Energie im elektrostatischen Feld I - ate.uni-due.de · 1 (2) Arbeit und elektrostatisches...

33
1 (2) Arbeit und elektrostatisches Potential: Energie im elektrostatischen Feld I Bisherige Energiekonzepte W mech = F d l = q E d l = W Feld out W Feld in = W Feld out = q E d l := W e := W e q W e = q Potential, Potentialfeld (Folie 29 ff.) Elektrische Feldenergie Die Äquivalenz zwischen elek- trischer Feldenergie und me- chanischer Arbeit ist sinnvoll, weil der Prozess der Umwand- lung reversibel ist. (1) Energie und Feldtheorie: Begriff der Energie ist kein Teil der ursprünglichen Feldtheorie: Muss über Energiesatz und Äquivalenzen bestimmt werden. E d l > 0 -107- Energie im elektrostatischen Feld II Beispiel: «Analogie Feld Druckfeder» P 1 P 2 P 1 P 2 Q > 0 q > 0 E F Arbeit gegen Coulombkraft; Energiespeicherung. Feld leistet Arbeit; potenzielle Energie wird abgegeben. F Arbeit gegen die Federkraft; Feder speichert potenzielle Energie. Feder entspannt sich und leistet Arbeit; potenzielle Energie wird abgegeben. Druckfeder -108-

Transcript of Energie im elektrostatischen Feld I - ate.uni-due.de · 1 (2) Arbeit und elektrostatisches...

1

(2) Arbeit und elektrostatisches Potential:

Energie im elektrostatischen Feld I

Bisherige Energiekonzepte

Wmech = F dl = q E dl =WFeldout

WFeldin

= WFeldout

= q E dl :=We

:=We

q

We = q

Potential, Potentialfeld (Folie 29 ff.)

Elektrische Feldenergie

Die Äquivalenz zwischen elek-trischer Feldenergie und me-chanischer Arbeit ist sinnvoll, weil der Prozess der Umwand-lung reversibel ist.

(1) Energie und

Feldtheorie: Begriff der Energie ist kein Teil der ursprünglichen Feldtheorie: Muss über Energiesatz und Äquivalenzen bestimmt werden.

E dl > 0

-107-

Energie im elektrostatischen Feld II

Beispiel: «Analogie Feld Druckfeder»

P1 P2

P1 P2

Q > 0 q > 0 E

FArbeit gegen

Coulombkraft;

Energiespeicherung.

Feld leistet Arbeit;

potenzielle Energie

wird abgegeben.

F

Arbeit gegen

die Federkraft;

Feder speichert

potenzielle Energie.

Feder entspannt sich

und leistet Arbeit;

potenzielle Energie

wird abgegeben.

Druckfeder

-108-

2

(3) Parallelplattenanordnung:

Energie im elektrostatischen Feld III

Die elektrische Energiedichte

WC =Q U

2=1

2F Dz E d =

1

2Dz E V

• Ausschnitt der Fläche F einer unendlich ausgedehn- ten Parallelplattenanordnung.

• Feldgrössen:

E = E ez

D = D ez Dz =

Q = F = F Dz

U12 = E dl1( )

2( )

= E d

WC =1

2Q U (Folie 47)

(Folie 101)

(4) Parallelplattenanordnung als Energiespeicher:

WC =1

2Dz E V =

1

2D E V =

1

2D E V

-109-

• Verallgemeinerung skalar vektoriell scheint für die Parallelplattenanordnung plausibel.

• In anisotropen Materialien müssen E-und D-Felder in ihren Richtungen nicht zwingend übereinstimmen. Die Beziehungen für We bzw. we gelten trotzdem.

• In permanent polarisierten Materialien (Elektreten) kann die Richtung des E-Feldes dem D-Feld entge- gengesetzt sein: negative Energie(-dichte)! Material

ist «Feld-Quelle» und nicht die externe Spannungs- quelle, welche die Platten bisher aufgeladen hatte.

Energie im elektrostatischen Feld IV

Die elektrische Energiedichte

(5) Elektrische Feldenergie:

WC =1

2D E V = :We We =

1

2D E V we =

1

2D E

(6) Energiedichte:

(7) Diskussion:

Konzeptionell hatten wir ja beim D-Feld dafür gesorgt, dass die Materialeigenschaf-ten (Dipoldichte, Polarisation) als Feldgrösse in die Theorie eingehen. Aus diesem Grund sind auch «Materialenergie» und Feldenergie nicht mehr unterscheidbar. Hier: Material (int. Feld) lädt die Platten auf.

-110-

3

V : der gesamte Raum (!!)

Energie im elektrostatischen Feld V

Zum Energieinhalt des Feldraumes

We = we dV =1

2D E dV

VV

(1) Raumgebiet und Quellengebiet:

Der statische Fall: E = grad

divD =

div s v( ) v grad s+ s divv

D E = D grad = divD div D( ) =

= div D( )

(aus der Vektorranalysis)

We =1

2D E dV

V

=1

2div D( )( ) dV

V

-111-

Energie im elektrostatischen Feld VI

Zum Energieinhalt des Feldraumes

(1) Raumgebiet und Quellengebiet:

(vergl. Aussage aus Folie 24)

We =1

2div D( )( ) dV =

V

1

2dV

V

1

2D dF

V

Divergenzsatz (Folie 75)

Integrationsgebgiet ( nur innerhalb von VQ):

1

2dV

V

=1

2dV

VQ

Verhalten auf der Fernkugel V :

limr

D dFV r( )

=0

r( ) = O r1( )

D r( ) =O r2( )

r( ) D r( ) =O r3( )

O(xn): Landau-Symbol; wächst höchstens so schnell wie xn.

-112-

4

• Endliches Integrationsgebiet VQ, einfacher zu rechnen.

• Alte Vorstellung: Ladung ist Träger von Energie (vergl. auch Folie 107).

