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Extremwertberechnung durch die Kraft elementarer Methoden

Mathias Koczor

Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Mathematische Modellierung

(Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter)

Zusammenfassung: Auf die Frage wie man Extremwertaufgaben lösen kann, antworten

die meisten Schüler: "Mit Hilfe der Ableitung." Die Möglichkeiten, eine Extremwertaufgabe

zu lösen, sind für einen Schüler also sehr begrenzt. Den Schülern fehlt die Fähigkeit, eine

Extremwertaufgabe ohne funktionalen Zusammenhang zu lösen. Dadurch sind sie oft gezwun-

gen, eine vermeintlich einfache Aufgabe mit einem komplizierten Rechenweg zu lösen, anstatt

einfach einen anderen Rechenweg einzuschlagen. Durch diese in der Schule verbreitete, ein-

seitige Rechenmethode geht den Schülern die Fähigkeit verloren, nach anderen und besseren

Lösungsmethoden zu suchen. In dieser Arbeit soll versucht werden, die Kraft elementarer, das

heiÿt nichtanalytischer Methoden vorzustellen, um die Vielfalt der möglichen Lösungsmetho-

den beziehungsweise Lösungsansätze für Extremwertaufgaben zu verdeutlichen. Gerade die

elementaren Methoden verdienen eine besondere Aufmerksamkeit, denn die Reichweite dieser

Methoden für Extremwertprobleme ist beträchtlich.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Bedeutende Mathematiker 42.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Augustin Louis Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Karl Weierstraÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Pierre de Fermant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Zwei elementare Lösungsmethoden 73.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Die Symmetrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Die Mittelungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Resümee 14

Abbildungsverzeichnis

1.1 Zaunaufgabe in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten, S. 181 . . . . . . . 33.1 Aufgabenstellung B. 1 in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten, S. 181 . . 73.2 Quadrat und Rechteck in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten, S. 190 . . 93.3 Gespiegeltes Quadrat in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten, S. 190 . . . 93.4 Lösung des Beweises in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten, S. 191 . . . 103.5 Aufgabenstellung B. 2 in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten, S. 182 . . 103.6 Geometrische Deutung der Mittelungleichung (Höhensatz) in: R. Danckwerts,

D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten, S. 179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.7 Kugel mit einbeschriebenem Kegel in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verständlich unter-

richten, S. 183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

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1 Einleitung

Kein Schüler, der das Abitur macht, kommt heute um die Analysis und um die Ex-tremwertproblematik herum. Besonders in der Oberstufe wird das Thema Ëxtremwert-berechnung" sehr ausführlich behandelt. Oft lernen die Schüler Extremwertaufgabenerst in der Oberstufe in Form von Kurvendiskussionen kennen. Dabei muss ein Schülereinen Hochpunkt oder Tiefpunkt einer Funktion berechnen. Extremwertprobleme fan-gen jedoch nicht erst mit der abstrakten Kurvendiskussion an, sondern �nden sich invielen Alltagsprobleme wieder.

Beispiel 1.:Mit einem 24 Meter langen Zaun soll von einem am Wasser gelegenen Grundstück einmöglichst groÿes rechteckiges Areal abgegrenzt werden (s. Bild).

Abbildung 1.1: Zaunaufgabe in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten, S. 181

Auf den ersten Blick erscheint die Aufgabe sehr simpel. Die Art und Weise, wie diemeisten Schüler diese Aufgabe jedoch lösen würden, wäre kompliziert und langwierig.Die meisten Schüler lernen in der Schule derartige Aufgaben in einen funktionellenZusammenhang zu setzen, um sie dann mit Hilfe der Analysis zu berechnen.Eine einfache geometrische Aufgabe wird also in einen komlizierten und abstraktenKontext gesetzt und gelöst. Der Inhalt der Aufgabe geht dabei völlig verloren!Ohne Zweifel ist die Analysis sehr wichtig für die Mathematik und nimmt zurecht einengroÿen Teil des Mathematikunterrichts in Anspruch. Jedoch muss man sich fragen, obes überhaupt Sinn macht die Schüler Extremwertaufgaben nur mit Hilfe der Analysisausrechnen zu lassen, oder ob es nicht besser wäre, den Schülern andere Methodennäher zu bringen.In dieser Arbeit sollen nun derartige Methoden vorgestellt werden und nach der Prak-tizierbarkeit im Mathematikunterricht gefragt werden.

