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Ergänzungen

zu

Stochastik

( Modul III / S II )

S.S. 2020

Deyke

www.deyke.com Stochastik_S_II.pdf

http://www.deyke.com/

Stochastik ( Mod. III ) Seite 2

Wahrscheinlichkeit

Eine "Wahrscheinlichkeit" ordnet man einem "Ereignis" bei einem "Zufalls-experiment" zu. Ein "Zufallsexperiment" ist ein Experiment, bei dem man den"Ausfall" grundsätzlich - auch wenn man alles über das Experiment weiß - nichtvorhersagen kann. Der "Ausfall" bei der einmaligen Ausführung eines Zufalls-experiments wird "Ergebnis" genannt. Ein "Ereignis" ist die Zusammenfassung("Vereinigung") von Ergebnissen. Ereignisse bezeichnen wir mit großen lateinischenBuchstaben(z.B. A, B, X, Y).

Beispiel:

Zufallsexperiment: Ein Spielwürfel wird geworfen (ausgespielt). Menge aller Ergebnisse: |E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }ein besonderes Ereignis: A : eine ungerade Augenzahl wird gewürfelt,

also A = { 1, 3, 5 }

Mit P( A ) - lies "p von a" - bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit (engl.probability) von Ereignis A. P( A ) ist eine Zahl aus dem Intervall [0 ; 1] = { x | 0 ≤ x ≤1 }. Damit ist die Wahrscheinlichkeit eine Funktion:

P : |E -----> [0 ; 1] , P( A ) ∈ [0 ; 1] .

Ist bekannt, dass jedes Ergebnis des Zufallsexperiments dieselbe Wahr-scheinlichkeit hat, dann nennt man das Experiment ein LAPLACE - Experiment(benannt nach einem franz. Mathematiker).

Beispiel:

Das Werfen mit einem nicht "gezinkten" Würfel ist ein LAPLACE - Experiment.

Bei einem LAPLACE - Experiment lässt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignissessehr einfach bestimmen:

Die Menge aller Ergebnisse sei |E = { a, b, c, ......., w } und für das Ereignis Agelte A = { d, e, ... v }. Wichtig: |E habe nur endlich viele Elemente. Die Anzahl derElemente von |E sei m, die Anzahl der Elemente von A sei g. Dann ist:

g Anzahl der für A "günstigen" Ergebnisse( 1 ) P( A ) = ------ = ------------------------------------------------------------ . m Anzahl der für A "möglichen" Ergebnisse

Besondere Ereignisse:

1. Das "sichere" Ereignis: A = |E . Es tritt auf jeden Fall ein. P(|E) = 1.2. Das "unmögliche" Ereignis: A = {} = ∅ - die sog. "leere Menge". P( ∅ ) = 0

__

3. Das "Gegenereignis von A" : A - es besteht aus allen Ergebnissen, welche nichtzu A gehören. Daher gilt:

__ ( 2 ) P ( A ) + P( A ) = 1 .


(Ü 1) Eine Urne enthält 12 blaue und 6 gelbe Kugeln von gleicher Beschaffenheit. Der Urne werden zufällig 3 Kugeln ohne Zurücklegen entnommen.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

A : alle gezogenen Kugeln sind gelb,

B : eine gezogene Kugel ist gelb, zwei sind blau.

(Ü 2) (Socken auf dunklem Gang):

Auf einem dunklen Gang steht ein Kasten mit 8 Paar Socken. 2 Paare sind rot, 3 Paare sind blau und 3 Paare sind schwarz. Jemand greift auf gut Glück in den Kasten, um ein Paar zu entnehmen.

A sei das Ereignis: die beiden Socken haben die gleiche Farbe. Wie groß ist P(A)?

(Ü 3) Der Chevalier de Méré (1607 – 1685) war dem Glückspiel zugetan. Bei seinen häufigen Spielen mit LAPLACE-Würfeln stellte er fest:

(a) Beim Wurf mit einem LAPLACE – Würfel lohnt es sich darauf zu wetten, dass bisspätestens zum 4. Wurf eine „6“ aufgetreten ist.

(b) Beim Wurf mit zwei LAPLACE – Würfeln lohnt es sich nicht darauf zu wetten, dassbis spätestens zum 24. Wurf eine „66“ aufgetreten ist.

Das kam ihm sonderbar vor, denn er überlegte so:

Im Falle (a) habe ich sechs mögliche Ergebnisse und insgesamt vier Würfe, also mussich im Falle (b) bei 6 * 6 = 36 möglichen Ergebnissen und 4 * 6 = 24 Würfen zu dergleichen Wahrscheinlichkeit kommen.

In seiner Not schrieb er 1654 an Blaise Pascal; dieser konnte ihm das beobachtetePhänomen erklären. Könnten Sie es heute auch?

(Ü 4) (Würfelspiel):

Bei einem Spiel mit zwei Würfeln erhält man bei einem Einsatz von 0,40 € als Gewinn 1,00 € für die Augensumme 10, 2,00 € für die Augensumme 11 und 3,00 € für die Augensumme 12; in den übrigen Fällen erhält man keinen Ge-winn.

Berechnen Sie den „Erwartungswert“ des Reingewinns R?

Hinweise zu dieser Aufgabe auf p. 6 beachten.


Einige Lösungen

Mehrstufige (- teilige) Zufallsexperimente lassen sich bequem mit sog.Baumdiagrammen beschreiben. Das Baumdiagramm für Aufgabe (Ü 1) sieht z.B.folgendermaßen aus:

Abb. 1

(Es wurden nur die für die Aufgabe benötigten Äste gezeichnet.)

[Der "Baum" hat eine "Wurzel", "Knoten" und "Äste". Er wächst nach unten.] An jedem Astwird die Wahrscheinlichkeit des Teilergebnisses notiert. Wir überlegten uns die folgende"Astregel" (sie wird auch "Pfadregel" genannt):

Damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A als

6 5 4 P( A ) = --- x --- x --- = 0,0245 .

