Exam ControlSystems2 DE - ETH Z · 2016. 8. 12. · Die angegebene Punktezahl kann nur erreicht...

BSc - Sessionsprufung 07.08.2015

Regelungstechnik II (151-0590-00) Dr. G. Ochsner

Musterlosung

Dauer der Prufung: 120 Minuten + 15 Minuten Lesezeit am Anfang!

Anzahl der Fragen: 43 (unterschiedlich gewichtet, total 64 Punkte)

Bewertung: Um die Note 6 zu erlangen, mussen nicht alle Fragen richtig

beantwortet werden.

Bei jeder Frage ist die Punktezahl angegeben.

Die angegebene Punktezahl kann nur erreicht werden, wenn

die Losung vollstandig richtig ist, d.h. es gibt keine Punkte

fur “halbrichtige” Losungen.

Nicht eindeutige Losungen werden als falsch bewertet.

Erlaubte Hilfsmittel: 20 A4-Blatter (40 Seiten)

Taschenrechner (zur Verfugung gestellt)

Die Assistenten durfen keine Hilfe geben.

Zur Beachtung: Die Losungen sind nicht zu begrunden. Es zahlt ausschlies-

sich das Endresultat.

Zu einer korrekten Losung gehort auch die richtige Mass-

einheit.

Geben Sie die Losungen ausschliesslich an den dafur vorbe-

reiteten Stellen an.

Seite 2 Sessionsprufung Regelungstechnik II

Thema: Erweiterte SISO-Reglersynthesemethoden

Moser

Beschreibung: In den folgenden Teilaufgaben wird die Regelung eines Heizsystems, bei welchemflussiges Wasser mit Wasserdampf erhitzt wird, betrachtet. Abbildung 1 zeigt den schematischenAufbau dieser Regelstrecke. Die Regelaufgabe besteht darin, die gemessene Abflusstemperaturdes flussigen Wassers auf einer gewunschten Solltemperatur zu halten. Dazu lasst sich der Mas-senstrom des Dampfes (ebenfalls gemessen) mit Hilfe eines Stellventils einstellen. Wasserzuflussund Wasserabfluss werden als nicht messbare Storgrossen betrachtet.

Cslow Cfast

Wasserzufluss

Wasserabfluss

MesssignalMesssignal

Stellventil

Solltemperatur

AbflusstemperaturDampfmassenstrom

Dampfkreislauf

+ +

−−

A

B C

D

Strecke

Regler

Abbildung 1: Schematische Darstellung des Dampfheizsystems und des zugehorigen kaskadiertenRegelsystems.

F1 (1 Punkt) Welche Ein- und Ausgangscharakteristik hat diese Regelstrecke?

� SISO (single-input single-output)

� SIMO (single-input multiple-output)

� MISO (multiple-input single-output)

� MIMO (multiple-input multiple-output)

F2 (2 Punkte) Ihre Chefin schlagt Ihnen vor, eine kaskadierte Reglerstruktur mit einemschnellen inneren Regler Cfast(s) und einem langsamen ausseren Regler Cslow(s) zuimplementieren. Beschriften Sie in Abbildung 1 die vier leeren, hellgrau hinterleg-ten Quadrate mit dem zugehorigen Buchstaben A,B,C oder D der zu verbindendenSignale, so dass eine sinnvolle kaskadierte Regelstruktur ensteht.

Sessionsprufung Regelungstechnik II Seite 3

Losung

F1 Die Strecke hat eine Eingangsgrosse (Stellventil) und zwei Ausgangsgrossen (MessungDampfmassenstrom und Messung Abflusstemperatur). Somit handelt es sich um einSIMO-System.

� SISO (single-input single-output)

⊠ SIMO (single-input multiple-output)

� MISO (multiple-input single-output)

� MIMO (multiple-input multiple-output)

F2 Der Dampfkreislauf beschreibt in dieser Regelstrecke die schnelle Dynamik und die Was-sertemperatur die langsame Dynamik. Somit wird mit dem schnellen, inneren ReglerCfast(s) der Dampfmassenstrom geregelt und mit dem langsamen, ausseren Regler Cslow(s)die Abflusstemperatur. Losung siehe Abbildung 2.

Cslow Cfast

Wasserzufluss

Wasserabfluss

MesssignalMesssignal

Stellventil

Solltemperatur

AbflusstemperaturDampfmassenstrom

Dampfkreislauf

+ +

−−

A

B C

D

Strecke

Regler

A

C B

D

Abbildung 2: Schematische Darstellung des Dampfheizsystems und des zugehorigen kaskadiertenRegelsystems (Losung).


Beschreibung: Betrachtet wird eine kaskadierte Regelstrecke gemass Abbildung 3. Gegebensind die Ubertragungsfunktionen der schnellen Strecke Pf(s) = kf

τf ·s+1 sowie der langsamen

Strecke Ps(s) = ksτs·s+1 . Fur die schnelle Strecke wurde zudem bereits ein P-Regler Cf(s) = kp

ausgelegt, wahrend fur die langsame Strecke ein reiner I-Regler Cs(s) = 1/(Ti ·s) eingesetzt wird.

− −

r s es efCs(s) Cf (s) Pf (s) Ps(s)

r f uf us ys

yf

Abbildung 3: Kaskadierte Reglerstruktur. Index s: slow, index f: fast

F3 (2 Punkte) Berechnen Sie die Ubertragungsfunktion der erweiterten Regelstrecke furden ausseren Regelkreis Pout(s) : rf → ys und verwenden Sie folgende Parameterwer-te: τf = 1 s, τs = 10 s, kf = 1, kp = 1, Ti = 1 s.

Antwort:

Pout(s) =

Losung

F3 Zuerst muss die komplementare Sensitivitat Ti(s) : rf → yf des inneren Regelkreisesberechnet werden. Diese ergibt Ti(s) =

1s+2 . Die Serieschaltung mit der ausseren Regel-

strecke Ps(s) ergibt das gesuchte Resultat:

Pout(s) =ks

(s+2)·(10·s+1) =ks

10·s2+21·s+2

Da der Wert der Variable ks als einzige Grosse nicht gegeben ist, wurde auch die Losungmit ks = 1 akzeptiert.


Beschreibung: In dieser Aufgabe wird die Regelung einer totzeitbehafteten Regelstrecke P (s) =Pr(s) ·e−s·Td betrachtet, welche sich aus den Anteilen der (unbekannten) totzeitfreien Strecke Pr

und der (unbekannten) Totzeit Td zusammensetzt. Von dieser Strecke haben sie das Modell Pr

und die Totzeit Td = 1 s identifiziert. Die Regelstrecke wird mit einem Smith-Pradiktor geregelt,siehe Abbildung 4.

F4 (2 Punkte) Ordnen Sie die vier in Abbildung 5 dargestellten Signalverlaufe den Si-gnalpfeilen im Blockschaltbild in Abbildung 4 zu. Schreiben Sie dazu die vier Zuord-nungsbuchstaben A,B,C und D in die hellgrau hinterlegten Quadrate in Abbildung 4.Achtung: Jeder Buchstabe darf nur einmal verwendet werden, d.h. es gibt uberzahligeQuadrate.

r yTdPrCr

d

Pr Td

u

−

−

Abbildung 4: Blockschaltbild eines Smith-Pradiktor Regelsystems.

DCBA

Signal

[-]

Time [s]0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

0.5

1

1.5

Abbildung 5: Signalverlaufe des Smith-Pradiktor Regelsystems.


