Elemente der Algebra - Landau · Elemente der Algebra 1 Programm & Argumentationsgrundlagen. 2...

Dr. Jürgen RothFachbereich 6: AbteilungDidaktik der Mathematik

Dr. Jürgen Roth

4.1

Elemente der Algebra

1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

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4.2

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Inhaltsverzeichnis


1 Programm & Argumentationsgrundlagen

2 Funktionen

3 Lineare Funktionen, Gleichungenund Gleichungssysteme

4 Quadratische Funktionen und Gleichungen

5 Exponentialfunktionen




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4.3


5 Exponen-tialfkt.

Dr. Jürgen Roth

4.3

Dr. Jürgen RothFachbereich 6: AbteilungDidaktik der Mathematik

1 Program & Grund-lagen




5 Exponen-tialfkt.

4 Quadratische Funktionen und Gleichungen





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4.4


5 Exponen-tialfkt.

Quadratische Funktionen im Alltag




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4.5


5 Exponen-tialfkt.





Dr. Jürgen Roth

4.6


5 Exponen-tialfkt.





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4.7


5 Exponen-tialfkt.

Anhalteweg

Bremsweg sB(v)

v: Geschwindigkeit in m/s

aB: Bremsverzögerung (8 m/s²)

Reaktionsweg sR(v)

v: Geschwindigkeit in m/s

tR: Reaktionszeit (ca. 1 s)

sR(v) = tR ⋅ v

Anhalteweg sA(v) = sR(v) + sB(v)

2

BB 2

1)( v

avs ⋅=

vtva

vs ⋅+⋅= R2

BA 2

1)(




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4.8


5 Exponen-tialfkt.

Anhalteweg

sRsBsA




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4.9


5 Exponen-tialfkt.

Koeffizienten & Funktionsgraph: x + chttp://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/parabel/




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4.10


5 Exponen-tialfkt.

Koeffizienten & Funktionsgraph: (x – b)²http://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/parabel/




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4.11


5 Exponen-tialfkt.

Präsenzübunghttp://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/parabel/




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4.12


5 Exponen-tialfkt.

Koeffizienten & Funktionsgraph: a⋅x²http://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/parabel/




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4.13


5 Exponen-tialfkt.

Präsenzübunghttp://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/parabel/




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4.14


5 Exponen-tialfkt.

Koeffizienten & Funktionsgraph: Scheitel

cxbxaxfxf +⋅+⋅=→ 2)(,: aRR




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4.15


5 Exponen-tialfkt.

Lineare Funktionen

Definition:

Eine Funktion f : R→R, x ax² + bx + c mit a, b, c ∈ Rund a 0 heißt quadratische Funktion.

Darstellungen für den Funktionsterm einer quadratischen Funktion:

(1) f(x) = ax2 + bx + c allgemeine Form

(2) f(x) = a⋅ (x – xS)2 + yS Scheitelpunktform

(3) f(x) = a⋅ (x – x1) ⋅ (x – x2) faktorisierte Form

Die Darstellungen (1) und (3) sind gut zur Lösung quadratischer Gleichungen, also letztlich zur Nullstellenbestimmung geeignet.

Aus der Darstellung (2) können direkt die Koordinaten des Scheitels des zugehörigen Funktionsgraphen (Parabel) abgelesen und damit Extremwertaufgaben gelöst werden.




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4.16


5 Exponen-tialfkt.

Zusammenhang zwischen den Darstellungen

( ) = + +2f x ax bx c⎛ ⎞= ⋅ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 ba x x ca

+ +a 2x ax bx c

( )⋅ − +a2

S Sx a x x y

22 2b b

aba x x c

2 aa 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −

⎛ ⎞= ⋅ + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2b ba x c2a 4a

⎛ ⎞= ⋅ + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

= − xS = yS

( )2b b2a 4aS c⇒ − −

2 2

2 22 b b

a2 2ba x x

aac

a⎛ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎞ ⋅= ⋅ + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )

2 2

2

b b

b

a

a

2a+ +

= +




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4.17


5 Exponen-tialfkt.

Präsenzübung

Termumformung

Formen Sie analog zur letzten Folie den Term a⋅ (x – xS)2 + yS so um, dass Sie durch Koeffizientenvergleich die Koeffizienten b und c des umgeformten Terms ax2 + bx + c in Abhängigkeit von a, xS und yS ablesen können.