18 17 16

Für Ereignis B gibt es 3 Pfade. Es fällt auf, dass die Wahrscheinlichkeit jedes Pfadesdieselbe ist, nämlich:

6 x 12 x 11 ------------------ = 0,1618.

18 x 17 x 16

Problem: Wie findet man nun die Wahrscheinlichkeit P( B )?

Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis bei einem zusammengesetzten Versucherhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfadesim Baumdiagramm miteinander multipliziert.


ODER - Ereignisse

Aus zwei Ereignissen A und B kann man ein neues Ereignis bilden, das Ereignis "A oder B", man schreibt auch "A ∪ B ". "A oder B" tritt genau dann ein, wenn A eintrittoder B eintritt. (Das Oder in diesem Satz ist das "nicht ausschließende" Oder, alsonicht das "Entweder ... Oder".) Zwei Situationen sind denkbar:

Abb. 2 Abb. 3

In beiden Fällen ist |E dieselbe Ergebnismenge; sie hat m Elemente ( | |E | =m). In Abb. 2 tritt sowohl A als auch B ein, wenn das Ergebnis e vorliegt. A und Bkönnen also gemeinsam eintreten. - In Abb. 3 gibt es kein Ergebnis, bei dem sowohl Aals auch B eintreten kann; A und B treten niemals gemeinsam ein, sie sind"unvereinbar".

Für die Wahrscheinlichkeit von A ∪ B gilt, wenn A und B unvereinbar sind:

( * )

( * ) ist die sog. Summenregel für unvereinbare Ereignisse. (gA ist die Anzahl der für A"günstigen" Ergebnisse, gB ist die Anzahl der für B "günstigen" Ergebnisse, also |A| =gA und |B| = gB.)

Anmerkung: Sind A und B nicht unvereinbar, so gilt anstelle von ( * ) P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) - P(A ∩ B) , weil einige Ergebnisse doppelt gezählt wurden.)

Die Wahrscheinlichkeit in Aufg. (Ü 1) für B ist also nach der Summenregel:

P( B ) = 3 x 0,1618 = 0,4854 ,

weil die drei Pfade im Baumdiagramm unvereinbare Ereignisse beschreiben.

*

gA + gB gA gB

P( A ∪ B ) = ---------- = ----- + ----- = P( A ) + P( B ) . m m m


Hinweise zu Aufgabe (Ü 4 ):

1 ) Der „Reingewinn“ ist der Gewinn nach Abzug des Spiel-Einsatzes.

2 ) Die „Größe“ R (später werden wir „Zufallsvariable“ anstatt „Größe“ sagen) kannnur ganz wenige Werte (in €) annehmen. Der Erwartungswert von R (geschrie-ben E( R ) ) ist derjenige „Reingewinn“, den man im „Mittel pro Spiel“ erwarten kann, wenn man das Spiel sehr oft (das Gesetz der großen Zahl) spielt. (Dann ist nämlich eine „Wahrscheinlichkeit“ die „relative Häufigkeit“.)

Überlegen Sie doch einfach, wie groß der Gesamt-Reingewinn (eine Summe) wird, wenn man das Spiel N = 104 -mal spielt. E( R ) ist dann diese Summe nach Division durch N (in €).

Auftrag zum 27. April (Mo)

Studieren Sie bitte das obige Dokument zur Erinnerung an ganz bestimmt altesWissen aus der Mittelstufe. An einer Stelle bin ich mir nicht sicher: Sind Sie mit„Erwartungswerten“ vertraut? Daher unbedingt Aufgabe (Ü 4 ) bearbeiten. (Dieanderen Aufgaben vielleicht nur intensiv lesen und „planen“.) „Erwartungswerte“werden die erste Station im neuen Thema.

Lösung (Ü 4)

abstrakt: es werden 36 verschiedene Zahlenpaare gewürfelt. Für Augensumme:

10 : ( 5 | 5 ), ( 4 | 6 ), ( 6 | 4 )11: ( 5 | 6 ), ( 6 | 5 )12 : ( 6 | 6 )

Wertemenge für R: R = { 0,60 € ; 1,60 € ; 2,60 € ; - 0,40 € }

r ∈ R ; Wahrscheinlichkeit, dass „R = r“ ist: P( R = r )

r / € P( R = r ) Reingewinn bei 103 Spielen / €

0,60 3 / 36 = 0,0833 833 x 0,60

1,60 2 /36 = 0,0556 + 556 x 1,60

2,60 1 / 36= 0,0278 + 278 x 2,60

- 0,40 30 / 36= 0,8333 + 8333 x (- 0,04) Summe: - 1221,00 €

Reingewinn pro Spiel: - 1221,00 / 104 ≈ - 0,12 € = E( R ) < 0 (kein faires Spiel)

2020-04-20


Zufallsvariable und ihr Erwartungswert

Eine Zufallsvariable ist eine Variable, die ihre Werte zufällig annimmt. Beispiele:Der Reingewinn R in (Ü 4); das Vermögen V in (Ü 5). Besonders interessieren wir unsfür solche Zufallsvariablen, die nur wenige verschiedene Werte annehmen, wie es inden genannten Beispielen der Fall ist.

Ist X eine Zufallsvariable und sind x1, x2, ... , xn ihre Werte, die sie annehmen kann, sowollen wir mit " P ( X = xi ) " die Wahrscheinlichkeit beschreiben, dass X den Wert x i

annimmt; dabei ist i eine der Zahlen 1, 2, ... n. Zur Abkürzung schreiben wir auch p i

anstelle von P ( X = xi ). An Beispiel (Ü 4) überlegten wir:

Der Erwartungswert von X - wir schreiben E( X ) - ist die nachfolgende Summe:

( * ) E ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + .... + xn pn .

