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Zur Problematik des Entropiebegriffs in der Relativitätstheorie sowie in verwandten Theorien Dr. Wilfried Tenten 22.11.2009 Vorwort Die Frage nach einem Verständnis der Physik hat zu tun mit der Erkenntnis, was die Wesentlichen Beschreibungsmerkmale der Physik sind:

• Energie • Kraft • Impuls

Diese drei Merkmale sind für Stoffe, die fest sind, daß heißt in ihrem Zustand ihre Strukturen nicht ändern, ausreichend für eine physikalische Charakterisierung. Das führte zur makroskopischen Physik der Statik und Kinematik. Hier steht die Mengenartigkeit im Vordergrund als wesentliche Stoffeigenschaft. Schauen wir aber in die Materie hinein, in die inneren Strukturen, so stellen wir schnell fest, daß wir mit diesen drei Beschreibungsmerkmalen nicht auskommen. Denn wir können damit keine Auskunft erhalten über deren Wärmeverhalten. Was eigentlich ist diese Wärme, wie äußerert sie sich, wie ist sie physikalischer erfassbar? Constantin Carathéodory, Max Born, James Prescott Joule und Kenneth Denbigh stellten in ihren Arbeiten fest, daß es idealisierte Grenzfälle gibt, die so etwas wie wärmedurchlässige und wärmeundurchlässige Wände darstellen. Ein Körper, der mit einem anderen Körper in Berührung – oder in dessen Einflusssphäre – gerät, kann mit diesem auch ohne Arbeitsaustausch Wirkungen austauschen, sofern eine solche wärmedurchlässige Wand vorhanden ist. Diese Größen werden heute mit dem Begriff Joule angegeben, Wir haben auf den Grundlagen von Carathéodory´s Arbeiten gelernt, daß durch Aufwenden einer gewissen Arbeit A in einem System mit wärmeundurchlässigen Wänden – hier führe ich dazu den heute gängigen Begriff adiabatisch ein- eine Veränderung in diesem System erreicht wird. Bringen wir dieses System dann mit einem zweiten System mit wärmedurchlässigen Wänden in Berührung und stellen anschließend fest, daß dabei die selbe Veränderung passiert ist, sprechen wir davon, daß Wärme von dem ersten System auf das zweite System übertragen wurde. Dieser Wärmeeintrag Q ist damit äquivalent zum Arbeitsaufwand W. Mit diesen Erkenntnissen muß der Begriff Wärme schärfer gefaßt werden, besser noch: es muß geklärt werden, ob Wärme eine Form der Energie darstellt. Im Gegensatz zu den klassischen Energieformen erkennen wir offensichtlich keine Wechselwirkungen mit folgenden Eigenschaften:

• Impuls • Drehimpuls • Volumen • Ladungen • Teilchenaustausch • Feldbeeinflussung (elektrisch, magnetisch, gravitativ)

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Wir nehmen an, daß Wärme eine einzige Energieform darstellt, die wie die bekannten Energien auch charakteristischen Merkmalen – Parameter (Variable) – zusammengesetzt ist. Erfahrungen mit der Wärme:

• Werden zwei identische Systeme als ein-einziges System betrachtet, vervielfacht sich die Wärmeenergie nicht

• Lebewesen merken, daß es „warm“ oder „kalt“gibt, wir bezeichnen dies als Temperatur

• Haben zwei im Wesen identische Systeme dieselbe Temperatur, können diese Systeme als eineinziges System beschrieben werden

Rudolf Clausius führte einen extensiven Parameter ein –damit wurde auch der Kreis zur klassischen Physik geschlossen-, den er für die Energieform Wärme wählte: Entropie S. Die Entropie bestimmte er zu: Wärme = T dS Darin ist T ein intensiver Parameter (Variable), die einen Temperaturbegriff darstellt. Noch eine Spur schärfer kann diese Gleichung angeschrieben werden, indem dieser Vorgang der Wechselwirkungen zweier oder auch mehrer Systeme untereinander mit dem Begriff strömende Entropie oder Entropiestrom erfasst werden:

romEntropiestTdtdSTWärmestrom ⋅==

Interessant ist, daß die Clausius Gleichung zwei Variablen in einer Gleichung zu einem neuartigen Energiebegriff zusammenfasst. Was heißt das für das hier aufgezeigte System der Wände? Ein Entropiestrom transportiert einen Energiestrom durch eine Wand. Der Begriff Wand wird heute als Mediumgrenze aufgefasst. Diese Mediumgrenze grenzt zwei Körper gegenseitig ab mit jeweils einer eigenen Temperatur Ti. Auch kann diese Mediumgrenze als Wärmeisolator angesehen werden: Die Wärmedämmung ist umso größer, je größer die Temperaturdifferenz der beteiligten medien ist, um einen signifikanten oder bestimmten Energiestrom = Wärmestrom zu erzeugen. Da jedoch keine andere energieform als Wärme dabei umgesetzt wird kann man schlussendlich auch sagen: Was an Wärme einströmt, muß auch auströmen. Damit ergänzen wir die Gleichung des Wärmestroms zu:

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WärmestromTTTT

dtdST

TTTT

dtdS

TTT

dtdS

dtdS

dtdST

dtdSTWärmestrom

⋅⋅−

=⋅⋅−

=⋅−

=−

⇒

==

21

2111

21

211

2

2112

22

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Der Index 1 meint: Entropiestrom in das zweite System hinein Der Index 2 meint: Entropiestrom aus dem zweiten System heraus Wird ein wäremeleitfähiges Medium von Entropie durchflutet, so nimmt die Entropie stets zu. Wird der Entropiefluß in ein anderes Medium hinein konstant gehalten, so sind Entropiezunahme und Temperaturdifferenz um so höher, je schlechter das Medium Wärme leitet. Dieser Satz der Entropie kann auch als Wärmewiderstand begriffen werden. Der Aufsatz beschäftigt sich mit der Darstellung der Entropie, der Nutzbarkeit des Entropiebegriffs in der klassischen als auch der Quantenmechanik und weiterführend der relativistischen Physik und wir auch einen Einblick geben in die Fähigkeit mit der Entropie relativistische kosmologische Prozesse beschreiben zu können. Rudolf Clausius, Physiker, Deutschland, 2.1.1822 – 24.8.1888, „Entdecker“ des zweiten Hauptsatzes der Thermodynaik, Wortschöpfer des begriffs Entropie Constantin Carathéodory (griechisch Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή - Konstantínos Karatheodorí; * 13. September 1873 in Berlin; † 2. Februar 1950 in München) war ein griechischer Mathematiker (in der Literatur findet sich der Name auch als Karatheodori, Caratheodory, Carathéodori). James Prescott Joule, Brauereierbe, Naturwissenschaftler, England 24.12.1818 – 11.10.1889 Max Born, Mathematiker, Physiker, Deutschland, Göttingen, 11.12.1882 – 5.1.1970 Kenneth George Denbigh, Chemiker und Thermodynamiker, England 1911 - 2004 1 Einführung

