filtros ads 10 11 -...

1

Filtros Digitales

INCONVENIENTES:

VENTAJAS:

• Características imposibles con filtros analógicos (fase lineal)• No cambian cualquiera que sea el entorno• Procesamiento de varias señales con un único filtro• Posibilidad de almacenar datos• Repetitividad• Uso en aplicaciones de muy bajas frecuencias

Algoritmo implementado sobre hardware que opera sobre señales analógicas digitalizadas o sobre señales digitales almacenadas.

• Limitación de velocidad• Efectos de la longitud finita de las palabras• Tiempos de diseño y desarrollo

Filtros Digitales

- Clasificación de los Filtros Digitales.

- IIR : Respuesta al Impulso Infinita.

- FIR : Respuesta al Impulso Finita.

[ ] [ ] [ ]∑∞

=−=

0k

knxkhny [ ] [ ] [ ]∑ ∑= =

−+−=M

k

N

k

kk knyaknxbny

0 1

( )∑

∑

=

−

=

−

−=

N

k

kk

M

k

kk

za

zb

zH

1

0

1

[ ] [ ] [ ]∑=

−=M

k

knxkhny

0

[ ] [ ] [ ]∑=

−δ⋅=M

k

knkhnh

0( ) [ ]∑

=

−⋅=M

k

kzkhzH

0

2

Filtros Digitales

a. Especificación de las Características del filtro.

b. Cálculo de los Coeficientes.

c. Elección de la Estructura. Realización.

d. Análisis de los Efectos de Precisión Finita.

e. Implementación del filtro mediante software y/o hardware adecuado.

PASOS EN EL DISEÑO DE FILTROS:

Filtros Digitales- Especificación de las Características del filtro.

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )inadalimebandalaenmínimaAtenuaciónlogdBs

pasodebandalaenmáximaAtenuaciónlogdBs

Hlog)(H

logdBs

a

p

2

1

20

120

201

20

δ⋅−=α

δ−⋅−=α

Ω⋅−=Ω

⋅=α

( ) ( )

( ) ( ) ( )inadalimebandalaenmínimaAtenuaciónlogdBs

pasodebandalaenrizadologdBsr

aa

p

pp

δ⋅−=α

δ+δ−

⋅−=

20

1

120

3

RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (I)

( )( )

ω>ωπ>ω

ω<ωπ<ωΩ=ω

ω=Ω

2;0

2;

s

s

s

sT

eff

óT

óT

H

Hs

( ) ( ) π<Ω

Ω=ω=Ω Ω=ω;

seff

T

effT

HHH

s

Bloque A/D:

F

RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (II)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∞

−∞=−δ⋅=⋅=

nsccs nTttxtstxtx

F

( ) ( )∑∞

−∞=ω−ω⋅=ω

ksc

ss kX

TX

1

( ) ( ) ( )∑∞

−∞=−δ⋅=

nsscs nTtnTxtx ( ) ( )∑

∞

−∞=

ω−⋅=ωn

nTjscs

senTxX

( ) [ ]∑∞

−∞=

Ω−⋅=Ωn

njenxX ( ) ( )∑∞

−∞=

ω−⋅=ωn

nTjscs

senTxX

( ) ( ) ( ) ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

π−Ω=ω−ω⋅=ω=ΩΩ

=ω

Ω=ω

k ssc

ksc

ss

T

k

TXkX

TXX

sTsT

21

4

Bloque D/A:

[ ]∑∞

−∞=

Ω−⋅=Ωn

njenyY )(

[ ]∑∑∞

−∞=

ω−∞

−∞=

ω− ⋅=⋅=ωn

nTj

n

nTjsss

ss enyenTyY )()(

sTs YY ω=ΩΩ=ω )()(

RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (III)

( ) ( )sT

rrsc YHHYY ω=ΩΩ⋅ω=ω⋅ω=ω )()()(

( ) ∑∞

−∞=

π−Ω⋅⋅Ω=Ω⋅Ω=Ωk ss

cs T

k

TX

THXHY

21)()()(

( )∑∞

−∞=ω−ω⋅⋅Ω=Ω=ω ω=Ωω=Ω

ksc

ss kX

THYY

sTsT

1)()()(

RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (IV)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∞

−∞=ω−ω⋅⋅Ω⋅ω=ω⋅ω=ω ω=Ω

ksc

srsrc kX

THHYHY

sT

1)(

( )( ) ( )

ω>ωπ>ω

ω<ωπ<ωΩ⋅ω=ω

ω=Ω

2;0

2;

s

s

s

sTc

c

óT

óT

HX

Ys ( ) ( ) ( )ω⋅ω=ω ceffc XHY

( )( )

ω>ωπ>ω

ω<ωπ<ωΩ=ω

ω=Ω

2;0

2;

s

s

s

sT

eff

óT

óT

H

Hs

5

RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (V)

Ejemplo: Obtener la plantilla de un filtro digital que se va a utilizar para realizar un filtrado paso bajo de una señal continua, utilizando la estructura de la figura anterior, conlas siguientes características:

El periodo de muestreo será Ts = 10-4 segundos.