Losung

F4 Die Zuordnung des Referenzsignals A ist trivial. Signal C ist das einzige bekannte Signal,welches keinen Totzeiteinfluss aufweist. Signal D ergibt sich aus dem Hinweis, dass diemodellierte Totzeit genau 1 s betragt. Signal B wiederum unterliegt einer leicht von 1 sabweichenden Totzeit. Die ubrigen Signalverlaufe haben eine deutlich andere Form.

r yTdPrCr

d

Pr Td

u

−

A

C D

B

−

Abbildung 6: Blockschaltbild eines Smith-Pradiktor Regelsystems (Losung).


Beschreibung: Gegeben sind verschiedene Aussagen zum Thema Vorsteuerung (feed forward).

F5 (2 Punkte) Kreuzen Sie bei den jeweiligen Aussagen an, ob diese richtig oder falschsind.

Aussage richtig falsch

Eine stabile Vorsteuerung kann die Stabilitatseigenschaftendes geschlossenen Regelkreises beeinflussen.

Eine Vorsteuerung kann zur Unterdruckung von Storungenam Streckenausgang beitragen.

Eine Vorsteuerung kann das Folgeregelungsverhalten (refe-rence tracking) verbessern.

Bei der Auslegung der Vorsteuerung muss das Sensorrau-schen berucksichtigt werden.

Losung

F5 Die Vorsteuerung hat keinen Einfluss auf die Stabilitatseigenschaften des geschlossenenRegelkreises, da sie direkt vom Referenzsignal r auf die Stellgrosse u wirkt. Storungen amStreckenausgang und Sensorrauschen sind aber nur im Signal y vorhanden. Somit habenStorungen am Streckenausgang und Sensorrauschen keinen Einfluss auf die Vorsteuerung.Losung siehe Tabelle:

Aussage richtig falsch

Eine stabile Vorsteuerung kann die Stabilitatseigenschaftendes geschlossenen Regelkreises beeinflussen.

X

Eine Vorsteuerung kann zur Unterdruckung von Storungenam Streckenausgang beitragen.

X

Eine Vorsteuerung kann das Folgeregelungsverhalten (refe-rence tracking) verbessern.

X

Bei der Auslegung der Vorsteuerung muss das Sensorrau-schen berucksichtigt werden.

X


Beschreibung: Gegeben sei eine Regelstrecke 1. Ordnung mit der UbertragungsfunktionP (s) = 1

s+1 .

F6 (1 Punkt) Legen Sie eine reine Steuerung F (s) fur diese Regelstrecke P (s) so aus,dass das Gesamtsystem (Steuerung F (s) seriell zur Regelstrecke P (s)) sich wie einSystem 1. Ordnung mit einer Zeitkonstante von 0.5 Sekunden und einer Verstarkungvon k = 1 verhalt.

Antwort:

F (s) =

Losung

F6 Die Serieschaltung von F (s) und P (s) muss einem System erster Ordnung mit einerZeitkonstante von 0.5 s und einer Verstarkung von k = 1 entsprechen: F (s) · 1

s+1 = 10.5·s+1 .

Der Zahler von F (s) muss so gewahlt werden, dass der Pol von P (s) gekurzt wird. DasResultat lautet:

F (s) = s+10.5·s+1


Beschreibung: Sie mochten die optimalen Parameter eines PID-Reglers fur die StreckeP (s) = −2.5·(s−2)

(s+1)2·(s+4)mit Hilfe einer numerischen Optimierung bestimmen. Die Matlab-Funktion

zur Berechnung des Gutekriteriums fur die numerische Optimierung wurde bereits fast vollstandiggeschrieben und lautet wie folgt:

1 function objective = objective_fct(x,P,s)

23 % Inputs:

4 % x: vector of optimization variables

5 % P: Plant transfer function

6 % s: Laplace variable

78 % Output:

9 % objective: Value of the objective function

1011 % Optimization variables

12 kp = x(1);

13 Ti = x(2);

14 Td = x(3);

1516 % PID -Controller

17 C = kp*(1+1/(Ti*s)+Td*s);

1819 % Open -loop and closed -loop transfer function

20 L = series(C,P);

21 T = feedback(L ,1);

2223 % Unit step response

24 [y,~] = step(T ,[0:0.001:10]);

2526 % Quadratic error

27 errorsquare = sum((y -1).^2);

2829 % Over - and undershoot

30 overshoot = max(y)-1;

31 undershoot = ###;

3233 % objective function

34 objective = 0.1* errorsquare + 5* overshoot + ###;

3536 end

F7 (2 Punkte) Erganzen Sie die fehlenden Stellen im Code in den Zeilen 31 und 34 so,dass die maximale Auslenkung uber den Endwert 1 (overshoot) gleich stark gewichtetwird wie die maximale Auslenkung unter den Startwert 0 (undershoot).Tipp: Vorzeichen beachten!

Schreiben Sie die fehlenden Codefragmente anstelle der beiden Platzhalter ### in dienachfolgende Box:

Zeile 31: undershoot = ;

Zeile 34: objective = 0.1*errorsquare + 5*overshoot + ;


F8 (1 Punkt) Kann eine negative Auslenkung der Sprungantwort (undershoot) fur diegegebene Regelstrecke vollstandig vermieden werden? Kreuzen Sie die zutreffende(n)Aussage(n) an.

� Ja, eine negative Auslenkung (undershoot) kann mit einem PID-Regler und ei-nem geeigneten Gutekriterium vollstandig vermieden werden.

� Nein, aber mit einer anderen Reglerstruktur (d.h. kein PID-Regler) und einemgeeigneten Gutekriterium kann eine negative Auslenkung (undershoot) vermie-den werden.

� Nein, es existiert kein Regler mit welchem eine negative Auslenkung (undershoot)vermieden werden kann.

Losung

F7 Gesucht ist das Minimum von y. Fur das Gutekriterium muss entweder ein negativesVorzeichen verwendet werden -min(y) (Unterschwingen soll ja minimiert werden) oderder Betrag verwendet werden abs(min(y)). Eine gleiche Gewichtung von Uber- undUnterschwingen wird dann mit dem gleichen Geweichtungsfaktor erreicht. Das Resultatlautet:

Zeile 31: undershoot = -min(y);

Zeile 34: objective = 0.1*errorsquare + 5*overshoot + 5*undershoot;

F8 Das Unterschwingen wird durch die nicht minimalphasige Nullstelle verursacht. Eine po-sitive Nullstelle kann aber nicht mit einem instabilen Pol im Regler gekurzt werden. DasUnterschwingen lasst sich also mit keinem Regler vermeiden.

� Ja, eine negative Auslenkung (undershoot) kann mit einem PID-Regler und einemgeeigneten Gutekriterium vollstandig vermieden werden.

� Nein, aber mit einer anderen Reglerstruktur (d.h. kein PID-Regler) und einem geeig-neten Gutekriterium kann eine negative Auslenkung (undershoot) vermieden werden.

⊠ Nein, es existiert kein Regler mit welchem eine negative Auslenkung (undershoot)vermieden werden kann.


Beschreibung: Die Regelstrecke P (s) = 3s+1 wird mit einem PI-Regler C(s) = 1 + 1

5s geregelt.Der Aktuator unterliegt einer Saturation im Bereich −0.5 ≤ u ≤ 0.5. Ein anti reset-windupwurde nicht eingebaut. Erste Simulationen haben gezeigt, dass der Aktuator unmittelbar nacheinem Einheitssprung im Referenzsignal wahrend ca. 2.3 Sekunden an der oberen Grenze derSaturation anliegt.

