Elementare Zahlentheorie -...

ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE

PROF. DR. CHRISTINA BIRKENHAKE

Inhaltsverzeichnis

1. Minimum, Maximum und vollstandige Induktion 3

1.1. Zahlen 3

2. Teilbarkeit 8

2.1. Teilbarkeitsrelation 8

2.2. Eigenschaften 10

2.3. Teilermengen 13

2.4. Ordnungsrelation: Teilbarkeit und Hassediagramme 15

3. Primzahlen 15

3.1. Einfuhrung der Primzahlen in der Schule 15

3.2. Wieviele Primzahlen gibt es? 18

3.3. Sieb des Eratosthenes 20

3.4. Wie sind die Primzahlen innerhalb der naturlichen Zahlen

verteilt? 21

3.5. Primzahlformeln 23

3.6. Primfaktorzerlegung 27

3.7. Folgerungen aus dem Hauptsatz 31

3.8. Hassediagramme verfeinert 32

3.9. Primzahlkriterium und das Lemma von Euklid 33

4. Großter gemeinsamer Teiler (ggT ) und kleinstes gemeinsames

Vielfaches (kgV ) 34

4.1. ggT und Teilermengen 34

4.2. Euklidischer Algorithmus 38

4.3. Vielfache des ggT und Linearkombinationen 43

4.4. Lineare Diophantische Gleichungen 46

4.5. kgV und Vielfachenmengen 51

5. Kongruenzen und Restklassen 56

5.1. Die Kongruenzrelation mod m 56

5.2. Kongruenz als Aquivalenzrelation 621

Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 2

5.3. Algebraische Struktur von Z{mZ - Rechnen im System Z{mZ 65

5.4. Die Satze von Euler, Fermat und der Chinesische Restsatz 74

6. Stellenwertsysteme 81

6.1. Verschiedene Stellenwertsysteme 81

6.2. Prinzip des Stellenwertsystems 85

6.3. Zahlen in verschiedenen Zahlsystemen 87

6.4. Rechnen in anderen Zahlsystemen 89

7. Dezimalbruche 90

7.1. Gemeine Bruche und Dezimalbruche 90

7.2. Kettenbruche 100

8. Teilbarkeitsregeln 103

8.1. Endstellenregeln 104

8.2. Quersummenregeln 107

8.3. Weitere Teilbarkeitsregeln fur Primzahlen 110

9. Vollkommene Zahlen 112

9.1. Beispiele und Definition 112

10. Fibonaccizahlen, Goldener Schnitt und Irrationalitat 117

10.1. Das regelmaßige 5-Eck - Goldener Schnitt 119

10.2. Aperiodische Plasterungen 122

10.3. DIN-Norm fur Papier 122

11. EAN, ISBN, PZN und IBAN 126

11.1. EAN im Supermarkt 126

11.2. ISBN 130

11.3. Die Pharmazentralnummer PZN 132

11.4. IBAN, Verfahren Modulo 97-10 (ISO 7064) 133

12. Kryptographie 136

12.1. Monoalphabetische Substitution 136

12.2. Polyalphabetische Substitution 139

13. RSA-Verschlusselungssystem 140Versionvom

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1. Minimum, Maximum und vollstandige Induktion

1.1. Zahlen.

Naturliche Zahlen - Peano - Axiome (1889)

Giuseppe Peano (1858-1932)

(1) 1 ist eine naturliche Zahl. (1 P N)

(2) Jeder naturlichen Zahl n ist genau eine naturliche Zahl n1 zugeordnet,

die Nachfolger von n genannt wird.

(n1 “ n` 1)

(3) 1 ist kein Nachfolger. (n1 “ 1 ñ )

(4) Sind n und m verschiedene naturliche Zahlen, so sind auch ihre Nach-

folger n1 und m1 verschieden.

(n ‰ m ñ n` 1 ‰ m` 1)

(5) Enthalt eine Menge M naturlicher Zahlen 1 und folgt aus n PM stets

n1 PM , so besteht M aus allen naturlichen Zahlen. (M “ N)

Uneinheitliche Notation: naturliche Zahlen mit oder ohne Null?

N “ t1, 2, 3, . . .u oder N “ t0, 1, 2, 3, . . .u

In mathematischen Abhandlungen je nach Vereinbarung!

In der Schule:

X Quadrat-Zeichenlegende: N “ Menge der naturlichen Zahlen

N0 “ Menge der nat. Zahlen einschließlich Null.

bsv, Mathematische Formeln kompakt:

N “ t0, 1, 2, 3, . . .u und N˚ “ Nzt0u “ t1, 2, 3, . . .u.

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Eine Menge M heißt total geordnet, wenn fur alle x, y, z PM gilt:

(1) x ď x,

(2) aus x ď y und y ď z folgt, daß auch x ď z,

(3) aus x ď y und y ď x folgt, daß x “ y.

Damit folgt, daß fur je zwei Elemente x, y einer total geordneten Menge gilt:

x ď y oder x ě y

Beispiele: Die naturlichen Zahlen, die ganzen Zahlen und die reellen Zahlen

sind total geordnet.

Satz 1.1 (Kleinstes Element - Wohlordnungsprinzip). Jede nicht leere Teil-

menge T von N enthalt eine kleinste Zahl m. Das heißt, fur alle t P T gilt:

m ď t.

Beweis:

Da T nicht leer ist, gibt es ein Element n P T . Das erste (= kleinste) Element

der geordneten Menge tp0q, 1, 2, . . . , n´ 1, nu, daß auch in T enthalten ist, ist

das gesuchte kleinste Element. �

Satz 1.2 (Induktion). Ist eine Aussage uber eine naturliche Zahl wahr fur

1) n “ 0 (bzw. n0 P N) und wenn 2) die Wahrheit der Aussage fur alle a ă n

die Wahrheit fur n selber zur Folge hat, dann ist die Aussage fur alle n P Nwahr.

Beweis:

Es sei T die Menge der naturlichen Zahlen (ą n0), fur die die Aussage falsch ist.

Nach 1) gilt 0 R T (n0 R T ). Wenn T “ H, haben wir nichts zu zeigen. Wenn

aber T nicht leer ist, so hat es nach 1.1 ein kleinstes Element n ą 0 (n ą n0).

Da dann aber die Aussage fur alle naturlichen Zahlen p0q, 1, . . . , n ´ 1 (bzw.

n0, . . . , n´ 1) (also fur alle a ă n) gilt, so ist sie nach Vorraussetzung 2) auch

fur n, damit wurde folgen: n R T . �

Daraus ergibt sich die Beweismethode der Vollstandigen Induktion:

Es sei Apnq eine Aussage (abhangig von einer naturlichen Zahl n P N). Es ist zu

zeigen, daß Apnq fur alle naturlichen Zahlen n ab einem gewissen Anfangswert

n0 gilt (d.h. fur alle n ě n0). Dazu zeigt man:

(1) Induktionsanfang: Die Aussage Apn0q ist wahr.

(2) Induktionsschritt: Man zeigt, daß aus der Gultigkeit von Apnq fur ir-

gendein n P N auch die Gultigkeit der Aussage fur den Nachfolger n`1

von n folgt. (Aus Apnq ist wahr, folgt Apn` 1q ist wahr!)

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Beispiel: Beweise die Summenformel mit vollstandiger Induktion:

nÿ

i“1

i “ 1` 2` 3` ¨ ¨ ¨ ` n “n ¨ pn` 1q

2@ n P N (1)

Beweis:

Induktionsanfang: Zu Zeigen: Die Aussage (1) ist fur n “ 1 richtig :

n ¨ pn` 1q

2

n“1Ó“

1 ¨ p1` 1q

2“ 1 X

Induktionsschritt: Zu Zeigen: Aus der Gultigkeit von (1) fur n folgt die fur

n ` 1: Angenommen es gilt 1` 2` 3` ¨ ¨ ¨ ` n “n ¨ pn` 1q

2loooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooon

Induktionsvorraussetzung

fur ein n P N.

Dann folgt:

rn` 1s ¨ prn` 1s ` 1q

2“pn` 1q ¨ pn` 2q

2“

ò

pn` 1q ¨ n` pn` 1q ¨ 2

2

“n ¨ pn` 1q

2` pn` 1q (mit Ind. Vorraussetzung)

“ 1` 2` 3` ¨ ¨ ¨ ` n` pn` 1q �

Satz 1.3 (Maximumsprinzip). In jeder nicht leeren endlichen Menge reeller

Zahlen gibt es eine großte Zahl.

(Beachte: hier ist das Wort endlich wichtig! Gegenbeispiel: das offene Intervall

s0, 1r hat weder ein kleinstes noch ein großtes Element.)

Beweis:

Eine nicht leere endliche Menge reeller Zahlen hat notwendiger Weise die Form

ta1, . . . , anu mit einem n P N.

Sei T die Menge naturlicher Zahlen n ě 1 mit der Eigenschaft:

Jede n-elementige Menge reeller Zahlen hat ein großtes Element:

T “

n P N | ist M Ă R mit #M “ n ñ M hat ein großtes Element(

Klar: 1 P T , denn jede Menge ta1u, mit a1 P R, hat ein großtes Element!

Angenommen n P T , das heißt: jede n-elementige Menge (Ă R) besitzt ein Ma-

ximum. Ist nun M “ ta1, . . . , an, an`1u Ă R, so hat die Teilmenge ta1, . . . , anu

ein großtes Element, OE an ist dieses Element. Da die reellen Zahlen total

geordnet sind, gilt entweder an`1 ą an, an`1 “ an oder an`1 ă an. Gleichheit

geht nicht, also ist im Fall an`1 ą an die Zahl an`1 das großte Element von

M oder im Fall an`1 ă an ist es an. Damit hat M in jedem Fall ein großtes

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Element und folglich gilt n` 1 P T . Induktiv folgt, daß T “ N, und damit die

Behauptung. �

Naturliche Zahlen - Addition

Den Schulern bewußt machen, daß man die naturlichen Zahlen additiv erzeu-

gen kann:

n “ 1` 1` ¨ ¨ ¨ ` 1looooooomooooooon

n Summanden

.

Die Addition ordnet stets zwei naturlichen Zahlen eine dritte zu:

n,m P N ñ n`m “ k P N.

Subtraktion ist Gegenoperation zur Addition:

k ´m “ n genau dann, wenn n`m “ k.

Insbesondere:

pn`mq ´m “ n.

Subtraktion hebt die Addition auf.

Problem , Substraktion geht nicht immer

m´ n�P N falls n ą m ñ Erweiterung auf Z

Naturliche Zahlen - Von der Addition zur Multiplikation

Wiederholte Addition der gleichen Zahl:

n ¨m “ m`m` ¨ ¨ ¨ `mlooooooooomooooooooon

n Summanden

.

Formulierung: n mal m

Problem Wo ist die Betonung?

n mal m n mal m

m`m` ¨ ¨ ¨ `mlooooooooomooooooooon

n Summanden

oder n` n` ¨ ¨ ¨ ` nloooooooomoooooooon

m Summanden

Umgangssprache Operatorauffassung :

n¨mÝÑ n ¨m

Das wegen der Kommutativitat der Multiplikation beides gleich ist, hilft den

Schulern wenig. Man muss es durch Ubung und Beispiele klar machen. z.B. so:

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5 · 3 3 · 5Naturliche Zahlen - Kommutativitat der Multiplikation

Umkehroperation? ñ neue Relation: Teilerrelation

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2. Teilbarkeit

2.1. Teilbarkeitsrelation.

Definition 2.1. Eine naturliche Zahl a ist genau dann Teiler der naturlichen

Zahl b, wenn eine naturliche Zahl q existiert, so daß

a ¨ q “ b.

Schreibweise: a | b (a teilt b) sonst a ��| b (a teilt nicht b)

Beispiele:

2 ¨ 3 “ 6 ñ 2 | 6 und 3 | 6

10 ¨ 7 “ 70 ñ 10 | 70 und 7 | 70

aber 5 ��| 21 denn 4 ¨ 5 “ 20 und 5 ¨ 5 “ 25

und 20 ă 21 ă 25

Die letzte Begrundung wird sicherlich von Schulern akzeptiert.

Wie kann man das aber beweisen?

Das wird mit Korollar 2 moglich sein!

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Bemerkung 2.1. (1) Null: Vorsicht bei Teilbarkeit:

‚ 0 ��| b fur alle b P Nzt0u, denn q ¨ 0 “ 0 fur alle q P N‚ 0 | b impliziert ñ b “ 0!!!! Null ist nur Teiler von Null!

‚ a | 0 fur alle a P N, denn 0 ¨ a “ 0 fur alle a P N‚ 0 | 0, denn q ¨ 0 “ 0 fur z.B. q “ 1 (und alle q P N!)

Um diese Ausnahmen nicht immer gesondert auszuschließen, beschrankt

man sich auf N “ t1, 2, 3, . . .u bei Teilbarkeitsuntersuchungen (ohne

dies immer zu erwahnen!).

(2) 0 | 0 aber !!! 0 : 0 !!! ist nicht definiert!

(3) Teilbarkeit wird mittels Multiplikation definiert (nicht via Division wie

bei G8)

‚ Vorteilhaft beim Beweisen

‚ Multiplikation (bei Schulern) einfacher als Division.

‚ Zusammenhang Teiler und Vielfache transparenter.

‚ Problem mit Division durch Null entfallt, keine Fallunterscheidun-

gen notig!

(4) Teilen versus Dividieren:

‚ Beim Dividieren konnen von Null verschiedene Reste auftreten:

3 : 2 “ 1` 12

‚ Bei der Teilerfrage nicht: 2 ��| 3 aber 2 | 6 weil 2 ¨ 3 “ 6

und damit ñ 6 : 2 “ 3

‚ ñTeilen ist eine Spezialfall des Dividierens!

‚ Die gesuchte Information ist verschieden:

Teilen: Frage ob eine Zahl (multiplikativ) in einer anderen Zahl

enthalten ist.

Dividieren: Frage wie oft eine Zahl in einer anderen enthalten

ist.

(5) Teilbarkeitsbetrachtungen konnen auch auf die ganzen Zahlen

Z “ t. . . ,´3,´2,´1, 0, 1, 2, 3, . . .u erweitert werden. Ersetze N durch

Z in Definition 1 ( und etwas mit der Null aufpassen).

Definition 2.2. Die Zahl b P N ist genau dann ein Vielfaches der Zahl

a P N, wenn es ein q P N gibt mit

q ¨ a “ b bzw. a | b

Bezeichnung: a | b kann auch als b ist Vielfaches von a gelesen werden.

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Bemerkung 2.2. a ist genau dann Teiler von b, wenn b Vielfaches von a ist.

2.2. Eigenschaften.

Satz 2.3 (Teilbarkeitseigenschaften). Fur a, b, c, d P Z gilt:

(1) a | b und b | cñ a | c (Transitivitat)

(2) a | b und b | añ|a| “ |b| ({N: Symmetrie)

(3) a | b und c | dñ a ¨ c | b ¨ d

Beweis:

(1) a | b ñ a ¨ q1 “ b und b | c ñ b ¨ q2 “ c fur q1, q2 P Zñ c “ b ¨ q2 “ pa ¨ q1q ¨ q2 “ a ¨ pq1 ¨ q2q ñ a | c

(2) Es gibt q1, q2 P Z mit 1.) a ¨ q1 “ b und 2.) b ¨ q2 “ a.

2.) in 1.): b “ a ¨ q1 “ pb ¨ q2q ¨ q1 “ b ¨ q2q1!“ b

Fall: b ‰ 0 ñ q2q1 “ 1

Da q1, q2 P Z ñ|q1| “ |q2| “ 1

ñ a “ ˘b ô |a| “ |b|.

Fall: b “ 0

ñ a | 0 (sowieso) und 0 | a ñ a “ 0(Bem. 2.1: Null teilt nur Null)

(3) a ¨ q1 “ b und c ¨ q2 “ d ñ a ¨ c ¨ pq1 ¨ q2q “ b ¨ d

�

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Korollar 2.4. Fur a, b P Z, a ‰ 0 gilt:

(1) a | b ñ a | b ¨ d fur alle d P Z(2) a | b ñ a ¨ d | b ¨ d fur alle d P Z

Beweis:

Folgt aus dem Satz 2.3 (3) mit c “ 1 (fur 1.) und c “ d (fur 2.). �

Satz 2.3 (3) hat kein additives Analogon, denn

2 | 6 und 3 | 15

aber ñ p2` 3q “ 5 ��| 21 “ p6` 15q

Satz 2.5 (Teilen von Linearkombinationen). Fur a, b, c P Z gilt:

a | b und a | c ñ a | prb` scq

fur alle r, s P Z. (d.h. a teilt jede ganzzahlige Linearkombination von b und c.)

Beweis:

Korollar ñ a | r ¨ b und a | s ¨ c fur alle r, s P Z.

Also a ¨ q1 “ r ¨ b und a ¨ q2 “ s ¨ c fur q1 ¨ q2 P Z.

ñ a ¨ pq1 ` q2q “ a ¨ q1 ` a ¨ q2 “ r ¨ b` s ¨ c

ñBeh.

�

Der Satz ist nicht umkehrbar, denn:

2 | p2 ¨ 3` 4 ¨ 5q aber 2 ��| 3 und 2 ��| 5

Aber:

Korollar 2.6. Fur a, b, c P Z gilt:

a | b und a | c ñ a | b˘ c

Nachtrag zum Beispiel aus Abschnitt 2.1:

Wie beweist man das Nicht Teiler Sein?

5 ��| 21 warum?

Beweis:

Z.B. durch Widerspruch: Annahme: 5 | 21

Es gilt sicher auch: 5 | 20, denn 5 ¨ 4 “ 20.

Korollar 2.6 ñ 5 | p21´ 20q “ 1 �

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Satz 2.7. Fur a, b P Z gilt:

a | b ô |a|ˇ

ˇ |b|

Beweis:

a “ signpaq ¨ |a| und b “ signpbq ¨ |b|

a|b ô a ¨ q “ b

ô signpaq ¨ |a| ¨ q “ signpbq ¨ |b| (¨signpbq)

ô|a| ¨ pq ¨ signpaq ¨ signpbqq “ |b|

ô |a|ˇ

ˇ |b|

�

Anwendung:?

2 ist keine rationale Zahl.

Beweis:

Angenommen,?

2 ist rational, also ein Bruch. Sei T die Menge der naturlichen

Zahlen n, so daß n ¨?

2 P N. Nach dem Satz uber das kleinste Element (Wohl-

ordnungsprinzip Satz 1.1 ) hat T ein kleinstes Element n0, also n0 ¨?

2 P N.

Dann:

weil: 1 ă 2 ă 4 (Wurzel ziehen)

1 ă?

2 ă 2 | ¨ n0

n0 ă n0 ¨?

2 ă 2n0 | ´ n0

0 ă n0 ¨?

2´ n0loooooomoooooon

PN

ă n0 | ¨?

2

0 ă pn0 ¨?

2´ n0qlooooooomooooooon

ăn0

¨?

2 “ 2n0 ´ n0 ¨?

2looooooomooooooon

PN

ă n0 ¨?

2

Also ist pn0 ¨?

2´ n0q ă n0 ein weiteres Element von T , das widerspricht der

Minimalitat von n0. Also ist T “ H und damit?

2 irrational! �Versionvom

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2.3. Teilermengen.

Definition 2.3. Fur eine naturliche Zahl a sei:

Ta “ T paq “ tx P Nˇ

ˇx teilt au

die Menge aller Teiler von a.

Beispiele

T15 “ t1, 3, 5, 15u

T17 “ t1, 17u

Wegen 1 | a und a | a ñt1, au Ď Ta.

Ta hat also immer mindestens 2 Elemente (fur a ą 1): #Ta ě 2.

Bemerkung 2.8. #Ta “ 2 ô a ist Primzahl. (vgl. Definition 3.1)

Satz 2.9.

a P N, a ‰ 0 ñ #Ta ď a

(a hat also hochsten a Teiler!)

Beweis:

Sei b P Ta, (also b | a).

ñ b ¨ q “ a fur ein q P N.

insbesondere b, q ě 1 (da b, q P Nzt0u)

ñ 1 ď b “ b ¨ 1 ď b ¨ q “ a

Kurz 1 ď b ď a ñBeh. �

Bemerkung 2.10. Fur a “ 0 gilt der Satz nicht, denn b ¨ 0 “ 0 fur alle b P N

ñ #T p0q “ 8

Sei a P N nicht Primzahl.

ñ es gibt Teiler: b | a, b ‰ 1 und b ‰ a

ñ es gibt q P N mit b ¨ q “ a (q ‰ 1, q ‰ a)

Erlaubt ist auch: q “ b

Wegen b ¨ q “ a nennt man a auch zusammengesetzte Zahl.

Bemerkung 2.11. ‚ Die kleinste zusammengesetzte Zahl ist: 4 “ 2 ¨ 2

T4 “ t1, 2, 4u.

‚ Die Zahl 1 ist weder Primzahl noch zusammengesetzte Zahl.

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Wie findet man Teilermengen einer Zahl?

Nutze: - Teiler treten in Paaren auf: b ¨ q “ a Paar: pb, qq

- Bei Quadratzahlen: b2 “ a Paar: pb, bq

Beispiele:

a “ 12:

b 1 2 3 �4

q 12 6 4 �3ñ T12 “ t1, 2, 3, 4, 6, 12u ñ #T12 “ 6

a “ 21:

b 1 3 �7

q 21 7 �3ñ T21 “ t1, 3, 7, 21u ñ #T21 “ 4

a “ 16:

b 1 2 4

q 16 8 4ñ T16 “ t1, 2, 4, 8, 16u ñ #T16 “ 5

Bemerkung 2.12. Quadratzahlen haben eine ungerade Anzahl von Teilern.

Nicht-Quadratzahlen haben eine gerade Anzahl von Teilern.

Satz 2.13. Fur a, b P N gilt:

a | b ô Ta Ď Tb

Beweis:

”ñ ” Transitivitat der Teilerrelation (Satz 2.3 (1))

ñ c | a und a | b ñ c | b ñTa Ď Tb.

”ð” a P Ta Ď Tb ñ a | b. �

Teilbarkeitsregeln

Beispiele: Teiler Bedingung

2 gerade Zahl bzw. letzte Ziffer ist gerade

3 3 |Quersumme

5 letzte Ziffer 0 oder 5

9 9 |Quersumme

2n Zahl der letzten n Ziffern ist durch 2n teilbar

5n Zahl der letzten n Ziffern ist durch 5n teilbarDas und mehr wird in einem spateren Abschnitt ausfuhrlich behandelt!

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2.4. Ordnungsrelation: Teilbarkeit und Hassediagramme.

Satz 2.14. Die Teilbarkeitsrelation uber N ist eine Ordnungsrelation, d.h. sie

ist:

reflexiv : a teilt a (a|a) fur alle a P N.

transitiv : aus a|b und b|c folgt a|c, fur a, b, c P N.

antisymmetrisch : aus a|b und b|a folgt a “ b.

Beweis:

‚ Reflexivitat ist klar

‚ Transitivitat war Inhalt von Satz 2.3 (1)

‚ (Anti-)Symmetrie: folgt aus Satz 2.3 (2): a | b und b | añ|a| “ |b|

mit N statt Z gilt: a “ b

�

Hassediagramme veranschaulichen Teilbarkeitszusammenhange in Zahlenmengen:

Beispiele

(1) M “ t1, 2, 3, 4, 5u 4<<

2<< 3 5

��1

(2) T8 “ t1, 2, 4, 8u 8

4

2

1

(3) T21 “ t1, 3, 7, 21u 21}} AA

3AA 7

}}1

(4) T25 “ t1, 5, 25u 25

5

1(5) M “ t1, 3, 5, 9, 45u

(6) T70 “ t1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70u

3. Primzahlen

3.1. Einfuhrung der Primzahlen in der Schule.

Methode: Vervielfachungsmaschinen

Michael hat viele Vervielfachungsmaschinen:

¨2 , ¨3 , ¨4 ,. . .

Diese Maschinen verdoppeln, verdreifachen, vervierfachen etc..

Aufgabe: Michael soll 100 große Zahlen versechsfachen!

Problem: Maschine ¨6 ist defekt.

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Losung: Freund Andreas schlagt vor, die Maschinen ¨2 und ¨3 zu benutzen.

Frage 1 Warum?

Frage 2 Gibt es noch mehr uberflussige Maschinen?

Frage 3 Welche Maschinen sind unentbehrlich?

Methode: Rechtecke Legen

Gegeben: 12 gleichgroße quadratische Plattchen.

Frage: Wie viele verschiedene Rechtecke konnen damit gelegt werden?

Variationen: Dabei mussen 1) alle Plattchen genutzt werden oder 2) nicht!

Wie ist das bei 13, 15 oder 20 Plattchen?

Gibt es auch Plattchenmengen, aus denen (wenn alle Teile benutzt werden

sollen) keine Rechtecke gebildet werden konnen?

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Methode: Gefangniszellen

Ein Tyrann hat ein Gefangnis mit 1000 Einzelzellen und 1000 Wartern.

Einmal im Jahr werden im Rahmen einer Amnestie Gefangene entlassen. Dabei

werden die Gefangenen nach folgender Methode ausgewahlt:

Warter 1 macht an jeder Tur ein Kreuz

Warter 2 macht an jeder 2ten Tur ein Kreuz

Warter 3 macht an jeder 3ten Tur eine Kreuz...

Die Gefangenen hinter den Turen mit genau 2 Kreuzen werden entlassen. Wel-

che Zellturen werden geoffnet?

W�Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

3 ˆ ˆ ˆ

4 ˆ ˆ

5 ˆ ˆ

6 ˆ

7 ˆ

8 ˆ

9 ˆ

2 Kreuze: Ò Ò Ò Ò Ò

Vergleich der Zugange:

Vervielfachungsmaschinen: Betont die Eigenschaft der Primzahlen, 1)

(multiplikative) Bausteine aller naturlicher Zahlen zu sein und 2) Un-

zerlegbar zu sein.

Rechtecke Legen: Darstellung naturlicher Zahlen als Produkt von 2

Zahlen, enaktiv (durch Handlung), Zerlegbarkeit von Zahlen.

Gefangnis: Vielfache, Teilbarkeit, Anzahl der Teiler, Erganzende Frage:

Wieviele und welche Warter machen ein Kreuz an Tur Nummer n?

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Charakteristika von Primzahlen:

‚ Primzahlen sind unzerlegbar

‚ Primzahlen sind die Bausteine der naturlichen Zahlen

‚ Primzahlen haben genau 2 Teiler

Sonderfall: Die Zahl 1 ist keine Primzahl! und naturlich auch nicht zerleg-

bar!!Definition 3.1.

(1) Naturliche Zahlen, die genau 2 Teiler haben, heißen Primzahlen.

(2) Naturliche Zahlen, die mindestens 3 Teiler haben, heißen

zusammengesetzte Zahlen.

Achtung: Die Begriffe Teilbarkeit und Primzahlen betreffen die Verknupfung:

Multiplikation

Bzgl. Addition gibt es in N nur ein unzerlegbares Element: die Zahl 1.

Aber es gibt 8-viele unzerlegbare Elemente in N bzgl. der Multiplikation

ñ die 8-vielen Primzahlen.

3.2. Wieviele Primzahlen gibt es?

Satz 3.1. Der kleinste von 1 verschiedene Teiler einer naturlichen Zahl a ą 1

ist eine Primzahl.Beweis:

Fall 1: a ist Primzahl

ñTa “ t1, au ñ der kleinste Teiler ‰ 1 ist a ñBeh.

Fall 2: a ist zerlegbar

ñt1, au Ă‰Ta

Sei b P Tazt1, au der kleinste Teiler. (vgl. Satz 1.1)

Z.z. b ist Primzahl.

Klar, wegen der Transitivitat der Teilbarkeitsrelation:

Ware b keine Primzahl ñ D t ‰ 1 mit t|b, t ‰ b ñ 1 ă t ă b

t|b und b|a ñ t|a

�

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Satz 3.2 (Euklid). Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Beweis:

Annahme es gibt endlich viele Primzahlen: p1, p2, p3, . . . , pn

Sei a :“ p1 ¨ p2 ¨ . . . ¨ pn ` 1 pP Nq

ñ a ist keine Primzahl, da großer als jede Primzahl, a ą 1 und:

(*) pi ��| a fur alle i “ 1, . . . , n (weil Rest 1pi

)

Sei p P Ta der kleinste Teiler ‰ 1

Aus (*) ñ p ‰ pi, i “ 1, . . . , n

Aber: Satz 3.1 ñ p ist Primzahl �

Folgerung Zu jeder großen Primzahl gibt es stets eine noch großere - es gibt

keine großte Primzahl.

Jagd nach großen Primzahlen: Viele Internetseiten (z.B. www.primzahlen.de),

Bucher (Ribenboim,...), Strategien, Primzahlen zu erzeugen:

z.B. Mersennezahlen: 2n ´ 1

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24.Sep

tember

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3.3. Sieb des Eratosthenes.

Erathosthenes (* um 273 v. Chr. in Kyrene,† um 194 v. Chr. in Alexandria)

Mathematiker, Geograph, Astronom, Historiker, Philosoph, leitete die Biblio-

thek von Alexandria.

Berechnete unter anderem den Erdumfang und die Schiefe der Ekliptik.

Siebmethode, 10 Spalten

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50...

(1) Streiche Zahl 1, da keine Primzahl

(2) nachste Zahl ist 2, PZ, streiche alle Vielfachen von 2.

