Finite Elemente - joensson.f2.htw-berlin.dejoensson.f2.htw-berlin.de/PS/Joen-Skript_FEM.pdf ·...

Vorlesungs-Skript

Finite Elemente

für das 4. Fachsemester

des Bachelorstudienganges Maschinenbau mit

2 Stunden Vorlesung

und

2 Stunden PC-Übungen pro Woche

© Prof. Dr. Dieter Joensson

HTW Berlin 2016Fachbereich Ingenieurwissenschaften

Technik und Leben

Inhaltsverzeichnis Finite Elemente

1. Einleitung Seite 1

2. Das Programmsystem Ansys 3

2.1 Verschiedene Ansys-Versionen im Fachbereich 4

2.2 Was sind Freiheitsgrade, Knoten und Elemente? 4

2.3 Arbeitsweise von ANSYS Classic 7

2.4 Arbeitsweise von ANSYS Workbench 8

2.5 Element-Typen in ANSYS 9

2.5.1 Classic-Version 9

2.5.2 Element-Typen in Workbench 10

2.6 Typische Bearbeitungsschritte bei FEM 11

2.7 Maßeinheiten 12

2.8 Spannungen 15

2.9 Elastisches Materialverhalten 27

2.9.1 Einleitung 27

2.9.2 Der E-Modul 28

2.9.3 Die Querkontraktionszahl ν 29

2.9.4 Der Gleitmodul G 30

2.9.5 Das Hookesche Gesetz für den dreiachsigen Sapnnungszustand 31

3. Finite Elemente für elastische Bauteile 35

3.1 Verschiebungen oder Spannungen als Hauptunbekannte 35

3.2 Verschiebungen als Hauptunbekannte 37

3.3 Knoten-Verschiebungen als Hauptunbekannte 38

4. Festigkeitsberechnung mit FEM 42

4.1 Das Gleichungssystem für 1 finites Element 42

4.2 Das große Gleichungssystem für die Gesamtstruktur 46

4.3 Vom Verschiebungsansatz zur Elementsteifigkeitsmatrix 49

4.4 Spannungsberechnung 57

Inhaltsverzeichnis Finite Elemente

5. Fehlermöglichkeiten bei FEM 59

5.1 Modellierungsfehler durch FEM-Anwender 59

5.2 FEM-Verfahrensfehler 61

5.3 Numerische Fehler 65

6. Spezielle FEM-Anwendungen 67

6.1 Nutzung von Symmetrien 67

6.2 Belastung durch vorgegebene Verschiebung 69

6.3 Submodelltechnik 70

6.4 Substrukturtechnik 72

7. Schwingungsberechnung mit FEM 73

7.1 Modalanalyse 73

7.2 Modalanalyse mit FEM 75

7.3 Erzwungene harmonische Schwingungen 76

8. Singuläre Spannungen 77

8.1 Punktförmige Lasten 77

8.2 Singuläre Spannungen an konkaven Kanten 82

9. Plastisches Materialverhalten 83

9.1 Einleitung 83

9.2 Bilineares Materialverhalten 84

9.3 Die Traglast als plastische Grenzbelastung 86

10. FEM-Bericht erstellen 90

10.1 Automatisiert in Ansys Workbench 90

10.2 FEM-Bericht selbst erstellen 91

PC-Übungen mit Ansys ab Seite 106

der vorliegenden Datei Joen-Skript_FEM.pdf

Literatur-Empfehlungen für Finite Elemente Seite 198

Finite Elemente Seite 1

Joensson HTW Berlin

© Prof. Dr. Joensson HTW Berlin 2015

F i n i t e E l e m e n t e

1. Einleitung

Inhalt dieser Lehrveranstaltung:

Anwendung finiter Elemente auf Mechanik-Probleme (Statik, Festig-

keitslehre und Dynamik)

Derartige Probleme sind lösbar analytisch,

messtechnisch

oder numerisch.

Zur „Numerischen Mechanik“ gehören verschiedene Näherungsverfahren,

z.B. Differenzenverfahren

Übertragungsmatrizenverfahren

Finite-Elemente-Methode (FEM)

Randintegralmethode (Boundary Element Method BEM)

Kollokationsverfahren

usw.

Ursprünglich wurde FEM in den 50er Jahren des 20. Jahrhunderts für

Berechnungen der Technischen Mechanik im Bauwesen und im Maschinen-

bau konzipiert.

Heute ist FEM für alle „Feldprobleme“ der klassischen Physik vorhanden:

für elektrische und magnetische Felder, Strömungsmechanik von Flüs-

sigkeiten und Gasen, Temperaturfelder usw.


Joensson HTW Berlin Weltweit gibt es inzwischen mehr als 1000 verschiedene FEM-Programm-

systeme, z.B.

NASTRAN (USA)

PATRAN (USA)

ANSYS (USA) im Fachbereich vorhanden

ADINA (USA) ·

· ·

PERMAS (D)

COSAR (D) ·

· ·

SESAM (Norwegen) · · ·

FEMGEN (Schweden) usw.

Mitunter sind FEM-Programme auch in CAD-Systemen eingebettet, z.B. in

CATIA

Pro/Engineer mit Pro/MECHANICA

I-DEAS

usw.


Joensson HTW Berlin

2. Das Programmsystem ANSYS

Beispiel:

Ein Bauteil, links an der Fläche A

fest eingespannt, rechts mit einer

Kraft belastet

Berechnungsergebnisse

z.B.:


Joensson HTW Berlin

2.1 Verschiedene Ansys-Versionen im Fachbereich a) Ansys-Workbench

als Hochschulversion,

je Berechnungsbeispiel beschränkt auf max. 256 000 Knoten mit

1 530 000 Freiheitsgraden und max. 256 000 Elemente

b) Ansys-Classic

als Hochschulversion,

beschränkt auf max. 256 000 Knoten, 1 530 000 Freiheitsgrade und

max. 256 000 Elemente

Ansys-Workbench ist die modernere Variante mit einer komfortablen

Programm-Oberfläche. Die Berechnungen erfolgen im Hintergrund mit den

Software-Modulen der Classic-Version.

2.2 Was sind Freiheitsgrade, Knoten und Elemente?

Finite Elemente können sein:

Balken

dreieck- und viereckförmige Scheiben und Platten Tetraeder

Hexaeder

Rohrsegmente elastische Federn

und andere.


Joensson HTW Berlin Die Elemente sind grundsätzlich nur an ihren Knoten miteinander verbun-

den.

Die Ränder der finiten Elemente sind ansonsten frei!

Einfache finite Elemente haben nur Eckknoten:

Anspruchsvollere Elemente haben zusätzlich Seitenmittenknoten:

Beispiel:

Flächen-Bauteil, modelliert mit einfachen Viereckflächen-Elementen

liefert

Klaffende Ränder der finiten Elemente (am PC nicht sichtbar)

Je mehr Knoten ein finites Element hat, um so genauer ist die Berechnung.

FF


Joensson HTW Berlin Jeder Knoten wiederum kann maximal

6 Freiheitsgrade (engl.: Degree of Freedom DOF)

haben.

Damit ist bei FEM die Bewegungsfähigkeit der Knoten gemeint bzw. die

Anzahl der Kraftgößen jedes Knoten für die Kopplung an Nachbarelemente.

Beispiel:

Balken im 3D-Raum mit 2 Knoten und je 6 Freiheitsgraden (DOF = 12)

An jedem Knoten werden hier

zum Nachbarelement übertragen:

3 Kräfte senkrecht

zueinander

bzw. 3 Verschiebungen

und

3 Momente senkrecht

zueinander

bzw. 3 Verdrehungen

Weiteres Beispiel:

Ebenes Flächenelement mit 3 Knoten und je 2 Freiheitsgraden (DOF = 6)

Hier werden je Knoten nur

2 Verschiebungen

bzw.

2 Kräfte übertragen.

(Dieses Element war das erste finite Element, das 1956 erfunden wurde.)

Knoten i

j

finites Element


Joensson HTW Berlin Rechnerintern wird bei FEM je Freiheitsgrad 1 Gleichung aufgestellt,

d.h. für n Freiheitsgrade einer Bauteilstruktur wird ein Gleichungssystem

mit n Gleichungen für n Unbekannte aufgestellt und gelöst.

Z.B. entsteht bei einer FEM-Struktur mit 32 000 Knoten und 3 Freiheits-

graden je Knoten

ein Gleichungssystem mit 96 000 Gleichungen.

2.3 Arbeitsweise von ANSYS Classic

Mehrere Programmteile („Prozessoren“).

Zu einer statischen Festigkeitsanalyse gehören z.B. drei Prozessoren:

1. Preprozessor

zur interaktiven Modellierung der FEM-Struktur einschließlich

Vernetzung in finite Elemente

sowie Eingabe der Lagerungen und Belastungen

2. Berechnungsprozessor oder „Solver“

zur rechnerinternen Lösung des Gleichungssystems mit n Unbe-

kannten (für n Freiheitsgrade des FEM-Modells)

3. Postprozessor

zur interaktiven Auswertung der Berechnungsergebnisse (Spannun-

gen und Verformungen)


Joensson HTW Berlin

2.4 Arbeitsweise von ANSYS Workbench

Moderne Software-Oberfläche mit eigenständigen Programmen.

Zu einer statischen Festigkeitsanalyse gehören die Programme:

Design Modeler

sowie

zur Geometrie-Erstellung der Bauteile

inklusive CAD-Import

Mechanical FEM-Programm mit

Preprozessor

Solver (mit Ansys-Classic-Algorithmen)

und Postprozessor

Jedes Berechnungsbeispiel wird als Projekt behandelt.

Zu jedem Projekt werden vom Programm eigenständige Dateien angelegt:

Name.wbdb Workbench-Datenbasis zur Projektbeschreibung

Name.agdb Geometriedaten vom Design Modeler

(dessen Vorgängerprogramm hieß AGP – Analysis

Geometry Processor)

Name.dsdb FEM-Strukturdaten der Berechnung

(Design Simulation Datenbasis)

usw.


Joensson HTW Berlin

2.5 Element-Typen in ANSYS

2.5.1 Classic-Version

Enthält mehr als 200 Element-Typen. Alle Elemente im Überblick:

Ansys-Classic starten > Oben Help > Table of Contents > Element

Manual > Chapter 3.2 Pictorial Summary

Zum Beispiel:

Plane 42

Ebenes Scheibenelement mit 4 Knoten

und 2 Freiheitsgraden je Knoten

DOF = 4 · 2 = 8

DOF = 24

Shell 63

Ebenes Schalenelement mit 4 Knoten

und 6 Freiheitsgraden je Knoten

mit Verdrehungs-Freiheitsgraden

rotx bis rotz

DOF = 30

Solid 92

Tetraeder mit Seitenmittenknoten

10 Knoten

3 Freiheitsgrade je Knoten

ohne Verdrehungs-Freiheitsgrade

DOF = 24

Solid 45

„Brick“-Element (Hexaeder)

8 Knoten

3 Freiheitsgrade je Knoten

uy

uz

ux

uy

uz

ux

uy

ux

uz rot z

rot y rot x

ux uy


Joensson HTW Berlin

Beam 188

Balken-Element mit 2 Knoten

6 Freiheitsgrade je Knoten DOF = 12

Beam 189

Balken-Element mit 3 Knoten

6 Freiheitsgrade je Knoten DOF = 18

usw.