F9 (1 Punkt) Wie gross ist der Ausgang y(t) der Regelstrecke zum Zeitpunkt t = 1 snach dem Einheitssprung im Referenzsignal?

Antwort:

y(t = 1 s) =

Losung

F9 Solange der Aktuator in der Saturation ist, ist der Regelkreis nicht geschlossen. Die Sprun-gantwort in dieser Situation entspricht damit der Sprungantwort der Regelstrecke P (s)auf einen Sprung im Eingangssignal von 0 auf 0.5.Zur Losung kann man die gegebenen Werte in die Losung der Sprungantwort eines Sy-stems 1. Ordnung im Zeitbereich einsetzen: y(t = 1 s) = 0.5 · 3 · (1− e−1/1)) = 0.945.

y(t=1 s) = 0.945 Bereich: [0.94 bis 0.95]


Beschreibung: In Ihrer Simulationsumgebung verwenden Sie einen I-Regler zur Regelung derStrecke. Sie mochten nun in ihrem Modell berucksichtigen, dass der Aktuator keine beliebiggrossen Signale ausgeben kann. Ausserdem mochten Sie ein anti reset-windup implementieren. InAbbildung 7 ist das Blockdiagramm des Simulinkmodells dargestellt. Dabei sind e der Regelfehlerund u die Stellgrosse.

F10 (2 Punkte) Tragen Sie in die Tabelle ein, welche der nachfolgend gezeigten SimulinkBlocke anstatt der Platzhalter in Abbildung 7 eingesetzt werden mussen um einenI-Regler mit anti reset-windup zu erhalten. Es gilt Ti > 0 und k ARW > 0.

#1 #2 #3 #4 #5 #6

#7 #8 #9 #10 #11 #12

e uA B C D

F E

Abbildung 7: I-Regler mit anti reset-windup.

Antwort:

Buchstabe des Platzhalters A B C D E F

Nummer des Simulink Blocks


Losung

F10 Aufgrund der Vorzeichen kommt fur den Platzhalter B nur Simulink Block #2 und furden Platzhalter E nur Simulink Block #7 in Frage. In Abbildung 8 ist die Implementationin Simulink gezeigt.

Buchstabe des Platzhalter A B C D E F

Nummer des Simulink Blocks #5 #2 #3 #9 #7 #11

Abbildung 8: Losung: I-Regler mit anti reset-windup.


Thema: MIMO – Systemanalyse

Moser

Beschreibung: Gegeben ist eine Regelstrecke 4. Ordnung mit 3 Eingangsgrossen und 2 Aus-gangsgrossen. Die Regelstrecke wird mit einem Regler mit Ausgangsruckfuhrung (output feed-back control) geregelt.

F11 (2 Punkte) Geben Sie die Dimensionen der Matrizen A,B,C und D der Zustands-raumdarstellung dieser Regelstrecke an. Fullen Sie dazu Tabelle 1 aus.

Antwort:

Matrix Anzahl Zeilen Anzahl Spalten

A

B

C

D

Tabelle 1: Matrix-Dimensionen.

F12 (1 Punkt)Welche Dimensionen hat die zugehorige Regler-Ubertragungsfunktion C(s)?

� C(s) ∈ C2×2

� C(s) ∈ C2×3

� C(s) ∈ C3×2

� C(s) ∈ C3×3

� C(s) ∈ C3×4

� C(s) ∈ C4×3

� C(s) ∈ C4×4

Losung

F11 Die korrekten Matrixdimensionen lauten:

Matrix Anzahl Zeilen Anzahl Spalten

A 4 4

B 4 3

C 2 4

D 2 3

Tabelle 2: Matrix-Dimensionen (Losung).


F12 Da es sich um eine Ausgangsruckfuhrung handelt muss die Regler-Ubertragungsfunktion3 Zeilen (3 Eingangsgrossen in die Strecke) und 2 Spalten (2 Ausgangsgrossen aus derStrecke) haben.

� C(s) ∈ C2×2

� C(s) ∈ C2×3

⊠ C(s) ∈ C3×2

� C(s) ∈ C3×3

� C(s) ∈ C3×4

� C(s) ∈ C4×3

� C(s) ∈ C4×4


Beschreibung: In dieser Aufgabe werden Unterschiede zwischen SISO und MIMO Regel-strecken behandelt.

F13 (2 Punkte) Fullen Sie die folgende Tabelle aus, indem Sie bei jeder Aussage entschei-den, ob diese fur SISO und/oder fur MIMO Regelstrecken zutrifft und kreuzen Siefalls zutreffend das entsprechende Feld an.

Aussage SISO MIMO

Eigenwerte der Systemmatrix A der Zustandsraumdarstel-lung erlauben Beurteilung der Stabilitat

Robustheitseigenschaften lassen sich im Nyquist-Diagrammablesen

Pole und Nullstellen, die in der komplexen Ebene aufeinan-der liegen, lassen sich immer kurzen

LQG-Regelung ist moglich

Die Anzahl der Eingangsgrossen entspricht immer der An-zahl der Ausgangsgrossen

Losung

F13 Losung siehe Tabelle.

• Eine Stabilitatsbeurteilung ist sowohl bei SISO als auch bei MIMO Systemen anhandder Systemmatrix A moglich.

• Bei MIMO-Systemen ist keine Information uber die Phase vorhanden. Deshalb gibtdas Nyquist-Diagramm auch keine Auskunft uber die Robustheitseigenschaften.

• Bei MIMO-Systemen muss fur Pol- und Nullstellenkurzungen auch die jeweilige Rich-tung berucksichtigt werden.

• LQG-Regelung ist grundsatzlich fur SISO und MIMO Regelstrecken moglich.

• Die Anzahl der Eingangs- und Ausgangsgrossen ist nur bei quadratischen MIMO-Systemen gleich.

Aussage SISO MIMO

Eigenwerte der Systemmatrix A der Zustandsraumdarstel-lung erlauben Beurteilung der Stabilitat

X X

Robustheitseigenschaften lassen sich im Nyquist-Diagrammablesen

X

Pole und Nullstellen, die in der komplexen Ebene aufeinan-der liegen, lassen sich immer kurzen

X

LQG-Regelung ist moglich X X

Die Anzahl der Eingangsgrossen entspricht immer der An-zahl der Ausgangsgrossen

X


Beschreibung: Gegeben sind die 3 Regelstrecken (a), (b), und (c) mit jeweils 2 Ein- undAusgangsgrossen. Fur alle drei Regelstrecken soll ein Regler ausgelegt werden, der eine Durch-trittsfrequenz von 1 rad/s erreicht. Beurteilen Sie anhand der in den Abbildungen 9-11 gezeigtenRGA-Frequenzverlaufen, ob fur diese Regelstrecken die Reglerauslegung unter Verwendung vonSISO-Werkzeugen moglich ist, oder ob Sie auf MIMO-Werkzeuge zuruckgreifen mussen.

F14 (1 Punkt) Kreuzen Sie diejenige(n) Regelstrecke(n) an, fur welche SISO-Werkzeugezur Reglerauslegung verwendet werden konnen.

� System (a) (Abbildung 9)

� System (b) (Abbildung 10)

� System (c) (Abbildung 11)

RGA

12,RGA

21[dB]

Frequency [rad/s]

RGA

11,RGA

22[dB]

Frequency [rad/s]

10−2 100 10210−2 100 102

−20

0

20

−20

0

20

Abbildung 9: Frequenzverlaufe der RGA-Matrix der Regelstrecke (a).

