FEM Uebung

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Fachhochschule Osnabrück Fakultät Ingenieurwissenschaften und Informatik Studiengang Maschinenbau Prof. Dr. Ing. J. Möhlenkamp Finite Elemente Methoden - Anhang C1/C2 /C3- Praktikum/Übungsaufgaben

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Fachhochschule Osnabrück

Fakultät Ingenieurwissenschaften und Informatik

Studiengang Maschinenbau

Prof. Dr. Ing. J. Möhlenkamp

Finite Elemente Methoden

- Anhang C1/C2 /C3-

Praktikum/Übungsaufgaben

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Anhang C1: Praktikum - 2 -

Prof. Dr. Ing. J. Möhlenkamp, FH Osnabrück; Lehrveranstaltung "Finite Elemente Methoden"

Anhang C1: Praktikum Aufgabe 1: Für den skizzierten Stab mit veränderlichem Querschnitt sind die Knotenverschiebungen, Lagerreaktionen und Schnittkräfte in den einzelnen Querschnitten zu bestimmen. Gegeben: E = 100000 N/mm2; F = 1000 N; a = 1000 mm; A = 100 mm2.

x

2A A

F

a 2a a

1 2 3 4

1 2 3

F

Aufgabe 2: Für das skizzierte Fachwerk sind die Knotenverschiebungen, Lagerreaktionen und Schnittkräfte in den Stäben zu bestimmen. Gegeben: E = 210000 N/mm2; F = 1000 N; a = 1000 mm; A = 100 mm2.

2F F

a

60° 60°1

1

2

2

33

Aufgabe 3: Das skizzierte K-Fachwerk ist an drei Knoten belastet. Die Stäbe sind als I-Träger auszulegen. Die zulässige Normalspannung beträgt σzul = 100 N/mm2 . Die Druckstäbe sind auf dreifache Sicherheit ( ν =3 ) gegen Knicken zu bemessen. Es ist für das gesamte System ein IPB-Profil bestimmen. Weiterhin sind die Lagerreaktionen und Knotenverschiebungen anzugeben. Gegeben: E = 210000 N/mm2; F1 = 30 kN; F2 = 40 kN; F3 = 60 kN; a = 5000 mm; b = 3000 mm.

F F FF1 2 3 2

a a

b

b

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Anhang C1: Praktikum - 3 -

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Aufgabe 4: Für das skizzierte Fachwerk sind die Stäbe als IPB-Träger auf dreifache Sicherheit gegen Knicken oder auf Zug/Druck mit σzul = 110 N/mm2 zu bemessen. Es ist für das gesamte System ein IPB-Profil bestimmen. Weiterhin sind die Lagerreaktionen, Stabkräfte und Knotenverschiebun-gen anzugeben. Gegeben: E = 210000 N/mm2; F = 100 kN; a = 1 m; b = 2 m; c = 3 m.

F

F

FA

B

b ca

454545

Aufgabe 5: Für den skizzierten Balken bestimme man die Knotenverschiebungen, Lagerreaktionen und Schnittgrößen. Gegeben: E = 200000 N/mm2; G = 80000 N/mm2;

Iy = 50 cm4; A = 20 cm2; H = 60 mm ; F = 1000 N; a = 1 m;

F

a 2a Aufgabe 6: Für den skizzierten Winkelbalken bestimme man die Lagerreaktionen, Knotenverschiebun-gen und Schnittgrößen. Gegeben: E = 100000 N/mm2; G = 40000 N/mm2;

Iy = 100 cm4; A = 10 cm2; H = 40 mm ; F = 500 N; M1 = 250 Nm; a = 1 m;

M1

F

a

a

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Anhang C1: Praktikum - 4 -

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Aufgabe 7: Gegeben ist das skizzierte Tragwerk. Bestimmen Sie die Lagerreaktionen und Schnittgrößen. Wählen Sie für den Träger ein IPB-Profil, sodass die zulässigen Spannungen nicht überschritten werden. Gegeben: E = 210000 N/mm2; G = 81000 N/mm2;

F1 = 20 kN; F2 = 10 kN; M = 10 kNm; a = 4 m; b = 3 m; σzul = 110 N/mm2;

F1

F1

F2F1

M

a a

a

b

Aufgabe 8: Der skizzierte Balken ist durch eine Streckenlast belastet. Bestimmen Sie das max. Biegemoment. Gegeben: E = 210000 N/mm2; G = 81000 N/mm2; q = 2 N/mm; l = 600 mm; h = 18 mm; b = 16 mm

q

l

b

hz

y

Aufgabe 9: Der skizzierte Winkelrahmen mit Pendelstütze ist durch eine Streckenlast, eine Kraft und ein Moment belastet. Wählen Sie die Profile so, dass die zulässigen Spannungen in den Querschnitten nicht überschritten werden. Weiterhin ist die Stütze auf dreifache Sicherheit gegen Knicken zu bemessen. Als Querschnitt wähle man ein IPB- Profil. Gegeben: E = 210000 N/mm2; G = 81000 N/mm2;

