ersion Vorlesungsskript Wirtschaftsphysiker und Lehramtskandidaten … · 2008. 9. 9. · ersion...

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Vorlesungsskript

PHYS2100

Physik II für Physiker,

Wirtschaftsphysiker und

Lehramtskandidaten

Othmar Marti

Institut für Experimentelle Physik

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Universität Ulm

20. Februar 2007

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2

2 c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl

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Für Gabriela

Vorläu�geVersionInhaltsverzeichnis

1 Einleitung 91.1 Dank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Übungsblätter, Testfragen, Folien und Versuche . . . . . . . . . . . 91.3 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Termine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Vorlesungstermine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.2 Seminargruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.3 Seminardaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Mechanik deformierbarer Medien 192.1 Elastomechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Dehnung und Kompression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2 Scherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.3 Verdrillung eines Drahtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.4 Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.5 Beziehung zwischen den elastischen Konstanten . . . . . . . 252.1.6 Anelastisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.7 Elastomechanik anisotroper Körper . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Flüssigkeiten und Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.1 Aggregatszustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2 Gestalt von Flüssigkeitsober�ächen . . . . . . . . . . . . . . 282.2.3 Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.4 Schweredruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.5 Gasdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.6 Atmosphärendruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.7 Druck als Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Ober�ächenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.1 Freie Ober�ächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.2 Benetzende Flüssigkeiten, Kapilarität . . . . . . . . . . . . . 42

2.4 Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.1 Beschreibung von Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.2 Lokale und totale Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.3 Innere Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4.4 Laminare Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4.5 Strömung idealer Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4.6 Strömungswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4.7 Helmholtzsche Wirbelsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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Inhaltsverzeichnis 6

3 Wärmelehre 613.1 Wärmeenergie und Temperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1.1 Gleichverteilungsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 Kinetische Gastheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3 Der erste Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.4 Wärmekapazität bei konstantem Druck . . . . . . . . . . . . . . . . 643.5 Maxwell-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.6 Stösse von Molekülen, Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . . . . 68

3.6.1 Mittlere freie Weglänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.6.2 Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.7 Boltzmannverteilung und Di�usion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.7.1 Di�usion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.7.2 Di�usionsgleichgewicht im Gravitationsfeld . . . . . . . . . . 76

3.8 Wärmekraftmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.8.1 Otto-Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.8.2 Carnot-Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.9 Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.9.1 Lineare Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.9.2 Wärmeübertrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.9.3 Wärmeleitung in einem Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.10 Der zweite Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.10.1 Beispiel für Perpetuum Mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.10.2 Entropie, Statistische Deutung . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.10.3 Energie und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 933.10.4 Gleichgewicht von Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.11 Wärmereservoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.12 Wie breit ist das Maximum von Ω(E)? . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.13 Anzahl Zustände und externe Parameter . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.13.1 Gleichgewicht zwischen zwei Systemen . . . . . . . . . . . . 1083.14 Eigenschaften der Entropie, dritter Hauptsatz . . . . . . . . . . . . 1103.15 Anwendung auf das ideale Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.16 Mischungsentropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.17 Extensive und intensive Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.18 Relationen zwischen thermodynamischen Grössen . . . . . . . . . . 114

3.18.1 Relationen zwischen S, U , V , T , p . . . . . . . . . . . . . . 1153.19 Maxwellrelationen für homogene Substanzen . . . . . . . . . . . . . 116

3.19.1 Abgeleitet aus der inneren Energie . . . . . . . . . . . . . . 1163.19.2 Abgeleitet aus der Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.19.3 Abgeleitet aus der freien Energie . . . . . . . . . . . . . . . 1183.19.4 Abgeleitet aus der freien Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . 1193.19.5 Zusammenfassung der Maxwellrelationen . . . . . . . . . . . 1203.19.6 Die vier thermodynamischen Potentiale . . . . . . . . . . . . 1203.19.7 Gleichgewichte und thermodynamische Potentiale . . . . . . 122

3.20 Allgemeine Formel für spezi�sche Wärmen . . . . . . . . . . . . . . 1243.21 Anwendung auf das Van-der Waals Gas . . . . . . . . . . . . . . . . 126


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7 Inhaltsverzeichnis

3.22 Joule-Thomson-E�ekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.23 Aggregatszustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.23.1 Verdampfungsenergie und Steigung der Dampfdruckkurve . . 1353.23.2 Arrhenius-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.23.3 Koexistenz von Festkörper und Flüssigkeit . . . . . . . . . . 1373.23.4 Phasenregel von Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.24 Mehrsto�systeme, Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.24.1 Chemische Potentiale und weitere Maxwellrelationen . . . . 1393.24.2 Zweiphasensystem als Zweikomponentensystem . . . . . . . 140

3.25 Chemische Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.25.1 Reaktionsenthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.25.2 Reaktionskoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.26 Osmose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.27 Mischungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.27.1 Kategorisierung von Diagrammen . . . . . . . . . . . . . . . 146

A Begri�e 149

B Skalarprodukt und Vektorprodukt in kartesischen Koordinaten 161

C Di�erentiation und Integration 163C.1 Di�erentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164C.2 Di�erentiation einfacher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165C.3 Taylorreihe und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166C.4 Einige Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168C.5 Ableitungen in drei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

C.5.1 Gradient in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . 169C.5.2 Divergenz in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . 170C.5.3 Rotation in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . 171

D Identitäten mit Vektorprodukt, Gradient, Divergenz und Rotation 173

E Rechnen mit Integralen 175E.1 Unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176E.2 Berechnung von Linienintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

F Umrechnungen zwischen kartesischen, sphärischen und zylindrischenKoordinatensystemen 179F.1 Vom kartesischen ins sphärische System . . . . . . . . . . . . . . . . 180F.2 Vom sphärischen ins kartesische System . . . . . . . . . . . . . . . . 180F.3 Vom kartesischen ins zylindrische System . . . . . . . . . . . . . . . 180F.4 Vom zylindrischen ins kartesische System . . . . . . . . . . . . . . . 181F.5 Vom sphärischen ins zylindrische System . . . . . . . . . . . . . . . 181F.6 Vom zylindrischen ins sphärische System . . . . . . . . . . . . . . . 181

G Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in Kugelkoordinaten 183G.1 Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

c©2001-2007 University of Ulm, Othmar Marti and Alfred Plettl 7

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Inhaltsverzeichnis 8

G.2 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188G.2.1 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

H Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken 195

I Korrekturen 197

Abbildungsverzeichnis 198

Tabellenverzeichnis 202

Stichwortverzeichnis 206


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1 Einleitung

1.1 Dank

Ohne die hingebungsvolle Arbeit des Entzi�erns meiner Handschrift durch TamaraStadter würde dieses Skript nicht existieren.

1.2 Übungsblätter, Testfragen, Folien undVersuche

ÜbungsblätterAngegeben ist das Ausgabedatum.

• Übungsblatt 01 ausgegeben am 24. 04. 2006Lösungsblatt 01 ausgegeben am 21. 06. 2006










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Einleitung 10





• Aufgaben und Lösungen der Klausur vom 28. 7. 2006Ergebnisse der Klausur vom 28. 7. 2006

• Ergebnisse der Nachklausur vom 28. 10. 2006

Folien

• Folien zur Vorlesung am 24. 04. 2006 PDF


















file:ueb/klausur_1_resultat.htm

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11 1.2 Übungsblätter, Testfragen, Folien und Versuche




Übungsblätter und Folien werden in der Regel in der Vorlesung zugänglich ge-macht.

Versuche

24.04.2006 • Versuch zur Vorlesung: Elastische Dehnung (VersuchskarteM-100)

• Versuch zur Vorlesung: Kraft-Dehnungskurve eines Gummibandes(Versuchskarte M-111)

• Versuch zur Vorlesung: Volumenerhaltung (Versuchskarte M-123)• Versuch zur Vorlesung: Elastizitäts- und Schubmodul (Versuchskar-te M-114)

• Versuch zur Vorlesung: Schubmodul von Stahl (Versuchskarte M-003)

27.04.2006 • Versuch zur Vorlesung: Aggregatszustände: fest, �üssig, gas-förmig

• Versuch zur Vorlesung: Flüssigkeitsober�äche in rotierendem Becher• Versuch zur Vorlesung: Hydraulische Presse (Versuchskarte M-008)

04.05.2006 • Versuch zur Vorlesung: Atmosphärendruck (VersuchskarteM-024)

• Versuch zur Vorlesung: Auftrieb (Versuchskarte MF-032)• Versuch zur Vorlesung: Schwimmende Prismen (Versuchskarte MF-045)

• Versuch zur Vorlesung: Auftrieb: Aräometer (Versuchskarte MF-057)

• Versuch zur Vorlesung: Druckmessgeräte (Versuchskarte MF-055)• Versuch zur Vorlesung: Barometrische Höhenformel (VersuchskarteTH-003)

08.05.2006 • Versuch zur Vorlesung: Ober�ächenspannung: Messung mitRing (Versuchskarte MF-063)

• Versuch zur Vorlesung: Ober�ächenspannung: Minimal�ächen (Ver-suchskarte MF-065)

• Versuch zur Vorlesung: Ober�ächenspannung: Randwinkel vonTropfen (Versuchskarte MF-059)

• Versuch zur Vorlesung: Druck in Seifenblasen (Versuchskarte MF-060)


http://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/M/pdf/M_100V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/M/pdf/M_100V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/M/pdf/M_111V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/M/pdf/M_123V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/M/pdf/M_114V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/M/pdf/M_114V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/M/pdf/M_003V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/M/pdf/M_003V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF008V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF024V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF024V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF032V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF045V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF045V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF057V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF057V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF055V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/Th003V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/Th003V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF063V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF065V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF065V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF059V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF060V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF060V00.PDF

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Einleitung 12

• Versuch zur Vorlesung: Kapilarwirkung bei der Keilküvette (Ver-suchskarte MF-061)

11.05.2006 • Versuch zur Vorlesung: Ober�ächenspannung von Wasser(Versuchskarte MF-072)• Versuch zur Vorlesung: Laminare Strömung um Hindernisse (Ver-suchskarte MF-012)• Versuch zur Vorlesung: Grenzschicht bei Flüssigkeiten (Versuchskar-te MF-058)• Versuch zur Vorlesung: Übergang laminare-trubulente Strömung(Versuchskarte MF-021)• Versuch zur Vorlesung: Viskosität und Strömungspro�l: Honigver-such (Versuchskarte MF-010)