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2 Bedeutende Mathematiker

2.1 Vorbemerkung

Die historische Entwicklung der Mathematik �ndet in der Schule kaum Platz. Andersals in vielen anderen Fächern werden in der Mathematik bedeutende Personen kaumoder gar nicht erwähnt. Den Schülern wird hauptsächlich der mathematische Inhaltvermittelt. Dadurch bleibt den Schülern viel Wissen verwehrt. Sie erfahren nicht, dassdie Mathematik eine Jahrtausende alte Geschichte hinter sich hat. Neben dem mathe-matischen Inhalt sollte den Schülern auch die historische Entwicklung des behandel-ten Sto�es vermittelt werden. Dadurch würden die Schüler ein anderes Verhältnis zurMathematik entwickeln. Sie würden nicht nur erfahren, wie sich die Mathematik ent-wickelte, sondern auch erkennen, dass die Mathematik eine Wissenschaft ist, die nochlange nicht abgeschlossen ist.Gerade im Themenbereich der Extremwertproblematik kann man die historische Ent-wicklung gut auf den Unterricht übertragen. Den Schülern sollte klar gemacht werden,dass die Analysis noch sehr jung ist und dass es früher andere Lösungsmethoden gabum Extremwertaufgaben zu lösen. Aber nicht nur die historische Entwicklung sollteihren Platz im Mathematikunterricht �nden, sondern auch die Personen, die die Ma-thematik entscheidend prägten.In diesem Abschnitt soll das Leben von drei Mathematiker kurz beschrieben werden.Zum einen Augustin Louis Cauchy und Karl Weierstraÿ, die die Analysis entscheidendweiter entwickelten, und zum anderen Pierre Fermat, der die Werke von Euklid nichtnur ins moderne übertrug, sondern auch weiterentwickelte. Durch seine Arbeit habenwir eine groÿe Sammlung an elementaren Methoden, mit denen wir Extremwertaufga-ben berechnen können.

2.2 Augustin Louis Cauchy

Augustin Louis Cauchy wurde am 21. August 1789 in Paris geboren. Sein Vater Louis-Francois war streng katholisch und der Monarchie treu ergeben. Zum Zeitpunkt der Er-stürmung der Bastille am 14. Juli 1789 war er die rechte Hand des Lieutenant Généralder Pariser Polizei. Nach der geglückten Revolution und dem Fall des Königs mussteLouis-Francois mit seiner Familie nach Arcueil �iehen, wo sie in Armut und Hungerlebten. Wenige Wochen später wurde Augustin Louis geboren. Nach dem Ende derTerrorherrschaft kehrte die Familie nach Paris zurück, Louis-François machte wiederKarriere und wurde schlieÿlich nach dem Staatsstreich Napoleons Generalsekretär desSenats. Das führte zu einer engen Bekanntschaft mit dem damaligen InnenministerPierre-Simon Laplace und dem Senator Joseph-Louis Lagrange, die zwei bedeutends-ten Mathematiker der damaligen Zeit. Sie erkannten bereits früh das mathematischeTalent von Louis-Françoises Sohn, so soll etwa Lagrange gesagt haben:

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�Eines Tages wird dieser Junge uns simple Geometer alle übertre�en.�

und riet seinem Vater:

�Lassen Sie dieses Kind vor dem siebzehnten Lebensjahr kein mathematisches Buchanrühren. Wenn Sie sich nicht beeilen, ihm eine gründliche literarische Erziehung zugeben, so wird ihn seine Neigung fortreissen. Er wird ein grosser Mathematiker werden,aber kaum seine Muttersprache schreiben können.�

Auf Anraten von Lagrange lernte Cauchy zunächst klassische Sprachen, was ihn aufeine weitere Mathematikausbildung vorbereiten sollte. 1805 absolvierte er die Aufnah-meprüfung für die École Polytechnique. In Paris waren die Studenten alles andereals unpolitisch. Während die meisten revolutionär und liberal eingestellt waren, tratCauchy der Kongregation bei, dem weltlichen Arm der Jesuiten. Er blieb dort Mitglied,bis sie 1828 faktisch verboten wurde. Nach zwei P�ichtstudienjahren verlieÿ er die Uni-versität im Januar 1810 als aspirant-ingénieur. Es folgen turbulente Jahre für Cauchy.Sein sozialer Auf- und Abstieg war unmittelbar mit der Staatsordnung verbunden. ImNovember 1815 erhielt er eine Stelle als Assistenzprofessor an der École Polytechni-que und bereits im Dezember eine volle Professur. Im Juli 1830 wurde der reaktionäreKönig Karl X. gestürzt und durch den liberalen Bürgerkönig Louis Philippe ersetzt.Augustin Louis Cauchy war ein treuer Anhänger der Monarchie und verlieÿ nach demSturz des Königs die Stadt und lieÿ seine Familie zurück. Eine Rückkehr nach Frank-reich setzte einen Treueschwur auf das neue Regime voraus, was für ihn nicht in Fragekam. So blieb Cauchy nichts anderes als das Exil fern von seiner Familie. Erst nachder Februarrevolution von 1848, die den Bürgerkönig Louis-Philippe stürzte, kehrteCauchy wieder zu seine Familie und erhielt 1849 seine Professur zurück. Er starb 1857in Sceaux bei Paris im Kreis seiner Familie.

2.3 Karl Weierstraÿ

Karl Weierstraÿ wurde am 31. Oktober 1815 in Ostenfelde bei Ennigerloh/Münsterlandgeboren. Sein Vater Wilhelm war Steuerinspektor in Preuÿen. Von 1834 bis 1838 stu-dierte Karl Weierstraÿ auf Wunsch seines Vaters in Bonn Rechtswissenschaften undFinanzwesen als Vorbereitung auf eine Laufbahn als preuÿischer Verwaltungsbeam-ter. Nebenbei las er aber Werke von Laplace, Abel und Jacobi, was ihn in seinerHinwendung zur Mathematik bestärkte. Nachdem er 1838 die Universität Bonn oh-ne Abschluss verlieÿ, konnte er seinen Vater überzeugen, ihn von 1838 bis 1840 ander Akademie Münster Mathematik und Physik studieren zu lassen. Nach bestande-nen Examina wurde Weierstraÿ Lehrer. 1841/42 unterrichtete er zunächst an einemGymnasien in Münster. Neben Mathematik unterrichtete er auch die verschiedenstenanderen Fächer wie Physik, Botanik und Turnen. Mit dem letztgenannten Fach hattees eine besondere Bewandtnis. Er hatte in jungen Jahren selbst geturnt und reiste EndeJuli 1844 nach Berlin und bildete sich dort zum Turnlehrer aus. In völliger Isolation vonder mathematischen Welt arbeitete er intensiv an seiner Theorie der Abelschen Funk-

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tionen und publizierte in der Zeitschrift seiner Schule. Aufmerksamkeit erregte abererst ein Aufsatz in Crelles Journal 1854 zur Theorie der Abelschen Funktionen, dem1856 eine ausführlichere Arbeit folgte. Als Folge erhielt er im selben Jahr die Ehren-doktorwürde der Universität Königsberg und wurde 1856 Professor an der UniversitätBerlin. In Berlin bildete sich bald eine groÿe Schule um ihn. Mehr noch als durch sei-ne Verö�entlichungen wirkte er durch die zahlreichen weit zirkulierenden Mitschriftenseiner Vorlesungen durch seine Studenten. Er wurde als Mensch sehr geachtet und er-langte unter seinen Kollegen, Schülern und Studenten eine groÿe Beliebtheit Zu seinem70. Geburtstag wurde ihm als Zeichen der Verehrung und Dankbarkeit ein Fotoalbummit Porträts vieler seiner Schüler, Freunde und Kollegen überreicht. Er starb am 19.Februar 1897 in Berlin an einer Lungenentzündung.

