Ergänzungen - web242.can65.de · Ergänzungen zu Geometrie und lineare Algebra ( Modul II / S II )...

Ergänzungen

zu

Geometrie und lineare Algebra

( Modul II / S II )

S.S. 2020

Deyke

www.deyke.com Lin_Geo_I.pdf

http://www.deyke.com/

Geometrie ( Mod. II) Seite 2

Abänderung von Aufg. a)

Zeichnen Sie den Quader und die Pyramide in das nachfolgende Koordinaten-system (p. 3) ein.


Vektoren in der Geometrie

(Ü 1) Die nachfolgende Abbildung (Abb. 1) zeigt ein (ebenes) Viereck ABCD.

Abb. 1 → → → →

1.1 Ermitteln Sie die Komponenten der Vektoren AB, BC, CD und DA. → 1.2 Berechnen Sie auch die Komponenten des Vektors AC.

1.3 Bestimmen Sie die Länge der Diagonalen d im Viereck ABCD. ( 1 LE ≙ 1 cm )

(Ü 2) ABCD sei ein Viereck mit der Eigenschaft → →

AB = DC .Untersuchen Sie, ob auch

→ → AD = BC

gilt.

Deyke 2020-01-24


Merken:

1) Addition von Vektoren (komponentenweise):

→ → a1 + b1 → a1 → b1

a + b = ( a2 + b2 ) , wenn a = ( a2 ) und b = ( b2 ) a3 + b3 a3 b3 → → →2) AB = AX + XB für jeden beliebigen Punkt X (z.B. X = O)

3 ) Komponenten eines beliebigen Vektors: → → → → → → →

AE = AO + OE = - OA + OE ( - OA ist der „Gegenvektor“ zu OA ),

→ e1 - a1

also AE = ( e2 - a2 ) , wenn ….. e3 - a3

Lösung der Aufgabe (Ü 2)

Jederfalls gilt: → → → → →

( 1 ) AB + BC + CD + DA = o

Nach der Vorgabe (und dem Kommutativgesetz für die Vektoraddition) folgt: → → → → →

BC + DA + ( DC + CD ) = o → → → Da DC + CD = o ist, erhält man:

→ → → →( 2 ) BC + DA = o | + ( - DA )

→ → also BC = AD ,

wie behauptet wurde.

Wichtige Erkenntnis:

(Ü 3) Für das Viereck ABCD gilt

A = ( - 2 | 3 ), B = ( 2 | 10 ), C = ( 4,5 | 7 ) und D = ( 0,5 | 0 ) .

Rechnen Sie nach, ob ABCD ein Parallelogramm ist oder nicht.

(Ü 4) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks aus (Ü 3). ( 1 LE ≙ 1 cm )

Ein Viereck ABCD ist bereits dann als Parallelogramm erkannt, wenn zwei„gegenüberliegende Seiten“ als „Repräsentanten“ desselben Vektorsinterpretiert werden können. (Richtung beachten!)


(Ü 5) Ein Oktaeder (einer der sog. platonischen Körper) ist ein regelmäßiger Acht-flächner. Er hat 8 gleichseitige Dreiecke; die Kantenlänge sei a = 8,0 cm ( 1 LE ≙ 1 cm ). Für die Ecken A und B (siehe Abb. 2) wählen wir:

A = ( 3 | - 4 | - 2 ) und B = ( 3 | 4 | - 2 ) .

5.1 Zeichnen Sie ein Schrägbild des Oktaeders.

5.2 Weisen Sie nach, dass das Viereck AECF ein Parallelogramm ist. Lassen sich noch weitere Aussagen über das Viereck AECF machen?

→ → 5.3 Berechnen Sie die Komponenten der Vektoren AB und EF.

5.4 Das Oktaeder ist eine Doppelpyramide. Berechnen Sie sein Volumen V.

Abb. 2

(Ü 6) (ohne Hilfsmittel! ):

Man hat die Punkte A( - 1 | 1 | 4 ), B( - 3 | 5 | 6 ) und C t( - 2 + t | 3 | 5 + t ) mit t ∈ ℝ, t ≠ 0.