• Resultat setzt ein Bezugspoten- tial gemäss 0 = ( ) := 0 voraus, ansonsten wächst We hier um:

Energie im elektrostatischen Feld VII

Zum Energieinhalt des Feldraumes

We =1

2dV

VQ

(2) Zusammenfassung der Resultate:

We =1

2D E dV

V

• Unendliches Integrationsgebiet V , eventuell mühsame Berechnung.

• Moderne Vorstellung: Feld ist Träger von Energie.

We =1

2 0 dVVQ

=0 Qges

2

In der Quantenelektrodynamik, welche das Ladungsteilchen in die Theorie mit einschliesst, haben Potentialfelder einen Realstatus (Masse Energie): Gutes Argument für Ladungsneutralität!

-113-

Resultat aus Folie 112 ist immer korrekt.

-114-

Energie im elektrostatischen Feld VIII

Zum Energieinhalt des Feldraumes

(3) Rückblick auf Folie 112 bei endlicher Normierung des Potentials:

Aber anhand von Folie 112 gilt auch:

= + 0

We =1

2 0 dVVQ

=0 Qges

2

We =1

2dV

VQ

1

2D dF

V

=We + We We =We

1

2 0 D dFV

=0

2D dF

V

=0

2divD dV

V

=0

2Qges =

= WeZum Gesamtenergieinhalt des endlich normierten Potentials:

Endlich normiertes Potential

Energiezwuwachs aus Folie 113

5

Energie im elektrostatischen Feld IX

Zum Energieinhalt des Feldraumes

(4) Zur Feldenergie zwischen Punktladungen:

We =1

2dV

V

=1

2 4 r rV

dV dVV

=1

2 4 r rV

dV dVV

Mit Hilfe des Coulomb- Integrals aus Folie 31 bzw. 85.

We =1

2

Qi Qj

4 ri rjj=1j i

N

i=1

N

Qi dQi = ri( ) dV = dV

Qj dQj = rj( ) dV = dV

ri rjQi

QjN verschiedene Punktladungen:

-115-

Energie im elektrostatischen Feld X

Wechselwirkungsenergie und Selbstenergie

(1) Diskrete Raumladungszonen:

We =1

2 n n dVVnn=1

N Energie des Gesamtsystems gemäss Folie 113.

n = ni( )+ n

e( )Ansatz:

Durch die Raumladung n alleine erzeugtes Potential

Äusseres durch i i n aufgeprägtes Potential

We =1

2 ni( )

n dVVnn=1

N

+1

2 ne( )

n dVVnn=1

N

Selbstenergie Wechselwirkungsenergie

1

2

N

ni( ) n

ne( )

V1

V2 Vn

VN

Merke:

ne( ) 0 N =1

Bei nur einem Raumla-dungsgebiet verschwin- det der externe Beitrag.

ne( )= k

k n

-116-

6

Energie im elektrostatischen Feld XI

Wechselwirkungsenergie und Selbstenergie

(2) Beispiel: «Verschiedene Punktladungen»

ri rjQi

Qj

WeS= Wei

S=

i=1

N Qi2

8 0 RQii=1

N RQi 0

Punktladung! Punktladung sei ein kleines Kügelchen mit Radius RQ, dessen Oberfläche mit Q ge- laden ist (Folie 127). Die Punktladung ist ein theoretisches Modell!

In einem System von Ladungen kann die Selbstenergie weggelassen werden, wenn sie unabhängig von der ex-ternen Ladungskonfiguration ist, d.h. die Ladung ist starr oder hat kleine Ausdehnung veglichen zu den Abständen. In den meisten Fällen gilt daher We

WW als die Energie We.

Selbstenergie

We =1

2

Qi Qj

4 ri rjj=1j i

N

+WeS

i=1

N

=WeWW

+WeS

Wechselwirkungsenergie (Folie 115)

-117-

Energie im elektrostatischen Feld XII

Wechselwirkungsenergie und Selbstenergie

(2) Beispiel: «Verschiedene Punktladungen»

ri rjQi

Qj

We =1

2

Qi Qj

4 ri rjj=1j i

N

i=1

N

Frage: Beschreibt dieser Ausdruck aus Folie 117 wirklich die Wechselwirkungsenergie?

We =1

2

Qi Qj

4 ri rjj=1j i

N

i=1

N

=1

2Qi

Qj

4 ri rjj=1j i

N

i=1

N

=1

2Qi j ri( )

j=1j i

N

i=1

N

=1

2Qi i

e( )

i=1

N

=WeWW

Folie 116

Antwort: Ja !

-118-

7

Energie im elektrostatischen Feld XIII

Wechselwirkungsenergie und Selbstenergie

(3) Zu den Grössenordnungen:

E = E1 + E2

1

2

V1V2

E1

E2

E

We = 2E

2dV

V

E2= E1 + E2( ) E1 + E2( ) =

= E12+ E2

2+ 2 E1 E2

E1 E2( ) E1 E2( ) 0

E12+ E2

22 E1 E2

We = 2E1

2dV

V

+2

E22dV

V

+2

2 E1 E2dVV

We1S We

WWWe2S

+ & : Gleicheit nur dann, wenn die Gebiete vollständig überlappen!

-119-

R

0

r

rQPdQ

P

KR

r( ) =1

4 0

r( )r r

dVV

=1

4 0

0

rQPKR

dA

Energie im elektrostatischen Feld XIV

Beispiel: «Klassischer Elektronenradius»

Coulomb- Integral (Folie 31)

(1) Potential der homogen geladenen Kugelschale:

dA =R2 sin d d

dQ = 0 dA

rQP2= R2 + r2 2 R r cos ri := ri

2 rQP drQP = 2 R r sin d

1

rQP=

drQPR r sin d

dA

rQP=R d drQP

r

-120-

8

R

0

r

rQPdQ

P

KR

R r

0R

0

r( ) =1

4 0

0

rQPKR

dA =

=1

4 0

0 R

rd drQP

0

2

r R

r+R

=

= 0 R

2 0 rrQP

r R

r+R

=

0 R2

0 rr >R

0 R

0

r <R

Energie im elektrostatischen Feld XV

Beispiel: «Klassischer Elektronenradius»

(1) Potential der homogen geladenen Kugelschale:

-121-

R r

0R

0

r( ) =

0 R2

0 rr >R

Q

4 0 r

0 R

0

r <RQ

4 0 R

Energie im elektrostatischen Feld XVI

Beispiel: «Klassischer Elektronenradius»

(2) Diskussion der homogen geladenen Kugelschale:

Q = 0 4 R2

• Das Potentialfeld einer geladenen Kugelfläche ist gleich demjenigen einer Punktladung deren Ladungsmenge derjenigen der Kugel entspricht.

