Felder - 2008 - Partielle Differenzialgleichungen Fuer Ingenieurinnen Und Ingenieure

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G.FelderPartielle Dierenzialgleichungenf ur Ingenieurinnen und IngenieurehypertextuelleNotizenzurVorlesungAnalysisIIIWS2002/2003Zur uckPartielle Dierenzialgleichungenhttp://www.math.ethz.ch/u/felder/Teaching/PDGZur uck Suche IndexUbungen < >GrundbegrieLinearePDGFourier-ReihenFouriertransformationenWarmeleitungsgleichungWellengleichungLaplacetransformationenLaplace-GleichungCharakteristikenKlassikation2Inhaltsverzeichnis1. Grundbegrie,Beispiele 41.1. Denitionen,Beispiele 41.2. Energiebilanz:HerleitungderWarmeleitungsgleichung 51.3. DieeindimensionaleWellengleichung 61.4. WohlgestellteProbleme 92. LinearepartielleDierenzialgleichungen, SeparationderVariablen 102.1. HomogenelinearePDG,Superpositionsprinzip 102.2. MethodederSeparationderVariablen 112.3. InhomogeneProbleme 133. Fourier-Reihen 163.1. Fourier-ReihenperiodischerFunktionen 163.2. Anwendung:WarmeleitungaufeinemRing 193.3. ReelleFourier-Reihen,Kosinus-undSinusreihen 213.4. DieschwingendeSaite 233.5. EinschlechtgestelltesProblem 254. Fouriertransformationen 274.1. FouriertransformiertereellerFunktionen 295. Warmeleitungsgleichung 306. DieWellengleichung 346.1. Losungder3-dimensionalenWellengleichungdurchFouriertransformation 346.2. DieKirchho-Losung 356.3. DasHuygens-Prinzip 377. Laplacetransformationen 387.1. Denitionen,elementareBeispiele 387.2. InverseLaplacetransformation 397.3. Eigenschaften 397.4. AnwendungaufgewohnlicheDierenzialgleichungen 417.5. DerschwachgedampfteharmonischeOszillator 427.6. GreenscheFunktionundDirac-Deltafunktion 447.7. EineAnwendungaufpartielleDierenzialgleichungen 458. DieLaplace-Gleichung 488.1. DiePoisson-Formel 498.2. Mittelwertprinzip 518.3. Maximumprinzip 528.4. Stabilitat 528.5. Poisson-Gleichung,Green-Funktion,Deltafunktion 538.6. DieDirac-Deltafunktion 53Partielle Dierenzialgleichungenhttp://www.math.ethz.ch/u/felder/Teaching/PDGZur uck Suche IndexUbungen < >GrundbegrieLinearePDGFourier-ReihenFouriertransformationenWarmeleitungsgleichungWellengleichungLaplacetransformationenLaplace-GleichungCharakteristikenKlassikation38.7. DasCoulomb-Potenzial 549. MethodederCharakteristiken 589.1. EineinfachesBeispiel 599.2. Die allgemeine quasilineare PDG mit zwei unabhangigenVariablen 609.3. Algorithmus 6110. Klassikation 6410.1. KlassikationderlinearenPDG2.OrdnungmitzweiunabhangigenVariablen 6410.2. Charakteristiken 66Index 71Literatur 72Der Author ist Markus Engeli, Thomas Liebrich und Torsten-KarlStrempelf urzahlreicheVerbesserungendesTextesdankbar.NavigationshilfeRot=internerLinkBlau=externerLinkPartielle DierenzialgleichungenGrundbegrieV.1.5,28-09-2008http://www.math.ethz.ch/u/felder/Teaching/PDGZur uck Suche IndexUbungen < >GrundbegrieLinearePDGFourier-ReihenFouriertransformationenWarmeleitungsgleichungWellengleichungLaplacetransformationenLaplace-GleichungCharakteristikenKlassikation41. Grundbegriffe,Beispiele1.1. Denitionen, Beispiele. Eine partielle Dierenzialgleichung(PDG)isteineGleichungf ureineFunktionu(x1, . . . , xn)aufeinemBereich Rn, die als Gleichheit zweier Funktionen von x und denpartiellenAbleitungenvonu(x)gegebenist.ZumBeispielist(1) y2ux2+uy= x2yu oder yuxx +uy= x2yueine PDG f ur eine Funktion u(x, y) von zwei Variablen (Wir verwen-dendieNotationux=ux,uxx=(ux)x,uxy=(ux)y=uyx,usw.f urpartielleAbleitungen).DieVariablenx, yheissenunabhangigeVariablen.DieVariableuheisstabhangigeVariable.DieOrdnungeinerPDGistdieOrdnungderpartiellenAbleitunghochster Ordnung die darin vorkommt. Zum Beispiel ist (1) eine PDGzweiterOrdnung. DiePDGxuxuxxy+ u4x=0isteinePDGdritterOrdnung, dadiedritteAbleitunguxxyundkeinehohereAbleitungdarinvorkommt.FastallePDG, dieinderPraxisauftreten, sindvonersteroderzweiterOrdnung.Eine Losung einer PDG ist eine Funktion u, welche die PDG erf ullt.Zum Beispiel ist u = exp((x2y2)/2) eine Losung von (1) (verizierenSiedas).Beispiele.