fem2_lect1

Nichtlineare FEM

Beispiel: Simulation eines Crash-Tests Grosse Verformungen Bleibende Verformungen (kein Zurckfedern nach Entlastung)

1HAW/MP - Ihlenburg Nichtlineare FEMEinfhrung

Grundlagen/ Themen der nichtlinearen FEM

FEM fr lineare Probleme:

Vernetzung, Approximation auf Elementen

Lokale Steifigkeitsmatrizen mit

+ kleinen Verformungen (lineare Kinematik)

+ linear-elastischem Materialverhalten

Assemblierung, Lasten und Einspannungen, Kinematische Gleichungen

Aufbau und Lsung der linearen Gleichungssysteme

Nichtlineare Phnomene der Mechanik:

FEM1


Nichtlineare Phnomene der Mechanik:

groe Verformungen/ Dehnungen (nichtlineare Kinematik)

nichtlineares Werkstoffverhalten

+ nichtlinear elastisch (Hyperelastizitt): Gummi, Kunststoffe

+ elastisch-plastisch: duktile Materialien (Baustahl)

Gleichgewicht bei Bercksichtigung nichtlinearer Effekte

Inkrementierung und lineare Approximation

Tangentensteifigkeitsmatrix

Iterationsverfahren

FEM2

Auffrischung

1. Elemente hherer Ordnung fhren zu nichtlinearen FE-Modellen:

Ja: Nein:

2. Mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen finde ich die Beziehung zwischen


a) Dehnungen und Verschiebungen

b) Dehnungen und Spannungen

c) Spannungen und ueren Lasten

Kapitel KW Vorbereitung Termin Labor Termin

K1. Einfhrung 11V1: Lineare FEM:

Fachwerke 30.3.

K2. Nichtlineare FEM: Fachwerke 13 V2: Tensoranalysis 7.4. L0: ANSYS Intro 24.3.

K3. Kinematik groer Verformungen 15,17 V3: Tensoralgebra 27.4.2010 L1: Linear/ nonlinear beams 7.4.

K4: Spannungen und Gleichgewicht 21V4: Spannungen und

Verzerrungen 10.5.2010

L2: Tensile test: elastic/large

deformation 5.5.

Plan


K5: Nichtlineare Elastizitt 23 V5: Lineare Elastizitt 25.5.2010 L3: Tensile Test: elastic-plastic 19.5.

K6: Elastisch-Plastische Deformation 25 V6: Plastizitt 15.6.2010L4: Hyperelastic material: rubber

cube 16.6.

K7: Materielle Systeme (Euler, Lagrange,

ALE) L5: Contact 23.6. ??

Gastvorlesungen SS10:

KW 18: Dr. Mesecke-Rischmann (Autoliv): FE-Simulation im geometrisch und physikalisch nichtlinearem Bereich

KW 24: Dr. Rabkin (Vibracoustic): FE-Simulation von Elastomerbauteilen mit hyperelastischen Materialmodellen

Nichtlineare Mechanik/ FEM / Materialtheorie:

J. Bonet, R.D. Wood, Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis, Cambridge UP 2008

S. Krenk, Non-linear Modeling and Analysis of Solids and Structures, Cambridge UP 2009

G.A. Holzapfel, Nonlinear Solid Mechanics, J. Wiley 2000

H. Parisch, Festkrper-Kontinuums-Mechanik, Teubner Verlag Stuttgart 2003

K.J. Bathe, Finite Elemente Methoden, 2. Auflage, Springer Verlag 2002

T. Belytschko, W.K. Liu, B. Moran, Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures, J. Wiley 2000

Literatur


P. Wriggers, Nichtlineare FEM, Springer Verlag 2002

J. Rsler, H. Harders, M. Bker, Mechanisches Verhalten der Werkstoffe, Vieweg 2003

R. Kreiig, Einfhrung in die Plastizittslehre, Fachbuchverlag Leipzig 1992

Ansys, Theory Reference

Lineare Mechanik (Festigkeit, Elastizittslehre):

Gross, Hauger, Schnell, Technische Mechanik 2, Technische Mechanik 4, Springer-Verlag

Becker, W., Gross, D., Mechanik elastischer Krper und Strukturen, Springer Verlag Berlin 2002

Lektion 1: Einfhrung in nichtlineare Berechnungen

Inhalt/ Lernziele:

Spezifik nichtlinearer mechanischer Phnomene und Modelle

Typen der Nichtlinearitt

Dehnungs- und Spannungsmae bei groer Verformung (1-D)

Iterative Bestimmung des Gleichgewichts

Beispiele und Aufgaben


Lineare und nichtlineare Mechanik

Eine mechanische Konstruktion verhlt sich unter statischer Belastung linear, wenn eine

Vernderung der Belastung um Faktor a eine entsprechende Vernderung der Verschiebungen um

denselben Faktor a bewirkt. Andernfalls verhlt sich die Konstruktion nichtlinear.

