Gruber I Neumann

Erfolg im Mathe-Abi

Prüfungsaufgaben gA

Niedersachsen

Kerncurriculum

Übungsbuch

mit Tipps und Lösungen

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

Vorwort ............................................................................................................................................ 5

Analysis

1 Funktionenschar 1 – GTR .....................................................................................................112 Funktionenschar 2 – GTR .................................................................................................... 123 Abitur Niedersachsen 2010 Aufgabe 1B ............................................................................. 134 Sonnenblume – GTR............................................................................................................ 155 Medikament – GTR ............................................................................................................. 166 Infusion – GTR .................................................................................................................... 177 Abitur Niedersachsen 2006 Aufgabe 1A – GTR ................................................................. 188 Abitur Niedersachsen 2006 Aufgabe 1B – GTR ................................................................. 199 Abitur Niedersachsen 2010 Aufgabe 1A ............................................................................. 2010 Zahnpasta – GTR ................................................................................................................. 2211 Abitur Niedersachsen 2007 Aufgabe 1A – GTR ................................................................. 2312 Funktionenschar 1 – CAS .................................................................................................... 2513 Funktionenschar 2 – CAS .................................................................................................... 2614 Abitur Niedersachsen 2006 Aufgabe 1A – CAS ................................................................. 2715 Abitur Niedersachsen 2006 Aufgabe 1B – CAS ................................................................. 2816 Abitur Niedersachsen 2007 Aufgabe 1A – CAS ................................................................. 29

Analytische Geometrie / Lineare Algebra

17 Geraden und Würfel ............................................................................................................. 3218 Turm ..................................................................................................................................... 3319 Videothek – Zelt ................................................................................................................... 3420 Automobil-Zulieferer ........................................................................................................... 3521 Konservenfabrik ................................................................................................................... 3622 Fertighäuser .......................................................................................................................... 3723 Abitur Niedersachsen 2010 Block 2B Aufgabe 1 ............................................................... 38

Stochastik

24 Glücksspiel ........................................................................................................................... 3925 Überraschungseier ................................................................................................................ 4026 Abitur Niedersachsen 2010 eA Block 2B Aufgabe 2 .......................................................... 4127 Abitur Niedersachsen 2010 Block 2A Aufgabe 1 ............................................................... 42

Tipps ............................................................................................................................................. 43

Lösungen ...................................................................................................................................... 65

Binomialverteilungstabellen ..................................................................................................... 150

Stichwortverzeichnis ................................................................................................................. 157

Vorwort

Vorwort

Erfolg von Anfang an

... ist das Geheimnis eines guten Abiturs. Dieses Übungsbuch ist speziell auf die Anforderungendes Mathematik-Abiturs für das grundlegende Anforderungsnivau (gA) in Niedersachsen abge-stimmt.

Sie finden Aufgaben zu den Themen des Kerncurriculums Niedersachsen, das ab dem Jahr 2012maßgeblich für die Prüfung ist. Dabei werden alle Bereiche Analysis, Analytische Geometrie/LineareAlgebra und Stochastik abgedeckt.Die Original-Abituraufgaben der letzten Jahre wurde dabei mitverwendet, insofern die Themennoch im Kerncurriculum enthalten sind.

Der blaue TippteilHat man keine Idee, wie man eine Aufgabe angehen soll, hilft der blaue Tippteil in der Mitte desBuches weiter: Zu jeder Aufgabe gibt es dort Tipps, die helfen, einen Ansatz zu finden, ohne dieLösung vorwegzunehmen.

Wie arbeitet man mit diesem Buch?Am Anfang befinden sich die Aufgaben aus den drei Themenbereichen. Sie sind entsprechendgekennzeichnet, wenn ein grafikfähiger Taschenrechner oder ein CAS-System zur Lösung benö-tigt wird. Dabei können mit «GTR» bezeichnete Aufgaben auch mit einem CAS-System gelöstwerden.Die Aufgaben sind in der Regel in ihrer Schwierigkeit gestaffelt. In der Mitte des Buches befin-det sich der blaue Tippteil mit Denk- und Lösungshilfen. Die Lösungen mit ausführlichen Lö-sungswegen bilden den dritten Teil des Übungsbuchs. Hier findet man die notwendigen Formeln,Rechenverfahren und Denkschritte sowie sinnvolle alternative Lösungswege.

