Entstehung des Regenbogens durch Brechung-Reflexion-Brechung · René Descartes (1596-1650)...

Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis

Entstehung des Regenbogens durch Brechung-Reflexion-Brechung


Luft 1 Wasser 2

A

A

2 1

sin sin

Ablenkwinkel des einfallenden Strahls

2 Beobachtungswinkel des Regenbogens

2

AOB: 2 , AOP:

n n

Dreieck Dreieck

René Descartes

(1596-1650)

Theorie des Regenbogens: zum Selbststudium

Frage: Wieso erscheint der

Regenbogen gerade unter

einen Winkel von ca. 42° ?


2 1

1 1 2 2 1

A 2 1

LuftA 1 1

Wasser

AOB: 2 , AOP:

( 2 ) 2

2 4 2

2 4arcsin sin

Dreieck Dreieck

n

n

René Descartes

(1596-1650)

Brechung beim Eintritt


LuftA 1 1

Wasser

1 1

LuftA

Wasser

2 4arcsin sin

sin arcsin

( ) 2arcsin 4arcsin

n

n

x R x R

nx xx

R n R

x R

René Descartes

(1596-1650)


LuftA

Wasser

LuftA

Wasser

( ) 2arcsin 4arcsin

(2 ) ( ) 4arcsin 2arcsin

nx xx

R n R

n x xx

n R R

x R

René Descartes

(1596-1650)


2

x R

max(2 ) 42

Luft

Wasser

(2 ) 4arcsin 2arcsinn x x

n R R


Analytische Lösung:

Luft

Wasser

Luft

2 22Wasser

Luft Wasser

2 2

2 2Luft Luft

Wasser Wasser

2 2

max Wasser Luft

max max max

( ) 2 4arcsin 2arcsin ,

( ) 1 14 2 0

11

4 1 1

14

3

0.86238 ( )

n xf y y y y

n R

ndf y

dy n yn n y

n ny y

n n

x y R R n n

y x R f y

max(2 ) 0.7420rad 42

Natürlich kommen alle x/R beim Lichteintritt in den Wassertropfen vor, aber die

reflektierte Intensität ist in der Umgebung des Maximums besonders groß!

~


Zweiter Regenbogen mit entgegen-

gesetzter Farbreihenfolge!


10


Beim Hauptregenbogen werden

die Lichtstrahlen einmal reflektiert: Beim sekundären Regenbogen

werden die Lichtstrahlen zweimal

im Wassertropfen reflektiert:

2 2

max Wasser Luft

14

3x R n n

2 2

max Wasser Luft

19

8x R n n


Optische Abbildungen

Gegenstand

optisches

Gerät

Bild

Von jedem Punkt eines

Gegenstandes gehen

viele Lichtstrahlen in

verschiedene Richtungen

Alle Strahlen, die auf einen

Bildpunkt fallen, müssen

von einem Gegenstands-

punkt ausgegangen sein.

(z.B.

Linse)

Punkt – zu – Punkt - Abbildung


G

B

h

H

Gegen- stand

Bild

Lochblende

Einfachste Abbildung: Prinzip der Lochkamera

Nach dem Strahlensatz gilt:

h

H

G

B

Ein kleiner Lochdurchmesser lässt nur ein eng begrenztes Strahlen- bündel durch. Dies ergibt zwar eine scharfe Abbildung, andererseits kommt aber nur wenig Licht durch, sodass das Bild sehr dunkel wird. Hier muss ein Kompromiss zwischen Helligkeit und Schärfe gefunden werden.


Experiment zur Lochkamera

Dia Loch- blende

große Öffnung mittlere Öffnung kleine Öffnung

Herr Knopp

Original

von

Wilhelm

Busch Schirm


Konstruktion des virtuellen

Spiegelbildes

Spiegel a) Spiegel


Strahlengang bei einem ebenen

Spiegel

Quelle virtuelles Bild

der Quelle

Q Q

21

Spiegel

2

1

b) Hohlspiegel:

M F

r

s

P

d << r

f

s

s

Parallele Strahlen werden durch einen

Hohlspiegel im Brennpunkt F zu-

sammengeführt.

Hohlspiegel mit Krümmungsradius r.


