Experimentalphysik IV Festk orperphysik · Kapitel 1 Atomarer Aufbau der Materie 1.1...

Experimentalphysik IV

Festkorperphysik

Bernd v. Issendorff

17. Juli 2009

Inhaltsverzeichnis

1 Atomarer Aufbau der Materie 31.1 Kristallstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Kristallgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Darstellung des Kristallgitters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Gittertypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.5 Strukturbestimmung von Kristallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.6 Strukturbestimmung, Rontgen-Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.7 Gitterebenen: Miller-Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.8 Beugung am 3D-Kristall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.9 Berechnung des reziproken Gitters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.10 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.11 Strukturfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.12 Vergleich mit Bragg Bedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.13 Ewald-Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.14 Atomformfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.15 Einheitszelle des reziproken Gitters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 Kristalldynamik: Phononen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.1 Lineare Kette (1D-Modell fur Festkorper) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.2 Messung der Phononendispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.3 Gitter mit Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.4 Schallgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.5 Wechselwirkung mit Phononen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.6 Debye-Waller Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3 Warmekapazitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.1 Klassisch: Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.2 Quantenmechanik: Einstein-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.3 Quantenmechanik: Debye-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.4 Warmeleitung durch Phononen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.3.5 Warmeausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 Elektronenstruktur der Materie 372.1 Metalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.1 Drude-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.1.2 Warmeleitfahigkeit von Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.1.3 Das freie Elektronengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.4 Warmekapazitat des freien Elektronengases . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1.5 Einfluss des Gitters: elektronische Bandstruktur . . . . . . . . . . . . . . 462.1.6 Bloch-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.1.7 Besetzung der Bander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2 Einschub: chemische Bindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2.1 Ionische Bindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2.2 Kovalente Bindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1

INHALTSVERZEICHNIS 2

2.2.3 metallische Bindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.4 Kovalente Bindung: lineare Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.5 Entwicklung der elektronischen Struktur des Festkorpers . . . . . . . . . . 562.2.6 Messung der el. Struktur: Photoelektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2.7 Fermiflachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2.8 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.3 Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.3.1 Zustandsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.3.2 Besetzungswahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3.3 Extrinsische Halbleiter: Dotierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3.4 Temperaturabhangigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3.5 p-n-Ubergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.3.6 Leuchtdiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3.7 Schottky-Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.3.8 Transistor (npn oder pnp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.3.9 FET (Feld-Effekt-Transistor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4 Isolatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4.1 Optische Eigenschaften von Isolatoren (Dieelektrika) . . . . . . . . . . . . 732.4.2 Clausius-Mossotti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.4.3 Ferroelektrizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.4.4 Piezoelektrizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3 Spezielle elektromagnetische Eigenschaften 793.1 Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.1.1 Paramagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.1.2 Diamagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.1.3 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.2 Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.2.1 Ursache der Supraleitung: Cooper-Paare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.2.2 Josephson-Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.2.3 Typ 2 Supraleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2.4 Hochtemperatursupraleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4 Oberflachen 954.1 Kristallstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2 Elektronische Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5 Nanophysik 995.1 Zustandsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.2 Metallcluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.3 Halbleiterpartikel (“quantum dot”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Literatur

• Kittel: ausfuhrlich

• Ibach-Luth: rel. einfach

• Ashcroft-Mermin: gut fur die Theorie

Kapitel 1

Atomarer Aufbau der Materie

1.1 Kristallstruktur

Formen kondensierter Materie:

Flussigkeit Atome bzw. Molekule leicht verschiebbar, keine FernordnungPolymere lange Ketten, verschiebbar, keine Fernordnungamorphe Festkorper starke Bindung der Atome, keine Fernordnung (Bsp.:Glas)Flussigkristalle angeordnete Molekule in Flussigkeit, Ordnung nur in EbenenKristalle perfekte periodische Anordnung (Bsp.: Si-Einkristall). Reale

Festkorper sind meist polykristallin.

Thema der Vorlesung sind Kristalle!

1.1.1 Kristallgitter

Definitionen:

Kristall: unendliche periodische Anordnung von Atomen (bzw. Molekulen)periodisch: Verschiebung um Translationsvektor uberfuhrt den Kristall in sich

selbst.Kristallgitter: Menge an Punkten im Raum, von denen aus der Kristall identisch aus-

sieht.Basis: Einheit, die jedem Gitterpunkt zugeordnet ist.Basisvektor: vektorielle Beschreibung der Basis

Mogliche Wahl von Gitterpunkten, Basis und Basisvektoren

Merke: Kristall : Gitter + Basis !

3

KAPITEL 1. ATOMARER AUFBAU DER MATERIE 4

1.1.2 Darstellung des Kristallgitters

Alle Gitterpunkte sind von einem Gitterpunkt her zu erreichen durch Translationsvektoren:

−→T = na

−→a + nb−→b + nc

−→c (1.1)

−→a ,−→b ,−→c heißen primitive Gittervektoren, falls na, nb, nc ganze Zahlen fur alle

−→T .

Mogliche primitive Gittervektoren

Keine primitive Gittervektoren (wegen ~T = 1/2(~a+~b)

Primitive Gittervektoren in 3D.

Einheitszelle: Zelle, aus der durch Verschiebung das Kristallgitter aufge-baut werden kann.

primitive Einheitszelle: Einheitszelle, die genau einen Gitterpunkt enthalt

Mogliche primitive Einheitszellen


Primitive Einheitszellen konnen aus primitiven Einheitsvektoren gebildet werden:

”Parallelepiped”

Volumen: V = ~a(~b× ~c) = ~b(~c× ~a) = ~c(~a×~b)

Wigner-Seitz-Einheitszelle

Problem: primitive Einheitszellen haben haufig geringere Symmetrie als das Gitter

Raumzentriertes kubisches Gitter: nichtprimitive Einheitszelle (links) und primitiveEinheitszelle niedriger Symmetrie (rechts)

Losung: Wigner Seitz Konstruktion einer primitiven Einheitszelle:

Zur Einheitszelle gehoren alle Orte, die einem bestimmten Gitterpunkt naher sind als allenanderen.

Wigner-Seitz-Konstruktion


1.1.3 Gittertypen

kubische Gitter:

a

aa

einfach kubischSC(simple cubic)

a

a

a

kubisch raumzentriertBCC(body centered cubic)

a

aa

kubisch flachenzentriertFCC(face centered cubic)

weitere Gitter:

a

a

b tetragonal

rhomboedrisch

Insgesamt existieren 14 verschiedene Gittertypen (”Bravais Gitter“)

Bemerkung zum fcc-Gitter: Das fcc-Gitter beschreibt eine dichtestmogliche Kugelpackung

Ebenen aus dichtge-packten Kugeln:

b ca

Es existieren 2 Moglichkeiten fur die3. Schicht!

fcc: Ebenenfolge a b c a b c ...

Die gleiche Dichte wird erreicht bei:

hcp: Ebenenfolge a b a b a b ...

Dieses Gitter heißt hcp Gitter (hexagonal close packed).


fcc hcp

1.1.4 Beispiele

sc (ohne Basis)

Po

Po

sc (mit Basis) Cs

Cl

CsCl,... BeCu, AlNi, CuZn (Messing)

fcc (ohne Basis) Cu, Ag, Ni,... Ar,Kr

fcc (mit Basis)

Cl Na

NaCl, KBr, MgO, PbS

fcc (mit Basis) Tetraedergitter mit gleichen Atomen: Si, Geversch. Atome: SnS, SiC, GaAs, CdS, AgI( ”Zinkblendestruktur“; tritt allg. bei Halbleitern auf!)

bcc (ohne Basis) Na, K, Fe, Mb

hcp (ohne Basis) Be, Mg, Zn, Co


1.1.5 Strukturbestimmung von Kristallen

Beugung von Wellen

Eine Lichtwelle ist ein elektromagnetisches Feld

E(x) = E0 cos(kx)

Es ist λ = 2πk bzw. k = 2π

λ (k: Wellenzahl, Einheit [cm−1]).

- 1

0

1

2π/ k

E

xπ/ k

λ

Die Uberlagerung von Wellen fuhrt zu Interferenz:

E = E1 + E2 = E0 cos(kx) + E0 cos(k(x−∆x))

(Annahme: gleiche Amplitude, aber verschoben)

- 2

- 1

0

1

2

- 1

0

1

- 1

0

1

=

+

E

x∆ x = 0

Konstruktive Interferenz∆x = 0, λ, 2λ,...

- 2

- 1

0

1

2

- 1

0

1

- 1

0

1

=

+

E

x∆ x = λ / 2

Destruktive Interferenz∆x = λ

2 , 3λ2 , 5

λ2 ,...

3D-Wellen

E(~r) = E0ei~k~r

Orte gleicher Amplituden bilden Ebenen im Raum

E(~r) = E0 ⇔ ~k~r = m2π (m = 0, 1, 2, . . . )

Vgl. Ebenengleichung:n · ~r = d

(n Normalenvektor ⊥ Ebene, d Abstand zum Ursprung)

Normieren von ~k:~k

|~k|~r = m

2π

|~k|


Ebenengleichung fur Orte maximaler Amplitude (Wellenberge) beschreibt Ebenen ⊥ zu ~k mitAbstand 2π

|~k|

x

y

kr

kπλ 2

=

Bemerkung: Komplexe Funktionen ei~k~r sind in der klassischen Physik nur mathematische

Hilfsmittel; es zahlt der Realteil Re(ei~k~r) = cos(~k~r). In der Quantenmechanik hat allerdingsauch der Imaginarteil Bedeutung!

1.1.6 Strukturbestimmung, Rontgen-Beugung

Bragg-Streuung

Uberlagerung: Konstruktive/destruktive Inter-ferenz je nach Phasenverschiebung

Genauer: Weglangenunterschied zwischen den Teilstrahlen: 2δ = 2d cos(α)

Konstruktive Interferenz falls 2δ = nλ, n = 1, 2, 3, . . .

⇒ 2d cos(α) = nλ

cos(α) =nλ

2dBragg-Bedingung

Da cos(α) ≤ 1 folgt nλ2d ≤ 1 und damit:

⇒ λ ≤ 2dn

Nur fur kleine λ gibt es einen (oder mehrere) mogliche Winkel!


Einschub Teilchenwellen

Auch Atome, Elektronen, Neutronen bilden Wellen mit Wellenlange

λ =h

pde-Broglie - Beziehung

p ist der Impuls des Teilchens, h = 6, 6262 · 10−34 Js ist das Plancksche Wirkungsquantum.

Fur typische Ebenenabstande d ∼ 2A braucht man also fur Beugungsexperimente Teilchen derEnergie

Teilchen λ p EPhoton 12400 eV (Rontgenlicht!)Elektron 1 A 6,6 · 10−24 kg m

s 300 eVNeutron 0,08 eV (= 630 K)

1.1.7 Gitterebenen: Miller-Indizes

Es existieren unendlich viele Moglichkeiten, ein Gitter in eine Schar aquidistanter Ebenen zuzerlegen. Diese werden durch Indizes bezeichnet.

Beispiele:

Konstruktion:

• Wahle aus Ebenenschar Ebene, die nicht den Ursprung enthalt (meistens erhalt man auchfur beliebige Ebenen ein richtiges Ergebnis)

• Bestimme Schnittpunkte mit Gittervektoren bei kubischem Gitter: x, y, z Achsenabschnittein Einheiten der Kantenlange (nxa, nya, nza)

• Bilde Kehrwerte der Achsenabschnitte ⇒ (h′, k′, l′) = ( 1nx, 1ny, 1nz

)

• Suche den kleinsten Faktor f, fur den h, k, l ganze Zahlen sind (h, k, l) = (fh′, fk′, f l′)

Beispiele

sc

Achsenabschnitte:x = 2a, y = a, z =∞⇒ (h′, k′, l′) = (1

2 , 1, 0)⇒ f = 2⇒ (h, k, l) = (1, 2, 0)

(hier wurde nicht die dem Ursprungnachste Ebene gewahlt; das Ergebnisist aber richtig)


bcc

Achsenabschnitte:x =∞, y = 1

2a, z =∞⇒ (h′, k′, l′) = (0, 2, 0) = (h, k, l)

Bemerkung

• Negative Zahlen werden mit h geschrieben (1, 0, 1)

• h, k, l bezeichnet alle kristallographisch gleichen Ebenen; h ≥ k ≥ l

• 〈h, k, l〉 bezeichnet die Richtung ⊥ zur Ebene

Eigenschaften der Miller-Indizes im kubischen Gitter

1. Der Ortsvektor(hkl

)steht senkrecht auf der Ebene (hkl)

2. Der Abstand d zwischen den Ebenen betragt:

d =a√

h2 + k2 + l2

Je großer die Indizes, desto kleiner der Abstand!

Folgerung fur die Beugungsbedingung

Ablenkwinkelθ

α

Einsetzen von d in die Bragg-Bedingung:cosα = nλ

2a

√h2 + k2 + l2 Damit wird der Ablenkwinkel

Θ = 180 − 2α

Θ = 2 arcsin(nλ

2a

√h2 + k2 + l2)

Kleine Indizes fuhren zu kleinen Ablenkwinkeln!

1.1.8 Beugung am 3D-Kristall

Wiederholung: Fouriertransformation

F(k) =1√2π

∞∫−∞

f(x)e−ikxdx

︸︷︷︸Skalarprodukt!

Spektralanalyse

invers: f(x) =1√2π

∞∫−∞

F (k)eikxdk Fouriersynthese

3D: F (~k) =1

(√

2π)3

∫f(~r)e−i~k~rd~r

f(~r) =1

(√

2π)3

∫F (~k)ei~k~rd~k


Fouriersynthese eines Kristallgitters

f(x) =

∞∫−∞

F (k)eikxdk =∑j

cjeikjx

Anschaulich:

k-Raum

F(k)

F(k)

F(k)

F(k)

f(x)

f(x)

f(x)

f(x)

x

x

x

x

k

k

k

k

k0-k0

2k0-2k0

3k0-3k0

k0

+

+

=0

2k

a π=

xkee xikxik

0cos2

00 =+ −

xkee xkixki

0

22

2cos2

00 =+ −

xkee xkixki

0

33

3cos2

00 =+ −

F(k)

. . . .

k

x

ak0

Ortsraum

Gitter im k-Raum:∑

m δ(k −m2πa ) Gitter im Ortsraum:

∑n δ(xi − na)

Die Fouriertransformation eines realen sc-Gitters mit Gitterkonstante a ist ein sc-Gitter im k-Raum mit Konstante 2π

a (”reziprokes”Gitter)

Formal:1

(√

2π)3

∫ ∑i

δ(~r − ~ri)︸︷︷︸direktes Gitter

e−i~k~r =∑j

δ(~k − ~Gj)︸︷︷︸reziprokes Gitter


Gitter

Punkt inQuellebene

einlaufende Welle auslaufende Welle

Punkt inDetektorebene

λ

kr

'kr

'0rr0rr

irr

3D-Beugung

Die Amplitude der Welle am Gitterpunkt ~ri ist

A = A0ei~k(~ri−~r0) | A0 bei ~r0

Die Amplitude in Detektorebene ist dann (γ sei die ”Streueffizienz“):

A′ = γA0ei~k(~ri−~r0)ei~k′(~r0′−~ri)

= γA0ei(~k−~k′)~riei(~k

′ ~r0′−~k ~r0)

Summiert uber alle Gitterpunkte und betragsquadriert:

I(~k,~k′) = |A|2 = const. · |∑i

ei(~k−~k′)~ri |2

= const. · |∫ ∑

i

δ(~r − ~ri)ei(~k−~k′)~rd~r|2 |∆~k = ~k′ − ~k

= const. · |∫ ∑

i

δ(~r − ~ri)e−i∆~k~rd~r︸︷︷︸

Fouriertransf. des dir. Gitters

|2

Damit ist I(∆~k) ∝ |∑

j δ(∆~k − ~Gj)|2Die Streuintensitat ist damit ungleich Null, falls gilt:

∆~k = ~G

allgemeine Beugungsbedingung

Die Beugung einer Welle mit Wellenvektor ~k in Richtung ~k′ findet nur statt, falls ∆~k = ~k′−~kein Vektor des reziproken Gitters ist!