( )( ) s/rad;,H

s/rad;,H,

eff

eff

300020010

200020011990

⋅π≥ω<ω

⋅π≤ω≤<ω<

RELACIÓN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (VI)

( )( )

30002

20002

60200010

0860120010

⋅π=ω

⋅π=ω−=δ⇒=δ

=δ+⇒=δ

a

p

aa

pp

dBlog,

dB,log,

.rad,T

.rad,T

saa

spp

π=⋅⋅π=⋅ω=Ω

π=⋅⋅π=⋅ω=Ω−

−

601030002

401020002

4

4

⇒⋅ω=Ω⇒ sT

6

DISEÑO DE FILTROS IIR A PARTIR DE FILTROS ANALÓGICOS

PROCESO:

ESPECIFICACIONES FILTRO DIGITAL↓

ESPECIFICACIONES FILTRO ANALÓGICO↓

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA ANALÓGICA H(s)↓

FUNCIÓN DE SISTEMA H(z)

-Respuesta al impulso invariante.

- Transformación bilineal.

s z

↔ω ↔ Ω

վSIMILITUDES CON LOS ANALÓGICOS ⇒ RELACIÓN

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (I)

CONCEPTO: Obtener la Respuesta Impulsiva del Filtro Discreto Muestreando la de un Filtro Continuo

[ ] ( )h n T h nTd c d= ck d d

2 kH( ) H

T T

∞

=−∞

Ω π⇒ Ω = −

∑

Ω = ω Td

( ) ( )c c

d d

H H SIEMPRE QUE H 0T T

Ω πΩ = ∀ Ω < π ω = ∀ ω ≥

( )H ω

ω

dT

πdT

π−( )H Ω

Ωπ−π 2π 3π 4π2− π3− π4− π

7

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (I)

CONCEPTO: Obtener la Respuesta Impulsiva del Filtro Discreto Muestreando la de un Filtro Continuo

[ ] ( )h n T h nTd c d= ck d d

2 kH( ) H

T T

∞

=−∞

Ω π⇒ Ω = −

∑

Ω = ω Td

( ) ( )c c

d d

H H SIEMPRE QUE H 0T T

Ω πΩ = ∀ Ω < π ω = ∀ ω ≥ ( )H ω

ω

dT

πdT

π−

( )H Ω

Ωπ−π 2π 3π 4π2− π3− π4− π

( ) ∑= −

=N

1k k

kc ss

AsH

( )h t

A e t

c

ks t

k

Nk

=∀ ≥

∀

=∑

10

0

,

, t < 0

[ ] [ ]h n T A e u nd ks nT

k

Nk d=

=∑

1

( ) ∑= −−

=N

1k1Ts

kd

ze1

ATzH

dk

SUPONEMOS OBTENIDA:

OBTENCIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

MUESTREANDO hc (t) SE OBTIENE:

APLICANDO TRANSFORMADA Z:

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (II)

8

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (III)

( ) ( )k d

N Nd kk

c s T 1k 1 k 1k

T AAH s H z

s s 1 e z−= =

= → =− −∑ ∑

ESTABILIDAD

COEFICIENTES

POLOS

PLANO ZPLANO S

ks

kA kd AT

kd sTe

0Re <ks 1Re <kd sTe

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (IV)

Ejemplo: Convertir el filtro analógico con función de transferencia:

( )( ) 91.0

12 ++

=s

sHc

en un filtro IIR digital aplicando la invarianza al impulso.

jsp 31.0 ±−= ( )js

j

js

jsHc 31.0

6

1

31.06

1

−+−

++=

( ) ( ) ( ) 131.0131.0 1

6

1

1

6

1

−+−−−− −−

−=

ze

jT

ze

jTzH

dd Tj

d

Tj

d

( )( )

( ) 220110

110

321

33

1

−−−−

−−

+⋅⋅−

⋅⋅=

zezTcose

zTseneT

zHdd

d

T.d

T.

dT.

d

9

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (V)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-3

10-2

10-1

100

101

ω/π (rad/s)

|H( ω

)| (

dBs)

Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro analógico

1/T11/T2

1/T3

1/T4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110

-3

10-2

10-1

100

101

Ω /π|H

( Ω)|

(dB

s)

Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro digital

T4

T3

T2

T1

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (I)

1

1d d

2 1 z 2 z 1s

T 1 z T z 1

−

−

− − = = + +

d

d

T1 s

2zT

1 s2

+=

−

SemiplanoIzquierdo Interior Circunferencia Unidad

SemiplanoDerecho

Exterior Circunferencia Unidad

Eje ImaginarioCircunferencia Unidad

( ) ( )TransformaciónH s H z

s z

→

Ω++Ω+

Ω++−⋅=

+−⋅=ω+σ= Ω

Ω

cosrr

rsenj

cosrr

r

Tre

re

Tjs

dj

j

d 21

2

21

12

1

1222

2

10

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (II)

d

2 z 1s

T z 1

− = +

j

jd

2 e 1j

T e 1

Ω

Ω

−ω = +

d

2tg

T 2

Ωω =

dT2 arctg

2

ωΩ =

Relación Eje Imaginario Plano “s” ↔ Circunferencia Unidad Plano “z”