Für den Strahlengang erhält man

cos2cos

2

rs

s

r

Man entwickelt nun ( im Bogenmaß)

1wenn2

1

21

cos

1

2

2

Damit erhält man

21

2

2rs

Die Brennweite f des Hohlspiegels

erhält man dann zu

21

2

2rrsrf

und schließlich

21

2

2rf

oder für achsnahe Strahlen, d.h. << 1

2

rf

M F

r

s

P

d << r

f

s

s


Experiment: Fokussierung von Lichtstrahlen durch einen Hohlspiegel

parallele

Lichtstrahlen

Hohlspiegel Brennpunkt


r1

n

2

13

d

Kugel-

oberfläche mit Krümmungsradius r1

1

Ein parallel zur Achse auf eine Kugel-

oberfläche treffender Strahl wird um

den Winkel 3 zur Achse hin abge-

lenkt. Aus der Geometrie der Anord-

nung folgen die Relationen:

213

1

1

13211

,sin

,sin

r

d

rd

Nach dem Brechungsgesetz gilt

21 sinsin n

Nun betrachten wir nur achsennahe

Strahlen, also d << r1, d.h. 1 << 1

und 2 << 1. Dann folgt

1

12

1

1

1,

rn

d

nr

d

Damit erhält man

nr

d

nr

d

r

d 11

111

3 (*)

c) Linse (konvex):

Eintrittsseite


Für den durch die Kugeloberfläche

austretenden Strahl gilt entsprechend

11

2

12 sinsin r

drd

und nach dem Brechungsgesetz:

4113 sinsin n

Daraus folgt für achsennahe Strahlen:

134

4113

)1(

nn

n

Setzt man 3 aus (*) ein, erhält man:

21

21

4

111

11

1

rrnd

r

dn

nr

dn

Der gesamte Ablenkwinkel ist damit:

44tan f

d

21

111

1

rrn

f

Es folgt die Linsenschleiferformel:

r2

n

d F

f

1

13

4

4

Austrittsseite


Bei dieser Ableitung ist eine dünne Linse

vorausgesetzt worden, bei der sich die trans-

versale Position d des Lichtstrahls in der Linse

kaum ändert. Außerdem gilt die Beziehung nur

für achsennahe Strahlen, d.h. d << r1 , r2 .

Parallele Strahlen werden also in einem Punkt,

dem Brennpunkt F vereinigt, der im Abstand f ,

der Brennweite, von der Linsenfläche liegt.

Mit diesen Eigenschaften des Strahlen-

ganges durch eine dünne Linse können die

Abbildungseigenschaften beliebiger

optischer Systeme ermittelt werden.

12

n

rf

Für eine Linse mit gleichen Kugelflächen auf

beiden Seiten, d.h. r1 = r2 = r, folgt sofort:

dünne Linse

f

f

F

F

Hinweis: bei konvexen Oberflächen ist der

Krümmungsradius positiv, bei konkaven

Oberflächen negativ!


Beispiel: Fokussierung von Lichtstrahlen durch eine Bikonvexlinse


f

„virtueller“

Brennpunkt

d) Sphärischer Spiegel

e) Linse (konkav)

F F

f f „virtueller“

Brennpunkt

Die Ursache liegt in der Auffächerung der

Lichtstrahlen an der Oberfläche des

sphärischen Spiegels.

sphärischer

Spiegel

Es gibt auch Zerstreuungssysteme. Das

Spiegelbild an einem sphärischen

Spiegel erscheint beispielsweise

verkleinert.


Beispiel: Strahlengang am sphärischen Spiegel


Beispiel: Strahlengang bei einer Bikonkavlinse


Beispiel: Strahlengang bei einer bikonvexen „Luftlinse“

n = 1


Beispiel: Strahlengang bei einer bikonkaven „Luftlinse“

n = 1


Die Abbildungsgesetze

Parallele Strahlen werden hinter einer

konvexen dünnen Linse immer in

einer Ebene mit dem Abstand f

fokussiert, der so genannten

Brennebene. Für Strahlen, die unter

einem beliebigen Winkel zur

optischen Achse eintreffen, gilt

immer:

f

xtan

F

f

Bre

nn

eben

e

x optische Achse

Fokussierung paralleler Strahlen in der

Brennebene:

Hinweis: Diese Beziehung gilt

aber nur für achsennah ein-

fallende Strahlen !


Zur Abbildung müssen die drei vom Gegenstand G ausgehenden Strahlen wieder in

einem Punkt des Bildes B zusammenlaufen. Ein paralleler Strahl (1) geht hinter der der

Linse durch deren Brennpunkt F. Ein durch den vorderen Brennpunkt F einfallender

Strahl (3) verläuft hinter der Linse parallel zur optischen Achse. Der durch das

Zentrum der Linse laufende Strahl (2) bleibt unbeeinflußt. Mit diesen drei Strahlen

(eigentlich sind schon zwei ausreichend) wird die Abbildung konstruiert.

f f x´ x

G

B

b g

F F

B

G

1

2

3

optische Achse


f f x´ x

G

B

b g

F F

B

G

1

2

3

optische Achse

Mit dem Strahlensatz für die entsprech-

enden Längen folgt sofort:

1

f

g

f

fg

f

x

b

g

B

G

Daraus ergibt sich:

gfb

gf

g

b

g

111

:1


f f x´ x

G

B

b g

F F

B

G

1

2

3

optische Achse

Man erhält also sofort die wichtige

Linsengleichung:

bgf

111

Leicht folgt mit dem Strahlensatz

auch noch eine andere Beziehung:

x

f

f

x

B

G


f f x´ x

G

B

b g

F F

B

G

1

2

3

optische Achse

xxf 2

Daraus folgt direkt die „Newton-

Gleichung“:

Definition der Brechkraft D einer Linse:

1

1 m 1 Dioptrie

1

D Df

dpt

Die Gesamtbrechkraft mehrerer dicht

hintereinander angeordneter dünner

Linsen ist:

n321ges DDDDD

ges 1 2 3 n1 1 1 1 1f f f f f


Dia Linse

Schirm

Lampe

g b

Das Bild auf dem Schirm,

ist nur scharf, wenn:

bgf

111

Experiment: Versuch zum Linsengesetz


a) Die Lupe

s0 = deutliche Sehweite, die Entfernung,

unter der man normalerweise Objekte

aus der Nähe betrachtet (25 cm).

Auge

s0

G

Der Winkel, unter dem der Gegenstand G für

das normale Auge erscheint, folgt zu

0

tans

G

Hält man eine Linse zwischen das Auge

und den Gegenstand, dann wird der

Winkel

L

tanf

G

G

fL fL

Verwendung einer Lupe:

Da fL < s0 erhält man die

Vergrößerung der Lupe:

0

L L

tan 25cm

tanLupe

sV

f f

Optische Geräte

Die Vergrößerung eines optischen

Gerätes ist wie folgt definiert:

Sehwinkel mit Gerät

Sehwinkel ohne GerätV


fobj fobj fok fok

D G

Objektiv Okular

z

Zwischen-

bild

Es gelten folgende Beziehungen

obj

ok obj

tan ,fz D G D

zf z G f

ok obj

tanG D

f f

und weiter:

Die Vergrößerung V berechnen wir wieder

über das Verhältnis der Sehwinkel, also:

0

ok obj

tan

tanMikroskop

D sV

f f

b) Das Mikroskop (Betrachtungen sehr kleiner Objekte aus der Nähe)

Die Vergrößerung ist also umso größer,

je kleiner die Brennweiten von Okular

und Objektiv sind.

0

tanG

s mit


Okular

fok fok

Objektiv

z

Zwischen-

bild

fobj

Für die Winkel gilt hier:

obj

ok

tan

tan

f

z

f

z

Daraus folgt die Vergrößerung:

obj

ok

tan

tanFernrohr

fV

f

Astronomische Fernrohre sollten daher eine

möglichst große Brennweite des Objektivs

haben.

c) Das astronomische Fernrohr (Betrachten von Objekten in der Ferne)


fs

z

fok fok

Spiegel

Okular

Es gilt wieder:

oks

tan,tanf

z

f

z

Daraus folgt die Vergrößerung:

s

ok

tan

tanSpiegelteleskop

fV

f

d) Das Spiegelteleskop


5 m Palomar-Teleskop

Beispiele von Spiegelteleskopen

Universität München


Anwendung in der Radioastronomie für Radiowellen:

Hohlspiegel

Empfangsantenne

= Okular

Sie liegt im Brenn-

punkt des Hohl-

spiegels.

Das Radioteleskop

Effelsberg


Nur achsennah einfallende Strahlen werden im Brennpunkt fi fokussiert.

Strahlen, die am Rand einfallen, werden stärker gebrochen und im Punkt

fa gesammelt. Insgesamt werden Strahlen in den ganzen Bereich zwischen

fi und fa fokussiert und nicht nur in einem Brennpunkt.

i

af

f

Abhilfe:

• Ausblenden der Randstrahlen

(Verlust an Lichtstärke)

• angepasster Krümmungsradius

(teuer)

Kurze Einführung in die Linsen- und Abbildungsfehler

a) Aberration

Ursache ist der konstante

Krümmungsradius der Linse

(sphärische Aberration)


Sphärische Abberation / achsennahe Strahlen


Sphärische Abberation / achsenferne Strahlen


Beispiel: Die sphärische Abberation für eine plankonvexe Linse

f


rot

blauf

f

weißes Licht

Licht unterschiedlicher Wellenlänge wird unterschiedlich stark gebrochen. Da blaues

Licht stärker als rotes gebrochen wird, ist die Brennweite fblau kleiner als frot.

b) Chromatische Aberration


Chromatische Aberration


Ausschnitt

(vergrößert) blau

rot

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