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4.18


5 Exponen-tialfkt.

Lösungsformeln

2

2

2

0

42

oder

42

ax bx c

b b acxa

b b acxa

+ + =

− + −=

− − −=

2 4 0b ac− =2 4 0b ac− < 2 4 0b ac− >

2

02p q⎛ ⎞ − <⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

02p q⎛ ⎞ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

02p q⎛ ⎞ − >⎜ ⎟

⎝ ⎠

keineLösung

eineLösung

zweiLösungen




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4.19


5 Exponen-tialfkt.

Herleitung der p-q-Lösungsformel

)0(:02 ≠=+⋅+⋅ aacxbxa

02 =+⋅+ac

xab

x

02 =+⋅+ qxpx

22

2

2

)(

baba

ba

++=

+

q−

qxpx −=⋅+22

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

p

qpp

xpx −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅+

222

22

qpp

x −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

42

22

Fallunterscheidung für die Diskriminante:

qp

D −=4

2

1. Fall: D < 0Die Wurzel aus D ist nicht definiert.

Keine Lösung.

2. Fall: D = 0

02

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⇒

px

02

=+⇒p

x

2p

x −=⇒

3. Fall: D > 0q

ppx −=+⇒

42

2

2für

42

2für

42

2

2

pxq

ppx

pxq

ppx

−<−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−≥−=+

qpp

xqpp

x −−−=∨−+−=⇒4242

2

2

2

1




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4.20


5 Exponen-tialfkt.

Satz von Vieta

Satz von Vieta

Zwei reellen Zahlen x1 und x2 sind genau dann Nullstellen der quadratische Funktion f : R→ R, x x² +p⋅x + q mit p, q ∈ R, wenn gilt:

p = –(x1 + x2)

q = x1 ⋅ x2

Beweis:

„ “:

Sind x1 und x2 zwei Nullstellen von f(x) = x² +p⋅x + q, dann gilt:

0 = x² +p⋅x + q = (x – x1) ⋅ (x – x2) = x² – (x1 + x2)⋅x + x1 ⋅ x2

Koeffizientenvergleich liefert: p = –(x1 + x2) und q = x1 ⋅ x2




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4.21


5 Exponen-tialfkt.

Satz von Vieta

Satz von Vieta

Zwei reellen Zahlen x1 und x2 sind genau dann Nullstellen der quadratische Funktion f : R→ R, x x² +p⋅x + q mit p, q ∈ R, wenn gilt p = –(x1 + x2) und q = x1 ⋅ x2.

Beweis:

„ “:

Für die Koeffizienten p und q des quadratischen Terms f(x) = x² +p⋅x + q gelte p = –(x1 + x2) und q = x1 ⋅ x2.

O.B.d.A. gelte x1 ≤ x2.

f(x) = x² –(x1 + x2)⋅x + x1 ⋅ x2. Einsetzen in die p-q-Formel liefert:

( )21

22121

2

, 4242xx

xxxxq

ppx ba ⋅−

+±

+=−±−=

Fortsetzung auf der nächsten Seite




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4.22


5 Exponen-tialfkt.

Satz von Vieta

( )21

22121

, 42xx

xxxxx ba ⋅−

+±

+=

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+±+⋅= 21

22121 4

21

xxxxxx

[ ]212221

2121 42

21

xxxxxxxx −++±+⋅=

[ ]2221

2121 2

21

xxxxxx +−±+⋅=

[ ]22121 )(

21

xxxx −±+⋅=

[ ]212121

xxxx −±+⋅=

( )[ ]21212121

xxxxxx

−+⋅=≤

m

[ ]

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−++⋅=

=+−+⋅=⇒

12121

22121

2121

xxxxxx

xxxxxx

b

a

#

( ) ( )[ ]212

2121 441

21

xxxxxx ⋅⋅−+⋅±+⋅=




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4.23


5 Exponen-tialfkt.

Präsenzübung

Quadratische Ungleichung

Bestimmen Sie die x ∈ R, für die die quadratische Ungleichung x2 – 8x + 12 < 0 zu einer wahren Aussage führt.

