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  • Extremwertberechnung durch die Kraft elementarer Methoden

    Mathias Koczor

    Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Mathematische Modellierung(Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thter)

    Zusammenfassung: Auf die Frage wie man Extremwertaufgaben lsen kann, antworten

    die meisten Schler: "Mit Hilfe der Ableitung." Die Mglichkeiten, eine Extremwertaufgabe

    zu lsen, sind fr einen Schler also sehr begrenzt. Den Schlern fehlt die Fhigkeit, eine

    Extremwertaufgabe ohne funktionalen Zusammenhang zu lsen. Dadurch sind sie oft gezwun-

    gen, eine vermeintlich einfache Aufgabe mit einem komplizierten Rechenweg zu lsen, anstatt

    einfach einen anderen Rechenweg einzuschlagen. Durch diese in der Schule verbreitete, ein-

    seitige Rechenmethode geht den Schlern die Fhigkeit verloren, nach anderen und besseren

    Lsungsmethoden zu suchen. In dieser Arbeit soll versucht werden, die Kraft elementarer, das

    heit nichtanalytischer Methoden vorzustellen, um die Vielfalt der mglichen Lsungsmetho-

    den beziehungsweise Lsungsanstze fr Extremwertaufgaben zu verdeutlichen. Gerade die

    elementaren Methoden verdienen eine besondere Aufmerksamkeit, denn die Reichweite dieser

    Methoden fr Extremwertprobleme ist betrchtlich.

  • Inhaltsverzeichnis

    1 Einleitung 3

    2 Bedeutende Mathematiker 42.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Augustin Louis Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Karl Weierstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Pierre de Fermant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    3 Zwei elementare Lsungsmethoden 73.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Die Symmetrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Die Mittelungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    4 Resmee 14

    Abbildungsverzeichnis

    1.1 Zaunaufgabe in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verstndlich unterrichten, S. 181 . . . . . . . 33.1 Aufgabenstellung B. 1 in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verstndlich unterrichten, S. 181 . . 73.2 Quadrat und Rechteck in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verstndlich unterrichten, S. 190 . . 93.3 Gespiegeltes Quadrat in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verstndlich unterrichten, S. 190 . . . 93.4 Lsung des Beweises in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verstndlich unterrichten, S. 191 . . . 103.5 Aufgabenstellung B. 2 in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verstndlich unterrichten, S. 182 . . 103.6 Geometrische Deutung der Mittelungleichung (Hhensatz) in: R. Danckwerts,

    D. Vogel: Analysis verstndlich unterrichten, S. 179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.7 Kugel mit einbeschriebenem Kegel in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verstndlich unter-

    richten, S. 183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

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  • 1 Einleitung

    Kein Schler, der das Abitur macht, kommt heute um die Analysis und um die Ex-tremwertproblematik herum. Besonders in der Oberstufe wird das Thema xtremwert-berechnung" sehr ausfhrlich behandelt. Oft lernen die Schler Extremwertaufgabenerst in der Oberstufe in Form von Kurvendiskussionen kennen. Dabei muss ein Schlereinen Hochpunkt oder Tiefpunkt einer Funktion berechnen. Extremwertprobleme fan-gen jedoch nicht erst mit der abstrakten Kurvendiskussion an, sondern nden sich invielen Alltagsprobleme wieder.

    Beispiel 1.:Mit einem 24 Meter langen Zaun soll von einem am Wasser gelegenen Grundstck einmglichst groes rechteckiges Areal abgegrenzt werden (s. Bild).

    Abbildung 1.1: Zaunaufgabe in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verstndlich unterrichten, S. 181

    Auf den ersten Blick erscheint die Aufgabe sehr simpel. Die Art und Weise, wie diemeisten Schler diese Aufgabe jedoch lsen wrden, wre kompliziert und langwierig.Die meisten Schler lernen in der Schule derartige Aufgaben in einen funktionellenZusammenhang zu setzen, um sie dann mit Hilfe der Analysis zu berechnen.Eine einfache geometrische Aufgabe wird also in einen komlizierten und abstraktenKontext gesetzt und gelst. Der Inhalt der Aufgabe geht dabei vllig verloren!Ohne Zweifel ist die Analysis sehr wichtig fr die Mathematik und nimmt zurecht einengroen Teil des Mathematikunterrichts in Anspruch. Jedoch muss man sich fragen, obes berhaupt Sinn macht die Schler Extremwertaufgaben nur mit Hilfe der Analysisausrechnen zu lassen, oder ob es nicht besser wre, den Schlern andere Methodennher zu bringen.In dieser Arbeit sollen nun derartige Methoden vorgestellt werden und nach der Prak-tizierbarkeit im Mathematikunterricht gefragt werden.

