Finanzmathematik 1 .Dieses Skript gibt den Inhalt der Vorlesung Finanzmathematik I: Eine Einf uhrung

download Finanzmathematik 1 .Dieses Skript gibt den Inhalt der Vorlesung Finanzmathematik I: Eine Einf uhrung

of 151

  • date post

    07-Aug-2019
  • Category

    Documents

  • view

    215
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Finanzmathematik 1 .Dieses Skript gibt den Inhalt der Vorlesung Finanzmathematik I: Eine Einf uhrung

  • Prof. Dr. Thilo Meyer-Brandis

    Finanzmathematik 1

    WS 2012/13

  • Dieses Skript gibt den Inhalt der Vorlesung Finanzmathematik I: Eine Einführung in diskreter Zeit wieder und basiert auf dem Buch Stochastic Finance von Hans Föllmer und Alexander Schied erschienen im De Gruyter Verlag.

  • Inhaltsverzeichnis

    Teil I Arbitragetheorie in diskreter Zeit

    1 Arbitragetheorie in einer Periode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 Grundlagen und das Fundamental Theorem of Asset Pricing . . 3 1.2 Eventualforderungen (Contingent Claims) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Vollständigkeit von Marktmodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2 Arbitragetheorie im Mehrperiodemodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 Grundlagen Mehrperiodemodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Arbitrage und Fundamental Theorem of Asset Pricing . . . . . . . 29 2.3 Europäische contingent Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4 Vollständige Märkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.5 Das Binomialmodell (Cox-Ross-Rubinstein-Modell) . . . . . . . . . . 57

    3 Amerikanische Contingent Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2 Bewertung und Hedging in vollständigen Märkten . . . . . . . . . . . 70 3.3 Arbitragefreie Preise und Replizierbarkeit in generellen

    Märkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    Teil II Risikomaße

    4 Grundlagen Risikomaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.1 Konvexe Risikomaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2 Risikomaße und Akzeptanzmengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3 Robuste Darstellung von konvexen Risikomaßen . . . . . . . . . . . . . 94

    4.3.1 Endlich additive Mengenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3.2 Robuste Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.3.3 Konvexe Risikomaße auf L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

  • VIII Inhaltsverzeichnis

    4.4 Portfoliooptimierung und Bewertung mittels Risikomaßen (CAPM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    Appendix A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 A.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    A.1.1 Der Wahrscheinlichkeitsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 A.1.2 Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 A.1.3 Der Satz von Radon-Nikodym, Dichten . . . . . . . . . . . . . . . 121 A.1.4 Die bedingte Erwartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

    A.2 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 A.3 Konvergenz von zufälligen Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    Appendix B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 B.1 Geometrische Charakterisierung von arbitragefreien

    Marktmodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 B.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 B.1.2 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    Appendix C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 C.1 Grundlagen der Funktionalanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

    C.1.1 Normierte Vektorräume, Banachräume, Hilberträume . . 135 C.1.2 Beispiele normierter Vektorräume, Banachräume,

    Hilberträume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 C.1.3 Trennung in endlichdimensionalen Vektorräumen . . . . . . 137 C.1.4 Trennungssätze von Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

  • Teil I

    Arbitragetheorie in diskreter Zeit

  • 1

    Arbitragetheorie in einer Periode

    1.1 Grundlagen und das Fundamental Theorem of Asset Pricing

    Marktmodell und Arbitrage. Für ein Marktmodell in einer Periode (Ein- periodenmodell) sind gegeben:

    (i) d+ 1 Wertpapiere (Assets), d ∈ N,

    (ii) zwei Zeitpunkte: t = 0 (heute) und t = 1 (Zukunft).

    Zum Zeitpunkt t = 0 sind die Preise (z.B. in EUR) der Wertpapiere bekannt: πi ≥ 0 für i = 0, . . . , d. Zum Zeitpunkt t = 1 sind die Kursentwicklungen bzw. Preise hingegen un- sicher. Die zukünftigen Kurse modellieren wir als Zufallsvariablen auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F ,P):

    Si : Ω → [0,∞), i = 0, 1, . . . , d.

    Si (ω) ist dann der Preis des i-ten Assets zum Zeitpunkt t = 1 bei gegebenem Szenario ω ∈ Ω. Das 0-te Wertpapier spielt eine besondere Rolle und modelliert ein Bankkonto (Bond). Wir setzen

    π0 = 1

    und S0 = S0 (ω) = 1 + r,

    wobei r > −1, r ∈ R, den Zinssatz modelliert. 1 Euro Startkapital auf meinem Bankkonto zum Zeitpunkt t = 0 entwickelt sich also mit dem deterministi- schen Zinssatz r zu (1 + r) Euros zum Zeitpunkt t = 1 (für das Bankkonto ist somit die Wertentwicklung zum Zeitpunkt t = 1 schon zum Zeitpunkt t = 0 bekannt). S0 wird auch als

    ” riskfree Asset“ und S1, . . . , Sd als

    ” risky Assets“ bezeichnet.