6.1 Zeigen Sie, dass jedes der Dreiecke Δ ABCt gleichschenklig ist.

3 BE

6.2 Bestimmen Sie diejenigen Werte von t, für welche das jeweils zugehörige Drei- eck Δ ABCt gleichseitig ist.

2 BE

siehe Abb. 3 auf der nachfolgenden Seite


Lösung der Aufgabe (Ü 6)

6.1 Die Ortsvektoren:

→ - 1 → - 3 → - 2 + t OA = ( 1 ) OB = ( 5 ) OCt = ( 3 ) 4 6 5 + t

Interessante „Seitenvektoren“ des Dreiecks:

→ - 1 + t → 1 + tACt = ( 2 ) BCt = ( - 2 )

1 + t - 1 + t

Vergleich der Beträge (Längen) der zuletzt genannten Vektoren: → ___________________________ → __________________________ | ACt | = √ ( - 1 + t )2 + 4 + ( 1 + t )2 | BCt | = √ (1 + t )2 + 4 + ( - 1 + t )2

Die Beträge sind offensichtlich gleich. Die Dreieckseiten ACt und BCt sind gleich lang.

(Anstatt die Beträge auszurechnen kann man auch eine entsprechende sprach-liche Bemerkung machen. Aber unter 6.2 wird mindestens einer der Beträge benötigt.)

→ - 2 ____________ ____6.2 | AB | = | ( 4 )| = √ 4 + 16 + 4 = √ 24 2 → ___________________________ ___

Bedingung: | ACt | = √ ( - 1 + t )2 + 4 + ( 1 + t )2 = √ 24

1 - 2 t + t2 + 4 + 1 + 2 t + t2 = 24

2 t2 + 6 = 24

t2 = 9

t1,2 = ± 3

Für t = 3 und für t = - 3 ist das Dreieck Δ ABCt gleichseitig.

*


Besondere Punkte

A. Der Mittelpunkt M einer Strecke AB:

M sei der Mittelpunkt der Strecke zwischen den Punkten A und B (siehe Abb. 3).

A M Bo----------o----------o

Abb. 3

Welche Koordinaten hat M, wenn A= ( a1 | a2 ) und B = ( b1 | b2 ) gilt? →

Die Koordinaten von M sind die Komponenten seines Ortsvektors OM. Nun gilt: → → → → → → → →

OM = OA + AM = OA + ½ AB = OA + ½ ( AO + OB ) → → → → → →

= OA + ½ AO + ½ OB = OA - ½ OA + ½ OB → → → →

= ( 1 – ½ ) OA + ½ OB = ½ ( OA + OB )

Da die Koordinaten der Punkte A und B bekannt sind, sind auch die Komponenten ihrer Ortsvektoren bekannt.

Ergebnis:

(Ü 7) (Mittenviereck): Zeichnen Sie ein (ebenes) Viereck ABCD. Es darf gerne etwas unerwartet ausfallen, z.B. ein „konkaves“ Viereck.

Abb. 4

Konstruieren Sie sodann die Mittelpunkte aller vier Seiten und verbinden sie „benachbarte“ Mittelpunkte durch Strecken, so dass ein „Mittenviereck“ ent-steht. Sehen Sie sich dieses Mittenviereck genau an. Haben Sie einen Verdacht?

Deyke 2020-02-18

→ → →

OM = ½ ( OA + OB )


Der Satz vom Mittenviereck

( Satz von VARIGNON )

Satz (von Varignon):

Abb. 5

(Ü 8) Beweisen Sie den Satz von VARIGNON.

(Ü 9) (ohne Hilfsmittel)

Abb. 6

gerades Prisma ABCDEF mit A( 0 | 0 | 0), B( 8 | 0 | 0), C( 0 | 8 | 0 ) und D( 0 | 0 | 4 )

a ) Bestimmen Sie den Abstand der Eckpunkte B und F des Prismas. (2 BE)

b ) Die Punkte M und P sind die Mittelpunkte der Kanten AD bzw. BC. Der Punkt K (0 | x2k | 4) liegt auf der Kante DF.

Bestimmen Sie x2k so, dass das Dreieck Δ KMP in M rechtwinklig ist. (3 BE)

Ist ABCD ein (ebenes) Viereck und sind M1, M2, M3 und M4 die Mittelpunkteseiner Seiten, so ist M1 M2 M3 M4 ein Parallelogramm (s. Abb. 5).