Kluge Anmerkung: Notiert man die xi als „Einträge“ in einem n-dimensionalen Vektor→ →X und die pi als „Einträge“ in einem weiteren Vektor p, so ist E( X ) gerade dasSkalarprodukt: → →

( ** ) X ∘ p = E( X )

(Ü 5 ) (Was darf ich erwarten?):

Bei einem Glücksspiel setzt ein Spieler 10 €. Dann wirft er einen LAPLACE-Würfel. Liegt eine gerade Zahl (g) oben, so halbiert sich sein "Vermögen", liegt eine unge-rade Zahl (u) oben, so verdoppelt es sich. Welches "Vermögen" kann der Spieler erwarten, wenn er den LAPLACE-Würfel insgesamt 3-mal ausspielt, und nach jedem Wurf das noch vorhandene "Vermögen" halbiert bzw. verdoppelt wird? (Berechnen Sie also E( V ). )

Studieren Sie auch:

Beispiel 2, L.S. p. 39 (L.S. ist ab jetzt die Abkürzung für Lambacher ∙ Schweizer, Stochastik)

(Ü 6 ) (aus dem schriftl. Abitur; ohne Hilfsmittel)


Zum 4. Mai

Ich fürchte, dass ich zeitweise ein Dokument „Stochastik_S_II“ hochgeladenhatte mit einer fehlerhaften Lösung von (Ü 4). Das aktuelle Dokument auf meinerHomepage ist fehlerfrei. Und hier steht jetzt auf Seite 6 auch die korrekte Lösung.Entschuldigung!

In den vergangenen 24 h hatte ich kein Internet und kein Telefon. Das war eineStörung von O2. Endlich funktioniert alles wieder (in diesen schwierigen Zeiten).

Lösung (Ü 5)

Entwicklung des Vermögens bei 3-mal Würfeln:

10,00 € x (½ )3 = 1,25 € 3-mal Halbierung

10,00 € x (½ )2 2 = 5,00 € 2-mal Halbierung

10,00 € x (½ ) 22 = 20,00 € 1-mal Halbierung

10,00 € x 23 = 80,00 € 0-mal Halbierung

Wertemenge der Zufallsvariablen V : { 1,25 € ; 5,00 € ; 20,00 € ; 80,00 € }

v / € P( V = v )

1,25 (½ )3 =0,125

5,00 3 x (½ )3= 0,375

20,00 3 x (½ )3= 0,375

80,00 (½ )3 =0,125


Die Wahrscheinlichkeiten überlegt man sich am besten an Hand eines 3 -stufigen Baumdiagrammes. „Gerade“ und „ungerade“ Augenzahl haben pro Wurf die Wahrscheinlichkeit 1 / 2. Für 3-mal „gerade“ oder 3-mal „ungerade“ gibt es nur jeweils einen Ast, also Wahrscheinlichkeit (½ )3. Bei den anderen Möglichkeiten gibt es jeweils mehrere Äste, aber das Produkt der Wahrschein-lichkeiten „entlang“ des Astes ist jeweils dasselbe.

Mit dem Skalarprodukt ergibt sich nun der Erwartungswert E( V ) (wer das so rechnen will) zu:

Lösung (Ü 6)

6. a ) Lösung mit Baumdiagramm: (2-stufiges Experiment)

Abb. 4

s : schwarze Kugel; w : weiße Kugel

ODER-Ereignis E mit zwei „günstigen“ Ästen:

1 1 1 1 1 1 3P( E ) = ---- x ----- + ---- x ---- = ---- + ---- = ----

2 2 2 4 4 8 8


6. b ) Lösung mit Baumdiagramm: (2-stufiges Experiment)

Abb. 5

nur die „günstigen“ Äste wurden gezeichnet

E : eine schwarze Kugel wird gezogen

1 1 1 1 1 1 1 1 5 5P( E ) = ---- x ---- + ---- x ---- + 0 = ---- ( ---- + ---- ) = ---- x ---- = ---- 3 2 3 3 3 2 3 3 6 18

x sei der „Auszahlungsbetrag“. Dann hat der „Reingewinn“ R die beiden Werte x – 1 und – 1 (vgl. (Ü 4) ). Für den Erwartungswert gilt:

5 13( 1 ) E( R ) = ( x – 1 ) ---- + ( - 1 )-----

18 18

Die gestellte Bedingung heißt: „Das Spiel ist fair“, also E( R ) = 0.

Wir haben also nach ( 1 ):

5 5 13( 2 ) x ----- = ---- + ---- = 1

18 18 18

18 36=> x = ---- = ---- = 3,60

5 10

Der Auszahlungsbetrag muss also 3,60 € betragen. (alles ohne Hilfsmittel!)

Neue Aufträge

Mit dem nachfolgenden Inhalt sind Sie vermutlich aus Klasse 10 vertraut. Aberzur Wiederholung ist er sehr wichtig.

Auftrag 1: (intensiv studieren)


Anzahl der k - Teilmengen einer Grundmenge M

mit n Elementen ( |M| = n )

Eine k - Teilmenge der Grundmenge M ist eine Teilmenge von M mit genau kElementen (Objekten). Beispiel: Ist M = { a, b, c, d }, dann ist { b, d } eine 2 - Teil-menge von M. Wir zählen die Anzahl der k - Teilmengen aus. Dazu entnehmen wir diek Elemente aus M nacheinander und legen sie der Reihe nach (also angeordnet) aus.Für das 1. Element haben wir n Möglichkeiten, für das 2. (n - 1) Möglichkeiten, für das3. (n - 2) Möglichkeiten, ...... , für das k. (n - k + 1) Möglichkeiten.

