Fakultät für Naturwissenschaften Institut für Physik

Physikalisches Grundpraktikum

HHIINNWWEEIISSEE ZZUURR DDUURRCCHHFFÜÜHHRRUUNNGG

DDEESS PPHHYYSSIIKKAALLIISSCCHHEENN GGRRUUNNDDPPRRAAKKTTIIKKUUMMSS

UUNNDD

VVEERRSSUUCCHHSSAANNLLEEIITTUUNNGGEENN

FFÜÜRR SSTTUUDDEENNTTEENN DDEERR

WWIIRRTTSSCCHHAAFFTTIINNGGEENNIIEEUURRWWEESSEENNSS

1

Technische Universität Chemnitz Fakultät für Naturwissenschaften

Institut für Physik Physikalisches Grundpraktikum

Hinweise zur Durchführung des Physikpraktikums

A Organisatorische Hinweise Seite 3

B Hinweise zur Protokollführung Seite 5

C Hinweise zur Sicherheit sowie zur Unfall- und Seite 7

Brandverhütung im physikalischen Grundpraktikum

D Hinweise zur Durchführung einer Fehlerbetrachtung Seite 10

E Hinweise zum Runden Seite 26

F Literaturhinweise Seite 27

G Physikalische Größen und ihre Einheiten Seite 28

H Garantie- und Eichfehlergrenzen von Messgeräten Seite 30

und Maßverkörperung

I Musterprotokoll Seite 34

Versuchsanleitungen

V 1 JOLLY‘sche Federwaage Seite 38 V 2 Bestimmung des Torsionsmoduls Seite 46 V 5 Bestimmung der spezifischen Ladung des Elektrons Seite 54 V 6 Radioaktivität Seite 61

2

A Organisatorische Hinweise

Das physikalische Grundpraktikum hat eine eigene www-Seite, http//www.tu-chemnitz.de/physik/OFGF/pgp/index.php

wo wichtige Hinweise und Dokumente zu finden sind. Das physikalische Grundpraktikum befindet sich im Institut für Physik (Physikbau), Eingang über Raum 003. Vorbedingung für die Teilnahme am Physikpraktikum ist der Besuch der jeweiligen Vorlesung Experimentalphysik (Modulnummer Wi-Ing 5). Zu Beginn des Praktikums erfolgt eine Einschreibung der Studenten in den jeweiligen Praktikumskurs. Kurstage, durchzuführende Versuche und Gruppeneinteilung werden danach im Schaukasten ausgehängt bzw. auf der Internet-Seite des Praktikums veröffentlicht. Die Anleitungen für die Praktikums-versuche sind im Sciptportal (/www.pm.tu-chemnitz.de/php/printportal) zu bestellen und käuflich zu erwerben. Zu Beginn des Praktikumskurses wird eine Arbeitsschutzbelehrung durchgeführt. Die Teilnahme eines jeden Studenten ist Pflicht und durch Unterschrift zu bestätigen. Das Praktikum wird in Gruppen (zwei Studenten) durchgeführt. Es beginnt pünktlich zu den im Plan vorgesehenen Zeiten. Für jeden Praktikumsversuch ist eine gründliche Vorbereitung notwendig. Dafür geben die Versuchsanleitungen Hinweise, die jedoch durch Literaturstudium zu ergänzen sind. Es wird erwartet, dass der Praktikant mit den physikalischen Grundlagen, den Grundzügen der Versuchsdurchführung und dem Gang der Auswertung soweit vertraut ist, dass er ohne fremde Hilfe alle Teilaufgaben des Versuches selbständig durchführen und die gemessenen Größen auswerten kann. Es ist notwendig, das Protokoll anhand der Versuchsanleitung vorzubereiten. Am Versuchstag erfolgt eine kurze Einweisung durch den betreuenden Assistenten. Die für den Versuch erforderlichen Geräte stehen am Versuchsplatz bzw. werden vom betreuenden Assistenten ausgegeben. Die für den jeweiligen Versuch erforderlichen speziellen Daten (Kenngrößen, Bedienungsanleitungen etc.) liegen ebenfalls am Versuchsplatz aus. Man macht sich zunächst mit den Einzelteilen, ihrer Bedeutung für den Versuch und ihrer Funktion im Versuch vertraut und überlegt sich, wie die einzelnen Teile, falls erforderlich, zusammenzubauen sind. Beim Aufbau der Versuchsanordnung achte man darauf, dass die Geräte so aufgestellt werden, dass diese bequem bedient bzw. abgelesen werden können. Schäden, die an den Apparaturen festgestellt werden oder während des Versuches auftreten, sind sofort dem betreuenden Assistenten zu melden. Die Einrichtungen und Geräte des Praktikums sind sachgerecht zu behandeln, Experimentieren an

3

Versuchen bzw. Versuchsteilen, die nicht zum aktuellen Versuch gehören, ist nur nach Rücksprache mit dem betreuenden Assistenten gestattet. Empfindliche Geräte sind mit besonderer Sorgfalt zu benutzen. Zu diesen gehören u. a. Analysenwaagen, Mikroskope, Geiger-Müller-Zählrohre sowie elektronische und elektrische Messgeräte. Spektrallampen dürfen nur so lange eingeschaltet bleiben, wie es für die Experimente unbedingt erforderlich ist. Für Schäden, die durch grobe Fahrlässigkeit entstehen, kann der betreffende Student haftbar gemacht werden. Nach Beendigung der Versuche ist jeder Praktikant verpflichtet, seinen Versuchs-platz aufzuräumen. Am Ende eines jeden Praktikumstages wird der Versuch abgeschlossen, das dazugehörige Protokoll vom betreuenden Assistenten durchgesehen und testiert. Fehlerhafte oder unvollständige Protokolle müssen nachgearbeitet werden. Der betreuende Assistent überzeugt sich vor bzw. während des Versuches, ob jeder Student die physikalischen Grundlagen dazu beherrscht. Bei ungenügender Vorbereitung oder Ausführung wird der Versuch abgebrochen und nicht anerkannt. Versucht ein Student durch Benutzung unerlaubter Hilfsmittel oder Verwendung nicht selbst ermittelter Messwerte zu betrügen, wird er von der Versuchsdurchführung ausgeschlossen. Muss ein Student das Praktikum aus stichhaltigen Gründen unterbrechen, sollte er dies so zeitig wie möglich mit dem Leiter des Praktikums besprechen. Jeder Student erhält zu Beginn des Praktikums eine Testatkarte. Auf dieser Karte bestätigt der betreuende Assistent den abgeschlossenen Versuch und trägt die Punkte, d. h. pro Versuch maximal 10, für Versuchsdurchführung (einschließlich Protokoll 5 Punkte) und Kolloquium (5 Punkte) getrennt ein. Die Testatkarte ist zu den jeweiligen Praktikumsterminen mitzubringen. Am Ende des Praktikums wird die Testatkarte abgegeben. Eine Bescheinigung über die erfolgreiche Teilnahme am physikalischen Grundpraktikum als Zulassungsvoraussetzung für die Modulprüfung (Praktikumsschein) wird erstellt, wenn die erreichte Punktzahl größer ist als die Hälfte der Maximalpunktzahl und wenn gleichzeitig alle Versuche erfolgreich abgeschlossen wurden, d. h., pro Versuch mindestens 4 Punkte erreicht wurden, wobei für Protokoll bzw. Kolloquium jeweils mindestens einen Punkt erforderlich sind. Mitteilungen bei Krankheit oder Abwesenheit richten Sie bitte an den Praktikumsleiter Dr. G. Beddies, Raum P 171, Tel. (0371)531 33114 email: beddies@physik.tu-chemnitz.de oder das Sekretariat, Frau U. Vales, Raum P 178 Tel. (0371)531 21610.

4

B Hinweise zur Protokollführung

Das Protokoll soll nur solche Eintragungen (kein Bleistift) enthalten, die zum notwendigen Verständnis bzw. zur späteren Wiederholung erforderlich sind. Als Protokollhefte sind zwei gebundene Heft DIN A4 erforderlich (lose Blattsammlungen sind nicht gestattet). Für die Anfertigung geforderter grafischer Darstellungen sind geeignete Materialien (einfaches Millimeterpapier DIN A4, Kurvenlineale) mitzubringen. Spezielle Funktionspapierarten werden bereitgestellt. Wird zur Erstellung der grafischen Darstellungen ein PC-Programm genutzt, so sind auch hier die üblichen Anforderungen an grafische Darstellungen einzuhalten. Alle grafischen Darstellungen sind in geeigneter Form in das Protokoll einzubinden. Jeder Praktikumsteilnehmer führt sein eigenes Protokoll. Das für jede Praktikumsaufgabe anzufertigende Protokoll soll folgende Form aufweisen:

I. Protokollkopf Datum und Uhrzeit, Name des Protokollanten und des Mitarbeiters, Thema des Versuches, Versuchsnummer, Name des Betreuers

II. Aufgabenstellung Nennen der gestellten Aufgabe.

III. Vorbereitung Knappe Formulierung des physikalischen Problems, Schlussfolgerungen für die Durchführung des Experimentes, Angabe der erforderlichen Teilexperi-mente, keine Abhandlung der Theorie. Angabe der Formeln für die Aus-wertung und der Herleitung der Formeln für die Fehlerbetrachtung.

IV. Durchführung des Experimentes, Versuchsdaten Beschreibung des experimentellen Aufbaus. Dabei ist zu beachten, dass eine Skizze oft mehr aussagt, als eine lange Beschreibung. Bei elektrischen Schaltungen müssen die Schaltskizzen im Protokoll enthalten sein. Alle während des Versuchsablaufes gemessenen Werte sind sofort zusammen mit den zugehörigen Fehlern in übersichtlicher Form (z. B. Tabellen) in das Protokollheft einzutragen, dazu gehören auch die Angaben zu den verwendeten Messgeräten (Typ, Güteklasse, Messbereich). Es dürfen keine Zettel verwendet werden. Es ist nicht gestattet, nur die aus gemessenen Werten berechneten Mittelwerte bzw. Endergebnisse einzutragen. Der Gang des Versuches sollte durch Stichworte und Anmerkungen skizziert werden.

5

V. Auswertung

Berechnung bzw. Darstellung der geforderten Größen. Alle Zwischenrechnungen sind im Protokollheft aufzuführen. Besonderer Wert ist auf die Anfertigung grafischer Darstellungen zu legen. Sie sind grundsätzlich auf geeignetem Koordinatenpapier anzufertigen und an der zugehörigen Stelle im Protokollheft einzukleben. Für die Anfertigung grafischer Darstellungen ist folgendes zu beachten: Jede grafische Darstellung muss einen Titel tragen. An die Achsen sind die dargestellten Größen mit den gewählten Einheiten und den Zahlenwerten zu schreiben. Die Messwerte müssen in der Darstellung deutlich erkennbar sein, um ihre Streuung beiderseits der angegebenen Kurve beurteilen zu können. Unterschiedliche Messreihen in einer Darstellung müssen unterscheidbar sein und durch entsprechende Parameterwerte charakterisiert werden.

VI. Fehlerbetrachtung Jeder Messwert ist mit einem Fehler behaftet. Es gehört daher zu jedem Protokoll, die Messfehler abzuschätzen, bzw. zu berechnen und bei mehreren Messgrößen durch eine Fehlerbetrachtung einen Fehler für das Endergebnis zu ermitteln.

VII. Zusammenstellung der Ergebnisse und Diskussion

Die Endergebnisse und ihre Fehler sind in gerundeter, übersichtlicher Form zusammenzustellen. Das Ergebnis der Messung einer physikalischen Größe ist in der Form anzugeben:

, .FF F FF

.. .Δ= ± Δ =

Dabei ist F der Mittelwert der physikalischen Größe und der

zugehörige absolute Fehler. Weiterhin ist der relative Fehler

F FΔ

FFΔ

anzugeben.

Der relative Fehler ist eine dimensionslose Zahl und wird in Prozent

angegeben. Bei der Angabe von ,F FΔ und /F FΔ sind die in den Hinweisen unter E aufgeführten Rundungsregeln zugrunde zu legen. Den Abschluss des Protokolls bildet eine kritische Diskussion der Endergebnisse.

6

C Hinweise zur Sicherheit sowie zur Unfall- und Brandverhütung im physikalischen Grundpraktikum

1. Brandschutz Das Rauchen ist in allen Gebäuden der TU Chemnitz verboten. Mit brennbaren Flüssigkeiten ist vorsichtig umzugehen. Brände entstehen dadurch, dass sich die Dämpfe dieser Flüssigkeiten entzünden können. Elektrische Heiz- und Wärmegeräte sind so aufzustellen, dass sich keine benachbarten Gegenstände bzw. Unterlagen entzünden können. Wasserkocher sind nur bei ausreichendem Wasserstand zu betreiben und nach deren Benutzung abzustecken.

Verhalten bei Bränden Ertönt ein Alarmsignal (lang andauernde Folge von kurzen Tönen), so müssen sich die Praktikumsteilnehmer wie folgt verhalten: • Praktikumsdurchführung sofort abbrechen! Wertsachen und Oberbekleidung

mitnehmen! • Gebäude auf dem schnellsten Weg verlassen. • Weisungen der Assistenten befolgen. • Alle Personen sammeln sich auf dem Parkplatz gegenüber vom

Physikgebäude. Bei Ausbruch eines Brandes innerhalb der Praktikumsräume müssen folgende Maßnahmen nach Möglichkeit parallel eingeleitet werden: Rettung von Menschen und, wenn möglich, mit der Brandbekämpfung beginnen. Es ist daher erforderlich, sich über den Standort der Handfeuerlöscher zu informieren.

• Brandmeldung über: NOTRUF *112 bzw. Wachdienst 44111 oder Havariedienst 44112 bzw.

Brandmelder auf dem Flur.. Jeder Mitarbeiter und Student ist zur Meldung verpflichtet! Folgende Auskünfte sind zu geben: 1. Wo brennt es? 2. Was brennt? 3. Sind Menschen in Gefahr? 4. Wer meldet? Name, Einrichtung, Telefonnummer

• Fenster und Türen schließen! • Verlassen des Raumes bzw. Gebäudes!

7

2. Verhalten bei Unfällen Unfälle jeglicher Art während der Praktikumszeit sind im Interesse des Betroffenen meldepflichtig. Zur Erstversorgung von Verunfallten befindet sich in den Praktikumsräumen P 002 und P 006 jeweils ein 1. Hilfe Kasten. Größere Arbeits-unfälle sind innerhalb von drei Tagen an die Abteilung Sicherheit der TU zu melden (Formblatt).

3. Garderobe Zur Ablage der Garderobe sind die Garderobenhaken im Raum P 003 bzw. in den Optikräumen zu nutzen. Größere Gegenstände (Helme, Taschen) können in den Praktikumsräumen abgelegt werden, sie dürfen aber keine Unfallgefahr darstellen. Ausweispapiere, Wertsachen und Geld sollten die Studenten an sich nehmen bzw. in die Schließfächer (P003) eingeschlossen werden. Bei Schäden an der Kleidung übernimmt die Fakultät keine Haftung. Nötigenfalls sollten Kittel getragen werden.

4. Elektrische Anlagen Beim Arbeiten an elektrischen Aufbauten müssen mindestens zwei Personen im Praktikumsraum anwesend sein. Stromquellen mit einer Spannung von mehr als 42 V können zu lebensgefährlichen Schäden führen. Der Aufbau, Umbau oder Abbau von elektrischen Schaltungen hat nur im spannungslosen Zustand zu erfolgen. Spannung darf erst dann an auf- oder umgebaute Schaltungen gelegt werden, wenn der betreuende Assistent die Schaltung überprüft hat. Nach Beendigung des Experimentes sind alle Geräte auszuschalten. Festverlegte Leitungen dürfen nicht verändert werden! In Notfällen (Unfällen) ist im betroffenen Praktikumsraum sofort über den Notausschalter (roter Taster) die Spannung abzuschalten.