1.1.9 Berechnung des reziproken Gitters

Formal: Fur ein gegebenes Gitter mit primitiven Gittervektoren ~a1, ~a2, ~a3 definiert man einreziprokes Gitter mit primitiven Gittervektoren ~b1, ~b2, ~b3:

~G = u1~b1 + u2

~b2 + u3~b3 (ui = 0, 1, 2, . . . )

Fur diese gelten:

~b1 = 2π~a2 × ~a3

~a1( ~a2 × ~a3), ~b2 = 2π

~a3 × ~a1

~a1( ~a2 × ~a3), ~b3 = 2π

~a1 × ~a2

~a1( ~a2 × ~a3)

Definition der primitiven Gittervektoren des reziproken Gitters


Eigenschaften

• fur alle ~G des reziproken Gitters gilt: ei ~G~rj = 1 ∀~rj (Gitterpunkte des direkten Gitters)

• damit beschreibt jedes ~G einen Ebenenschar mit Ebenenabstand

d = m2π

|~G|m = 1, 2, 3, . . .

und Normalenvektor n = ~G| ~G|

• kubisches Gitter: die Ebenen (h,k,l) (Miller-Indizes) werden beschrieben durch ~G = n2πa

(hkl

);

der Ebenenabstand ist d = n 2π| ~G|

= mn

a√h2+k2+l2

(m = n)

1.1.10 Beispiele

sc-Gitter

Gittervektoren: ~a1 = a(

100

), ~a2 = a

(010

), ~a3 = a

(001

)Volumen Einheitszelle: ~a1 · ( ~a2 × ~a3) = a3

Reziproke Gittervektoren: ~b1 = 2π ~a2× ~a3VEZ

= 2πa3

(100

)a2 = 2π

a

(100

)~b2 = 2π

a

(010

), ~b3 = 2π

a

(001

)

2p a

b2

b1

b3

sc-Gitter

bcc-Gitter

Gittervektoren: ~a1 = a(

100

), ~a2 = a

(010

), ~a3 = a

( 121212

)VEZ = 1

2a3

Reziproke Gittervektoren: ~b1 = 2πa

(10−1

), ~b2 = 2π

a

(01−1

), ~b3 = 2π

a

(002

)umschreiben: ~b1 + ~b3 = 2π

a

(101

), ~b2 + ~b3 = 2π

a

(011

)

b+11 b3 b+2 b3

b3

4p a fcc-Gitter!


fcc-Gitter

Gittervektoren: ~a1 = a( 1

2012

), ~a2 = a

( 01212

), ~a3 = a

(001

)VEZ = 1

4a3

~b1 = 2πa

(200

), ~b2 = 2π

a

(020

), ~b3 = 2π

a

(−1−11

)Umschreiben: ~b1 + ~b2 + ~b3 = 2π

a

(111

)

b+11 b3 b+2 b3

b3

4p a bcc-Gitter!

Das reziproke Gitter eines sc-Gitters (Kantenlange a) ist ein sc-Gitter mit Kantenlange 2πa ;

das eines bcc- bzw. fcc-Gitters ist ein fcc- bzw. bcc-Gitter mit Kantenlange 4πa

⇒ gegenuber dem sc-Gitter fallen Gittervektoren weg!

1.1.11 Strukturfaktor

Beugung am Gitter mit Basis

Bsp: Einfach kubisches Gitter mit Basis(

000

)a und

( 121212

)a = ~c

Die Beugungsamplitude ist hier:

A′ =∫ ∑

i

(δ(~r − ~ri) + δ(~r − ~ri − ~c)) · e−i∆~k~rd~r

=∫ ∑

i

δ(~r − ~ri)e−i∆~k~rd~r +

∫ ∑i

δ(~r − ~ri − ~c)e−i∆~k~rd~r ~r′ = ~r − ~c

=∑n

δ(∆~k − ~Gn) +∫ ∑

i

δ(~r′ − ~ri)e−i∆~k(~r′+~c)d~r′

=∑n

δ(∆~k − ~Gn) + e−i∆~k~c∫ ∑

i

δ(~r′ − ~ri)e−i∆~k~r′d~r′

= (1 + e−i∆~k~c)︸︷︷︸Strukturfaktor fur bcc-Gitter

∑n

δ(∆~k − ~G)︸︷︷︸rez. Gitter des sc-Gitters

6= 0 fr ∆~k = ~G und ∆~k~c 6= (2n+ 1)π


D.h. von den reziproken Gittervektoren des ursprunglichen sc-Gitters fallen beim bcc-Gitter alleweg, fur die gilt:

∆~k · ~c = ~G · ~c = (2n+ 1)π

2πa

(hkl

)·( 1

21212

)a = (2n+ 1)π

π(h+ k + l) = (2n+ 1)πh+ k + l = (2n+ 1)

Alle ~G mit h + k + l ungerade verschwinden!Damit fallen folgende rez. Gittervektoren weg:

Das reziproke Gitter wird zum fcc-Gitter mit Kantenlange 4π

a !

Ursache

bcc-Gitter sind zwei kubische Gitter ineinander, die Fouriertransformierten sind bis auf Vorzei-chen identisch:

Anschaulich uber Bragg-Bedingung (Basis in Kristall fuhrt zu weiteren Ebenen)Falls 2δ = 2mλ (konstruktive Interferenz) dann 2δ′ = mλ (auch konstruktive Interferenz)

Falls 2δ = (2m + 1)λ, dann 2δ′ = 2m+12 λ (destruktive Interferenz) ⇒ jeder 2. Beugungsreflex

verschwindet.

Allgemeine Aussage:

Eine Basis∑

j ~cjfj (fj Streustarke des j-ten Atoms) fuhrt zu einem Strukturfaktor

S(∆~k) =∑

e−i∆~k~cj

durch den Beugungsreflexe (bzw. reziproke Gittervektoren) verschwinden konnen. (neue Beu-gungsreflexe konnen nicht entstehen, denn man uberlagert nur Kopien des ursprunglichen Git-ters!)


1.1.12 Vergleich mit Bragg Bedingung

Die allgemeine Beugungsbedingung lautet:

∆~k = ~k′ − ~k = ~G

und |~k| = |~k′| fur elastische Streuung (Energieerhaltung)

Es gilt:

~G~k′ = |~G||~k′|cos(α)~G~k = −|~G||~k|cos(α)

Aus der Beugungsbedingung folgt:

~k − ~k′ = ~G | · ~G~k′ ~G− ~k ~G = |~G|2

Mit ~k′ ~G = −~k ~G wird dies zu2~k′ ~G = |~G|2

(allgemeine Beugungsbedingung fur el. Streuung)

Durch Einsetzen der obigen Beziehungen erhalt man

2|~k||~G|cos(α) = |~G|2

cos(α) =|~G|2|~k|

Mit Wellenzahl |~k| = |2π|λ und Ebenenabstand d = 2π

| ~G|folgt dann

cos(α) =m2π2d

λ

2π

cos(α) = mλ

2dBragg Bedingung!

1.1.13 Ewald-Konstruktion

Graphisches Losung der allgemeinen Beugungsbedingung ∆~k = ~G und |~k′| = |~k|:

• im reziproken Gitter wird der Wellenvektor der einfallende Welle ~k′ so eingezeichnet, dassseine Spitze auf einen reziproken Gitterpunkt fallt

• um den Basispunkt des Vektors wird ein Kreis (bzw. Kugel) mit Radius |~k| gezogen

• erlaubte Wellenvektoren ~k′ liegen dort, wo der Kreis (bzw. die Kugel) einen reziprokenGittervektor exakt trifft

Die Kreislinie hat Flache Null, daher ergeben sich normalerweise so keine Schnittpunkte.D.h. normalerweise ergibt sich keine Beugung! Um Beugung zu beobachten, muss man daherParameter variieren. Hier gibt es zwei Standard-Methoden:


Kreis mit Radius |k|

kr

'kr

Gr

Laue Verfahren

• ausgerichteter Einkristall

• weißes Rontgenlicht(nicht nur eine Wellenlange, sondern kontinuierliches Spektrum)

Der Radius der Ewald-Kugel wird kontinuierlich variiert um Beugung zu erreichenBeugungsreflexe haben unterschiedliche “Farben”

Debye-Scherrer-Verfahren

• monochromatisches Licht

• Kristallpulver wird benutzt (alle Ausrichtungen)

Gitter wird gedreht, Gitterpunkte bewegen sich auf Kugeloberflache Ringmuster entsteht

1.1.14 Atomformfaktor

Die Streuintensitat eines Atoms ist winkel- und wellenlangenunabhangig. Fur Rontgenstrahlungist der Formfaktor gegeben durch

f(∆~k) =∫

n(~r)e−i∆~k~r d~r

n(~r): Elektronenverteilung am Atomf(∆~k): Fouriertransformation der Elektronendichte (jedes Elektron streut lokal)

Fur Kugelsymmetrie (n(~r) = n(r)) wird dies zu:

f(∆k) = 4π

∞∫0

n(r)sin(∆kr)

∆krr2 dr

f(∆k) wird klein fur grosse ∆k (hohe Beugungsindizes)!

Damit ist die Beugungsintensitat:

I(∆k) =∑~G

δ(∆~k − ~G)

︸︷︷︸rez.Gitter︸︷︷︸

Fouriertransformierte des Gitters

· S(∆~k)︸︷︷︸Strukturfaktor

· f(∆~k)︸︷︷︸Atomformfaktor︸︷︷︸

Fouriertransformierte der Basis


1.1.15 Einheitszelle des reziproken Gitters

Wie beim direkten Gitter lasst sich eine primitive Einheitszelle aus den ~b1, ~b2, ~b3 bilden.Besser geeignet ist die Wigner-Seitz-Zelle, welche die Symmetrie des Gitters aufweist.

Def.: Die Wigner-Seitz-Zelle des reziproken Gitters heißt 1. Brillouinzone

Die Konstruktion der Einheitszelle verlauft vollig analog zu der Konstruktion der Wigner-Seitz-Zelle: um einen gewahlten Punkt des reziproken Gitters werden Mittelsenkrechte (-ebenen) derVerbindungslinien zu allen anderen Punkten des Gitters eingezeichnet. Die 1. Brillouinzone istder innerste von diesen Ebenen begrenzte Bereich. Weitere Zonen (2. Brillouinzone usw.) lassensich definieren, indem man zahlt, wieviele Ebenen (Zonengrenzen) durchquert werden mussen,um in diese Gebiete zu gelangen.

Mittelsenkrechte zu Nachbarpunkten

1. BZ

2. BZ

3. BZ

Wichtig: alle Brillouinzonen haben das gleiche Volumen, und lassen sich durch Verschieben umreziproke Gittervektoren (verschiedene fur verschiedene Teilstucke) ineinander uberfuhren!

Wiederholung: Beugung

Ortsraum k-Raum

Punkte im k-Raum beschreiben Ebene Wel-len im Ortsraum

reziproke Gittervektoren

~G0 beschreibt ebene Welle mit Wellenlangegleich dem Ebenenabstand d im Kristalln ~G0 beschreiben Wellen mit Wellenlange d

n

Die Ebenenschar wird mit ~G0 beschrieben(kurzester Vektor einer Richtung)


Beugung:findet statt im Ortsraum: k-Raum

Beugung findet an allen Atomen des Kristalls statt. ~k → ~k′ ist nur dann moglich, falls dieAtome Ebenen bilden, die

1. senkrecht stehen zu ~k′ − ~k (spiegelnde Reflexion)

2. Abstand d = n2

λcosα haben (Bragg Bedingung)

Dies ist erfullt falls:∆~k = ~G

Graphisch im k-Raum:

y

x

k

k’

k’ - k = G ?

Verschiebe Spitze von ~k auf Ursprung; Bedingung ist erfullt, falls ~k′ − ~k einen reziprokenGitterpunkt trifft.

1.2 Kristalldynamik: Phononen

Mechanik: harmonischer Oszillator

Kraft:F = −Dx

Differential-Gleichung:mx = −Dx

Dm

x

Losung:

x(t) = x0 cosωt ; mit ω =

√D

m

Energie:

E = Emaxkin =12mvmax

2 =12mx0

2ω2 (alle Werte erlaubt!)


Quantenmechanik

Nur diskrete Energie-Werte sind erlaubt:

E = (n+12

~ω) n = 0, 1, 2, . . .

mit ω =√

Dm und ~ = h

2π (h: Plancksches Wirkungsquantum)

Gilt fur alle periodischen Vorgange (Schwingungen)!

1.2.1 Lineare Kette (1D-Modell fur Festkorper)

Kette aus Kugeln und Federn (unendlich lang)

u

a

Kraft auf n-te Kugel:

F = D((un+1 − un)− (un − un−1))⇒ mun = D((un+1 − un)− (un − un−1))

Ansatz:un(t) = u0eiknae−iωt

Einsetzen:

m(−ω2)u0eiknae−iωt = Du0(eik(n+1)a + eik(n−1)a − 2eikna)e−iωt

−mω2 = D(eika + e−ika︸︷︷︸2 cos ka

−2)

ω2 =2Dm

(1− cos ka)

und damit:

ω =

√2Dm

(1− cos ka)

Dies ist die sogenannte Dispersionsbeziehung der Phononen.

mD4

3π/a-3π/a -2π/a -π/a 0 2π/a

ω (k)

kπ/a

1. BrillouinzonereziprokeGitterpunkte

Dispersionsbeziehungder linearen Kette


Wegen√

1− cosα =√

2 sin2 α2 =√

2 · | sin α2 | erhalt man eine sinusartige Funktion.

Bedeutung der Zonengrenze: nur k-Werte innerhalb der ersten Brillouin Zone sind sinnvoll.Jede durch einen beliebigen Vektor im k-Raum beschriebene Gitterschwingung kann auch durcheinen Vektor in der 1. BZ beschrieben werden.

Wellenform fur verschiedene Wellenvektoren

ak

3π

=

0=k

ak π=

un

un

un

Ga

k

+=

=

0

2π

un

a

Fur k = 2π/a erhalt man die gleiche Atombewegung wie fur k = 0, weil die Welle nur anden Atomorten ausgewertet wird!