Der Name leitet sich aus dem Giechisch ab: εντροπία [entropía], von εν~ [en~] – ein~, in~ und τροπή [tropē] – Wendung, Umwandlung Er bezeichnet in der Wissenscahft die Umwandlung von Prozessen, so zu verstehen, daß diese Prozesse gesamtenergetisch unveränderlich, zustandsmäßig jedoch einer Änderung unterworfen sind. Diese Änderung gilt es näher zu betrachten: Ein System ist eine Ansammlung von Komponenten, die einen gemeinschaftlichen Zustand besitzen, deren Einzelkompenten jedoch voneinander nur bedingt abhängig sind. Desweiteren wird auch über Makro- und Mikrozustände geredet. Diese Zustände bezeichnen Charakteristika des Systems: Der Makrozustand

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Die Entropie ist von ihrem Kerngedanken her ein Ordnungsbegriff. Anders als bei dem Begriff der Energie kann die Entropie keine Erhaltungsgröße erklären, aber sie macht Aussagen über den jeweiligen Systemzustand, besser: sie ist davon abhängig. Diese Abhängigkeit muss demzufolge definiert werden. Die Physik tut das, indem sie das zu betrachtende zunächst in ein System einführt. Beispielsweise schaut die Physik auf Temperatur, auf Druck, auf Mechanik, auf Elektrik usw. Dies wird Makrozustand genannt. Der Makrozustand bezeichnet das System als vorgegeben für die momentane Betrachtung. Darunter werden die Eigenschaften des System näher erläutert oder beschrieben. Das kann beispielsweise die Angabe on Ort und Geschwindigkeit, die Energie eines Moleküls, der Impuls eines Teilchens sein. Diese Details werden als Mikrozustände aufgefaßt. Der Mikrozustand eines Systems beschreibt die momentane Eigenschaft eines oder mehrerer Systemparameter. Damit läßt sich sagen: jeder Makrozustand bezeichnet ein abgeschlossenes System (das ist ein System, welches nicht mit anderen Systemen wechselwirkt) und enthält viele Mikrozustände. Die Aussage nur über den Makrozustand vermittelt indes recht wenig Information über ein System. Eine Aussage über das Gesamtsystem kann auf Grund der vielen Mikrozustände sinnvoll nur mit Hilfe der Statistik vorgenommen werden. Die oben genannten Zustände können auch als Zustandssumme eines –meist quantenmechanischen- Systems angeschrieben werden:

∑=i

kTEi

eZ

Wir werden später die folgenden Sätze besser verstehen:

• Je größer die Kennzahl der Entropie ist, desto mehr Mikrozustände sind offensichtlich beteiligt.

• Alle Mikrosystem haben bei gleicher Gesamtenergie die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Mit der Definition der Makro- Mikrozustände haben wir dem System eine entscheidende Eigenschaft mitgegeben und können nochmals zusammenfassend sagen:

1. Das Gesamtsystem ist ein abgeschlossenes System, welches durch seinen Makrozustand festgelegt ist.

2. Die innerhalb des Systems enthaltenen Teilsysteme oder auch Untersysteme genannt, verhalten sich analog der dem Gesamtsystem zugehörigen Mikrozustände.

3. Mikrozustände können untereinanderander beliebig wechselwirken, damit ihren Energie- und Entropiezustand nach oben und unten ändern.

4. Das Gesamtsystem vermag seinen aktuellen Entropiezustand nicht mehr zu verringern. Das macht das Verstehen nicht einfacher. Gehen wir deshalb zurück ins Jahr 1715 und 1722: Ein Herr Anton van Leeuwenhoek beschäftigte sich mit einem Phänomen: Er erkannte, daß eine Flüssigkeit aus vielen Teilchen besteht, die Flüssigkeit sich bei Erwärmung zwar im gesamten gesehen homogen verhält, jedoch, wenn man sich die Partikel anschaut ist das Bild recht inhomogen. Die Partikel zeigen unterschiedliche Bewegungsgrößen. Die nannte er Temperaturbewegung der Moleküle. Anton van Leeuwenhoek veröffentlichte dies in Delft, Nederlande, 1715 und 1722. Erst 1827 hat Brown dieses Rauschen veröffentlicht. Es ist aber unbekannt, ob er von den Arbeiten Leeuwenhoek´s

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wusste. Auf Grundlage dieser Arbeiten enstanden die heutigen Modellvorstellungen für das Rauschen von Systemen. Und genau dieses ist auch die Aussage der Entropie: Die Entropie stellt einen Ordnungsbegriff dar: Sind alle Teilchen wohlgeordnet, so ist das gleichzusetzen mit Alle Teilchen sind im Zustand der völligen Ruhe Zustand völliger Ordnung

Die Entropie dieses Zustands wird mit 0 angegeben.

Alle Teilchen sind im Zustand einer voneinander Zustand völliger unabhängigen Bewegung und füllen den ihnen zur Unordnung Verfügung stehenden Raum gleichmäßig aus

Die Entropie dieses Zustands wird mit unendlich oder in normierter Darstellung 1 angegeben.

Oben habe ich erklärt, daß sich der makroskopische Zustand des Systems nur in Richtung zunehemender Unordnung (Entropie) bewegen kann. Dies ist die Aussage des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik. Damit ist auch der Zeitpfeil der Welt definiert: Er kann nur vorwärtsgerichtet sein. Ein Rückwärtsschreiten in der Zeit täte bedeuten, daß die Systemordnung auch niedriger werden kann, ergo ist seitens des Makrosystems lediglich ein positiver Zeitfortschritt möglich. Bezüglich des Weltalls bedeutet dies, daß unser Weltall den Wärmetot sterben muß. Hier taucht ein ernster Konflikt auf: denn wenn die Materie sich immer weiter verdünnt, später soweit verdünnt ist, daß sich Materie nicht mehr in lokale Dichte angeben läßt, dann kann es keine Moleküle und auch keine Atome mehr geben. Was macht dann die Entropie??? Damit müssen wir die Frage stellen: Was ist der Zustand der maximalen Entropie? Der Beginn dieser Überlegung ist: Ein abgeschlossenes System entwickelt sich von einem (beliebigen) Arbeitspunkt so lange irreversibel, bis wieder ein neuer stabiler Zustand mit höherer Entropie erreicht ist. Wir können folglich schreiben:

∫∫∫

∫∂

+∂

=∂

>∂

C

B

B

AT

T

TQ

TQ

TQ

TQ

21

0

Der erste Summand wird bei einem isolierten System 0. Wir können für diese Prozeßintegrale auch abkürzend symbolisch schreiben: SA –SB => SB –SA >0 damit ist ein reversibles System vollständig beschrieben. Liegt ein reversibles System vor, muss SA = SB sein.