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung x2 – 8x + 12 < 0 über der Grundmenge R.




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4.24


5 Exponen-tialfkt.

Extremwertproblem

Problem:

Mit 120 m Zaun soll ein rechteckiger Auslauf für Hühner abgegrenzt werden. Wie erhält man eine möglichst große Fläche, wenn der Auslauf an einerHauswand angelegt werden soll?

a a

b

ba += 2120

baA ⋅=

( )aaA 2120 −⋅=

aaA 1202 2 +−= ( )21−⋅

aaA 60221 −=⋅− ( )2

260+

90060900 221 +−=+⋅− aaA

( )2

21 30900 −=+⋅− aA

( ) 90030 2

21 −−=⋅− aA

900−

( )2−⋅

( ) 1800302 2 +−⋅−= aA

Der Graph dieser quadrati-schen Funktion ist eine nach unten (–2) geöffnete Parabel mit dem Scheitel S(30|1800).

Ergebnis:Damit ist der maximale Auslauf 30 m breit und 60 m lang. Es handelt sich also um ein halbes Quadrat.




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4.25


5 Exponen-tialfkt.

Präsenzübung

Problem:

Mit 120 m Zaun soll ein rechteckiger Auslauf für Hühner abgegrenzt werden. Wie erhält man eine möglichst große Fläche, wenn der Auslauf auf offenem Gelände angelegt werden soll?

a a

b

b




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4.26


5 Exponen-tialfkt.

Exkurs: Potenzen und Potenzfunktionen

Permanenzprinzip

Erweiterungen so, dass die bisherigenGesetze & Rechenregeln gültig bleiben!

Potenzen mit Exponenten aus N:

Beispiel:

Definition: Für a ∈R und n ∈ Nmit n ≥ 2 gilt:

Bezeichnungen:

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1442443

5

5 Faktoren

2 2 2 2 2 2

= ⋅ ⋅ ⋅K14243

n

n Faktoren

a : a a a

anExponent

BasisPotenz




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4.27


5 Exponen-tialfkt.


Rechengesetze: m, n ∈ N \ {1} und a ∈ R

+

+

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =K K14243 14243144424443

Def Def.m n m n

m Faktoren n Faktoren

m n Faktoren

a a a a a a a

−

−

⎧⎪ >⎪⋅ ⋅

= = =⎨⋅ ⋅ ⎪⎪ <⎩

64748K

K14243

m Faktoren m n

Def. Kürzen!m n

n Faktorenn m

a für m na aa : a 1 für m na a

1 für m naa 0≠

+

+

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =K K14243 14243144424443

Def Def.m n m n

m Faktoren n Faktoren

m n Faktoren

a a a a a a a

−

−

⎧⎪ >⎪⋅ ⋅

= = =⎨⋅ ⋅ ⎪⎪ <⎩

64748K

K14243

m Faktoren m n

Def. Kürzen!m n

n Faktorenn m

a für m na aa : a 1 für m na a

1 für m na




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4.28


5 Exponen-tialfkt.


Rechengesetze: m, n ∈ N \ {1} und a ∈R

( ) = ⋅ ⋅K14243

Def.nm m m

nFaktoren

a a a

⋅

⋅

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⋅ ⋅ =

64748 64748K K K

14444244443

K14243

mFaktoren mFaktorenDef.

nKlammern

Def.m n

m nFaktoren

a a a a

a a a ⋅

⋅

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⋅ ⋅ =

64748 64748K K K

14444244443

K14243

mFaktoren mFaktorenDef.

nKlammern

Def.m n

m nFaktoren

a a a a

a a a

( ) = ⋅ ⋅K14243

Def.nm m m

nFaktoren

a a a




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4.29


5 Exponen-tialfkt.


Rechengesetze: m, n ∈ N \ {1} und a ∈R

[ ][ ]

+

+

⋅ =

⋅ =

m 1 m 1

m m 1

vgl.

vgl. Def.

a a a

a a a

=1a a

[ ]+⋅ = =

⎡ ⎤⋅ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

m 0 m 0 m

m m

vgl.