Die Element-Typen müssen vom Nutzer des Classic-Programms selbständig

ausgewählt und explizit aktiviert werden.

2.5.2 Element-Typen in Workbench

Vier spezielle Element-Typen werden vom Programm automatisch ent-

sprechend der geometrischen Form des Bauteils zugeordnet.

Die Element-Beschreibungen dazu sind nur in der Classic-Hilfe zu finden.

Linienkörper Beam 188 DOF = 12

Flächenkörper Shell 181

ebenes Element

= Shell 63 + nichtlineare Festigkeits- eigenschaften (insbesondere werden große Verzerrungen genauer berechnet)DOF = 24

Volumenkörper Solid 187

= Solid 92 + nichtlineare Festigkeits- eigenschaften DOF = 30

bzw. Solid 186

Hexaeder mit 20 Knoten und 3 Freiheitsgraden je Knoten + nichtlineare Festigkeitseigenschaften DOF = 60

i

j m

ux rot x

i

j


Joensson HTW Berlin

2.6 Typische Bearbeitungsschritte bei FEM

Welche Daten braucht das FEM-Programm zur Berechnung?

1.) Element-Auswahl

je nach Bauteil-Form:

Balken, Schalen, Volumenelemente, elastische Federn …

2.) Koordinaten-Angaben

a) Struktur-Koordinatensystem (SKS)

xyz frei wählbar

b) Knoten-Koordinaten im SKS

3.) Element-Daten

a) Geometrische Kennwerte

z.B. Querschnittsdaten bei Balken oder Dicke bei Scheiben, Plat-

ten und Schalen

b) Material-Kennwerte: werkstoffabhängig

z.B. E-Modul, Querkontraktionszahl ν , Dichte ρ ….

4.) Lagerungen „kinematische Randbedingungen“

Festlager, Loslager, Hülsenlager, feste Einspannungen

5.) Belastungen „kinetische Randbedingungen“ im SKS!

d.h. Zerlegung schräg angreifender Einzellasten in SKS-Komponenten

x z

y

x z

yF Fy Fz

Fx

1 2

3

x

z

y


Joensson HTW Berlin

2.7 Maßeinheiten

! Größte Fehlerquelle bei der Daten-Eingabe!

In älteren FEM-Programmen war die Eingabe von Zahlen ohne Maßeinheiten

üblich, so auch in Ansys-Classic.

Die Basis dafür ist das Einheitensystem MKS (Meter-Kilogramm-Sekunde).

Diese Einheiten führen automatisch auf die Kraft-Einheit

1 N = 1 2

kgm

s

Daraus folgen die mechanischen Spannungen in N/ 2m = Pa (Pascal),

ebenso gilt dann Pa für den E-Modul, für Drücke und Flächenlasten.

Des Weiteren folgt aus dem MKS die Dichte ρ in kg/ 3m .

Im Maschinen- und Fahrzeugbau wird jedoch als Längeneinheit Millimeter

unter Beibehaltung der Krafteinheit Newton bevorzugt.

Dann aber folgt daraus wegen 1 N = 1 2

kgm

s =

3

2

kg · 10

s

mm =

2

Tonne ·

s

mm

die Masse-Angabe in Tonnen

und deshalb die Dichte in Tonne pro Kubikmillimeter: t / 3mm

Beispiel:

Die Dichte von Stahl ρ = 7,85 kg/ 3dm

lautet im System MKS wegen 3

kg

dm =

1 3(10 )

kg

m = 310 3

kg

m:

ρ = 7850 kg/ 3m

Im System mm-N-s entsteht aber wegen 3

kg

dm =

3

2 3

10

(10 )

t

mm

= 9103

t

mm

ρ = 7,85 · 910 t / 3mm


Joensson HTW Berlin Werden also in Ansys-Classic die Längenmaße in Millimeter eingegeben, so

muss dann die Dichte des Materials in t / 3mm eingegeben werden.

Wird dies nicht beachtet, wird das Bauteil 1 Milliarde mal zu schwer model-

liert!

Die daraus folgenden Spannungen sind dann um den Faktor 100 Milliarden

Prozent falsch.

Vorteil des Systems mm-N-s:

Die Spannungen werden in N/ 2mm = MPa (Mega-Pascal) ausgegeben.

Umrechnungs-Tabelle:

Der Zahlenwert muss im System M-K-S mm-N-s

Physikalische

Größe

übliche Maß-

einheit multipliziert werden mit

E-Modul

Druck

Flächenlast

usw.

N/ 2mm

„

„

610

„

„

1

„

„

FEM-Eingabe

Masse

Dichte

Beschleun.

usw.

kg

kg/ 3dm

m/ 2s

1

1000

1

310 (Tonnen)

910 ( t / 3mm )

1000 (mm/ 2s )

Ergebnisse Verformung

Spannung

usw.

mm

N/ 2mm

1000

610

1

1

um die übliche Maßeinheit zu erhalten.


Joensson HTW Berlin Beispiel:

Ein Stahl-Bauteil mit E-Modul = 2,1· 510 MPa und Dichte ρ = 7,85 kg/ 3dm

liefert infolge Eigengewicht (Erdbeschleunigung g = 9,81 m/ 2s ) mit FEM

berechnet: Max. Verformung maxv = 4,38 cm und max. Vergleichsspan-

nung maxV = 128,4 MPa.

Ges.:

Ein- und Ausgabe-Zahlenwerte a) für M-K-S und b) für mm-N-s

Lösung: M-K-S mm-N-s

E-Modul 2,1e11 2,1e5 *)

Dichte 7,85e3 7,85e-9

Erdbeschl. 9,81 9810

maxv 0,0438 43,8

maxV 0,128e9 128,4

*) in den meisten FEM-Programmen wird statt des Kommas ein Dezimalpunkt verwendet, in Workbench das Komma. e11 bedeutet 10 hoch 11.

In Ansys-Workbench sind Maßeinheiten voreingestellt.

! Aber: Wenn Sie als Nutzer bestimmte Werte extra eingeben - z.B.

Materialdaten eines neuen Werkstoffes – ist Vorsicht geboten!

Beispiel:

Bei den Werkstoffdaten soll eine neue Dichte des Materials ρ = 6,87 kg/ 3dm

eingetragen werden. Die Längenmaße sind in mm eingestellt.

Die Zahleneingabe 6,87 wäre extrem falsch (Fehler 100 Millionen %).

Richtig wäre: 6,87e-6

(weil in Workbench die Dichte-Eingabe in kg/ 3mm voreingestellt ist

im Maßeinheits-System mm-kg-N).


Joensson HTW Berlin

2.8 Spannungen

Mit Ansys sind folgende Spannungen für elastische Bauteile berechenbar:

3 Normalspannungen x , y , z

3 Schubspannungen x y , y z , z x

3 Hauptspannungen 1 , 2 , 3

sowie 2 Vergleichsspannungen: VG , VS

Auf S. 3 wurden bereits zwei Spannungsergebnisse eines Bauteils gezeigt ( VG Vergleichsspannung nach Mises und xy ).

Jede dieser 11 Spannungen weist andere Maximalwerte und Spannungs-

verteilungen auf – bei gleicher Geometrie und Belastung des Bauteils.

z.B. Normalspannung in Dickenrichtung des Beispiels von S.3:

Die Hauptspannungen können in

Ansys auch vektoriell dargestellt

werden:


Joensson HTW Berlin Die beiden Vergleichsspannungen in Ansys sind:

VG nach der Gestaltänderungsenergie-Hypothese GEH von

Huber, Mises und Hencky

VS nach der Schubspannungs-Hypothese von Tresca.

Beide Hypothesen sind für duktile Werkstoffe zutreffend.

Für spröde Werkstoffe ist allerdings die Vergleichsspannung VN nach

der Normalspannungshypothese besser geeignet. Dabei wird die 1.

Hauptspannung 1 als Vergleichsspannung verwendet.

Wozu dienen Vergleichsspannungen?

Siehe D. Joensson Vorlesungs-Script TM 2_39-45.pdf.

In festen elastischen Körpern entstehen je Bauteil-Punkt 6 Spannungs-

komponenten gleichzeitig:

3 Normalspannungen x , y , z und 3 Schubspannungen xy , yz , zx .

Diese 6 Komponenten werden von Ansys zuerst berechnet.

Jede Hauptspannung und jede Vergleichsspannung wird anschließend rech-

nerintern aus diesen 6 Spannungskomponenten berechnet.

Zum Beispiel lautet die Formel für die Vergleichsspannung VG nach

der GE-Hypothese für den dreiachsigen Spannungszustand:

VG = 2 2 2 2 2 213·( )

2 x y y z z x xy yz zx

bzw. kürzer geschrieben mit Hauptspannungen:

VG = 2 22

1 2 2 3 3 1

1

2


Joensson HTW Berlin Was sind Normal- und Schubspannungen?

Spannung allgemein: Schnittkraft pro Fläche Maßeinheit N/ 2mm

Normalspannung: Die Schnittkraft wirkt senkrecht auf der Schnittfläche

bzw.

Schubspannung: Die Schnittkraft wirkt tangential auf der Schnittfläche

bzw.

Bei schräg angreifender Schnittkraft ist die Zerlegung der Kraft in 3 Kompo-

nenten erforderlich:

=

Schnittfläche SA

Daraus folgen 3 Spannungen je Schnittfläche:

1 Normalspannung

hier z = S z

S

F

A

und 2 Schubspannungen

zy = S y

S

F

A

zx = S x

S

F

A

1. Index von : Richtung der Schnittflächen-Normale

2. Index: Richtung der Schubspannung

zxzy

z

FSz

FSx FSy

AS

FS

yx

z


Joensson HTW Berlin Bei einem Schnittwürfel mit 6 Schnittflächen entstehen damit 6 · 3 = 18

Spannungen: 6 Normalspannungen und 12 Schubspannungen.