15.05.2006 • Versuch zur Vorlesung: Geschwindigkeitspro�l bei laminarerStrömung (Versuchskarte MF-013)• Versuch zur Vorlesung: Gesetz von Hagen-Poiseuille (VersuchskarteMF-033)• Versuch zur Vorlesung: Stokessches Gesetz (Versuchskarte MF-011)

18.05.2006 • Versuch zur Vorlesung: Trag�ügel (Versuchskarte MF-004)• Versuch zur Vorlesung: Magnus-E�ekt (Versuchskarte MF-005)• Versuch zur Vorlesung: Bernoulli-Gleichung (Versuchskarte MF-003)

22.05.2006 • Versuch zur Vorlesung: Turbulente Strömung (VersuchskarteMF-017)• Versuch zur Vorlesung: Flüssigkeitsthermometer (VersuchskarteTH-121)• Versuch zur Vorlesung: PT-100-Thermometer (Versuchskarte TH-122)• Versuch zur Vorlesung: Bimetallthermometer (Versuchskarte TH-118)

29.05.2006 • Versuch zur Vorlesung: Wärmekapazität: Mischungskalori-meter (Versuchskarte TH-060)• Versuch zur Vorlesung: Charles-Gesetz: Temperaturabhängigkeitdes Volumens (Versuchskarte TH-012)• Versuch zur Vorlesung: Gay-Lussac-Gesetz: Temperaturabhängig-keit des Drucks (Versuchskarte TH-013)• Versuch zur Vorlesung: 1. Hauptsatz: Mechanisches Wärmeäquiva-lent: Kurbelapparat (Versuchskarte TH-020)• Versuch zur Vorlesung: 1. Hauptsatz: mechanisches Wärmeäquiva-lent: Fallendes Bleischrot (Versuchskarte TH-019)

01.06.2006 • Versuch zur Vorlesung: Adiabatenexponent (VersuchskarteTH-064)


http://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF061V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF061V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF072V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF012V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF012V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/Mf058V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/Mf058V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF021V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF010V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF013V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF033V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF033V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF011V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF004V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF005V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF003V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF017V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/MF/PDF/MF017V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH121V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH121V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH122V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH122V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH118V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH118V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH060V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH012V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH013V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH020V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH019V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/Th064v00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/Th064v00.PDF

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13 1.2 Übungsblätter, Testfragen, Folien und Versuche

• Versuch zur Vorlesung: Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung(Versuchskarte TH-018)

08.06.2006 • Versuch zur Vorlesung: Brownsche Molekularbewegung: Rüt-telkasten (Versuchskarte TH-095)

• Versuch zur Vorlesung: Brownsche Molekularbewegung (Versuchs-karte TH-095)

12.06.2006 • Versuch zur Vorlesung: Di�usion (Versuchskarte TH-027)• Versuch zur Vorlesung: Wärmekraftmaschine: Stirling-Motor (Ver-suchskarte TH-033)

• Versuch zur Vorlesung: Wärmeleitung: Wärmepuls (VersuchskarteTH-034)

• Versuch zur Vorlesung: Wärmeleitung: Eindimensional in Metallen(Versuchskarte TH-079)

19.06.2006 • Versuch zur Vorlesung: Wärmekraftmaschine: Bimetallstrei-fen (Versuchskarte TH-126)

• Versuch zur Vorlesung: Wärmekraftmaschine: trinkende Ente (Ver-suchskarte TH-037)

• Versuch zur Vorlesung: Entropieelastizität (Versuchskarte TH-008)

22.06.2006 • Versuch zur Vorlesung: Kreisprozess: Dampfboot (Versuchs-karte TH-127)

• Versuch zur Vorlesung: Adiabate und Isotherme (Versuchskarte TH-067)

• Versuch zur Vorlesung: Statistik: Galton-Brett (Versuchskarte TH-077)

03.07.2006 • Versuch zur Vorlesung: p-V-T-Diagramm (VersuchskarteTH-042)

• Versuch zur Vorlesung: Zustandsdiagramm (Versuchskarte TH-041)• Versuch zur Vorlesung: Kritischer Punkt (Versuchskarte TH-017)

06.07.2006 • Versuch zur Vorlesung: Joule-Thomson-E�ekt (Versuchskar-te TH-070)

10.07.2006 • Versuch zur Vorlesung: Sauersto�-Ver�üssigung (Versuchs-karte TH-029)

13.07.2006 • Versuch zur Vorlesung: Kristallisation (Versuchskarte TH-115)

• Versuch zur Vorlesung: Latente Wärme (Versuchskarte TH-016)• Versuch zur Vorlesung: Latente Wärme: Handwärmer (Versuchskar-te TH-081)


http://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH018V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH095V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH090V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH090V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH027V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH033V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH033V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH034V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH034V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH079V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH126V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH037V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH037V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH008V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH127V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH127V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH067V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH067V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH077V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH077V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH042V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH042V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH041V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH017V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH070V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH070V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH029V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH029V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH115V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH115V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH016V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH081V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH081V00.PDF

Vorläu�geVersion

Einleitung 14

• Versuch zur Vorlesung: Sieden und Schmelzen von Wasser (Ver-suchskarte TH-049)

• Versuch zur Vorlesung: Phasenregel (Versuchskarte TH-047)

17.07.2006 • Versuch zur Vorlesung: Lösungsenthalpie (VersuchskarteTH-039)

• Versuch zur Vorlesung: Siedepunktserhöhung (Versuchskarte TH-028)

• Versuch zur Vorlesung: Geysir-Modell (Versuchskarte TH-080)

20.07.2006 • Versuch zur Vorlesung: Dreifachosmometer (VersuchskarteTH-075)

24.07.2006 • Versuch zur Vorlesung: Kältemischungen (VersuchskarteTH-038)

• Versuch zur Vorlesung: Mischungslücke (Versuchskarte TH-040)

27.07.2006 • Versuch zur Vorlesung:Knallgasreaktion (Versuchskarte TH-061)

1.3 Literaturhinweise

Als Begleitliteratur zur Vorlesung können die Lehrbücher �GerthsenPhysik�[Mes04] und �Tipler, Physik�[Tip94] und, als leichtere Einführung,das Buch von Halliday[HRW03] verwendet werden.Zur Mathematik sind die Werke von Arfken und Weber[AW95] und das Internet-

skript von Komma[Kom96] zu empfehlen. Mathematische Probleme und Formelnsind sehr schön im Bronstein[BSMM00] zusammengefasst.Zum Aufarbeiten des gelernten Sto�es (nicht als Einsteigerliteratur) kann auch

Kneubühls[Kne74] �Repetitorium der Physik�empfohlen werden.Das hier vorliegende Skript ist in einer rudimentären Fassung vorhanden. Es

gibt es auch als PDF-Datei und als Web-Site. Korrekturen �nden Sie im Internetunter http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk2-2006/korrekturen.htm.Die Geschichte der Physik ist von Simonyi[Sim90] hervorragend dargestellt.Eine wunderbare Website zum Aufarbeiten Ihres Wissens ist Hyperphysics von

R. Nave. Ergänzend gibt es vom gleichen Autor auch Hypermath.In diesem Skript werden alle Vektoren fett gedruckt, d.h r = −→r . Begri�e aus

dem Index werden kursiv gedruckt.

1.4 Termine

• Erster Vorlesungstag: Montag, 24. April 2006.

• Letzter Vorlesungstag: Dienstag, 27. Juli 2006.


http://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH049V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH049V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH047V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH039V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH039V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH028V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH028V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH080V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH075V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH075V00.PDFhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH038V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH038V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH040V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH061V00.pdfhttp://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/pdf/TH061V00.pdfhttp://www.mikomma.de/fh/modphys.pdfhttp://www.mikomma.de/fh/modphys.pdfhttp://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk2-2006/http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk2-2006/korrekturen.htmhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.htmlhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hmat.html#hmath

Vorläu�geVersion

15 1.4 Termine

• Vorlesung Montag von 08:15�10:00 und Donnerstag jeweils 08:15�10:00 imHörsaal H2.

• Scheinklausur voraussichtlich am 29. Juli 2006 (Nachklausur im Oktober).

• Seminargruppen �nden am Montag und am Freitag statt

� Mo 10�12 in O25/H6, N25/203 und N25/204 sowie am Mo 16�18 inN25/203 und N25/207

� Mi 16�18 in O25/169, N25/203, N25/204, N25/207 und O25/151

• Während den Übungsstunden werden Aufgaben von Studierenden vorgelöst.Sie können sich freiwillig melden, oder werden vom Übungsleiter ausgesucht.

• Die Klausuren werden gewertet, wenn Sie einerseits an mindestens 20Übungsdoppelstunden teilgenommen haben, 60% der Aufgaben votiert undwenn Sie die geforderte Anzahl Male vorgerechnet haben. Diese Zahlen re-duzieren sich, wenn Sie aus Gründen, die Sie nicht zu vertreten haben (mitNachweis!), nicht in der Lage waren die geforderten Leistungen zu erbringen.

• Einen Schein erhalten Sie dann wenn Sie zwei von drei Klausuren bestandenhaben.

• Denken Sie daran, dass auch Aufgaben, die Sie nicht gelöst haben, Sto� derKlausur sind.

• Kontakte:

Vorlesung Prof. Dr. sc. nat/ETH Zürich Othmar Marti, N25/508,[email protected], Tel. 23011

Vorlesungsassistenz Die Vorlesungsassistenten sind:

Manuela Pluntke N25/535 [email protected], Tel. 23022Johannes Gäckle [email protected]

Aufgabenstellung Bernd Heise N25/517 [email protected], Tel.23008

Seminargruppen Die Seminarassistenten sind:

Christopher Eckert [email protected] Mark [email protected] Holzwarth N25/538 [email protected], Tel.

23023Frank Sperka N25/535 [email protected], Tel. 23034Andreas Kleiner N25/517 [email protected], Tel. 23012


mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]

Vorläu�geVersion

Einleitung 16

1.4.1 Vorlesungstermine

Monat Datum Datum Monat Datum DatumApril 24.04. 27.04. Juni 22.06. 26.06.Mai 04.05. 08.05. 29.06.

11.05. 15.05. H Juli 03.07. 06.07.18.05. 22.05. 10.07. H 13.07.29.05. 17.07. 20.07.

