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Finanzmathematik 135

FINANZMATHEMATIK

1. Investitionsrechnung

Unter einer Investition im engeren Sinn versteht man die Beschaffung vonAnlagen, die zur Erzielung eines wirtschaftlichen Nutzens dienen. Wir wollenin diesem Kapitel vom mathematischen Standpunkt her die Frage beant-worten, unter welchen Bedingungen eine solche Investition sinnvoll ist.

Jede Investition erfordert zunächst einen Kapitaleinsatz, der in der Regelgenau bestimmbar ist (Kaufpreis). Man erwartet, durch die Investition inder Zukunft Einnahmen zu erzielen, die nicht nur die laufenden Ausgabenfür Betrieb und Erhaltung der Investition, sondern auch den Kapitaleinsatzübersteigen. Die Einnahmenüberschüsse können jedoch vorab nur ge-schätzt werden, und man muss sich dessen bewusst sein, dass jedeInvestitionsrechnung nur so verlässlich sein kann wie dies die zur Be-rechnung heran gezogenen Daten sind.

Bei den sogenannten statischenVerfahren der Investitions-rechnung werden lediglich diezukünftig erwarteten Ein-nahmenüberschüsse dem Kapital-einsatz gegenüber gestellt. Dajedoch der Anschaffungspreis imAllgemeinen sofort zu bezahlen ist,die Einnahmenüberschüsse jedocherst während der Nutzung derInvestition verfügbar werden, sollteman sogenannte dynamischeVerfahren der Investitions-rechnung, die den Zeitfaktor bzw.die Verzinsung des eingesetztenKapitals berücksichtigen, anwen-den.

Beispiel:

Ein Unternehmen überlegt die Anschaffung einer neuen Maschine, diebei einem Kaufpreis von € 200 000,– eine voraussichtliche Nutzungs-dauer von 4 Jahren hat. Die nebenstehende Tabelle enthält die imZusammenhang mit dieser Maschine erwarteten Einnahmen Et undAusgaben At.1)

Die geplante Investition ist mit Hilfe der Kapitalwertmethode für einenKalkulationszinssatz pk = 6 % p. a. zu beurteilen.

Lösung:

Für die Berechnung des Kapitalwerts der Einnahmenüberschüssegehen wir schrittweise vor und stellen die Werte in einer Tabelle dar:

Wir können den Kapitalwert auch ohne Tabelle berechnen:

K = 700001,06

630001,06

570001,06

520001,062 3 4

+ + + ≈ 211155,– € 2)

Bei einem Kalkulationszinssatz von pk = 6 % p. a. beträgt der Kapital-wert der Einnahmenüberschüsse € 211 155,– 2) und ist demnachgrößer als der Kaufpreis. Die Investition ist daher bei diesemKalkulationszinssatz zu befürworten.

1) Aus Vereinfachungsgründen wollen wir davon ausgehen, dass die Ein-nahmenüberschüsse jeweils zu Jahresende zur Verfügung stehen.

2) In der Investitionsrechnung wollen wir uns damit begnügen, die jeweiligen Re-sultate (Kapitalwerte bzw. Annuitäten) auf ganze Euro genau anzugeben.

Beurteilung einer Investition nachder Kapitalwertmethode

Die Einnahmenüberschüssewerden abgezinst. Der so errech-nete Kapitalwert der Einnahmen-überschüsse wird mit dem Kauf-preis verglichen.

Ist der Kapitalwert der Einnahmen-überschüsse größer als der Kauf-preis, ist die Investition zu befür-worten.

Ist der Kapitalwert der Einnahmen-überschüsse kleiner als der Kauf-preis, ist die Investition nicht zubefürworten.

Jahr Einnahmen Ausgaben Einnahmen- Einnahmen- überschuss überschuss

abgezinst

t Et At Et – AtE A

1

t tpk100

t

−

+( )1 € 80000,00 € 10000,00 € 70000,00 € 66037,742 € 75000,00 € 12000,00 € 63000,00 € 56069,783 € 72000,00 € 15000,00 € 57000,00 € 47858,304 € 70000,00 € 18000,00 € 52000,00 € 41188,87

Summe € 211 154,69

Jahr Einnahmen Ausgabent Et A t

1 € 80 000,– € 10 000,–

2 € 75 000,– € 12 000,–

3 € 72 000,– € 15 000,–

4 € 70 000,– € 18 000,–

136 Finanzmathematik

Beispiel:

Ein Unternehmen überlegt die Anschaffung einer zusätzlichenMaschine, die bei einem Kaufpreis von € 280000,– eine voraus-sichtliche Nutzungsdauer von 5 Jahren hat. Auf Grund von Erfahrungs-werten kommt man zu den in der nebenstehenden Tabelle (vgl. Außen-spalte) enthaltenen Einnahmenüberschüssen, die auf Grund der neuenMaschine erzielt werden können.

Ist es sinnvoll, die Maschine auf Grund der obigen Angaben an-zuschaffen, wenn a) für die Finanzierung ein mit 8 % p. a. verzinsterKredit aufzunehmen ist b) als Alternative die Anlage des Kaufpreises inmit 5 % p. a. verzinste Wertpapiere in Frage kommt?

Lösung:

a) K = + + + +400001,0860000

1,08270000

1,083100000

1,08480000

1,085

K ≈ 271995,– €

Der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse ist kleiner als derKaufpreis. Die Investition erschient daher bei einer Vezinsung von8 % p. a. nicht sinnvoll.

b) K = + + + +400001,05

60000

1,05270000

1,053100000

1,05480000

1,055

K ≈ 297938,– €

Der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse ist größer als der Kauf-preis. Die Investition erschient daher bei einer Vezinsung von5 % p. a. sinnvoll.

Anhand des nebenstehendenBeispiels erkennt man, dass manbei unterschiedlichen Zinssätzenzu völlig anderen Entscheidungenkommen kann. Man muss dahernicht nur bei der Festlegung der(voraussichtlichen) Einnahmen-überschüsse, sondern auch beidem der Berechnung zugrundegelegten Zinssatz genau überle-gen, inwieweit die getroffenenAnnahmen realistisch sind. Diessind jedoch betriebswirtschaftlicheFragen, die über den Rahmen desMathematikunterrichts hinausgehen.

Im vorigen Beispiel war von zukünftigen Einnahmen und Ausgaben sowievon einem Kalkulationszinssatz die Rede.

Während wir bei den zukünftigen Einnahmen und Ausgaben (und somitauch bei den daraus resultierenden Einnahmenüberschüssen) immer aufErfahrungswerte bzw. Schätzungen angewiesen sind, kann man beimKalkulationszinssatz folgende Überlegungen anstellen:

• Kann der Kaufpreis aus Eigenmitteln aufgebracht werden, ist es sinn-voll, als Kalkulationszinssatz jenen Zinssatz heran zu ziehen, zu demder Kaufpreis (bei Nichtdurchführung der Investition) veranlagt werdenkönnte.

• Ist eine Fremdfinanzierung (z. B. Kreditaufnahme) notwendig, wird manals Kalkulationszinssatz jenen Zinssatz heran ziehen, mit dem dasFremdkapital verzinst wird.

Im folgenden Beispiel wird gezeigt, welche Auswirkungen die Höhe desKalkulationszinssatzes auf die Beurteilung einer Investition hat.

Jahr Einnahmenüberschüsse

1 € 40 000,–

2 € 60 000,–

3 € 70 000,–

4 € 100 000,–

5 € 80 000,–


Wir haben im vorigen Beispiel gesehen, dass die Entscheidung für bzw.gegen eine Investition davon abhängen kann, welcher Kalkulations-zinssatz pk für die Berechnung heran gezogen wird.

Im vorigen Beispiel erscheint die Investition für pk = 5 % p. a. als sinnvoll,für pk = 8 % p. a. jedoch nicht.

Folgende Überlegung ist nahe liegend: Es muss einen Zinssatz p0 geben,für den der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse und der Kaufpreisgleich hoch sind.

Man überlege, warum dieser Zinssatz p0 im vorigen Beispiel zwischen5 % p. a. und 8 % p. a. liegen muss.

Bei dem im obigen Beispiel errechneten Zinssatz von 7,031 % p. a. ist derKapitalwert der Einnahmenüberschüsse gleich hoch wie der Kaufpreis.

Aus diesem Umstand kann man folgende Schlussfolgerungen ziehen:

1. Für jeden Kalkulationszinssatz pk, der kleiner als 7,031 % p. a. ist, ist derKapitalwert der Einnahmenüberschüsse größer als der Kaufpreis.

Die Investition ist daher für jeden Kalkulationszinssatz pk, der kleiner als7,031 % p. a. ist, zu befürworten.

2. Für jeden Kalkulationszinssatz pk, der größer als 7,031 % p. a. ist, ist derKapitalwert der Einnahmenüberschüsse kleiner als der Kaufpreis.

Die Investition ist daher für jeden Kalkulationszinssatz pk, der größer als7,031 % p. a. ist, nicht zu befürworten.

Beispiel:

Man berechne für das vorige Beispiel jenen Zinssatz p0, für den derKapitalwert der Einnahmenüberschüsse und der Kaufpreis gleich hochsind.

Lösung:

Wir setzen r0 = 1+p

1000 .

Wenn der Kapitelwert der Einnahmenüberschüsse und der Kaufpreisgleich hoch sind, muss folgender Zusammenhang gelten:

K 00040000r

60000r

70000r

100000r

80000r0 0

203

04

05= + + + + = 280

Um diese Gleichung nach r0 zu lösen, kann man entweder einnumerisches Näherungsverfahren anwenden oder einen Computerbzw. einen algebraischen Taschenrechner einsetzen, der derartigeGleichungen lösen kann.

Man erhält als Lösung der Gleichung näherungsweise r0 = 1,07031.

Der gesuchte Zinssatz p0 ist daher 7,031 % p. a.

Im Abschnitt „Der grafikfähigeTaschenrechner Voyage 200“wird gezeigt , wie man diesesGerät zur Lösung der neben-stehenden Gleichung einsetzenkann.


Beispiel:

Ein Betrieb steht vor der Entscheidung, eine von zwei Maschinen (M1,M2) anzuschaffen. Der Kaufpreis beträgt für jede dieser Maschinenjeweils € 220 000,–. Die Nutzungsdauer beträgt jeweils 4 Jahre. Diegeschätzten Einnahmenüberschüsse sind in der nebenstehendenTabelle (vgl. Außenspalte) zusammen gefasst.

