Faktorenanalyse. - uni-kiel.de · Faktorenanalyse.! Terminologie uneinheitlich!!Ziel: ’ Erkl...

Faktorenanalyse.

! Terminologie uneinheitlich !

→ Ziel :

−’Erklarung ‘ der korrelativen Zusammenhange zwischen

mehreren Variablen

? Beispiel :

− Personlichkeitsfragebogen aus mehreren Einzelitems wie

? Ich habe meist gute Laune

→ trifft uberhaupt nicht zu (−3) . . . trifft voll und ganz zu (+3)

Erhebung an einer großen Zahl von Probanden

Ergebnis : Korrelationsmatrix der Items

→ Hohe Korrelationen sollen’erklart ‘ werden

− durch dahinterliegende Personlichkeitseigenschaften

− die jeweils mehrere Items’beeinflussen ‘

3.1 Modell FA13 1

Modellvorstellung :

♠ Hinter den beobachtbaren Variablen ( z. B. den Einzelitems )

− stehen latente Variablen oder Faktoren

− die diese Variablen’beeinflussen ‘

− und dadurch die Korrelationen bewirken

♠ Einflusse nicht’deterministisch ‘ , zusatzlich Fehler

♦ Prazisierung des Ausdrucks’Einfluss ‘ :

Die Werte der beeinflussenden Variablen werden jeweils mit

festen Koeffizienten multipliziert

Der Wert einer beeinflussten Variable ergibt sich als Summe

aller derartigen Einzelanteile

und eines Fehlers

BWerte der beeinflussenden Variablen sind von Person zu Person

unterschiedlich

B Fehler ebenso ( vielleicht sogar von Situation zu Situation )

B Koeffizienten , mit denen multipliziert wird , sind uber die

Personen hinweg konstant

4 Vergleiche : Multiple lineare Regression

3.1 Modell FA13 2

Standardisierungsvoraussetzung :

♣ Beobachtbare Variablen und Faktoren sind standardisiert

− Erwartungswert : 0

− Varianz : 1

4 Dies ist immer erreichbar durch

− lineare Reskalierung ( z-Transformation )

− Anpassung der Koeffizienten

B Vergleiche:

− b-Gewichte und β-Gewichte in der multiplen Regression

→ Standardisierungsvoraussetzung ist unkritisch

B Folgerung :

− Kovarianzmatrix = Korrelationsmatrix

− bei den beobachtbaren Variablen

− bei den Faktoren

3.1 Modell FA13 3

? Beispiel : Personlichkeitsfragebogen :

1. Ich fahre gerne Riesenrad

2. Ich liebe laute Musik

3. Ich habe Angst vor Spinnen

→ Modell mit zwei Faktoren :

− f1 : Extraversion

− f2 : Neurotizismus

f1 .......................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

f2 .......................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

x1

x2

x3

e1

e2

e3

....................................................

....................................................

....................................................

....................................................................

......................................

.7

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................

−.4

........................................................................................................................................................................................................................................ .....................

.................

.8

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................................

......................................

0

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........

......................................

−.2

................................................................................................................................................................................................................................ .........................

.............

.9

.................................................................................................................................................

......................................

.................................................................................................................................................

......................................

.................................................................................................................................................

......................................

3.1 Modell FA13 4

? Silvia Sorglos :

.6 .......................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

−.4 .......................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

x1

x2

x3

.2

−.1

.4

....................................................

....................................................

....................................................

....................................................................

......................................

.7

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................

−.4

........................................................................................................................................................................................................................................ .....................

.................

.8

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................................

......................................

0

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........

......................................

−.2

................................................................................................................................................................................................................................ .........................

.............

.9

.................................................................................................................................................

......................................

.................................................................................................................................................

......................................

.................................................................................................................................................

......................................

Itemwerte:

x1 = (.7) (.6) + (−.4) (−.4) + .2 = .78

x2 = (.8) (.6) + (0) (−.4) + (−.1) = .38

x3 = (−.2) (.6) + (.9) (−.4) + .4 = −.08

Kurz :

x1x2x3

=

.7 −.4.8 0

−.2 .9

( .6

−.4

)+

.2

−.1.4

=

.78

.38

−.08

3.1 Modell FA13 5

? Zacharias Zaghaft :

−.3 .......................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.5 .......................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

x1

x2

x3

−.1

.2

.1

....................................................

....................................................

....................................................

....................................................................

......................................

.7

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................

−.4

........................................................................................................................................................................................................................................ .....................

.................

.8

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................................

......................................

0

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........

......................................

−.2

................................................................................................................................................................................................................................ .........................

.............

.9

.................................................................................................................................................

......................................

.................................................................................................................................................

......................................

.................................................................................................................................................

......................................

Itemwerte:

x1 = (.7) (−.3) + (−.4) (.5) + (−.1) = −.51

x2 = (.8) (−.3) + (0) (.5) + .2 = −.04

x3 = (−.2) (−.3) + (.9) (.5) + .1 = .61

Kurz :

x1x2x3

=

.7 −.4.8 0

−.2 .9

(−.3.5

)+

−.1.2.1

=

−.51

−.04

.61

BWerte in den Faktoren und den Fehlern sind bei beiden

Personen unterschiedlich ( also auch Itemwerte )

B Koeffizienten sind bei allen Personen gleich

3.1 Modell FA13 6

? Bruno Beliebig :

f1 .......................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

f2 .......................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

x1

x2

x3

e1

e2

e3

....................................................

....................................................

....................................................

....................................................................

......................................

.7

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................

−.4

........................................................................................................................................................................................................................................ .....................

.................

.8

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................................

......................................

0

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........

......................................

−.2

................................................................................................................................................................................................................................ .........................

.............

.9

.................................................................................................................................................

......................................

.................................................................................................................................................

......................................

.................................................................................................................................................

......................................

Itemwerte:

x1 = (.7) f1 + (−.4) f2 + e1x2 = (.8) f1 + (0) f2 + e2x3 = (−.2) f1 + (.9) f2 + e3

Kurz :

x1x2x3

=

.7 −.4.8 0

−.2 .9

(f1f2

)+

e1e2e3

3.1 Modell FA13 7

Modell :

f1 .......................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

f2 .......................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

x1

x2

x3

e1

e2

e3

....................................................

....................................................

....................................................

....................................................................

......................................

.7

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................

−.4

........................................................................................................................................................................................................................................ .....................

.................

.8

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................................

......................................

0

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........

......................................

−.2

................................................................................................................................................................................................................................ .........................

.............

.9

.................................................................................................................................................

......................................

.................................................................................................................................................

......................................

.................................................................................................................................................

......................................

♦ Ladungsmatrix : .7 −.4.8 0

−.2 .9

B Zeilen : Items Spalten : Faktoren

4 In der i-ten Zeile und j-ten Spalte :

− Einfluss des j-ten Faktors auf das i-te Item

B Indizierung’der Einflussrichtung entgegengerichtet ‘

B ‘ i-tes Item durch j-ten Faktor ‘

♦ Die Koeffizienten heißen auch Ladungen

Bezeichnung fur die Ladungsmatrix : Λ

B λij : Koeffizient der Beeinflussung von Item i durch Faktor j

3.1 Modell FA13 8

→ Modell allgemein :

f1 .......................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

f2 .......................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

x1

x2

x3

e1

e2

e3

....................................................

....................................................

....................................................

....................................................................

......................................λ11

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................

λ12

........................................................................................................................................................................................................................................ .....................

.................

λ21

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................................

......................................

λ22

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........

......................................

λ31

................................................................................................................................................................................................................................ .........................

.............

λ32

.................................................................................................................................................

......................................

.................................................................................................................................................

......................................

.................................................................................................................................................

......................................