Juni 01.06. 08.06. 24.07. 27.07.12.06. 19.06

Tabelle 1.1: Vorlesungstermine. An den mit �H� markierten Terminen wer-de ich in der Vorlesung vertreten, da ich als gewähltes Mitgliedan der Sitzung des Universitätsrates teilnehme.

1.4.2 Seminargruppen

Gruppe 1 Frank Sperka, Montag, 10�12, O25/H6 und Mittwoch 16�18, O25/169

Gruppe 2 Christopher Eckert, Montag 10�12, N25/203 und Mittwoch 16�18,N25/203

Gruppe 3 Michael Holzwarth, Montag 10�12, N25/204 und Mittwoch 16�18,N25/204

Gruppe 4 Andreas Kleiner, Montag 16�18, N25/207 und Mittwoch 16�18,N25/207

Gruppe 5 Daniel Mark, Montag 16�18, N25/203 und Mittwoch 16�18, O25/151


mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]

Vorläu�geVersion

17 1.4 Termine

1.4.3 Seminardaten

Übung Daten Übung Daten1. Teil 2. Teil 1. Teil 2. Teil

1 26. 04. 2006 8 12. 06. 2006 14. 06. 20062 03. 05. 2006 9 19. 06. 2006 21. 06. 20063 08. 05. 2006 10. 05. 2006 10 26. 06. 2006 28. 06. 20064 15. 05. 2006 17. 05. 2006 11 03. 07. 2006 05. 07. 20065 22. 05. 2006 24. 05. 2006 12 10. 07. 2006 12. 07. 20066 29. 05. 2006 31. 05. 2006 13 17. 07. 2006 19. 07. 20067 07. 06. 2006 14 24. 07. 2006 26. 07. 2006

Tabelle 1.2: Seminartermine


Vorläu�geVersion

Einleitung 18


Vorläu�geVersion

2 Mechanik deformierbarer

Medien

Bis jetzt haben wir mit starren Körpern gerechnet, aber: starre Körper existie-ren nicht.Körper können folgendermassen deformiert werden:

Abbildung 2.1: Arten der Deformation eines deformierbaren Körpers

2.1 Elastomechanik

2.1.1 Dehnung und Kompression

Zieht man an einem Draht (Länge `, Querschnitt d und Querschnitts�äche A =π4d2), dann vergrössert sich die Länge um ∆` und verringert sich (meistens) der

Querschnitt um ∆d.

∆` = �`

−∆d = µ�d (2.1)

Es sind

• � die relative Dehnung

• µ die Poisson-Zahl

Vorläu�geVersion

Mechanik deformierbarer Medien 20

Wir de�nieren nun die Spannung

σ =F

A(2.2)

dabei ist F die an der Querschnitts�äche A wirkende Kraft .

Das Hookesche Gesetz verknüpft Spannung σ und Dehnung �

σ = E� (2.3)

E ist eine Materialkonstante, der Elastizitäts- oder der Dehnungsmodul (imenglischen Young's Modulus genannt).Einheiten

• �: dimensionslos

• σ: Nm2

• E: Nm2

Wenn wir die obigen Gleichungen umschreiben, erhalten wir

δ` =1

E

`F

A(2.4)

Aus Änderung des Querschnitts und der Länge können wir die Volumenänderungberechnen. Wir setzen an, dass V = `d2 ist

∆V = d2∆`+ 2`d∆D = V∆`

`+ 2V

∆d

d(2.5)

Umgeschrieben erhalten wir

∆V

V=

∆`

`+ 2

∆d

d= �− 2µ� = �(1− 2µ) = σ

E(1− 2µ) (2.6)

Wir sehen, dass für positives ∆V die Poisson-Zahl der Ungleichung µ ≤ 0.5genügen muss. In speziellen fällen kann µ auch grösser als 0.5 sein.Wir haben hier σ und � als Skalare angenommen.Wird der Testkörper hydrostatischem Druck ∆p unterworfen, ist also die Span-

nung auf allen Seiten gleich, ändert sich das Volumen um den dreifachen Wert,der bei einer uniaxialen Spannung auftreten würde.

∆V

V= −3∆p

E(1− 2µ) (2.7)

Die Kompressibilität κ = ∆VV ∆p

ist

κ =3

E(1− 2µ) (2.8)


Vorläu�geVersion

21 2.1 Elastomechanik

Wird ein Draht gedehnt, kann ihm die Federkonstante k = ∆F∆`

= AE`

zuschrei-ben.Bei der Dehnung wird die Arbeit

W =

∆`∫0

kxdx =1

2k∆`2 =

1

2EA`

∆`2

`2=

1

2EV �2 (2.9)

verrichtet. Wenn wir die Arbeit , oder Energie, pro Volumeneinheit ausrechnen, istdie elastische Energiedichte

w =1

2E�2 (2.10)

2.1.2 Scherung

Abbildung 2.2: Scherung eines Würfels

Wenn die Kraft F tangential zur Ober�äche steht, dann wird der Testkörpergeschert. Wenn die Stirn�äche des Würfels A ist, ist die Schubspannung

τ =F

A(2.11)

Als Konsequenz dieser Schubspannung wird der Testkörper um den Winkel αgeschert.

τ = Gα (2.12)

Einheiten

• α: dimensionslos

• τ : Nm2

• G: Nm2


Vorläu�geVersion


G ist der Schub- oder Torsionsmodul (englisch: shear modulus)Analog zur Energiedichte der axialen Deformation kann auch für die Scherener-

giedichte

w =1

2Gα2 (2.13)

geschrieben werden.

2.1.3 Verdrillung eines Drahtes

Abbildung 2.3: Verdrillung. Zur Berechnung wird der Draht in koaxialeZylinder unterteilt.

Hier verdrehen zwei entgegengesetzte Drehmomente M einen Draht um denWinkel φ. Ein Hohlzylinder mit dem Radius r un der Dicke dr wird um

α =rφ

`(2.14)

geschert. Wir benötigen die Scherspannung τ = Gα und eine Scherkraft dF =τ · 2πrdr. Das Drehmoment ist also

dM = dFr =2πGφ

`r3dr (2.15)

Das gesamte Drehmoment erhalten wir durch Integration

M =

R∫0

=2πGφ

`r3dr =

π

2GR4

`φ (2.16)

Wir können dem Draht die Richtgrösse

Dr =M

φ=π

2GR4

`(2.17)

zuschreiben. Beachte, dass die Richtgrösse Dr extrem stark vom Drahtdurchmesserabhängt.


Vorläu�geVersion


2.1.4 Biegung

Abbildung 2.4: Biegebalken

Biegebalken werden heute in vielen die Ober�ächen abtastenden Instrumenteneingesetzt. Als Stimmgabeln sind sie die zeitbestimmenden Elemente in einer Uhr.Der Balken der Länge `, Breite b und Dicke h soll einseitig eingespannt sein.

Wir legen am Ende eine Kraft F an, die senkrecht zur ursprünglichen Lage desBalkens sein soll. An einem Punkt im Abstand x vom Balkenende ist als Wirkungder Kraft der Balken gebogen, und zwar mit einem Krümmungsradius von r. Dieoberen Schichten werden um h

2rgedehnt, die unteren entsprechend gestaucht. In

der Mitte be�ndet sich (rot eingezeichnet) die neutrale Faser Gemittelt über dieobere Hälfte des Balkenquerschnitts (über der neutralen Faser) ist die Dehnungh4r. Die untere Hälfte ist entsprechend gestaucht. Sowohl für die Stauchung wie

auch für die Dehnung wird eine Kraft von F̃ = E · h4r

hb2, und analog dazu eine

Kraft für die Stauchung. Die beiden Kräfte bilden ein Kräftepaar (Abstand h2),

das Drehmoment

M(x) = F̃h

2≈ Eh

3b

16r≈ αEh

3b

r(2.18)

α ist hier eine Schätzung und müsste mit einer ausführlicheren Rechnung be-rechnet werden. Für einen rechteckigen Querschnitt zeigt die genauere Rechnung,dass α = 1/12 und nicht 1/16 ist. Die Ursache für das Drehmoment M(x) ist dieKraft F am Ende des Balkens im Abstand x. Wir erhalten

Fx = M(x) =αEh3b

r(2.19)

oder

r =αEh3b

Fx(2.20)


Vorläu�geVersion


Die Krümmung 1/r ist an der Einspannungsstelle am grössten. Die Spannung σist

σ = Eh

2r=Eh

2

F`

αEh3b=

F`

2αh2b(2.21)

Wird die Festigkeitsgrenze überschritten, bricht der Balken an der Einspann-stelle. Die Belastbarkeit eines einseitig eingespannten Balkens ( und auch eineszweiseitig eingespannten oder aufgestützten Balkens) geht mit h

2b`.

Typische Anwendungen einseitig eingespannter Balken �nden sich in der Mikro-systemtechnik.

Abbildung 2.5: Prinzip der Herstellung eines freitragenden, einseitig ein-gespannten Balkens mit mikrotechnologischen Mitteln (W.Noell Dissertation Ulm und IMM Mainz[Noe98, 84])

Abbildung 2.6: REM (Rasterelektronenmikroskop)-Bilder des Balkens a)und der Sonde b) eines AFM-Sensors (W. Noell Disserta-tion Ulm und IMM Mainz[Noe98, 85])


Vorläu�geVersion


2.1.5 Beziehung zwischen den elastischen Konstanten

Abbildung 2.7: Zusammenhang zwischen Scherung und Dehnung

Die blau eingezeichneten Kräfte in der obigen Abbildung bewirken eine Scherungum den Winkel α. Der Schermodul des Materials ist also

G =2F

αd2

Die blauen Kräfte können jeweils in zwei halb so grosse Kräfte (rot) aufgespal-ten werden. Nun werden jeweils zwei rote Kräfte von zwei nebeneinander liegendenFlächen zusammengefasst; das Resultat sind die grünen Kräfte. Diese bewirken ei-ne reine Dehnung oder Stauchung. Jede Scherung kann also als Kombinationvon einer Stauchung und einer orthogonal dazu liegenden Scherung auf-gefasst werden. Die eine Diagonale wird um αd/

√2 gedehnt, die andere um den

gleichen Wert gestaucht. Die Kräfte wirken auf die mittlere Fläche der Grössed · d√

2. Die Kräfte müssen gemittelt werden, so dass sie e�ektiv nur halb so grosswie ursprünglich angenommen sind. jeder der Kräfte F/

√2 erzeugt eine relative

Dehnung oder Stauchung um FEd2

in ihrer Richtung und eine Querkontraktion oder-dilatation von µ F

Ed2dazu. Beide Kräfte bewirken eine Kontraktion oder Dilatation

von 2F (1+µ)Ed2

= ∆``

= αd√2d√

2= α

21. Wir erhalten

E =4F (1 + µ)

αd2

und durch Vergleich

E = 2G(1 + µ) (2.22)

1Die Kräfte an gegenüberliegenden Ecken haben die gleiche Wirkung: die eine ist die Gegenkraft

zur anderen, deshalb muss nur eine berücksichtigt werden.


