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November 2005 M. Radivojević 1

FH D Fachhochschule Düsseldorf Fachgebiet Strömungstechnik und Akustik

Miroslav Radivojević

Turbulente Strömung



• Farbfadenversuch,• Rohrströmung,• Reynoldszahl,• Vergleich laminare und turbulente Rohrströmung,• Rohrströmungsprofile,• turbulente Rohrströmung,• Wandgrenzschicht,• Umströmung eines Kreiszylinders,• Ursachen der Turbulenz,• Grundlagen der Reynoldsgleichung.



• 1883: Reynoldsscher Farbfadenversuch,• Untersuchung der Stabilität von Rohrströmungen,• Farbfaden wird in die Strömung in einem Kreisrohr eingeleitet.

Farbfadenversuch

• bei großen Strömungsgeschwindigkeiten - Farbfaden beginnt hin- und herzuflattern, - Farbe verteilt sich über den ganzen Rohrquerschnitt

Beobachtung:• bei kleinen Strömungsgeschwindigkeiten - Farbfaden bleibt ganz glatt



• In einer Rohrströmung gibt es zwei verschiedene Strömungszustände,• laminar (von lat. lamina – die Platte) oder turbulent (von lat. turbulentus - unruhig),• laminare Rohrströmung lässt sich exakt berechnen (Hagen-Poiseuille-Strömung),• turbulente Rohrströmung lässt sich nur näherungsweise bestimmen,• Turbulenz tritt spontan oberhalb eines gewissen Strömungsparameters auf,• laminare Strömung unterhalb eines kritischen Strömungsparameters (Reynoldszahl), • turbulente Strömung oberhalb eines kritischen Strömungsparameters (Reynoldszahl).

Rohrströmung



• Dimensionslose Kennzahl,• empirische Ermittlung von Rekrit,• charakterisiert den Strömungszustand eines Fluids,• laminare Strömung bis zu Rekrit-Zahl, Re < Rekrit laminar Re > Rekrit turbulent • je kleiner die äußeren Störungen, desto größer Rekrit (von 2300 bis zu 50000),

• Umschlag in Rohrströmungen bei Re ≈ 2300

Reynoldszahl

Dc

Rec = charakteristische Geschwindigkeit D= charakteristischer Durchmesser = kinematische Zähigkeit



• Die Fluidteilchen bewegen sich dabei in Schichten die zeitlich ihre Form nicht ändern,• „molekulare Diffusion“, mikroskopische Bewegung der Moleküle, deshalb ineffektive Transportbewegung.

Vergleich laminare und turbulente Rohrströmung

• der Hauptbewegung in Richtung der Rohrachse sind Querbewegungen senkrecht zur Achse überlagert,• erhöhte Querdiffusion aller Transportgrößen (Masse, Impuls, Drehimpuls, Energie),• „turbulente Diffusion“, Transportbewegung um

den Faktor 104 effektiver als bei der „molekularen Diffusion“.

laminare Rohrströmung

turbulente Rohrströmung



• parabolisches Geschwindigkeitsprofil,• maximale Geschwindigkeit in der Rohrachse, doppelt so groß wie mittlere Geschwindigkeit,• Strömungsgeschwindigkeit an der Rohrwand wegen Haftbedingung = 0,• Schubspannung aufgrund unterschiedlicher Geschwindigkeit.

Rohrströmungsprofile

• Geschwindigkeitsanstieg in Wandnähe,• Geschwindigkeit in der Rohrachse etwa das 1,25-fache der mittleren Geschwindigkeit.• Strömungsgeschwindigkeit an der Rohrwand wegen Haftbedingung = 0,



laminares und turbulentes Rohrströmungsprofil

0

5

10

15

20

25

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

r [m]

c [m

/s]

laminar

1/6 Potenz

1/7 Potenz

1/8 Potenz

1/9 Potenz

1/10 Potenz

laminar 1/6 Pot. 1/7 Pot. 1/8 Pot. 1/9 Pot. 1/10 Pot.c_mittel 10 15,49 15,96 16,32 16,61 16,85 [m/s]c_max/c_mittel 2 1,29 1,25 1,23 1,20 1,19Radius_c_mittel 0,177 0,196 0,199 0,201 0,203 0,205 [m]relativer Radius 0,707 0,784 0,794 0,804 0,812 0,820




• bei fast allen praktischen Rohrströmungen,• Reibungsverluste durch Schubspannungen und turbulente Vermischungen,• erhöhter Druckverlust und Schubspannung durch turbulente Schwankungsbewegung• Schubspannung an der Rohrwand größer als in einer laminaren Strömung,• Geschwindigkeit an der Rohrwand = 0,• laminare Strömung in der Grenzschicht,• in der Grenzschicht steigt die Geschwindigkeit

auf den Wert der Außenströmung,• Grenzschichtdicke, Wandabstand bei dem 99% der Außengeschwindigkeit erreicht werden.