Welche Maschine ist bei einem Kalkulationszinssatz von 7 % p. a. zufavorisieren?

Lösung:

Wir berechnen für beide Maschinen den Kapitalwert der Einnahmen-überschüsse.

Zunächst für Maschine M1:

KM1800001,07

780001,07

750001,07

700001,072 3 4

= + + + ≈ −257520, €

Nun für Maschine M2:

KM2850001,07

750001,07

720001,07

700001,072 3 4

= + + + ≈ −257123, €

Der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse übersteigt bei beidenMaschinen den Kaufpreis. Daher ist für jede der beiden Maschinen dieInvestition grundsätzlich zu befürworten.

Für eine Entscheidung, welche der beiden Maschinen favorisiert wird,vergleichen wir die Kapitalwerte der Einnahmenüberschüsse.

Bei Maschine M1 ist der Kapitalwert der Einnahmenüberschüssegrößer als bei Maschine M2.

Daher ist Maschine M1 zu favorisieren.

Oft steht man von der Alternative, sich für eines von mehreren Investitions-objekten entscheiden zu müssen. Kann die bisher gezeigte KapitaI-wertmethode in einem solchen Fall eine Entscheidungshilfe sein?

Wir wollen diesen Fall zunächst anhand von Beispielen klären, bei denenzwei Investitionsobjekte mit gleicher Nutzungsdauer zur Auswahl stehen.

Betrachten wir nochmals das obige Beispiel. Rein rechnerisch gesehen istdas Ergebnis eindeutig:

Für Maschine M1 ergibt sich der höhere Kapitalwert der Einnahmen-überschüsse, daher ist Maschine M1 zu favorisieren.

Da die Investitionsrechnung jedoch bezüglich der zukünftigen Entwicklungauf Schätzungen angewiesen ist, sollte man in jedem Fall auch das Aus-maß, in dem eines von mehreren zur Wahl stehenden Investitionsobjektenbesser erscheint, ins Kalkül ziehen.

Vergleich von mehrerenInvestitionsobjekten mit gleicherNutzungsdauer und gleichemKaufpreis

Für jedes Investitionsobjekt wirdder Kapitalwert der Einnahmen-über-schüsse berechnet.

Das Objekt mit dem höchstenKapitalwert der Einnahmen-überschüsse ist zu favorisieren.


M1 M2

1 € 80000,– € 85000,–

2 € 78000,– € 75000,–

3 € 75000,– € 72000,–

4 € 70 000,– € 70000,–


Beispiel:

Ein Betrieb steht vor der Entscheidung, eine von zwei Maschinen (M1,M2) anzuschaffen. Der Kaufpreis von M1 beträgt € 220 000,–, jenervon M2 € 200 000,–. Die Nutzungsdauer beträgt jeweils 4 Jahre. Diegeschätzten Einnahmenüberschüsse sind in der neben-stehendenTabelle (vgl. Außenspalte) zusammen gefasst.

Welche Maschine ist bei einem Kalkulationszinssatz von 6 % p. a. zufavorisieren?

Lösung:

Wir berechnen zunächst für beide Maschinen den Kapitalwert der Ein-nahmenüberschüsse.


KM1900001,06

860001,06

780001,06

750001,062 3 4

= + + + ≈ −286343, €


KM2000

1,06830001,06

0001,06

780001,062 3 4

= + + + ≈ −85 80 283011, €

Der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse übersteigt bei beidenMaschinen den Kaufpreis. Daher ist für jede der beiden Maschinen dieInvestition grundsätzlich zu befürworten.

Für eine Entscheidung, welche der beiden Maschinen favorisiert wird,würde bei einem Vergleich der Kapitalwerte der Einnahmen-überschüsse die Wahl auf Maschine M1 fallen.

Da die Maschinen M1 und M2 allerdings unterschiedliche Kaufpreisehaben, darf die Entscheidung nicht auf Basis der Kapitalwerte der Ein-nahmenüberschüsse getroffen werden.

Man muss vielmehr für jede Maschine die Differenz zwischen demKapitalwert der Einnahmenüberschüsse und dem Kaufpreis ermitteln:

Für Maschine M1 erhalten wir 286 343 – 220 000 = 66 243,– €

Für Maschine M2 erhalten wir 283 011 – 200 000 = 83 011,– €

Daher ist Maschine M2 zu favorisieren.

Vergleich von mehrerenInvestitionsobjekten mitgleicher Nutzungsdauer, aberunterschiedlichem Kaufpreis

Für jedes Investitionsobjekt wirdzunächst der Kapitalwert derEinnahmenüberschüsse berechnet.

Dann wird für jedes Investitions-objekt der sogenannte Goodwill(Darunter versteht man dieDifferenz zwischen dem Kapital-wert der Einnahmenüberschüsseund dem Kaufpreis) ermittelt.

Das Objekt mit dem höchstenGoodwill ist zu favorisieren.

In den bisherigen Beispielen hatten die zur Wahl stehenden Investitions-objekte gleiche Nutzungsdauer. Das wird in der Praxis nicht immer der Fallsein.

Bei einer unterschiedlichen Nutzungsdauer bietet uns die Kapital-wertmethode nur sehr bedingt eine Entscheidungshilfe. Daher wollen wirjetzt eine Methode zeigen, bei der der unterschiedlichen NutzungsdauerRechnung getragen wird. Es handelt sich um die sogenannte Annuitäten-methode, auf die wir auf der nächsten Seite eingehen werden.


M1 M2

1 € 90000,– € 85000,–

2 € 86000,– € 83000,–

3 € 78000,– € 80000,–

4 € 75000,– € 78000,–


Vergleich von mehrerenInvestitionsobjekten mitunterschiedlicher Nutzungsdauernach der Annuitätenmethode

Sofern der Kapitalwert der Ein-nahmenüberschüsse den Kaufpreisübersteigt, bildet man die Differenzdieser Beträge, den sogenanntenGoodwill (vgl. voriges Beispiel).

Dann bestimmt man jene jeweilsam Ende des Jahres, in dem dasInvestitionsobjekt genutzt wird,fälligen gleich bleibenden Beträge(Annuitäten), die dem Goodwillentsprechen.

Das Objekt mit der höchstenAnnuität ist zu favorisieren.

Beispiel:

Ein metallverarbeitender Betrieb steht vor der Entscheidung, eine vonzwei Maschinen (M1, M2) anzuschaffen. Der Kaufpreis beträgt für jededieser Maschinen jeweils € 300000,–. M1 hat eine voraussichtlicheNutzungsdauer von drei Jahren. M2 kann hingegen voraussichtlich einJahr länger genutzt werden. Die geschätzten Einnahmenüberschüssesind in der nebenstehenden Tabelle (vgl. Außenspalte) zusammengefasst. Das Unternehmen kalkuliert mit einer Verzinsung von 8 % p. a.Welche Maschine ist unter diesen Umständen zu favorisieren?

Lösung:

Wir berechnen zunächst die Kapitalwerte.

KM1110000

1,08140000

1,08125000

1,082 3= + + ≈ −321108, €

KM2900001,08

1000001,08

1200001,08

800001,082 3 4

= + + + ≈ −323129, €

Der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse beträgt für M1€ 321108,–, für M2 € 323129,–. Bei beiden Maschinen übersteigt die-ser Wert die Anschaffungskosten.

Die Differenz zwischen Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse undden Anschaffungskosten – der sogenannte „Goodwill“ – beträgt beiM1 € 21108,– und bei M2 € 23129,–.

Auf Grund der unterschiedlichen Nutzungsdauer stellt sich die Frage:Welcher gleich bleibende, jeweils am Ende jedes Jahres, in dem dieMaschine genutzt wird, fälligen Annuität entspricht der Goodwill?

Unter Beachtung der jeweiligen Nutzungsdauer der Maschinen ergibtsich für Maschine M1:

21108 = AA

1,08

A

1,08

A

1,08 M1M1 M1

2M1

3+ + ⇒ ≈ −8191, €

Für Maschine M2 ergib sich:

23129 = AA

1,08

A

1,08

A

1,08

A

1,08 M2M2 M2

2M2

3M2

4+ + + ⇒ ≈ −6983, €

Auf Grund der Kapitalwerte (ohne Berücksichtigung der Nutzungs-dauer) erscheint es günstiger, sich für Maschine M2 zu entscheiden.

Bezogen auf die unterschiedliche Nutzungsdauer erscheint jedochder Kauf von Maschine M1 günstiger.

Wie das obige Beispiel zeigt, können Kapitalwert- und Annuitäten-methode zu verschiedenen Schlussfolgerungen führen. Es ist daheräußerst schwierig, sich für eines der beiden Investitionsobjekte zuentscheiden. Außerdem stellt sich die Frage: Was ist wirklich „besser“?3 Jahre lang € 8191, – oder 4 Jahre lang € 6983,– ?

Grundsätzlich sind Investitionsobjekte mit unterschiedlicher Nutzungs-dauer schwer miteinander vergleichbar, sodass man in der Praxis meistgleich lange Planungszeiträume für die zur Wahl stehenden Investitionenansetzt.


M1 M2

1 € 110000,– € 90000,–

2 € 140000,– € 100000,–

3 € 125000,– € 120000,–

4 — € 80000,–


Eine häufig gestellte Frage lautet: Wie rentabel ist die Investition? Mitanderen Worten: Welche Verzinsung des Kapitaleinsatzes ist den zu er-wartenden Einnahmenüberschüssen gleichwertig?

Wir haben bereits einen Zinssatz bestimmt, bei dem der Kapitalwert derEinnahmenüberschüsse und der Kaufpreis gleich hoch sind.

Wenn man diesen Zinssatz als Messgröße für die Rentabilität der In-vestition heranzieht, geht man von der unrealistischen Annahme aus, dassdie Einnahmenüberschüsse zu genau diesem Zinssatz veranlagt werdenkönnen.

Beurteilung einer Investitionnach der Methode des internenZinssatzes

Die Einnahmenüberschüssewerden bis zum Ende der Nut-zungsdauer mit dem Wieder-veranlagungszinssatz aufgezinst.

Dann wird jener interne Zinssatzbestimmt, mit dem man denKaufpreis verzinsen müsste, umauf den eben errechneten Wert zukommen.

Wenn ein vorhandenes Kapital nurzu einem niedrigeren als deminternen Zinssatz veranlagt werdenkann, ist die Investition zu befür-worten.