Ladungsmatrix :λ11 λ12λ21 λ22λ31 λ32

→ Gleichungen:

x1 = λ11 f1 + λ12 f2 + e1x2 = λ21 f1 + λ22 f2 + e2x3 = λ31 f1 + λ32 f2 + e3

Kurz :

x1x2x3

=

λ11 λ12λ21 λ22λ31 λ32

(f1f2

)+

e1e2e3

Noch kurzer :

x = Λf + e

3.1 Modell FA13 9

Zur Interpretation :

→ Modell ist offen gegenuber unterschiedlichen Interpretationen

♠ Substantielle Interpretation :

− Gleichungen werden als Beschreibung von Prozessen verstanden

− Faktoren womoglich mit physikalisch-physiologischem Korrelat

− Addition und Multiplikation sind inhaltlich zu interpretieren

− Hirn als primitive Rechenmaschine

♠ Regressionsinterpretation :

− Vorhersage der Items durch Personlichkeitseigenschaften

− Vorhersage nur im Sinne der Regression ( Fehlerminimierung )

− Keine inhaltliche Bedeutung von Addition und Multiplikation

− Status der Faktoren kann eher unbestimmt bleiben

B Die erste Interpretation ist naiv

B Der zweiten Interpretation fehlt das kausale Flair

3.1 Modell FA13 10

Modell mit spezifischen Faktoren.

♠ Zerlegung des Fehlers einer Variable in zwei Anteile :

− weiterer Faktor, der nur diese Variable beeinflusst

( spezifischer Faktor, unique factor )

− eigentlicher Fehler

f1 .......................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

f2 .......................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

u1 .......................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

u2 .......................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

u3 .......................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

x1

x2

x3

e1

e2

e3

....................................................

....................................................

....................................................

....................................................................

......................................λ11

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................

λ12

........................................................................................................................................................................................................................................ .....................

.................

λ21

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................................

......................................

λ22

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........

......................................

λ31

................................................................................................................................................................................................................................ .........................

.............

λ32

........................................................

.............................................................

.......................................................................

........................................................

.............................................................

.......................................................................

........................................................

.............................................................

.......................................................................

............................................................................................

......................................

............................................................................................

......................................

............................................................................................

......................................

4Wiederholte Messung :

− Nur der eigentliche Fehler schwankt zufallig

− Der spezifische Faktor andert sich nicht

→ Modell :

x = Λf + u + e

u : Zufallsvektor der spezifischen Faktoren (’unique ‘ )

e : Eigentlicher Fehler(vektor)

3.1 Modell FA13 11

Annahmen der Faktorenanalyse.

⊗Modellgleichung :

x = Λf + e

Anzahl der beobachtbaren Variablen : p

Anzahl der Faktoren : q

Λ ist (p× q)-Matrix

x und e sind p-Zufallsvektoren

f ist q-Zufallsvektor

⊗ Variablen und Faktoren sind standardisiert

• Folgerung:

E(e) = E(x−Λf) = E(x)−ΛE(f) = 0−Λ0 = 0

⊗ Die Fehler sind untereinander unkorreliert

⊗ Die Fehler sind mit den Faktoren unkorreliert

⊗ Zwei Modelle bei den Faktoren :

♦ UF : Orthogonales Modell ( Unkorrelierte Faktoren )

♦ KF : Schiefwinkliges ( obliques ) Modell ( Korrelierte Faktoren )

4 Genauer : bei KF konnen die Faktoren korrelieren

4 UF ist Spezialfall von KF

3.2 Annahmen und Konsequenzen FA13 12

Diskussion der Modellannahmen.

Modellgleichung : Einflusse linear :

− Regressionsinterpretation : kraft Konstruktion

− substantielle Interpretation : ?

Standardisierung : unproblematisch ( Reskalierung )

Fehler und Faktoren unkorreliert :

− Regressionsinterpretation : kraft Konstruktion

− substantielle Interpretation : ?

Fehler untereinander unkorreliert :

− Regressionsinterpretation : ?

− substantielle Interpretation : ? – nicht ganz unplausibel

KF oder UF :

− UF ?

4 UF unkritisch bei Abstrichen an inhaltlicher Interpretation


Reduzierte Variablen.

Erinnerung an die Modellgleichung :

x = Λf + e

Ausformulierung fur xi :

xi =∑j

λijfj + ei

♦ Die xi :=∑λijfj heißen reduzierte Variablen

B Durch die gemeinsamen Faktoren’erklarte ‘ Anteile der xi

4 Analogie zur multiplen Regression : xi = xi + ei

→ Zusammenfassung zu Vektor :

x : Zufallsvektor mit Komponenten xi

B x = Λf

B x = x + e


Varianzzerlegung.

• Beziehung zwischen reduzierten Variablen und Fehlern :

C(x, e) = C(Λf , e) = ΛC(f , e) = Λ0 = 0

4 Die Komponenten von x und e sind unkorreliert

•Wegen xi = xi + ei folgt

1 = V(xi) = V(xi) + V(ei)

4 Varianzzerlegung von xi

Wegen V(xi) = 1 :

B V(xi) : Anteil der durch die gemeinsamen Faktoren

aufgeklarten Varianz an der Gesamtvarianz von xi

♦ V(xi) heißt auch Kommunalitat von xi

Abkurzung : h2i

B Kommunalitat + Fehlervarianz = 1


Modell mit spezifischen Faktoren.

⊗ Zusatzliche Voraussetzung :

− Die spezifischen Faktoren sind unkorreliert

− untereinander

− mit den gemeinsamen Faktoren

− mit den Fehlern

Wegen xi = xi + ui + ei :

• 1 = V(xi) + V(ui) + V(ei)

♦ Varianz eines spezifischen Faktors : Spezifitat oder Uniqueness

⊗Weitere Annahmen :

− Gemeinsame und spezifische Faktoren sind zeitlich stabil

− Restfehler ist reiner Zufallsfehler

• Also : Restfehler bei verschiedenen Messungen sind unkorreliert


Verfeinerte Varianzzerlegung.

B xi = xi + ui + ei

→ Im Sinne der KTT gilt dann :

Wahrer Wert von xi ist xi + ui =: ti

Fehler von xi ist ei

Wahre Varianz :

V(ti) = V(xi) + V(ui)

Wegen V(xi) = 1 :

→ V(ti) ist Reliabiltat von xi

• Reliabilitat = Kommunalitat + Spezifitat

B Zerlegung ist fur die eigentliche Faktorenanalyse irrelevant

→ In Zukunft :

Fehler = spezifischer Faktor + Restfehler


Korrelationen bei reduzierten Variablen.

→ Vergleiche Korrelationen von reduzierten und Originalvariablen

Wie in KTT ( Verdunnungsformeln ) :

• ρ(xi, xk) =ρ(xi, xk)

σ(xi)σ(xk)

4 σ(xi) =√h2i ≤ 1

B |ρ(xi, xk)| ≥ |ρ(xi, xk)|

B ρ(xi, xk) und ρ(xi, xk) haben gleiches Vorzeichen

Korrelation mit Faktoren analog :

• ρ(xi, fj) =ρ(xi, fj)

σ(xi)


Bezeichnungen.

Kovarianzmatrix der Faktoren : Kf

B Kf ist gleichzeitig Korrelationsmatrix ( Diagonale : Einsen )

B UF : Kf = I

Kovarianzmatrix der beobachtbaren Variablen : Kx

B Kx ist gleichzeitig Korrelationsmatrix ( Diagonale : Einsen )

Kovarianzmatrix der Fehler : De

B De ist Diagonalmatrix

Kovarianzmatrix von x : Kx

Bezeichnung :’Reduzierte Korrelationsmatrix ‘

! Vorsicht : Kx ist keine Korrelationsmatrix !

4 Die Diagonalelemente von Kx sind die Kommunalitaten h2i


Problemstellung.

→ Gesucht ist die latente Strukur

Genauer :

→ Gesucht sind Λ und Kf

Naherungsweise bekannt ist Kx

? Wie kommt man von Kx zu Λ und Kf ?

→ Grundidee ( grob ) :

Berechne Kx aus Λ und Kf

→ Lose die entstehende Formel nach Λ und Kf auf


Berechnung von Kx und Kx .

→ Schreibe Kx in terminis der’Modellparameter ‘ !

