Faire Spiele, bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabh...

Faire Spiele,bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhangigkeit

Dr. Elke Warmuth

Sommersemester 2018

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Faires Spiel Bedingte Wahrscheinlichkeit Schwierigkeiten mit bedingten Wahrscheinlichkeiten

Faires Spiel

Bedingte WahrscheinlichkeitVerstehen des KonzeptsDefinition und MultiplikationsformelAnwenden des Konzepts – Beispiele

Schwierigkeiten mit bedingten WahrscheinlichkeitenVerwechslung von Bedingung und BedingtemIndizien

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Beispiel

I Setze e e auf die 13.

I Kommt die 13, bekommst Du denEinsatz plus 35 · e e zuruck.

I Kommt die 13 nicht, bekommst Dunichts.

I Sei X der Nettogewinn des Spielers.X nimmt die Werte −e e bzw.35 · e e mit den Wahrscheinlichkeiten3637 bzw. 1

37 an.

I E (X ) = (−e)· 3637 +35·e · 1

37 = − e37 < 0

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Beispiel

I Setze e e auf ROT.

I Kommt ROT, bekommst Du denEinsatz plus e e zuruck.

I Kommt ROT nicht, bekommst Dunichts.

I Sei Y der Nettogewinn des Spielers.Y nimmt die Werte −e e bzw. e emit den Wahrscheinlichkeiten 19

37 bzw.1837 an.

I E (Y ) = (−e) · 1937 + e · 18

37 = − e37 < 0

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Aufgabe

Deuten Sie die Erwartungswerte in den vorigen beiden Aufgabenaus der Sicht des Spielers und aus der Sicht der Bank.

Deutung: Im Durchschnitt uber viele Spiele macht der Spieler e37 e

Verlust und die Bank e37 e Gewinn.

DefinitionSei G der Nettogewinn eines Spieler in einem Zweipersonenspiel.Dann heißt das Spiel fair, wenn E (G ) = 0 gilt.

Aufgabe

Erlautern Sie den Fairnessbegriff, der hinter dieser Definitionsteckt.

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Beispiel

I Wetterbericht sagt Regenwahrscheinlichkeit von 70% vorher.

I Herr F. (Hobbymeteorologe) sagt zu seinem Freund, Herrn D.:

”Wetten, dass es morgen nicht regnet? Ich setze 10 e“.

I Herr D. geht auf die Wette ein und setzt 20 e dagegen.

I Seien F bzw. D der Nettogewinn von Herrn F. bzw. Herrn D.

I Als Modellwahrscheinlichkeit wahlen wir P(Regen) = 0, 70.Dann gilt

ω P(ω) F (ω) D(ω)

kein Regen 0,30 20 -20

Regen 0,70 -10 10

E (F ) = 20 · 0, 30 + (−10) · 0, 70 = −1, 00E (D) = (−20) · 0, 30 + 10 · 0, 70 = 1, 00.

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Aufgabe

Im vorigen Beispiel ist die Wette nicht fair. Herr D. ist im Vorteil.Bestimmen Sie einen solchen Wetteinsatz e fur Herrn D., dass dieWette fair ist. Herr F. bleibt bei seinem Einsatz.

Losung:E (F ) = 0 ist gleichbedeutend mit e · 0, 30 = 10 · 0, 70.Daraus folgt e = 70

3 e ≈ 23, 33 e ist der faire Einsatz.

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Beispiel

I Chuck a Luck – dt. etwa:”Gluckswurf“

I Der Spieler setzt 1 e auf eine der Zahlen 1, 2, . . . , 6.

I Es werden drei Wurfel geworfen.

I Zeigt mindestens ein Wurfel seine Zahl, erhalt er den Einsatzzuruck und außerdem fur jeden Wurfel, der diese Zahl zeigt,noch zusatzlich 1 e.Erscheint seine Zahl nicht, verfallt der Einsatz.

I Sei G der Nettogewinn des Spielers. Die Verteilung von Glautet:

−1 1 2 3(56

)33 · 1

6

(56

)23(

16

)2 56

(16

)3

I E (G ) ≈ −0, 08 e. Bei Einsatz e e ist E (G ) ≈ −0, 08e e8 / 66


Faire Spiele ohne Einsatz

I Sind in der Grundschule relevant.

I Ein Einsatz wird nicht gezahlt.

I Man betrachtet nur die Gewinnwahrscheinlichkeiten.

I Ein Spiel heißt fair, wenn alle Spieler dieselbeGewinnwahrscheinlichkeit haben.