Bei Fremdfinanzierung hängt esdavon ab, ob die Fremdkapital-zinsen höher oder niedriger alsder interne Zinssatz sind.

Stehen mehrere Investitionsobjektezur Auswahl, ist jenes mit demhöchsten internen Zinssatz zufavorisieren.

Bei dem obigen Beispiel führt die Methode des internen Zinssatzes zurgleichen Schlussfolgerung wie die Kapitalwertmethode. Die Problematikder unterschiedlichen Nutzungsdauer ist auch hier zu beachten.

Beispiel:

Man berechne für einen Wiederveranlagungszinssatz von 4 % p. a. deninternen Zinssatz für die im vorigen Beispiel genannten Maschinena) M1 b) M2.

Lösung:

a) Wir berechnen zunächst die Summe der bis zum Ende derNutzungsdauer (= Ende des 3. Jahres) mit 4 % p. a. aufgezinstenEinnahmenüberschüsse:

1 Jahr aufzinsen

2 Jahre aufzinsen

1 2 3

110000 140000 125000

110000 ⋅ 1,042 + 140000 ⋅ 1,04 + 125000 = 389576,– €

Nun setzen wir in K Knp n= ⋅ +( )0 1001 für K0 den Kapitaleinsatz

€ 300000,–, für Kn den eben ermittelnen Wert € 389576,– und fürn die Nutzungsdauer des Investitionsobjekts in Jahren ein undberechnen den Prozentsatz p:

389576 300000 1 1003

= ⋅ +( ) ⇒p p ≈ 9,1 % p. a.

b) Für Maschine M2 gehen wir analog vor:

1 Jahr aufzinsen

2 Jahre aufzinsen

3 Jahre aufzinsen

1 2 3 4

90000 100000 120000 80000

90000 ◊ 1,043 + 100000 ◊ 1,042 + 120000 ◊ 1,04 + 80000 == 414198,– €

414198 300000 1 p100

4= ⋅ +( ) ⇒ p ≈ 8,4 % p. a.


Beispiel:

Ein Betrieb steht vor der Entscheidung, eine von zwei Maschinen (M1,M2) anzuschaffen. Der Kaufpreis von M1 beträgt € 200000,–, jener vonM2 € 180000,–. Die Nutzungsdauer beträgt jeweils 3 Jahre. Diegeschätzten Einnahmenüberschüsse sind in der nebenstehendenTabelle (vgl. Außenspalte) zusammen gefasst.

a) Welche Maschine ist gemäß der Kapitalwertmethode bei einemKalkulationszinssatz von 5 % p. a. zu favorisieren?

b) Man berechne für beide Maschinen jenen Zinssatz p0, für den derKapitalwert der Einnahmenüberschüsse und der Kaufpreis gleichhoch sind.

Lösung:

a) Wir berechnen für beide Maschinen zuerst den Kapitalwert der Ein-nahmenüberschüsse und dann die Differenz zwischen diesemBetrag und dem Kaufpreis.


KM1000

1,05000

1,05000

1,052 3= + + ≈ −140 80 40 240449, €

240449 − 200000 = 40449,– €


KM2000

1,05000

1,05000

1,052 3= + + ≈ −20 80 160 229824, €

229824 − 180000 = 49824,– €

Bei Maschine M2 ist die Differenz zwischen dem Kapitalwert der Ein-nahmenüberschüsse und dem Kaufpreis größer als bei MaschineM1. Daher ist Maschine M2 zu favorisieren.

b) Für Maschine M1 muss folgender Zusammenhang gelten:

K 000r

000r

000r0 0

203= + + = −

140 80 40 200000, €

Die Lösung dieser Gleichung können wir näherungsweise mitr0 = 1,18171 angeben.

Für Maschine M1 ist der Zinssatz p0 daher 18,171 % p. a.

Für Maschine M2 muss folgender Zusammenhang gelten:

K 000r

000r

000r0 0

203= + + = −

20 80 160 180000, €

Die Lösung dieser Gleichung können wir näherungsweise mitr0 = 1,15791 angeben.

Für Maschine M2 ist der Zinssatz p0 daher 15,791 % p. a.

Zum Abschluss unserer Betrachtungen zum Thema „Investitions-rechnung“ folgt nun noch ein Beispiel mit einem auf den ersten Blick über-raschenden Ergebnis:

Wie das nebenstehende Beispielzeigt, muss die nach der Kapital-wertmethode günstigere Investitionnicht automatisch den höherenZinssatz haben, bei dem derKapitalwert der Einnahmenüber-schüsse und der Kaufpreis gleichhoch sind.


M1 M2

1 € 140000,– € 20000,–

2 € 80000,– € 80000,–

3 € 40000,– € 160000,–


AUFGABEN

607. Ein Unternehmen überlegt die Anschaffung einer neuen Maschine, deren Kaufpreis € 290000,– beträgt.Auf Grund von Erfahrungswerten schätzt man während der Nutzungsdauer von 4 Jahren folgendeEinnahmen und Ausgaben:

im 1. Jahr im 2. Jahr im 3. Jahr im 4. JahrEinnahmen € 120000,– € 140000,– € 130000,– € 110000,–Ausgaben € 25000,– € 30000,– € 35000,– € 35000,–

a) Man berechne für einen Kalkulationszinssatz von 6 % p. a. den Kapitalwert der Einnahmenüberschüsseund beurteile die Investition anhand dieses Ergebnisses.

b) Bei welchem Zinssatz p0 sind der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse und der Kaufpreis gleichhoch?

608. Für eine neue Maschine mit dem Kaufpreis € 520 000,– und einer Nutzungsdauer von 4 Jahren rechnet manmit folgenden Einnahmen und Ausgaben:


a) Man berechne für einen Kalkulationszinssatz von 8 % p. a. den Kapitalwert der Einnahmenüberschüsseund beurteile die Investition anhand dieses Ergebnisses.

b) Bei welchem Zinssatz p0 sind der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse und der Kaufpreis gleichhoch?

609. In einem Betrieb wird die Anschaffung einer Maschine mit einem Kaufpreis von € 275000,– und einerNutzungsdauer von 3 Jahren überlegt. Die nachstehende Tabelle gibt Auskunft über die erwartetenEinnahmen und Ausgaben:

im 1. Jahr im 2. Jahr im 3. JahrEinnahmen € 150000,– € 140000,– € 125000,–Ausgaben € 30000,– € 35000,– € 40000,–

Lohnt sich die Anschaffung dieser Maschine auf Grund der obigen Angaben, wenn a) für die Finanzierungein mit 7,5 % p. a. verzinster Kredit aufzunehmen ist b) als Alternative die Anlage des Kaufpreises in mit4 % p. a. verzinste Wertpapiere in Frage kommt.

610. Für eine neue Maschine mit dem Kaufpreis € 600000,– und einer Nutzungsdauer von 4 Jahren rechnet manmit folgenden Einnahmen und Ausgaben:


Ist es sinnvoll, die Maschine auf Grund der obigen Angaben anzuschaffen, wenn a) für die Finanzierung einmit 8,5 % p. a. verzinster Kredit aufzunehmen ist b) als Alternative die Anlage des Kaufpreises in mit4,5 % p. a. verzinste Wertpapiere in Frage kommt.

611. Die nachstehende Tabelle enthält die während der 4-jährigen Nutzungsdauer einer neuen Maschine (Kauf-preis € 450000,–) erwarteten Einnahmen und Ausgaben:


Ist die Anschaffung der Maschine zu befürworten, wenn a) für die Finanzierung ein mit 8 % p. a. verzinsterKredit aufzunehmen ist b) als Alternative die Anlage des Kaufpreises in mit 5 % p. a. verzinste Wertpapierein Frage kommt.


612. Ein Unternehmen überlegt die Anschaffung einer neuen Maschine, wobei zwei Modelle M1 und M2 zurAuswahl stehen. Der Kaufpreis beträgt für jedes dieser Modelle € 150000,–. Die Nutzungsdauer beträgtjeweils 3 Jahre. Es werden folgende Einnahmen und Ausgaben erwartet:

im 1. Jahr im 2. Jahr im 3. JahrEinnahmen M1 € 140000,– € 140000,– € 130000,–Ausgaben M1 € 50000,– € 55000,– € 55000,–Einnahmen M2 € 160000,– € 150000,– € 130000,–Ausgaben M2 € 55000,– € 60000,– € 70000,–

Mit Hilfe der Kapitalwertmethode ist für einen Kalkulationszinssatz von 6,5 % p. a. jene Maschine zu be-stimmen, die auf Grund der obigen Daten zu favorisieren ist.

613. Ein Unternehmen steht vor der Entscheidung, eine von zwei Maschinen (M1 und M2) anzuschaffen. DerKaufpreis beträgt für jedes dieser Modelle € 400000,–. Die nachstehende Tabelle enthält die während derjeweils 4-jährigen Nutzungsdauer erwarteten Einnahmen und Ausgaben:

im 1. Jahr im 2. Jahr im 3. Jahr im 4. JahrEinnahmen M1 € 180000,– € 210000,– € 260000,– € 290000,–Ausgaben M1 € 45000,– € 50000,– € 50000,– € 55000,–Einnahmen M2 € 280000,– € 240000,– € 200000,– € 150000,–Ausgaben M2 € 25000,– € 40000,– € 55000,– € 65000,–

Welche Maschine erscheint auf Grund der obigen Daten günstiger, wenn a) für die Finanzierung ein mit8 % p. a. verzinster Kredit aufzunehmen ist b) als Alternative die Anlage des Kaufpreises in mit 4,5 % p. a.verzinste Wertpapiere in Frage kommt.

614. In einem Betrieb plant man die Anschaffung einer neuen Maschine, wobei zwei Modelle M1 und M2 zurAuswahl stehen. Der Kaufpreis von M1 beträgt € 450000,–, jener von M2 € 500000,– . Die Nutzungsdauerbeträgt jeweils 4 Jahre. Die geschätzten Einnahmen und Ausgaben sind in der nachstehenden Tabelle ent-halten:

im 1. Jahr im 2. Jahr im 3. Jahr im 4. JahrEinnahmen M1 € 220000,– € 240000,– € 230000,– € 210000,–Ausgaben M1 € 45000,– € 50000,– € 50000,– € 55000,–Einnahmen M2 € 250000,– € 240000,– € 220000,– € 180000,–Ausgaben M2 € 25000,– € 30000,– € 35000,– € 35000,–

Mit Hilfe der Kapitalwertmethode ist für einen Kalkulationszinssatz von 7,5 % p. a. ist auf Grund obigerDaten eine Investitionsempfehlung abzugeben.