(1)Das elektrostatische Potenzial u(x, y, z), das voneiner gegebe-nenLadungsdichteverteilung (x, y, z) erzeugt wird, erf ullt diePoisson-Gleichungu = 4,wobei derLaplace-Operator(indreiDimensionen)ist: u=uxx + uyy + uzz.(2)Die Wellengleichung ist die PDG1c2utt = u.u(x, y, z, t)istdabeizumBeispieldieDichtederLuftimPunkt(x, y, z)zurZeit t bei Schallwellen, eineKomponentedeselek-tromagnetischenFeldesbeiLichtwellen,usw.Wirwerdensehen,dassderParameterc> 0dieInterpretationderFortpanzungs-geschwindigkeit von Wellen hat.Partielle DierenzialgleichungenGrundbegrieV.1.5,28-09-2008http://www.math.ethz.ch/u/felder/Teaching/PDGZur uck Suche IndexUbungen < >GrundbegrieLinearePDGFourier-ReihenFouriertransformationenWarmeleitungsgleichungWellengleichungLaplacetransformationenLaplace-GleichungCharakteristikenKlassikation5(3)Warmeleitungs- oder Diusionsgleichung:ut = u, > 0.(4)DieGeschwindigkeitv(x, t)undderDruckp(x, t)einerinkom-pressiblen Fl ussigkeit als Funktion des Ortes x = (x, y, z) und derZeitt erf ullen die NavierStokes-Gleichungvt + (v)v = v +p, div v = 0, > 0.EshandeltsicheigentlichumeinSystemvonvierPDGf urdievier Funktionenv1, v2, v3, p.Denition. Eine PDG f ur u heisst linear falls u und ihre Ableitungenhochstens linear vorkommen. Genauer: Eine lineare PDGist einePDGderFormLu = b,wobeiLeinDierenzialoperatorundbeinegegebeneFunktionist.ZumBeispielist(1)linearmitL = y2x2+y x2y, b = 0.Die Poisson-Gleichung ist linear mit L = und b = 4. Die Wellen-undWarmeleitungsgleichungensindlinear. DieNavierStokes-Glei-chungistnichtlinear.WeitereBeispielevonnichtlinearenpartiellenDierenzialgleichungensindux +uuy= 0,ux= sin(uy).1.2. Energiebilanz:HerleitungderWarmeleitungsgleichung.EinigepartielleDierenzialgleichungen, wiedieWellengleichungf urdas elektromagnetische Feld, sind Grundgleichungen der Physik. An-deretretenalsBeschreibungvonSystemenvonsehrvielenTeilchen(z.B. einer Fl ussigkeit) durch eine Kontinuumapproximation auf. Siekonnenoft aus anschaulichenGrundprinzipienhergeleitet werden.Diessoll illustriertwerdenamBeispiel derWarmeleitungsgleichungineinerDimension.Wir betrachten die Temperaturverteilung u(x, t) auf einem warme-leitenden homogenen Stab der Lange L. Dabei ist u(x, t) die Tempe-raturimPunktx [0, L]zurZeitt.Prinzipien: 1. Energiebilanz. DieZeitlicheAnderungderthermi-schenEnergie injedemIntervall [a, b] ist gleichdemWarmeussdurchdieRandera,b2. Die Energiedichte (Energie pro Langeneinheit) ist cu. Die Dich-teunddiespezischeWarmecwerdenwirkonstantannehmen.Partielle DierenzialgleichungenGrundbegrieV.1.5,28-09-2008http://www.math.ethz.ch/u/felder/Teaching/PDGZur uck Suche IndexUbungen < >GrundbegrieLinearePDGFourier-ReihenFouriertransformationenWarmeleitungsgleichungWellengleichungLaplacetransformationenLaplace-GleichungCharakteristikenKlassikation63. Fouriergesetz: Der Warmeuss ist proportional zum GradientenderTemperatur(Warmeiesstvonwarmnachkalt).DiePropor-tionalitatskonstantek > 0heisstWarmeleitfahigkeit.InFormelnhabenwirdann(2)ddt