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  • 2 Bedeutende Mathematiker

    2.1 Vorbemerkung

    Die historische Entwicklung der Mathematik ndet in der Schule kaum Platz. Andersals in vielen anderen Fchern werden in der Mathematik bedeutende Personen kaumoder gar nicht erwhnt. Den Schlern wird hauptschlich der mathematische Inhaltvermittelt. Dadurch bleibt den Schlern viel Wissen verwehrt. Sie erfahren nicht, dassdie Mathematik eine Jahrtausende alte Geschichte hinter sich hat. Neben dem mathe-matischen Inhalt sollte den Schlern auch die historische Entwicklung des behandel-ten Stoes vermittelt werden. Dadurch wrden die Schler ein anderes Verhltnis zurMathematik entwickeln. Sie wrden nicht nur erfahren, wie sich die Mathematik ent-wickelte, sondern auch erkennen, dass die Mathematik eine Wissenschaft ist, die nochlange nicht abgeschlossen ist.Gerade im Themenbereich der Extremwertproblematik kann man die historische Ent-wicklung gut auf den Unterricht bertragen. Den Schlern sollte klar gemacht werden,dass die Analysis noch sehr jung ist und dass es frher andere Lsungsmethoden gabum Extremwertaufgaben zu lsen. Aber nicht nur die historische Entwicklung sollteihren Platz im Mathematikunterricht nden, sondern auch die Personen, die die Ma-thematik entscheidend prgten.In diesem Abschnitt soll das Leben von drei Mathematiker kurz beschrieben werden.Zum einen Augustin Louis Cauchy und Karl Weierstra, die die Analysis entscheidendweiter entwickelten, und zum anderen Pierre Fermat, der die Werke von Euklid nichtnur ins moderne bertrug, sondern auch weiterentwickelte. Durch seine Arbeit habenwir eine groe Sammlung an elementaren Methoden, mit denen wir Extremwertaufga-ben berechnen knnen.

    2.2 Augustin Louis Cauchy

    Augustin Louis Cauchy wurde am 21. August 1789 in Paris geboren. Sein Vater Louis-Francois war streng katholisch und der Monarchie treu ergeben. Zum Zeitpunkt der Er-strmung der Bastille am 14. Juli 1789 war er die rechte Hand des Lieutenant Gnralder Pariser Polizei. Nach der geglckten Revolution und dem Fall des Knigs mussteLouis-Francois mit seiner Familie nach Arcueil iehen, wo sie in Armut und Hungerlebten. Wenige Wochen spter wurde Augustin Louis geboren. Nach dem Ende derTerrorherrschaft kehrte die Familie nach Paris zurck, Louis-Franois machte wiederKarriere und wurde schlielich nach dem Staatsstreich Napoleons Generalsekretr desSenats. Das fhrte zu einer engen Bekanntschaft mit dem damaligen InnenministerPierre-Simon Laplace und dem Senator Joseph-Louis Lagrange, die zwei bedeutends-ten Mathematiker der damaligen Zeit. Sie erkannten bereits frh das mathematischeTalent von Louis-Franoises Sohn, so soll etwa Lagrange gesagt haben:

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  • Eines Tages wird dieser Junge uns simple Geometer alle bertreen.

    und riet seinem Vater:

    Lassen Sie dieses Kind vor dem siebzehnten Lebensjahr kein mathematisches Buchanrhren. Wenn Sie sich nicht beeilen, ihm eine grndliche literarische Erziehung zugeben, so wird ihn seine Neigung fortreissen. Er wird ein grosser Mathematiker werden,aber kaum seine Muttersprache schreiben knnen.