F

2 oF

linear

nichtlinear


u

o

oF

ou 2 ou

nichtlinear

Lineare und nichtlineare FE-Modelle

Das lineare Verhalten von Bauteilen wird

beschrieben durch:

lineare Differentialgleichungen

(kontinuierlich = fr alle x)

lineare algebraische Gleichungen

(diskret = in ausgewhlten Punkten)

Das nichtlineare Verhalten von

Bauteilen wird beschrieben durch

nichtlineare mathematische

Modelle.

Fr die numerische Lsung werden

diese Modelle linearisiert, d.h. die

Berechnung wird in mehrere lineare

Lsungsschritte unterteilt.

f


Ku = f T K u f

u

f

const.KSteifigkeitsmatrix [ ]=T K K uTangenten-Steifigkeitsmatrix

Typen nichtlinearer Modelle

Mechanische Modelle der Form Ku=f werden in drei Schritten hergeleitet:

Gleichgewicht (zwischen inneren und ueren Krften: Prinzip der virtuellen Arbeit)

Materialgesetz

Kinematik

Ein Modell heit:

physikalisch nichtlinear : nichtlineares Materialgesetz

F

u


geometrisch nichtlinear: nichtlineare Kinematik

Darber hinaus fhren Kontaktprobleme auf nichtlineare Berechnungsmodelle, selbst wenn sich die

einzelnen Bauteile geometrisch und physikalisch linear verhalten.

u

F

F

uu=Beispiel aus: P. Wriggers, Nichtlineare FEM, Springer Berlin 2001

bzw.

Wiederholung: Lineare statische Berechnung mit FEM

Ku = f

0= =r f Ku f - gegebene ueren Krfte, bezogen auf die (Freiheitsgrade in den) Knoten des FE-Modells

u - Verschiebungen an den Knoten

K - Steifigkeitsmatrix.

r - Residuum


Herleitung der Steifigkeitsmatrix:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

m

m T m m m

m V

dV= K B C B

Kinematik + Interpolation

Materialgesetz( ) ( ) ( )

( ) ( )

m m m

m m

=

=

CB u

( ) ( ):V A

dV F u dA =

( ) ( )( )

( ): :m

m

mV V

dV dV =

AN BN

Au Bu

l

,E A

Beispiel 1.1: Element-Steifigkeitsmatrix eines Stabelements (lineares Modell)

( ) A A B BV

dV N u N u = +Gleichgewicht:


elK

Materialgesetz:

Kinematik:

1 11 1

T TA A A A

B B B B

u u u NEAu u u Nl

=

E =

dudx

=LINEAR

Beispiel 1.2. Biegebalken bei Laststeigerung (1/2)

1. Kleine Verformungen

F

w

Lngsverschiebung u

Biegebalken bei Laststeigerung (2/2)

Mittellinie, unverformtL dX=unverzerrte Lnge

2. Groe Verformungen

Lngsverschiebung u darf nicht mehr vernachlssigt werden Dehnung der neutralen Faser

nichtlineare Kinematik = geometrische Nichtlinearitt.


Gesamtdehnung uere Faser

w w dw+dw

l dx=verzerrte Lnge22 2

22 :Gl L dw

L dX

= =

Greensche Dehnung

21, ,

2x xu w = +

Mittellinie, verformt

(Mittellinie)

Dehnungsmae fr groe Verformungen (1-D)

l

L

2 2

22 :Gl L

L

= Greensche Dehnung:

Henckysche (logarithmische) Dehnung: : lnl l

HL L

dl ldl L

= = =

2d d = l =


Zusammenhang:2

G Hd d =lL

= Streckung

Kleine Verschiebungen: Dehnung = inkrementelle Dehnung bezogen auf unverformte Lnge

1, G Hd d = = =

Fr kleine Verschiebungen sind beide Dehnungen identisch mit den engineering strains

