Erhaltung der Masse - aia.rwth-aachen.de · Erhaltung der Masse Die Masse des Systems bleibt bei...
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Erhaltung der Masse
Die Masse des Systems bleibt bei Bewegung durch das Strömungsfeld konstant
B = mb , für b = 1
0=⋅+∂
∂= ∫∫ KFKV
sysdAnvdV
tdt
dmrr
ρρ
integrale Form
differentielle Form über Gaußschen Satz oder am Element
∂tdt
y∆
x∆
z∆
x
y
u
v
w
Zeitliche lokale Massenänderung :
x∆
z
Massenfluss über die Oberfläche des Elements (in x-Richtung) :
( )zy
xuu ∆∆
∆∂
−ρ
ρ( )
zyxu
u ∆∆
∆∂
+ρ
ρ
y∆
uρ( )zy
x
x
uu ∆∆
∆
∂
∂−
2
ρρ
( )zy
x
x
uu ∆∆
∆
∂
∂+
2
ρρ
x∆
z∆
uρ
Nettomassenfluss in x-Richtung
zyxx
uzy
x
x
uuzy
x
x
uu ∆∆∆
∂
∂=∆∆
∆
∂
∂−−∆∆
∆
∂
∂+
)(
2
)(
2
)( ρρρ
ρρ
In y- und z-Richtung erhält man
zyxz
wzyx
y
v∆∆∆
∂
∂∆∆∆
∂
∂ )(,
)( ρρ
zy ∂∂
differentielle Form der Kontinuitätsgleichung
bzw.
⇒
mit
lok. konvek.
=
=dt
dρ
t∂
∂ρ
zw
yv
xu
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
ρρρ
ρρ
∇⋅+∂
∂v
t
r
Mit
folgt :
bzw. 0=+=⋅∇+ vdivdt
dv
dt
d rrr
ρρ
ρρ
Sonderfälle :
• stat. Strömung
• Inkompressibles Fluid ρ = konstant
0=⋅∇ vr
r
Erhaltung des Impulses
: Impuls
Anwendung auf ein differentielles Massesystem:
: Auf die Fluidmasse wirkende resultierende KraftFr
∫=Sys
dmvIr
r
: Oberflächen- und Volumenkräfte
konstant=∆ sysm
dt
mvdF
)( ∆=∆
r
r
amdt
vdmF
r
r
r
∆=∆=∆
Fr
∆
Gewichtskraft maßgeblich
in kartesischen Koordinaten:
Volumenkraft :
zbz
yby
xbx
mgF
mgF
mgF
∆=∆
∆=∆
∆=∆
Oberflächenkraft:
Element ↔ Umgebung
A∆
nF∆
sFr
∆
beliebige Oberfläche
AFFF n ∆⊥∆∆⊥∆ ,21
2F∆1F∆
Normalspannung:
Schubspannung:
A
Fn
An
∆
∆=
→∆lim
0
σ
F∆ 1
A
F
A
F
A
A
∆
∆=
∆
∆=
→∆
→∆
2
02
1
01
lim
lim
τ
τ
die übliche Zeichenkonvektion gilt
y
C
D
C′
D′
xxσ
xyτ
xxσ ′xzτ ′
x
zA
B
A′
B′xxσ
xzτxyτ ′
Bedeutung der Indizes :
ijS : i Richtung der Normalen der Ebene
j Richtung der Spannung
Spannungen auf 3 orthogonalen, durch einen Punkt gehende Ebenen definieren den Spannungszustand eindeutig
Oberflächenkräfte (nicht vollständig):
zxy
y
yxyx ∆∆
∆
∂
∂+
2
ττ yx
z
z
zxzx ∆∆
∆
∂
∂−
2
ττ
y ∂ 2
zyx
x
xxxx ∆∆
∆
∂
∂−
2
σσ zy
x
x
xxxx ∆∆
∆
∂
∂+
2
σσ
zxy
y
yxyx ∆∆
∆
∂
∂−
2
ττyx
z
z
zxzx ∆∆
∆
∂
∂+
2
ττ
x∆
y∆
z∆