  • 4 1 Arbitragetheorie in einer Periode

    Notation 1.1 Wir notieren

    π := ( π1, . . . , πd

    ) ∈ Rd+,

    π̄ := ( π0, π1, . . . , πd

    ) (= (π0, π)) ∈ Rd+1+ ,

    S := ( S1, . . . , Sd

    ) ,

    S̄ := ( S0, S1, . . . , Sd

    ) (= (S0, S)).

    Definition 1.2 Ein Portfolio oder auch Strategie ist ein Vektor

    ξ̄ = ( ξ0, ξ

    ) = ( ξ0, ξ1, ..., ξd

    ) ∈ Rd+1,

    wobei ξi die Anzahl des i-ten Assets im Portfolio ist (insbesondere entspricht ξ0 dem Geld auf der Bank). Der Anfangswert (Preis) eines Portfolios zur Zeit t = 0 wird gegeben durch

    V0 = ξ̄ · π̄ = d∑ i=0

    ξiπi

    und der Endwert desselben Portfolios zur Zeit t = 1 durch

    V1 = ξ̄ · S̄ = d∑ i=0

    ξiSi.

    Bemerkung 1.3 In der Definition unseres Marktmodells sind folgende An- nahmen impliziert:

    (a) ξi < 0 möglich, das heißt ” short selling“ ist erlaubt.

    (b) Keine Transaktionskosten.

    (c) Kein Unterschied zwischen Kauf-/Verkaufspreis (kein Bid/Ask-Spread).

    (d) Liquidität: alle Assets sind in beliebig großer Zahl verfügbar/verkäuflich, zudem beliebig stückelbar.

    Definition 1.4 Die diskontierten Preise definieren wir durch

    Xi := Si

    1 + r , i = 0, . . . , d

    und die diskontierten Wertveränderungen durch

    Y i := Xi − πi = S i

    1 + r − πi, i = 1, . . . , d.

    Weiter definieren wir:

  • 1.1 Grundlagen und das Fundamental Theorem of Asset Pricing 5

    X̄ := (X0, X) := (1, X1, . . . , Xd)

    und

    Y := ( Y 1, . . . , Y d

    ) .

    Bemerkung 1.5

    (a) Wir betrachten diskontierte Preise, um Preise in t = 1 mit Preisen in t = 0 vergleichen zu können: 1 Euro heute ist mehr wert als 1 Euro zum Zeitpunkt t = 1 (unter der Annahme positiver Zinsen r > 0). Deshalb betrachten wir Preise nicht in der Einheit

    ” Währung“ sondern in der

    Einheit ” Bond“ (1 Bond heute ist 1 Bond in t = 1). Für die diskontierten

    Preise verwenden wir daher den Bond als Numéraire. (b) Alternativ könnte jedes andere strikt positive Wertpapier (bzw. Portfolio)

    als Numéraire verwendet werden (das heißt, alle Preise werden in Einhei- ten dieses Numéraire ausgedrückt).

    Definition 1.6 Ein Portfolio ξ̄ ∈ Rd+1 heißt Arbitragemöglichkeit oder ein- fach Arbitrage, falls

    V0 = ξ̄ · π̄ ≤ 0, V1 = ξ̄ · S̄ ≥ 0, P− f.s., und P ( ξ̄ · S̄ > 0

    ) > 0.

    Ein Marktmodell ( π̄, S̄

    ) nennen wir arbitragefrei, falls es keine Arbitrage

    zulässt.

    Bemerkung 1.7

    (i) Unter einer Arbitragemöglichkeit versteht man also die Möglichkeit, einen

    ” risikofreien Gewinn“ zu erzielen. Wir gehen davon aus, dass in ef-

    fizienten Märkten Arbitragemöglichkeiten nicht realisierbar sind. Diese Arbitragefreiheit wird im Folgenden unsere Schlüsselannahme zur Be- wertung von Finanzprodunkten sein.

    (ii) Ist ein Marktmodell arbitragefrei, so gilt Si = 0 P−f.s. falls πi = 0, weshalb wir im Folgenden o. B. d. A. (kurz für ohne Beschränkung der Allgemeinheit) πi > 0 voraussetzen können.

    (iii) In der Definition von Arbitrage spielt P nur bei der Festlegung der Null- mengen eine Rolle. Daher gilt: ist Q ein zu P äquivalentes Wahrschein- lichkeitsmaß, so ist ξ eine Arbitragemöglichkeit bezüglich P genau dann, wenn ξ eine Arbitragemöglichkeit bezüglich Q ist.

    Lemma 1.8 Es sind äquivalent:

    (a) Es existiert eine Arbitragemöglichkeit.

    (b) Es existiert ξ̄ ∈ Rd+1, so dass

    ξ̄ · π̄ ≤ 0, ξ̄ · X̄ ≥ 0 P− f.s. und P ( ξ̄ · X̄ > 0

    ) > 0,

    wobei X̄ := ( X0, . . . , Xd

    ) .

  • 6 1 Arbitragetheorie in einer Periode