Spannungsmae fr groen Verformungen (1-D)

l L:

Ta

= Cauchy:

T

A

TlL

= Kirchhoff: : J =


Kleine Verschiebungen:

T

a 1. Piola-Kirchhoff: 1:

TP JA

= =

2. Piola-Kirchhoff: 2:S J =

L =

:v alJV AL

= =

Volumenquotient

1J = = Cauchy Spannungen identisch mit engineering stresses

Beispiel 1.2: Dehnungen und Spannungen im Zugstab

T

An einem Stab mit Kreisquerschnitt greift die Zugkraft T an. Der Stab wird aus der Ausgangslnge L auf die Lnge l gedehnt. Das Material ist linear-elastisch und isotrop, d.h. fr die inkrementellen Zuwchse der Dehnung gilt

r ld d =

ld

1 2J =


T a) Zeigen Sie die Beziehungb) Wie gro ist der Radius r des verformten Querschnitts?c) Berechnen Sie die Greensche und Henckysche Dehnung.d) Berechnen Sie die Cauchy, 1. und 2. Piola-Kirchhoff sowie die Kirchhoff-Spannung.

1 2J =

Geg : 1m, 1.4m, 4cm, =0.3, 200kNL l R T= = = =

u L

G

E

H


From: S. Krenk, p. 20.

),,,,,,(21

),,,(21

),,,(21

222

222

yxyxyxxy

yyyy

xxxx

wwvvuuyu

x

v

wvuyv

wvux

u

+++

+

=

+++

=

+++

=

Theorie: Dehnungen bei groen Verschiebungen

Nichtlineare Kinematik Bei groen Verformungen mssen die nichtlinearen Anteile der Verschiebungen an

den Dehnungen einbezogen werden.

Diesen Effekt nennt man geometrische

Nichtlinearitt.

Finite Elemente fr lineare Statik und

Dynamik beinhalten nur die linearen Anteile.


yu

x

v

yv

x

u

xy

y

x

+

=

=

=

Lineare Kinematik (Dehnung-Verformung)

Annahme: kleine Verschiebungen

21, ,

2x x xu w = +Balken, groe Durchbiegung:

Biege-Normalspannungen nach Bernoulli Normalspannungen entsprechend Dehnung der neutralen Faser

Theorie: Lineare und nichtlineare Differential-Gleichungen

2

2

4

4 ),(),(t

txWAx

txWEI

=

Lineare DGL (Schwingung eines Balkens)

Koeffizienten hngen nicht von unbekannter Funktion ab

Ableitungen der Funktion kommen nur in 1. Potenz vor

Konstruktionen bestehen i.a. aus kontinuierlichen Bauteilen: Balken (1-D), Schalen (2-D), Massivteile (3-D). Grundlage der Berechnung sind Differentialgleichungen (DGL). Die Unbekannten in den DGL sind Funktionen (z.B. Verschiebungen), die kontinuierlich von den Ortsvariablen abhngen. Mit diesen Gleichungen kann die Bewegung an jedem Punkt der Bauteile berechnet werden.


Nichtlinearen DGL: eine oder beide obige Charakteristika sind nicht erfllt. Beispiel: Dehnungen bei groen Verschiebungen

Mit der FEM werden kontinuierlicher Bauteile wiederum diskretisiert, d.h. die Bewegung wird nur noch an einzelnen Punkten (Knoten des FE-Modells) berechnet. Die linearen DGL werden dabei berfhrt in lineare algebraische Gleichungssysteme. Fr nichtlineare DGL wird die Lsung in einzelne Schritte unterteilt. Innerhalb eines jeden Schritts wird ein genhertes lineares Modell erstellt und gelst.

),,,,,,(21

),,,(21

),,,(21

222

222

yxyxyxxy

yyyy

xxxx

wwvvuuyu

x

v

wvuyv

wvux

u

+++

+

=

+++

=

+++

=

{ }, ,u v w=u

Fw

Spannungsversteifung (Stress Stiffening)

Beobachtung: Durchsenkung bei nichtlinearer Rechnung ist kleiner als bei linearer

Rechnung warum?

Erklrung: neutrale Faser wird gezogen Normalspannung .