1 ist neutrales Element

der Multiplikation.

a a a a

a 1 a

=0a 1

[ ][ ]

+

+

⋅ =

⋅ =

m 1 m 1

m m 1

vgl.

vgl. Def.

a a a

a a a

=1a a

[ ]+⋅ = =

⎡ ⎤⋅ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

m 0 m 0 m

m m

vgl.

1 ist neutrales Element

der Multiplikation.

a a a a

a 1 a

=0a 1

Da lineare Gleichungen eindeutig lösbarbleiben sollen, muss festgelegt werden:

Wie oben muss man also festlegen: Achtung:a ∈ R\{0}




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4.30


5 Exponen-tialfkt.


Rechengesetze: n ∈ N0 und a, b ∈ R

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅K144424443

Kommutativg.Assoziativg. Def.

n

n Faktoren

(a b) (a b) (a b)

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅K K14243 14243

Def.n n

n Faktoren n Faktoren

a b a a b b

⋅ ⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

64748K

KK 144244314243

n Faktorennn Def. Def.

n nn

n Faktorenn Faktoren

a a a a a aa : bb b b b b b

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅K K14243 14243

Def.n n

n Faktoren n Faktoren

a b a a b b

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅K144424443

Kommutativg.Assoziativg. Def.

n

n Faktoren

(a b) (a b) (a b)

⋅ ⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

64748K

KK 144244314243

n Faktorennn Def. Def.

n nn

n Faktorenn Faktoren

a a a a a aa : bb b b b b b

b 0≠




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4.31


5 Exponen-tialfkt.

− −⋅ = = =

⋅ = =

n n n n 0

nn

n n

a a a a 11 aa 1a a


Potenzen mit Exponenten aus Z: n ∈ N0 und a ∈ R \ {0}

Da lineare Gleichungen eindeutig lösbarbleiben sollen, muss festgelegt werden:

Damit vereinfacht sich der Quotient zweier Potenzen mit gleicher Basis zu:

− −⋅ = = =

⋅ = =

n n n n 0

nn

n n

a a a a 11 aa 1a a

− =nn

1aa

−=m

m nn

a aa

− =nn

1aa

−=m

m nn

a aa




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4.32


5 Exponen-tialfkt.

Potenzen mit Exponenten aus Q: n ∈ N und a ∈ R+

Die bisherigen Rechengesetze sollen unverändert erhalten bleiben (Permanenzprinzip):

Potenzen mit Exponenten aus R:

Potenzen mit irrationalen Exponenten lassensich über Intervallschachtellungen definieren.

D. h. sollte als reelle Lösung der Gleichung

definiert werden. Da man aber die einzige reelle Lösung

dieser Gleichung, nämlich bereits kennt, muss

man definieren:





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4.33


5 Exponen-tialfkt.


Beispiel

Potenzfunktionen

Potenzfunktionen mit Exponenten n ∈ N sind auf ganz Rdefiniert, sind also von der Bauart f : R→ R, x xn.

Potenzfunktionen mit Exponenten n ∈Z– sind nur auf R\{0} definiert, sind also von der Bauart f : R\{0} →R, x xn.

Potenzfunktionen mit Exponenten n ∈ R\Z sind nur auf R+

definiert, sind also von der Bauart f : R+ →R, x xn.