• Das Potential im Innern der Schale ist konstant: Das Innere ist demnach feldfrei (Folien 21, 26).

-122-

9

0

Rr

P

KR

dr r

Energie im elektrostatischen Feld XVII

Beispiel: «Klassischer Elektronenradius»

(3) Potential der homogen geladenen Vollkugel:

= 0 dr

Ansatz: Vollkugel in Kugelschalen diskretisie-ren deren Flächenladungsdichte ' beträgt. Die Potentiale der Kugelschalen überlagern unter Verwendung des vorherigen Resultats aus Folie 122.

Für die Flächenladungsdichte der Schale gilt:

r( ) =

0 r2

0 rdr

0

R

= 0 R3

3 0 rr >R

0 r2

0 rdr

0

r

+ 0 r

0

drr

R

= 0

2 0

R2r2

3r <R

-123-

0

Rr

P

KR

dr r

R r

0R2

3 0

Energie im elektrostatischen Feld XVIII

Beispiel: «Klassischer Elektronenradius»

(4) Diskussion der geladenen Vollkugel:

r( )=

0 R3

3 0 rr >R

0

2 0

R2r2

3r <R

r( )=

Q

4 0 rr >R

3 Q

8 0 R3 R2

r2

3r <R

Q = 0

4

3R3

-124-

10

Energie im elektrostatischen Feld XIX

Beispiel: «Klassischer Elektronenradius»

(5) Allgemeine Diskussion über das Potential der geladenen Kugel:

• Sowohl bei der geladene Kugelschale als auch bei der geladenen Vollkugel zeigt das Potential ausserhalb der Kugel (r > R) das Abklingverhalten einer Punktladung:

r( ) =Q

4 0 r

Q = 0 4 R2

Q = 043 R3

: Kugelschale

: Vollkugel

• Dieses verhalten ist selbstverständlich in bestem Einklang mit dem Satz von Gauss der Elektrostatik (Folie 82 und 84).

-125-

We =1

2dV

VQ

=1

2r( ) 0 4 r2dr

0

R

=4 0

2

4 0

R2r2

3r2dr

0

R

We =4 0

2 R5

15 0

=3 Q2

20 0 R

Energie im elektrostatischen Feld XX

Beispiel: «Klassischer Elektronenradius»

Feldenergie einer geladenen Vollkugel mit Radius R und einer Gesamtladung Q bzw. einer konstanten Raumladungsdichte 0.

(6) Energie der homogen geladenen Vollkugel:

(7) Im Raum verteilte Feldenergie oder lokale «Ladungsfederpannungsenergie»?

• Die im Quellenvolumen VQ berechnete Energie We stellt sich, wegen der gegenseitigen Abstossung der dQ‘s als «Feder- spannungsenergie» (Folie 108) im Volumen VQ dar.

• Einbringen der dQ‘s gegen das Feld: We ist Feldenergie in V .

• Das berechnete We ist die elektrostatische Selbstenergie der geladenen Vollkugel: d.h. Feld- und «Spannungsenergie».

-126-

11

Energie im elektrostatischen Feld XXI

Beispiel: «Klassischer Elektronenradius»

• Bei gegebener, konstanter Ladungsmenge Q ist die Energie umso grösser, je kleiner die Kugel wird (folgt dem zweiten Term der Energiebeziehung).

• Die Abstossungskräfte nehmen demnach auch zu (über die Arbeit beim Aufbauen der Ladung).

• Wie ist die Situation beim Elektron ?

(8) Energie der homogen geladene Kugelschale:

We =1

2dV

VQ

=1

20 R

00 dA

KR

=02 R

2 0

dAKR

=2 0

2 R3

0

We =2 0

2 R3

0

=Q2

8 0 R

Feldenergie einer geladenen Kugelschale mit Radius R und einer Gesamtladung Q bzw. der entsprechenden konstanten Flächenladungsdichte 0.

Fazit:

-127-

Energie im elektrostatischen Feld XXII

Beispiel: «Klassischer Elektronenradius»

Aus der Teilchenphysik: Die Bindungsenergie, welche gebraucht wird, um das Elekt-ron trotz der Abstossungskräfte zusammen zu halten, manifestiert sich im Sinne der Beziehung von Einstein als Elektronenmasse me. Die Bindungsenergie muss daher der Selbstenergie/Feldenergie des Elektrons entsprechen: me c0

2 = We.

(9) Elektronenradius Re aus der Selbstenergie des Elektrons:

We =e2

8 0 Re=

!

me c02

Re =e2

8 0 me c02

Re = 1.408617 1015m 1.41 fm

We =3 e2

20 0 Re=

!

me c02

Re =3 e2

20 0 me c02

Re =1.69034 1015m 1.69 fm

Vollkugel: Kugelschale:

-128-

12

Energie im elektrostatischen Feld XXIII

Fazit: «Klassischer Elektronenradius»

• In den Tabellenwerken wird der folgende Wert für den klassischen Elektronenradius angegeben:

• Es ist eine reine Rechengrösse, welche unterschied- lich definiert werden kann.

• Die Tabellenversion beruht auf der geladenen Kugel- schale und berechnet wohl eher den Durchmesser.

• Nein: Die Tabellenversion beruht auf dem gemein- samen Faktor des Energieausdrucks für die Vollkugel bzw. für die Kugelschale.

• In hochenergetischen Streuexperimenten wird allerdings festgestellt, dass die Ausdehnung des

Elektrons um mindestens einen Faktor 100 kleiner sein muss !