ωωωω ΩΩΩΩ

( )H e jΩ

( )Hc ω

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (III)

Relación NO LINEAL ωωωω ↔ ΩΩΩΩ

11

2παTd

παTd

− αTd

Ω

−

22

αTd

tgΩ

( )[ ]Arg H e jΩ

−2παTd

−παTd

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (IV)

Relación NO LINEAL ωωωω ↔ ΩΩΩΩ

( )s js je e ( FASE LINEAL)= ω−α −α ω→ ⇒ ϕ ω = −α ω

( )d

2j tg

T 2

d

2e tg ( Fase NO LINEAL)

T 2

Ω− α Ω⇒ Φ Ω = −α

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (V)

Ejemplo 1: Convertir el filtro analógico con función de transferencia:

( )( ) 910

12 ++

=.s

sHa

en un filtro IIR digital mediante la transformación bilineal.

( )910

1

12

12

1

1+

+

+−⋅

=

−

−.

z

z

T

zH

d

+−⋅= −

−

1

1

1

12

z

z

Ts

d

12

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (VI)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110

-4

10-3

10-2

10-1

100

101

Ω /π (rad)|H

( Ω)|

(d

Bs)


T4 T3T2 T1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-3

10-2

10-1

100

101

ω/π (rad/s)

|H( ω

)| (

dBs)


1/T1

1/T2

1/T3

1/T4

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (VII)

Ejemplo 1: Convertir el filtro analógico con función de transferencia:

( )( ) 161.0

1.02 ++

+=s

ssHa

en un filtro IIR digital mediante la transformación bilineal. El filtro digital debe tener Un polo a la frecuencia 2π=Ωr

441.0 =⇒±−= rp js ω

2

1

2

224

2

2 =⇒=⇒Ω= d

d

i

di Ttg

Ttg

T

πω

+−= −

−

1

1

1

14

z

zs

( )214

213

2

1

1

1

1

952.010096.61

119.010096.6125.0

161.01

14

1.01

14

−−−

−−−

−

−

−

−

++−+=

+

+

+−

+

+−

=zz

zz

z

z

z

z

zH

13

TRANSFORMACIÓN BILINEAL (VIII)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-3

10-2

10-1

100

101

ω

|H( ω

)| (

dBs)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.510

-3

10-2

10-1

100

101

Ω

|H( Ω

)| (

dBs)


EJEMPLO (I)

( )( )

≤Ω≤≤Ω

≤Ω≤≤Ω≤

πππ

3,0; 17783,0

2,00;189125,0

H

H

Diseñar un filtro digital paso bajo aplicando la respuesta al impulso invariante y la transformación bilineal a un filtro de Butterworth. Las especificaciones del filtro digital son:

( ) ( )( )

( )

≤Ω≤≥Ω

≤Ω≤≤Ω≤

Ω⋅−=Ω

ππαπα

α

3,0; 15

2,00;10

log20

dB

dB

H

14

EJEMPLO (II)

dT

Ω=ω

Obtención de la plantilla del filtro paso bajo prototipo analógico:

a) Respuesta al Impulso Invariante b) Transformación Bilineal

Ω⋅=ω2

2tg

Td

EJEMPLO (III)

a) Respuesta al Impulso Invariante:

( )N

c

aH 22

1

1

ωω+

=ω

Diseño del Filtro de Butterworth

=

ωπ+

=

ωπ+

22

22

177830

1301

891250

1201

,

T,

,

T,

N

c

d

N

c

d

=

==

88,5

22433,070474,0

N

TT ddc

πω6=N

ddc

TT

πω 2256,07087,0 ==

Distribución de raíces:

d

d

d

T

js

T

js

T

js

1834,06845.0

5011,05011.0

6845,01834.0

3

2

1

±−=

±−=

±−=

15

EJEMPLO (IV)

a) Respuesta al Impulso Invariante: Diseño del Filtro de Butterworth

( ) ( ) ( ) ( )5022,03690,15022,00022,15022,03668,0 222 ++⋅++⋅++=

ssssss

ksHa

( ) 1266010 ,kHa =⇒=

( )

1834,06845,0

6196,19351,0

1834,06845,0

6196,19351,0+

5011,05011,0

0797,1

5011,05011,0

0797,1+

6845,01834,0

2505,01447,0

6845,01834,0

2505,01447,0

js

j

js

j

jsjs

js

j

js

jsHa

−+−+

+++

+−+

−+++

−

+−+

++++

−=

( )1266,06905,08824,12533,37484,37380,2

1266,023456 ++++++

=ssssss

sHa

EJEMPLO (V)

a) Respuesta al Impulso Invariante: Obtención del Filtro Digital

( )H zT A

e zd ks T

k

N

k d=

− −=∑

1 11

( )