( )32− ( ) ( ) ( ) 8222 −=−⋅−⋅−=

3 8−=− 2 ( )31

8−= ( )62

8−= ( ) 61

28 ⋅−= ( )[ ]6128−=

[ ]61

64= [ ]61

62= 61

62

⋅= 6

6

2= 12= 2=




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4.34


5 Exponen-tialfkt.





Dr. Jürgen Roth

4.35


5 Exponen-tialfkt.





Dr. Jürgen Roth

4.36


5 Exponen-tialfkt.





Dr. Jürgen Roth

4.37


5 Exponen-tialfkt.





Dr. Jürgen Roth

4.38


5 Exponen-tialfkt.


5




Dr. Jürgen Roth

4.39


5 Exponen-tialfkt.





Dr. Jürgen Roth

4.40


5 Exponen-tialfkt.





Dr. Jürgen Roth

4.41


5 Exponen-tialfkt.





Dr. Jürgen Roth

4.42


5 Exponen-tialfkt.





Dr. Jürgen Roth

4.43


5 Exponen-tialfkt.





Dr. Jürgen Roth

4.44


5 Exponen-tialfkt.





Dr. Jürgen Roth

4.45


5 Exponen-tialfkt.


Lässt sich 00 definieren?

Für alle n ∈Q+ gilt: 0n = 0.

Für alle a ∈ R\{0} gilt: a0 = 1.

Funktion f : R\{0} → R, x x0

Der Graph von f ist eine zur x-Achse parallele Geradeim Abstand 1, die im Punkt P(0|1) eine Lücke hat.

Die Funktion f *: R→R, x 1 ist eine Fortsetzung der Funktion f.

Funktion g : Q+ → R, x 0x

Der Graph von g entspricht dem positiven Teil der x-Achse.

Die Funktion g*: Q0+ →R, x 0 ist

eine Fortsetzung der Funktion g.

Funktion h : R+ × Q+ →R+, (x, y) xy

h kann durch h*(0, y) = 0 für y ∈ Q+ und h*(x, 0) = 1 für x ∈R+

zu einer Funktion h* : R0+ ×Q0

+ \{(0, 0)} →R0+, (x, y) xy

fortgesetzt werden.

Hier würde 00 = 0 passen.




Hier passt keine Festlegung für 00.

Es gibt keine für alle Situationen sinnvolle Festlegung für 00.Nein!




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4.46


5 Exponen-tialfkt.

Exkurs: Heron-Verfahren

Berechnungsgrundlage für Straßenreinigungsgebühren:

An die Straße grenzende Grundstückslänge (Frontmetermaßstab).

Der Eigentümer von Grundstück B muss mehr bezahlen als der von Grundstück A, obwohl Grundstück A größer ist.

Gemeinderat: Für ein größeres Grundstück mehr zahlen.

Lösung: Quadratwurzelmaßstab als Bemessungsgrundlage

Straßenreinigungsgebührenwerden aus der Seitenlänge eines zum Grundstück flächeninhaltsgleichen Quadrats berechnet.

Frage: Wie findet man die Seitenlänge dieses Quadrats?

A B




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4.47


5 Exponen-tialfkt.

Heron-Verfahren (Wurzelberechnung)

A = 24

a0 = 4

= 4,8a1

Ab1 =

= 52

a0 + b0a0 =

2an + bnan+1 =

an

Abn =

Gesucht: A

Anfangswert: a0

= 6a0

Ab0 =

http://www.juergen-roth.de/excel/

Schnell konvergierende Intervallschachtelung.




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4.48


5 Exponen-tialfkt.

Präsenzübung

Tangenten an eine Parabel

Bestimmen Sie rech-nerisch die Funktions-gleichungen der beiden Tangenten tR und tL durch den Punkt C(0|–1) an den Graph folgender Fkt.:

Bestimmen Sie rech-nerisch die Koordinaten der Berührpunkte BR und BL, also der Punkte, in denen die Tangenten tR

und tL den Graphen der Funktion f jeweils berühren.