Es gibt drei Aufgabentypen in diesem Buch:

• Aufgaben für GTR und CAS. Bei diesen Aufgaben spielt es keine Rolle, ob Sie einen GTRoder ein CAS verwenden (vor allem in der Geometrie und Stochastik).

• Aufgaben für den GTR (mit «GTR» gekennzeichnet). Diese können Sie auch mit dem CASlösen, teilweise vereinfachen sich dabei Lösungsschritte.

• Aufgaben für CAS (mit «CAS» gekennzeichnet). Diese Aufgaben lassen sich mit dem GTRnur teilweise lösen.

Allen Schülern, die sich auf das Abitur vorbereiten, wünschen wir viel Erfolg.

Helmut Gruber, Robert Neumann

5

Vorwort

Das Rechnen mit GTR und CASMit Hilfe des grafikfähigen Taschenrechners (GTR) und des Computeralgebrasystems (CAS)können komplexere Aufgaben relativ schnell gelöst werden.

Allerdings ist die Eingabe oft komplizierter als bei einem herkömmlichen Taschenrechner. DerRechner «verzeiht» formale Eingabefehler nicht und liefert Fehlermeldungen die verwirren kön-nen. Auch gibt es Aufgaben, die das CAS zu überfordern scheinen, obwohl es sich um lösbareFragestellungen handelt. Aus diesen Gründen haben wir bei den Lösungen Eingabetipps für kom-plexere Fragestellungen eingefügt. Da es eine Vielzahl von Modellen der verschiedenen Herstellergibt, haben wir uns auf die wesentlichen Tipps beschränkt und auf Screenshots verzichtet.

Hier noch einmal die wichtigsten Dinge im Überblick:

Das Minuszeichen

Es gibt auf den Taschenrechnertastaturen zwei Minuszeichen. Das eine ist das «normale» Minus-zeichen, dass bei den anderen Rechenoperationen steht. Das zweite Minus ist das «Vorzeichen-Minus», es ist meist kürzer dargestellt und von einer Klammer umgeben: (-). Dieses Zeichen wirddann verwendet, wenn eine negative Zahl eingegeben wird.

Die Tastenbelegungen

Viele Tasten sind bei den Geräten mehrfach belegt. In den Tipps werden die Tastenbezeichnun-gen in eckigen Klammern angegeben. Beispiel: [sin] für die Sinus-Taste. Handelt es sich umeine Zweitbelegung der Taste, ist dies hochgestellt vor der eckigen Klammer vermerkt, z.B.2nd [MATRX] (bei TI-Geräten) oder S [Trace] (bei Casio-Geräten).

Gleichungssysteme

Bei den verschiedenen Geräten gibt es unterschiedliche Arten, ein lineares Gleichungssystem zulösen. Die neueren Geräte akzeptieren eine Eingabeform, bei der die Gleichungen untereinandereingegeben werden können. Das ist übersichtlicher als die bisherige Eingabe, bei der die Glei-chungen mit «and» verknüpft werden.

Bei den grafikfähigen Taschenrechnern werden Gleichungssysteme in der Regel mit Hilfe vonMatrizen gelöst, indem der rref-Befehl verwendet wird.

Eine Besonderheit ist bei den GTR-Geräten von CASIO zu beachten: Diese bieten eine Glei-chungslösefunktion für lineare Gleichungssysteme. Diese unterscheidet aber nicht, ob es sichum ein Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen oder ein unlösbares Gleichungssystemhandelt. Daher sollten Gleichungssysteme auch hier mit Hilfe einer Matrix und des rref-Befehlsgelöst werden.

6

Der Ablauf der Abiturprüfung

Der Ablauf der AbiturprüfungIm Abitur sind neben Zeichenmitteln, einer mathematischen Formelsammlung, dem Duden undeinem Fremdwörterbuch entweder ein grafikfähiger Taschenrechner (GTR) oder ein Computer-Algebra-System (CAS) erlaubt.

Die Schule erhält für jeden Kurs einen Aufgabensatz (unterschieden nach dem Taschenrechner-typ). Ein Aufgabensatz besteht aus zwei Analysisaufgaben, zwei Aufgaben zur Analytischen Geo-metrie und zwei Stochastikaufgaben. Die Zusammenstellung der Prüfungsaufgaben geschieht wiefolgt:

Analysisaufgaben

Geometrieaufgaben

Stochastikaufgaben

Der Prüfling wählt aus jedem Gebiet je eine Aufgabe aus. Die Gewichtung der drei Themenblö-cke wird etwa im Verhältnis Analysis 50%, Geometrie 25% und Stochastik 25% erfolgen. DiePrüfungszeit beträgt 220 Minuten.