Formal:

fur ~k = ~k1.BZ + ~G gilt:

ei~k~ri = ei(~k1.BZ+ ~G)~rj = ei~k1.BZ ~rj ei ~G~ri︸︷︷︸1

= ei~k1.BZ ~rj

3D-Kristall

longitudinale und transversale Moden

Dispersion:

logitudinalω

k

L

Ttransversal(2 Moden)


1.2.2 Messung der Phononendispersion

Moglich durch inelastische Beugung (Photonen, Elektronen, Neutronen, (He-Atome))Sehr verbreitet: Neutronen

Impuls: p =h

λ=h · 2π2π · λ

= ~k

Kinetische Energie: Ekin =12mv2 =

p2

2m=

~2k2

2m

”Normale“ Beugungsbedingung

∆~k = ~k′ − ~k = ~G (”Impulserhaltung“)

|~k′| = |~k| (”Energieerhaltung“)

Inelastische Streuung

Erzeugung oder Vernichtung eines Phonons mit Wellenvektor ~q und Energie ~ω(~q)Dann gilt fur das Neutron:

Energie: E′kin = Ekin ± ~ω~q (+ fur Phononenvernichtung)

genauer:~2

2m|~k′|2 =

~2

2m|~k|2 ± ~ω(~q)

Impuls: ~p′ = ~p+ ~~G± ~~q

1.2.3 Gitter mit Basis

Bei mehreren Atomen pro Gitterpunkt gibt es mehrere Schwingungen fur ein ~k.

zwei Atomsorten

l l

Niederfrequent(“akustisch”) hochfrequent (“optisch”)

Dispersion

LATA

k

LOTO optischer Zweig

akustischer Zweig

w(k)

Ein typischer Wert fur die Frequenz des ”optischen“ Zweigs ist ν = 1013 Hz. Das entsprichteiner Lichtwellenlange von λ = 30µm (Ferninfrarot). ”Optisch“ bedeutet also nicht ”sichtbar“!


1.2.4 Schallgeschwindigkeit

vPh: Phasengeschwindigkeit (Bewegung von “Wellenfronten”)vGr: Gruppengeschwindigkeit

Es gilt:

vPh =ω(k)k

vGr =dω(k)

dk

Dispersionsrelation fur Gitter ohne Basis

ω2(k) =2Dm

(1− cos(ka))

wird fur kleine k zu

ω2(k) =2Dm

(1− (1− (ka)2

2)) =

D

m(ka)2

⇒ ω(k) ≈√D

mka

Damit ist:

vPh =

√D

ma ; vGr =

√D

ma

Die Schallgeschwindigkeit (Phasen- und Gruppengeschwindigkeit) ist fur kleine k unabhangigvon k!

1.2.5 Wechselwirkung mit Phononen

Phononen haben Energie (~ωPh) und Wellenlange (λ bzw. ~q) aber keinen Impuls! (Bsp.: Trans-versale Moden: keine Bewegung von Massen in Ausbreitungsrichtung)Was ist also der Grund fur die ”Impulserhaltung“ ~k′ = ~k + ~G+ ~q ?

1. Sichtweise: ”Gitterverzerrung“Phonon erzeugt eine periodische Deformation des Gitters

an dieser kann Bragg Reflexion stattfinden⇒ ~k′ = ~k + ~q (die allgemeine Beugungsbedingung gilt fur alle periodi-schen Strukturen)

Wieso ist die Beugung inelastisch?


Struktur bewegt sich! (klassisch: Reflexion an einem bewegenden Spiegel)

Transformation ins Bezugssystem des Phonons (Wellenlangenbleiben gleich, Frequenzen erfahren Dopplereffekt).

einlaufende Welle:

E(~k) = ~ω(~k) = ~ω(~k)− ~~k~v

auslaufende Welle:

E(~k′) = ~ω(~k′) = ~ω(~k′)− ~~k′~v

Im bewegten Bezugssystem ist Beugung elastisch, d.h.

ω(~k) = ω(~k′)

Damit gilt im Laborsystem

E′ − E = ~ω(~k′)− ~ω(~k)

= ~(~k′ − ~k)~v

Es ist ~k′ − ~k = ~qPh (Beugungsbedingung), und weiterhin

vPh =ωPhq

bzw. ~vPh =ωPh|~q|

~q

|~q|Daraus folgt:

E′ − E = ~~qPhωPh|~q|

~q

|~q|= ~ω

Die Energie des gestreuten Photons wird um die Energie des Phonons verandert!

2. Sichtweise: “Seitenbandmodulation”Eine periodische Modulation einer Welle fuhrt zu Erzeugung von zusatzlichen Frquenz-komponenten:

cos(ω1t)cos(ω2t) = cos((ω1 + ω2)t) + cos((ω1 − ω2)t)

Die Fourieranalyse einer solchen Welle (bei schwacher Modulation) sahe dann folgender-maßen aus:


Dies gilt fur jede Welle:die Wechselwirkung mit der Gitterverzerrungmodelliert die Welle

ei~k~r · eiωt︸︷︷︸einlaufende Welle

· ei~q~r · e±iωPht︸︷︷︸Phonon

= ei(~k+~q)~r︸︷︷︸Seitenband im Raum︸︷︷︸“Impulserhaltung′′

· ei(ω±ωPh)t︸︷︷︸Seitenband in Frequenz︸︷︷︸“Energieerhaltung′′

Ortliche Modulation: ~k → ~k + ~q WellenvektorerhaltungZeitliche Modulation: ω → ω ± ωPh Energieerhaltung

Die inelastische Beugung einer Welle am Kristall entspricht also der Streung an einemTeilchen (dem Phonon) mit Impuls ~~q und Energie ~ω (wobei das Teilchen erzeugt odervenichtet wird). Analoges gilt fur alle wellenartigen Anregungen!

1.2.6 Debye-Waller Faktor

Strukturfaktor mit bewegten Atomen (Summation uber die Basis des Kristalls):

S(∆~k) = S(~G) =∑j

fje−i~G(~rj+ ~uj(t))

Die fj sind die Formfaktoren der Basisatome. Da alle Atome sich unterschiedlich bewegen, mußteder Strukturfaktor uber das gesamte Gitter gemittelt werden.Annahme: die Mittelung uber die Zeit entspricht einer Mittelung uber das Gitter

S(~G) =∑j

fje−i~G~rj 〈e−i ~G ~uj 〉t

Fur kleine Auslenkungen der Atome kann man die Exponentialfunktion entwickeln:

〈e−i ~G~u(t)〉t = limτ→∞

1τ

τ∫0

e−i ~G~u(t)dt

= 〈1− i ~G~u(t)− 12

(~G~u(t))2 + ...〉

= 1− 12〈(~G~u(t))2〉 | ~G~u = |~G||~u| · cos(ϑ)

= 1− 12~G2〈~u2〉〈cos2 ϑ〉ϑ︸︷︷︸

13

= 1− 16~G2〈~u2〉 ' e−

16~G2〈~u2〉

Damit gilt fur die Streuintensitat (das Amplitudenquadrat):

I = |S(~G)|2 = |S0|2︸︷︷︸Strukturfaktorohne Phononen

e−13~G2<~u2>︸︷︷︸

Debye-Waller-Faktor


Harmonische Naherung: die Atome werden als dreidimensionaler harmonischer Oszillator

betrachtet(mit Frequenz ω =√

Dm)

Potentielle Energie im thermischen Gleichgewicht:

Epot =12D〈~u2〉 =

D

2(〈x2〉+ 〈y2〉+ 〈z2〉)

=32kBT

Daraus folgt:

〈~u2〉 =3kBTD

=3kBTmω2

I(~G) = I0e−kBT

~G2

mω2 fur kBT ~ω

(m: Atommasse, ω typische Schwingungsfrequenz)

Tiefe Temperaturen: Energie des harmonischen Oszillators:

Etot = (nx +12

)~ω + (ny +12

)~ω + (ny +12

)~ω

→ 32

~ω (fur T → 0K)

〈Epot〉 =12D〈u2〉 =

12Etot =

34

~ω

⇒ 〈u2〉 =32

~ωmω2

Damit wird die Streuintensitat:

I(~G) = I0e−~~G2

2mω fur kBT ~ω

Dieses I(~G) gibt die bei T=0K durch Phononen-Anregung reduzierte Beugungsintensitat an(Phononen-Abregung ist nicht moglich, da das Gitter im Grundzustand ist). Der exponentielleTerm (der Debye-Waller-Faktor) gibt die Wahrscheinlichkeit elastischer Beugung an, d.h. dieWahrscheinlichkeit, dass kein Phonon angeregt wird.

Beispiel mit typischen Werten:Mit |~G| = (0.1A)−1; ω = 2π · 1013s−1; m = 50 ∗ 1,67 · 10−27kg ergibt sich

I(~G) = 0.9I0 fur T → 0K

Es werden also ≈ 90% der Teilchen (Neutronen, Photonen) elastisch gestreut; in 10% der Fallewird ein Phonon angeregt.

Dies ist ein Quanteneffekt! Klassisch wurde ein gestreutes Teilchen immer Gitterschwin-gungen anregen.(wird ausgenutzt bei Moßbauer-Spektroskopie: hier findet Photonenemission/absorption ohneEnergieverlust durch Ruckstoß statt)


Zusammenfassung Streuung am Kristall

Kristall

kr

E0

Energieverteilungder einlaufenden Welle

E0

E0 ωh±

Energiespektren

Beugungsintensität

elastischeBeugung

Gkrr

=Δ

inelastischeBeugung

Gkrr

≠Δ

nimmt ab mit T

nimmt zu mit T

1.3 Warmekapazitat

1.3.1 Klassisch: Thermodynamik

Ein Kristall mit N Atomen hat 6N Freiheitsgrade (3N der kinetischen Energie und 3N der po-tentiellen Energie).

Gleichverteilungssatz: bei Temperatur T ist jeder Freiheitsgrad im Mittel mit Energie 12kBT

angeregt. (kB Boltzmann-Konstante: 1,38 · 10−23 JK )

⇒ thermische Energie eines Kristalls mit N Atomen:

E = 6N12kBT = 3NkBT

Die Warmekapazitat cV = ddTE(T ) ist damit

cV = 3NkB Dulong-Petit

Stimmt sehr gut bei hohen Temperaturen; bei tiefen Temperaturen nicht (cV → 0 fur T → 0fur alle Materialien).

1.3.2 Quantenmechanik: Einstein-Modell

Annahme: jedes Atom im Festkorper bildet harmonischen Oszillator mit Frequenz ω (gleich furalle Atome)

Die Energie eines harmonischen Oszillators ist:

En = (n+12

)~ω , n = 0, 1, 2, . . .

Die Wahrscheinlichkeit fur die thermische Besetzung des n-ten Schwingungszustand (Boltzmann-Faktor) ist:

Pn =e−

EnkBT∑∞

n=0 e−EnkBT

=e−

(n+1/2)~ωkBT∑∞

n=0 e−(n+1/2)~ω

kBT

=e−

n ~ωkBT∑∞

n=0 e−n ~ωkBT


Fur x < 1 gilt∞∑n=0

xn =1

1− x

und damit:

Pn = e− n ~ωkBT

(1− e−

~ωkBT

)Der mittlere thermische Anregungszustand des Oszillators ist also:

〈n〉 =∞∑n=0

nPn =(

1− e−~ωkBT

) ∞∑n=0

ne− n ~ωkBT

Mit∞∑n=0

nxn =x

(x− 1)2

wird dies zu〈n〉 =

1

e~ωkBT − 1

Damit ist die thermische Energie eines Festkorpers aus N Atomen ( 3N harmonischen Oszilla-toren):

E = ~ω(12

+ 〈n〉)3N = ~ω(12

+1

e~ωkBT − 1

)3N

Daraus berechnet sich die Warmekapazitat :

cV =d

dTE =

d

dT

(~ω(

12

+1

e~ωkBT − 1

)3N

cV = 3NkB(~ωkBT

)2 e~ωkBT

(e~ωkBT − 1)2

Einstein Modell

Diskussion:

Fur T →∞ wird e~ωkBT → 1 + ~ω

kBTund damit

cV = 3NkB

(~ωkBT

)2

·1 + ~ω

kBT

( ~ωkBT

)2= 3NkB

Fur hohe Temperaturen nahert sich die Warmekapazitat dem klassischen Dulong-Petit-Wertan!

Fur T → 0 wird e~ωkBT 1 und damit

cV = 3NkB

(~ωkBT

)2

e−~ωkBT

Fur niedrige Temperature fallt die Warmekapazitat sehr stark ab!

Damit ergibt sich folgender Temperaturverlauf der Warmekapazitat:


cV

T

3NkB

zu steiler Abfall!

„Einfrieren“ der Vibrationen

TE

Einstein-Modell

Den Verlauf der Warmekapazitat realer Materialien gibt das Einstein-Modell fur große T gutwieder; fur kleine T fallt die Warmkapazitat zu schnell ab. Hier versagt das Modell aufgrundder Annahme einer einzigen Schwingungsfrequenz.

Einschub: Thermische Anregung eines harmonischen Oszillators

klassisch: alle Energien erlaubt

c e-E/kBT

f(E)

E

thermische Besetzung, Boltzmann:∞∫0

f(E)dE = 1

Mittlere thermische Energie:

Eth =

∞∫0

E · f(E)dE =

∞∫0

E1kT· e−EkT dE = kT ( fur beliebige T)

Gleichverteilungssatz!


T3T2

E/kBT e-E/kBT

E f(E)

E

T1

quantenmechanisch: diskrete Energien∑n

f(En) = 1 mitf(En) = (1− e−~ωkT )(e−n

~ωkT )

Mittlere thermische Energie :

Eth =∑n

Enf(En) =∑n

n~ω(1− e−~ωkT )e−n

~ωkT =

~ωe

~ωkT − 1

3hω2hω

T3

T2

E(1-e-hω/kBT) e-E/kBT

E f(E)

E

T1

hωT3 : Summe ≈ Integral Eth → kTT1 : Summe Integral Eth → 0

diskrete Anregungen frieren aus bei T → 0(System besetzt fast nur den untersten Zustand)

1.3.3 Quantenmechanik: Debye-Modell

Schwingungen haben unterschiedliche Frequenzen (Dispersion!)⇒ Einfrieren der Schwingungen ist uber einen breiten Temperaturbereich ”verschmiert“.

Def.: Zustandsdichte D(ω): Anzahl der Schwingungen im Frequenzintervall [ω, ω + δω]


Damit ist die thermische Energie:

E =

∞∫0

D(ω)~ω〈n(ω)〉Tdω

Berechnen von D(ω):

1. Berechnung der Zustandsdichte der Schwingungsmoden im k-Raum: ρ(~k)

2. Variablentransformation: D(ω) = ρ(k(ω)) dkdωZustandsdichte im k-Raum

Modell: 1D-Kristall (endlich lange Kette)

L

a

erlaubte Schwingungen (bei periodischen Randbedingungen)

L=λ ;L

k π2=

2L

=λL

k π4=;

a2=λa

k π=;

. . .

Fur einen endlichen Kristall sind die erlaubten Wellenvektoren gegeben durch:

k = nkmin = n2πL

mit n=0,1,2,3 ..

kmax =π

a

Anzahl erlaubter k-Vektoren in der 1. Brillouinzone:

nk =∆kkmin

=2πa

2πL

=L

a= NAtome Anzahl der Atome!