Re =2.817940325 28( ) fm

We

Voll

=3

5

e2

4 0 Re

We

Schale

=1

2

e2

4 0 Re

-129-

E e( )

+

+ Q

Q

Energie im elektrostatischen Feld XXIV

Energie eines Dipols im externen Feld

Vergleiche hierzu die ersten Spekulationen auf Folie 62!

We+WW

= + Q+

e( ) WeWW

= Q e( )

+

e( )=

e( ) r+( ) e( )

=e( ) r( )

Wechselwirkungsenergie:

WeWW

= Q+

e( ) e( )( ) = Q e( )

+

e( ) e( )=

e( )= grad e( )

=

= E e( )

We

WW= Q E e( )

= p E e( )

p : Dipolmoment

-130-

13

Energie im elektrostatischen Feld XV

Zusammenfassung zur Energie

• Unterscheidung zwischen Selbst- energie Wechselwirkungsenergie.

• Selbstenergie ist stets grösser als die Wechselwirkungsenergie.

• Definition des Elektronenradius‘.

• Energie des Dipols im E-Feld. We =

1

2dV

VQ

We =1

2D E dV

V

=2

E2dV

V

=1

2D

2dV

V

We =1

8 r rVQ

dV dVVQ

We =1

8

Qi Qj

ri rjj=1j i

N

i=1

N

We = 2grad

2dV

V

Felder

Ladung

-131-

Virtuelle Verschiebung

dlVirtuelle Verschiebung

dl

Batterie

Kräfte im elektrostatischen Feld I

Das «Prinzip der virtuellen Verschiebung»

(a) Ladung auf den leitenden Körpern wird konstant gehalten.

(b) Potential auf den leitenden Körpern wird konstant gehalten.

(1) Die Anordnung:

(2 Experimente)

• Ladungsverteilung Q3 befindet sich im externen Feld von Q1 und Q2.

• Es sind die Kräfte auf diese Ladungsverteilung Q3 zu bestimmen.

• Kräfte ermittelt man über die Arbeit bei «virtuellen Verschiebungen».

-132-

14

Kräfte im elektrostatischen Feld II

Das «Prinzip der virtuellen Verschiebung»

(2) Energie der Anordnung:

• Den Ladungen Qi seien jeweils die La- dungsverteilungen i zugeordnet.

• Das «externe» Feld wird jeweils von den Raumladungsdichten i erzeugt ( i = 1,2).

• Die elektrostatische Energie der gesamten Anordnung:

• Die Energie der «mechanischen» Anord- nung ist die Energie, um die geladene An- ordnung (alle Ladungsverteilungen) in ihrer Position zusammenzuhalten:*)

We =WeS+We

WW

Wm = Rückstellarbeit{ }

*) Das Theorem von Earnshaw: Eine Ladungsverteilung kann unter alleinigem Einfluss äusserer elektrischer Felder, d.h. durch die resultierenden Coulomb-Kräfte, niemals in eine stabile Lage gebracht werden: Es braucht zusätzliche Kräfte.

-133-

Kräfte im elektrostatischen Feld III

Das «Prinzip der virtuellen Verschiebung»

(3) Energieerhaltung:

• Das Prinzip der Energieerhaltung fordert für die Gesamtenergie der Anordnung:

d

dtWe +Wm( ) = 0

bzw.

dWe + dWm = 0(4) Virtuelle Verschiebung:

dWm =F dldWe =We

xdx+

We

ydy+

We

zdz = gradWe dl

Die Verschiebung der Elektrode durchzu- führen ist ein reines Gedankenexperiment !

-134-

15

Kräfte im elektrostatischen Feld IV

Das «Prinzip der virtuellen Verschiebung»

(5) Fall (a): Ladung Qi = const.: Das «Prinzip der virtuellen Verschiebung» ist ein Gedankenexperiment, bei dem eine Raumladungszone (Elektrode, etc.) einer virtuellen Verschiebung unterzogen wird. Die geleistete Arbeit kann über die Erhal-tung der Energie als Änderung der Feld- Energie interpretiert werden. Energieände-rungen als Funktion von (verschwindend) kleinen Verschiebungen ergeben Kräfte.

Die elektrostatische Kraft auf eine Ladungs-verteilung als Funktion der Energie des externen Feldes in dieser Verteilung.

dWe + dWm = 0

gradWe dl + F dl = 0

F dl = gradWe dl

F = gradWe

F = gradWe Q=const.=const.

Energieerhaltung

-135-

Kräfte im elektrostatischen Feld V

Das «Prinzip der virtuellen Verschiebung»

(6) Fall (b): Potential i = const.:

F = + gradWe i =const.Uij =const.

Bei konstanten Potentialen i wird die Ver-Schiebung der Raumladungszone (Elektrode 3) in allen Elektroden eine Ladungsänderung dQi bewirken. Diese muss von der Span-nungsquelle nachgeliefert werden; hierbei gibt Quelle die folgende Energie ab:

dWQuelle = i dQii=1

N

(cf. Folie 107)

dWe + dWm = dWQuelleEnergie- erhaltung

dWe =1

2 i dQii=1

N

dWQuelle = 2 dWe

Wechselwir- kungsenergie (Folie 118)

gradWe dl + F dl =2 gradWe dl

Vergleich

-136-

16

Kräfte im elektrostatischen Feld VI

Diskussion

• Der Faktor 1/2 beruht auf dem Umstand, dass das Potential mit dem Einbringen der Ladung (zur Erzeugung der betrachteten Ladungsver- teilung) mit aufgebaut wird, währenddessen die Spannungsquelle ihre Ladung gegen das

bestehende Potential aller bereits erzeugten Ladungsverteilungen «anschieben» muss.

• Der Formalismus des «Prinzips der virtuellen Verschiebung» ist noch in der alten Vorstellung verhaftet, dass die Ladung Träger der Energie

ist (cf. Folie 113).

• Dass die Kraft vom Gradienten der Gesamt- energie abhängt lässt sich sicher auch in Rich- tung einer rein feldtheoretischen Beschreibung

operationalisieren (später auf Folie 154 ff.).