RGA

12,RGA

21[dB]

Frequency [rad/s]

RGA

11,RGA

22[dB]

Frequency [rad/s]

10−2 100 10210−2 100 102

−20

0

20

−20

0

20

Abbildung 10: Frequenzverlaufe der RGA-Matrix der Regelstrecke (b).

RGA

12,RGA

21[dB]

Frequency [rad/s]

RGA

11,RGA

22[dB]

Frequency [rad/s]

10−2 100 10210−2 100 102

−20

0

20

−20

0

20

Abbildung 11: Frequenzverlaufe der RGA-Matrix der Regelstrecke (c).


Losung

F14 Falls die RGA-Matrix fur die relevanten Frequenzen (d.h. um die Durchtrittsfrequenzωc = 1 rad/s) annahernd der Einheitsmatrix (bzw. einer gespiegelten Einheitsmatrix) ent-spricht, lassen sich SISO-Werkzeuge fur die Reglerauslegung verwenden. Ansonsten mussman MIMO-Werkzeuge verwenden. Nur fur die Regelstrecke (b) sind zwei Eintrage beiω = 1 rad/s kleiner als 0.1 und die anderen zwei ungefahr 1. Das wird als genug diagonalbetrachtet, um SISO-Werkzeuge anwenden zu konnen. Die Tatsache, dass die Diagonal-eintrage RGA11 und RGA22 klein sind ist kein Problem, da die SISO-Regler ubers Kreuzgeschaltet werden konnen.

� System (a) (Abbildung 9)

⊠ System (b) (Abbildung 10)

� System (c) (Abbildung 11)


Beschreibung: Gegeben sind eine Regelstrecke in der Zustandsraumdarstellung

x(t) =

(−3 00 2

)· x(t) +

(0 23 0

)· u(t), y(t) =

(2 00 1

)· x(t) +

(0 00 0

)· u(t) (1)

wobei x(t), y(t), u(t) ∈ R2×1, sowie der fur diese Regelstrecke ausgelegte Regler in der Zustands-

raumdarstellung

z(t) =

(−3 00 −1

)· z(t) +

(0 30 0

)· e(t), u(t) =

(2 00 0

)· z(t), (2)

wobei z(t), e(t) ∈ R2×1. Der Vektor e(t) beschreibt dabei den Regelfehler.

F15 (1 Punkt) Beurteilen Sie die Stabilitat der Regelstrecke (ohne Regler), welche inGleichung (1) dargestellt ist.

� Lyapunov asymptotisch stabil

� Lyapunov stabil

� Lyapunov instabil

F16 (1 Punkt) Beurteilen Sie die Beobachtbarkeit und Steuerbarkeit der Regeltrecke,welche in Gleichung (1) dargestellt ist. Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n)an.

� Weder vollstandig steuerbar noch vollstandig beobachtbar

� Vollstandig steuerbar und vollstandig beobachtbar

� Vollstandig steuerbar, nicht vollstandig beobachtbar

� Nicht vollstandig steuerbar, vollstandig beobachtbar

� Lasst sich mit den gegebenen Angaben nicht eindeutig beurteilen

F17 (2 Punkte) Kreuzen Sie alle zutreffenden Eigenschaften des geschlossenen Regelkrei-

ses an. Tipp: Verwenden Sie den Vektor ζ =

(xz

)als erweiterten Zustandsvektor.


� Lyapunov stabil


� Schwingfahig

� Nicht schwingfahig

Losung

F15 Die Eigenwerte der Systemmatrix der Regelstrecke lassen sich direkt aus Gleichung 1ablesen: λ1 = −3, λ2 = 2. Aufgrund des positiven Eigenwertes λ2 = 2 ist die StreckeLyapunov instabil.



� Lyapunov stabil

⊠ Lyapunov instabil

F16 Da die Strecke 2 Eingangs-, 2 Ausgangs- und 2 Zustandsgrossen aufweist mussen fur dieBeurteilung der Beobachtbarkeit und Steuerbarkeit der Regelstrecke nur die Ein- undAusgangsmatrizen (ublicherweise mit B und C bezeichnet) betrachtet werden. Da diesebeiden Matrizen jeweils vollen Rang aufweisen ist die Regelstrecke vollstandig steuerbarund vollstandig beobachtbar.

� Weder vollstandig steuerbar noch vollstandig beobachtbar

⊠ Vollstandig steuerbar und vollstandig beobachtbar

� Vollstandig steuerbar, nicht vollstandig beobachtbar

� Nicht vollstandig steuerbar, vollstandig beobachtbar

� Lasst sich mit den gegebenen Angaben nicht eindeutig beurteilen

F17 Im ersten Schritt muss die kombinierte Systemmatrix Acl des geschlossenen Regelkreises

berechnet werden. Mit dem vorgeschlagenen Zustandsvektor ζ =

(xz

)ergibt sich

(xz

)=

(A BH

−GC F

)·(xz

)=

−3 0 0 00 2 6 00 −3 −3 00 0 0 −1

·

(xz

). (3)

Acl is also eine Blockdiagonalmatrix. Dadurch lassen sich zwei von vier Eigenwerten direktablesen: λ1 = −3 und λ4 = −1. Die Eigenwerte des mittleren Blocks lassen sich miteiner kurzen Rechnung ebenfalls bestimmen: λ2,3 = 1/2 · (−1 ± j

√47). Alle Eigenwerte

haben negativen Realteil, d.h. das geschlossene Regelsystem ist Lyapunov asymptotischstabil. Da ein komplex konjugiertes Paar von Eigenwerten auftritt ist das geschlosseneRegelsystem zudem schwingfahig.

⊠ Lyapunov asymptotisch stabil

� Lyapunov stabil


⊠ Schwingfahig

� Nicht schwingfahig


Beschreibung: Betrachtet wird eine MIMO-Regelstrecke mit zwei Eingangsgrossen und zweiAusgangsgrossen. Mit dem Matlab-Befehl sigma wurde fur diese (lineare) Regelstrecke Abbil-dung 12 erstellt.

SingularValues

(dB)

Frequency (rad/s)

Singular Values

10−2 10−1 100 101 102−50

−40

−30

−20

−10

0

10

Abbildung 12: Singularwertverlaufe einer 2× 2 MIMO-Regelstrecke.

F18 (2 Punkte) Die Strecke wird mit dem Eingangssignal u(t) =

(cos(0.1 · t)

0

)angeregt.

Kreuzen Sie alle moglichen Ausgangssignale (im eingeschwungenen Zustand) an.

� y(t) =

(0.01 · cos(0.1 · t+ 0.2)0.02 · cos(0.1 · t+ 0.4)

)

� y(t) =

(0.1 · cos(0.1 · t− 0.34)

1 · cos(0.1 · t)

)

� y(t) =

(0.001 · cos(0.2 · t)

0.002 · cos(0.2 · t+ π/2)

)

� y(t) =

(0.7 · cos(0.2 · t+ 0.21)

0.2 · cos(0.1 · t)

)

� y(t) =

(0.1 · cos(0.1 · t− π/3)0.5 · cos(0.1 · t− π/4)

)

Losung

F18 Der Eingang wird mit der Frequenz ω = 0.1 rad/s angeregt. Da es sich um eine lineareRegelstrecke handelt, hat das Ausgangssignal im eingeschwungenen Zustand die gleiche


Frequenz wie das Eingangssignal. Der maximale und der minimale Singularwert bei derFrequenz ω = 0.1 rad/s gibt den moglichen Verstarkungsbereich zwischen dem Eingangs-und dem Ausgangssignal an. Hierbei muss fur die Verstarkung die euklidische Norm (2-Norm) der Amplitudenvektoren betrachtet werden. Der Amplitudenvektor des Eingangs-signals hat eine euklidische Norm von 1. Somit ergibt sich fur die euklidische Norm desAmplitudenvektors des Ausgangssignals der mogliche Bereich zwischen dem minimalenSingularwert σmin ≈ 0.1 und dem maximalen Singularwert σmax ≈ 0.9 (abgelesen ausAbbildung 12). Die Phase ist fur die Beurteilung in dieser Aufgabe irrelevant.

