クラメールの公式・ベクトルの平行Ja6kyky Gyk- S�`i yk

LQ#mvmFB hPa1

J�v yR- kyky

LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 R f ky

S�`i yk�

S�`i yk �クラメールの公式

LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 k f ky

JBMBK�H UJ�tBK�HV SQBMibĜ�M 2t�KTH2

関数7 (t , v) = tk + 9tv + kvk � et � 3v

について考えます．7t(t , v) = kt + 9v · R + y � e � y

= kt + 9v � e = y7v (t , v) = y + 9t · R + 9v � y � 3

= 9t + 9v � 3 = y

を解くと，(t , v) = (R, R) が 7 の唯一の停留点であることが分かります．

LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 j f ky

t t

re

t t

the

( 1,1 ) が角(

他に解は?

2(こし、いは) が 停留 点 - 1

2つく+4 y - G = 0 →4 つい 4 y -8 = o 8=1

クラメールの公式 *h ky8@kyeT

連立 R次方程式 ⇢�t + #v = ↵ · · · (R)+t + /v = � · · · (k)

を考える．v を消去するために (R)⇥ / � (k)⇥ #を考える．�/t + #/v = ↵/

�) #+t + #/v = �#(�/ � #+)t = ↵/ � �#

t を消去するために (R)⇥ + � (k)⇥ �を考える．�+t + #+v = ↵+

�) �+t + �/v = ��(#+ � �/)v = ↵+ � ��

LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 9 f ky

国は ) → - D※数列

、

「 非額頊

拡大は 1-

-.-、

消 〉eaa.es . .. ... . .

]

行列式・クラメールの公式行列式

����� #+ /

���� = �/ � #+

これを用いると����� #+ /

���� t =

����↵ #� /

���� ,����� #+ /

���� v =

����� ↵+ �

����

特に . :=�� � #

+ /�� 6= y のとき

t =R.

����↵ #� /

���� , v =R.

����� ↵+ �

����

これをクラメールの公式と言います．LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 8 f ky

で一

行るり式

しでかしこD

o 。

クラメールの公式Ĝ例⇢

kt + 9v = e9t + 9v = 3

を解きます．. =

����k 99 9

���� = k · 9 � 9 · 9 = �3 6= y

からクラメールの公式が適用できます．実際t = �R

3

����e 93 9

���� = �R3(e · 9 � 3 · 9) = �R

3(�3) = R

v = �R3

����k e9 3

���� = �R3(k · 3 � 9 · e) = �R

3(�3) = R

LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 e f ky

喑たい連立にとか経Dキ 0 → 解の公式

yiD 非斉擷

00

S�`i yk#

S�`i yk #斉次方程式の解

LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 d f ky

Terrestris s ラ メールの

fatty = メ メ=p= o 公式.cmdy = つになると 1

D : = 1%に ad_でも 0 のとき y =ら 19別

クラメールの公式から分かること斉次方程式 ⇢

�t + #v = y · · · (R)+t + /v = y · · · (k) UOV

を条件. :=

�� � #* /

�� = �/ � #+ 6= yの下で考えます．クラメールの公式を適用できて

t =R.

�� y #y /

�� = y, v =R.

�� � y+ y

�� = y

◆ ⇣. 6= y )

⇣(#) ) ( t

v ) = ~y⌘

UjV✓ ⌘LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 3 f ky

f たpzo

B っに yoは 角t.rs(自明鯏 ←

0 0

t.GS も 。 ⇐ (い⇒ほ)が )

UjVの逆は？UjVの逆の対偶は？◆ ⇣

. = �/ � #+ = y )⇣9 ( t

v ) 6= ~y (#)⌘

UkV✓ ⌘証明に入る前に注意：( t

v ) = (�#� ) ,

� /�+

�は (#)を満たす．UBV � 6= yまたは # 6= yのときPEUBBV + 6= yまたは / 6= yのときPEUBBBV LPh ((B) _ (BB)) ⌘ LPh (B) ^ LPh (BB) ⌘ � = # = + = / = yのとき明らか．

LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 N f ky

④' Dキー (_ ⇒ (お = i )Thenrhs

Not (Deo) ⇒ ヨ (ま)まで (#J/

is

4e (いい な二 ° a.cat t.a.no

cつけ dy = 0 c.GG) td.ee

f (さだ い

-

mnie 各国 aol.ec末 o

est D= 0-

L(f) も8

0 x to y = o(ま)キで は

(も) { 0 xto y = o すべ2 0K .

まとめ

◆ ⇣. 6= y ,

✓⇢�t + #v = y+t + /v = y ) ( t

v ) = ~y◆

✓ ⌘および◆ ⇣. = y , 9 ( t

v ) 6= ~y⇢

�t + #v = y+t + /v = y✓ ⌘

LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 Ry f ky

(せ)

⇒

てことを国有値が是区で使う 。

次のステップへ準備

~� =

0

BB@

�RXXX�BXXX

�M

1

CCA , ~# =

0

BB@

#RXXX#BXXX

#M

1

CCA 2 EM

に対してt~� + v~# = t

0

BB@

�RXXX�BXXX

�M

1

CCA+ v

0

BB@

#RXXX#BXXX

#M

1

CCA =

0

BBB@

t�R+v#RXXX

t�B+v#BXXX

t�M+v#M

1

CCCA

LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 RR f ky

Anti Kirper まえ体

.lkIR or E dhkinm.bady体

a.in 、 an Elk

○ なっ たElk .