F = 2 kN; q = 10 kN/m; M = 10 kNm; σzul = 100 N/mm2; ν =3; a = 8 m; b = 2,5 m;

qF

M

a

b

b

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Anhang C1: Praktikum - 5 -

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Aufgabe 10: Für den Stockwerksrahmen sind die Auflagerreak-tionen und Schnittgrößen zu bestimmen. Wählen Sie für die horizontalen bzw. vertikalen Bauteile jeweils ein IPB-Profil, sodaß die zulässigen Biegenormalspannungen nicht überschritten werden. Gegeben: h = 3 m; a = 6 m; q1 = 10 kN/m; q2 = 20 kN/m; F = 30 kN; E = 210000 N/mm²; G = 81000 N/mm2;

σzul. = 100 N/mm²

F

a

h

h

h

q1

q2

q2

Aufgabe 11: Man berechne die Biegespannungen des skizzierten Kragträgers (s. Holzmann S. 88). Gegeben: l = 1000 mm; b = 100 mm; h = 200 mm; α = 22,50; F = 7 kN; E = 210000 N/mm²; G = 81000 N/mm² .

lA

A

xz

y

h

b

a

Schnitt A-A

FF

Aufgabe 12: Man berechne die Biegespannungen des Kragträgers mit dem skizzierten Querschnitt (s. Holzmann S. 91). Gegeben: l = 1000 mm; F = 4 kN; E = 210000 N/mm²; G = 81000 N/mm

lA

A

xz

ya

Schnitt A-A

F F

1

1

2

2

Hauptachsen:

y

z

y

2 4 4 4 o

1 2 36 cm ; 558 cm ; 106 cm ; = 48 cm ; = 22.5 ;tA I I I α= = =

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Anhang C1: Praktikum - 6 -

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Aufgabe 13: Die symmetrische Scheibe mit Loch wird beidseitig mit einer Streckenlast belastet. Bestimmen Sie die Spannungen in der Scheibe und führen Sie eine Kontroll-rechnung nach Festigkeitslehre durch. Gegeben: E = 210000 N/mm²; ν = 0.3 ; Dicke t = 10 mm; F = 20 kN; q = 3 kN/cm; a = 100 mm; b = 180 mm; r = 50 mm .

q

a

b

r

q

Aufgabe 14: Die skizzierte Kragscheibe wird durch eine Streckenlast und zwei Einzelkräfte belastet. Bestimmen Sie die Spannungen in der Scheibe und führen Sie eine Kontrollrechnung nach Balkentheorie durch. Gegeben: E = 210000 N/mm²; ν = 0.3 ; Dicke t = 10 mm; F = 20 kN; q = 50 kN/m; a = 500 mm; r = 200 mm . a r

a

a

qF

F

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Anhang C1: Praktikum - 7 -

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Aufgabe 15: Die allseitig gelagerte Platte ist mit einer konstanten Flächenlast belastet. Die FE-Struktur ist mit Hilfe von Schalenelementen zu modellieren. Man bestimme die Durchbiegung und die Spannungen in der Platte und vergleiche die Ergebnisse mit denen der analytischen Berechnung. Gegeben: E = 210000 N/mm²; ν = 0.3 ; q = 0,2 N/mm2 ; a = 500 mm; Dicke t = 10 mm; a

a

Analytische Lösung (s. Timoshenko: Theorie of Plates and Shells ) :

max max

4

max max3

2

2x x2

*max. Durchbiegung: * mit = 0,0443 ; 2,64 ;*

6* * Nmax. Spannung : * mit = 0,0479 ; 143,7 mm ;

q aw w mmE tq at

α α

σ β β σ

= =

= =

Aufgabe 16: Der skizzierte Kragträger wird durch zwei unterschiedliche Lastfälle belastet. Lastfall I: Biegebeanspruchung durch eine Streckenlast q am Trägerende. Lastfall II: Torsion durch ein Kräftepaar in den Flanschen am Trägerende. Die FE-Struktur ist mit Hilfe von Schalenelementen zu modellieren. Bestimmen Sie die Spannungen im System und führen Sie für beide Lastfälle eine Kontrollrechnung nach Balkentheorie durch. Gegeben: E = 210000 N/mm²; ν = 0.3 ; F = 4000 N; q = 100 N/mm; a = 500 mm; h = 100 mm; b = 80 mm; Dicken: t1 = 5 mm; t2 = 8 mm.