Theorie: Gleichgewicht am verformten Balken (Theorie 2. Ordnung!) z-Komponente von wirkt der ueren

= spezieller Effekt der geometrischen Nichtlinearitt bei Biegung (Balken, Platten, )


F

Theorie: Gleichgewicht am verformten Balken (Theorie 2. Ordnung!) z-Komponente von wirkt der ueren Last entgegen:

Groe Verschiebungen Umverteilung der Spannungen Lastaufnahme hher als nach linearer Rechnung vorhergesagt.

3. Lokale Plastifizierung

FF

w

Biegebalkens bei Laststeigerung/ Fortsetzung


Lngsverschiebung u ~ w darf nicht mehr vernachlssigt werden nichtlineare Kinematik = geometrische

Nichtlinearitt (Stress Stiffening)

Elastisch-Plastisches Materialverhalten, d.h. groer Dehnungszuwachs bei geringer Spannungssteigerung,

bleibende Verformungen nach Entlastung = nichtlineares Spannungs-Dehnungsdiagramm = physikalische

Nichtlinearitt

Fw

Physikalische Nichtlinearitt (nichtelastisches Material)

Fliegrenze

Elastisch:

E=


FliessenVerfestigung

( )f = Elastisch-Plastisch:

1. geometrisch und physikalisch linear

2. geometrisch nichtlinear

F

w

F

w

F

Biegebalkens bei Laststeigerung/ Zusammenfassung


3. geometrisch und physikalisch nichtlinearw

F

w

Praktische Konsequenz bei linearer Festigkeits-Berechnung

Das Bauteil verhlt sich unter realer Beanspruchung:

F F

geometrisch nichtlinear geometrisch und physikalisch nichtlinear


w w

Messung/ nichtlineare Berechnung

lineare Rechnung mit gleicher Last

Berechnete Durchbiegungen sind zu gro:

Tragfhigkeit nicht voll ausgenutzt.

Vergleichspannung fehlerhaft.

Berechnete Durchbiegungen sind zu klein.

Tragfhigkeit wird berschtzt!

Zusammenfassung (1/3): Lineare und nichtlineare Berechnung mit FEM

F

Linear

F

1nF +oF

( )K u

Nichtlinear


uou

const.K

u1nu +

1

Geg: Ges: Lsg:

o

o

o o

Fu

u F=

K

1

11

1 1

Geg: , Ges: Lsg:

n n

n

n T n

F uu

u F

+

+

+ + =

K

nu

( )T nK u

Steifigkeitsmatrix Tangenten-Steifigkeitsmatrix( )11 1 n n T n nu u F F+ + + K

Linear Nichtlinear

Gleichgewicht

an unverformtem Volumen an verformtem Volumen

Material

Hookesches Gesetz Elastisch, Hyper-Elastisch, Elastisch-

Plastisch,

( ) ( ):V A

dV F u dA = ( ) ( ):v a

dV F u dA =

ij ijkl klC = ( )( )

=

= i i i

Zusammenfassung (2/3): Modellbildung


Kinematik

engineering strains

Green-Almansi Dehnungen

logarithmische Dehnungen

L l LL L

= =

2 2

22 Gl L

L

=

l

LL

dll

=

( ) = i i

Typ der Berechnung Typische Formulierung Spannungs-/ Verzerrungsma

Nur materiell nichtlinear Nichlineares Materialgesetz Grundkurs Technische Mechanik engineering

stresses/ strains

Groe Verschiebungen ,

groe Rotationen, kleine

Verzerrungen

Total Lagrangian (TL)

Updated Lagrangian (UL)

2. Piola-Kirchhoffscher Spannungstensor,

Greenscher Verzerrungstensor

Cauchyscher Spannungstensor, Almansischer

Verzerrungstensor

Groe Verschiebungen , Total Lagrangian (TL) 2. Piola-Kirchhoffscher Spannungstensor,

Tabelle 1: (nach K.J. Bathe)

Zusammenfassung (3/3): Klassifikation nichtlinearer Berechnungen


Groe Verschiebungen ,

groe Rotationen, groe

Verzerrungen

Total Lagrangian (TL)

Updated Lagrangian (UL)

2. Piola-Kirchhoffscher Spannungstensor,

Greenscher Verzerrungstensor

Cauchyscher Spannungstensor, Logarithmischer

Verzerrungstensor

Weitere Berechnungstypen:

Kontakt,

Fluid-Struktur-Interaktion

Formulierungen: Eulerian, Arbitrary Lagrange-Eulerian (ALE)