5. Gesundheitsgefährdende Stoffe • Vorsicht beim Umgang mit Säuren! Schutzbrille tragen!

Bei Verätzungen sind die betreffenden Stellen umgehend mit Wasser abzuspülen.

• Bei organischen Lösungsmitteln besteht eine Gefährdung durch das Einatmen der Dämpfe. Es sollte vermieden werden, dass größere Mengen verdunsten. Die Flaschen sind daher stets wieder zu verschließen.

• Quecksilber kommt im Praktikum relativ häufig vor, besonders in Glasgeräten (Thermometer, Manometer, u. a.). Zerbricht ein solches Gerät, so verteilt sich das Quecksilber in feinste Kügelchen und verdampft schon bei Zimmertemperatur stark. Bereits geringe Mengen Quecksilberdampf können

8

zu Vergiftungen führen. Es ist daher notwendig den Praktikumsleiter zu informieren.

• Das Ansaugen von Flüssigkeiten in Messpipetten mit dem Mund ist verboten! • Beim Transport sind Glasgefäße mit der Hand stets am Boden zu

unterstützen. 6. Evakuierte Gefäße Beim Experimentieren an evakuierten Glasgefäßen bzw. Glasgefäßen, die erst im Praktikum luftleer gepumpt werden, ist Vorsicht geboten. Durch Implosion können Schnittverletzungen hervorgerufen werden. Aus diesem Grunde dürfen die Schutzvorrichtungen an evakuierten Glasgefäßen nicht entfernt werden.

7. Arbeiten mit Lasern Laserstrahlung ist intensiv und stark gebündelt und deshalb für die Augen schädlich. Deshalb: Der direkte Laserstrahl darf das Auge nicht treffen! Es ist stets darauf zu achten, dass keine reflektierenden Gegenstände unkontrolliert in den Strahlengang eingebracht werden. Der Laser ist auf der optischen Bank bzw. in seiner Halterung zu belassen. Müssen Versuchselemente, wie z. B. Linsen, in den Laserstrahl gebracht oder aus ihm entfernt werden, so ist der Laser für diese Zeit auszuschalten.

8. Arbeiten mit radioaktiven Präparaten Die Aktivität der im physikalischen Praktikum verwendeten Präparate ist sehr gering. Trotzdem können bei leichtfertigem Umgang Strahlenschäden auftreten. Aus diesem Grund dürfen Präparate nicht längere Zeit in unmittelbarer Nähe des menschlichen Körpers gebracht werden. Sie sind nach Gebrauch sofort wieder in den dafür vorgesehenen Behälter zu legen. Jegliches Manipulieren an den Quellen ist verboten. Während des Arbeitens mit radioaktiven Präparaten sind Essen, Trinken und der Gebrauch von Kosmetika untersagt. Während einer Schwangerschaft ist jede Arbeit unter Einwirkung ionisierender Strahlung verboten.

9. Druckgasflaschen Flaschen mit verdichteten oder verflüssigten Gasen sind in den dafür vorgesehenen Schränken (P005 und P007) aufzubewahren. Das Öffnen der Flaschenventile bzw. Einstellen oder Regulieren der Druckminderer erfolgt nur durch den betreuenden Assistenten.

10. Röntgenstrahlen Im Praktikum wird an Schulröntgenanlagen gearbeitet. Diese bauartzugelassenen Geräte sind mit verschiedenen Sicherheitsschaltern versehen, so dass beim Betrieb

9

und entsprechender Beachtung der Bedienungsanleitung diese Geräte mehrfach abgesichert sind.

11. Sonstige Bestimmungen Es ist unzulässig, organische Flüssigkeiten, Säuren, Laugen oder Kältemischungen in die Ausgüsse zu schütten. Statt dessen sind die Abfallflaschen an den Arbeitsplätzen zu verwenden. Streichhölzer, Glasscherben und andere Abfälle sind nicht in die Papierkörbe zu werfen, sondern direkt in die dafür bereitstehenden Behälter. Das Besteigen von Stühlen und Tischen ist nicht gestattet. Es sind Leitern bereitgestellt, wenn Teile der Versuchsapparatur nicht unmittelbar zugänglich sind. Der Aufenthalt während des Praktikums erfolgt nur am Arbeitsplatz für das vorgesehene Experiment. Gleichzeitig arbeitende Versuchsgruppen sind nicht zu stören. D Hinweise zur Durchführung einer Fehlerbetrachtung

Die Durchführung einer normgerechten Fehlerbetrachtung wird durch umfangreiche DIN-Vorschriften festgelegt, deren vollständige Behandlung jeden Rahmen sprengen würde und ermüdend ist. Die folgenden Hinweise sollen Ihnen eine Einführung in diese Problematik vermitteln, wobei bewusst auf jegliche Art von Herleitungen verzichtet wurde. Ziel dieses Abschnittes ist es, Ihnen einen gewissen Algorithmus, der aber nicht als ein absolutes Dogma verstanden werden soll, bereitzustellen, mit dessen Hilfe Sie die erforderlichen Fehlerbetrachtungen im physikalischen Grundpraktikum durchführen können. Erst durch dessen ständige Anwendung auf konkrete Versuchsbedingungen werden Sie getroffene Festlegungen bzw. Definitionen verstehen und in der Lage sein, eine zu dem jeweiligen Versuch gehörende Fehlerbetrachtung durchzuführen. Aus diesem Grunde verlieren Sie bei Ihren ersten Praktikumsversuchen nicht gleich den Mut, wenn die Fehlerbetrachtung nicht auf Anhieb akzeptiert wird. Auch hier gilt: Übung macht den Meister.

1. Fehlerquellen und Fehlerarten Trotz ständiger Weiterentwicklung der Zuverlässigkeit von Messgeräten treten bei der quantitativen Bestimmung einer physikalischen Größe unvermeidbare Fehler auf, jedes Messergebnis ist fehlerbehaftet. Ein Ergebnis einer Messung lässt sich daher erst dann richtig beurteilen, wenn zu einem Messwert bzw. zu einem aus mehreren Messwerten berechneten Wert der zugehörige Fehler bekannt ist. Um Messfehler zu erkennen und zu ermitteln bzw. durch geeignete Maßnahmen verringern zu können, müssen die Fehlerquellen

10

bekannt sein. Nach den Ursachen der Fehler unterscheidet man zwischen groben, systematischen und zufälligen Fehlern. Grobe Fehler beruhen auf Irrtümern, falschen oder nachlässigen Ablesungen, auf einem ungeeigneten Mess- oder Auswerteverfahren oder auf starken äußeren Störeinflüssen. Gegen solche Fehler helfen nur äußerste Sorgfalt sowie Überprüfungen und Kontrollen bei der Messung. Grobe Fehler lassen sich daher vermeiden, die Messunsicherheit eines Ergebnisses sollte keine Anteile von groben Fehlern enthalten! In den folgenden Ausführungen werden daher grobe Fehler nicht weiter betrachtet. Systematische Fehler beeinflussen das Messergebnis bei Wiederholung der Messung unter gleichen Bedingungen stets in der gleichen Richtung und in gleicher Größe. Ihre Ursachen liegen in der Unvollkommenheit der

- verwendeten Maße (z. B. Abweichungen von Eichnormalen) - eingesetzten Messgeräte (z. B. fehlerhafte Skaleneinteilung eines Lineals) - Messverfahren (z. B. gleichzeitiges Messen von Strom und Spannung) - Messgegenstände (z. B. infolge der Verformbarkeit des Werkstoffes des

Messobjektes) sowie - in Einflüssen der Umgebung, die messtechnisch oder rechnerisch erfasst

werden können. Durch ein vertieftes theoretisches Verständnis des Messvorganges und durch gezielte experimentelle Maßnahmen können systematische Fehler prinzipiell entdeckt, vermieden oder wenigstens vermindert werden. Zufällige Fehler treten völlig regellos nach Betrag und Richtung auf. Ihre Ursachen liegen in messtechnisch nicht erfassbaren Änderungen der

- Messobjekte, - Messgeräte, - Umwelteinflüsse sowie - des Beobachters.

Zufällige Fehler sind prinzipiell unvermeidbar. Sie bewirken, dass die Einzelergebnisse einer Messreihe streuen und der wahre Wert der zu messenden Größe nicht beliebig genau angegeben werden kann.

2. Ermittlung systematischer Fehler 2.1 bei direkter Messung Falls systematische Fehler nicht auf messtechnischem oder rechnerischem Wege erfasst werden können, ist es üblich, eine obere Grenze für den systematischen Fehler abzuschätzen. Der Zahlenwert für diese obere Grenze ergibt sich unter Berücksichtigung der Versuchsbedingungen durch Addition der maximal möglichen Beiträge der einzelnen systematischen Fehler:

11

- vorgegebene Fehler der Messgeräte und Maße (z. B. Güteklasse elektrischer Messgeräte),

- abgeschätzte Fehlereinflüsse der verwendeten Messverfahren (z. B. Strahlungsverluste bei kalorimetrischen Messungen),

- Ungenauigkeit der zur Auswertung benutzten Formeln (z. B. Vernachlässigung des Auftriebes bei der Wägung).

Die Fehler der Messgeräte und Maße sind durch Standards oder durch Garantiefehlergrenzen bzw. durch Eichfehlergrenzen festgelegt und durch Aushang im Praktikum dokumentiert.

2.2 bei indirekter Messung In vielen Fällen ergibt sich die gesuchte Größe F als Funktion von n verschiedenen,

direkt gemessenen physikalischen Größen ( )1....if i n= . Durch Einsetzen der mit

systematischen Fehlern ifΔ behafteten Messwerte if in die Funktion ( )iF f erhält

man ein fehlerbehaftetes Ergebnis F. Der zugehörige systematische Fehler wird mit Hilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetzes für systematische Fehler

1

n

ii i

FF ff=

⎛ ⎞∂Δ = Δ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∑

errechnet. Da für erkannte systematische Fehler Vorzeichen und Größe der ifΔ

bekannt sind, erhält man einen nach Vorzeichen und Zahlenwert definierten Gesamtfehler . FΔ

3. Ermittlung zufälliger Fehler 3.1 bei direkter Messung 3.1.1 für Einzelmessungen Bei einer Einzelmessung kann der zufällige Fehler nur abgeschätzt werden. Im einfachsten Fall ist er gleich der Ablesegenauigkeit der Skale (z. B. bei Vielfachmessern, Thermometer, Messschieber etc.). Dazu ist eventuell ein durch die Einstellgenauigkeit gegebener Einstellfehler zu addieren. 3.1.2 für Messreihen (Fehlerrechnung) Liegen sehr viele Messungen (Messreihe) vor, so werden positive und negative Fehler, also positive und negative Abweichungen vom „wahren Wert“ vorkommen (Abb. 1).

12

Abb. 1: Darstellung der n Einzelmessungen An Stelle des nicht zu ermittelnden wahren Wertes x einer Messgröße kann im

einfachsten Fall der wahrscheinlichste Wert nx (Mittelwert) aus den vorliegenden,

gleich zuverlässigen n Messwerten 1 2,, .... nx x x bestimmt werden

1 .n ix xn

= ∑

Der wahrscheinlichste Wert einer Messgröße - auch Erwartungswert genannt - errechnet sich somit als arithmetisches Mittel einer Messreihe. Das bedeutet aber auch, dass jede zusätzliche Einzelmessung diesen wahrscheinlichsten Wert verändert, wenn auch umso weniger, je mehr Einzelmessungen bereits vorliegen. Es bleibt also immer unsicher, wie viel der Mittelwert vom wahren Wert abweicht. Die Fehlerrechnung dient dazu, den Grad dieser Unsicherheit abzuschätzen. Um die Güte der benutzten Messverfahren beurteilen zu können, geht man von der Streuung der einzelnen Messwerte um den Mittelwert aus. Ein Maß für die Streuung der Einzelmessung an die Standardabweichung ns (auch als mittlerer quadratischer

Fehler der Einzelmessung bezeichnet, 2ns ist die Varianz der Einzelmessung)

2

mit .1i

nn i

vis v x x

n= ± = −

−∑

Die Abweichungen vom Mittelwert gehen also nicht mit gleichem Gewicht in die Formel zur Ermittlung der Standardabweichung ein. Große Abweichungen haben einen stärkeren Einfluss als kleinere. Dadurch wird eine Messreihe mit stark streuenden Messwerten deutlich als unzuverlässig gekennzeichnet, da die Standardabweichung sehr groß wird (Abb. 2).

13

1 2 3 i na)

x

xn

1 2 i nb)

x

xn

Abb. 2: Streuung der Messwerte um den Mittelwert, a) Messung mit geringer Zuverlässigkeit, d.h. die Standardabweichung wird groß sein

b) Messung mit hoher Zuverlässigkeit, d.h. die Standardabweichung wird klein sein

Die Standardabweichung der Einzelmessung ist somit ein Maß dafür, wie weit im Mittel ein Messpunkt der Messreihe vom Mittelwert abweicht, sie stellt also den mittleren Fehler der Einzelmessung dar (Abb. 3).

x

12 n

2sn

xn

Abb.3: Darstellung der Standardabweichung der Einzelmessung als Fehlerbaken Von der bisher besprochenen Standardabweichung der Einzelmessung ist die Standardabweichung des Mittelwertes zu unterscheiden. Sie liefert eine Aussage über die Zuverlässigkeit des Mittelwertes und berechnet sich wie folgt:

( )

2

1 .1

n

in i

nx

vss

n nn== =−

∑

14

Der Bereich n x nx t s± bzw. nn

t sxn⋅

± wird als Vertrauensbereich des Mittelwertes

nx und x x nt sσ = als Vertrauensabweichung bezeichnet. Der Vertrauensbereich

gibt den Bereich um den Mittelwert an, innerhalb dessen der wahre Wert mit einer bestimmten statistischen Sicherheit P zu erwarten ist. Der Zahlenwert hängt von der gewählten statistischen Sicherheit und der Zahl der Messungen ab. Für oft

verwendete statistische Sicherheiten P sind in Tabelle 1 die Zahlenwerte t in Abhängigkeit von der Anzahl der Messungen zusammengestellt.

tn

Die durch den Vertrauensbereich festgelegten Grenzen

.n nn n

s sx t bzw x tn n

+ −

nennt man obere bzw. untere Vertrauensgrenze des Mittelwertes. Eine statistische Sicherheit von 95% bedeutet, dass bei einer Normalverteilung von z. B. 100 Einzelmesswerten 95 in dem Bereich

2 bzw. 2n

nn nx

sx s xn

± ± (n = 100, d. h. t = 2) liegen.

Für diesen Fall ist die Vertrauensabweichung x 0,2 nsσ = und wir benutzen diesen

Wert zuf 0,2 nx sΔ = auch als zufälligen Fehler des Mittelwertes.

Hinweise: • Taschenrechner berechnen meist ns statt

nxs , obwohl es anders auf den

Tasten steht! Zur Überprüfung sollten für eine (kurze) Messreihe diese beiden Größen entsprechend der angegebenen Formeln berechnet und mit

den Werten des Taschenrechners verglichen werden. • Statistische Fehlerbetrachtungen werden im physikalischen Praktikum

durchgeführt, wenn mindestens 10 Einzelmessungen vorliegen. • Im Praktikum soll in der Regel mit einer statistischen Sicherheit von

P=95% gerechnet werden.