Vorläu�geVersion


Da die Poissonzahl 0 < µ < 0.5 ist, bekommt man auch

E

2> G >

E

3(2.23)

2.1.6 Anelastisches Verhalten

Abbildung 2.8: Spannungs-Dehnungs-Kurven von Stahl und Grauguss

Bei grossen Deformationen ist die Antwort des deformierten Körpers nicht mehrlinear. Wir nennen diesen Bereich auch den �Nicht-Hookeschen� Bereich. Im obi-gen Bild wird das Verhalten für Grauguss und Stahl dargestellt. Es können diefolgenden Bereiche unterschieden werden:

• Für kleine Dehnungen � bis zur Elastizitätsgrenze σE wir alle in der Defor-mation gespeicherte Energie bei der Entlastung wieder zurückgewonnen.

• Bis zur Proportionalitätsgrenze σP ist die Dehnung proportional zur Span-nung.

• An der Streckgrenze σS beginnen, manchmal schubweise, starke plastischeVerformungen.

• An der Festigkeitsgrenze σF , auch Fliessgrenze genannt, beginnt das Materialzu �iessen.

• Bei der Bruchdehnung �B bricht das Material.


Vorläu�geVersion


2.1.7 Elastomechanik anisotroper Körper

Abbildung 2.9: Allgemeine Kräfte an einem Würfel

An einem Würfel können im allgemeinen Falle die folgenden Kräfte oder Span-nungen sowie Deformationen auftreten:

• An jeder der 6 Flächen können� 3 unabhängige Kräfte (2 parallel zur Fläche, eine senkrecht dazu) und� 3 unabhängige Deformationen, die aus einer Kompression oder Di-latation sowie zwei Scherungen bestehen.

• Da keine Netto-Kraft und kein Netto-Drehmoment auf den Würfel wirkensoll, müssen die Kräfte in die x-, y-, oder z-Richtung auf gegenüberliegendenSeiten gegengleich sein.

• Wir können also 3 mal 3 Kräfte spezi�zieren.

• Ebenso müssen die Deformationen auf gegenüberliegenden Seiten gegengleichsein.

• Wir haben also als Resultat der 3 mal 3 Kräfte 3 mal 3 Deformationen.

• Kräfte und Deformationen sind jeweils 3 mal 3 Matrizen, die über einenTensor 4. Stufe (eine 3 mal 3 mal 3 mal 3 Matrix) miteinander verbundensind.

Formal

σi,j =∑

k

∑`

Ei,j,k,`�k,` mit i, j, k, ` = x, y, z (2.24)


Vorläu�geVersion


Im allgemeinen Falle heisst das, dass für gleiche Kräfte die Antwort des Systemsvon der Orientierung der Probe abhängt. Je höher die Symmetrie eines materialsist, desto weniger unabhängige Konstanten gibt es. Im Grenzfall des isotropenMediums bleiben zwei, E und G.

2.2 Flüssigkeiten und Gase

2.2.1 Aggregatszustände

Materie besteht aus Atomen oder Molekülen. Sie kommt in 4 verschiedenen Zu-ständen, Aggregatszustände genannt, vor.

FestFlüssig Gas Plasma

wohlde�nierteAbstände

wohlde�nierteAbstände

Abstände va-riabel

Abstände va-riabel

geometrischperiodischeAnordnung

nur Nahord-nung

keine Nahord-nung

keine Nahord-nung

Form ist stabil grössere Kräf-te zwischenAtomen

sehr kleineKräfte zwi-schen Atomen

Kerne undElektronensind getrennt,grosse Cou-lombkräfte

grosse Kräftezwischen Ato-men

im Gravi-tationsfeld

wohlde�nierteOber�äche

Im Gravita-tionfeld keinede�nierteOber�äche

Im Gravita-tionfeld keinede�nierteOber�äche

schwingen ge-geneinander

verschiebensich gegenein-ander

Dichte ≈ 1000x kleiner als inFlüssigkeit

Dichte varia-bel

form- und vo-lumenelastisch

Formänderungkraftlos mög-lich (ohneGeschwindig-

keit)

raumfüllend raumfüllend

Tabelle 2.1: Aggregatszustände

2.2.2 Gestalt von Flüssigkeitsober�ächen


Vorläu�geVersion

29 2.2 Flüssigkeiten und Gase

Abbildung 2.10: Flüssigkeitsober�äche

Eine Kraft F tangential zur Flüssigkeitsober�äche bewirkt eine Verschiebungaber keine Formänderung

An der Flüssigkeitsober�äche gibt es keine Tangentialkräfte.

Abbildung 2.11: Ober�äche einer rotierenden Flüssigkeits�äche

Beispiel: Ka�ee beim Umrühren. Wir wollen die Form der Flüssigkeits�ächeberechnen.

Fres =

√(dm ω2r)2 + (dm g)2

=(√

ω4r2 + g2)dm

tgα =dm ω2r

dm g=ω2r

g(2.25)

und

y =

r∫0

ω2r

gdr =

1

2

ω2

gr2 (2.26)

Eine rotierende Flüssigkeitsober�äche hat also Parabelform.

2.2.3 Druck


Vorläu�geVersion


Abbildung 2.12: De�nition des Druckes

Druck ist die Kraft pro Fläche auf die Berandung eines Behälters.Es sei

∆F n = −p ·∆A ·nWir nennen p den isotropen Druck. Die Einheit von p ist Pascal

[Nm2

]= [Pa]

Bemerkung: die Energiedichte EVhat die gleiche Einheit wie der Druck. Ein-

gehendere Überlegungen zeigen, dass Druck immer mit einer Energiedichte, undEnergiedichte mit Druck verbunden ist.

Merken Sie sich die Identität:

Energiedichte =Druck

2.2.3.1 Wirkung auf Körper

Eine Druckänderung ∆p bewirkt eine Volumenänderung.

∆V

V= θ = ∆ lnV (2.27)

Lokal bewirkt eine Volumenänderung ∆V eine Dichteänderung ∆ρ.

θ = −∆ρρ

= −∆ ln ρ (2.28)

(Wenn das Volumen abnimmt, nimmt die Dichte zu.)Die Volumenänderung ist proportional zur Druckänderung

∆p = −Kθ = − 1βθ (2.29)

K heisst Kompressionsmodul. Seine Einheit ist 1Pascal = 1Pa = 1 Nm2. Wir

haben weiter

κ = − 1V

dV

dp=

1

ρ

dρ

dp(2.30)

κ heisst Kompressibilität. Ihre Einheit ist Pa−1 = m2

N


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2.2.3.2 Hydraulische Presse

Abbildung 2.13: Hydraulische Presse

Wir haben

F1 = pA1

F2 = pA2

undF1A1

=F2A2

(2.31)

Bemerkung: Die Wirkung von hydraulischen Pressen kann sehr gut mit virtuellenVerrückungen berechnet werden.

2.2.3.3 Druckarbeit

Abbildung 2.14: Druckarbeit

Das Di�erential der Druckarbeit ist

dW = Fdx = pAdx = −pdV (2.32)

da daAdx = −dV ist. Also ist die geleistete Arbeit :

W = −∫pdV =

∫βV pdp (2.33)


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Ändert sich V wenig, so ist die Druckarbeit

W = V

∫βpdp =

1

2βV(p22 − p21

)(2.34)

2.2.4 Schweredruck

Abbildung 2.15: Berechnung des Schweredruckes

Wir berechnen die Kraft bei (1). Die Masse des verdrängten Wassers ist Ahρ =m. Die daraus resultierende Gewichtskraft beträgt F = mg = Ahρg. Also ist derSchweredruck des Wassers

p =F

A= hρg (2.35)

unabhängig von A. In einem Meter Tiefe ist der Schweredruck 10kPa, das heisstes ist unmöglich mit einer Schnorchel von 1m Länge zu atmen. Der Schweredruckhängt nur von der Flüssigkeitshöhe ab, nicht jedoch vom Querschnitt der Flüssig-keitssäule. Deshalb steht in kommunizierenden Rohren das Wasser überall gleichhoch.

2.2.4.1 Auftrieb

Abbildung 2.16: Auftrieb in Flüssigkeiten


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Wir betrachten einen untergetauchten Würfel. Die Kraft von oben ist

F1 = −ρghA

Die Kraft von unten ist

F2 = +ρg (h+ l)A

Also ist der Auftrieb

FA = F2 + F1 = ρglA = ρgV (2.36)

Salopp gesagt, ist der Auftrieb die �Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit�.Ein Körper schwebt im Wasser, wenn

FA = FG (2.37)

ist.

2.2.4.2 Schwimmen

Abbildung 2.17: Schwimmen

Wenn ρK < ρ ist die Gewichtskraft Fg = ρK lAg. Die Auftriebskraft ist hingegenFA = ρhAg. Der Körper schwimmt, wenn die Auftriebskraft gleich der Gewichts-kraft ist (FA = Fg). Dann ist

ρK lAg = ρhAg (2.38)

und der Körper taucht bis zu

h = l · ρKρ

(2.39)

ins Wasser ein.Wann schwimmt ein Körper stabil?


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Abbildung 2.18: Stabilität eines schwimmenden Körpers

Sei S der Schwerpunkt des Körpers. SF sei der Schwerpunkt der verdrängtenFlüssigkeit . Solange der Körper schwimmt ist F A = −F G. Die beiden Kräftebilden ein Kräftepaar und damit erzeugen sie ein Drehmoment

T = R× F A (2.40)

Dieses Drehmoment richtet den Körper auf. Wenn S unter SF liegt, ist dieSchwimmlage stabil. Wenn S über SF liegt, hängt die Stabilität von der Lage desMetazentrums M ab.Das Metazentrum ist durch die Schnittlinie der Mittelliniedes Körpers und der Verlängerung von F A gegeben. Die Schwimmlage ist stabil,wenn M über S liegt.

