Eulers Algebra und Zahlentheorie

Max-Albert KnusMathematik Departement, ETHZ

Mittwoch, 19. September 2007Gymnasium Kirschgarten, Basel

18. Schweizerischer Tag über Mathematik und Unterricht

Leonhard Euler (1707 - 1783 )

Pastell von Emanuel Handmann, 1753, Kunstmuseum, Basel

Zusammenfassung

1) Zahlentheorie im 16. und 17. Jahrhundert, Eulers Entdeckung der Zahlentheorie

2) Eine Auswahl von zahlentheoretischen Themen aus dem Werk von Euler:

A) Der Kleine Fermatsche Satz B) Binäre Formen C) Grosse Primzahlen D) Summen von vier Quadraten E) Imaginäre Zahlen F) Kettenbrüche G) Diophantische Gleichungen H) Die Zetafunktion J) Partitionen und formale Potenzreihen

Quellen• André Weil, Zahlentheorie, Ein Gang durch die Geschichte von Hammurapi bis Legendre, Birkhäuser Verlag, 1992.

• Leonhardi Euleri Opera omnia, sub ausp. Soc. scient. Nat. Helv., 1911-...

• The Euler Archive, http://math.dartmouth.edu/~euler/

• How Euler Did It, Ed Sandifer, MAA Online, Monatliche Beiträge, November 2003 - ... , http://www.maa.org/news/howeulerdidit.html

• Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle... publiée... par P.H. Fuss, St Pétersbourg,1843.

• L. Euler und Chr. Goldbach, Briefwechsel, edd. A.P. Juškevič und E. Winter, Berlin, 1965

Das Eneström Index

Der schwedische Mathematiker Gustaf Eneström (1852 - 1923) hat ein chronologisches Verzeichnis der Publikationen Eulers erstellt. Eulers Schriften werden üblicherweise durch Ihre Eneström-Nummer (E 1 bis E 866) referenziert.

Die vollständige Liste erschien in der Arbeit “Die Schriften Eulers chronologisch nach den Jahren geordnet, in denen sie verfasst worden sind “, Jahresbericht de Deutschen Mathematiker-Vereinigung (1913).

Beispiel: “Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio”, E 54/1736/1741

1736: Datum an dem die Arbeit der Akademie vorgelegt wurde1741: Datum der Veröffentlichung

E 54/1736/1741

“Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften und die Zahlentheorie die Königin der Mathematik”

Ein Zitat zugeschrieben zu Gauss,(W.S. von Waltershausen, Gauss zum Gedächnis, 1862)

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Johann Carl Friedrich Gauss1777 - 1855

Conseiller au Parlement de Toulouse, er war einer der bedeutendsten „Amateure“ in der Geschichte der Mathematik. Sein Einfluss beschränkte sich auf seine Korrespondenz mit vielen bedeutenden Gelehrten seiner Zeit (wie z. B. Carcavi, Beaugrand, Descartes, Frenicle und Mersenne) und auf die von seinem Sohn vorgenommene Ausgabe seines Nachlasses, einschließlich der von ihm kommentierten Arithmetik des Diophant. Er leistete wichtige Beiträge zur Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Variations- und Differentialrechnung.

Pierre de Fermat (1607-1653)

Zahlentheoretische Fragen von Fermat

Christiaan Huygens, 1629-1695,Niederländischer Astronom, Mathematiker und Physiker

John Wallis, 1616-1703,Englischer Mathematiker

“Es mangelt uns nicht an besserenBeschäftigungen”, 1658

Brief von Euler an Clairaut (April 1742)

“feu M Fermat a proposé plusieurs théoremes sur la nature des nombres, dontil contestoit d’avoir les démonstrations: mais jamais a ce que je sais il les a publiés. Je serois fort curieux de les voir, car je suis obligé d’avouer, qu’aïanttravaillé dans ces matieres plus de 14 ans, je n’ai pû trouver les démonstrationsde tous. Ce serait un grand avantage pour ceux qui aiment ces spéculations, et même la verité, si l’on publioit ces démonstrations, peut être que les papiers dece grand homme se trouvent encore quelque part. Le théorème qui m’a le plus tourmenté est, qu’on peut toûjours trouver quatre quarrés, dont la somme estégale à un nombre donné. Diophante suppose ce théorème, mais sans démonstration, mais Mr Fermat assûre qu’il en avait trouvé la démonstrationavec beaucoup de peine.”