32,: 2 ++→ xxxf aRR




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4.49


5 Exponen-tialfkt.

Präsenzübung

Extremwertaufgabe

Jeder Punkt P der Trapez-seite [CD] ist Eckpunkt eines Rechtecks, das dem Trapez einbeschrieben ist. Die Seiten der einbe-schriebenen Rechtecke sind parallel zu den Koordinatenachsen. Der Punkt A ist Eckpunkt eines jeden einbeschriebenen Rechtecks.

Gesucht ist das P, für das der Flächeninhalt des einbeschriebenen Rechtecks maximal ist.

Das Trapez ABCD mit A(0|0), B(8|0), C(8|3) und D(0|15)

ist gegeben.




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4.50


5 Exponen-tialfkt.

Präsenzübung

Transversalen im Parallelogramm

Es ist ein Parallelogramm ABCD mit den Eckpunkten A(1|1), B(4|2), C(5|6) und D(2|5) gegeben.

Zeigen Sie durch Rech-nung, dass sich die Mittel-linien und Diagonalen in einem Punkt schneiden.

Mittellinien: Verbindungs-geraden gegenüberliegen-der Seitenmittelpunkte

Diagonalen: Verbindungs-geraden gegenüberliegen-der Eckpunkte




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4.51


5 Exponen-tialfkt.

Präsenzübung

Injektiv und/oder surjektiv?

Bestimmen Sie jeweils ein a∈R so, dass die Zuordnung

a) eine surjektive, aber nicht injektive Funktion ist,

b) eine injektive, aber nicht surjektive Funktion ist,

c) eine Funktion ist, die weder injektiv noch surjektiv ist,

d) keine Funktion ist.

( ) ( )2,: 200 −−−→ ++ aaxxfa aRR




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4.52


5 Exponen-tialfkt.

Präsenzübung

Quadratische Gleichung

Es ist eine quadratische Gleichung x² + px + q = 0 gegeben, in der p und q ungerade ganze Zahlen sind.

Zeigen Sie, dass keine zwei Zahlen x1, x2 ∈Z existieren können, die beide Lösung dieser Gleichung sind.

Lösungsvorschlag:

1. Fall: x1 ∨ x2 gerade

O.B.d.A. x1 gerade ⇒ ∃k∈Z x1 = 2k

⇒ q = x1 ⋅ x2 = 2k ⋅ x2 = 2 ⋅ (k ⋅ x2)

2. Fall: x1 ∧ x2 ungerade ⇔ ∃k,l∈Z x1 = 2k + 1 ∧ x2 = 2l + 1

⇒ –p = x1 + x2 = 2k + 1 + 2l + 1 = 2 ⋅ (k + l + 1)

∈Z

∈Z

q ungerade

p ungerade#

Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Vieta.




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4.53


5 Exponen-tialfkt.

Funktionalgleichung

Allgemeine quadratische Funktionen x ax² + bx + c

Es existiert keine Funktionalgleichung.

Spezialfall: x x²

Es gilt die Funktionalgleichung:

Diese Funktionalgleichung ist charakteristisch für alle Funktionen x xk mit k ∈Q.

Beweisidee:

)()()( 2121, 21xfxfxxfxx ⋅=⋅∀ ∈R

})()()()( 21212121 xfxfxxxxxxf kk

tzPotenzgese

k ⋅=⋅=⋅=⋅




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4.54


5 Exponen-tialfkt.

Differenzenfolgen

Definition:

Eine Folge ist eine Funktion ⟨an⟩: N→R, n an := a(n).

Satz:

Für Folgen ⟨an⟩ der Form an = bn2 + cn + d mit b, c, d ∈R gilt:

Die Folge ⟨dn⟩ der Differenzen dn = an+1 − an ist linear.

Die Folge ⟨en⟩ der zweiten Differenzen en = dn+1 − dnist konstant.