2.2.4.3 Aräometer

Abbildung 2.19: Aräometer

Mit einem Aräometer misst man die Dichte einer Flüssigkeit (Schnapswaage).


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Wir haben

m = ρ (V0 + A ·h)

h =m

Aρ− V0A

2.2.5 Gasdruck

Das Gesetz von Boyle-Mariotte lautet

V =c

p(2.41)

Damit es anwendbar ist, brauchen wir

• eine hohe Temperatur

• eine kleine Dichte

c hängt von der Temperatur T und der Anzahl Moleküle ab. Bei T = 0◦C istdas Volumen eines Gases

V = 22,4m

M· 1p

(2.42)

wobei m die Masse des Gases, M die Molmasse, V das Volumen in Litern undp der Druck in bar ist. Bei langsamen Zustandsänderungen ist

κ(isotherm) = −1

V

dV

dp=

1

V

c

p2=

1

p(2.43)

2.2.6 Atmosphärendruck

Der Luftdruck kann mit einem Barometer gemessen werden.

Abbildung 2.20: Quecksilber-Barometer

A ·h · ρHggA

= pAth = h · ρHgg (2.44)

Normaldruck: 760mm Hg∧= 760Torr

∧= 1atm

∧= 1013hPa


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2.2.6.1 Höhe der Atmosphäre bei konstanter Dichte und konstantemDruck

Die Dichte der Luft bei Umgebungsbedingungen ist

ρL = 1.29kg

m3

mitρgh = pAtm (2.45)

bekommt man

h =pAtmρg≈

105 Nm2

10ms2

1,3 kgm3

≈ 8 · 103m (2.46)

Aber: Gesetz von Boyle-Mariotte

V =c

p⇒ ρ = c̃ · p′ (2.47)

Abbildung 2.21: Druckänderung mit der Höhe

mit p′ < p folgt∆p = p′ − p = −ρ (h) g∆h (2.48)

unddp

dh= −ρ (h) g (2.49)

Nun ist aber

ρ

p= const =

ρ0p0

(2.50)

wobei ρ0,p0 auf Meereshöhe gemessen werden.Also ist

ρ (h) =ρ0p0p (h) (2.51)

unddp

dh= −ρ0

p0g p (2.52)


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Die Lösung istp = p0e

−Ah (2.53)

Wir setzen ein und erhalten

Ap0e−Ah = −ρ0

p0gp0e

−Ah (2.54)

oderA =

ρ0p0g (2.55)

Alsop = p0e

−ρ0 ghp0 (2.56)

Diese Gleichung heisst isotherme barometrische Höhenformel . Sie ist eine Nä-herung, da wir die Temperatur als konstant angenommen haben ebenso wie denFeldvektor des Gravitationspotentials g (h) = g0 = const.

2.2.7 Druck als Potential

Der Druck p (r) sei eine skalare Funktion des OrtesBehauptung:

F V (r) = −grad (p (r)) (2.57)

F V (r) ist die Volumenkraft. Das ist die resultierende Kraft auf die Ober�ächedes Volumenelements, dividiert durch das Volumen dieses Elements.Beweis

Abbildung 2.22: Druck auf ein Volumenelement

also

−∆F (z + ∆z) + ∆F (z) = − (p (z + ∆z)− p (z)) ∆x ·∆y

= −∂pdz·∆z ·∆x ·∆y

= −dpdz·∆V (2.58)

Daraus folgt die Behauptung.


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Eine andere Möglichkeit des Beweises ist: Wähle ein Volumenelement ∆V mitder Ober�ächen ∆a

∆F V =

∫∆a

d F =

∫∆a

−p ·nda =∫

∆V

grad (−p) dV (2.59)

Beispiel: Wasser:

Abbildung 2.23: Kräfte auf ein Volumenelement Wasser

p (r) = −ρH20 · zgr = (x,y,z)

grad (p (r)) = − (0,0,ρH20g)F V = (0,0,ρH20g)

=

(0,0,1000

kg

m3· 10m

s2

)=

(0,0,104

N

m3

)(2.60)

Der Druck ist also das Potential zur Volumenkraft

p (r) = p (r0)−r∫

r0

F v (r) dr (2.61)

Gravitationspotential ↔ Feldvektor der GravitationDruck ↔ VolumenkraftTabelle 2.2: Analogie zwischen Gravitation und Druck

Daraus folgt:

• Volumenkraft ist wirbelfrei


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39 2.3 Ober�ächenspannung

• Die Flüssigkeitsober�äche ist eine Äquipotential�äche. das heisst, gradpsteht senkrecht zur Ober�äche

2.3 Ober�ächenspannung

Abbildung 2.24: Molekulares Bild der Ober�äche

Kräfte sind isotrop verteilt Nettokraft in das Innere der Flüssigkeit

Schiebt sich ein Molekül an die Ober�äche, so leistet es die Arbeit Wis (M) gegenF Salso ist

E(M) = Wis(M) (2.62)

Die potentielle Energie der Moleküle in der Ober�äche A ist minimal, wenn dieOber�äche A minimal ist.

ES (M) = σS ·A (2.63)

Die Einheit von σS ist[

Nm

]. σS heisst Ober�ächenspannung.

Wenn n ·A Moleküle an der Ober�äche sind, gilt

σS = nEA (M) =1

deff2ES (M) (2.64)

Dabei ist n = 1deff2

die Flächendichte der Moleküle, deff der e�ektive Durch-

messer eines Moleküls und ES (M) die Arbeit , die benötigt wird um ein Molekülgegen die Ober�ächenkraft an die Ober�äche zu bringen.Anwendung:


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Abbildung 2.25: Berechnung der Kraft eines Flüssigkeits�lmes

1. Der Flüssigkeits�lm hat 2 Ober�ächen

2. Verschiebung um ∆y benötigt die Arbeit

∆F ·∆y = 2∆ES = σS · 2∆A = 2σSb∆y (2.65)

und∆F = 2σSb (2.66)

Pro Flüssigkeitsober�äche wirkt auf die Breite ∆x die Kraft .

∆FS = σS∆x (2.67)

Abbildung 2.26: Tropfenzähler. Situation kurz vor dem Abreissen

Der Umfang ist 2πr. Das Kräftegleichgewicht verlangt, dass kurz vor dem Ab-reissen die aufwärtsgerichte Kraft der Ober�ächenspannung gerade das Gewichtdes Tropfens kompensieren.

2πrσS = V ρg (2.68)


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41 2.3 Ober�ächenspannung

Also ist

V =2πrσSρg

(2.69)

Also kann man mit der obigen Physik einen Tropfenzähler beschreiben.

2.3.1 Freie Ober�ächen

Abbildung 2.27: Krümmungsradien bei einer freien Ober�äche

Die Ober�äche ist charakterisiert durch 2 Krümmungsradien R1 und R2Behauptung

1

R1+

1

R2=

∆p

2σS(2.70)

Beweis für eine Kugel

Abbildung 2.28: Ober�ächenspannung und Druck in einer Kugel

Wir haben eine Äquatorial�äche A und einen Äquatorialumfang U . Die Druck-kraft ist ∆p ·A, die Ober�ächenspannung am Umfang 2σSU (da wir 2 Ober�ächenhaben!)


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Also

∆pA = 2σSU

∆pπR2 = 2σS · 2πR2

R=

∆p

2σS=

1

R1+

1

R2(2.71)

da bei der Kugel R1 = R2 = R ist.Beispiel Seifenblasen.Die kleinere Seifenblase hat den grösseren Druck (gilt auch für Luftballons, wie-

so?)Freie Ober�ächen sind Minimal�ächen mit

1

R1+

1

R2= 0 (2.72)

Da der Krümmungsradius R−1 ∝ ∂2z∂x2

ist, gilt auch

∂2z

∂x2+∂2z

∂y2= 0 (2.73)

2.3.2 Benetzende Flüssigkeiten, Kapilarität

Abbildung 2.29: Benetzende Flüssigkeiten

Steigt die Flüssigkeit wird ihre Ober�äche kleiner.

FGraviation = FS (am Umfang) (2.74)

πr2 ·h · ρ · g = σS · 2πr (2.75)und

h =2σSrρg

(2.76)

Bei Nichtbenetzung hat man eine Kapilardepression (Beispiel Glas und Queck-silber)


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43 2.4 Strömungen

Grenz�ächenenergien existieren zwischen beliebigen Medien.

Abbildung 2.30: Kräftegleichgewicht an der Grenz�äche

Sei σ23 negativ. Dann ist

σ12 cos θ = σ13 − σ23 (2.77)

Wenn σ13−σ23 > σ12 ist, kriecht die Flüssigkeit hoch. Wenn σ23 > σ13 > 0 dannist θ > 90◦. Beispiel: Quecksilber.

Das Problem kann auch anders angesehen werden:

• Flüssigkeitsteilchen werden von der Wand durch Adhäsionskräfte angezogen

• Flüssigkeitsteilchen werden von der Flüssigkeit durch Kohäsionskräfte ange-zogen

2.4 Strömungen

2.4.1 Beschreibung von Strömungen

Abbildung 2.31: Vektorfeld der Strömung


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An jedem Punkt hat die Geschwindigkeit v (r) einen Betrag und eine Richtung.Das Vektorfeld v (r) ist durch Stromlinien charakterisiert. Wenn v (r) nicht von

der Zeit abhängt, heisst die Strömung stationär.Bahnlinien: Bahn eines TeilchensBei stationären Strömungen sind Bahnlinien und Stromlinien identisch. Inkom-

pressible Strömungen sind Strömungen mit konstanter Dichte ρ.

2.4.1.1 Fluss

Abbildung 2.32: Fluss

Der Fluss ist de�niert als

dφ = ρv cosαdA (2.78)

oderdφ = ρv · dA (2.79)

Integralform

φ =

∫A

ρvd A =

∫A

jdA (2.80)

wobei A beliebige Fläche (auch gekrümmt) ist. φ ist der Fluss. Er hat die Einheit

[φ] =kg

s

j = ρv ist die Stromdichte (analog zum elektrischen Strom). Ihre Einheit ist

[j] =kg

m2s

Bei einer geschlossenen Fläche �iesst netto Masse aus dem Volumen heraus, wenneine Quelle im Volumen ist. Bei geschlossenen Flächen wird der Fluss nach aussenimmer positiv gezählt, nach innen negativ.