-が 成分

.caでい怤剴しいいがほ )nは 2子 り行い

次のステップへ準備 Uk�V

特に M = kのとき~� = ( �R�k ) ,

~# =⇣

#R#k

⌘, ~� = ( �R

�k ) 2 Ek

に対してt~� + v~# = ~� ,

⇢�Rt + #Rv = �R�kt + #kv = �k

t~� + v~# = ~y ,⇢

�Rt + #Rv = y�kt + #kv = y

LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 Rk f ky

特にが 次のとき

、

次のステップへ準備 Uk#V

行列式を|~� ~#| :=

��� �R #R�k #k

���

と定義すると「まとめ」は|~� ~#| 6= y ,

⇣t~� + v~# = ~y ) ( t

v ) = ~y⌘

|~� ~#| = y , 9 ( tv ) 6= ~y

⇣t~� + v~# = ~y

⌘

LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 Rj f ky

(能」は到

にも )は心 ⇒ くまぽ)で

のヨ (ま)が はか ほ )が

次のステップへ準備 UjV

特に M = jのとき~� =

⇣ �R�k�j

⌘, ~# =

✓#R#k#j

◆, ~� =

⇣ �R�k�j

⌘2 Ej

に対してt~� + v~# = ~� ,

8<

:

�Rt + #Rv = �R�kt + #kv = �k�jt + #jv = �j

t~� + v~# = ~y ,

8<

:

�Rt + #Rv = y�kt + #kv = y�jt + #jv = y

LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 R9 f ky

鵰が 二で のとき

が

S�`i yk+

S�`i yk+ベクトルの平行・非平行

LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 R8 f ky

定義Ĝベクトルの平行

~� =

0

BB@

�RXXX�BXXX

�M

1

CCA , ~# =

0

BB@

#RXXX#BXXX

#M

1

CCA 2 EM

に対して~� , ~# ,

⇣t~� + v~# = ~y ) ( t

v ) = ~y⌘

~� k ~# , 9 ( tv ) 6= ~y

⇣t~� + v~# = ~y

⌘

と定義します．

LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 Re f ky

ができたし 靍、

- 定義

rinnreru

を) に 非自明触が存在。

で 11 で き ヨ (な もの に対して xit yE が-

にも 0 0R yeo

にも o のとき d -_-きたyも o の とき も -_-も

→で い o o.it t.EEに注意

。 ( i )も

定義Ĝベクトルの平行Ĝk次元の場合の言い換え

~� = ( �R�k ) ,~# =

⇣#R#k

⌘2 Ek

に対して~� , ~# ,

⇣t~� + v~# = ~y ) ( t

v ) = ~y⌘, |~� ~#| 6= y

~� k ~# , 9 ( tv ) 6= ~y

⇣t~� + v~# = ~y

⌘, |~� ~#| = y

LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 Rd f ky

-

たいだけ) にかしこいいとし

M = jの場合は~� =

⇣ �R�k�j

⌘~# =

✓#R#k#j

◆2 Ejに対して t~� + v~# =

✓ t�R+v#Rt�k+v#kt�j+v#j

◆= ~y

を仮定します．��� �k #k�j #j

��� 6= y ならば⇢

�kt + #Rv = y�jt + #j = y から t = v = y

となります．以上で◆ ⇣��� �k #k

�j #j

��� 6= y ) ~� , ~#✓ ⌘◆ ⇣��� �R #R

�k #k

��� 6= y _��� �R #R

�j #j

��� 6= y _��� �k #k

�j #j

��� 6= y ) ~� , ~#✓ ⌘LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 R3 f ky

reste鈳ょ、i ←

晶パパで鐚 なな品で派生点

M = jの場合：逆は？前ページの結論の逆（その対偶）は◆ ⇣

��� �R #R�k #k

��� = y ^��� �R #R

�j #j

��� = y ^��� �k #k

�j #j

��� = y ) ~� k ~#✓ ⌘�R 6= yの場合は

�#R�R

⇣ �R�k�j

⌘+ R ·

✓#R#k#j

◆=

0

@�#R+#R

�#R�k+#k�R�R

�#R�j+#j�R�R

1

A =

0

BB@

yR�R

��� �R #R�k #k

���R�R

��� �R #R�j #j

���

1

CCA = ~y

から~� k ~#であることが分かります．�k 6= y- �j 6= yの場合も同様です（各自示しましょう）．注意 実はここで何かを言わないと証明が不十分となります．

LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 RN f ky

」で頳

黙間

まとめ

~� , ~# ,��� �R #R

�k #k

��� 6= yy`��� �R #R

�j #j

��� 6= y _��� �k #k

�j #j

��� 6= y

~� k ~# ,��� �R #R

�k #k

��� =��� �R #R

�j #j

��� =��� �k #k

�j #j

��� = y

LQ#mvmFB hPa1 クラメールの公式・ベクトルの平行 ky f ky

a 燋 )が熺) で

も、

興

で指 ) 、姿 に詐いに。

もと = いい = 0 1 話 に出産。