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Die zahlenmäßige Angabe der Entropie ist zunächst nach oben offen, kann jedoch oft durch die mögliche Angabe der maximalen Entropie normiert mit 1 als total zufälliges oder entropisches System und 0 als total geordnetes oder ideal deterministisches System dargestellt werden. Mathematisch fassbar wird dies durch:

( )

( )( ) ( ) Anschriftnormiertepppp

SS

AnschriftnormaleZ

fallsNNN

S

i

Z

ii

iZ

ii

p

N

ii

1ln2ln

ln

1:ln1ln1

11max

1max

≤⋅−=⋅−=

=∀=

=

∑∑

∑

==

=

Z stellt zunächst ein beliebiges Zahlensystem dar, sagen wir hier einmal: ein binäres System mit seiner Menge: Z = 0,1. N = |Z| sei die Anzahl aller in diesem System vorkommenden Zeichen. Dieses wird auch statistisch mit dem Begriff Zufall beschrieben. Damit läßt sich der Begriff der Entropie sehr allgemein auf alle Gebiete anwenden. So ist ein Schreibtisch eines Wissenschaftlers meist ein System darstellt, das der Entropie 1 recht nahe kommt (eigene Erfahrung). 2 Die Entropie in der Physik

2.1 Entropie in der Thermodynamik Jeder Prozess besitzt einen Energiehaushalt und dessen Energiebilanz läßt sich zur Beschreibung der Änderungen des Zustands dieses Systems nutzbringend anwenden. Das Grundverständnis dazu liegt in der Darstellung eines Prozesses: Grundsätzlich ist ein Prozess eine dynamische, mehrparametrige Beschreibung und zeigt die Reaktionen eines Systems bezüglich seiner Systemparameter auf. Damit eine Beschreibung sinnvoll erfolgen kann, sind zwei Beschreibungsmöglichkeiten sinnvoll:

• Die Beschreibung mit Hilfe einer Differentialgleichung • Die Beschreibung mit Hilfe einer Differenzengleichung

Die letztgenannte Bescheibung besagt, daß die infinitesimale zeitliche Änderung eines Systems von einem in einen nächsten stabilen Zustand übergehen muß. Solche Systeme werden auch gerne mit Hilfe der z-Transformation dargestellt. Wenn dieses nicht der Fall ist, so läßt sich auch keine Diffenzengleichung eines Systems angeben. Im Falle der Physik ist es jedoch sehr häufig möglich Differenzgleichungen zu finden. Die klassische Thermodynamik hat dies aufgegriffen und beschrieb chemische Reaktionen energetisch durch ihre Änderung eines erreichten hin zum folgenden Zustand. Der Ansatz des Denkens erfolgt aus der Betrachtung solch einer Systemänderung: Jede Änderung eines Systems beeinflußt die Bilanz der Energie dieses Systems. Energie wird von einer in eine andere Form überführt und kann auch wieder in seine Ausgangssituation zurückgebracht werden. Dieses wird mit dem Index rev für reversibel (rückwirkend)

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dargestellt. Meist ist die Wärme als energieabführender Term beteiligt. In der Elektronik sind beispielsweise Filter solch ein System: Die Energie des Signals (Bandbreite) wird durchgelassen, die anderen Energieen (Sperrbereich) werden als Wärme umgesetzt und abgeleitet.

dATdSdUdWTdSdQ

dQdUdW

rev

rev

≡−=

=−=

Die erste Gleichung beschreibt die Energiebilanz (Arbeitsaufwand) folgend dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik als Differenz zwischen einem energetischen Ausgangszustand U und dem Anteil der reversiblen Wärmeenergie Qrev. Der so beschriebene Prozess ist zunächst ein isothermer Prozess, der die beiden Zustände U und S beinhaltet. Damit ist auch das Differential dW eine Zustandsfunktion, da dieses wie in der dritten Zeile des obigen Gleichungssystems als Differentialdifferenz zweier Zustände beschrieben werden kann. Helmholtz führte diese Schreibweise ein. Die zweite und dritte Zeile des Gleichungssystem beschreiben den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Hauptsätz der Thermodynamik

Stehen zwei Systeme jeweils mit einem dritten im thermodynamischen Gleichgewicht, so stehen sie auch untereinander im Gleichgewicht.

1. Hauptsatz Energie kann weder erzeugt noch vernichtet, sondern nur in andere Energiearten umgewandelt werden

2. Hauptsatz Thermische Energie ist nicht in beliebigem Maße in andere Energiearten umwandelbar

3. Hauptsatz Der absolute Nullpunkt der Temperatur ist unerreichbar

4. (0.) Hauptsatz Wenn ein System A sich mit einem System B, sowie B sich mit einem System C im thermischen Gleichgewicht befindet, so befindet sich auch A mit C im thermischen Gleichgewicht; anders ausgedrückt: Das Gleichgewicht ist transistiv

Anmerkung: manchmal wird der 4. Hauptsatz auch 0. Hauptsatz genannt.

Was ist die Voraussetzung für diese Beschreibung? Die Voraussetzung dafür ist, daß hier ein abgeschlossenes System vorliegt. Ein abgeschlossenes System verwaltet seine gesamte Energie in sich selber, besitzt demzufolge per definitionem keinen energetischen Austausch mit anderen Systemen. In der Wärmelehre wird solch ein System auch adiabatisches System genannt. Das Wort Adiabat ist dem Griechisch entlehnt und aus zwei Begriffen zusammengebaut: α steht für „nicht“ und διαβαίνειν diabaínein für„hindurchgehen“. Eine sehr gute Erläuterung befindet sich unter: http://de.wikipedia.org/wiki/Adiabatische_Zustands%C3%A4nderung Kurz gesagt: ein solches System tauscht mit seiner Umgebung keine Wärme aus. Beispielsweise sind Luftmassengrenzen adiabatische Systeme. Die Meteorologie beschreibt

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die Aufwinde als auch die Abwinde als feucht- bzw. trockenadiabatischen Aufstieg bzw. Abfall. Jedes dieser Gebiete wird als Untersystem angesehen und ändert seinen Zustand. Führen wir auf die oben genannte Beschreibung den Begriff der Ordnung – Entropie S - ein, so ändert sich die zweite Gleichung in:

STAU

SSST

QQWU

rev

revrev

∆+∆=∆

−=∆=

+=∆

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Der Temperaturbegriff in der Thermodynamik Die gefühlte Temperatur wird als integrale Temperatur wahrgenommen. In Wirklichkeit treffen uns Teilchen mit allen denkbaren Geschwindigkeiten. Der Impulsaustausch eines Teilchens mit der Haut bewirkt einen Energieaustausch, der sich als Wärmeeintrag bemerkbar macht. In der Thermodynamik wird die Temperatur nicht als integrale Temperatur, damit als mittlere Temperatur (gleitender Mittelwert) beschrieben, sondern im Sinne Clausius über die Änderung der Entropie:

erzeugthtausgetausc dSTdSTdST += Das erscheint zunächst seltsdam, da wir die beiden Unterbegriffe einer ausgetauschen oder erzeugten Entropieänderung nicht zurodnen können. Clausius bediente sich einer einfachen Überlegung: er sagte: System wird bei ihrer jeweiligen Temperatur oder zur Erreichen derselben Wärme zugeführt oder auch entzogen. Damit konnte er schreiben:

WärmedSTQ htausgetausc ==∂ Da Entropie im Gesamtsystem (Makrosystem) nicht vernichtet werden kann gilt für das Makrosystem: 0≥erzeugtdS . Mit der Clausius Definition der Wärme kann nun die Entropie auch so angeschrieben werden:

erzeugtdSTQdS +

∂=

Ist der erzeugende Term = 0 stellt sich der Prozess als reversibel dar, was aus den anderen Erläuterungen weiter oben bereits klar sein sollte. Der Kreisprozess Die Änderung eines Zustands kann auch wieder zurückgeführt werden auf den ursprünglichen Zustand, welcher bereits durch den Index rev für reversibel dargelegt wurde. Schauen wir in ein abgeschlossenes System und lassen dieses System einen Kreisprozess durchlaufen –von

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einem Zustand zu anderen Zuständen und wieder zurück zum Ausgangszustand. Das System ist demzufolge in Untersysteme –Teilzustände- zerlegbar. Diese Untersysteme tauschen Energie miteinander aus, während die Energiebilanz des Gesamtsystems unveränderlich bleibt. Beschrieben wird dieser Prozess mit Hilfe des Umlaufs um diesen engergetischen Austausch Q:

∫∫

∫∫∫∫

∫

=

=−=+

=

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

2

1

0

0

dTdQ

dTdQ

dTdQ

dTdQ

dTdQ

dTdQdTdQ

Diese Beschreibung zeigt offensichtlich ein tautologisches Verhalten, wenn denn diese Bilanz auf diese Weise niedergeschrieben wird. Aber was bedeutet das denn? Es wird der Übergang von Zustand 1 in Zustand 2 beschrieben. Die Aussage des Kreis- oder Umlaufintegrals ist in ihrer Struktur aus der mittleren Anschrift zu sehen, in der über Kurvengrenzen integriert wird. Verläuft der Gesamtumlauf vom Punkt 1 über Punkt 2 und von dort wieder zurück auf Punkt 1, so darf die Gleichsetzung, wie in Zeile 2 dargestellt angeschrieben werden und aus der scheinbaren Tautologie wird eine deutliche Aussage: Ein Prozess, welcher sich vom Grundzustand in einen anderen Zustand und von dort wieder zurück begibt nimmt für den einen Weg die notwendige Energie auf und nimmt sich diese wieder für den Rückweg, während die Gesamtenergie dabei konstant bleibt. Das Perpetuum mobile ist beschrieben, gäbe es da nicht den ersten Hauptsatz! Ordnen wir jetzt jedem Systemzustand die zugehörige Entropie S zu und berücksichtigen

TdSdQrev = . Die Änderung des Zustands von 1 nach 2 betrachten wir als irreversibel, die Rückführung von 2 nach 1 hingegen als reversible Rückführung des Kreisprozesses, so kann die Entropie wie folgt dargestellt werden:

( )

∫

∫

∫

∫∫

∫

>−

<−+

−=

<+

<

2

1

2

1

1

2

1

2

2

1

)2()1(

0)2()1(

)2()1(

0

0

irev

irev

rev

revirev

dTdQSS

SSdTdQ

SSdTdQ

dTdQ

dTdQ

TdQ

Dieses System sagt eindeutig aus, daß die Zunahme der Entropie immer größer ist als die Aufnahme der zugehörigen reduzierten Wärmeanteile. Ist das System abgeschlossen, so ist das Interal des irreversiblen Anteils immer 0, da dQ durch diese Zwangsbedingung 0 ist. Daraus folgt: S(2) – S(1) > 0 ist bzw. S(2) > S(1).

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Satz von Clausius In einem abgeschlossenen System nimmt die Energie bei einem irreversiblen Prozess stets zu. Entropie des idealen Gases

TdQdS =

Folgend dem 1. Hauptsatz gilt dann für ein bestimmtes System:

∫ +⋅−

=

⋅−=

−=

0ST

dVdUS

TdVdU

TdAdUdS

ρ

ρ

Damit ist die Entropie bestimmt, wobei S0 die Integrationskonstante bzw. den noch zu bestimmenden Anfangswert darstellt. ρ ist die spezifische Dichte des Gases und V das zugehörige Volumen. Diese Beziehung zeigt auch, daß sich die Entropie adäquat der Energie verhält: sie verhält sich additiv. Mit anderen Worten: Energiebilanz ist gleichzusetzen mit Entropiebilanz Aussage der gezeigten Beziehungen: Verläuft ein Prozess adiabatisch, heißt daß weder Wärme zu- noch abgeführt wird (dQ = 0). Ein reversibler Prozess verläuft stets ohne Änderung der Entropie bezüglich seines Kreisdurchlaufs. Die zughörigen Kurven in der ρ-V Ebene nennt man Isentropen. An dieser Stelle sei erwähnt, daß die Entropie sich auch so kennzeichnet: Die Entropie ist ein Maß für fehlende Informationen bezüglich des augenblicklichen Mikrozustands, wenn dazu erschwerend noch hinzukommt, daß nur eine gernige Anzahl an beobachtbaren Größen, die den Makrozustand festlegen, vorliegt. 2.2. Die Entropie aus Quantenmechanik Sicht Die Quantenmechanik erklärt physikalische Systeme mit Hilfe statistischer Überlegungen. Die Unschärfe ist allgegenwärtig und eine exakte Vorhersage oder auch ein strenger Status eines Systems ist daher unmöglich. Nur mit der stillen Akzeptanz, daß gewisse Unschärfen das System weiterhin beeinflussen –Heisenberg-, sich jedoch auf den makroskopischen Zustand des augenblicklichen Verhaltens des Systems nicht auswirken, kann auch in der Quantenmechanik ein Zustand als wertbestimmendes Kriterium genutzt werden. Damit haben wir die Berechtigung ein Gesamtsystem aus N Teilchen zu betrachten, welche sich in diversen Energiezuständen befinden. Vereinfachend dürfen die Teilchen als gleichartig betrachtet werden. Ferner legen wir die gesamte Energie dieses System fest, indem wir dieses System als abgeschlossenes System mit diversen Untersystemen behandeln. Damit kann wiederum berechtigt angenommen werden, daß es einen Extremfall gibt: Es gibt aber n (quantenmechanische) Zustände, für die diese Annahme zutrifft.

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Die Wahrscheinlichkeit des Antreffens eines solchen Systems kann durch die Permutation ausgedrückt werden:

!!!!