11

11

1834,06845,01834,06845,0

5011,05011,05011,05011,0

16845,01834,016845,01834,0

1

6196,19351,0

1

6196,19351,0+

1

0797,1

1

0797,1+

1

2505,01447,0

1

2505,01447,0

−−

−−

−−−

−−−

−−−−−

−−+

−+

+−

−+−

−

+−

++−

−=

zee

j

zee

j

eezee

zee

j

zee

jzH

jj

zjj

jj

( )654321

54321

0647056000072522190401835344331

001000420016700105000070−−−−−−

−−−−−

+−+−+−++++=

z,z,z,z,z,z,

z,z,z,z,z,zH

16

EJEMPLO (VI)

b) Transformación bilineal: Diseño del Filtro de Butterworth

=

ω

π

+

=

ω

π

+

2

2

2

2

177830

12

302

1

891250

12

202

1

,

,tg

T

,

,tg

T

N

c

d

N

c

d

=

π==ω

6

2439076620

N

T

,

T

,

ddc

Distribución de raíces:

d

d

d

T

js

T

js

T

js

7401,01983.0

5418,05418.0

1983,07401.0

3

2

1

±−=

±−=

±−=

( )N

c

aH 22

1

1

ωω+

=ω

( )2024,00205,15728,21124,43822,49605,2

2024,023456 ++++++

=ssssss

sHa

EJEMPLO (VII)

b) Transformación bilineal: Obtención del Filtro Digital

( ) ( )1

1

1

12−

−

+−⋅=

=

z

z

Ts

a

d

sHzH

( )654321

654321

0544,04800,08136,17795,36222,41836,31

007,00004,00111,00148,00111,00044,00007,0−−−−−−

−−−−−−

+−+−+−++++++=

zzzzzz

zzzzzzzH

MATLAB

[N,wc]=buttord(0.2*pi,0.3*pi,1,15,’s’);[B,A]=butter(N,wc,’s’);[R,P,K]=residue(B,A);[Bz,Az]=impinvar(B,A,Fs);

a) Respuesta al Impulso Invariante

[N,wc]=buttord(2*tan(0.1*pi),2*tan(0.15*pi),1,15,’s’);[B,A]=butter(N,wc,’s’);[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs);

b) Transformación bilineal:

17

EJEMPLO (VIII)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ω

|H( Ω

)|


Bilineal

R.I.Inv.

EJEMPLO (IX)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

|H( ω

)|

Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro analógico prototipo

Td=1

Td=4

Td=0,2*π

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ω

|H( Ω

)|


Td=1

Td=4

Td=0,2*π

Respuesta al Impulso Invariante

18

TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (I)

Procedimientos:1.- Transformación en frecuencias en tiempo continuo.2.- Transformación en frecuencias en tiempo discreto.

TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (III)

G(z-1) debe ser función racional en z-1.

El interior de la circunferencia unidad en el plano z se debe transformar en el interior del circunferencia unidad en el plano z’.

La circunferencia unidad en el plano z se debe transformar en lacircunferencia unidad en el plano z’.

Constantinides (1970):

* 1N N1k k

* 1k 1 k 1k k

z a z az ' z '

1 a z 1 a z

−−

−= =

− −= ± ↔ = ±− −∏ ∏

Transformación en frecuencias en tiempo discreto.

( ) ( ) ( ) ( )1111

−− =−− =⇒=

zG'zPB 'zHzHzG'z

19

TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (IV)

Ejemplo: Paso Bajo - Paso Bajo

( )

*j m

j m *

j m * j m

j m * j m

1 a1 e

1 a

1 a e 1 a

1 a e a e

1 e a a e

π

π

π π

π π

−=−

− = −

− = −− = −

A’ ↔ A

( )

*j m

j m *

j m * j m

j m * j m

1 a1 e

1 a

1 a e 1 a

1 a e a e

1 e a a e

π

π

π π

π π

− −− =+

+ = +

+ = +− = − +

C’ ↔ C

m=0 ; a = α (Real)z

z '1 z

− α=− α

B’ ↔ B

p

p

p

jj

j

ee

1 e

Ωθ

Ω

− α=− α

α

θ

θ=

−

+

sen

sen

Ω

Ω

p p

p p

2

2

Para determinar α :

zz a

az'*

= ± −−1

TIPO FILTRO

TRANSFORMACIÓN FÓRMULAS ASOCIADAS

PASO BAJO

zz

z'−

−

−=−

−1

1

11

αα

α

θ

θ=

−

+

sen

sen

Ω

Ω

p p

p p

2

2

Ωp = frecuencia de corte desada

PASO ALTO

zz

z'−

−

−= −+

+1

1

11

αα

α

θ

θ= −

+

−

cos

cos

p p

p p

Ω

Ω2

2

Ωp = frecuencia de corte desada

PASO BANDA

zz

k

kz

k

kk

kz

k

kz

'−− −

− −=

−+

+−+

−+

−+

+

1

2 1

2 1

2

1

1

11

1

2

11

α

α

α =

+

−

cos

cos

Ω Ω

Ω Ω

p p

p p

2 1

2 1

2

2

k gp p p

=−

cot tg

Ω Ω2 1

2 2

θ

Ω

Ωp

p

1

2

=

=

frecuencia de corte inferior desada

frecuencia de corte superor desada

BANDA ELIMINADA

zz

k

kz

k

kk

kz

k

kz

'−− −

− −=

−+

+−+

−+

−+

+

1

2 1

2 1

2

1

1

11

1

2

11

α

α

α =

+

−

cos

cos

Ω Ω

Ω Ω

p p

p p

2 1

2 1

2

2

kp p p=

−

tg tg

Ω Ω2 1

2 2

θ

Ω

Ωp

p

1

2

=

=

frecuencia de corte inferior desada

frecuencia de corte superor desada

TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (V)

20

DISEÑO DE FILTROS FIR

FILTROS IDEALES:

1.- Su hd[n] tiene longitud infinita.