• Der Gradient beschreibt die Variation der Gesamt- energie hinsichtlich der «virtuellen Freiheitsgrade».

dWe =1

2 i dQii=1

N

dWQuelle = i dQii=1

N

F = gradWe Q=const.=const.

F = + gradWe i =const.Uij =const.

-137-

VQe

F

Kräfte im elektrostatischen Feld VII

Beispiel: «Ladungsdruck im Elektron»

(1) Das Elektron als homogen geladene Kugelschale:

F = gradWe = grade2

8 0 r=

e2

8 0 r2 er

p A er drp dV

= F er drdl

=e2 er8 0 r

2 er drdl

p =F

A=

F

4 r2=

e2

32 20 r

4 er

p =1.602 10 19C( )

2

32 2 8.854 10 12 Fm( ) 1.408617 10 15m( )

4 = 2.3311 1030 N m2

Druck auf die Elektronen- oberfläche.

(Selbstenergie We der Kugelschale siehe Folie 128).

-138-

17

VQe

F

Kräfte im elektrostatischen Feld VIII

Beispiel: «Ladungsdruck im Elektron»

(2) Das Elektron als homogen geladene Vollkugel:

F = gradWe = grad3 e2

20 0 r=

3 e2

20 0 r2 er

p A er drp dV

= F er drdl

=3 e2 er20 0 r

2 er drdl

p =F

A=

F

4 r2=

3 e2

80 20 r

4 er

p =3 1.602 10 19C( )

2

80 2 8.854 10 12 Fm( ) 1.69034 10 15m( )

4 = 1.34903 1030 N m2

Druck an der Elektronen- oberfläche.

(Selbstenergie We der Vollkugel siehe Folie 128).

-139-

R0 r

QQ F

Kräfte im elektrostatischen Feld IX

Beispiel: «Zwei Punktladungen»

(cf. Folien 118, 136)

We =1

2 ii=1

2

Qi =1

2

Q

4 0 RQ( ) +

Q

4 0 RQ =

Q2

4 0 R

F = gradWe = r

Q2

4 0 rer

r=R

= +Q2

4 0 r

1

rer

r=R

=Q2

4 0 R2 er F =

Q2

4 0 R2 er

We =1

2 ii=1

2

Qi

Dies ist das Coulomb‘sche Gesetz (Coulombkraft), wie es uns aus Folie 11 bestens bekannt ist !

Analyse über die Feldenergie für Q = const.:

-140-

18

Vektoranalysis I

Definition des Operators «Vektorgradient»

(1) Die Jacobi-Matrix:

Folie 40: Der Gradient eines Skalarfeldes ergibt ein Vektorfeld. Frage: Welches Gebilde erzeugt der Gradient eines Vektorfeldes? Antwort: Etwas komplexeres: ein Tensorfeld.

gradv =

gradvxgradvygradvz

=

vxx

vxy

vxz

vyx

vyy

vyz

vzx

vzy

vzz

= : Jv

• Die Jacobi-Matrix ist eine Funktionalmatrix und im quadratischen Fall ein Tensor 2. Stufe. Tensoren kommen dann zum Zug, wenn mehr als nur Betrag und Richtung dem Raum- punkt zugeordnet werden.

• Solche Tensoren werden z.B. zur Beschreibung von räumlichen Anisotropien gebraucht.

«Vektorgradient» (lässt sich mit Hilfe einer Jacobi-Matrix darstellen)

-141-

Vektoranalysis II

Definition des Operators «Vektorgradient»

(3) Der «u-Vektorgradient von v »:

u grad( )v =

gradvxgradvygradvz

u =

vxx

vxy

vxz

vyx

vyy

vyz

vzx

vzy

vzz

uxuyuz

= Jv u

(2) Die Richtungsableitung eines Vektorfeldes:

Mit dem Betrag des Vektor(felde)s u gewichtete Richtungsableitung nach u des Vektorfeldes v. Diese Richtungsableitung ist ein Vektorfeld.

v

u= lim

h 0

v r +h u( ) v r( )

h= u grad( )v

v

u= u

v

eu

-142-

19

Vektoranalysis III

Definition des Operators «Vektorgradient»

(4) Vektoridentität für den Vektorgradienten

(Ohne Herleitung)

grad u v( ) = u grad( )v + u rot v( ) +

+ v grad( )u + v rotu( )

(5) Stark vereinfachter Fall:

u :

v :

Konstantes Vektorfeld, bzw. konstanter Vektor

Konservatives Vektorfeld; bedeutet: rot v = 0

grad u v( ) = u grad( )v

-143-

E e( )

p

+

F+

F –

p

+

F

M

Kräfte im elektrostatischen Feld X

Beispiel: «Kraftwirkung auf den elektrischen Dipol»

(1) Kraftkomponente:

F = gradWe Q=const.p =const.

F = grad p E e( )( )= +grad p E e( )( )

(Folie 130)

F = p grad( )E e( )=

E e( )

p

Gemäss Vektoridentität aus Folie 143 ergibt sich:

Nur Feldgradient bewirkt Kraft!

Der Dipol im homogenen E-Feld erfährt keine Kraftwirkung, da die Kraft auf die positive und negative Ladung gleich stark, aber entgegenge-setzt ist! Er erfährt einzig ein Drehmoment, bis dass Richtung von E und p übereinstimmen.

-144-

20

p

+

F

M

E e( )

Kräfte im elektrostatischen Feld XI

Beispiel: «Kraftwirkung auf den elektrischen Dipol»

(2) Drehmomentkomponente:

M = gradWe p=const.= p E e( )( ) e

M = p E e( )( ) e

= p E e( ) sin e

= + p E e( ) sin e

= p E e( ) e

= p E e( ) e ep E

Moment wirkt in Richtung des abnehmenden Winkels !