Abbildung 2.33: Berechnung der Divergenz


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45 2.4 Strömungen

Im allgemeinen Fall ändert die Dichte mit dem Ort. Wir haben links die Dichteρ(x) und die Geschwindigkeit vx(x) und rechts ρ(x + dx) = ρ(x) +

∂ρ∂xdx und

vx(x+ dx) = vx(x) +∂vx∂xdx. Zusammen erhalten wir

dφ1 (x, y, z) = −ρ (x, y, z) vx (x, y, z)dφ2 (x, y, z) = ρ (x+ dx, y, z) vx (x+ dx, y, z) dydz

=

(ρ (x) vx (x) +

[ρ (x, y, z)

∂vx∂x

+∂ρ

∂xvx (x, y, z)

]dx

)dydz

wobei die Zweitordnungsterme mit dx2 vernachlässigt wurden. Der Netto�uss ist

dφ1 (x, y, z) + dφ2 (x, y, z) =

[ρ (x, y, z)

∂vx∂x

+∂ρ

∂xvx (x, y, z)

]dxdydz

=∂

∂x[ρ (x, y, z) vx (x, y, z)] dxdydz

=∂

∂x[ρ (x, y, z) vx (x, y, z)] dV =dφx (x, y, z)

Analog bekommt man für die y- und die z-Richtung:

dφy (x, y, z) =∂

∂x[ρ (x, y, z) vx (x, y, z)] dV

dφz (x, y, z) =∂

∂x[ρ (x, y, z) vx (x, y, z)] dV (2.81)

Der Netto�uss aus dem Volumen ergibt sich zu

dφ (x, y, z) = dφx (x, y, z) + dφy (x, y, z) + dφz (x, y, z)

=

(∂ (ρvx)

∂x+∂ (ρvy)

∂y+∂ (ρvz)

∂z

)dV (2.82)

Ohne Quelle ist dφ = 0. Die Grösse

div (ρv) =∂ (ρvx)

∂x+∂ (ρvy)

∂y+∂ (ρvz)

∂z(2.83)

(Divergenz) beschreibt die Quellen und Senken in einem Fluss. Sie ist in demFalle auch gleich null.Wenn div (v(r)) 6= 0 ist, so muss sich die Dichte an der Stelle r ändern, oder es

muss eine Quelle vorhanden sein.Wir erinnern uns, der Fluss φ beschreibt die Massenänderung pro Zeit im Vo-

lumen dV . Die Masse im Volumen dV nimmt um dφdt ab (bei positivem dφ undnimmt um ρ̇dV dt zu. Zusammen ergibt sich

dm = −dφdt = −div (ρv)dV dt = ρ̇dV dt

und damit

dφ = div (ρv) dV = −ρ̇dV (2.84)


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Damit bekommt man

div (ρv) = −ρ̇ (2.85)Dies ist die Kontinuitätsgleichung.

Wenn ρ nicht vom Ort abhängt, hat man auch.

ρdivv = −ρ̇

Dann heisst ρdivv = div j die Quelldichte.

Eine quellenfreie inkompressible Strömung hat überall divv = 0.

Es gilt:

φ =

∫∫A

(ρv) dA

︸︷︷︸Fluss durch A (�Materialmenge�)

=

∫∫∫V

div (ρv) dV = −∫∫∫

V

ρ̇dV

︸︷︷︸Änderung der Dichte

(2.86)

da der Satz von Gauss für ein beliebiges Vektorfeld x besagt

∫∫A

x · dA =∫∫∫

V

(divx)dV (2.87)

Abbildung 2.34: Stromlinien in einer inkompressiblen Flüssigkeit

Die Stromlinien durch A de�nieren einen Schlauch, die Stromröhre, die keinenAustausch mit der Umgebung hat. Also ist in einer inkompressiblen Flüssigkeit

A1v1 = A2v2 (2.88)

Dies ist die makroskopische Kontinuitätsgleichung.


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47 2.4 Strömungen

Abbildung 2.35: Geschwindigkeitsgradient und Rotation

Wenn die Strömung inhomogen ist, werden mitgeführte Teilchen gedreht.Wasser strömt mit ±`dvy

dxam Würfel vorbei. Wir haben ein Gleichgewicht, wenn

ωz =∂vy∂x− ∂vx

∂y(2.89)

ω zeigt in die z Richtung. Im Allgemeinen ist

ω =

(∂vz∂y− ∂vy

∂z,∂vx∂z− ∂vx

∂y,∂vy∂x− ∂vx

∂y

)(2.90)

mit ∇ =(

∂∂x, ∂∂y, ∂∂z

)wird

rot v = ∇ × v die Rotation des Strömungsfeldes.Es gilt dann ∮

vds︸︷︷︸Bahnkurve s

=

∫rot vdA︸︷︷︸

von s berandete Fläche

(2.91)

Falls rot v = 0 ist kann v aus dem Geschwindigkeitspotential U abgeleitetwerden.

v = −gradU (2.92)

Dann gilt rot v = 0Für inkompressible Flüssigkeiten gilt

divv = −div gradU = −∆U = 0 (2.93)

Wir haben also drei unterschiedliche physikalische Phänomene, die durch diegleiche Mathematik beschrieben werden:Strömung ←→ Graviation ←→ Elektrostatik

2.4.2 Lokale und totale Ableitungen


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Abbildung 2.36: Mitbewegtes System

Sei S∗ das Laborsystem, S das mitbewegte System,das ∆m folgt. Seien s∗ lokalezeitliche Ableitungen und s totale zeitliche AbleitungenDas 2. Newtonsches Gesetz beschreibt die Bewegung von ∆m, aber nur in S (t)(in S∗ betrachtet man Volumina, nicht Massen)Also ist

F m =F

m= a =

dv

dtin S (t) (2.94)

Lokale Ableitung:r ist in S∗ fest

∂ρ

∂t=

∂

∂tρ (r,t) =

∂

∂tρ (x,y,z,t)

∂v

∂t=

∂

∂tv (r,t) =

∂

∂tv (x,y,z,t) (2.95)

Totale zeitliche AbleitungenIn S (t) beschreiben die physikalischen Grössen das gleiche Teilchen.

r = r (t) = (x (t) ,y (t) ,z (t)) (2.96)

wobei x (t) die Koordinaten in S∗ sind

ρ = ρ (r (t) ,t) = ρ (x (t) ,y (t) ,z (t) t)

v = v (r (t) ,t) = v (x (t) ,y (t) ,z (t) t) (2.97)

Ableitung: totale Ableitung auf der Bahn r (t)

dρ

dt=

d

dtρ (x (t) ,y (t) ,z (t) ,t)

a =dv

dt(2.98)

Zusammenhang:Dichte

d

dtρ =

∂

∂tρ+ (grad ρ) ·v (2.99)


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49 2.4 Strömungen

Beweis:d

dtρ =

∂ρ

∂x· ∂x∂t

+∂ρ

∂y· ∂y∂t

+∂ρ

∂z· ∂z∂t

+∂ρ

∂t(2.100)

qed.Beschleunigung :

a =dv

dt=∂v

∂t+ (grad v) v =

∂v

∂t+ grad

(1

2v2)− v × rotv (2.101)

2.4.2.1 Kontinuitätsgleichung

Grund Massenerhaltung

∂ρ

∂t+ div (ρv) =

∂ρ

∂t+ ρ div v = 0 (2.102)

Beweis: Ortsfests Volumen

∆V = ∆x ·∆y ·∆z

δ (∆m) = ∆x ·∆y ·∆z · ∂∂tρ

(z +

1

2∆z

)δt

= −ρ (z + ∆z) · vz (z + ∆z) δt∆x∆y + ρ (z) vz (z) · δt ·∆x ·∆yδ (∆m)

∂t= ∆x∆y∆z

∂

∂tρ (z) = −∂ (ρ (z) vz (z))

∂z·∆z ·∆x ·∆y

∂ρ (z)

∂t= − ∂

∂t(ρ (z) vz (z)) usw. (2.103)

2.4.2.1.1 Stationäre Strömung Sei ∂∂tf = 0 für beliebige f . Dann ist die Dichte

dpdt

= (grad ρ) ·v und die Kontinuitätsgleichung div (ρv) = 0.

a =dv

dt= grad

(1

2v2)− v × rotv (2.104)

Im Stromfaden giltA1ρ1v1 = A2ρ2v2 = const (2.105)

Inkompressible Flüssigkeiten

dρ

dt=∂ρ

∂t= 0

div v = 0 (2.106)

dann gilt: A1v1 = A2v2 = const.


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2.4.3 Innere Reibung

Abbildung 2.37: Innere Reibung in einer Flüssigkeit

Moleküle haben am Rand im Mittel die Geschwindigkeit der Wand.v (z) ist parallel zur Wand.Für die Kraft gilt

F = ηAv

z(2.107)

η :[

Nsm2

]heisst Viskosität (Scherviskosität)

BeispielWasser: 1.8 · 10−3 Ns

m2

Glyzerin 1Nsm2

Allgemein:

F = ηAdv

dz(2.108)

wobei A klein sein soll.Temperaturabhängigkeit:Moleküle müssen ihren Platz wechseln (→ Bolzmannstatistik)

η = η∞ebT (2.109)

2.4.4 Laminare Strömung

Abbildung 2.38: Volumenkräfte


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51 2.4 Strömungen

Laminare Stromlinien sind dadurch charakterisiert, dass benachbarte Stromlini-en benachbart bleiben (Beispiel: Blut)

dF 1 = −η∂v

∂x

∣∣∣∣1

dydz

dF 2 = η∂v

∂x

∣∣∣∣2

dydz = η

(∂v

∂x

∣∣∣∣1

+∂2v

∂x2dx

)dydz

dF R = dF 1 + dF 2 = η∂2v

∂x2dxdydz = η

∂2v

∂x2dV (2.110)

Allgemein:

dF R = η

(∂2v

∂x2+∂2v

∂2y2+∂2v

∂2z2

)dV (2.111)

oder

F VR =dF

dV= η∆v (2.112)

die Volumenkraft der Reibung

Die Druckkraft ist

dF p = pdydz −(p+

∂p

∂xdx

)dydz = −∂p

∂xdV (2.113)

alsoF Vp = −grad p (2.114)

F VR und F Vp beschreiben die Dynamik

2.4.4.1 Strömung durch einen Spalt

Abbildung 2.39: Strömung durch einen Spalt


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v = 0 an der Wandv = v0 in der Mittedvdx⇒ Reibungskraft FR = 2`bη dvdx