Beweis des Satzes von VARIGNON

Wir können uns das Viereck ABCD in einer Ebene mit Koordinatensystem vorstellen.Die Annahme A = 0 (Ursprung des Koordinatensystems) schränkt die Allgemein-gültigkeit nicht ein. Im Folgenden unterscheiden wir nicht zwischen dem → →Punkt P und seinem Ortsvektor OP = p . Mit dieser Verabredung gilt:

→ 1 → → 1 → → ( 1 ) m1 = --- b ; m2 = ---( b + c ) ;

2 2 → 1 → → 1 →

m3 = --- ( c + d ) ; M4 = --- d . 2 2 → → Vergleich der Vektoren M1M2 und M4M3 :

→ → → 1 → → 1 → 1 →( 2 ) M1M2 = m2 - m1 = --- ( b + c ) - --- b = --- c

2 2 2 → → → 1 → → 1 → 1 → und ( 3 ) M4M3 = m3 - m4 = --- ( c + d ) - --- d = --- c . 2 2 2

Der Vergleich von ( 2 ) und ( 3 ) liefert: → →

M1M2 = M4M3 .

Damit ist erkannt, dass M1 M2 M3 M4 ein Parallelogramm ist (siehe (Ü 2) ).

*

Anmerkung: Die Gleichungen ( 2 ) und ( 3 ) lassen sich als eine Strahlensatz-Figurdeuten. Daraus ergibt sich eine andere Beweisidee des Satzes von VARIGNON.

Deyke 2020-02-24


Das sog. Skalarprodukt von Vektoren → → → →

( a ; b ) = a ∘ b → → 3

Definition: a ∘ b : = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = ∑ ai bi

i=1

→ → →

Dann gilt: | a |2 = a ∘ a ( 1 )

Der Winkel zwischen zwei Vektoren:

Abb. 7 → | b1 | Es gilt: cos α = ------- ( 2 ) → | b | → Ein Vektor vom Betrag 1 (Einheitsvektor) in Richtung von Vektor a ist der Vektor:

→ 1 → a0 = ----- a

→ | a |

→ b1 b1 1 → →Man hat: | b1 | = | ( 0 ) | = b1 = ( b2 ) ∘ ( 0 ) = b ∘ ao ( 3 )

→ → → → → → → | b1 | b ∘ ao b ∘ a a ∘ b( 2 ) ⟹ cos α = ------ = ---------- = ------------ = ----------- ( 4 ) → → → → → → | b | | b | | a | | b | | a | | b |

→ → → →oder a ∘ b = | a | | b | cos α

Satz: Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt „verschwindet“.

Deyke 2020-02-22

→ → → → a ⊥ b ⟺ a ∘ b = 0


(Ü 10) (resultierende Kraft): → → Die Kräfte F1 und F2 haben den gemeinsamen Angriffspunkt O (s. Abb. 8). Wir → berechnen die Resultierende F12 .

Abb. 8

→ → →

Es gilt: | F1 | = F1 = 25 N und | F2 | = F2 = 15 N . Die Kraft Fi „zielt“ auf den Punkt Pi (i = 1, 2 ) - als Richtungsangabe.

10.1 Berechnen Sie F12 . → → →10.2 Berechnen Sie auch α := ∡(F12 , e1 ) , wobei e1 der Einheitsvektor in Richtung

der x1 – Achse ist.

Deyke 2020-02-26


(Ü 11) ABCD ist ein Viereck im 3-dimensionalen Raum mit den Eckpunkten

A = ( - 2,0 | 3,0 | - 1,0 ), B = ( 0,0 | 4,0 | - 2,0 ), C = ( - 3,0 | 6,0 | - 1,0 ) und D = ( - 2,5 | 4,5 | 3,5 ).

11.1 Zeichnen Sie ein Schrägbild des Vierecks ABCD.

11.2 Untersuchen Sie, ob das Viereck rechte Innenwinkel besitzt.

11.3 Berechnen Sie auch sämtliche Innenwinkel.

(Ü 12) Rechengesetze:

Begründen Sie durch Rechnung die nachfolgenden Gesetze für die Skalar-multiplikation:

→ → → →(Kommutativgesetz:) a ∘ b = b ∘ a

→ → → → → → → (Distributivgesetz:) a ∘ ( b + c ) = ( a ∘ b ) + ( a ∘ c )

Anmerkung: Die Klammern auf der rechten Seite der Gleichung sind entbehr-lich, wenn man verabredet: „Punktrechnung vor Strichrechnung“ - wie bei Zahlen.