21 nZZZNW

L⋅⋅=

Diese Permutation erklärt die Wahrscheinlichkeit des Antreffens von N Zuständen Z1, Z2, ...,ZN. Wir nehmen weiterführend an, daß das Gesamtsystem mit Hilfe eines kanonischen Ensembles beschreibbar ist. Dies ist auch unter dem Begriff Gibb´sches Ensemble bekannt. Siehe auch: http://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_ensemble http://saftsack.fs.uni-bayreuth.de/thermo/kanon.html (Worterläuterung: kanonisch wird aus dem Latein abgeleitet: canon = Norm, Regel. Damit sind kanonische Systeme stets solche, welchem einem strengen Regelwerk unterzogen sind). Ferner dürfen wir aussagen, daß jeder Zustand innerhalb diesem, so definierten System, als gleichwahrscheinlich angesehen werden kann. Wir dürfen deshalb hier von Mikrozuständen sprechen. Die Energie soll als konstant angenommen werden (Voraussetzung: abgeschlossenes System). Das Finden des Makrozustands mit dem höchsten Gewicht wird mittels Maximierens der oben vorgestellten Permutation erreicht. Mathematisch vereinfachend kann man diese Problemstellung durch logarithmieren darstellen:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )i

N

iiNN

n

ZZNNZZZNZNNZZZ

N lnlnlnlnln!!!

!ln1

2121

∑=

−⋅=−⋅−−⋅≈

⋅⋅

LL

Diese Prozedur wird auch Stirling Näherung genannt. Mit weiterer Zusammenfassung der Terme sowie Vereinfachung durch Weglassen des Vorfaktors N kann eine statistische Entropie definiert werden:

( ) ( ) ><−≡⋅−= ∑ iii zkzzkS lnln

Anmerkung für Spezialisten und auf Grund tiefer gehender mathematischen Kenntnisse hier nicht weiter ausgeführt: Exkursion für Spezialisten: Hier können wir den Dichtematrixformalismus anwenden:

zy

yz

PiPPiPPP

−+−+

=∞

∞

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21ρ

Auf unser Problem apliziert:

( )( )ppSkS p ln⋅−=

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Das System kann verschiedene Mikrozustände besitzen, z.B. einzelne Energieniveaus sowie Translations- und Rotationsfreiheitsgrade. Für jeden dieser Mikrozustände gibt es eine Wahrscheinlichkeit p, die besagt, dass dieser Mikrozustand in dem makroskopischen System enthalten ist. Die Entropie wird also als Summe über diese gewichteten Wahrscheinlichkeiten definiert, d.h. sie beschreibt so etwas wie die statistische Verteilung aller möglichen Mikrozustände in einem gegebenen Makrozustand Die Basis p mit zweifach Unterstrich bezeichnet die Diagonalmatrix der Dichte. Diese ist, da die Spur dieser Matrix basisunabhängig ist, auf jede beliebige Basis anwendbar. Die klassische Mechanik als auch die Informationstheorie nutzt diese Dichtematrix ebenfalls zur Definition der Entropie:

( ) ( )( ) ( )qpdqpqpkS ,,ln,∫ ⋅−= ρρ Anmerkung: zusätzlich findet man hier noch einen additiven Term k N ln(N), wenn N identische Teilchen beschrieben werden. Dies ist unter dem Namen „klassische Zustandssumme“ bekannt. In der Quantenmechanik (QM) findet man diesen Term nicht, da hier die Zahl der Systemzustände um den Faktor 1/N! vermindert sind. Begründung: In der QM zählen dazu nur Zustände, die symmetrische / antisymmetrische Mehrteilchenzustände aufweisen. Es wird über die Mikrozustände summiert und nicht mehr über die Teilchen; also statt „Teilchen 1 sei in Zustand A und Teilchen 2 sei in Zustand B“ heißt es nur noch „ein Teilchen sei in Zustand A und ein anderes in Zustand B Damit wird nicht mehr jedes Teilchen getrennt betrachtet, sondern nur noch die Anzahl der Teilchen in einem bestimmten Zustand“. Betrachten wir ein System mit zwei Teilchen und zwei Zuständen A und B. Das ergibt die vier Mikrozustände |A,A), |A,B), |B,A) und |B, B) gemäß der klassischen Zählung; gemäß der q.m. Zählung dürfen Bosonen / Fermionen jedoch nur in symmetrischen / antisymmetrischen Zuständen vorkommen. Man erhält demnach nur drei statt der vier Zustände, nämlich für Bosonen |A,B) + |B,A) und für Fermionen statt dessen |A,B) - |B,A). Ende der Spezialisten Exkursion Häufig findet man in der Literatur eine andere Darstellung der Entropie, die sich von der zuletzt gezeigten Gleichung durch einen Term –kn ln(h) unterscheidet. Diese „andere“ Darstellung kommt zustande, wenn die Entropie mit Hilfe quantenmechanischer Definitionen abgeleitet wird. Begründung hierzu: Das Wirkungsquantum wird bei der Entropieableitung aus der Quantenmechanik mit Hilfe der thermischen de Broglie Wellenlänge bestimmt. Zusammenfassung der Eigenschaften der Entropie S > 0: Die Entropie ist stets positiv S(0,w1,w2,...) = S(w1,w2,...) Zustände mit ststistischem Gewicht besitzen keinen

Entropie Beitrag

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wi=δij => S = 0 Entropie = 0, wenn die Verteilung auf einen Zustand konzentriert bleibt

max(S) wenn wi = 1/n Entropie wird maximal bei Gleichverteilung wi,j = piqi Entropie eines Zustandssystems (i,j) ist gleich der

Entropiesumme der Teilsysteme. Das beschreibt das Entropieverhalten eiens abgeschlossenen Systems mit Untersystemen.

Die letzte Eigenschaft kann gezeigt werden, indem die Entropien der Teilsysteme summiert werden zur Gesamtentropie S:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

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,,,

,, lnlnlnlnlnwln

SSS

qqppkqpqpkqpqpkwkSi

iii

iiiiiji

iiiiji

ijiji

ji

+≅

−−=+−=−=−= ∑∑∑∑∑

Damit ist die Behauptung, daß ein abgeschlossenes System eine Gesamtentropie besitzt, diese aber stets wächst, jedoch verknüpft ist mit der Möglichkeit der beliebigen –auch Null- Entropieverteilung innerhalb der Untersysteme verbunden ist, bewiesen. Details dazu in: Walter Greiner, Theoretische Physik, Band 4A, Quantentheorie Spezielle Kapitel; cfp Seiten 220, 223, 22, 237, 250, 1980 2.3. Die Entropie aus Sicht der Allgemeinen Relativität (ART) Wenn die ART mit der Quantenmechanik gemeinsam betrachtet wird, so werden dabei Unstimmigkeiten erkannt. Diese finden sich dort, wo physikalische Gründe eines Problems zu gegensätzlichen Lösungen –zumindest was die Modelle, die physikalisch, mathematische Beschreibung angeblangt- führen. Markant sind hier:

• Hawking Strahlung • Bekenstein-Hawking Entropie • Höchstverdichteter Zustand während der Geburt eines Universums

In vielen Fällen führen Singularitäten zu den Konflikten und die wissenschaftlichen Arbeitsgruppen sind bemüht diese Konflikte durch geschickte Ansätze zu umgehen. Ob diese gelöst sind, wird dabei nicht unbedingt in der Vordergrund gestellt. Die ART beinhaltet Lösungen, die auf Singularitäten führen und deshalb kann die ART nicht als umfassende Theorie der Raumzeit angesehen werden. Die fehlende Theorie muß in der Lage sein, die möglichen Quanteneigenschaften der Gravitation –ich möchte hierfür lieber einen anderen Ausdruck anwenden: dynamische Raumzeit- zu erklären.