Debye: Zahlen von erlaubten k-Vektoren im k-Raum

endlicher 1D-Kristall

0aπ

aπ

−

Lπ2

1. Brillouinzone

erlaubte k-Werte

k

Anzahl:2πa2πL

= La = NAtome


endlicher einfach-kubischer 3D-Kristall

kx

ky

kz

Lπ2

Abstand in alleRichtungen:2π

Lmogliche Vektoren bildenWurfel mit Volumen (2π

L )3

Anzahl in EZ: ( 2πa

)3

( 2πL

)3 = L3

a3 =NGP

Allgemein gilt: Anzahl dererlaubten k-Vektoren in der1.BZ entspricht der Anzahlder Gitterpunkte

Anzahl von Vektoren innerhalb einer Kugel mit Radius k: M =4πk3

3

( 2πL

)3

Dichte ρ(k) = dMdk = 4πk2

( 2πL

)3 = V k2

2π2 (V = L3 Kristallvolumen)

Hieraus lasst sich D(ω) berechnen (durch Zahlen der erlaubten Moden (k-Vektoren) fur ein ge-gebenes ω; wird aufwendig fur komplizierte Dispersionsrelation ω(k))⇒ Vereinfachung von ω(k)

Debye-Modell

1. Annahme: ω(k) = vsk (vs Schallgeschwindigkeit)

2. Vernachlassigung der Kristallstruktur: 1.BZ ersetzt durch Kugel gleichen Volumens ⇒ N-Atome ⇒ 3N Schwingungen ⇒ N k-Werte (3 Schwingungsmoden pro k-Vektor)

⇒ Die N k-Werte fullen die Kugel mit Radius Kd, wofur gilt 4πkD· 13( 2πk

)3 = N

⇒ kD = 3

√6π2N

VDebye’scher Wellenvektor

(fur NV v 1

a3 wird kD v πa )

kD ist großter erlaubter Wellenvektor, dazu gehort

ωD = vSkD Debye-Frequenz

kBTD = ~ωD Debye-Temperatur

Anzahl der Zustande pro Frequenzintervall:

D(ω) =dNdω

=dNdk· dk

dω= ρ(k(ω)) · dk

dωisotroper Raum

mit k(ω) = ωvs

wird dkdω = 1

vs

D(ω) =V k(ω)2

2π2

1vs

=V ( ωvs )2

2π2vs=

V

2π2vsω2 fur jede Schwingungsart (2 x transversal, 1 x longitudinal)


Thermische Energie des Kristalls (fur eine Schwingungsart)

E =

∞∫0

D(ω) < n(ω) > ~ωdω

=

ωD∫0

V ω2

2π2vs· ~ω

e~ωkT − 1

dω

(Annahme: alle 3 Schwingungsarten habe gleiche Dispersion)

=3V ~

2π2vs·ωD∫0

ω

e~ωkT − 1

dω

=3V k4

BT4

2π2vs~

xD∫0

x

ex − 1dx wobei xD =

~ωDkT

=kBTDkT

=TDT

Es ist kBTD = ~ωD = ~vskD ⇒ TD = ~vskB

( rπ2NV )

13

damit wird: E = 9NkBT (T

TD)3 ·

xD∫0

x3

ex − 1dx thermische Energie im Debye-Modell

Diskussion

fur hohe T (xD = TDT → 0) wird ex − 1 ≈ 1 + x− 1 = x

⇒xD∫0

x

ex − 1dx =

xD∫0

x2dx⇒ E = 3NkBT

fur tiefe Temperaturen (xD →∞) wird∞∫0

x3

ex−1dx = π4

15

E =9Nkπ4

15· T

4

TD⇒ cv =

dEdT∼ T 3

Damit die Warmekapazitat des Festkorpers:fur hohe T: cv = 3NkBfur tiefe T: cv v T 3 Ubergang bei T = TD !


Debye-Temperatur

TD

T

cV

3NkB

Debye-Modell

T3-Abhängigkeit!

Beispiele

mAt TD/KCu 63,5 343Au 197 165Pb 207 105Cs 133 38Al 27 428Si 28 645C(Diamant) 12 2230

je leichter das Atom und je harter dasMaterial ist, desto hoher ist TD (wegen

ω =√

DM )

Bemerkung: Spezifische Warmekapazitat (pro Volumen)

cv =1VCV ⇒ cV (T →∞) =

3NVkB = 3nkB

1.3.4 Warmeleitung durch Phononen

Warmeleitfahigkeit H wird definiert durch

Warmestrom j = −κdTdx

[κ] = [ω

mk]

Warmeleitung durch Phononen:Jedes Phonon ubertragt Energie ~ω ⇒ Warmeleitung

Genauer: Annahme:Freie Weglange lPh fur Phononen

Energiedichte: ub = cvTb (Phononendichte)


Warmefluss: j = u · vs

Fluss durch Flache A: j = j→ − j← = uavs − ubvs = −cv∆Tvs⇒ j = −cvvs dTdx lPh

Fast richtig: in 3D muss man uber die Richtung der Phononen mitteln; bringt Faktor 13

⇒ j = −13cvvslPh

dT

dx

⇒ κ =13cvvslPh =

13cvv

2sτPh (τPh: Lebensdauer Phonon)

T10

100

LiF (Einkristall)k

[W/cm K]

[K]

k ® 0 für T ® ¥

k ® 0 für T ® 0

lPh nimmt zu mit T → 0 (weniger Streuung an Phononen)cV nimmt stark ab fur T → 0

1.3.5 Warmeausdehnung

Potential der Bindungen ist anharmonisch

harmonisch: V (x) = c(x− a)2

anharmonisch: V (x) = c(x− a)2 − g(x− a)3 − (f(x− a)4 . . . )

Damit wird die mittlere Bindungslange bei Temperatur T:

〈x〉 =

∫∞−∞ xe−

V (x)kBT dx∫∞

−∞ e−V (x)kBT dx

= a+3g4c2

kBT

Ausdehnung proportional zu T!

Wird angegeben durch Ausdehnungskoeffizienten α

l(T ) = l0(1 + α)T

Beispiele: Fe: α=12*10−6 K−1; Quartz: α= 0.5 * 10−6 K−1

Kapitel 2

Elektronenstruktur der Materie

Klassifizierung nach Leitfahigkeit σ bzw. spezifischen Widerstand ρ

Erinnerung: der Widerstand einer Stange mit Lange L und Querschnittsflache A ist

R = ρL

A=

1σ· LA

Materialklassen:

Metalle: ρ < 10−5 Ωm

Halbleiter: 10−5 Ωm < ρ < 104 Ω

m (300K)Isolatoren: ρ > 104 Ω

m (300K)

Beispiele:

Ag 1.6 · 10−8 Ωm

Pb 21 · 10−8 Ωm

Bi 116 · 10−8 Ωm

Si (300K) ∼ 1 · 103 Ωm

Quartz 5 · 1016 Ωm

37

KAPITEL 2. ELEKTRONENSTRUKTUR DER MATERIE 38

2.1 Metalle

2.1.1 Drude-Modell

Annahme: Die Elektronen bilden ein freies ”klassisches“ Gas; spuren ”Reibung“ aufgrund vonStoßen mit Gitter

Ohne Feld: Relaxation

Differential-Gleichung:mv = −βv = −m

τv

Losung:v(t) = v0 · e−

tτ

Geschwindigkeit nimmt exponentiell ab mit der Drude-Relaxationszeit τ = m/β !

Mit statischem außerem Feld: Leitfahigkeit

Differentialgleichung:mv = −m

τv − eE

Statische Losung (v = 0):v = −eτ

mE

Damit ist die Stromdichte:

j = − en︸︷︷︸Ladungsdichte

v =e2nτ

mE

Definition Leitfahigkeit:j = σE

Damit folgt:

σ =e2nτ

mDrude-Leitfahigkeit

Mit zeitabhangigem Feld: dielektrische Funktion

Differentialgleichung:mv = −βv − eE0e−iωt

bzw.mx = −m

τx− eE0e−iωt

Ansatz:x(t) = x0e−iωt

Eingesetzt:

−mω2x0 =m

τiωx0 − eE0

x0 =eE0

mω(ω + iτ )


Jedes Elektron bildet oszillierenden Dipol p(t) = −ex(t). Alle Elektronen zusammen bilden dieDipoldichte

P (t) = np(t) = −nex(t) = − ne2/m

ω2 + iωτE(t)

Vergleich mit E-Dynamik:

D = εε0E = ε0E + P

P = (ε− 1)ε0E

Durch Vergleich mit obiger Gleichung ergibt sich:

(ε− 1)ε0 =−ne2/m

ω2 + iωτ

Aufgelost:

ε(ω) = 1−ω2p

ω2 + iωτ

Dielektrische Funktion im Drude-Modell

mit der ”Plasmafrequenz“ ωp =√

ne2

ε0m

Vereinfacht (fur 1τ ωp):

ε = 1−ω2p

ω2

-1

0

1

ωp

ε(ω)

ω

Dielektrische Funktionnach Drude

Anwendung: Reflexion an OberflacheDer Reflexionskoeffizient einer Oberflache bei senkrechtem Einfall ist gegeben durch:

R =|n− 1||n+ 1|

; n =√ε Brechungsindex

Fur reelle ε erhalt man je nach Vorzeichen folgende Resultate: ε < 0 : n rein imaginar ⇒ R = 1ε > 0 : n reell ⇒ R→ 0 fur ε→ 1


0

1

ωp

ω

R(ω)

Drude-Modell

Metalle werden oberhalb der Plasmonfrequenz transparent!

Beispiele fur (aus der Elektronendichte) berechnete und gemessene Plasmonenergien:

~ωp (berechnet) experimentellNa 5.95 eV 5.7 eVAl 15,8 eV 15,3 eVAu 9,2 eV 2,5 eV (Einfluss der d-Bander!)

2.1.2 Warmeleitfahigkeit von Metallen

Wiedemann-Frantz-Gesetz:Das Verhaltnis von Warme- und elektrischer Leitfahigkeit eines Metalls ist materialunabhangigund nimmt linear mit der Temperatur zu

κ

σ= L · T

(L: Lorentzzahl ∼ 2,4 · 10−8WΩK2 )

Offenbar sind die freien Elektronen verantwortlich fur den Warmetransport durch ein Metall!

Naive Herleitung der Gesetzes:

Warmeleitfahigkeit der Elektronen

κ =13vcV lD (wie bei Phononen)

(v: Elektronengeschwindigkeit, ld = vτD: freie Weglange im Drude-Modell)

Elektrische Leitfahigkeit (Drude):

σ =e2nτDm

Damit erhalt man:κ

σ=

13vcvvτD

e2nτD/m=

13mv

2cv

e2n

Nimmt man an, dass sich die Elektronen wie ein klassisches ideales Gas verhalten, gilt fur diemittlere kinetische Energie eines Elektrons im thermischen Gleichgewicht:

12mv2 =

32kBT

Dies entspricht einer spezifischen Warmekapazitat der Elektronen von:

cv = ndEdt

= n32K


Eingesetzt in obige Gleichung:

κ

σ=

133kBT 3

2kBn

e2n=

32

(kbe

)2︸︷︷︸1,1·10−3WΩ

K2

T

Man erhalt also die korrekte Abhangigkeit von T! Der experimentelle Vorfaktor war L =2, 4 · 10−8WΩ

K2 ; der berechnete Koeffizient ist nur um Faktor ≈ 2 falsch. Trotzdem ist die Herlei-tung falsch! Das Elektronengas Muss quantenmechanisch behandelt werden.

Einschub: Pauliprinzip

Teilchen besitzen einen Drehimpuls (“Spin”) ~S mit Betrag |~S| =√s(s+ 1)~; hierbei ist s die

Drehimpulsquantenzahl. Teilchenspins konnen ganzzahlig (s = n) oder halbzahlig (s = 2n+12 ) sein.

Die Ausrichtung des Spins im Raum ist quantisiert; die Projektion auf eine gewahlte Achse kann nurbestimmte Werte annehmen.

z

srsz sz = ms~; ms: magnetische Quantenzahl(ms = −s, .., 0, ..., s)

Fermionen: s = 2n+12 (halbzahlig)

Bsp.: Elektronen (s = 12); 3He (s = 1

2)

Bosonen: s = n (ganzzahlig)Bsp.: Photonen (s = 1) ; 4He (s = 0)

Pauliprinzip: Zwei Fermionen durfen niemals Zustande annehmen,die in allen Quantenzahlen ubereinstimmen

Festkorper: Elektronen haben die Quantenzahlen ~k,s, ms

⇒ jeder ~k-Zustand kann mit maximal zwei Elektronen besetzt werden (mit Spin ↑ und ↓).

2.1.3 Das freie Elektronengas

Ansatz: 1. Elektronen werden durch Wellenfunktionen mit Wellenvektor ~k beschrieben2. Pro ~k sind nur zwei Elektronen erlaubt

Wellenfunktionen:Ψ(~k) = ei~k~x

Mogliche k-Werte in 1D:

k = n2πL

(wie bei Phononen)

Im 3D: erlaubte k-Vektoren bilden ein Gitter im k-Raum


kx

ky

kz

Lπ2

~k =2πL

nxnynz

k-Vektoren sind nicht auf die 1.BZ beschrankt!

Dichte der Zustande:ρ(~k) =

1(2πL )3

=V

(2π)3

Kinetische Energie der Elektronen:

E =~2|~k|2

2m

(Phononen E = ~ω(k) ' ~vs|~k| fur |~k| → 0)

Besetzung der k-Vektoren bei T = 0K

Pro k-Vektor 2 Elektronen; niedrige Energien zuerst:⇒ alle k-Vektoren mit|~k| < kF sind besetzt

kF

kx

ky

besetztunbesetzt

Fermi-Flächealle |~k| < kF besetztalle |~k| > kF unbesetzt

Die Anzahl der k-Vektoren in der Fermi-Kugel ist gleich der halben Anzahl der Elektronen:

N =4π3 k

3F

(2πL )3

=V k2

F

6π2=Nel

2=nV

2

Damit ist der Radius der Fermi-Kugel:

kF = 3√

3π2n Fermi-Wellenvektor


Zustandsdichte

Dichte der k-Zustande:

ρ(k) =V k2

2π2(wie bei Phononen)

Transformation in Energie (Faktor 2 wegen Spin):

D(E) = 2ρ(k(E))dkdE

Es gilt:

k =

√2mE~2

dk

dE=√

m

2E~2

Damit erhalt man:

D(E) = 2V 2mE

~2

2π2

√m

2E~2=V√

2m3

π2~2

√E

Zustandsdichte des freien Elektronengases

Aufgetragen:

0

1

EF

D(E)

E

Bei T = 0K sind alle Zustandebesetzt bis

EF =~2k2

F

2m=

~2

2m(3π2n)

23

Beispiel: Na: EF = 3, 2eVAl: EF = 11, 7eV

(Elektronen besitzen sehr hohe kin. Energien bei T=0K!)

Folgerungen aus D(E) ∝√E

Ansatz:D(E) = γ

√E

Es gilt:

EF∫0

D(E)dE = Nel (Anzahl der Elektronen)

damit

EF∫0

γ√EdE = γ

23E

32F = Nel

bzw.γ =32NelE

− 32

F


also D(E) =32N

1

EF32

√E

Insbesondere gilt

D(EF ) =32N

EF

Gesamtenergie des Elektronensystems:

Etot =

EF∫0

ED(E)dE

=32NE

− 32

F

EF∫0

E32 dE

=32NE

− 32

F

25E

52F

⇒ Etot =35NEF bei T=0K

Besetzung bei endlichen Temperaturen

Fur Fermionen gilt die Fermi-Dirac-Verteilung :

f(E) =1

eE−µkT + 1

Besetzungswahrscheinlichkeit eines Zustands mit Energie E (µ: chemisches Potential v EF )

(bei klassischen Systemen: Boltzmann-Verteilung f(E) = e−EkBT )

E

chemisches Potential µ

EF

1

f(E)

Zahl der Elektronen im System :∞∫0

D(E)dE = Nel ist konstant, aber D(EF + δ) > D(EF − δ) !

⇒ µ nimmt ab mit steigender TemperaturAnnahernd gilt: µ = EF (1− 1

3(πkBT2EF)2)

E

TP

EF

D(E )F

f(E)D(E)

gleiche Fläche!