Insgesamt haben wir

( 1 ) n (n - 1) (n - 2) .... (n - k + 1)

Möglichkeiten gefunden, die k Elemente aus M zu entnehmen. ( 1 ) können wir andersschreiben: (n - k) (n - k - 1) .... 1 n !

( 2 ) n (n - 1) (n - 2) .... (n - k + 1) -------------------------------- = ---------- . (n - k) (n - k - 1) .... 1 (n - k)!

(Das war schon einmal ein Supertrick.) Aber wir sind noch nicht fertig. Wir haben dieentnommenen Teilmengen von M "angeordnet" ausgelegt. Bei einer Menge kommt esjedoch nicht auf die Reihenfolge ihrer Objekte (Elemente) an. (Beispiel: { b, d } = { d,b } ) Daher haben wir jede k - Teilmenge mehrfach gezählt, nämlich k! - mal, weil mank Dinge bekanntlich auf k! Weisen anordnen kann. Damit ergibt sich als Anzahl der(verschiedenen) k - Teilmengen nach ( 2 ):

n !( 3 ) ---------------

k! (n - k)!

nFür den Term ( 3 ) schreibt man: ( k ) und liest "n über k" oder "k tief n" oder "kaus n". 10 10! 10 10!Berechnungsbeispiele: ( 7 ) = ------- = 120 , ( 5 ) = --------- = 252 , 7! 3! 5! 5! 21 21 !( 3 ) = ---------- = 1330 . 3! 18!

Wichtige Bemerkung: Der Term ( 3 ) kann auf dem TR mit der Taste " n C r " berechnetwerden. Probieren Sie es einfach aus!

Jetzt können wir manche Aufgabe aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung ohne Baum-diagramm lösen.

*


Eine Anwendung:

(Ü 7) Sieben Freunde machen einen Ausflug nach Helgoland. Auf der Rückfahrt wollenzwei der Freunde Zigaretten durch den Zoll schmuggeln.

Bei der Zollkontrolle haben alle sieben „nichts zu verzollen“. Der Zollbeamte wählt daraufhin drei der Freunde auf gut Glück aus – alle sehen gleich ehrlich aus - , um sie näher zu untersuchen, ob sie geschmuggeltes Gut mitführen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zöllner mindestens einen der Schmuggler dabei erwischt?

Lösung:

A : mindestens ein Schmuggler wird erwischt _

Gegenereignis: A : kein Schmuggler wird erwischt

5 _ ( 3 )

P( A ) = 1 - P ( A ) = 1 - ------- ≈ 0,7143 . 7 ( 3 )

„günstig“ : der Zöllner wählt eine 3 – Teilmenge aus der Menge der 5 Nicht-Schmuggler;

„möglich“ : der Zöllner wählt eine 3 – Teilmenge aus der Menge der 7 Freunde.

5 g ( 3 )

---- ist dann ----------- (s.o.) m 7 ( 3 )

nDie Zahlen ( k ) heißen „Binomialkoeffizienten“. Ihr Name rührt her von ihrer Be-deutung bei der Berechnung von Potenzen von Binomen: (a + b)n , n ∊ ℕ. Es giltnämlich die sog. Binomische Formel:

n n( * ) (a + b)n = ∑ ( i ) an – i b i

i=0

Auftrag 2: (bearbeiten Sie die nachfolgenden Aufgaben)

(Ü 8) Berechnen Sie ohne ( ! ) - den gekürzten Term einmal hinschreiben - und mit Ihrem TR:

8 12 7 9 14 27( 4 ) ; ( 5 ) ; ( 3 ) ; ( 7 ) ; ( 11 ) ; ( 9 )


(Ü 9) (Ziehen aus einer Urne; ein „Klassiker“, weil sich viele Zufalls-Experimente als ein Ziehen aus einer Urne beschreiben lassen, z.B. (Ü 7): Der Zöllner zieht aus einer Menge von 7 Kugeln, die zwei unterschiedliche Farben haben …..):

In einer Urne befinden sich 5 gelbe und 4 blaue Kugeln. Der Urne werden zufällig 2 Kugeln nacheinander

a) mit Zurücklegen und b) ohne Zurücklegen

entnommen.

Bestimmen Sie in beiden Fällen die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

A : alle Kugeln sind gelb;

B : alle Kugeln sind blau;

C : eine Kugel ist gelb, die andere blau.

(Ü 10)Eine Urne enthält 11 gleichartige Kugeln, davon sind 4 Kugeln gelb und 7 Kugeln blau.

10.1 Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, der Urne gleichzeitig 5 Kugeln zu entnehmen.

10.2 Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, der Urne gleichzeitig 2 gelbe und3 blaue Kugeln zu entnehmen.

10.3 Der Urne werden 5 Kugeln ohne Zurücklegen entnommen. A sei folgendes Ereignis:

A : In der Probe befinden sich 2 gelbe und 3 blaue Kugeln.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P( A ).

(Ü 11)In der nachfolgenden Aufgabe sind alle beteiligten Kugeln (vielleicht liegen sie in einer Urne oder auch nicht) nur hinsichtlich ihrer Farbe unterscheidbar. Sie sollen stets in einer Reihe ausgelegt werden, also in einer bestimmten „An-ordnung“.

Bestimmen Sie jeweils die Anzahl der verschiedenen Anordnungen.

