FEM - City University of Applied Sciences€¦ · 1.3 Grundlegende Bemerkungen zur...

HOCHSCHULE BREMENUNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES

Prof. Dr.-Ing. Uwe ReinertFachbereich Maschinenbau

Finite Elemente MethodeDiese Unterlagen dienen gemäß § 53, 54 URG ausschließlich der Ausbildung an der Hochschule Bremen.

FEM

Prof. Dr.-Ing. Uwe ReinertAbteilung Maschinenbau



INHALT

Vorlesung „FEM“

1.Einleitung1.1.Historischer Überblick über die Finite Elemente Methode (FEM)1.2.Anwendungsgebiete der FEM1.3.Grundlegende Bemerkungen zur Aussagesicherheit der FEM2.Grundgleichungen der linearen FEM2.1.Exkurs Matrizenrechnung2.2.Gleichungen der Elastostatik2.3.Weitere grundlegenden Betrachtungen aus der Mechanik2.3.1.Der Mohrsche Spannungskreis2.3.2.Beanspruchungshypothese-Vergleichsspannung3.Ermittlung und Lösung des FE-Grundgleichungssystem3.1.Matrix-Steifigkeitsmethode (zum Aufbau des Gleichungssystems)3.2.Prinzip der Minimierung des Gesamtpotentials (Variationsprinzip)3.3.Einbau der Randbedingungen und Lösen des Gleichungssystems


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INHALT

4.Durchführung einer FE-Berechnung am Beispiel eines ebenen Fachwerkes5.Das Finite-Element und die Formfunktion5.1.Beispiel des einseitig eingespannten und auf Zug beanspruchten Balkenelements5.2.Beispiel des linearen Dreieck-Elements für ebene Spanungsprobleme6.Überblick Elementenfamilien und Grundregeln zur FE-Anwendung6.1.Element-Familien6.2.Grundlagen zur FE-Anwendung7.Weiterführende Literatur

Vorlesung „FEM“ Prof. Dr.-Ing. Uwe ReinertAbteilung Maschinenbau

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LITERATUR

Vorlesung „FEM“

Bathe, K.-J.: Finite-Elemente-Methoden, Springer, Heidelberg 2002.

Betten, J.: Finite Elemente für Ingenieure 1 + 2, Springer, Heidelberg 1998.

Klein, B.: FEM Grundlagen und Anwendungen der Finite-Elemente-Methode, Vieweg, Braunschweig 2000.

Kunow, A.: Finite-Elemente-Methode, Hüthig, Heidelberg 1998.

Rieg, F.; Hackenschmidt, R.: Finite Elemente Analyse für Ingenieure, Carl Hanser, München 2000.


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1. Einleitung

1.1 Historischer Überblick

Historische Entwicklung der FEM(Quelle: Klein)


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1. Einleitung

1.2 Anwendungsgebiete der FEM


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1. Einleitung

weitere Anwendungsgebiete


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1. Einleitung

Einige Beispiele:


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1. EinleitungProf. Dr.-Ing. Uwe ReinertAbteilung Maschinenbau

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Prof. Dr.-Ing. Uwe ReinertFachbereich MaschinenbauProf. Dr.-Ing. Uwe Reinert

Abteilung Maschinenbau1. Einleitung

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1. Einleitung

1.3 Grundlegende Bemerkungen zur Aussagesicherheit der FEM

“Ein FE – Programm rechnet alles was formal richtig erscheint”

Daher muss durch den ingenieurwissenschaftlichen Sachverstand überprüft werden, ob das Simulationsergebnis dem tatsächlich realen Verhalten entspricht.

“Die Aussagesicherheit von FE-Berechnungen hängt stark von dem Know-how des Berechnungsingenieurs ab!”


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1. Einleitung

Einige Beispiele für Fehlerquellen:

• unkorrekte Annahme von Randbedingungen (Bsp. Zugstab)

korrekte Annahme inkorrekte Annahme


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1. Einleitung

• Zu grobe Diskretisierung um verlässliche Aussagen machen zu können (Bsp. Winkel)

grobe Vernetzung feine Vernetzung


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• Zu stark vereinfachte Körpergeometrieverläufe (Bsp. Vernachlässigung von Kerbradien)

FE-Simulationsergebnis (dargestellt: Vergleichsspannung nach v. Mises)16



1. Einleitung

• falsche FE Auswahl, d.h. die Reaktion des Bauteils wird vondem FE-Ansatz nur unzureichend wiedergegeben (Bsp. Balkenbiegung)

Konvergenzverhalten zwischen Balken-Elementen und Dreieck- bzw. Rechteck-Scheibenelementen

CST-El. = Lineares Dreieck-El.


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• falsche FE Auswahl (gewählte Ansatzfunktion bei vorgegebener Diskretisierungsdichte)

FE-Simulationsergebnis (dargestellt: Vergleichsspannung nach v. Mises)

Vernetzung eines Winkels mitTetraeder-Elementen mita) linearem undb) quadratischemVerschiebungsansatz.

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Prof. Dr.-Ing. Uwe ReinertFachbereich Maschinenbau1. Einleitung

Resümee:

Unter der Voraussetzung, dass alle Annahmen (Randbedingungen, Materialparameter, Körpergeometrieverlauf) stimmen, so kann die Aussagesicherheit (Genauigkeit) eines FE-Ergebnisses verbessert werden durch:

Die Funktion Genauigkeit über Elementanzahl (bzw. Freiheitsgrade FHG´s) konvergiert monoton gegen das exakte Ergebnis.

exaktes Ergebnis

(FHG's)Elementanzahl

Ergebnisvarable (z.B. ε, σ).

1.) Erhöhung der Diskretisierunsdichte

2.) Wahl eines höheren Elementansatz


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Prof. Dr.-Ing. Uwe ReinertFachbereich Maschinenbau1. Einleitung

Beispiele für verschiedene Finite-Elemente und ihre Ordnung:

1

2

3

2'

3'

1' 1

2

3

2'

3'

1’ 4 4´

5 6 ́ 6

5´

a) b)

c) d)

Linearer (a) und quadratischer (b) Verschiebungsansatz eines finiten Dreieckselementes

Idealisierung einer kinematisch verträglichen (c) und einer kinematisch unverträglichen (d) Verformungen eines finiten Dreieckselementes mit quadratischem Verschiebungsansatz


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