(3) nachste Zahl ist 3, PZ, streiche alle Vielfachen.

(4) nachste Zahl ist 5, PZ, streiche alle Vielfachen....

Siebmethode, 1` 6 Spalten

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31

32 33 34 35 36 37

38 39 40 41 42 43

44 45 46 47 48 49...

Satz 3.3. Die Primzahlen ą 3 sind von der Form 6n˘ 1 mit n P N.

Satz 3.4. Beim Sieben der naturlichen Zahlen ď n nach Eratosthenes reicht

es, die Vielfachen der Primzahlen ď?n zu streichen.

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3.4. Wie sind die Primzahlen innerhalb der naturlichen Zahlen ver-

teilt?

Primzahlen p und q mit Abstand |p´ q| “ 2 heißen Primzahlzwillinge.

Weitere Beispiele fur Primzahlzwillinge:

p9929, 9931q , p156 ¨ 5202´ 1, 156 ¨ 5202

` 1qlooooooooooooooooooomooooooooooooooooooon

haben 144 Ziffern

2007: p2.003.663.613 ¨ 2195.000˘ 1q

loooooooooooooooooomoooooooooooooooooon

haben 58.711 Ziffern

Sei 2300 Jahren bekannt: Es gibt 8-viele Primzahlen.

Offen (nicht bekannt): ob es endlich oder unendlich viele Primzahlzwillinge

gibt.

Primzahldrillinge:

p3, 5, 7q sind die einzigen Primzahlentripel der Form pp, p` 2, p` 4q

Beweis:

Annahme 3 ă p, p` 2, p` 4 sind Primzahlen.

Da p prim ñ p “ 6m˘ 1

Wenn p “ 6m` 1 ñ p` 2 “ 6m` 3 ñ 3|p` 2

Wenn p “ 6m´ 1 ñ p` 4 “ 6m` 3 ñ 3|p` 4 �

Primzahlfolgen der Form p, p` 2, p` 6 heißen Primzahldrillinge.

Beispiele

p41, 43, 47q

p107, 109, 113q

p10.014.491, 10.014.493, 10.014.497q

Es gibt bei großen Zahlen nicht nur immer wieder Primzahlhaufungen (wie die

Beispiele zeigen), aber auch beliebig lange Lucken:

Satz 3.5. Fur alle n P N gibt es eine Primzahllucke der Lange ě n.

(m.a.W.: fur jedes n gibt es eine Folge von n aufeinanderfolgenden zusammen-

gesetzten Zahlen.)

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Beweis:

pn` 1q!` 2 “ 2 ¨ 3 ¨ 4 ¨ ¨ ¨ pn` 1q ` 2 hat Teiler 2

pn` 1q!` 3 “ 2 ¨ 3 ¨ 4 ¨ ¨ ¨ pn` 1q ` 3 hat Teiler 3...

pn` 1q!` pn` 1q “ 2 ¨ ¨ ¨ pn` 1q ` pn` 1q hat Teiler pn` 1q

,

/

/

/

/

.

/

/

/

/

-

n Zahlen

Das sind insbesondere n aufeinanderfolgende zusammengesetzte Zahlen

ñBeh. �

Satz 3.6. Fur n ě 3 liegt zwischen n und n! mindestens eine Primzahl.

Beweis:

Sei n P N, n ě 3 ñ n!´ 1 ě 3!´ 1 “ 2 ¨ 3´ 1 “ 5 ą 1

ñ kleinster Teiler p ‰ 1 von n!´ 1 ist eine Primzahl (vgl. Satz 3.1)

Dann: p ď n!´ 1 ă n!

Wir haben also eine Primzahl p ă n! gefunden.

Es gilt aber auch n ă p, denn:

2, 3, 4, . . . , n P Tn! ñ 2, 3, 4, . . . , n R Tn!´1

ñ p ‰ 2, 3, 4, . . . , n ñ n ă p ñBeh. �

Euler (1737): Neuer Beweis fur die Unendlichkeit der Primzahlen mittels har-

monischer Reihe.

Wdh.: Harmonische Reihe/Folge:řn

i“11i

divergiert fur nÑ 8.

Satz 3.7 (Euler).

limnÑ8

ř

PZ: pďn1p

lnplnpnqq“ 1

d.h. Zahler- und Nennerfunktion verhalten sich asymptotisch gleich!

Folgerung:

Satz 3.8 (Euler, um 1740).ÿ

PZ: pďn

1p

divergiert fur nÑ 8.

Πpxq :“ #tPrimzahlen p ď xu , fur x P R

z.B. Πp1q “ 0, Πp2q “ 1, Πp3q “ 2, Πp10q “ 4, Πp17,3q “ Πp17q “ 7

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Legendre(1752-1833) stellte aufgrund empirischer Untersuchungen die Vermu-

tung auf, daß:

Πpxq verhalt sich asymptotisch gleichx

lnx

Satz 3.9 (Primzahlsatz). (Hadamard und unabhangig Ch.de la Vallee Pous-

sin, 1896)

limxÑ8

Πpxqx

lnx

“ 1

3.5. Primzahlformeln.

Das Polynom

ppxq “ x2´ 79x` 1601

pp39q “ pp40q “ 41, pp38q “ pp41q “ 43,

pp37q “ pp42q “ 47, pp36q “ pp43q “ 53

pp35q “ pp50q “ 151 . . . alles Primzahlen?

Satz 3.10. Kein Polynom ppxq “ anxn`¨ ¨ ¨`a1x`a0 vom Grad ě 1, ai P Z,

erfullt

ppmq ist Primzahl fur alle m P Z.Beweis:

Sei ppxq “ anxn` . . . ein Polynom vom Grad n mit ganzzahligen Koeffizienten.

Z.z.: D m P Z mit ppmq ist zusammengesetzte Zahl!

Wenn a0 zusammengesetzte Zahl ñ pp0q “ a0 zusammengesetzt. X

Also Annahme: a0 PZ.

ñ@ m P N gilt:

ppa0 ¨mq “ anpa0 ¨mqn` an´1pa0 ¨mq

n´1` ¨ ¨ ¨ ` a1pa0 ¨mq ` a0

“ a0

`

an an´10 mn

` ¨ ¨ ¨ ` a1mloooooooooooooomoooooooooooooon

“:Apmq PZ

` 1˘

“ a0

`

Apmq ` 1˘

Genauer:

Apmq “ an an´10 mn

` an´1 an´20 mn´1

` ¨ ¨ ¨ ` a1m

Apmq ist also ein Polynom vom Grad n in der Variablen m.

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ñApmq hat hochstens n Nullstellen.

Also D m0 P N pbzw.in Zq mit Apm0q ‰ 0

ñ ppm0 ¨ a0q “ a0

`

Apm0q ` 1˘

loooooomoooooon

‰1

ist zusammengesetzte Zahl

�

Satz 3.11. Seien a, b P N mit ggT pa, bq ą 1 und a ‰ 0, so kann fur x P Z das

lineare Polynom ppxq “ a x` b hochstens einen Primzahlwert annehmen.

Bemerkung 3.12. Vorgriff: ggT wird erst im nachsten Abschnitt definiert!

Wir haben gesehen, daß alle Primzahlen ą 3 von der Form 6n ˘ 1 sind! Das

widerspricht nicht dem Satz, denn ggT p6, 1q “ 1

Beweis:

Sei c :“ ggT pa, bq, nach Vorraussetzung: c ‰ 1

ñ a “ c ¨ a1 und b “ c ¨ b1 mit a1, b1 P N und a1 ě 1.

ñ@ z P Z ppzq “ az ` b “ ca1z ` cb1 “ cpa1z ` b1q

Das ist nur dann eine Primzahl, wenn a1z ` b1 “ 1 und c eine Primzahl ist.

Da bleiben die folgenden Moglichkeiten:

(1) b1 “ 0 ñ a1 ¨ z “ 1 ñ a1 “ z “ 1 und pp1q “ c PZ,

(2) b1 “ 1 ñ b “ c ñ pp0q “ b “ c PZ,

(3) b1 ě 2 ñ 1 ď b1 ´ 1 “ ´a1z ñ z negativ und a1 | b1 ´ 1. Sei a1 ¨ q “

b1 ´ 1 ñ pp´qq “ cp´a1q ` b1q “ c PZ.

Die 3 Falle schliessen sich offensichtlich aus und jeweils gibt es genau den einen

angegebenen Primzahlwert. �

Beispiele

‚ ppxq “ 3x (also b “ 0 und a “ c PZ) hat Primzahlwert: pp1q “ 3

‚ ppxq “ 12x` 4 “ 4 p3x` 1q hat nie Primzahlwerte ({N), denn c ‰ PZ

‚ ppxq “ 12x` 3 “ 3 p4x` 1q hat den Primzahlwert: pp0q “ 3

‚ ppxq “ 6x` 15 “ 3 p2x` 5q hat den Primzahlwert: pp´2q “ 3

Was ist, wenn ggT pa, bq “ 1?

Satz 3.13 (Dirichletscher Primzahlsatz). Zu jeder naturlichen Zahl b gibt es

unendlich viele Primzahlen der Form

p ” a mod b, mit ggT pa, bq “ 1

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Alternative Formulierung Sind a, b P N mit ggT pa, bq “ 1, so gibt es 8-

viele Primzahlen der Form

a˘ nb , n P N

Zum Beweis benotigt man Begriffe wie Dirchlet-Charakter, Zeta-Funktion und

L-Reihen ñ ubersteigt Moglichkeiten der Elementaren Zahlentheorie.

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Spezialfalle: a) a “ 1, b “ 2

D 8 ´ viele Primzahlen: p “ 1 mod 2

ô D 8´ viele Primzahlen: p “ 1` 2n

Klar: jede Primzahl ‰ 2 ist von dieser Form.

b) In Satz 3.3 haben wir gesehen: Jede Primzahl ą 3 ist von der Form:

6n˘ 1 mit n P N

ñFall a “ 1, b “ 6: p “ 1` 6n

Aber: 6n´ 1 “ 6pn´ 1q ` 6´ 1 “ 6pn´ 1q ` 5

ñ Satz 3.3 beinhaltet also die beiden Falle: pa, bq “ p1, 6q und pa, bq “ p5, 6q.

Offene Primzahlprobleme

Goldbach’sche Vermutung: Jede gerade Zahl ą 2 laßt sich als Summe von zwei

Primzahlen darstellen. (Nachgewiesen fur alle n ď 4 ¨ 1017.)

Aquivalent (Euler): Jede naturliche Zahl ą 5 ist Summe von drei Primzahlen.

Beweis:

”Goldbach ñEuler”:

Wenn n ą 5 eine gerade Zahl ist ñ n ´ 2 ą 3 ą 2 ebenfalls gerade und nach

der Goldbach’schen Vermutung Summe von 2 Primzahlen:

n´ 2 “ p1 ` p2 ñ n “ 2` p1 ` p2

Wenn n ą 5 eine ungerade Zahl ist ñ n ´ 3 ą 2 ist eine gerade Zahl und

ebenso nach Goldbach Summe von zwei Primzahlen:

n´ 3 “ p1 ` p2 ñ n “ 3` p1 ` p2 X

”Goldbach ð Euler”: Sei n ą 2 gerade.

Wenn n “ 4, ñ n “ 4 “ 2` 2, also Summe von 2 Primzahlen.

Wenn n “ 6, ñ n “ 6 “ 3` 3, also Summe von 2 Primzahlen.

Allgemein: n` 2 ě 5 ebenfalls gerade und nach Euler: n` 2 “ p1` p2` p3 mit

Primzahlen pi.

Waren p1, p2, p3 ą 2, so waren alle drei Primzahlen ungerade und dann auch

ihre Summe.

ñOE p1 “ 2, ñn ` 2 “ 2 ` p2 ` p3 ñn “ p2 ` p3 ist Summe von 2

Primzahlen. �

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3.6. Primfaktorzerlegung.

Beispiele

‚ Bei sehr hohen Zahlen ist das sehr muhsehlig:

z.B. a “ 286.378.465

Finde PFZ, ist diese auch eindeutig?

In der Praxis heute ohne Rechnereinsatz kaum denkbar.

‚ Viererwelt:

V :“ t1, 4, 8, 12, 16, . . . , 4n, . . .u “ 4NY t1u

V ist abgeschlossen bzgl. Multiplikation

ñTeilbarkeitsuntersuchungen moglich:

Def: Fur a, b P V, a |4 b (a ist V -Teiler von b) genau dann, wenn

a ¨ q “ b fur ein q P V .

Dann

1 |4 32loomoon

1¨32“32

, 4 |4 32, 8 |4 32loooooooomoooooooon

4¨8“32

, 16��|4 32loomoon

16¨2“32, 2RV

, 32|432loomoon

32¨1“32

ñV´Primzahlen moglich zu definieren:

Def.: Eine Zahl p P V heißt V -Primzahl, wenn sie genau 2 V -Teiler

hat: 1 und p.

Dann:

TNp4q “ tp1, 4q, 2loomoon

RV

u TV p4q “ t1, 4u ñ V ´ PZ

TNp8q “ tp1, 8q, p 2, 4loomoon

RV

qu TV p8q “ t1, 8u ñ V ´ PZ

(da 4 ¨ 2 “ 8 und 2 R V ist 4 kein V -Teiler von 8)

TNp12q “ tp1, 12q, p 3, 4loomoon

RV

q, p 2, 6loomoon

RV

qu TV p12q “ t1, 12u ñ V ´ PZ

(da 4 ¨ 3 “ 12 ist 4 kein V -Teiler von 12)

TNp24q “ tp1, 24q, p2, 12q, p3, 8q, p4, 6qu TV p24q “ t1, 24u ñ V ´ PZ

ñPrimfaktorzerlegung in V :

Beispiel: a “ 96 eindeutige PFZ in V ??

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TNp96q “ tp1, 96q, p2, 48q, p3, 32q, p4, 24q, p6, 16q, p8, 12qu

TV p96q “ tp1, 96q, p4, 24q, p8, 12qu

ñ 96 “ 8 ¨ 12 “ 4 ¨ 24

Da 4, 8, 12, 24 V-Primzahlen, hat 96 also 2 Primfaktorzerlegungen !!??

Eindeutigkeit???

Satz 3.14 (Existenz). Jede naturliche Zahl a ‰ 1 besitzt eine Primfaktorzer-

legung (PFZ):

a “ p1 ¨ ¨ ¨ ps mit Primzahlen pi, i “ 1, . . . , s, s ě 1

Beweis:

Fall 1: a ist Primzahl ñ a “ a ist PFZ. X

Fall 2: a zusammengesetzte Zahl: sei p1|a der kleinste Teiler ‰ 1.

Satz 3.1 ñ p1 ist Primzahl.

Klar: 1 ă p1 ă a und p1 ¨ n1 “ a mit einem n1 P N, 1 ă n1 ă a.

Falls n1 PZ X

Falls n1 keine PZ: Sei p2|n1 kleinster Teiler ‰ 1

ñ p2 PZ und n1 “ p2 ¨ n2 mit n2 P N, 1 ă n2 ă n1.

ñ a “ p1 ¨ n1 “ p1 ¨ p2 ¨ n2, 1 ă n2 ă n1 ă a

Nun wieder n2 entweder Primzahl ě 2 (und damit waren wir fertig) oder

zusammengesetzt . . .

Algorithmus muß abbrechen (d.h. ns´1 ist Primzahl ě 2 fur ein s), denn es

gibt nur endlich viele naturliche Zahlen zwischen 1 und a.

Also a “ p1 ¨ p2 ¨ . . . ¨ ps´1 ¨ ns´1loomoon

PZ

Mit ns´1 “: ps ñ a “ p1 ¨ ¨ ¨ ps �

Satz 3.15 (Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie, Eindeutigkeit). Je-

de naturliche Zahl a ‰ 1 besitzt genau eine (bis auf die Reihenfolge (b.a.R.)

eindeutige) Primfaktorzerlegung.

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Beweis:

Annahme: Es gibt ein n P N mit 2 Primfaktorzerlegungen.

Sei n die kleinste naturliche Zahl mit dieser Eigenschaft (vgl. Wohlordnungs-

prinzip 1.1), dann gilt:

Alle naturlichen Zahlen kleiner n haben eine (b.a.R.) eindeutige PFZ . (2)

Sei p1 |n kleinster Teiler ‰ 1

Wie im Beweis von Satz 3.14 gibt es zu p1 eine PFZ:

n “ p1 ¨ p2 ¨ ¨ ¨ ps (3)

Nach Annahme gibt es noch eine weitere PFZ:

n “ q1 ¨ q2 ¨ ¨ ¨ qt (4)

Zwischenbehauptung: Die Mengen tp1, p2, p3, . . . , psu und tq1, . . . , qtu sind

disjunkt:

Ware z.B. pi P tq1, . . . , qtu, z.B. pi “ qr, dann

p1 ¨ p2 ¨ ¨ ¨_pi ¨ ¨ ¨ ps “

n

pi“q1 ¨ q2 ¨ ¨ ¨ qt

qr“ q1 ¨ q2 ¨ ¨ ¨

_qr ¨ ¨ ¨ qt

looooooooomooooooooon

hat eindeutige PFZ

ă n

ñ nach (2) mussten die beiden (außeren) PFZ’en ubereinstimmen ñ

tp1, p2, . . . ,_pi, . . . , psu “ tq1, q2, . . . ,

_qr, . . . , qtu (pi “ qr hinzufugen:)

ñ tp1, p2, p3, . . . , psu “ tq1, q2, . . . , qr, . . . , qtu

Widerspruch zur Annahme, daß die PFZ’en (3)‰(4).

ñZwischenbehauptung!

ñ insbesondere gilt: p1 R tq1, . . . , qtu.

Setze

n “ p1 ¨ p2 ¨ ¨ ¨ psloomoon

“:a

“ p1 ¨ a

n “ q1 ¨ q2 ¨ ¨ ¨ qtloomoon

“:b

“ q1 ¨ b (dabei gilt b ą 1, denn sonst ware n “ q1 PZ)

ñ z :“ n´ p1 ¨ b (ñ z ă n)

ñ z “ p1 ¨ a´ p1 ¨ b “ p1 ¨ pa´ bq ñ p1|z (*)

z “ q1 ¨ b´ p1 ¨ b “ pq1 ´ p1q ¨ b (**)

Da p1 ‰ q1 kleinster Teiler von n ñ p1 ă q1 ñ 1 ď q1´ p1 und es folgt:

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z “ pq1 ´ p1qlooomooon

ě1

¨ bloomoon

ą1

ą 1 ñ 1 ă z ă n

ñPFZ von z ist eindeutig!

(*) und (**) ñ p1 Teiler von z “ pq1 ´ p1q ¨ b “ pq1 ´ p1q ¨ q2 ¨ ¨ ¨ qt

Da p1 R tq1, . . . , qtu (nach der Zwischenbehauptung) ñ p1| pq1 ´ p1q

Da trivialerweise p1|p1ñ (mit Satz 2.5) p1| pq1 ´ p1q ` p1 “ q1 �

Bemerkung 3.16. (1) Warum funktioniert der Satz nicht in der Viererwelt V ?

In der letzten Zeile des Beweises, beim Widerspruch:

p1| pq1 ´ p1q ` p1 “ q1 wird die Summenregel aus Satz 2.5 benutzt:

a|b und a|c ñ a|b` c !

Diese Regel gilt nicht in V , denn z.B.:

4|44 und 4|44 aber 4��|4p4` 4q “ 8 “ 2 ¨ 4

(2) Die Primzahlen in einer Primfaktorzerlegung sind im Allgemeinen nicht

verschieden:

12 “ 2 ¨ 2 ¨ 3 “ 22¨ 3

Es ist ublich (wenn moglich), die Primzahlen der Große nach zu ordnen

und Potenzschreibweise zu benutzen:

23¨ 32

¨ 5 ¨ 112“ 42.560

ñ normierte Primfaktorzerlegung !

Schreibweise fur Primfaktorzerlegungen:

a “8ź

i“1

pnii

meint ein Produkt, das formal uber alle Primzahlen pi, mit

p1 ă p2 ă p3 ă ¨ ¨ ¨

lauft, beim dem aber nur endlich viele der naturlichen Zahlen ni ‰ 0 sind.

Damit handelt es sich also um ein endliches Produkt! z.B.:

12 “ 22¨ 3 “

8ź

i“1

pnii “ 22

¨ 31¨ 50

¨ 70¨ ¨ ¨ alle ni “ 0 fur i ě 3 V

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Oft schreibt man aber auch direkt:

a “sź

i“1

pnii

Ob als obere Grenze 8 oder s geschrieben wird, hangt vom Zusammenhang

ab. In beiden Fallen ist das Produkt aber immer endlich!

3.7. Folgerungen aus dem Hauptsatz.

Satz 3.17 (Teilbarkeitskriterium). Fur naturliche Zahlen a, b mit PFZ:

a “ś8

i“1 pnii und b “

ś8

i“1 pmii gilt:

a|b ô ni ď mi @ i P NBeweis:

”ñ ”:

Es gibt c P N mit a ¨ c “ b.

PFZ: c “ś8

i“1 pkii mit ki ě 0

ñ a ¨ c “8ź

i“1

pnii ¨

8ź

i“1

pkii “8ź

i“1

pni`kii

!“

8ź

i“1

pmii “ b

Aus der Eindeutigkeit der PFZ folgt die Gleichheit der Exponenten:

ni ďÒ

kiě0

ni ` ki “ mi @i X

”ð”

ni ď mi @i ô ki :“ mi ´ ni ě 0 @i

dabei sind nur endlich viele ki ‰ 0, weil das fur ni und mi gilt.

Sei c :“ś8

i“1 pkii

ñ a ¨ c “ b ñ a|b

�Korollar 3.18. Jeder Teiler a von b “

śsi“1 p

mii ist von der Form:

a “sź

i“1

pni1 mit 0 ď ni ď mi @i

Satz 3.19. Die Anzahl der Teiler der naturlichen Zahl a “ pm11 ¨ ¨ ¨ pms

s lautet:

#Ta “ pm1 ` 1q ¨ ¨ ¨ pms ` 1q

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Beispiel a “ 70 “ 2 ¨ 5 ¨ 7 muß nach Satz 3.19 2 ¨ 2 ¨ 2 “ 8 Teiler haben:

T70 “ t1, 2, 5, 7, 10Ò

2¨5

, 14Ò

2¨7

, 35Ò

5¨7

, 70Ò

2¨5¨7

u

a “ 108 “ 4 ¨ 27 “ 22 ¨ 33 ñ #T108 “ p2` 1q ¨ p3` 1q “ 12

T108 “ t1, 2, 3, 4, 6, 9loomoon

2 Faktoren

, 12, 18, 27looomooon

3 Faktoren

, 36, 54loomoon

4 Faktoren

, 108loomoon

5 Faktoren

u

Beweis:

Es gibt mi ` 1 Zahlen 0 ď ni ď mi. �

3.8. Hassediagramme verfeinert.

a “ pm Primzahlpotenz: Hassediagramm als vertikale Teilerkette:

‚ pm

‚ pm´1

‚ p2

‚ p1 “ p

‚ 1a “ pmqn Hassediagramm in Parallelogrammstruktur:

‚pmqn

‚pm

‚qn

‚p2

AAA ‚pq

ooooooooAAA ‚q2

kkkkkkkkkkk

‚p

BBB ‚q

mmmmmmmm

‚1

a “ pmqnru Hassediagramm in Kubusstruktur:

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‚pqr

mmmmmmmmmmmmmmm

EEEEEEEE

‚pr

AAAAAAAA ‚rq

mmmmmmmmmmmmmmmmm

‚p

AAAAAAAA‚r ‚q

mmmmmmmmmmmmmmmmm

‚1

Mit mehr als drei Primfaktoren geht es nicht mehr!!

3.9. Primzahlkriterium und das Lemma von Euklid.

Satz 3.20 (Primzahlkriterium). Eine naturliche Zahl p ą 1 ist genau dann

eine Primzahl, wenn fur alle a, b P N gilt:

Aus p | a ¨ b folgt p | a oder p | b (5)

Beweis:

PZ ”ñ ” (5): Sei p ą 1 Primzahl und es gelte p | a ¨ b

ñ p kommt in der PFZ von a ¨ b vor.

Wegen der Eindeutigkeit der PFZ kommt p in der PFZ von a oder b oder von

beiden vor.

ñ p | a oder p | b.

(5) ”ñ ” PZ: Es gelte (5) fur p, d.h. falls p | a ¨ b fur irgendwelche a, b P N,

so folgt: p | a oder p | b

z.Z.: p ist Primzahl

Ware p zusammengesetzte Zahl (nicht PZ) ñ p “ a ¨ b mit naturlichen Zahlen

1 ă a, b ă p

ñ p|a ¨ b(5)ñ p | a oder p | b Widerspruch zu a, b ă p �

Bemerkung 3.21. Das Primzahlkriterium gilt nicht in der Viererwelt V :

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Gegenbeispiel:

4 ist V -Primzahl

4|496 “ 8 ¨ 12loomoon

Zerlegung in V

aber 4��|4 8 und 4��|4 12

Die Implikation ”ñ ” vom Primzahlkriterium hat einen Namen:

Satz 3.22 (Lemma von Euklid).

p Primzahl und p | a ¨ b ñ p | a oder p | b

Bemerkung 3.23. Wir haben das Lemma von Euklid (bzw. das Primzahlkri-

terium) aus dem Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie gefolgert. Aber es

gilt sogar:

Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie ô Lemma von Euklid

4. Großter gemeinsamer Teiler (ggT ) und kleinstes

gemeinsames Vielfaches (kgV )

4.1. ggT und Teilermengen.

Einfuhrung des ggT uber Teilermengen:

Beispiel

T18 “ t1, 2, 3, 6, 9, 18u

T24 “ t1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24u

T18 X T24 “ t1, 2, 3, 6u “ tgemeinsame Teiler von 18 und 24u

!“ T6

Offenbar ist der Durchschnitt dieser Teilermengen wieder eine Teilermenge.

Gilt das auch fur die Vereinigung?

T18 Y T24 “ t1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24u

Das ist offenbar keine Teilermenge, da z. B. 18 ��| 24.

Wir werden im Folgenden sehen, daß das allgemein so gilt.

Definition 4.1. Fur zwei naturliche Zahlen a und b ist der

großte gemeinsame Teiler

ggT pa, bq

das Maximum der Schnittmenge Ta X Tb.

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Bemerkung 4.1. (1) Der Name großter gemeinsamer Teiler ist selbster-

klarend.

(2) Macht diese Definition Sinn?

Ja! Mit Ta und Tb ist auch die Schnittmenge Ta X Tb endlich.

Außerdem ist TaXTb ‰ H, da 1 P TaXTb. Nach dem Maximumsprinzip

(Satz 2.5) hat jede endliche, nichtleere Menge ein großtes Element. Es

gibt also immer einen ggT .

(3) Da 1 P Ta fur alle a P N, gilt:

Aus #Ta X Tb “ 1 ñ folgt Ta X Tb “ t1u

In diesem Fall: ggT pa, bq “ 1 und man sagt: a und b sind teilerfremd.

(4) Analog laßt sich der ggT von drei, vier oder mehr naturlichen Zahlen

definieren: a1, a2, . . . , as P N:

ggT pa1, a2, . . . , asq :“ großtes Element von Ta1 X Ta2 X ¨ ¨ ¨ X Tas

(5) Erweiterung des Begriffs auf die ganzen Zahlen:

Seien a, b P Z, pa, bq ‰ p0, 0q (nicht beide gleichzeitig gleich 0).

Sei ”d” die großte ganze Zahl mit d|a und d|b.

Dann heißt/ist d “ ggT pa, bq.

Klar: d P N, denn mit d | a auch ´d | a und maxp˘dq P N!

Klar: ggT pa, bq “ ggT p|a|, |b|q

Insbesondere: ggT ě 1.

Satz 4.2. Fur alle a, b P N gilt:

(1) ggT p1, aq “ 1

(2) Aus a|b folgt ggT pa, bq “ a

Wie findet man den ggT?

Bei nicht zu großen Zahlen (in der Schule) z.B. mittels Venn-Diagrammen:

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T12 T161

2

4

12

6

3

8

16

ñ ggT p12, 16q “ 4

ggT in Schulbuchern: Hier Aufgabe aus [XQuadrat (5), p.219]:

Miriam besucht ihren Onkel, der ist Fliesenleger. Der muß einen großen recht-

eckigen Saal der Große 252 dmˆ98 dm mit quadratischen Fliesen einer Große

auslegen. Zur Wahl stehen die Fliesengroßen

15ˆ 15 cm2

25ˆ 25 cm2

35ˆ 35 cm2

40ˆ 40 cm2

Miriam hilft ihrem Onkel bei der Wahl, weil sie gut rechnen kann.

Dazu gibt es keine weitere Anleitung. Sie als Lehrer mussen sich selber aus-

denken, was Sie daraus machen. Was wurden Sie machen?

Wie bestimmt man den ggT?

Hilfe: Primfaktorzerlegung:

Beispiel:

a “ 120 “ 2 ¨ 60 “ 22¨ 30 “ 23

¨ 15 “ 23¨ 3 ¨ 5

b “ 3500 “ 35 ¨ 100 “ 3 ¨ 7 ¨ 102“ 22

¨ 53¨ 7

ñ ggT pa, bq “ 22¨ 5 “ 20

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a=120b=350022

2 35

55

7

ñ ggT pa, bq “ 2¨2¨5

Satz 4.3. Fur naturliche Zahlen a und b mit Primfaktorzerlegungen

a “8ź

i“1

pmii b “

8ź

i“1

pnii mit mi, ni P N

ist der großte gemeinsame Teiler:

ggT pa, bq “8ź

i“1

pminpmi,niq

i

wobei minpmi, niq das Minimum der Zahlen mi, ni bezeichnet.