    Auf Anraten von Lagrange lernte Cauchy zunchst klassische Sprachen, was ihn aufeine weitere Mathematikausbildung vorbereiten sollte. 1805 absolvierte er die Aufnah-meprfung fr die cole Polytechnique. In Paris waren die Studenten alles andereals unpolitisch. Whrend die meisten revolutionr und liberal eingestellt waren, tratCauchy der Kongregation bei, dem weltlichen Arm der Jesuiten. Er blieb dort Mitglied,bis sie 1828 faktisch verboten wurde. Nach zwei Pichtstudienjahren verlie er die Uni-versitt im Januar 1810 als aspirant-ingnieur. Es folgen turbulente Jahre fr Cauchy.Sein sozialer Auf- und Abstieg war unmittelbar mit der Staatsordnung verbunden. ImNovember 1815 erhielt er eine Stelle als Assistenzprofessor an der cole Polytechni-que und bereits im Dezember eine volle Professur. Im Juli 1830 wurde der reaktionreKnig Karl X. gestrzt und durch den liberalen Brgerknig Louis Philippe ersetzt.Augustin Louis Cauchy war ein treuer Anhnger der Monarchie und verlie nach demSturz des Knigs die Stadt und lie seine Familie zurck. Eine Rckkehr nach Frank-reich setzte einen Treueschwur auf das neue Regime voraus, was fr ihn nicht in Fragekam. So blieb Cauchy nichts anderes als das Exil fern von seiner Familie. Erst nachder Februarrevolution von 1848, die den Brgerknig Louis-Philippe strzte, kehrteCauchy wieder zu seine Familie und erhielt 1849 seine Professur zurck. Er starb 1857in Sceaux bei Paris im Kreis seiner Familie.

    2.3 Karl Weierstra

    Karl Weierstra wurde am 31. Oktober 1815 in Ostenfelde bei Ennigerloh/Mnsterlandgeboren. Sein Vater Wilhelm war Steuerinspektor in Preuen. Von 1834 bis 1838 stu-dierte Karl Weierstra auf Wunsch seines Vaters in Bonn Rechtswissenschaften undFinanzwesen als Vorbereitung auf eine Laufbahn als preuischer Verwaltungsbeam-ter. Nebenbei las er aber Werke von Laplace, Abel und Jacobi, was ihn in seinerHinwendung zur Mathematik bestrkte. Nachdem er 1838 die Universitt Bonn oh-ne Abschluss verlie, konnte er seinen Vater berzeugen, ihn von 1838 bis 1840 ander Akademie Mnster Mathematik und Physik studieren zu lassen. Nach bestande-nen Examina wurde Weierstra Lehrer. 1841/42 unterrichtete er zunchst an einemGymnasien in Mnster. Neben Mathematik unterrichtete er auch die verschiedenstenanderen Fcher wie Physik, Botanik und Turnen. Mit dem letztgenannten Fach hattees eine besondere Bewandtnis. Er hatte in jungen Jahren selbst geturnt und reiste EndeJuli 1844 nach Berlin und bildete sich dort zum Turnlehrer aus. In vlliger Isolation vonder mathematischen Welt arbeitete er intensiv an seiner Theorie der Abelschen Funk-

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  • tionen und publizierte in der Zeitschrift seiner Schule. Aufmerksamkeit erregte abererst ein Aufsatz in Crelles Journal 1854 zur Theorie der Abelschen Funktionen, dem1856 eine ausfhrlichere Arbeit folgte. Als Folge erhielt er im selben Jahr die Ehren-doktorwrde der Universitt Knigsberg und wurde 1856 Professor an der UniversittBerlin. In Berlin bildete sich bald eine groe Schule um ihn. Mehr noch als durch sei-ne Verentlichungen wirkte er durch die zahlreichen weit zirkulierenden Mitschriftenseiner Vorlesungen durch seine Studenten. Er wurde als Mensch sehr geachtet und er-langte unter seinen Kollegen, Schlern und Studenten eine groe Beliebtheit Zu seinem70. Geburtstag wurde ihm als Zeichen der Verehrung und Dankbarkeit ein Fotoalbummit Portrts vieler seiner Schler, Freunde und Kollegen berreicht. Er starb am 19.Februar 1897 in Berlin an einer Lungenentzndung.