M = p E

-145-

x

yFF

E,D

++ Q

Q Ag = x z0

As = y zz

V = Ag y

=Q

Ag;

+=+ Q

Ag= :

U =+

= E y

D = 0 E

n12 D2 D1( ) =n12 = ey

D D2

Kräfte im elektrostatischen Feld XII

Beispiel: «Bewegliche Parallelplattenanordnung»

(1) Elektrische Feldgrössen:

Siehe Grenzbedin-gungen Folie 102:

D

+ Q ,

n12

y

D = n12

-146-

21

Kräfte im elektrostatischen Feld XIII

Beispiel: «Bewegliche Parallelplattenanordnung»

(1) Fall (a): Ladung Qi = const.:

We =1

2D E dV

V

=1

2 0

D2dV

V

F = gradWe Q =const.=

y12 0

+Q 2

Ag( ) y( ) ey

F = 12 0

+Q 2

Ag( ) ey p =2

2 0ey

We =12 0

2 Ag y

= 12 0

+QAg( )

2

Ag y

= 12 0

+Q 2

Ag( ) y

Homogenes D-Feld (Folie 146): x

yFF

E,D

++ Q

Q Ag = x z0

As = y zz

-147-

x

yFF

E,D

++ Q

Q Ag = x z0

As = y zz

Kräfte im elektrostatischen Feld XIV

Beispiel: «Bewegliche Parallelplattenanordnung»

(1) Fall (a): Ladung Qi = const.:

We =1

2D E dV

V

=1

2 0

D2dV

V

F =x

12 0

+Q 2

x z( ) y( ) ex = +Q 2 y ex2 0 z x

2 =+Q 2 As ex2 0 Ag

2

F =+ 12 0

+Q 2

Ag2( ) As ex p =+

2

2 0ex

We =12 0

2 Ag y

= 12 0

+QAg( )

2

Ag y

= 12 0

+Q 2

x z( ) y

Homogenes D-Feld (Folie 146):

-148-

22

Kräfte im elektrostatischen Feld XV

Beispiel: «Bewegliche Parallelplattenanordnung»

(2) Fall (b): Potential i = const.:

We =1

2D E dV

V

=0

2E

2dV

V

=0

2

U

y

2

y Ag = 0 U2 Ag2 y

F = gradWe U=const.=

y 0 U2 Ag2 y

ey =0

2

U

y

2

Ag ey

We =1

2D E dV

V

=0

2E

2dV

V

=0

2

U

y

2

y Ag =0

2

U 2

yx z

F = gradWe U=const.=

x0

2

U 2

yx z ex =

0

2

U

y

2

As ex

-149-

Kräfte im elektrostatischen Feld XVI

Fazit: «Bewegliche Parallelplattenanordnung»

Fall (b): i = const.:

p =0

2

U

y

2

ey

p = +0

2

U

y

2

ex

p =

2

2 0

ey

p = +

2

2 0

ex

Fall (a): Qi = const.:

Coulomb-Anziehung zwischen den Platten.

Coulomb-Abstossung innerhalb der Platten.

Ladungsargument:

p , =1

2 0

D2

p , =0

2E

2

Energieargument:

p , = we

Der elektrostatische Druck entspricht der Energiedichte!

(Folie 110)

Frage: Gibt es einen allgemeineren, formalen Zugang zum «Energieargument»?

-150-

23

Vektoranalysis I

Das dyadische Produkt

(1) Das Skalarprodukt:

a :=a1a2

b :=b1b2

aT b = a1, a2( )b1b2

= a1b1 + a2b2 a b

(2) Das dyadische Produkt (Dyade):

a :=a1a2

b :=b1b2

a bT =a1a2

b1, b2( ) =a1b1 a1b2a2b1 a2b2

a b ab

Skalarprodukt «dot product»

Dyade «undotted product»

Korrekte Schreibweise in der linearen Algebra

-151-

a b c( ) = a b1c1 +b2c2( ) =a1a2

b1c1 +b2c2( ) =a1b1c1 +a1b2c2a2b1c1 +a2b2c2

a b( ) c =a1b1 a1b2a2b1 a2b2

c =a1b1 a1b2a2b1 a2b2

c1c2

=a1b1c1 +a1b2c2a2b1c1 +a2b2c2

Vektoranalysis II

Das dyadische Produkt

(3) «Undotted Product»:

b c( ) a = b1c1 +b2c2( ) a = b1c1 +b2c2( )a1a2

=a1b1c1 +a1b2c2a2b1c1 +a2b2c2

a c( ) b =a1c1 a1c2a2c1 a2c2

b =a1c1 a1c2a2c1 a2c2

b1b2

=a1b1c1 +a1b2c2a2b1c1 +a2b2c2

-152-

24

Vektoranalysis III

Weitere Betrachtungen

(1) Rückblick auf Folie 142 zum «u-Vektorgradienten von v »:

(ohne Herleitung; für später)

u grad( )v = v grad( ) u =v1v2

x , y( ) u =

v1x

v1y

v2x

v2y

u

Jv = v grad( ) Jacobi-Matrix (Folie 141)

(2) Weitere Vektoridentitäten (Integralbeziehungen):

1

2v2dA

V

v v dA( )V

= v rot v v divv[ ] dVV

1

2v2dA

V

+ v v dA( )V

= v divv dVV

Konservatives Feld; bedeutet:

rot v = 0

-153-

Ee( ) E tot( )

Kräfte im elektrostatischen Feld XVII

Maxwell‘sche mechanische Spannungsgleichung

Frage: Gibt es eine Korrelation zwischen den Verzerrungen des totalen Feldes und der Kraftwirkung?

Leitende Kugel im externen elektrischen Feld.

Das resultierende totale elektrische Feld um die leitende Kugel.

-154-

25

Q2 = + QQ1 =Q

5=:q

+

Kräfte im elektrostatischen Feld XVIII

Beispiel: «Feldverzerrungen um eine Probeladung»

Q1 =Q

5=:q

+Q2 = Q

-155-

Anmerkung: Würde eine solche Korrelation zwischen Feldverzerrung im Aussenraum und Kraft-

wirkung auf den Körper existieren:

(A) Dann wäre die Frage aus Folie 150 nach einem allgemeineren Zugang – d.h. die Frage nach der Begründung der Kraftwir- kung über die «reine» Feldenergie – positiv beantwortet.