Summation liefert die Komponenten der resultierenden Oberflächenkraft:
Kräfte in x- / y- / z-Richtung:
zyxzyx
F xzyxxxSx
∂∂∂
∆∆∆
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∆
τστ
ττσ
kFjFiFF SzSySxS
rrrr
∆+∆+∆=∆
zyxzyx
F
zyxzyx
F
zzyzxzSz
zyyyxy
Sy
∆∆∆
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∆
∆∆∆
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∆
σττ
τστ
Einsetzen in
mit
amFr
r
∆=∆
bs FFFrrr
∆+∆=∆
zyxm ∆∆∆=∆ ρ
z
vw
y
vv
x
vu
t
va
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
rrrr
r
ergibt kwjviuvrrr
r
++=
Differentielle Form der Impulserhaltung
X
Y
wwww
zyxg
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
zyxg
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
zyyyxy
y
zxyxxxx
∂∂∂ ∂∂∂∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
σττ
τστρρ
ττσρρ
Zzyx
gz
ww
y
wv
x
wu
t
w zzyzxzz
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ σττρρ
Kinematik des Fluidelements
Aufgabe : Spannungen durch Geschwindigkeitskomponenten ausdrücken
Bewegung eines Elements
Änderung seiner Lage und seiner Form
Bestimmung der Verformung mittels der relativen Bewegung zwischen 2 Punkten I und II
⇒
vr
Ortsvektor:rr
runggkeitsändeGeschwindi:vdr
O
rdrrr
+rr
I
v
IIvdvrr
+
(t = konst.)
Um den Zusammenhang mit Translation, Rotation, Dehnung und
dzz
wdy
y
wdx
x
wdw
dzz
vdy
y
vdx
x
vdv
dzz
udy
y
udx
x
udu
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
vdr
in Komponentenschreibweise
Um den Zusammenhang mit Translation, Rotation, Dehnung und Scherung zu erkennen, wird umgeschriebenvd
r
dxdydzdydxdw
dzdxdzdydxdv
dydzdzdydxdu
zxyzzzyzx
yzxyyzyyx
xyzxxzxyx
ωωεεε
ωωεεε
ωωεεε
−+++=
−+++=
−+++=
&&&
&&&
&&&
iε&
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
=
=
z
w
x
w
z
v
x
w
z
u
z
v
y
w
y
v
x
v
y
u
z
u
x
w
y
u
x
v
x
u
d
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ij
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
εεε
εεε
εεε
&&&
&&&
&&&
&
Der Vergleich beider Gleichungssysteme ergibt folgende
Definitionen für und bzw.ijε&ijω
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂−
∂
∂=
x
w
z
u
z
v
y
w
y
u
x
v
zx
yz
xy
2
1
2
1
2
1
ω
ω
ω
Bedeutung von ijiji ε ωε , && , ?
