Feige ,dass fiir alle ne IN gilt

Iz . Z,

. . o . . 2hz ( ¥+1 '

Li sung Tnduktion nach h E IN.

Tnduhtionanfang : n =L.

I

Kfz⇐ s

Be2 ⇐ > 3<4 v

Jndvhtionschritt : n mints.

Ange nom men I . I,

.

. . .

. 2n s tZnti

2- uzeigen : I . Z .

. . . 22ft . ZITI! IntNach Tnduktionannah.me ist ( da Zznntfz > o )

I . I,

.

. . .. 2ft .

Zntt c 1-2mHzht 2 Tnt.

Zntz

also geniigt es zu Zeiger ,dass

r¥ . IIITk¥+3Da bei de Sei ten position sind

,ist dies

⇒ I . s I

2 htt ( Zn t2)2 2h t 3

⇒ Grit1) ( 2n t 3) s Gnt25

⇐ 4 n 't 8h t 3 C 4 n 't 8h t 4

Da dies offenbarstimmt ,is A die Behauptungbewiesen .

Zeige mit Hilfe der E - 8 Definition :

(a) f , g stetig in xo ⇒ ft g stetig in no

(b) f : IR - i IR, fix ) = at LW nicht stetig in a E I .

(a)

Sei e > o.

Da f , g stetig sind, gibt es Sa

, Sz mit

If Cx ) - fi xD I s E fiir KED,

K - x ok 8,

I gcx) - g Coco) I s E fiir KED,

I x - Kok 82

Sette S -

- min { Sa, 823 .

Dann giltI f Get t g Cx) - f Coco) - g Geo ) I E

I fed - f Coco ) I t I g Cx ) - g Coco) I s 2 E.

(b) Behan p tung :

F e > o V-8 > o Fx mit Ioc - at a S und I fed - f (a) It E.

Fiir a E 7L gilt f Ca) = at Las = 2 a.

Iii r x E Ca - I,a) gilt f Go) = x t Loc I = x t a - I

→ IfGo) - f (a) I = txt a - i - 2 at = I x - a - I I =

= a th - x 71

Iii r E =L und S > o belie big wahle x E Ca - a, a)

mit be - at s s → Behanp thing .

.5

. 4 .

. 3

:. .' . . . . .

-3 -2 - n 7 2 3

. - y

. . - 2

. - 3

. . - 4

. - 5

. . - G

(a) Be Stimme den Korver genz radius R der Pote nzreihe

n? III , ,z Ea

.

(b) Feige ,class die Reihe auf Bp ( o ) normal konvergiert

and ihre Sum me auf For I o ) stetig ist.

Lis sung (a) Die Koeffitienten der P R sind an = hent,to

.

Es giltI I = = → a

,n - so

also R = nfima I III. 1=1 .

^und we gen in -7 I

,Alternative

,R =

him sup Fantn → a

Tnt → I,

n → a gilt finsgyp = nhjm.FI =L → R -- I

.

(b) fifty Big= nine, ⇐

I El = nine ,→

n I ,Inti

pyo,

= ¥,

net , konvergiat

also konvergiert die Fvnktionenreihe normal auf Bio).

Da Bjco ) -71C,

z → fifty, stetig sind,

ist die Sum me

der normal kenversenten Rei he stetig.

Bestimme die Grenzwerte :

lim eat"

und lim ectX -7N ex - e

- K x -70 xz

Lii sung

ex + e-a

e"

( rt e-2 " )

=At e- 2 "

I,

x a⇒ ' '

=

ex ( a - e- 2x ) n - e- 2x

da e- Y- so , y → a

.

Es gilt

e"

=

E.tn?--st#thIItIIE?undEiz2npy=x3EI=x3'oz!,

ochh =3 h !

wobei die Reihe ; }g ,och Konvergenz radius a hat

.

Insbesondere ist f : IR -7 IR, fed = ; }g ,

och stetig .

Esfolgt

e"

= 1+2×+2×2

toffee)

3

eZK¥tD=1t2xt2xtxfGc) - 1 - 2x - of

22

=x' txfcx )

= A txfcx ) I,

x -70.

ze2

Sans t kann man zwei mal l'

Hospital an Wenden :

Sei f , g : IR -7 IR,

f Cx ) = E "- Get it

, g Cx) = x'

.

f, g sind zweimd differ en zier bar und

f'

Cx ) = 2 EZ"- 2 ( x th )

,f

"Cx ) = 4572

g'

c x ) = 2x, g

"C x ) = 2

Is gilt flo ) = O, g Co) = o und f

'

Co ) = O, g

' Col = o.

Au per dem g'C x ) to

, g"C x ) to fiir x to .