Beispiel:

⟨an⟩: N→R, n an = n2




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4.55


5 Exponen-tialfkt.

Differenzenfolgen

Beispiel:

⟨bn⟩: N→ R, n bn = n2 + 2n + 3

Beweis:

an = bn2 + cn + d

nnn aad −= +1

dcnbndccnbbnbn −−−+++++= 22 2 )(2 cbnb ++⋅=

nnn dde −= +1

( ) ( )cbbncbbbn +−−+++= 222 b2= #

( ) ( ) ( )dcnbndncnb ++−++⋅++⋅= 22 11

( ) ( ) ( )[ ]cbnbcbnb ++⋅−+++⋅= 212




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4.56


5 Exponen-tialfkt.

Parabel als Ortslinie

Definition:

Eine Parabel ist die Ortslinie aller Punkte, die von einer vorgegebenen Gerade g (der Leitgerade) und einem Punkt F(dem Brennpunkt) mit F∉g den gleichen Abstand besitzen.




Dr. Jürgen Roth

4.57


5 Exponen-tialfkt.


Eigenschaften:

d ist der Abstand zwi-schen der Leitgeraden gund dem Brennpunkt F.

Der Mittelpunkt S der zugehörigen Lotstrecke ist nach Definition ein Punkt der Parabel (der Scheitel).

Einführen eines kart. Koordinatensystems mit S(0| 0) und F(0| d/2).




Dr. Jürgen Roth

4.58


5 Exponen-tialfkt.


Eigenschaften:

Wegen d = d(F, g), S(0| 0) und F(0| d/2) gilt:

g: y = –d/2

Wegen |PF| = |PG| folgt:

Daraus ergibt sich:

Daraus folgt:

Für die Normalparabel gilt also: d = d(F, g) = ½

PPP yd

xyd

+=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

222

2

22

2

22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − PPP y

dxy

d

22

222

22 PPPPP yydd

xyydd

+⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=++⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

PP ydx ⋅= 22

2

21

PP xd

y ⋅=




Dr. Jürgen Roth

4.59


5 Exponen-tialfkt.

Parabel: Brennpunkteigenschaft

Senkrecht zur Leitgeraden g in eine Parabel einfallende (Licht-) Strahlen werden so reflektiert, dass sie durch den Brennpunkt F verlaufen. (Warum?)

Anwendungen: Satellitenschüsseln, Autoscheinwerfer (?), …




Dr. Jürgen Roth

4.60


5 Exponen-tialfkt.

Monotonie quadratischer Funktionen

Satz:

Eine quadratische Funktion f : R→R, x a⋅(x – xS)² + ySmit a, xS, yS ∈ R, a 0 ist

für a > 0 in ]–∞; xS] streng monoton fallend undin [xS; ∞[ streng monoton steigend,

für a < 0in ]–∞; xS] streng monoton steigend undin [xS; ∞[ streng monoton fallend.




Dr. Jürgen Roth

4.61


5 Exponen-tialfkt.

Monotonie quadratischer Funktionen

Beweis:

Zur Feststellung von Monotonieeigenschaften muss das Vorzeichen der Differenz f(x2) – f(x1) für x1, x2 ∈Rmit x1 < x2

überprüft werden.

( )( ) ( )( )SSSS yxxayxxaxfxf +−⋅−+−⋅=− 21

2212 )()(

( ) ( )( )21

22 SS xxxxa −−−⋅=

( ) ( )bababa +⋅−=− 22(*)

( ) ( )( ) ( ) ( )( )SSSS xxxxxxxxa −+−⋅−−−⋅= 1212

(*)

( ) ( ) ( )( )SS xxxxxxa −+−⋅−⋅= 1212 4342121,0 xxda <> ] ]

[ [

444 3444 21

⎪⎩

⎪⎨⎧

∞∈>

∞−∈<

;,für0

;,für0

21

21

S

S

xxx

xxx

[ [( ) ] ]( )[ [( ) ] ]( )⎩

⎨⎧

∞−∈∧>∨∞∈∧<<

∞−∈∧<∨∞∈∧>>−⇒

SS

SS

xxxaxxxa

xxxaxxxaxfxf

;,0;,0 für 0

;,0;,0 für 0)()(

2121

212112

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Elemente der Algebra - Landau · Elemente der Algebra 1 Programm & Argumentationsgrundlagen. 2...

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