Unverformtes Element bewegt sich in der Strömung
Translation:
dtu
dtv
x∆
y∆
Rotation:
dtyy
u∆
∂
∂−
γd
sω
dtxx
v∆
∂
∂
ϕd
dty
udt
x
vd
∂
∂−=
∂
∂=ϕ
ϕϕ dd ≈)tan(
Zeitliche Winkeländerung aus dem arithmetischen Mittel
Drehung um z-Achse
In 3D erhält man :
⇒
⇒
dt
dϕϕ =&
xyzy
u
x
vωω =
∂
∂−
∂
∂=
2
1
yzxz
v
y
wωω =
∂
∂−
∂
∂=
2
1
: Rotation des unverformten Elements
ωr ⇒
⇒ Terme-ijω
zxyx
w
z
uωω =
∂
∂−
∂
∂=
2
1
kji zyx
rrrr
ωωωω ++=
Dreh- oder Wirbelvektor
Relative Volumenänderung (Volumendilatation)dt
Vd
V
)(1 ∆
∆
dtzyxdtz
z
wzdty
y
vydtx
x
ux
Vdt
Vd
V
11)(1
∆∆∆−
∆
∂
∂+∆⋅
∆
∂
∂+∆⋅
∆
∂
∂+∆
∆=
∆
∆
vdivvz
w
y
v
x
u
dt
Vd
V
rrr
=⋅∇=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∆
∆
)(1
Kontinuitätsgleichung für inkompr. Fluide
RechteckScherung
Parallelepiped
βαγ ddd +=
zyxdtV ∂∂∂∆
Verformung des Elements
Dehnung
dtxx
u∆
∂
∂
dtyy
v∆
∂
∂
y∆
x∆
Scherung
dtyy
u∆
∂
∂
dtxx
v∆
∂
∂
x∂
βd
αd
Dehnungsgeschwindigkeit entspricht der zeitlichen Dehnungsänderung pro Kantenlänge
entspricht den Hauptdiagonalen der Matrix ijd
dtx
vd
∂
∂=α
dtu
d∂
=β
z
w
y
v
x
uzyx
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂= εεε &&& ,,
dty
ud
∂
∂=β
dt
d
dt
d
dt
d βαγ;: gesamte Winkeländerung pro Zeit
Schergeschwindigkeit über arithmetische Mittelungijγ&
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂=
z
w
z
u
y
w
z
v
x
v
y
u
zx
yz
xy
2
1
2
1
2
1
γ
γ
γ
&
&
&
Vergleiche mit : Matrixd ij −
Matrix−ijd : enthält Dehnung und Scherung
Tensor der Deformation
⇒ Terme−= ijij γε && ˆ
⇒
⇒
Spannungstensor in der Impulserhaltung ijτ
ijτ ijd&Zusammenhang zwischen und durch Newtonschen Reibungsansatz :
Tangentiale Spannung ~ Schergeschwindigkeit
und mittels Isotropie des Elements
vdivzyxr
&&& undεεε ,, viskositätsbedingte Normalspannungen
Ansatz:Ansatz:
vdivp
vdivp
vdivp
zzz
yyy
xxx
r
&
r
&
r
&
λεησ
λεησ
λεησ
++−=
++−=
++−=
2
2
2
zxxzzx
yzzyyz
xyyxxy
γηττ
γηττ
γηττ
&
&
&
2
2
2
==
==
==
Die Normalspannungen werden i. a. umformuliert
: dynamische Viskositätη
vdivvdivp
vdivvdivp
vdivvdivp
zzz
xxx
yyy
rr
&
rr
&
rr
&
ηεησ
ηεησ
ηεησ
ˆ3
22
ˆ3
22
ˆ3
22
+
−+−=
+
−+−=
+
−+−=
Die Größen η und λ sind Proportionalitätsfaktoren
: dynamische Viskosität
ηλη3
2ˆ += : Volumenviskosität
03
2ˆ =+= ηληStokes‘sche Hypothese :
inkompressible Strömungen : 0=vdivr
mittlere Normalspannung σ :⇒
η
( ) vdivpzzyyxx
r
ησσσσ ˆ3
1+−=++=
Navier- Stokes Gleichungen
Einsetzen der Normal- und Tangentialspannung
⇒
∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
−
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