2.4 Pierre de Fermant

Als Geburtsdatum galt lange Zeit der 17. August 1601; neuere Recherchen haben je-doch ergeben, dass Fermat Ende 1607 oder Anfang 1608 geboren wurde. Der am 17.August 1601 in Beaumont de Lomagne geborene Pierre de Fermat soll ein früh ver-storbener Halbbruder gewesen sein. Man ist sich jedoch in der Forschung darüber nichtganz einig. Fermat studierte von 1623 bis 1626 Zivilrecht an der Universität Orléansund schloss dieses Studium im Juli 1626 ab. Im selben Jahr noch lieÿ er sich als Anwaltam parlement de Bordeaux nieder, wo er bis Ende 1630 blieb. Dann kaufte er das Amteines conseiller au parlement de Toulouse und wurde am 14. Mai 1631 in diesem Amtvereidigt. Neben diesem Amt widmete er sich der Mathematik und kam zu groÿen zah-lentheoretischen Entdeckungen. In der Zeit von 1643 bis 1653 wurde er jedoch durch dieVerp�ichtungen seines Amts als conseiller so sehr in Anspruch genommen, dass ihmpraktisch keine Zeit für seine mathematischen Forschungen blieb. 1652 wurde er andas oberste Strafgericht befördert und musste sich unter anderem mit Bauernaufstän-den und heftigen kriegerischen Kon�ikten auseinander setzen. Er erarbeitete sich alsAnwalt groÿe Anerkennung. Unter anderem verhinderte Fermat durch mutigen persön-lichen Einsatz die Zerstörung seiner Heimatstadt Beaumont durch königliche Truppen.Pierre de Fermat starb am 12. Januar 1665 in Castres.

2.5 Zusammenfassung

Vergleicht man die Lebensabläufe der drei Mathematiker, so stellt man fest, dass siesehr unterschiedlich waren. So unterschiedich ihre Leben auch waren, die Liebe undFaszination für die Mathematik war den dreien gemeinsam. Anhand dieser drei Mathe-matiker kann man gut sehen, wie unterschiedlich die Personen waren, die die Mathe-matik prägten. Zur Mathematik gehören also nicht nur Zahlen und Formeln, sondernvor allem Menschen, die durch ihre Liebe zur Mathematik die Welt veränderten.

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3 Zwei elementare Lösungsmethoden

3.1 Vorbemerkung

Extremwertaufgaben ohne Analysis, d.h. ohne einen funktionalen Zusammenhang zulösen, erfordert häu�g eine besondere Idee. Erfahrene Mathematiker, die Extremwert-aufgaben nicht mit Hilfe der Analysis lösen, verfügen über ein groÿes Repertoire anLösungsmethoden. Elementare Methoden sind nur ein Weg um Extremwertaufgabenzu lösen. Ihre Vielfalt und Ra�nesse ist jedoch enorm.Es werden im Folgenden nun zwei solcher Lösungsmethoden vorgestellt: das Symme-trisieren und der Einsatz der Mittelungleichung.

3.2 Die Symmetrisierung

Durch die Symmetriesierung besteht die Möglichkeit, eine Extremwertaufgabe in einenneuen, bereits bekannten Kontext zu stellen. Dadurch wird das Ergebnis augenschein-lich klar und simpel.

Beispiel 1:Mit einem 24 Meter langen Zaun soll von einem am Wasser gelegenen Grundstück einmöglichst groÿes rechteckiges Areal abgegrenzt werden (s. Bild).

Abbildung 3.1: Aufgabenstellung B. 1 in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten, S. 181

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Durch die Spiegelung an der Uferlinie hat man das Grundstück und damit den Umfangund die Fläche verdoppelt. Die Aufgabenstellung hat sich dadurch zwar nur gering,aber entscheidend geändert. Wir suchen nun unter allen umfangsgleichen Rechteckendasjenige mit der gröÿten Fläche. Die Lösung ist das Quadrat, also ist das gesuchteGrundstück doppelt so lang wie breit.

Beweis

Es gibt viele Möglichkeiten zu beweisen, dass das Quadrat unter allen umfangsgleichenRechtecken das gröÿte ist. Es soll nun im folgenden ein analytischer Beweis wie auchein geometrischer Beweis vorgestellt werden.