615. Für die Aufnahme einer neuen Produktlinie wird eine neue Maschine benötigt, wobei zwei Modelle M1 undM2 zur Auswahl stehen. Der Kaufpreis von M1 beträgt € 180000,–, jener von M2 € 275000,– . Die nach-stehende Tabelle gibt Auskunft über die während der jeweils 3-jährigen Nutzungsdauer erwartetenEinnahmen und Ausgaben:

im 1. Jahr im 2. Jahr im 3. JahrEinnahmen M1 € 250000,– € 240000,– € 230000,–Ausgaben M1 € 35000,– € 40000,– € 50000,–Einnahmen M2 € 280000,– € 275000,– € 240000,–Ausgaben M2 € 25000,– € 30000,– € 35000,–

Welche Maschine ist auf Grund der obigen Daten zu bevorzugen, wenn a) für die Finanzierung ein mit8,5 % p. a. verzinster Kredit aufzunehmen ist b) als Alternative die Anlage des Kaufpreises in mit 5 % p. a.verzinste Wertpapiere in Frage kommt.


616. In einem Betrieb plant man die Anschaffung einer neuen Maschine, wobei zwei Modelle M1 und M2 zurAuswahl stehen. Der Kaufpreis von M1 beträgt € 300000,–, jener von M2 € 240000,–. Die Nutzungsdauerbeträgt jeweils 4 Jahre. Die erwarteten Einnahmenüberschüsse sind in der nachstehenden Tabelle auf-gelistet:

im 1. Jahr im 2. Jahr im 3. Jahr im 4. JahrEinnahmenüberschuss M1 € 260000,– € 240000,– € 230000,– € 210000,–Einnahmenüberschuss M2 € 250000,– € 220000,– € 210000,– € 180000,–

a) Für einen Kalkulationszinssatz von 8,5 % p. a. ist jeweils zu berechnen, um wie viel der Kapitalwert derEinnahmenüberschüsse die Anschaffungskosten übersteigt.

b) Welchen gleich bleibenden nachschüssigen Jahresannuitäten entsprechen die in a) errechneten Be-träge?

c) Die Ergebnisse von a) und b) sind zu interpretieren.

617. Für die Aufnahme einer neuen Produktlinie wird eine neue Maschine benötigt, wobei zwei Modelle M1 undM2 zur Auswahl stehen. Der Kaufpreis von M1 beträgt € 250000,–, jener von M2 € 220000,–. DieNutzungsdauer beträgt jeweils 3 Jahre. Es werden folgende Einnahmenüber-schüsse erwartet:

im 1. Jahr im 2. Jahr im 3. JahrEinnahmenüberschuss M1 € 280000,– € 250000,– € 200000,–Einnahmenüberschuss M2 € 250000,– € 240000,– € 220000,–

a) Für einen Kalkulationszinssatz von 7 % p. a. ist jeweils zu berechnen, um wie viel der Kapitalwert derEinnahmenüberschüsse die Anschaffungskosten übersteigt.



618. Ein Unternehmen überlegt die Anschaffung einer neuen Maschine, wobei zwei Modelle M1 und M2 zurAuswahl stehen. Der Kaufpreis beträgt für jedes dieser Modelle € 150000,–. Die Nutzungsdauer von M1beträgt 4 Jahre, jene von M2 3 Jahre. In der nachstehenden Tabelle sind die geschätzten Einnahmen-überschüsse aufgelistet:

im 1. Jahr im 2. Jahr im 3. Jahr im 4. JahrEinnahmenüberschuss M1 € 180000,– € 175000,– € 160000,– € 120000,–Einnahmenüberschuss M2 € 250000,– € 220000,– € 200000,– —

a) Für einen Kalkulationszinssatz von 8,5 % p. a. ist jeweils zu berechnen, um wie viel der Kapitalwert derEinnahmenüberschüsse die Anschaffungskosten übersteigt.



619. Ein Unternehmen steht vor der Entscheidung, eine von zwei Maschinen (M1 und M2) anzuschaffen. M1 hateinen Kaufpreis von € 160000,– und eine Nutzungsdauer von 3 Jahren. M2 hat einen Kaufpreis von€ 200000,– und eine Nutzungsdauer von 4 Jahren. Die erwarteten Einnahmenüberschüsse sind in dernachstehenden Tabelle aufgelistet:

im 1. Jahr im 2. Jahr im 3. Jahr im 4. JahrEinnahmenüberschuss M1 € 260000,– € 240000,– € 225000,– —Einnahmenüberschuss M2 € 250000,– € 225000,– € 210000,– € 180000,–

a) Für einen Kalkulationszinssatz von 8 % p. a. ist jeweils zu berechnen, um wie viel der Kapitalwert derEinnahmenüberschüsse die Anschaffungskosten übersteigt.




620. Man berechne für das Beispiel auf Seite 136 den internen Zinssatz. Es ist anzugeben, warum auch nachAuswertung dieses Ergebnisses die Investition nicht sinnvoll erscheint, wenn für die Finanzierung ein mit8 % p. a. verzinster Kredit aufzunehmen ist, die Investition jedoch zu befürworten ist, wenn der Kaufpreisvon € 280000,– vorhanden ist.

Bemerkung: Die Aufnahme eines Kredits für die Durchführung einer Investition kann nur empfohlen werden,wenn der interne Zinssatz höher ist als die Kreditverzinsung. Auf die gesonderte Berücksichtigung vonKreditbereitstellungsprovisionen und sonstigen Kreditkosten wollen wir hier aus Vereinfachungsgründenverzichten. In der Praxis dürfen jedoch auch diese Kosten bei der Investitionsentscheidung nicht vernach-lässigt werden.

621. Ein Speditionsunternehmen überlegt einen weiteren LKW zu kaufen, der einen Neuwert von € 60000,– hat.Bei einer Nutzungsdauer von 5 Jahren sind jährlich Einnahmenüberschüsse in Höhe von € 15000,– zuerwarten.

a) Wie ist die Investitionsentscheidung auf Grund der Kapitalwertmethode zu treffen, wenn mit einem Zins-satz von (1) 4,5 % p. a. (2) 8 % p. a. zu rechnen ist.

b) Wie hoch ist der interne Zinssatz, wenn eine Wiederveranlagung der Einnahmenüberschüsse zu4,5 % p. a. möglich ist.

c) Ist es auf Grund des Ergebnisses von b) sinnvoll, für die Durchführung der Investition einen mit 8 % p. a.verzinsten Kredit aufzunehmen?

622. Von einer voraussichtlich 7 Jahre nutzbaren Maschine erwartet man sich jährliche Einnahmenüberschüssevon € 40 000,–. Die Anschaffungskosten von € 200 000,– können aus vorhandenen Barmitteln gedecktwerden. Dieser Betrag könnte auch in mit 4,5 % p. a. verzinsten Wertpapieren angelegt werden.

a) Um welchen Betrag übersteigt der Kapitalwert der Einnahmenüberschüsse die Anschaffungskosten?

b) Welchen gleich bleibenden nachschüssigen Jahresannuitäten entspricht der in a) errechnete Betrag?

c) Wie groß ist der interne Zinssatz?

623. Ein Möbel erzeugendes Unternehmen muss sich bei der Anschaffung einer neuen Laugmaschine zwischenzwei Ausführungen A und B entscheiden. In jedem Fall ist zunächst ein Kapitaleinsatz von € 80 000,–erforderich. Als Nutzungsdauer ist in beiden Fällen 6 Jahre anzunehmen. Die Laugmaschine A lässt jähr-liche Einnahmenüberschüsse von € 24 000,– erwarten. Auf Grund von in periodischen Abständen durch-zuführenden umfangreichen Wartungen sind die voraussichtlichen Einnahmenüberschüsse beiLaugmaschine B unterschiedlich hoch. Im 1., 2., 4. und 6. Jahr wird mit € 30000,– , im 3. und 5. Jahr jedochnur mit € 12 000,– gerechnet.

a) Es ist unter Zugrundelegung eines Veranlagungszinssatzes von 4,5 % p. a. zu entscheiden, welcheLaugmaschine günstiger erscheint.

Anleitung: Man wende die verschiedenen Investitionsrechnungsverfahren an und begründe die getrof-fene Entscheidung.

b) Text wie a). Es ist jedoch zu berücksichtigen, dass anlässlich des Kaufes ein mit 8 % p. a. verzinstesDarlehen aufgenommen wurde, welches einschließlich Zinsen und Zinseszinsen am Ende derNutzungsdauer der Laugmaschine rückzahlbar ist.


2. Kurs- und Rentabilitätsrechnung

Wer eine Anleihe anlässlich der Ausgabe erwirbt und bis zum Ende derLaufzeit behält, erhält sein Geld zu genau jenem Zeitpunkt zurück gezahlt,der in den Anleihebedingungen festgelegt wurde. In diesem Fall brauchtsich die Anlegerin bzw. der Anleger keine Gedanken um die Kurs-entwicklung machen.

In der Praxis kommt es jedoch häufig vor, dass Wertpapiere während derLaufzeit gekauft bzw. verkauft werden. In diesem Fall ist der sogenannteKurs des Wertpapiers für die Bestimmung des Kauf- bzw. Verkaufpreisesheranzuziehen. Bei festverzinslichen Wertpapieren ist der Kurs üblicher-weise in Prozenten des Nominales angegeben.

Die Rentabilitätsrechnung beschäftigt sich u. a. damit, die effektive Ver-zinsung des eingesetzten Kapitals zu bestimmen, wobei Kursverluste beimKauf zu einem Kurs über 100 bzw. Kursgewinne beim Kauf zu einem Kursunter 100 entsprechend berücksichtigt werden. Es entspricht den Regelndes Geldmarkts, dass die Rentabilitäten verschiedener Wertpapiere zumgleichen Zeitpunkt ähnlich hoch sind. Man spricht in diesem Zusammen-hang auch vom sogenannten Kapitalmarktzins. Auf die Ursachen für ge-wisse Rentabilitätsabweichungen können wir hier nicht eingehen.

Anlässlich der Ausgabe von fest verzinslichen Wertpapieren kann durchFestlegung von einem anderen Kurs als 100 bewirkt werden, dass die Ren-tabilität des Wertpapiers mit dem Zinssatz nicht überein stimmt.