11.1 a) 1 weiße und 2 rote Kugeln;

b) 2 weiße und 2 rote Kugeln;

c) 3 weiße und 2 rote Kugeln

11.2 a) 3 weiße, 2 rote und 4 blaue Kugeln;

Hinweis: Man denke sich die verschiedenen „Anordnungen“ etwa als 9 linear


angeordnete Plätze, welche mit den Kugeln „besetzt“ werden. 3 Plätze werden mit weißen Kugeln „besetzt“. Die Anzahl der Möglichkeiten ist die Anzahl der 3 –Teilmengen einer Grundmenge mit 9 „Elementen“. Die Restmenge der nicht besetzten Plätze hat noch 6 Plätze. 2 ihrer Plätze sollen mit roten Kugeln „be-setzt“ werden. Es gibt eine gewisse Anzahl von Möglichkeiten ….. Möglichkeitenwerden miteinander multipliziert, um die Gesamtanzahl von Möglichkeiten zu erhalten.

b) 5 rote, 3 blaue und 2 weiße Kugeln

(Ü 12) (Badeanstalt):

In einer Badeanstalt sollen sich 4 Mädchen und 2 Jungen zum Sprung vom 3m –Brett in einer Reihe aufstellen. Der Bademeister bestimmt, dass die beiden Jungen vorden Mädchen springen sollen.

Ermitteln Sie die Anzahl der Aufstellungen der 6 Kinder.

Zum 6. Mai

Lösung (Ü 8)

Stochastik ( Mod. III ) Seite 14Lösung (Ü 9)

(Ü 9) (Ziehen aus einer Urne)

a) (mit Zurücklegen):

Abb. 6

5 P( A ) = ( ---- )2 = 0,3086 9

4 P( B ) = ( ---- )2 = 0,1975 9

4 5P( C ) = 2 x ---- x ---- = 0,4938 9 9

Anmerkung: Wahrscheinlichkeiten geben wir als Dezimalzahlen mit 4 gültigen Nachkommastellen an, wenn nichts anderes gesagt wird.

b) (ohne Zurücklegen):

Bei dem 2- stufigen Experiment ändert sich jetzt die Wahrscheinlichkeit einer Farbe von Stufe zu Stufe. Anstatt 2 Kugeln nacheinander zu entnehmen ohne Zurücklegen, kann man die Kugeln auch gleichzeitig entnehmen. Dann ent-nimmt man der Urne mit 9 Kugeln 2 – Teilmengen.


Neue Aufträge Auftrag 1: (intensiv studieren)

Besondere Zufallsexperimente

BERNOULLI - Ketten __

Ein Zufallsexperiment, bei dem man sich nur für zwei Ereignisse A und A inter-essiert, heißt ein Bernoulli-Experiment, benannt nach Jakob Bernoulli ( 1654 – 1703, _schweizer Mathematiker). A wird als "Treffer", das Gegenereignis A als "Niete" be-zeichnet.

Verabredungen:

Ein Zufallsexperiment, das aus n unabhängigen, gleichen Bernoulli-Experimenten zusammengesetzt ist, heißt eine Bernoulli-Kette der Länge n (n einenatürliche Zahl).

Der Satz:

Wir führen eine Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p durch.

bedeutet:

Wir machen n unabhängige Versuche zu einem Bernoulli-Experiment mit der Treffer-Wahrscheinlichkeit p.

Einige Fragen dazu:

1) Liegt in Aufg. (Ü 9 / Ziehen aus einer Urne) eine Bernoulli-Kette vor?

Antwort: a) ja; ist der Treffer „das Ziehen einer bestimmten Farbe“, dann Ist die Trefferwahrscheinlichkeit p jedes Mal dieselbe, weil die Kugel zurückgelegt wird.- b) nein; ist der Treffer „das Ziehen einer bestimmten Farbe“, dann Ist die Trefferwahrscheinlichkeit p jedes Mal eine andere, weil die Kugel nicht zurück- gelegt wird.

2) Liegt in Aufg. (Ü 7 / Sieben Freunde) eine Bernoulli-Kette vor?

Antwort: nein; ist der Treffer „das „Ziehen eines Schmugglers“, dann Ist die Trefferwahrscheinlichkeit p jedes Mal eine andere, weil der „Schmuggler“ nicht „zurückgelegt“ wird (wie Ziehen ohne Zurücklegen).

3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit B(n ; p ; k ), dass sich bei der Durchführung einer Bernoulli-Kette der Länge n und der Trefferwahrscheinlichkeit p (konstant) genau k Treffer ergeben?

Ansatz zur Lösung: In einem zugehörigen Baumdiagramm werden Ergebnisse derBernoulli-Kette durch Pfade mit k Treffern und n-k Nieten beschrieben. Die Wahr-


scheinlichkeit eines derartigen Pfades (Baumastes) ist

( * ) pk (1 - p)n - k

Wie groß ist B(n ; p ; k )?

Die Antwort heißt: n ( ** ) B(n ; p ; k ) = ( k ) pk (1 - p)n - k

Denn einer der oben genannten Pfade beginnt mit k Treffern (das sind bereits alle); esfolgen noch n – k Nieten mit der Wahrscheinlichkeit 1 – p (Gegenereignis zum Treffer).Andere Äste haben ebenfalls k Treffer und n – k Nieten; sie sind jedoch anders n„angeordnet“ (vgl. Aufgabe (Ü 11). Man hat ( k ) Möglichkeiten, die Treffer anzu-ordnen, die Nieten werden auf den Restplätzen angeordnet. Damit ist die wichtigeGleichung ( ** ) begründet.

Auftrag 2: (lösen Sie die nachfolgenden Aufgaben)

Hinweise zu Rechenhilfen: Unser TR ist eine große Hilfe. (Später kommen noch Ta-bellen dazu.) Wir wissen schon: Binomialkoeffizienten lassen sich mit der Taste „n C r“berechnen. (Das ist vermutlich aus Klasse 10 bekannt.) - Nach meinem Wissenbesitzen Sie ausnahmslos den Rechner CASIO fx – 991DEX. Mit ihm kann man auch dieBernoulli-Symbole B(n; p; k) berechnen. Das geht so:

Menü aufrufen : Taste [MENU] --→ „Verteilungsfkt.“ aufrufen : [ 7 ] --→ „Binomial-Dichte“ aufrufen : [ 4 ] --→ „Variable“ aufrufen : [ 2 ] . Jetzt auf dem Bildschirm k, nund p eingeben (Steuertasten, Wert eingeben, mit [ = ] bestätigen. Dann nochmals[ = ] .