Beispiel:

differentiell kleiner Schnittwürfel im

festen Körper mit 6 Normal-

spannungen infolge F

Aus Symmetrie- und Gleichgewichtsgründen sind jeweils 2 gegen-

über liegende Spannungen (paarweise) gleich groß, so dass 9 Spannungen

übrig bleiben:

3 Normalspannungen

x y z

normal (senkrecht)

zur x, y und z-Richtung

und

6 Schubspannungen

x y x z

y x y z

z y z x

(auf den Rückseiten des Schnitt- würfels befinden sich hier die gleichen Schubspannungen

x y bis z y jeweils entgegen gesetzt gerichtet).

zy

xy

xz

zx

yz

yx

z

y

x

x z

y

x

x

z

z

y

y

z

y

x

F


Joensson HTW Berlin Diese 9 Spannungen bilden die 9 Komponenten des „Spannungstensors“

fester elastischer Körper.

Jeweils 4 dieser Schubspannungen bilden entgegen gesetzt drehende Kräfte-

paare, z.B. um die x-Achse:

Hier wirkt das horizontale Kräftepaar links-

drehend und das vertikale Kräftepaar rechts-

drehend.

(Kraft = Spannung i j mal Schnittfläche dA)

Weil in festen Körpern keine rotierenden Teile enthalten sein können,

müssen alle 4 Schubspannungen gleich groß sein.

Das gilt ebenso für die zwei anderen Koordinatenachsen.

Daraus folgt die so genannte

„Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen“ i j = j i

an senkrecht zueinander stehenden Flächen,

d.h. x y = y x y z = z y z x = x z

Die 6 Schubspannungen können also durch 3 Schubspannungen vollständig

beschrieben werden: x y y z z x

Das heißt, der komplette Spannungszustand je Bauteil-Punkt (Schnittwürfel

∞ klein) wird vollständig beschrieben durch

3 Normalspannungen x , y , z

und 3 Schubspannungen x y , y z , z x bezüglich x, y, z.

Diese 6 Spannungen sind gleichzeitig vorhanden und werden in Ansys nur

einzeln dargestellt.

zy

yz yz

zy


Joensson HTW Berlin Jede Normalspannung an einem Bauteil-Punkt ist stets ein „zweiseitiger

Vektor“ mit positivem oder negativem Wert.

Positiv bedeutet Zugspannung (am Bauteilpunkt ziehend), negativ bedeutet

Druckspannung (am Bauteilpunkt drückend).

Positive Normalspannungen wirken demzufolge lokal streckend, negative

Normalspannungen lokal stauchend.

Die 3 Schubspannungen dagegen sind „Vierer-Spannungen“ mit jeweils 4

gleichen Schubspannungen und einem gemeinsamen Wert am Bauteil-Punkt.

Schubspannungen wirken ausschließlich verzerrend (aus ursprünglich rechten

Winkeln werden schiefe Winkel), z.B.:

oder

Bei positivem und negativem Schubspannungswert sind lediglich die Span-

nungsrichtungen vertauscht und damit die Verzerrungshauptachsen.

! Zug oder Druck gibt es bei Schubspannungen nicht!

Positive bzw. negative Schubspannung bedeutet:

Im aktuellen Koordinatensystem ist der Anstieg der längeren Diag-

onale des verzerrten Rechteckes positiv bzw. negativ.

z.B.

Verzerrung in der x-z-Ebene infolge

positiver Schubspannung x z

x

z


Joensson HTW Berlin Beispiel: Ebener Spannungszustand (ESZ) einer dünnen Scheibe

Voraussetzung:

Belastung nur in der

Scheibenebene x-y

Beim ESZ hat das Schnittelement nur 4 Schnittflächen (senkrecht zur Schei-

benebene).

Das heißt, hier gibt es nur 2 Normalspannungen x und y sowie 1 Schub-

spannung x y :

Spannung in 3 ausgewählten Punkten a, b und c

x in a, b und c y in a, b und c

(in Richtung der Achse x)

F

y

x

a

b

c

F

y

x

a

b

c

xy

yx

yx = xy

xy x

x

y

y

F

z x

y


Joensson HTW Berlin In Ansys wird jedem Spannungswert ein Farbwert zugeordnet farbige

Spannungsverteilung an Stelle vektorieller Darstellung für x und y .

Wird nun das Koordinatensystem gedreht, entstehen in jedem Bauteilpunkt

des gleichen Bauteils andere (!) Werte für die Spannungen:

z.B. x

in Richtung der neuen Koordinate x

in den Punkten a, b und c

sowie

x y im Punkt d

Welche Spannungswerte sind nun zutreffend?

oder

Was sind Hauptspannungen?

In jedem Bauteil-Punkt ist eine 1 optimale Koordinatenlage vorhanden, bei

der die Spannungen extrem werden (extrem groß und extrem klein).

Bei einem bestimmten Winkel 1

(hier von x nach y drehend) gibt es

eine Hauptachse 1

mit 1 (max. Normalspannung)

und

senkrecht dazu eine Achse 2 mit 2

(min. Normalspannung)

im ESZ.

1 y

x

1 1

2

1

2

2

F

y

x

a

b

c

d


Joensson HTW Berlin Beim allgemeinen räumlichen Spannungszustand stehen 3 Hauptachsen

senkrecht zueinander mit den Spannungen

1 ≥ 2 ≥ 3

Bei den Haupt-Flächenträgheitsmomenten der Festigkeitslehre gibt es je

Fläche nur 1 Hauptachsenlage im Flächenschwerpunkt:

z.B.

x und y frei wählbar

1 nicht frei wählbar

Bei den Spannungen jedoch sind im Bauteil ∞ viele Hauptachsenlagen

möglich! (Für jeden Punkt des Bauteils eine andere Lage).

Beispiel: 1. Hauptspannung

ähnlich wie auf S.15

Die größte Hauptspannung 1 entspricht einem „Vektorfeld“ (mit „zweisei-

tigen Bivektoren“), dessen Richtung und Stärke den so genannten Kraftfluss

markiert.

F

12

S

1

x

y


Joensson HTW Berlin

Senkrecht zum Kraftfluss:

2. Hauptspannung,

nochmals senkrecht dazu:

3. Hauptspannung

Die beiden wichtigsten Spannungen sind:

1.) Die Hauptspannung 1 als Kraftfluss-Repräsentant

sowie

als Vergleichsspannung VN nach der Normalspannungs-Hypothese

für spröde Werkstoffe

2.) Die Vergleichsspannung VG

(die so genannte „von Mises-Spannung“)

nach der Gestaltänderungsenergie-Hypothese für duktile Werkstoffe

Fazit zu den Spannungen:

Normal- und Schubspannungen sind „subjektiv beeinflusste“ Spannungen,

weil sie vom gewählten Koordinatensystem x-y-z abhängig sind.

Sie werden stets zuerst berechnet.

Die daraus abgeleiteten Haupt- und Vergleichsspannungen sind „objektive“

Spannungen,

weil sie unabhängig von der subjektiven Wahl des Koordinatensystems sind.

1

2

3

Kraftfluss


Joensson HTW Berlin Die analytische Berechnung der Spannungen für kompakte elastische Körper

ist außerordentlich kompliziert.

Die theoretischen Herleitungen dazu wurden beginnend im 18. Jahrhundert

im Laufe von 150 (!) Jahren im Rahmen der Elastizitätstheorie entwickelt.

Augustin Louis CAUCHY hat zwischen 1823 bis 1827 als Erster die 6 Span-

nungen in der heute üblichen Form beschrieben und gezeigt, dass dafür 3

partielle Differenzialgleichungen gültig sind:

0y xx z x Xx y z

0x y y z y Yx y z

0y zx z z Zx y z

(mit X,Y,Z : Volumenkräfte in 3/N mm am Schnittwürfel)

und dass die Spannungen ohne gleichzeitige Ermittlung von 6 Dehnungen

(siehe Kapitel 2.9) nicht berechenbar sind, weil sich Dehnungen und Span-

nungen gegenseitig bedingen.

Dazu kommen noch 3 Verschiebungen, die untrennbar mit den 6 Dehnungen

verknüpft sind (auch dazu hat Cauchy die ersten Grundlagen geliefert).

Somit müssen im 3-dimensionalen Fall 15 Unbekannte aus 15 partiel-

len Differenzialgleichungen ermittelt werden, wobei jede dieser Unbe-

kannten von den Koordinaten x, y, z abhängig ist.

Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts wurden dann die maßgeblichen Formeln

der Elastizitätstheorie von zahlreichen Mathematikern detailliert aus-

gearbeitet.


Joensson HTW Berlin Auf dieser Grundlage hat schließlich 1898 Gustav Kirsch erstmalig die Span-

nungsverteilung eines gekerbten Bauteils komplett analytisch berechnet, und

zwar für eine unendlich große Scheibe mit kreisförmiger Bohrung und

ebenem Spannungszustand.

Dies entspricht der Workbench-Übung W2 Genau A für den Sonderfall

2r/H 0, d.h. Durchmesser 2r << Breite H (siehe dort Blatt 7).

Die analytische Lösung max = 3 · n konnte Gustav Kirsch nur ermitteln,

weil die Spannungen am unendlich entfernten Rand auf Null abgeklungen

sind.

Auch heute noch gilt:

Analytisch exakt zutreffende Lösungsformeln der Elastizitätstheorie sind nur

für einfachste Bauteilformen und Belastungen bekannt.

Technische Bauteile mit ihren endlichen Abmessungen, typischen Ab-

sätzen, Bohrungen und sonstigen Kerben sind analytisch exakt nicht (!)

berechenbar.

Um diese Problematik zu umgehen, wurden im 20. Jahrhundert umfangreiche

numerische Verfahren einschließlich FEM entwickelt.

Erst damit ist die heutige komfortable Ermittlung der Spannungen möglich –

einschließlich 3D-Präsentation der Berechnungsergebnisse.


Joensson HTW Berlin

2.9 Elastisches Materialverhalten

2.9.1 Einleitung

Ansys ermöglicht die Berechnung von Bauteilen mit unterschiedlichsten

Materialeigenschaften:

elastisch, plastisch, viskoelastisch, hyperelastisch.

Standardmäßig ist in Ansys isotrop elastisches *) Materialverhalten vor-

eingestellt.

! Bauteilberechnungen für nicht-elastische Materialien erfordern

zusätzliche Kenntnisse und einen deutlich höheren Aufwand für die

Eingabe, Durchführung und Auswertung der Berechnungen.

Für isotrop elastisches Materialverhalten werden nur 2 Konstanten E und ν

(griechisch: ny) als Eingabedaten benötigt:

1.) Elastizitätsmodul E in MPa oder in GPa

2.) Querkontraktionszahl ν dimensionslos

Daraus folgt der Gleitmodul G = 2 · (1 )

E

in MPa oder in GPa,

so dass auch E und G als alternative Eingabe möglich wäre.

In den meisten FEM-Programmen ist jedoch (wie in Ansys) die Eingabe mit

E und ν üblich.