Beispiel:

Es wird eine mit 5 % p. a. verzinste Anleihe mit 7-jähriger Laufzeitausgegeben. Die Auszahlung der Zinsen erfolgt jährlich im Nach-hinein. Das Gesamtnominale wird gemeinsam mit der letzten Zins-zahlung zurück gezahlt.

a) Man stelle die Zinsen und Kapitalrückzahlungen für ein Nominalevon € 100,– unter der Annahme, dass die Ausgabe zum Nennwerterfolgt, mit Hilfe einer (1) Tabelle (2) Zeitlinie dar.

b) Welcher Ausgabekurs ist festzusetzen, wenn die Anleihe eineRentabilität von (1) 4,8 % p. a. (2) 5,2 % p. a. haben soll?

Lösung:

a) (1) Wir stellen eine Tabelle nach dem Vorbild der in Band 2 vor-gestellten Tilgungspläne auf:

Jahr Zinsen- Kapital- Gesamt- aushaftenderzahlung rückzahlung auszahlung Betrag

0 0,00 0,00 0,00 100,001 5,00 0,00 5,00 100,002 5,00 0,00 5,00 100,003 5,00 0,00 5,00 100,004 5,00 0,00 5,00 100,005 5,00 0,00 5,00 100,006 5,00 0,00 5,00 100,007 5,00 100,00 105,00 0,00

(2) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |5 5 5 5 5 5 105

Wovon hängt der Kurs eines festverzinslichen Wertpapiers ab?

Werfen wir doch einen Blick in dasAmtliche Kursblatt der WienerBörse. Wir erkennen: Je höher dieVerzinsung, desto höher ist in denmeisten Fällen der Kurs. Der Kursrichtet sich nämlich nach Angebotund Nachfrage. Es ist klar, dassman für ein höher verzinstesWertpapier eher bereit sein wird,einen höheren Kurs zu akzeptieren,als bei einem niedriger verzinsten.

Das nebenstehende Beispielbehandelt eine sogenannteendfällige Anleihe.

Vom ersten bis zum vorletzten Jahrder Laufzeit erfolgen nur Zinsen-zahlungen.

Der aushaftende Betrag bleibtwährend dieser Zeit unverändertund wird erst im letzten Jahr zurGänze zurück gezahlt.


Für die Bestimmung des Barwertsder jährlich gleich bleiben Zinsenkönnte man auch die Barwertformelder Rentenrechnung heran ziehen.

Die im letzten Jahr erfolgendeZahlung (Zinsen + Kapitalrück-zahlung) ist in jedem Fall mit Hilfeder Formel der Zinseszinsrechnungabzuzinsen.

Die nebenstehende Tabellebehandelt eine Anleihe, bei der dieKapitalrückzahlung über diegesamte Laufzeit verteilt in gleichhohen jährlichen Raten erfolgt.

Diese Rückzahlungsform entsprichtder in Band 2 behandeltenRatenschuld.

b) Da Anleihekurse stets in Prozenten des Nominales angegebenwerden, berechnen wir den Barwert der für € 100,– Nominalekünftig erfolgenden Zahlungen, wobei wir die Rentabilität alsZinssatz für die Abzinsung heranziehen.

(1) C 51,048

51,048

51,048

51,048

51,048

51,048

1051,0482 3 4 5 6 7

= + + + + + +

C ≈ 101,17

(2) C 51,052

51,052

51,052

51,052

51,052

51,052 1,0522 3 4 5 6 7

= + + + + + + 105

C ≈ 98,85

Aus dem obigen Beispiel erkennen wir: Ist die Rentabilität kleiner als dieNominalverzinsung, ist der Kurs größer als 100, also über pari. Ist dieRentabilität größer als die Nominalverzinsung, ist der Kurs kleiner als 100,also unter pari.

Manchmal wird eine Anleihe nicht zur Gänze am Laufzeitende getilgt,sondern über die ganze Laufzeit verteilt in gleich hohen Teilbeträgen.

Beispiel:

Eine mit 6 % p. a. verzinste Anleihe mit 5-jähriger Laufzeit wird über diegesamte Laufzeit verteilt jeweils am Jahresende (gemeinsam mit denfälligen Zinsenzahlungen) in gleich hohen Teilen getilgt.


b) Welcher Ausgabekurs ist festzusetzen, wenn die Anleihe eine Ren-tabilität von (1) 5,8 % p. a. (2) 6,1 % p. a. haben soll?

Lösung:

a) (1) Wir stellen eine Tabelle nach dem Vorbild der in Band 2 vor-gestellten Tilgungspläne auf:

Jahr Zinsen- Kapital- Gesamt- aushaftenderzahlung rückzahlung auszahlung Betrag

0 0,00 0,00 0,00 100,001 6,00 20,00 26,00 80,002 4,80 20,00 24,80 60,003 3,60 20,00 23,60 40,004 2,40 20,00 22,40 20,005 1,20 20,00 21,20 0,00

(2) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |26 24,80 23,60 22,40 21,20

b) (1) C 261,058

24,81,058

23,61,058

22,41,058

21,21,0582 3 4 5

= + + + +

C ≈ 100,53

(2) C 261,061

24,81,061

23,61,061

22,41,061

21,21,0612 3 4 5

= + + + +

C ≈ 99,74


Es gibt auch Fälle, wo nach einigen tilgungsfreien Jahren eine jährlicheKapitalrückzahlung in gleich hohen Teilen erfolgt.

Wir wollen jetzt die im Abschnitt „1. Investitionsrechnung“ angestelltenÜberlegungen auf die Berechnung des Anleihekurses übertragen. Immer-hin ist die Geldanlage in Wertpapieren auch eine Form der Investition.

Die jeweils am Jahresende für ein Nominale von € 100,– ausbezahltenBeträge (Zinsen und Kapitalrückzahlung) bilden die Einnahmen-überschüsse. Der Kurs entspricht in diesem Fall dem Kapitalwert derEinnahmenüberschüsse für ein Nominale von € 100,– unter der Voraus-setzung, dass die Rentabilität als Kalkulationszinssatz heran gezogen wird.

Wer sein Geld in Anleihen anlegen möchte, ist in der Praxis mit der zu denbisherigen Beispielen umgekehrten Fragestellung konfrontiert: Gesucht istdie Rentabilität der Anleihe bei gegebenem Ausgabekurs. Wie dieBerechnung der Rentabilität erfolgt, wird in den folgenden Beispielendargestellt.

Wie die nebenstehende Tabellezeigt, stellt diese Art der Rück-zahlung eine „Mischform“ ausden beiden bisher gezeigtenRückzahlungsarten dar.

Beispiel:

Eine mit 6 % p. a. verzinste Anleihe mit 7-jähriger Laufzeit wird ab Endedes 4. Jahres jeweils am Jahresende (gemeinsam mit den fälligenZinsenzahlungen) in gleich hohen Teilen getilgt.


b) Welcher Ausgabekurs ist festzusetzen, wenn die Anleihe eine Ren-tabilität von (1) 5,7 % p. a. (2) 6,2 % p. a. haben soll?

Lösung:

a) (1) Jahr Zinsen- Kapital- Gesamt- aushaftenderzahlung rückzahlung auszahlung Betrag

0 0,00 0,00 0,00 100,001 6,00 0,00 6,00 100,002 6,00 0,00 6,00 100,003 6,00 0,00 6,00 100,004 6,00 25,00 31,00 75,005 4,50 25,00 29,50 50,006 3,00 25,00 28,00 25,007 1,50 25,00 26,50 0,00

(2) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |6 6 6 31 29,5 28 26,5

b) (1) C 61,057

61,057

61,057

311,057

29,51,057

281,057

26,51,0572 3 4 5 6 7

= + + + + + +

C ≈ 101,38

(2) C 61,062

61,062

61,062

311,062

29,51,062

281,062

26,51,0622 3 4 5 6 7

= + + + + + +

C ≈ 99,10


Im Abschnitt „Der grafikfähigeTaschenrechner Voyage 200“ wirdgezeigt , wie man dieses Gerät zurLösung der nebenstehendenGleichung einsetzen kann.

Beispiel:

Wie hoch ist die Rentabilität einer mit 4 % p. a. verzinsten Anleihe mit5-jähriger Laufzeit, wenn der Ausgabekurs C = 99,20 beträgt und dieRückzahlung des Gesamtnominales zum Laufzeitende erfolgt?

Lösung:

Zunächst überlegen wir, welche zukünftigen Zahlungseingänge manfür ein Nominale von € 100,– erwarten kann, und stellen diese in einerZeitlinie dar:

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |4 4 4 4 104

Nun ist ein Zinssatz p0 gesucht, für den der Barwert der zukünftigenZahlungseingänge dem Wert C = 99,20 entspricht.

Wir setzen r p1000

1 0= + .

Wenn der Barwert der zukünftigen Zahlungseingänge dem WertC = 99,20 entspricht, muss folgender Zusammenhang gelten:

99,20 4r

4r

4r

4r

104r0 0

203

04

05= + + + +

Um diese Gleichung nach r0 zu lösen, kann man entweder einnumerisches Näherungsverfahren anwenden oder einen Computerbzw. einen algebraischen Taschenrechner einsetzen, der derartigeGleichungen lösen kann.

Man erhält als Lösung der Gleichung näherungsweise r0 = 1,04181.Der gesuchte Zinssatz p0 (und somit die Rentabilität der Anleihe beimAusgabekurs C = 99,20) beträgt daher 4,181 % p. a.

Beispiel:

Wie hoch ist die Rentabilität einer mit 6 % p. a. verzinsten Anleihe mit5-jähriger Laufzeit, wenn der Ausgabekurs C = 99,50 beträgt und dieRückzahlung über die gesamte Laufzeit verteilt jeweils am Jahresendein gleich hohen Teilen erfolgt?

Lösung:

Darstellung der künftigen Zahlungseingänge (vgl. Seite 148):

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |26 24,80 23,60 22,40 21,20

99,50 26r

24,8r

23,6r

22,4r

21,2r0 0

203

04

05= + + + +

Die Lösung dieser Gleichung kann näherungsweise mit r0 = 1,06191angegeben werden. Der gesuchte Zinssatz p0 (und somit die Renta-bilität der Anleihe beim Ausgabekurs C = 99,50) beträgt daher6,191 % p. a.


Auch bei der Berechnung der Rentabilität gibt es Parallelen zurInvestitionsrechnung:

Da der Kurs dem Kaufpreis für ein Nominale von € 100,– darstellt,entspricht in diesem Fall die Rentabilität jenem Zinssatz, bei dem derKapitalwert der Einnahmenüberschüsse und der Kaufpreis gleich hochsind.