(B) Dann wären die Kraftfelder Teil der (elektromagnetischen) Feldtheorie.

(C) Bemerkung: Eine vereinheitlichende Beschreibung von Kraftfeldern bzw. mechanischen Spannungsfeldern und elektromagnetischen Feldern spielt z.B. in der aktuellen Forschung zu den MEMS (micro electromechanical systems) eine immer zentralere Rolle.

Kräfte im elektrostatischen Feld XIX

Maxwell‘sche mechanische Spannungsgleichung

MEMS: Fingerkondensator als mechanischer Aktuator.

Potentialfeld

-156-

26

WeWW

= 0

22 E i( ) E e( )dV

V

= D i( ) grad e( )( )dVV

=e( )dV

V

Folie 119

Kräfte im elektrostatischen Feld XX

Maxwell‘sche mechanische Spannungsgleichung

(1) Energie einer Raumladungsverteilung im externen Feld:

Herleitung analog zu den Folien 111-113

(2) Konventionell: Kraft auf eine Raumladungsverteilung im externen Feld:

F = gradWeWW

= grad r( ) e( ) r( ) dVV

= r( ) grad e( ) r( )( ) dVV

= E e( ) dVV

F = E e( ) dVV VQ

Merke: Das Fehlen des Faktors 1/2 wurde bereits in der Folie 137 ausführlich diskutiert.

Gradient operiert nur auf Aufpunkt r.

-157-

0 E divE dVV

= 0

2E

2dA

V

+ 0 E E dA( )V

0 divE = divD =

E dVV

= 0

2E

2dA

V

+ 0 E E dA( )V

F = 0

2E

2dA

V

+ 0 E E dA( )V

Vektoridentität aus Folie 153 für das konser- vative Feld.

Kräfte im elektrostatischen Feld XXI

Maxwell‘sche mechanische Spannungsgleichung

(3) Modern: Spannungsgleichung des totalen Feldes (im Vakuum):

«Maxwell‘sche Spannungsgleichung»

(für das elektrische Feld)

Beschreibung des Kraft-feldes F anhand des die Ladung umgebenden elektrischen Feldes! Umgebende Hülle V heisst Maxwell‘sche-Hülle.

Bei invariantem gilt grad We grad We

ww, d.h. F(E(tot)) F(E(e)) (cf. Folien 116, 117)

-158-

27

• Die Integranden müssen der Flächendichte der Kraft entsprechen (elektrostatischer Druck).

(5) Beispiel: «Metallischer Körper (Elektrode)»

Kräfte im elektrostatischen Feld XXII

Maxwell‘sche mechanische Spannungsgleichung

F =1

2E D( )dA

V

+ E D dA( )V

(4) Symmetrische Darstellung der Spannungsgleichung in Dielektrika:

dA = n dA

E E tot( )

«Maxwell‘sche

Spannungsgleichung»

F=1

2E D( )dA

V

p= 12 E D

E V( ) n

E D dA( )= E D( )dADruck in Richtung der Normalen.

-159-

• Metalleinschub der Dicke t

• Plattenabstand: d

• Plattenbreite: B

• Breite des Einschubs: Be B

• Elektrische Feldstärken zwischen den Platten (z.B. für U = const.):

• Beiträge a-b, g-h, bzw. c-d, e-f kompensieren sich während der Integration (wegen Symmetrie).

• Das zweite Integral wird Null für d-e, f-g und b-c. (wegen E dA).

Kräfte im elektrostatischen Feld XXIII

Maxwell‘sche mechanische Spannungsgleichung

E =U

didi =

d

d t

(6) Beispiel: «Kapazitiver Aktuator» (Folie 156)

F= 0

2E

2dA

S+ 0 E E dA( )

S

F= 0

2E

2dA

S

S=d-e f -g b-c

-160-

28

Kräfte im elektrostatischen Feld XXIV

Maxwell‘sche mechanische Spannungsgleichung

(6) Beispiel: «Kapazitiver Aktuator»

F = 0B

2

U 2

d 2d

e

ds +U 2

d t( )2

f

g

ds +U 2

d t( )2

b

c

ds

= 0B

2

U 2

d 2ds

d

e

+U 2

d t( )2 ds

f

g

+U 2

d t( )2 ds

b

c

= 0B

2

U 2

d 2d ex

U 2

d t( )2 d t( ) ex = 0U

2

2

B

d t

B

dex

Der Metalleinschub wird vom Feld zwischen den parallelen Platten «hineingezogen»!

F = 0 t B U 2

2d d t( )ex

Bei U = const. gilt für die Kraft grad We > 0, der Einschub vergrössert die Kapazität und damit We.

dA = n dA

= n B dl

= B ds

ds = n dl

-161-

Kräfte im elektrostatischen Feld XXV

Maxwell‘scher Spannungstensor

Die Integranden der Hüllen- integrale ergeben eine Flächen-kraftdichte: Lässt sich diese in geschlosser Form angeben?

(1) Zugang über die Flächendichte der Kraft:

F =2

E E( )dAV

+ E E dA( )V

=2

E E( )dAV

+ E E( ) dAV

=2

E E( ) dAdAV

+ E E( ) dAV

F =1

2E D( )dA

V

+ E D dA( )V

=1 =

0

dA = dA

Kronecker-Delta ist hier von der Art einer Einheitsmatrix.

Ziel: Nur ein Integrand im Hüllenintegral.

-162-

29

F =2

E E( ) dAV

+ E E( ) dAV

= E E2

E E( )V

dA = : TeV

dA

Kräfte im elektrostatischen Feld XXVI

Maxwell‘scher Spannungstensor

(1) Zugang über die Flächendichte der Kraft:

F = Te dAV

Te = E E( )2

E E( )

(2) Der elektrostatische Spannungstensor:

Der elektrostatische Spannungstensor be- schreibt die durch die Verzerrung des totalen elektrischen Feldes entstandene räumliche Anisotropie der Kraftwirkung. Erst die Integration über die Maxwell‘sche Hülle entfaltet die real angreifende Kraftwirkung.