    2.4 Pierre de Fermant

    Als Geburtsdatum galt lange Zeit der 17. August 1601; neuere Recherchen haben je-doch ergeben, dass Fermat Ende 1607 oder Anfang 1608 geboren wurde. Der am 17.August 1601 in Beaumont de Lomagne geborene Pierre de Fermat soll ein frh ver-storbener Halbbruder gewesen sein. Man ist sich jedoch in der Forschung darber nichtganz einig. Fermat studierte von 1623 bis 1626 Zivilrecht an der Universitt Orlansund schloss dieses Studium im Juli 1626 ab. Im selben Jahr noch lie er sich als Anwaltam parlement de Bordeaux nieder, wo er bis Ende 1630 blieb. Dann kaufte er das Amteines conseiller au parlement de Toulouse und wurde am 14. Mai 1631 in diesem Amtvereidigt. Neben diesem Amt widmete er sich der Mathematik und kam zu groen zah-lentheoretischen Entdeckungen. In der Zeit von 1643 bis 1653 wurde er jedoch durch dieVerpichtungen seines Amts als conseiller so sehr in Anspruch genommen, dass ihmpraktisch keine Zeit fr seine mathematischen Forschungen blieb. 1652 wurde er andas oberste Strafgericht befrdert und musste sich unter anderem mit Bauernaufstn-den und heftigen kriegerischen Konikten auseinander setzen. Er erarbeitete sich alsAnwalt groe Anerkennung. Unter anderem verhinderte Fermat durch mutigen persn-lichen Einsatz die Zerstrung seiner Heimatstadt Beaumont durch knigliche Truppen.Pierre de Fermat starb am 12. Januar 1665 in Castres.

    2.5 Zusammenfassung

    Vergleicht man die Lebensablufe der drei Mathematiker, so stellt man fest, dass siesehr unterschiedlich waren. So unterschiedich ihre Leben auch waren, die Liebe undFaszination fr die Mathematik war den dreien gemeinsam. Anhand dieser drei Mathe-matiker kann man gut sehen, wie unterschiedlich die Personen waren, die die Mathe-matik prgten. Zur Mathematik gehren also nicht nur Zahlen und Formeln, sondernvor allem Menschen, die durch ihre Liebe zur Mathematik die Welt vernderten.

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  • 3 Zwei elementare Lsungsmethoden

    3.1 Vorbemerkung

    Extremwertaufgaben ohne Analysis, d.h. ohne einen funktionalen Zusammenhang zulsen, erfordert hug eine besondere Idee. Erfahrene Mathematiker, die Extremwert-aufgaben nicht mit Hilfe der Analysis lsen, verfgen ber ein groes Repertoire anLsungsmethoden. Elementare Methoden sind nur ein Weg um Extremwertaufgabenzu lsen. Ihre Vielfalt und Ranesse ist jedoch enorm.Es werden im Folgenden nun zwei solcher Lsungsmethoden vorgestellt: das Symme-trisieren und der Einsatz der Mittelungleichung.

    3.2 Die Symmetrisierung

    Durch die Symmetriesierung besteht die Mglichkeit, eine Extremwertaufgabe in einenneuen, bereits bekannten Kontext zu stellen. Dadurch wird das Ergebnis augenschein-lich klar und simpel.

    Beispiel 1:Mit einem 24 Meter langen Zaun soll von einem am Wasser gelegenen Grundstck einmglichst groes rechteckiges Areal abgegrenzt werden (s. Bild).

    Abbildung 3.1: Aufgabenstellung B. 1 in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verstndlich unterrichten, S. 181

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  • Durch die Spiegelung an der Uferlinie hat man das Grundstck und damit den Umfangund die Flche verdoppelt. Die Aufgabenstellung hat sich dadurch zwar nur gering,aber entscheidend gendert. Wir suchen nun unter allen umfangsgleichen Rechteckendasjenige mit der grten Flche. Die Lsung ist das Quadrat, also ist das gesuchteGrundstck doppelt so lang wie breit.

    Beweis

    Es gibt viele Mglichkeiten zu beweisen, dass das Quadrat unter allen umfangsgleichenRechtecken das grte ist. Es soll nun im folgenden ein analytischer Beweis wie auchein geometrischer Beweis vorgestellt werden.