Es gibt kein Assoziativgesetz für die Skalarmultiplikation von Vektoren. Denn der nachfolgende Term

→ → → a ∘ ( b ∘ c )

ist sinnlos.

(Ü 13) ABCD ist ein Viereck mit den Eckpunkten

A = ( - 2 | 3 | 5 ), B = ( 4 | - 2 | 4 ), C = ( 5,5 | - 4,5 | 1,0 ) und

D = ( 0,25 | - 0,75 | 0,50 ).

13.1 Untersuchen Sie, ob das Viereck ABCD ein Trapez ist.

13.2 Berechnen Sie in dem Fall, dass das Viereck ABCD eben ist, seinen Flächenin- halt.


A u f t r ä g e für den 16. März 2020 (Mo)

1. Erinnern (also: wiederholen) Sie sich bitte an unsere drei „Verknüpfungen“ mit Vektoren:

→ → → → → a + b , r a und a ∘ b ( r ist eine reelle Zahl )

2. Nochmals p. 11 (Handout) durchdenken.

3. Bearbeiten Sie (Ü 13) – p. 13. Es geht um Trapeze. (Eventuell in der Formel- sammlung nachsehen.) Überlegen Sie sich zunächst, wie Sie mithilfe von Vektoren (also „vektoriell“) feststellen können, ob ein Viereck ein Trapez ist.

4. Jetzt geht es um den Schwerpunkt eines Dreiecks. Bitte unser Lehrbuch (L.S.) zur Hand nehmen und Aufgabe 13(L.S.; p. 46) bearbeiten als „Einstimmung“.

→ Finden Sie außerdem eine „Formel“ zur Berechnung des Ortsvektors OS aus denOrtsvektoren der Eckpunkte des Dreiecks. (Das erinnert an unsere Formel zur Berechnung des Mittelpunktes einer Strecke (s. auch Handout, p. 8) ).

*

Viel Freude am mathematischen Forschen!

Deyke 2020-03-14

Ausarbeitung der Aufträge vom 16. März 2020 (Mo)

Auftrag 1: ---

Auftrag 2: ---

Auftrag 3:

Wir haben zu prüfen, ob 2 gegenüberliegende Seiten des Vierecks parallel sind.Für die entsprechenden „Seitenvektoren“ heißt dies, dass sie Vielfache voneinandersind. Lesen Sie bitte den Abschnitt Parallele Vektoren (p. 16, dieses Handout) nach.

Jetzt kommt die Rechnung. Sie steht auf Seite 17.


B. Der Schwerpunkt S eines Dreiecks ABC

Vorbereitung auf Aufg. 13 (L.S., p. 46) – Schwerpunkt S

Abb. 9

→ Die Koordinaten des Schwerpunktes S sind die Komponenten seines OrtsvektorsOS. Dann gilt (z.B.):

→ → → → 2 → → 2 → → OS = OA + AS = OA + –-- AMa = OA + –-- ( AO + OMa )

3 3 → 2 → 2 1 → →

= OA - –-- OA + --- ( --- ( OB + OC )) 3 3 2

1 → 1 → 1 → 1 → → → = –-- OA + --- OB + --- OC = --- ( OA + OB + OC ) 3 3 3 3

Ergebnis:

Der Ortsvektor des Schwerpunktes S ist ein Drittel der Summe derOrtsvektoren der Eckpunkte des zugehörigen Dreiecks.


Parallele Vektoren

( z.B. ( Ü 13 ) )

→ → Wie stellt man durch Rechnung fest, dass zwei Vektoren a und b parallel sind?

