel IWas ist Stochastik?


Was ist Stochastik?

„Wenn jemand von den Fertigkeiten und Künsten die Rechenkunst, die Messkunst und die Kunst des Wägens wegnimmt, so bleibt, um es offen zu sagen, nur etwas übrig, was fast minderwertig ist […]. Es bleibt nichts anderes übrig, als ein Erraten, ein Schließen durch Vergleichen und ein Schärfen der Sinneswahrnehmung durch Erfahrung und durch eine gewisse Übung, wobei man die – von vielen als Künste titulierten – Fähigkeit des geschickten Vermutens (stochastice, d. Verf) benutzt, die durch stete Handhabung und mühevolle Arbeit herangebildet werden.“

Sokrates (469-399 v. u. Z)

zitiert nach Platon in Philebos


Was ist Stochastik?

definiert

„die Vermutkunst – ars conjectandi sivestochastice – als die Kunst, so genau wie möglich die Wahrscheinlichkeit der Dinge zu messen“

Jakob Bernoulli (1655-1705)


Was ist Stochastik?

Karl Valentin (1882-1948)

Karl Valentin: Ich suche ein altes, tausend Meter tiefes Bergwerk zu mieten.

Liesl Karlstadt: Und das wollen Sie dann bewohnen?Karl Valentin: Selbstverständlich!!Liesl Karlstadt: Das ist ja unheimlich!Karl Valentin: Aber sicher!Liesl Karlstadt: Vor wem?Karl Valentin: Vor Meteorsteinen


Was ist Stochastik?

Reiner Klingholz (Psychologe, 1992)

„Er rast mit 200 Sachen über die Autobahn und grübelt über Pestizidspuren im Frühstücksjoghurt. Er lässt sich gegen alle Unbilden des Lebens versichern, hat Angst vor dem Atom-GAU und sucht das Freizeitrisiko in der Felswand.

Doch... so absurd es klingt, dieses Verhalten ist ganz und gar menschlich.“


Was ist Stochastik?

Ein Beispiel

Prof. Dr. Jürgen TautzBienenzentrum Uni Würzburg


Was ist Stochastik?

Ein Beispiel

HOBOS stellt live-Daten eines Bienenstocks online zur Verfügung(www.hobos-online.de)

• Webcams

• Temperatur (außen und an verschiedenen Stellen im Stock)

• Luftfeuchtigkeit (außen und innen)

• Gewicht des Bienenstocks

• CO2 -Gehalt der Luft (außen und innen)

Die Daten können aus einem Datenarchiv abgerufen und zu Auswertungszwecken (z. B. in einem Tabellenkalkulations-programm) weiter verwendet werden.


Was ist Stochastik?

Ein Beispiel

Beispiele für Forschungsfragen und „Design“ einer Untersuchung:

• Wie aktiv sind die Bienen im Tagesverlauf?

Zählen der ankommenden und startenden BienenAufzeichnung vom Gewicht des Bienenstocks

• Zusammenhang zwischen Außen- und Innentemperatur

Messung und Gegenüberstellung der entsprechenden Temperaturen

• Zusammenhang zwischen Aktivität der Bienen und CO2-Gehalt

Ergebnisse aus der ersten Frage zusammen mit CO2-Messungen


Was ist Stochastik?

Ein BeispielZeit/min Innen/°C Außen/°C CO2/ppm

0 33.69 30.64 464.10

15 33.69 30.51 467.59

30 33.75 30.44 467.02

45 33.69 30.31 462.48

60 33.75 30.05 465.96

75 33.68 30.01 480.77

90 33.69 30.03 474.04

105 33.81 29.88 465.55

120 33.71 29.87 462.65

135 33.63 29.71 470.96

150 33.51 29.50 473.39

165 33.73 29.52 471.41

180 33.52 29.49 470.38

195 33.41 29.47 469.93

210 33.30 29.75 462.94

225 33.50 29.56 465.70

240 33.30 29.38 461.88

… … … …

Rohdaten Erste Formatierung

und Aufbereitung


Was ist Stochastik?