Dichte besetzter Zustande


2.1.4 Warmekapazitat des freien Elektronengases

Thermische Energie:

E =∫∞

0 ED(E)f(E)dE≈ E0 + π2

6 (kBT )2D(EF ) +O(T 4)

E/N

T

35

EF

Warmekapazitat:

cv = 1VdEdT = π2kB

2

3D(EF )V T mit D(EF ) = 3

2NEF

⇒ cV =π2kB

2

2n

EFT linear in T!

Anschauliche Begrundung von cV ∝ T

∼ kBT ·D(EF ) Elektronen werden um∼ kBT angeregt

E = E0 + kBT · kBT ·D(EF )⇒ cV ≈ 2kB

2

V D(EF )TE

k TB

Damit wird die Warmekapazitat von Metallen:

Summe

∝ TElektronen

cV

~ 5KT

Phononen∝ T3

Bei sehr tiefen Temperaturen dominiert die Warmekapazitat der Elektronen!


2.1.5 Einfluss des Gitters: elektronische Bandstruktur

Schwache Wechselwirkung mit Gitter: ”Beugung“Bragg-Bedingung: ∆~k = ~G gilt auch fur Elektronen!1D: ∆k = 2π

a · n

1D-Gitter:a

kk

Reflexion falls ∆k = 2πa , d.h. k = π

a und k′ = −πa

Uberlagerung erzeugt ”stehende“ Wellen:

eikx, e−ikx → Ψ1(x) = eikx + e−ikx = 2 cos kx = 2 cos πaxΨ2(x) = eikx − e−ikx = 2 sin kx = 2 sin π

ax

Aufenthaltswahrscheinlichkeiten:

|Ψ1(x)|2 = 4(cosπ

ax)2 |Ψ2(x)|2 = 4(sin

π

ax)2

Ψ1: Elektronen halten sich bei den Atomen aufΨ2: Elektronen halten sich dazwischen auf

⇒ Ψ1/2 haben unterschiedliche Energie (i.A. E1 < E2)

Damit wird das gestorte Energieschema der Elektronen:

2. Band

1. Band2

Bandlücke(verbotene Energien!)

k

h ²k ²2m

E

ap 2

ap

ap

ap

3. Band

Problem: die Wellenfunktionen sind nicht mehr reine ebene Wellen ei~k~r

⇒ Bedeutung von k?


2.1.6 Bloch-Funktionen

Bloch’sches Theorem: die Losung der Schrodingergleichung fur ein periodisches System (d.h. mitPotential V (~r + ~R) = V (~r) ∀~R) lasst sich schreiben als:

Ψn~k

(~r) = ei~k~r · un~k

(~r)

wobei un~k

(~r + ~R) = un~k

(~r) ∀~R

d.h. die Funktion un~k

(~r) hat die gleiche Periodizitat wie das Gitter

Bemerkungen:

• ~k ist hier Quantenzahl, nicht unbedingt Wellenzahl

• n ist auch Quantenzahl; indiziert verschiedene Losungen zu ~k

Aussehen der Bloch-Funktionen:

r

ikrRe(e )

Re(eikr)

r

U (r)nk

unk(r)(falls reell)

r Re(eikrunk(r))

ahnlichkeit mit Molekulorbitalen!Tatsachlich kann man Blochfunktionen schreiben als Wannier-Funktionen:

Ψn~k

(~r) =∑~R

ei~k ~R · ϕn(~r − ~R) Summieren von ”Atomorbitalen“ ϕn(~r)

Lokalisation der Elektronen:

fast freie Elektronen z.B. Na (3s-Elektronen)

lokalisierte Elektronen z.B. Cu (3d-Elektronen)


Mehrdeutigkeit der Losungen:Ψn~k

(~r) = ei~k~r · un~k

(~r)

kann man auch schreiben als

Ψn~k

(~r) = ei~k~r · ei ~G~re−i ~G~run~k

(~r)= ei(~k+ ~G)~r · e−i ~G~ru

n~k(~r)︸︷︷︸

um(~k+~G)

(~r)

um(~k+ ~G)(~r+~R)

= e−i ~G(~r+~R)un~k

(~r + ~R)

= e−i ~G~run~k

(~r)= u

m(~k+ ~G)(~r)

⇒ Dieselbe Wellenfunktion erscheint bei ~k + ~G ∀~G⇒ Die Energien E(~k) sind periodisch im k-Raum

En(~k + ~G) = En(~k)

⇒ Zonenschema

Periodisches Zonenschema

k

E(k)

aπ

aπ2

aπ2

−aπ

−

Ψ2

Ψ3Ψ1

Ψ1 = eikxu1k(x)Ψ2 = eikxu2k(x)Ψ3 = eikx

[e−i

πaxu1k(x)

]

Darstellung der 1. BZ ist ausreichend

Reduziertes Zonenschema:

3. Band

2. Band

1. Band

Bandlücke

aap p

2.1.7 Besetzung der Bander

Erinnerung: Die Zahl der erlaubten k-Vektoren in der 1. Brillouinzone entspricht der Atomzahlim Kristall. (endlicher kubischer Kristall: ~k =

(n1n2n3

)2πL ; Anzahl Nk = (2π

a )3(2πL )−3 = L3

a3 )⇒ Jedes Band in der 1. Brillouinzone kann mit 2 Elektronen (pro Atom) besetzt werden.


Bemerkung

Ladungstransport: nur moglich fur teilweise besetzte Bander

Teilweise besetztes Band:

k

E

EF

p pa a

+el. Feld

k

E

EF

p paa

mehr +~k besetztals −~k→ el Strom

Voll besetztes Band:

k

E

pa

pa

+el. Feld

k

E

pa

pa

?k

Bragg-Reflexion

periodischer Umlauf(Bloch Oszillation)kein Ladungstransport/Strom ⇒ Isolator

Bandstrukturen

Na (1 Valenzelektron pro Atom)1. Band halb besetzt

k

E

EF

pa

pa

Al (3 Valenzelektronen pro Atom)1. Band voll, 2. Band halb besetzt

k

E

pa

pa

EF

Daraus folgt: Materialien mit ungerader Valenzelektronenzahl pro Atom (und einatomiger Basis)sind Metalle!Bei mehratomiger Basis zahlt die Elektronenzahl pro Basis; Chlor tritt als Cl2 auf und besitztdamit 14 Valenzelektronen. Materialien mit gerader Elektronenzahl pro Basis sind i.A. Isolato-ren bzw. Halbleiter; dies gilt aber nicht immer.


“Diamant“ (4 Valenzelektronen)

k

E

pa

pa

EF

Gegenbeispiel: Mg (2 Valenzelektro-nen) ist metallisch: 1. und 2. Bandsind teilbesetzt:

k

E

pa

pa

EF


2.2 Einschub: chemische Bindungen

3 Typen chemischer Bindung:

1. ionische Bindung (stark lokalisierte Elektronen)

2. kovalente Bindung (leicht delokalisierte Elektronen)

3. metallische Bindung ( vollkommen delokalisierte Elektronen)

2.2.1 Ionische Bindung

Zwischen Atomen mit stark unterschiedlichen Ionisationspotenzialen(typ.: Halogen und Metall)

z.B.: LiF

F Li

1s

2s2p

1s

2s

Elektronentransfer

Fuhrt zu starker Coulombanziehung

-F +Li V = − e2

4πε0r

Die Bindungslange wird durch die gefullten inneren Orbitale bestimmt (”Pauli-Abstoßung“)

2.2.2 Kovalente Bindung

Das Elektron geht nicht uber, sondern bleibt ”zwischen“ den AtomenKlassisches Modell fur H+

2 :

+p +

p-

e

r r

Coulombpotential:

Epot =Vep1 + Vep2 + Vp1p2

=− e2

4πε0r− e2

4πε0r+

e2

4πε02r

=− 32

e2

4πε0r


Geht gegen unendlich fur r → 0! Ein ”klassisches”Molekul wurde kollabieren! Dies geschiehtnicht, weil das Elektron Wellencharakter hat.

p+ p+

e- - „Wolke“

Die negative Ladungsdichte zwischen den Atomen bestimmt den Gleichgewichtszustand.

Form der Elektronenwolke: Molekulorbitale

Ansatz: Aufbau der Orbitale als Linearkombinationen von Atomorbitalen (LCAO-Linear Com-bination Of Atomic Orbitals)

Beispiel Wasserstoff:

Wellenfunktionender H-Atome

1s

1s

ψ1

ψ2

r1

r2

Wellenfunktionendes H2-Moleküls

ψ1 + ψ2

ψ1 − ψ2

Erhöhte Ladungsdichte

Erniedrigte Ladungsdichte

Es ergeben sich zwei Orbitale, ein bindendes und ein antibindendes. Ob das Molekul insgesamtgebunden ist, hangt von der Besetzung der Molekulorbitale ab. Molekule mit mehreren Elektro-nen folgen dem gleichen Aufbauprinzip wie Atome: alle Orbitale werden mit je zwei Elektronenbesetzt, die niedrigsten zuerst (bei entarteten Orbitalen gilt die Hundt’sche Regel). Damit erhaltman folgende Moglichkeiten fur wasserstoffartige Systeme:

s* antibindendes Orbital+

H2

s bindendes Orbital

1s 1sgebunden

s* antibindendes OrbitalH2

s bindendes Orbital

1s 1sstärkergebunden

s* antibindendes Orbital+

He2

s bindendes Orbital

1s 1sschwächergebunden

s* antibindendes OrbitalHe2

s bindendes Orbital

1s 1srepulsiv!


2.2.3 metallische Bindung

fast homogene Elektronendichte

+ + +

+ + +

+ + +

negative “homogene”Ladungsdichte

Freies Elektronengas mit eingelager-ten Ionen, Gleichgewichtsabstandbestimmt durch Elektronendichte

2.2.4 Kovalente Bindung: lineare Kette

Bei großeren Molekulen ergeben sich die Molekulorbitale analog als Linearkombinationen derAtomorbitale. Wir betrachten den einfachsten Fall, (hypothetische) lineare Ketten aus Wasser-stoffatomen.

Der Einfachkeit halber benutzen wir folgende Darstellung der Orbitale: anstelle des Schnittsdurch die Wellenfunktion zeichnet man eine schematische Equiamplitudenlinie der Wellenfunk-tion; die Farbe (dunkel) bezeichnet eine negative Amplitude der Wellenfunktion.

ψ3

ψ1 bindend

antibindend

H2 ψ3

ψ2

ψ1bindend

nichtbindend

antibindend

H3

Fur Ketten mit drei, vier und funf Atomen erhalt man die Orbitale:

ψ3

ψ2

ψ1 bindend

teilweisebindend

antibindend

H4

ψ4

ψ3

ψ2

ψ1 bindend

teilweiseantibindend

antibindend

H5

ψ4

teilweisebindend

nichtbindend

ψ5

Knotenregel: Je mehr Vorzeichenwechsel der Wellenfunktion, desto hoher dieEnergie!


Unendliche Kette:

a

Ansatz:Ψk(r) =

1√NAt

∑R

eikRϕ(r −R) = |k〉

Schrodingergleichung: H|k〉 = E|k〉

〈k|H|k〉 = E〈k|k〉

⇒ E = 〈k|H|k〉 Erwartungswert derEnergie im Zustand |k〉

Gilt exakt fur ”wahre“ ϕ; Naherung fur ϕ ∼ ϕAt(LCAO oder ”tight-binding“)

Es ist

E = 〈k|H|k〉 =∫

Ψ∗k(r)H(r)Ψk(r)dr

=1NAt

∫ ∑R

∑R′

eik(R′−R)H(r)ϕ∗(r −R)ϕ(r −R′)dr | r′ := r −R′

=1NAt

∑R

∑R′

eik∆R

∫ϕ∗(r′ +R′ −R︸︷︷︸

∆R

)H(r′ +R′)︸︷︷︸=H(r′)

ϕ(r′)dr′

=∑∆R

eik∆R

∫ϕ∗(r + ∆R)H(r)ϕ(r)dr

Funktionen ϕ fallen schnell ab ⇒ Integral 6= Null nur fur nachste Nachbarn ⇒ Summation nuruber ∆R = 0,−a, a⇒ E =

∫ϕ∗(r)H(r)ϕ(r)dr︸︷︷︸

∼ ε0 Orbitalenergie des Atoms

+ e−ika∫ϕ∗(r − a)H(r)ϕ(r)dr︸︷︷︸”Transferintegral“ (= -γ)

+ eika∫ϕ∗(r + a)H(r)ϕ(r)dr︸︷︷︸

auch −γ (ϕ(r) ist symmetrisch)

⇒ E = ε0 − γ2 cos ka Energie von |k〉

mit ε0 Orbitalenergie, γ Transferintegral, k Wellenzahl, a Gitterkonstante

Dispersion:

E(k)

ε0-2γ

-π/a π/a

ε0+2γ

k

1D-Elektronen-Dispersionin "tight-binding"-Näherung

Gilt fur alle fest gebundenen Orbitale eines Atoms im Kristall (bei schwach gebundenen Orbi-talen wird die Beschrankung auf die nachsten Nachbarn ungultig)


Damit ergibt sich die Bandstruktur fur die s- und p-artige atomare Valenzorbitale:

Atomare Orbitale

1s

2p "p"-Band4γp

4γs

E(k)

-π/a π/a

εp

k

εs"s"-Band

atomareEnergien

Krümmung abhängigvom Vorzeichen

von γ

1

2

3

4

Beispiele fur das Aussehen der tight-binding-Orbitalen an wichtigen Punkten der Bandstrukturund der Vergleich mit den entsprechenden Bloch-Funktionen (schwach gestorten ebenen Wellen):

1. k = 0, s-Band: Ψk =(Vorfaktoren 1, 1, 1, 1, 1, ...)

x

ψ

2. k = πa , s-Band: Ψk =

(Vorfaktoren 1, -1, 1, -1, 1, ...)

x

ψ

3. k = πa , p-Band: Ψk =

(Vorfaktoren 1, -1, 1, -1, 1, ...)

x

ψ

4. k = 0, p-Band: Ψk =(Vorfaktoren 1, 1, 1, 1, 1, ...)

x

ψ

Die tight-binding- Wellenfunktionen zeigen die gleichen Charakteristika wie die Bloch-Funktionen!


2.2.5 Entwicklung der elektronischen Struktur des Festkorpers

schematisch

Atom Molekul

antibindend

bindend

tragen nichtzur Bindungbei

Festkorper (kontinuierlich)

eher antibindend

eher bindend

besetzte Zustände

kontinuierliches Band

EF

2.2.6 Messung der el. Struktur: Photoelektronen

SpektroskopieAufbau:

Kristall

Vakuum

hν (UV oderRöntgenlicht)

Elektronenemission

e-

e-

e-

Energieanalysator

Detektor

+-

Messung der Energieverteilung der Elektronen durch Variation der Spannung am Detektor

Photoeffekt:Ekin = hν − EBin Einstein

Die kinetische Energie der Elektronen ist die Photonenenergie minus der Bindungsenergie (Ener-gieverluste vernachlassigt)


schematisch:

FEF

besetzte Zustandsdichte

Austrittsarbeit

f(E) D(E)

hEkin

0Ekin

gebundene- e

Vakuum

freie -

eν

gemessenes Photoelektronenspektrum

I

Ekinhν-φ0

(gilt nur bei Mittelung uber die Emisssionswinkel)

Messung der Dispersion: Winkelaufgeloste PES

Bestimmung von E(~k): neben Ekin muss der Blochindex k gemessen werden.

Problem: Elektron wird an der Oberflache “gebrochen”.