2.- Su hd[n] es no causal ( hd[n] ≠ 0, ∀ n < 0 ).

SOLUCIÓN (MÉTODO DE LAS VENTANAS):

1.- Limitar la longitud de hd[n] a M+1 muestras(Multiplicarla por una función ventana h[n] = hd[n]·w[n] ).

2.- Introducir el retardo necesario para que h[n] sea causal.

DISEÑO DE FILTROS FIR

FILTRO DISCRETO PASO BAJO IDEAL

−ΩCΩC

Ωπ−π

|H ( )|d Ω

[ ] ( ) ( )n

nCsendedeHnh

C

C

njnjdd π

ΩΩ

π=Ω⋅Ω

π= =∫

Ω

Ω−

Ω

π

Ω∫ 2

1

2

1

2

( ) [ ]∑∞

−∞=

Ω−⋅=Ωn

njdd enhH

Filtro ideal: Respuesta al impulso no causal e infinita.

-30 -20 -10 0 10 20 30

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

h d[n]

Respuesta al impulso de un filtro discreto Paso Bajo Ideal

......

21

Respuesta Impulsivadel Filtro Ideal: hd[n]

Ventana (Rectangular)w[n]

Respuesta impulsivaobtenida:

h[n] = hd[n]· w[n]

Respuesta Impulsivadesplazada para quesea causal: h[n-n0]

DISEÑO DE FILTROS FIR: VENTANAS

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

SI PRIMERO DESPLAZAMOS Y DESPUÉS MULTIPLICAMOS,EL RESULTADO ES EL MISMO ( VENTANAS CAUSALES).

Respuesta Impulsivadel Filtro Ideal: hd[n]

Respuesta Impulsiva delFiltro Ideal desplazada

hd[n-n0]

Ventana (Rectangular)causal: w[n]

Respuesta impulsivaobtenida:h[n] = hd[n-n0]· w[n]


-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

22

Transformada de Fourier de la ventana rectangular:


( ) ( ) ( ) Ω−Ωφ− ⋅

Ω

+⋅Ω=⋅Ω=Ω 2

2

2

1Mj

jp e

sen

Msen

eWW[ ] ≤≤

=restoel

Mnnw

0

01

-3 -2 -1 0 1 2 3-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Ω

φΩ)

-3 -2 -1 0 1 2 3-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

Ω

A(Ω

)

0 M...0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

w[n

]

...


RESPUESTA DE FASE LINEAL

Todas las ventanas van a tener simetría positiva:

Las Respuestas al Impulso de los Filtros Ideales Tendrán Simetría Positiva o Negativa:

[ ] [ ] ( ) ( ) 20

0M

j

pTF

eWWnderesto,

Mn,nMwnw

Ω−⋅Ω=Ω →←

≤≤−

=

[ ] [ ] ( ) ( )

[ ] [ ] ( ) ( ) 2

2

Mj

ndTF

dd

Mj

pdTF

dd

ejAHnMhnh

eAHnMhnh

Ω−

Ω−

⋅Ω=Ω →←−−=

⋅Ω=Ω →←−=

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TFd(desplaz) d d

2

1h n h n w n H H W H W d

2 π

= ⋅ ←→ Ω = Ω ⊗ Ω = θ ⋅ Ω − θ ⋅ θπ ∫

( ) ( ) ( )( )

∫π

π−

θ−Ω−θ−θ⋅⋅θ−Ω⋅⋅θ

π=Ω deWeAH

Mj

p

Mj

p22

2

1

( ) ( ) ( )∫π

π−

Ω−θ⋅θ−Ω⋅θ

π⋅=Ω dWAeH pp

Mj

2

12

Simetría positiva

23

EFECTO DEL ENVENTANADO SOBRE LA RESPUESTADE AMPLITUD DEL FILTRO.


-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ω

Wp(Ω

)

( ) ( ) ( ) ( )Ω⋅=θ⋅θ−Ω⋅θπ

⋅=ΩΩ−π

π−

Ω−∫ AedWAeH

Mj

pp

Mj

222

1

2π-2π Ω = -Ω1Ω = -Ω2 Ω = Ω2Ω = Ω1

-Ω1 -Ω2 Ω2 Ω1

πΩ = π

π-π

Ω = -π-π Ω

∆Ω = Ω2 - Ω1 = ZONA DE TRANSICIÓN

Debida Fundamentalmente a la Anchura del Lóbulo Principal

EFECTO DEL ENVENTANADO SOBRE LA RESPUESTADE AMPLITUD DEL FILTRO. LÓBULO PRINCIPAL


24

2π-2π

Ω = -Ω1Ω = -Ω2 Ω = Ω2Ω = Ω1Ω = -π

-π Ω

-π π

Ω = π

RIZADO EN BANDA DE PASO Y ELIMINADADebida a los Lóbulos Secundarios (Principalmente al primero)

-Ω1

-Ω2 Ω2Ω1

π

EFECTO DEL ENVENTANADO SOBRE LA

RESPUESTADE AMPLITUD DEL FILTRO.