Auf den folgenden Seiten finden Sie eine Liste der in der Prüfung verwendeten Operatoren, dassind die Handlungsanweisungen, die vorgeben, was in einer konkreten Situation gefordert ist.

7

Der Ablauf der Abiturprüfung

Die Inhalte des KerncurriculumsIm Folgenden haben wir die Inhalte des Kernlehrplans für Mathematik noch einmal zur besserenÜbersicht zusammengefasst. Sie können den kompletten Lehrplan z.B. unter

www.kerncurricula.de/index.php?topic=25.0

herunterladen.

Analysis

Von der Änderung zum Bestand – Integralrechnung

• Integralbegriff

• Rekonstruktion von Beständen

• Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren

• Stammfunktionen spezieller Funktionen

• Summen- und Faktorregel

• Unbestimmte Integrale

• Rechengesetze für bestimmte Integrale

• Inhalte begrenzter Flächen

Wachstumsmodelle - Exponentialfunktionen

• Begrenztes und logistisches Wachstum

• e-Funktion

• Verknüpfungen/Verkettung mit ganzrationalen Funktionen

• Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

• Bedeutung des Wendepunktes und des Krümmungsverhaltens

• Asymptotisches Verhalten

• Definitionsbereich

• Angleichung an Daten durch Parametervariation

Kurvenanpassung – Interpolation

• Bestimmung von Funktionen aus gegebenen Eigenschaften

• GAUSS-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

• Stetigkeit, Differenzierbarkeit

• Abschnittsweise definierte Funktionen

• Funktionenscharen

8

Der Ablauf der Abiturprüfung

Analytische Geometrie/ Lineare Algebra

Raumanschauung und Koordinatisierung

• Punkte im Raum

• Darstellungen im kartesischen Koordinatensystem / Schrägbilder

• Vektoren im Anschauungsraum

• Rechengesetze für Vektoren, Kollinearität zweier Vektoren

• Parametergleichungen von Gerade und Ebene

• Lagebeziehungen und Schnittpunkte

• Skalarprodukt

• Längen von Strecken und Größen von Winkeln zwischen Vektoren

Mehrstufige Prozesse – Matrizenrechnung

• Matrizen und Prozessdiagramme zur strukturierten Darstellung von Daten

• Rechengesetze für Matrizen, auch inverse Matrizen

• Grenzmatrix und Fixvektor im Sachzusammenhang mit Käufer- und Wahlverhalten

Stochastik

Daten darstellen und auswerten – Beschreibende Statistik

• Histogramm

• Standardabweichung

Mit dem Zufall rechnen – Wahrscheinlichkeitsrechnung

• Ergebnis, Ereignis, Ergebnismenge

• Zufallsgröße

• Wahrscheinlichkeitsverteilung

• Erwartungswert und Standardabweichung

• BERNOULLI-Kette und Binomialverteilung

• σ -Umgebungen

Daten beurteilen – Beurteilende Statistik

• Grundgesamtheit

• Repräsentative Stichprobe

• Bestimmung von Schätzwerten für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit

• Vertrauensintervalle zu konkreten Vertrauenswahrscheinlichkeiten

9

1. Funktionenschar 1 – GTR

Analysis

1 Funktionenschar 1 – GTRTipps ab Seite 43, Lösungen ab Seite 65

Für jedes t > 0 ist die Funktionenschar ft gegeben durch ft (x) = 12t x3 −3x2 + 9

2 tx ; x ∈ IR.Ihre Graphen seien Gt .

a) Untersuchen Sie Gt auf Schnittpunkte mit der x-Achse, Hoch-, Tief- und Wendepunkte.Für welches t gehört der abgebildete Graph zu einer Funktion ft .

b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortslinie C, auf der die Wendepunkte aller Gt liegen.

Die Gerade gt geht durch den Hoch- und Tiefpunkt der Kurve Gt .

Zeigen Sie, dass der Wendepunkt von Gt auf gt liegt.

c) Die Gerade x = u mit 0 < u < 6 schneidet G2 in einem Punkt R. Die Parallelen zur x- bzw.y-Achse durch R bilden zusammen mit den Koordinatenachsen ein Rechteck.