Vakuum

Kristall

Ekin= E0+hν

Ekin= E0+hν - φ

Aber: Vakuum und Kristall haben parallel zur Oberflache gleiche Periodizitat.(fur Vakuum gilt V (~r) = 0 uberall; und damit V (~r + ~R) = V (~r))⇒ ~k|| ist Erhaltungsgroße!

θ

|| |~k′| =√

2m~2 Ekin

| ~k||| =√

2m~2 EkinsinΘ


⇒ Projizierte Dispersion E( ~k||) ergibt sich aus winkelaufgelosten Spektren I(Θ, En).Volle Dispersion (E(~k)): “tomographisches Verfahren”: Projektion von ~k auf verschiedene Ebe-nen im Kristall.⇒Messung von Winkelaufgelosten Spektren an verschiedenen Oberflachen (z.B.: (1 1 1), (1 0 0),..

2.2.7 Fermiflachen

Fermiflache: Equienergieflache im k-Raum mit E(~k) = EF .Kugelflache bei realen Metallen:

kF

Bsp.: Cu, Ag

<111>

kF

Schnitte:

EF

k

E(k)

0aπ3

aπ3

−

k

E(k)

EF

kF aπ2

aπ2

−

Noch komplexeres Verhalten bei mehrwertigen Metallen:Volumen innerhalb einer Fermiflache:

VFF =NV al

2︸︷︷︸Zahl der Valenzel.

V1.BZ︸︷︷︸Volumen 1.BZ

⇒ Fermiflache ist fur NV al ≥ 2 nicht auf die 1. BZ beschrankt

2.2.8 Bewegungsgleichungen

Blochfunktion fur Elektronen:Ψnk(~r) = ei~k~runk(~r)

mit Energie Enk = En(~k).Die Gruppengeschwindigkeit ist(wie bei freien Teilchen):


vGr =dω(k)

dk=

1~

dEdk

Die Energieanderung bei Bewegung im elektrischen Feld ε ist

∆E = −eε∆x = −eεVg∆t

Dies wird mit ∆E =dEdk

∆k zudEdk

∆k = −eε1~

dEdk

∆t

∆k∆t

= k = −eε~

Anderung vom Blochindex im elektrischen Feld

(freies Teilchen: p = F = −eε ⇒ ~k = −eε ⇒ k = −e ε~)

Das bedeutet: der Blochindex k ist ein “Quasiimpuls” (verhalt sich wie ein Impuls, obwohlkeine Impulserhaltung gilt)

Geschwindigkeitsanderung

vg =ddt

(1~

dEdk

) =1~

d2E

dk2

dkdt

=1~2

d2E

dk2(−eε)

Freies Teilchen:v =

p

m=

1m

(−eε)

Damit kann man eine effektive Masse definieren:

meff =~2

d2Edk2

d2Edk2 ist die Krummung der Dispersionskurve!

k

E

starkeKrümmung

“leichtes“ Teilchen: starke Geschwindig-keitszunahme im el. Feld

k

E

schwacheKrümmung

“schweres“ Teilchen: geringe Geschwindig-keitszunahme im el. Feld

gilt fur samtliche kristalline Materialien⇒ Elektronen im Gitter verhalten sich wie freie Elektronen mit anderen Massen.


2.3 Halbleiter

Halbleiter: Materialien mit EF in BandluckeBandluckengroße ∼ 1eV

k

E

E = Eg

“Leitungsband” bei T=0K leer

“Valenzband” bei T=0K voll besetzt

D

Bei 300K werden Elektronen thermisch ins Leitungsband angeregt ⇒ LeitfahigkeitAbschatzung: Boltzmann-Faktor fur Anregung (bei Eg = 1eV, T = 300K)

f = e− ∆EkBT ≈ e−39

Die Dichte ”freier“ Elektronen ist damit:

n ≈ nAt · f = 1023 1cm3

· e−39 = 1,6 · 106 1cm3

Dies erzeugt Leitfahigkeit!

Isolator: Eg ∼ 5eV

f = e−∆EkBT ≈ e−195

Die Dichte freier Elektronen ist damit:

n ≈ nAt · f = 2 · 10−62 1cm3

Also keinerlei Leitfahigkeit!

2.3.1 Zustandsdichte

Leitungsband

k

E(k)

Leitungsband

EL

Dispersion bei k = 0 wird angenahert durch Parabel

E = EL +12d2E

dk2· k2 = EL +

~2

2m∗e· k2 m∗e: effektive Masse

Beim freien Teilchen (E = ~2

2mk2) ist die Zustandsdichte

D(E) =√

2√m3

π2~3

√E


Im Leitungsband des Halbleiters ist die Dispersion bis auf die andere (nun effektive) Masse unddie Verschiebung des Energie-Nullpunkts gleich; damit muss die Zustandsdichte hier lauten:

DL(E) =√

2√m∗e

3

π2~3

√E − EL Leitungsband

Valenzband

Ev

E(k)

k

E = EV −~2

2m∗h· k2 m∗h: effektive Masse der Elektronen

im Valenzband (”Lochermasse“)

DV (E) =

√2√m∗h

3

π2~3

√EV − E Valenzband

2.3.2 Besetzungswahrscheinlichkeit

Temperatur T = 0K

EF

D(E)

EVB LB

EV EL

Eg

LB leer

VB besetzt

D(E)

E

Temperatur T > 0K

LBVB

D(E)

E

thermischangeregt

Beschrieben mit Fermi-Dirac-Funktion

f(E) =1

eE−µkBT + 1

µ chemisches Potential


Zustandsdichte Besetzungswahrscheinlichkeit besetzte ZustandeD(E)

EE

1

0,5

µ

k TB

f(E)D(E)

EEL

Zahl der Elektronen im Leitungsband

n =

∞∫EL

DL(E) · fT (E)dE

Zahl der fehlenden Elektronen im Valenzband (”Locherdichte“)

p =

EV∫−∞

DV (E)(1− fT (E))dE

Einsetzen und integrieren:

n = 14

(2m∗ekBTπ~2

) 32 e−

−(EL−µ)

kBT

p = 14

(2m∗hkBTπ~2

) 32 e−

−(µ−EV )

kBT

Produkt:np = 4

(kBT2π~2

)3(m∗em

∗h)

32 e−

EgkBT

”Massenwirkungsgesetz“: np konstant auch fur n 6= p

Beispiele: Eg np (300K)Si 1,11 eV 2,1 ·109cm−6

Ge 0,64 eV 2,89 ·1029cm−6

GaAs 1,43 eV 6,55 ·1012cm−6

”Intrinsische“ Halbleiter (n=p)⇒ n =

√n · p (Si: n = 4,6 ·109 1

cm3 )

2.3.3 Extrinsische Halbleiter: Dotierung

Einbau von 3-wertigen oder 5-wertigen Atomen:

Beispiel: Si

B

Si

SiSi

Si

P

Si

SiSi

Si

3-wertig, ”fehlendes Elektron“, 5-wertig, 1 Elektron ”zuviel“,p-Dotierung n-Dotierung


Durch geringe thermische Energie kann das Elektron (oder Loch) des Dotieratoms freigesetztwerden.

Vgl.: Bohr-Atom (Wasserstoff)

+p

-eBindungsenergie des Elektrons: E = Ry

1n2

=

mee4

2(4πεε0~)2

1n2

Bahnradius: r = 4πεε0~2

mee2n2

Dotieratom:

P

Si

SiSi

Si

+

-e E =m∗eme

1ε2

Ryn2

r = a0 = εme

m∗en2a0

typisch: m∗e ∼ 110me ε ∼ 10

⇒ E = 11000Ry = 13,6meV ; R = 100a0 ≈ 50A

⇒ bei kBT = E (T ≈ 140K) werden alle Elektronen freigesetzt.

B

Si

SiSi

Si

+ Gleiches gilt fur Locher:Ebenfalls Bindungsenergie des Lochs von ∼10meV

Damit Energieschema:

Donator

EL10meV

EV

n-Halbleiter

n-dotiert

Akzeptor

EL

10meV

EV

p-Halbleiter

p-dotiert

Die freigesetzten Ladungstrager erzeugen Leitfahigkeit!

2.3.4 Temperaturabhangigkeit

n-Halbleiter, tiefe Temperaturen

ED EL

LBVB

D(E)

E

µ

Ein Teil der Donatoren ist ionisiertAlle Elektronen im Leitungsband stammen von Donatoren


⇒ chemisches Potential µ liegt zwischen dem ED und EL

Hohe Temperaturen:

LBVB

D(E)

E

µ

”alle“ Donatoren sind ionisiert, viele Elektronen aus dem VB sind ins LB angeregt

Elektronenkonzentration im LB:

n

1 T

e-E /k Tg B

n=ND

~e-

E-El D

k TB

EL

EV

ED

1 T

µ

intrinsisch

extrinsisch

chemisches Potential der Elektronen: Die Energieanderung bei Hinzufugen oder Entferneneines Elektrons (gemittelt)(wegen Pauliprinzip gleich der mittleren Energie der am schwachsten gebundenen Elektronen)

Reiner Halbleiter:

T = 0K

µ

E

LB

VB

f(E)

µ nicht definiert

E

LB

VB

f(E)

kein Problem: Esgibt weder reineHalbleiter, nochT=0K

Dotierte Halbleiter:


µ

E

LB

VB

Ed

f(E)

Bringt man Systeme mit unterschiedlichen µ zusammen, wechseln Teilchen vom System mitgroßem µ zum System mit kleinem µ (Energiegewinn!).

2.3.5 p-n-Ubergang

µ

E

LB

VB

ED

n-HL

µ

E

LB

VB

EA

p-HL

Ausgleich durch el.Potenzial

+ + ++ + ++ + +

- - -- - -- - -

e-

Löcher

„Verarmungszone“

positive Ladungsdichteder Donatorionen

negative Ladungsdichteder Akzeptorionen

ρ(x)

xnp

positive Raumladungs-dichte der Donatorionen

chemisches Potential ist großer im n-Halbleiter; ⇒ Elektronentransfer von n nach p.


Raumladungsdichte+ + ++ + ++ + +

- - -- - -- - -

ρ(x)

xnp

el. Feld

E(x)

x

elektrisches Feldentgegen x-Richtung

np

el. Potential

Φ(x)

x

el. Potential(def. für positive Teilchen!)

Vdnp

Stromfluss hort auf, falls ∆µ = 0 (Vd ∼ Eg)

Im Gleichgewicht (µp = µn fließt kein Gesamtstrom, aber fur Temperaturen T 6= 0K exis-tieren Teilstrome:

μ

p n

Eg

Idiffthermisch über

die Stufe angeregte ElektronenIgen

thermischerzeugte

Elektronen e-

h+

Vd ≈ Eg

Igen

GenerationsstromIgen ≈ e−

EgkBT


DiffusionsstromIdiff ≈ e−

vDkBT

Im Gleichgewicht gilt:Igen = Idiff

p-n Ubergang mit angelegter Spannung(negativ an n)

pn

Idiff

-e

genIunverändert

vergrößert V -Ud

U (angelegte Spannung)

TeilstromeIgen(U) = Igen(0)

Idiff(U) ≈ e−Vd−eUkBT = e−

eVdkBT e

eUkBT =

IgeneeUkBT

⇒ Iges = Idiff − Igen = Igen(eeUkBT − 1)

Fur beide Ladungstrager:

I = (Iegen + Ihgen)(eeUkBT − 1)

Sperrstrom

Durchlaßrichtung

U

I

Dioden-Kennlinie

Sperrichtung

Gleichrichter

2.3.6 Leuchtdiode

Licht bei Strom in Durchlassrichtung

pn

-eh?

µ

h?

+ -

h

Rekombination von Elektronen und Lochern kann zur Lichtemission fuhren (hν = Eg)Aber: es gibt zwei Typen von Halbleitern:


Direkte Halbleiter:

schematische Bandstruktur

E

k

hν Eg

Valenzband

Leitungsband

Minimum des Leitungsbandes liegt uber dem Maximum des Valenzbandes (bei gleichem k)Fur kleinstmogliche Anregung (hν = Eg) gilt ∆k = 0. ⇒ gute Absorption/EmissionAbsorptionsspektrum:

Absorption

hνEg

transparent

Indirekte Halbleiter:

schematische Bandstruktur

E

k

Eg

Valenzband

Leitungsband

PhotonPhononEg

d

Das Minimum des Leitungsbandes liegt nicht uber dem Maximum des Valenzbandes.Minimale Anregung ist nur moglich mit Beteiligung eines Phonons.Bei der Absorption/Emission gilt: Energie- und (Quasi-)Impulserhaltung.(∆Eges = 0, ∆kges = 0)In diesem Fall gilt:

Energie-Erhaltung:∆EElektron = hνPhoton ± hνPhonon

“Impuls”-Erhaltung:∆~kel. = ~kPhonon ± ~kPhoton

Erinnerung:


Die Energie eines Photons ist

E = hν = hc

λ= ~ck

(c: Lichtgeschwindigkeit). Die Energie eines Phonons ist

E = hν = ~vsk

(vs: Schallgeschwindigkeit, ∼ 103ms )

⇒ Bei gleichem k hat das Phonon eine um vsc ≈ 105 kleinere Energie.

Dispersion:

Photonen

Phononen

k

E

“Photonen haben praktisch keinenImpuls, Phononen keine Energie”

Falls bei Elektronenanregung ∆k 6= 0 gilt, muss dabei ein Phonon erzeugt oder vernichtet wer-den.

Absorption

hνEg

transparent

Egd

Fazit: Leuchtdioden bestehen aus direkten Halbleitern (z.B. GaAs); bei indirekten Halbleiterngibt es nur strahlungslose Rekombination

Silizium ist ein indirekter Halbleiter mit Eg = 1, 1eV , Edg = 3, 4eV⇒ Optoelektronik mit Silizium ist nicht moglich!

2.3.7 Schottky-Diode

Aufbringung einer Metallschicht auf einen Halbleiter

Energieschemaohne Kontakt:

Vakuum

Metall

Austrittsarbeit

F M

µ

Vakuum

µEL

EV

F HL


mit Kontakt:(Ladungstransfergleicht µ an)

µ

Metall

EL

EV

F B Barrierenhohe:ΦB ≈ ΦM − ΦHL

Mit angelegter Spannung

• am Halbleiter:

µ

Metall

F B ?µ

diffI

µ

- an HL

Elektronenstrom Halbleiter→ Metall nimmt stark zu

• ⊕ am Halbleiter:

µMetall

F B

?µµ

+ an HL

Barrierenhohe bleibt beste-hen; wenig Elektronenstromvom Metall zum Halbleiter

⇒ Kennlinie wie bei np-DiodeDiodenverhalten nur, falls ΦB > 0, d.h. ΦM < ΦHL

Beispiel: Si ΦHL ≈ 4.85eV (Abhangig von Dotierung!)mit Au ΦM = 5.1eV Schottky Diodemit Ti ΦM = 4.3eV ”ohmscher“ Kontakt


2.3.8 Transistor (npn oder pnp)

n p n

sehr dünn(wenige Atomlagen)

- + - +UEB

UEK

Energieschema (ohne Spannung):

EV

EL

µ

diffI

genI

diffI

e- e

-

(Teilstrome gleich groß ⇒ kein Strom)

Mit Spannung:

diffIgrößer!

UEB

UEK

UEB

Elektronen ”durchfliegen“ die Basis und werden zum Kollektor beschleunigt!