� y(t) =

(0.01 · cos(0.1 · t+ 0.2)0.02 · cos(0.1 · t+ 0.4)

), |y(t)| =

√0.012 + 0.022 = 0.0224 6∈ [σmin, σmax]

� y(t) =

(0.1 · cos(0.1 · t− 0.34)

1 · cos(0.1 · t)

), |y(t)| =

√0.12 + 12 = 1.005 6∈ [σmin, σmax]

� y(t) =

(0.001 · cos(0.2 · t)

0.002 · cos(0.2 · t+ π/2)

), ausgeschlossen da Frequenz 6= 0.1 rad/s

� y(t) =

(0.7 · cos(0.2 · t+ 0.21)

0.2 · cos(0.1 · t)

), ausgeschlossen da Frequenz 6= 0.1 rad/s

⊠ y(t) =

(0.1 · cos(0.1 · t− π/3)0.5 · cos(0.1 · t− π/4)

), |y(t)| =

√0.12 + 0.52 = 0.5099 ∈ [σmin, σmax]


Beschreibung: Gegeben sei eine Regelstrecke mit der Ubertragungsfunktion

P (s) =

1s+1

12·s+1

∈ C

2×1. (4)

F19 (2 Punkte) Bestimmen Sie den maximalen Singularwert σmax von P (s) bei der Fre-quenz ω = 1 rad/s.

Antwort:

σmax =

Losung

F19 Da die Regelstrecke nur eine Eingangsgrosse hat, gibt es nur einen Singularwert ungleich0. Zur Berechnung dieses (maximalen) Singularwertes σmax von P (j) muss folgender Aus-

druck berechnet werden: σmax =

√λ(P (j)

T · P (j))berechnet werden. Es ergibt sich

P (j)T · P (j) =

(1+j2

1+2j5

)·( 1−j

21−2j5

)= 0.7 = σ2

max. (5)

Das Resultat lautet somit:

σmax =√0.7 = 0.8367 Bereich: [0.83 bis 0.84]


Thema: H∞

Moser

Beschreibung: Sie mochten einen H∞-Regler mit dem Mixed Sensitivity Approach (S/KS/T-Schema) auslegen und haben dazu von einem Kollegen bereits die Spezifikationen W−1

1 (s) undW−1

2 (s) erhalten, von denen die Betragsverlaufe in Abbildung 13 dargestellt sind.

W−12

W−11

Magnitude[dB]

Frequency [rad/s]

10−2 10−1 100 101 102 103−25

−20

−15

−10

−5

0

Abbildung 13: Spezifikationen W−11 und W−1

2

F20 (1 Punkt) Welchen Wert von γ (Betrag des optimierten H∞-Gutekriteriums) erwar-ten Sie aufgrund der in Abbildung 13 dargestellten Wahl von W−1

1 und W−12 ?

� γ ∈ (−∞, 0)

� γ = 0

� γ ∈ (0, 1)

� γ = 1

� γ ∈ (1,∞)

Losung

F20 Betrachtet wird fur die Losung die Frequenz 2 rad/s, da diese fur die nachfolgenden Betrach-tungen am kritischsten ist. Um bei der Frequenz 2 rad/s beide Spezifikationen zu erfullen,


d.h. |S(2j)| < |W−11 (2j)| und |T (2j)| < |W−1

2 (2j)| musste gelten |S(2j)| < −10 dB = 0.31sowie |T (2j)| < −10 dB = 0.31. Die komplexen Vektoren S(2j) und T (2j) mit einem Be-trag < 0.31 konnen aber den Zusammenhang T (2j) + S(2j) = 1 unmoglich erfullen.Folglich muss mindestens eine der Spezifikationen verletzt werden, was einen Wert vonγ > 1 zur Folge hat.

� γ ∈ (−∞, 0)

� γ = 0

� γ ∈ (0, 1)

� γ = 1

⊠ γ ∈ (1,∞)


Beschreibung: Sie legen einen Regler mit dem H∞ Mixed Sensitivity Approach aus undmochten, dass das resultierende Regelsystem einen stationaren Nachlauffehler von maximal 1%aufweist und hochfrequentes Rauschen um den Faktor 10 gedampft wird.

F21 (2 Punkte) Wahlen Sie aus folgender Liste je die geeigneten Spezifikationen fur W−11

und W−12 ?

� W−11 = s+1

s+0.01

� W−11 = s+0.01

s+1

� W−11 = 0.1·s+1

s+1

� W−12 = s+0.01

s+1

� W−12 = s+1

0.1·s+1

� W−12 = 0.1·s+1

s+1

Losung

F21 Um uber die Spezifikationen W−11 und W−1

2 einen statischen Nachlauffehler von maximal1% sicherzustellen muss gelten W−1

1 (s → 0) ≤ 0.01. Eine Dampfung des hochfrequentenRauschens um einen Faktor 10 wird mit der Wahl W−1

2 (s → ∞) ≤ 0.1 sichergestellt.

� W−11 = s+1

s+0.01

⊠ W−11 = s+0.01

s+1

� W−11 = 0.1·s+1

s+1

� W−12 = s+0.01

s+1

� W−12 = s+1

0.1·s+1

⊠ W−12 = 0.1·s+1

s+1


Thema: LQR, LQG/LTR

Zsiga

Beschreibung: Sie haben fur eine MIMO Regelstrecke vier verschiedene LQ-Regulatoren ent-worfen. Die Regelstrecke hat zwei Zustandsvariablen x1 und x2. Die verwendete Gewichtungs-matrix R wurde stets gleich gewahlt, Sie haben nur die Eintrage der Gewichtungsmatrix Qverandert. Die simulierten Systemantworten zeigen das Verhalten mit den Startwerten x1 = +1und x2 = −1. Sie haben vergessen, welche Gewichtungsmatrix Q zu welcher Systemantwortgehort.

Abbildung 14: Simulationsergebnisse erzielt mit unterschiedlichen LQ-Regulatoren.

F22 (2 Punkte) Ordnen Sie den folgenden Gewichtungsmatrizen Q je eine Systemantwortaus Abbildung 14 zu.

Antwort:

Gewichtungsmatrix Systemantwort

Q1 =

(1 00 1

)

Q2 =

(20 00 1

)

Q3 =

(1 00 20

)

Q4 =

(20 00 20

)


F23 (1 Punkt) Eine der vier Systemantworten in Abbildung 14 wird im Vergleich zu denubrigen drei als “cheap control” bezeichnet. Welche?

� Systemantwort 1

� Systemantwort 2

� Systemantwort 3

� Systemantwort 4

Losung

F22 Eine hohe Gewichtung fuhrt dazu, dass die entsprechende Zustandsvariable schnell zuNull zurckgefuhrt wird. Losung siehe unten.