Bis jetzt haben wir nur Berechnung für neu ausgegebene Anleihen durch-geführt.

Es ist aber auch möglich, Anleihen zu kaufen, die bereits ausgegeben wur-den. Solche Anleihen werden an der Börse gehandelt. Man spricht indiesem Zusammenhang auch vom Sekundärmarkt.

Auf dem Sekundärmarkt treten bei Schwankungen des allgemeinen Zins-niveaus folgende Marktmechanismen in Kraft:

• In Zeiten fallender Zinsen steigt auf dem Sekundärmarkt die Nachfragenach Anleihen, die noch eine höhere Verzinsung aufweisen, was in derRegel zu Kurserhöhungen führt. Wer in solchen Zeiten Anleihen amSekundärmarkt erwirbt, erzielt eine umso niedrigere Rentabilität, jehöher der Kurs ist.

Wer in solchen Zeiten Anleihen am Sekundärmarkt verkauft, erzielt eineumso höhere Rentabilität, je höher der Kurs ist.

• In Zeiten steigender Zinsen sinkt auf dem Sekundärmarkt die Nachfragenach Anleihen, die noch eine niedrigere Verzinsung aufweisen, was inder Regel zu Kurssenkungen führt.

Wer in solchen Zeiten Anleihen am Sekundärmarkt erwirbt, erzielt eineumso höhere Rentabilität, je niedriger der Kurs ist. Wer in solchen ZeitenAnleihen am Sekundärmarkt verkauft, erzielt eine umso niedrigere Ren-tabilität, je niedrigerer Kurs ist.

Schwankungen des allgemeinenZinsniveaus können verschiedeneGründe haben. Hier spielen nichtnur wirtschaftliche, sondernmanchmal auch weltpolitischeEreignisse eine Rolle.

Beispiel:

Wie hoch ist die Rentabilität einer mit 6 % p. a. verzinsten Anleihe mit7-jähriger Laufzeit, wenn der Ausgabekurs C = 101,– beträgt und dieRückzahlung ab Ende des 4. Jahres jeweils am Jahresende in gleichhohen Teilen erfolgt?

Lösung:

Darstellung der künftigen Zahlungseingänge (vgl. Seite 149):

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |6 6 6 31 29,5 28 26,5

101 6r

6r

6r

31r

29,5r

28r

26,5r0 0

203

04

05

06

07= + + + + + +

Die Lösung dieser Gleichung kann näherungsweise mit r0 = 1,05781angegeben werden.

Der gesuchte Zinssatz p0 (und somit die Rentabilität der Anleihe beimAusgabekurs C = 101,–) beträgt daher 5,781 % p. a.


Wie das nebenstehende Beispielzeigt, ist bei einem während derLaufzeit erfolgenden Verkauf zueinem über 100,– liegenden Kursdie Rentabilität für den Verkäufergrößer als für den Käufer.

Beispiel:

Eine zum Kurs 99,– ausgegebene endfällige Anleihe mit 10-jährigerLaufzeit und einer Verzinsung von 6,5 % p. a. wird nach 6 Jahren zumKurs 105,– verkauft.

a) Welche Rentabilität erzielt der Verkäufer in den ersten 6 Jahren?

b) Welche Rentabilität erzielt der Käufer in den restlichen 4 Jahren?

Lösung:

a) Darstellung der Zahlungseingänge für den Verkäufer:

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 111,5

Man beachte: Ende des 6. Jahres erhält der Verkäufer sowohl dieZinsen als auch den Verkaufserlös beim Kurs 105,–.

Da der Verkäufer die Anleihe zum Kurs 99, – erworben hat, gilt:

99 6,5r

6,5r

6,5r

6,5r

6,5r

111,5r0 0

203

04

05

06= + + + + +

Die Lösung dieser Gleichung kann näherungsweise mitr0 = 1,070404 angegeben werden.

Der gesuchte Zinssatz p0 (und somit die vom Verkäufer erzielteRentabiliät) beträgt daher 7,0404 % p. a.

b) Darstellung der Zahlungseingänge für den Käufer:

| 7 | 8 | 9 | 10 |6,5 6,5 6,5 106,5

Man beachte: Ende des 10. Jahres erhält der Käufer sowohl dieZinsen als auch die Kapitalrückzahlung zum Nominale 100,–.

Da der Käufer die Anleihe zum Kurs 105, – erworben hat, gilt:

105 6,5r

6,5r

6,5r

106,5r0 0

203

04= + + +


Der gesuchte Zinssatz p0 (und somit die vom Käufer erzielteRentabiliät) beträgt daher 5,087 % p. a.

Beispiel:

Eine zum Kurs 100,50 ausgegebene endfällige Anleihe mit 8-jährigerLaufzeit und einer Verzinsung von 4,5 % p. a. wird nach 3 Jahren zumKurs 96,– verkauft.




Wer Geld anlegen möchte, steht oft vor der Wahl zwischen einer neuausgegebenen und einer am Sekundärmarkt angebotenen Anleihe.

Das folgende Beispiel zeigt, welche Überlegungen man dabei anstellenkann.

Wie das nebenstehende Beispielzeigt, ist bei einem während derLaufzeit erfolgenden Verkauf zueinem unter 100,– liegenden Kursdie Rentabilität für den Verkäuferkleiner als für den Käufer.

Beispiel:

Jemand steht vor der Wahl, sein Geld entweder in einem zum Kurs 98,–neu ausgegebene endfällige Anleihe mit 5-jähriger Laufzeit und einerVerzinsung von 4 % p. a. oder eine an der Börse zum Kurs von 110,75gehandelte endfällige Anleihe mit 5-jähriger Restlaufzeit und einerVerzinsung von 7 % p. a. anzulegen.

Man berechne für beide Varianten die Rentabilität und vergleiche dieErgebnisse.

Lösung:

a) Darstellung der Zahlungseingänge für den Verkäufer:

| 1 | 2 | 3 |4,5 4,5 100,5

Man beachte: Ende des 6. Jahres erhält der Verkäufer sowohl dieZinsen als auch den Verkaufserlös beim Kurs 96,–.

Da der Verkäufer die Anleihe zum Kurs 100,50 erworben hat, gilt:

100,5 4,5r

4,5r

100,5r0 0

203= + +


Der gesuchte Zinssatz p0 (und somit die vom Verkäufer erzielteRentabiliät) beträgt daher 3,029 % p. a.

b) Darstellung der Zahlungseingänge für den Käufer:

| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |4,5 4,5 4,5 4,5 104,5

Man beachte: Ende des 8. Jahres erhält der Käufer sowohl dieZinsen als auch die Kapitalrückzahlung zum Nominale 100,–.

Da der Käufer die Anleihe zum Kurs 96, – erworben hat, gilt:

96 4,5r

4,5r

4,5r

4,5r

104,5r0 0

203

04

05= + + + +


Der gesuchte Zinssatz p0 (und somit die vom Käufer erzielteRentabiliät) beträgt daher 5,435 % p. a.


Das nebenstehende Beispielhandelt in einer Zeit fallenderZinsen:

Während die neu ausgegebeneAnleihe nur mehr eine Nominal-verzinsung von 4 % p. a. bei einemAusgabekurs 98,– bietet, wird dienoch mit 7 % p. a. verzinste Anleiheauf dem Sekundärmarkt zum Kurs110,75 gehandelt.

Die Rentabilität der beidenAnleihen ist bei den vorliegendenKursen annähernd gleich.

Aus der Tatsache, dass im neben-stehenden Beispiel die Sekundär-marktanleihe eine geringfügighöhere Rentabilität aufweist, darfnicht geschlossen werden, dassdie Rentabilität von Sekundärmarkt-anleihen generell höher ist als dieRentabilität von neu ausgegebenenAnleihen.

Betrachten wir nochmals das obige Beispiel.

Rein rechnerisch ist die Sache eindeutig. Allerdings wurde hier (stillschwei-gend) voraus gesetzt, dass die jeweiligen Zahlungseingänge zu genau je-nem Zinssatz wieder veranlagt werden können, der als Rentabilität ermitteltwurde.

In Analogie zur Investitionsrechnung wollen wir auch hier einen internenZinssatz bestimmen, der einen von der Rentabilität abweichenden Wieder-veranlagungszinssatz berücksichtigt.

Beispiel:

Man berechne den internen Zinssatz für die im vorigen Beispiel ge-nannten Anleihen und für einen Wiederveranlagungszinssatz von3 % p. a.

Lösung:

Wir berechnen für die neu ausgegebene Anleihe die Summe der biszum Ende der Laufzeit mit 3 % p. a. aufgezinsten Zahlungseingänge:

4 ⋅ 1,034 + 4 ⋅ 1,033 + 4 ⋅ 1,032 + 4 ⋅ 1,03 + 104 = 121,237

Lösung:

Darstellung der künftigen Zahlungseingänge für die neu ausgegebeneAnleihe:

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |4 4 4 4 104

Bei einem Erwerb zum Kurs 98,– gilt:

98 4r

4r

4r

4r

104r0 0

203

04

05= + + + +


Der gesuchte Zinssatz p0 (und somit die Rentabiliät der neu ausgege-benen Anleihe) beträgt daher 4,455 % p. a.

Darstellung der künftigen Zahlungseingänge für die Sekundärmarkt-anleihe:

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |7 7 7 7 107

Bei einem Erwerb zum Kurs 110,75 gilt:

110,75 7r

7r

7r

7r

107r0 0

203

04

05= + + + +


Der gesuchte Zinssatz p0 (und somit die Rentabiliät der Sekundär-marktanleihe) beträgt daher 4,548 % p. a.

⇒ In diesem Beispiel erzielt man mit der Sekundärmarktanleihe diehöhere Rentabilität.


Abschließend soll noch auf einen Umstand hingewiesen werden: Bei man-chen Anleihen ist in den Anleihebedingungen festgelegt, dass die Anleihe-schuldnerin bzw. der Anleiheschuldner ab einem bestimmten Zeitpunkt dieMöglichkeit hat, die Anleihe zu kündigen und das aushaftende Kapital zumNominale vorzeitig zurück zu zahlen.

Von der Möglichkeit einer Kündi-gung vor dem Ende der Laufzeitwird zumeist dann Gebrauchgemacht, wenn man sich auf Grundeines gesunkenen allgemeinenZinsniveaus das benötigte Kapitalzu einem niedrigeren Zinssatzbeschaffen kann.