Abb. 10

Offenbar gilt: → →

Zwei Vektoren a und b sind dann parallel, wenn die Vektoren Vielfache vonein-ander sind oder wenn für den Winkel α zwischen ihnen cos α = ± 1 (also α = 0° oderα = 180° ) gilt: → → a = t b , t ∈ ℝ \ { 0 } = ℝ* oder cos α = ± 1 (mit dem Skalarprodukts. p. 11)

Beispiel: → 1 → - 4

a = ( - 2 ) und b = ( 8 ). Wir suchen eine reelle Zahl t ≠ 0, so dass 3 - 10 1 - 4

( - 2 ) = t ( 8 ) gilt. Dies führt auf folgendes Gleichungssystem 3 - 10

( 1 ) 1 = - 4 t => t = - 1 / 4

( 2 ) - 2 = 8 t Gl. ( 2 ) ist erfüllt

( 3 ) 3 = - 10 t

Gl. ( 3 ) ist nicht erfüllt, denn - 10 ( - 1 / 4 ) = 10 / 4 = 2,5 ≠ 3 → → Also: a ╫ b

*


Berechnungen zu (Ü 13 ):

Anmerkungen: 1) Mein Rechner versteht bei Winkelfunktionen nur das Bogenmaß; fürdie Umrechnung von Grad in Bogenmaß oder umgekehrt habe ich mir zwei kleineFunkionen „grad“ und „bogen“ geschrieben. - 2) „acos“ ist die Umkehrfunktion zu cos,also acos = cos-1. Analoges gilt auch für die Sinusfunktion. - 3) Der Name „help“ ist inder Informatik beliebt als Bezeichner für eine „Hilfsvariable“.

Auftrag 4:

Wir beginnen mit der „Formel“. Dazu arbeiten Sie bitte den Abschnitt DerSchwerpunkt S eines Dreiecks ABC (s.o., p. 15) durch.

Und jetzt wird gerechnet (ohne und mit Formel):


Erschöpft? Dann vielleicht an einem anderen Tag weiter.

A u f t r ä g e für den 18. März 2020 (Mi)

Heute lernen wir Neues: die Gleichung einer Geraden. In der (ebenen)Analysis würden wir eine Gerade als Graph einer linearen Funktion beschreiben. Aberjetzt sind wir im 3-dimensionalen Raum.

Im 3-dimensionalen Raum „erreichen“ wir jeden Punkt durch einen Pfeil (Repräsentantdes Ortsvektors) von einem besonderen Punkt aus, vom Ursprung O des Koordinaten-systems aus. Den Gedanken machen wir nach. Wir wählen einen besonderen Punkt A(als sog. Stützpunkt) aus. Dann „erreichen“ wir jeden Punkt X auf der Geraden, indemwir einen Pfeil von A bis X nehmen. Alle diese Pfeile sind Repräsentanten vonVielfachen eines sog. Richtungsvektors der Geraden. Am besten lesen Sie jetzt weiterim Info-Kasten auf der nachfolgenden Seite 19 – aber nur den ersten Teil bis Abb.11.


Parameterdarstellung einer Geraden

Info-Kasten:

L.S. kennt diese Darstellung einer Geraden auch (p. 47) – bitte nachlesen. (DieBezeichnungen sind dort unwesentlich anders.) Sie müssen die Bezeichnung aus L.S.verstehen für

Auftrag 1:

Bitte sorgfältig und intensiv die Seite 48 (L.S.) durcharbeiten mit den drei

Die Parameterdarstellung einer Geraden g heißt bekanntlich:

→ → → ( 1 ) OX = OA + t AB , t ∈ ℝ

Dabei ist O der Ursprung eines kartesischen (d.h. rechtwinkligen)Koordinatensystems, A ein Stützpunkt der → → Geraden g und AB ein Richtungsvektor von g. OX ist dann derOrtsvektor eines beliebigen Punktes X auf g (siehe Abb. 11). DieWahl des Stützpunktes und die Länge des Richtungsvektors sindwillkür-lich.

Abb. 11

Bewegt sich nun ein Massenpunkt der Masse m gleichförmigmit der Geschwindigkeit v entlang der Geraden g in der Richtung,die der Richtungsvektor von g hat, so kann der Parameter t als eineZeit gedeutet werden. Ist nämlich A der Punkt (Ort) auf g, den derMassenpunkt zur Zeit t = 0 erreicht, und wählt man den Betrag desRichtungsvektors als v, so ist offenbar t gerade die Zeit, zu welcherdie Masse den Ort X passiert, denn es gilt: → → ( 2 ) | AX | = t | AB | = t v

Wir wählen also den Richtungsvektor der Geraden als Geschwin-digkeitsvektor des Massenpunktes.


unterschiedlichen Beispielen. (Es handelt sich um Basiswissen!)