Mechanische Spannung = Flächendichte der Kraft.

-163-

Te = E E( )2

E E( )

Te =

Ex2

2 E2

ExEy ExEz

EyEx Ey2

2 E2

EyEz

EzEx EzEy Ez2

2 E2

Kräfte im elektrostatischen Feld XXVII

Maxwell‘scher Spannungstensor

Angreifende Kraft an dA

(3) Ausgschriebene Tensordarstellung:

dF = Te dA = Te n( ) dA = p dAdF = Te dA

p = Te nFlächenkraft- dichte bei dA

Starke Anisotropie (es gibt Off- Diagonal- Elemente)

Anisotropie bedeutet dass der elektrostatische Druck auch schiefwinklig am Flächenele-ment ansetzen kann !

-164-

30

np = E E n( )

2E

2n

E E n( )

E2E

2n

Kräfte im elektrostatischen Feld XXVIII

Maxwell‘scher Spannungstensor

• Die Flächendichte der Kraft (der elektrostatische Druck) greift schiefwinklig am Flächenelement an.

• Der Spannungstensor be- schreibt somit die Aniso- tropie des Spannungsfeldes.

• In dieser Lesart «schiebt», «zieht» und/oder «drückt»

das Feld an der Grenzfläche.

• Kraft wirkt erst an der Grenz- schicht und nicht im Volumen.

(4) Spannungstensor und resultierende Kräfte:

p = Te n = E E( ) n2

E E( ) n = E E n( )2E

2n

-165-

Kräfte im elektrostatischen Feld XXIX

Maxwell‘scher Spannungstensor

(4) Spannungstensor und resultierende Kräfte:

• Die Kräfteverhältnisse am Kondensator werden durch das erste (oben links) und letzte (unten rechts) Szenario wieder- gegeben.

• T ist hier als Te n zu lesen.

• Grenzflächenspannung (elektrostatischer Druck, bzw. die Flächendichte der Kraft) ist immer:

(A) In den Raum mit dem kleineren orientiert.

(B) In den Raum des Nichtleiters orientiert.

-166-

31

Bisher: Divergenz eines Vektorfeldes Skalarfeld (z.B. Raumladungsdichte) Neu: Divergenz eines Tensorfeldes Vektorfeld (z.B. Volumenkraftdichte)

Kräfte im elektrostatischen Feld XXX

Die Volumendichte der Kraft

F= TeV

dA = divTe dVV

= f dVV

(1) Divergenzsatz:

Problem: Was ist die Divergenz eines Tensor-feldes?

(2) Divergenz des Spannungstensors:

Te =

Ex2

2 E2

ExEy ExEz

EyEx Ey2

2 E2

EyEz

EzEx EzEy Ez2

2 E2

=

Te1( )

Te2( )

Te3( )

Vektor- funktionen analog zum Vektorgra- dienten auf Folie 141.

-167-

Kräfte im elektrostatischen Feld XXXI

Die Volumendichte der Kraft

(2) Divergenz des Spannungsttensors:

divTe :=

divTe1( )

divTe2( )

divTe3( )

divTe1( )= div Ex

22 E

2, ExEy , ExEz( ) =

= x ExDx12 D E( )( )+ y ExDy( )+ z ExDz( )

= ExDx

x +Dy

y +Dz

z( ) 12 x D E( )+ Dx x +Dy y +Dz z( )Ex

Divergenz der ersten Vektorfunktion aus Folie 167.

-168-

32

Kräfte im elektrostatischen Feld XXXII

Die Volumendichte der Kraft

(3) Verallgemeinerung auf drei Vektorfunktionen (drei Dimensionen):

divTe1( )= Ex

Dx

x +Dy

y +Dz

z( ) 12 x D E( ) + Dx x +Dy y +Dz z( )Ex

E divD

12 grad E D( )

D grad( )E

3D-Extra- polation:

grad E D( ) = grad E E( ) = grad E E( ) + E E( ) grad

D grad( )E = 2 E grad( )E+ 2 E grad( )E = 2 grad E E( )

- + :

E divD 12 grad E D( )+ D grad( )E =

= E divD 2 grad E E( ) 12 E E( ) grad + 2 grad E E( )

Vektoranalysis (Folie 143)

-169-

Kräfte im elektrostatischen Feld XXXIII

Die Volumendichte der Kraft

(3) Verallgemeinerung auf drei Vektorfunktionen (drei Dimensionen):

E divD 12 grad E D( )+ D grad( )E = E divD 1

2 E E( ) grad

= E 12 E E( ) grad

(4) Die Volumendichte der Kraft:

f = divTe = E 12 E E( ) grad F = f dV

V

(5) Die Volumendichte des Drehmoments:

m = r f M = m dVV

(ohne Herleitung)

Quelle Polarisationsinhomogenität

-170-

33

Kräfte im elektrostatischen Feld XXXIV

Zusammenfassung Kräfte

«Ursprünglich» «1. Modernisierung» «2. Modernisierung»

F= TeV

dA

F = ± gradWe RB( )

F =Q E

F12 =14

Q1 Q2 r1 r2( )

r1 r23

• Ladungen verursachen die Kräfte.

• Coulombkraft, d.h. Fern- wirkung.

• Kraftwirkung des E-Feldes.

• Ladungstheorie der Kraft.

• Äquivalenz von Feldenergie und Arbeit (Methode der virtuellen Verschiebung).

• Gesamtsystem strebt zum Energieminimum.

• Feldenergietheorie der Kraft.

• Verzerrungen des totalen E-Feldes korrelieren mit den Kraftfeldern.

• Spannungstensor

• Feldtheorie der Kraft.

F = f dVV

Die Volumenkraftdichte fällt sozusagen wieder zurück in die Quellenbeschreibung der Kräfte (vergleiche z.B. Folie 157).

-171-