Beispiel: B( 10 ; 0,2 ; 3 ) = 0,2013 (unsere Verabredung war „vier Nachkommastel-len“, wenn nichts anderes gesagt)

Unser TR kann auch Summen von Bernoulli-Symbolen berechnen. (Kommt später oderselber mit dem Handbuch erforschen, wenn Sie überhaupt eines haben. Können ja maleine Rückmeldung geben, falls ich helfen kann.)

(Ü 13)Es liege eine Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p vor. Die Zufallsvariable T zähle die Anzahl der Treffer der Kette.

Berechnen Sie den Erwartungswert E( T ) für:

13.1 n = 5 und p = 0,3

13.2. n = 10 und p = 0,2

(Ü 14) (Warenkontrolle):

Beobachtung zeigt, dass 1 % der Gegenstände einer Massenproduktion un-brauchbar ist. Der Produktion werden zufällig 100 Gegenstände entnommen.


Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

A : genau 2 Gegenstände sind defekt;

B : höchstens 2 Gegenstände sind defekt.

Hinweise: 1 ) Treffer sei die Entnahme eines defekten Gegenstands. (Diese Ver-abredung ist willkürlich; man könnte dieses „Ereignis“ auch als Niete wählen.) -2 ) Die Wahrscheinlichkeit p der „Entnahme“ eines defekten Gegenstands bei Massenproduktion ändert sich von Entnahme zu Entnahme (eventuell nach-einander oder auch gleichzeitig) - so gut wie - nicht, weil die Gesamtheit der Gegenstände „so groß“ ist. Die Situation ist dieselbe wie beim „Ziehen aus einerUrne mit Zurücklegen“.

Zum 11. Mai

Lösung (Ü 13 - 14)


Neue Aufträge Auftrag 1: (bitte lösen):

(Ü 15) (Münzen aus einem Geldbeutel ziehen ):

In einem ledernen Geldbeutel – man kann also nicht in ihn hineinblicken -befinden sich 12 1 € - Stücke und 7 2 € - Stücke. Jemand greift auf gut Glück in denGeldbeutel und entnimmt ihm 5 Münzen (natürlich ohne Zurücklegen).

15.1 A sei das folgende Ereignis:

A : Der entnommene Geldbetrag ist 8,00 €

Berechnen Sie P( A ).


15.2 Ein anderes Ereignis sei:

B : Der entnommene Geldbetrag ist 11,00 €

Berechnen Sie P( B ).

Auftrag 2: (bitte intensiv studieren):

Der Erwartungswert einer binomial verteilten Zufallsvariablen X

Definition: Eine Zufallsvariable X bezeichnet man als „binomial verteilt“, wenn man sieals die Trefferanzahl einer entsprechenden Bernoulli-Kette interpretieren könnte.Ihre Werte sind nämlich Bernoulli-Symbole B(n; p; k), in welchen der Binomial-

k koeffizient ( n ) vorkommt. Trägt man in einem Diagramm über jedem k den Wert B(n; p; k) auf, dann „verteilen“ sich diese in bestimmter Weise über den verschiedenen Werten von k. (Das werden wir nun sehr bald erleben!)

Die Auffälligkeiten in Aufg (Ü 13) beruhen auf einem tiefgründigen Sachverhalt.

Der Erwartungswert einer binomial verteilten Zufallsvariablen X

Es gilt folgender

Satz:

Beweis: Der Beweis gelingt besonders elegant mithilfe der Differenzialrechnung. Dazuuntersuchen wir die nachfolgende Funktion:

f : t ---> f( t ) = (p t + q)n

mit q = 1 – p. (q ist also die Wahrscheinlichkeit der Niete.) Es ergibt sich die Ableitung:

( 1 ) f '( t ) = n (p t + q)n – 1 p

Nun ist

( 2 ) f '( 1 ) = n (p + q)n – 1 p = n p

Nach der binomischen Formel ( * ) gilt auch: n n n n

f( t ) = (p t + q)n = ∑ ( i ) p n – i t n – i qi = ∑ ( i ) p n – i qi t n – i

i=0 i=0

Als Ableitung findet man nach der Summenregel:

Ist X eine binomial verteilte Zufallsvariable, so ist ihr Erwartungswert

E( X ) = n p,

wobei n die Länge der zugehörigen Bernoulli – Kette und p dieWahrscheinlichkeit des Treffers ist.


n nf '( t ) = ∑ ( i ) (n – i) p n – i qi t n – i – 1

i=0

und weiter n n

( 3 ) f '( 1 ) = ∑ ( i ) (n – i) p n – i q i = E( X ) , i=0

da X binomialverteilt ist. Aus ( 2 ) und ( 3 ) ergibt sich nun:

E( X ) = n p ,

was zu zeigen war.

Auftrag 3: (bitte lösen):

(Ü 16) (aus L.S., p. 58, Nr. 4, 5, 6 und 7)

2020-05-04

Zum 13. Mai

Lösung (Ü 15 - 16)

(Ü 15) (Münzen aus einem Geldbeutel ziehen ):

15.1 Es liegt keine Bernoulli-Kette vor, da die Münzen nicht „zurückgelegt“ werden.8 € können auf genau eine Weise dem Strumpf entnommen werden:

2 x 1 € + 3 x 2 € = 8 €

(dies ist eine sog. Linearkombination aus 1 € und 2 €) 12 7 ( 2 ) ( 3 )

Damit ergibt sich P( A ) = --------------- = 0,1987 = 19,87 % 19 ( 5 )

15.2 B ist das „unmögliche“ Ereignis; denn man kann höchstens 5 x 2 € =10 €< 11 €

„ziehen“.