Gewichtungsmatrix Systemantwort

Q1 =

(1 00 1

)1

Q2 =

(20 00 1

)4

Q3 =

(1 00 20

)3

Q4 =

(20 00 20

)2

F23 Von “cheap control” wird gesprochen, wenn die “Steuerenergie”, die der Regler einsetzendarf, gunstig ist und daher die Zustandsvariablen schnell zu Null zurckgefuhrt werden. Indieser Aufgabe entspricht das dem Fall, wenn Q gross gewahlt wird.

� Systemantwort 1

⊠ Systemantwort 2

� Systemantwort 3

� Systemantwort 4


Beschreibung: Sie wollen eine Regelstrecke mit 2 Eingangsgrossen, 3 Ausgangsgrossen und 4Zustandsvariablen mit einem LQ-Regulator stabilisieren.

F24 (1 Punkt) Wie sind die Dimensionen der Zustandsruckfuhrungsmatrix K?

� K ∈ R2x3

� K ∈ R4x3

� K ∈ R2x4

� K ∈ R4x4

� K ∈ R4x2

Losung

F24 Der Zustandsvektor und die Stellgrosse haben die Dimension x ∈ R4,1 und u ∈ R

2,1. DasRuckfuhrungsgesetzt lautet u(t) = −Kx(t). Deshalb gilt:

� K ∈ R2x3

� K ∈ R4x3

⊠ K ∈ R2x4

� K ∈ R4x4

� K ∈ R4x2


Beschreibung: Sie haben einen LQ-Regulator fur eine SISO Regelstrecke erster Ordnung ausge-legt. Die Regelstrecke wird beschrieben durch A = [−1], B = [1], C = [4], und D = [0]. Sie habenfur die Zustandsruckfuhrungsmatrix K = [1] erhalten. Der LQ-Regulator soll nun durch einenP-Regler ersetzt werden, ohne dass sich das Verhalten des Regelkreises fur das Regulatorproblem(r = 0) andert.

F25 (1 Punkt) Welche Verstarkung hat der P-Regler?

Antwort:

kp =

Losung

F25 Der Ausgang ist y = 4x. Wenn anstatt des Zustandes x der Ausgang y ruckgefuhrt wird,muss die Verstarkung um den Faktor 4 reduziert werden, um die gleiche Reglerperfor-mance zu erhalten. Deshalb lautet das Resultat:

kp = 0.25


Beschreibung: Sie haben einen LQ-Regulator fur eine SISO Regelstrecke zweiter Ordnungausgelegt. Die Regelstrecke wird beschrieben durch:

A =

[−2 −11 0

], B =

[10

], C =

[0 1

]und D =

[0]. (6)

Sie haben fur die Zustandsruckfuhrungsmatrix K =[0.51 1

]erhalten. Der LQ-Regulator soll

nun durch einen PID-Regler der Form C(s) = kp+ ki/s+ kds ersetzt werden, ohne dass sich dasVerhalten des Regelkreises fur das Regulatorproblem (r = 0) andert.

F26 (2 Punkte) Berechnen Sie die Parameter des Reglers kp, ki und kd.

Antwort:

kp = ki = kd =

Losung

F26 Aus der unteren Zeile der A-Matrix sieht man x2(t) = x1(t), d.h. x2(t) kann als ei-ne Position und x1(t) als eine Geschwindigkeit interpretiert werden. Das Ausgangssi-gnal y entspricht der Position x2(t) (siehe C-Matrix) und uber eine Ableitung diesesSignals erhalt man die Geschwindigkeit. Die Parameter kp und kd findet man aus derZustandsruckfuhrungsmatrix K:u(t) = −(0.51x1(t) + x2(t)) = − (0.51x2(t) + x2(t)) = 0.51(−y(t))− y(t).Der LQ-Regulator hat keinen Integrator, deshalb gilt ki = 0.

kp = 1 ki = 0 kd = 0.51


Beschreibung: Eine Regelstrecke mit 2 Eingangs- und 2 Ausgangsgrossen wird mit einem LQ-Regulator geregelt. Die Regelstrecke wird durch die folgenden Matrizen beschrieben

A =

[−2 −11 0

], B =

[1 00 1

], C =

[2 00 4

], D =

[0 00 0

](7)

und die Zustandsruckfuhrungsmatris K lautet

K =

[1 22 3

]. (8)

Sie kennen fur den Zeitpunkt t = 2 s folgende Signale

x(t = 2 s) =

[11

], y(t = 2 s) =

[24

]. (9)

F27 (1 Punkt) Berechnen Sie die Stellgrosse u(t) zum Zeitpunkt t = 2 s.

Antwort:

u(t = 2 s) = [ , ]T

Losung

F27 Das Ruckfuhrungsgesetzt des LQ-Regulators ist statisch und lautet u(t) = −Kx(t). Damitkann die Stellgrosse zu jedem Zeitpunkt aus dem Zustand berechnet werden.

u(t = 2 s) = [ −3 , −5 ]T


Beschreibung: Sie entwerfen ein Regelsystem mit Zustandsbeobachter und mochten, dass dieDynamik des Beobachtungsfehlers durch die beiden Pole π1 = π2 = −1 beschrieben wird. Fol-gende Systemmatrizen sind bekannt:

A =

[−1 −23 5

], B =

[30

], C =

[0 2

], D =

[0]. (10)

F28 (2 Punkte) Berechnen Sie die Matrix L des Zustandsbeobachters, die zur gewunschtenPollage fuhrt.

Antwort:

L = [ , ]T

Losung

F28 Die Aufgabe erfordert, dass die Eigenwerte des Beobachters (sprich von A− LC) bei −1liegen. Zuerst definiert man den Vektor L = [l1, l2]

T . Nun kann die Determinante von(A− LC − λI) mit (λ+ 1)2 gleichgesetzt werden.

det((A− LC − λI)) =

∣∣∣∣[−1− λ −2− 2l1

3 5− 2l2 − λ

]∣∣∣∣ ≡ (λ+ 1)2.

Durch einen Koeffizientenvergleich von λ2 + λ(2l2 − 4) + (1 + 2l2 + 6l1) ≡ λ2 + 2λ + 1erhalt man l1 = −1 und l2 = 3.

L = [ −1 , 3 ]T


Beschreibung: Eine Regelstrecke zweiter Ordnung wird mit einem LQ-Regulator mit I-Erweiterunggeregelt. Fur den Entwurf wird der erweiterte Zustand x(t) = [x(t) v(t)]T verwendet. Beim Reg-lerentwurf gibt Matlab auf den BefehlK tilde = lqr(A tilde,B tilde,C tilde’*C tilde,R)folgende Matrix aus:

K tilde =

[0.4081 18.0770 −0.4024 −0.80480.1372 8.7659 −0.1951 −0.3902

](11)

F29 (1 Punkt) Geben Sie einen Matlab Befehl an, mit dem die Matrix K i aus der MatrixK tilde extrahiert werden kann.

Antwort:

K i =

Losung

F29 K setzt sich zusammen aus K = [K −KI ], wobei K aus zwei Spalten besteht (Regel-strecke zweiter Ordnung). Deshalb lautet das Resultat:

K i = −K tilde(:,3:4) oder K i = −K tilde(1:2,3:4)

Es wurden beide Vorzeichen von K tilde akzeptiert, da in erster Linie nach der Extraktionder Werte gefragt wurde. Fur eine korrekte Implementation eines LQR mit Integrator-Erweiterung muss naturlich das Vorzeichen berucksichtigt werden.