Anhang: Beispiele, Illustrationen, Aufgaben

B1.3: System mit groen Rotationen und Verschiebungen

Illustration: Klassifikation nichtlinearer Berechnungen

B1.6: Kontakt

B1.4: Durchschlagsproblem

B1.5: Zugstab elastisch-plastisch

Illustration: Inkrementelle Vorgehensweise bei nichtlinearer Berechnung

Aufgaben

Illustration: Steifigkeitsmatrix des Bernoulli-Balkens bei groen Verformungen


Illustration: Steifigkeitsmatrix des Bernoulli-Balkens bei groen Verformungen

Aufgaben (Vorkenntnisse)

Beispiel 1.3: System mit groen Rotationen und Verschiebungen

(aus: Gross, Hauger, Schnell, Aufgaben zur TM)


Lineares Materialverhalten (Drehfeder); Verformung an Stab vernachlssigt.

Groe Rotationen nichtlineare Bewegungsgleichung

Kleine Schwingungen um die Gleichgewichtslage lineare Schwingungsgleichung

Am Massenpunkt treten auch groe Verschiebungen auf:

sin(1 cos )

w lu l

=

=

,x u

,z w

Illustration: Klassifikation nichtlinearer Berechnungen (Bathe Bild 6.1)

a) linear-elastischb) Nur materiell nichtlinearc) Groe Verschiebungen und

Rotationen, kleine Verzerrungend) Groe Verschiebungen und

Rotationen, groe Verzerrungen und nichtlineares Materialverhalten


Beispiel 1.4: Durchschlagsproblem

0

L

RDie skizzierte Konstruktion aus zwei gelenkig verbundenen und gelagerten Stben wird durch eine transversale Kraft am Zwischengelenk belastet. Ein seitliches Ausknicken der Konstruktion wird verhindert. Es ist die Verschiebung am Last-Angriffspunkt in Abhngigkeit von der Last R zu berechnen. Dabei wird langsame Last-Steigerung angenommen und das Eigengewicht der Stbe vernachlssigt. Fr die Stabkraft gilt d. lineare Materialgesetz in dem k eine elastische Konstante und die Verlngerung des Stabs bezeichnen.

F k=

8

10x 10-3 Snap-through problem for slab

K

r

a

f

t

Lsung:


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-4

-2

0

2

4

6

u/L

R

/

2

k

L

Durchsenkung in Richtung der Kraft

K

r

a

f

t

u=0:0.002:0.6;s15=sin(15/180*pi);r=( -1 + 1./sqrt(1-2*u*s15+u.^2) ).*(s15-u);plot(u,r,'linewidth',3)grid on; fs=18;title('Snap-through problem for slab','fontsize',fs)xlabel('u/L','fontsize',fs); ylabel('R/2kL','fontsize',fs);set(gca, 'fontsize', fs)

Beispiel 1.5: Zug-Druckstab, elastisch/ plastisch (Bathe Beispiel 6.1)

Ein beidseitig eingespannter Zug-Druck-Stab wird wie skizziert a) durch

eine Kraft R belastet. Der zeitliche Verlauf der Belastung ist in c) skizziert.

Das Materialverhalten ist elastisch-plastisch, s. Skizze b).

Es ist der zeitliche Verlauf der Verschiebung am Last-Angriffspunkt zu


Es ist der zeitliche Verlauf der Verschiebung am Last-Angriffspunkt zu

berechnen.

Beispiel 1.6: Kontakt (Bathe Beispiel 6.2)

Ein vorgespanntes Seil nimmt in der Mitte zwischen den Lagern eine transversale Last auf. Unter dem Seil befindet sich in Abstand wgap eine Feder. Es ist die Verschiebung am Last-Angriffspunkt in Abhngigkeit von der Last R zu berechnen. Dabei wird langsame Last-Steigerung angenommen.