Beweis:

Sei d :“ś8

i“1 pminpmi,niq

i

Weil

$

&

%

minpmi, niq ď mi

minpmi, niq ď ni

Satz 3.17ñ

(Teilbarkeitskriterium)

$

&

%

d | a

d | b

ñ d P Ta X Tb ist also gemeinsamer Teiler von a und b.

Andererseits: fur c P Ta X Tb, c “ś8

i“1 pkii gilt umgekehrt:

ki ď mi und ki ď ni

ñ ki ď minpmi, niq fur alle i

ñ c | d ñ c ď d ñ d ist großter gemeinsamer Teiler. �Folgerung: Fur alle a, b, n P N gilt:

ggT pn ¨ a, n ¨ bq “ n ¨ ggT pa, bq

Spezialfall: Falls a|b ñ ggT pa, bq “ a. (vgl. Satz 4.12)

Beweis:

Sei a “ś8

i“1 pmii , b “

ś8

i“1 pnii und n “

ś8

i“1 pkii .

Dann gilt n ¨ a “ś8

i“1 pki`m1i , n ¨ b “

ś8

i“1 pki`n1i .

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Weil minpki `mi, ki ` niq “ ki `minpmi, niq folgt:

ggT pn ¨ a, n ¨ bq “8ź

i“1

pminpki`mi,ki`miq

i “

8ź

i“1

pki`minpmi,niq

i

“

8ź

i“1

pkii ¨8ź

i“1

pminpmi,niq

i “ n ¨ ggT pa, bq

�

4.2. Euklidischer Algorithmus.

Satz 4.4 (Teilen mit Rest). Fur naturliche Zahlen a, b, b ‰ 0 gibt es eindeutig

bestimmte Zahlen q, r P N0, so daß

a “ q ¨ b` r mit 0 ď r ă b

Beispiele:

(1) Sie brauchen mehrere Kabelstucke der gleichen Lange (z.B. b “ 3). Da-

zu kaufen Sie eine Kabelrolle mit a “ 20 m Kabel. Wieviele Kabelstucke

bekommen Sie daraus und wie lang ist der Rest?

20Ò

a

“ 6Ò

q

¨ 3Ò

b

` 2Ò

r

(2) Rad abrollenUmfang b

b b b rb

Wieviele ganze Umdrehungen passen auf eine Strecke der Lange a, wie

groß ist das Reststuck r?

Beweis:

V :“ ts ¨ b | s ¨ b ď a , s P N0u “ tn P N0 | n ď a , b |nu

sei die Menge aller Vielfachen von b kleiner gleich a.

0 P V ñ V ‰ H

Klar: #V ď a` 1 ă 8 da V Ă t0, 1, 2, . . . , au

(im Fall b “ 1ñV “ t0, 1, 2, . . . , au)

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Sei q ¨ b P V das großte Element.

ñ q ¨ b ď a ă pq ` 1q ¨ b

ñ 0 “ q ¨ b´ q ¨ b ď a´ q ¨ blooomooon

“:r

ă pq ` 1q ¨ b´ q ¨ b “ b

ñ 0 ď r ă b

und a “ q ¨ b` r

Damit ist die Existenz von q und r nachgewiesen.

Eindeutigkeit:

Angenommen es gibt ein zweites solches Paar pq1, r1q

ñ a “ q ¨ b` r “ q1 ¨ b` r1

Falls r “ r1: ñ q ¨ b “ q1 ¨ b ñ q “ q1 (da b ‰ 0)

Falls r ‰ r1: OE r ă r1

ñ

0 ă r1 ´ r ď r1 ă b

0 ă pa´ q1bq ´ pa´ qbq ă b

0 ă qb´ q1b “ pq ´ q1qb ă b

0 ă q ´ q1 und q ´ q1 ă 1

denn q ´ q1 ist eine ganze Zahl! �

Teilen mit Rest gilt auch fur negative Zahlen a:

Korollar 4.5. Fur ganze Zahlen a P Z und b ě 1 gibt es eindeutig bestimmte

Zahlen q, r P Z, so daß

a “ q ¨ b` r mit 0 ď r ă b

Beweis:

Es reicht, den Fall a ă 0 zu betrachten: Fur ´a “ |a| ą 0 gilt nach Satz 4.4:

´a “ q1 ¨ b` r1 mit eindeutigen 0 ď r1 ă b und q1 P N.

Wenn r1 “ 0, dann

a “ ´q1 ¨ b “ p´q1qloomoon

“:q

¨ b` 0loomoon

“:r

X

Sonst gilt

a “ ´q1 ¨ b´ r1 “ ´q1 ¨ b´ b` b´ r1 “ p´q1 ´ 1qloooomoooon

“:q

¨ b` pb´ r1qloomoon

“:r

Klar, wegen 0 ď r1 ă b ô 0 ă b´ r1 “ r ă b �

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Der Satz liefert eine Methode, den ggT und alle anderen gemeinsamen Teiler

ohne PFZ zu finden:

Beispiel: a “ 564, b “ 80

Division mit Rest: 564 “ 7 ¨ 80` 4

Sei t P T564 X T80 ein beliebiger Teiler

ñ t|564 und t|80 ñ t| p564´ 7 ¨ 80q “ 4

ñ t|4 ô t P T4 ñ t P T80 X T4

ñ T564 X T80 Ď T80 X T4 “Ò

da T4ĎT80

T4 “ t1, 2, 4u (*)

Die Mengen sind sogar gleich:

s P T80 X T4 “ T4

aus 564 “ 7 ¨ 80` 4 ñ s|564

ñ T80 X T4 Ď T564

klar T80 X T4 Ď T80

ñ T80 X T4 Ď T564 X T80

aus (*) ñ T564 X T80 “ T80 X T4 “ T4 “ t1, 2, 4u

ñ ggT p564, 80q “ 4

Satz 4.6. Seien a, b P N und a “ q ¨ b` r mit q, r P N und 0 ď r ă b. Dann

gilt

Ta X Tb “ Tb X Tr

Beweis:

”Ď” Sei t P Ta X Tb

Aus aÒ

t | a

´ q ¨ bÒ

t |b

“ r ñ t | r ñ t P Tb X Tr

”Ě” Sei s P Tb X Tr

Aus a “ q ¨ bÒ

s |b

` rÒ

s | r

ñ s | a ñ s P Ta X Tb �

Folgerung fur den ggT :

Korollar 4.7. Fur naturliche Zahlen a, b mit a “ q ¨ b` r, 0 ď r ă b gilt:

ggT pa, bq “ ggT pb, rq “ ggT pb, a´ q ¨ bq

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Beispiel:

ggT p582, 72q “ ggT p72, 6q NR: 582 “ 8 ¨ 72` 6

“ 6 72 “ 12 ¨ 6 ñ 6|72

Satz 4.8 (Euklidischer Algorithmus). Seien a, b P N mit a ą b. Induktiv

werde die Division mit Rest durchgefuhrt:

Schritt 1 a “ q1¨ brreeeeeeeeeeee ` r1

vvnnnnnn mit 0 ď r1 ă b

Schritt 2 b “ q2¨ r1rreeeeeeeeeee ` r2

vvnnnnnn mit 0 ď r2 ă r1

Schritt 3 r1 “ q3¨ r2 ` r3 mit 0 ď r3 ă r2

...

Schritt k rk´2 “ qk¨ rk´1 ` rk mit 0 ď rk ă rk´1

...

Es gibt einen kleinsten Rest ‰ 0: rn :“ mintr1, r2, . . .u, d.h.:

rn´2 “ qn¨ rn´1

ssggggggggggggggggggg ` rn

vvnnnnnnnnnnn 0 ď rn ă rn´1

rn´1 “ qn`1¨ rn ` 0

Der Algorithmus bricht also am Schritt n` 1 ab prn`1 “ 0q. Insbesondere gilt:

Ta X Tb “ Trn und ggT pa, bq “ rn

Beweis:

Aus Satz 4.4 (Teilen mit Rest) folgt: r1 ą r2 ą r3 ą ¨ ¨ ¨ ě 0.

Darum muß irgendwann 0 erreicht werden, sei rn ‰ 0 und rn`1 “ 0:

rn´1 “ qn`1 ¨ rn ` rn`1Ò

“0

ñ Ta X TbSatz 4.6“ Tb X Tr1 (a “ q1b` r1)

“ Tr1 X Tr2 (b “ q2r1 ` r2)

...

“ Trn X Trn`1loomoon

“T0“N

“ Trn

ñ ggT pa, bq “ maxpTrnq “ rn

�

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Beispiele

1) a “ 1008 und b “ 840

1008 “ 1 ¨ 840` 168 (r1 “ 168)

840 “ 5 ¨ 168` 0 (r2 “ 0)

ggT p1008, 840q “ 168

2) a “ 2940 und b “ 1617

2940 “ 1 ¨ 1617` 1323 (r1 “ 1323)

1617 “ 1 ¨ 1323` 294 (r2 “ 294)

1323 “ 4 ¨ 294` 147 (r3 “ 147)

294 “ 2 ¨ 147 (ñ r4 “ 0)

ñ ggT p 2940loomoon

20¨147

, 1617loomoon

11¨147

q “ 147

Nun werden auch die Teilermengen-Beziehungen klarer:

Korollar 4.9. Fur naturliche Zahlen a, b gilt: Ta X Tb “ TggT pa,bq

Beweis:

Konsequenz aus dem Euklidischen Algorithmus:

Ta X Tb “ Trn`1 “Ò

ggT pa,bq“rn`1

TggT pa,bq

�

Fur Schuler:

Korollar 4.10. Jeder Teiler von a und b ist auch Teiler von ggT pa, bq.

ggT von mehr als zwei Zahlen:

Korollar 4.11. Fur a, b, c P N gilt:

ggT pa, b, cq “ ggT p ggT pa, bq, cq Versionvom

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Beweis:

Sei t Teiler von a, b und c :

t | a

t | b

)

ñ t|ggT pa, bq

t | c

+

ñ t | ggT pggT pa, bq, cq

�

Beispiel

ggT p3792, 5640, 5274q “ ¨ ¨ ¨ “ ggT p24, 5274q “ ¨ ¨ ¨ “ 6

NR mit TR:

5640 “ 1 ¨ 3792 ` 1848

3792 “ 2 ¨ 1848 ` 96

1848 “ 19 ¨ 96 ` 24

96 “ 4 ¨ 24 ` 0

,

/

/

/

/

.

/

/

/

/

-

ñ ggT p3792, 5640q “ 24

5274 “ 219 ¨ 24 ` 18

24 “ 1 ¨ 18 ` 6

18 “ 3 ¨ 6 ` 0

,

/

.

/

-

ñ ggT p5274, 24q “ 6

4.3. Vielfache des ggT und Linearkombinationen.

Ziel: Den ggT als Linearkombination darstellen, zum Beispiel:

ggT p24, 16q “ 8 “ 1 ¨ 24´ 1 ¨ 16

ggT p48, 9q “ 3 “ 1 ¨ 48´ 5 ¨ 9

ggT p2940, 1617q “ 147 “????

Satz 4.12. Fur a, b P N gibt es ganze Zahlen x und y mit:

ggT pa, bq “ x ¨ a` y ¨ b Versionvom

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Beweis:

Benutze den Euklidischen Algorithmus: falls a ą b:

a “ q1 ¨ b` r1 ñ r1 “ a´ qi ¨ b

b “ q2 ¨ r1 ` r2 ñ r2 “ b´ q2 ¨ r1 “ b´ q2pa´ q1 ¨ bq “ ´q2 ¨ a` pq1q2 ` 1qb

r1 “ q3 ¨ r2 ` r3 ñ r3 “ r1Ò

LK von a,b

´ q3 ¨ r2Ò

ñ LK von a,blooooooooooooooomooooooooooooooon

LK von a,b

rn´2 “ qn ¨ rn´1 ` rn ñ rnÒ

ggT

“ rn´2Ò

LK von a,b

´ qn ¨ rn´1Ò

ñ LK von a,blooooooooooooooomooooooooooooooon

LK von a,b

�

Bemerkung 4.13. (1) Satz 4.12 ist eine reine Existenzaussage bzgl. x und

y, so daß ggT pa, bq “ xa ` yb. Diese Z-Linearkombination ist nicht

eindeutig:

z.B.: ggT p3, 6q “ 3 “ p´1q ¨ 3` 1 ¨ 6 “ p´3q ¨ 3` 2 ¨ 6

Klar: a ¨ x ` b ¨ y “ ggT pa, bqlooomooon

c

ist eine affine Geradengleichung: je-

der Schnittpunkt dieser Geraden mit dem Gitter Z2 ergibt eine Z-

Linearkombination.

(2) Den Satz kann man auf mehr als zwei Zahlen erweitern.

(3) Der Beweis des Satzes ist konstruktiv:

Beispiel: (vgl. Beispiel oben)

ggT p2940, 1617q “ 147 “ 5 ¨ 2940´ 9 ¨ 1617

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p1q 2940 “ 1 ¨ 1617` 1323

p2q 1617 “ 1 ¨ 1323` 294

p3q 1323 “ 4 ¨ 294` 147

p4q 294 “ 2 ¨ 147

ñ 147 “ 1323´ 4 ¨ 294 (mit (3))

“ 1323´ 4 ¨ p1617´ 1323q “ 5 ¨ 1323´ 4 ¨ 1617 (mit (2))

“ 5 ¨ p2940´ 1617q ´ 4 ¨ 1617 (mit (1))

“ 5 ¨ 2940´ 9 ¨ 1617TR“

Probe147

Sei ggT pa, bq “ x ¨ a` y ¨ b mit a, b P N, x, y P ZDann gilt fur alle z P Z: z ¨ ggT pa, bq “ z ¨ x ¨ a` z ¨ y ¨ b

D.h. alle Vielfachen von ggT pa, bq sind auch Z-Linearkombinationen von a und

b. Das gilt auch umgekehrt:

Satz 4.14. Jede ganzzahlige Linearkombination von a und b (a, b P N) ist ein

Z-Vielfaches von ggT pa, bq, d.h. fur alle x, y P Z gibt es ein z P Z, so daß

x ¨ a` y ¨ b “ z ¨ ggT pa, bq

Beweis:

Betrachte x ¨ a` y ¨ b mit x, y P Z beliebig.

Aus ggT pa, bq | a und ggT pa, bq | b ñ ggT pa, bq |x ¨ a` y ¨ b. ñBeh.

�Satz 4.15. Fur alle naturlichen Zahlen a, b gibt es ganze Zahlen x, y, so daß

ggT pa, bq “ x ¨ a` y ¨ b

Hierbei ist ggT pa, bq die kleinste naturliche Zahl, die sich als Z-

Linearkombination von a und b darstellen laßt. Eine ganze Zahl c ist

genau dann Z-Linearkombination von a und b, wenn c Vielfaches{Z von

ggT pa, bq ist.

Beispiel:

ggT p3792, 5640q “ 24

ñ es gibt x, y P Z mit x ¨ 3792` y ¨ 5640 “ 24

Aber

x ¨ 3792` y ¨ 5640 “ 25oder 26 oder 27...

ist uber Z nicht losbar.

Spezialfall: a und b sind teilerfremd:

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Satz 4.16. Aus teilerfremden naturlichen Zahlen a und b (also ggT pa, bq “ 1)

laßt sich jede ganze Zahl linearkombinieren, d.h. fur alle z P Z gibt es x, y P Zmit

x ¨ a` y ¨ b “ z

Beispiel:

ggT p5, 3q “ 1 und 2 ¨ 5´ 3 ¨ 3 “ 1

fur z P Z beliebig: p2zq ¨ 5´ p3zq ¨ 3 “ z !!

4.4. Lineare Diophantische Gleichungen.

(Diophant von Alexandria, ca 250 n. Chr.)

Beispiel:

Eine Firma will fur 1000e zwei Sorten von Werbegeschenken kaufen:

Sorte 1: 13,00e pro Stk.

Sorte 2: 19,00e pro Stk.

Wieviele Geschenke konnen damit von jeder Sorte gekauft werden?

Definition 4.2. Eine Gleichung ax ` by “ c mit a, b P N und c P Z heißt

lineare Diophantische Gleichung mit zwei Variablen, falls man als Losungen

nur Elemente px, yq P Zˆ Z zulaßt.

Allgemeiner: Eine Diophantische Gleichung ist eine Gleichung der Form:

F px1, . . . , xnq “ 0 (6)

mit einem Polynom F P Zrx1, . . . , xns und der Frage der Losbarkeit von (6)

uber Z.

Umformulierung von Satz 4.15 :

Satz 4.17. Die lineare diophantische Gleichung ax` by “ c ist genau dann

losbar, wenn ggT pa, bq | c.

Beispiel

Wegen ggT p13, 19q “ 1 ñ x ¨ 13` y ¨ 19 “ 1000 ist losbar uber Z!!

Mit Euklidischem Algorithmus:

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19 “ 1 ¨ 13` 6 ô 6 “ 19´ 1 ¨ 13

13 “ 2 ¨ 6` 1 ô 1 “ 13´ 2 ¨ 6

6 “ 1 ¨ 6 “ 13´ 2p19´ 13q “ 3 ¨ 13´2 ¨ 19

Also px, yq “ p3,´2q ist Losung von 13x` 19y “ 1.

ñp3000,´2000q ist Losung von 13x` 19y “ 1000

ñLosung unbrauchbar - weil eine Zahl negativ!!!

Gibt es Losungen uber N???

Wie finden wir Losungen uber N???

Ein bischen Geometrie:

13x` 19y “ 1000 Geradengleichung!!

Notwendige Vorraussetzung fur Losungen uber N: Gerade muß durch den

ersten Quadranten laufen.

Dazu: wie/wo liegt diese Gerade: Realschule 8te Klasse: Geraden y “ mx`t

Hier:

y “ ´13

19¨ x`

1000

19, t “

1000

19« 52, 63

m “ ´13

19ñ fallend

Nullstelle: y “ 0 ñ 13x` 19 ¨ 0 “ 1000

x “1000

13« 76, 92

Wenn es eine Losung px, yq P Nˆ N gibt, dann:

0 ď x ď 76, 0 ď y ď 52

Losungen z.B. empirisch mit Geogebra suchen:

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74 ¨ 13` 2 ¨ 19 “ 1000 ñp74, 2q

55 ¨ 13` 15 ¨ 19 “ 1000 ñp55, 15q

36 ¨ 13` 28 ¨ 19 “ 1000 ñp36, 28q

Aus einer Losung auf alle Losungen schließen:

Satz 4.18. Sei px0, y0q P Z ˆ Z eine Losung der diophantischen Gleichung

ax`by “ c mit teilerfremden naturlichen Zahlen a und b, dann ist jede weitere

Losung von der Form:

px0 ` t ¨ b, y0 ´ t ¨ aq mit t P ZBemerkung:

Was, wenn a, b nicht teilerfremd sind?

Also sei ggT pa, bq ‰ 1!

Wenn ax` by “ c eine Losung{Z hat, dann4.17ñ ggT pa, bq | c.

ñ a1 :“ aggT pa,bq

, b1 :“ bggT pa,bq

, c1 :“ cggT pa,bq

P Z

ñ ax ` by “ c ist aquivalent zu a1x ` b1y “ c1 (hat damit die gleichen

Losungen) und das ist eine lineare diophantische Gleichung mit a1, b1 teiler-

fremd,

ñ mit einer Losung px0, y0q sind alle weiteren Losungen:

px0 ` t ¨ b1 , y0 ´ t ¨ a

1q

Beweis:

Geometrisch:

ax`by “ c ist eine Gerade G und´

x0y0

¯

P Z2 ein Punkt auf G:ñ´

x0y0

¯

P GXZ2

Analytische Geometrie:

Parallele Gerade durch Null: 0 “ ax` by “´

ab

¯

¨

´

xy

¯

´

x0y0

¯

ist Punkt auf G: ax0 ` by0 “ c “´

ab

¯

¨

´

x0y0

¯

Geradengleichung von G:´

ab

¯

¨

´

xy

¯

“ c “´

ab

¯

¨

´

x0y0

¯

ô

´

ab

¯

¨

”´

xy

¯

´

´

x0y0

¯ı

“ 0

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ñG ist die affine Gerade (orthogonal) K zu´

ab

¯

looooomooooon

R¨ˆ

bá

˙

und durch den Punkt´

x0y0

¯

Beweis:

!

R´

bá

¯

`

´

x0y0

¯)

X Zˆ Z “!

Z ¨´

bá

¯

`

´

x0y0

¯)

(da a, b, x0, y0 P Z)

“

!´

t¨b`x0´tä`y0

¯ˇ

ˇ

ˇt P Z

)

Algebraischer Beweis:

1) Z.z.: px0 ` tb, y0 ´ taq ist fur alle t P R eine Losung!

Uberprufen durch Einsetzen:

apx0 ` tbq ` bpy0 ´ taq “ ax0 ` by0loooomoooon

“c

` tpab´ baqloooomoooon

“0

“ c

2) Z.z.: Es gibt keine weitere Losungen ô alle Losungen sind von der vorge-

gebenen Form:

Sei also px1, y1q eine weitere Losung

ñ ax1 ` by1 “ c

Weiterhin gilt aber: ax0 ` by0 “ c

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Subtraktion:

apx1 ´ x0q ` bpy1 ´ y0q “ 0

apx1 ´ x0q “ bpy0 ´ y1q (*)

ggT pa, bq “ 1 ñ a |py0 ´ y1q ñ a ¨ t “ y0 ´ y1

ñ y1 “ y0 ´ at

aus (*) folgt außerdem: apx1 ´ x0q “ b ¨ a ¨ t | ¨ 1a

ô x1 ´ x0 “ b ¨ t

ô x1 “ x0 ` b ¨ t

�

Zuruck zum Werbegeschenk-Beispiel:

Wir hatten die unbrauchbare Losung:

p3000,´2000q “ px0, y0q von 13x` 19y “ 1000

Jede Losung ist von der Form:

p3000` t ¨ 19,´2000´ t ¨ 13q, t P Z

Damit x, y ě 0 muß gelten:

0 ď 3000` t ¨ 19 ô ´3000 ď 19 ¨ t ô ´300019

loomoon

«´157,89

ď t ô ´157 ď t

0 ď ´2000´ t ¨ 13 ô 13 ¨ t ď ´2000 ô t ď ´200013

loomoon

«´153,85

ô t ď ´154

ñ ´157 ď t ď ´154 ñ t “ ´157, ´156, ´155, ´154

t “ ´157 ñp3000´ 157 ¨ 19,´2000` 157 ¨ 13q “ p17, 41q

t “ ´156 ñp3000´ 156 ¨ 19,´2000` 156 ¨ 13q “ p36, 28q

t “ ´155 ñp3000´ 155 ¨ 19,´2000` 155 ¨ 13q “ p55, 15q

t “ ´154 ñp3000´ 154 ¨ 19,´2000` 154 ¨ 13q “ p74, 2q

Nun wissen wir, daß das alle Losungen sind.

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4.5. kgV und Vielfachenmengen.

Definition 4.3. Fur a P Nzt0u ist die Vielfachenmenge von a die Menge:

Va “

x P Nzt0uˇ

ˇ a |x(

Beispiel:

V1 “ t1, 2, 3, . . .u “ N

V2 “ t2, 4, 6, . . .u “ 2N (Menge der Geraden Zahlen)

V3 “ t3, 6, 9, . . .u (Vielfache von 3)

Bemerkung

Vielfachenmengen haben stets 8-viele Elemente:

#Va “ 8

Dagegen sind die Teilermengen Ta stets endlich.

Beispiele

V2 “ t2, 4, 6, 8, 10, 12, . . .u V3 “ t3, 6, 9, 12, . . .u

ñ V2 X V3 “ t6, 12, 18, . . .ulooooooomooooooon

gemeinsame Vielfache von 2 und 3

Definition 4.4. Fur a, b P N heißen die Elemente der Schnittmenge

Va X Vb “

x P Nzt0uˇ

ˇ a |x und b |x(

gemeinsame Vielfache von a und b. Das kleinste Element von Va X Vb heißt

kleinstes gemeinsames Vielfaches: kgV pa, bq.

Bemerkungen

(1) Zu a und b P N gibt es immer gemeinsame Vielfache, d.h. VaXVb ‰ H,

denn

a ¨ b P Va X Vb ñ Va¨b Ď Va X Vb (7)

Es gibt also sogar 8-viele gemeinsame Vielfache.

(2) Folgerung (7) folgt aus:

Aus v P Va X Vb folgt Vv Ď Va X Vb

Denn: wenn v P Va X Vb, gilt 1): a | v und b | v, und 2) gilt fur x P Vv,

daß v |x. Transitivitat der Teilerrelation impliziert, daß auch: a |x und

b |x. Damit x P Va X Vb �

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(3) Verallgemeinerung auf drei oder mehr Zahlen: fur a, b, c, . . . P N gilt:

kgV pa, b, c, . . .q “ min`

Va X Vb X Vc X . . .˘

Bsp.:

a “ 6, b “ 8, c “ 15

V6 “ t6, 12, 18, 24, 30, . . .u

V8 “ t8, 16, 24, 32, . . .u

V15 “ t15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120Ò Ò6 8

, . . .u (120 “ 6 ¨ 20 “ 8 ¨ 15)

kgV p6, 8q “ 24 und kgV p6, 8, 15q “ 120

(4) Verwendung von Venndiagrammen:

V3V2

9

26 3

12

18 15

48

..... ..... .....

ñ V2 X V3 “ V6

V6

V22

6 1218

48

1016

14

.....

.....

ñ V6 Ă V2

Satz 4.19. Fur a, b P N gilt

Va X Vb “ VkgV pa,bq

Beweis:

Sei k :“ kgV pa, bq.

”Ě”: (Folgt auch aus Bemerkung (2)! Hier noch einmal der Vollstandigkeit

halber.)

Sei y P Vk z.z.: y P Va X Vb

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ñ k | y, aber weil k “ kgV pa, bq, gilt auch a | k und b | k

Transitivitat der Teilerrelation ñ a | y und b | y also y P Va X Vb

”Ď”:

Es gilt a | k und b | k. (*)

Sei x P Va X Vb, also ein gemeinsames Vielfaches von a und b.

Klar, dann ist x ě k “ kgV pa, bq.

Division mit Rest: Es gibt eindeutig bestimmte Zahlen q, r P N, 0 ď r ă k:

x “ q ¨ k ` r

Aus x P Va X Vb ñ a |x und b |x

Mit (*) ñ a |x´ qk “ r und b |x´ qk “ r

ñ r P Va X Vb ñ r ist ein gemeinsames Vielfaches von a und b.

Aber

r ă k “ kgV pa, bq ñ r “ 0

ñ x “ q ¨ k ñ x P VkgV pa,bq

�

Der kgV kann mit Hilfe der Primfaktorzerlegung gefunden werden:

Beispiel: kgV p120, 315q “?

120 “ 10 ¨ 12 “ 2 ¨ 5 ¨ 4 ¨ 3 “ 23¨ 3 ¨ 5

315 “ 5 ¨ 63 “ 5 ¨ 3 ¨ 21 “ 5 ¨ 3 ¨ 3 ¨ 7 “ 32¨ 5 ¨ 7

ñ kgV “ 23¨ 32

¨ 5 ¨ 7 “ 2520

Satz 4.20.

(1) Fur a “ś8

i“1 pmii und b “

ś8

i“1 pnii gilt:

kgV pa, bq “8ź

i“1

pmaxpmi.niq

i

(2) Fur a, b, n P N gilt: kgV pn ¨ a, n ¨ bq “ n ¨ kgV pa, bq.

Beweis:

(1) Sei k “ś8

i“1 pkii ein gemeinsames Vielfaches von a und b. Da dann a und

b jeweils Teiler von k sind, folgt nach Satz 3.17:

mi ď ki und ni ď ki .

Die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft ist offensichtlichś8

i“1 pmaxpmi,niq

i .