Brief von Euler an Clairaut (April 1742)

“feu M Fermat a proposé plusieurs théoremes sur la nature des nombres, dontil contestoit d’avoir les démonstrations: mais jamais a ce que je sais il les a publiés. Je serois fort curieux de les voir, car je suis obligé d’avouer, qu’aïanttravaillé dans ces matieres plus de 14 ans, je n’ai pû trouver les démonstrationsde tous. Ce serait un grand avantage pur ceux qui aiment ces spéculations, et même la verité, si l’on publioit ces démonstrations, peut être que les papiers dece grand homme se trouvent encore quelque part. Le théorème qui m’a le plus tourmenté est, qu’on peut toûjours trouver quatre quarrés, dont la somme estégale à un nombre donné. Diophante suppose ce théorème, mais sans démonstration, mais Mr Fermat assûre qu’il en avait trouvé la démonstrationavec beaucoup de peine.”

Antwort von Clairaut (Mai 1742)

“Je n’ai jamais entendu parler des theoremes des Fermat, ni de ce que peuvent être devenus ses papiers. Cette matiere doit être fort epineuse et je m’etonne toujours quand je vois la quantité de sujets sur lesquels vous êtes profond.”

Alexis Claude Clairaut (1713 - 1765)

Brief von Euler an Goldbach (Oktober 1742)

“Es scheinen also in der gleichen Speculationen noch grosse Geheimnisse verborgen zu liegen, wovon dem Fermatio einige wichtige bekannt gewesen seyn mögen, deren Verlust um so mehr zu bedauern ist. Ich habe an Mr. Clairaut geschrieben, ob die Manuscripte von Fermat noch zu finden wären. Da aber der goût für solchen Sachen bei den Meisten erloschen ist, so ist auch die Hoffnung verschwunden…”

Christian Goldbach (1690 - 1764), 196 Briefe des Briefwechsels mit Euler sind erhalten.

Brief von Daniel Bernoulli an Nicolas Fuss (1778)

“Ce que vous me dites tant de votre part que de celle de M. Eulerest sans doute infiniment plus sublime; je veux parler du beauthéorème de M. Euler sur les nombres premiers et de sa nouvelleméthode pour examiner tel nombre qu’on propose, quelque grandqu’il puisse être, s’il est premier ou non. Ce que vous vous êtesdonné la peine de me dire sur cette matière m’a paru fort subtileet digne de notre grand maître. Mais ne trouvez-vous que c’est faire presque trop d’honneur aux nombres premiers que d’y répandre tant de richesses, et ne doit-on aucun égard au goût raffiné de ce siècle? Je ne laisse pas de rendre justice à tout ce qui sort de votre plume et d’admirer vos grandes ressources pour surmonter les difficultés les plus épineuses; mais cette admiration redouble quand le sujet peut mener à des connaissances utiles. Je range dans cette classe les profondes recherches dont vous me parlez, sur la force des poutres mises en oeuvre de plusieurs différentes manières, surtout des colonnes verticales.”

Brief von Lagrange an Euler (Februar 1770)

“Je suis très charmé que mes recherches sur les problemes indeterminés aient pu meriter votre attention; le suffrage d’un savant de votre rang est extrêmement flatteur pour moi, surtout dans cette matiere, dont vous êtes le seul juge compétent que je connoisse. Il me semble qu’il n’y a encoreque Fermat et vous qui se soient occupés avec succés de ces sortes de recherches, et si j’ai été assés heureux pour ajouter quelque chose à vos decouvertes je ne le dois qu’à l’étude que j’ai faite de vos excellens ouvrages.”

Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813)

Goldbach an Euler, 1. Dez. 1729

22x!1+ 1

1

22x!1+ 1

P.S. Notane Tibi est Fermatii observatio omnes numeros

hujus formulae 22x!1+ 1, nempe 3, 5, 17, etc. esse primos,

quam tamen ipse fatebur se demonstrare non posse et post

eum neme, quod sciam, demonstravit.

”Ist Ihnen Fermats Bemerkung bekannt, dass alle Zahlen

22x!1+ 1, wie 3, 5, 17, usw. Primzahlen seien? Er sagte, er

konnte es nicht beweisen; und auch sonst niemand hat es, so

viel ich weiss, bewiesen.”