Also: P( B ) = 0


(Ü 16) (aus L.S., p. 58, Nr. 4, 5, 6 und 7)


Neue Aufträge

Weitere Berechnungshilfe: „ganz unten“ , p. 26

Auftrag 1: (bitte zur Kenntnis nehmen und anwenden):

Wir haben schon einige Erfahrungen mit Zufallsvariablen X und ihrem Er-wartungswert E( X ), z.B. Gewinnspiele mit Auszahlungsbeträgen oder mit der „Treffer-anzahl“. X hatte dabei eine sehr kleine „Wertemenge W“, aber das wird sich nochändern bei uns.

Wenn X den Wert x annimmt, so ist dies ein „Ereignis X = x“ mit der Wahrschein-lichkeit P( X = x ). Ist X speziell die „Trefferanzahl T“ in einer Bernoullikette mit den„Parametern n (Kettenlänge) und p (Trefferwahrscheinlichkeit“, so führen wir folgendeSchreibweisen ein:

Ereignis: „mindestens k Treffer“ - zugehörige Wahrscheinlichkeit „P( X ≥ k )“

Ereignis: „höchstens k Treffer“ - zugehörige Wahrscheinlichkeit „P( X ≤ k )“

Die Symbole „P( X > k )“ und „P( X < k )“ sind selbsterklärend.

(Ü 17) (aus L.S., p. 58, Zeit zu überprüfen, Nr. 8 und 9)

Anmerkung: Wer sich schon ein wenig auskennt mit dem Stil unseres LehrwerksL.S., weiß, dass gewisse Aufgaben „hinten“ eine Lösung haben zur eigenen Kontrolle.


Das ist auch bei (Ü 17) so. Der geistige Nährwert der Aufgabe ist aber nur dannvorhanden, wenn man zunächst das Problem selber löst; dann kann man anschließend„hinten“ nachsehen und sich freuen, genau diese Lösung selber gefunden zu haben(hoffentlich!).

(Ü 15 Z) (Zusatz zu (Ü 15)):

15.3 Wir entnehmen immer noch 5 Münzen aus dem Geldbeutel. Den entnommenen Geldbetrag nennen wir G (eine Zufallsvariable, aber keine Trefferanzahl).

Berechnen Sie den Erwartungswert E( G ). Die Ergebnisse der Berechnung hält man der Übersichtlichkeit wegen in einer Tabelle fest (siehe z.B. Lösung (Ü 4) und (Ü 5)).

*

Die einzelnen „Werte g“ von G und die zugehörigen „Wahrscheinlichkeiten P( G = g )“kann man in einem sog. „Verteilungsdiagramm“ grafisch auftragen. Dann wird sehraugenfällig, wie sich die zu G gehörigen Wahrscheinlichkeiten „verteilen“.

Beispiele mit anderen Zufallsvariablen : 1 ) L.S., p. 39 – bitte nachschlagen -

2)

Abb. 7 (Säulendiagramme)

3)

Abb. 8


15.4 Zeichnen Sie das Verteilungsdiagramm von G in nachfolgende Vorgabe hinein (im Stil von Beispiel 3) ).

↑ P( G = g )

→ g

Auftrag 2: (bitte sehr genau studieren):

Standardabweichung und Varianz einer

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen können denselben Erwartungswerthaben, sich aber sehr unterschiedlich um ihn gruppieren, wie nachfolgendes Beispielzeigt: X und Y seien Zufallsvariable mit den folgenden Verteilungen:

X P(X=x) x * P(X=x) Y P(Y=y) y * P(Y=y)

3 0,1 0,3 1 0,3 0,3

4 0,2 0,8 3 0,2 0,6

5 0,2 1,0 7 0,2 1,4

6 0,1 0,6 10 0,2 2,0

7 0,4 2,8 12 0,1 1,2

E( X ) = 5,5 E( Y ) = 5,5

Tab. 1


3)

(nochmals) Abb. 8

Zur genaueren Charakterisierung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung sucht mandaher eine weitere Maßzahl (außer E( X )). Folgende Eigenschaften werden gewünscht:

( a ) die Maßzahl ist nicht negativ;( b ) sie ist genau dann gleich Null, wenn die Variable X konstant ist;( c ) sie ist umso größer, je weiter die Werte vom Erwartungswert entfernt und je

wahrscheinlicher sie sind.

Es gibt viele Maße, die diese Bedingungen erfüllen. Mathematisch bevorzugt wird dasfolgende:

_______________________ / n _____________( * ) √ ∑ ( (xi – μ )2 P( X = xi ) = √ E( (X – μ)2 ) = σ , i=0

wenn man E( X ) = μ wählt. ( μ ist eine besondere Art von „Mittelwert“.) σ wird dieStandardabweichung von X genannt. ( σ : das kleine Sigma)

Man nimmt also als Maß die quadratischen Abweichungen der einzelnen Werte vomErwartungswert μ und gewichtet sie mit der Wahrscheinlichkeit des Wertes. Über allediese Produkte wird addiert und schließlich noch die Wurzel gezogen. - σ kann manansehen als die Wurzel aus dem Erwartungswert einer neuen Zufallsvariablen:(X – μ)2.

Verabredung: σ2 wird als die Varianz der Variable X bezeichnet; wir schreiben:

( ** ) σ2 = Var( X )

Auftrag 3:

immer noch (Ü 15 Z) (Zusatz zu (Ü 15)): 15.1

15.5 Berechnen Sie die Standardabweichung σ und die Varianz σ2 von G.


Weitere Berechnungshilfe:

Unsere TR können die Bernoulli-Symbole B(n,p,k) berechnen. Darüber habenwir auf p. 17 „gesprochen“.