Beschreibung: Eine SISO Regelstrecke wird mit einem LQRI-Regler geregelt, siehe Abbildung15. Die relevanten Systemmatrizen sind A = [−1], B = [1], C = [1], K = [1] und Ki = [−1].

r(t)

− −

+

+

+ +

+

+B

A

∫∫

K

KI Cu(t) y(t)x(t)v(t)

w(t)

Abbildung 15: Regelstrecke mit LQ-Regulator und Erweiterung mit einem Integrator.

F30 (2 Punkte) Im eingeschwungenen Zustand erreicht die Ausgangsgrosse genau denSollwert d.h. es gilt r(t) = y(t) = 2. Ausserdem gilt w(t) = 0 ∀ t. Berechnen Sie indiesem Fall die konstanten Signale v(t) und u(t).

Antwort:

v(t) = u(t) =

Losung

F30 Im eingeschwungenen Zustand sind die Eingangsgrossen in die Integratoren jeweils gleichNull. Fur x(t) ergibt sich x(t) = C−1y(t) = 2. Damit ergibt sich auch Ax(t) = −2. Umzu erreichen, dass der Eingang in den rechten Integrator gleich Null ist, muss das SignalBu(t) = 2 sein. Wegen B = 1 gilt u(t) = 2.Der Eingang in den linken Integrator is gleich Null, da im eingeschwungenen Zustandgilt y(t) = r(t). Weiter ist bekannt, dass x(t) = 2 ist und daher gilt Kx(t) = 2. Ausu(t) = −Kx(t) +KIv(t) und KI = −1 ergibt sich v(t) = −4.

Antwort:

v(t) = −4 u(t) = 2


Beschreibung: Eine Regelstrecke wird mit einem LQG-Regler geregelt. Die A-Matrix des ge-schlossenen Regelkreis Acl lautet:

Acl =

[A −BKLC A−BK − LC

]=

−2 −1 −1 −11 0 −1 −12 4 −5 −62 8 −2 −9

(12)

F31 (2 Punkte) Berechnen Sie alle Eigenwerte von Acl. Die Reihenfolge spielt dabei keineRolle.

Antwort:

λ = { , , , }

Losung

F31 Aufgrund des Separationsprinzips sind die Eigenwerte von Acl gleich wie die Eigenwertevon A−BK und A− LC. Diese Matrizen konnen aus Acl abgelesen werden:

A =

[−2 −11 0

], BK =

[1 11 1

]und LC =

[2 42 8

].

det(A−BK−λI) ≡ 0 liefert die Eigenwerte −1 und −3 und det(A−LC−λI) ≡ 0 liefertdie Eigenwerte −3 und −9.

λ = { −1 , −3 , −3 , −9 }


Thema: Digitale Regelsysteme

Zsiga

Beschreibung: Ein zeitkontinuierliches Signal yc wird von einem Mikroprozessor eingelesen undgespeichert. Abbildung 16 zeigt das resultierende zeitdiskrete Signal y.

Abbildung 16: Zeitdiskretes Signal y.

F32 (1 Punkt) Bestimmen Sie die Abtastfrequenz fs des Signals y.

Antwort:

fs = Hz

Losung

F32 Das Signal besteht aus 20 Messpunkten pro Sekunde, daher lautet das Resultat:

fs = 20 Hz


Beschreibung: Die maximale Abtastfrequenz eines Mikroprozessors betragt 500Hz.

F33 (1 Punkt) Bestimmen Sie die hochste Frequenz ωmax in rad/s, die mit dieser Abtast-frequenz abgebildet werden kann.

Antwort:

ωmax = rad/s

Losung

F33 Mit einer Abtastfrequenz von 500Hz konnen Signale bis 250Hz abgebildet werden. Inrad/s entspricht das 2π · 250 rad/s.

ωmax = 500π rad/s = 1570 . . . 1571 rad/s


Beschreibung: Der Analogeingang ihres Analog-Digital-Wandlers (ADC) kann Spannungenzwischen 0V und 5V einlesen. Ein daran angeschlossenes Thermoelement liefert eine Spannungvon 0V bei -100◦C und 5V bei +600◦C, die Kennlinie ist linear. Der verwendete ADC hat eineAuflosung von 12 bit.

F34 (1 Punkt) Wie gross ist der kleinste Temperaturunterschied ∆ϑ, den Sie mit diesemAufbau messen konnen?

Antwort:

∆ϑ = K

Losung

F34 Da die Kennlinie linear ist, kann der gesamte Messbereich in gleich grosse Teile unterteiltwerden. Der Messbereich betragt 700K und mit einer Auflosung von 12 bit konnen 212

verschiedene diskrete Werte dargestellt werden. Daher gilt:∆ϑ = 700K

212−1= 700K

4096−1 = 0.17K

∆ϑ = 0.17 K Bereich: 0.16 K ... 0.18 K


Beschreibung: Ein diskretes System erster Ordnung wird beschrieben durch die MatrizenF = [0.9910], G = [0.1250], C = [0.0717] und D = [0]. Die Anfangsbedingung ist x(k = 0) = 10und das Eingangssignal in das System ist u(k) = 0 ∀ k.

F35 (1 Punkte) Berechnen Sie x(k) fur k = 500.

Antwort:

x(500) =

Losung

F35 Da das Eingangssignal gleich Null ist erfolgt in jedem Zeitschritt nur eine Multiplikationmit F (x(1) = Fx(0), x(2) = Fx(1) = F 2x(0) . . . ). Damit kann die Losung explizitberechnet werden:

x(500) = x(0) · F 500 = 0.1088 (0.1 . . . 0.11)


Beschreibung: An einem Prufstand wollen Sie Messungen mit einem Regelsystem durchfuhren,welches eine Durchtrittsfrequenz von 3Hz hat. Von einem Kollegen wissen Sie, dass an diesemPrufstand immer ein Storsignal mit einer Frequenz von 50Hz auftritt (Netzrauschen). Sie mussennun die Abtastfrequenz ihres Messaufbaus auswahlen und bestimmen, ob sie einen Anti-Aliasing-Filter (AAF) benotigen. Gehen sie von einem idealen AAF aus, der Signalanteile mit Frequenzenniedriger als fAAF nicht verandert und Signalanteile mit Frequenzen grosser als fAAF vollstandigentfernt.

F36 (2 Punkt) Kreuzen Sie die Kombinationen an, mit denen Sie brauchbare Messungenerwarten. Brauchbar bedeutet in diesem Zusammenhang, dass kein Aliasing auftritt.

� fs = 30Hz, kein AAF

� fs = 30Hz, AAF mit fAAF = 40Hz

� fs = 500Hz, AAF mit fAAF = 40Hz


Losung

F36 Wird ein AAF mit einer Frequenz fAAF < 50Hz verwendet wird das Storsignal vor demAbtasten des Signals herausgefiltert. Fur eine Abtastfrequenz von 30Hz ist ein AAF un-bedingt erforderlich, da sonst ein Alias des Storsignals bei 10Hz in der Messung auftretenwurde. Wird eine Abtastfrequenz von 500Hz (das zehnfache der Storfrequenz) verwendetist das Storsignal in der Messung enthalten aber es tritt kein Aliasing auf. Das Storsignalkann daher spater mit einem digitalen Filter aus dem Signal entfernt werden.


⊠ fs = 30Hz, AAF mit fAAF = 40Hz

⊠ fs = 500Hz, AAF mit fAAF = 40Hz

⊠ fs = 500Hz, kein AAF


Beschreibung: Fur die Geschwindigkeitsregelung in einem PKW wird ein zeitdiskreter Regler(Tempomat) auf dem Motorsteuergerat verwendet. Die Sollgeschwindigkeit steht digital auf demSteuergerat zur Verfugung. Die Geschwindigkeit (Messwert) wird mit einem analogen Sensorgemessen.