1. analytischer BeweisZunächst stellt man die Umfangs- und Flächenformel eines Rechtecks auf:

Der Umfang U = 2a+ 2bDie Fläche A = a · b

Als nächstes setzt man die beiden Gleichungen gleich und erhält:

Ub2− b2 = A

Im nächsten Schritt wird die Gleichung als Funktion aufgefasst, abgeleitet und Nullgesetzt.

A′(b) = U2− 2b

⇒ 0 = U2− 2b

⇔ 2b = U2

⇒ b = U4

⇒ a = U4

⇒Das gesuchte Rechteck ist ein Quadrat.

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2. geometrischer Beweis

Abbildung 3.2: Quadrat und Rechteck in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten, S. 190

Das obige Quadrat (fett umrandet) und das Rechteck haben denselben Umfang, aberder Inhalt des Rechtecks ist um das kleine Quadrat kleiner.Erweitern man nun die Figur durch eine Spiegelung an der gestrichelten Linie (s. Bild),so erkennt man die Gleichheit der Flächen.

I + II + II' und I' + II' + III'(Rechteck)(Quadrat ohne das kleine Quadrat)

Abbildung 3.3: Gespiegeltes Quadrat in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten, S. 190

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Nun zeichnen wir die entscheidende Diagonale ein (s. Bild) Der Punkt F rutscht auf

Abbildung 3.4: Lösung des Beweises in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten, S. 191

der Diagonalen DB entlang mit dem Ergebnis, dass jedes Rechteck mit der DiagonalenAF (F 6= D) kleiner ist als das Quadrat mit der Diagonalen AD.

Begründung : Das Rechteck mit der Diagonalen AF ist genauso groÿ wie das QuadratI + II' + III' und dieses ist kleiner als das volle Quadrat mit der Diagonalen DB oderAD.

Beispiel 2:An einer Bahnlinie ist der Standort eines Bahnhofs so zu wählen, dass die Summe derEntfernungen von A und B minimal wird (s. Bild).

Abbildung 3.5: Aufgabenstellung B. 2 in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten, S. 182

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Den Standort P für den Bahnhof �ndet man, indem man einen der Punkte A oder Ban dem Bahngleis spiegelt und den gespiegelten Punkt zum Beispiel B mit A geradlinigverbindet. Auch in diesem Beispiel wird das Problem durch die Symmetrisierung aufein bereits bekanntes Problem, nämlich dass die kürzeste Verbindung zwischen zweiPunkten die Gerade ist, zurückgeführt. Unser Standort P ist nun der Schnittpunktzwischen der Geraden AB und der Bahnlinie.

Zusammenfassung

Wie bereits schon erwähnt basiert die Methode der Symmetrisierung darauf, dass maneine Extremwertaufgabe in einen bereits gelösten Kontext überführt. Dabei bleibt mansehr nahe an dem eigentlichen Problem der Aufgabe und erhält dadurch eine direkteEinsicht. Um jedoch diese Methode anwenden zu können, muss man über viel Vor-wissen verfügen. Ansonsten würde man das Extremwertproblem nur auf ein anderesüberführen, dass man ebenfalls nicht lösen kann.

3.3 Die Mittelungleichung

Die Mittelungleichung ist eine Ungleichung zwischen dem geometrischen und arithme-tischen Mittel. Für beliebige Zahlen x, y ≥ 0 gilt die Ungleichung

√xy) ≤ x+y

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Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn x = y ist.

Beweis

Zur Hilfe betrachten wir das folgende Schaubild

Abbildung 3.6: Geometrische Deutung der Mittelungleichung (Höhensatz) in: R. Danckwerts,

D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten, S. 179

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Klar zu erkennen ist, dass das arithmetische Mittel auf der rechten Seite genau derRadius ist. Nicht auf den ersten Blick zu erkennen ist, dass das geometrische Mittel aufder linken Seite die Höhe ist. Dies kann man jedoch mit Hilfe des Satz des Pythagorasschnell zeigen.