Gegeben: uere Lasten: FE-Modell (Knotenschnittkrfte)

( ) tt= =F F F( )t tu=T T

0t t =F TGesucht: Verschiebungen so da zu jedem Zeitpunkt t. t u

t

( )R t

Lsung: i.a. inkrementell, d.h. in mehreren Zeitschritten( )R t t

Illustration: Inkrementelle Vorgehensweise bei nichtlinearer Berechnung


Lsung: i.a. inkrementell, d.h. in mehreren Zeitschritten

ttu t tu+

Ausgehend von bereits berechnetem mit

(1)und gegebenem wird gesucht so dass fr

(2)

( )t t tu=T T0t t =F T

t t+ F

0t t t t+ + =F Tt t+ u ( )t t t tu+ +=T T

Rechnungen innerhalb des Lastinkrements

t t t

t

+= +

=

T T TT K u

Es wird ein linearer Zusammenhang zwischen Lastzuwachs und Verschiebungszuwachs angenommen:

Die Tangentensteifigkeitsmatrix wird jeweils aus den Ergebnissen des vorherigen Lastschritts errechnet t

tt

=

TKu

(3)(4)

(5)

Linearisierung!


uAus (1) (5) folgt die Berechnungsvorschrift:

t t t t

t t t

+

+

= =

= +

K u F F Fu u u

(6)

Wegen der Linearisierung (4) kann man nicht davon ausgehen, dass mit den Verschiebungen (6) berechneten Knotenkrfte

die wesentliche Gleichgewichts-Bedingung (2) erfllen.

( )t t t t+ +=T T u

Effekt der Linearisierung

t=F K u

tt

t

=

FKu

Je nach Gre des gewhlten Lastinkrements kann die Annahme (4) zur Verflschung des Ergebnisses fhren:

( )F ut F

t t+ F


( )u t

t K

berechnetu gesuchtu

Im allgemeinen sind Iterationen innerhalb jedes Lastschrittes erforderlich, um (2) mit einer vorgegebenen Fehlertoleranz zu erfllen!

Aufgaben

Aufgabe 1.1. Berechnen Sie die Durchbiegung in der Mitte des frei drehbar gelagerten Balkens (Folie 10)

a) aus dem Randwertproblem (analytische Lsung)

b) mit FEM (ein Element der Lnge l) nach Bernoulli Theorie (schubstarr)c) mit FEM (ein Element der Lnge l) nach Timoshenko Theorie (schubweich)

Warum sind die Ergebnisse aus a) und b) trotz grober Vernetzung identisch, aber verschieden von c)?

Hinweis: Diskutieren Sie die jeweils verwendeten Formfunktionen.

3

Lsung c): 8Fl F

wEI GA

= +

Aufgabe 1.2. Auf Folie 11 ist die Green Dehnung am Balken bei groer Verschiebung gegeben.

a) Leiten Sie den Zusammenhang aus der Geometrie her.

b) Der Deformationsgradient ist definiert als (einachsig) . 1x dxF = =


Aufgabe 1.3. Zeigen Sie den Zusammenhang zwischen Hencky und Green Dehnungen (Folie 12)2

G Hd d =

Aufgabe 1.4. Lsen Sie die Aufgabe aus Beispiel 1.3.

Hinweis: Momentensatz, Gleichgewicht wenn , Schwingung mit Ansatz

b) Der Deformationsgradient ist definiert als (einachsig) .

Wie lautet der Zusammenhang zwischen Deformationsgradient und Green-Dehnung?

111

1

FX dX

= =

( )211 111Lsung c): E 12G E F= = ( )1Allgemein (3-D): 2 T E = F F I

3 3 1 3 3,

2Tg

c mgll

pi pi

= = +

0 = 0 = +

Vorkenntnisse 1

Frischen Sie Ihre Kenntnisse zur Lsung nichtlinearer Gleichungen mit Newton- bzw. Newton-Raphson Verfahren auf! Zu empfehlen sind Darstellungen mit Beispiel-Programmen, z.B. meine Suche in Google mit Newton-Raphson matlabhttp://numericalmethods.eng.usf.edu/mtl/gen/03nle/index.html

http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/loadFile.do?objectId=4313&objectType=file

f(x)


f(xi)

f(xi+1)

xi+2 xi+1 xi X

( )[ ]ii xfx ,

Vorkenntnisse 2

Grundbeziehungen fr Spannungen und Dehnungen in elastischen Krpern. Wichtigste Beziehungen:

( )0

, 0

1, ,

2

ij j i

ij j i

ij ij ij

ij ji i j j i

fn t

s

u u

e

+ =

=

= +

= = +

= +

Gleichgewicht am Volumselement

Gleichgewicht an der Oberflche

Zerlegung des Spannungstensors in hydrostatischen und

deviatorischen Anteil

Verzerrungstensor

Zerlegung des Verzerrungstensors


0ij ij ij

ij ijkl kl

e

E

= +

=

Gross, Hauger, Schnell, Technische Mechanik 2, Technische Mechanik 4 Becker, Gross, Mechanik elastischer Krper und Strukturen, Springer Verlag Berlin 2002