    1. analytischer BeweisZunchst stellt man die Umfangs- und Flchenformel eines Rechtecks auf:

    Der Umfang U = 2a+ 2bDie Flche A = a b

    Als nchstes setzt man die beiden Gleichungen gleich und erhlt:

    Ub2 b2 = A

    Im nchsten Schritt wird die Gleichung als Funktion aufgefasst, abgeleitet und Nullgesetzt.

    A(b) = U2 2b

    0 = U2 2b

    2b = U2

    b = U4

    a = U4

    Das gesuchte Rechteck ist ein Quadrat.

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  • 2. geometrischer Beweis

    Abbildung 3.2: Quadrat und Rechteck in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verstndlich unterrichten, S. 190

    Das obige Quadrat (fett umrandet) und das Rechteck haben denselben Umfang, aberder Inhalt des Rechtecks ist um das kleine Quadrat kleiner.Erweitern man nun die Figur durch eine Spiegelung an der gestrichelten Linie (s. Bild),so erkennt man die Gleichheit der Flchen.

    I + II + II' und I' + II' + III'(Rechteck)(Quadrat ohne das kleine Quadrat)

    Abbildung 3.3: Gespiegeltes Quadrat in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verstndlich unterrichten, S. 190

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  • Nun zeichnen wir die entscheidende Diagonale ein (s. Bild) Der Punkt F rutscht auf

    Abbildung 3.4: Lsung des Beweises in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verstndlich unterrichten, S. 191

    der Diagonalen DB entlang mit dem Ergebnis, dass jedes Rechteck mit der DiagonalenAF (F 6= D) kleiner ist als das Quadrat mit der Diagonalen AD.

    Begrndung : Das Rechteck mit der Diagonalen AF ist genauso gro wie das QuadratI + II' + III' und dieses ist kleiner als das volle Quadrat mit der Diagonalen DB oderAD.

    Beispiel 2:An einer Bahnlinie ist der Standort eines Bahnhofs so zu whlen, dass die Summe derEntfernungen von A und B minimal wird (s. Bild).

    Abbildung 3.5: Aufgabenstellung B. 2 in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verstndlich unterrichten, S. 182

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  • Den Standort P fr den Bahnhof ndet man, indem man einen der Punkte A oder Ban dem Bahngleis spiegelt und den gespiegelten Punkt zum Beispiel B mit A geradlinigverbindet. Auch in diesem Beispiel wird das Problem durch die Symmetrisierung aufein bereits bekanntes Problem, nmlich dass die krzeste Verbindung zwischen zweiPunkten die Gerade ist, zurckgefhrt. Unser Standort P ist nun der Schnittpunktzwischen der Geraden AB und der Bahnlinie.

    Zusammenfassung

    Wie bereits schon erwhnt basiert die Methode der Symmetrisierung darauf, dass maneine Extremwertaufgabe in einen bereits gelsten Kontext berfhrt. Dabei bleibt mansehr nahe an dem eigentlichen Problem der Aufgabe und erhlt dadurch eine direkteEinsicht. Um jedoch diese Methode anwenden zu knnen, muss man ber viel Vor-wissen verfgen. Ansonsten wrde man das Extremwertproblem nur auf ein anderesberfhren, dass man ebenfalls nicht lsen kann.

    3.3 Die Mittelungleichung

    Die Mittelungleichung ist eine Ungleichung zwischen dem geometrischen und arithme-tischen Mittel. Fr beliebige Zahlen x, y 0 gilt die Ungleichung

    xy) x+y

    2

    Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn x = y ist.

    Beweis

    Zur Hilfe betrachten wir das folgende Schaubild

    Abbildung 3.6: Geometrische Deutung der Mittelungleichung (Hhensatz) in: R. Danckwerts,D. Vogel: Analysis verstndlich unterrichten, S. 179

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  • Klar zu erkennen ist, dass das arithmetische Mittel auf der rechten Seite genau derRadius ist. Nicht auf den ersten Blick zu erkennen ist, dass das geometrische Mittel aufder linken Seite die Hhe ist. Dies kann man jedoch mit Hilfe des Satz des Pythagorasschnell zeigen.

