Fehlerkorrektur-Codes Fehlerkorrektur-Codes

Lange Nacht der WissenschaftenLange Nacht der Wissenschaften

14. Juni 200314. Juni 2003

Humboldt-Universität zu BerlinHumboldt-Universität zu BerlinInstitut für MathematikInstitut für MathematikProf. Dr. R.-P. HolzapfelProf. Dr. R.-P. HolzapfelM. PetkovaM. Petkova

Das Ziel des ProjektesDas Ziel des Projektes

Mit dem Projekt soll das Prinzip der Fehlerkorrektur Mit dem Projekt soll das Prinzip der Fehlerkorrektur Code leichtverständlich vorgestellt werden.Code leichtverständlich vorgestellt werden.

Wie kann man eine Nachricht kodieren?Wie kann man eine Nachricht kodieren? Wie kann man bei der Übertragung aufgetretene Fehler Wie kann man bei der Übertragung aufgetretene Fehler

beseitigen?beseitigen? Wo werden Fehlerkorrektur Codes angewendet? Wo werden Fehlerkorrektur Codes angewendet?

sondern auch im sondern auch im AlltagAlltag

Nicht nur für militärische Zwecke,Nicht nur für militärische Zwecke,

Codes und ChiffrenCodes und Chiffren

Altgriechenland: Skytale 500 v.Chr.Altgriechenland: Skytale 500 v.Chr.

Cäsar Cäsar

Enigma 1918Enigma 1918

Public – Key Verfahren (z.B. RSA) 1978 Public – Key Verfahren (z.B. RSA) 1978

ZufälligeStörungen

Übertragungskanal

Datenkompression(Quellkodierung)z.B. Zuordnung

Buchstaben ↔ Zahlen

Kodierte Nachricht(Kanalkodierung)

Empfangene NachrichtDekodierung

Dekodierung der Quellkodierungz.B. Zuordnung

Zahlen ↔ Buchstaben

KlartextNachricht

Absender

KlartextNachricht

Empfänger

Das Prinzip der KodierungDas Prinzip der KodierungNachrichten werden im allgemeinen als elektronisches Signal Nachrichten werden im allgemeinen als elektronisches Signal übertragen, deswegen muss der Klartext erst in die entsprechende, übertragen, deswegen muss der Klartext erst in die entsprechende, von den Geräten bearbeitbare Form umgewandelt werden. von den Geräten bearbeitbare Form umgewandelt werden.

Ziel der VerschlüsselungZiel der Verschlüsselung

Informationsübertragung:Informationsübertragung:

AuthentizitätsgarantieAuthentizitätsgarantie(Digitale Signaturen, RSA)(Digitale Signaturen, RSA)

Fehlerkorrektur Fehlerkorrektur (Goppa – Codes)(Goppa – Codes)

Fehlerkorrigierende CodesFehlerkorrigierende Codes

Richard Hamming, Richard Hamming, Bell Telephone Bell Telephone Laboratories 1940‘sLaboratories 1940‘s

Fehlerkorrektur durch Fehlerkorrektur durch Einfügung von Einfügung von RedundanzRedundanz

Konstruktion von Konstruktion von Fehlerkorrigierenden CodesFehlerkorrigierenden Codes

Große Dimension und dGroße Dimension und dminmin entsprechend entsprechend

der Codewortlängeder CodewortlängeEffektiver Fehlerkorrekturalgorithmus Effektiver Fehlerkorrekturalgorithmus

CodeCode C/C/FFq q ist ein Unterraum vonist ein Unterraum von FFqq

nn

G:G: FFqqm m FFqq

nn

u u Gu Gu

G invertierbare lineare Transformation, ordnet jeder G invertierbare lineare Transformation, ordnet jeder Nachricht ein Code – Wort zuNachricht ein Code – Wort zu