*) isotrop bedeutet: Gleiche Materialeigenschaften in allen Richtungen x, y, z

im Unterschied zu orthotrop: Verschiedene Materialeigenschaften in zwei senkrecht

zueinander stehenden Richtungen (z.B. Kieferholz)

bzw. anisotrop: Verschiedene Materialeigenschaften in allen 3 Richtungen


Joensson HTW Berlin 2.9.2 Der E-Modul

ist im Sonderfall des ein-achsigen Spannungszustandes der Proportionalitäts-

faktor zwischen Spannung und Dehnung :

= E · Hookesches Gesetz

bzw.

ist E der Anfangs-Anstieg im Spannungs-Dehnungs-Diagramm der Werk-

stofftechnik:

E = tan

Beispiele:

Für alle Stahlsorten gilt einheitlich : E = 2,1 · 510 2/N mm = 210 GPa

Gusseisen = 60 … 180 GPa

Aluminiumlegierungen ≈ 70 GPa

Titan = 110 GPa

Kupfer = 120 GPa

Plexiglas ≈ 3 GPa (Plaste-Lineal)

Kohlenstofffaser 380 … 550 GPa

0 0


Joensson HTW Berlin 2.9.3 Die Querkontraktionszahl ν

zeigt an, wie viel Querdehnung bei Längsbeanspruchung entsteht.

Längsdehnung L = O

O

= O

Querdehnung Q = O

O

b b

b

=

O

b

b

(negativ)

Jedes Material zeigt bei elastischer Beanspruchung ein konstantes Verhältnis

dieser beiden Dehnungen:

ν = - Q

L

Dabei gilt stets für alle elastischen Materialien:

0 < ν < 0,5

z.B. Gummi ν = 0,5 (größtmöglicher Wert)

Stahl ν = 0,3

Gusseisen ν = 0,25

Titan ν = 0,35

ebenso Aluminium, Kupfer und Plexiglas (!)

Beton ν ≈ 0,15

ν heißt auch Poissonsche Zahl.

Der Kehrwert 1 / wird Poissonsche Konstante m genannt.

F b0F

ℓ

ℓ0

b


Joensson HTW Berlin

2.9.4 Der Gleitmodul G (auch Schubmodul genannt)

ist der Proportionalitätsfaktor zwischen der Schubspannung und dem

„Verzerrungswinkel“ :

= G · Hookesches Gesetz für Schub

analog zu = E · für Zug-Druck

mit : Abweichungswinkel vom rechten Winkel

In der Festigkeitslehre (Technische Mechanik, Kapitel Torsion) wird G

verwendet, um den Verdrehwinkel φ von tordierten Balken zu berechnen,

z.B. gilt für einen einseitig fest eingespannten zylindrischen Balken (mit

Kreisquerschnitt) der Länge :

φ ( ) = t

p

M

G I

infolge Torsionsmoment tM

mit dem polaren Flächenträgheitsmoment pI .

Daraus folgt der Verzerrungswinkel auf der Oberfläche des Balkens mit

Radius r des Querschnittes: = r

· φ

Das Hookesche Gesetz für Schub liefert schließlich max = t

p

M r

I

= t

t

M

W

In der Elastizitätstheorie und in FEM wird G verwendet, um aus berechne-

ten Winkelverzerrungen i j die Schubspannungen i j im x-y-z-System zu

ermitteln:

12

12

2

liefert


Joensson HTW Berlin 2.9.5 Das Hookesche Gesetz für den dreiachsigen Spannungszustand

(und isotrop elastisches Materialverhalten gemäß Elastizitätstheorie)

a) Sonderfall einachsig

z.B. nur Normalspannung in x-Richtung

x = E · x

mit Dehnung in x-Richtung,

weil hier eine Längenänderung

in x-Richtung auftritt.

bzw. x = 1

E · x

In y- und in z-Richtung entsteht gleichzeitig Querdehnung:

y = - ν · x (wegen ν = - /Q L auf S. 29)

also y = - E

· x

und z = - E

· x

Das heißt, die eine Spannung x erzeugt drei Dehnungen x , y , z .

b) Normalspannungen in drei Richtungen

Infolge y entsteht jetzt zusätzlich

y = 1

E · y „Normaldehnung“

x = - E

· y „Querdehnung“

z = - E

· y

x

xy

y

z

z

x

xz

x

y


Joensson HTW Berlin

und infolge z : z = 1

E · z

x = - E

· z

y = - E

· z

In Summe:

x = 1

E · x -

E

· y -

E

· z

y = - E

· x +

1

E · y -

E

· z

z = - E

· x -

E

· y +

1

E · z

bzw. in Matrix-Schreibweise:

x

y

z

= 1

E

1

1

1

· x

y

z

oder umgeformt nach i :

x

y

z

= (1 ) · (1 2 )

E

1

1

1

· x

y

z

↑ ↑ ↑ „Normal-

Spannungs-Vektor“

Nder Normal-spannungen

Matrix E als Verallgemeinerung des

E-Moduls unter Einbeziehung der Querkontraktion

„Normal-Dehnungs-vektor“

N der Normal-dehnungen


Joensson HTW Berlin c) Schubspannungen

x y = G · x y

y z = G · y z

z x = G · z x

! Hier gibt es keine Quereffekte wie bei i und i .

In Matrix-Schreibweise:

x y

y z

z x

=

0 0

0 0

0 0

G

G

G

·

x y

y z

z x

↑ ↑ ↑ „Schub-

spannungs-Vektor“

„Gleit-modul-Matrix“

G

„Winkel- verzerrungs- vektor“

bzw. mit

G = G ·

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= 2 · (1 )

E

·

1 0 0

0 1 0

0 0 1

( mit G von S. 27)

= (1 ) · (1 2 )

E

·

(1 2 )

2

·

1 0 0

0 1 0

0 0 1

und somit

G = (1 ) · (1 2 )

E

·

(1 / 2) 0 0

0 (1/ 2) 0

0 0 (1/ 2)

jetzt mit dem gleichem Vorfaktor wie in der Matrix E auf S. 32.


Joensson HTW Berlin Die 6 Gleichungen für x bis z x in Abhängigkeit von x bis z x können nun auch gemeinsam geschrieben werden:

x = … · x + … · y + … · z + 0 · x y + 0 · y z + 0 · z x

…

z x = 0 · x + … + 0· x y + 0 · y z + G · z x


x

y

z

x y

y z

z x

= E ·

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 (1 / 2) 0 0

0 0 0 0 (1/ 2) 0

0 0 0 0 0 (1/ 2)

·

x

y

z

x y

y z

z x

↑ ↑ ↑

H

„Hookesche Matrix“

für isotrop elastisches Materialverhalten dreidimensionaler

Körper mit dreidimensionalem Spannungszustand

und E = (1 ) · (1 2 )

E

als Vorfaktor

sowie : Spannungsvektor der 6 Spannungen und : Dehnungsvektor

bzw. kompakt geschrieben:

= H · Hookesches Gesetz in Matrixform

Zur Programmierung bestens geeignet!

Die Matrix H enthält nur die beiden eingangs erwähnten Materialkonstan-

ten E und . (Im anisotropen Fall sind 21 Konstanten erforderlich).


Joensson HTW Berlin

3. Finite Elemente für elastische Bauteile

3.1 Verschiebungen oder Spannungen als Hauptunbekannte

Festigkeits- und Schwingungsberechnungen

analytisch exakt

z.B.

mittels partieller

Differenzial-

gleichungen

↓

exakte Berechnung

nur für einfache

Bauteilformen

möglich

numerische Näherungsverfahren

z.B.

- Differenzenverfahren (Finite Difference Method FDM)

- Übertragungsmatrizenverfahren ·

· ·

- FEM

für Verschiebungen als Hauptunbekannte

für Spannungen als Hauptunbekannte

für gemischte Größen (hybrid) ·

· ·

- Randintegralmethode (Boundary Element Method BEM)

Speziell für elastisches Materialverhalten gilt die Elastizitätstheorie.

Dabei entstehen je Bauteil-Punkt maximal 15 partielle Differenzialglei-

chungen für 15 Unbekannte:

3 Verschiebungen v x v y v z

6 Spannungen x y z x y y z z x

6 Dehnungen x y z x y y z z x


Joensson HTW Berlin Lösungsstrategie dazu:

1.) Festlegen von Hauptunbekannten (Spannungen oder Verschiebungen)

2.) Umstellen aller Gleichungen so, dass nur noch Hauptunbekannte ent-

halten sind.

3.) Berechnung der Hauptunbekannten

4.) Daraus abschließende Berechnung aller anderen Unbekannten

(In der Dynamik z.B. werden die frei wählbaren hauptunbekannten Koor-

dinaten je Freiheitsgrad als „generalisierte“ Koordinaten bezeichnet).

Außerdem gibt es in der Technischen Mechanik zwei Möglichkeiten zur

Formulierung der Ausgangsgleichungen:

a.) differenziell z.B. die Biege-Differenzialgleichung für Balken

b.) integral z.B. Satz von Castigliano für Biegeverformung von

Balken mit gleichen Ergebnissen wie a.)

Diese Aufteilung ist auch in der Elastizitätstheorie zu finden:

Hauptunbekannte Typ der Ausgangs-

gleichungen Verschiebungen Spannungen

Typisches Näherungs- verfahren

differenziell

Gleichungen von

Lamé und Navier

Gleichungen von

Beltrami und Michell

FDM

integral

Prinzip der virtuellen

Verrückungen

(Minimum des elastischen

Potentials)

Prinzip der virtuellen Kräfte

(Minimum des „konjugierten“

elastischen Poten-tials)

FEM

darauf beruhen die meisten kommerziellen FEM-Programme


Joensson HTW Berlin

3.2 Verschiebungen als Hauptunbekannte

(berechnet aus dem Minimum des elastischen Potentials)

Das elastische Potential einer elastischen Struktur mit Volumen V und

Oberfläche A lautet:

= 1

v v 2

T T TV A

V V A

dV f dV f dA

elastische Form- potentielle Energie änderungsarbeit der äußeren Belastungen der Struktur

mit

Vektor der 6 Dehnungen x y z x y y z z x

Vektor der 6 Spannungen x y z x y y z z x

v Vektor der 3 Verschiebungen v x v y v z

Vf Vektor der 3 gegebenen Volumenkräfte Vxf Vyf Vzf

(Eigengewichte, Fliehkräfte … )

Af Vektor der 3 gegebenen Oberflächenkräfte Axf Ayf Azf

(Einzelkräfte, Flächenlasten … )

(hoch T bedeutet: transponiert Vektor-Zeile und Spalte getauscht).

Im Falle des statischen Gleichgewichtes wird das elastische Potential

mimimal.

Mathematische Formulierung: = 0

(die „1. Variation“ von wird Null)


Joensson HTW Berlin Daraus können rein formelmäßig die 3 unbekannten Verschiebungen

v =

v

v

v

x

y

z

in jedem Punkt des Bauteils als Hauptunbekannte berechnet werden.