Daher stellt der Umstand, dass dieAnlegerinnen und Anleger bei einervorzeitigen Kündigung für dieverkürzte Laufzeit manchmal einehöhere Rentabilität erzielen als fürdie volle Laufzeit, keinen Vorteil dar,da das vorzeitig zurück gezahlteKapital nur mehr zu den aktuellenniedrigeren Zinsen wieder veranlagtwerden kann.

Beispiel:

Der Ausgabekurs für eine mit 8 % p. a. verzinste endfällige Anleihe mit7-jähriger Laufzeit betrug C = 99,80.

a) Welche Rentabilität war für die volle Laufzeit zu erwarten?

b) Die Anleihe wurde zum Ende des 5. Jahres gekündigt und zumNennwert vorzeitig zurück gezahlt. Man berechne die Rentabilitätfür diese 5 Jahre.

Lösung:

a) Darstellung der Zahlungseingänge für die volle Laufzeit:

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |8 8 8 8 8 8 108

99,80 8r

8r

8r

8r

8r

8r

108r0 0

203

04

05

06

07= + + + + + +


Der gesuchte Zinssatz p0 (und somit die bei voller Laufzeit erzielba-re Rentabilität) beträgt daher 8,038 % p. a.

b) Darstellung der Zahlungseingänge für die verkürzte Laufzeit:

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |8 8 8 8 108

99,80 8r

8r

8r

8r

108r0 0

203

04

05= + + + +


Der gesuchte Zinssatz p0 (und somit die bei der verkürzten Laufzeiterzielbare Rentabiliät) beträgt daher 8,05 % p. a.

Nun setzen wir in Kn = K0 ⋅ 1+( )p100n für K0 den Ankaufskurs 98, für Kn

den eben ermittelten Wert 121,237 und für n die Anlagedauer in Jahren(in unserem Fall 5) ein und berechnen den Prozentsatz p:

121,237 = 98 ⋅ 15

+( )p100 ⇒ p ≈ 4,347 % p. a.Für die Sekundärmarktanleihe gehen wir analog vor:

7 ⋅ 1,034 + 7 ⋅ 1,033 + 7 ⋅ 1,032 + 7 ⋅ 1,03 + 107 = 137,164

137,164 = 110,75 ⋅ 15

+( )p100 ⇒ p ≈ 4,371 % p. a.


AUFGABEN

624. Wie hoch ist der Ausgabekurs einer mit 4,5 % p. a. verzinsten endfälligen Anleihe mit 6-jähriger Laufzeitfestzusetzen, wenn die Rentabilität a) 4,4 % p. a. b) 4,65 % p. a. betragen soll?

625. Eine mit 7 % p. a. verzinste Anleihe mit 12-jähriger Laufzeit wird über die gesamte Laufzeit verteilt jeweilsam Jahresende (gemeinsam mit den fälligen Zinsenzahlungen) in gleich hohen Teilen getilgt. Welcher Aus-gabekurs ist festzusetzen, wenn die Anleihe eine Rentabilität von a) 7,1 % p. a. b) 6,9 % p. a. haben soll?

626. Bei einer mit 5,5 % p. a. verzinsten Anleihe mit 10-jähriger Laufzeit erfolgt die Rückzahlung mit Ende des6. Jahres beginnend jährlich in gleich hohen Teilbeträgen. Wie hoch ist der Ausgabekurs festzusetzen,wenn die Rentabilität a) 5,38 % p. a. b) 5,68 % p. a. betragen soll?

627. Man berechne die Rentabilität einer mit 4,75 % p. a. verzinsten endfälligen Anleihe mit 7-jähriger Laufzeit,wenn der Ausgabekurs a) C = 98,80 b) C = 100,50 beträgt.

628. Wie hoch ist die Rentabilität einer mit 5 % p. a. verzinsten Anleihe mit 8-jähriger Laufzeit, wenn der Aus-gabekurs a) C = 99,– b) C = 100,50 beträgt und die Rückzahlung über die gesamte Laufzeit verteilt jeweilsam Jahresende in gleich hohen Teilen erfolgt?

629. Wie hoch ist die Rentabilität einer mit 6 % p. a. verzinsten Anleihe mit 12-jähriger Laufzeit, wenn der Aus-gabekurs a) C = 98,50 b) C = 100,75 beträgt und die Rückzahlung ab Ende des 9. Jahres jeweils amJahresende in gleich hohen Teilen erfolgt?

630. Eine zum Kurs 100,25 ausgegebene endfällige Anleihe mit 15-jähriger Laufzeit und einer Verzinsung von7,25 % p. a. wird nach 9 Jahren zum Kurs 106,– verkauft.



631. Eine zum Kurs 99,75 ausgegebene endfällige Anleihe mit 8-jähriger Laufzeit und einer Verzinsung von 6 %p. a. wird nach 5 Jahren zum Kurs 95,– verkauft.



632. Jemand steht vor der Wahl, sein Geld entweder in einem zum Kurs 101,– neu ausgegebene endfälligeAnleihe mit 6-jähriger Laufzeit und einer Verzinsung von 4,25 % p. a. oder eine an der Börse zum Kurs von108,25 gehandelte endfällige Anleihe mit 5-jähriger Restlaufzeit und einer Verzinsung von 6,5 % p. a. anzu-legen. Man berechne für beide Varianten a) die Rentabilität b) den internen Zinssatz für einen Wieder-veranlagungszinssatz von 2,5 % p. a.

633. Jemand steht vor der Wahl, sein Geld entweder in einem zum Kurs 100,25 neu ausgegebene endfälligeAnleihe mit 7-jähriger Laufzeit und einer Verzinsung von 6,75 % p. a. oder eine an der Börse zum Kurs von96,75 gehandelte endfällige Anleihe mit 7-jähriger Restlaufzeit und einer Verzinsung von 4 % p. a. anzule-gen. Man berechne für beide Varianten a) die Rentabilität b) den internen Zinssatz für einen Wieder-veranlagungszinssatz von 2 % p. a.

634. Der Ausgabekurs für eine mit 7,5 % p. a. verzinste endfällige Anleihe mit 10-jähriger Laufzeit betrugC = 100,25.a) Welche Rentabilität war für die volle Laufzeit zu erwarten?

b) Die Anleihe wurde zum Ende des 6. Jahres gekündigt und zum Nennwert vorzeitig zurück gezahlt. Manberechne die Rentabilität für diese 6 Jahre.

635. Der Ausgabekurs für eine mit 8 % p. a. verzinste endfällige Anleihe mit 12-jähriger Laufzeit betrugC = 99,75.a) Welche Rentabilität war für die volle Laufzeit zu erwarten?

b) Die Anleihe wurde zum Ende des 8. Jahres gekündigt und zum Nennwert vorzeitig zurück gezahlt. Manberechne die Rentabilität für diese 8 Jahre.


3. Aktienanalyse

Im vorigen Abschnitt haben wir uns mit dem Kurs und der Rentabilität vonAnleihen beschäftigt.

In diesem Anschnitt geht es um Aktien, also um Wertpapiere, durch derenKauf man sich am Grundkapitel einer Aktiengesellschaft beteiligt und da-mit auch Miteigentumsrechte an der Aktiengesellschaft erwirbt.

Im Gegensatz zu Anleihen erfolgt bei Aktien keine Verzinsung des einge-setzten Kapitels, sondern eine Beteiligung am Gewinn des Unternehmens,die sogenannte Dividende, wobei in der Regel nur ein Teil des Gewinns alsDividende an die Aktionärinnen und Aktionäre ausgezahlt wird.

Die Höhe der Dividende hängt also von der wirtschaftlichen Situation derAktiengesellschaft ab. Dieser Umstand führt dazu, dass der durch An-gebot und Nachfrage bestimmte KursKursKursKursKurs bei Aktien üblicherweise stärkerenSchwankungen als bei Anleihen unterworfen ist.

Aktien werden nicht nur wegen der Dividende erworben, sondern auchwegen der Chance auf zukünftige Kurssteigerungen, um die Aktien zueinem Zeitpunkt teurer verkaufen zu können.

Aktien werden an der Börsegehandelt. Der Kurs richtet sichnach Angebot und Nachfrage:

Wer eine Aktie kaufen will, nennt inder Regel einen Höchstpreis, biszu dem man eine bestimmte Aktieerwerben möchte.

Wer eine Aktie verkaufen will, nenntin der Regel einen Mindestpreis,ab dem man diese Aktie verkaufenmöchte.

Wie wird der Kurs einer Aktiean der Börse bestimmt?

Zunächst wird festgestellt, für wieviele Stück zu den als Limitgenannten Preisen Kauf- bzw.Verkaufanträge vorliegen, wobei diejeweils kleinere Stückzahl den zudiesem Preis möglichen Umsatzdarstellt.

Der Kurs der Aktie ist jener Preis,bei dem die größte Stückzahl derbetreffenden Aktie die Besitzerinbzw. den Besitzer wechselt.

Manchmal kommt es – wie imnebenstehenden Beispiel – vor,dass zum ermittelten Kurs nicht allezu diesem Kurs gewünschtenKäufe oder Verkäufe abgewickeltwerden können, da es entwederauf der Nachfrage- oder auf derAngebotsseite einen Überhanggibt.

Im obigen Beispiel wird das Prinzip der Kursbildung dargestellt. In derPraxis liegen für eine Aktie meist viel mehr Kauf- und Verkaufanträge zuzahlreichen verschiedenen Limits vor. An den Börsen kommen für die Be-stimmung der Aktienkurse spezielle Computerprogramme zum Einsatz.

Beispiel:

An einem Börsetag liegen für eine bestimmte Aktie folgende Kauf-anträge vor: 100 Stück limitiert mit maximal € 50, – pro Stück, 80 Stückmit maximal € 49,– pro Stück, 90 Stück mit maximal € 48,– pro Stückund 70 Stück ohne Limit.

Dem stehen folgende Verkaufanträge gegenüber: 70 Stück limitiert mitmindestens € 48,– pro Stück, 80 Stück mit mindestens € 49,– proStück, 120 Stück mit mindestens € 50,– pro Stück und 60 Stück ohneLimit.

Man bestimme den Kurs dieser Aktie an diesem Tag.