Anmerkung dazu: in der ART wird das Gravitationsfeld als klassisch dynamisches Feld dargestellt. Dagegen fordert die Quantenmechanik (QM) die Quantisierung des Gravitationsfelds. Diese Forderung leitet sich aus der QM deshalb ab, da die QM dynamische Felder als quantisiert identifiziert. Das Gravitationsfeld wird in der ART als vierdimensionale Metrik angeschrieben, so daß der weiterführende Gedanke auch

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hier eine Quantisierung dieser Metrik als zumindest „hinterfragbar“ erachten darf. Es zeigte sich ja auch in der Entwicklung dieser Idee, daß ganz offensichtlich dieser Ansatz richtig zu sein scheint.

Desweiteren ist es wünschenswert, wenn es eine Erklärung gäbe, warum es es zu Mikrozuständen kommt und welche Mikrozustände zu dieser Bekenstein-Hawking Entropie führen. Damit direkt verknüpft ist die Beantwortung der Frage, wie es denn zur Hawking Strahlung Schwarzer Löcher kommt und ob diese eventuell zu einem Informationsparadox führt, wenn man sich das Durchbrechen der Unitarität der Quantenmechanik daraufhin anschaut. Noch weitergehend erwarte ich eine Antwort auf die Frage: was passiert eigentlich bei der vollständigen Zerstrahlung Schwarzer Löcher? An dieser Stelle müssten wir die Strahlung eines Schwarzen Körpers näher betrachten. Da diese aber in der Literatur ausreichend dargestellt ist, möchte ich hier nur die Zusammenfassung vorstellen:

• Ein Schwarzer Körper ist ein idealer Absorber: Jede Wellenlänge wird vollständig absorbiert.

• Die Intensität der Wellenlänge der vom Schwarzen Körper ausgehenden Strhlung ist nur noch abhängig von dessen Temperatur.

• Je höher die Temperatur des Schwarzen Körpers, deso weiter verschiebt sich das Maximum der Strahlung zu geringeren Wellenlängen bzw. höheren Frequenzen. Das zugehörige Gesetz ist das Wien´sche Strahlungsgesetz

Weiter betrachten wir die Energie Masse Äquivalen Einstein´s: E = mc2 als auch die Größe des Schwarzen Lochs: den Schwarzschild Radius, dessen klassische Herleitung aussagt, daß sich die kinetische Energie eines Teilchens in Lochnähe gleichsetzen läßt mit der potenziellen Energie seiner Entfernung zum Schwaren Loch. Die Quantenmechanik sagt aus, daß der leere Raum benen nicht leer ist und virtuelle Teilchenpaare, deren Energie so gering ist, daß sie nur sehr kurze Zeiten existieren und daher nicht messbar sind –deshalb der name virtuelle Teilchen- ständig mit Antiteilchen in elektromagentische Strahlung zerfallen. Das ist bekannt unter dem Begriff der Annihilation. Auch werden ständig neue Paare gebildet. Hawking hat diese Schwarzen Löcher näher betrachtet und folgende Aussage getroffen: Über einen längeren Zeitraum hinweg verlieren Schwarze Löcher durch diese Zerstrahlung Masse und damit Energie. Er geht dabei von einem Vakuumzustand im Sinne Heißenbergs –heißt: auf Grund der unschärfe stetige Bildung solcher virtuellen Paare aus Materie und Antimaterie- und hat zeigen können, daß die enorme Gravitationskraft des Schwrzen Lochs diese Paare trennen kann. Eines der teilchen kann somit ins Loch fallen, während das andere Teilchens dem Loch ins freie Weltall entfleuchen kann. Dieser Prozess vermag über Milliarden von Jahren, auch große Schwarze Löcher aufzulösen, ebenso, wie er es vermag innheralb von Mikrosenknden mikroskopisch kleine Schwarze Löcher aufzulösen. Jetzt geht Hawking´s Denken weiter: Ausgangspunkt eben diese Zerstrahlung. Zerstrahlt das Loch, wird es kleiner! Aber: kann es wirklich beliebig kleiner werden? Es gibt hier eine Grenze: wird die Fläche des Ereignishorizonts –so wird eben jener Bereich genannt, außerhalb dem Strahlung entkommen kann, sichtbar wird. Innerhalb dieses Ereignishorizonts wird die Strahlung quasi am Horizont total reflektiert. Sein Kerngedanke zum Erfolg war und ist: Die Lichtgeschwindikeit ist konstant und endlich. Wenn eben dieser Horizont bezüglich der Fluchtgeschwindigkeit des Lichts angeschaut wird, müsste das Licht, wenn es denn aus

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seinem Inneren entkommen könnte, eine höhere Geschwindigkeit, als die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum erreichen können. Und diese ist per se nicht möglich. Hawkings Erkenntnis diesbezüglich war, daß die Wege der Lichtstrahlen auf dem Ereignishorizont selber nicht die Wege von sich nähernden Lichtstrahlen sein können. Denn sonst könnten diese Lichtstrahlen zusammenprallen und ins Schwarze Loch fallen, anstelle auf dem Horizont „zu schweben“. Es gibt dazu zwei Lösungen:

1. Wird der Ereignishorizont kleiner, müssen sich die Wege der Lichtstrahlen nähern. Täten sie das, würden sie ins Schwarze Loch zurückfallen. Konsequenz daraus: der Ereignishorizont verändert seine Größe nicht: er bleibt, wo er einmal war