15

Tabelle 1

Anzahl der Einzelmessun-gen

Werte t und tn

für

n P = 68,30% P = 95,00% P = 99,73% 3 1,32 0,762 4,30 2,48 19,21 11,00

4 1,20 0,600 3,18 1,59 9,22 4,61

5 1,15 0,514 2,78 1,24 6,62 2,96

10 1,06 0,334 2,26 0,72 4,09 1,29

20 1,03 0,230 2,08 0,47 3,45 0,77

30 1,02 0,186 2,05 0,37 3,28 0,60

100 1,00 0,100 2,00 0,20 3,10 0,31

3.2 Bei indirekter Messung (quadratisches Fehlerfortpflanzungsgesetz) Bei indirekter Messung sind die Standardabweichungen

nxs , mys … der

Mittelwerte nx , my , ….der einzelnen Messgrößen x , ,.......bekannt, so kann man

die Standardabweichung des Funktionswertes

y

( ), ,....n mF x y mit Hilfe des

quadratischen Fehlerfortpflanzungsgesetzes

2 2

2 2 .....n m

n m

F x yx y

F Fs s sx Y

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ± + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

berechnen. Voraussetzungen dafür sind, dass bei den Messungen keine systematischen sondern nur zufällige Fehler auftreten (was im Praktikum im allgemeinen nicht erfüllbar ist), die Messgrößen unabhängig voneinander sind und die Werte für

nxs ,

mys ,…… klein gegen die Mittelwerte nx , my ,…… sind.

Bei der Ableitung dieser Beziehung wurde berücksichtigt, dass infolge der Doppelvorzeichen der zufälligen Fehler eine gewisse Wahrscheinlichkeit für einen teilweisen gegenseitigen Ausgleich der Fehler der einzelnen Größen besteht.

4. Messunsicherheit Die Messunsicherheit u eines Messergebnisses umfasst die entsprechend Punkt 3 berechneten zufälligen Fehler und die nicht erfassbaren, entsprechend Punkt 2 abgeschätzten, systematischen Fehler. Nicht erfassbare systematische Fehler können z. B. dadurch entstehen, dass ein Messgerät einen unbekannten

16

systematischen Fehler besitzt oder bei dem verwendeten Messverfahren unvermeidbare Störeinflüsse (z. B. bei kalorimetrischen Messungen Wärmeaus-tausch mit der Umgebung) existieren. Eine Aufklärung über nicht erfassbare systematische Fehler könnte u. a. die Anwendung andersartiger Messsysteme und Messverfahren bringen. Dieser Weg ist im physikalischen Grundpraktikum jedoch nicht gangbar, so dass nur eine Abschätzung des Einflusses dieser Fehlerquellen auf das Messergebnis bleibt. Mit Hilfe der Messunsicherheit u wird das Messergebnis in folgender Weise

angegeben: .x x u= ±

Die Messunsicherheit wird meist additiv aus der Vertrauensabweichung

/x nt s nσ = des Mittelwertes und dem abgeschätzten Betrag des systematischen

Fehlers sysxΔ zusammengesetzt,

sys .nt su xn

= + Δ

Der durch den systematischen Fehler bedingte Anteil sysxΔ wird anhand des

verwendeten Messverfahren, der eigenen Sorgfalt beim Experimentieren und der Fehlergrenzen des eingesetzten Messgerätes abgeschätzt (Begründung für die

abgeschätzten Werte angeben!). Ist der systematische Fehler sysxΔ gegenüber

den zufälligen Fehlern vernachlässigbar, dann ist die Messunsicherheit gleich der

Vertrauensabweichung des Mittelwertes. Gilt dagegen sysxΔ » xσ kann auf die

Berücksichtigung und damit auf die Auswertung der zufälligen Fehler verzichtet werden. Im Falle einer Größtfehlerberechnung ergibt sich die Messunsicherheit aus der Summe des systematischen Fehlers und des abgeschätzten zufälligen Fehlers (Ablesefehler). 5. Größtfehlerberechnung In der experimentellen Praxis liegt häufig der Fall vor, dass zur Bestimmung einer physikalischen Größe nur wenige Messungen (teilweise sogar nur Einzelmessungen) durchgeführt werden, die direkt oder indirekt zum Endergebnis führen. In diesen Fällen wird zur Ermittlung der Messunsicherheit eine Obergrenze für den Messfehler berechnet. Diese Obergrenze bezeichnen wir als Größtfehler, im ungünstigsten Fall kann er bei der durchgeführten Messung aufgetreten sein. Sie liefert einen nach oben abgeschätzten Größtfehler für die Messung.

x

17

5.1 bei direkter Messung Die Messgenauigkeit xΔ wird auch hier durch die Summe der beiden Anteile

zufxΔ (zufälliger Messfehler) sysxΔ (systematischer Messfehler) bestimmt. Der zufällige Fehler ist im einfachsten Falle die Ablesegenauigkeit einer Skale. Dies soll am Beispiel eines Quecksilberthermometers erläutert werden (Abb. 4).

20°C 25°C 30°C

ϑ = (25,7 ± 0,3) °C

Abb. 4: Quecksilberthermometer

Die Temperatur wird am Ende des Quecksilberfadens abgelesen, z. B. befindet er sich hier zwischen den Skalenwerten 25 °C und 26 °C. Teilt man in Gedanken den Bereich zwischen den beiden Marken in zwei gleich große Teile ein, so kann man abschätzen, dass der Messwert zwischen 25,5 °C und 26,0 °C liegen muss. Man kann also in diesem Fall den Messwert mit einer Genauigkeit von etwa

angeben. Ohne Hilfsmittel (wie z. B. Nonius oder Ableselupe)

lassen sich Ablesegenauigkeiten bis zu 20% eines Skalenwertes erreichen. zuf 0,3 KxΔ = ±

Eine weitere Möglichkeit zur Abschätzung des zufälligen Fehlers besteht in der Ermittlung des Kleinst- und Größtwertes. Dazu liest man, unabhängig voneinander, bis zu vier Werte ab und bildet die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert. Diese Differenz kann dann als zweifacher Wert des zufälligen Messfehlers verwendet werden. Der mögliche systematische Messfehler wird im Allgemeinen vom Hersteller als Garantiefehlergrenze angegeben. Auf speziellen Tafeln sind die Garantie-fehlergrenzen für die im physikalischen Grundpraktikum eingesetzten Messmittel zusammengestellt und in den Praktikumsräumen ausgehängt. Im Falle des obigen Beispiels würde der systematische Fehler K

betragen. Damit garantiert der Hersteller, dass die wahre Temperatur weniger als 0,5 K von der angezeigten Temperatur abweicht. Der maximale Messfehler ergibt sich dann aus der Summe der Beträge beider Fehleranteile, zu

sys 0,5xΔ = ±

zuf sysx x xΔ = Δ + Δ .

Im angegebenen Beispiel wäre dann 0,8xΔ ± K.

Neben dem Ablesefehler ist oft auch ein Einstellfehler (z. B. Brückenabgleich oder Scharfeinstellungen einer optischen Anordnung) als zufälliger Fehler zu addieren.

18

5.2 bei indirekter Messung Im Fall der indirekten Messung setzt sich die zu bestimmende physikalische Größe

( )1 2, ,...F F x x= funktionell aus mehreren voneinander unabhängig gemessenen

Größen 1 2, ,..x x zusammen. Die zugehörigen maximalen Messfehler dieser gemes-

senen Größen seien bekannt. Sie werden in der Regel analog 5.1

ermittelt. 1 2, , ...x xΔ Δ

Zur Berechnung des Größtfehlers FΔ der gesuchten Größe geht man von der

Entwicklung der Funktion

F

( )1 2, , ...F F x x= in eine Taylor-Reihe aus, die man nach

den linearen Gliedern abbricht.

( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 21 2

, ,... , ,.. .......F FF x x x x F x x x xx x∂ ∂

± Δ ± Δ = ± Δ ± Δ ±∂ ∂

Mit ( )1 1 2 2 1 2( , , ...) , ,...F F x x x x F x xΔ = ± Δ ± Δ − erhält man für den Größtfehler

einer indirekt gemessenen physikalischen Größe:

1 21

...2

F FF x xx x∂ ∂

Δ = Δ + Δ +∂ ∂

.

Diese Näherung ist nur dann zulässig, wenn die Messfehler nicht zu groß sind oder wenn die Funktion linear ist. Da der Größtfehler berechnet werden soll, muss man alle Summanden betragsmäßig addieren.

In der Praxis bildet man von der Funktion ( )1 2, , ...F F x x= das totale Differential

1 21 2

d d dF FF x xx x∂ ∂

= + +∂ ∂

..., ersetzt die Differentiale d ix durch die Fehler ixΔ und

addiert die Beträge der Summanden. Eine einfache Rechenmöglichkeit ergibt sich,

wenn eine Potenzfunktion z. B. der Veränderlichen F a bF B x y= , ,...x y ist. Dann

kann mit Hilfe der logarithmischen Differentiation der relative Größtfehler in einfacher Weise berechnet werden. Man bildet dabei zunächst von den natürlichen Logarithmus , und berechnet dann das totale

Differential

/F FΔF

ln ln ln lnF B a x b= + + y

( )d ln F dieses Ausdruckes:

1 1 1d dF a x b yF x y

= + d .

Es erfolgt nun ebenfalls der Übergang von den Differentialen zu den entsprechenden Messfehlern, anschließend werden dann auch die Beträge der einzelnen Summan-den addiert:

19

.F xa bF x yΔ Δ Δ

= +y

Die Ermittlung des Größtfehlers soll an zwei Beispielen demonstriert werde: 1. Beispiel: Bestimmung der Fallbeschleunigung mit dem Fadenpendel

224 .g

Tπ=

Die Messgrößen sind und T, die zugehörigen Messunsicherheiten und , wobei beide die Summe aus systematischem und zufälligem Fehler darstellen.

Δ TΔ

a: totales Differential

d dg gg TT

∂ ∂= +∂ ∂

d

2 22 3

1d 4 d 8 dg TT T

π π= −

2 22 3

14 8g TT T

π πΔ = Δ + Δ

Die beiderseitige Division durch g ergibt den relativen Fehler

2g Tg TΔ Δ Δ

= +

b: logarithmische Differentiation

ln ln 4 2ln ln 2lng Tπ= + + −

d d d2g Tg T= −

2g Tg TΔ Δ Δ

= +

2. Beispiel: Bestimmung der Brennweite einer dünnen Linse

1 1 1 .

'f a a= +

Dieses Beispiel soll zeigen, dass die Fehlerberechnung auch davon abhängt, wie die durchzuführenden Messungen ausgeführt werden. Zunächst könnte man nacheinander und a a′ unabhängig von einander mit

Messfehlern und messen. Die Anwendung der obigen Formel führt dann auf

aΔ a′Δ

20

( ) ( )

2 2

2 2' ' .

' 'a af a a

a a a aΔ = Δ +

+ +Δ

Die Division durch ''

a afa a

=+

liefert ' ' .

' ''

'f a a a af a a a a a aΔ Δ Δ

= ++ +

Oft misst man statt dessen auf einer gemeinsamen Skala unabhängig von einander den Gegenstandsort , den Linsenort und den Bildort mit den jeweiligen

Messfehlern und . 1 2 3

1,Δ Δ 2 3Δ

In diesem Falle gilt ( ) ( )

( )2 1 3 2

3 1

' .'

a afa a

− −= =

+ −

a: Rechnung über Bildung des totalen Differentials

1 21 2 3

d d df f ff ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ 3d

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )

2 23 2 2 13 2 3 2 2 1

1 22 23 13 1 3 1

d d df− −− − − −

= + +−− −

3d .

Nach dem Ersetzen der Differentiale durch ihre Messfehler d i iΔ , Umformen der

Summanden und Addition der Beträge erhält man:

( ) ( )

2 2

1 22 2' ' .

'' 'a a a af

a aa a a a−

Δ = Δ + Δ + Δ++ +

3

Die beidseitige Division durch ''

a afa a

=+

ergibt den relativen Fehler

1 22 2

' .' '

f f a a ff a a a aΔ −

= Δ + Δ + Δ 3

b: logarithmische Differentiation Unter Beachtung spezieller Rechenregeln kann dieses Verfahren auch hier angewandt werden. Man erhält zunächst:

( ) ( ) ( )3 2 3 12 1

2 1 3 2 3 1

d ddd .ff

− −−= + −

− − −

21

An dieser Stelle dürfen noch keine Betragsstriche gesetzt werden. Es muss unbedingt zuvor nach den Differentialen der unmittelbar gemessenen Größen

geordnet werden. Es ist dabei zu beachten, dass z. B. ( )2 1 2d d 1d− = − gilt.

( ) ( ) ( )1 22 1 3 1 2 1 3 2 3 2 3 1

d 1 1 1 1 1 1d dff

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= + + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

3d .⎞⎟⎠

'

Ersetzt man nun in diesem Falle ebenfalls die Differentiale durch die Messfehler, führt wieder und f ein und summiert die Beträge der Summanden, so erhält man folgendes Endresultat für den relativen Fehler:

,a a

1 22 2

' .' '

f f a a ff a a a aΔ −

= Δ + Δ + Δ 3

6. Fehlerkennzeichnung in grafischen Darstellungen Eine grafische Darstellung dient zur Veranschaulichung des funktionellen Zusammenhangs zweier Größen und zur quantitativen Auswertung einer Messreihe.

+

++

+

+

+

+

1 1

2 2

3 3

4 4

6 6

V V

50 50100 100150 150s

Darstellung der zeitlichen Änderung der Spannung

U = Spannungt = Zeit

V = Volts = Sekunden

{

{Physikal.Größe

Einheit

s

U U

t t

Abb. 5 : Beschriftung der Achse (a) Zeichnen der Geraden (b)

Bei der Anfertigung einer grafischen Darstellung sind zunächst folgende Punkte zu beachten:

• Wahl der Koordinatenmaßstäbe und -nullpunkte nach Möglichkeit so, dass der ganze auf dem Blatt zur Verfügung stehende Achsenbereich ausgenützt wird und ein bequemer Umrechnungsfaktor verwendet werden kann.

• Korrekte Beschriftung der Achsen (Abb. 5).

22

• Sorgfältiges Eintragen der Messpunkte (kleine Kreuze) und Zeichnen einer Kurve unter Berücksichtigung eventuell zu erwartender funktioneller Zusammenhänge (Gerade, Parabel, usw.).

• Die Darstellung sollte mindestens das Format DIN A5 haben.

Häufig besteht die Aufgabe, Messergebnisse in Kurvenform darzustellen, z. B. U-T-

Kennlinie eines Bauelementes. Man geht hier so vor, dass die Werte in ein

Diagramm grafisch dargestellt werden. Die zugehörigen Messunsicherheiten

( K K,T U )

KTΔ

und sind entsprechend dem angegebenen Verfahren zu ermitteln und an den

zugehörigen Messpunkten beidseitig abzutragen (Fehlerbalken). Die dadurch

festgelegte Fläche bestimmt die Größe der Fehlerfläche eines einzelnen

Messpunktes (Abb. 6).

KUΔ

Abb.6: Fehlerkennzeichnung in einer grafischen Darstellung

Aus den durch die Fehlerflächen begrenzenden einhüllenden Kurven beiderseits der

Messkurve erhält man die Grenzen des Streubereiches für die Messkurve. Der so

erhaltene Kurvenverlauf kann auch eine Kalibrierungskurve eines Mess-

gerätes (z. B. Anzeige der Temperatur eines Thermoelementes) darstellen. Benutzt

man dann ein so kalibriertes Messgerät, so erhält man aus dem abgelesenen Wert

den gesuchten, zugehörigen Wert . Der Größtfehler der Größe ergibt

( )U U T=

mU mT mTΔ

23

sich, indem man die Messunsicherheit mUΔ an der Stelle abträgt und die so

gefundenen Werte derart an den beiden Begrenzungskurven des

Streubereiches spiegelt, dass sich ein maximaler Wert für

mU

mU U± Δ m

mTΔ ergibt.

7. Geradenanpassung oder lineare Regression In der Regel sind n Paare von Messpunkten ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , ,... ,n nx y x y x y gegeben,

z. B. bei der Aufnahme der Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes eines Metalls. Innerhalb eines weiten Temperaturbereiches besteht hier ein linearer Zusammenhang zwischen R und T. Stellt man die Messpunkte grafisch dar, dann zeigt sich eine mehr oder weniger große Streuung um eine optimale Gerade. Die Ermittlung der optimalen Geraden opt opty a x b= ⋅ + kann grafisch oder rechnerisch

erfolgen.