b

h

F

F

q1

t

t2

2

t a

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Anhang C2:Theoretische Übungsaufgaben -8-

Anhang C2: Theoretische Übungsaufgaben 1 . Aufgabe:

Für das skizzierte Stabwerk sind die Elementsteifigkeitsmatrizen, die Gesamtsteifigkeitsmatrix, der Belastungsvektor, der Verschie-bungsvektor, die Lagerreaktionen und die Schnittkräfte zu bestim-men. Vergleichen Sie die Ergebnisse gegebenenfalls mit einer ANSYS-Kontrollrechnung ! Gegeben: E = 100000 N/mm2; A1 = A3 = 200 mm2; A2 = 100 mm2; F = 10 kN; a = 500 mm. 2 . Aufgabe:

Für das skizzierte Stabwerk sind die Elementsteifigkeitsma-trizen, die Gesamtsteifigkeitsmatrix, der Belastungsvektor, der Verschiebungsvektor, die Lagerreaktionen und die Schnittgrößen zu bestimmen. Vergleichen Sie die Ergebnisse gegebenenfalls mit einer ANSYS-Kontrollrechnung !

Gegeben: E = 100000 N/mm2; A = 100 mm2; F = 10 kN, a = 500 mm

3 . Aufgabe:

Für das skizzierte Balkensystem bestimme man: 1.) Die Elementsteifigkeitsmatrizen, die Gesamtsteifig-

keitsmatrix, den Belastungsvektor, die Knotenver-schiebungen und die Lagerreaktionen.

2.) Die Schnittgrößen nach einer Methode Ihrer Wahl. Man beziehe sich hierbei auf ein Koordinatensystem, wie es in der Statik (Mechanik I) definiert wurde.

3.) Ein Vergleich der Ergebnisse ist mit dem FE-Programm ANSYS möglich, wobei insbesondere auf die Vorzeichen der jeweiligen Größen zu achten ist.

Gegeben: E = 100000 N/mm2; IY = 200 cm4;

A = 10 cm2; F = 1200 N; a = 1 m

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Anhang C3:Praktische Übungsaufgaben ANSYS -9-

Anhang C3: Praktische Übungsaufgaben mit ANSYS 1. Aufgabe: Das skizzierte Fachwerk ist mit quadratischen Stäben erstellt. Berechnen sie die Lagerreaktionen, die Stab-kräfte und die Knotenverschiebungen. Überprüfen sie die Festigkeit der Stäbe auf Kni-ckung. Bearbeiten sie das gestellte Problem in ANSYS im Pick-Modus sowie wahlweise durch direkte Befehlseingabe über Tastatur.

120

120

60

120 2F

F

80

60 Geg.: F = 1000 N E = 210 000 N/mm² (St 52) ν = 0.3 A = 25 mm² 2. Aufgabe: Für das skizzierte Fachwerk sind die Stäbe als IPB-Träger auf 3-fache Si-cherheit gegen Knicken oder auf Zug/Druck mit szul = 11 kN/cm2 zu bemessen. Es ist für das gesamte System ein IPB-Profil anzugeben. Weiterhin sind die Lagerreaktionen, die Stabkräfte und die resultierenden Knotenverschiebungen anzugeben. (Berechnung mit FE-Programm ANSYS). Gegeben: E = 21000 kN/cm2; F = 10 kN; a = 3 m; b = 2 m 3 . Aufgabe:

Für das skizzierte Fachwerk sind mit Hilfe des FE-Programms ANSYS die Stäbe als I-Träger auf dreifache Sicherheit gegen Knicken oder auf Zug/Druck mit σzul

2kN / cm=10 zu bemessen. Es ist für das gesamte System ein I-Profil anzugeben. Weiterhin sind die Lagerreaktionen, die Stabkräfte und die resultierenden Knotenverschiebungen anzugeben. Gegeben: E = 210000 N / mm F = 200 kN; F = 500 kN; a = 400 mm; b = 500 mm;2

1; c = 300 mm

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Anhang C3:Praktische Übungsaufgaben ANSYS -10-

4. Aufgabe: Der skizzierte Rechteckrahmen soll aus einem quadra-tischen Hohlkastenprofil mit 2 mm Wandstärke herge-stellt werden. Gesucht sind die Schnittgrößenverläufe und die maxi-malen Biegenormalspannungen im Rahmen. Die Seitenlänge des quadratischen Hohlprofils ist so zu wählen, daß die zulässigen Biegenormalspannungen nicht überschritten werden. F ühren Sie die Berechnungen mit ANSYS durch.