2. Das Schwarze Loch wächst und mit ihm auch der Ereignishorizont. Wenn Materie ins Loch fällt, wird es größer.

Subsummierung der beiden Ergebnisse: Kommt nichts aus dem Schwarzen Loch heraus, kann das Loch nicht kleiner werden! Das kann als zweiter Hauptsatz der Dynamik schwarzer Löcher angesehen werden und dieses ist die Brücke zur Thermodynamik, zur Entropie: Der Grad der Unordnung im Universum wird dauernd größer, niemals kleiner. Wenn aber etwas ins Schwarze Loch fällt und damit aus unserem Universum verschwindet, dann entspräche das ja einem Kontrapunkt zur Entropie, denn die Ordnung im Universum würde so etwas besser wiederhergestellt. Einer der Doktoranden von Hawing in Priceton, Jacob Bekenstein, zeigte mit seinem Kenntnisstand in Thermodynamik, daß sich Entropie nicht zerstören läßt, wenn irgendetwas in ein Schwarzes Loch fällt. Das Schwarze Loch hingegen selber besitzt auch eine Entropie. Fällt demnach etwas in dieses Schwarze Loch, so wird die Entropie dieses Lochs vergrößert. Wenn aber etwas eine Entropie besitzt, dann besitzt es auch eine Temperatur. Alles, was eine Temperatur besitzt, das habe ich oben ja erläutert, sondert Energie ab. Wenn demzufolge etwas Energie absondert, dann gibt es etwas ab. Und dieses widerspricht dem „Schwarz“ des Schwarzen Lochs! Hawkings nahm diesen Gedanken auf und konnte nach einiger zeit Bekenstein Recht geben. Denn: Das Futter des Schwarzen Lochs, also Hinzugabe von Materie, vergößert den Ereignishorizont, vergrößert die Entropie und verschwindet nicht ins „Nirgendwo“. Damit konnten die beiden festhalten: Die Entropie des Universums bleibt gleich. Das führte in der weiteren Konsequenz zur Hawkingannahme, daß Schwarze Löcher strahlen. Diese Strahlung ist diese, welche ich soeben vorstellt: die Annihilationsstrahlung. Diese Teilchen borgen sich gleichsam für eine kurze Zeit die Energie und besitzen damit teilweise oder besser „eilchenweise“ positive Energie und auch negative Energie. Das letztere ist nur die Konsequenz aus der Energieerhaltung. Hawking folgerte, daß diese Strahlung auch am Ereignishorizont des Schwarzen Lochs passiert. Damit ist die reele Chance gegeben, daß Teilchen zurück ins Schwarze Loch fallen und wiederum andere sich ins „normale“ Weltall absetzen. Durch diesen Prozess erst konnte er erklären, daß Schwarze Löcher kleiner werden, Energie verlieren.

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Wenn jedoch dieser Energieverlust auftritt, dann muß zwangsläufig auf Grudn der Einstein Äquivalenz der Loch an Masse verlieren. Verliert das Loch Masse, so wird die Gravitation am Ereignishorizont geringer. Wird die Gravitation dort geringer, ist die Fluchtgeschwidnigkeit damit kleiner als die Vakuumlichtgeschwindigkeit. Also: wird der Ereignishorizont geometrisch kleiner: das Loch schrumpft: es zerstrahlt sich selber. Anmerkung: Das Informationsparadox findet sich beschrieben in: Hawking 1976, 1982, 2005, Belot/Earman/Ruetsche (1999) Einige zusätzliche Details zu rotierenden Schwarzen Löchern: Der Penrose Prozess In unserem Forumsind dazu einige mathematische Details als auch weiterführende Erläuterungen eingestellt worden: http://abenteuer-universum.de/bb/viewtopic.php?f=22&t=633Drückt man die äußere Fläche des Ereignishorizonts durch dessen Masse sowie Drehimpuls aus und berechnet das Differential, so erhält man eine Gleichung, welche die Änderung dieses Ereignishorizontfläche bezüglich der Änderungen des Drehimpulses als auch der Massenänderung aufweist. Das gilt ganz gut, solange diese Änderungen klein sind und die Störung der Raumzeitmetrik nicht sonderlich signifikant ist. Für den hier zitierten Penrose Prozess erhalten wir nach zugegebenermaßen etwas umständlicher Rechnerei:

dJdAG

cdMc Ω+=π

κ8

22 [ Gl. Penrose I ]

Häufig findet man diese Beziehung ohne die c2 Terme. Die Dimension dieser Gleichung –mit den c2 Termen- ist die der Energie. Ω bezeichnet die Winkelgeschwindigkeit des äußeren Horizonts. Dabei ist zu anzumerken, daß alle Teilchen auf diesem Horizont gezwungenermaßen die gleiche Geschwindigkeit besitzen. (Andreas Müller: Schwarze Löcher, das dunkelste Geheimnis der Gravitation, Kapitel 5.5). Ich will diesen energetischen Prozess im Zusammenhang mit der Entropie betonen, deshalb führe ich die weiteren Überlegungen zur Energie hier nicht aus, sondern konzentriere mich

auf den Term: G

cπ

κ8

2

. Dieser Term kann gleichgesetzt werden mit dem –jetzt hoffentlich

bekannten- Term T dS. Bevor wir das akzeptieren können, ist die Temperatur jedoch aus formalen Gründen zuerst festzuschreiben:

απ

κG

c

T 8

2

=

Damit haben wir eine Entsprechung erreicht zur oben gezeigten Gleichung des Änderungsprozesses vom Ereignishorizont siehe Gl. Penrose I

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dMdA

cT 21 α

=

Erinnern wir uns an den Thermodynamik Satz Null: Ein thermodynamisches Gleichgewicht ist definiert über das Gleichgewicht der Temperatur seines Zustands und erinnern uns, daß die Literatur über Schwarze Löcher uns sagt: die Gravitationsbeschleunigung auf dem äußeren Ereignishorizont sei überall konstant. Dann muß auch beim Penrose Prozess der Nullte Hauptsatz der Thermodynamik erfüllt sein. Wenn wir die Entropie mit S = α A anschreiben und wir dabei den gerade eingeführten Temperaturbegriff berücksichtigen bzw. so interpretieren, dann muss sich dieser Prozess voll in die klassische Thermodynamik einfügen. Damit sind auch Wechselwirkungen diesen Typs eines Schwarzen Lochs mit seiner Umgebung erkärt bzw. wissenschaftlich gesehen sanktioniert. Schauen wir den Wärmeaustausch über die Energieänderung δW an: Dieser Energieaustausch verhält sich auch beim Penrose Prozess so, wie die oben beschriebene Hawking-Bekenstein Entropie. Ich verzichte hier auf die mathematische Herleitung, diese kann in der einschlägigen Literatur nachgelesen werden. 3 Die Entropie aus Sicht der Stringtheorie und Schleifenquantentheorie Hier möchte ich auf die vielen Diskussionen in unserem Forum verweisen, welche die Schleifenquantentheorie deutlich als den vielversprechendsten Ansatz einer direkten kanonischen Quantisierung ansehen. Trotzdem ist es lohnenswwert und nur richtig auch weitere alternative Lösungsvorschläge zu betrachten und zu begutachten. Anmerkung: es ist falsch zu meinen, daß eine direkte Quantisierung einer klassischen Theorie (ART oder eine andere Dynamik) der einzige Weg zu einer Darstellung der Quantengravitation sei. Dazu folgende Kurzzusammenfassungen: • String 30 Jahre Forschung und nur ein perturbatives Gebilde ohne

physikalisch motiviertes fundamentales Prinzip! Ausnutzung einer festen Raumzeit als Hintergrund, so wie in der Quantenfeldtheorie Auf Grund der Entdeckung der String-Landscape scheint offensichtlich die String Theorie bzgl. ihrer Erklärungsleistung an ihrem Ende angekommen zu sein

• Schleifenquanten Momentener Kampf mit verschiedenen konzeptionellen Schwierigkeiten noch immer nicht beendet Immer noch unklar, bekannte Phänome wie die Gravitation oder die – ART als klassischen Grenzfall darzulegen

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• Quantum Causal Histories Denkansätze sind hierzu eine kausal bestimmte Quantenstruktur. Sie mag Wheelers Idee des „It from bit“ oder auch einige Elemete aus Lloyds Konzept des berechenbaren Universums „computational Universe“ oder Ideen aus sogenannten holographischen Schirmen einbeziehen. Auch Verallgemeinerungen kausaler Spinnetze sowie des Quantenschaums „spin-foam“ angereichert mit Elementen der algebraischen Quantenfeldtheorien sind oder können eventuell hier von Bedeutung sein / werden. Anmerkung: Es ist nicht –zumindest mir- bekannt, ob es solche Verallgemeinerungen geben kann.