LÓBULOS SECUNDARIOS


VENTANA RECTANGULAR.

4ANCHURA DEL LÓBULO PRINCIPAL =

M 1

π∆Ω =+

-2 0 20

2

4

6

8

M+1 = 9

Ω-2 0 2

0

2

4

6

8

10

12

M+1 = 13

Ω

-2 0 20

5

10

15

M+1 = 18

Ω-2 0 2

0

5

10

15

20

25

M+1 = 26

Ω

MÓDULO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE LA VENTANA RECTANGULAR


( )

Ω

+⋅Ω=Ω

2

2

1

sen

Msen

W

25


VENTANA RECTANGULAR.

AMPLITUD RELATIVA DEL LÓBULO SECUNDARIO = -13 dB

0 1 2 3-60

-50

-40

-30

-20

-10

0M+1 = 9

Ω0 1 2 3

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Ω

M+1 = 13

0 1 2 3-60

-50

-40

-30

-20

-10

0M+1 = 18

Ω0 1 2 3

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0M+1 = 26

Ω

PARA MODIFICAR LA AMPLITUD DE LOS LÓBULOS SECUNDARIOS

HAY QUE MODIFICAR LA FORMA DE LA VENTANA.SE UTILIZAN VENTANAS QUE NO CONTENGAN

DISCONTINUIDADES ABRUPTAS ( FENÓMENO DE GIBBS )


CONLLEVA EL AUMENTO DE LA ANCHURA DEL LÓBULO PRINCIPAL

REGIÓN DE TRANSICIÓN EN LA RESPUESTA DEL FILTRO FIR MÁS ANCHA

PARA COMPENSARLO SE INCREMENTARÁ “M”

26


ALGUNAS VENTANAS UTILIZADAS: EXPRESIÓN ANALÍTICA

[ ]

2n M, 0 n

M 22n M

2 , n Mw nM 2

0, Resto n

∀ ≤ ≤ − ∀ ≤ ≤=

BARTLETT

[ ]

2 n0,5 0,5 cos , 0 n M

M

w n

0, Resto n

π − ∀ ≤ ≤ =

HANNING

HAMMING BLACKMAN

[ ]

2 n0,54 0,46 cos , 0 n M

M

w n

0, Resto n

π − ∀ ≤ ≤ =

[ ]

2 n 4 n0, 42 0,5 cos 0,08 cos 0 n M

M M

w n

0, Resto n

π π − + ≤ ≤ =


ALGUNAS VENTANAS UTILIZADAS: REPRESENTACIÓN ( M = 50 )

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1BLACKMAN

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1BARTLETT

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1HANNING

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1HAMMING

27


0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0BLACKMAN

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0HAMMING

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0HANNING

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0BARLETT M = 50

ALGUNAS VENTANAS UTILIZADAS: .( ) ( )( )20log W / max W− Ω Ω


VENTANA HANNIG: .( ) ( )( )20log W / max W− Ω Ω

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0M = 20

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0M = 30

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0M = 40

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0M = 50

28


VENTANAS: RESUMEN DE CARACTERÍSTICAS

PARÁMETRO ÚNICO DE DISEÑO: ORDEN DEL FILTRO ( M )

π−M

n2cos1

2

1

π⋅−M

n2cos46.054.0

π⋅+

π⋅−M

ncos.

M

ncos..

4080

250420

0,00298

0,033

0,11

1,57

rbp

11,12π/M75,358,112π/(M+1)Blackman

6,64π/M54,542,78π/(M+1)Hamming

6,22π/M43,931,58π/(M+1)Hanning

1,84π/M20,913,34π/(M+1)1Rectangular

∆∆∆∆ΩααααbeAiAnchura del

Lóbulo Principalw[n] (0 ≤≤≤≤ n ≤≤≤≤ M)VENTANA

Ai : Amplitud máxima relativa (en dB's) de los lóbulos laterales. ααααbe=-20 log(δδδδ) : Atenuación mínima (en dB's) en la banda eliminada.rbp =-20 log((1- δ)/(1+ δ)): Rizado en la banda de paso.∆Ω: anchura de la banda de transición.