Profil der zeitlich gemittelten Geschwindigkeit

mittlere (d.h. über den Rohrquerschnitt gemittelte)Geschwindigkeit



Wandgrenzschicht

• Geschwindigkeit in sehr dünner Schicht nahe Körperoberfläche = 0,• sog. Grenzschicht • 1904: Prandtl erkannte das Reibung in der Grenzschicht eine große Rolle spielt,• außerhalb der Grenzschicht und dem Wirbelgebiet, ist Reibungseinfluss klein,• Unterteilung in zwei Gebiete: - Bereich der Grenzschicht u. des Wirbelgebiets. Hier muss Reibung berücksichtigt werden, - Restlicher Bereich. Schubspannungen

sind klein, können vernachlässigt werden

= Schubspannung

= dyn. Viskosität

= Geschwindigkeits- gefälle



Umströmung eines Kreiszylinders• Strömung folgt dem Stromlinienbild der Potentialströmung (laminare Strömung).

• Zylindergrenzschicht löst sich ab,• längliches Totwasser hinter dem Zylinder,• durch Reibung entstehen zwei Totwasserwirbel (laminare Strömung).

• Abwechselnde Wirbelablösung, oben und unten am

Zylinder (regelmäßige period. Schwankungen),• hinter dem Zylinder sog. Kármánsche Wirbelstraße (periodische Strömung).• unregelmäßige Bewegung mit starker Querdiffusion hinter dem Zylinder (turbulente Strömung).



Ursachen der Turbulenz

• Trägheitskräfte führen zu dynamischen Schwingungen, Instabilitäten und ungeordnetem Verhalten,• Reibungskräfte wirken dämpfend und stabilisierend.

wenn das Verhältnis (Reynoldszahl) eine bestimmteGrenze (kritische Reynoldszahl) überschreitet,überwiegen die destabilisierenden Trägheitskräfte. die Entstehung von Turbulenz ist ein Stabilitätsproblem.

• Ereigniskette vom laminaren zum turbulenten Strömungszustand:

Stabilität Instabilität (Labilitätspunkt) Einsetzen der Turbulenz (Zerfall/Transition)




• Diese Strömungsform ist gekennzeichnet durch stets dreidimensionale, stochastisch instationäre Bewegungen der Flüssigkeitsteilchen unter- und gegeneinander,• Strömung kann im zeitlichen Mittel stationär sein,• Turbulenz ist ein stochastischer Prozess.

Momentanwert=Mittelwert + Schwankungsgröße

Flüssigkeitsbewegung wird in eine laminare stationäre Grundströmung und eine dieser überlagerten Störbewegung zerlegt.

bbb



Reynoldsgleichung

zeitliche Schwankungsgrößen

bbb

0ba

0bA

0b

0b2

allgemeine Rechenregeln



Reynoldsgleichung

Impulssatz für inkompressible newtonsche Fluide(Navier-Stokes-Gleichung) cpgradf

Dt

cD

ccc ppp Mittelwerte und Schwankungsgrößen

2j

i2

2j

i2

iii

j

ij

j

ij

j

ij

j

ij

ii

x

c

x

c

x

p1

x

p1f

x

cc

x

cc

x

cc

x

cc

t

c

t

c



Reynoldsgleichung

2j

i2

2j

i2

iii

j

ij

j

ij

j

ij

j

ij

ii

x

c

x

c

x

p1

x

p1f

x

cc

x

cc

x

cc

x

cc

t

c

t

c

zeitliche Mittelung der Gleichung

0 0 0 0 0

2j

i2

ii

j

ij

j

ij

i

x

c

x

p1f

x

cc

x

cc

t

c

nicht lineare partielle Differentialgleichung mit Orts- und Zeitabhängigkeit

„turbulente“ Zähigkeit Turbulenzmodelle etc.

Konti-Gl. und Produktregel rückwärts



Reynoldsgleichung

• Reynoldsgleichung Bewegungsgleichung für die Mittelwerte der Strömungsgrößen in einer turbulenten Strömung,• Navier-Stokessche Gleichung Bewegungsgleichung für die Momentanwerte,

• Unterscheiden sich durch den Spannungstensor

sog. Reynoldsspannungen oder turbulente Zusatzspannungen

Navier-Stokessche-Gl.



• Schade, Kunz, Strömungslehre• Prof. Dr.-Ing. Frank Kameier, Strömungstechnische Grundbegriffe• Prof. Dr.-Ing. Christian Oliver Paschereit, Vorlesung Strömungslehre TU Berlin• Bohl, Technische Strömungslehre• E. Laurien, Reynolds´scher Farbfadenversuch, Universität Stuttgart• Prof. Dr.-Ing. H. E. Fiedler, Vorlesungsskript Turbulente Strömungen TU Berlin

Quellen

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