♦ Parameter des Modells sind die Elemente von Kf , De und Λ

Kovarianzmatrix von x :

Kx = V(Λf) = ΛKfΛ′

Spezialfall UF :

Kx = ΛΛ′

Wegen Unkorreliertheit von x und e :

Kx = V(x + e) = V(x) + V(e) = Kx + De

• Grundgleichungen der Faktorenanalyse :

(KF) Kx = ΛKfΛ′ + De

(UF) Kx = ΛΛ′ + De


Grundgleichung :

Kx = Kx + De

4 Kx und Kx unterscheiden sich nur in der Diagonale

B Kx entsteht aus Kx durch

Ersetzung der Diagonal-Einsen durch die Kommunalitaten

− oder gleichwertig : durch

Subtraktion der Fehlervarianzen von diesen Einsen

→ Ziel : Genauere Untersuchung der Matrizengleichung

Kx = ΛKfΛ′ + De

Gleichung von (p× p)-Matrizen

Elementweise p2 Einzelgleichungen

Symmetrie : Dieselben Gleichungen außerhalb der Diagonale

• Anzahl der verschiedenen Gleichungen :

p+

(p

2

)=

p (p+ 1)

2

→ Nachstes Teilziel : Ausformulierung dieser Gleichungen


→ Ziel : Ausformulierung der Gleichungen aus

Kx = ΛKfΛ′ + De

Bezeichnungen :

Korrelationen der Faktoren untereinander : ρ′kl

Korrelationen der beobachtbaren Variablen untereinander : ρij

Varianzen der Fehler : σ2i

Elemente von Kx = ΛKfΛ′ :

Das (i, j)-Element von Kx ist

∑k,l

λikλjlρ′kl

Spezialfall UF :

∑k

λikλjk


→ Zu untersuchen : Kx = ΛKfΛ′ + De

Außerhalb der Diagonalen :

− Interkorrelationen der beobachtbaren Variablen

− Von De nur Nullen als Beitrage

• ρij =∑k,l

λikλjlρ′kl

• UF : ρij =∑k

λikλjk

Auf der Diagonalen ( an i-ter Stelle ) :

• 1 =∑k,l

λikλilρ′kl + σ2i

• UF : 1 =∑k

λ2ik + σ2i

4 Die bekannte Varianzzerlegung

B Erster Summand ist jeweils V(xi) = h2i ( Kommunalitat )

B Die Parameter sind nicht’unabhangig ‘ voneinander :

− Die σ2i lassen sich aus den λij und den ρ′kl berechnen

B Nur die λij und ρ′kl sind’eigentliche ‘ Modellparameter


Formeln fur die Kommunalitaten.

• KF : h2i =∑k,l

λikλilρ′kl

• UF : h2i =∑k

λ2ik

Spezialfall UF.

Korrelation von xi und xj ( i 6= j ) :

ρij =∑k

λikλjk

B’Produkt ‘ der zugehorigen Zeilen der Ladungsmatrix

Kommunalitat von xi :

h2i =∑k

λ2ik

B Summe der quadrierten Ladungen


? Beispiel : Modell UF

Λ =

.7 −.4.8 0

−.2 .9

? Kommunalitaten, Interkorrelationen der xi , Fehlervarianzen ?

Losung :

Kx = ΛΛ′ =

.7 −.4.8 0

−.2 .9

( .7 .8 −.2−.4 0 .9

)=

.65 .56 −.5.56 .64 −.16

−.5 −.16 .85

Außerhalb der Diagonalen : Korrelationen der xi

Auf der Diagonale : Kommunalitaten

Fehlervarianzen : .35 .36 .15

? Einzelrechnungen :

Korrelation von x1 und x2 :

− Produkt der Zeilen 1 und 2 von Λ :

ρ12 = (.7)(.8) + (−.4)(0) = .56

Kommunalitat von x1 :

− Summe der quadrierten Ladungen :

h21 = (.7)2 + (−.4)2 = .49 + .16 = .65


Korrelationen zwischen Variablen und Faktoren.

• Die Matrix der Korrelationen von Variablen und Faktoren ist

ΛKf

on Diese Matrix ist gleichzeitig die Matrix der Kovarianzen, also

C(x, f) = C(Λf + e, f) = ΛC(f , f) + C(e, f) = ΛKf

• Die Korrelation zwischen xi und fj ist∑k

λikρ′kj

• Spezialfall UF : Die Matrix der Korrelationen von Variablen

und Faktoren ist Λ

on Kf = I

4 Beschreibung des Zusammenhangs zwischen Faktoren und

Variablen durch zwei Matrizen :

♦ Die Ladungsmatrix Λ heißt Faktormuster

♦ Die Matrix der Korrelationen ΛKf heißt Faktorstruktur

• Spezialfall UF :

Faktormuster = Faktorstruktur


Varianzaufklarung.

Grundgleichung : Kx = Kx + De

Spur : Spur(Kx) = Spur(Kx) + Spur(De)

→ Multivariate Varianzzerlegung !

→ Die Varianz von x ( Spur(Kx) ) wird zerlegt in

− durch die Faktoren aufgeklarte Varianz : Spur(Kx)

− Fehlervarianz : Spur(De)

♦ Die Spur von Kx heißt Gesamtkommunalitat

4 Maß fur die insgesamt durch die Faktoren aufgeklarte Varianz

→ Spur(Kx) =

p∑i=1

h2i

B Gesamtkommunalitat ist Summe der Einzelkommunalitaten

4 Multivariat erklarte Varianz =∑

univariat erklarte Varianzen

B Vergleiche Gesamtkommunalitat mit Gesamtvarianz der xi

− also mit Spur(Kx) = p


♣ Sonderfall UF.

4 Varianzaufklarung der Einzelvariablen ist additiv :

h2i =

q∑j=1

λ2ij

B λ2ij ist der Varianzanteil, der durch fj bei xi aufgeklart wird

! Bei korrelierten Faktoren ist keine derartige Zerlegung moglich

→ Finde geeignetes Maß fur die Bedeutung von fj insgesamt !

♦ Maß fur die Bedeutung des Faktors fj ( Modell UF ) :

p∑i=1

λ2ij

4 Summe der durch fj bei allen xi aufgeklarten Varianzen

4 Summe der quadrierten Ladungen von fj

? Beispiel

Λ =

.7 −.4.8 0

−.2 .9

λ2ij f1 f2 h2ix1 .49 .16 .65

x2 .64 .00 .64

x3 .04 .81 .85∑i λij

2 1.17 .97 2.14


Varianzaufklarung durch Einzelfaktoren ( Modell UF ) .

• Es giltq∑

j=1

(p∑

i=1

λ2ij

)=

p∑i=1

q∑j=1

λ2ij =

p∑i=1

h2i

4 Die Summe der Maße∑i

λ2ij ist die Gesamtkommunalitat

B∑i

λ2ij ist interpretierbar als durch fj erklarte Varianz

4 Additive Varianzzerlegung in Anteile der Faktoren !

B Vergleiche das Maß∑i

λ2ij der Bedeutung von fj mit

− der Gesamtkommunalitat ( relative Bedeutung von fj )

− oder der Gesamtvarianz p der xi ( Varianzaufklarung )

? Nochmal das Beispiel :

Λ =

.7 −.4.8 0

−.2 .9

λ2ij f1 f2 h2ix1 .49 .16 .65

x2 .64 .00 .64

x3 .04 .81 .85∑i λij

2 1.17 .97 2.14

B Hier ist die Gesamtvarianz 3


Skizze des praktischen Vorgehens.

♣ Ausgangssituation :

− Die empirische Korrelationsmatrix R der beobachtbaren

Variablen liegt vor

− Annahme : Modell der Faktorenanalyse gilt ( KF oder UF )

− Die Anzahl q der Faktoren und ihre inhaltlichen Bedeutungen

sind zunachst unbekannt

4 Ob man KF oder UF voraussetzt, ist weniger wichtig, als

man meinen konnte

? UF : Λ = ?

? KF : Λ = ? Kf = ?