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(2) Œ: n “ pj eine Primzahl, dann

pj ¨ a “ pmj`1j ¨

8ź

i“1i‰j

pmii und pj ¨ b “ p

nj`1j ¨

8ź

i“1i‰j

pnii

Da aber maxpmj ` 1, nj ` 1q “ maxpmj, njq ` 1 folgt

kgV ppj ¨ a, pj ¨ bq “ pmaxpmj`1,nj`1qj ¨

8ź

i“1i‰j

pmaxpmi.niq

i “ pj ¨8ź

i“1

pmaxpmi,niq

i

� �

Beispiel:

kgV p 120||

10¨12

, 315||

5¨63

q “ 5 ¨ kgV p2 ¨ 12, 63q “ 5 ¨ kgV p2 ¨ 3 ¨ 4, 3 ¨ 21q

“ 3 ¨ 5 ¨ kgV p2 ¨ 4, 3 ¨ 7Ò Ò

teilerfremd

q

“ 3 ¨ 5 ¨ 2 ¨ 4 ¨ 3 ¨ 7 “ 23¨ 32

¨ 5 ¨ 7 “ 2520

Beispiel zum Zusammenhang von kgV und ggT :

Sei a “ 4 und b “ 12 ñ 4 | 12

ñggT p4, 12q “ 4

kgV p4, 12q “ 12

+

ñ ggT ¨ kgV “ 4 ¨ 12 “ a ¨ b

Allgemeiner:

a | b ñggT pa, bq “ a

kgV pa, bq “ b

)

ñ ggT pa, bq ¨ kgV pa, bq “ a ¨ b

Noch allgemeiner gilt:

Satz 4.21. Fur a, b P N gilt: ggT pa, bq ¨ kgV pa, bq “ a ¨ b. Versionvom

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Beweis:

Sei a “ś8

i“1 pmii und b “

ś8

i“1 pnii

ggT pa, bq “8ź

i“1

pminpmi,niq

i

kgV pa, bq “8ź

i“1

pmaxpmi,niq

i

sicher gilt: minpmi, niq `maxpmi, niq “ mi ` ni

ñ ggT pa, bq ¨ kgV pa, bq “8ź

i“1

pmin`maxi “

8ź

i“1

pmi`nii “ a ¨ b

�

Korollar 4.22. Fur teilerfremde a, b P N gilt: kgV pa, bq “ a ¨ b

Bemerkung 4.23. Mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus’ kann man den

ggT bestimmen. Zusammen mit Satz 4.21 so auch das kgV :

kgV pa, bq “a ¨ b

ggT pa, bq

Hassediagramm eignen sich zur Bestimmung/Darstellung von ggT und kgV :

Beispiele:

a) T225 “

#

1, 3, 5, 9, 15

225, 75, 45, 25, ��15

+

1

3 5

159

45

25

75

225 ggT p45, 75q “ 15

T45 X T75 “ t1, 3, 5, 15u

kgV p45, 75q “ 225

ggT p25, 45, 75q “ 5

T25 X T45 X T75 “ t5, 1u

b) a “ 18, b “ 24 gesucht ggT und kgV :

1

3 2

69

18

4

12

36

8

24

72kgV(18,24)

ggT(18,24)

T18 “ t1, 2, 3, 6, 9, 18u

und

T24 “ t1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24u

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5. Kongruenzen und Restklassen

5.1. Die Kongruenzrelation mod m.

Verschiedene Zugange:

(1) (Division mit Rest) Bei der Division mit Rest (z.B. durch 6) konnen 2

Falle auftreten: gleiche oder ungleiche Reste:

33 “ 5 ¨ 6` 3

21 “ 3 ¨ 6` 3

+

ñ Rest 3 ñ

#

33 ” 3 mod 6

21 ” 3 mod 6

´40 “ ´7 ¨ 6` 2

´16 “ ´3 ¨ 6` 2

14 “ 2 ¨ 6` 2

,

/

.

/

-

ñ Rest 2 ñ

$

’

&

’

%

´40 ” 2 mod 6

´16 ” 2 mod 6

14 ” 2 mod 6

ñ 33 ” 21 mod 6 und ´ 40”16 ” 14 mod 6

oder ungleiche Reste:

34 “ 5 ¨ 6` 4 ´41 “ ´7 ¨ 6` 1

27 “ 4 ¨ 6` 3 ´16 “ ´3 ¨ 6` 2

+

ñ verschiedene Reste

ñ 34 ı 27 und ´ 41 ı ´16 mod 6

(2) Unterschied?

21` 2 ¨ 6 “ 33

21 und 33 unterscheiden sich also um ein Vielfaches von 6:

ñ 21 ” 33 mod 6

Analog, aus: ´ 16` 4 ¨ 6 “ 8

folgt ´ 16 ” 8 mod 6

(3) Differenz:

33´ 21 “ 12 “ 2 ¨ 6 ñ

#

33 ” 21 mod 2

33 ” 21 mod 6

´40´ p´16q “ 16´ 40 “ ´24 “ ´4 ¨ 6 ñ

#

´40 ” ´16 mod 4

´40 ” ´16 mod 6

Vergleich der Zugange: am Beispiel ´40 “ ´7 ¨ 6` 2

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(1) Betonung auf Division mit Rest (Euklidischem Algorithmus), insbeson-

dere Betonung auf den Rest: gleiche oder ungleiche Reste, Frage nach:

Was ist der Rest:

´40 “ ˚ ¨ 6`? ô ´40 ”? mod 6

(2) Zahlen sind kongruent mod 6, wenn sie sich um eine ganzzahliges

Vielfaches von 6 unterscheiden. Aufgabe: Finde viele Zahlen, die zu

´40 kongruent sind:

´40, ´40` 6 “ ´34, ´40` 2 ¨ 6 “ ´28, . . .

Also die Fragestellung:

? “ ˚ ¨ 6` 2 ô ? ” 2 mod 6

(3) Betonung auf die Differenz der Zahlen und deren Vielfachen-Eigenschaft.

Nahe liegende Frage: bezuglich welcher Zahlen sind 33 und 21 kongru-

ent:

´40 “ ˚¨?` 2 ô 33 ” 21 mod ?

Definition 5.1. Seien a und b ganze Zahlen und m P N. Man sagt

a ist kongruent b modulo m (a ” b mod m) genau dann, wenn m | a´ b.

Ist a nicht kongruent b modulo m, so sagt man auch

a ist inkongruent b modulo m (a ı b mod m).

Die Zahl m heißt Modul, der Ausdruck a ” b mod m heißt Kongruenz.

Bemerkung 5.1. (1) Die Definition folgt dem Zugang (3).

(2) Die Bedingung m P N ist keine Einschrankung, denn

m | a´ b ô ´m | a´ b

Die folgenden Satze zeigen die Aquivalenz der drei Zugange.

Satz 5.2. Fur a, b P Z und m P N gilt:

a ” b mod m ô a und b haben bei Division durch m denselben Rest.

Beweis:

”ñ ”: Es gelte also: a ” b mod m

nach Definition ñ m | a´ b

Division (durch m) mit Rest auf a und b anwenden:

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Wegen Korollar 4.5 gilt das, egal ob a, b positiv oder negativ!!

a “ q1 ¨m` r1 0 ď r1 ă m

b “ q2 ¨m` r2 0 ď r2 ă m

mit eindeutigen Zahlen ri, qi.

Subtrahiere die beiden Gleichungen:

a´ bloomoon

|m

“ pq1 ´ q2q ¨mloooooomoooooon

|m

` r1 ´ r2

ñ m | pa´ bq ´ pq1 ´ q2q ¨mlooooooooooooomooooooooooooon

“r1´r2

ñ m | r1 ´ r2 (*)

aber 0 ď ri ă m ñ 0 ď |r1 ´ r2| ă m (**)

(*) und (**) ñ r1 ´ r2 “ 0 ô r1 “ r2

”ð”:

a “ q1 ¨m ` r

b “ q2 ¨m ` rmit qi P Z und 0 ď r ă m

ñ a´ b “ pq1 ´ q2q ¨m ñ m | a´ b

�

Satz 5.3. Fur a, b P Z und m P N gilt:

a ” b mod m genau dann, wenn sich a und b um ein ganzzahliges Vielfaches

von m unterscheiden (d.h. es gibt ein q P Z mit a “ b` q ¨m).

Beweis:

a ” b mod m ô m | pa´ bq (Def. von Kongruenz)

ô es gibt ein q P Z mit m ¨ q “ a´ b (Def. von Teiler)

ô a “ b`m ¨ q fur ein q P Z

�

Bemerkung 5.4. Die in den drei Zugangen dargestellten Wege zur Kongruenz

sind damit aquivalent. Das heißt auch fur uns, wir konnen uns im Unterricht

fur den Weg entscheiden, der am besten in unser Konzept passt!

Wie rechnet man mit Kongruenzen?

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Satz 5.5. Seien a ” b mod m und c ” d mod m. Dann gilt:

(1) a˘ c ” b˘ d mod m

(2) a ¨ c ” b ¨ d mod m

Beweis:

Nach Vorraussetzung: m | pa´ bq und m | pc´ dq

(1) m | pa´ bq ˘ pc´ dqlooooooooomooooooooon

“a´b˘c¯d

“ pa˘ cq ´ pb˘ dq

ñ pa˘ cq ” pb˘ dq mod m

(2)

m | pa´ bq ñ m | pa´ bq ¨ c

m | pc´ dq ñ m | pc´ dq ¨ bñ m | pa´bq¨c`pc´dq¨b “ ac´��bc`��cb´db “ ac´db

ñ ac ” bd mod m

�

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Beispiele

37 ” 17 mod 5

12 ” 2 mod 5

ñ 49Ò

37`12

” 19Ò

17`2

mod 5 (”`”)

ñ 25Ò

37´12

” 15Ò

17´2

mod 5 (”´”)

ñ 444Ò

37¨12

” 34Ò

17¨2

mod 5 (” ¨ ”)

uber Kreuz: 74Ò

37¨2

” 204Ò

17¨12

mod 5 (” ¨ ”)

Spezialfalle fur d “ c:

Korollar 5.6. Sei a ” b mod m. Dann gilt fur alle c P Z:

(1) a˘ c ” b˘ c mod m

(2) a ¨ c ” b ¨ c mod m

Beispiel:

86 ” 60 mod 13 (denn 60` 2 ¨ 13 “ 60` 26 “ 86)

`100ñ 186 ” 160 mod 13

¨3ñ 558 ” 480 mod 13

Korollar 5.7. Aus a ” b mod m folgt an ” bn mod m fur alle n P N.

Hier gilt auch n “ 0, denn trivialerweise: a0 “ 1mod m” 1 “ b0.

Bemerkung 5.8. Kongruenzen verhalten sich anscheinend ahnlich wie Glei-

chungen. Gleichungen sind ein Spezialfall von Kongruenzen: die Kongruenz

modulo 0:

a ” b mod 0 ô 0 | a´ b!ô a´ b “ 0 ô a “ b

Konsequenz fur das Rechnen mit Kongruenzen: Kongruenzen lassen Aquiva-

lenzumformungen (analog zu den Aquivalenzumformungen von Gleichungen)

bzgl. der Verknupfungen

2`2, ,2´2 und 2

¨2

zu. Vorsicht ist nur bei der Division ˜ geboten:

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Satz 5.9.

z ¨ a ” z ¨ b mod m ñ a ” b modm

ggT pz,mq

Beispiel

88 ” 52 mod 12 (denn 88´ 52 “ 36 “ 3 ¨ 12)

4 ¨ 22 ” 4 ¨ 13 mod 12 (ˇ

ˇ˜ 4, ggT p4, 12q “ 4)

ñ 22 ” 13 mod 124“ 3

aber: 22��” 13 mod 12

Beweis:

z ¨ a ” z ¨ b mod m

ô m | pz ¨ a´ z ¨ bq “ z ¨ pa´ bq

ô m ¨ q “ z ¨ pa´ bq (fur ein q P Zˇ

ˇ ˜ ggT pz,mqloooomoooon

“:d

)

ô md

loomoon

PZ

¨ q “ zd

loomoon

PZ

¨ pa´ bq

ô md

ˇ

ˇ

ˇ

zd¨ pa´ bq

ñ md

ˇ

ˇ

ˇpa´ bq (da ggT pm

d, zdq “ 1)

ô a ” b mod md

�

Korollar 5.10. Wenn ggT pz,mq “ 1, dann:

z ¨ a ” z ¨ b mod m ô a ” b mod m

Beispiele

(1)

180 “ 5 ¨ 36 ” 5 ¨ 24loomoon

“120

mod 12 (und ggT p5, 12q “ 1)

ñ 36 ” 24 mod 12

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(2) Aber:

24 ” 6 mod 6

3 ¨ 8 ” 3 ¨ 2 mod 6

ggT p3, 6q “ 3Satz 5.9ñ 8 ” 2 mod 6

3“ 2

aber es gilt auch: 8 ” 2 mod 6

5.2. Kongruenz als Aquivalenzrelation.

Satz 5.11. Die Kongruenzrelation modulo m ist fur jeden Modul m P N eine

Aquivalenzrelation in Z, d.h. fur alle a, b, c P Z gilt:

(1) a ” a mod m (Reflexivitat)

(2) Aus a ” b mod m folgt b ” a mod m (Symmetrie)

(3) Aus a ” b mod m und b ” c mod m folgt a ” c mod m

(Transitivitat)

Beweis:

(1) a´ a “ 0 “ m ¨ 0 ñ m | pa´ aq

(2)

m | pa´ bq ô m ¨ q “ a´ b ô m ¨ p´qq “ b´ a

ô m | pb´ aq

ô b ” a mod m

(3) m | pa´ bq und m | pb´ cq ñm teilt auch die Summe:

ñ m | pa´ ��bq ` p��b´ cq “ pa´ cq ô a ” c mod m

�Allgemein: Aquivalenzrelation ñ Restklassen(einteilung)

Speziell: Kongruenzrelation modulo m ñ Restklassen Z{mZ p“: Rmq

Sei m P N fest gewahlt. Fur a P Z sei:

a :“`

Rmpaq˘

:“ t z P Zˇ

ˇ

ˇz ” a mod m u “ tz “ a` n ¨m

ˇ

ˇ

ˇn P Z u

die Restklasse von a modulo m. Die Zahl a heißt Reprasentant der Restklasse.

Der Reprasentant ist nicht eindeutig, es gibt 8-viele Reprasentanten einer

Restklasse.

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Beispiel: m “ 3

a “ 0 ñ 0 “ tz P Zˇ

ˇ z ” 0 mod 3u “ t. . . ,´6,´3, 0, 3, 6, . . .u “ 3Z

a “ 1 ñ 1 “ tz P Zˇ

ˇ z ” 1 mod 3u “ t. . . ,´5,´2, 1, 4, 7, . . .u “ 1` 3Z

a “ 2 ñ 2 “ tz P Zˇ

ˇ z ” 2 mod 3u “ t. . . ,´4,´1, 2, 5, 8, . . .u “ 2` 3Z

a “ 3 ñ 3 “ tz P Zˇ

ˇ z ” 3 mod 3u “ t. . . ,´9,´6,´3, 0, 3, 6, . . .u “ 0

Insbesondere gilt: a P a “ Rmpaq

Satz 5.12. Sei m P N. Fur a, b P Z gilt:

a “ b´

bzw. Rmpaq “ Rmpbq¯

ô a ” b mod m

Beweis:

”ñ ”: Es gelte a “ b

Aus a P a “ b folgt a P b ñ a ” b mod m.

”ð”: Sei a ” b mod m.

Z.z.: a “ b (als Mengen!)

Fall: a Ď b:

Sei z P a ñ z ” a mod m (nach Def.)

Wegen a ” b mod m und der Transitivitat folgt:

z ” b mod m ñ z P b ñ a Ď b

Fall: a Ě b:

Wie oben bei Fall: a Ď b mit Symmetrie:

a ” b mod m ô b ” a mod m

�Satz 5.13.

(1) Fur alle a P Z gilt: a “ Rmpaq ‰ H

(2) Fur alle a, b P Z gilt entweder: a “ b oder aX b “ H

(3) Fur alle z P Z gibt es ein a P Z mit z P a

Beweis:

(1) Da a P a “ Rmpaq fur alle a P Z folgt ñ a ‰ H @ a P Z.

(2) Seien a, b P Z:

Zwei Falle: a ” b mod m oder a ı b mod m

Falls a ” b mod mSatz 5.12ô a “ b

Falls a ı b mod m: z.z.: aX b “ H (als Menge)

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Durch Widerspruch ñAnnahme: aX b ‰ H

ñ es gibt ein z P aX b

Wegen z P a ñ z ” a mod mSymmetrieô a ” z mod m

Wegen z P b ñ z ” b mod mTransitivitatñ a ” z ” b mod m

Also a und b disjunkt.

(3) Klar, wahle z.B. z selber: z P z �

Folgerung: Die Menge Z der ganzen Zahlen wird bei gegebenen Modul m in

disjunkte Teilmengen a “ Rmpaq zerlegt.

Beispiel: m “ 3

Start��

. . . ´5 ´2 1

��

4 7 10 . . . 1oo

Z : . . . ´4 ´1 2

��

5 8 . . . . . . 2oo p“ ´1q

. . . ´3 0 3

GG��6 9 . . . . . . 0oo

Die 3 Streifen entsprechen den Restklassen 0, 1 und 2, dabei sind 0, 1 und 2

Reprasentanten.

Wieviel Restklassen modulo m gibt es?

Satz 5.14. Sei m P N. Es gibt genau m verschiedene Restklassen modulo m:

0p“mq

, 1 , . . . ,m´1

Bemerkung 5.15. (1) Es mussen nicht die Repasentanten 0, 1, 2, . . . ,m´ 1

sein, diese werden aber gerne genommen.

(2) Aus Satzen 5.13 und 5.14 folgt:

0 Y 1 Y 2 Y ¨ ¨ ¨ Ym´1 “ Z

Beweis:

Von Satz 5.14: Es reicht zu zeigen, daß jede Restklasse modulo m einen Re-

prasentanten zwischen 0 und m´ 1 hat:

Sei a P Z ñ Restklasse a “ Rmpaq

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Euklidischer Algorithmus: es gibt eindeutig bestimmte Zahlen q P Z und r mit

0 ď r ă m, so daß:

a “ q ¨m` r

ñ a ” r mod m

ô a “ r mit r P t0, 1, 2, . . . ,m´ 1u

�

Die Restklassen modulo m bilden die Menge:

Z{mZ :“`

Rm

˘

“ t0, 1, 2, . . . ,m´1u

‚ Z{mZ ist eine Menge von Mengen!

‚ Z{mZ wird als Menge der m ”Symbole”: 0, 1, . . . ,m´1 aufgefasst. Da-

bei ”vergisst” man, daß 0, 1, . . . ,m´1 Mengen sind, aber nicht ihre

Eigenschaften.

‚ Z{mZ wird Restsystem modulo m (oder auch Restklassenmenge) ge-

nannt.

Beispiele:

Z{3Z “ R3 “ t0, 1, 2u und Z{4Z “ R4 “ t0, 1, 2, 3u

5.3. Algebraische Struktur von Z{mZ - Rechnen im System Z{mZ.

Wir fuhren eine Addition ‘ und eine Multiplikation d in Z{mZ ein:

Fur a, b P Z{mZ sei:

a‘ b :“ a`b Restklassenaddition

ad b :“ a¨b Restklassenmultiplikation

Warum ist das vernunftig?

Satz 5.16. Die Restklassenverknupfungen ‘ und d in Z{mZ sind wohldefi-

niert.

Beweis:

1) a, b P Z{mZ bedeutet, daß a, b P Z.

Hier sind Addition a` b P Z und Multiplikation a ¨ b P Z definiert.

Damit gilt fur die Restklassen: a`b, a ¨ b P Z{mZ.

2) Unabhangigkeit von der Wahl des Reprasentanten:

Seien:

a “ a1 (also a, a1 P Z mit a ” a1 mod m) und

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b “ b1 (also b, b1 P Z mit b ” b1 mod m).

Z.z.: (i) a‘ b “ a1 ‘ b1 und (ii) ad b “ a1 d b1

Aber: m | a´ a1 und m | b´ b1 (*)

ñ m | pa´ a1q ` pb´ b1qloooooooooomoooooooooon

“pa`bq´pa1`b1q

ñ a` b ” a1 ` b1 mod m

ô a‘ b “ a1 ‘ b1 ñ piq

Aus (*) folgt: a “ a1 `m ¨ q1 und b “ b1 `m ¨ q2

ñ a ¨ b “ pa1 `m ¨ q1q ¨ pb1`m ¨ q2q

“ a1 ¨ b1 `m ¨ q1b1`mq2a

1`m2q1q2

“ a1 ¨ b1 `m ¨ p˚q

ñ a ¨ b ” a1 ¨ b1 mod m

ô ad b “ a1 d b1 ñ piiq

�

Beispiele

in R5 “ Z{5Z gilt: 3‘ 4 “ 7 “ 2

3d 4 “ 12 “ 2

in R7 “ Z{7Z gilt: 3‘ 4 “ 7 “ 0

3d 4 “ 12 “ 5

Verknupfungstafeln:

Z{5Z :

‘ 0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

und

d 0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

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Die algebraische Struktur der Restklassenmengen:

Satz 5.17.`

Z{mZloomoon

Rm

,‘,d˘

ist ein kommutativer Ring (mit Einselement).

Wiederholung/Exkurs: Sei M eine Menge und ` : M ˆ M Ñ M und

¨ : M ˆM ÑM Verknupfungen.

Gruppe:`

M,`˘

ist eine Gruppe, wenn gilt:

(1) es gibt ein neutrales Element e “ 0Ò

bei `

: (”Nichts” der Addition)

m` e “ e`m “ m fur alle m PM

(2) Inverses Element: fur alle m PM gibt es ein Inverses m1, d.h.:

m`m1“ m1

`m “ e

(3) Assoziativitat: fur alle m,n, p PM gilt pm` nq ` p “ m` pn` pq.

(macht erst die Schreibweise: m` n` p moglich!)

hkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkj

Gru

pp

e

Wenn auch noch

(4) Kommutativitat: fur alle n,m PM gilt: n`m “ m` n

gilt, dann heißt`

M,`˘

kommutative oder abelsche Gruppe.

Beispiel:`

Z,`˘

ist eine kommutative Gruppe, N nein,`

Z, ¨˘

auch nein, weil

Inverse fehlen, aber`

Q, ¨˘

ist eine abelsche Gruppe. Rotationsgruppen: endli-

che abelsche Gruppen, Dieedergruppen: endliche nicht abelsche Gruppen.

Ring: Ein Ring ist eine Menge M mit 2 Verknupfungen (meist ` und ¨ be-

zeichnet), also`

M,`, ¨˘

, wenn gilt:

‚`

M,`˘

ist eine kommutative Gruppe, es gilt also (1). . . (4).

‚`

M, ¨˘

hat ein neutrales Element (vgl. (1), bei Multiplikation Einsele-

ment 1 genannt) und erfullt die Assoziativitat (3)

und zusatzlich gilt:

(5) Distributivitat: fur alle m,n, p PM gilt:

pm` nq ¨ p “ m ¨ p` n ¨ p und p ¨ pm` nq “ p ¨m` p ¨ n

Wenn zusatzlich gilt:

(6) Kommutativitat der Multiplikation: fur alle n,m PM gilt:

n ¨m “ m ¨ n

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dann heißt`

M,`, ¨˘

kommutativer Ring (mit Eins).

Bemerkung: Es gibt auch Ringe ohne Eins, dann ist`

M, ¨˘

eine Halbgruppe,

kommt selten vor!!

Beweis:

(Von Satz 5.17)

(1) Neutrales Element bzgl. ‘: 0 tuts, denn fur alle a P Z{mZ gilt:

a‘ 0 “ a` 0 “ a “ 0` a “ 0‘ a

(2) Inverses Element: Sei a P Z{mZ. Beh: a1 “ á

a ‘ a1 “ a‘á “ a` páq “ 0

a1 ‘ a “ . . . “ 0

(3) Assoziativitat: a, b, c P Z{mZ, also a, b, c P Z:

`

a‘b˘

‘c “ a` b‘c “ pa` bq ` c “Ò

Assoziativitatvon Z

a` pb` cq “ a‘b` c “ a‘`

b‘c˘

(4) Kommutatives Element: folgt aus der Kommutativitat von Z:

a ‘ b “ a` b “ b` a “ b ‘ a

Damit ist`

Z{mZ,‘˘

eine kommutative Gruppe.

Nun zur Multiplikation d :

Einselement: Beh.: 1 ist ein Einselement: Fur alle a P Z{mZ gilt:

1 d a “ 1 ¨ a “ a ¨ 1 “ a d 1

(5) Distributivitat: a, b, c P Z{mZ:

`

a ‘ b˘

d c “`

a` b˘

d c “ pa` bq ¨ c “ a ¨ c` b ¨ c “ ad c‘ bd c

(6) Kommutativitat von d: a d b “ a ¨ bõ“ b ¨ a “ b d a

�

Beispiel

(1) Z{5Z “

0, 1, 2, 3, 4(

neutrales Element der Addition: 0 (vgl. Verkn. Tafel)

neutrales Element der Multiplikation: 1

Kommutativitat von ‘ und d sehen wir an der Symmetrie der Ver-

knupfungstafel.

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Inverse Elemente der Addition:

01 “ 0

´1 “ 11 “ ´1 “ 4 denn 1 ‘ 4 “ 5 “ 0

´2 “ 21 “ ´2 “ 3

31 “ ´3 “ 2

41 “ ´4 “ 1

Wo sieht man das in der Verknupfungstafel? Suche Paa-

re, die die 0 erzeugen!

‘ 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

Inverse der Multiplikation? Ja, Paare die in der Tafel

eine 1 erzeugen.

1 d 1 “ 1 ñ 1´1 “ 1

2 d 3 “ 1 ñ 2´1 “ 3

. . . . . . ñ 3´1 “ 2

4 d 4 “ 1 ñ 4´1 “ 4

d 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 1 3

3 0 3 1 4 2

4 0 4 3 2 1

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(2) Z{6Z ñ 0 neutrales Element der Addition, 1 Einselement.

‘ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5 0

2 2 3 4 5 0 1

3 3 4 5 0 1 2

4 4 5 0 1 2 3

5 5 0 1 2 3 4Inverse der Addition:

z.B.: ´5 “ 1, denn 5 ‘ 1 “ 0

und

d 0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 0 2 4

3 0 3 0 3 0 3

4 0 4 2 0 4 2

5 0 5 4 3 2 1Inverse der Multiplikation:

1´1 “ 1, 5´1 “ 5

Neu: Nullteiler:

3 d 2 “ 0 und 4 d 3 “ 0

Satz 5.18.`

Z{mZ, d˘

enthalt genau dann Nullteiler, wenn m eine zusam-

mengesetzte Zahl ist.

Beweis:

”ð”: Sei m “ a ¨ b mit 1 ă a ă m also auch 1 ă b ă m

ñ a d b “ a ¨ b “ m “ 0 P Z{mZ

”ñ ”: Umgekehrt:`

Z{mZ, d˘

enthalte Nullteiler, d.h.

D a, b P Z{mZzt0u mit a d b “ 0

ô a ¨ b “ 0 ô m | pa ¨ b´ 0qloooomoooon

a¨b

ô m | a ¨ b

Da a ‰ 0ñm ��| a´ 0 ñ m ��| a

Analog m��| b

Also m | a ¨b, aber m ��| a und m��| b. Aus dem Primzahlkriterium 3.20 folgt ñm

ist keine Primzahl sondern zusammengesetzte Zahl! (oder m “ 1!!) �

Ein Ring ohne Nullteiler heißt Integritatsring.

Korollar 5.19. Fur m ą 1 gilt:

Rm “ Z{mZ ist Integritatsring ô m ist Primzahl

Gibt es auch Inverse der Multiplikation?

Satz 5.20. a P Z{mZ hat genau dann ein multiplikativ Inverses (a´1 exi-

siert), wenn ggT pa,mq “ 1.

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Beweis:

a´1P Z{mZ existiert ô a´1

“ s mit s P Z, OE : 1 ď s ă m

ô s ¨ a “ 1 (mit s P Z{mZ)

ô s ¨ a ” 1 mod m (mit s P Z)

ô s ¨ a “ 1` t ¨m (mit s, t P Z)

ô s ¨ a´ t ¨m “ 1 (mit s, t P Z)

ô die lineare diophantische Gleichung s ¨ a´ t ¨m “ 1 ist losbar in Z

ô ggT pa,mq | 1 (vgl. Satz 4.17)

ô ggT pa,mq “ 1

�Korollar 5.21. Seien a, b P N mit ggT pa, bq “ 1. Dann ist die Kongruenz

a ¨ x ” 1 mod b losbar.

Ring Ñ Korper???

Wdh. zu Korpern: Q, R, C sind Korper (mit ` und ¨).

Was brauchen wir noch, um aus einem Ring einen Korper zu machen?

ñWir brauchen noch Inverse der Multiplikation:

Sei wie zuvor:`

M,`, ¨˘

eine kommutativer Ring. Es gelte ferner:

(7) Inverses Element der Multiplikation: fur alle a P Mzt0u gibt es ein In-

verses a´1, so daß:

a ¨ a´1“ 1 Ð Einselement=neutrales Element der Multiplikation

(Wegen der Kommutativitat gilt auch a´1 ¨ a “ 1)

Ein kommutativer Ring, der auch (7) erfullt, heißt Korper.

Intergriatsring ô Korper??

Klar, ein Korper ist immer auch ein Integritatsring, da er keine Nullteiler außer

Null selber haben kann. Umgekehrt ist die Eigenschaft, ein Intergritatsring zu

sein, also keine Nullteiler zu haben, eine notwendige Vorraussetzung dafur, ein

Korper zu sein. Aber diese Eigenschaft ist nicht hinreichend. Gegenbeispiel: Die

ganzen Zahlen Z bilden mit Addition und Multiplikation einen Integritatsring,

aber kein Element ‰ 0 oder ˘1 ist invertierbar in Z.

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Bei den Restklassen modulo m passiert das aber nicht, sobald keine Nullteiler,

dann auch sogleich Korper!

Das folgt aus der allgemeineren Tatsache, daß Integritatsringe mit endlich

vielen Elementen immer auch Korper sind.

Satz 5.22.`

Z{pZ,‘, d˘

ist genau dann ein Korper, wenn p eine Primzahl

ist.

Beweis:

”ð”: Sei p Primzahl.

Korollar 5.19 ñ`

Z{pZ,‘,d˘

ist Integritatsring.