Strom Kennlinie

Kollektor

Basis

Emitter

I

IEK

UEB

Sättigung

Arbeitspunkt(max. Steigung)


2.3.9 FET (Feld-Effekt-Transistor)

n-HL

Metall

Isolator

p-HL

DrainGateSource

Spannung an ”Gate“ steuert den Strom zwischen Source und Drain

Energieschema:

• Keine Spannung am Gate

µ

EL

EV

Metall(Gate)

Barriere HL

µ

⇒ Source-Drain entspricht npn-ubergang mit UEB = 0⇒ kein Stromfluss

• Positive Spannung am Gate

µ

EL

EV

µ

UG

Absenkung des Leitungsbandes unter µ⇒ 2D-Elektronengas

pn n

- + +

-“2D-e -Gas” An der Grenzflache:

⇒ n-”n“-n-ubergang⇒ Strom zwischen Source und Drain

Kein Strom am Gate: stromsparender als n-p-n Transistor


2.4 Isolatoren

große Bandlucke (> 5 eV)⇒ - keine freien Elektronen bei T = 300K (nicht leitfahig)

- transparent im Sichtbaren

Absorption

UV

transparent

sichtbar

EG

Einschub: Exzitonen

Gebundene Elektron-Loch-Zustande⇒ Anregungsenergie < Eg

Exitonen gibt es bei allen direkten Halb-leitern und IsolatorenFuhren zu ”Rydberg“-Serie im Absorptionss-pektrum

ExzitonenLB

VBEg -e

+

HL

atomartigerZustand

Atom Isolator

1/n²-Serie

h?

Absorption

13,61

Atom:Isolator:

EG

Exzitonen

⇒ Einsatz eines Absorptionsspektrums liegt bei hν < Eg

2.4.1 Optische Eigenschaften von Isolatoren (Dieelektrika)

Keine Absorption; trotzdem Wechselwirkung mit Licht durch Polarisierung (vgl. 2.1.1)

Dipoldichte: ~p = (ε− 1)ε0~E ≈ α~E

⇒ ε(ω) = 1 + 1ε0α(ω) | Achtung, Naherung!

α(ω) = NAtV αAt

(Polarisierbarkeit pro Volumen, αAt atomare Polarisierbarkeit)


Modell fur Atom: Elektron an Feder-

e+

=

Differentialgleichung (gedampfter harmonischer Oszillator):

mu = −Du− βu+ eE0e−iωt

(D Federkonstante, β Reibung, E0e−iωt elektrisches Feld)

Ansatz: u(t) = u0e−iωt

⇒ −ω2mu0 = −Du0 + iωβu0 + eE0

⇒ u0 =eE0

m(Dm − ω2)− iωβ=

eE01m

(ω20 − ω2)− iωτ

∣∣∣∣∣ω0 =√

Dm

τ = mβ

Damit ist das Dipolmoment des Atoms

PAt = e · u(t)

und die Polarisierbarkeit (Naherung fur die harmonische Kraft)

αAt =PAtE0

=e2

m

(ω20 − ω2)− iωτ

Dielektrische Funktion:

ε(ω) = 1 + 1ε0Nv αAt = ε1(ω) + iε2(ω)

0

1

2

3

ε1

ε2

ω0

Dielektrische Funktion

ω

ε(ω)

Maximales |ε| bei Resonanzenergie ω0! (bei der Absorptionsenergie)Elektronischer Anteil: Bei Kristallen mit unterschiedlichen Atomen gibt es zusatzlich einen Git-teranteil zur Polarisation.Polarisierbarkeit:

α = αel + αion

⇒ gesamte dielektrische Funktion:

1

? el

e (1 ? )

?

estat

? Ion


Der Brechungsindex ist gegeben durch n =√ε genauer n = Re

√ε1 + ε2.

Damit gilt fur die meisten Dielektrika:n

?rot blau

“normale” Dispersion (gilt nicht mehr imFerninfrarot oder fernen UV)

2.4.2 Clausius-Mossotti

Tatsachlich werden Atome nicht durch ein außeres Feld polarisiert, sonder auch durch das Feldpolarisierter Nachbaratome. ⇒ Ruckkopplung⇒ im Allgemeinen gilt: ε(ω) wird großer als 1 + α

εEs gilt:

ε− 1ε+ 2

=1

3ε0

∑j

εjNj

Vjαj Clausius-Mossotti

αj : verschiedene Anteile der Polarisierbarkeit

umgeformt:

ε =3ε0 + 2

∑ NjV αj

3ε0 −∑ Nj

V αj= 1 +

∑ NjV αj

ε0 − 13

∑ NjV αj

Diskussion :fur αj → 0 oder Nj

V → 0 gilt ε→ 1 + 1ε0

∑jNjV αj

fur∑

jNjV αj → 3ε0 gilt ε→∞

Letzteres fuhrt zu unterschiedlichen Effekten,je nachdem, ob die Dipoldichte elektronischer oderionischer Herkunft ist.

Elektronen: ein unendlicher Wert von ε ist das Kennzeichen eines Metalls. Daraus folgt:

1. Alle Materialien werden bei großem Druck (großer Dichte) metallisch

2. Aus Atomdichte und -polarisierbarkeit lasst sich direkt vorhersagen, ob ein Material me-tallisch ist.

Ionen: bei richtigen Werten von Dichte und Polarisierbarkeit bildet sich eine permanente Dipol-dichte aus (ferroelektrisches Verhalten).

2.4.3 Ferroelektrizitat

Atome verschieben sich⇒permanenter Dipol

+ ++

+ ++

+ ++

- -

- -

geschieht nur unterhalb kriti-scher Temperatur Tc


Verschiedene Arten:

T > Tc

T < Tc

oder Polarisation lasst sich durchein außeres Feld umklappen;ferroelektrisch

lasst sich nicht umklappen;pyroelektrisch

2.4.4 Piezoelektrizitat

Alle Ferro- und Pyroelektrika sind auch piezoelektrisch.zwei Effekte:

1. Verformung erzeugt elektrisches Feld:

I

+

- - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + +

+

-

mechanische Kraft F

Kraft F

+ +

+ +

- + +

+ +

-Kompression

Dipoldichte wird kleiner(Anwendung: Freuerzeuge)

2. Elektrisches Feld erzeugt Verformung

Verformung

(1cm Kristall;∆x ∼ 100nm/1000V )(Anwendung: Stellelemente fur prazise Bewegungen)

Piezzokristalle mussen nicht ferro- oder pyroelektrisch sein. (Bsp.: Quarz)

Zusammenfassung Kapitel 2: elektronische Struktur

Dispersion:Beziehung zwischen Wellenvektor und Energie.Freies Teilchen: Impuls p = h

2 = ~k (de Broglie); Energie: E = 12mv

2 = p2

2m = ~2k2

2m

k

h²k²2m

E

Storung durch Gitter (schwache Wechselwirkung)


k

h²k²2m

E

Aufspaltungfür k = 1/2 G

p2paa a a

p 2p

Aufspaltung fur ~k = 12~(G)

(Bragg-Reflektion:~k → −~k)⇒ ∆~k = α~k = ~G

Sehr starke Wechselwirkung

=

Praktisch keine Abhangigkeit von k

Darstellung durch Blochfunktionen:

pa

pa

3. Band

2. Band

1. Band

Bandlücke

1. BrillouinzoneE

k

1.Brillouinzone:

• Einheitszelle des reziproken Gitters

• enthalt 1. reziproken Gittervektor

• hat Symmterie des Gitters (Wigner-Seitz-Zelle)

• bei endlichen Kristallen (diskrete k-Werte): enthalt NGP erlaubte Gittervektoren(NGP : Zahl der Gitterpunkte im realen Kristall = Zahl der Atome bei 1Atom

Gitterpunkt

Damit ist die Bandstruktur:

k

E

erlaubte Elektronen-Zustände(können mit 2 Elektronenbesetzt werden)

1. Band

2. Band (Entartung möglich!)

N erlaubte k-WerteGP

app

a

erlaubte Elektronenzustande(konnen mit 2 Elektronen besetzt werden)⇒ Zahl der besetzten Bander= NEl

2NGP


Besetzung der Bander bestimmt Materialeigenschaften:

besetzt

unbesetzt

EF

E

D(E)Metall (1-wertig)

EF

E

D(E)Metall (2-wertig)

EF

E

D(E)Halbleiter

1eV EF

E

D(E)Isolator

5eV

Kapitel 3

Spezielle elektromagnetischeEigenschaften

3.1 Magnetismus

Magnetfelder werden durch elektrische Strome erzeugt

rot ~H = ~j

im Vakuum: ~B = µ0~H

(H ”magnetisierendes Feld“, j Stromdichte, B Magnetfeld, µ0 Vakuum-Permeabilitat)

Beispiel: unendlich lange Spule

H =n

lI

⇒ B = µ0n

lI

(nl Windungen pro Lange, µ0 = 4π · 10−7 V sAm)

In Materie wird B-Feld:~B = µµ0

~H

= (1 + χ)µ0~H = µ0( ~H + ~M)

(χ Suszeptibilitat, M Magnetisierung)

⇒ ~M = χ ~H

Magnetfeld kann verstarkt oder abeschwacht werdenχ > 0: Paramagnetismusχ < 0: Diamagnetismusχ→∞: Ferromagnetismus

79

KAPITEL 3. SPEZIELLE ELEKTROMAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN 80

3.1.1 Paramagnetismus

Definition: magnetisches Moment ~µbetrachten Leiterschleife

I

1

2

3

4

B

B

I

XFF

l

2r

Krafte auf Seiten 2 und 4:

~F = l~I × ~Bhier: F = lIB

Drehmoment: ~T = ~r × ~Fhier: T = 2rF = 2rl︸︷︷︸

Flache

IB = µ ·B

⇒ µ = IA

magnetisches Moment = Kreisstrom · Flache

3D: ~µ = I ~A ( ~A Flachenvektor)~T = ~µ× ~B (|~T | = µB sinα)

Potentielle Energie: E = −~µ ~B(E =

∫ α0 |~T |dα = −µB cosα+ E0)

In Materie werden magnetische Momente durch mikroskopische Kreisstrome erzeugt

-e+p

r ”Strom“ I = −eν = −e v

2πrFlache: A = πr2

⇒ magn. Moment µ = IA = −evr3

= − el

2m(l Drehimpuls)

Quantenmechanik:l = rp = rmv = n~

(Eigenwerte von lZ sind ml~)

⇒ Elektron |µ| = e

2mn~ n = 0, 1, 2, . . .

Kleinster Wert (6= 0)

µB =e~2m

Bohr-Magneton

Ahnliches gilt fur den Spin des Elektrons

-

magn. Moment: µS = ge

2ms = 2

e

2m~2

= µB

(g gyromagnetischer Faktor (∼ 2), s Spin (Drehimpuls))Trotz des halbzahligen Spins ist µS = µB

Mikroskopische Momente richten sich im B-Feld aus; thermische Bewegung fuhrt zu Abweichungvon der Feldrichtung.Insgesamt ergibt sich eine mittlere Magnetisierung

~M = n〈~µ〉B,T(gemitteltes Moment fur gegebene Temperatur und B-Feld, n Dichte der Momente)


3.1.1.1 Modell: Zwei-Niveau-System

Spin s = 12 ⇒ zwei Einstellmoglichkeiten

Potentielle Energie:E = ±µBB

Wahrscheinlichkeit fur parallele/antiparallele Ausrichtung bei Temperatur T (Boltzmann)

Dichte paralleler Momente: n+ =eu

eu + e−un |u = µBB

kBT

antiparallele Momente: n− =e−u

eu + e−un

Magnetisierungsdichte

M = µB(n+ − n−) = µBneu − e−u

eu + e−u= nµb tanh(u)

nµB

- nµB

linearerBereich

B

k TB

µB

M

fur kleine u gilt:tanh(u) ≈ u

⇒ M = nµB2 BkBT

⇒ M =c

TB Curie-Gesetz

(Andere Schreibweise: χ = µ0cT = c′

T )

nµB

~1 T

T

M

Gilt fur nicht zu hohe B und zu kleine TSehr ahnliches Verhalten auch fur großere Drehimpulse⇒ Curie-Gesetz gilt allgemein


3.1.1.2 Pauli-Spinparamagnetismus

Im Elektronensystem eines Metalls werden ohne B-Feld alle k-Zustande bis kF mit 2 Elektronenbesetzt.Mit Magnetfeld: Spin ↑ hat andere Energie als Spin ↓⇒ Elektronen ↑ und ↓ getrennt betrachten⇒ gleiches EF , aber unterschiedliches kF fur beide Systeme

-μΒBkF kF

k

E(k)

EF

μΒB

ΔE=2μBB

ohne B-Feldmit B-Feld

Unterschiedliche Anzahl ↑ und ↓ Elektronen⇒ Magnetisierung M = µB(n↑ − n↓)

n↓ =EF∫−µBB

D↓(E)dE =EF∫−µBB

12D(E + µBB)dE |E′ = E + µBB

=EF+µBB∫

0

12D(E)dE

n↑ =EF∫µBB

D↑(E)dE =EF∫µBB

12D(E − µBB)dE

=EF−µBB∫

0

12D(E)dE

⇒ M = µB(n↓ − n↑) ≈ µB2µBB 12D(EF ) = µB

2D(EF )B

χ =µ0M

B= µB

2µ0D(EF ) Pauli-Suszeptibilitat (unabhangig von T)

3.1.2 Diamagnetismus

Magnetische Momente prazedieren im Magnetfeld. (ahnlich Kreiseln im Schwerefeld)⇒ zusatzlicher Kreisstrom⇒ Abschwachung des B-FeldesBetrachten Drehimpuls l = ~ mit magnetischem Moment µ = µB = e~

2m

Magnetfeld ubt Drehmoment aus: ~T = ~µ× ~B (senkrecht zu ~µ)


QM: magnetisches Moment nie parallel zu ~B, sondern es hat die Projektion:

~l ~B = ml~B

B

hr

)1( += lll

lr

hlm (entspricht schragem Kreisel)

Im Magnetfeld wirkt ein Drehmoment vonT = µBsin(α) und fuhrt zur Drehimpuls-anderungdl = Tdt = µBsin(α)dt α

dϕ

lr

ldr

Winkelanderung:

dϕ =dl

l sin(α)=µB sin(α)l sin(α)

dt =µB

ldt

Prazessionsfrequenz:

ω =dϕdt

=µB

l=

e~2mB

~=eB

2mLarmor-Frequenz

Z Elektronen im Atom erzeugen den Kreisstrom:

I = −Ze ω2π

= −Ze 12π

eB

2mZugehoriges magnetisches Moment:

µ = I ·A =−Ze2B

4m〈r⊥2〉

wobei die A die Flache der Elektronenbahn ist: A = π〈r⊥2〉. Die Koordinaten r⊥ und r desElektrons sind gegeben durch

r⊥2 = x2 + y2

r2 = x2 + y2 + z2

Fur ein kugelformiges Atom gilt:〈x2〉 = 〈y2〉 = 〈z2〉

und damit〈r⊥2〉 =

23〈r2〉

Die Suszeptibilitat ist gegeben durch

χ =µ0M

B=µ0nµ

B

Einsetzen:


χ = −nZµ0e2

6m〈r2〉 Diamagnetische Suszeptibilitat

(〈r2〉 : mittlerer Atomradius). Die diamagnetische Suszeptibilitat ist unabhangig von der Tempe-ratur. Sie tritt bei allen Stoffen auf, ist aber nur messbar, falls der Stoff nicht paramagnetisch ist.