Abb. 7 : Grafische Anpassung einer Geraden

an stellt die Messpunkte ( )P ,i i ix yM zunächst in einem geeigneten

Koordinatensystem dar (Abb. 7), und zeichnet, z. B. mit Hilfe eines durchsichtigen Lineals, die Gerade ein, die die Messpunkte optimal wiedergibt. Den Maßstab der Ordinaten- und Abszissenachse wählt man nach Möglichkeit dabei so, dass die Gerade etwa unter einem Winkel von α = 45° bzw. 135° die Abszisse schneidet. Der

24

Ordinatenwert sy des Schnittpunktes der optimalen Geraden mit der

Ordinatenachse ergeben optb . Der Anstieg der optimalen Geraden ergibt sich aus

dem Anstiegsdreieck zweie eeigneter Punkte r g ( )1P ,i ix y und ( )2 2 2,P x y . Um eine

hohe Genauigkeit zu erreichen, sollten die Strecken 2 1y y− und 2 1x x− möglichst

groß gewählt werden. Aus der Theorie bekannte charakteristische Punkte, wie

( )P ,m x y der Messpunkte liegt au• der „Mittelpunkt“ f der optimalen Geraden,

ndet werden.

• der Durchgang durch den Koordinatensprung können zur Bestimmung der optimalen Geraden verwe

y

y

x x

Fehlerermittlung bei der grafischen Anpassung einer Geraden

ür e bschnitt der

lei sverfahren kann auch auf andere funktionelle

Abb. 8:

F ine Abschätzung der Fehler für den Anstieg und den Achsenaoptimalen Geraden zeichnet man zwei weitere Geraden in die Darstellung ein. Für die eine Gerade verbindet man den Punkt der Fehleruntergrenze (d. h. des Fehler-balkens) des kleinsten Messwertes mit dem Punkt der Fehlerobergrenze des größten Messwertes, für die andere Gerade den Punkt der Fehlerobergrenze des kleinsten Messwertes mit dem Punkt der Fehleruntergrenze des größten Messwertes. Aus den berechneten Werten maxa bzw. mina und maxb bzw. minb für

diese beiden Geraden erhält man dann ein Anhalts kt übe en Feh der Koeffizienten opta und optb .

Das grafische Ausg ch

en pun r d ler

Zusammenhänge zwischen y und x angewendet werden, wenn durch eine geeignete

Transformation (z. B. Logarithmieren) ein linearer Zusammenhang zwischen y und x

25

erzeugt werden kann. Es ist dabei zu beachten, dass damit auch eine Transformation der Koordinatenachsen verbunden ist.

he Methode 7.2 rechneriscDie analytische Methode bestimmt die am besten angepasste Ausgleichsgerade, indem die quadratische Summe aller y-Abweichungen minimiert wird (Gauß‘che Methode der kleinsten Fehlerquadrate). Es wird dabei vorausgesetzt, dass die

ix -Werte fehlerfrei sind. Man erhält folgende Bestimmungsgleichungen für opta und

optb : ( )

optopt opt 22

i i i i i i

i i

Y a x n x y x y− −b y ax a

n n x x= = − =

−∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑Auch hier gilt, dass die Ausgleichsgerade durch den „Mittelpunkt“

( )P ,m x y geht. Die

der Glezugehörigen Standardabweichungen können mit Hilfe folgen ichungen berechnet werden:

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

2 222 2ix −∑ ∑ opt opt optb a2 22 21 1

i i i i

i i i i

y b a x y b xs s

n n n x x n n x x

− − − −= =

− − − −

∑∑ ∑ ∑ ∑

die letzte Stelle, die nach dem Runden noch bei der Zahl

6,217 631

E Runden

Beim Runden wird verbleibt, Rundestelle genannt. Für das Runden gilt nach DIN 1333 folgende Regel: Steht hinter der Rundestelle eine der Ziffern 0 bis 4, so wird abgerundet, steht hinter der Rundestelle eine der Ziffern 5 bis 9, so wird aufgerundet. Beispiel: zu rundende Zahl: 6,217 231

Rundestelle: ↑ ↑ Rundeverfahren: Abrunden Aufrunden gerundete Zahl: 6,217 6,218

oll eine ird die S Ergebniszahl mit einer Unsicherheit u gerundet werden, so wRundestelle nach folgender Regel gefunden: Von links beginnend ist die erste von Null verschiedene Ziffer der Unsicherheit zu suchen. Ist diese eine der Ziffern 3 bis 9, so ist sie die Rundestelle (linkes Beispiel unten). Wenn die erste von Null verschiedene Ziffer eine 1 oder 2 ist, ist die Rundestelle rechts daneben (rechtes Beispiel unten). Die Ergebniszahl und die Unsicherheit werden an der gleichen Stelle gerundet. Die Ergebniszahl wird wie oben beschrieben gerundet, die Unsicherheit wird immer aufgerundet.

26

Beispiel: Ergebniszahl: 8,579 617 8,579 617 Unsicherheit u: 0,003 83 0,001 632

Rundestelle: ↑ ↑ gerundete Ergebniszahl: 8,580 8,579 6 aufgerundete Unsicherheit: 0 004 0,001 7 ,

Die Ergebnsind also: 0,0017

5,0 ± 0,3 .

ise zur Fehlerbetrachtung

W. Walcher, Praktikum der Physik Kap.1 Teubner Verlag 1989

H. Hänsel, echnung Verlag der Wissenschaften 1965

G. Squires, ung de Gruyter 1971

W. Lichten, chnung, Springer-Verlag 1988

W. H. H. Gränicher, s nun? Teubner Verlag 1994

VCH, Weinheim (1988)

J. Becker, H.-J. Jodl Physikalisches Praktikum für Naturwissen- schaftler und Ingenieure

W. Walcher er Physik

Teubner Verlag

D. Geschke raktikum Teubner Verlag

isse nach dem Runden 8,580±0,004 8,579 6±

Folgende Beispiele sind also falsch: 3,468 ± 0,15 bzw. 5 ± 0,281.

Richtig ist: 3,47 ± 0,15 bzw.

F Literaturhinwe

1. zur Fehlerbetrachtung

Grundzüge der Fehlerr

Messergebnisse und ihre Auswert

Skriptum Fehlerre

Messung beendet - wa

J. R. Taylor Fehleranalyse

2. Praktikumsbücher

VDI-Verlag

Praktikum d

Physikalisches P

27

W. Westphal Physikalisches Praktikum Vieweg Verlag

W. Kretschmar, D. Mende, Praktikum . Wollmann Fachbuchverlag

lische Grundpraktikum .-D. Kronfeldt Springer Verlag

sch Grö en un re inheiten

iese dienen zur Beschreibung von Zuständen und Zustandsänderungen und stellt, z. B.

Aufgrun f itione ischen Größen untereinander verknü a f ein ah urückgeführt werden.

Volumen = (Länge) se * (Länge)-3

eschleunigung = Masse * Länge * (Zeit)-2 .

lle in der Physik auftretenden Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen g vom

Physikalisches H

H.-J. Eichler Das neue physika H

J. Sahm

G Physikali e ß d ih E Dwerden durch einzelne Buchstaben (Symbole) darge

- Länge t - Zeit Q - Ladung

m - Masse F - Kraft T - Temperatur usw. d von De in n können alle physikal

pft und so u e kleine Z l von Basisgrößen zBeispiele für solche abgeleitete Größen sind:

Fläche = Länge * Länge 3

Dichte = Masse/Volumen = Mas Kraft = Masse * B

Hierbei wurden die Größen Länge, Masse und Zeit als Basisgrößen gewählt. A(Formeln) nennt man Größengleichungen. Sie gelten immer, unabhängiEinheitensystem, das für die quantitative Auswertung verwendet wird. So etwa die folgenden Beziehungen:

Kinetische Energie 21kin 2

E mv=

Linsengleichung

1 1 1a b f+ =

Absorptionsgesetz 0 .axI I e−=

28

Einheiten ur quantitativen Beschreibung einer physikalischen Größe G (z. B. bei einer

Praktikum) ist die Wahl einer Einheit erforderlich. Der Wert für die

Dabei sind abhängig ene unter sich gleichwertige

s so zu wählen, dass die Maßzahl etwa zwischen 0,1 nnen Vorsätze zur Grundeinheit benützt werden, die einen Teil

gleichungen sogar zu empfehlen. Legt

ZMessung imGröße G wird dann in Form eines Produktes aus Maßzahl und Einheit geschrieben

Phys. Größe = Maßzahl × Einheit symbolisch G = {G} × [G]

von Wahl der Einheit verschiedSchreibweisen möglich, z. B. 0,023m 2,3cm 23cm= = = .

Es ist ratsam, die Einheit stetund 10 liegt. Dazu köoder ein dezimales Vielfaches bezeichnen. Auch die Schreibweise mit Potenzen von 10 in Verbindung mit der Grundeinheit ist möglich und für die Auswertung von Größenman sich von vornherein auf die Verwendung bestimmter Einheiten fest (Einheitensystem), dann erübrigt sich das Mitführen der Einheiten bei der Durchrechnung. Bei der Angabe des Ergebnisses ist die Einheit jedoch unbedingt erforderlich. Mit m = 1,2 ·103 kg und v = 108 km/h = 30 m/s ergibt sich z. B.

kinE = (1,2 ·103) 302/2 = 5,4 · 105 kgm2/s2 =0,54 · 106 J = 0,54 MJ.

In de t:

orsatz Symbol Faktor Vorsatz Symbol Faktor

r folgenden Tabelle sind diese Abkürzungen zusammengestell

V

Kilo k 103 Deci d 10-1 Mega M 106 Zenti c 10-2 Giga G 109 Milli m 10-3 Tera T 1012 Mikro μ 10-6 Nano n 10-9 Piko p 10-12

Man muss be hten, dass d se Vorsätze er Bildun von Potenz er zur

inheit gehören. ac ie bei d g en imm

E

( ) ( ) 2122622 m101m101m1m1 −− ⋅=⋅== μμ .

29

H Garantie- und Eichfehlergrenzen von Messgeräten und Maßverkörperungen

1. Längenmessung : gemessene Länge

Stahlmaßstab 550 m 5 10μ −Δ = + × ⋅

Holzmaßstab ⎫ Gliedermaßstab ⎬ 3500 m 5 10μ −Δ = + × ⋅

Rollbandmaß ⎭

Büromaßstab 3200 m 10μ −Δ = + ⋅

Messschieber

analog 450 m 1 10μ −Δ = + × ⋅

digital 30 mμΔ = ( 200mm≤ )

Bügelmessschraube 52 m 1 10μ −Δ = + × ⋅

Messuhr 15 mμΔ = (für Differenzmessungen)

Maßstabprüfokular 20 mμΔ = (für Differenzmessungen)

Maßstabmessplatten 2 mμΔ = (für Differenzmessungen)

2. Winkelmessung: Skalenwert = 1°, gemessener Winkel °<= 180α Teilungsfehler 10' 0,1' /1α αΔ = + ⋅ ° für Durchmesser 100 mm, 10' 0,05' /1α αΔ = + ⋅ °

für Durchmesser 150 mm, 200 mm

3. Zeitmessung t: gemessene Zeit

Stoppuhr analog 40,2s 5 10t t−Δ = + × (30 s–Teilung)

40,4s 5 10t t−Δ = + × (60 s–Teilung)

digital tΔ = 20 ms

Polydigit tΔ = 10 ms

30

4. Temperaturmessung gemessene Temperatur :T

Hg – Thermometer

Tabelle enthält /grdTΔ

Skalenteilung

1 grd 0,5 grd 0,2 grd 0,1 grd

Bereich

0… 50°C 0,7 0,5 0,2 0,15 0…100°C 0,7 0,5 0,2 0,15 50…100°C 1 0,5 0,3 0,25

Digitalthermometer Typ DTM 2130 (PT 100) vom Messwert 0,06 K 0,02%TΔ = ± ± 1± digit

Typ ELV 0,2 KTΔ = ± Typ GTH 1160 Bereich –50...199,9 °C vom Messwert 1%TΔ = ± 5,0± °C

Bereich –50...1150 °C vom Messwert 1%TΔ = ± 1± digit

Typ GMH 2000 vom Messbereich 0,03%TΔ = ± 1± digit

5. Volumenmessung Nennvolumen :V Messzylinder

ml/V 10 25 50 100 250 500 1000 2000 ml/VΔ 0,1 0,5 0,5 1 2 5 10 20

6. Wägung

Feinwaage syst 1m m KΔ = ∑Δ +

K – Gerätekonstante / 1mg Skt−⋅ , wird durch die eingesetzte Feinwaage bestimmt

31

Wägeststück (Feingewichtsstück) m: Nennmasse

m 100 g 500 g 200 g 100 g 50 g 20 g /mgimΔ 10 4 2 1 0,6 0,4

m 10+5 g 2+1 g 500...100 mg 50...20 mg 10...0,5 mg

/mgimΔ 0,3 0,2 0,1 0,06 0,04

Oberschalige Waage 0,01gmΔ = ± Digitalwaage L um m mΔ = Δ + Δ Linearitätsabweichung Lm−Δ − Messunsicherheit um−Δ − (für t = 95% gilt u 2m sΔ = s – Standardabweichung / Reproduzierbarkeit

Typ s / g L /gmΔ Wägebereich/ g LC 820 ≤ ± 0,005 < ± 0,01 < 820

BA 2100 ≤ ± 0,05 ≤ ± 0,1 < 2100

BA 310s ≤ ± 0,001 ≤ ± 0,001 < 310

Pt 1200 ± 0,1 ± 0,1 < 1200

DLT 411 ± 0,2 ± 0,2 < 410

440-45N ± 0,1 ± 0,2 < 1000

7. Elektrische Messgeräte Wie alle Messwerte sind auch gemessene elektrische Größen (Spannungen, Ströme, Widerstände…) mit systematischen Fehlern behaftet. Das gilt auch, wenn der gemessene Wert als Ziffer (digital) angezeigt wird. Die Größe dieser Messfehler hängt unmittelbar von der Güte des Messgerätes ab, die sich aus dem Aufbau sowie der Qualität der verwendeten Bauelemente und -gruppen ergibt. Die Güte des Messgerätes schlägt sich in seiner Genauigkeitsklasse nieder, die vom Hersteller garantiert wird. Unterschiedliche Messbereiche können unter-schiedliche Genauigkeiten aufweisen. Unter Genauigkeit versteht man dabei den höchsten zulässigen Fehler, der unter vorgeschriebenen Betriebsbedingungen auftreten kann. Die Angabe des systematischen Fehlers einer gemessenen elektrischen Größe setzt demnach die Kenntnis der Genauigkeitsklasse(n) des verwendeten Messgerätes (und seiner Messbereiche) voraus.

32

7.1 Digitalmultimeter (DMM) Der systematische Messfehler ergibt sich beim DMM als Summe zweier Terme. Entsprechend der für die jeweilige Genauigkeitsklasse angegebenen Prozentzahl ermittelt man den ersten Term als Prozentsatz vom Messwert. Hinzu wird der zweite Term, die unter der Genauigkeitsklasse angegebenen Anzahl an “digits”, addiert, die die Schwankungen der letzten Stelle am DMM charakterisiert. (Ein “digit” stellt die kleinstmögliche Differenz zweier Anzeigenwerte dar.) Die erforderlichen Angaben zu den einzelnen Multimetern sind den Datenblättern zu entnehmen, die an den Versuchsplätzen ausliegen. Beispiel: Bei einer Gleichspannungsmessung werden am DMM im 20 V-Mess-

bereich 14,18 V angezeigt. Es soll für diesen Messbereich die Genauigkeit ± (0,5% vom Messwert + 1 digit) gelten. Der systematische Messfehler ergibt sich zu: 0,5% von 14,18 V = 0,0709 V zuzüglich 1 digit (0,01 V) =0,0809 V

sysUΔ = ± 0,08 V

7.2 Zeigerinstrumente Auf dem Skalenträger dieser Geräte sind neben der Skalenteilung und der Einheit der gemessenen Größe Zeichen angegeben, die die Eigenschaften des Messinstrumentes kennzeichnen. Die für den systematischen Messfehler entscheidende Angabe ist auch hier die der Genauigkeitsklasse, sie erscheint als Prozentzahl auf dem Skalenträger. Der systematische Fehler errechnet sich als prozentualer Anteil vom Messbereichsendwert im jeweiligen Messbereich. Im Gegensatz zum DMM ist jedoch jeder Messwert innerhalb eines Messbereiches mit dem gleichen systematischen Fehler behaftet. Beispiel: Ein Strommesser der Genauigkeitsklasse 1,5 hat in einem Messbereich

bei Vollausschlag einen Endwert von 400 mA. Unabhängig von der Höhe der gemessenen Stromstärke, d. h. unabhängig von der Zeigerstellung, hat der Messwert in diesem Messbereich einen systematischen Fehler von

sysIΔ =±6 mA.