Literatur:

Zerlegung des Verzerrungstensors

Elastisches Materialgesetz

Vorkenntnisse 3: FEM fr kleine Verschiebungen, elastisches Material

Regel 1: Mittels FEM werden Systemvariable (z.B. Verschiebungen) an ausgewhlten Punkten (Knoten)

eines Berechnungsgebietes (z.B. einer mechanischen Struktur) numerisch bestimmt. Zur Herleitung der

dazu bentigten Gleichungen wird das Gebiet in finite Elemente unterteilt. Durch numerische Auswertung

von mechanischen Beziehungen innerhalb der Elemente werden die relevanten Eigenschaften der Systeme

(z.B. Steifigkeit, Masse) in den Knoten konzentriert.

Beispiel: Man berechne die Verschiebungen in einer abgesetzten Welle unter Zug.

1l 2l 3lF


1EA 2EA 3EA

Lsung (elementar):

x

( )u x

11

1

F lu

E A=

1 22

1 2

l lu F

E A E A

= +

1 2 33

1 2 3

l l lu F

E A E A E A

= + +

2u1u 3u 4uR

F(1) (2) (3)(1)

1F(1)

2F(2)

2F(2)

3F(3)

3F(3)

4F

Assemblierung der Element-Steifigkeitsmatrizen

(1)1 0R F =

(1) (2)2 2 0F F =

(2) (3)3 3 0F F =

(3)4 0F F + =

Knoten: Gleichgewicht von inneren und ueren Krften


( )3 4 33

EAu u F

l =

( )

( )

(1) 11 1 2

1

(1) 12 2 1

1

EAF u ul

EAF u ul

=

=

Elemente: Ersetzen der inneren Krfte durch Verschiebungen

( )

( )

(2) 22 2 3

2

(2) 23 3 2

2

EAF u ul

EAF u ul

=

=

( )

( )

(3) 33 3 4

3

(3) 34 4 3

3

EAF u ul

EAF u ul

=

=

( )1 1 21

EAu u R

l = ( ) ( )1 22 1 2 3

1 2

0EA EAu u u ul l

+ = ( ) ( )2 33 2 3 42 3

0EA EAu u u ul l

+ =

1u

Knoten: Bestimmungsgleichungen fr Verschiebungen

2u 3u 4u

1 11

1 1

1 1 2 22

1 1 2 2

3 32 23

2 2 3 3

3 34

3 3

0 0

0 0

0 0

0 0

EA EAu R

l lEA EA EA EA

ul l l l

EA EAEA EAul l l l

EA EAu Fl l

+

=

+

u

Assemblierung: Zusammenfassung der Knotengleichungen in Matrixform:

Knoten 1:

Knoten 2:

Knoten 3:

Knoten 4:

(4)


3 3 FuK

Ku = FSteifigkeitsmatrix (Stiffness Matrix)

Regel: Fr jeden Freiheitsgrad an jedem Knoten ergibt sich genau eine Gleichung der Form:Linke Seite = Resultierende der inneren Krfte Rechte Seite = Resultierende der ueren Krfte

in Richtung des Freiheitsgrades Ku = T F= =R F T 0

Illustration: Steifigkeitsmatrix eines Stabelements mit groen Verschiebungen.

1u 2u

1w2w

, ,E A L

( )V

dVMaterialgesetz: E = LINEAR

vgl: Beispiel 1.1.


V

elK

Materialgesetz:

Kinematik:

( )1 1

1 12 1

2 2

2 2

1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0

,

1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0

Tu u

w wEA F F EA u uu uL Lw w

+ =

E =

( )21' '2

u w = +

LINEAR

NICHTLINEAR

elGK

Illustration: Steifigkeitsmatrix eines Stabelements mit groen Verschiebungen (2/2)

The resultant strain is:

3.4.3. ImplementationThe stress-stiffness matrices are derived based on (335), but using the nonlinear strain-displacement relationships given in (358)For a spar such as LINK8 the stress-stiffness matrix is given as:

Ansys Theory Reference,

Chapter 3: Structures


( )1 1

1 12 1

2 2

2 2

1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0

,

1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0

Tu u

w wEA F F EA u uu uL Lw w

+ =

Chapter 3: Structures

with geometric

nonlinearities

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