Elemente der Algebra - Universität Koblenz · Elemente der Algebra 1 Programm &...

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Dr. Jürgen Roth Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Dr. Jürgen Roth 2.1 Elemente der Algebra

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Dr. Jürgen RothFachbereich 6: AbteilungDidaktik der Mathematik

Dr. Jürgen Roth

2.1

Elemente der Algebra

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.2

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Inhaltsverzeichnis

Elemente der Algebra

1 Programm & Argumentationsgrundlagen

2 Funktionen

3 Lineare Funktionen, Gleichungen & Gleichungssysteme

4 Quadratische Funktionen und Gleichungen

5 Exponentialfunktionen

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.3

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Dr. Jürgen Roth

2.3

Dr. Jürgen RothFachbereich 6: AbteilungDidaktik der Mathematik

1 Program & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

2 Funktionen

Elemente der Algebra

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.4

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Inhaltsverzeichnis

Kapitel 2: Funktionen

2.1 Der Funktionsbegriff

2.2 Injektive, surjektive und bijektive Funktionen

2.3 Monotonie

2.4 Umkehrfunktion

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.5

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Dr. Jürgen Roth

2.5

Dr. Jürgen RothFachbereich 6: AbteilungDidaktik der Mathematik

1 Program & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

2.1 Der Funktionsbegriff

2 Funktionen

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

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2.6

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Funktionale Zusammenhänge

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

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2.7

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Funktionale Zusammenhänge

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

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2.8

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Kubikzahlen

Kubikzahlen

Summe der Sechseckzahlen

K(1) = 1K(2) = 1 + 7 = 8K(3) = 1 + 7 + 19 = 27K(4) = 1 + 7 + 19 + 37 = 64

K(n) = n + (n − 1)·n·(n + 1) = n³

http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/figz2.htm

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

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2.9

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Tankenhttp://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/tankstelle/

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

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2.10

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Bußgeldhttp://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/bussgeld/

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3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

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2.11

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Funktionale Zusammenhänge

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

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2.12

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Funktionale Zusammenhänge

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

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2.13

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Funktionale Zusammenhänge

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3 Lineare Fkt./Glei-chungen

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2.14

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Funktionale Zusammenhänge

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

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2.15

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Funktionale Zusammenhänge

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.16

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Funktionale Zusammenhänge

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

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2.17

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Aspekte des Funktionsbegriffs

Aspekte desFunktionsbegriffs

Zuordnung

Änderungsverhalten (Kovariation)

Sicht als Ganzes

Vollrath, Weigand: Algebra in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 20073, S. 140 Malle: Zwei Aspekte von Funktionen: Zuordnung und Kovariation. In: ml, Heft 103, 2000, S. 8-11

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

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2.18

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Beispiel: Dreieckssehne

Zuordnung

Änderungsverhalten(Kovariation)

Sicht als Ganzes

Roth: Kurvenerzeugende Sehnen. In: Mathematik lehren, Heft 130, 2005, S. 8-10http://www.juergen-roth.de/dynageo/sehne_aenderung/sehne_aenderung.html

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

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2.19

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Figuren verändern - Funktionen verstehen

Modellierung!

ZuordnungÄnderungsverhalten

(Kovariation)

Eigenschaften einesFunktionsgraphen

Entstehung einesFunktionsgraphen

Sicht als Ganzes

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

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2.20

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Darstellungen in Beziehung setzenRoth: Systematische Variation – Eine Lernumgebung vernetzt Geometrie und Algebra. In: Mathematik lehren, Heft

146, Februar 2008, S. 17-21 – http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/trapezflaeche_funktional.html

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

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2.21

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Was ist eigentlich eine Funktion?

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.22

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Was ist eigentlich eine Funktion?

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

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2.23

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Was ist eigentlich eine Funktion?

Definitions-menge D

Werte-menge W

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

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2.24

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Was ist eine Funktion?

Definition:

A und B sind zwei nicht-leere Mengen. Ist jedemx ∈ A genau ein y ∈ B zugeordnet, so nennt man diese Zuordnung eine Funktion mit Definitions-menge A und Zielmenge B

(bzw. eine Abbildung von der

Menge A in die Menge B).