Vorher müssen „nur“ die Vektoren und als Funktionen von v

geschrieben werden.

Dies führt auf ( v ) = 0 als Lösungsbedingung.

! Aber: Weil jedes Bauteil ∞ viele Punkte hat, ist diese Aufgabe für

technische Bauteilformen NICHT lösbar.

Ausweg: Nur Berechnung der Verschiebungen an ausgewählten Körper-

punkten.

3.3 Knoten-Verschiebungen als Hauptunbekannte

Damit ist lediglich eine endliche Anzahl von Verschiebungen zu berechnen.

Aufgabe lösbar (als numerische Näherung)

mit genau gleicher Anzahl von Gleichungen.

„Knotenstrategie“

(auch bei anderen Verfahren üblich)

F

F

M


Joensson HTW Berlin Speziell für die Methode der Finiten Elemente gilt, insbesondere mit

Verschiebungen als Hauptunbekannte:

Zerlegung des Bauteils in geometrisch einfache Elemente, die nur an

den Knoten miteinander verbunden sind.

Je Element wird rechnerintern ein Verschiebungsansatz mit einer

endlichen (finiten) Anzahl von Unbekannten verwendet.

Dieser Ansatz führt die kontinuierlich verteilten Verschiebungen ev

im Innern jedes Elementes e näherungsweise auf diskrete Knoten-

Verschiebungen eu zurück.

Beispiel: Finites Element mit 5 Knoten ( i bis m )

Im räumlichen Fall hat jeder Punkt im Innern des finiten Elementes 3 Ver-

schiebungen v x v y v z .

Jeder Knoten aber kann 6 mögliche Freiheitsgrade haben:

3 Verschiebungen v x v y v z

und 3 Verdrehungen x y z

„Knotenverschiebungen“

z

x

y i

j

ke

m vxj

vzjvyj

yj

xj

zj

vzvyvx


Joensson HTW Berlin Am Knoten j entsteht hier der Knotenverschiebungsvektor

juT = ( v x j v y j v z j x j y j z j )

Alle Knotenverschiebungsvektoren eines finiten Elementes bilden zusammen

den Element-Knotenverschiebungsvektor eu :

eu =

u

u

:

u

i

j

m

für die Knoten i bis m des Elementes

( eu enthält also hier 5 · 6 = 30 Unbekannte)

Im Unterschied dazu gibt es im Innern des finiten Elementes wegen der ∞

vielen Punkte 3 · ∞ viele Unbekannte vT = ( v x v y v z ).

Sämtliche Knotenverschiebungsvektoren einer FEM-Struktur mit nk Knoten

bilden den Struktur-Knotenverschiebungsvektor u :

u =

1

2

u

u

:

:

u nk

für den Knoten 1 der Struktur

Knoten 2 : : : Knoten Nr. nk

z.B.

enthält u bei einer Struktur mit 5.000 Knoten insgesamt 30.000 unbekannte

Knotenverschiebungen ( = Freiheitsgrade ), wenn je Knoten 6 Freiheits-

grade vorhanden sind.

Für diskrete Knotenverschiebungen geht die Lösungsbedingung ( v ) = 0

von S. 38 über in ( u ) = 0


Joensson HTW Berlin

Andere Schreibweise: (u)

u

= 0 mit Nullvektor statt Null

bzw. 1

v

x

= 0

1

v

y

= 0

: :

z nk

= 0

Das heißt, jede partielle Ableitung

von liefert

1 Gleichung je Freiheitsgrad.

Damit entsteht rechnerintern ein großes Gleichungssystem mit n Gleichun-

gen für die n unbekannten Knoten-Freiheitsgrade:

K · u = f

mit K Koeffizientenmatrix, quadrat.

u Unbekanntenvektor der Knotenverschiebungen

f Kraftvektor

der gegebenen Belastungen

Extremer Sonderfall: FEM-Struktur mit nur 1 Freiheitsgrad

Geg.: Federkonstante k und Belastung F

Ges.: Federweg x

Lösung: k · x = F liefert x = F

k

FEM für n Fr.grade: K · u = f liefert u = 1K · f

Bei mehr als 1 Freiheitsgrad muss eine Matrix invertiert werden, um die

unbekannten Knotenverschiebungen zu ermitteln.

F

k x

=

K u f


Joensson HTW Berlin

4. Festigkeitsberechnung mit FEM

Knotenverschiebungen u als Hauptunbekannte führen für elastische Bau-

teile auf ein Gleichungssystem K · u = f .

Dieses Gleichungssystem wird im Rechner automatisch aufgestellt und

gelöst. Ergebnis: u

4.1 Das Gleichungssystem für 1 finites Element

Einfachster Fall: Die FEM-Struktur besteht nur aus einem einzigen Element .

Dann lautet das Gleichungssystem:

eK · eu = ef

Beispiel: Dreieckelement mit ebenem Spannungszustand ESZ und 2 Freiheitsgraden je Knoten

Kontinuierliche Verschiebungen im Innern des Elementes für ∞ viele Punkte v x (x,y) , v y (x,y)

Diskrete Verschiebungen an den 3 Knoten:

uTe = ( v x i v y i v x j v y j v x k v y k )

uTi uT

j uTk

y

x

i

k

vyi

vxi

vyk

vxk

vxjj

vyj

p

vy

vx


Joensson HTW Berlin Verschiebungsansatz für dieses Dreieckelement:

v x (x,y) = 1a + 2a · x + 3a · y Verschiebung in x-Richtung

v y (x,y) = 4a + 5a · x + 6a · y in y-Richtung

„Linearer Verschiebungsansatz“

(weil x und y nur linear vorkommen) mit 6 Freiwerten ia für die

6 Freiheitsgrade des Elementes.

Damit wird im Innern des finiten Elementes eine lineare Verteilung der Verschiebungen postuliert:

v y ähnlich

Mit mehreren dieser finiten Elemente lassen sich auch nicht-lineare

Verschiebungs-Verteilungen näherungsweise abbilden:

x

y

vx

lineares Teilgebiet

FEM-Struktur

nichtlineare Verschiebungs- Verteilung

1

vx2

vx

2

3

x

y

y

x 1 1′ vx2

2′

3′

2

3


Joensson HTW Berlin Aus dem Verschiebungsansatz folgt mit

den Knotenkoordinaten,

den Materialkennwerten (E-Modul und Querkontraktionszahl)

und Scheibendicke

die „Federkonstante“ des finiten Elementes

in Form der so genannten

Elementsteifigkeitsmatrix eK .

Diese Matrix hat stets so viele Zeilen und Spalten wie das Element (Knoten-)

Freiheitsgrade hat:

eK eu ef gemäß S. 42

↑

unbekannte Element-Knotenverschiebungen

Teu = ( 1v x 1v y 2v x 2v y 3v x 3v y )

Demzufolge ist eK hier eine (6x6)-Matrix.

Diese Matrix wird stets vom Programm für jedes finite Element selbständig

erstellt.

=


Joensson HTW Berlin Dreieckelement mit 6 Knoten:

sowie ebenem Spannungszustand ESZ und 2 Freiheitsgraden je Knoten

Seitenmittenknoten

Verschiebungsansatz mit 12 Freiwerten erforderlich:

v x (x,y) = 1a + 2a · x + 3a · y + 4a · 2x + 5a · 2y + 6a · x· y

v y (x,y) = 7a + 8a · x + 9a · y + 10a · 2x + 11a · 2y + 12a · x· y

„Quadratischer Verschiebungsansatz“

(weil hier x und y quadratisch vorkommen).

Damit wird je Element eine quadratische Verschiebungs-Verteilung simu-liert:

bessere Näherung möglich mit weniger Elementen!

Allerdings entsteht dabei ein größeres Gleichungssystem mit 12 Gleichun-gen, also eine (12x12)-Matrix eK .

Fazit: Die Anzahl der Freiheitsgrade (DOF) je Element führt rechner-

intern je Element auf ein Gleichungssystem mit genau DOF

Gleichungen.

x

y

vxy

x

y

x


Joensson HTW Berlin

4.2 Das große Gleichungssystem für die Gesamtstruktur

Aus allen Elementsteifigkeitsmatrizen eK wird die wesentlich größere

Struktur-Steifigkeitsmatrix K durch Überlagerung aufgebaut.

Beispiel: Zwei finite Elemente mit nur 1 Freiheitsgrad je Knoten, weil hier z.B. jeweils nur Verschiebungen durch Loslager in

x-Richtung zugelassen werden. *)

u n Freiheitsgrade Hauptdiagonale = Symmetrielinie

K

K ist eine symmetrische Bandmatrix mit Bandweite bw , hier mit bw = 7.

*) Vorteil dieser Einschränkung: Je Dreieckelement entsteht dann nur eine (3x3)-Matrix eK und je Viereck eine (4x4)-

Matrix. Damit ist die Demonstration der Überlagerung einfacher.

22 … n21 20 19 18 1716151413121110987654321

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7 6

5

4

3

2

1

22 . . .

2 3 5

2

3

5

2

3

5

8 7

1

2

2 5 7 8

8

7

2

5

bw

Ke2

Ke1


Joensson HTW Berlin Die Bandweite bw ist nur abhängig von der Knoten-Nummerierung:

bw = n1 · (dif + 1)

mit n1: Anzahl der Freiheitsgrade an den Knoten der FEM-Struktur

und dif: größte vorkommende Differenz der Knotennummern in einem

der finiten Elemente der gesamten FEM-Struktur

Wegen dif = 6 und n1 = 1 entsteht auf S. 46 die Bandweite bw = 7.

Die Bandmatrix K enthält bei einer FEM-Struktur mit n Freiheitsgraden

jeweils nur n · bw relevante Matrixelemente.

Je schlanker K ist, um so weniger Rechenzeit wird benötigt, um die Matrix

zu invertieren für

u = 1K · f

z.B. mit dem Gaußschen Algorithmus. Der Rechenaufwand dafür beträgt

etwa

31

3n Rechenoperationen (RO)

bei vollbesetzter Matrix K für n Freiheitsgrade

Durch die Symmetrie der Matrix (die stets bei elastischen Strukturen auftritt)

genügt die Hälfte, also 31

6n RO.

Wird außerdem die symmetrische Bandstruktur der Matrix genutzt, so genü-gen

21 21

2 3

bwn bw

n

Rechenoperationen (RO)

zur kompletten Berechnung der unbekannten Verschiebungen u .


Joensson HTW Berlin Beispiel: FEM-Struktur mit 5000 Freiheitsgraden und Bandweite 400

Ges.: Berechnungsaufwand für 1K

Ohne Bandstruktur-Nutzung 315000

6 ≈ 20,8 Milliarden Rechenoperat.

Mit Bandstruktur-Nutzung 21 2 4005000 400 1

2 3 5000

≈ 380 Mio. RO

Das sind etwa 2 Prozent von 20,8 Milliarden Die Rechenzeit-Ersparnis

beträgt hier etwa 98 %.