Goldbach an Euler, 1. Dez. 1729

22x!1+ 1

1

22x!1+ 1

“Mais voici ce que j’admire le plus: c’est que je suis quasi persuadé que tous les nombres progressifs augmentés de l’unité, desquels les exposants sont des nombres de la progression double, sont nombres premiers, comme 3, 5, 17, 257, 65537, 4 294 967 297 et le suivant de 20 lettres 18 446 744 073 709 551 617; etc. Je n’en ai pas la démonstration exacte, mais j’ai exclu si grande quantité de diviseurs par démonstrations infaillibles, et j’ai de si grandes lumières, qui établissent ma pensée, que j’aurois peine à me dédire.” (Brief von Fermat an Frenicle, August 1640)

P.S. Notane Tibi est Fermatii observatio omnes numeros

hujus formulae 22x!1+ 1, nempe 3, 5, 17, etc. esse primos,

quam tamen ipse fatebur se demonstrare non posse et post

eum neme, quod sciam, demonstravit.

”Ist Ihnen Fermats Bemerkung bekannt, dass alle Zahlen

22x!1+ 1, wie 3, 5, 17, usw. Primzahlen seien? Er sagte, er

konnte es nicht beweisen; und auch sonst niemand hat es, so

viel ich weiss, bewiesen.”

A) Der Kleine Fermatsche Satz

“Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances -1 de quelque progression que ce soit, et l’exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné -1;”

“Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n’appréhendois d’être trop long.”(Aus einem Brief von Fermat an Frenicle vom 18. Oktober 1640)

Bernard Frénicle de Bessy (* ca. 1605-1675) war Beamter am Cour des Monnaies, der obersten Behörde in Münzsachen. Als Mathematiker war er ein Amateur, korrespondierte aber mit berühmten Zeitgenossen wie Fermat, Descartes, Huygens und Mersenne

A) Der Kleine Fermatsche Satz

“Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances -1 de quelque progression que ce soit, et l’exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné -1;”

“Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n’appréhendois d’être trop long.”(Aus einem Brief von Fermat an Frenicle vom 18. Oktober 1640)

Ist p eine Primzahl und ist a kein vielfaches von p, so ist ap-1 -1 durch p teilbar

E 54/1736/1741

E 134/1748/1750

Erster Beweis

Euler beweist, dass ap! a (mod p) mit mathematischer In-

duktion: Es gilt

2p = (1+1)p = 1+

!

p

1

"

+ . . .+

!

p

p " 1

"

+1 ! 2 (mod p)

da alle Binomialkoe!zienten durch p teilbar sind. Fur a > 2

folgt mit Induktion

(a + 1)p = ap +

!

p

1

"

ap"1 + . . . +

!

p

p " 1

"

a + 1

! ap + 1 ! a + 1 (mod p).

Zweiter Beweis

Euler beweist, dass

ap" a ! 0

bp " b ! 0

#

# (a + b)p " a " b ! 0

Dritter Beweis

Die Zahlen a0 = 1, a1, a2, . . . , an, . . . konnen nicht alle ver-

schieden sein modulo p da es p verschiedene Zahlen modulo

p gibt. Es gibt also n > 0 und r > 0, so dass

an+r ! ar d.h. ar(an"1 " 0) ! 0 (mod p).

Daraus folgt an ! 1 (mod p). Man wahle nun fur n die

kleinste Zahl fur dies gilt. Dann kann man die p " 1 zu p

primen Restklassen modulo p in Mengen {b, ba, . . . , ban"1}

aufteilen, deren jeder aus n Elementen besteht. Weil diese

Mengen disjunkt sind muss n ein Teiler von p sein.

Von diesem Beweis sagte Euler, dass er der bessere sei, da er

zum Beweis von

a!(m) ! 1 (mod m)

fur jedes m, verallgemeinert werden kann.

E 271/1759/1763

Das Gegenbeispiel von Euler

Sei Fr = 22r+ 1 die r-te Fermat-Zahl. Es gilt

F5 = 4294967297 = 641 · 6700417

In der Arbeit mit dem zweiten Beweis des Kleinen Satzes von Fermat

zeigt Euler als Anwendung, dass Primteiler von b2m+ a2m

von der Form

2m+1· n + 1, n = 0, 1, 2, . . . sein mussen, falls a und b teilerfremd sind.

Fur m = 5 kriegt man Zahlen der Form 64n + 1. Diese sind prim fur

n = 3, 4, 7, 9, 10 und 641 teilt F5 ! Mit der gleichen Methode findet man

leicht, dass 6700417 prim ist. Euler wusste es sicher aber sagt es nirgends.

1

E 26/1732/1738 E 134/1748/1750

B) Binäre Formen

Jede Primzahl der Form p = 4n + 1 ist auf genau eine Art als Summe von zwei Quadraten darstellbar

Zwei Schritte im Beweis von Euler :Sind a und b teilerfremd, so teilt eine Primzahl der Form p = 4n + 1 die Summe a2n + b2n

Sind a und b teilerfremd, so ist jeder Teiler von a2 + b2 auch Summe von zwei Quadraten.