Definition (alternativ):

Eine Funktion ist eine Teil-menge der Produktmenge A × B zweier nichtleerer Mengen A und B, für die gilt:

∀x ∈ A ∃!y ∈ B (x, y) ∈ A × B

(Für jedes x ∈ A existiert genau ein y ∈ B, so dass das Paar (x, y) Element der Produktmenge A × B ist.)

Bemerkung

Für eine Funktion mit Definitionsmenge A und Zielmenge B gilt:

(1) ∀x ∈ A ∃y ∈ B y = f(x) „Linkstotal“

(2) ∀f(x1), f(x2) ∈ B f(x1) ≠ f(x2) ⇒ x1 ≠ x2 „Rechtseindeutig“

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

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2.25

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Was ist eine Funktion?

Bemerkungen:

Um auszudrücken, dassf eine solche Funktion (Abbildung) ist, schreibt man f : A → B.

Das dem Element x∈Azugeordnete Element y∈Bwird mit f(x) bezeichnet. Damit erhält man y = f(x).

Man schreibt auch:f : A → B, x f(x)

f(x) heißt Funktionswertvon f an der Stelle x(oder Bild von xbei der Abbildung f).

x heißt Argumentder Funktion f(oder Urbild von f(x)bei der Abbildung f).

Die Definitionsmenge einer Funktion f wird auch mit Df bezeichnet.

Bei einer Kurve im zweidimensionalen kartesischen Koordinaten-system handelt es sich genau dann um den Graph einer Funktion f : R → R, wenn jede vertikale Gerade den Graphen Gf genau einmal schneidet.

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.26

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

f : R → R, x → x2

Was ist eine Funktion?

fA BW

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.27

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Was ist eine Funktion?

Bei einer Funktion f : A → B interessiert man sich auch für die Menge der Funktionswerte, d.h. für die Menge der Elemente der Zielmenge, die als Bilder der Abbildung vorkommen.

Definition:

Die Wertemenge der Funktion f : A → B ist die Menge

W = {y ∈ B | ∃x∈A f(x) = y } = {f(x) | x ∈ A}

Bemerkung:

Es gilt: W ⊆ B

Die Wertemenge einer Funktion f wird auch mit Wf bezeichnet.

f1 = f2 ⇔ ( A1 = A2 = D ∧ ∀x∈D f1(x) = f2(x) )

f1 ≠ f2 ⇔ ( A1 ≠ A2 ∨ ∃x∈A1∩A2f1(x) ≠ f2(x) )

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.28

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Präsenzübung

Funktion oder nicht?

(1) f : R → R, x 7x2 + 5x – 4

(2) f : R → R, x

(3) f : N → N, x 3x – 5

(4) f : N → R, n

(5) f : N → N, n Anzahl der Teiler von n

(6) Achsenspiegelung an der Geraden y = –xf : R × R → R × R, (x, y) (–y, –x)

1x

1n

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.29

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Polynomfunktionen

Polynomfunktion

Die Aussageform

heißt Polynom.

Eine Funktion

mit ∀k∈N ak ∈ R und an ≠ 0 heißt Polynomfunktion.

Die natürliche Zahl n heißt Grad des Polynoms und wird mit deg p bezeichnet.

Die festen reellen Zahlen an, … , a0 heißen Koeffizienten des Polynoms.

011

10

...)(,: axaxaxaxaxpxp nn

nn

n

k

kk ++++==→ −

−=∑aRR

011

10

...)( axaxaxaxaxp nn

nn

n

k

kk ++++== −

−=∑

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.30

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Exkurs: Polynomdivision

Schriftliche Division

56088 : 456 =

–456

104

– 912

136

–1368

Polynomdivision

(4x6 + 7x5 + 5x4 + 2x3) : (x + 1)

–(4x6 + 4x5)

3x5

–(3x5 + 3x4)

2x4

–(2x4 + 2x3)

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/9/polynomdivision.htm

1 23

8

8

= 4x5

+ 5x4

+ 3x4

+ 2x3

+ 2x3

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.31

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Dr. Jürgen Roth

2.31

Dr. Jürgen RothFachbereich 6: AbteilungDidaktik der Mathematik

1 Program & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

2.2 Injektive, surjektive und bijektive Funktionen

2 Funktionen

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.32

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Injektive Funktionen

Definition:

Eine Funktion f : A → B heißt injektiv oder linksein-deutig, genau dann wenn

∀x1,x2∈A x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)

d. h. genau dann wenn

∀x1,x2∈ A f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.