→ Eigenschaften, die die Losung besitzen muss

− Kf muss positiv semidefinit sein mit Einsen in der Diagonale

− ΛKfΛ′ muss Diagonalelemente ≤ 1 haben ( ΛKfΛ

′ = Kx )

→ Ferner sollte außerhalb der Diagonalen ΛKfΛ′ ≈ R gelten

B Außerhalb der Diagonale ist ΛKfΛ′ gleich Kx

3.3 Vorlaufiges zu”

Losungen“ FA13 31

Losungen (empirisch).

♦ q-Faktorlosung zu gegebener empirischer Korrelationsmatrix R :

Modell KF :

− Jedes Paar (Kf ,Λ) aus einer (q × q)-Matrix Kf und einer

(p× q)-Matrix Λ mit

(i) Kf ist positiv semidefinit mit Einsen in der Diagonale

(ii) ΛKfΛ′ hat Diagonalelemente ≤ 1 und stimmt außerhalb

der Diagonale einigermaßen mit R uberein

Modell UF :

− Jede (p× q)-Matrix Λ , fur die ΛΛ′ Diagonalelemente ≤ 1

hat und außerhalb der Diagonale einigermaßen mit R

ubereinstimmt

♦ Zwei Losungen heißen aquivalent, wenn die aus diesen

Losungen konstruierten Matrizen ΛKfΛ′ ubereinstimmen

4 Bei Aquivalenz mussen auch die Kommunalitaten gleich sein

Informell : Gute der Losung :

Grad an Ubereinstimmung der tatsachlichen Korrelationen mit

den durch die Losung gegebenen


Losungen“ FA13 32

4”Λ ist Losung“ (Fall UF) bedeutet bisher :

− Es ist moglich, dass Faktoren existieren, die auf die

beobachtbaren Variablen in der durch Λ beschriebenen Weise

’einwirken ‘

− Die tatsachlichen Korrelationen wurden gut dazu passen

(Fehlervarianzen mussten die Diagonale von ΛΛ′ zu 1

erganzen)

B Keine konstruktive Ermittlung von Faktoren

B Man hat nur eine Matrix Λ , die nach gewissen Rechenregeln

die gegebenen Korrelationen einigermaßen reproduziert

B Aussagen im Potentialis (”Es konnte so sein . . .“)

? Konnte es auch’wirklich ‘ so sein ?

B Eher vorsichtig:”Was die Korrelationen angeht, so spricht

bisher nichts dagegen, dass moglicherweise . . .“

? Vielleicht gibt es weitere Tatsachen, die im Widerspruch zum

faktorenanalytischen Modell stehen ?

4 Unter schwachen Zusatzannahmen kann man bei Vorliegen

einer Losung konstruktiv weitere Variablen angeben, die die

Rolle der Faktoren und Fehler spielen konnten

→ Eine solche Faktorenstruktur konnte also’wirklich ‘ existieren

→ Sie muss jedoch nicht existieren


Losungen“ FA13 33

Interpretation.

? Ist die Losung inhaltlich vertretbar ?

? Konnen hypothetische Faktoren plausibel interpretiert werden ?

B Basis fur Interpretation : Nur Λ ( bzw. Λ und Kf )

→ Ziel: Finde Bedeutungen der Faktoren, die gut zu Λ passen

( bzw. zu Λ und Kf )

B Starke’Zusammenhange ‘ zwischen einem Faktor und einer

Variable sollen inhaltlicher Verwandschaft entsprechen

4 Interpretationsversuch ist vergleichsweise einfach im Modell UF

B Probleme im Modell KF :

− Faktorstruktur ΛKf und Faktormuster Λ konnen

’gegensatzliche ‘ Informationen liefern

? Welche der Matrizen ist relevant ?

→ Antwort abhangig von Interpretation :

− Substantielle Interpretation : Muster

− Regressionsinterpretation : Struktur

Keine sinnvolle Interpretation ?

→Weitersuchen !

Systematisches Weitersuchen bei gleichbleibender Gute :

Rotationen


Losungen“ FA13 34

Zwischeneindruck.

→ Losung kommt so zustande :

− Man lasst sich irgendwie (!) ein zu R passendes Λ einfallen

− Man dreht solange daran, bis man auch interpretieren kann

B Es gibt unterschiedliche Methoden der Faktorenanalyse

→ Fur manche ist der Eindruck nicht ganz falsch

→ Andere sichern Ergebnisse statistisch ab

Voraussetzung dabei :

− Modellgultigkeit mit zusatzlichen Verteilungsannahmen

→ Fragen von Einem, der an das Modell glaubt :

? Ist die Zahl der gefundenen Faktoren korrekt ?

? Stimmt das gefundene Λ einigermaßen ?

→ Zusatzliche theoretische Uberlegungen sind notwendig


Losungen“ FA13 35

Losungen (theoretisch).

♦ q-Faktorlosung zu gegebener wahrer Korrelationsmatrix Kx :

Modell KF :

− Jedes Paar (Kf ,Λ) aus einer (q × q)-Matrix Kf und einer

(p× q)-Matrix Λ mit

(i) Kf ist positiv semidefinit mit Einsen in der Diagonale

(ii) ΛKfΛ′ hat Diagonalelemente ≤ 1 und stimmt außerhalb

der Diagonale mit Kx uberein

Modell UF :

− Jede (p× q)-Matrix Λ , fur die ΛΛ′ Diagonalelemente ≤ 1

hat und außerhalb der Diagonale mit Kx ubereinstimmt

BWichtig hier : Exakte Reproduktion außerhalb der Diagonale

B’Losung ‘ bedeutet nicht, dass Λ und Kf ’

richtig ‘ sind

♦ Zwei Losungen heißen aquivalent, wenn die aus ihnen

konstruierten Matrizen ΛKfΛ′ ubereinstimmen

− Ubereinstimmung auch auf der Diagonale ! ( Kommunalitaten )

BWichtig ist zunachst nur exakte Rekonstruktion von Kx

− Interpretierbarkeit ist erstmal irrelevant


Losungen“ FA13 36

Fragen.

♣ Voraussetzung zunachst : UF

Existenzfrage fur q-Faktor-Losung :

? Gibt es eine (p× q)-Matrix Λ mit den Eigenschaften,

− dass ΛΛ′ außerhalb der Diagonale mit Kx ubereinstimmt

− und auf der Diagonale keine Elemente großer als 1 besitzt ?

Eindeutigkeitsfrage fur q-Faktor-Losung :

? Gibt es nur eine solche Matrix Λ oder mehrere ?

♦ Die Matrizen Kx , fur die eine Losung existiert, heißen

modellvertraglich

→ Ist das wahre Kx modellvertraglich, so kann es sein, dass ein

Modell mit q Faktoren gilt ( muss aber nicht )

→ Ist das wahre Kx nicht modellvertraglich, so kann kein Modell

mit q Faktoren gelten


Losungen“ FA13 37

Losungsbedingungen an Parameter.

♦ Parameter sind die Elemente der Matrix Λ ( Modell UF )

4 Anzahl der Parameter : pq

B Bedingungen fur eine Losung :

1. Außerhalb der Diagonale soll ΛΛ′ mit Kx ubereinstimmen

2. Auf der Diagonalen soll ΛΛ′ hochstens 1 sein

→ Bedingung 1 : p (p− 1)/2 Gleichungen mit pq Unbekannten

→ Bedingung 2 : p Ungleichungen

B Entscheidend ist die erste Bedingung

B Die zweite ist anschließend zu kontrollieren

4 Die Gleichungen der ersten Bedingung sind nichtlinear

− Die Theorie linearer Gleichungssysteme ist unzureichend

− Sie kann jedoch Hinweise liefern


Losungen“ FA13 38

? Beispiel : 4 Variable, 2 Faktoren ( Modell UF )

→ Kx (4× 4) gegeben. Finde Λ (4× 2) !