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Beispiel

Quelle: Das Zahlenbuch 3, Wittmann/Muller, Ernst Klett Verlag, 2012, S. 25

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Beispiel

Quelle: Das Zahlenbuch 4, Wittmann/Muller, Ernst Klett Verlag, 2013, S. 14 11 / 66


Verstehen des Konzepts

Aspekte der bedingten Wahrscheinlichkeit

I Umbewertung von Chancen angesichts von Informationenuber das Zufallsexperiment

I Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsverteilungen(bedingte Wahrscheinlichkeiten sind gegeben, 1. Pfadregel)

I a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten(Bayessche Formel)

I Berechnung von Wahrscheinlichkeiten durch Zerlegung derErgebnismenge(Summenregel, Formel fur die totale Wahrscheinlichkeit)

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Ereignis B ist eingetreten – andert das die Bewertung der Chancenfur das Eintreten des Ereignisses A?

Ja, das Ereignis A bekommt nun (angesichts der Information uberdas Eintreten von B) die Wahrscheinlichkeit P(A|B) = 0.

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Ja, die Ereignis A bekommt nun (angesichts der Information uberdas Eintreten von B) die Wahrscheinlichkeit P(A|B) = 1.

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Ja, die Ereignis A bekommt nun (angesichts der Information uberdas Eintreten von B) die Wahrscheinlichkeit P(A|B) = ?

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Spezialfall Laplace-Modell

I Ereignis A: a = |A| gunstige gleichwahrscheinliche Ergebnisse

I Ereignis B: b = |B| gunstige gleichwahrscheinliche Ergebnisse

I Ereignis A ∩ B: c = |A ∩ B| gunstige gleichwahrscheinlicheErgebnisse

B ist eingetreten ⇒I b mogliche gleichwahrscheinliche (!) Ergebnisse

I c gunstige gleichwahrscheinliche (!) Ergebnisse

folglich

P(A|B) =c

b=|A ∩ B||B|

=P(A ∩ B)

P(B)

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Farbenfehlsichtigkeit (= Storung der Farbwahrnehmung) undGeschlechtM – mannlich, W – weiblich, F – farbenfehlsichtig

M W

F 0, 469 0, 488 0, 957

F 0, 041 0, 002 0, 043

0, 51 0, 49 1, 00

Fragen stellen! Z.B. Anteil der Farbenfehlsichtigen unter denMannern bzw. unter den Frauen:

0, 041

0, 51≈ 0, 08 bzw.

0, 002

0, 49≈ 0, 004

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Definition und Multiplikationsformel

Vorbereitung durch Vierfeldertafel gunstig

A A

B P(A ∩ B) P(A ∩ B) P(B)

B P(A ∩ B) P(A ∩ B) P(B)

P(A) P(A) 1

DefinitionFur Ereignisse A und B mit P(B) > 0 heißt

P(A|B) :=P(A ∩ B)

P(B).

die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.18 / 66



SatzSei B ∈ F und P(B) > 0. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(·|B)ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf F .

Beweis.

1. P(A|B) = P(A∩B)P(B) ≥ 0.

2. P(Ω|B) = P(Ω∩B)P(B) = P(B)

P(B) = 1.

3. Wir zeigen nur die Additivitat: Seien A1 und A2 unvereinbar:

P(A1 ∪ A2|B) = P((A1∪A2)∩B)P(B)

= P((A1∩B)∪(A2∩B))P(B)

= P(A1∩B)P(B) + P(A2∩B)

P(B)

= P(A1|B) + P(A2|B)

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Unmittelbar aus der Definition folgt durch Multiplikation mit P(B)

SatzFur Ereignisse A und B mit P(B) > 0 gilt

P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B) (Multiplikationsformel).

Durch vollstandige Induktion beweist man

SatzFur n Ereignisse A1,A2, . . .An mit P(A1 ∩A2 ∩ . . .∩An−1) > 0 gilt

P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An)

= P(A1) · P(A2|A1) · P(A3|A1 ∩ A2) · . . . · P(An|A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1)

(allgemeine Multiplikationsformel).

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Anwenden des Konzepts – Beispiele

Umbewertung von ChancenI Beispiel Mini-Lotto 3 aus 20:

I Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die dritte gezogeneZahl richtig ist? Antwort: 3

20I Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die dritte gezogene

Zahl richtig ist, wenn die erste und zweite keine richtigen furmich waren?

I Modell: Ω = (z1, z2, z3) : zk ∈ 1, 2, . . . , 20, zi 6= zj|Ω| = 20 · 19 · 18, Annahme: alle gleichwahrscheinlich

Ri – i-te Zahl ist richtig, i = 1, 2, 3.

P(R3|R1 ∩ R2) =P(R3 ∩ R1 ∩ R2)

P(R1 ∩ R2)=

17·16·320·19·1817·16·1820·19·18

=3

18

I im Einklang mit unserer intuitiven FestlegungI Multiplikationsformel sichert Pfadregel theoretisch ab.

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I Beispiel Skatspiel:I Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind zwei Buben im Skat

(Ereignis A)?