Für die Funktion f bedeutet die Eigenschaft injektiv:

An verschiedenen Stellen hat die Funktion f immer verschieden Werte.

Für eine injektive Funktionf : A → B gilt: |A| ≤ |B|

Für jedes y ∈ B hat die Gleichung f(x) = yhöchstens eine Lösung.

In der Wertetabelle kommt in der Spalte der Funktions-werte kein Wert mehrfach vor (falls kein Wert von A

mehrfach auftritt).

Man kann von einem Funktionswert f(x) auf das Argument x schließen.

Eine Funktion f : R → R ist genau dann injektiv, wenn jede horizontale Gerade den Graphen Gf höchstenseinmal schneidet.

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.33

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Injektive Funktionen

fA BW

f : R → R, x → ex

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.34

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Surjektive Funktionen

Definition:

f : A → B heißt surjektiv oder rechtstotal bzgl. B genau dann wenn

∀y∈B ∃x∈A f(x) = y .

Bemerkung:

Jede Funktion f : A → B ist surjektiv bzgl. ihrer eigenen Wertemenge W ⊆ B.

Für die Funktion f : A → B bedeu-tet die Eigenschaft surjektiv:

Für jedes y ∈ B hat die Glei-chung f(x) = y mindestenseine Lösung x ∈ A.

In der Wertetabelle kommt in der Spalte der Funk-tionswerte jedes Element von B vor, d. h. B = W

Im Fall B = A heißt eine surjektive Funktion eine Abbildung von A auf sich.

Eine Funktion f : R → Rist genau dann surjektiv, wenn jede horizontale Gerade den Graphen Gfmindestens einmal schneidet.

Für eine surjektive Funktion f : A → B gilt:|A| ≥ |B|

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.35

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Surjektive Funktionen

fA B = W

f : R → R, x → 0,2⋅x5 + x4 + x3 − 0,5⋅x2

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.36

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Bijektive Funktionen

Definition:

f : A → B heißt bijektivgenau dann wenn sie surjektiv und injektiv ist.

Für die Funktion f : A → B bedeutet die Eigenschaft bijektiv:

Für jedes y ∈ B hat die Gleichung f(x) = y genaueine Lösung.

Eine bijektive Funktion f : A → B ist eine eineindeutige Zuordnung zwischen A und B.

Die Funktion f : R → R ist genau dann bijektiv, wenn jede horizontale Gerade den Graphen Gfgenau einmal schneidet.

Für eine bijektive Funktion f : A → B gilt: |A| = |B|

Definition:Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektiveFunktion f : A → B gibt.

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.37

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Bijektive Funktionen

fA B = W

f : R → R, x → x3

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.38

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Funktion f : R → R surjektiv injektiv bijektiv

f(x) = ax + b (a ≠ 0) ja ja ja

f(x) = ax + b (a = 0) nein nein nein

f(x) = x2 nein nein nein

x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1

x − 1 für x > 1ja nein nein

f(x) = x3 ja ja ja

f(x) = ex ≡ exp(x) nein ja nein

f(x) = sin x nein nein nein

f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x} nein nein nein

Präsenzaufgabe

Funktion f : R → R surjektiv injektiv bijektiv

f(x) = ax + b (a ≠ 0) ja ja ja

f(x) = ax + b (a = 0) nein nein nein

f(x) = x2 nein nein nein

x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1

x − 1 für x > 1ja nein nein

f(x) = x3 ja ja ja

f(x) = ex ≡ exp(x) nein ja nein

f(x) = sin x nein nein nein

f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}

Funktion f : R → R surjektiv injektiv bijektiv

f(x) = ax + b (a ≠ 0) ja ja ja

f(x) = ax + b (a = 0) nein nein nein

f(x) = x2 nein nein nein

x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1

x − 1 für x > 1ja nein nein

f(x) = x3 ja ja ja

f(x) = ex ≡ exp(x) nein ja nein

f(x) = sin x

f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}

Funktion f : R → R surjektiv injektiv bijektiv

f(x) = ax + b (a ≠ 0) ja ja ja

f(x) = ax + b (a = 0) nein nein nein

f(x) = x2 nein nein nein

x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1

x − 1 für x > 1ja nein nein

f(x) = x3 ja ja ja

f(x) = ex ≡ exp(x)