Z.z.: (7) jedes von Null verschiedene Element hat ein multiplikativ Inverses!

Sei a P Z{pZzt0u, also a P Z, OE: 0 ă a ă p

Wir suchen das Inverse: a´1

Da p Primzahl ñ ggT pa, pq “ 1

ñEs gibt x, y P Z mit

x ¨ a` y ¨ p “ ggT pa, pq!“ 1

ô x ¨ a “ 1´ y ¨ p

ñ x ¨ a ” 1 mod p

ô x ¨ a “ 1 (in Z{pZ)

ô x “ a´1 (das gesuchte Inverse)

”ñ ”: Z{pZ sei ein Korper. Z.Z.: p ist Primzahl

Z{pZ Korper ñ jedes Element a ‰ 0 hat ein Inverses.

Satz 5.20: die Zahlen (Reprasentanten der Elemente von Z{pZ) 1, 2, 3, . . . p´1

sind zu p teilerfremd:

ggT pa, pq “ 1 @ a “ 1, 2, . . . , p´ 1 ñ Tp “ t1, pu ñ p ist Primzahl. �

Bemerkung 5.23. Das Inverse eines Elementes a P Z{mZ findet man mit

Hilfe des Euklidischen Algorithmus’ bzw. durch Losen der linearen diophanti-

schen Gleichung:

x ¨ a` y ¨m “ 1 ñ a´1“ x

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Beispiel: Bestimme 7´1 P Z{12Z: (ggT p7, 12q “ 1 ñ 7´1 existiert)

7 ¨ x ” 1 mod 12 ô 7x` 12y “ 1

12 “ 1 ¨ 7` 5 (5 “ 12´ 7)

7 “ 1 ¨ 5` 2 (2 “ 7´ 5)

5 “ 2 ¨ 2` 1

ñ 1 “ 5´ 2 ¨ 2

“ 5´ 2 ¨ p7´ 5q “ 3 ¨ 5´ 2 ¨ 7

“ 3 ¨ p12´ 7q ´ 2 ¨ 7

“ 3 ¨ 12´ 5 ¨ 7

ô 7 ¨ p´5q “ 1´ 3 ¨ 12

ô 7 ¨ p´5q ” 1 mod 12

ô 7d p´5q “ 1 (in Z{12Z)

ñ 7´1“ ´5 “ 7 P Z{12Z

Klar: 7 ¨ 7 “ 72 “ 49 “ 1` 48 “ 1` 4 ¨ 12 ” 1 mod 12 �

Bemerkungen:

(1) in Z{pZ, mit einer Primzahl p, haben alle Elemente ‰ 0 ein multipli-

katives Inverses ñ a P Z{pZ, a ‰ 0 dann existiert a´1 P Z{pZ.

(2) in Z{mZ, m beliebig, haben genau die Elemente a ‰ 0 mit ggT pa,mq “

1 ein Inverses a´1.

(vgl. Multiplikationstafel von R6 “ Z{6Z: nur 5 ist zu 6 teilerfremd!

ñ nur 5´1 “ 5 existiert, sogar selbstinvers!)

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5.4. Die Satze von Euler, Fermat und der Chinesische Restsatz.

Eulersche ϕ-Funktion: ϕpmq :“ #

x P t1, 2, . . . ,muˇ

ˇ ggT px,mq “ 1(

ϕp1qloomoon

t1u

“ 1, ϕp2qloomoon

t1u

“ 1, ϕp3qloomoon

t1,2u

“ 2, ϕp4qloomoon

t1,3u

“ 2, ϕp5qloomoon

t1,2,3,4u

“ 4,

ϕp6qloomoon

t1,5u

“ 2, ϕp7qloomoon

t1,2,3,4,5,6u

“ 6, ϕp8qloomoon

t1,3,5,7u

“ 4, ϕp9qloomoon

t1,2,4,5,7,8u

“ 6, ϕp10qloomoon

t1,3,7,9u

“ 4

ñOffensichtlich gilt fur Primzahlen p: ϕppq “ p´ 1

(denn t1, 2, . . . , p´ 1u sind zu p teilerfremd!)

ñϕpmq hat was mit der Anzahl der invertierbaren Elemente in Z{mZ zu tun,

was?

Klar, ϕpmq ist genau die Anzahl der invertierbaren Elemente in Z{mZ (vgl.

Satz 5.20)

Satz 5.24 (Eulerscher Satz). Fur alle teilerfremden Zahlen a,m P N gilt:

aϕpmq ” 1 mod m

Aquivalent:

aϕpmq “ 1 in Z{mZ

Beispiele (1) m “ 7, (also ϕp7q “ 6) ñ fur alle a P N mit ggT pa, 7q “ 1

gilt

a6” 1 mod 7 ô 7 | a6

´ 1

ñ unendlichviele Teilbarkeitsaussagen:

7 | 16´ 1

loomoon

“0

, 7 | 26´ 1

loomoon

“63

, 7 | 36´ 1

loomoon

“728“7¨104

, 7 | 46´ 1

loomoon

“4095“7¨585

,

7 | 56´ 1

loomoon

“15.624“7¨2232

, 7 | 66´ 1, 7 | 86

´ 1, . . .

(2) Frage nach dem Rest:

z.B. Was ist der Rest von 281 bei der Division durch 5?

Umformulierung der Frage: 281 ”? mod 5 ???

280“ 24¨20

“`

220˘4“`

220˘ϕp5q Satz 5.24

” 1 mod 5 da ggT p220, 5q “ 1

ñ 281“ 2 ¨ 280

” 2 ¨ 1 ” 2 mod 5

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Ò 7.12.17 2/2

Beweis:

Sei m P N. Nach Definition gibt es genau ϕpmq zu m teilerfremde Zahlen ă m:

1 ď r1 ă r2 ă r3 ă ¨ ¨ ¨ ă rϕpmq ă m

Ihre Restklassen:

r1, r2, . . . , rϕpmq P Z{mZ

sind genau die invertierbaren Elemente von Z{mZ.

Da 1 ď ri ă mñ fur alle i ‰ j gilt: 1 ďˇ

ˇri ´ rjˇ

ˇ ă m

ñ m��| ri ´ rj ñ ri ı rj mod m @i ‰ j

ñ r1, r2, . . . , rϕpmq paarweise verschieden

ñ

!

r1, r2, . . . , rϕpmq

)

“ pZ{mZq˚ = Gruppe der invertierbaren Elemente.

Sei nun a P N teilerfremd zu m.

Dann gilt

(1) ari ist teilerfremd zu m fur alle i “ 1, . . . , ϕpmq ñ ari P pZ{mZq˚

(2) ari ‰ arj in pZ{mZq˚ fur alle i ‰ j,

(denn sonst wurde m die Differenz teilen:

m | ari ´ arj “ aÒ

ggT pa,mq“1

pri ´ rjqlooomooon

Ò

m��| pri´rjq

q

ñ ar1, ar2, . . . , arϕpmq sind paarweise verschiedene invertierbare Elemente

von pZ{mZq˚

ñ

!

ar1, ar2, . . . , arϕpmq

)

“

!

r1, r2, . . . , rϕpmq

)

ñ ar1 ¨ ar2 ¨ . . . ¨ arϕpmq “ r1 ¨ r2 ¨ . . . ¨ rϕpmq in pZ{mZq˚

ñ par1q ¨ par2q ¨ . . . ¨ parϕpmqq ” r1 ¨ r2 ¨ . . . ¨ rϕpmq mod m

aϕpmq ¨ pr1 ¨ r2 ¨ . . . ¨ rϕpmqq ” pr1 ¨ r2 ¨ . . . ¨ rϕpmqq mod m

ñ aϕpmq ” 1 mod m

da r1 ¨ . . . ¨ rϕpmq teilerfremd zu m, durfen wir dadurch teilen, vgl. Korollar 5.10

� �

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Satz 5.25 (Kleiner Satz von Fermat). Ist a P N und p eine Primzahl die a

nicht teilt (p��| a oder ggT pp, aq “ 1), so gilt

ap´1” 1 mod p

Beweis:

Direkte Folgerung aus ϕppq “ p´ 1. �

Korollar 5.26. Fur jede Primzahl p und a P N gilt:

ap ” a mod p

Beweis:

Wenn ggT pa, pq “ 1 ist das eine Folgerung aus dem Kleinen Fermat’schen Satz.

Wenn ggT pa, pq ‰ 1, also ggT pa, pq “ p ñ p | a

ñ a ” 0 mod p und damit auch an ” 0 mod p

Also ist in diesem Fall die Aussage trivial! �

Satz 5.27. Fur alle naturlichen Zahlen n P N giltř

d |n ϕpdq “ n.

Beweis

Fur jeden Teiler d P Tn definiere die Menge

Cd :“ t x P t1, 2, . . . , nu | ggT px, nq “ du.

Damit gilt: wenn x P t1, . . . , nu, dann x P Cd mit d :“ ggT px, nq.

D.h. jedes x P t1, . . . , nu ist eindeutig in einem Cd enthalten.

ď

d |n

Cd “ t1, 2, 3, . . . , nu

Zahlenbeispiel: n “ 12 “ 22 ¨ 3, dann T12 “ t1, 2, 3, 4, 6, 12u und

C1 “ t1 ď x ď 12 | ggT px, 12q “ 1u “ t1, 5, 7, 11u ϕp12q “ 4

C2 “ t1 ď x ď 12 | ggT px, 12q “ 2u “ t2, 10 “ 2 ¨ 5u ϕp122“ 6q “ 2

C3 “ t1 ď x ď 12 | ggT px, 12q “ 3u “ t3, 9u ϕp123“ 4q “ 2

C4 “ t1 ď x ď 12 | ggT px, 12q “ 4u “ t4, 8 “ 2 ¨ 4u ϕp124“ 3q “ 3´ 1 “ 2

C6 “ t1 ď x ď 12 | ggT px, 12q “ 6u “ t6u ϕp126“ 2q “ 2´ 1 “ 1

C12 “ t1 ď x ď 12 | ggT px, 12q “ 12u “ t12u ϕp1q “ 1

Sicherlich sind die Mengen Cd fur verschiedene Teiler d von n disjunkt:ď

d |n

¨ Cd “ t1, 2, 3, . . . , nu Versionvom

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Ausserdem gilt

#Cd “ #t x P t1, 2, . . . , nu | ggT px, nq “ du (somit d |x bzw. x “ d ¨ y)

“ #t y P t1, 2, . . . ,n

du | ggT pd ¨ y, nq “ d

looooooooomooooooooon

ggT py,ndq“1

u (da d |n)

“ ϕ`

nd

˘

Schließlich folgt:

n “ #t1, 2, 3, . . . , nu “ #ď

d |n

¨ Cd “ÿ

d |n

#Cd “ÿ

d |n

ϕ`

nd

˘

“Ò

durch Umsummieren

ÿ

d |n

ϕpdq

�Satz 5.28. Fur jede Primzahl p und jedes n P N gilt:

ϕ ppnq “ pn ¨´

1´ 1p

¯

“ pn´1¨ pp´ 1q

Beweis Nach Satz 5.27 gilt

pn “ÿ

d | pn

ϕpdq “ ϕp1q ` ϕppq ` ϕpp2q ` ¨ ¨ ¨ ` ϕppnq

pn´1“ ϕp1q ` ϕppq ` ϕpp2

q ` ¨ ¨ ¨ ` ϕppn´1q

ñ pn ´ pn´1“ ϕppnq

�

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Handbuch der Arithmetik des Chinesen Sun-Tzu, vor ca. 2000 Jah-

ren:

Es soll eine Anzahl von Dingen gezahlt werden. Zahlt man sie zu je drei, dann

bleiben zwei ubrig. Zahlt man sie zu je funf, dann bleiben drei ubrig. Zahlt

man sie zu je sieben, dann bleiben zwei ubrig. Wie viele sind es??

Was ist gemeint?

x ” 2 mod 3

x ” 3 mod 5

x ” 2 mod 7

Zur Losung:

x ” 2 mod 3 ñ x P t. . . ,´1, 2, 5, 8, . . .u

x ” 3 mod 5 ñ x P t. . . ,´2, 3, 8, 13 . . .u

x ” 2 mod 7 ñ x P t. . . ,´5, 2, 9, 16, . . .u

Satz 5.29 (Chinesischer Restsatz). Seien m1,m2, . . . ,mk paarweise teiler-

fremde naturliche Zahlen und a1, a2, . . . , ak P Z. Das System linearer Kongru-

enzen:

x ” a1 mod m1

...

x ” ak mod mk

ist losbar. Alle Losungen sind kongruent modulo m :“ m1 ¨m2 ¨ ¨ ¨mk, d.h. die

Restklasse x der Losung x ist in Z{mZ eindeutig.

Beweis (der Beweis ist konstruktiv!)

Losbarkeit: Setze:

m :“ m1 ¨m2 ¨ ¨ ¨mk

qi :“m

mi

“ m1 ¨ ¨ ¨_mi ¨ ¨ ¨mk

mi paarweise teilerfremd ñ ggT pmi, qiq “ 1 ô qi P Z{miZ invertierbar Versionvom

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ñ qi ¨ z ” 1 mod mi ist losbar (vgl. Korollar 5.21)

Sei q1i eine Losung, d.h. q1i ist ein Reprasentant von qi´1 P Z{miZ

qi ¨ q1i ” 1 mod mi fur i “ 1, 2, . . . , k

Sei

x :“ a1 ¨ q1 ¨ q11 ` a2 ¨ q2 ¨ q

12 ` ¨ ¨ ¨ ` ak ¨ qk ¨ q

1k

Modulo mi gilt:

x “ a1 ¨ q1

|mi

¨ q11 ` a2 ¨ q2

|mi

¨ q12 ` ¨ ¨ ¨ ` ai ¨ qi ¨ q1i

Ò

ggT pqi,miq“1

` ¨ ¨ ¨ ` ak ¨ qk|

mi

¨ q1k

” ai ¨ qi ¨ q1i mod mi

” ai da qi ¨ q1i ” 1

Das geht fur alle i “ 1, . . . , k, damit ist x eine Losung.

Eindeutigkeit:

Sei y eine weitere Losung:

ñ x ” ai mod mi und y ” ai mod mi (fur i=1,. . . ,k)

ñ x ” y mod mi (fur i=1,. . . ,k)

ñ mi | px´ yq (fur i=1,. . . ,k)

ñ m | px´ yq da die mi paarweise teilerfremd

ñ x ” y mod m

ô x “ y in Z{mZ

�

Beispiel: Sei

x ” 1 mod 3 (i=1)

x ” 3 mod 7 (i=2)

x ” 5 mod 11 (i=3)

ñ m “ 3 ¨ 7 ¨ 11 “ 231

ñ q1 “_

3 ¨ 7 ¨ 11 “ 77, q2 “ 3 ¨_

7 ¨ 11 “ 33, q3 “ 3 ¨ 7 “ 21

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Finde Reprasentanten q1i von qi´1 (modulo mi):

i “ 1 : in Z{3Z : q1 “ 77 “ 3 ¨ 25` 2 “ 2, selbstinvers ñ q11 “ 2

i “ 2 : in Z{7Z : q2 “ 33 “ 7 ¨ 4` 5 “ 5, 5 ¨ 3 “ 15 “ 1 ñ q12 “ 3

i “ 3 : in Z{11Z : q3 “ 21 “ 10, 10 ¨ 10 “ 99` 1 “ 1 ñ q13 “ 10

x “ a1 ¨ q1 ¨ q11 ` ¨ ¨ ¨ “ 1 ¨

77, nicht 2Ó

77 ¨2` 3 ¨ 33 ¨ 3` 5 ¨ 21 ¨ 10

“ 1501 “ 6 ¨ 231` 115

(in der Formel sind die qi’s nicht unabhangig vom Reprasentanten, denn es

wird benutzt, daß z. B. m2 “ 7 die Zahl q1 “ 77 teilt, aber 7��| 2! )

ñ x “ 115 in R231 “ Rm “ Z{231Z

Probe: 115 “ 38 ¨ 3` 1 ” 1 mod 3 X

115 “ 16 ¨ 7` 3 ” 3 mod 7 X

115 “ 10 ¨ 11` 5 ” 5 mod 11 X

Zuruck zur Euler-ϕ-Funktion:

Satz 5.30. Fur teilerfremde Zahlen n und m gilt:

ϕpmq ¨ ϕpnq “ ϕpm ¨ nq

Beweis:

Noch ohne Beweis, bei Beweis wird der Chinesische Restsatz benutzt! �

Beispiel aus der Astronomie

Die drei inneren Planeten unseres Sonnensystems: Merkur, Venus und Erde

haben Umlaufzeiten von (gerundet) 88, 225 und 365 Tagen um die Sonne.

Angenommen, ein Bahnradius R wird von Merkur in 15, von der Venus in 43

und von der Erde in 100 Tagen erreicht. Kann es sein, daß sich

(1) Merkur und Venus,

(2) Merkur und Erde,

(3) Venus und Erde

(4) Merkur, Venus und Erde

irgendwann gleichzeitig auf dem Radius R befinden? Wenn ja, wann ist das?

Vgl. Geogebra: Bahnschleifen

Zur Losung dieses Problems:

Merkur befindet sich immer nach 15 ` nM ¨ 88 Tagen auf R, entsprechend

befindet sich Venus immer nach 43 ` nV ¨ 225 und die Erde nach 100 ` nE ¨

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365 Tagen auf R. Also mussen zur Losung von (1)-(4) Systeme von Linearen

Kongruenzen gelost werden:

(1) Merkur und Venus: x ” 15 mod 88 und x ” 43 mod 225

(2) Merkur und Erde: x ” 15 mod 88 und x ” 100 mod 365

(3) Venus und Erde: x ” 43 mod 225 und x ” 100 mod 365

(4) Merkur, Venus und Erde:

x ” 15 mod 88, x ” 43 mod 225 und x ” 100 mod 365

Da 88 “ 23 ¨ 11, 225 “ 32 ¨ 552 und 365 “ 5 ¨ 73 sind die Moduln 88, 225

und 365 paarweise teilerfremd.

Zu (1):

x ” 15 mod 88 (i=1)

x ” 43 mod 225 (i=2)

ñ m “ 88 ¨ 225 “ 19800

ñ q1 “_

88 ¨ 225 “ 225, q2 “ 88 ¨_

225 “ 88,

Reprasentanten q1i von qi´1 (modulo mi)?

9 ¨ 225´ 23 ¨ 88 “ 1

i “ 1 : in Z{88Z : q1 “ 225, 9 ¨ 225 “ 1 ñ q11 “ 9

i “ 2 : in Z{225Z : q2 “ 88, 202 ¨ 88 “ ´23 ¨ 88 “ 1 ñ q12 “ 202

x “ a1 ¨ q1 ¨ q11 ` ¨ ¨ ¨ “ 15 ¨ 225 ¨ 9` 43 ¨ 88 ¨ 202

“ 794 743 “ 40 ¨ 19800` 2743

Probe: 2743 “ 31 ¨ 88` 15

2743 “ 12 ¨ 225` 43

Also in 2743 Tagen (« 7, 5 Jahre) sind Merkur und Venus auf einem Bahnra-

dius!

6. Stellenwertsysteme

6.1. Verschiedene Stellenwertsysteme.

Sumerer im 3ten Jt v.Chr., Babylon im 2ten Jt. v.Chr., Sexagesimal-

system: Stellenwertsystem (Positionssystem) mit Basis 60, die Zahlensymbole

in Keilschrift:

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0 1 5 10 20

3033→ 33∙60 + 30 = 2010

⏟ ⏟

Bemerkenswert und innovativ: ein Zeichen fur Null! (seit Ptolemaius 150 n.Chr.)

Das sexagesimale Postionssystem war außerordentlich leistungsfahig und al-

len spateren Zahlensystemen der Antike uberlegen. Daher wurde es u.a. von

den griechisch-hellenistischen Mathematikern dort verwendet, wo viele aus-

giebige Rechnungen durchgefuhrt werden mussten, insbesondere in der Astro-

nomie [Wußing, 6000 Jahre Mathematik, Eine kulturgeschichtliche Zeitreise,

Berlin/Heidelberg, (2008), p. 130]

Die babylonische Schreibweise hatte auch Nachteile. Daß man zwischen 1 und

60 in der Schreibweise keinen Unterschied machen kann, ist fur den taglichen

Gebrauch nicht allzu schlimm, weil die Grossenordnung meistens sowieso be-

kannt ist (wir wissen ja auch, wenn im Schaufenster die Zahl 30 auf einer

Bluse steht, dass es sich nicht um 30 Pfennig handelt); aber bei rein theore-

tischen Aufgaben kann es doch unangenehm sein. Noch unangenehmer ist es,

wenn man in der Schreibweise zwischen 1, 0, 30 und 1,30 nicht unterschei-

den konnte, weil die Null nicht existierte. Um diese Schwierigkeit zu beheben,

hat man spater ein eigenes Zeichen fur den leeren Platz zwischen zwei Ziffern

eingefuhrt, zum Beispiel:

= 1, 0, 4 (60- iger Syst.)= 3604 (10-er Syst.) .

Der Griechische Astronom Ptolemaios (150 n. Chr.), der immer sexagesimal

rechnete, braucht das Zeichen 0 fur Null, auch am Ende einer Zahl. Das gab

dem sexagesimalen Postionssystem den letzten Schliff: dadurch wurde es fast

gleichwertig mit unserem dezimalen Positionssystem. Ptolemaios schreibt zwar

die ganzen Zahlen dezimal und nur die Bruche sexagesimal, aber das spielt kei-

ne große Rolle, da er fast nie große ganze Zahlen braucht. Die starke Uberlegen-

heit der sexagesimalen Bruchrechnung war der Grund, dass die Astronomen

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immer mit Sexagesimalbruchen rechneten: daher stammen auch unsere Minu-

ten und Sekunden. [van der Waerden, Erwachende Wissenschaft II, p. 62-63]

Zahlenbeispiele:

0 1 5 10 20

3033→ 33∙60 + 30 = 2010

⏟ ⏟

33 ; 32

2 ; 0 ; 0 ; 33 ; 20

2 ; 0 ; 15

33 ; 32

2 ; 0 ; 0 ; 33 ; 20

2 ; 0 ; 15

33 ; 32

2 ; 0 ; 0 ; 33 ; 20

2 ; 0 ; 15

. . . haben babylonische Einflusse mit Langzeitwirkung auf Kulturtraditionen Eu-

ropas gewirkt. Etliche unserer Maßeinheiten zur Messung der Zeit u.a. leiten

sich vom babylonischen Positionssystem ab:

‚ Sexagesimale Zeitmaße: Die Sexagesimal-Zahlung strukturiert die Ein-

teilung das Tagesrhythmus in kleinere Zeiteinheiten: Tag + Nacht (24 “

2ˆ 6 bzw. 2ˆ 12 Stunden), 1 Stunde (60 “ 6ˆ 10 Minuten), 1 Minute

(60 “ ˆ10 Sekunden).

‚ Sexagesimale Bogen und Winkelmaße: z.B. Gradeinteilung (360˝ “ 6ˆ

60 Gradeinheiten).

[H. Haarmann, Weltgeschichte der Zahlen, C.H.Beck-Wissen (2008), auch fur

weiteres:]

Vigesimalsystem: Zahlsystem mit Basis 20, in der Sprache enthalten z.B.

in Asien (Chepang, Ainu, Tschuktschisch), Ozeanien (Drehu, Daga, Mangap-

Mbula), Amerika (Zoque, Yukatekisch, Warao, Caribe), Afrika (Igbo, Yoruba,

Kana, und die Niger-Kongo-Sprache Diola-Fogny).

Duales- bzw. Binares System: Computer!

Dezimalsysteme: Zum erstem mal in Indien im 6. Jhd. n. Chr. nachgewiesen.

Auch in Mittelamerika (Bibri, Nahuatl)

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8 Jhd. n. Chr.: dezimales System + arabische Ziffern wurde nach Europa ein-

gefuhrt, es dauerte aber noch einige Jahrhunderte, bi es sich in Europa durch-

setzte. Einen wichtige Beitrag dazu lieferte Adam Ries (1492-1559) mit seinen

Rechenbuchern.

Vigesimal-dezimales Mischsystem

In vielen Sprachen, deren Zahlwortsysteme Vigesimal- und Dezimalsystem er-

kennen lassen, z.B. in Franzosischen: im Bereich 80´ 99 gilt die 20-er Ordung,

z.B. quatre-vingt-dix-huit: 4ˆ 20` 10` 8 “ 98 .

Funfer-Zwanziger Mischsystem Mittelamerika: Aztekisch:

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6.2. Prinzip des Stellenwertsystems.

Stellenwertsystem der Basis b:

‚ b Symbole/Ziffern notig

‚ Wert einer Ziffer gibt Anzahl der Bundel der betreffenden Machtigkeit

an.

‚ Stellung/Position der Ziffer gibt an, um welche Machtigkeit es sich

handelt.

Beispiel: Analyse des Dezimalsystems:

‚ Zehn Ziffern: 0, 1, 2, . . . , 9

‚ Machtigkeiten: Zehnerpotenzen 10n

‚ Wert einer Ziffer gibt Anzahl der Bundel der betreffenden Machtigkeit

an.

‚ Stellung/Position der Ziffer gibt an, um welche Machtigkeit es sich

handelt.

Beispiele

(1) 51037 “ 5 ¨ 104 ` 1 ¨ 103 ` 0 ¨ 102 ` 3 ¨ 101 ` 7 ¨ 100

(2) 5555 hier bedeutet die Ziffer 5 je nach Position Einer, Zehner, Hun-

derter oder Tausender!

Hat man das Prinzip verstanden, so laßt es sich leicht auf andere Basen uber-

tragen:

Basis 2:

Dezimalsystem Dualsystem

25Ì10 “ 1 ¨ 24` 1 ¨ 23

` 0 ¨ 22` 0 ¨ 21

` 1 ¨ 20“ 11001Ì2

Algorithmus: suche großte 2er-Potenz, die ď 25, hier: 16 “ 24 ă 25 ă 32 “ 25.

da 25 “ 1 ¨ 16` 9 mache nun mit 9 so weiter: 9 “ 8` 1 “ 23 ` 1. etc.

Beachte: im Dualsystem gibt es nur die Ziffern 0 und 1!

Allgemein:

‚ Ist die Basis b ă 10 ñ die Ziffern 0, 1, . . . , b ´ 1 reichen fur die Dar-

stellung der Zahlen aus. Naturlich konnen auch neue Ziffern erfunden

werden.

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‚ Ist die Basis b ą 10, so brauchen wir neue Symbole, z.B.: im Duodezi-

malsystem ô Basis b “ 12, setzte z :“ 10 und e “ 11:

e|

4

4|

3

z|

2

0|

1

e|

0

Ì

12 “ 11 ¨ 124` 4 ¨ 123

` 10 ¨ 122` 0 ¨ 121

` 11 ¨ 120

“ 11 ¨ 124` 4 ¨ 123

` 10 ¨ 122` 11 “

“ 236459Ì10 “ 236459

Ohne die neuen Ziffern z und e ließe sich die Zahl nicht eindeutig schrei-

ben:

e 4 z 0 eÌ12 “ 11 4 12 0 11Ì12besser“ p11q 4 p12q 0 p11q

Die Zahl 25 im Duodezimalsystem:

25 “ 2 ¨ 12` 1 “ 21Ì12

Fragen:

‚ Warum findet man sehr haufig auf der Welt das Dezimalsystem?

Schon immer haben Menschen ihr Zehn Finger als ”Taschenrechner”

benutzt.

‚ Kann man jede naturliche Zahl als Basis fur ein Stellenwertsystem be-

nutzen?

Ja, vgl. nachsten Satz.

Satz 6.1. Sei b P Nzt1u. Jede Zahl a P N laßt sich eindeutig in der Form

a “ knbn` kn´1b

n´1` ¨ ¨ ¨ ` k1b` k0

mit ki P N0, kn ‰ 0 und 0 ď ki ă b fur i “ 0, 1, . . . , n darstellen.

Ò 8.12.16 2/2

Beweis

Eindeutigkeit der Division mit Rest impliziert:

a “ q0 ¨ b` k0, 0 ď k0 ă b, q0 P N

q0 “ q1 ¨ b` k1, 0 ď k1 ă b, q1 P N

q1 “ q2 ¨ b` k2...

......

ñ a ą q0 ą q1 ą q2 ¨ ¨ ¨ ą 0

ñ der Algorithmus muss abbrechen, d.h. es gibt ein n P N mit qn “ 0.

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Die letzten Schritte lauten somit:

qn´2 “ qn´1 ¨ b` kn´1, 0 ď kn´1 ă b, qn´1 P N

qn´1 “ qn||

0

¨ b` kn “ kn

Sukzessives Einsetzen:

a “ q0 ¨ b` k0

“ pq1 ¨ b` k1q ¨ b` k0 “ q1b2` k1b` k0

“ pq2b` k2qb2` k1b` k0 “ q2b

3` k2b

2` k1 ` k0

...

“ qn´1||

kn

bn ` kn´1bn´1

` ¨ ¨ ¨ ` k1b` k0

�

Warum Stellenwertsysteme behandeln?

‚ Unterscheidung Zahl und Zahlwort wird thematisiert.

Z.B. Bedeutung vermeindlich besonderer Zahlen (z.B. Geburtstage)

wird relativiert:

20 “ 20Ì10 “ 2 ¨ 9` 2 “ 22Ì9 “ 1 ¨ 11` 9 “ 19Ì11

‚ Computer arbeiten im Dualsystem: Basis 2

‚ Verstandnis des Babylonischen Sexagezimalsystems und der daraus ab-

geleiteten Zeit- und Winkelmaße.