    Sei a die Diagonale des Dreiecks mit den zwei weiten Seiten y undxy = h, b die

    Diagonale des linken Dreiecks mit den zwei weiteren Seiten x und x+y2

    und c = x + y,so gilt:

    a2 = h2 + x2;

    b2 = h2 + y2;

    c2 = a2 + b2

    Durch das Einsetzen erhlt man

    (x+ y)2 = h2 + x2 + h2 + y2

    y2 + 2xy + x2 = h2 + x2 + h2 + y2

    2xy = 2h2

    xy = h

    Klar an der Abbildung zu erkennen ist auch, dass die Seitenxy und x+y

    2genau dann

    bereinstimmen, wenn sie zusammenfallen. Also genau dann, wenn x = y ist.

    Beispiel 1:So lst die Mittelungleichung auch unseren Beweis, dass das Quadrat unter allen um-fangsgleichen Rechtecken das chengrte ist.

    Sind x und y die beiden Rechteckseiten, dann ist x+y2

    ein Viertel des Umfangs undsomit konstant. Der Flcheninhalt x y ist also genau dann maximal, wenn bei derUngleichung das Gleichheitszeichen gilt, d.h. wenn x = y ist.

    Bemerkung 3.1 Diese Ungleichung lsst sich ohne Weiteres fr mehrere Variablenformulieren. Somit gilt fr dre Variablen: Fr beliebige Zahlen x, y, z 0 gilt die Un-gleichung

    3xyz x+y+z

    3

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  • Beispiel 2:In eine Kugel soll ein Kegel mit dem maximalen Volumen einbeschrieben werden.

    Abbildung 3.7: Kugel mit einbeschriebenem Kegel in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verstndlichunterrichten, S. 183

    Lsung

    Das Kegelvolumen ist zu maximieren

    V = 13r2h

    unter der Nebenbedingung (Hhensatz)

    r2 = h(2R h)

    also

    V = 13h (2R h) h

    Durch eine kleine Umformung erreicht man, dass drei (variable) Faktoren entstehen,deren Summe konstant ist

    V = 43 h

    2 (2R h) h

    2

    Die drei letzten Faktoren haben die konstante Summe 2R. Ihr Produkt ist wird alsogenau dann maximal, wenn

    h2

    = 2R = h2

    h = 43R

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  • Bemerkung 3.2 In diesem Verfahren werden die zwei Objekte (Kugel und Kegel)nicht mehr direkt als geometrische Objekte miteinander verglichen, sondern werdendurch die Mittelungleichung in ein algebraischen Kontext gesetzt.

    3.4 Zusammenfassung

    Der Gebrauch der Mittelungleichung zur Lsung von Extremwertaufgaben erscheint aufden ersten Blick sehr schwierig und kompliziert. Anders als bei der Symmetrisierungfllt das Ergebnis nicht sofort ins Auge und das Inhaltliche geht verloren. Jedoch istdie Reichweite dieser Methode enorm. Die Mittelungleichung ist eine der abstrakterenelementaren Methoden. Es ist eine Frage der bung, bis man diese Methode sicherbeherrscht. Wenn man dies tut sind die Mglichkeiten zum Lsen von Extremwertauf-gaben enorm.

    4 Resmee

    Zu den elementaren Lsungsmethoden gehren geometrische und algebraische Verfah-ren. Das Einbeziehen elementarer Methoden in den Mathematikunterricht bietet einegute Mglichkeit, Extremalprobleme bereits in der Unterstufe kennen zu lernen undlsen zu knnen. Dies bietet fr Schler viele Vorteile. Zum Einen lernen die Schler dieVielseitigkeit der Geometrie und der Algebra kennen. Sie lernen, dass die Geometrienicht nur angewendet wird, um zum Beispiel den Flcheninhalt eines Dreicks oder dasVolumen eines Zylinders zu berechnen, sondern auch, um Extremalaufgaben zu berech-nen oder etwas zu beweisen. Zum Anderen kennen die Schler in der Oberstufe dannbereits Extremalaufgaben und knnen ihr bis dahin erworbenes Wissen mit einbringen.Auerdem erlangt man dadurch ein groes Repertoire an Lsungsmethoden.

    Literatur

    [1] D. Struik: Abri der Geschichte der Mathematik, Braunschweig 1967.

    [2] G. Kowalewski: Grosse Mathematiker, Mnchen-Berlin 1939.

    [3] H. Meschkovski: Denkweisen groer Mathematiker, Braunschweig 1990.

    [4] R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verstndlich unterrichten, Mnchen 2006.

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