f(x) = sin x

f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}

Funktion f : R → R surjektiv injektiv bijektiv

f(x) = ax + b (a ≠ 0) ja ja ja

f(x) = ax + b (a = 0) nein nein nein

f(x) = x2 nein nein nein

x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1

x − 1 für x > 1ja nein nein

f(x) = x3

f(x) = ex ≡ exp(x)

f(x) = sin x

f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}

Funktion f : R → R surjektiv injektiv bijektiv

f(x) = ax + b (a ≠ 0) ja ja ja

f(x) = ax + b (a = 0) nein nein nein

f(x) = x2 nein nein nein

x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1

x − 1 für x > 1

f(x) = x3

f(x) = ex ≡ exp(x)

f(x) = sin x

f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}

Funktion f : R → R surjektiv injektiv bijektiv

f(x) = ax + b (a ≠ 0) ja ja ja

f(x) = ax + b (a = 0) nein nein nein

f(x) = x2

x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1

x − 1 für x > 1

f(x) = x3

f(x) = ex ≡ exp(x)

f(x) = sin x

f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}

Funktion f : R → R surjektiv injektiv bijektiv

f(x) = ax + b (a ≠ 0) ja ja ja

f(x) = ax + b (a = 0)

f(x) = x2

x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1

x − 1 für x > 1

f(x) = x3

f(x) = ex ≡ exp(x)

f(x) = sin x

f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}

Funktion f : R → R surjektiv injektiv bijektiv

f(x) = ax + b (a ≠ 0)

f(x) = ax + b (a = 0)

f(x) = x2

x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1

x − 1 für x > 1

f(x) = x3

f(x) = ex ≡ exp(x)

f(x) = sin x

f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.39

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

f(x) = x2 surjektiv injektiv bijektiv

nein nein nein

nein ja nein

ja nein nein

ja ja ja

ja ja ja

Präsenzaufgabe

f(x) = x2 surjektiv injektiv bijektiv

nein nein nein

nein ja nein

ja nein nein

ja ja ja

f(x) = x2 surjektiv injektiv bijektiv

nein nein nein

nein ja nein

ja nein nein

f(x) = x2 surjektiv injektiv bijektiv

nein nein nein

nein ja nein

f(x) = x2 surjektiv injektiv bijektiv

nein nein nein

f(x) = x2 surjektiv injektiv bijektiv

RR→:f

++ → 00: RRf

RR →+0:f

+→ 0: RRf

+− → 00: RRf

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.40

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Exkurs: Äquivalenzumformungen

Äquivalenzumformungen von Gleichungen und Ungleichungen

Eine (Un-)Gleichung ist eine Aussageform.

Äquivalenzumformungen verändern die Erfüllungs-menge (Lösungsmenge) einer Aussageform nicht. Für die ursprüngliche Aussageform und die umgeformte Aussageform muss über der Grund-menge G also gelten:

Äquivalenzumformungen für Gleichungen :

Addition identischer Terme auf beiden Seiten der Gleichung

Subtraktion identischer Terme auf beiden Seiten der Gleichung

Multiplikation beider Gleichungsseiten mit identischen „von Null verschiedenen“ Termen

Division beider Gleichungsseiten durch identische „von Null verschiedene“ Termen

Vertauschung der Gleichungsseiten

)()( xBxAx ⇔∀ ∈G

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.41

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Exkurs: Äquivalenzumformungen

Äquivalenzumformungen für Ungleichungen, die das Ungleichungszeichen unverändert lassen:

Addition (bzw. Subtraktion) identischer Terme auf beiden Seiten der Ungleichung

Multiplikation beider Ungleichungsseiten mit identischen „von Null verschiedenen“ positiven Termen

Division beider Unglei-chungsseiten durch identische „von Null verschiedene“ positiveTermen

Äquivalenzumformungen für Ungleichungen, die zur Umkehrung des Unglei-chungszeichens führen:

Multiplikation beider Ungleichungsseiten mit identischen „von Null verschiedenen“ negativen Termen

Division beider Unglei-chungsseiten durch identische „von Null verschiedene“ negativeTermen

Vertauschung der Ungleichungsseiten

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.42

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Beispiel

Untersuchen Sie, ob

surjektiv oder injektiv ist.