Gegeben: E = 210000 N/mm2; σzul = 120 N/mm2; a = b = 600 mm; F = 600 N.

5. Aufgabe: Das skizzierte System zeigt die Hängekonstruktion einer Laufkatze (siehe auch Dubbel, 14. Auf-lage, Seite 189). Das System ist für eine Festigkeitsberechnung als FE-Modell zu diskretisieren.

1.) Bestimmen Sie die Schnittgrößen des Systems. 2.) Geben Sie den Querschnitt des Systems als quadrati-

sches Hohlkastenprofil mit 2 mm Wandstärke an. 3.) Geben sie die Verformungen des Systems an. Berechnung mit ANSYS durchführen. Gegeben: E = 210000 N/mm2; a = 140 mm;

h = 280 mm; c = 400 mm; F = 5 kN; σzul = 120 N/mm2

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Anhang C3:Praktische Übungsaufgaben ANSYS -11-

6. Aufgabe: Mit dem FE-Programm ANSYS sind die Auflagerreaktionen und Schnittgrößen des skizzierten Sys-tems zu bestimmen.

b

a

ca

1

a

F q

c

22 d

F 3

q 1

F

Wählen Sie die Träger als IPE-Profile so aus, daß die zulässigen Spannungen in den Querschnitten nicht überschritten werden (Dimensionierung). Für alle horizontalen Elemente wähle man einen Querschnitt und für alle vertikalen Elemente wähle man ebenfalls einen Querschnitt ebenso für die schräge Stütze. Gegeben: E = 210000 N/mm2; σzul = 110 N/mm2; a = 1,25 m; b = 3 m; c = 2m; d = 2,5 m;

F1 = 20 kN; F2 = 40 kN; F3 = 10 kN; q1 = 10 kN/m; q2 = 20 kN/m

7. Aufgabe: Mit dem FE-Programm ANSYS sind die Auflagerreaktionen und Schnittgrößen des skizzierten Sys-tem zu bestimmen.

Geg.: E = 210 000 N/mm² σzul = 110 N/mm² a = 5 m b = 2 m c = 4 m F1 = 20 kN F2 = 10 kN F3 = 40 kN q1 = 10 kN/m q2 = 20 kN/m

Wählen Sie die Träger als IPE-Profile so aus, daß die zulässigen Spannungen in den Querschnitten nicht überschritten werden. Für alle horizontalen Elemente wähle man einen Querschnitt und für alle vertikalen Elemente wähle man ebenfalls einen Querschnitt, ebenso für die schräge Stütze.

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Anhang C3:Praktische Übungsaufgaben ANSYS -12-

8 . Aufgabe:

Die Kragscheibe ist wie skizziert durch eine Streckenlast und eine Einzelkraft belastet.

Dicke t = 10 mm ; a = 500 mm ;r = 200 mm ; b = 1000 mm ;F = 20 kN; q = 50 kN/m .

Gegeben: E = 210000 N/mm ; = 0,3;

r

a

a

n2

60°

F

q

b

Bestimmen Sie die Spannungen in der Scheibe mit dem FE-Programm ANSYS. Führen Sie eine Kontrollrechnung nach Balkentheorie durch und kommentieren Sie die Ergebnisse. 9. Aufgabe: Die skizzierte symmetrische Scheibe ist durch eine Streckenlast belastet. Bestimmen Sie die Spannungen in der Scheibe mit ANSYS. Nutzen Sie bei der Netzgenerierung die Scheibensymmetrie! Führen Sie eine Kontrollrechnung nach der Balkentheorie durch und kommentieren Sie die Ergebnisse.

a

c

b q

e

r

d

Gegeben: E = 210000 N/mm2; Dicke t = 10 mm; ν = 0,3; q = 150 kN/m; a = 100 mm; b= 500 mm; c =400 mm; d = 600 mm; e = 300 mm;

r = 100 mm

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Anhang C3:Praktische Übungsaufgaben ANSYS -13-

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10.Aufgabe Die dargestellte Winkelstütze ist in der oberen Bohrung fest verankert. In der unteren Hälfte der Bohrung wirkt eine gleichmäßig anstei-gende Streckenlast q wie dargestellt.

R10

60

20

R10

R5

40

R4

R5

20

Bestimmen Sie die Spannungen in der Scheibe mit ANSYS. Wie weit senkt sich der Punkt ab, wo die maximale Streckenlast angreift ? Nutzen Sie bei der Netzgenerierung die Ihnen bekannten Vereinfachungen für eine gleich-mäßige Netzgenerierung. Geg.: t = 5 mm (Dicke) q max = 15 kN/m

E = 210000 N/mm2 ν = 0,3