VENTANA DE KAISER

[ ]( )

w n

In

In M

=− −

∀ ≤ ≤

∀

0

2

0

1

0

0

12

β αα

β, resto de n

M

2α =

I0 ( ): Función de Bessel de Orden CeroModificada de Primera Clase

β : Factor de Forma

( )( )

2k

L

0k 1

x2I (x) 1 L 25

k!=

≈ + ≤

∑

DOS PARÁMETROS DE DISEÑO:

ORDEN DEL FILTRO ( M ) → AJUSTE DE ANCHURA DEL LÓBULO PRINCIPAL

FACTOR DE FORMA ( ββββ ) → AJUSTE DE AMPLITUD DE LÓBULOS SECUNDARIOS

29


VENTANA DE KAISER: REPRESENTACIÓN PARA DISTINTOS VALORES DE β

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

β = 0

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1 β = 3

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1 β = 6

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1 β = 9

n n

n n


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

M = 10

Ω 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

M = 10

Ω

M = 20

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

M = 10

Ω

M = 20

M = 41

VENTANA DE KAISER: PARA DISTINTOS VALORES DE M( ) ( )( )20log W / max W− Ω Ω

30


0 0.5 1 1.5-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

β = 0

Ω 0 0.5 1 1.5

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

β = 0

Ω

β = 3

0 0.5 1 1.5-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

β = 0

Ω

β = 3

β = 6

0 0.5 1 1.5-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

β = 0

Ω

β = 3

β = 6 β = 9

VENTANA DE KAISER: PARA DISTINTOS VALORES DE β( ) ( )( )20log W / max W− Ω Ω

( )p aDefiniendo A 20 log con min ,= − δ δ = δ δ

( )( ) ( )β =

−

+ − ≤ ≤

0 1102 8 7

0 07886 21 21 50

0 0

0 4

, ,

,

,

,

A

A A

A > 50

0,5842 A - 21

A < 21


VENTANA DE KAISER: OBTENCIÓN DE β y M

A 7,95 A 7,95M

2, 285 14,36 f

− −≥ =∆Ω ∆

31


EJEMPLO

Se desea diseñar un sistema para procesar una señal analógica xc(t) (limitada en banda a 3 kHz) con un filtro digital como se indica en la figura.

Las especificaciones del módulo de la respuesta en frecuencia del sistema analógico |H(ω)| son:

- Atenuación máxima en la banda de paso αp= 1 dBs.- Atenuación mínima en la banda atenuada αa = 15 dBs.- Frecuencia de corte en la banda de paso: fp = 800 Hz- Frecuencia de corte en la banda eliminada: fa = 1400 Hz


EJEMPLO

=⋅⋅=⋅=Ω

=⋅⋅=⋅=Ω⇒=⇒⋅=Ω

−

−

ππω

ππωω

35,0108

114002

2,0108

18002

8

1

3

3

saa

spp

ss

T

T

msTT

a) Plantilla de atenuación del Filtro Analógico:

d) Plantilla de amplitud del Filtro discreto en unidades naturales:

SOLUCIÓN:1. PLANTILLAS:

b) Plantilla de atenuación del Filtro Discreto:

( ) 188,0110

0575,0

110

110

110

110

20

20

1

20

1

20

20

=+⋅=

=

+

−=

+

−=

−p

p

a

p

p

a δδ

δ

α

α

α

32


EJEMPLOSOLUCIÓN:2. Diseño:

( ) ( ) dB,log',,min apap 8242005750 =δ⋅−=α⇒=δ=δδ=δParámetros de diseño:

75,3Blackman

54,5Hamming

43,9Hanning

20,9Rectangular

ααααbeVENTANA

π=π−π=Ω−Ω=∆Ω 15020350 ,,,pa

424641150

226 =⇒=ππ> M,

,

,M

452744150

646 =⇒=ππ> M,

,

,M

751374150

1211 =⇒=ππ> M,

,

,M

1665151502852

957824

2852

957 =⇒=π⋅

−=∆Ω⋅

−> M,,,

,,

,

,AM

Ventana de Kaiser:

( ) ( ) 2961210788602158420 40 ,A,A, , =−⋅+−⋅=β

π=π+π=Ω+Ω

=Ω 27502

35020

2,

,,apc


EJEMPLOSOLUCIÓN:

2210 20 ∆Ω+Ω=Ω∆Ω−Ω=Ω=δ

α−cacp ';';

ba

0,35π0,2 π0,15π0,057516Kaiser

0,349π

0,348π

0,349π

Ω’a

0,201 π0,148π0,0001775Blackman

0,201 π0,147π0,001945Hamming

0,201 π0,148π0,006442Hanning

Ω’p∆ΩδOrdenVentana

[ ] [ ] [ ]nwM

n

Mnsen

nwM

nhnhC

ID ⋅

−⋅π

−Ω=⋅

−=

2

2

2

33


EJEMPLOSOLUCIÓN:

[ ]( )( )

( )

≤≤

π−⋅⋅−⋅π

−π=

nderesto;

n;n

cosn

n,sen

nhD

0

42042

21

2

1

21

212750

[ ]( )( )

( )

≤≤

π⋅−⋅−⋅π

−π=

nderesto;

n;n

cos,,,n

,n,sen

nhD

0

45045

2460540

522

5222750

[ ]( )( )

( )