B ΛΛ′ soll außerhalb der Diagonale mit Kx ubereinstimmen :

→ 6 Gleichungen :

λ11λ21 + λ12λ22 = ρ12

λ11λ31 + λ12λ32 = ρ13

λ11λ41 + λ12λ42 = ρ14

λ21λ31 + λ22λ32 = ρ23

λ21λ41 + λ22λ42 = ρ24

λ31λ41 + λ32λ42 = ρ34

B Auf der Diagonale soll ΛΛ′ hochstens 1 sein :

→ 4 Ungleichungen :

λ211 + λ212 ≤ 1

λ221 + λ222 ≤ 1

λ231 + λ232 ≤ 1

λ241 + λ242 ≤ 1

4 Gleichungen und Ungleichungen sind nichtlinear !


Losungen“ FA13 39

? Beispiel :

Kx =

1 0 0 .5

0 1 0 .5

0 0 1 .5

.5 .5 .5 1

→ Keine Losung ! Matrix ist nicht modellvertraglich

? Beispiel

Kx =

1 0. −0.36 0.

0. 1 0. −0.36

−0.36 0. 1 0.

0. −0.36 0. 1

→ Einige Losungen :

Λ1 =

0.6 0

0 0.6

−0.6 0

0 −0.6

Λ2 =

0.54 0.72

−0.72 0.54

−0.24 −0.32

0.32 −0.24

Λ3 =

0.9 0

0 0.9

−0.4 0

0 −0.4

Es gilt namlich

Λ1Λ′1 =

0.36 0. −0.36 0.

0. 0.36 0. −0.36

−0.36 0. 0.36 0.

0. −0.36 0. 0.36

Λ2Λ′2 = Λ3Λ

′3 =

0.81 0. −0.36 0.

0. 0.81 0. −0.36

−0.36 0. 0.16 0.

0. −0.36 0. 0.16

4 Λ2 und Λ3 sind aquivalent ( gleiche Kommunalitaten )


Losungen“ FA13 40

Saturiertheit und Identifizierbarkeit.

♦ Ein Modell heißt saturiert , wenn jede (sinnvolle) Verteilung

der beobachtbaren Variablen mit dem Modell vertraglich ist

♦ Ein Modell heißt identifizierbar , wenn aus der wahren

Verteilung der beobachtbaren Variablen auf die Parameter

geschlossen werden kann

B Mit weiteren allgemeinen Verteilungsvoraussetzungen

(Multinormalverteilung) :

→ Die Verteilung der beobachtbaren Variablen ist durch Kx

vollstandig festgelegt

4 Ein FA-Modell ist saturiert, wenn jede Korrelationsmatrix Kx

mit dem Modell vertraglich ist

4 Ein FA-Modell ist identifizierbar, wenn von Kx auf Λ

( bzw. Λ und Kf ) geschlossen werden kann

? Das UF-Modell mit 2 Faktoren und 4 Variablen ist weder

saturiert noch identifizierbar


Losungen“ FA13 41

4 Ein saturiertes Modell kann nicht mit der Empirie kollidieren

4 Es gibt vollstandig passende Losungen fur beliebige Variablen

→ Radikaler Standpunkt :

Ein saturiertes Modell hat keinen empirischen Gehalt

4 Nicht saturierte Modelle sind oft testbar ( als H0 )

? Prinzip eines solchen Tests bei der Faktorenanalyse :

→ Beurteile den’Abstand ‘ der empirischen Korrelationsmatrix

zu den modellvertraglichen

4 Bei nicht identifizierbaren Modellen sind die Parameter

prinzipiell unzuganglich

→ Radikaler Standpunkt :

Reden uber solche Parameter ist sinnlos

4 Faktorenanalytische Modelle mit q > 1 Faktoren sind

( mit uninteressanten Ausnahmen ) nie identifizierbar

B Versuche von Antworten auf die Frage nach der wahren

Ladungsmatrix bleiben also grundsatzlich im Spekulativen

4 Die Begriffe der Saturiertheit und der Identifizierbarkeit sind

weitgehend unabhangig voneinander

B Faktorenanalytische Modelle sind sehr oft testbar, jedoch

( praktisch ) nie identifizierbar


Losungen“ FA13 42

Anzahl von Parametern und Gleichungen.

4 Modell UF : Kx = ΛΛ′ + De

− pq Parameter

− p (p− 1)/2 Gleichungen

? Vermutung :

− Im Fall p (p− 1)/2 > pq ( oder (p− 1)/2 > q ) braucht

im Allgemeinen keine Losung zu existieren

− Mehr Gleichungen als Unbekannte

4 Die Vermutung ist richtig, es gibt dann Korrelationsmatrizen,

die mit einem q-Faktor-Modell nicht vertraglich sind

? Weitere mogliche Vermutungen :

− Im Fall (p− 1)/2 > q existiert hochstens eine Losung

− Im Fall (p− 1)/2 = q existiert genau eine Losung

− Im Fall (p− 1)/2 < q existieren viele Losungen

B Diese Vermutungen treffen noch nicht einmal im Fall linearer

Gleichungssysteme immer zu

Entsprechend sind sie hier auch nicht richtig


Losungen“ FA13 43

Parametrisierende Abbildung (UF).

♣ Modell : UF mit q Faktoren

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F

Θ

Ω

ωq

Θ : Parameterraum, Menge der Ladungsmatrizen

Ω : Menge der Verteilungen ↔ Korrelationsmatrizen

F : Parametrisierende Abbildung

4 F ordnet jeder Ladungsmatrix Λ das zugehorige Kx zu

( Kx = ΛΛ′ + De )

ωq : Menge der modellvertraglichen Korrelationsmatrizen

( q Faktoren )

4 ωq ist das Bild von Θ unter F

B Dimension von Θ : pq

B Dimension von Ω : p (p− 1)/2

4 Hier ist F nicht surjektiv (ωq 6= Ω )

4 Dies Modell ist also nicht saturiert


Losungen“ FA13 44

♣ Zusatzliche (mogliche) Eigenschaft :

− Mehrere Λ mogen zur gleichen Korrelationsmatrix fuhren

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F

Θ

Ω

ωq•

4 Hier ist F nicht injektiv

4 Dies Modell ist also nicht identifizierbar

B Die Illustration ist typisch fur viele Modelle der FA :

− Fehlende Identifizierbarkeit (−)

− Keine Saturiertheit (+)

B Injektivitat von F ←→ Identifizierbarkeit

B Surjektivitat von F ←→ Saturiertheit


Losungen“ FA13 45

Suchen von Losungen.

♣ Voraussetzung : Die Anzahl q der Faktoren ist schon bestimmt

R : empirische Korrelationsmatrix

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F

Θ

Ω

ωq

•R

→ Suche eine modellvertragliche Matrix K nahe bei R !

→Wahle ein zu K passendes Λ aus !

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F

Θ

Ω

ωq•

•R

K•Λ

B Unterschiedlicher’Abstandsbegriff ‘ bei den verschiedenen

Verfahren der FA


Losungen“ FA13 46

Modellvertragliche Korrelationsmatrizen.

4 Allgemein gilt : ω1 ⊆ ω2 ⊆ . . . ⊆ ωp ⊆ Ω

→ Schematische Illustration :

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•

Ω

ω1

ω2

ω3

B Die ωq unterscheiden sich auch in der’Dimension ‘

? Konkretes Beispiel : 4 beobachtbare Variablen

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ω3 = ω4 = Ω

ω1

ω2

4 Das 3- und das 4-Faktormodell sind saturiert

4’Dimensionen ‘ :

− ω1 hat’Dimension ‘ 4

− ω2, ω3, ω4, Ω haben’Dimension ‘ 6


Losungen“ FA13 47

Bestimmung der Zahl der Faktoren.

♣ Situation ( schematisch ) :

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•

Ω

ω1

ω2

ω3

•R

R : empirische Korrelationsmatrix

? Ein, zwei oder drei Faktoren ?

− Anpassung wird besser mit wachsender Zahl der Faktoren

− Große Zahl von Faktoren ist unangenehm fur Interpretation

→ Kompromiss suchen !


Losungen“ FA13 48

Zusammenfassung : Schritte bei einer Faktorenanalyse.