Auftrag 2:

Zusatz zu (Ü 13) : Die Diagonalen im Viereck ABCD haben einen Schnittpunkt S (keinSchwerpunkt).

13.3 Berechnen Sie S mit dem neuen Wissen.

13.4 Berechnen Sie auch den Winkel ω zwischen den Diagonalen.

Hinweise: 1) Den Winkel ω findet man mithilfe der Richtungsvektoren der Geraden,auf denen die Diagonalen liegen. - 2) Für ω gibt es zwei Möglichkeiten, den „spitzen“Winkel (≤ 90°) oder den „stumpfen“ Winkel (≥ 90°); zusammen ergeben sie 180°.Nehmen Sie verabredungsgemäß den „spitzen“ Winkel.

Auftrag 3:

(Ü 14) Eine vertikal stehende, 3,60 m hohe Fahnenstange (ohne Fahne) hat den Fuß-punkt

F = ( - 3,50 | - 4,00 | 0 ) - Koordinaten in der Einheit „m“

Einfallendes paralleles Sonnenlicht (Ausbreitung in Strahlen) hat die Richtung → - 1,0

s : ( 0,0 ) . - 0,3

Die Stangenspitze wirft einen Schatten.

14.1 Bestimmen Sie den Schatten T‘ der Spitze T auf der x1 -/ x2 – Ebene.

14.2 Ermitteln Sie auch die Länge des Schattens auf der genannten Ebene.

*

Das reicht für heute! Mit neuen Lösungen und Aufträgen dann weiter am nächstenMontag (23. März).

Fröhliches Tun!


Ausarbeitung der Aufträge vom 18. März 2020 (war Mi)

Auftrag 1: ---

Auftrag 2: Zusatz zu (Ü 13)


Auftrag 3: (Schatten einer Fahnenstange)

(Ü 14) Schattenwurf:

14.1 Gleichung der Geraden, auf welcher der Sonnenstrahl durch T (Stützpunkt) läuft:

→ - 3,50 - 1,0 OX = ( - 4,00 ) + r ( 0,0 )

3,60 - 0,3

→ t1 Ansatz: OT‘ = ( t2 ), da T‘ in der x1 -/ x2 – Ebene liegt

0

Man hat also:

→ t1 - 3,50 - 1,0 OT‘ = ( t2 ) = ( - 4,00 ) + r ( 0,0 )

0 3,60 - 0,3

bzw.

( 1 ) t1 = - 3,50 - r ( 2 ) t2 = - 4,00

( 3 ) 0 = 3,60 – 0,3 r => r = 12,00 –--------------------------- Einsetzen von r in Gl. ( 1 ) ergibt t1 = - 15,50

Damit ergibt sich der folgende Schatten(punkt) T‘ :

T ‘ = ( -15,50 m |- 4,00 m | 0 )


14.2 Länge des Schattens: → → → - 15,50 - 3,50 -12,00FT‘ = OT‘ - OF = ( - 4,00 ) - ( - 4,00 ) = ( 0 )

0 0 0

→ | FT‘ | = 12,00 m

A u f t r ä g e für den 23. März 2020 (Mo)

Ihre gegenwärtige Arbeitsbelastung in der Gesamtheit Ihrer Fächer kann ichnicht gut einschätzen. Vielleicht haben Sie heftig zu tun mit der Bewältigung allerAufträge. S II ist sicherlich auch nicht vergleichbar mit jüngeren Klassen. (Fast) allevon Ihnen wollen in Mathe Abitur schreiben. Jeder Mathetag führt Sie diesem Zieleinen Schritt näher. Mir ist wichtig, dass wir uns in einem gleichmäßigen Tempo mitsicheren Schritten diesem Ziel nähern. Stress auf der Zielgeraden möchte ich für Sieunbedingt vermeiden. Vielleicht können wir einfach durch das Abitur hindurch-schreiten.