Die Hypotheses bei l '

Hospital sind erfiillt also

gilt

align,

e" th

'

= align,

2e" '

- 2 Get D23C

= him 2 of "- y

K - so7=1 .

Sei f : [ o, a) → IR

,f Cx ) = ( x - 2) x

" ?

(a) Feige ,das s f Zwei mal differentials our auf ( o

, a) ist und

bestim me f'

Gd und f"

C x ) .Eris tier en f

'

Gd , f"

Go) fiir x = o ?

(b) Bestim me die Inter valle, auf de hen f mo not on ist

und die lo hole n und glo balen Extremism stellar von f .

Lii sung Ca) Die Funk tian ( 0, a) 3 x → SEE E ist zwei mal

diff bar fiir alle z E Cl also ist f auf ( 0,0 ) zweimol diff bar

als Pro dukt von x A x - 2 und act > x" ?

f- ( x ) = X5k

- 2×312 →

f'

( x ) = Ez x3k- 2 - Zz x

" 2= 52×312 - 3×1/2

f"

Cx) = I . Z x" '

- Z x

- " 2= Z si

" 2

( Ex - 1).

f'

Co) exisliert und f'Co) = o

,da

= f = ( x - z ) x" '

→ o,

x -70

f"C o) existiert nicht

,daftogyzfoto

=

EE "- 3 x

" '

= Ez sik- 3 I

" 2→ - a

,x - so

.

x - -

→ o → a

(b) f'

Gc) = od k (

Ex- 3) fiir x > o

.

Nulls tellers und Vor, zeichen der Abteilung :

Da sik > o fiir x > o,

so gilt

f'

Gc) so ⇒ 5×-3 so ⇒ x a Es ,

f'

C x ) = o ⇒ x = Es oder x = o,

f-'Cx ) > o ⇒ 5 x - 3 > O ⇒ x > § .

x = 615 ist der ein zig kritis cheer Punkt ( O lie gt am Rand )

Monotone - Inter valle

Also ist f strong mono ton fallen d auf [ 0, Es ] ,

streng mo not on wack send auf ( Es , a) .

3ns be son dere gilt :

V x E [0,6/5] : f I 0 ) Z f ( x ) Z f (6/5)

the E C 615,

o ) : f ( 615) E f Gc )

Extremist ellen

Daheristx = Es das globule Minimum von f

und x -

- o ein lo holes Maximum.

( das sieht man auch dire ht : f Co) = o und f Gc) so

fiir x E C o,

2 ) ) .

Es gibt Reine an dere lo hole Extrema auf ( o, a) da x = 615

der, ein zig kritis cheer Punkt ist.

Variations tabelle :

x O 6/5

ft C x ) O - - - - O t t t t

f GD o fl 45 )

6. Aufgabe (8 Punkte)

Entscheide durch Ankreuzen, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind.

Dabei sind (an)n∈N, (bn)n∈N Folgen reeller Zahlen, a < b reelle Zahlen undD ⊂ R eine Teilemenge.

w f

1.� X Falls (an)n∈N und (bn)n∈N divergieren, so divergiert auch (an + bn)n∈N.

2. X � Falls (an + bn)n∈N und (an − bn)n∈N konvergieren, so konvergierenauch (an)n∈N und (bn)n∈N.

3.� X Hat eine Potenzreihe den Konvergenzradius R ∈ [0,∞), so ist sieauch im Punkt R konvergent.

4. X � Seien f, g : D → R stetig. Dann ist auch max{f, g} stetig.

5.� X Ist f : (a, b)→ R stetig, so ist f beschankt.

6.� X Sei f : D → R differenzierbar mit f ′(x) > 0 fur alle x ∈ D.Dann ist f streng monoton wachsend.

7.� X Ist f : (a, b)→ R differenzierbar und streng monoton wachsend,so gilt f ′(x) > 0 fur alle x ∈ (a, b).

8.� X Ist f : (x0 − δ, x0 + δ)→ R differenzierbar und f ′(x) < 0 fur allex ∈ (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ), so ist x0 ein Sattelpunkt.

1. Falsch. Betrachte an = n, bn = −n.

2. Wahr. Addiere und subtrahiere (an + bn), (an − bn).

3. Falsch. Betrachte die geometrische Reihe.

4. Wahr. max{f, g} = 12(f + g + |f − g|).

5. Falsch. Betrachte f : (0, 1)→ R, f(x) = 1x.

6. Falsch. f : R\π2Z→ R, f(x) = tan x

7. Falsch. f : R→ R, f(x) = x3, f ′(0) = 0.

8. Falsch. Es fehlt die Hypothese f ′(x0) = 0. Gegenbeispiel: f(x) = −x,x0 ∈ R beliebig.

Viel Erfolg! (Gesamtpunktzahl: 64 Punkte)