Liegt der Skalennullpunkt innerhalb der Skale, so gilt als Messbereichsendwert die Summe der beiden Skalenendwerte. Erscheinen auf dem Skalenträger des Messgerätes mehrere Genauigkeitsklassen, so gelten sie für unterschiedliche Messbereiche. Für diese Messgeräte sind die erforderlichen Angaben auf gesonderten Kennblättern an den Versuchsplätzen zu ersehen.

33

Neben der Genauigkeitsklasse können weitere Eigenschaften mittels Zeichen auf dem Skalenträger von Zeigerinstrumenten kenntlich gemacht sein (siehe Tabelle). 7.3 Technische Dekaden-Widerstände

10 0,1%R ≥ Ω ±

1 0,5%R ≤ Ω ±

7.4 Normwiderstände

410RR

−Δ= bei 15 °C bis 25 °C und

geringer Strombelastung I Musterprotokoll

M 1 Dichte eines Festkörpers

Betreuer: Dr. Keiner Datum: X. X. . . . Mitarbeiter: Niemand, G. Beginn: 730 Uhr Ende: 1030 Uhr

1. Aufgabenstellung Die Dichte eines festen, zylindrischen Körpers ist aus der Masse und den geometrischen Abmessungen zu bestimmen.

2. Messprinzip und zur Auswertung benötigte Formeln Definitionsgleichung der Dichte ρ :

mV

ρ = ⋅ Masse/Volumen

Bestimmung des Volumens aus Durchmesser d und Länge des Zylinders:

2

4V dπ= .

Bestimmung der Masse mittels Digitalwaage Versuchszubehör

Messschieber, Bügelmessschraube (Güteklasse I), Digitalwaage,

Versuchskörper Nr. 5 3. Messungen und Beobachtungen 3.1 Beschreibung des Versuchskörpers:

34

Kreiszylindrisch, sichtbare Drehrillen auf dem Mantel, Oberfläche wahrscheinlich vernickelt, keine Kratzer, keine Fase.

3.2 Bestimmung des Durchmessers Bügelmessschraube (Güteklasse I). Bei Drehung des Versuchskörpers um die Zylinderachse keine Änderungen des Durchmessers messbar.

Bestimmung des Durchmessers in verschiedenen Höhen:

Nr. d / mm 1 2 3 4 5 6

17,430 17,430 17,435 17,440 17,435 17,440

d = 17,435 mm

Ablesefehler: dΔ = ± 0,005 mm. 3.3 Bestimmung der Länge

Länge > 25 mm, Bügelmessschraube nicht anwendbar! Keine Unterschiede der Länge an verschiedenen Stellen messbar, obwohl schmaler Lichtspalt bei Messung sichtbar.

= 42,2 mm. Ablesefehler: Δ =± 0,05 mm.

3.4 Wägung (Typ LC 820) Nullpunktskorrektur wurde durchgeführt Luftdruck: p = 771,3 Torr = 102,6 kPa.

Temperatur: ϑ = 21,3 °C. Wägeprotokoll

n m/g /gm 1 2 3

83,53 83,54 83,52

83,53

Ablesefehler Δm = ± 0,01 g. Nullpunktskontrolle durchgeführt.

35

4. Auswertung

Messergebnisse: m = 83,53 g

d = 17,435 mm = 42,2 mm.

Berechnung der Dichte:

( )3

22 32

4 4 83,53g 8,2908 10mm42,2mm 17,435 mm

md

ρπ π

− g⋅= = = ⋅

⋅

3

g8,2908cm

ρ = .

5. Fehlerbetrachtung

, ,m d unabhängig voneinander gemessen,

für Durchmesser: Ablesefehler: ± 0,005 mm.

Schwankung des Durchmessers: ( )max min1 0,005mm2

d d− = .

Garantiefehlergrenze:

. 5 40,002mm 1 10 0,002mm 1,7435 10 mm 0,002mmd− −+ ⋅ = + ⋅ ≈

Gesamtfehler für Durchmesser: Δd=± 0,007 mm. für Länge:

Ablesefehler: ± 0,05 mm. Garantiefehlergrenze:

40,05mm 10 0,05mm 0,004mm 0,06mm−+ = + = .

Gesamtfehler für Länge: Δd=± 0,11 mm. für Masse: Ablesefehler: ± 0,01 g. Garantiefehlergrenzen:

— Linearitätsabweichung: L 0,01gmΔ ≤ ± .

— Messunsicherheit für t =95%: u 2 0,02gm sΔ = =

(s - Reproduzierbarkeit, Standardabweichung) Gesamtfehler: 0,04gmΔ = ± .

36

für Dichte:

2

4md

ρπ

= .

Aus logarithmischer Differentiation folgt:

2m dm d

ρρΔ Δ Δ Δ

= + +

= 0,004g 0,11mm 0,007mm283,53g 42,2mm 17,435mm

+ + ⋅

= 0,0479 · 10-2 +0,2607 · 10-2 + 0,0803 · 10-2 = 0,3889 · 10-2

0,3889%ρρΔ

= 30,03224g/cmρ −Δ = .

6. Zusammenstellung und Diskussion der Ergebnisse

Die für den Versuchskörper Nr. 5 ermittelte Dichte beträgt

( ) 38,29 0,04 g/cm , 0,4%ρρ

ρΔ

= ± =

Zusätzliche Fehler können entstehen durch die aufgebrachte Nickelschicht,

Temperatureinflüsse und den Auftrieb bei der Wägung.

Diese Einflussgrößen wurden nicht berücksichtigt. Es wurde auch die

Homogenität des Versuchskörpers vorausgesetzt (z. B. keine Lunker).

Ein Vergleich mit Tabellenwerten weist auf einen vernickelten

Messingzylinder hin (Dichte des Messings 8,3 g /cm3).

Der Fehler der Massenbestimmung ist deutlich geringer als der Fehler bei der

Bestimmung des Volumens. Eine höhere Genauigkeit kann durch bessere

Längenmessverfahren (z. B. Interferenzlängenmessung) erreicht werden.

37

V 1 Dichte

1. Aufgabenstellung

1.1 Überprüfen Sie die Proportionalität zwischen Belastung und Verlängerung einer Feder.

1.2 Bestimmen Sie die Federkonstante k mit Hilfe der dynamischen Methode und vergleichen Sie diese mit dem Ergebnis der statischen Methode.

1.3 Bestimmen Sie die Dichte a) eines geometrisch einfach gestalteten Körpers

b) eines unregelmäßig geformten Körpers

c) einer Flüssigkeit

2. Theoretische Grundlagen

Stichworte zur Vorbereitung:

Dichte, Newton’sche Axiome, harmonische Schwingung, Prinzip von

Archimedes, Hooke’sches Gesetz

Literatur:

W. Walcher Praktikum der Physik, Kap. 2.1, 2.3

Teubner-Verlag 1989

Bergmann-Schäfer Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd. 2,

Kap. 10.1,10.2. W. de Gruyter (1987)

Verlag Technik

E. Grimsehl Lehrbuch der Physik, Bd. 2, Kap. 7,

Teubner-Verlag 1988

38

2.1 Federkraft

Eine Schraubenfeder sei an einem Ende in einer Aufhängevorrichtung befestigt und hänge frei nach unten. Belastet man sie durch eine äußere Kraft , z. B. durch ein

angehängtes Gewichtsstück, so wird sie dadurch gedehnt. Es zeigt sich, dass die

Längenänderung (

aF

)x der angreifenden Kraft ( )aF proportional ist

a .F k x= (1)

Der eingeführte Proportionalitätsfaktor heißt Federkonstante und hängt von Gestalt und Material der Feder ab.

k

Mit dem Auftreten von wird in den Windungen der Feder eine gleichgroße,

rücktreibende Kraft , die Federkraft, hervorgerufen, die der äußeren Kraft das Gleichgewicht hält

aFF

a .F F k x= − = − (2)

Hervorgerufen wird diese rücktreibende Kraft durch die elastischen Verformungen der Feder. Analoge Überlegungen gelten auch für den Fall, dass die Schraubenfeder zu Beginn der Experimente durch ein angehängtes Gewichtsstück bereits um x′ vorgedehnt ist. Dieses Gewichtsstück, sowie x′ gehen in die Betrachtungen nicht ein. Dabei ist natürlich vorausgesetzt, dass die Schraubenfeder nicht durch übermäßig große Kräfte "überdehnt" wird.

2.2 Dynamische Methode zur Bestimmung der Federkonstante

Wird eine bereits durch ein Gewichtsstück G mg= (äußere Kraft) gedehnte Feder

durch eine weitere äußere Kraft (etwa Muskelkraft) nach unten ausgelenkt, so

ruft diese weitere Verlängerung wieder eine Gegenkraft hervor. Die Federkraft versetzt nach dem Verschwinden von (beim Loslassen) die Feder in

Schwingungen. Da Kraft und Auslenkung proportional sind, ergeben sich harmonische Schwingungen. Wenn die Masse der Feder vernachlässigbar klein ist gegenüber der schwingenden Masse und wenn man außerdem die Reibung vernachlässigt, erhält man die gewöhnliche lineare Differentialgleichung 2. Ordnung für eine harmonische ungedämpfte Schwingung.

MF

MF

m

0kx xm

+ = (3)

mit der Lösung 0 sin .x x tω= (4)

Dabei bedeuten: x - Elongation

39

0x - Amplitude

2π kT m

ω= = - Kreisfrequenz.

Aus der Schwingungsdauer T und der Masse kann somit die unbekannte Federkonstante ermittelt werden.

m

224π mk

T= (5)

2.3 Dichtemessung

Die Dichte ρ eines homogenen Körpers ist der Quotient aus seiner Masse m und

seinem Volumen V ,

.mV

ρ = (6)

Die Einheit der Dichte ist [ ]ρ = kg m-3. Für einen inhomogenen Körper ist die Dichte

vom Ort im Körper abhängig. Man definiert sie dann für ein infinitesimal kleines Volumenelement d , was die Masse besitzt V dm

d( ) .d

mrV

ρ = (7)

Da das Volumen eines gegebenen Körpers der Masse von der Temperatur T und dem Druck

mp abhängt, ist die Dichte ebenfalls eine temperatur- und

druckabhängige Größe. Während diese Einflüsse für Gase und Dämpfe erheblich sind, sind sie für Flüssigkeiten und feste Körper nur gering. Soll die Dichte eines Körpers bestimmt werden, so kann die Masse durch eine Wägung einfach ermittelt werden. Auch das Volumen V kann direkt gemessen werden, wenn der Körper eine einfache geometrische Gestalt hat oder wenn man das Volumen der von ihm verdrängter Flüssigkeitsmenge misst. Ein indirektes Verfahren, das auch in diesem Versuch angewandt wird, geht vom Prinzip des ARCHIMEDES aus. Danach erfährt ein Körper, der in eine Flüssigkeit der Dichte

m

Flρ

eintaucht, eine Auftriebskraft , die seinem Gewicht entgegen gerichtet ist und

die gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsmenge ist

aF GF

A,Fl Fl .F g Vρ= (8)

Bei bekanntem Flρ folgt aus Gl.(8) das gesuchte Volumen V . Eine zu Gl.(8)

analoge Beziehung gilt für den Auftrieb in Gasen.

40

Bei der praktischen Durchführung der Dichtebestimmung wägt man den Körper einmal in Luft (Index L) und einmal in der Flüssigkeit (Index Fl) der Dichte Flρ

hängend ( )Fl !ρ ρ≤ . Für die jeweiligen Differenzkräfte GF FA− gilt:

G,L A,L L .GF F F g V g Vρ ρ= − = − (9)

und

G,Fl G A,Fl Fl .F F F g V g Vρ ρ= − = − (10)

Durch Kombinationen von Gl.(9) und (10) erhält man für die gesuchte Dichte

G,L G,FlFl L

G,L G,Fl G,L G,Fl

.F F

F F F Fρ ρ ρ= −

− − (11)

Der zweite Term in Gl.(11) berücksichtigt den Auftrieb des Körpers in Luft, er ist klein gegenüber dem ersten und kann oft vernachlässigt werden.

2.4 JOLLY‘sche Federwaage

Die Jolly’sche Federwaage hat zwei übereinander angebrachte Waagschalen. Die untere taucht bei den Messungen immer vollständig in die Flüssigkeit (i. a. Wasser) ein. Liegt der Probekörper auf der oberen Waagschale, so bewirkt er eine Längenänderung Lx . Mit der Federkonstante folgt für k G,LF

h0

hw

Abb. 1 Jolly’sche Federwaage

G,L L .F k x= (12)

Entsprechend ergibt sich bei der Wägung auf der unteren Waagschale in Wasser (Index W) G,W W .F k x= (13)

Aus Gl.(11), bis Gl.(13) folgt (Fl = W)

LW L

L W L W

.x xW

x x x xρ ρ ρ= −

− − (14)

Die Auswertung nach Gl.(14) vereinfacht sich, wenn man nicht die Längenänderungen x ,

sondern die jeweiligen Zeigerhöhen h über einem bestimmten (aber willkürlichen) Nullniveau einsetzt

0 L 0 WW L

W L W L

.h h h hh h h h

ρ ρ ρ− −= −

− − (15)

0h ist die Zeigerstellung bei unbelasteter

Waage.

41

Wird ein Körper bekannter Dichte ρ verwendet, kann in gleicher Weise die Dichte einer

Flüssigkeit FLρ bestimmt werden. Aus Gl.(15) folgt

0 FLFL LFL L

0 L FL L

.h hh h

h h h hρ ρ ρ

⎛ ⎞−−= −⎜

− −⎝ ⎠⎟ (16)

3. Versuchsdurchführung

3.1 Statische Belastung einer Feder

Durch Anhängen von Gewichtsstücken bekannter Größe werden unter-schiedliche Längenänderungen x der Schraubenfeder realisiert. Günstiger Weise misst man x als

Höhenänderung über einem beliebigen Bezugsniveau 0h h− 1 0 1 .x h h= −

Es ist zweckmäßig, die Feder durch ein geringes Zusatzgewicht leicht vorzuspannen. Nehmen Sie 4 Längenänderungen für jeweils steigende und abnehmende Belastung auf. Bestimmen Sie aus der grafischen Darstellung die Federkonstante.

3.2 Dynamische Methode

Die Dauer von mehreren Schwingungen (z. B. 20) der an die Schraubenfeder ge-hängten Gewichtsstücke ist zehnmal zu messen. Die Größe der Belastung ist so zu wählen, dass die Feder nicht überlastet wird, aber auch auswertbare Schwingungs-

dauern auftreten ( )~T m . Die Fehler für die Gewichtstücke betragen 0,5%. Führen

Sie eine Größtfehlerrechnung durch.

3.3 Dichte eines regelmäßig geformten Körpers

Das Volumen des Körpers wird aus seinen Abmessungen (Messschieber, Bügelmessschraube) berechnet. Die Masse des Körpers wird mit Hilfe einer Digitalwaage bestimmt. Überprüfen Sie die ermittelte Dichte mit Hilfe der Jolly’schen Federwaage.