→ Verfahren ( idealiter ) :

1. Schritt : Schatzung der Zahl der Faktoren

2. Schritt : Schatzung der’wahren ‘ Korrelationsmatrix Kx

3. Schritt : Auswahl einer zugehorigen Ladungsmatrix

4 Die Schritte konnen oft nicht sauber getrennt werden

B Es gibt viele unterschiedliche Verfahren


Losungen“ FA13 49

Besonderheiten im Modell KF.

B Eine Losung besteht aus Kf und Λ mit

− Kf ist positiv semidefinit mit Einsen in der Diagonale

− ΛKfΛ′ ist außerhalb der Diagonale gleich Kx

und hat Diagonalelemente ≤ 1

4 Mehr Parameter des q-Faktormodells als im Fall UF

? Mehr modellvertragliche Korrelationsmatrizen ?

• Nein ! Die modellvertraglichen Korrelationsmatrizen sind fur

UF und KF die gleichen

B Das Problem der Identifizierbarkeit stellt sich im Modell KF

noch scharfer als im Modell UF

B Hinsichtlich der Saturiertheit unterscheiden sich die Modelle

nicht

→ Praktische Folge : Bei Untersuchungen kann man sich oft

zunachst auf das einfachere Modell UF beschranken


Losungen“ FA13 50

Maximum-Likelihood-Faktorenanalyse.

♣ Voraussetzung :

− Gemeinsame Normalverteilung von Faktoren und Fehlern

→ Zu untersuchen : q-Faktor-Modell

→ Schatzung der Parameter mit der ML-Methode

B Prinzip der Schatzung der Parameter :

− Empirische Daten sollen maximale Wahrscheinlichkeit haben

→ Genauer : Likelihood

→ Vorzug : Moglichkeit eines Modelltests

− Das q-Faktor-Modell ist die Nullhypothese

− H1 macht keine Restriktionen

Test mit dem Likelihood-Quotienten-Test


Losungen“ FA13 51

Likelihood-Quotienten-Test.

B Prinzip :

− Vergleich der Wahrscheinlichkeiten der Daten unter H0 und H1

( Likelihood-Quotient )

− H0 wird verworfen, wenn die empirischen Daten unter H1

viel wahrscheinlicher sind

→ Meist logarithmische Transformation des Likelihood-Quotienten

4 Die Teststatistik ist dann eine Art’Abstand ‘ von R zu ωq

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Ω

ωq

•R

4 Teststatistik ist’meist ‘ asymptotisch χ2-verteilt

4 Freiheitsgrade: Differenz der’Dimensionen ‘ von Ω und ωq


Losungen“ FA13 52

Exploratorische und konfirmatorische Faktorenanalyse.

Exploratorische FA :

− Faktorenzahl und Ladungsmatrix unbekannt

Konfirmatorische FA :

− Modell mit genaueren Vorstellungen

− Zahl der Faktoren liegt meist fest

− Oft Zusatzannahmen uber die Λ ( Beispiel : Nullen )

B Vorzug der konfirmatorischen FA :

− Modell ist testbar

− Allerdings : Als H0

→ Bezeichnung’konfirmatorisch ‘ ist etwas hochstaplerisch

4 Immerhin : Auch ernst zu nehmende Tests sind moglich

? Beispiel : Ist eine bestimmte Ladung 0 ? (H0 )

! Modellgultigkeit wird allerdings hier vorausgesetzt

B Verallgemeinerung : Strukturgleichungsmodelle, Pfadanalyse

− Zusatzliche Struktur im Bereich der latenten Variablen

→ Prinzipiell ahnliches Vorgehen bei großerer Komplexitat


Losungen“ FA13 53

Variablentransformationen.

♠ Generelles Prinzip der multivariaten Statistik :

− ( Umkehrbare ) lineare oder affine Transformationen von

Variablen sind zu Originalvariablen gleichberechtigt

4 Kein Informationsverlust wegen Rekonstruierbarkeit

B Vorteile :

− manchmal technischer Art

− manchmal auch leichtere Interpretierbarkeit

Anwendung auf die Faktorenanalyse.

♣ Voraussetzung : Das Modell x = Λf + e gilt

Variablentransformation der Faktoren :

− Ersetzung der Faktoren durch Transformationen

♦ Eine Variablentransformation heißt hier auch Rotation

Kompensatorische Anderung der Ladungsmatrix

( Hoffentlich ) leichtere Interpretierbarkeit

4 Vom multivariaten Standpunkt aus harmlos :

− Nur alternative Beschreibung des gleichen Sachverhalts

B Alte und neue Faktoren enthalten die gleiche Information

4 Teilweise Entkraftung des Vorwurfs fehlender Identifizierbarkeit

3.4 Rotationen FA13 54

♣ Voraussetzungen.

x = Λf + e

KF

→Weitere Voraussetzungen, die meist gemacht werden :

Kf hat maximalen Rang q

Λ hat maximalen Rang q

Wenn Voraussetzungen erfullt :’regulare q-Faktor-Losung ‘

4 Sind die beiden letzten Voraussetzungen nicht erfullt,

so bestehen noch’Abhangigkeiten ‘

B Man kann dann die Zahl der Faktoren reduzieren,

ohne die reduzierten Variablen xi zu andern

? Allerdings :

− Ist das kompatibel mit einer substantiellen Interpretation ?


Rotationen.

Lineare Variablentransformation der Faktoren

Transformationsmatrix : G

♦ G heißt auch Rotationsmatrix

♦ Neue Faktoren : fj

B G = (gij) ist (q × q)-Matrix

− j-te Spalte von G : Koeffizienten zur Bildung von fj

Transformation der Faktoren ( neue Faktoren : fj ) :

fj =∑

gijfi

Neue Faktoren ( zusammengefasst zu f ) :

f = G′f

→ Kovarianzmatrix von f :

Kf = G′KfG′′ = G′KfG


Bedingungen fur die Rotationsmatrix.

? Welche Bedingungen sollen fur G gelten ?

− G muss invertierbar sein

− Die Kovarianzmatrix der neuen Faktoren

Kf = G′KfG

muss in der Diagonale Einsen besitzen

♣ Diese Bedingungen sollen fur Rotationsmatrizen ab jetzt gelten

Spezialfall : Orthogonale Rotationen.

− Vorher gilt Modell UF

− Die neuen Faktoren sollen wieder unkorreliert sein

B Rotation von UF nach UF

→ Bedingung an G dann :

G′G = I

4 Also : G soll Orthogonalmatrix sein

4 Erinnerung :

− Ist G Orthogonalmatrix, so gilt : G = G′−1


Neue Ladungsmatrix und neue Faktorstruktur.

Neue Faktoren:

f = G′f

Kompensatorisch ( Regeln der Variablentransformation ) :

− Neue Ladungsmatrix :

Λ = ΛG′−1

→ Dann gilt namlich :

Λf = ΛG′−1G′f = Λf

→ Man erhalt die gleichen reduzierten Variablen wie vorher

→ Insbesondere bleiben Kx und die Kommunalitaten gleich

4 Die Modelle

x = Λf + e und x = Λf + e

sind’in Wirklichkeit ‘ nicht verschieden

4 Nur unterschiedliche Sichtweisen desselben Sachverhalts

→ Berechnung der neuen Faktorstruktur (vorher: ΛKf ) :

ΛKf = (ΛG′−1) (G′KfG) = (ΛKf) G

B Neues Muster mit G′−1 , neue Struktur mit G


Orthogonale Rotationen.

→ Neue Ladungsmatrix :

Λ = ΛG

4 Hier ist namlich G′−1 = G

→ Neue Faktorstruktur : ΛG

4Wieder : Muster = Struktur

Zusammenfassung :

KF −→ KF alt neu

Korrelationsmatrix der Faktoren Kf G′KfG

Ladungsmatrix Λ ΛG′−1

Faktorstruktur ΛKf (ΛKf) G

UF −→ UF alt neu

Korrelationsmatrix der Faktoren I I

Ladungsmatrix Λ ΛG

Faktorstruktur Λ ΛG

Rotation in praxi.