Druck: Fp = 2xb`dpdz

⇒ dvdx

= 1η

dpdzx

⇒ v (x) ist eine Parabel

v = v0 −1

2η

dp

dxx2 = v0 −

p1 − p22η`

x2

Am Rand ist v = 0

⇒ v0 =p1 − p2

2η`d2

2.4.4.2 Rohrströmung

Abbildung 2.40: Rohrströmung

Rand: v = 0

FR = 2πr`ηdv

dr

Fp = πr2 (p1 − p2)

alsodv

dr=p1 − p2

2η`

⇒ v = v0 −p1 − p2

2ηlr2

undv0 =

p1 − p24ηl

R2

in�nitesimal

vz (r) = −1

4η

dp

dz

(R2 − r2

)


Vorläu�geVersion

53 2.4 Strömungen

Volumenstrom: dV̇ = 2πrdr · v (r)also:

V̇ =

R∫0

2πrv (r) dr =π (p1 − p2)

8ηlR4 =

π

8η

dp

dzR4 (2.115)

Das ist das Gesetz von Hagen-Poiseuille, wobei dpdz

= −8η v̄R2

und v̄ = V̇πR2

Der Strömungswiderstand ist: 8η`πR4

2.4.4.3 Druck und Volumenstrom

Druckkraft Fp = πR2 (p1 − p2) = 8ηlR2 V̇

2.4.4.4 Strömung um Kugeln

Abbildung 2.41: Strömung um eine Kugel

Die Kugel hat im Abstand r keinen Ein�uss mehr auf die Strömung

⇒ −dvdz∼ vr

Ober�äche: 4πr2

F ≈ ηdvdz·A = −ηv

r4πr2 ∼ −4πηvr

Genauer erhält man

F = −6πηvr (2.116)

das Stokes-Gesetz.

2.4.4.5 Das Navier-Stokes-Gesetz, Bewegungsgleichung einer Flüssigkeit

Das Navier-Stokes-Gesetz, die Bewegungsgleichung für viskose Medien lautet

ρdv

dt= ρ

(∂v

∂t+ grad

v2

2− v × rotv

)(2.117)

= F V − grad p+ η∆v +(ζ +

η

3

)grad divv

= F V − grad p− ηrot (rotv) +(ζ +

4η

3

)grad divv


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wobei η die Scherviskosität, ζ die Volumenviskosität, F V die Volumenkraft (sieheGleichung (2.57) ), v das Geschwindigkeitsfeld und ρ die Dichte der Flüssigkeit ist.Die Volumenviskosität kommt von der Dissipation beim Komprimieren oder

Expandieren von Flüssigkeiten oder Gasen. Wenn wir eine Volumenelement dxdydzbetrachten, so messen wir neben der statischen Druckkraft

p n =F

A

noch eine dynamische Spannung

σ∗ n =F ∗

A= −ζ 1

ρ

dρ

dtn = −ζ

(d

dtln ρ

)n

Die Einheit der Volumenviskosität oder zweiten Viskosität ist [ζ] = kgm s

= [η].In Spezialfällen vereinfacht sich die Navier-Stokes-Gleichung.

Reibungslose Medien Hier ist η = 0 und ζ = 0. Die Navier-Stokes-Gleichungvereinfacht sich zu

ρdv

dt= ρ

(∂v

∂t+ grad

v2

2− v × rotv

)(2.118)

= F V − grad p

Inkompressible Medien Hier ist divv = 0. Die Navier-Stokes-Gleichung wird also

ρdv

dt= ρ

(∂v

∂t+ grad

v2

2− v × rotv

)(2.119)

= F V − grad p+ η∆v= F V − grad p− ηrot (rotv)

Da das Volumen sich nicht ändert, hat die Volumenviskosität keinen Ein�uss.

Potentialströmungen inkompressibler Flüssigkeiten Hier gilt divv = 0 undrotv = 0. Ebenso verschwindet die partielle Ableitung nach der Zeit. DieNavier-Stokes-Gleichung wird zu

ρdv

dt= ρ grad

v2

2(2.120)

= F V − grad p

Dies ist auch die Bernoulli-Gleichung.

Potentialströmung Hier gilt rotv = 0. Ebenso verschwindet die partielle Ablei-tung nach der Zeit. Die Navier-Stokes-Gleichung wird zu

ρdv

dt= ρ

(grad

v2

2

)(2.121)

= F V − grad p+(ζ +

4η

3

)grad divv


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55 2.4 Strömungen

2.4.4.6 Prandtl-Grenzschicht

Abbildung 2.42: Prandtl-Grenzschicht

Reibungskraft: FR = ηAVDVerschieben um `:

W = FR · ` = ηAV

D` (2.122)

Kinetische Energie in der Grenzschicht :

Ekin =1

2

D∫0

Aρdz

(v · zD

2)

=1

6Aρv2D (2.123)

mit W = Ekin wird

D =

√6ηl

ρv

Reynolds-Kriterium

D � `

⇒ `D� 1√

ρv`2

6ηl=

√ρv`

6η� 1 (2.124)

Re =ρv`

η� 1 (2.125)

dabei ist ` eine typische Dimension und v die mittlere Geschwindigkeit .wenn

• Re� 1: turbulente Strömung mit laminarer Grenzschicht

• Re� 1: laminare Strömung (Grenzschicht macht keinen Sinn)


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Allgemein gilt: Es gibt für jede Geometrie eine kinetische Reynoldszahl . Rekritmit

Re > Rekrit ⇒ turbulentRe < Rekrit ⇒ laminar (2.126)

Bem. Strömungen mit der gleichen Reynoldszahl sind ähnlich ⇒ WindkanalBei D � l ist FR = ηAVD = A

√V 3ηρ

l

FR ist etwa der Mittelwert aus

Stokes ∼ ηv` laminar, zu kleinNewton ∼ l2ρv2 turbulent, zu gross

}für Flugzeuge

2.4.5 Strömung idealer Flüssigkeiten

Abbildung 2.43: Ideale Strömung

ideal: keine Reibung, laminar

Volumenerhaltung: A1∆x1 = A2∆x2 = ∆VArbeit : ∆W1 = p1A1∆x1

∆W2 = p2A2∆x2

Energiebilanz: ∆W = ∆W1 −∆W2 = ∆Ekin

(p1 − p2) ∆V =1

2ρ∆V

(v22 − v21

)

alsop+

1

2ρv2 = p0 = const (2.127)

Dies ist die Bernoulli-Gleichung.

Ist die Flüssigkeit im Gravitationsfeld , muss noch ρgh berücksichtigt werden(allg. Wpot)


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57 2.4 Strömungen

2.4.5.1 Anwendungen

2.4.5.1.1 Manometer

Abbildung 2.44: Manometer

Ein Manometer misst nur den statistischen Druck

2.4.5.1.2 Prandtlsches Staurohr

Abbildung 2.45: Prandtlsches Staurohr

p0 − p =1

2ρv2 (2.128)

2.4.5.1.3 Strömung aus einem Loch

Abbildung 2.46: Ausströmen aus einem Loch. Der äussere Druck p0, derja überall gleich ist, wurde vernachlässigt.


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1

2ρv2 = p

v =

√2p

ρ(2.129)

Wenn der Druck p ein Schweredruck ist, gilt

p = ρgh

Es folgtv =

√2gh

Wenn v >√

2p0ρ

= vk wird der statische Druck < 0. Negative Drucke können

nicht existieren. Das System reagiert mit einer Dampfbildung (Kavitation).

2.4.6 Strömungswiderstand

Abbildung 2.47: Stromlinie

Nach Bernoulli ist der Druck vorne und hinten gleich. Also gäbe es keinen Wi-derstand (Paradoxon von d'Alembert).

Abbildung 2.48: Reales Bild einer Wirbelstrasse

Def. Wirbel: Wenn ein �Boot� auf einem geschlossenen Weg angetrieben wirdDef. Zirkulation :

Γ =

∮vds =

∫rot v da 6= 0 (2.130)


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59 2.4 Strömungen

Abbildung 2.49: Potentialwirbel

vr = 0 (2.131)

vϕ =Γ

2πr(2.132)

Beim Potentialwirbel gilt:

rot v = 0 für r > 0rot v 6= 0 für r = 0

Für r 6= 0 existiert also ein Geschwindigkeitspotential φ = Γ2πϕ

2.4.6.1 Druck und Druckgradient

Nach Bernoulli gibt es einen Radius r0, bei dem der dynamische Druck negativwürde. r0 ergibt sich zu

p = p0 −1

2ρv2 = p0 − ρ

Γ2

8π2· 1r2

p = 0 für r0 =Γ

2π

(ρ

2p0

) 12

(2.133)

d.h. für r < r0 ist das Konzept des Potentialwirbels nicht sinnvoll.Volumenkraft

F V = −grad p = −ρΓ2

4π2r

r4(2.134)

(nach innen gerichtet)

2.4.7 Helmholtzsche Wirbelsätze


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Abbildung 2.50: Helmholtzsche Wirbelsätze

In Wirbeln gelten die folgenden Gesetze:

1. Wirbelsatz Im Inneren eines Gases oder einer Flüssigkeit können keine Wirbelbeginnen.

2. Wirbelsatz Wirbel enthalten zu jeder Zeit die gleichen Teilchen

3. Wirbelsatz Die Zirkulation

Γ =

∮v · ds (2.135)

ist für jeden Wirbelquerschnitt Q senkrecht zum Wirbelfaden konstant.


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3 Wärmelehre

3.1 Wärmeenergie und Temperaturen

Beobachtung: potentielle Energie oder kinetische Energie kann in Wärme umge-wandelt werden (Beispiel. Versuch TH 110)Beobachtung: Gase bestehen aus einzelnen Teilchen mi. In Festkörpern laufen

hochfrequente Schallwellen (Phononen)Behauptung: Wärmeenergie ist kinetische Energie der TeilchenMittlere Energie ist Ē = 1

2mv̄2 für alle Teilchen gleich, unabhängig von m :=

12m 〈v2〉t→ Stossprozesse gleichen die Energie aus.