•

•

“Nunmehro habe ich endlich einen bündigen Beweis gefunden, dass jeglicher numerus primus von dieser Form 4n + 1 eine summa duorum quadratorum ist.” (Brief an Goldbach, 12. April 1749)

In diesem Brief gibt Euler eine sehr klare Darstellung seines Beweises, insechs Schritten.

E 241/1750/ 1760

Dieser Brief endet mit folgender interessanten Bemerkung:“In meinen Umständen ist seit der Zeit nichts veränderliches vorgefallen, als dass ich dieser Tagen in einer Lotterie 600 Rth. gewonnen, welches also ebenso gut ist, als wann ich dieses Jahr einen Pariser Preis gewonnen hätte.”

Methode des Abstieges (Fermat)Et pour ce que les méthodes ordinaires, qui sont dans les Livres étoient insuffisantes à démontrer des propositions si difficiles, je trouvai enfin uneroute tout à fait singulière pour y parvenir. J’appelai cette manière de démontrer la ‘descente infinie’.

Würde die Behauptung für eine Primzahl nicht gelten, dann wäre sie auch für eine kleinere Primzahl falsch “und so weiter bis man zur Zahl 5 gelangt.”

(Brief an Huygens, 1659)

Mit ähnlichen Methoden:Jede Primzahl der Form 8n + 1 oder 8n + 1 lässt sich in der Form a2 + 2b2 schreiben.Jede Primzahl der Form 3n + 1 lässt sich in der Form a2 + 3b2 schreiben.(auch von Euler bewiesen)

Eine natürliche Frage in diesem Zusammenhang:Lassen sich Teiler von a2 + Nb2 wieder in der Form x2 + Ny2 schreiben?Euler: Ja falls N = 1, 2, 3 oder 7, nein falls N = 5 oder 6.Ein Kriterium wurde erst 1775 von Lagrange, die sogenannte Lagrangesche Reduktion einer Form, gefunden.

C) Grosse Primzahlen

(216)2 + 1 = 622642 + 204492

●

Zahlen N so dass jede ungerade Zahl welche auf genau eine Art in der Form a2 + Nb2 darstellbar ist, prim ist, nannte Euler tauglich, “numeri idonei”.

So zeigt Euler zum Beispiel:

82421, 100981, 262657 sind Primzahlen100009, 233033, 32129 jedoch nicht

●

●

, so ist die fünfte Fermat-Zahl keine Primzahl

E 228/1749/1758

E 708/1778/1801

Sei p eine Zahl der Form 4n + 1. Gibt es nur eine Darstellung p= a2 + b2 und istdiese Darstellung primitiv (d. h. a und b sind teilerfremd), so ist p eine Primzahl.

Wie bekommt Euler die zweite Darstellung?

Da 641 = 252 + 42, folgt (216)2 + 1 = (252 + 42)(pp + qq) = (25p - 4q)2 + (25p + 4q)2

“Diese theoremata können rigidissime demonstriert werden.” (Brief an Goldbach, Juni 1742)

Also

Eine berühmte Formel:

Folgendes theorema kann auch dienen in vielen Fällen die quatuor quadrata selbst zu bestimmen, woraus eine Zahl zusammen gesetzt ist:

Si m = aa + bb + cc + dd et n = pp + qq + rr + ss erit

mn = A2 + B2 + C2 + D2 existente

A = ap + bq + cr + ds B = aq - bp - cs + dr C = ar + bs - cp - dq D = as - br + cq - dp.

(Brief von Euler an Golbach, 4. Mai 1748, E 407/1770)

D) Summen von vier Quadraten

Eine einfacherer Beweisvon Euler

Jede ganze positive Zahl ist Summe von vier Quadraten

E) Imaginäre Zahlen

E 387,388/1770Vollständige Anleitung zur Algebra

Der Fundamentalsatz der Algebra E 170/1746/1751

Die komplexe Zahl i

Die Bezeichnung "i" für die imaginäre Einheit stammt übrigens von Leonhard Euler. Er hat sie aber nicht konsequent benutzt. Allgemein verbreitet wurde sie erst durch Gauss.