! Die Bandweite ist nur abhängig von der Knoten-Nummerierung.

Diese Nummerierung wird heutzutage stets vor dem Lösen des Glei-

chungssystems in jedem FEM-Programm rechnerintern so optimiert,

dass bw minimal wird. Erst danach erfolgt die eigentliche Berechnung.

Weitere Voraussetzungen für die Lösung sind:

Kinematische Randbedingungen

Die Gesamtstruktur ist ohne Lagerung „schwerelos“ ( Luftballon-Effekt ).

Mathematische Konsequenz: Die Matrix K kann nicht invertiert werden -

- sie ist „singulär“.

Um das Gleichungssystem K · u = f berechnen zu können, müssen

alle Starrkörperbewegungen durch Lagerungen verhindert werden.

Das sind im Raum 3R mindestens 3 Verschiebungen und 3 Rotationen.

Kinetische Randbedingungen

Sämtliche Belastungen der Struktur (Einzelkräfte, Flächen- und Volumen-

lasten) werden rechnerintern auf Knoten-Einzelkräfte und Knoten-Einzel-

momente umgerechnet und im Kraftvektor f abgespeichert.

Dann erst ist u = 1K · f berechenbar.


Joensson HTW Berlin

4.3 Vom Verschiebungsansatz zur Elementsteifigkeitsmatrix

Auf Seite 44 wurde lediglich erwähnt, dass die Matrix eK als „Federkonstan-

te“ des finiten Elementes aus dem Verschiebungsansatz entsteht.

Ausgangspunkt dafür ist z. B. das elastische Potential e eines einzelnen

finiten Elementes analog zu auf Seite 37:

e = 1

v v 2

e e e

T T Te e e e V e e A e

V V A

dV f dV f dA

mit Index e für das Element (4.3.1)

Dieses Potential wird zunächst als Funktion der Verschiebungen (v )e e

geschrieben, indem die Vektoren Te und e als Funktionen von ve

formuliert werden.

Für die Dehnung gilt:

v e eD (4.3.2)

mit D Differenzialoperator-Matrix der „Cauchy-Gleichungen“

(wie diese Matrix konkret aussieht, wird speziell für den ebenen

Spannungszustand auf Seite 53 gezeigt)

bzw. e transponiert:

( v ) v T T T Te e eD D (4.3.3)

Für die Spannung gilt bei elastischem Materialverhalten (Seite 34):

e eH = v eH D (4.3.4)


Joensson HTW Berlin

Anschließend werden die Verschiebungen ve je Element durch die Knoten-

verschiebungen ue mit Hilfe des Verschiebungsansatzes ersetzt.

Das soll an dem Dreieckelement von Seite 42 mit ebenem Spannungszustand

und 2 Freiheitsgraden je Knoten 1 bis 3 demonstriert werden:

Der lineare Verschiebungsansatz von Seite 43 für dieses Dreieckelement

v x (x,y) = 1a + 2a · x + 3a · y

v y (x,y) = 4a + 5a · x + 6a · y

lautet in Matrix-Schreibweise v A a e e :

1

2

x 3

y 4

5

6

a

a

v a1 x y 0 0 0

v a0 0 0 1 x y

a

a

mit A Ansatz-Matrix und ea Vektor der Freiwerte je Element.

y

x

1

3

vy1

vx1

vy3

vx3

vx22

vy2

p

vy

vx

x1 x3 x2

y2

y1

y3

ev

ea

A


Joensson HTW Berlin Angewendet auf die 3 Knoten der Abbildung von Seite 50:

x1 1 1 1

y1 1 1 2

x2 2 2 3

y2 2 2 4

x3 3 3 5

y3 3 3 6

u 1 x y 0 0 0 a

u 0 0 0 1 x y a

u 1 x y 0 0 0 a

u 0 0 0 1 x y a

u 1 x y 0 0 0 a

u 0 0 0 1 x y a

mit eu Knoten-Verschiebungsvektor des Elementes und

KA Ansatz-Matrix für die Knotenkoordinaten

ix iy Knotenkoordinaten des Knotens i = 1, 2, 3

Aus e K eu A a folgt 1e K ea A u und einsetzen in e ev A a :

1Kv A A u e e

Das Matrix-Produkt 1KN A A heißt „Formfunktionsmatrix“.

Damit lautet der Verschiebungsansatz

v N u e e (4.3.5)

Im vorliegenden Fall ist N eine (2 x 6)-Matrix:

1

KN A A

1KA

A

Falksches Schema dieser Matrix-Multiplikation

eu KA ea


Joensson HTW Berlin Ergebnis für das Dreieckelement mit linearem Verschiebungsansatz:

1 2 3

1 2 3

n 0 n 0 n 0N

0 n 0 n 0 n

mit drei dimensionslosen Formfunktionen

1 1 2 3 3 2 2 3 3 2

1n n (x, y) x y x y y y x x x y

2 A

2 2 3 1 1 3 3 1 1 3


2 A

3 3 1 2 2 1 1 2 2 1


2 A

und der Dreieck-Fläche

1 1

2 2 2 3 2 3 1 3 2 1 3 2

3 3

1 x y1

A 1 x y 0.5 x x y x x y y y x x2

1 x y

Die Formfunktionen in haben generell die Eigenschaft, dass sie jeweils im

Knoten Nr. i den Wert 1,0 besitzen und in allen anderen Knoten jeweils den

Wert Null:

Der Verschiebungsansatz v N u e e (4.3.5) lautet hier ausmultipliziert:

v x (x,y) = 1 1 2 2 3 3n x,y u n x,y u n x,y u x x x

v y (x,y) = 1 1 2 2 3 3n x,y u n x,y u n x,y u y y y

1

3

2

1

3

2

1

3

21,0

1,0

1,0 n1 (x,y) n2 (x,y)

n3 (x,y)


Joensson HTW Berlin und transponiert:

v u N T T Te e (4.3.6)

Mit (4.3.3), (4.3.6), (4.3.4), (4.3.2) und (4.3.5) entsteht aus Gl. (4.3.1):

(u ) e e e (4.3.1a)

1u N N u u N u N

2

e e e

T T T T T T Te e e e V e e A e

V V A

D H D dV f dV f dA

Gemäß Elastizitätstheorie gilt nach Cauchy speziell für den ebenen

Spannungszustand:

xx

v

x

yy

v

y

yxxy

vv

y x

bzw. in Matrixform geschrieben:

x

x

yy

xy

0x

v0

vy

y x

oder kürzer als Gl. (4.3.2): v e eD wie auf Seite 49.

Die Matrix D enthält also nur die jeweils gültige Ableitungsvorschrift.

Deshalb heißt sie auch Differenzialoperator-Matrix.


Joensson HTW Berlin Des Weiteren kann das Matrix-Produkt ND in Gl. (4.3.1a) als

„Verzerrungs-Knotenverschiebungsmatrix“ B geschrieben werden:

v N u e e eD D bzw. B u e e

Damit wird Gl. (4.3.1a) zu

(u ) e e e (4.3.1b)

1u B H B u u N u N

2

e e e

T T T T T Te e e e V e e A e

V V A

dV f dV f dA

Die Vektoren u Te und ue können aus den Integralen herausgezogen werden:

(u )

1u B H B u u N + N

2

e e e

e e

T T T T Te e e e V e A e

V V A

dV f dV f dA

eK ef

bzw. 1

(u ) u K u u2

T Te e e e e e ef

mit eK Elementsteifigkeitsmatrix und ef Elementkraftvektor

an den Knoten des Elementes.

Das Minimum des elastischen Potentials wird erreicht mit

K u 0

ee e e

e

fu

und damit entsteht schließlich das Gleichungssystem je Element:

K u e e ef (4.3.7)

Bleibt nur noch die Matrix H zu klären in eK .

Speziell beim ebenen Spannungszustand gilt als Sonderfall des räumlichen

Spannungszustandes:


Joensson HTW Berlin

x x y2

E

1

y x y2

E

1

xy xy xy xy2

E E 1G

2 · (1 ) 21


x

y

x y

= 2

1 0E

1 01

10 0

2

·

x

y

x y

e = H · e (4.3.4) Seite 49

mit E und wie auf Seite 34 beim räumlichen Spannungszustand.

Die Matrix B D N in der Elementsteifigkeitsmatrix

e

Te e

V

K B H B dV (4.3.8)

ist im vorliegenden Fall eine (3 x 6)-Matrix:

so dass mit der (3 x 3)-Matrix H letztlich hier eine (6 x 6)-Matrix eK

entsteht, die genau so viele Zeilen und Spalten hat wie das finite Element

Freiheitsrade besitzt, siehe Seite 44.

B D N

N

D


Joensson HTW Berlin Das Volumen-Integral in eK kann hier für den ebenen Spannungszustand

durch die konstante Dicke s des Dreieckelementes mal Flächenintegral ver-

einfacht werden:

T Te

z y x y x

K B H B dx dy dz s B H B dx dy

Speziell für den linearen Verschiebungsansatz enthält die (3 x 6)-Matrix B

nur konstante Matrix-Anteile:

2 3 3 1 1 2

3 2 1 3 2 1

3 2 2 3 1 3 3 1 2 1 1 2

0 0 0

01

B D N2 A

0 0

y y y y y y

x x x x x x

x x y y x x y y x x y y

Damit kann hier das Integral als Faktor vorgezogen werden:

T Te

y x y x

K s B H B dx dy s dx dy B H B

also A

TeK s A B H B mit A Fläche des Dreieckes (S.52)

d.h. in diesem speziellen Fall kann die Matrix eK sogar ohne gesonderte

Integration berechnet werden.

Im allgemeineren Fall nichtlinearer Verschiebungsansätze und krummlinig

berandeter finiter Elemente muss zur Ermittlung von eK numerisch

integriert werden. Das erfordert zusätzliche Algorithmen, z.B. die „Gauß-

Legendre-Quadratur“.


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4.4 Spannungsberechnung

Gehört zum „Postprocessing“.

Ergebnis der Lösung des großen Gleichungssystems sind lediglich die Kno-

tenverschiebungen u der Gesamtstruktur. Die Spannungen werden anschlie-

ßend elementweise aus den Element-Gleichungen H H B u e e e

berechnet.

Zum Beispiel entstehen für das Dreieckelement mit linearem

Verschiebungsansatz wegen der konstanten Matrix B (S.56)

stets nur konstante Spannungsverteilungen je Element:

Im Unterschied zur linearen Verteilung der Verschiebungen v N u e e .

Alle Spannungskomponenten weisen hier „Sprünge“ an den Knoten auf,

während die Verschiebungen v x , v y , v z an den Knoten kompatibel sind.