Inzwischen habe ich erfahren, dass wir nicht alle denselben TR (CASIO fx – 991DEX)haben; diese Rückmeldung hatte ich noch nie bekommen! Im Folgenden ein Vorgehenfür den genannten Rechner-Typ:

Man kann sich gleichzeitig die Werte von B(n,p,k) für 4 verschiedene Werte von kanzeigen lassen. Dazu muss man den sog. Listenbildschirm verwenden:

Taste [ OPTN ] [ 1 ] --→ „Binomial-Dichte“ aufrufen : [ 4 ] --→ „Listenbildschirm“aufrufen: [ 1 ] --→ jetzt Eingabe von 4 verschiedenen Werten für k (beliebig, aber nichtgrößer als n)

nochmals [ = ] : jetzt erfolgt die Eingabe von n und p

nochmals [ = ] :

Der Bildschirm zeigt jetzt eine Liste an:

In der Spalte „für k“ 4 Werte und in der Spalte „für P“ neben jedem k die Wahrschein-lichkeit B(n,p,k)

Beispiel: n = 8 ; p = 0,3

k P

2 0,2964

3 0,2542

4 0,1361

5 0,0466

Wer die Summe der P – Werte addieren will, kann sie notieren und dann die Summebilden (oder den TR fragen).

Man kann die Werte für einzelne k-Werte neu eingeben: Tastenfolge: [ = ] --→ [ = ] : mit den „Steuertasten“ auf denjenigen k-Wert gehen, dergeändert werden soll, neue Eingabe … mehrmals [ = ] ; alte Eingaben bleiben erhaltenoder man ändert sie ….

Wenn Sie einen anderen TR haben, ist die Vorgehensweise vermutlich ähnlich. Siemüssen im Handbuch nachschauen. Tauschen Sie sich untereinander aus. Das kannhelfen.

*2020-05-09

Hamburg, den 10. Mai 2020

Liebe Mathematikerinnen und liebe Mathematiker,

nach den Maiferien werden wir uns ja irgendwann im GOA wiedersehen. DieEinzelheiten sind noch nicht beschlossen. Sie bekommen vielleicht auch eineneinzigen „vollen“ Schultag. Vorfahrt haben die Fächer Deutsch, Mathematik und Fremd-sprache. (Den Physikern unter uns: vor den Sommerferien werden wir uns nochirgendwann sehen, aber vermutlich nicht im Physikunterricht.)

In Mathematik kommt es bei uns sicherlich zu einer Kurshalbierung. Dass unsereMontagsstunden bzw. unsere Mittwochsstunden nach Normalplan in Frage kommen,habe ich der Schulleitung bereits vorgeschlagen. Präsenzunterricht und digitalesHomeschooling werden sich also ergänzen. Sie sind 20 Kusrteilnehmer*innen, jedeKurshälfte hat dann 10 Teilnehmer*innen. (Wie sollen das bloß Nichtmathematiker„ausrechnen“!)

Mein Vorschlag: Gruppe A ist die erste Hälfte nach alphabetischer Kursliste, Gruppe Bdie zweite Hälfte. Nahtstelle bei Nils Lenke / Natalie Lichter. Wenn Sie spezielleWünsche haben, zu einer bestimmten Gruppe zu gehören, geben Sie bitte möglichstbald Bescheid.

Das waren oben so meine Vermutungen. P(„es kommt so“) ≈ 0,8500

Das Folgende ist keine Vermutung (aber ein „sicheres“ Ereignis).

Sie bekommen bald ein S II – Zeugnis in Mathe.

Verbindlich und juristisch festgelegt: 1 Klausur (bzw. vor der Krise noch nachgeschrie-ben) zählt 30 % (in allen Mathekursen S II verfahren wir so). 70 % zählen dann die„anderen Notenbausteine“. Die Noten für diese Bausteine werden „wohlwollend“, aberdoch auch juristisch nicht anfechtbar gegeben.

1 ) Laufende mündliche Mitarbeit („Einheiten“) in der Zeit vom 15.01. bis 26.02.2020 in 10 Doppelstunden – nach Abzug von Stunden, in denen Sie keine

Einheiten sammeln konnten, z.B. weil Sie eine Klausur schrieben.

2) Übungsaufgaben: noch vor den Frühjahrsferien „vorgetragen“ oder als „digitalesDokument“ von mir angefordert.

3 ) 1 „regulärer“ Test vom 10.02 und 1 „digitaler“ Test vom 22.04.

Gewichtung dieser 3 Notenbausteine (in obiger Reihenfolge): 2 : 1 : 2 (und das sind 70 % der Gesamtnote). Entschuldigte Fehlzeiten aus der Zeit vor den Frühjahrsferienwerden von mir unter „ 1)“ berücksichtigt. Ich gehe mal davon aus, dass einigeFehlzeiten kurz vor den Ferien „entschuldigt“ waren, was wir nicht mehr klärenkonnten. (Das betrifft aber nur ganz wenige Kursteilnehmer*innen.)

Alle Bausteine lassen sich als Komponenten eines „Vektors“ (horizontal geschrieben)auffassen:

Fehlzeiten Einheiten Punkte fürEinheiten

Ü(Punkte)

Punkte für 2Tests

s(Pkt.)

30%

l.K.(Pkt.)

70 %

Punktegesamt

x x x x x x x x

Jedem Kursteilnehmer gehört ein solcher Vektor. Sie haben einen Anspruch darauf,Ihren persönlichen Vektor bis zu den Maiferien zu erfahren (gelegentlich wird er nochnicht ganz vollständig sein). Er ist noch nicht endgültig. Bis zur „Notenabgabe“ am 15.Juni bei Herrn Woldmann kann man noch an der Komponente „Ü“ geringfügig arbeiten.

Jedem von uns werde ich den persönlichen Vektor in einer Mail über IServ mitteilen.Das ist für mich sehr aufwendig und wird sich über einige Tage hinziehen. Ich hoffe, biszum Freitag (15. Mai) meine Aufgabe zu erledigen.

Liebe GrüßeGerhard Deyke

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