Ein Beispiel

Zeit/min Innen/°C Außen/°C CO2/ppm

0 33.69 30.64 464.10

15 33.69 30.51 467.59

30 33.75 30.44 467.02

45 33.69 30.31 462.48

60 33.75 30.05 465.96

75 33.68 30.01 480.77

90 33.69 30.03 474.04

105 33.81 29.88 465.55

120 33.71 29.87 462.65

135 33.63 29.71 470.96

150 33.51 29.50 473.39

165 33.73 29.52 471.41

180 33.52 29.49 470.38

195 33.41 29.47 469.93

210 33.30 29.75 462.94

225 33.50 29.56 465.70

240 33.30 29.38 461.88

… … … …

Darstellung der Daten

in einem Diagramm

0,00

100,00

200,00

300,00

400,00

500,00

600,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

50,00

0 1000 2000 3000

Tem

pe

ratu

r in

°C

Zeit in minInnentemperatur

Außentemperatur

CO2-Gehalt im Inneren


Was ist Stochastik?

Ein Beispiel

Auswertung der Daten

und deren Interpretation

0,00

100,00

200,00

300,00

400,00

500,00

600,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

50,00

0 1000 2000 3000

Tem

pe

ratu

r in

°C

Zeit in minInnentemperatur

Außentemperatur

CO2-Gehalt im Inneren

hobos.ggb


Was ist Stochastik?

Stochastik

Reale Daten Datenverarbeitung

-Wahrscheinlichkeits-rechnung

Wah

rsch

Re

chn

un

gW

ahrs

ch.-

Re

chn

un

g

Beurteilende

Beurteilende Statistik

Parameter-schätzungen

Hypothesentests Gütekriterien

Beschreibende StatistikBeschreibende Statistik

Erhebungsmethoden Datenaufbereitung Darstellen von Daten Kennzahlen Vergleich von Daten-

reihen


Was ist Stochastik?

Stochastik ist …

„ein Musterbeispiel angewandter Mathematik, und das kann jedenfalls, was immer man unter

Anwendungen verstehen möchte, nur eine wirklichkeitsnahe, beziehungshaltige

Mathematik sein.“

Hans Freudenthal (1905-1990)

Mathematiker und Mathematik-Didaktiker


Was ist Stochastik?

Stochastische Modellbildung

Interpretation

Rechnung

Darstellung

Überprüfung

Mathematisches Modell

(

Mathematisches Modell

Mathematische Beschreibung der Realsituation

(allg. periodische Funktion)

Mathematisches Resultat

obige Funktion

Mathematisches Resultat

Konkrete Parameter für die obige Funktion

Bedeutung des Bedeutung des Mathematischen Resultats

Wie lassen sich die Parameterwerte in der Realsituation deuten?

Reale SituationReale Situation

Wie ist der Temperatur-verlauf im Bienenstock?


Was ist Stochastik?

Geschichte der Stochastik

Glücksspiele

Ca. 3000 v. u. Z.: Erste Spielwürfel gehören zu einem altiranischen Brettspiel


Was ist Stochastik?


VolkszählungenCa. 3800 v. u. Z.: Erste Volkszählungen in Babylonien

1987Letzte Volkszählung in (West-)Deutschland


Was ist Stochastik?


15. - 17. Jahrhundert: Systematische Untersuchung von Glücksspielen

Historische Probleme

Bei der Lösung beteiligt:Galileo Galilei, Blaise Pascal, Pierre de Fermat

Verwendete Konzepte:Ergebnis- und Ereignisräume, Relative Häufigkeiten


Was ist Stochastik?


Ab 17. Jahrhundert: Beschreibung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs

Jakob Bernoulli (1654 - 1705): 'Die Kunst des Vermutens' (Ars conjectandi, 1713).

Pierre Simon de Laplace (1749 - 1827):Erste formale Definition der Wahrscheinlichkeit

Gottfried Achenwall (1719 - 1772), Francis Galton (1822 - 1911), Karl Pearson (1857 - 1936):Begründer von Statistik bzw. beurteilender Statistik

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855): Methode der kleinsten Quadrate, Normalverteilung

Andreij Nikolajewitsch Kolmogorow (1903 - 1987):Axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung


Was ist Stochastik?

Geschichte desStochastik-Unterrichts

Meraner Reform (1905)Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung sollen im Mathematikunterricht behandelt werden.

Stochastik-Abitur (ab 1975)Stochastik ist obligatorischer Teil in der Abiturprüfung(muss aber nicht in allen Bundesländern gewählt werden).

Stochastik in der Mittelstufe (ab ca. 1990)Stochastik als obligatorisches Gebiet im MU der Mittelstufe vieler Bundesländer.In Bayern: erst seit 2004 (G8, Realschule) in der HS nur beschreibende Statistik.