Weiteres Beispiel:

Dreieckelement mit quadratischem Verschiebungsansatz

führt zu linearer Spannungsverteilung je Element:

Auch hier entstehen Spannungssprünge im Unterschied zur Verschiebung.

x

y

vx

x

y x

x

y x

2 1

3 x

yvx

21

3

usw.


Joensson HTW Berlin Generell gilt: Die Spannungsergebnisse sind stets ungenauer als die

Verschiebungsergebnisse (für Verschiebungen als Haupt-

unbekannte!)

Ursache dafür:

Die Spannungsberechnung aus Verschiebungen erfordert gemäß der Elastizi-

tätstheorie stets partielle Ableitungen infolge der Cauchy-Gleichungen.

Und Differenzieren einer Funktion bedeutet immer „Aufrauen“ der Funktion.

Nachträgliche Glättung der Spannungsergebnisse durch arithmetische Mitte-

lung aller Knotenspannungen je Knoten „Knoten-Mittelung“ der Span-

nungen. In Ansys Classic und in der Workbench werden standardmäßig die

Spannungen gemittelt präsentiert.

Die ungemittelten „originalen“ Spannungen können extra angezeigt werden.

Für Knoten am Rande der FEM-Struktur ist die Knoten-

Mittelung wirkungslos, wenn nur 1 Element vorhanden ist:

Je feiner die Vernetzung gewählt wird, je genauer wird allerdings auch die

Spannungsberechnung.

Spannungen dürfen nicht gemittelt werden bei

Materialunterschieden

abrupten Dickenänderungen von Flächenkörpern

Ankopplung von Balken an Flächenkörper

Die verschiedenen Bereiche sollten in diesen Fällen getrennt ausgewertet

werden.


Joensson HTW Berlin

5. Fehlermöglichkeiten bei FEM

- Modellierungsfehler

- Verfahrensfehler

- numerische Fehler

5.1 Modellierungsfehler durch FEM-Anwender

Zwei Idealisierungsschritte ( = Fehlerquellen):

reales Bauteil

mit Lagerung

und Belastung

( 1. )

mechanisches

Berechnungs-

modell

( 2. )

FEM-Struktur

↓ ↓ ↓

eventuell

Messergebnisse

der Verformung

analytische

Berechnung

nur für Sonder-

fälle möglich

Berechnungs-

ergebnisse

Typische Modellierungsfehler:

falsch verwendete Elementtypen: 2. Fehlerquelle

unsichere Randbedingungen: 1.

falsche Lastannahmen: 1.

schlechte Vernetzung: 2.


Joensson HTW Berlin Beispiel für unsichere Randbedingungen: Feste Einspannung (ist niemals absolut fest)

beidseitig verschraubt

Zwei Grenzwerte: a) gelenkig gelagert und b) fest eingespannt

Zu a)

Keine Drehsteifigkeit in den Lagern

analytische Lösung:

maxv = 31

6

F

E I

b) Drehsteifigkeit ∞

analytisch (3-fach statisch un-bestimmt)

*maxv =

31

24

F

E I

d.h. hier entsteht ein Ergebnis-Unterschied maxv / *maxv von 400 % (!)

allein durch Annahme bestimmter Lager-Eigenschaften.

Beispiel für falsch verwendeten Element-Typen:

Rotationssymmetrisches Element

(Ring-Element),

wenn die Belastung NICHT

rotationssymmetrisch ist.

Beispiel abgesetzte Welle: Vernetzung einer Querschnittshälfte genügt

y

x

Rotationsachse y

x

y

F

*maxv ℓ ℓ

F maxv

ℓ ℓ

F


Joensson HTW Berlin Nicht möglich wäre hier für rotationssymmetrische finite Elemente:

Biegebelastung

oder Torsion

Anwendbar aber wäre:

Zug-Druck in Längsrichtung der Welle,

Fliehkraftbelastung bei Rotation um die Längsachse y

oder gleichmäßige Flächenpressung durch Aufschrumpfen einer Hülse.

Dann nämlich ist auch die Belastung rotationssymmetrisch.

Das trifft hier bei Biegung und bei Torsion nicht zu.

5.2 FEM-Verfahrensfehler

Allgemein gilt: Finite Elemente mit Verschiebungs-Ansätzen führen

gegenüber der exakten mathematischen Lösung auf zu

große Steifigkeiten,

d.h. es werden zu kleine Verformungen und Spannungen ermittelt bzw. bei

Schwingungen entstehen zu große Eigenfrequenzen.

Die exakte Lösung ist ein „oberer Grenzwert“.

Beispiel:

max

0 20 40 60 80 100

max

F

F

theoretisch exakter Wert

mit FEM ermittelt mit nk: Knotenanzahl der FEM-Struktur

nk


Joensson HTW Berlin Mit zunehmender Knotenanzahl nk konvergiert die Verschiebungs-Lösung

„von unten“ auf den exakten Wert.

! Diese pauschale Aussage gilt jedoch nur für die GESAMT-Struktur!

Für lokale Gebiete (insbesondere bei Spannungskonzentrationen in der Nähe

von Kerben) kann das Gegenteil zutreffen:

Zu große Verschiebungs- und Spannungswerte.

Ursache für dieses merkwürdige Verhalten:

FEM ist ein „Gebietswertverfahren“.

Das Minimum der potentiellen Energie (Seite 37) wird aus der Summe

aller Element-Potentiale e abgeleitet:

e

Aus diesem folgt mit = 0 das Minimum min .

Die einzelnen Element-Potentiale e können jeweils größer oder kleiner als

die exakten Werte sein und trotzdem in Summe auf min führen.

Daraus folgt:

Jede FEM-Vernetzung führt auf Ergebnisse mit mathematisch nicht

erfassbarer Fehlerquote der lokalen Gebiete!

Nur pauschal gilt für die Gesamtstruktur:

Mit zunehmender Knotenanzahl werden die Ergebnisse genauer.


Joensson HTW Berlin Zwei prinzipielle Möglichkeiten für mehr Freiheitsgrade insgesamt:

1.) Netzverfeinerung (die Elementgröße h wird verringert)

(das ist die so genannte „h-Konvergenz“)

2.) Elemente mit mehr Knoten verwenden

(„p-Konvergenz“)

d.h. die Polynomordnung p der Ansatzfunktionen wird erhöht,

z.B.

an Stelle von

Beurteilung lokaler Konvergenz:

Mathematisch exakt nicht erfassbar.

Trotzdem gibt es programmtechnische Hilfsmittel.

Grundlage dafür sind die „Spannungs-Sprünge“ an jedem Knoten

(Kapitel 4.4, S. 57):

Knoten i mit * : max i

max. Spannungssprung am Knoten i

Rechnerinternes Fehlerkriterium:

Relativer Spannungssprung i an jedem Knoten

i = max

max ges

i

in %

mit max ges größte gemittelte Knotenspannung in der gesamten Struktur.

x

yx

*


Joensson HTW Berlin Der maximale relative Spannungssprung wird dann mit einem zulässigen

Fehler verglichen:

maxi ≤ zulf ?

Dieser Vergleich ist eine der möglichen Grundlagen

adaptiver Vernetzung

(„anpassende“ automatisierte Netzverfeinerung):

An den Knoten der FEM-Struktur mit i > zulf wird das Netz

vom Programm selbständig verfeinert, bis i ≤ zulf erfüllt ist.

In ANSYS Classic wird beim adaptiven Vernetzen an Stelle der Spannungs-

sprünge eine so genannte „Fehlerenergienorm“ verwendet.

Das ist ein spezielles Maß für die Unstetigkeit der Formänderungsenergie

von Element zu Element.

Die adaptive Netzverfeinerung endet standardmäßig nach 5 Berechnungs-

läufen (Verfeinerungen) und/oder wenn der Fehler kleiner als 5 % ist.

Die Anzahl der Berechnungsläufe und die Größe des Fehlers können vom

Nutzer verändert werden.

Nachteile der adaptiven Vernetzung:

1.) Die zulässige Fehlerschranke (z.B. 5 %) wird vom Nutzer willkür-

lich festgelegt bzw. akzeptiert

2.) Die berechneten „Fehler“ sind nur abstrakte Größen ohne Bezug auf

Messwerte

3.) Punktförmige Lasten und Lager führen zu Netzverfeinerungen, die

nicht gerechtfertigt sind, weil dort singuläre Spannungen entstehen.


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5.3 Numerische Fehler

Das sind Rundungsfehler infolge der endlichen „Verarbeitungsbreite“ der

Digitalrechner, z.B. 32 bit oder 64 bit.

Rundungsfehler gibt es

a) beim Lösen des Gleichungssystems

mit dem Gaußschen Algorithmus bzw. mit dessen Varianten, die in FEM-

Programmen verwendet werden.

Dabei werden stets auch Differenzen von Zahlen verarbeitet.

Differenzen etwa gleich großer Zahlen führen aber wegen der begrenzten

Verarbeitungsbreite zum Zwischenergebnis Null, wo keine Null hingehört.

Dieser Rundungsfehler wächst mit steigender Gleichungsanzahl (= Anzahl

der Knoten-Freiheitsgrade nk ):

zu viele Gleichungen

Ab einer bestimmten Gleichungsanzahl (oberhalb von 300.000 bis 500.000

Gleichungen bei 32 bit-Rechnern) werden die FEM-Ergebnisse zunehmend

ungenauer. 64 bit-Rechner zeigen diesen Genauigkeitsverlust erst bei noch

mehr Gleichungen.

max

0 0

theoretisch mögliche Konvergenz

exakt

Berechnete Verschiebung

Abfall der Genauigkeit durch Rundungsfehler

Knotenanzahl nk


Joensson HTW Berlin b) Rundungsfehler beim Aufstellen der Elementmatrizen

Bei Flächen- und Volumenelementen werden in der Element-Steifig-

keitsmatrix eK Koordinaten-Differenzen in quadrierter Form verwendet.

Zum Beispiel:

Viereck-Element

Ist x >> y oder y >> x , so entstehen dadurch in der Matrix eK

bereits Rundungsfehler.

Deshalb werden in den meisten FEM-Programmen Warnungen angezeigt,

wenn einzelne Elemente zu spitze Winkel haben oder zu langgestreckt sind:

Optimal sind gleichseitige Elemente:

x

y

x

y


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6. Spezielle FEM-Anwendungen

6.1 Nutzung von Symmetrien

Voraussetzung: Symmetrie der Geometrie und der Belastung!

Beispiel:

Berechnungsmodell:

Symmetrie- →

Randbedingungen

an jedem FEM-

Knoten des Randes,

← halbierte Einzel-

kraft, wenn F

auf der Symme-

trielinie liegt

d.h. die Verschiebung senkrecht

zur Symmetrielinie muss Null sein (Loslager)

Weiteres Beispiel:

Um hier die Neigung Null unter der Kraft korrekt zu erzeugen, muss zusätz-

lich die Verdrehung des Balkens verhindert werden.