F37 (1 Punkt) Tragen Sie die Abkurzungen der folgenden Elemente an der korrektenStelle in das Blockdiagramm in Abbildung 17 ein:

AAF: Anti-Aliasing-Filter

ADC: Analog-Digital-Wandler

DAC: Digital-Analog-Wandler

P(s): Zeitkontinuierliche Strecke

C(z): Zeitdiskreter Regler

Antwort:

Sollwert

Messwert

+-

Abbildung 17: Blockdiagramm des Regelkreises des Tempomaten.

Losung

F37 Ein analoges Signal muss vor dem Sampeln mit einem AAF gefiltert werden, um AliasingEffekte zu vermeiden. Da in diesem Fall der Sollwert digital zur Verfugung steht kanndie Differenz zum Istwert nach dem ADC diskret berechnet werden. Der diskrete Reglerberechnet daraufhin das Stellsignal, welches mit einem DAC in ein analoges Spannungs-signal umgewandelt und der Strecke zugefuhrt wird.

Sollwert

Messwert

+-AAF ADC C(z) DAC P(s)

Abbildung 18: Blockdiagramm des Regelkreises des Tempomaten (Losung).


Beschreibung: Ein zeitdiskreter Regler hat eine Abtastzeit von 50ms. Die Durchtrittsfrequenzder Kreisverstarkung betragt 5 rad/s. Ihr Kollege schlagt vor, einen Anti-Aliasing-Filter mit derUbertragungsfunktion

AAF (s) =5

s+ 5. (13)

im Messaufbau zu verwenden.

F38 (1 Punkt) Berechnen Sie den durch das Abtasten entstehenden Phasenverlust bei derDurchtrittsfrequenz (Tipp: Faustregel verwenden).

Antwort:

∆ϕ1 =

F39 (1 Punkt) Berechnen Sie den zusatzlichen Phasenverlust durch den Anti-Aliasing-Filter bei der Durchtrittsfrequenz.

Antwort:

∆ϕ2 =

Losung

F38 Nach Faustregel betragt die Totzeit, die durch das Abtasten eingefuhrt wird Ts

2 s. DerPhasenabfall berechnet sich durch

∆ϕ1 =Ts

2ω (14)

∆ϕ1 =Ts

2 · 5 = 0.1250 rad = 7.1620 ◦(7.1 . . . 7.2) ◦

Anmerkung: Die entsprechenden negativen Werte werden auch akzeptiert.

F39 Die Durchtrittsfrequenz der Kreisverstarkung liegt denau bei der Eckfrequenz des AAF.Deshalb betragt die Phase −45 ◦ und der Phasenabfall +45 ◦. Alternativ kann auch diePhase der komplexen Zahl 5

5j+5 = 0.5− 0.5j berechnet werden: atan( 0.5−0.5 ) = −π

4 .


∆ϕ2 =π4 rad = 45 ◦

Anmerkung: Die entsprechenden negativen Werte werden auch akzeptiert.


Beschreibung: Die Pole eines zeitdiskreten Regelsystems liegen beiπ1 = −0.73 + 0.1j, π2 = −0.73 − 0.1j und π3 = +0.3.

F40 (1 Punkt) Beurteilen sie die Stabilitat dieses Regelsystems.

� Instabil

� Stabil

� Asymptotisch stabil

Losung

F40 Ein zeitdiskretes System ist asymptotisch stabil wenn der Betrag aller Eigenwerte kleinerals 1 ist.

� Instabil

� Stabil

⊠ Asymptotisch stabil


Beschreibung: Das zeitdiskrete SISO-System

Σ(z) =0.36z + 0.27

z2 − 0.82z + 0.45(15)

wird mit einem Einheitssprung angeregt. Die Werte y(k = 2) = 0.36 und y(k = 3) = 0.93 sindgegeben.

F41 (2 Punkte) Berechnen Sie y(k = 4).

Antwort:

y(k = 4) =

Losung

F41 Die Ubertragungsfunktion kann umgeschrieben werden zuY (z)(z2 − 0.82z + 0.45) = U(z)(0.36z + 0.27). Im Zeitbereich entspricht dasy(k + 2) − 0.82y(k + 1) + 0.45y(k) = 0.36u(k + 1) + 0.27u(k). Der diskrete Index indieser Gleichung muss nun um 2 Zeitschritte verschoben werden, damit der neueste Werty(k = 4) berechnet werden kann. Ein Umstellen der Gleichung liefert:y(k) = 0.82y(k−1)−0.45y(k−2)+0.36u(k−1)+0.27u(k−2). Mit k = 4 und den Wertenfur y(k = 2) = 0.36 und y(k = 3) = 0.93 sowie u(k = 1) = u(k = 2) = 1 erhalt man:

y(k = 4) = 1.2306 (1.22 . . . 1.24)


Beschreibung: Sie sollen einen Regler fur einen Verbrennungsmotor entwerfen. Die geforderteDurchtrittsfrequenz betragt 10 rad/s. Da es sich um einen 1-Zylinder 4-Takt Motor handelt ist einUpdate des Reglers nur alle 2 Umdrehungen moglich. Sie wollen einen kontinuierlichen Reglerentwerfen und diesen danach emulieren.

F42 (2 Punkte) Wie gross sollte laut Faustregel die Drehzahl mindestens sein, damit eineEmulation des Reglers akzeptable Ergebnisse liefert?

Antwort:

NMot > Umdr./min

Losung

F42 Nach Faustregel soll die Abtastfrequenz mindestens das zehnfache der Durchtrittsfrequenzsein, was 100 rad/s entspricht. Dies ist umgerechnet eine Frequenz von 15.92Hz. Da einUpdate nur alle 2 Umdrehungen stattfindet muss der Motor dafur eine Drehzahl von2 · 15.92 = 31.84Umdr./s = 1909Umdr./min erreichen.

NMot > 1909Umdr./min (1905 . . . 1915Umdr./min)


Beschreibung: Sie haben den zeitkontinuierlichen Regler

C(s) =s+ 1

(s+ 2)(s + 10)(16)

fur ihr Regelsystem ausgelegt und mochten diesen nun auf einem Mikroprozessor implementieren.Sie entscheiden sich fur die Emulationsmethode “Euler forward”.

F43 (2 Punkte) Geben Sie den Bereich fur die Abtastzeit Ts an, in welchem ein asympto-tisch stabiler diskreter Regler resultiert.

Antwort:

0 s < Ts <

Losung

F43 Durch Einsetzen von s = z−1Ts

erfolgt die Emulation mit Euler forward. Der Nenner der

Ubertragungsfunktion lautet damit ( 1Ts(z − 1) + 2)( 1

Ts(z − 1) + 10) und die Pole liegen

bei π1 = 1 − 2Ts und π2 = 1 − 10Ts. Der Betrag jedes Pols muss kleiner als 1 sein. Dadie Abtastzeit T eine reelle, positive Zahl ist, konnen fur jeden Pol die beiden Grenzfallebetrachtet werden:1− 2Ts > −1 → Ts < 1 s1− 2Ts < +1 → Ts > 0 s1− 10Ts > −1 → Ts < 0.2 s1− 10Ts < +1 → Ts > 0 s.Daher muss fur die Abtastzeit gelten 0 s < Ts < 0.2 s.

0 s < Ts < 0.2 s

Exam ControlSystems2 DE - ETH Z · 2016. 8. 12. · Die angegebene Punktezahl kann nur erreicht...

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