KMK-Bildungsstandards (2004)Stochastik als obligatorisches Gebiet im MU der Mittelstufe aller BundesländerInhaltsbezogene Kompetenzen formuliert in der „Leitidee: Daten und Zufall“


Was ist Stochastik?

Warum Stochastik in der Schule?

Sammeln Sie mit ihrem Banknachbarn fünf Sammeln Sie mit ihrem Banknachbarn fünf Gründe, die dafür sprechen Stochastik im Mathematikunterricht zu thematisieren.


Was ist Stochastik?

Warum Stochastik in der Schule?

Schülerinnen und Schüler sollen im Mathematikunterricht bestimmte Grunderfahrungen machen. Es soll ihnen ermöglicht werden

(G1) Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen,

(G2) mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu begreifen,

(G3) in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die über die Mathematik hinaus gehen, (heuristische Fähigkeiten) zu erwerben."

H. Winter (2003): Mathematik und Allgemeinbildung

Markus RuppertElementare Stochastik

Kapitel IIBeschreibende

Statistik


Beschreibende Statistik

„In der beschreibenden Statistik geht es um eine Datenerfassungin Sachsituationen, um die Datenaufbereitung und um eine erste vorsichtige Dateninterpretation.“

(aus Kütting, H.: Beschreibende Statistik im Schulunterricht)


Phasen einer empirischen Untersuchung

Ziel der Untersuchung festlegen (Welchen Zweck hat die Untersuchung?)Ziel der Untersuchung festlegen (Welchen Zweck hat die Untersuchung?)

Gegenstand der Untersuchung festlegen (Wer bzw. was soll untersucht werden?)Gegenstand der Untersuchung festlegen (Wer bzw. was soll untersucht werden?)

DatenerhebungDatenerhebung

Aufbereitung und Darstellung der DatenAufbereitung und Darstellung der Daten

Auswertung und Interpretation der DatenAuswertung und Interpretation der Daten


Grundbegriffe

Statistische Einheit Statistische Erhebung

Merkmalsträger, Informationsträger

(Personen, Objekte, …)

Totalerhebung der Grundgesamtheit

(z. B. Volkszählung)

Identifikationsmerkmale• Sachlich• Räumlich• Zeitlich

Teilerhebung, Stichprobe(z. B. Mikrozensus)


Grundbegriffe

Merkmal Merkmalsausprägung(Modalität)

interessierende Eigenschaft der

statistischen Einheit

qualitativ / nominal skaliert

Erschöpfend?!(Ausprägung / Modalität

„sonstige“)

komparativ / ordinalskaliert

(Rangmerkmal)

quantitativ /metrisch skaliert


Ke

in

HS

Qu

ali

m. R

eif

e

Ab

itu

r

Grundbegriffe - Beispiel

Grundgesamtheit: Menge aller Frauen über 25

Untersuchungsgegenstand: Frauen über 25

Forschungsfrage:Welchen Schulabschluss haben Frauen über 25?

Stichprobe: Befragte Frauen über 25

Untersuchtes Merkmal: Schulabschluss

Merkmalsausprägungen: keinenHauptschuleQualimittlere ReifeAbitur


Skalen und SkalenniveausMerkmal qualitativ komparativ quantitativ

Skala Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Absolutskala

Eigenschaften x=y oder x=y feststellbar

Zusätzlich:x<y oder x>y feststellbar

Zusätzlich:x-y und x+ysinnvoll/erlaubt

Zusätzlich:x*y und x/y sinnvoll/erlaubt

s. Verhältnis

Skalenwertedienen zu

Kennzeichnung Zusätzlich:Darstellung einer Ordnung

Zusätzlich:Berechnung von Unterschieden

Zusätzlich:Berechnung von Verhältnissen

s. Verhältnis

Beispiele GeschlechtBerufHaarfarbe

Schulabschlussnie/selten/oftgut/mittel/schlecht

ZeitpunktTemperatur in °C topografische Höhe

Temperatur in KAlter, GrößeGewichtSchuhgröße

Anzahlen

Sinnvolle Mittelwerte

Modalwert Zusätzlich:Median

Zusätzlich:Arithmetisches Mittel

Zusätzlich:Geometrisches u. harmonischesMittel

s. Verhältnis

Elementare Stochastik - uni-wuerzburg.de · Methode der kleinsten Quadrate, Normalverteilung...

Documents

Transcript of Elementare Stochastik - uni-wuerzburg.de · Methode der kleinsten Quadrate, Normalverteilung...