Surjektivität:

Es gibt also für jedes y ∈ R ein x ∈ R, so dass y = f(x) ist.

Damit ist f surjektiv.

Injektivität:

Damit ist f injektiv und, weil es auch surjektiv ist, sogar bijektiv.

baxy += b−

axby =− ( )0: ≠aa

xab

ya

=−⋅1

ab

ya

x −⋅=1

2121, xxxx ≠∧∈R

)()( 12 xfxf −⇒)( 12 baxbax +−+=

)( 12 xxa −⋅={0≠

434210≠

0≠

)()( 21 xfxf ≠⇒

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.43

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Dr. Jürgen Roth

2.43

Dr. Jürgen RothFachbereich 6: AbteilungDidaktik der Mathematik

1 Program & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

2.3 Monotonie

2 Funktionen

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.44

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Intervalle

Definition:

Ein Intervall ist eine zusammenhängende Teilmenge von R.

heißt abgeschlossenes Intervall.

heißt offenes Intervall.

heißt linksseitig offenes Intervall.

heißt rechtsseitig offenes Intervall.

Bemerkung:

Es gilt:

[ ] { }bxaxba ≤≤∈= R:;

] [ { }bxaxba <<∈= R:;

] ] { }bxaxba ≤<∈= R:;

[ [ { }bxaxba <≤∈= R:;

] [ { } RR =∞<<∞−∈=∞∞− xx:;

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.45

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Monotonie

Definition:

Es sein Ι ein Intervall. Eine Funktion f : Ι → R heißt

monoton steigend, wenn gilt:

monoton fallen, wenn gilt:

streng monoton steigend, wenn gilt:

streng monoton fallen, wenn gilt:

Bemerkung: In der Literatur findet man synonym statt

„monoton steigend“ auch „monoton wachsend“oder „monoton zunehmend“,

„monoton fallend“ auch „monoton abnehmend“.

)()( 2121, 21xfxfxxxx ≤⇒<∀ Ι∈

)()( 2121, 21xfxfxxxx ≥⇒<∀ Ι∈

)()( 2121, 21xfxfxxxx <⇒<∀ Ι∈

)()( 2121, 21xfxfxxxx >⇒<∀ Ι∈

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.46

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Beispiele

f : R → R, x → e–x

f : R → R, x → [–x]

x + 1 für x > 1f : R → R, x → 0 für −1 ≤ x ≤ 1

x − 1 für x > 1

f : R → R, x → x3

monoton fallend

monoton steigend

streng monoton fallend

streng monoton steigend

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.47

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Beispiele

f : R → R, x → x2

f : R → R, x → sin(x)

f : R → R, x → 0,2⋅x5 + x4 + x3 − 0,5⋅x2

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.48

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Monotonie und Injektivität

Satz:

Jede streng monoton steigende oder fallende Funktion f : Ι → R ist injektiv.

Bemerkung:

Auf „streng“ kann nicht verzichtet werden!

Beweis:

f sei streng monoton steigend oder fallend.

Sind x1, x2 ∈ Ι und x1 x2, dann gilt x1 x2 oder x1 x2.

Nach Voraussetzung ist dann entweder f(x1) f(x2) oder f(x1) f(x2), auf jeden Fall aber f(x1) f(x2).

Dies ist aber gerade die definierende Eigenschaft für die Injektivität von f.

#

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.49

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Monotonie und Injektivität

Satz:

Jede streng monoton steigende oder fallende Funktion f : Ι → R ist injektiv.

Bemerkung:

Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch!

Beispiel:

Die Funktion

ist injektiv (sogar bijektiv), andererseits ist f weder monoton steigend noch fallend.