‚ Das Verstandnis des Stellenwertsystems fordert auch das Verstandnis

von Dezimalbruchen und Teilbarkeitsregeln.

‚ Polynome mit Koeffizienten aus N.

6.3. Zahlen in verschiedenen Zahlsystemen.

Vorganger und Nachfolger:

Beispiel: Basis 3: N “ Neuner, D “ Dreier, E “ Einser

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Nachfolger:

N D E

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

2 1 2

ÝÑ`1

N D E

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

2 1 2` 1

Umbundeln«

N D E

ˆ ˆ

ˆ ˆ

2 2 0

d.h. 212Ì3 hat den Nachfolger 220Ì3

Vorganger:

N D E

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

2 1 2

ÝÑ´1

N D E

ˆ ˆ ˆ

ˆ

2 1 1

hier ist keine

Umbundelung notig.

Aber beim folgenden Beispiel:

Vorganger mit

Umbundelung:

N D E

ˆ ˆ

ˆ

2 1 0

Umbundeln«

N D E

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

2 0 2` 1

ÝÑ´1

N D E

ˆ ˆ

ˆ ˆ

2 0 2

Durch fortgesetzte Nachfolgerbildung, beginnend mit der Zahl 1, erhalt man

die Zahlreihen bezuglich beliebiger Basen:

Basis 2: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, . . .

Basis 3: 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, 101,. . .

Basis 4: 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22,. . .

Basis 5: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20,. . .

Basis 10: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,. . .Folgerung: Man muß zwischen einer Zahl und ihrem Zahlwort bzw. Zahlzei-

chen unterscheiden. Z.B. Anzahl der Finger einer Hand ist Funf als Zahlwort

und hat viele Zahlzeichen, beispielsweise:

5Ì10 “ 10Ì5 “ 11Ì4 “ 12Ì3 “ 101Ì2

Wie ubersetzt man die Zahlzeichen eines Systems in ein anderes?

Dezimalsystem ñ b-System: Division mit Rest b.

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Beispiel b “ 12:

8924 “ 8924Ì10 (TR: 8924 ˜ R 12 = )

“ 743 ¨ 12` 8 k0 “ 8

743 “ 61 ¨ 12` 11 k1 “ 11 “ e

61 “ 5 ¨ 12` 1 k2 “ 1

5 “ 0ó¨ 12` 5 k3 “ 5

Algorithmus bricht ab

ñ 8924 “`

p

61hkkkkikkkkj

5 ¨ 12` 1q ¨ 12` 11˘

¨ 12` 8 “ 5 ¨ 123` 1 ¨ 122

` 11 ¨ 12` 8

“ 5 1 p11q 8Ì12

“ 5 1 e 8Ì12

Alternativ die intuitive Methode: Suche großte 12-er Potenz kleiner-gleich 8924

durch ausprobieren:

8924 123 “ 1728 ă 8924 ă 20736 “ 124

“ 5 ¨ 123` 284 8924˜ 123 “ 5, . . . ñ 8924´ 5 ¨ 123 “ 284

284 “ 1 ¨ 122` 140 284˜ 122 “ 1, . . . etc.

140 “ 11 ¨ 12` 8

8 “ 8 ¨ 120“ 8 ¨ 1

b-System ñDezimalsystem (an Polynome denken)

3714Ì8 “ 3 ¨ 83` 7 ¨ 82

` 1 ¨ 81` 4 ¨ 80

“ 1996Ì10

6.4. Rechnen in anderen Zahlsystemen.

Addition: Dazu ist eine Additionstabelle der Zahlen 0 bis b´ 1 hilfreich.

Vergleich mit Addition im Dezimalsystem:

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9128 ` 1072 “ ?

“ 9 ¨ 103 `1 ¨ 102 `2 ¨ 10 `8 ¨ 100

`1 ¨ 103 `0 ¨ 102 `7 ¨ 101 `2 ¨ 100 spaltenweise addieren

“ 10 ¨ 103

`1¨104

ee `1 ¨ 103 `9 ¨ 101 `10 ¨ 100

`1¨101

ii umbundeln

“ 1 ¨ 104 `0 ¨ 103 `1 ¨ 102 `10 ¨ 101

`1¨103

hh `0 ¨ 100 umbundeln

“ 1 ¨ 104 `0 ¨ 103 `2 ¨ 102 `0 ¨ 101 `0 ¨ 100

“ 1 0 2 0 0

Basis 4: 232Ì4 ` 223Ì4 “?

Additionstabelle:

‘4 0 1 2 3

0

1

2

3

7. Dezimalbruche

7.1. Gemeine Bruche und Dezimalbruche.

Bezeichungen: 78

gemeiner Bruch

0,875 Dezimalbruch

Vorteile gemeiner Bruche:

(1) Rechnen mit Verhaltnissen.

(2) Bekannt aus dem Sprachgebrauch: Ein Viertel Pfund ..., ein halbes

Kilo..., Halb/ Viertel-Finale, dreiviertel 2 Uhr, etc..

(3) Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten,

(4) Aquivalenzumformungen, Algebra, Einfache Rechenoperationen bei Mul-

tiplikation und Division, Ableitungen!

(5) (Anschauliche) Grundlage fur Dezimalbruche.

Vorteile der Dezimalbruche:

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(1) Starke Verbreitung im taglichen Leben, z.B. im Umgang mit Geld.

(2) Enger Zusammenhang der Schreibweise mit den ganzen Zahlen.

(3) Einfache Rechenoperationen bei Addition, Subtraktion und Großenver-

gleich.

(4) Eindeutigkeit der Schreibweise:

0,875 “7

8“

35

40“ . . .

Problem: 0,88 ‰ 0,875

(5) Einfache Schreibweise bei gewohnlicher Textverarbeitung.

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Umformung gemeiner Bruche in Dezimalbruche:

Bruche mit Zehnerpotenz im Nenner:

3

10“ 0,3 ;

53

100“ 0,53

Divisionsalgorithmus:

5˜ 8“ 0, 6 2 5

5 0

4 8

2 0

1 6

4 0

4 0

0

ñ 58“ 0,625

5˜ 11“ 0, 4 5 4 5 . . .“ 0,45

5 0

4 4

6 0

5 5

5 0

4 4

6 0

5 5...

ñ 511“ 0,45

Stellenwerttafeln: E=Einer, z=Zehntel,h=Hundertstel, etc.

E z h t E z h t

5 ˜ 8 “ 0 6 2 5

5 0

4 8

2 0

1 6

4 0

4 0

0

Hintergrund: Division mit Rest

E 5 “ 0 ¨ 8 ` 5

z 50 “ 10 ¨ 5 “ 6 ¨ 8 ` 2 (5 E = 50 h)

h 20 “ 10 ¨ 2 “ 2 ¨ 8 ` 4

t 40 “ 10 ¨ 4 “ 5 ¨ 8 ` 0

Ò

In der grauen Spalte kann man die Dezimalbruchentwicklung ablesen.

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Weitere Verallgemeinerung dieser Rechnung

mn

sei ein vollstandig gekurzter (also ggT pm,nq “ 1) echter (also 1 ď m ă n)

Bruch. Wiederholte Division mit Rest:

E m “ 0 ¨ n ` r0 0 ď r0 “ m ă n

z 10 ¨ r0 “ q1 ¨ n ` r1 0 ď r1 ă n

h 10 ¨ r1 “ q2 ¨ n ` r2 0 ď r2 ă n

t 10 ¨ r2 “ q3 ¨ n ` r3 0 ď r3 ă n...

10 ¨ rk´1 “ qk ¨ n ` rk 0 ď rk ă n

Ò

Behauptung: 0 ď qi ă 10 fur alle i.

Beweis:

Annahme qi ě 10 fur ein i

10 ¨ ri´1 “ qi ¨ n` ri

ô 0 “ qi ¨ n´ 10 ¨ ri´1 ` ri

ô 0 ě 10 ¨ n´ 10 ¨ ri´1 ` ri (weil qi ¨ n ě 10 ¨ n)

“ 10 ¨ pn´ ri´1qloooomoooon

ą0

` riloomoon

ě0

ą 0

�

Dezimalbruchentwicklung:

m “ 0 ¨ n` r0 (r0 “q110¨ n` r1

10)

“ 0 ¨ n`q1

10¨ n`

r1

10(r1 “

q210¨ n` r2

10)

“ 0 ¨ n`q1

10¨ n`

q2

102¨ n`

r2

102(r2 “

q310¨ n` r3

10)

...

“ 0 ¨ n`q1

10¨ n`

q2

102¨ n`

q3

103¨ n` ¨ ¨ ¨ `

qk10k

¨ n`rk10k

ô

m

n“q1

10`

q2

102`

q3

103` ¨ ¨ ¨ `

qk10k

`rk

10k ¨ n!“ 0,q1q2q3 ¨ ¨ ¨ qk ¨ ¨ ¨

Wegen der Eindeutigkeit der Division mit Rest, ist diese Schreibweise bzw.

dieser Dezimalbruch ebenfalls eindeutig!

Die Dezimalbruchentwicklung des echten, vollstandig gekurzten Bruches mn

heißt

‚ endlich, wenn qi “ 0 fur alle i ě i0 fur ein i0 P N.

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‚ periodisch, wenn es p und i0 P N gibt, so daß fur alle i ě i0 gilt:

qi`p “ qi.

Wenn dabei i0 “ 1 ñ reinperiodische Dezimalbruchentwicklung

Wenn dabei i0 ą 1 ñ gemischtperiodische Dezimalbruchentwicklung

Im Folgenden entwickeln wir Kriterien dafur, das Dezimalbruchzerlegungen

endlich, reinperiodisch oder gemischtperiodisch sind.

Satz 7.1. Der vollstandig gekurzte, echte Bruch mn

hat genau dann eine end-

liche Dezimalbruchentwicklung, wenn

n “ 2a¨ 5b

In diesem Fall hat die Dezimalbruchentwicklung genau s “ maxpa, bq Stellen.

Kurz: mn

endlich ô n hat nur Primfaktoren aus t2, 5u

Beweis:

”ð”:

m

n“

m

2a ¨ 5b“

2sá ¨ 5s´b ¨m

2sá ¨ 5s´b ¨ 2a ¨ 5b“

“:zhkkkkkkkikkkkkkkj

2sá¨ 5s´b

¨m

2s ¨ 5s“

z

10s

Da z P N, hat z10s

eine endliche Dezimalbruchentwicklung.

Diese hat genau s “ Exponent von 10s Dezimalstellen, denn nach Vorrausset-

zung und Konstruktion gilt entweder: sá “ 0 oder s´b “ 0 und somit 10��| z.

”ñ ”:mn

habe eine endliche Dezimalbruchentwicklung der Lange s:

m

n“ 0

Ò

da măn

,q1q2 ¨ ¨ ¨ qs 0 ď qi ă 10 , qs ‰ 0

ñm ¨ 10s

n“ q1q2 ¨ ¨ ¨ qs “ q1 ¨ 10s

` q210s´1` ¨ ¨ ¨ ` qs´1 ¨ 10` qs

loooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooon

PN

da ggT pm,nq “ 1

und 10s¨mn

P N

)

ñ n | 10s

�

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Beispiel:

1

1024“

1

210endlicher Dezimalbr. mit 10 Stellen

“ 0,0009765625

1

125“

1

53endlicher Dezimalbr. mit 3 Stellen

“ 0,008

37

125“

37

53“ 0,296 dito

Bemerkung Die Aussage:mn

hat endliche Dezimalbruchentwicklung. ô Der Nenner hat nur Primfaktoren aus t2, 5u.

Die Richtung ð gilt auch fur ungekurzte Bruche. Allerdings kann man dann

aus n “ 2a5b nicht die Anzahl der Dezimalstellen ablesen.

Satz 7.2. Sei mn

ein vollstandig gekurzter, echter Bruch. Die Dezimalbruch-

entwicklung von mn

ist genau dann reinperiodisch, wenn ggT pn, 10q “ 1.

Beweis:

Wiederholte Division mit Rest, die wie oben zur Dezimalbruchentwicklung

fuhrt:m “ 0 ¨ n ` r0 0 ď r0 “ m ă n

10 ¨ r0 “ q1 ¨ n ` r1 0 ď r1 ă n

10 ¨ r1 “ q2 ¨ n ` r2 0 ď r2 ă n...

10 ¨ rk´1 “ qk ¨ n ` rk 0 ď rk ă n

Annahme: mn

nicht endlich!

Kann es dann sein, daß ri0 “ 0 fur einen Index i0?

Ware ri0 “ 0, so folgte :

10 ¨ ri0´1 “ qi0 ¨ n` ri0loomoon

“0

10 ¨ 0 “ 10 ¨ ri0 “ qi0`1 ¨ n` ri0`1 “ 0 ¨ n` 0

ñ qi0`1 “ 0

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damit sind alle folgenden Schritte auch “ 0 und die Dezimalbruchentwicklung

ist endlich! Also gilt: 0 ă ri ă n @ i

Also, m.a.W.: ri P t1, 2, . . . , n´1u @i, also gibt es nur endlich viele Moglich-

keiten. ñ irgendwann muss eine Zahl ein zweites Mal vorkommen: z.B.:

ri0 “ rpì0 fur Indices 1 ď i0, p

Dabei sei i0 der kleinste Index mit dieser Eigenschaft! ~

Dann sieht der Algorithmus folgendermaßen aus:...

10 ¨ ri0´1 “ qi0 ¨ n ` ri0 p˚q

10 ¨ ri0 “ qi0`1 ¨ n ` ri0`1

...

10 ¨ rpì0´1 “ qpì0 ¨ n ` rpì0 “ qpì0 ¨ n` ri0 p˚˚q

10 ¨ ri0 “ qpì0`1

Òqi0`1

¨ n ` rpì0`1

Òri0`1

“ qi0`1 ¨ n` ri0`1

...Nach p Schritten wiederholt sich also alles! Insbesondere wiederholen sich auch

die q1is:

qpì0`1 “ qi0`1

qpì0`2 “ qi0`2 . . . etc.

Es bleibt z.z.:

Dezimalbruchzerlegung rein periodisch ô ggT pn, 10q “ 12 ð2:

Dazu betrachte die Differenz der Gleichungen (*) und (**):

10 ¨ pri0´1 ´ rpì0´1q “ pqi0 ´ qpì0q ¨ n` ri0 ´ rpì0loooomoooon

“0

ñ n | 10 ¨ pri0´1 ´ rpì0´1q

aus: ggT pn, 10q “ 1 ñ n | pri0´1 ´ rpì0´1q

mit: 0 ă ri0´1 , rpì0´1 ă n ñ ri0´1 ´ rpì0´1 “ 0

ô ri0´1 “ rpì0´1

Nach Voraussetzung ~ war aber i0 der kleinste Index, der sich wiederholt. Also

muss i0 “ 0 gelten und schon der erste Rest (und alle folgenden) wiederholt

sich, m.a.W.: die Dezimalbruchenrwicklung ist reinperiodisch!

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”ñ ”: Sei mn

reinperiodisch:

m

n“ 0,q1q2 ¨ ¨ ¨ qs

m

n¨ 10s

“ q1q2 ¨ ¨ ¨ qsloooomoooon

“:z

,q1q2 ¨ ¨ ¨ qs

“ z ` 0,q1q2 ¨ ¨ ¨ qs!“ z `

m

n

ôm

n¨

´

10s´ 1

¯

“ z

ô m ¨´

10s´ 1

¯

“ z ¨ n

ñ n |m ¨´

10s´ 1

¯

weil ggT pm,nq “ 1 ñ n |´

10s´ 1

¯

(*)

10s´ 1 ist ungerade ñ 2��| 10s

´ 1

ebenfalls gilt sicherlich auch: 5��| 10s´ 1

ñ ggT p10s´ 1, 10q “ 1

p˚q ñ ggT pn, 10q “ 1

�

Bemerkung 7.3. Sobald die ri’s sich im Algorithmus wiederholen, endet die,

bzw. beginnt eine neue Periode, die qi’s konnen sich naturlich zuvor schon

wiederholen.

Beispiele:

13“ 0,3 denn:

101 ´ 1 “ 9 “ 3 ¨ 3

Periodenlange 1

1 “ 0 ¨ 3 ` 1

10 ¨ 1 “ 3 ¨ 3 ` 1

1333“ 0,003 denn:

103 ´ 1 “ 999 “ 333 ¨ 3

Aber 333��| 102 ´ 1 “ 99

Periodenlange 3

1 “ 0 ¨ 333 ` 1

10 ¨ 1 “ 0 ¨ 333 ` 10

10 ¨ 10 “ 0 ¨ 333 ` 100

10 ¨ 100 “ 3 ¨ 333 ` 1

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17“ 0,142857 denn:

106 ´ 1 “ 142857 ¨ 7

Aber 7��| 105 ´ 1

Periodenlange 6

1 “ 0 ¨ 7 ` 1

10 ¨ 1 “ 1 ¨ 7 ` 3

10 ¨ 3 “ 4 ¨ 7 ` 2

10 ¨ 2 “ 2 ¨ 7 ` 6

10 ¨ 6 “ 8 ¨ 7 ` 4

10 ¨ 4 “ 5 ¨ 7 ` 5

10 ¨ 5 “ 7 ¨ 7 ` 157“ 0,714285 denn:

ebenfalls Periodenlange 6

5 “ 0 ¨ 7 ` 5

10 ¨ 5 “ 7 ¨ 7 ` 1

10 ¨ 1 “ 1 ¨ 7 ` 3

10 ¨ 3 “ 4 ¨ 7 ` 2

10 ¨ 2 “ 2 ¨ 7 ` 6

10 ¨ 6 “ 8 ¨ 7 ` 4

10 ¨ 4 “ 5 ¨ 7 ` 5

Satz 7.4. Die kleinste Zahl s P N mit n | p10s´1q ist die Periodenlange des

gekurzten, echten, und reinperiodischen Bruchs mn

.

Bemerkung 7.5. Die Periodenlange hangt nur vom Nenner, nicht vom Zahler

des gekurzten Bruches ab!

Beweis:mn

sei reinperiodisch und s P N die kleinste Zahl mit n | p10s ´ 1q. Dann gilt

auch n |m ¨ p10s ´ 1q und damit:

m ¨ p10s´ 1q “ n ¨ z (fur ein z P N)

m

n¨ p10s

´ 1q “ z

m

n¨ 10s

“ z `m

n

Mit mn“ 0, q1q2 ¨ ¨ ¨ , ist das aquivalent zu:

q1q2 ¨ ¨ ¨ qs, qs`1qs`2 . . . “ z, q1q2 ¨ ¨ ¨

ñ q1q2 ¨ ¨ ¨ qs “ z und qs`i “ qi (fur i ě 1)

�

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Beispiele: Konstruiere einen Bruch zu vorgegebener Periode und Periodenlange:

(1) Periode: z “ 173 und damit Periodenlange s “ 3. Nun wie im Beweis:

m

np103

´ 1q “ z “ 173

ôm

n“

173

103 ´ 1“

173

999“ 0,173

(2) Periode: z “ 173 aber nun mit Periodenlange s “ 4.

ôm

n“

173

104 ´ 1“

173

9999“ 0,0173

(3) Ziffernfolge 3712:

Periodenlange: s “ 4 ñ 3712104´1

“ 37129999

“ 0,3712

Periodenlange: s “ 6 ñ 3712106´1

“ 3712999999

“ 0,003712

Aber wenn: s “ 2 ñ 3712102´1

“ 371299“ 37,46

Wiederholung:mn

echter, vollstandig gekurzter Bruch (also ggT pm,nq “ 1 und m ă n).

Wenn:alle Primteiler von n aus t2, 5u m

nendlich

ggT pn, 10q “ 1 mn

reinperiodischWelcher Fall bleibt ubrig?

n hat Teiler aus t2, 5u und noch zusatzlich andere Primteiler:

Satz 7.6. Der vollstandig gekurzte echte Bruch mn

besitzt genau dann ei-

ne gemischt-periodische Dezimalbruchentwicklung (mit t Vorziffern), wenn

n “ n1 ¨ n2 mit n1 | 10t (dabei ist t minimal mit dieser Eigenschaft) und

ggT pn2, 10q “ 1.

Die Periodenlange von mn

ist gleich der von 1n2

.

Beispiel:

n “ 15 “ 5Òn1

¨ 3Òn2

m “ 8

n1 “ 5 | 10 “ 101 t “ 1 Vorziffer

n2 “ 3 | 101´ 1 “ 9 ñ s “ 1 Periodenlange

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Dezimalbruchentwicklung:

8 “ 0 ¨ 15` 8

10 ¨ 8 “ 5 ¨ 15` 5

10 ¨ 5 “ 3 ¨ 15` 5

ñ8

15“ 0,53

Beweis:

Aus n1 | 10t folgt: n1 ¨ q “ 10t fur einen Teiler q P N von 10t.

m

n“

m

n1 ¨ n2

“m ¨ q

10t ¨ n2

“1

10t¨m ¨ q

n2

Aus q P T10t und ggT pn2, 10q “ 1 folgt ggT pn2, qq “ 1

ñm¨qn2

ist vollst. gekurzt und hat eine reinperiodische Dezimalbruchentwick-

lung.

ñm¨qn2“ q0, q1q2 ¨ ¨ ¨ qs (q0 P N kann aus mehreren Ziffern bestehen)

Daraus folgt:

1

10t¨m ¨ q

n2

“ 0, 0 ¨ ¨ ¨ q0loomoon

t Stellen

q1q2 ¨ ¨ ¨ qs

Umkehrung ohne Beweis! �

7.2. Kettenbruche.

Beispiel

31

14“ 2`

3

14

“ 2`1143

“ 2`1

4` 23

“ 2`1

4` 132

“ 2`1

4` 11` 1

2

und weiter? “ 2`1

4` 11` 1

21

“ 2`1

4` 11` 1

2

nichts passiert weiter, weil 12

ein Stammbruch ist.

Der Algorithmus bricht ab, sobald man einen Stammbruch erhalt!

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Die Kettenbruchdarstellung von 3114

wird zum Teil auch durch die Folge r2, 4, 1, 2s

abgekurzt, man kann also abkurzen:

31

14“ 2`

1

4` 11` 1

2

statt“ r2, 4, 1, 2s

Der Kettenbruch kann auch mittels des Euklidischen Algorithmus’ berechnet

werden:

31 “ 2 ¨ 14` 3 (3114“ 2` 3

14)

14 “ 4 ¨ 3` 2 ( 314“ 1

143

“ 14` 2

3

)

3 “ 1 ¨ 2` 1 (23“ 1

32

“ 11` 1

2

)

2 “ 2 ¨ 1` 0 (bei Rest 0 bricht es ab)

Bemerkung 7.7. Dieser Algorithmus laßt sich auf jede positive rationale Zahl

anwenden und bricht immer ab. (wg. des Euklidischen Algorithmus’s)

Bedeutung: Die Kettenbruchdarstellung approximiert den gegebenen Bruch

(hier im Beispiel 3114

) schrittweise immer besser:

Approximation Kettenbruch Differenz/Ungenauigkeit

0-te von 3114

2ˇ

ˇ

3114´ 2

ˇ

ˇ “ 314« 0,214

1-te von 3114

2` 14

ˇ

ˇ

3114´ p2` 1

4qˇ

ˇ “ 128« 0,0357

2-te von 3114

2` 14` 1

1

ˇ

ˇ

ˇ

3114´ p2` 1

4` 11

q

ˇ

ˇ

ˇ“ 1

70« 0,0143

3-te von 3114

2` 14` 1

1` 12

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

3114´ p2` 1

4` 1

1` 12

q

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ 0

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Anwendung: Kalender

1 tropisches Jahr: 365d 5h 48min 45,8s

Der ”Teil-Tag” soll durch einen Bruch approximiert werden:

5h 48min 45,8s“

1

24

ˆ

5`48

60`

45,8

602

˙

(”Tage”)

“1

24

ˆ

5`48

60`

45` 45

602

˙

“52 ¨ 602 ` 48 ¨ 60 ¨ 5` 45 ¨ 5` 4

24 ¨ 602 ¨ 5“

104629

432000

Kettenbruchentwicklung via Euklidischem Algorithmus:

Nr. Division mit Rest Approximation

0-te 104629 “ 0 ¨ 432000` 104629 0

1-te 432000 “ 4 ¨ 104629` 13484 0` 14

2-te 104629 “ 7 ¨ 13484` 10241 0` 14` 1

7

3-te 13484 “ 1 ¨ 10241` 3243 0` 14` 1

7` 11

4-te 10241 “ 3 ¨ 3243` 512...

5-te 3243 “ 6 ¨ 512` 171...

6-te 512 “ 2 ¨ 171` 170...

7-te 171 “ 1 ¨ 170` 1 14` 1

7`......` 1

1` 1170

Es folgt:

104629

432000“

1

4` 17` 1

1` 1

3` 1

6` 1

2` 1

1` 1170

Interpretation:

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1-te Approx.: 104629432000

« 14

Julianischer Kalender mit einem

Schalttag alle 4 Jahre

2-te Approx.: 104629432000

« 14` 1

7

“ 729

......

5-te Approx 104629432000

« 14` 1

7` 1

1` 1

3` 16

“ 194801« 0,2422 ñ gregorianischer Kalender

In 400 Jahren summiert sich dieser Bruchteil eines Tages auf:

194

801¨ 400 « 96,8789 « 97 Tage

Sinnvollerweise muss es also in 400 Jahren mit je 365 Tagen zusatzlich 97

Schalttage geben um bestmoglich 400 tropische Jahre auszumachen. Das wird

im Gregorianischen Kalender realisiert: jedes vierte Jahr einen Schalttag ma-

chen 100 Schalttage in 400 Jahren, aber die Jahrhundertregel (nur die Jahrhun-

derte ” 0 mod 4 sind Schaltjahre) bewirkt, daß unter den vier Jahrhundert-

Jahren innerhalb 400 Jahren nur ein Jahrhundert-Jahr Schaltjahr ist, drei

Schaltjahre/Tage fallen also weg, also gibt es im Gregorianischen Kalender

innerhalb 400 Jahren nur 97 Schaltjahre/Tage.

8. Teilbarkeitsregeln

WDH. Fur a, b, c, d P Z und t P N gilt:

Addition von Kongruenzen:a ” b mod t

c ” d mod t

,

/

/

/

/

.

/

/

/

/

-

ñ a` c ” b` d mod t

Multiplikation von Kongruenzen a ” b mod t ñ c ¨ a ” c ¨ b mod t

Potenzieren von Kongruenzen a ” b mod t ñ an ” bn mod t @n P N Versionvom

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Zusatzlich gilt

a ” b mod t ô

$

&

%

a “ q1 ¨ t` r

b “ q2 ¨ t` r

das heißt, sind a und b kongruent modulo t, so haben sie bei Division durch

t denselben Rest r. Fur Teilbarkeitsuntersuchungen bezuglich einer Zahl t gilt

damit:

a ” b mod t ô a und b haben dieselben Teilbarkeitseigenschaften bzgl. t

Anders formuliert:

Wenn a ” b mod t, so gilt: a ist genau dann durch t teilbar, wenn auch b

durch t teilbar ist.

8.1. Endstellenregeln.

Beispiel:

65 432 “ 6 ¨ 104` 5 ¨ 103

` 4 ¨ 102` 3 ¨ 10` 2 ” 2 mod 10

allgemein:

znzn´1 . . . z1z0 “ zn ¨ 10m` zn´1 ¨ 10n´1

¨ ¨ ¨ z1 ¨ 10` z0 ¨ 100“

nÿ

i“0

zi ¨ 10i

fur Ziffern 0 ď zi ď 9, i “ 0, . . . , n, zn ‰ 0. Also

znzn´1 . . . z1z0 ” z0 mod 10

Mehr noch, weil 10 ” 0 mod t fur alle Teiler t von 10:

Satz 8.1. znzn´1 ¨ ¨ ¨ z1z0 ” z0 mod t fur alle Teiler t von 10.

Folgerung

Eine naturliche Zahl z (Basis 10) ist genau dann durch 2 (bzw. 5, bzw. 10)

teilbar, wenn ihre Endziffer z0 durch 2 (bzw.5, bzw. 10) teilbar ist. Versionvom

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Beweis:

Es gilt

10 ” 0 mod t ô t | p10´ 0q “ 10

ô t P t1, 2, 5, 10u “ T10

ñ 10i” 0 mod t fur t P T10 und i ě 1

ñ zi ¨ 10i” 0 mod t fur t P T10 und i ě 1

ñ

nÿ

i“1

zi ¨ 10i” 0 mod t fur t P T10 und i ě 1

ñ znzn´1 ¨ ¨ ¨ z1z0 “

nÿ

i“0

zi ¨ 10i“

nÿ

i“1

z1 ¨ 10i` z0 ” z0 mod t

�

Geht das auch in anderen Stellenwertsystemen?

Sei b ą 1 eine Basis eines Stellenwertsystems.

ñ b ” 0 mod t @ t P Tb

Eine Zahl im b-System:

zÌb “nÿ

i“0

zibi“ znzn´1 ¨ ¨ ¨ z1z0 mit 0 ď zi ă b

ñ zÌb “nÿ

i“1

zibi` z0 ” z0 mod t fur t P Tb

Korollar 8.2. Eine naturliche Zahl zÌb (dargestellt mittels der Basis b ą 1)

ist genau dann durch einen Teiler t von b teilbar, wenn ihre Endziffer z0 durch

t teilbar ist.