−
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
x
v
y
u
xy
w
z
v
zvdiv
y
v
yy
pg
dt
dv
z
u
x
w
zx
v
y
u
yvdiv
x
u
xx
pg
dt
du
y
x
ηηηρρ
ηηηρρ
r
r
3
22
3
22
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
−
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
y
w
z
v
yz
u
x
w
xvdiv
z
w
zz
pg
dt
dwz ηηηρρ
r
3
22
Navier- Stokes Gleichungen für ein ink. Fluid
inkompressible Strömung, η = konst
0=vdivr
Vereinfachung der 2. Ableitungen
⇒
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
w
y
v
x
u
xz
u
y
u
x
uηηη
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
z
pg
dt
dw
z
v
y
v
x
v
y
pg
dt
dv
z
u
y
u
x
u
x
pg
dt
du
z
y
x
ηρρ
ηρρ
ηρρ
Energiegleichungen
Q : Wärme; E : Energie; W : Arbeit
1. Hauptsatz der Thermodynamik :
Volumenelement :
Wärmeleitung nach Fourier :
dt
dW
dt
dE
dt
dQ+=
Vm
zyxV
∆=∆
∆∆∆=∆
ρ
TdQ ∂1Wärmeleitung nach Fourier : : Wärmeleitfähigkeit
Betrachtung für die Fläche ∆y ∆z (x-Richtung)
abgegebene Wärme:
aufgenommene Wärme:
n
Tq
dt
dQ
A ∂
∂−== λ
1 λ
zyx
x
T
xx
T∆∆
∆
∂
∂
∂
∂−
∂
∂−
2λλ
zyx
x
T
xx
T∆∆
∆
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
2λλ
Nettowärmestrom in x- , y- und z-Richtung
2
x
x
xzxz
∆
∂
∂−
ττ
2
x
x
xyxy
∆
∂
∂+
ττ
xxx ∆∂−
σσ x∆∂σ
y∆
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂∆=
z
T
zy
T
yx
T
xVdtdQ λλλ
2
x
x
xxxx
∆
∂
∂−
σσ
2
x
x
xxxx
∆
∂
∂+
σσ
2
x
x
xyxy
∆
∂
∂−
ττ
2
x
x
xzxz
∆
∂
∂+
ττ
x∆
z∆
x
y
z
zeitliche Änderung der Gesamtenergie:
e : massenbezogene innere Energie
Arbeit pro Zeit anhand von σxx :
+++∆= )(
2
1 222wvu
dt
d
dt
deV
dt
dEρ
∆
∂
∂−
∆
∂
∂−−∆∆−=
22
x
x
x
x
uuzdtydW xx
xxxx
σσσ
∆
∂
∂+
∆
∂
∂++
22
x
x
x
x
uu xx
xx
σσ
)( xx
xxxx
ux
Vdt
xx
u
xuzdty
σ
σσ
∂
∂∆−=
∆
∂
∂+
∂
∂∆∆−=
analoge Vorgehensweise für den gesamten Spannungstensor :
Mittels Impulserhaltung (z.B. x-Impuls) :
zyxdt
du xzxyxx
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
ττσρ
( ) ( ) ( )
++
∂
∂+++
∂
∂+++
∂
∂∆−= zzzyzxyzyyyxxzxyxx wvu
zwvu
ywvu
xV
dt
dWστττστττσ
Umformung der -Therme :dt
dW
dt
dE und
zyxdt ∂∂∂
Vdt
dww
dt
dvv
dt
duu
dt
de
dt
dE∆
+++= ρρρρ
K
K
K
z
u
zu
y
u
yu
x
u
xu
Vdt
dW
zxzx
xy
xy
xxxx
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−=
∆
ττ
ττ
σσ1
x
w
x
v
x
u
dt
de
Vdt
dW
dt
dExzxyxx
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−=
∆
+ ττσρ
1
z
w
z
v
z
u
y
w
y
v
y
u
xxxdtVdtdt
zzzyzx
yzyyyx
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−
∂∂∂∆
σττ
τστ
Einführung der Spannungen ergibt die Energiegleichung
0ˆ =η für mitΦ