Ideenführend dabei ist die Annahme, daß es keinerlei kontinuierliche Raumzeit auf Substratebene –diese identifiziert sich mit der Planck-Ebene- gibt. Damit wird einem endlichen Gebiet eine endliche Anzahl von Freiheitsgraden zugeschrieben. In dieser Konsequenz ist die kausale Ordnung deutlich fundamentaler festgelegt als die Eigenschaft der Raumzeit –Metrik, Topologie-, so daß kausale Relationen auf dieser Substratebene in Form elementarster kausaler Vernetzungsstrukturen vorliegen. Damit wäre die Quantenfeldtheorie auch auf der fundamentalsten Ebene gültig, was einen enormen Forschritt in der Wissenschaft bedeutete. Im Rahmen einer vollständigen QG wäre die Entropie eines „Gebietes“ der Raumzeit wie folgt definierbar:

1. Der Begriff „Gebiet“ muß operational definiert werden können, z.B. durch die Eigenschaft, dass ein Körper genau dieses Volumen der Raumzeit einnimmt (ist bei SLs evtl. schwierig, könnte aber durch den EH erreicht werden)

2. Die Zahl der in diesem Gebiet enthaltenen Freiheitsgrade des quantisierten Gravitationsfeldes gemäß der o.g. Formel begrenzt (damit abzählbar) sein und daraus der Energiebegriff abgeleitet werden können

Anmerkung: Die begrenzete Anzahl an Freiheitsgraden eines endlichen Gebiets –wie oben beschrieben- kann argumentativ aus der bekenstein-Hawking Entropie der Schwarzen Löcher gewonnen werden. Und noch weitergehend kann dies sowohl aus der Stringtheorie als auch aus der Schleifenquantentheorie heraus gewonnen werden. Anmerkung zur Schleifenquanten Gravitation: Die LQG zeigt eine Quantisierungsmehrdeutigkeit, welche den sog. Immirzi-Parameter enthält. Dieser ist nicht aus der Theorie bestimmbar. Leider skaliert die Entropie eines SLs in der LQG mit diesem Parameter, d.h. sie kann nur bis auf eine multiplikative Konstante festgelegt werden. In diesem Zusammenhang handelt es sich keinesfalls um echte schwarze Löcher, sondern um sogenannte (saturierte) BPS-Zustände ohne gravitative Wechselwirkung! Man kann zeigen, dass diese in einem gewissen Limes evtl. schwarze Löcher ergeben könnten, jedoch liegt bei einem BPS Zustand selbst eine flache Raumzeit vor!!! Die Abzählung der Zustände führt dann zu der bekannten Bekenstein-Hawking-Entropie, ohne Umweg über die Thermodynamik. Mehr auch unter: http://de.wikibooks.org/wiki/Die_Stringtheorie:_M-Theorie Literatur: Das / Mathur (2001), Lemos (2005), Peet (1998, 2000), Maldacena (1996)

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Die Vermutung Smolins Bezüglich der Quantisierung der Gravitation sei hier die Vermutung Smolins erwähnt: Zusammenfassend sagt sie, daß bezogen auf die Thermodynamik eines Systems, das sin einerseits aus Materie andererseits aus Gravitationsstrahlung zusammensetzt kein Gleichgewichtszustand erreichbar sei. In der Konsequenz bedeutet das, nur ein gewisser Teil der Strahlung wechselwirkt mit Materie. Prozesse, welche Gravitationsstrahlung berücksichtigen sind stets irreversibel und ihnen ist eine intrinsische (innere oder eigene) Entropie zuzuordnen. Ich erwähnte häufiger die Mikrozustände. Diese können auch als sogenannte Oberflächen Mikrozustände in Zusammenhang mit Einsteins Gleichungen gebracht werden. Hier werden in der Literatur mikro-kanonische Ensembles genannt, deren Entropie berechnet wird. Wiederum befinden in einem abgeschlossenen System und geben die Variablen als natürliche Variablen der Entropie vor. Wir wissen in der Zwischenzeit, daß die Entropie nur zunehmen kann. Nun lassen sich mit diesen Erkennissen –dabei folgen wir Boltzmann- die Entropie im Phasenraumvolumen angeben:

( )Ω= lnkS Das zeigte ich bereits oben, weiterführend können jetzt in einem zweidimenionalem Phasenraum mit den Koordinatenachsen p und q die Phasenraumdichte berechnen. Ich verzichte hier darauf, das ist ein etwas längerer Akt und kann in der Literatur nachgelesen werden. http://de.wikipedia.org/wiki/Mikrokanonischer_Zustand http://user.uni-frankfurt.de/~fmphyadm/tp/tp6/ws0506/folien/Theo051213.pdf Im Zuge dieser Rechnungen erhält man eine Aussage über die Dichte der betroffenen Zustände und kann über die Quantenmechanik eine sogeannte Einheitszelle im Phasenraum angeben. In Folge dessen erhält man eine interessante Aussage der Entropie eines indealen Gases, die ich hier als Kopie aus der Literatur vostelle:

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Mit diesen System lassen sich jetzt Oszillatoren, besser die harmonischen Oszillatoren mit solchen Mikrozuständen bezüglich festgelegter Eneriepunkte visualisieren:

Es geht aber noch weiter...über den 3. Hauptsatz (Theorem von Nernst) lassen sich dann die Eigenzustände der Spins aufzeigen: Beispielsweise für zwei Spin ½ Teilchen mit 21 ssJH =

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4 Literatur (Auszüge) Andreas Müller: Schwarze Löcher, das dunkelste Geheimnis der Gravitation, MPI Garching 2007 Andreas Müller: Astro-Lexikon K 2 G. 't Hooft: Introduction to General Relativity Landau, Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band II: Klassische Feldtheorie Andrew Hamilton: More about the Schwarzschild Geometry Robert M. Wald, Black holes and thermodynamics, Symposium on Black Holes and Relativistic Stars (zu Ehren von S. Chandrasekhar), 1996, Preprint unter gr-qc/9702022 Ted Jacobson (Universität Utrecht): Introductory Lectures on Black Hole Thermodynamics