Bestimmen Sie u so, dass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird.Geben Sie diesen Flächeninhalt an.

d) Die Gerade y = m ·x mit 0 < m < 9 schneidet G2 im Ursprung O und in den Punkten P undQ. Bestimmen Sie die Schnittpunkte in Abhängigkeit von m.

11

Tipps 2. Funktionenschar 2 – GTR

Tipps1 Funktionenschar 1 – GTR

a) Schnittpunkte mit der x-Achse erhalten Sie durch Lösen der Gleichung ft (x) = 0; klammernSie x aus.Die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte erhalten Sie mit der notwendigen Bedingungft ′(x) = 0. Lösen Sie diese Gleichung nach x auf und setzen Sie die erhaltenen x-Werte inft ′′ ein; ist das Ergebnis kleiner als Null, handelt es sich um einen Hochpunkt, ist es größerals Null, handelt es sich um einen Tiefpunkt. Die zugehörigen y-Werte ergeben sich durchEinsetzen der x-Werte in ft .Die Koordinaten der Wendepunkte erhalten Sie mit der notwendigen Bedingung ft

′′(x) = 0.

Lösen Sie diese Gleichung nach x auf und setzen Sie die erhaltenen x-Werte in ft′′′ ein; ist

das Ergebnis ungleich Null, handelt es sich um einen Wendepunkt. Die dazugehörigen y-Werte erhalten Sie durch Einsetzen der x-Werte in ft .

Vergleichen Sie die Koordinaten des durch den Graphen gegebenen Hoch- bzw. Tiefpunktsmit den Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte der Funktionenschar und bestimmen Siedamit t.

b) Um die Gleichung der Ortslinie C, auf der die Wendepunkte aller Gt liegen, zu bestimmen,lösen Sie den x-Wert des Wendepunkts nach t auf und setzen das Ergebnis in den y-Wertdes Wendepunkts ein.Bestimmen Sie die Steigung mt der Geraden gt mit Hilfe der Formel m = y2−y1

x2−x1.

Setzen Sie mt und den Hochpunkt Ht in die Punkt-Steigungsform y− y1 = m · (x− x1) ein,so erhalten Sie eine Gleichung von gt .Setzen Sie den x-Wert des Wendepunkts Wt in die Gleichung von gt ein und prüfen Sie, obSie den y-Wert des Wendepunkts erhalten.

c) Skizzieren Sie die Problemstellung.Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes R sowie den Flächeninhalt A(u) des Rechtecksin Abhängigkeit von u.Berechnen Sie mit Hilfe des GTR das Maximum der Funktion A(u).

d) Skizzieren Sie die Problemstellung.Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte P und Q in Abhängigkeit von m.

2 Funktionenschar 2 – GTRa) Setzen Sie −x in ft (x) ein. Für ft (−x) = ft(x) ist der Graph von f achsensymmetrisch zur

y-Achse.Schnittpunkte mit der x-Achse erhalten Sie durch Auflösen der Gleichung ft (x) = 0 nachx; klammern Sie x2 aus.

43

Lösungen 1. Funktionenschar 1 – GTR

Lösungen – Analysis1 Funktionenschar 1 – GTREs ist ft(x) = 1

2t x3 −3x2 + 92 tx mit

ft ′(x) =32t

x2 −6x+92

t

ft ′′(x) =3t

x−6

ft ′′′(x) =3t

a) Schnittpunkte von Gt mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung ft(x) = 0:

12t

x3 −3x2 +92

tx = 0

x ·(

12t

x2 −3x+92

t)

= 0

Ein Produkt ist nur dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.Also ist eine Lösung x1 = 0. Aus 1

2t x2 −3x+ 92 t = 0 werden weitere Lösungen mit der pq-

oder abc-Formel bestimmt: x2 = 3t.Damit sind N1 (0 | 0) und N2 (3t | 0) die Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse.