→ Suche G so, dass die neue Ladungsmatrix angenehmer ist

? Warum Muster und nicht Struktur ?


Graphische Darstellung des Modells.

♣ Generelle Voraussetzung : Kf ist invertierbar

Kovarianztreue Darstellung der Faktoren

Zugehorige Vektoren sind linear unabhangig

Faktoren definieren Koordinatensystem

Reduzierte Variablen sind Linearkombinationen

Ladungen sind Koordinaten

→ Es gelten die Eigenschaften kovarianztreuer Darstellungen

? Beispiel : Unkorrelierte Faktoren

Λ =

0.3 0.6

0.2 0.8

0.7 0.3

−0.5 0.6

0.5 −0.7

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f1

f2

x1x4

− Faktoren haben Lange 1 und sind senkrecht ( UF )

− Ladungen sind Koordinaten


? Genauere Untersuchung des Beispiels

Λ =

0.3 0.6

0.2 0.8

0.7 0.3

−0.5 0.6

0.5 −0.7

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f1

f2

x1x4

Abstand der ( reduzierten ) Variablen vom Nullpunkt :

− Wurzeln aus Kommunalitaten

→ Lage innerhalb des Einheitskreises

Winkel ↔ Korrelationen ( Achtung : reduzierte Variablen )

B |ρ(xi, xj)| ≤ |ρ(xi, xj)| bei gleichem Vorzeichen


? Beispiel mit zwei korrelierten Faktoren

? ρ = .8 ↔ Winkel : 36.87

Λ =

−0.9 1.5

−0.87 1.35

1.59 −1.35

−1.56 1.2

−1.12 0.8

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f1

f2x2

− Ladungen ↔ Koordinaten

− Abstand vom Nullpunkt : Wurzel der Kommunalitat

− Faktorstruktur : Lote auf die Faktorachsen

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f1

f2

x2

B Diskrepanz zwischen Muster und Struktur


Graphische Darstellung einer Rotation.

? Beispiel einer orthogonalen Rotation ( UF → UF )

Ausgangssituation : Zwei unkorrelierte Faktoren mit

Λ =

0.3 0.6

0.2 0.8

0.7 0.3

−0.5 0.6

0.5 −0.7

Rotationsmatrix :

G =

(.8 .6

−.6 .8

)

4 G ist Orthogonalmatrix, Rotationsbedingung ist erfullt

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f1

f2

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f1

f2

− Neues Koordinatensystem ist orthogonal ( Spalten von G )

− Neue Ladungen : Neue Koordinaten ( Beispiel: x1 )

− Hier :’Rotation‘ des Koordinatensystems


Graphische Rotation.

→ Graphik nicht als Illustration, sondern zur Konstruktion

→Wahle Achsen so, dass sie nahe bei den Punkten liegen !

→ Gute Interpretierbarkeit ! ( ? )

? Beispiel :

Λ =

−0.9 1.5

−0.87 1.35

1.59 −1.35

−1.56 1.2

−1.12 0.8

Kf =

(1 0.8

0.8 1

).................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ...................

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f1

f2x2

Winkel zwischen Achsen : arccos(.8) = 36.87

B Beachte die Ladungen > 1 !

→ Suche bessere Achsen !


→ Bessere Achsen :

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f1

f2

f1

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G kann jetzt abgelesen werden, ebenso Λ

G =

(5/3 −1

−4/3 8/5

)Λ =

0.045 0.975

−0.0315 0.8175

0.8955 −0.0975

−0.972 −0.06

−0.744 −0.12

: – )

→ Korrelation der neuen Faktoren : −.6

Faktorenstruktur :

( kann alternativ auch aus Graphik ermittelt werden )0.045 0.975

−0.0315 0.8175

0.8955 −0.0975

−0.972 −0.06

−0.744 −0.12

(

1 −0.6

−0.6 1

)=

−0.54 0.948

−0.522 0.8364

0.954 −0.6348

−0.936 0.5232

−0.672 0.3264

: – (


Varimax-Rotation.

→ Rotation UF → UF

→ Ziel : Betrage der Zahlen in den Spalten sollen stark variieren !

→ Hoffentlich gute Interpretierbarkeit

Prazisierung :

− Die Summe φ der spaltenweisen Varianzen der quadrierten

und durch ihre Kommunalitaten dividierten Ladungen soll

maximal werden

? Beispiel : Die Ladungsmatrix einer orthogonalen Losung :0.5 0.5

0.4 0.4

0.5 −0.5

0.4 −0.4

Kommunalitaten : .5, .32, .5, .32

Matrix der quadrierten Ladungen und Matrix der quadrierten

und durch die Kommunalitaten dividierten Ladungen :

0.25 0.25

0.16 0.16

0.25 0.25

0.16 0.16

0.5 0.5

0.5 0.5

0.5 0.5

0.5 0.5

→ φ = 0 – Fur Varimax schlechtest-moglicher Fall

? Schlecht interpretierbar ?


? Beispiel : Orthogonale Rotation mit

1√2

(1 1

−1 1

)

Neue Ladungsmatrix :

1√2

0 1

0 .8

1 0

.8 0

Kommunalitaten bleiben gleich

Matrix der quadrierten Ladungen und Matrix der quadrierten

und durch die Kommunalitaten dividierten Ladungen :0 0.5

0 0.32

0.5 0

0.32 0

0 1.0

0 1.0

1.0 0

1.0 0

→ φ = .5 ( maximal ) – Dies ist die Varimax-Rotation

→ Tatsachlich wohl gute Interpretierbarkeit ! ( Besser ?! )

4 In der Praxis :

− Formeln bei zwei Faktoren, sonst iterative Verfahren

? Gehorcht die Natur dem Varimax-Kriterium ?


Losungen auf Basis der empirischen Korrelationsmatrix.

♣ Gegeben ist die empirische Korrelationsmatrix R

→ Aufgabe ( pragmatisch ) :

Finde Losung, bei der die zugehorigen ( theoretischen )

Korrelationen etwa gleich den empirischen Korrelationen sind

B Man kann sich auf orthogonale Losungen beschranken

→ Formal : Finde Λ , so dass außerhalb der Diagonale gilt :

ΛΛ′ ≈ R

→ Erstrebenswert : Nicht allzu viele Faktoren

B Allerdings : Wo bleibt dann die’Wahrheit ‘ ?

→ Konflikt zwischen den Zielen

− Gute Approximation

−Wenig Faktoren

? Kompromiss ?

4 Es gibt viele Methoden, eine Losung zu finden

→ Hier : Hauptachsenanalyse mit Kommunalitateniteration

3.5 Faktorenextraktion FA13 68

Hauptachsenanalyse mit Kommunalitateniteration

→ Entscheidende Teilschritte :

− Kommunalitatenschatzung

− Eigentliche Faktorenextraktion

Schritte werden abgewechselt

→ Iteration bis zu stabiler Losung

Teilschritt Faktorenextraktion

♣ Voraussetzung : Kommunalitaten sind irgendwie geschatzt

In R wird die Diagonale durch die Schatzungen ersetzt

Ergebnis : Rr

4 Rr entspricht Kx

→ Ziel :

− Finde nahe bei Rr eine mogliche reduzierte Korrelationsmatrix

4 Die moglichen reduzierten Korrelationsmatrizen sind positiv

semidefinite Matrizen kleineren Ranges

B Der Rang gibt die Anzahl der Faktoren an

→ Umformulierte Aufgabe :

− Finde in der Nahe von Rr eine positiv semidefinite Matrix mit

kleinerem Rang


→ Aufgabe : Finde in der Nahe von Rr eine positiv semidefinite

Matrix mit kleinerem Rang

→ Losung :

Erstrebter Rang sei q

Lq : Die ersten q normalisierten Eigenvektoren von Rr

LqL′q : Nachstgelegene positiv semidefinite Matrix mit Rang q

B Quadrierter Abstand :

− Summe der restlichen quadrierten Eigenwerte

→Wahle also Lq als Ladungsmatrix

B Eigenschaften von Lq :

Spalten: Orthogonale Eigenvektoren von Rr zu den ersten q

Eigenwerten

Quadratsummen zeilenweise : Kommunalitaten ( UF ! )

Quadratsummen spaltenweise : Eigenwerte

− Gleichzeitig : Maß fur Varianzaufklarung ( UF ! )

− Summe ist Gesamtkommunalitat

4 Ist L die Matrix aller p normalisierten Eigenvektoren von

Rr , so besteht Lq aus den ersten q Spalten von L


? Zentrale Frage : Wieviele Faktoren ?