3.4 Jolly’sche Federwaage

Für die Bestimmung der Dichte fester Körper wird als Flüssigkeit Wasser verwendet. Die Auslenkung der Jolly’schen Federwaage (Zeigerstellung) ist bei jeder Messung dreimal

zu messen. Ermitteln Sie zunächst ohne Probekörper die Lage des Bezugspunkts ( )Lh .

43

Legen Sie dann den Probekörper auf die obere Probenschale und ermitteln Sie die

zugehörige Zeigerstellung ( )Lh . Legen Sie dann den Probekörper auf die untere

Probenschale, d.h. der Probekörper befindet sich vollständig im Wasser und ermitteln

Sie die zugehörige Zeigerstellung ( )Lh . Bei allen Messungen ist darauf zu achten, dass

die untere Probenschale immer vollständig in die Flüssigkeit getaucht wird der zu untersuchende Probekörper nur trocken auf die obere Probenschale

gebracht wird von der unteren Probenschale und dem eingetauchten Probekörper alle

Luftblasen entfernt werden die obere Probenschale nicht benetzt wird.

Anschließend wird das Becherglas mit Wasser durch ein Becherglas mit der unbekannten Flüssigkeit ersetzt und die Messung mit einem Körper bekannter Dichte wiederholt. Die Dichte des Wassers ist temperaturabhängig, sie kann in sehr guter Näherung mit Hilfe des folgenden Polynoms für den Temperaturbereich von 18 °C bis 30 °C berechnet werden

( ) ( )23 3 3 3W /(kgm ) 1,00031 10 4,74738 10 / C 5,02297 10 / Cρ ϑ− −= ⋅ − ⋅ ° − ⋅ °ϑ− ⋅

Für die Ermittlung der Luftdichte gilt

( )3L

/101,3kPa/ kgm 1,293 ./ 273

pT K

ρ − =

Machen Sie sich schon während der Versuchsdurchführung Notizen zur Genauigkeit Ihrer Messgrößen und entscheiden Sie danach, ob bei dem jeweiligen Verfahren die Auftriebskorrektur oder die Temperaturabhängigkeit von Wρ zu berücksichtigen ist!

Führen Sie für die Bestimmung der Dichte des unregelmäßig geformten Probekörpers eine Größtfehlerberechnung durch.

4. Kontrollfragen 4.1 Unter welchen Voraussetzungen führen die angehängten Gewichtsstücke

harmonische, ungedämpfte Schwingungen aus?

4.2 Erläutern Sie, wie man Ausdrücke für Geschwindigkeit und Beschleunigung des

schwingenden Systems als Funktion der Zeit erhalten kann.

4.3 Wie lautet das Prinzip von ARCHIMEDES?

44

4.4 Warum muss bei jeder Messung mit der Jolly’schen Federwaage immer der

Probekörper vollständig und die Probenhalterung bis zur gleichen Tiefe in die

Flüssigkeit eintauchen?

4.5 Ist die Kenntnis der Federkonstanten für die Dichtebestimmung notwendig?

Begründen Sie Ihre Antwort.

45

V 2 Bestimmung des Torsionsmoduls

1. Aufgabenstellung

1.1 Bestimmen Sie den Torsionsmodul von Metallen mittels Drehschwingungen.

1.2 Bestimmen Sie das Trägheitsmoment des schwingenden Systems.

1.3 Führen Sie zur Ermittlung des Torsionsmoduls eine Größtfehlerberechnung

durch.

2. Theoretische Grundlagen

Stichworte zur Vorbereitung:

Elastische Konstanten, Torsionsmodul, statische Messmethode, dynamische

Messmethode, Trägheitsmoment, Drehschwingung

Literatur:

D. Geschke Physikalisches Praktikum, Kap. M 3,

Teubner Verlag 2001

W. Walcher Praktikum der Physik, Kap. 2.4., Elastizität,

Teubner Verlag 1989

E. Grimsehl Lehrbuch der Physik, Bd. 1, Kap. 6,

Teubner Verlag 1991

H. J. Paus Physik in Experimenten und Beispielen Kap. 15

Hanser Verlag 1995

H. J. Eichler, J. Sahm Das neue Physikalische Grundpraktikum,

H.-D. Kronfeldt Kapitel 9,

Springer-Verlag, Berlin 2001

46

Ideal starre Körper treten in der Natur nicht auf. Jeder Körper erfährt durch eine

angreifende Kraft eine Deformation. Je nach der Art der Einwirkung äußerer Kräfte in

Bezug auf eine bestimmte Körperfläche werden verschiedene Spannungszustände, wie

z. B. Längsdehnung, Querkontraktion, Scherung oder Torsion beobachtet.

Das elastische Verhalten homogener, isotroper Festkörper wird durch vier Materialgrößen charakterisiert:den Elastizitätsmodul E , den Torsionsmodul ,

die Poisson’sche Zahl G

μ und den Kompressionsmodul K .

Diese vier Materialgrößen der Elastizitätslehre werden durch das Hooke’sche Gesetz

definiert. Sie sind Proportionalitätsfaktoren zwischen der jeweiligen Ursache und ihrer

Wirkung.

Der Elastizitätsmodul E beschreibt z. B. die relative Längenänderung eines Körpers, die

durch eine Zugspannung verursacht wird und der Torsionsmodul die Deformation

durch eine Scherkraft, die Poisson’sche Zahl ist das Verhältnis aus relativer

Querverkürzung und relativer Längenänderung, und der Kompressionsmodul

G

K

charakterisiert die Zusammendrückbarkeit eines Körpers.

Der Elastizitätsmodul E ist nur eine der elastischen Konstanten, deren Bedeutung im

folgendem kurz erklärt wird.

Ein Metallstab werde durch eine Zugkraft belastet, er wird dabei länger. Der Quotient

aus der in Längsrichtung des Stabes wirkenden Kraf und der Querschnittsfläche t nF

A wird Normalspannung σ genannt (Abb. 1). Der Zusammenhang zwischen Belastung

σ und relativer Längenänderung des Stabes Δ

ε

rgestellt.

= ist in dem Spannungs-

Dehnungs-Diagramm in Abb. 1 da

0

A

BC D

E

F

F

F

n

n

= A0

Abb. 1 : Spannungs-Dehnungs-Diagramm und Zugversuch / Längsdehnung

47

Die im Stabquerschnitt wirksame Spannung ist auf den unbelasteten Querschnitt 0A

bezogen.

Bis zum Punkt A, der Proportionalitätsgrenze, ist die Dehnung der Spannung

proportional. Unterhalb der Elastizitätsgrenze B gehen Volumen und Gestalt des

Körpers nach Aufhören der Belastung in ihren ursprünglichen Zustand zurück, der

Körper verhält sich elastisch. Oberhalb von B nimmt der Körper nach Verschwinden der

Kraft die ursprüngliche Gestalt nicht mehr ein, das Material verhält sich plastisch.

Oberhalb des Punktes C, der so genannten Fließgrenze, dehnt sich der Körper weiter,

ohne dass die Belastung zunimmt. Oberhalb von D kommt es wieder zu einer

Verfestigung, bis der Draht sich bei E an der späteren Bruchstelle einschnürt und

schließlich bei F reißt.

Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm sieht bei verschiedenen Stoffen qualitativ ähnlich

aus, jedoch unterscheiden sich die einzelnen Bereiche in ihrer Ausdehnung oft

wesentlich.

Neben der Belastungsabhängigkeit beobachtet man auch eine Zeitabhängigkeit der

Verformung. Man erreicht den Endwert einer Formänderung auch im elastischen

Bereich erst nach einer gewissen Zeit (elastische Nachwirkung). Eine andere

Erscheinung, die elastische Hysterese, besteht im Auftreten einer Restdeformation bei

völliger Entlastung, sie ist durch entgegengesetzter Belastung zu beseitigen. Die

Ursache dieser Erscheinung sind Fehler im Kristallbau. Physikalisch anschaulich lässt

sich dieses Verhalten deuten, wenn man berücksichtigt, dass feste Körper aus

Gitterbausteinen aufgebaut sind, die in Form eines Raumgitters angeordnet sind und die

sich durch anziehende und abstoßende Kräfte zwischen den Bausteinen im stabilen

Gleichgewicht befinden. Durch nicht zu große äußere Kräfte werden die Abstände

der Gitterbausteine verändert und dadurch innere Kräfte hervorgerufen, die nach der

äußeren Krafteinwirkung die alte Gleichgewichtslage wieder herstellen (elastisches

Verhalten). Durch größere äußere Kräfte können die Gitterebenen gegeneinander

verschoben werden. Die Gitterbausteine gelangen dabei in neue stabile

Gleichgewichtslagen, die sie nach dem Aufhören der äußeren Krafteinwirkung

beibehalten (plastisches Verhalten).

F

iF

Im Gültigkeitsbereich des Hooke’schen Gesetz gilt

48

.Eσ ε= (1)

3. Der Torsionsmodul 3.1 Definition

Wirkt auf die Deckfläche des in Abb. 1 dargestellten Würfels, dessen Bodenfläche

festgehalten wird, eine Kraft , so ist der

sich ergebende Scherwinkel SF

α der Schubspannung τ proportional

Gτ α= . (2)α

A

FS

Abb. 2: Deformation eines Würfels

durch eine Scherkraft Der Proportionalitätsfaktor G heißt Torsions- oder Schubmodul. Als Schubspannung τ

bezeichnet man den Quotienten aus dem Betrag der Scherkraft und der

Querschnittsfläche SF

A

SFA

τ = . (3)

Experimentell kann der Torsionsmodul z. B. aus der Verdrillung von Stäben oder Drähten mit kreisförmigem Querschnitt bestimmt werden. Es soll im Weiteren ein einseitig eingespannter Draht betrachtet werden, dessen Länge

groß gegenüber dem Radius r ist. Am freien Drahtende lässt man tangential am

äußeren Durchmesser ein äußeres Kräftepaar angreifen, das den Draht um den

Winkel SF

ϕ verdrillt.

49

r’ d ’r

α

ϕ

b

Abb. 3 : Verdrillung eines Drahtes

Denkt man sich den Draht aus unendlich vielen ineinander gesteckten konzentrischen Hohlzylindern mit der Dicke zusammengesetzt, so verschiebt sich bei Verdrillung

eine zur Drehachse parallele Faser im Abstand

dr′r′ von der Drehachse um den Winkel α

(vergl. Abb. 3). Dem äußeren Drehmoment S2M r F′ = wirkt an jedem Flächenelement dA (Kreisringe)

im Abstand von der Drehachse ein im Betrag jeweils gleichgroßes elastisches Drehmoment

r′d dM r F′= − entgegen.

Mit den Gln.(2) und (3) ergibt sich d dM r G Aα′= − .

Nach Abb. 3 gilt für kleine : b rα ϕ α′= = . Mit diesem Ausdruck und d 2π dA r r′ ′=

(Zylinderkoordinaten) folgt

3d 2π dGM r rϕ ′ ′= − .

Das gesamte rücktreibende Drehmoment erhält man durch Integration über alle Hohlzylinder.

43

0

πd 2π d2

r G GM M r r rϕ ϕ′ ′= ∫ = − ∫ = − . (4)

Eine Methode zur Bestimmung des Torsionsmoduls, die dynamische Methode, basiert auf der Messung der Schwingungsdauer von Drehschwingungen.

50

Mit dieser Messmethode wird der Torsionsmodul zweckmäßigerweise dann ermittelt, wenn das zu untersuchende Material als Draht vorliegt, also geringe Drehmomente zur Verdrillung benötigt werden. Ein Draht der Länge ist am oberen Ende eingespannt und am unteren Ende mit einem Körper belastet. Lenkt man den Körper bzgl. der Drehachse aus, so führt er eine Drehschwingung aus, deren Ursache die elastischen Kräfte des verdrillten Drahtes sind. Bei einem Auslenkwinkel ist der Betrag des rücktreibenden Momentes M gegeben durch

M Dϕ= − . (4a)

D wird als Direktions- oder Richtmoment bezeichnet. Für die Rotationsbewegung um die Drehachse gilt die Bewegungsgleichung

0=+ ϕϕJD

, (5)

wobei das Trägheitsmoment der Messanordnung ist. Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung lautet

J

0 cos D tJ

ϕ ϕ β⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎠

+ ⎟ (6)

mit den durch die Anfangsbedingungen bestimmten Konstanten 0ϕ (Amplitude) und β

(Phase). Die Periodendauer T dieser harmonischen Schwingung ergibt sich zu

2π JTD

= .

Mit den Gln.(4) und (4a) folgt daraus

4

22π JTG rπ

= . (7)

Somit kann der gesuchte Torsionsmodul G durch Messung der Schwingungsdauer T bestimmt werden, wenn das Trägheitsmoment der schwingenden Anordnung bekannt ist. Im speziellen Versuch ist jedoch neben G auch das Trägheitsmoment unbekannt (unregelmäßige Form bzw. Inhomogenität des angehängten Körpers, sowie Beitrag des mitschwingenden Drahtes).

JJ

51

Man macht deshalb eine zweite Messung, bei der am schwingenden Körper eine Zusatzscheibe mit berechenbarem, also bekanntem, Trägheitsmoment 1J befestigt wird.

Die Schwingungsdauer 2T ergibt sich hierbei zu

12 2 π J JT

D+

= . (8)

Für das unbekannte Trägheitsmoment folgt aus den Gln.(7) und (8) J

2

1 22

TJ JT T

= 2− . (9)

Aus den Gln.(7) und (9) erhält man nun den gesuchten Torsionsmodul

( )1

4 2 22

128 π JGd T T

=−

. (10)

Die Zusatzscheibe ist ein homogener Hohlzylinder der Höhe H , dem inneren Radius

iR und dem äußeren Radius aR . Sein Trägheitsmoment beträgt

( )4 4

a i1

π2

H R RJ

ρ −= . (11)

Mit ( )2 2a iπ

m mV H R R

ρ = =−

erhält man ( )2 21 a2

mJ R R= + i . (12)

4. Versuchsdurchführung

Eine Verdrehung der beiden zusammengeschraubten Körper um etwa 90° bewirkt die Verdrillung des Drahtes, von dessen Material der Torsionsmodul bestimmt werden soll. Nach dem Loslassen der Körper führt das System Drehschwingungen aus. Die Schwingungsdauer bestimmt man aus der Zeit für 20 aufeinander folgende

Schwingungen. Die Messung ist fünfmal durchzuführen. 2T

Nach dem Abschrauben der unteren Scheibe wird die Schwingungsdauer T (am Draht hängt nur der obere Körper) auf die gleiche Weise bestimmt (fünfmalige Messung von 20 Schwingungen). Die zur Berechnung des Trägheitsmomentes der unteren Scheibe 1J notwendige Masse

m erhält man durch Wägung. Den Außendurchmesser a2 R sowie den Durchmesser

der Bohrung i2 R bestimmt man mit dem Messschieber, den Drahtdurchmesser d an

52

fünf verschiedenen Stellen mit der Bügelmessschraube. Die Drahtlängen sind am Versuchsplatz angegeben.

5. Kontrollfragen 5.1 Unter welcher Voraussetzung gilt das Hooke’sche Gesetz? 5.2 Nennen Sie die Definitionsgleichung des Trägheitsmomentes, erläutern Sie anschaulich diese Größe und leiten Sie die Beziehung (11) her. 5.3 Wie groß wäre das Trägheitsmoment des verwendeten Hohlzylinders

(Zusatzscheibe), wenn er um einen Punkt seiner Peripherie Drehschwingungen ausführen würde?

5.4 Welche weitere Messmethode zur Bestimmung des Torsionsmoduls gibt es an

Stelle der dynamischen Messung ( )T ? Welche Größe wird bei der alternativen

Methode gemessen? 5.5 Nennen Sie analoge Größen und Gleichungen der Translation und der Rotation.