Φ+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=+ ηλλλρ
z
T
zy
T
yx
T
xvdivp
dt
de r
2
2222
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=Φ
y
u
x
v
z
w
y
v
x
u
mechanische Energie thermische Energie
nsfunktionDissipatio=Φ
03
2222
>
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
z
w
y
v
x
u
x
w
z
u
z
v
y
w
Energiegleichungen für ideale Gase
kalorische Zustandsgleichungen:
)(),( Tfp
ehTfe =+==ρ
dTcdTT
hdhdTcdT
T
ede p
pv =
∂
∂==
∂
∂=
ρ
1
−−=
−=pddpdT
c
pd
dhde ρρ 1
Kontinuitätsgleichung:
vdivz
w
y
v
x
u
dt
d r
=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=−
ρ
ρ
1
⇒
⇒
−−=−=
dt
pd
dt
dp
dt
dTc
dtdt
dh
dt
dep
ρ
ρ
ρ
ρ 1
Φ+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+= ηλλλρ
z
T
zy
T
yx
T
xdt
dp
dt
dTcp
Form der Energiegleichung in CFD-Untersuchungen
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
[ ]
[ ]
[ ]zzzyzxz
yyzyyxy
xxzxyxx
qwvuz
qwvuy
qwvux
pEwz
pEvy
pEuxt
E
−++∂
∂
+−++∂
∂
+−++∂
∂
=+∂
∂++
∂
∂++
∂
∂+
∂
∂
τττ
τττ
τττ
bzw. mit
lauten die räumlichen 1. Ableitungen der linken Seite
2
2v
hH
r
+=
Epv
epH +=
++=
2
2r
ρρ
( ) ( ) ( )wHz
vHy
uHx
ρρρ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
Formen der Erhaltungsgleichungen
Vektorschreibweise unter Berücksichtigung des Nabla-Operators
Masse:
oder
Impuls: Spannungstensor τ
0)( =⋅∇+∂
∂v
t
rr
ρρ
0=⋅∇+ vdt
d rr
ρρ
ττσ
=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
σττ
τστ
ττσ
τ
p
p
vdivvdivp
zzz
yyy
xxxx
+=
+=
+
−=+=
σσ
σσ
ηεησσrr
& ˆ3
22
Formen der Navier-Stokes Gleichungen:
oder:
oder:
⇒
vv rr
mit
= 2
2
vwvvu
uwuvu
vvrr
τρρ ⋅∇+∇−=rr
r
r
pgdt
vd
τρρ ⋅∇+∇−=
∇⋅+
∂
∂ rrrr
rr
r
pgvvt
v)(
τρρρ ⋅∇+∇−=⋅∇+∂
∂ rrrrr
rr
pgvvvt
)()(
inkompressibles Fluid mit η = konstant:
+ stationär
vv mit
=2
2
wwvwu
vwvvuvvrr
vpgdt
vd rr
r
r
2∇+∇−= ηρρ
( ) vpgvvr
rrr
rr 2∇+∇−=∇⋅ ηρρ
Energie
: Gesamtenergie
plus Kontinuitätsgleichung
+=
2
2v
eE ρ
)()()( vvpqvgvEt
E rr
rr
rr
rrrr
⋅⋅∇+⋅∇−⋅∇−⋅=⋅∇+∂
∂τρ
)()(2
2
vvpqvgv
edt
d rr
rr
rr
rr
r
⋅⋅∇+⋅∇−⋅∇−⋅=
+ τρρ
ρ
EpH
+= : Gesamtenthalpie
2dt
⋅∇+
∂
∂−=
+
⋅∇+⋅∇−∂
∂+⋅=
)(1
2
)(
2
vpt
p
dt
dHve
dt
d
vqt
pvg
dt
dH
rr
r
rr
rr
rr
ρ
τρρ
mit
: innere Energie
vvpqdt
de rr
rr
rr
∇⋅+⋅∇−⋅∇−= τρ
e
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇⋅
τττσσσ
στττστττστ
z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
u
y
v
x
u
y
w
x
w
z
v
y
v
x
v
z
u
y
u
x
uv
zxyzxyzyx
zzyzxyzyyxxzxyx
rr
h : innere Enthalpie
bzw. bei idealem Gas:
Φ=
∂∂
∂∂
∂∂∂∂∂
η
zxyzxyzyxzxyzxyzyx
vdt
dpq
dt
dh rr
rr
∇⋅++⋅∇−= τρ
vdt
dpq
dt
dTcp
rr
rr
∇⋅++⋅∇−= τρ