Sei a die Diagonale des Dreiecks mit den zwei weiten Seiten y und√xy = h, b die

Diagonale des linken Dreiecks mit den zwei weiteren Seiten x und x+y2

und c = x + y,so gilt:

a2 = h2 + x2;

b2 = h2 + y2;

c2 = a2 + b2

Durch das Einsetzen erhält man

(x+ y)2 = h2 + x2 + h2 + y2

⇔ y2 + 2xy + x2 = h2 + x2 + h2 + y2

⇔ 2xy = 2h2

⇔ √xy = h

Klar an der Abbildung zu erkennen ist auch, dass die Seiten√xy und x+y

2genau dann

übereinstimmen, wenn sie zusammenfallen. Also genau dann, wenn x = y ist.

Beispiel 1:So löst die Mittelungleichung auch unseren Beweis, dass das Quadrat unter allen um-fangsgleichen Rechtecken das �ächengröÿte ist.

Sind x und y die beiden Rechteckseiten, dann ist x+y2

ein Viertel des Umfangs undsomit konstant. Der Flächeninhalt x · y ist also genau dann maximal, wenn bei derUngleichung das Gleichheitszeichen gilt, d.h. wenn x = y ist.

Bemerkung 3.1 Diese Ungleichung lässt sich ohne Weiteres für mehrere Variablenformulieren. Somit gilt für dre Variablen: Für beliebige Zahlen x, y, z ≥ 0 gilt die Un-gleichung

3√xyz ≤ x+y+z

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Beispiel 2:In eine Kugel soll ein Kegel mit dem maximalen Volumen einbeschrieben werden.

Abbildung 3.7: Kugel mit einbeschriebenem Kegel in: R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verständlichunterrichten, S. 183

Lösung

Das Kegelvolumen ist zu maximieren

V = 13πr2h

unter der Nebenbedingung (Höhensatz)

r2 = h(2R− h)

also

V = 13πh ∗ (2R− h) ∗ h

Durch eine kleine Umformung erreicht man, dass drei (variable) Faktoren entstehen,deren Summe konstant ist

V = 43π · h

2· (2R− h) · h

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Die drei letzten Faktoren haben die konstante Summe 2R. Ihr Produkt ist wird alsogenau dann maximal, wenn

h2

= 2R = h2

⇒ h = 43·R

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Bemerkung 3.2 In diesem Verfahren werden die zwei Objekte (Kugel und Kegel)nicht mehr direkt als geometrische Objekte miteinander verglichen, sondern werdendurch die Mittelungleichung in ein algebraischen Kontext gesetzt.

3.4 Zusammenfassung

Der Gebrauch der Mittelungleichung zur Lösung von Extremwertaufgaben erscheint aufden ersten Blick sehr schwierig und kompliziert. Anders als bei der Symmetrisierungfällt das Ergebnis nicht sofort ins Auge und das Inhaltliche geht verloren. Jedoch istdie Reichweite dieser Methode enorm. Die Mittelungleichung ist eine der abstrakterenelementaren Methoden. Es ist eine Frage der Übung, bis man diese Methode sicherbeherrscht. Wenn man dies tut sind die Möglichkeiten zum Lösen von Extremwertauf-gaben enorm.

4 Resümee

Zu den elementaren Lösungsmethoden gehören geometrische und algebraische Verfah-ren. Das Einbeziehen elementarer Methoden in den Mathematikunterricht bietet einegute Möglichkeit, Extremalprobleme bereits in der Unterstufe kennen zu lernen undlösen zu können. Dies bietet für Schüler viele Vorteile. Zum Einen lernen die Schüler dieVielseitigkeit der Geometrie und der Algebra kennen. Sie lernen, dass die Geometrienicht nur angewendet wird, um zum Beispiel den Flächeninhalt eines Dreicks oder dasVolumen eines Zylinders zu berechnen, sondern auch, um Extremalaufgaben zu berech-nen oder etwas zu beweisen. Zum Anderen kennen die Schüler in der Oberstufe dannbereits Extremalaufgaben und können ihr bis dahin erworbenes Wissen mit einbringen.Auÿerdem erlangt man dadurch ein groÿes Repertoire an Lösungsmethoden.

Literatur

[1] D. Struik: Abriÿ der Geschichte der Mathematik, Braunschweig 1967.

[2] G. Kowalewski: Grosse Mathematiker, München-Berlin 1939.

[3] H. Meschkovski: Denkweisen groÿer Mathematiker, Braunschweig 1990.

[4] R. Danckwerts, D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten, München 2006.

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