⎪⎩

⎪⎨

>≤≤−−

−<

1

11

1

:

xfürx

xfürx

xfürx

x

,f

a

RR

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.50

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Monotoniekriterium

Bemerkung:

Zur Untersuchung der Monotonie einer Funktion f : Ι → Rist es gelegentlich hilfreich die Differenz f(x2) – f(x1) für alle x1, x2 ∈ Ι mit x1 x2 zu betrachten. f : Ι → R ist nämlich

monoton steigend, wenn gilt:

monoton fallen, wenn gilt:

streng monoton steigend, wenn gilt:

streng monoton fallen, wenn gilt:

0)()( 12, 2121≥−∀ <∧Ι∈ xfxfxxxx

0)()( 12, 2121≤−∀ <∧Ι∈ xfxfxxxx

0)()( 12, 2121>−∀ <∧Ι∈ xfxfxxxx

0)()( 12, 2121<−∀ <∧Ι∈ xfxfxxxx

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.51

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Beispiel

Untersuchen Sie auf Monotonie.

Sei und .

⇒ f ist folglich streng mononton steigend.

( ) ( ) ( ) ( )66 1212

2212 −−−−−=− xxxxxfxf

( ) ( )1221

22 xxxx −−−=

66 1212

22 ++−−−= xxxx

( ) ( )[ ]11212 −+⋅−= xxxx

[ [∞∈ ;5,0, 12 xx 21 xx <

44344210>

434210>

{5,0>{

5,0≥

0>

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.52

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Dr. Jürgen Roth

2.52

Dr. Jürgen RothFachbereich 6: AbteilungDidaktik der Mathematik

1 Program & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

2.4 Umkehrfunktion

2 Funktionen

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.53

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Umkehrfunktion

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.54

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Umkehrfunktion

Definition:

Die Umkehrfunktion einer Funktion f : A → B ist die Funktion f –1 : B → A, für die gilt:

∀x∈A f –1(f(x)) = x    ∀y∈B f (f –1(y)) = y

Bemerkungen:

Die Bezeichnung f –1 für die Umkehrfunktion der Funktion fdarf nicht mit (f(x))–1 verwechselt werden.

Beispiel: f(x) = x + 1 ⇒

Im Fall erhält man den Graph der Umkehrfunktion , indem man den Graph der Funktion f an der Geraden y = x (das ist Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten) spiegelt.

( ))(

1)( 1

xfxf =−

RR ⊆→⊆ AAf :RR ⊆→⊆− AAf :1

( )1

1)( 1

+=−

xxf

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.55

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Umkehrfunktion

Satz:

Zu einer Funktion f existiert genau danneine Umkehrfunktion, wenn f bijektiv ist.

fA B = W

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2.56

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Verkettung

Definition:

Seien P, Q und R nichtleere Mengen und f : P → Q sowie g : Q → R Funktionen, dann nennt man die durch

g f : P → R, x (g f )(x) := g(f(x))

definierte Funktion die Verkettung von f und g.

Für g f spricht man „g nach f “.

Definition:

Die Funktion idA : A → A, x x, die jedes Element der Menge A auf sich selbst abbildet, heißt identische Abbildung(oder Identität) auf A.

Bemerkung:

Für f : A → B, f –1 : B → Agilt f –1 f = idAund f f –1 = idB.

Für f : A → A gilt:f –1 f = f f –1Beispiel:

f : R → R, x x + 1; g : R → R, x x2

g f : R → R, x (g f )(x) = g(f(x)) = g(x+1) = (x + 1)2

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

Dr. Jürgen Roth

2.57

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Funktionsterm der Umkehrfunktion

Geg.: f : R → R, x 2x – 1

Ges.: f –1 : R → R

Funktionsgleichung von f auflösen nach x:

x und y vertauschen:

Ergebnis:

12 += xyxy 21 =−

xy =−21

21

21

21

−= yx

21

21

−= xy

21

21

,:1 −→− xxf aRR

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1 Pro-gramm & Grund-lagen

3 Lineare Fkt./Glei-chungen

2 Funktio-nen (Fkt.)

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2.58

4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen

5 Exponen-tialfkt.

Beispiele