Beispiel: b “ 8

Untersuche ob 4 die Zahl 152Ì8 teilt!

152Ì8 “ 1 ¨ 82` 5 ¨ 81

` 2 ” 2 mod 4 da 4 | 8

aber 4��| 2 !!

Neue Frage: Welche Zahlen sind durch 4 teilbar?

Dazu

z0 P V4 Y t0u, z0 ă 8 ñ z0 P t0, 4u

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Also alle Zahlen mit den Endziffern 0 oder 4 sind durch 4 teilbar.

z.B.: 4 | 150Ì8 und 4 | 154Ìb

Translation ins Dezimalsystem:

150Ì8 “ 82` 5 ¨ 8` 0 “ 104 “ 4 ¨ 26 X

Beispiel: b “ 6, t “ 3

Endziffern z0 ă 6 mit 3 | z0 ñ z0 P t0, 3u

ñ 3 | 570Ì6 , 3 | 573Ì6

aber

3��| 571Ì6 , 3��| 572Ì6 , 3��| 574Ì6 , 3��| 575Ì6

Endstellenregeln 2ter Ordnung

Es geht um die Teilbarkeit von Teilern von 100 “ 102 bzw. t P Tb2 im b-System.

Dazu:

100 “ 102” 0 mod t @t P T102 bzw. b2

” 0 mod t @t P Tb2

Satz 8.3 (Basis 10).

znzn´1 ¨ ¨ ¨ z1z0 “

nÿ

i“0

zi10i” z1 ¨ 10` z0 “ z1z0 mod t @t P T102

Damit gilt: Eine Zahl z P N ist genau dann durch einen Teiler t von 100

teilbar, wenn ihre aus den letzten beiden Ziffern gebildete zweistellige Zahl (im

Dezimalsystem!!) durch t teilbar ist:

t | znzn´1 ¨ ¨ ¨ z1z0 ô t | z1z0

Insbesondere folgen daraus die bekannten Teilbarkeitsregeln fur 4 “ 22 und

25 “ 52!

Satz 8.3 hat auch wieder ein Analogon fur die beliebige Basis b!

Beweis:

znzn´1 ¨ ¨ ¨ z1z0 “ ¨ ¨ ¨ ` p¨ ¨ ¨ q104

|

t

` pz310` z2q102

|

t

` pz110` z0q

” z110` z0 “ z1z0 mod t

�

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Umformulierung und Verscharfung fur t “ 22 “ 4:

Eine naturliche Zahl z “řn

i“0 zi10i ist genau dann durch 4 teilbar, wenn

2z1 ` z0 durch 4 teilbar ist.

Beweis:

nach Satz 8.3 und weil 10 “ 2 ¨ 4` 2 ” 2 mod 4 gilt:

4 | z ô 4 | z1 ¨ 10` z0 (da: z1 ¨ 10` z0 ” z1 ¨ 2` z0)

ô z1 ¨ 10` z0 ” z1 ¨ 2` z0 ” 0 mod 4

�

Endstellenregeln 3ter Ordnung

Aus 1000 “ 103 ” 0 mod t fur alls t P T103 folgt analog:

t | z “nÿ

i“0

zi10i“ znzn´1 ¨ ¨ ¨ z1z0 ô t | z2z1z0 “ z2¨100`z1¨10`z0 @t P T103

Analoges kann man auch wieder im Stellenwertsystem zur Basis b ą 1 formu-

lieren!

8.2. Quersummenregeln.

Streichholzspiel:

Schritt 1 Gebe Deinem Mitspieler eine Streichholzschachtel mit mindestens 10

Holzern.

Schritt 2 Lasse den Mitspieler die Holzer zahlen (er soll die Anzahl geheim-

halten!) die Anzahl ist eine Zahl n zwischen 10 und 38. Dann gilt

n “ z1 ¨ 10` z0 mit z1 P t1, 2, 3u und z0 P t0, 1, . . . , 9u

Schritt 3 Fordere den Mitspieler auf: Bilde die Quersumme Qpnq (nicht verra-

ten) Qpnq “ z1 ` z0

Schritt 4 Fordere den Mitspieler auf: Entferne Qpnq Holzer aus der Schachtel

Schritt 5 Behauptung: Du kannst nun (ohne abzuzahlen) abschatzen, wieviele

Holzer noch in der Schachtel sind!

Die Anzahl ist n´Qpnq “ pz1¨10`z0q´pz1`z0q “ z1¨10´z1 “ z1¨9,

Da z1 P t1, 2, 3u, konnen es nur 9, 18 odet 27 Holzer sein.

Teilbarkeit durch 3 und 9:

Satz 8.4. Eine naturliche Zahl z “řn

i“0 zi ¨ 10i ist genau dann durch einen

Teiler t von 9 teilbar, wenn ihre Quersummeřn

i“0 zi durch t teilbar ist.

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Beweis t P T9 “ t1, 3, 9u, also t “ 3 oder 9, da 1 uninteressant.

Aus 10 ” 9` 1 p“ 3 ¨ 3` 1q folgt

10 ” 1 mod t

ñ 10i” 1 mod t fur i P N0

ñ zi ¨ 10i” zi mod t fur i P N0

ñ z “nÿ

i“0

zi10i”

nÿ

i“0

zi mod t �

Laßt sich die Idee des Beweises verallgemeinern?

Ja, benutze:

102“ 99` 1 ” 1 mod t fur t P T99

und schreibe:

z “nÿ

i“0

zi10i“ . . .` pz2j`1 ¨ 10` z2jq ¨ 102j

` ¨ ¨ ¨ ` pz3 ¨ 10` z2q ¨ 102` pz1 ¨ 10` z0q

” . . .` pz2j`1 ¨ 10` z2jq ` ¨ ¨ ¨ ` pz3 ¨ 10` z2q ` pz1 ¨ 10` z0q mod t

fur t P T99

“ . . . pz2j`1z2jq ` ¨ ¨ ¨ ` pz3z2q ` pz1z2qloooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooon

Quersumme 2ter Ordnung

Korollar 8.5. Eine naturliche Zahl ist genau dann durch einen Teiler t von

99 teilbar, wenn ihre Quersumme 2-ter Ordnung durch t teilbar ist.

Da T99 “ t1, 3, 9, 11u erhalten wir damit insbesondere eine Teilbarkeitsregel

fur 11!!

Beispiel: Sei t P t1, 3, 9, 11u

738514 ” 73` 85` 14 mod t

“ 172

” 1` 72 mod t

“ 73

Aber t��| 73 ñ t��| 738514 Versionvom

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Weitere Verallgemeinerungen:

1000 “ 103 “ 999 ` 1 ñ Teilbarkeitsregeln fur Teiler von 999 mittels

Quersumme 3-ter Ordnung.

Da 999 “ 33 ¨ 37 liefet das z.B. Teilbarkeitsregel fur 37....

Alternierende Quersummenregeln:

z “nÿ

i“0

zi10iñ alternierende Quersumme Q1pzq :“

nÿ

i“0

p´1qizi

Beispiel: Q1p3712q “ ´3` 7´ 1` 2 “ 5

Satz 8.6.

11 teilt z ô 11 teilt Q1pzq

Beweis

10 “ 11´ 1 ” ´1 mod 11

......

z “nÿ

i“0

zi10i”

nÿ

i“0

zip´1qi “ Q1pzq mod 11 �

Beispiel:

1384617311” Q1p13846173q “ ´1` 3´ 8` 4´ 6` 1´ 7` 3 “ ´11 ” 0 mod 11

ñ 11 | 13846173

Verallgemeinerungen

Idee: 100 “ 102 “ 101´ 1 ” ´1 mod 101

Da 101 PZ, liefert das nur Teilbarkeitsregeln fur 101.

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Aber 1001 “ 7 ¨ 11 ¨ 13 liefert Teilbarkeitsregeln fur 7 und 13 und eine weitere

fur 11:

103“ 1001´ 1 ” ´1 mod t (fur t P T1001)

...

z “ ¨ ¨ ¨ ` pz5102` z410` z3q ¨ p103

q1` pz2102

` z110` z0q ¨ p103q0

” ¨ ¨ ¨ ` pz5102` z410` z3q ¨ p´1q1 ` pz2102

` z110` z0q ¨ p´1q0 mod t

“ ¨ ¨ ¨ ´ pz5102` z410` z3q ` pz2102

` z110` z0qloooooooooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooooooooon

alternierende Quersumme 3-ter Ordnung

Korollar 8.7. Fur t P T1001 gilt:

t teilt z ô t teilt die alternierende Quersumme 3-ter Ordnung von z

Beispiel: t “ 7

681loomoon

359loomoon

126loomoon

” `681´ 359` 126 mod 7

“ 448

“ 64 ¨ 7 ” 0 mod 7

ñ 7 | 681 359 126

Bemerkung: Auch hier gibt es Verallgemeinerungen auf andere Stellenwert-

systeme.

Ò 19.1.17 1/2

8.3. Weitere Teilbarkeitsregeln fur Primzahlen.

Teilbarkeit durch 7:

Beispiel: Frage: ist 65 625 durch 7 teilbar?

6 5 6 2 �5´ 1 0 10 “ 2 ¨ 5

6 5 5 �2´ 4 4 “ 2 ¨ 2

6 5 �1´ 2 2 “ 2 ¨ 1

6 3“ 9 ¨ 7

Also auch 7 | 65 625

Beschreibung:

(1) Streiche letzte Ziffer ñ Stellen verschieben sich nach rechts!

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(2) Subtrahiere (von der neuen Zahl) das Doppelte der gestrichenen Ziffer.

(3) Wenn notig beginne mit Algorithmus von neuem.

Warum, was passiert hier??

Benutzt werden folgende Aussagen:

20` 1 “ 21 ” 0 mod 7 (8)

z ¨ 10 ” 0 mod 7 ô z ” 0 mod 7 (9)

(9) in Worten: z ¨10 ist genau dann durch 7 teilbar, wenn z durch 7 teilbar ist.

65 625 “ 6 ¨ 104` 5 ¨ 103

` 6 ¨ 102` 2 ¨ 10` 5 (Schritt 1)

“ 6 ¨ 104` 5 ¨ 103

` 6 ¨ 102´

hkkkikkkj

2 ¨ 5 ¨ 10looooooooomooooooooon

“5¨102

` 2 ¨ 10` p

hkkkikkkj

2 ¨ 5 ¨ 10`5qloooooomoooooon

p20`1q¨5“21¨5”0 mod 7

” 6 ¨ 104` 5 ¨ 103

` 5 ¨ 102` 2 ¨ 10 mod 7

“

´

6 ¨ 103` 5 ¨ 102

` 5 ¨ 101` 2

looooooooooooooooomooooooooooooooooon

“:z1“6 552

¯

¨ 10 “ z1 ¨ 10 “ 6 552 ¨ 10

mit (9) 65 625 ” 0 mod 7 ô z1 ” 0 mod 7

z1 “ 6 552 “ 6 ¨ 103` 5 ¨ 102

` 5 ¨ 10´hkkkikkkj

2 ¨ 2 ¨ 10loooooooomoooooooon

1¨10

` p

hkkkikkkj

2 ¨ 2 ¨ 10`2qloooooomoooooon

21¨2”0 mod 7

(Schritt 2)

” 6 ¨ 103` 5 ¨ 102

` 1 ¨ 10 mod 7

“

´

6 ¨ 102` 5 ¨ 101

` 1loooooooooomoooooooooon

“:z2“651

¯

¨ 10 “ z2 ¨ 10

mit (9) z1 ” z2 ¨ 10 ” 0 mod 7 ô z2 ” 0 mod 7

z2 “ 6 ¨ 102` 5 ¨ 10´

hkkikkj

2 ¨ 10 `phkkikkj

2 ¨ 10 `1qlooooomooooon

“21”0 mod 7

(Schritt 3)

” 6 ¨ 102` 3 ¨ 10 mod 7

“`

6 ¨ 10` 3loooomoooon

“:z3

˘

¨ 10 “ 63 ¨ 10 “ 9 ¨ 7 ¨ 10 ” 0 mod 7 (oder:)

z3 “ 6 ¨ 10´ 3 ¨ 2 ¨ 10loooooooomoooooooon

“0

` 3 ¨ 2 ¨ 10` 3loooooomoooooon

“3¨21”0 mod 7

” 0 mod 7

Teilbarkeit durch 11

Beispiele: Untersuche ob 11 ein Teiler von 4785 bzw. 4766 ist:

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4 7 8 �5

´ 5

4 7 �3

´ 3

4 �4

´ 4

0

ñ ja!

11 | 4785

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

4 7 6 �6

´ 6

4 7 �0

´ 0

4 7

Aus 11��| 47 ñ

nein! 11��| 4766

Warum, was passiert hier?? Benutze wie oben:

z ¨ 10 ” 0 mod 11 ô z ” 0 mod 11 (10)

4785 ” p4785´ 5 ¨ 11q mod 11

“ 4730 “ 473 ¨ 10

473 ” 473´ 3 ¨ 11 mod 11 ( wegen (10) genugt es 473 zu untersuchen)

“ 44 “ 4 ¨ 11 ” 0 mod 11

Weitere Verallgemeinerungen moglich!! (vgl. [P], p. 181)

9. Vollkommene Zahlen

9.1. Beispiele und Definition.

Beispiel

Zahl 6 : T6 “ t1, 2, 3, 6u

Summe der Teilerř

iPT6i “ 1` 2` 3` 6 “ 12 “ 2 ¨ 6

Bemerkung: Bei den Pythagoreern mit ihrer Zahlenmystik stand die Zahl 6

fur das Universum, weil sie Summe sowie auch Produkt ihrer echten Teiler ist:

1` 2` 3 “ 6 “ 1 ¨ 2 ¨ 3

Die Zahl 6 ist also gewissermaßen ’super-’vollkommen. �

Weitere Beispiele:

28 :ř

iPT28i “ 1` 2` 4` 7` 14` 28 “ 4 ¨ 14 “ 2 ¨ 28

Aber das gilt nicht immer:

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3 :ř

iPT3i “ 1` 3 “ 4 ă 2 ¨ 3

4 :ř

iPT4i “ 1` 2` 4 “ 7 ă 2 ¨ 4

5 :ř

iPT5i “ 1` 5 “ 6 ă 2 ¨ 5

7 :ř

iPT7i “ 1` 7 “ 8 ă 2 ¨ 7

8 :ř

iPT8i “ 1` 2` 4` 8 “ 15 ă 2 ¨ 8

...

12 :ř

iPT12i “ 1` 2` 3` 4` 6` 12 “ 28 ą 2 ¨ 12

Eine Zahl n P N heißt vollkommen, wenn die Summe ihrer positiven Teiler

gleich 2 ¨ n ist, d.h.ÿ

iPTn

i “ 2 ¨ n

n heißt defizient, wennř

iPTni ă 2 ¨ n

n heißt abundant, wennř

iPTni ą 2 ¨ n

Satz 9.1 (Satz von Euklid (ca 300 v.Chr.)). Ist 2p ´ 1 eine Primzahl, dann

ist 2p´1p2p ´ 1q eine vollkommene Zahl.

Beweis:

Sei n “ 2p´1p2p ´ 1q mit 2p ´ 1 PZ.

T2p´1 “ t1, 2p ´ 1u weil PZ

T2p´1 “ t1, 21, 22, . . . , 2p´1u

,

/

.

/

-

ñ 2p´1 und 2p´ 1 sind teilerfremd

ñ Tn “ T2p´1p2p´1q “ t1, 2, 22, . . . , 2p´1,

1p2p´ 1q, 2p2p

´ 1q, 22p2p´ 1q, . . . , 2p´1

p2p´ 1qu

ñÿ

iPTn

i “ p((((

((((((((

1` 2` 22` ¨ ¨ ¨ ` 2p´1

q ` p1` 2` 22` ¨ ¨ ¨ ` 2p´1

qp2p��1q

“ p1` 2` 22` ¨ ¨ ¨ ` 2p´1

q2p (geometrische Reiheřp´1

k“0 2i)

“

p´1ÿ

k“0

2i¨ 2p (

řs´1k“0 q

i “qs´1q´1

)

“2p ´ 1

2´ 1¨ 2p

“ p2p´ 1q ¨ 2p

“ 2 ¨ 2p´1p2p´ 1q “ 2 ¨ n

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�

Satz 9.2 (Notwendige Bedingung fur 2p ´ 1 “ Primzahl). Ist 2p ´ 1 eine

Primzahl, so auch p.

Beweis:

Beweis durch Widerspruch: z.z.: Ist p zusammengesetzte Zahl, so auch 2p ´ 1.

Schreibe die zusammengesetzte Zahl p als nichttriviales Produkt: p “ a ¨ b mit

1 ă a, b ă p.

Wir wollen folgendes benutzen:

s´1ÿ

k“1

qk “qs ´ 1

q ´ 1ô pq ´ 1q

s´1ÿ

k“0

qk “ qs ´ 1

Mit q “ 2a und s “ b:

p2a´ 1q ¨

˜

b´1ÿ

k“0

p2aqk

¸

loooooooooooomoooooooooooon

zusammengesetzt!

“ p2aqb´ 1 “ 2a¨b

´ 1 “ 2p´ 1

Die linke Seite ist eine zusammengesetzte Zahl, also auch die rechte Seite der

Gleichung!

M.a.W.: p zusammengesetzt ñ 2p ´ 1 zusammengesetzt! �

Umkehrung von Euklid:

Satz 9.3 (Euler, 18 Jd.). Ist n eine gerade vollkommene Zahl, so gilt

n “ 2p´1p2p´ 1q und 2p

´ 1 ist Primzahl.

Beweis:

n gerade ñn “ 2p´1 ¨ u, mit u P N ungerade, also ggT pu, 2q “ 1, und

p ą 1.

Ware u “ 1 ñ

n “ 2p´1

ñ Tn “ T2p´1 “ t1, 2, 22, 23, . . . , 2p´1u

ñÿ

tPTn

t “p´1ÿ

i“0

2i“

2p ´ 1

2´ 1“ 2p

´ 1loomoon

ungerade

Widerspruch zu n gerade!!! ñu ‰ 1.

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Jeder Teiler t von n “ 2p´1u ist von der Form t “ 2i ¨ d mit d |u und i ď p´ 1.

Da n vollkommene Zahl, folgt (mit geometrischer Reihe)

2 ¨ n “ 2p¨ u “

ÿ

tPTn

t “

˜

ÿ

dPTu

d

¸

¨ p1` 2` ¨ ¨ ¨ ` 2p´1q

“

˜

ÿ

dPTu

d

¸

¨ p2p´ 1q

(11)

Aber:ÿ

dPTu

d “ 1` ¨ ¨ ¨loomoon

“:s

` u “ s` u ą u fur ein s ě 1

Aus Gleichung (11) wird dann:

2p¨ u “ pu` sq ¨ p2p

´ 1q

ô ��2p¨ u “��u ¨ 2p

´ u` s ¨ p2p´ 1q | ` u

ô u “ p2p´ 1q ¨ s

ñ s |u und s ă u (denn 2p ´ 1 ą 21 ´ 1 “ 1)

ware s ‰ 1 ñ u` s “ÿ

dPTu

d “ 1` ¨ ¨ ¨ ` s` ¨ ¨ ¨ ` u ą s` u

ñ s “ 1 ñÿ

dPTu

d “ u` 1 ñ u Primzahl

ñ u “ p2p´ 1q ¨ s “ 2p

´ 1 Primzahl

�

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Zusammenfassung:

Satz 9.4 (Euler-Euklid). Eine gerade Zahl n ist genau dann vollkommen,

wenn sie von der folgenden Form ist:

n “ 2p´1p2p´ 1q mit einer Primzahl 2p

´ 1

Ò 19.1.17 2/2

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10. Fibonaccizahlen, Goldener Schnitt und Irrationalitat

Die Sache mit den Kaninchen:

Ein neu geborenens Kaninchenpaar wirft von Ende des zweiten Lebensmonats

an jeden Monat ein Paar Junge

Satz 10.1 (Rekursionsformel der Fibonacci-Zahlen).

f1 “ 1

f2 “ 2

fn “ fn´2 ` fn´1

Die Folge beginnt mit:

r1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .s

1 // f1 “ 1

f2 “ 1

1

nnnnnn//

1 // f3 “ 2

f4 “ 3

1

rrrrrrrrr2

nnnnnn//

1 // f5 “ 5

f6 “ 8

1

rrrrrrrrr3

rrrrrrrrr3

nnnnnn//

1 // f7 “ 13

f8 “ 21

1

rrrrrrrrr4

rrrrrrrrr6

rrrrrrrrr4

nnnnnn//

1 // f9 “ 34

1

rrrrrrrrr5

rrrrrrrrr10

rrrrrrrr10

rrrrrrrr5 1

1

rrrrrrrrr6

rrrrrrrr15

rrrrrrrr20 15 6 1

1

rrrrrrrrr7

rrrrrrrr21 35 35 21 7 1

||

Fibonaccizahlen und ϕ

ϕ sei der unendliche Kettenbruch:

ϕ :“ 1` 1

1`1

1`1

1`¨¨¨

“ r1, 1, . . .sBeh.“

1

2`

?5

2« 1,62 . . .

Satz 10.2.

qn “fn`2

fn`1

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Beweis:

Durch Induktion:

n “ 0 : f2f1

“ 11“ 1 “ q0

n “ 1 : f3f2

“ 21“ 2 “ q1

n´ 1 ñ n : Vor.: qn´1 “fn`1

fn

qn “ 1` 1qn´1

Ind.Vor.“ 1` fn

fn`1“

fn`1`fnfn`1

RF“

fn`2

fn`1

�

Satz 10.3.

ϕ “ limnÑ8

qn “1

2

´

1`?

5¯

“ Goldener Schnitt

Beweis:

Wegen der Kettenbruchdarstellung von ϕ gilt:

1`1

ϕ“ ϕ | ¨ ϕ

ñ ϕ` 1 “ ϕ2

ô ϕ2´ ϕ´ 1 “ 0

x1{2 “1

2˘

c

1

4` 1 (Losung mit pq-Formel)

“1

2˘

c

5

4“

1

2

´

1˘?

5¯

Da ϕ ą 0 folgt ϕ “ x1 “12

`

1`?

5˘

. �

Korollar 10.4. Der Goldene Schnitt ϕ ist die positive Losung der quadrati-

schen (algebraischen) Gleichung:

ϕ2“ ϕ` 1

Insbesondere ist ϕ ist eine algebraische Zahl.

Satz 10.5.

ϕn“ fn´1 ` fnϕ fur n ě 2

Beweis:

Beweis durch vollstandige Induktion:

n “ 2 ϕ2 “ 1` ϕ “ f1 ` f2ϕ.

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Der Induktionsschritt n´ 1 Ñ n:

ϕn“ ϕn´1

¨ ϕ

“ pfn´2 ` fn´1ϕqϕ (nach Induktionsvoraussetzung)

“ fn´2ϕ` fn´1ϕ2“ fn´2ϕ` fn´1p1` ϕq

“ fn´1 ` pfn´1 ` fn´2qϕ “ fn´1 ` fnϕ

�

Ebenso gibt es eine Rekursionsformel fur die negativen ϕ-Potenzen

Satz 10.6.1

ϕn“ p´1qnpfn`1 ´ fnϕq fur n ě 1.

10.1. Das regelmaßige 5-Eck - Goldener Schnitt.

Es gibt kein gemeinsames Maß fur die Diagonale und Seite des regelmaßigen

Funfecks.

D.h. Die Diagonale und die Seite sind inkommensurabel!

d

aa

d₁

d₁a₁

d “ a` d1 a “ a1 ` d1

d1 “ a1 ` d2 a1 ą “ a2 ` d2

......

ñFolge pdn, anqnPN

Annahme:

d “ n ¨ e a “ m ¨ e mit n,m P N.

Beweis:

Hintereinander Einsetzen :

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d1 “ d´ a “ n1 ¨ e a1 “ a´ d1 “ m1 ¨ e

d2 “ d1 ´ a1 “ n2 ¨ e a2 “ a1 ´ d2 “ m2 ¨ e

......

mit ni,mi P N.

Aber: Die Zahlen dn und an werden bei jedem Schritt mehr als die Halfte

kleiner:

dn`1 ădn2

an`1 ăan2.

ñ Irgendwann gilt:

dn ă e an ă e fur ein n P N.

�

Goldener Schnitt: Was hat das mit dem Goldenen Schnitt zu tun?

Der Goldene Schnitt ist ein Streckenverhaltnis:

|

~~x

|��

1 ##|

Drei Langen:

Lang L “ 1` x, Mittel M “ x, Kurz S “ 1

Mit der folgendermaßen vorgeschriebenen Relation der Verhaltnisse:

L

M“M

S

1` x

x“x

1

1` x “ x2

x2´ x´ 1 “ 0

x1{2 “1˘

?1` 4

2“

1˘?

5

2

es muss ` heißen, da negative Losungen fur Strecken keinen Sinn machen

Losung: M “ L´K “ x “1`

?5

2“: ϕ » 1, 618 . . . . V

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Fur 0 ăM ă L gilt: M teilt L im goldenen Schnitt, wenn:

L “ ϕ ¨M ôL

M“ ϕ

`

ô M “ ϕ ¨ pL´Mqlooomooon

K

ôM

L´M“ ϕ

˘

L=d

M=a

M=a

K=d₁

Zusammenhang zum Funfeck:

K “ d1 “ d´ a “ L´M

Strahlensatz: LM“ M

K

L

M“d

a“dnan“ ϕ

Warum ist ϕ “ 1`?

52

irrational????

Annahme: ϕ “ 1`?

52

ware rational!

ñ ϕ “p

qP Q, also

ñd

a“ ϕ “

p

q

ñd

p“a

q

Sei e :“a

p“d

q

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Dann gilt:

a “ p ¨ e und d “ q ¨ e ñ d, e sind kommensurabel

Also muss ϕ und damit auch?

5 irrational sein! �

10.2. Aperiodische Plasterungen.

Penrose (1973):

2 Fliesen:

Kite und Dart

Seitenverhaltnisse:

Goldener Schnitt ϕ

Verlegevorschrift: Lege

Punkte aneinander

Penrose Pflaster

(1) Mit elementaren Argumenten laßt sich zeigen, daß diese Penrosepflaster

immer aperiodisch sind

(2) Es gibt 8-viele verschiedene Penrose Pflaster, von einem kleinen Aus-

schnitt aus lasst sich aber nicht feststellen, welches man hat

Nichtperiodische Parkette

1966: Robert Berger erfindet ein nichtperiodische Parkett mit 20 426

Grundbausteinen. Diese kann er darauf noch auf 104 Elemente redu-

zieren.

1971: Raphael Robinson: Nichtperiodisches Parkett mit 6 Grundbaustei-

nen.

1973: Unabhangig von Robinson erfindet Roger Penrose ebenfalls ein

nicht-periodische Parkett mit 6 Grundbausteinen, diesen kann er sogar

auf 2 Bausteine Kite und Dart reduzieren.

1982: Dany Shechtman und Kollegen entdecken nicht-periodische Kris-

tallformationen in einer Aluminium-Mangan-Legierung Quasikristalle .

ñ Nobelpreis 2011

10.3. DIN-Norm fur Papier.

Die DIN-Papier Norm

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Kravatte falten

ñWas sagt uns das?

ñdie lange Seite ist so lang wie die Diagonale des Quadrates uber

der kurzen Seite:

ñ l “?

2 ¨ k

Genauere Untersuchung der DIN-Norm:

DIN A0

DIN A1

DIN A2

DIN A3

DIN A4

DIN A0

DIN A1

DIN A2

DIN A3

DIN A4

l₀

k₀

Die Seiten ln und kn sind ein weiteres Beispiel inkommensurabler Zahlenpaare.

i li ki Fi “ F pAiq “ li ¨ ki

0 l0 k0

`

1 “ 20 pm2q spater˘

1 l1 “ k0 k1 “l02

12F0 “ 2´1F0

......

...

n` 1 ln`1 “ kn kn`1 “ln2

2´pn`1qF0

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Daruberhinaus: Seitenverhaltnisse konstant:

lnkn“ln`1

kn`1

“kn`

ln2

˘ “2knln

l2n “ 2k2n

ñ ln “?

2 ¨ kn

Warum sind l0 und k0 inkommensurabel?

Annahmen sie waren kommensurabel: Dann gibt es eine Einheitslange e und

naturliche Zahlen n0,m0 P N mit:

l0 “ m0 ¨ e, k0 “ n0 ¨ e.

Aber

l2n “ k2n´1 “ 2´1l2n´2 “ ¨ ¨ ¨ “ 2ńl0 “l02n

k2n “1

2l2n´1 “ 2´1k2n´2 “ ¨ ¨ ¨ “ 2ńk0 “

k0

2n

mit ungeraden Indices geht das naturlich analog:

l2n`1 “ k2n “ 2´1l2n´1 “ ¨ ¨ ¨ “ 2ńl0 “ 2ńk0 “k0

2n

k2n`1 “1

2l2n “ 2´1k2n´1 “ ¨ ¨ ¨ “ 2ńk1 “ 2´pn`1ql0 “

l02n`1

Kann man die Großen ln und kn auch explizit angeben? Dazu mussen

wir l0 und k0 kennen. Erst hier brauchen wir die Information/Definition:

F0 :“ 1 m2 .