Antwort: P(A) =(4

2)(32

2 )≈ 0, 012

I Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind zwei Buben im Skat, wennich k Buben bekommen habe (Ereignis Bk)?

Antwort: P(A|B3) = P(A|B4) = 0 und

P(A|B0) =P(A ∩ B0)

P(B0)=

(2810)·(

42)

(3210)·(

222 )

(2810)·(

222 )

(3210)·(

222 )

=

(2810

)·(

42

)(2810

)·(

222

) ≈ 0, 026 > 0, 012

Die Wahrscheinlichkeit hat sich etwa verdoppelt.

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I Beispiel Lebensversicherung:

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I Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein weiblichesNeugeborenes mindestens 80 Jahre alt wird?

Sei X das zufallige kunftige Lebensalter eines weiblichenNeugeborenen.

P(X ≥ 80) =71 167

100 000≈ 0, 712

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I Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 20jahrige Fraumindestens 80 Jahre alt wird?

P(X ≥ 80|X ≥ 20) =P(X ≥ 80 ∩ X ≥ 20)

P(X ≥ 20)=

P(X ≥ 80)

P(X ≥ 20)

P(X ≥ 80|X ≥ 20) =71 167

99 488≈ 0, 715 > 0, 712

Arbeit mit Sterbetafeln (2013/15) des Stat. BundesamtesNettopramie einer Lebensversicherung 25 / 66



I Beispiel Munzwurf:I Bei 10 Munzwurfen mit einer guten Munze ist 10 mal Wappen

gefallen. Mit welcherWahrscheinlichkeit bringt der elfte Wurf Zahl?

I Antwort: 12

I Unabhangigkeit, hier Gedachtnislosigkeit der Munze

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a priori – von vornherein und a posteriori – nachtraglich

I Beispiel SpamI

”Till will Werbemull (Spam) von seinem E-Mail-Konto

aussperren. Er installiert den von einer Computerzeitschriftermittelten Testsieger, der 95% aller Werbemails ausfiltert.Leider sortiert das Programm auch 1% aller privaten E-Mailsund von Till bestellten Infobriefe als Spam aus. Beurteile dieQualitat des Spamfilters. Wurdest Du ihn benutzen?“Quelle: H. Wirths in: Stochastik in der Schule 25(2005)Heft 2

I Problem: Informationen aus dem Aufgabentext verarbeiten:

Spam – S , kein Spam – S

wird aussortiert – A, wird nicht aussortiert – A

P(A|S) = 0, 95,P(A|S) = 0, 01

I Annahme: P(S) = 0, 9

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Mogliche Fragen:

1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine aussortierte E-Mailkein Spam? Falsch schlechte Mails.

2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine nicht aussortierteE-Mail Spam? Falsch gute Mails.

Mit Haufigkeitsinterpretation:Es wurden viele E-Mails beobachtet:

1. Ungefahr welcher Anteil der aussortierten E-Mails ist keinSpam? Falsch schlechte E-Mails.

2. Wie groß ist ungefahr der Anteil der Spam-Mails an den nichtaussortierten E-Mails? Falsch gute E-Mails.

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I a priori: P(S) = 0, 90

I a posteriori: P(S |A) =?

P(A) = P(A ∩ S) + P(A ∩ S) (Additivitat)

= P(S) · P(A|S) + P(S) · P(A|S) (Multiplikationsformel)

= 0, 90 · 0, 05 + 0, 10 · 0, 99 = 0, 144 (P(A|S) = 1− P(A|S))

P(S |A) =P(S ∩ A)

P(A)

=P(A|S) · P(S)

P(A)(Multiplikationsformel)

=0, 05 · 0, 90

0, 144

= 0, 3125

Rund 31% der nicht aussortierten E-Mails sind Spam.29 / 66



Vierfeldertafel

aussortiert nichtaussortiert

Spam 0, 90 · 0, 95 = 0, 855 0, 90 · 0, 05 = 0, 045 0, 90

kein Spam 0, 10 · 0, 01 = 0, 001 0, 10 · 0, 99 = 0, 099 0, 10

0, 856 0, 144 1

1. Mit Wahrscheinlichkeit 0,0010,856 = 0, 001 ist eine aussortierte

E-Mail kein Spam.

2. Mit Wahrscheinlichkeit 0,0450,144 = 0, 313 ist eine nicht

aussortierte E-Mail Spam.

Anworten auf die Ausgangsfragen?

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Verwunderung meist bei 2. – So groß?

Vorschlag: absolute Haufigkeiten

Schicken 1000 E-Mails ab: Davon sind etwa 900 Spam-Mails. Vondenen sortiert der Spam-Filter etwa 855 aus, . . .

P(S |A) ≈ 45144 ≈ 0, 31

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