Lösung:

Wir stellen die möglichen Käufe bzw. Verkäufe zu den genannten Limitsin einer Tabelle dar:

Preis Kaufanträge Verkaufanträge Umsatz

€ 48,– 100+80+90+70 = 340 70+60 = 130 130 Stück€ 49,– 100+80+70 = 250 70+80+60 = 210 210 Stück€ 50,– 100+70 = 170 70+80+120+60 = 330 170 Stück

Der größtmögliche Umsatz kann bei € 49,– erzielt werden.Daher beträgt der Kurs der Aktie an diesem Tag € 49,–.


Wie schon erwähnt, stellt die Chance auf zukünftige Kursgewinne für vieleeinen wesentlichen Anreiz für eine Geldanlage in Aktien dar. Dabei stellenUntersuchungen der vergangenen Kursentwicklung sowie Prognosenüber die zukünftige Kursentwicklung wichtige Hilfsmittel für die Ent-scheidung, in welchen Aktien man sein Geld anlegt, dar. Das ist Aufgabeder sogenannten Aktienanalyse, bei der man zwei Arten unterscheidet:die Fundamentalanalyse und die technische Analyse.

Die Fundamentalanalyse basiert auf der Annahme, dass die künftigeKursentwicklung von der wirtschaftlichen Situation des Unternehmensabhängt. Es wird daher mit Hilfe von Kennzahlen eine Bewertung desUnternehmens vorgenommen. Dabei spielen unter anderem die Bilanz-daten, die Ertrags- und Finanzkraft sowie das Kurs-Gewinn-Verhältnis,aber auch Wachstumschancen sowie konjunkturelle, fiskalpolitische undvolkswirtschaftliche Rahmenbedingungen eine Rolle. Mit diesen Informa-tionen versucht man, die künftige Kursentwicklung zu prognostizieren.

Im Gegensatz dazu zieht man bei der technischen Analyse aus ver-gangenen Kursverläufen Schlüsse auf die zukünftige Kursentwicklung.Dabei verwendet man verschiedene statistische Merkmale, sogenannteIndikatoren, wobei zwischen Trendfolge-Indikatoren und Oszillatorenzu unterscheiden ist. Ein Trendfolge-Indikator zeigt die vorherrschendeTrendrichtung der Kursentwicklung an, während ein Oszillator die Dynamikder Kursentwicklung misst, um Rückschlüsse auf eine mögliche Trend-umkehr zu ziehen.

Bei den Ausführungen in diesemBuch geht es nur um den mathe-matischen Hinter-grund von zweiexemplarisch ausgewähltenIndikatoren und nicht um irgend-welche Empfehlungen für den Kaufbzw. Verkauf von Aktien oderanderen Wertpapieren.

Beispiel:

Eine Aktie hatte an 15 aufeinander folgenden Börsetagen folgendeKurse: 48, 50, 51, 50, 52, 53, 53, 52, 54, 54, 55, 53, 50, 48, 47. Manberechne die gleitenden Durchschnitte dritter Ordnung.

Lösung:

Wir bezeichnen des Kurs am Tag i mit Ci und berechnen die gleitendenDurchschnitte GDi gemäß den Ausführungen in der Außenspalte.

für den 3. Tag: GD3 = (C3 + C2 + C1) : 3 = (51 + 50 + 48) : 3 = 49,6&

für den 4. Tag: GD4 = (C4 + C3 + C2) : 3 = (50 + 51 + 50) : 3 = 50,3&

für den 5. Tag: GD5 = (C5 + C4 + C3) : 3 = (52 + 50 + 51) : 3 = 51

für den 6. Tag: GD6 = (C6 + C5 + C4) : 3 = (53 + 52 + 50) : 3 = 51,6&

für den 7. Tag: GD7 = (C7 + C6 + C5) : 3 = (53 + 53 + 52) : 3 = 52,6&

für den 8. Tag: GD8 = (C8 + C7 + C6) : 3 = (52 + 53 + 53) : 3 = 52,6&

für den 9. Tag: GD9 = (C9 + C8 + C7) : 3 = (54 + 52 + 53) : 3 = 53

für den 10. Tag: GD10 = (C10 + C9 + C8) : 3 = (54 + 54 + 52) : 3 = 53,3&

für den 11. Tag: GD11 = (C11 + C10 + C9) : 3 = (55 + 54 + 54) : 3 = 54,3&

für den 12. Tag: GD12 = (C12 + C11 + C10) : 3 = (53 + 55 + 54) : 3 = 54

für den 13. Tag: GD13 = (C13 + C12 + C11) : 3 = (50 + 53 + 55) : 3 = 52,6&

für den 14. Tag: GD12 = (C14 + C13 + C12) : 3 = (48 + 50 + 53) : 3 = 50,3&

für den 15. Tag: GD15 = (C15 + C14 + C13) : 3 = (47 + 48 + 50) : 3 = 48,3&

Einer der bekanntesten Trendfolge-Indikatoren ist der sogenanntegleitende Durchschnitt, der ambesten während einer anhaltendenAufwärts- oder Abwärtsent-wicklung eines Aktienkursesverwendet wird.

Dabei bildet man die Summe derKurse der letzten n Börsetage unddividiert die Summe durch n.

GDi = (Ci + Ci–1 + ... + Ci−n+1) : n

Man spricht in diesem Zusammen-hang von einem gleitendenDurchschnitt n-ter Ordnung.

Die Berechnung eines gleitendenDurchschnitts n-ter Ordnung istimmer ab dem n-ten Tag möglich.


In der nachstehenden Grafik sind die im letzten Beispiel gegebenen Kurseschwarz, die gleitenden Durchschnitte 3. Ordnung blau und die gleitendenDurchschnitte 10. Ordnung (Man führe die Berechnung selbstständigdurch!) rot eingezeichnet und zur besseren Übersicht durch einen Linien-zug verbunden.

In der Praxis verwendet man fürPrognosen meist zwei gleitendeDurchschnitte verschiedenerOrdnung.

Wie die nebenstehende Grafikzeigt, weichen die gleitendenDurchschnitte je nach Ordnungvoneinander ab.

In unserem Beispiel schneidet am13. Tag die Verbindungslinie dergleitenden Durchschnitte derniedrigeren Ordnung (3) dieVerbindungslinie der gleitendenDurchschnitte höheren Ordnung(10) von oben nach unten. Dieswird von manchen Aktien-analystinnen und Aktienanalystenals ein Signal gewertet, dass mandie Aktien auf Grund des Kurs-verfalls verkaufen sollte.

Umgekehrt wird es als Kaufsignalgedeutet, wenn die Verbindungs-linie der gleitenden Durchschnitteniedrigerer Ordnung die Verbin-dungslinie der gleitenden Durch-schnitte höherer Ordnung vonunten nach oben schneidet.

Einer der bekanntesten Oszilla-toren ist das Momentum.

Man subtrahiert vom aktuellen Kursden Kurs vor n Börsetagen undspricht in diesem Zusammenhangvom n-Tage-Momentum.

Mi = Ci − Ci−n

Die Berechnung eines n-Tage-Momentums ist ab dem (n +1)-tenTag möglich.

Beispiel:

Für die im vorigen Beispiel gegebenen Kursentwicklung einer Aktie istdas 10-Tage-Momentum zu berechnen.

Lösung:

für den 11. Börsentag: M11 = C11 − C1 = 55 − 48 = 7

für den 12. Börsentag: M12 = C12 − C2 = 53 − 50 = 3

für den 13. Börsentag: M13 = C13 − C3 = 50 − 51 = − 1



Bemerkung: Man beachte den Vorzeichenwechsel am 13. Tag. EinWechsel beim Momentum von positiven zu negativen Werten wird vonmanchen Aktienanalystinnen und Aktienanalysten als Verkaufssignalgewertet. Umgekehrt wird es als Kaufsignal gedeutet, wenn beimMomentum ein Wechsel von negativen zu positiven Werten vorliegt.

Börse-tage

Kurs

50

49

48

47

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

51

52

53

54

55

56


AUFGABEN

636. An einem Börsetag liegen für eine bestimmte Aktie folgende Kaufanträge vor: 120 Stück limitiert mit maxi-mal € 115, – pro Stück, 200 Stück mit maximal € 110,– pro Stück, 250 Stück mit maximal € 105,– pro Stückund 80 Stück ohne Limit.

Dem stehen folgende Verkaufanträge gegenüber: 130 Stück limitiert mit mindestens € 105,– pro Stück,180 Stück mit mindestens € 110,– pro Stück, 220 Stück mit mindestens € 115,– pro Stück und 120 Stückohne Limit.

Man bestimme den Kurs dieser Aktie an diesem Tag.

637. Die nachstehende Tabelle zeigt die in den letzten 6 Wochen für eine bestimmte Aktie erzielten Kurse: Dieerste Zeile enthält die Kurse an den 5 Börsetagen (Monatag bis Freitag) der ersten Woche, die zweite Zeiledie Kurse an den 5 Börsetagen der zweiten Woche usw.:

170 168 175 162 183170 166 170 172 181178 177 169 172 175168 175 177 169 182175 176 174 181 175172 176 172 169 175

Man berechne die gleitenden Durchschnitte a) 5. Ordnung b) 10. Ordnung.

638. Man stelle die in Aufgabe 637. gegebenen Kurse und die errechneten gleitenden Durchschnitte in einergemeinsamen Grafik dar.

639. Man berechne für die in Aufgabe 637. gegebenen Kurse das a) 10-Tage-Momentum b) 20-Tage-Momentum.

640. Die nachstehende Tabelle zeigt die in den letzten 10 Wochen für eine bestimmte Aktie erzielten Kurse:Die erste Zeile enthält die Kurse an den 5 Börsetagen (Monatag bis Freitag) der ersten Woche, die zweiteZeile die Kurse an den 5 Börsetagen der zweiten Woche usw.:

112,5 140,2 147,8 122,3 139,1119,6 112,5 117,2 110,4 106,7133,7 128,6 118,7 120,9 126,7131,8 134,0 115,7 128,0 120,9133,3 135,1 138,4 136,2 129,8120,6 133,3 134,4 136,0 137,1137,0 137,5 149,5 146,3 145,1149,0 136,7 133,8 140,1 145,0147,3 149,3 188,0 189,2 154,3139,1 147,8 154,5 156,0 182,6

Man berechne die gleitenden Durchschnitte a) 20. Ordnung b) 45. Ordnung.

641. Man stelle die in Aufgabe 640. gegebenen Kurse und die errechneten gleitenden Durchschnitte in einergemeinsamen Grafik dar.

642. Man berechne für die in Aufgabe 640. gegebenen Kurse das a) 20-Tage-Momentum b) 40-Tage-Momentum.

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