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Zusammen mit ln “?

2 ¨ kn folgt:

l0 ¨ k0 “ 1 m2

k0 “1

l0“

1?

2 ¨ k0

k20 “

1?

2“ 2´

12

k0 “ 2´14 “

14?

2

ñ l0 “

?2

4?

2“ 2

12´ 1

4 “ 214 “

4?

2

Ein bisschen Einsetzen und Rechnerei liefert:

ñ ln “4?

22?

2nm “ 2

1´2n4 m kn “

14?

2 ¨ 2?

2nm “ 2´

2n`14 m

Probe: DIN A4:

l4 “ 21´2¨4

4 m “ 2´74 m “ 0, 2973 m “ 29, 73 cm

und k4 “ 2´94 m “ 0, 2102 m “ 21, 02 cm

Die Irrationalitat von?

2 laßt sich nun analog wie beim goldenen Schnitt

zeigen!

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11. EAN, ISBN, PZN und IBAN

11.1. EAN im Supermarkt.

EAN = Europaische Artikelnummer

Beispiele

Bad Bruckenauer Mineralwasser 4 001784 015309

Seitenbacher Musli 4 008391 041721

Appel Heringsfilet 4 020500 966015

Gemeinsamkeiten:

‚ 13 Ziffern

‚ Anfangsziffer 4 oder bzw. 40

Bedeutung der Ziffern

z.B. Iglo Schlemmerfilet:

405 6100 04221 7

Ò Ò Ò Ò

Landernr. Betriebsnummer Artikelnummer Prufziffer

Bemerkung: Es gibt einige besondere Produkte mit nur 8 Ziffern!

400´ 440 sind fur Deutschland reserviert (vgl. GS1-Landerprafix).

EAN wurde in den 1970-ger Jahren eingefuhrt und wird von der GS1 ver-

waltet. GS1 (Global Standards One) ist eine weltweite, privatwirtschaft-

lich aufgestellte Organisation, die globale Standards zur Verbesserung von

Wertschopfungsketten gestaltet und umsetzt sowie weltweit fur die Vergabe der

Global Trade Item Number (GTIN) fur Produkte sowie weiterer eindeutiger

Idente zur Kennzeichnung von Anlagen, Behaltern, Dokumenten und anderen

Geschaftsobjekten zustandig ist.

In USA: 12-ziffriger UPC-Code.

Beide Codes sind kompatibel:

0`UPC “ EAN

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2018


Was ist die EAN-Prufziffer?

Beim Schreiben einer Zahlenfolge passieren, wie beim Schreiben eines Textes,

verschiedene Fehler:

‚ falsche Ziffer - falscher Buchstabe

‚ Zahlendreher

‚ eine Ziffer zuviel oder zuwenig

‚ Beschadigung des Codes

Bei Worten/Texten laßt sich der richtige Text meistens erraten,

bei Zahlenfolgen aber nicht ñProblem!!

Zur Fehlerentdeckung dient die Prufziffer. Die EAN hat 13 Ziffern: z1z2z3 . . . z12z13:

z1 z2 z3loomoon

Landernr.

z4 . . . z7loomoon

Betriebsnr.

z8 . . . z12looomooon

Artikelnr.

Definiere dann die Prufziffer 0 ď z13 ă 10 mit:

z13 ” ´pz1` z3` z5` z7` z9` z11` 3 ¨ pz2` z4` z6` z8` z10` z12qq mod 10

Fur die Vollstandige EAN gilt dann:

Prufsumme S :“ z1 ` z3 ` z5 ` z7 ` z9 ` z11 ` 3 ¨ pz2 ` z4 ` z6 ` z8 ` z10 ` z12q ` z13

” 0 mod 10

Uberprufung einer vollstandigen EAN auf ihre Korrektheit:

Code wird akzeptiert, falls: S ” 0 mod 10

Beispiele (1)

4 0 5 6 1 0 0 0 4 2 2 1 7

Ó ˆ1 Ó ˆ3 Ó ˆ1 Ó ˆ3 Ó ˆ1 Ó ˆ3 Ó ˆ1 Ó ˆ3 Ó ˆ1 Ó ˆ3 Ó ˆ1 Ó ˆ3 Ó ˆ1

4` 0` 5` 18` 1` 0` 0` 0` 4` 6` 2` `3 `7 “ 50

Prufsumme : 50 ” 0 mod 10 X

(2)

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4 0 2 1 3 7 5 0 0 1 7 4 0

Ó Ó ˆ3 Ó ˆ3 Ó ˆ3 Ó ˆ3 Ó

4` 2` 3` 3` 21` 5` 3` 7` 12` 0 “ 60

S` z13 “ 60

ÿ

“ 60 ” 0 mod 10 ñ X

ñPrufgerat akzeptiert die Nummer!

Haufigkeit der verschiedenen Fehlertypen:

Z.B. beim Eintippen der Ziffer: 4711

Fehlertyp Beispiel Haufigkeit

(1) eine Ziffer falsch 4712 60%

(2) zuviel/zuwenig Ziffern 471 oder 47111 25%

(3) zwei oder mehr Ziffern falsch 4822 8%

(4) Zahlendreher 7411 5%

(5) Vertauschen von Blocken 1147 1%

Hilft die Prufziffer, diese Fehler zu entdecken?

Satz 11.1. Die Eingabe genau einer falschen Ziffer wird durch die Prufziffer

stets erkannt.

Beweis:

Wenn genau eine Ziffer falsch ist ñ drei Moglichkeiten:

(1) Die falsche Ziffer ist unter den Zahlen mit ungeraden Indices: tz1, z3, z5, z7, z9, z11u

(2) Die falsche Ziffer ist unter den Zahlen mit geraden Indices: tz2, z4, z6, z8, z10, z12u

(3) Die Prufziffer z13 ist falsch.

Fall (1): Sei zi mit 1 ď i ď 11 ungerade, die falsche Ziffer. Also zi ‰ zi und da

beide Zahlen zwischen 0 und 9 liegen gilt:

zi ı zi mod 10

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Damit wird eine falsche Prufsumme S berechnet:

S :“ z1 ` ¨ ¨ ¨ ` zi ` ¨ ¨ ¨ ` z11 ` z13 ` 3 ¨ pz2 ` z4 ` z6 ` z8 ` z10 ` z12q

“ z1 ` ¨ ¨ ¨ ` zi ` ¨ ¨ ¨ ` z11 ` z13 ` 3 ¨ pz2 ` z4 ` z6 ` z8 ` z10 ` z12q ` pzi ´ ziq

” 0` pzi ´ ziq ı 0 mod 10

ñFehler wird entdeckt!

Fall (2): Sei zi mit 2 ď i ď 12 gerade, die falsche Ziffer. Also zi ‰ zi und da

beide Zahlen zwischen 0 und 9 liegen gilt:

zi ´ zi ı 0 mod 10 ñ 3pzi ´ ziq ı 0 mod 10

Damit wird eine falsche Prufsumme S berechnet:

S :“ z1 ` ¨ ¨ ¨ ` z11 ` z13 ` 3 ¨ pz2 ` ¨ ¨ ¨ ` zi ` ¨ ¨ ¨ ` z12q

” 3pzi ´ ziq ı 0 mod 10

ñFehler wird entdeckt!

Fall (3): Prufziffer falsch, klar wird erkannt! �

Werden auch Fehler mit zwei falschen Ziffern erkannt?

Diese Fehler werden nicht notwendigerweise erkannt:

Beispiel:

richtige EAN: 4 008391 041721

falsche EAN: 4 018291 041721

Prufsummen:

S ´ S “ 4` 1` 2` 1` 4` 7` 3p0` 8` 9` 0` 1` 2q

´ p4` 0` 3` 1` 4` 7` 3p0` 8` 9` 0` 1` 2qq

“ 1` 2´ 0´ 3 “ 0

ñFehler wird nicht entdeckt!

Drehfehler

Satz 11.2. Die einzigen Drehfehler benachbarter Ziffern zi, zi`1, die nicht

entdeckt werden, sind diejenigen mit:

zi ” zi`1 mod 5

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Beweis:

EANfalsch : z1z2z3 . . . zi`1ziloomoon

Drehfehler

. . . z12z13

Wenn i gerade ñ zi steht an ungerader Position:

SEANfalsch“ z1 ` ¨ ¨ ¨ ` zi ` . . .` z13 ` 3 ¨ pz2 ` ¨ ¨ ¨ ` zi`1 ` . . .` z12q

“ z1 ` ¨ ¨ ¨ ` zi`1 ` . . .` z13 ` 3 ¨ pz2 ` ¨ ¨ ¨ ` zi ` . . .` z12qlooooooooooooooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooooooooooooon

S von korrekter EAN ”0 mod 10

` zi ` 3zi`1 ´ zi`1 ´ 3zi

” `zi ` 3zi`1 ´ zi`1 ´ 3zi “ 2pzi`1 ´ ziq mod 10

Fehler wird genau dann nicht entdeckt, wenn:

SEANfalsch” 0 mod 10

ô 2pzi`1 ´ ziq ” 0 mod 10 (durch 2 teilen)

ô zi`1 ´ zi ” 0 mod 5 (weil 10ggT p2,10q

“ 102“ 5)

Wenn i ungerader Index ist, analoge Rechnung. �

Das laßt sich naturlich auf andere nicht benachbarte Drehfehler erweitern,

dann aber viele Fallunterscheidungen. Aber, Drehfehler sind eigentlich immer

benachbart!

11.2. ISBN.

Quelle: Sakurambo, English Wikipedia

Vor 2007 ISBN-10 : 10 Ziffern

Nach 2007 ISBN-13 : 13 Ziffern

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Beispiel: Ende 2006 erschien: Franke, M., Didaktik der Geometrie in der

Grundschule, mit den 2 ISBN Nummern:

ISBN-10: 3-8274-1511-X

ISBN-13: 978-3-8274-1511-0

ISBN-13 funktioniert analog EAN!

Bedeutung der Ziffern bei ISBN-10:

Gruppennr Verlagsnr. Titelnummer Prufziffer

Ó Ó Ó Ó

3 - 8274 - 1511 - X

Gruppennummer 3: deutschprachiger Raum (Deutschland, Osterreich, Schweiz)

(Die Gruppennummer kann auch mehrere Stellen haben, z.B. 82-Norwegen, 84-

Spanien, 88-Italien, 956-Chile. . . . Entsprechend hat die Verlagsnummer dann

weniger Stellen.)

Prufziffer: romisch X “ 10

Prufsummeř

:

ÿ

:“ 3 ¨ 10` 8 ¨ 9` 2 ¨ 8` 7 ¨ 7` 4 ¨ 6` 1 ¨ 5` 5 ¨ 4` 1 ¨ 3` 1 ¨ 2`X ¨ 1

“ 30` 72` 16` 49` 24` 5` 20` 3` 2` 10

“ 231 “ 21 ¨ 11

” 0 mod 11

Wennř

” 0 mod 11 wird die ISBN akzeptiert!

Allgemeine Beschreibung

ISBN-10: z10 ´ z9z8z7z6 ´ z5z4z3z2 ´ z1

Prufziffer: z1 :” ´pz10 ¨ 10` z9 ¨ 9` . . .` z2 ¨ 2q mod 11

ist also eine Ziffer 0 ď z1 ď 10 und statt 10 schreibt man romisch X

Prufsumme:ř

:“ z10 ¨ 10` z9 ¨ 9` . . .` z2 ¨ 2` z1 ¨ 1

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Die ISBN wird akzeptiert, wenn die Prufzumme kongruent 0 modulo 11 ist,

denn dann:ÿ

” 0 mod 11

ô 0 ” z10 ¨ 10` z9 ¨ 9` . . .` z2 ¨ 2` z1 ¨ 1 mod 11

ô z1 ” ´pz10 ¨ 10` z9 ¨ 9` . . .` z2 ¨ 2q mod 11 (wie es sein soll!)

Satz 11.3.

‚ Das ISBN Prufverfahren deckt alle Fehler auf, bei denen genau eine

Ziffer falsch ist.

‚ Fehler mit genau 2 falschen Ziffern werden nicht immer entdeckt.

‚ Alle Drehfehler (benachbart oder nicht) werden entdeckt.

‚ Vertauschungen benachbarter 2-er Blocke werden haufig entdeckt.

11.3. Die Pharmazentralnummer PZN.

Die Pharmazentralnummer PZN ist eine siebenstellige Ziffernfolge:

6 Ziffern + Prufziffer: a1 a2 a3 a4 a5 a6 p

Prufsumme: S :“ 2 ¨ a1 ` 3 ¨ a2 ` 4 ¨ a3 ` 5 ¨ a4 ` 6 ¨ a5 ` 7 ¨ a6

Prufziffer: p :” S mod 11

oder aquivalent: Die Prufnummer ist der Rest beim Teilen der Prufsumme mit

Rest durch 11 ñ

S “ b ¨ 11` p mit 0 ď p ď 10

Beispiel: PZN - 3414966

Auf Korrektheit uberprufen:

2 ¨ 3` 3 ¨ 4` 4 ¨ 1` 5 ¨ 4` 6 ¨ 9` 6 ¨ 6 “ 138 “ 12 ¨ 11` 7 ” 6 mod 11 X

da p “ 6!!Versionvom

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11.4. IBAN, Verfahren Modulo 97-10 (ISO 7064).

IBAN (=International Bank Account Number) zusammen mit BIC (= Bank

Identifier Code) bilden die international einheitlichen Daten zur Identifizierung

eines Kontos, die im Rahmen von SEPA (Single Euro Payments Area) zum na-

tionalen und internationalen Zahlungsverkehr benotigt werden. IBAN-Pflicht:

1. Februar 2016 (letzte Frist)

Format der BIC: XXXXloomoon

Bankcode

XXloomoon

Landercode

XXloomoon

Ortscode

XXXloomoon

Filiale

Beispiel: VR Bank Nurnberg:

BIC: GENO DE F1 N02 BLZ: 760 60 618

Format der IBAN: maximal 34 Alphanummerische Zeichen:

α1 α2loomoon

Land

p1 p2loomoon

Prufzahl

k1 k2 ¨ ¨ ¨ k30looooomooooon

Kontoidentifikation

Fur Deutschland gilt:

DE p1 p2loomoon

Prufzahl

b1 b2 ¨ ¨ ¨ b8loooomoooon

Bankleitzahl

k1 k2 ¨ ¨ ¨ k10looooomooooon

Kontonummer

Berechnung einer IBAN bzw. der Prufziffer(n)

Verfahren Modulo 97-10 (ISO 7064)

Beispiel:

BLZ: 760 60 618

Kontonummer: 218561 (ist eine zulassige fiktive Kn.)

Kontonummer hat 6 Stellen, mit Nullen zu 10 Stellen erganzen ñ

IBAN: DE p1p2 7606 0618 0000 2185 61

Zur Berechnung der Prufziffern setzt man diese zunachst gleich 00

DE 00 7606 0618 0000 2185 61

Umstellen 7606 0618 0000 2185 61 DE 00

Ersetze Buchstaben durch Zahlen: A=10, B=11, C=12, D=13. . .

7606 0618 0000 2185 6113 1400

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Teilen mit Rest modulo 97

7606 0618 0000 2185 6113 1400 ” 31 mod 97

98´ 31 “ 67 “: p1p2

Problem Mein Taschenrechner macht Folgendes:

7606 0618 0000 2185 6113 1400 ˜R ñ 7,8413 ¨ 1021

Hilfsmethode (da ggT p97, 10q “ 1):

7606 0618 0000 2185 6113 1400 “

9 Ziffernhkkkkkikkkkkj

760606180looooomooooon

”80 mod 97

000 2185 6113 1400

” 80 000 2185 6113 1400 mod 97

“

7 Ziffernhkkkkikkkkj

8000021loooomoooon

”43 mod 97

85 6113 1400

” 43 85 6113 1400 mod 97

“


4385611loooomoooon

”47 mod 97

3 1400

” 47 3 1400 mod 97

“


4731400loooomoooon

”31 mod 97

” 31 mod 97

Prufzahl: 98´ 31 “ 67

IBAN: DE 67 7606 0618 0000 2185 61

(1) Prufziffern auf 00 setzen

(2) α1α2p1p2 nach hinten umstellen

(3) Buchstaben durch Zahlen ersetzen: A=10, B=11, C=12, D=13. . .

(4) R = Rest modulo 97 berechnen

(5) Prufzahl p1p2 “ 98´R

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Prufung einer IBAN auf Korrektheit

IBAN: DE 67 7606 0618 0000 2185 61

Umstellen und Buchstaben ersetzen:

7606 0618 0000 2185 6113 1467 ” 1 mod 97 ñ korrekt

Klar, denn

7606 0618 0000 2185 6113 1400 ” 31 mod 97

ñ 7606 0618 0000 2185 6113 1467 ” 31` 67 “ 98 ” 1 mod 97

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12. Kryptographie

12.1. Monoalphabetische Substitution.

Hierbei werden den Buchstaben des Alphabets A (Klartextalphabet) eindeutig

die Buchstaben eines Geheimtextalphabets G zugeordnet (angeblich schon von

Julius Casar angewandt). Der Code bzw. die Codierung oder Verschlusselung

ist die Abbildung:

κ : A ÝÑ G

Der Schlussel ist die Umkehrabbildung:

κ´1 : G ÝÑ A

In diesem Abschnitt gilt:

G “ A

Methode 1: Zyklische Vertauschung

A “ tα1, α2, . . . , αdu und κnpαiq “ αi`n

wobei der Index modulo d zu verstehen ist, also eigentlich αi “ αi

Beispiel: A “ unser Alphabet, n “ 3:

Klartextalphabet A B C D . . . W X Y Z

Geheimtextalphabet D E F G . . . Z A B C

Hat das Alphabet A genau d (hier d “ 26) Elemente, so gibt es nur d´1 (bzw.

25) Verschlusselungen dieser Art.

Methode 2: Multiplikation statt Addition im Index:

A “ tα1, α2, . . . , αdu und κmpαiq “ αi¨m

Beispiel: m “ 2 und A “ tA,B, . . . Zu, also d “ 26

Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

A A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

G B D F H J L N P R T V X Z B D F H J L N P R T V X Z

Problem: die Abbildung ist nicht injektiv!!

Verallgemeinerung:

Wenn ggT pm, dq ‰ 1, dann ist κm nicht injektiv und hat keine Umkehrabbil-

dung, kommt also nicht in Frage.

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Wenn ggT pm, dq “ 1, dann ist κm injektiv, aber es gibt nicht allzu viele neue

Verschlusselungen, namlich

ϕpdq ´ 1 (bzw. ϕp26q ´ 1 “ ϕp13q ¨ ϕp2q ´ 1 “ 12 ¨ 1´ 1 “ 11q

(ϕpdq ´ 1, weil ϕpdq die Anzahl der Moglichkeiten fur m mit ggT pm, dq “ 1,

aber m “ 1 bedeutet die Identitat, fallt also heraus.)

Die Methode ist also auch ziemlich unsicher, weil die wenigen Moglichkeiten

einfach und schnell durchgepruft werden konnen.

Methode 3: Multiplikation und Addition kombinieren:

G “ A “ tα1, α2, . . . , αdu und κm,npαiq “ αi¨m`n

Davon gibt es nach dem oben gesagten ϕpdq Moglichkeiten fur m, so daß

ggT pm, dq “ 1, sowie d Moglichkeiten fur n, aber κ1,1 “ id fallt heraus, al-

so insgesamt gibt es

ϕpdqd´ 1 Moglichkeiten

(bzw. ϕp26q ¨ 26´ 1 “ 12 ¨ 26´ 1 “ 311).

Entschlusselung von einem mit κm,n codiertem Text

Beispiel: d “ 26 (also A “ tA,B, . . . Zu) und pm,nq “ p3, 17q, also κ3,17.

Behauptung: κ´13,17 “ κ9,3.

9 ¨ p3 ¨ i` 17q ` 3 “ 27 ¨ i` 9 ¨ 17` 3 “ 27Ò

1 mod 26

¨ i` 156Ò

6¨26

” i mod 26

κ9,3 ˝ κ3,17pαiq “ α9¨p3¨i`17q`3 “ αi (fur alle i)

�

Allgemein:

Angenommen es gibt m1, n1, so daß fur alle Indices i P t1, . . . , du gilt:

m1¨ pi ¨m` nq ` n1 ” i mod d

Dann gilt sicher

κm1,n1 ˝ κm,n “ id

Satz 12.1. κm,n ist genau dann invertierbar, wenn ggT pm, dq “ 1. Dann gilt

ferner

κ´1m,n “ κm1,n1

mit m1, n1 P Z, so daß m1 “ m´1 in Z{dZ und n1 ” ´m1 ¨ n mod d.

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Beweis:

κm,n ist genau dann invertierbar, wenn es m1, n1 gibt mit:

m1¨ pi ¨m` nq ` n1 ” i mod d @i (*)

Aber

m1¨ pi ¨m` nq ` n1 “ m1m ¨ i` pm1n` n1q

also (*) gilt genau dann, wenn:

m1m ” 1 und m1n` n1 ” 0 mod d

Damit m1 bzw. m´1 P Z{dZ existiert, muss ggT pm, dq “ 1 gelten! �

Beispiel d “ 26 und pm,nq “ p3, 2q, also κ3,2:

Da ggT p3, 26q “ 1 ist κ3,2 invertierbar. Aber:

κ3,2pα12q “ α3¨12`2 “ α38 “ α12

Also hat κ3,2 Fixpunkte und ist damit ungeeignet fur eine Verschlusselung!

Wann hat κm,n Fixpunkte?

Offenbar gilt:

κm,npαiq “ αi ô m ¨ i` n ” i mod d (fur ein spezielles i)

ô d | pmi` n´ iq “ pm´ 1qi` n (fur dieses i)

Das laßt sich nur in Spezialfallen weiter untersuchen:

Beispiel d “ 26 und ggT pm, 26q “ 1

26 | pmi` n´ iq “ pm´ 1qi` n

Aus ggT pm, 26q “ 1 folgt, daß m ungerade ist, somit sind pm´1q und pm´1qi

fur alle i gerade. Wenn nun n ungerade ware, dann ware pm´1qi`n ungerade

und damit kein Vielfaches der geraden Zahl 26.

Folgerung: Wenn d “ 26, ggT pm, 26q “ 1 und n ungerade ist, dann ist

κm,n invertierbar und fixpunktfrei!

Je mehr Codes zur Verfugung stehen, desto schwieriger bzw. langsamer wird

es, alle Moglichkeiten durchzuprobieren, um den richtigen Schlussel zu finden.

Mit den obigen Methoden gibt es aber nicht viele Codes, weniger als 311 im

Fall d “ 26.

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Weitere Verallgemeinerung: man permutiert die Buchstaben des Alphabets

nicht nur linear, wie oben beschrieben, sondern laßt alle denkbaren Permutationen

der d Buchstaben zu. Dann erhoht sich die Anzahl der Moglichkeiten auf d!

Codes!

Aber auch diese vielen Codes lassen sich relativ einfach (mit Rechnereinsatz)

entschlusseln (d.h. den richtigen Schlussel finden), wenn man zusatzliche Ei-

genschaften eines Textes, wie zum Beispiel Buchstabenhaufigkeiten (z.B. e, n,

i,. . . ) und Haufigkeiten von Buchstaben-Kombinationen ( z.B. qu, sch, st, ch

. . . ) in Abhangigkeit von der Sprache naturlich, berucksichtigt. Denn diese

Buchstaben- und Kombinationen findet man dann auch im Geheimtext und

kann so auf gewisse Buchstaben zuruchschließen.

12.2. Polyalphabetische Substitution.

Hierbei werden in Folge n verschiedene Codes κ1, . . . , κn auf die Buchstaben

des Klartextes angewandt:

Wenn z.B. wieder A “ tA,B, . . . , Zu, erfolgt die Verschlusselung von einem

Klartext folgendermaßen:

Klartext: dies ist ein code . . . er kann sicher entschluesselt werden . . .

Geheimtext: κ1(d)κ2(i)κ3(e)κ4(s)κ5( i)κ6(s)κ7(t)κ8( e)κ9(i)κ10(n)κ11(c)

κ12(o)κ13(d)κ14(e)κ15 . . . κn´3(e)κn´2(r)κn´1( k)κn(a)κ1(n)κ2(n)κ3( s)κ4(i)

κ5(c) κ6(h)κ7(e)κ8(r)κ9(e) κ10(n)κ11(t)κ12 (s)κ13(c)κ14(h)κ15 (l)κ16 (u)κ17

(e)κ18 (s)κ19 (s)κ20(e) κ21(l) κ22(t). . .

Die Anzahl n der Codes κi heißt Periodenlange. Die Anzahl der moglichen

Codes bzw. Schlussel ist damit p26!qn.

Kennt man die Periodenlange, so ist eine Entschlußelung einfacher. Darauf

bemuht man Methoden wie bei der monoalphabethischen Substitution.Versionvom

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13. RSA-Verschlusselungssystem

Das RSA-Verschlusselungssystem ist ein 1978 entwickeltes Verfahren. Benannt

nach seinen Autoren R. Rivest, A. Shamir und L.Adleman.

Vorgehensweise:

Eine Sender A will dem Empfanger B eine verschlusselte Nachricht ubermit-

teln.

(1) Der Empfanger B bestimmt zwei mindestens 100-ziffrige Primzahlen p

und q.

(2) n :“ p ¨ q

(3) Die Anzahl der zu n teilerfremden naturlichen Zahlen ist (vgl. Satz 5.30

in Abschnitt 5.4):

ϕpnq “ ϕpp ¨ qq “ ϕppq ¨ ϕpqq “ pp´ 1q ¨ pq ´ 1q

(4) Sei 1 ă s ă ϕpnq eine zu ϕpnq teilerfremde Zahl (also ggT ps, ϕpnqq “ 1).

Z.B. tuts eine Primzahl s ą maxpp, qq, denn diese teilt weder pp´ 1q

noch q ´ 1 !

(5) Bestimme die naturliche Zahl 1 ă t ă ϕpnq mit:

s ¨ t ” 1 mod ϕpnq ô t “ s´1

Verwende dazu den Euklidischen Algorithmus wie in Kapitel 5.

(6) Zur folgenden Ver- und Entschlusselung werden nur die Zahlen s, t und

n benutzt. B veroffentlicht die Zahlen s und n.

Die Zahl t wird geheimgehalten!!

Die Zahlen p, q und ϕpnq werden nicht mehr gebraucht und sinnvol-

lerweise vernichtet.

(7) Der Sender A verwandelt den Klartext samt Satzzeichen in eine Zif-

fernfolge Z.

Ublich ist z.B. der ASCII-Code (American Standard Code for

Information Interchange), eine 7 oder 8 Bit Zeichencodierung (27 “

128 Zeichen konnen so kodiert werden, die deutschen Umlaute gibt

es nicht, aber diverse Sonderzeichen, so gilt z.B. A “ 1000001, B “

1000010 und C “ 1000011).

Man zerlegt die Ziffernfolge Z in gleichlange Ziffernblocke

Z “ Z1, Z2, . . . , Zk

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Die Lange dieser Ziffernblocke sei ď 100. Damit alle Ziffernblocke gleich

lang sind muss des letzte Block Zk unter Umstanden geeignet aufgefullt

werden.

(8) Verschlusselung: A kennt die zur Verschlusselung notwendigen Zah-

len s und n von B (da offentlich). Nun werden die Zi durch Ci fur

i “ 1, 2, . . . , k ersetzt, wobei:

Zsi ” Ci mod n mit 1 ă Ci ă n

A ubermittelt die Ziffernfolge C1, C2, . . . , Ck an B.

(9) B kann mit Hilfe der Zahl t den Code entschlusseln, also die Ziffern-

blocke Zi zuruckgewinnen, denn:

Cti ” pZ

si q

t“ Zs¨t

i

?” Zi mod n

Beweis von Zs¨ti ”Zi mod n

Nach Vorraussetzung haben p und q mindestens 100 Stellen, aber

alle Zi haben weniger als 100 Stellen. Somit gilt Zi R tp, qu. Da p und

q Primzahlen sind gilt:

Tn “ Tp¨q “ t1, p, q, p¨q||n

u ñ Zi R Tn ñ ggT pZi, nq “ 1

Nach dem Eulerschen Satz (Abschnitt 5.4) gilt somit:

Zϕpnqi ” 1 mod n

Andererseits gilt nach Wahl von s, t und n:

s ¨ t ” 1 mod ϕpnq

ô s ¨ t “ 1` b ¨ ϕpnq (fur ein b P N)

ñ Zs¨ti “ Z1`b¨ϕpnq

“ Zi ¨

´

Zϕpnqi

¯b

|||

1

” Zi mod n

�

Fazit: B muss einfach die Blocke Ci mit t potenzieren um so die Zi

zuruckzugewinnen.

Die Sicherheit des RSA-Verfahrens beruht auf dem immensen Zeitaufwand,

große Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Denn zur Bestimmung des

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geheimen Decodierschlussels t muß die Kongruenz

s ¨ t ” 1 mod ϕpnq

gelost werden. Weil aber p, q, ϕpnq “ pp ´ 1q ¨ pq ´ 1q und zudem t geheim

gehalten wurde, ist die Zerlegung n “ p ¨q der bekannten Zahl n in ihre beiden

Primfaktoren p und q notig. Aber das ist auch fur leistungsstarke Rechner sehr

zeitaufwendig.

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Elementare Zahlentheorie -...

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