3.1.1 Gleichverteilungsatz

Abbildung 3.1: Wahrscheinlichtkeitsdichte und Anzahl Teilchen in einemEnergieintervall

Sei f (E) die Energieverteilungsfunktion d.h. in (E,E + dE) gibt es f (E) dETeilchen.Stoss eines Teilchens aus (E1E1 + dE) mit (E2E2 + dE)Wahrscheinlichkeit f (E1) · f (E2)danach sind die Teilchen in (E ′1,E

′1 + dE) und (E

′2,E

′2 + dE)

Gleichgewicht, wenn Stösse in beide Richtungen gleich wahrscheinlich sind:als f (E1) · f (E2) = f (E ′1) · f (E ′2)

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Wärmelehre 62

Energieerhaltung: E1 + E2 = E ′1 + E′2

E ′1 ist aber beliebig also mussf (E1) · f (E2) = f (E1 + E2)⇒ f (E1) = A

−E1B

e (−da f (∞) = 0)B ist der Mittelwert der Energie, für alle gleich⇒ Boltzmannverteilung

Temperatur: Mass für die mittlere kinetische Energie

Etranslation =12mv̄2 = 3

2kT

k: Boltzmannkonstante k = 1,381 · 10−23 Jk

Temperatur (gemessen in Kelvin)Konsequenz: es gibt einen absoluten Temperaturnullpunkt

Anwendung:√v̄2 = vth =

√3kTm

: Ausströmgeschwindigkeit ins Vakuum.Bem. Schallgeschwindigkeit: c < vth

ThermometerÜblicherweise wird die Länge eines Sto�es zur Temperaturänderung gemessen

l = l0 (1 + αT ) (3.1)

α :Ausdehnungskoe�.α ∼ 10−6 − 10−5 1

K

Freiheitsgrade:Bewegung im Raum ⇒ 3 Koordinaten ⇒ 3 FreiheitsgradeRotation ⇒ 3 Eulerwinkel ⇒ 3 Freiheitsgrade (wenn >1 Atom

im Molekül)Schwingungen ⇒ weitere Freiheitsgrade

Das Argument mit dem Stössen gilt auch zwischen den Freiheitsgraden, d.h. diemittlere Energie / Freiheitsgrad ist gleich Äquipartitionsgesetz.

EFreiheitsgrad =1

2kT

EMolekül =f

2kT (3.2)

f: Anzahl Freiheitsgrade

WärmekapazitätEnergie pro Molekül: Emol =

f2kT

Energie für Temperaturerhöhung ∆Emol =f2k∆T

Anzahl Moleküle der Masse m im Körper des Masse M: n = Mm

also ∆E = Mm

f2k∆T = C∆T

Wärmekapazität Cv =Mf2mk

spezi�sche Wärmekapazität Cv =fk2m


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63 3.2 Kinetische Gastheorie

Mol: NA = 6,022 · 1023 Teilchenmolmolare Wärmekapazität:Cvmol = NA

f2k

mit f=6 (z.B. Festkörper)

Cvmol = 3NAk = 25J

mol K(3.3)

Dulong Petit

Bei Gasen unterscheidet man: Cv (v = const)Cp (p = const)

Cp enthält die Kompressionsarbeit

3.2 Kinetische Gastheorie

Gase bestehen aus einzelnen Teilchen, die sich ungeordnet bewegen1. Teilchen: v = (vx,vy,vz) v2 = v2x + v

2y + v

2z

x−Komponente : vxDa x,y,z gleichwertig, ist 〈v2x〉 =

〈v2y〉

= 〈v2z〉also v2 = 3 〈v2x〉Impulsänderung der Wand ∆p = 2mvxAnzahl Teilchen die in x-Richtung �iegen: n = N

VTeilchendichte

dz = n ·A · vxdt Anzahl Teilchen

Totale Impulsänderung: dp = 2mvxdz = 2mvxnAvxdtdpdt

= F = 2mnAv2xMittlere Kraft: 〈F 〉 = 2mnA 〈v2x〉〈v2x〉 schliesst sowohl Teilchen die nach rechts laufen wie auch solche die nach

links laufen ein.also: Druck

p =1

2

〈F 〉tA

=1

3mn

〈v2〉

t

Grundgleichung von D.Bernoulli

mit 〈Etransl〉t =12m 〈v2〉t =

32kT wird

p = nkT (3.4)

Mit NV

= n N:Teilchenzahl, V:Volumenerhalten wir

pV = NkT (3.5)

Zustandsgleichung des idealen Gases.Wichtig: in der HerleitungAnnahme: keine Wechselwirkung zwischen den Teilchen, kein Eigenvolumen


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Wärmelehre 64

mit R = NAk = 8,31 JK molwir pV = νRT ν : MolzahlDaraus p ∼ V −1 (T = const.) Boyle−Mariotte

p ∼ T (V = const.) Gay − LussacV ∼ T (p = const.) Charles

3.3 Der erste Hauptsatz

Energieerhaltung:∆Q = ∆U −∆W (3.6)

∆Q : zugeführte Wärmeenergie∆W : zugeführte Arbeitsleistung∆W : abgegebene Arbeit∆U : Innere Energie

∆U :kann Bewegung sein: ∆U = νCmol∆TFür ein Gas gilt:

∆W = −p∆V ′ (3.7)also

∆Q = ∆U + p∆V (3.8)

bei idealem GasdQ = CVmolνdT + pdV (3.9)

3.4 Wärmekapazität bei konstantem Druck

Volumenarbeit:

∆V = V∆T

T(3.10)

Arbeit:

p∆V = pV∆T

T= νRT

∆T

T= νR∆T (3.11)

Erwärmungsarbeit:

CV ∆T =1

2fνR∆T (3.12)

also

Cp = CV +Rν =

(f

2+ 1

)νR (3.13)

Wärmeäquivalent:

1kcal = 4,1kJ

1cal = 4,1J (3.14)

Adiabatenexponent:

γ =CpCV

=f + 2

f(3.15)


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65 3.4 Wärmekapazität bei konstantem Druck

⇒ d.h. die Wärmekapazität erlaubt Aussage über die molekulare Struktur.Bei schnellen Vorgängen ist dQ = 0 (Beispiel Schall)dann gilt:

CVmolνdT = −pdVf

2νRdT = −νRT dV

V(3.16)

oderf

2

dT

T= −dV

V

⇒(T

T0

)− f2

=

(V

V0

)(3.17)

oderV

V0=

(T

T0

) 11−γ

(3.18)

oderT

T0=

(V

V0

)1−γ(3.19)

oder mit

pV = νRT

p

p0=

(V

V0

)−γ(3.20)

undp

p0

(T

T0

) γγ−1

(3.21)

Bemerkung: Da mit der Atmosphäre keine Wärme ausgetauscht wird gilt:

pV γ = const

und nichtpV = const

In analoger Form ändert sich T .Prozesse werden mit Zustandsdiagrammen beschrieben:z.B.: T (p,V )

es gibt:

V=const: Isochorep=const: IsobareT=const: IsothermedQ=0 Adiabate

Druckarbeit (abgegebene Arbeit):∆W = p∆V (isobar)W = U1 − U2 = CVmolν (T1 − T2) adiabatischW =

∫pdV = νRT

∫ V2V1

dVV

= νRψ ln V2V1

(isotherm)W = 0 (isochor)


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Wärmelehre 66

3.5 Maxwell-Verteilung

aus der Boltzmann-Verteilung folgt:

f (v) dv = Ce−mV 2

2 · 1kT

dv

C: stat. GewichtBemerkung: im Auftrag haben wir eine Gerade betrachtet (1Dimensional)in 2 Dimenisonen

Die Anzahl Vektoren mit v0 < |v| < v0 + dv ist proportional zu 2πv · dvin 3 Dimensionen ist die Anzahl proportional zu 4πv2dv d.h. obwohl die

Boltzmannverteilung ein Maximum bei E = 12mv2 = 0 hat bewirkt der Phasen-

raum dass das Maximum bei v > 0 ist.also

f (v) dv = C ′4πv2e−mv2

21

kT dv (3.22)

Normierung: ∫f (v) dv = 1 (3.23)

mitA =

m

2kT(3.24)

wird∞∫

0

f (v) dv = 1 = C ′4π

∞∫0

v2eAv2

dv (3.25)

mitd

da

∞∫0

e−aξ2

dξ = −∞∫

0

ξ2e−aξ2

dξ (3.26)

1 = C ′ · 4π ·

− ddA

∞∫0

e−Av2

dv

= C ′4π ·

(− ddA

1

2

√π

A

)= C ′ · 4π · 1

4

√π

A32

⇒ C ′ =(A

π

) 32

(3.27)

Also

f (v) dv = 4π ·( m

2πkT

) 32v2e−

mv2

2kT dv (3.28)

=

√2

π

( mkT

) 32v2e−

mv2

2kT dv (3.29)


Vorläu�geVersion

67 3.5 Maxwell-Verteilung

Mittelwerte:

〈vx〉 = 0 = C ′′+∞∫−∞

vxe− v

2x0 (antisymetrisch) (3.30)

〈v2〉

=

∫v2f (v) dv =

√2

π

( mkT

) 32

∞∫0

v4e−Av2

dv

=

√2

π

( mkT

) 32 d2

dA2

(1

2

√π

A

)=

√2

π

0 ( mkT

) 32 · 1

2· 12· 32

√π

A52

= 3kT

m(3.31)

d.h. 〈Ekin〉 = 32kT folgt aus Boltzmannverteilung unter der Berücksichtigungdes Phasenraumes.

〈v〉 =∞∫

0

vf (v) dv =

√8kT

πm

(3.32)

Was ist vmax?

df (v)

dv= 0

= 2ve−mv2

2kT − v2 · 2mv2kT

e−mv2

2kT

⇒ 2v −m v3

kT= 0

⇒ vmax =√

2kT

m(3.33)

Für grosse v ist die Anzahl Teilchen

∞∫E0

f (E) dE

∞∫0

f (E) dE

=2√π

√E0kT

e−E0kT (3.34)


Vorläu�geVersion

Wärmelehre 68

3.6 Stösse von Molekülen, Brownsche Bewegung

3.6.1 Mittlere freie Weglänge

Zwei Teilchen mit Radius r tre�en sich wenn ihre Mittelpunkte weniger als 2aauseinander sind. Damit kann man Stösse so behandeln, wie wenn die beteilig-ten Teilchen sich wie punktförmige Teilchen bewegen würden, sich aber mit derQuerschnitts�äche σ, dem Stossquerschnitt stossen.

Abbildung 3.2: Alle Moleküle in der gezeigten Röhre mit Geschwindig

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