Parameter:Parameter:

n Länge der Code – Wörtern Länge der Code – Wörterk Dimension des Codesk Dimension des Codeswt(c) = #{ cwt(c) = #{ cii / c = (c / c = (c11,…,c,…,cnn), c), cii <>0 } <>0 }ddminmin = min{d / d(c = min{d / d(ci,i,ccjj) = wt(c) = wt(ci i – c– cjj)})}

Beispiele für algebraische CodesBeispiele für algebraische Codes

Reed – Solomon CodesReed – Solomon Codes

CD – Brenncodes CD – Brenncodes (durch Auswertung von Polynomen)(durch Auswertung von Polynomen)

Goppa – Codes, 1980Goppa – Codes, 1980

großer Fehlerkorrekturpotenzialgroßer Fehlerkorrekturpotenzial(Auswertung von algebraischen Funktionen)(Auswertung von algebraischen Funktionen)

Goppa – CodesGoppa – Codes

• Codes auf glatten Kurven Codes auf glatten Kurven C/C/FFqq

• Über endlichem Körper Über endlichem Körper FFqq

• Gute FehlerkorrektureigenschaftenGute Fehlerkorrektureigenschaften(Skorobogatov-Vladut/ Duursman)(Skorobogatov-Vladut/ Duursman)

Kontruktion von Goppa – CodesKontruktion von Goppa – CodesC/C/FFqq glatte Kurve glatte Kurve

Dualer (Funktional) CodeDualer (Funktional) Code{P{P11,…,P,…,Pnn} rationale } rationale

PunktePunkteDivisor B =Divisor B =jjPPjj

Divisor D D(PDivisor D D(Pjj) = 0) = 0

ddjj = = (P(Pjj) ) fa. fa. L(D)L(D)

CCLL(B,D) = {d(B,D) = {d11,…,d,…,dss}}

Primärer (Residue) CodePrimärer (Residue) Code{P{P11,…,P,…,Pnn} rationale } rationale

PunktePunkteDivisor B =Divisor B =jjPPjj

Divisor D D(PDivisor D D(Pjj) = 0) = 0

jjddjj(P(Pjj) = 0 ) = 0 fa. fa.

L(D)L(D)

CC(B,D) = {d(B,D) = {d11,…,d,…,dss}}

ParameterParameter

CCLL(B,D)(B,D)

n = deg(B)n = deg(B)m = l(D) – l(D – B)m = l(D) – l(D – B)ddmin min => n – deg(D)=> n – deg(D)

CC(B,D)(B,D)

n = deg(B)n = deg(B)m = n – deg(D) + g – 1 + m = n – deg(D) + g – 1 + l(D – B) l(D – B)ddmin min => deg(D) – (2g – 2)=> deg(D) – (2g – 2)

Aufgabe und Prinzip der Aufgabe und Prinzip der FehlerkorrekturFehlerkorrektur

f = c + ef = c + e Aufgabe:Aufgabe:

Aus den Merkmalen des fehlerhaft übertragenen Aus den Merkmalen des fehlerhaft übertragenen Wortes Wortes ff, unter der Voraussetzung, dass , unter der Voraussetzung, dass höchstens t Fehler vorkommen, den Wert des höchstens t Fehler vorkommen, den Wert des Fehler – Wortes Fehler – Wortes ee zu berechnen zu berechnen

Prinzip: Prinzip: 1. Finde welche 1. Finde welche eeii ≠≠ 0 02. Rechne den genaueren Wert von 2. Rechne den genaueren Wert von eei i ausaus

AnwendungAnwendung

VLF Kommunikationssysteme:VLF Kommunikationssysteme:- der Empfänger kann die Information - der Empfänger kann die Information nicht gleich empfangen und dekodieren nicht gleich empfangen und dekodieren - große Übertragungsdistanzen- große Übertragungsdistanzen

Ionosphärische KommunikationssystemeIonosphärische Kommunikationssysteme- bei Flugzeugen und Schiffen- bei Flugzeugen und Schiffen

Vielen Dank für Ihr Interesse!Vielen Dank für Ihr Interesse!