≤≤

π⋅−

π⋅−⋅−⋅π

−π=

nderesto;

n;n

cos,n

cos,,,n

,n,sen

nhD

0

75075

4080

75

250420

537

5372750

- Hanning: FIR fase lineal tipo I

- Hamming: FIR fase lineal tipo II

- Blackman: FIR fase lineal tipo II

- Kaiser: FIR fase lineal tipo I

[ ] ( )( )( ) ( )

≤≤

−−⋅⋅

−⋅π−π=

nderesto;

n;,I

n,I

n

n,sennhD

0

1602961

8

812961

8

82750

0

0


hD,Ham= fir1(M,ΩC,Hamming(M+1))hD,Han= fir1(M,ΩC,Hann(M+1))

hD,Blac= fir1(M,ΩC,Blackman(M+1)) hD,kaiser= fir1(M,ΩC,kaiser(M+1,β))0 2 4 6 8 10 12 14 16

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Respuesta al impulso del filtro utilizando la ventana de Kaiser

n

|hD

Kai

[n]

0 10 20 30 40 50 60 70-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Respuesta al impulso del filtro utilizando la ventana de Blackman

n

|hD

BLa

n[n]

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Respuesta al impulso del filtro utilizando la ventana de Hamming

n

|hD

Ham

[n]

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Respuesta al impulso del filtro utilizando la ventana de Hanning

n

|hD

Han

[n]

34


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ω

|HD( Ω

)|

Módulo de la respuesta en frecuencia del filtro

HanningHammingBlackmanKaiser

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

Ω

|HD( Ω

)|


Hanning

HammingBlackman

Kaiser

1 1.5 2 2.5 30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Ω

|HD( Ω

)|


Hanning

HammingBlackman

Kaiser

DISEÑO DE FILTROS: COMPARACIÓN IIR - FIR

La perturbación debido a la recursividad del filtro puede afectar a la señal de salida de forma indefinida.

Si la realización es no recursiva la salida del sistema puede verse afectada por su estado inicial o por cualquier interferencia de corta duración durante la longitud de la respuesta al impulso.

7.- Sensibilidad a las interferencias

No se requiere un computador grande y suele utilizarse la transformación bilineal con lo que no son demasiados cálculos. Son poco complejos.

Se requiere un computador de tamaño medio y la complejidad depende de la longitud de su h[n].

6.-Carga computacional y complejidad

Sólo puede usarse la estructura recursiva. La más utilizada es la de cascada de secciones de primer y segundo orden.

Admiten estructuras recursivas y no recursivas. La estructura más utilizada es la no recursiva denominada filtro transversal

5.- Estructura

Pueden ser inestables si los polos caen fuera de la circunferencia unidad.

Son siempre estables4.- Estabilidad

Sólo puede conseguirse fase lineal utilizando ecualizadores con lo que el filtro es más complejo.

Es posible conseguir fase lineal.3.- Característica de fase

Se consiguen selectividades altas con órdenes reducidos al disponer de pares polo-cero. Es posible diseñar todo tipo de filtros.

Para selectividades altas se requieren órdenes altos (todos los polos están en z = 0). No es posible diseñar filtros paso todo.

2.- Respuesta en frecuencia

Contiene polos y ceros en puntos finitos de z, ello proporciona mayor flexibilidad en el diseño de filtros sencillos (método de ubicación de ceros y polos)

Sólo contiene ceros, todos sus polos en el origen, excepto si se emplea muestreo en frecuencia

1.- Función del sistema H(z)

IIRFIR

35

Necesitan menos memoria ya que el número de coeficientes es menor que el equivalente FIR.

Necesitan mucha memoria para almacenar la muestra actual y las anteriores de la señal de entrada, así como los coeficientes del filtro.

9.- Memoria

Es un problema importante puesto que puede hacerse inestable. Pueden producirse oscilaciones indeseadas a causa del desbordamiento (Oscilación de overflow) o oscilaciones de ciclo límite.

Con estructura no recursiva no es un problema importante. Cuando estos filtros se realizan de forma recursiva debe conseguirse una cancelación exacta de polos y ceros después de la cuantificación obligándonos a utilizar longitudes de palabra mayores.

8.- Efecto de la cuantificación de los coeficientes

DISEÑO DE FILTROS: COMPARACIÓN IIR - FIR

DISEÑO DE FILTROS FIR: CAMBIO DE ESPECIFICACIONES

αmax

αmin

α(dB)

ΩΩp Ωa π

1 - δ1

|H(Ω)|

ΩΩp Ωa

1

δ2

π

max

min

201

202

1 10

10

α−

α−

− δ =

δ =

1 - δp

|H(Ω)|

ΩΩp Ωa

1

δa

π

1+ δp

( ) ( ) ( ) ( )max

20p 1 p p p1 1 1 1 1 10

α−

− δ = − δ + δ ⇒ − δ = + δ

( )max

min

max

2020

p a p

20

10 1; 10 1

10 1

αα

−

α

−δ = δ = + δ+

( ) ( )min

20a p 2 p1 10 1

α−δ = + δ δ = + δ

max max

max max

max max

20 2020 20

p p

20 20

1 10 10 110 1 1 10

1 10 10 1

α α−α α

− −

α α−

− −δ + = − ⇒ δ = = + +

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