Diamagnetismus

Paramagnetismusfreier magn. Dipole

TPauli-Spin-Paramagnetismus

c

3.1.3 Ferromagnetismus

Bisher wurde Wechselwirkung zwische Dipolen vernachlassigt. Tatsachlich kann starke Kopplungbestehen (Quanteneffekt)Berucksichtigt durch “Molekularfeldnaherung”Statt

B = µ0(H +M)

schreiben wirBeff = µ0(H + λM)

mit der Weiss-Konstante λ (∼ 103)Damit wird die Magnetisierung (hier fur Spin 1

2)

M = nµB tanh(µoµB(H + λM)

kBT)

M tritt auf der linken und rechten Seite der Gleichung auf; dies erzeugt eine ”Ruckkopplung”.Fur H = 0 (kein außeres Feld) lautet die Gleichung:

M = µBn tanh(µ0µBλM

kBT)

Falls diese Gleichung eine Losung mit M 6= 0 hat, tritt spontane Magnetisierung auf. Zum Losender Gleichung macht man die Ersetzungen

x =µ0µBλM

kBT

TC =µ0µ

2Bλn

kB

Damit lautet die Gleichung:T

TCx = tanh(x)

Sie hat keine analytische Losung, man kann sie aber graphisch losen:


-2 2

-1

1

T2>TC

x

tanh(x)

T1<TC

T1: 3 Losungen (x = a, 0,−a)T2: 1 Losung (x = 0)

Grenzfalle:

1. x→∞ (T → 0)TTCx = 1 ⇒ T kB

µ0µ2Bλn

µ0µBλMkBT

= 1⇒ M = nµB (alle Momente parallel)

2. x 1: (T v TC) tanh entwickeln:TTCx = x− x3

3

TTC

= 1− x2

3 ⇒ x =√

3(TC−T )TC

∼√TC − T

⇒ M ∼√TC − T (Wurzelfunktion!)

3. T > TC : x = 0⇒ M = 0

Zusammen:

0 1 T/TC

MTemperaturabhängigkeitder Magnetisierungeines Ferromagneten

nμ

TC : Curie-Temperatur

Beispiel:

Material Sattigung TCFe 1,7T 1043KCo 1,4T 1388KNi 0,49T 627K


3.1.3.1 Austauschwechselwirkung

Der Grund fur die parallele Ausrichtung von magnetischen Momenten (Elektronenspins) istnicht Dipol-Dipol-Wechselwirkung, sondern die Schwachung der Coulombabstoßung bei Elek-tronen mit parallelem Spin!

Pauli-Prinzip: Fermionen durfen jeden Zustand nur einfach besetzen.genauer: Die Gesamtwellenfunktion ist antisymmetrisch unter Teilchenaustausch:

Ψ(~r1s1, ..., ~risi, ..., ~rjsj , ..., ~rnsn) = −Ψ(~r1s1, ..., ~rjsj , ..., ~risi, ..., ~rnsn)~ri: Ortskoordinate, si: Spinkoordinate

Falls die Elektronen i und j im gleichen Zustand sind, gilt:

Ψ(~r1s1, ..., ~risi, ..., ~rjsj , ..., ~rnsn) = Ψ(~r1s1, ..., ~rjsj , ..., ~risi, ..., ~rnsn)

aus Ψ = −Ψ folgt Ψ = 0 ⇒ Dieser Zustand ist nicht erlaubt.

Betrachten Zwei-Elektronensystem:

Def.: Spinfunktion:α(1) Spin von Teilchen 1 zeigt nach obenβ(1) Spin von Teilchen 1 zeigt nach unten

Einfachster Fall: Gesamtwellenfuntkion kann als Produkt geschrieben werden:

Ψ = ϕ1(~r1)α(1) · ϕ2(~r2)β(2) = ϕ1(~r1)ϕ2(~r2)︸︷︷︸Ortswellenfkt.

α(1)β(2)︸︷︷︸Spinwellenfkt.

Wellenfunktion “antisymmetrisieren”:

1.Moglichkeit: Ortswellenfunktion ist symmetrisch, Spinwellenfunktion ist antisymmetrisch.

Ψ = (ϕ1(~r1)ϕ2(~r2) + ϕ1(~r2)ϕ2(~r1)) (α(1)β(2)− α(2)β(1))

Spins antiparallel: Singulett

2.Moglichkeit: Ortswellenfunktion ist antisymmetrisch, Spinwellenfunktion ist symmetrisch.

Ψ = (ϕ1(~r1)ϕ2(~r2)− ϕ1(~r2)ϕ2(~r1)) ·

α(1)α(2)

α(1)β(2) + α(2)β(1)β(1)β(2)

Spins parallel, “Triplett”

Symmetrie der Ortswellenfunktion hat Auswirkung auf die Coulombwechselwirkung der Elektronen.

Ohne QM: Wechselwirkung zweier Ladungsverteilungen

Ecoul =∫ ∫

ρ1(~r1)ρ2(~r2)1

4πε0 |~r2 − ~r1|d~r1d~r2

QM:

Einelektronenwellenfunktion: ϕ(~r)Aufenthaltswahrscheinlichkeit: |ϕ(~r)|2 = ϕ∗(~r)ϕ(~r)Ladungsdichte ρ(~r) = −e |ϕ(~r)|2Zweielektronenwellenfunktion: ψ(~r1, ~r2)Aufenthaltswahrscheinlichkeit: P (~r1, ~r2) = |ψ(~r1, ~r2)|2


Coulomb-Energie:

Ecoul =∫ ∫

ψ∗(~r1, ~r2)ψ(~r1, ~r2)e2

4πε0 |~r2 − ~r1|d~r1d~r2

Einsetzen der (normierten) Orts-Wellenfunktion

ψ =1√2

(ϕ1(~r1)ϕ2(~r2)± ϕ1(~r2)ϕ2(~r1))

Damit ergibt sich

Ecoul =12

∫ ∫ϕ∗1(~r1)ϕ1(~r1)ϕ∗2(~r2)ϕ2(~r2)

e2

4πε0 |~r2 − ~r1|d~r1d~r2

+12

∫ ∫ϕ∗2(~r1)ϕ2(~r1)ϕ∗1(~r2)ϕ1(~r2)

e2

4πε0 |~r2 − ~r1|d~r1d~r2

±12

∫ ∫ϕ∗1(~r1)ϕ2(~r1)ϕ∗2(~r2)ϕ1(~r2)

e2

4πε0 |~r2 − ~r1|d~r1d~r2

±12

∫ ∫ϕ∗2(~r1)ϕ1(~r1)ϕ∗1(~r2)ϕ2(~r2)

e2

4πε0 |~r2 − ~r1|d~r1d~r2

Die ersten und die letzten beiden Integrale sind bis auf die (arbitrare) Benennung der Varia-blen identisch. Damit erhalt man:

Ecoul =∫ ∫

ρ1(~r1)ρ2(~r2)1

4πε0 |~r2 − ~r1|d~r1d~r2±

∫ ∫ϕ∗1(~r1)ϕ2(~r1)ϕ∗2(~r2)ϕ1(~r2)

e2

4πε0 |~r2 − ~r1|d~r1d~r2

Der erste Term ist das klassische Coulomb-Integral, der zweite Term heisst ”Austausch-Integral”. Das negative Vorzeichen gilt fur die antisymmetrische Orts- und damit symmetrischeSpin-Wellenfunktion, d.h. fur parallelen Spin. Parallele Spin-Ausrichtung vermindert die elek-trostatische Abstossung und ist daher energetisch begunstigt!

Gilt genauso fur Vielelektronensysteme. Hier bildet sich ein ”Austauschloch” in der Elektro-nendichte um ein gegebenes Elektron herum:

mit Korellations-Wechsel-Wirkung

freies Elektronengas1

12

~?~1-2Å

Hartree-Fock

Ladungsdichte in der Umgebung eines Elektrons

3.1.3.2 Zustandsdichte von Ferro-Magneten

Normalerweise im Metall n(↑) = n(↓)


~ E

Zustandsdichte

Mit Austauschwechselwirkung: Elektronen wechseln von einer Seite zur anderen (durch Ande-rung ihres Spins):

~ E

Zustandsdichte

2EA

Da die Elektronen dabei Zustande hoherer kinetischer Energie besetzen, ist dies energetisch nurdann moglich, falls

1. die Austausch-Wechselwirkung stark ist

2. die Zustandsdichte bei der Fermi-Energie groß ist

Bei den reinen Elementen ist dies nur erfullt fur Fe, Co, Ni!

Diese haben die Elektronenstruktur:

FeCoNi

3d6

4s2 3d7

3d8Nickel hat beispielsweise folgende Zustandsdichte:

d

s

E

EF

d-Band besetzt

-leer; 0,54 e /Atom

Das d-Band ist mit 5 Elektronen (pro Atom) einer Spin-Richtung, aber nur 4.46 Elektronen deranderen Spinrichtung gefullt. Damit ergibt sich eine Magnetisierung von 0.54µB pro Atom.


3.1.3.3 Makroskopische Magnetisierung: Domanen

Bloch-Wand

Domäne

Domanenstruktur: Magnetische Feldenergie wird reduziert. Magnetisierung des Materials fin-det statt durch Veranderung der Domanen-Volumina, d.h. durch Verschiebung der ”Bloch-Wandeßwischen den Domanen. Die Bloch-Wande konnen an Gitterfehlern und anderen Storstel-len ”hangen”bleiben; das Uberwinden dieser Stellen erfordert ein starkeres Feld. Da dies auch inder umgekehrten Richtung gilt, bleibt die makroskopische Magnetisierung auch nach Abschal-ten des außeren Felds bestehen (Remanenz). Auf Null wird sie erst durch ein in Gegenrichtungangelegtes Feld gebracht (Koerzitivfeldstarke).

Magnetisierungskurve

Remanenz

Koerzitiv-feldstärke

M

H

Neukurve

reversibleWandverschiebung

„irreversible“Wandverschiebung

Typische Hysteresekurven:

hartmagnetisches Material:

H

M

weichmagnetisches Material:

H

M


3.2 Supraleitung

O

Hg

T4,2K

5~10

K. Onnes 1911Nb 9,2 K V, Al, Pd < 6 KNb3Al0,75Ge0, 25 20,7 KHochtemperatursupraleiterBa-Y-Cu-O T ≤ 120 K keramischWeitere Effekte: Meissner-Ochsenfeld-Effekt, Supraleiter ist ein perfekter Diamagnet

Normal-leitend Supraleiter

B

Grund: Kreisstrome, die das außere Feld kompensieren

3.2.1 Ursache der Supraleitung: Cooper-Paare

Endliche Leitfahigkeit von Metallen wird erzeugt von inelastischer Elektron-Elektron- und Elektron-Phonon-Streuung:Supraleitung: Elektronen bilden Paare mit Spin 0.Paare sind Bosonen:⇒ Bei T → 0K besetzten alle Paare den untersten k-Zustand. (gleiche Wellenfunktion: kannStromungsrichtung haben!)Mechanismus: Cooper: In einem Elektronensystem bei T0 = K fuhrt jede noch so kleine attrak-tive Wechselwirkung zur Paarbildung.

Wechselwirkung uber Phononen:


+ + +

+ + +

+ + +

F -e

Ionen

Elektron erzeugt Kraftstoß auf Ionen

↓ τ

+ + +

+ + +

+ + +-e

+ +

+ +

+ +

+ + + + +

Verursacht Deformation nach 14 Schwingungsmode

⇒ Positive Ladungsdichte

⇒ Fuhrt zu Paaren von Elektronen mit ~k und ~−k und Spin ↑ und Spin ↓

k

k’

k

k’

Fermikugel

Streuprozess durch ein“Virtuelles Phonon”

Streuprozess durch “virtuelles Phonon”Bindungsenergie der Paare: ε ∼ 1meVErwarmung uber Tc ∼ ε

kBfuhrt zur thermischen Dissoziation der Cooper Paare⇒ Supraleitung

bricht zusammen.

Es glit (BSC-Theorie) Tc > 1, 14TDe− 1UD(EF ) (U:Elektron-Phonon-Kopplungskonstante)

Die Sprungtemperatur ist umso hoher je:

• hoher TD (hohere Phononenenergie)

• hoher D(EF ) (mehr Moglichkeiten fur ~k,−~k-Paare)

• hoher U (starke Kopplung (schlechte Leitfahigkeit bei Raumtemperatur) fuhrt zu hohen Tc)

Dissoziation der Cooper-Paare ist sichtbar in der Warmekapazitat:

3

2

1

-310 J/(mol K)

CV

T =1,2KC

T

Energie, die manbraucht um CooperPaare aufzubrechen

normal leitend(mit B-Feld)

ebenso im Absorptionsspektrum


freie Elektronen

Grundzustand (Supraleiter)

Bandlücke

E

Absorption von Licht(Ferninfrarot)

Abs

h?E GrenzenergieC

3.2.2 Josephson-Effekte

Zeigen ausgedehnte Quantenstruktur der Supraleitung. Alle Wellenfunktionen werden mit einereinzigen Wellenfunktion beschrieben.

Josephson-Kontakt:

1 2

DünnerIsolator

U

I

Supraleiter

Wellenfunktionen:

Ψ1 =√n1e

iθ1

Ψ2 =√n2e

iθ2

Keine Ortsabhangigkeit, nur Phase

Man kann zeigen, dass der Strom 1→2 gegeben ist durch

I = I0sin(θ2 − θ1) ohne angelegte Spannung

Stromfluss ohne Spannung: (Richtung je nach Phasendifferenz)

Mit angelegter Spannung: 1 und 2 haben unterschiedliches Potenzial, daher verschiedene Zeit-abhangigkeit von θ1 und θ2:

θ2 − θ1 = −2 eU~ t

Damit wird der Strom: I = I0sin((θ2 − θ1)− 2eU

~t)

Strom oszilliert mit Frequenz 2eU~ ! (bei 10µV : ν = 4835Mhz)

Dient zur Bestimmung von e~ !

Zusammenfassung

DC-Josephson-Effekt: Strom zwischen Supraleitern mit Tunnelkontakt ohne Spannung

AC-Josephson-Effekt: Oszillierender Strom bei angelegter Spannung


3.2.3 Typ 2 Supraleiter

Normaler Supraleiter (Typ 1): B-Feld im inneren komplett verdrangt, bricht zusammen bei kri-tischem Feld (∼ 0, 1T )

BC

B

J

Beispiel:Nb: 0,2TPb: 0,08TAl:0,01T

Typ1 Supraleiter sind nicht geeignet fA14r technische Anwendung!(Erzeugung starker b-Felder)

Typ2 Supraleiter

B

Magnetfeld kann durch normalleitende “Schlauche” eindrin-gen.⇒ energetisch gunstiger

⇒ Zusammenbruch der Supraleitung erst bei viel hoheren Temperaturen ( wenn sich die Schlau-che “beruhren”)

Bc1Bc2

B

Eindringen desB-Feldes

J

Leifahigkeit bleibt unendlich bis Bc2 !Beispiel:NbTi: 13TNb3Sn: 20T

Verwendet fur Supraleitende Magnete (z.B. Kernspintomographie)


3.2.4 Hochtemperatursupraleiter

Neue Art keramische Supraleiterz.B. YBa2Cu3O7 TC = 95 K, BC2 > 100 T

HgBa2Can−1CunO2(n+2) TC bis 135 K

Kuhlung mit flussigem Stickstoff moglich!Aber: sehr schwer zu verarbeiten

Experimentalphysik IV Festk orperphysik · Kapitel 1 Atomarer Aufbau der Materie 1.1...

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