bacu(x, t)dx = kux(a, t) + kux(b, t).Auf der linken Seite steht die zeitliche Ableitung der totalen Energieim Intervall [a, b]. Die rechte Seite ist die Energie, die pro ZeiteinheitdurchdieGrenzendes Intervalls iesst, mit demrichtigenVorzei-chengerechnet. DieseGleichungsoll f uralleIntervalle[a, b] gelten.Mit dem Fundamentalsatz der Integrationsrechnung konnen wir dieseGleichungumformen:

ba

cut(x, t) k2ux2(x, t)

dx = 0.Dadiese Gleichungf ur alle Intervalle gilt, soll der Integrandver-schwinden (Mittelwertsatz f ur kleine Intervalle [a, a+]). Also habenwirdieWarmeleitungsgleichungutuxx= 0, = k/(c).Eine ahnlicheUberlegung gilt in drei Dimensionen. Statt (2) habenwir,f urjedesVolumenDmitRandDundnachaussenweisendemnormalemEinheitsvektorn,ddt

Dcu(x, t)dV=

DkundA.Dabei istkundAderWarmeussdurchdasFlachenelementdA(positiv wenn Warme hineiniesst). Mit Hilfe des Gaussschen Diver-genzsatzes konnen wir die rechte Seite als Volumenintegral schreiben:

DkundA = k

DudV.WirerhaltenalsodieWarmeleitungsgleichungut u=0, =k/(c).1.3. Die eindimensionale Wellengleichung. Wir wollen einen derwenigenFallestudieren, woalleLosungeneinerpartiellenDieren-zialgleichungexplizitbekanntsind.DieeindimensionaleWellenglei-chung1c2uttuxx= 0beschreibt z. B. dieAmplitudeu(x, t) der (kleinen) Schwingungeneiner Saite als FunktionvonOrt xundZeit t. Wir wollendiesePartielle DierenzialgleichungenGrundbegrieV.1.5,28-09-2008http://www.math.ethz.ch/u/felder/Teaching/PDGZur uck Suche IndexUbungen < >GrundbegrieLinearePDGFourier-ReihenFouriertransformationenWarmeleitungsgleichungWellengleichungLaplacetransformationenLaplace-GleichungCharakteristikenKlassikation7Gleichungdurchgeschickte Transformationder unabhangigenVa-riablenvereinfachen. Zuerstf uhrtmandieneueFunktionv(x, )=u(x, /c) ein. Erf ullt u die Wellengleichung, so erf ullt v die Gleichungv vxx=0, inwelchercnichtmehrvorkommt, undumgekehrt.Zweitens,dAlembertfolgend,f uhrenwirneueVariablen= x ,=x + einundsetzenw(, )=v(x, ).DieWellengleichungf uruistdannaquivalentzurGleichung2w= 0f urw.DieseGleichungbedeutet,dassw/unabhangigvonist,alsow(, )= f()NachIntegration(beijedemfesten)folgtw(, ) = F() + G(),wobei Feine Stammfunktion von fist und die IntegrationskonstanteG()vonabhangenkann.JeandAlembert17171783Umgekehrt ist es klar, dass w = F() +G() f ur beliebige dieren-zierbareFunktionenF,GeineLosungvonw= 0ist.Indenurspr unglichenVariablenausgedr uckt, habenwirdasRe-sultat(vondAlembert):F urbeliebige(zweimal stetigdierenzierbare) Funktio-nenF, Gist(3) u(x, t) = F(x ct) +G(x +ct)eineLosungdereindimensionalenWellengleichung1c2uttuxx= 0.Alle (zweimal stetig dierenzierbaren) Losungen sindvondieserForm.ZumBeispiel ist u(x, t) =F(x ct) eine Losung. Sie beschreibteineWelle,diesichmitFortpanzungsgeschwindigkeitcnachrechtsbewegt: Der Graphder Funktionx u(x, t) verschiebt sichnacheinerZeittumct.AnalogbeschreibtG(x + ct)einesichnachlinksbewegendeWelle.EineFormelwie(3),diealleLosungeneinerPDGu(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)0.40.20.20.40.60.8110 5 5 10x>Visualisierung>Mapleworksheetangibt,heisstallgemeineLosungderPDG.Partielle DierenzialgleichungenGrundbeg