53

V 5 Bestimmung der spezifischen Ladung des Elektrons

1. Aufgabenstellung 1.1 Ermitteln Sie für mindestens 5 unterschiedliche Magnetfelder und

Anodenspannungen den zugehörigen Radius der Kreisbahn und berechnen Sie die spezifische Ladung e/me des Elektrons.

1.2 Führen Sie zur Berechnung der spezifischen Ladung des Elektrons eine Größtfehlerberechnung durch.

2. Theoretische Grundlagen

Stichworte zur Vorbereitung:

Ladung, elektrisches Feld, Potential, magnetisches Feld, Lorentz-Kraft, Bewegung von Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern, Kreisbewegung, Zentrifugalkraft, Fadenstrahlrohr, Helmholtz-Spulenpaar

Literatur: Becker, Jodl Physikalisches Praktikum Versuch 28,

VDI-Verlag, 1991 D. Geschke Physikalisches Praktikum Optik 6.2

B. G. Teubner Verlag, 2001 W. Demtröder Experimentalphysik Bd.2, Kap. 1.8, 3.2.5., 3.3

Springer Verlag, 1995 A. Recknagel Physik, Bd. Elektrizität und Magnetismus

Kap. 4.8, 5.8, 9.3, Verlag Technik

54

Das Fadenstrahlrohr dient zusammen mit den Helmholtz-Spulen zur Untersuchung der

Ablenkung von Elektronenstrahlen in elektrischen und magnetischen Feldern und

insbesondere der Bestimmung der spezifischen Elektronenladung e/me.

Das Elektrodensystem des Fadenstrahlrohres (Abb. 1) dient zur Erzeugung des

Elektronenstrahls. Aus einer indirekt beheizten Kathode werden Elektronen emittiert, die

durch eine Gleichspannung zur kegelförmigen Anode beschleunigt werden, so dass

Elektronen mit gleicher Geschwindigkeit erhalten werden. Durch eine kleine Bohrung in

der Anode treten dann diese Elektronen (-strahl) aus und werden im Magnetfeld

abgelenkt. Zur Regelung der Strahlintensität befindet sich in der Nähe der Kathode der

so genannte Wehnelt-Zylinder.

2 4

1

3

B-Feld A = Anode W = WEHNELT-Zylinder

1 Glaskolben mit Elektrodensystem, 2 Helmholtz -Spulen, 3 Ständer mit Anschlussbuchsen, 4 Vorrichtung zum Ablesen

Abb. 1: Fadenstrahlrohr mit Helmholtz-Spulen

Beim Durchlaufen der Anodenspannung erhalten Elektronen die kinetische Energie AU

2e

1 .2

m v eU= A (1)

55

Bewegen sie sich mit der Geschwindigkeit v senkrecht zu den Feldlinien eines

Magnetfeldes der Induktion B , so wirkt auf sie die Lorentz -Kraft LF

L .F ev B= (2)

Diese Kraft wirkt stets senkrecht zur Geschwindigkeit und zur Feldrichtung. Im

homogenen Magnetfeld bewegen sich die Elektronen deshalb auf einer Kreisbahn mit

dem Radius . Die Lorentz-Kraft wirkt als Zentripetalkraft, der im Bezugssystem

des Elektrons eine gleich große Zentrifugalkraft entgegenwirkt, d. h., es gilt

r LF

ZF

2

e .m vev Br

= (3)

Mit der Energiebilanz Gl.(1) folgt aus Gl.(3) für die spezifische Ladung des Elektrons

A2 2

e

2 .e Um B r

= (4)

Bewegen sich die Elektronen nicht senkrecht zu den Magnetfeldlinien, so ist die

Geschwindigkeit vektoriell zu zerlegen. Für die Geschwindigkeitskomponente (v⊥)

senkrecht zu den magnetischen Feldlinien erfolgt eine Bewegung entsprechend der

obigen Gleichungen. Die Geschwindigkeitskomponente (v||) parallel zu den

magnetischen Feldlinien bewirkt eine Bewegung senkrecht zur Kreisbahn, d. h., die

Kreisbahn wird zu einer Spiralbahn auseinander gezogen. Für den Radius r, die

Ganghöhe s und den Winkel α (Abweichung vom senkrechten Einschuss) besteht

folgender Zusammenhang

tan .2π

sr

α = (5)

3. Versuchsdurchführung

Vorsicht:

Bitte beachten Sie:

Das Fadenstrahlrohr hat nur eine Lebensdauer von etwa 2000 Betriebsstunden.

Daher sollten die Messungen zügig durchgeführt werden und bei längeren

Messpausen Kathodenheizung und Anodenspannung zurückgedreht werden.

Das Fadenstrahlrohr ist evakuiert, Implosionsgefahr.

56

Heizung I =0...2AM UW=0...50V UA=0...500V

IM

UA

HS

6,3V~

- - -+ + +

PPL PR

KN

W A

KH H

HKWAHSP /PL R

A

W

Heizung für GlühkathodeKathodeWEHNELT-ZylinderAnodeHELMHOLTZ-SpulenAblenkplatten (li.,re.)

Abb. 2: Anschlussbelegung des Fadenstrahlrohres

57

Der Versuch ist gemäß dem Schaltbild (Abb. 2) aufgebaut. Vor Inbetriebnahme des

Fadenstrahlrohrs müssen die Anodenspannung ( )AU und die Wehnelt-Spannung

( )WU auf Null gestellt werden. Nach dem Einschalten des Geräts und einer Aufheizzeit

der Kathode von ca. 1 min wird eine Anodenspannung von etwa 200 V angelegt. Der

Elektronenstrahl wird durch ein schwaches, bläuliches Licht sichtbar. Dieses Leuchten

entsteht durch Fluoreszenzstrahlung von Wasserstoffmolekülen und -atomen, die durch

Elektronenstoß angeregt werden (das evakuierte Fadenstrahlrohr ist mit ca. 1 Pa H2

gefüllt). Die volle Intensität des Fadenstrahls wird in der Regel erst nach einer Heizdauer

von 2 bis 3 Minuten erreicht.

Mit einem Potentiometer wird der Strom MI durch die Helmholtz-Spulen eingestellt. Das

so erzeugte Magnetfeld bewirkt eine Krümmung des Elektronenstrahls. Zeigt die

Krümmung nicht zum Mittelpunkt des Fadenstrahlrohres, muss das Magnetfeld

umgepolt werden. Durch entsprechende Ausrichtung des Rohrs in der Halterung wird

dafür gesorgt, dass die Elektronenbahn einen in sich geschlossenen Kreis bildet. Die

vom Spulenstrom MI im Mittelpunkt zwischen den Helmholtz-Spulen hervorgerufene

magnetische Induktion B errechnet sich zu: 32

045

nMB I

Rμ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(6)

wobei n die Windungszahl (130), R der Spulenradius (0,15 m) und 0μ die magnetische

Feldkonstante (1,2566 10-6 Vs/Am) sind.

Sp

A’ C’

A CE

Abb. 3: Parallaxefreie Bestimmung des Bahndurchmessers

58

Der Bahnradius r geht bei der Bestimmung von e/me quadratisch ein. Um den relativen

Messfehler klein zu halten, wird daher r möglichst groß gewählt. Zur parallaxefreien

Messung von r ist hinter dem Fadenstrahlrohr ein ebener Spiegel und vor dem

Fadenstrahlrohr ein Paar beweglicher Schieber angebracht. Mit einem Auge wird

zunächst der äußerste linke Punkt des Elektronenstrahles so angepeilt, dass dieser

Punkt (A) des Elektronenstrahls und sein Spiegelbild (A`) zur Deckung kommen. Der

Schieber wird nun so eingestellt, dass seine Kante die Visierlinie berührt (d. h. den

Elektronenstrahl beginnt zu verdecken). In gleicher Weise wird die rechte Begrenzung

des Elektronenstrahles fixiert. Der Abstand der Schieber wird dann mit einem

Messschieber gemessen. Um ein Maß für die Einstellgenauigkeit zu erhalten, wird bei

festem Bahnradius die Einstellung der Schieber mehrfach wiederholt.

Ermitteln Sie die Bahnradien r für jeweils 5 verschiedene Beschleunigungsspannungen

( )AU und magnetische Induktionen d. h. Spulenströme MI .Stellen Sie die

Abhängigkeiten und ( Ar r U= ) ( )Mr r I= grafisch dar und diskutieren Sie die

Kurvenverläufe. Berechnen Sie die zugehörigen e/me –Werte und ermitteln Sie dann

den Mittelwert e/me. Führen Sie beispielhaft für ein A MU I− −Wertepaar eine

Größtfehlerberechnung durch.

Die systematischen Fehler der eingebauten Digitalmessgeräte betragen:

Ampére-Meter: sys 0,05I IΔ = ⋅ Voltmeter: sys 0,05U UΔ = ⋅

4. Kontrollfragen 4.1 Wie wird der Elektronenstrahl im Fadenstrahlrohr erzeugt? Welche Funktion

haben die Kathode, die Anode und der Wehneltz-Zylinder?

4.2 Welche Kraft übt ein Magnetfeld der Induktion B auf eine Ladung q aus, die sich

mit der Geschwindigkeit v bewegt? Diskutieren Sie die Bahn eines Elektrons im

homogenen Magnetfeld, wenn das Elektron mit einer Geschwindigkeit v0

a) parallel zu den Feldlinien

b) senkrecht zu den Feldlinien

59

c) unter einem Winkel α

in das Magnetfeld eingeschossen wird.

4.3 Wo werden Fokussierungseinrichtungen für Elektronen bzw. geladene Teilchen

noch benutzt?

4.4 Wodurch wird die Bahn der Elektronen im Wasserstoff-Füllgas sichtbar?

4.5 Warum verwendet man zur Erzeugung des Magnetfelds Helmholtz-Spulen?

60

V6 Radioaktivität

1. Aufgabenstellung

1.1 Ermitteln Sie den Nulleffekt für ein GEIGER-MÜLLER Zählrohr.

1.2 Zeigen Sie, dass der radioaktive Zerfall ein stochastischer Prozess ist, der

statistischen Gesetzen unterliegt.

1.3 Überprüfen Sie die Schwächung von γ – Strahlung durch Bleiplatten und ermitteln

Sie den linearen Schwächungskoeffizient und die Halbwertsdicke von Blei.

1.4 Untersuchen Sie das Intensitäts-Abstandsverhalten von γ – Strahlung in Luft.

2. Theoretische Grundlagen

Stichworte zur Vorbereitung:

Natürliche Radioaktivität, Radionuklide, α−, β− und γ−Strahlung, Zerfallsreihen,

Zerfallsgesetz, Halbwertszeit, Abstandsgesetz, γ−Absorption, Schwächungs-

koeffizient, Halbwertsdicke, Geiger−Müller−Zählrohr, Nulleffekt.

Literatur:

H. Lindner Grundriss der Atom- und Kernphysik

Kapitel 9, 12, 13,

Fachbuchverlag Leipzig 1988

W,. Stolz Radioaktivität

Teubner Verlag 2005 ISBN 3-519-53022-8

W. Walcher Praktikum der Physik, Kapitel 6.4

Teubner Verlag 1989

D. Geschke Physikalisches Praktikum, Kapitel 1.3-6, 1.8, 7

Teubner-Verlag, Stuttgart-Leipzig-Wiesbaden 2001

H. J. Eichler, J. Sahm Das neue Physikalische Grundpraktikum,

H.-D. Kronfeldt Kapitel 47, Springer-Verlag, Berlin 2001

Teilweise sind auch neuere Auflagen erschienen.

61

2.1 radioaktiver Zerfall

Als natürlich radioaktiv werden jene Atomkerne bezeichnet, welche infolge innerer In-

stabilität spontan und ohne äußere Beeinflussung in einen Folgekern zerfallen oder um-

wandeln und dabei hochenergetische Strahlung aussenden, die in der Lage ist, andere

Atome zu ionisieren. Diese spontane Umwandlung ist ein stochastischer Vorgang, bei

welchem die Zerfallswahrscheinlichkeit zeitlich konstant ist. Waren zu einem Ausgangs-

zeitpunkt N0 Atome eines Radionuklids vorhanden, so beschreibt das Zerfallsgesetz die

mittlere Anzahl N dieser Atome, die nach einer Zeitspanne t dann noch vorhanden sind:

( ) 0 e tN t N λ−= . (1)

Die Zerfallskonstante λ beschreibt dabei nuklidspezifisch die mittlere Anzahl von Atom-

kernen, welche pro Zeiteinheit zerfallen. Setzt man 0 2N N= und logarithmiert Gl. (1),

erhält man die Halbwertszeit

1/ 2ln 2tλ

= , (2)

nach welcher die Hälfte der radioaktiven Ausgangsatome zerfallen oder umgewandelt

ist. Die Halbwertszeiten der meisten Radionuklide liegen im Bereich von einigen Minuten

bis einigen Jahren. Betrachtet man jedoch alle bekannten Radionuklide, so überdecken

deren Halbwertszeiten den riesigen Zeitbereich von ca. 10−22 s …1024 s.

Durch Untersuchung der Zerfallsvorgänge wurden vier Zerfallsreihen gefunden, welche

die schrittweise Umwandlung radioaktiver Ausgangsnuklide in stabile Endnuklide be-

schreiben. Meist beginnen diese Reihen bei Radionukliden, die wegen ihrer Halbwerts-

zeiten in der natürlichen Umwelt heute nicht mehr vorkommen und so nur noch künstlich

erzeugt werden können (Klammerangaben). Innerhalb der Zerfallsreihen (Namensgeber

hervorgehoben) sind die Kernladungszahlen aller Nuklide stets einer der Zahlenfolgen

4n+m (n natürliche Zahlen, m = 0, 1, 2, 3) zuzuordnen:

(1) Die Uran-Actinium-Reihe (Reihe 4n+3) gilt als natürliche Zerfallsreihe:

Ausgangsnuklid (239Pu) ⇒ 235U: ⇒ Endnuklid 207Pb 81/ 2 7,04 10 at = ⋅

(2) Die Uran-Radium-Reihe (Reihe 4n+2) ist eine natürliche Zerfallsreihe (Abb. 1):

Ausgangsnuklid 238U: ⇒ Endnuklid 206Pb 91/ 2 4,5 10 at = ⋅

62

Abb. 1: Die natürliche Uran-Radium-Zerfallsreihe

63

(3) Neptunium-Reihe (Reihe 4n+1) gilt als künstliche Zerfallsreihe:

Ausgangsnuklid (241Pu) ⇒ (237Np): ⇒ Endnuklid 205Tl 61/ 2 2,14 10 at = ⋅

(4) Thorium-Reihe (Reihe 4n) gilt als natürliche Zerfallsreihe:

Ausgangsnuklid (244Pu ⇒) 232Th: ⇒ Endnuklid 208Pb 101/ 2 1,39 10 at = ⋅

Abgesehen von der dritten, als künstlich bezeichneten Zerfallsreihe enden alle Zer-

fallsreihen bei dem Element Blei. Sind in einer Zerfallsreihe noch Ausgangsnuklide

(Mutternuklide) vorhanden sind, stellt sich zwischen allen in der Zerfallsreihe folgen-

den Radionukliden (Tochternukliden) ein Zerfallsgleichgewicht ein, bei welchem pro

Zeiteinheit genau soviel Atome eines Radionuklids zerfallen, wie von dem vorherigen

Radionuklid in der Zerfallsreihe nachgeliefert werden (radioaktives Gleichgewicht).

Bei der durch radioaktiven Zerfall erzeugten ionisierenden Strahlung (es gibt noch

weitere Arten ionisierender Strahlung) unterscheidet man drei Strahlungsarten:

α−Strahlung

Diese Teilchenstrahlung besteht aus energiereichen (schweren), zweifach positiv ge-

ladenen Heliumkernen, die ein hohes Ionisierungsvermögen besitzen und so durch

Stoßprozesse rasch ihr Ionisationsvermögen verlieren. Die Reichweite dieser

Strahlung in Materie ist daher gering (Eα = 10 MeV: Reichweite in Luft ca. 10 cm).