E 671/1777/1794

Nullstellen modulo p

Interessanterweise betrachtet Euler auch Nullstellen von xn - 1 modulo eine Primzahl p. Zum Beispiel sind alle Lösungen der Gleichung xn - 1 = 0 “reell” wenn n = p-1(Kleiner Fermatscher Satz). Anderseits hat diese Gleichung “reelle” und “unmögliche”, “sozusagen imaginäre” (“quasi imaginarii”) Lösungen falls n kein Teiler von p-1 ist.

E449/1772/1774

F) Kettenbrüche

E 71/1737/1744

Lösung der Pellschen Gleichung x2 - Ny2 = 1 mit Kettenbrüchen

E 323/1759/1767

G) Diophantische Gleichungen

E 29, E279 axx+bx+c=yy.

E 255 x3 +y3 + z3 = w3

E 98 X4 ± Y4 ≠ Z4

E 405 ab+a+b, ab+a-b, ab-a+b, and ab-a-b = x2

E 428 A4 + B4 = C4 + D4

E 559 axx + 1 = yy

E 272 x3 +y3 = z3

“Eulersche Vermutung”:

x1n + ….. + xn-1n ≠ yn

Gegenbeispiele:

n = 5: Lander und Parkin, 1966n = 4: Elkies, 1986, Frye, 1988:

958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814

H) Die Zetafunktion

ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + … + 1/ns + …

“So viele Untersuchungen sind über die Reihen der Reziproken der Potenzen der ganzen Zahlen, dass es kaum wahrscheinlich erscheint,dass über sie noch irgendetwas Neues zum Vorschein kommen kann…Auch ich konnte, trotz wiederholter Anstrengungen, nicht mehr zustandebringen als Näherungswerte für ihre summen… Nun jedoch, ganz unerwartet, habe ich eine elegante Formel für die Reihe 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 etc. gefunden, die von der Quadratur des Kreises abhängt.”

ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π2/6 •

E 41/1735/1740

H) Die Zetafunktion ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + … + 1/ns + …“So viele Untersuchungen sind über die Reihen der Reziproken der Potenzen der ganzen Zahlen, dass es kaum wahrscheinlich erscheint,dass über sie noch irgendetwas Neuse zum Vorschein kommen kann…Auch ich konnte, trotz wiederholter Anstrengungen, nicht mehr zustandebringen als Näherungswerte für ihre summen… Nun jedoch, ganz unerwartet, habe ich eine elegante Formel für die Reihe 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 etc. gefunden, die von der Quadratur des Kreises abhängt.”

ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π2/6 •

sin x = x - x3 /3! + x5 /5! - …sin x = x(1 - x2/π2)(1 - x2/42π2) ….

•

H) Die Zetafunktion

ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + … + 1/ns + …“So viele Untersuchungen sind über die Reihen der Reziproken der Potenzen der ganzen Zahlen, dass es kaum wahrscheinlich erscheint,dass über sie noch irgendetwas Neues zum Vorschein kommen kann…Auch ich konnte, trotz wiederholter Anstrengungen, nicht mehr zustandebringen als Näherungswerte für ihre summen… Nun jedoch, ganz unerwartet, habe ich eine elegante Formel für die Reihe 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 etc. gefunden, die von der Quadratur des Kreises abhängt.”

ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π2/6 •

sin x = x - x3 /3! + x5 /5! - …sin x = x(1 - x2/π2)(1 - x2/42π2) ….

• ζ(s) = ∏p (1 - p-s)-1

•

J) Partitionen und formale Potenzreihen

“Auf wie viele Arten lässt sich eine gegebene Zahl m als Summe von μ verschiedenen positiven Zahlen darstellen?”

Rasch antwortet Euler, dass falls

so ist die gesuchte Zahl.Nm,µ

E 158/1741/1751

!!

i=1

(1 + xiz) =!"

m,µ=0

Nm,µxmzµ

(Brief von Philippe Naudé, August 1740)

Eine bemerkenswerte Beobachtung“Ich beende diese Arbeit mit einer bemerkenswerten Beobachtung, die ich jedoch nicht mit geometrischer Strenge habe bewiesen können:”

!!

i=1(1 " xi) ="

!

!("1)nxn(3n+1)/2

Euler gibt einen Beweis später in E 244/1751/1760 !

1747 transformierte diese Formel in eine Behauptung über die zahlentheoretische Funktion Summe der Teiler. Sehr bald schriebe er sie auf zur Publikation mit dem Titel“Découverte d’une loi toute extraordinaire des nombres, par rapport à la somme de leurs diviseurs”, E 175/1747/1751.

Über ihre Gültigkeit hatte er keinen Zweifel:“Elle appartient à ce genre dont nous pouvons nous assurer de la vérité, sans donner une démonstration parfaite.”