Hoch- und Tiefpunkte von Gt erhält man mit der notwendigen Bedingung ft′(x) = 0 :

32t

x2 −6x+92

t = 0 | ·2t3

x2 −4tx+3t2 = 0

Man erhält die Lösungen x1 = t und x2 = 3t.Setzt man x1 = t und x2 = 3t in ft ′′(x) ein, erhält man:

ft ′′ (t) =3t· t −6 = −3 < 0 ⇒ Hochpunkt

ft ′′ (3t) =3t·3t −6 = 3 > 0 ⇒ Tiefpunkt

Die zugehörigen y-Werte erhält man durch Einsetzen der x-Werte in ft :

y1 = ft (t) =12t

· t3 −3 · t2 +92

t · t = 2t2

y2 = ft (3t) =12t

· (3t)3 −3 · (3t)2 +92

t · (3t) = 0

Damit haben die Hoch- und Tiefpunkte die Koordinaten: Ht(

t | 2t2) und Tt (3t | 0).

Wendepunkte erhält man mit der notwendigen Bedinung ft′′(x) = 0 :

3t

x−6 = 0 ⇒ x = 2t

65

1. Funktionenschar 1 – GTR Lösungen

Wegen ft ′′′(2t) = 3t 6= 0 handelt es sich um einen Wendepunkt.

Den zugehörigen y-Wert erhält man durch Einsetzen von x = 2t in ft :

ft(2t) =12t

· (2t)3−3 · (2t)2 +92

t ·2t = t2 ⇒ Wt(

2t | t2)

Vergleicht man die Koordinaten des Hochpunkts H(2 | 8) in der Zeichnung mit den Koor-dinaten von Ht

(

t | 2t2), ergibt sich direkt: t = 2.Damit gehört der abgebildete Graph zur Funktion f2 der Funktionenschar.

b) Um die Gleichung der Ortslinie C, auf der die Wendepunkte Wt(

2t | t2) aller Gt liegen, zubestimmen, löst man den x-Wert von Wt nach t auf und setzt das Ergebnis in den y-Wertvon Wt ein:

x = 2t ⇒ t =x2

y = t2 =( x

2

)2=

x2

4

Wegen t > 0 hat die Ortslinie aller Wendepunkte die Gleichung y = x2

4 mit x > 0.

Die Gerade gt durch Ht(

t | 2t2) und Tt (3t | 0) hat damit die Steigung mt = 0−2t2

3t−t = −t.Setzt man mt =−t und Ht

(

t | 2t2) in die Punkt-Steigungsform y−y1 = m · (x− x1) ein, soerhält man eine Gleichung von gt :

gt : y−2t2 = −t · (x− t)

y = −t · x+3t2

Um zu zeigen, dass Wt(

2t | t2) auf gt liegt, setzt man x = 2t in die Gleichung von gt einund erhält:

y =−t ·2t +3t2 = t2

Damit liegt Wt auf gt .

c) Mit f2(x) = 14 x3 −3x2 +9x hat der Punkt R die Koordinaten R(u | f2(u)) bzw.

R(

u | 14 u3 −3u2 +9u

)

.

66

Lösungen 1. Funktionenschar 1 – GTR

Damit erhält man den Flächeninhalt A(u) des Rechtecks:

A(u) = u · f2(u)

= u ·(

14

u3−3u2 +9u)

=14

u4 −3u3 +9u2

Mit Hilfe des GTR bestimmt man das Maximum von A(u) und erhält:u = 3 und A(3) = 20,25.Für u = 3 ist der Flächeninhalt des Rechtecks damit maximal; der maximale Flächeninhaltbeträgt 20,25 FE.

d) Die Gerade y = m · x durch den Ursprung hat folgende Lage:

Die Schnittpunkte der Geraden y = m ·x und des Graphen von f2(x) = 14 x3−3x2 +9x erhält

67

1. Funktionenschar 1 – GTR Lösungen

man durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen:

14

x3 −3x2 +9x = m · x14

x3 −3x2 +(9−m) · x = 0

x ·(

14

x2 −3x+9−m)

= 0

Da ein Produkt nur gleich Null ist, wenn mindestens einer seiner Faktoren gleich Null ist,muss gelten: x1 = 0 oder 1

4 x2 −3x+9−m = 0.Löst man die quadratische Gleichung, erhält man die weiteren Lösungen x2 = 6− 2 ·√mund x3 = 6+2 ·√m.Setzt man x2 und x3 in die Geradengleichung y = m · x ein, erhält man die zugehörigeny-Werte: y2 = 6m−2m ·√m und y3 = 6m+2m ·√m.Damit haben die Schnittpunkte P und Q die Koordinaten:P(6−2 ·√m | 6m−2m ·√m) und Q(6+2 ·√m | 6m+2m ·√m).

68