→Wieviele Spalten von L sollen beibehalten werden ?

? Kriterien fur die Zahl der Faktoren ?

B Kriterien hangen von den Eigenwerten von Rr ab

→ Einige Moglichkeiten :

− Solange extrahieren, bis’Varianzaufklarung ‘ befriedigt

( moglichst große Summe der entsprechenden Eigenwerte )

( Vergleich mit Gesamtvarianz p )

− Nur Faktoren ubrigbehalten mit hinreichend großem Eigenwert

( z.B. mindestens 1 )

− Abbruch bei deutlichem Großensprung der Eigenwerte

(’scree test ‘ – Trennen von Substanz und Rauschen )

4Wie vertragt sich dieser Pragmatismus mit dem hohen

theoretischen Status des Modells ?

B Es werden keine Faktoren extrahiert, sondern es wird eine

passende Matrix gefunden, die Ladungsmatrix sein konnte


? Beispiel :

Rr =

0.38 0.1 0.02 0.06 −0.36

0.1 0.7 0.14 −0.06 −0.2

0.02 0.14 0.86 0.18 −0.04

0.06 −0.06 0.18 0.86 −0.12

−0.36 −0.2 −0.04 −0.12 0.92

B Diagonalelemente : ( Irgendwie ) geschatzte Kommunalitaten

Eigenwerte : 1.28 .96 .8 .48 .2

Matrix aus normalisierten Eigenvektoren :

L =

−0.4 −0.2 −0.1 0.1 0.4

−0.4 −0.2 0.5 −0.5 0

−0.4 0.6 0.5 0.3 0

−0.4 0.6 −0.5 −0.3 0

0.8 0.4 0.2 −0.2 0.2

B Quadratsummen spaltenweise : Eigenwerte ↔ Varianzaufklarung

Faktorenzahl Gesamtkommunalitat Quadrierter Abstand zu Rr

3 1.28 + .96 + .8 = 3.04 .482 + .22 = .2704

2 1.28 + .96 = 2.24 .82 + .482 + .22 = .9104

Zugehorige Ladungsmatrizen :

L3 =

−0.4 −0.2 −0.1

−0.4 −0.2 0.5

−0.4 0.6 0.5

−0.4 0.6 −0.5

0.8 0.4 0.2

L2 =

−0.4 −0.2

−0.4 −0.2

−0.4 0.6

−0.4 0.6

0.8 0.4


? Extraktionskriterium : Nur Eigenwerte > 1

→ Ein Faktor :

L1 =

−0.4

−0.4

−0.4

−0.4

0.8

? Extraktionskriterium : scree test

r r r r r1

Kein deutlicher Bruch im Verlauf

→ ?


Teilschritt Kommunalitatenschatzung

4 Sind sie uberhaupt schatzbar ? Identifizierbarkeit ?

B Die Schatzung ist von zentraler Bedeutung

− Sie entscheidet uber Ladungsmatrix und die Zahl der Faktoren

→ Naheliegende einfache’Schatzmethoden ‘ fur den Start :

− Reliabilitaten ( Uberschatzung )

− Hochste Korrelation mit den anderen Variablen

− Durch die anderen Variablen aufgeklarte Varianz

B Hintergrund :

− Die anderen Variablen enthalten in gewisser Weise die Faktoren

B Bemerkenswert :

− Die entstehende Matrix ist womoglich nicht mehr positiv

semidefinit

B Unangenehm :

− Das Ergebnis der nachfolgenden Faktorenextraktion hangt von

der nicht unproblematischen Schatzung ab


Kommunalitateniteration.

? Ein Ausweg aus dem Schatzproblem ?

→ Iteratives Verfahren :

1. Anfangliche Kommunalitatenschatzung

2. Faktorenextraktion

3. Berechnung der zugehorigen Kommunalitaten

4. Verwendung dieser Kommunalitaten zur erneuten Schatzung

5. Weiter bei 2. oder

6. Abbruch, sobald die Schatzungen sich stabilisieren


? Beispiel mit zwei Variablen ( unrealistisch, aber ubersichtlich )

(0) Gegeben ist empirische Korrelationsmatrix

R =

(1 0.36

0.36 1

)

(1) Anfangskommunalitatenschatzung ( vielleicht Reliabilitaten ) :

.73 und .52

Rr =

(0.73 0.36

0.36 0.52

)

(2) Faktorenextraktion :

Eigenwerte 1.0 und .25. Normalisierte Eigenvektoren in

L =

(0.8 0.3

0.6 −0.4

)

Ein Faktor wird extrahiert. Ladungsmatrix : Erste Spalte

(3) Zugehorige Kommunalitaten

.82 = .64 und .62 = .36

(4) Neues Rr : (0.64 0.36

0.36 0.36

)

(5) Erneute Faktorenextraktion → (2) ...... bis zur Stabilitat (6)


→ Iterationsprozess :

Schritt Kommunalitaten Eigenwerte Ladungsmatrix

1 0.7300 0.5200 1.0000 0.2500 0.8000 0.6000

2 0.6400 0.3600 0.8863 0.1137 0.7770 0.5315

3 0.6037 0.2825 0.8373 0.0489 0.7676 0.4981

4 0.5892 0.2481 0.8170 0.0203 0.7638 0.4833

5 0.5834 0.2336 0.8088 0.0083 0.7623 0.4771

6 0.5811 0.2277 0.8054 0.0033 0.7617 0.4746

7 0.5802 0.2252 0.8041 0.0013 0.7614 0.4736

8 0.5798 0.2243 0.8035 0.0005 0.7614 0.4732

9 0.5797 0.2239 0.8033 0.0002 0.7613 0.4730

10 0.5796 0.2237 0.8032 0.0001 0.7613 0.4729

11 0.5796 0.2237 0.8032 0.0000 0.7613 0.4729

12 0.5796 0.2236 0.8032 0.0000 0.7613 0.4729

13 0.5796 0.2236 0.8032 0.0000 0.7613 0.4729

14 0.5796 0.2236 0.8032 0.0000 0.7613 0.4729

15 0.5796 0.2236 0.8032 0.0000 0.7613 0.4729

→ Stabilisierung

→ Ergebnis :

− Ladungsmatrix : (.7613

.4729

)

− Gesamtkommunalitat : .8032

− Kommunalitatenschatzung : .5796 und .2236

4 Hier werden Kommunalitaten geschatzt, die gar nicht

identifizierbar sind


→ Mit Anfangskommunalitatenschatzung .8 und .4 erhalt man

− Ladungsmatrix (.8540

.4215

)

− Gesamtkommunalitat .9070

− Kommunalitatenschatzungen : .7293 und .1777

→ Viele ungeklarte Fragen

− Konvergiert das Verfahren uberhaupt immer ?

−Wenn ja, wohin ? wohin ???

−Was ist die Logik dahinter ?

− Abhangigkeit von der Anfangsschatzung ?

B Bemerkenswert : Am Ende oft negative Eigenwerte


Schlussbemerkungen.

→ Einzelentscheidungen des Anwenders :

− Art der Anfangskommunalitatenschatzung

− Extraktionskriterium

→ Besonders durch die Wahl des Extraktionskriteriums kann man

massiv Einfluss auf das Endergebnis nehmen

B Neben dem geschilderten Verfahren gibt es viele weitere

→ Der Anwender hat die Auswahl

− zwischen verschiedenen Verfahren

− zwischen spezifischen Festlegungen bei einzelnen Verfahren

→ Fazit : Gute Chancen fur eine befriedigende Losung


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