Herr Dr. Widmann möchte, dass der kommende Montag (23.3.) eine „kleine Atem-pause“ bringen kann. Er spricht von einer „Geste“ und einer „kleinen Ver-schnaufpause“ in einer Zeit, in der wir alle stark gefordert sind, auf die wir uns aufallen Seiten erst einstellen müssen. Außerdem war für Montag unsere Ganztages-konferenz geplant. In diesem Sinn lege ich Ihnen die neuen Aufträge für eineBearbeitung (erst) bis zum 30. April (wieder Montag, einer unserer Mathetage) vor. Siehaben eine ganze Woche Zeit für die Bearbeitung. Viele von Ihnen werden es abervielleicht schätzen, frühzeitig mit der Bearbeitung anfangen zu können.

Ich wünsche Ihnen ruhiges, von Pausen begleitetes Arbeiten in Gesundheit.

Ihr

Mathelehrer

*

Weiterer Umgang mit der Geradengleichung:

Objekte auf Kollisionskurs

Auftrag 1:

Bitte sehr gründlich den 2. Teil des Info - Kastens (p. 19, dieses Handout)studieren (nicht mal überfliegen). Und dann die nachfolgende, interessante Aufgabelösen.

(Ü 15) (Surfer und Motorboot)

Ein Surfer und ein kleines Motorboot bewegen sich auf der glatten Oberflächeeines Sees auf Kollisionskurs. Kommt es tatsächlich zum Crash?


Wir unterstellen für beide Objekte eine gleichförmige Bewegung. Alle Ortsangabenverstehen sich in der Einheit m. Der Surfer befindet sich zur Zeit t1 = 0 am Ort A =(200 ; 80) und zur Zeit t2 = 5 s am Ort B = (165 ; 110), das Motorboot ist zur Zeit t1 =0 am Ort C = (240 ; 180) und zur Zeit t3 = 2 s am Ort D = (214 ; 161).

15.1 Stellen Sie zunächst die Geradengleichungen in vektorieller Form (mit Stütz- und Richtungsvektor) für die Geraden auf, denen der Surfer bzw. das Motorboot folgen.

15.2 Berechnen Sie sodann die Geschwindigkeiten vSu und vMo , mit denen sich der Surfer bzw. das Motorboot bewegen in den Einheiten m s – 1 und in km h – 1 .

15.3 Rechnen Sie nach, dass die beiden Objekte auf gefährlichem Kurs sind, weil die Kursgeraden einen Schnittpunkt S haben. Bestimmen Sie die Koordinaten von S.

15.4 Jetzt wird untersucht, ob Surfer und Motorboot den Ort S zur selben Zeit erreichen. Prüfen Sie, ob es zum Crash kommt.

Auftrag 2:

Unsere Geradengleichung soll ganz bald Gesellschaft bekommen von einerentsprechenden Gleichung für eine Ebene im Raum. Die Idee ist ähnlich wie bei einerGeraden, aber doch anders. Die nachfolgende Aufgabe kann man als eine Vorbe-reitung darauf ansehen. (Aber das kommt später.)

Und nun die Aufgabe (Ü 16) bearbeiten:

C. Der vierte Parallelogramm – Punkt zum Dreieck ABC

Ist Δ ABC ein Dreieck, so gibt es einen Punkt D, der das Dreieck zum Parallelo-gramm ergänzt (siehe Abb. 12).

Abb. 12Bild ohne Worte

(Ü 16) Δ ABC ist ein Dreieck mit den Eckpunkten

A = ( - 2 | 0 | 2 ), B = ( 0 | - 2 | -3 ) und C = ( 3 | - 1 | 0 )

16.1 Berechnen Sie die Koordinaten desjenigen Punktes D, welcher ein 4 - ter Parallelogramm - Punkt zum Dreieck Δ ABC ist.


16.2 Untersuchen Sie, ob die Position von Punkt D eindeutig durch das Dreieck bestimmt ist. Ggf. ermitteln Sie alle weiteren Punkte D.

*

Herzliche Grüße vom Mathelehrer

Anmerkung: Das Dokument wird nun sehr lang. Am Mittwoch kommt ein Folge-dokument unter Lin_Geo_II.pdf (Lin_Geo_I bleibt aber auf der Homepage erhalten).

Deyke 2020-03-22

Ergänzungen - web242.can65.de · Ergänzungen zu Geometrie und lineare Algebra ( Modul II / S II )...

Documents

Transcript of Ergänzungen - web242.can65.de · Ergänzungen zu Geometrie und lineare Algebra ( Modul II / S II )...