Bsp. Eα = 4,3 MeV HeThU 42

23490

23892 +→

Aus energetischen Gründen ist die α−Umwandlung vorwiegend auf schwere Nuklide

mit Massenzahlen größer 170 und Kernladungszahlen größer 70 beschränkt.

Emittiert ein Atomkern ein α−Teilchen, so verringert sich seine Kernladungszahl um

zwei und seine Massenzahl um vier. Alle α−Strahler haben ein diskretes

Energiespektrum.

β−Strahlung

Diese Teilchenstrahlung besteht aus Elektronen (e−) oder Positronen (e+). Wird in

einem Radionuklid ein Neutron n in ein Proton p umgewandelt, entsteht

β−−Strahlung:

eepn ν++→ − eν .. Antielektronneutrino

und im Umkehrungsfall die β+−Strahlung:

eenp ν++→ +eν .. Elektronneutrino

63

Wegen der geringeren Teilchengröße und -masse ist das Ionisationsvermögen von

β−Strahlung gering, und die Teilchen werden leicht aus ihrer ursprünglichen

Strahlrichtung gestreut. Die aus Gründen der Energie- und Drehimpulserhaltung

zugleich entstehenden Neutrinos bzw. Antineutrinos haben so gut wie keine

Wechselwirkung mit Materie und sollen hier nicht weiter betrachtet werden. Bei

einem β−Zerfall bleibt die Massezahl erhalten, die Kernladungszahl hingegen erhöht

sich beim β−−Zerfall um eins bzw. verringert sich beim β+−Zerfall um den gleichen

Betrag.

Bsp. e214

83214

82 eBiPb ν++→ −

e4018

4019 eArK ν++→ +

Die β−Strahler haben ein kontinuierliches Energiespektrum.

γ−Strahlung

Bei dieser Strahlung handelt es sich um elektromagnetische Strahlung, die im

Gegensatz zu Röntgenstrahlung bei Umwandlungen von Atomkernen entsteht und

wegen Ihrer hohen Energie eine große Reichweite in Materie hat. Die γ−Strahlung ist

meist ein Nebenprodukt des α− und β−Zerfalls und kann anders als beide

Teilchenstrahlungen nicht von elektrischen oder magnetischen Feldern beeinflusst

werden.

Für diese drei Arten ionisierender Strahlung wird noch zu oft der veraltete Begriff

"radioaktive Strahlung" verwendet. Das ist irreführend, da diese Strahlung keinen

radioaktiven Zerfall erzeugt, sondern "nur" Atome ionisieren kann.

2.2 Nachweis ionisierender Strahlung

Der Nachweis ionisierender Strahlung erfolgt über deren Wechselwirkung mit

Materie, d. h., der Ionisationsprozess selbst oder einer der Folgeprozesse werden

vorzugsweise in elektrische Signale (Spannungs- oder Stromimpulse) gewandelt.

Einer der einfachsten Strahlungsdetektoren ist dabei das Auslösezählrohr, welches

auch als Geiger−Müller-Zählrohr bekannt ist. Das von H. GEIGER und W. MÜLLER

1928 entwickelte Auslösezählrohr ist wegen des einfachen Aufbaus und der geringen

Anforderung an die Nachweiselektronik bis heute ein unentbehrliches Messmittel für

den Nachweis ionisierender Strahlung (Abb. 2).

64

Abb. 2: Schematische Darstellung eines Geiger-Müller-Zählrohrs

Das Zählrohr besteht aus einem metallischen Zylindermantel und einem isoliert

aufgehängten Zentraldraht, welche über einen Widerstand R so mit einer

Gleichspannungsquelle U verbunden sind, dass der Zählrohrdraht (Anode)

gegenüber dem Metallrohr (Kathode) ein positives Potential (U = 500 V...1000 V) hat.

Das Rohr wird durch ein sehr empfindliches dünnes Strahleneintrittsfenster F (z. B.

Glimmer) verschlossen und mit einem Edelgas (z. B. Ar, Xe) und geringen

organischen Zusätzen (z. B. CH3−OH, C2H5−OH, 10%…20%) unter einem Druck von

100 mbar gefüllt.

Trifft ionisierende Strahlung auf die Gasfüllung, wird ein Teil der Edelgasatome ioni-

siert (Ionisationsenergie: Ar: 15,76 eV; Xe: 10,45 eV). Die freigesetzten Elektronen

wandern in Richtung Anode, wobei sie im zentralsymmetrischen elektrischen Feld

immer stärker beschleunigt werden. Die Zählrohrspannung wird nun so gewählt, dass

die Primärelektronen in unmittelbarer Drahtnähe ihrerseits in der Lage sind, Edel-

gasatome zu ionisieren, und es kommt zu einer Elektronenvervielfältigung durch

Stoßionisation. Die Primär- und Sekundärelektronen erreichen den Anodendraht

nahezu zeitgleich und der Stromfluss bewirkt einen kurzzeitigen Spannungsabfall

über dem Widerstand R. Nach kapazitiver Entkopplung des Gleichspannungs-

potentials werden die dadurch erzeugten Spannungsimpulse in einem Verstärker V

elektronisch verstärkt und mit einem Impulszähler gezählt. Der organische Zusatz der

Gasfüllung begrenzt als Löschgas die Dauer der Elektronenlawine und verhindert so

eine Glimmentladung im Zählrohr.

65

Die von der Zähleinrichtung gemessene Zahl von Impulsen wird als Impulszahl N und

ihre zeitliche Ableitung als Impulsrate bezeichnet. Obgleich die Impulszahl eine

Zählgröße ist, hat sich international für Impulszahlen als Maßeinheit "cts" (engl.:

counts) und für Zählraten die Maßeinheit "cps" (engl.: counts per second)

durchgesetzt.

N

2.3 Nulleffekt und statistische Schwankungen

Betreibt man ein beliebiges Detektionssystem (auch Auslösezähler) ohne

Anwesenheit einer Strahlungsquelle, so wird man dennoch pro Zeitintervall einige

wenige Impulse messen, die man als Nullimpulszahl N0 bzw. Nullzählrate

bezeichnet. Dieser Nulleffekt wird durch natürliche Strahlungsquellen (z. B. Höhen-

strahlung) und elektronische Effekte innerhalb des Detektors (z. B.

Detektorrauschen) verursacht und kann als statistisches Mittel korrigiert werden:

0N

N0

tN N Nt

= − 0

0

Nettoimpulszahl (3a)

NN N N= − Nettozählrate (3b)

(t Messzeit der Impulszahl N, t0.. Messzeit der Nullimpulszahl N0).

Da der radioaktive Zerfall und auch der Nachweisvorgang stochastische Prozesse

sind, werden zeitlich aufeinanderfolgende Messungen über gleiche Zeitintervalle und

unter gleichen Bedingungen im Regelfall verschiedene Impulszahlen Ni ergeben. Die

Variation dieser Werte ist für eine geringe Anzahl n von Stichproben

POISSON−verteilt und kann für n → ∞ durch eine GAUSS-Verteilung beschrieben

werden. Aussagekräftiger ist daher der Mittelwert der Nettoimpulszahl aus n

Einzelmessungen NN,i:

N N1

1 n

ii

N Nn =

= ∑ , . (4a)

Aus der statistischen Fehlerrechnung folgt weiter, dass die Schwankungsbreite von

Einzelmessungen durch die Standardabweichung

( )2

N N, N1

11

n

ii

N Nn =

Δ = −− ∑ N (4b)

66

erfasst wird. Für eine statistisch gesicherte Bestimmung der Nettoimpulszahl muss

also gelten (es werden nur die Maßzahlen betrachtet)

!

N

cts ctsN NΔ

= N (5a)

und es folgt für die relative Abweichung

!

N

N N

1cts

NN NΔ

= . (5b)

Der relative Fehler einer Impulsmessung wird also umso kleiner, je mehr Impulse ge-

zählt werden, d. h. je länger die Messzeit gewählt wird.

2.4 Schwächung von γ-Strahlung

Anders als beide Teilchenstrahlungen des radioaktiven Zerfalls wird γ-Strahlung von

Stoffen nur wenig geschwächt. Verantwortlich für die große Eindringtiefe ist dabei

nicht die Intensität, sondern nur die Energie dieser Strahlung. So kann z. B. auch

eine sehr intensitätsschwache 60Co-Quelle (künstliche Radionuklidquelle, t1/2=

5,26 a) mit ihrer hochenergetischen γ-Strahlung von 1,1732 MeV und 1,3325 MeV

mühelos selbst dicke Bleischichten durchdringen.

Für eine feststehende Strahlungsgeometrie (fester Abstand Quelle − Detektor) wird

die Schwächung von γ-Strahlung in einem (homogenen) Material der Dicke x durch

das Schwächungsgesetz für γ-Strahler beschrieben:

( ) ( ) ( )N N 0 e E xN x N μ−= bzw. ( ) ( ) ( )

N N 0 e E xN x N μ−= , (6)

wobei μ(E) der lineare Schwächungskoeffizient des Materials für die Strahlungsener-

gie E ist und sich die Nettoimpulszahl ( )N 0N bzw. Nettoimpulsrate ( )N 0N auf eine

geometrisch gleiche Messung ohne das schwächende Material beziehen. Die

Schichtdicke, welche die Strahlung auf die Hälfte schwächt, wird als Halbwertsdicke

bezeichnet:

( )1/ 2

ln 2xEμ

= . (7a)

Nach Erweiterung mit der Stoffdichte ρ erhält man die Halbwertsflächenmasse:

67

( )1/ 2 1/ 2

ρ

ln 2d xE

ρμ

= = mit ( ) ( )ρ

EE

μμ

ρ= , (7b)

wobei ( )ρ Eμ der Massenschwächungskoeffizient für die betreffende Energie ist.

Da Schwächung und Streuung in Luft unter Normaldruck vernachlässigbar sind,

breitet sich die γ-Strahlung einer punktförmigen Quelle geradlinig und

radialsymmetrisch aus. Im Abstand r zwischen Quelle und Detektor verteilt sich

somit die Strahlung auf einer Kugeloberfläche und die Strahlungsdichte pro

Oberflächeneinheit verringert sich mit r2 (Abstandsgesetz):

( ) ( )N N 2

10N r Nr

= bzw. ( ) ( )N N 2

10N r Nr

= . (8)

In diesen Gleichungen beziehen sich ( )N 0N bzw. ( )N 0N auf eine

Vergleichsmessung am Quellenort (r = 0).

3. Versuchsdurchführung

Für die Untersuchungen stehen Messplätze mit einem Auslösezählrohr und einer

Aufnahme für stabförmige, umschlossene Strahlungsquellen zur Verfügung. Eine

quer verschiebbare Aufnahme erlaubt das Einbringen von Materialplatten in den

Strahlengang und eine Längssupport ein gezieltes Einstellen des Abstandes ΔxSP

von Quelle und Zählrohr: SP Q D r x x= Δ +Δ +Δx , (9)

wobei ΔxQ = 16 mm der Abstand Radionuklid – Fenster in der Stabquelle und

ΔxD ≤ 22 mm der messplatzabhängige Abstand Detektor – Supportnull

sind. Das Zählrohr ist an eine Nachweiselektronik angeschlossen, welche bei einigen

Messplätzen PC-gestützt arbeitet. Eine Einweisung in Messanordnung und

Messwertaufnahme erfolgt am Versuchsplatz durch den Betreuer.

Achtung:

Zählrohrfenster sind sehr leicht mechanisch zerstörbar und dürfen daher weder mit

der Hand noch mit Gegenständen berührt werden. Vor den Messungen ist die

Schutzkappe vorsichtig abzunehmen und nach Messabschluss wieder anzubringen.

68

Als γ-Strahler wird eine intensitätsschwache 60Co-Stabquelle verwendet. Die Quellen-

Nummer ist unbedingt zu protokollieren, um bei Nachmessungen die gleiche Quelle

zurück zu erhalten.

Teilaufgabe 1.1

Der Nulleffekt ist ohne Radionuklidquelle mit einer Messzeit t0 = 900 s zu

messen.

Teilaufgabe 1.2

Die 60Co-Radionuklidquelle ist in die Quellenaufnahme einzusetzen und die

Supportposition ΔxSP = 20 mm einzustellen. Es ist die Impulszahl 10x mit einer

Messzeit t = 60 s zu messen, die Nettoimpulszahlen, Mittelwert und

Standardabweichung zu berechnen und die Aussagen nach Gl. (5a/b) zu

überprüfen.

Teilaufgabe 1.3

Die Plattenaufnahme ist in den Strahlengang der 60Co-Quelle einzuschieben

und bei der Supportposition ΔxSP = 20 mm die Untersuchungen zum

Absorptionsgesetz durch Variation der Pb-Plattendicke mit einer Messzeit t =

100 s vorzunehmen. Die mittleren Plattendicken sind durch jeweils drei

Messungen mit einer Bügelmessschraube sind zu bestimmen. Die

nulleffektkorrigierten Messergebnisse sind in einem linearen Zusammenhang

grafisch darzustellen und aus dem Geradenanstieg der lineare

Schwächungskoeffizient und die Halbwertsdicke von Blei für diese γ−Strahlung

nach Gl. (7a) zu ermitteln.

Teilaufgabe 1.4

Die Untersuchungen zum Abstandsgesetz der γ−Strahlung sind an den

Support-

positionen ΔxSP= 0 mm, 2 mm, 4 mm, 6 mm, 8 mm, 10 mm, 15 mm, 20 mm, 30

mm, 45 mm und 60 mm mit Messzeiten t = 60 s durchzuführen. Mit einem

doppeltlogarithmischen Auftrag der nulleffektkorrigierten Messwerte ist die

Potenz der Abstandsabhängigkeit grafisch zu ermitteln und mit den Aussagen

von Gl. (8) zu vergleichen.

69

Die Untersuchungen sind mit einer Fehlerdiskussion und einer Zusammenstellung

und Diskussion der Ergebnisse abzuschließen.

4. Sicherheitshinweise

Der Umgang mit Radionuklidquellen verlangt vom Experimentator besondere Sorg-

falt. Auch wenn die verwendeten Quellen umschlossen und ihre Strahlungsintensität

gering sind, gilt der Strahlenschutzgrundsatz

"So wenig und so kurz wie möglich Körperteile der Strahlung aussetzen!"

Schwangeren ist die Teilnahme an diesem Versuch untersagt (Absprache mit der

Praktikumsleitung erforderlich).

Die Nuklidquellen werden vom Betreuer mit einem Transportbehälter ausgehändigt

und sind unmittelbar nach den Messungen strahlensicher und unbeschädigt zurück-

zugeben (Messung und Auswertung zeitlich trennen!). Die Quellen dürfen nur für die

gestellten Aufgaben eingesetzt werden, Spielereien und Neckereien sind zu

unterlassen.

Essen und Trinken am Versuchsplatz sind untersagt. Nach dem Umgang mit den

Quellen sind die Hände unter fließendem Wasser zu waschen. 5. Kontrollfragen:

5.1 Wie ist ein Atom nach dem Bohr'schen Atommodell aufgebaut? Wie werden

Nuklide gekennzeichnet und welche Bedeutung haben diese Angaben?

Wodurch ist sein Platz im Periodensystem der Elemente festgelegt?

5.2 Was ist ein radioaktiver Zerfall und welche Strahlungen können dabei

auftreten?

5.3 Welcher Zusammenhang besteht zwischen Zerfallskonstante und

Halbwertszeit?

5.4 Wie wird γ-Strahlung in Materie geschwächt? Welcher Zusammenhang besteht

zwischen Schwächungskoeffizient und Halbwertsdicke?

5.5 Wie lautet das Abstandsgesetz und was sagt es aus?

5.6 Wie ist ein Geiger-Müller-Zählrohr aufgebaut und wie funktioniert es?

5.7 Was wird als Nulleffekt bezeichnet und wie wird er korrigiert?

70