Ansonsten entsteht

bzw.

FF

2

F

2

F

2

F


Joensson HTW Berlin Korrekt mit Verdrehung

in Schrägansicht:

Symmetrie-Randbedingungen

komplett.

Damit entsteht:

bzw.

Symmetrie-Randbedingungen sind also mindestens Loslager senkrecht zur

Symmetrielinie + verhinderte Verdrehungen.

Bei Flächen- und Volumenkörpern genügen dafür Loslager allein.

Beispiel für Mehrfach-Symmetrie:

Mögliche Berechnungsmodelle

bzw.

Rotations-Symmetrie: In jedem Axialschnitt entstehen gleiche Spannungen

Vorteile symmetrischer Berechnungen:

1.) Genauer, weil feinere Netze möglich sind.

2.) Die Ergebnisse sind exakt symmetrisch.

y

x

F

F F

F

2 Verdrehung Null

ebenes Modell

F / 2


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6.2 Belastung durch vorgegebene Verschiebung

Zum Beispiel:

Eine Einzelkraft wirkt an einem Knoten Nr. 3 eines Balkens.

= 100 N

3v

y = - 1.283 mm

Die Einzelkraft an diesem Knoten liefert hier eine Verschiebung in negativer

y-Richtung.

Gleiches Modell mit Ansys ohne Einzelkraft:

Mit Vorgabe einer Lagerverschiebung

von minus 1.283 mm in y-Richtung

Dadurch entsteht dieselbe Biegelinie mit denselben Biegespannungen:

Die mit Ansys berechnete Lagerkraft Fy beträgt hier exakt minus 100 N.

Das heißt: Knotenkräfte und Knotenverschiebungen können gegeneinander

ausgetauscht werden.

Das entspricht dem Eulerschen Schnittprinzip der Technischen Mechanik!

y

x

F y

x


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6.3 Submodelltechnik

Basiert auf dem Schnittprinzip wie in Kapitel 6.2.

Dient der nachträglichen genaueren Berechnung einzelner Regionen eines

FEM-Modells.

Zuerst Berechnung der gesamten Struktur mit einem „groben“ Netz, z.B.

Modell A )

Anschließend wird das schraffierte Gebiet als Submodell virtuell „herausge-

schnitten“ und feiner vernetzt, um die Kerbe genauer zu modellieren:

B ) C )

Richtwert für brauchbare Kerb-Vernetzung:

Mindestens 5 Knoten je Viertelkreis.

Die ursprünglichen Knoten werden als Lager mit vorgegebener Verschiebung

modelliert.

In Ansys werden dazu die berechneten Knotenverschiebungs-Ergebnisse u

aus der Grob-Berechnung verwendet.

Diese Knoten-Verschiebungen ergeben (ohne äußere Belastung!) dieselbe

Spannungsverteilung im Innern des Submodells B wie im Gesamtmodell A.

Kerbradius r

Rand 2 Rand 11 2 3

Kerbgrund F


Joensson HTW Berlin Damit das feiner vernetzte Submodell C genaue Ergebnisse liefert, müssen

die neuen Randknoten ebenfalls gelagert sein – mit interpolierten Verschie-

bungswerten aus der Grob-Berechnung,

z.B. am Rand 1 und 2:

Die Ergebnisse der „alten“ Knoten 1 bis 3 werden hier auf die neuen Knoten

51 bis 58 interpoliert, z.B. mit einer Parabelgleichung.

Die Anwendung der Submodell-Technik in Ansys erfordert bisher noch die

Eingabe von speziellen Skript-Anweisungen der Classic-Version in die

Workbench (mit Commands ähnlich wie in der Übung W10 Balken A).

Für die Classic-Version gibt es ein Beispiel Nr.8 in:

Müller,G., Groth, G.: FEM für Praktiker, Band 1, expert-Verlag, 7. Auflage

Die Submodell-Technik ist besonders vorteilhaft für Kerbspannungs-Berech-

nungen.

Sie könnte auch ohne programmtechnische Voraussetzungen realisiert wer-

den, allerdings mit einem gewissen Aufwand für die Interpolationen an den

Rändern des Submodells.

Im Unterschied dazu ist die nachfolgend beschriebene Substrukturtechnik

ohne Programm-Unterstützung undenkbar.

21 3 51 52 53 55 57 58

interpoliert

ux1 ux3 (alt)


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6.3 Substrukturtechnik

Bei großen FEM-Modellen können Teile der Struktur als Superelemente

definiert werden.

z.B. Substruktur ( = Superelement) Nr. 2 Koppelknoten zur nächsten Substruktur

(„Masterknoten“)

Jedes Superelement wird getrennt vernetzt.

Das zugehörige Gleichungssystem wird rechnerintern so verdichtet, dass nur

noch Gleichungen für die Freiheitsgrade der Masterknoten übrig bleiben.

Damit entsteht aus vielen finiten Elementen mit sehr vielen Freiheits-

graden jeweils nur 1 Superelement mit wenigen Freiheitsgraden.

Dann wird das gemeinsame Struktur-Gleichungssystem aus den Substruktur-

Gleichungen aufgebaut (für das obige Beispiel nur für 12 Masterknoten und 2

Lagerknoten).

Ergebnis der Berechnung: Nur Verschiebungen an den Masterknoten.

Daraus können anschließend alle anderen Verschiebungen und sämtliche

Spannungen in jedem Superelement berechnet werden.

Vorteile der Substrukturtechnik:

Nicht jede Region muss komplett berechnet werden

Die große Bandbreite des Struktur-Gleichungssystems (siehe S. 46)

wird durch wesentlich kleinere Bandbreiten der Teilsysteme ersetzt.

Daraus folgen erhebliche Rechenzeit-Verkürzungen.

Jede Substruktur kann nachträglich feiner vernetzt und erneut berech-

net werden

Nachteile der Substrukturtechnik:

Die programmtechnische Organisation ist aufwendig.

1 2

3 4


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7. Schwingungsberechnung mit FEM

für freie Schwingungen für erzwungene Schwingungen

(frei ausschwingend) z.B. mit harmonischer Anregung

„Modalanalyse“ „Harmonische Analyse“

7.1 Modalanalyse

Nur Berechnung der Eigenfrequenzen (natural frequencies) mit ihren zugehö-

rigen Schwingformen (natural modes).

Beispiel: Einseitig fest eingespannter Balken

hat theoretisch ∞ viele Eigenfrequenzen

Grundschwingung

1. Oberschwingung mit der 2. Schwingform

z.B. mit 2f = 48,9 Hz

3. Schwingform

z.B. mit 3f = 134,6 Hz

∞. Schwingform mit f = ∞ Hz

1. Schwingform für die 1. Eigenfrequenz, z.B. 1f = 7,68 Hz


Joensson HTW Berlin Bei Anregung mit Hammerschlag schwingt der Balken mit allen Eigen-

frequenzen gleichzeitig aus, deren Schwingformen sich dabei überlagern:

Die höheren Frequenzen werden dabei stärker gedämpft.

Bei Anregung des Balkens durch eine rotierende Unwucht mit einer Dreh-

zahl, die einer Eigenfrequenz entspricht, wird Resonanz erzeugt:

Der Balken schwingt dann mit der zugehörigen Schwingform

und stetig größer werdenden Amplituden!

Technisch interessant sind bei der Modalanalyse vor allem die niedrigsten

Eigenfrequenzen.

Nur diese können von technischen Geräten in erzwungenen Dauer-

schwingungen angeregt werden und führen dann zur Resonanz.

+

=


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7.2 Modalanalyse mit FEM

Bei statischer Berechnung wirkt die elastische FEM-Struktur wie eine elasti-

sche masselose Feder (siehe S.41):

k · x = F

K · u = f

für 1 Freiheitsgrad für n Freiheitsgrade

Bei Schwingungen ist zusätzlich die Masse erforderlich (bzw. die Dichte des

Materials wegen m = ρ · V ):

1 Freiheitsgrad

n Freiheitsgrade

m x + k x = 0

daraus

= k

m

und

f = 1

2

k

m

1 Eigenfrequenz

M x + K x = 0

mit Struktur-Massenmatrix M

daraus berechenbar:

n Eigenfrequenzen 1f bis nf mit ihren

n Schwingformen.

! Sehr aufwendig.

Nur praktikabel mit iterativer Berechnung für

die m untersten Eigenfrequenzen mit m << n

z.B. m = 10

Rechenzeit: Etwa m-fach zu einer statischen

Berechnung.

x1

x2

x

ux

uy

x F

k


Joensson HTW Berlin Zwei typische Irrtümer zur Modalanalyse mit FEM:

1.) Die dargestellten Auslenkungen der Schwingformen sind echte

Amplituden in mm oder in Metern

2.) Die farbigen Verteilungen zeigen dynamische Spannungen

Beides ist falsch!

Zu 1.) Jede Schwingform zeigt nur die möglichen Auslenkungen, wenn die

Struktur genau mit dieser Frequenz angeregt wird.

Diese „Auslenkungen“ sind stets nur relative, dimensionslose Zah-

lenwerte.

Praktisch relevant sind dabei die Schwingungsknoten und –bäuche.

Zu 2.) Dynamische Spannungen sind erst mit nachfolgender erzwungener

Schwingung berechenbar.

7.3 Erzwungene harmonische Schwingungen

Setzt Modalanalyse voraus.

Dann zusätzliche Angaben erforderlich zu:

Dämpfung

und Belastungs-Amplituden.

Beides ist oft unzureichend genau bekannt.

! Ungenaue Eingabedaten führen zu ungenauen Ergebnissen.

Die Modalanalyse zeigt bereits

1.) bei welchen Frequenzen Resonanzen auftreten

2.) wo in der Struktur bei diesen Frequenzen Schwingungsbäuche und

Schwingungsknoten vorhanden sind.


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8. Singuläre Spannungen

8.1 Punktförmige Lasten

Jede punktförmige Last ist eine „singuläre Störung“.

Dazu gehören auch punktförmige Lager, sehr spitze Kerben und Risse.

Derartige Singularitäten erzeugen theoretisch unendlich große Spannungen.

Beispiel:

F = 2000 N

Rechteck-Querschnitt

h = 100 mm

b = 1 mm

(Scheibendicke)

Analytische Berechnung der Biegespannung:

maxb = maxb

b

M

W mit bW =

2

6

bh = 1666,7 3mm

Lager freischneiden: … links: A yF = 3

8 F ↑ rechts BF =

5

8 F ↑

Damit maxbM = BF · 300 mm oder = A yF · 500 mm

maxbM = 375 000 Nmm

und maxb = 225 2/N mm max. Biegespannung

Die Biegespannung wirkt hier in x-Richtung ( x ), linear über y verteilt:

F Druck

Zug

100

300500 mm

x

y F


Joensson HTW Berlin Bei genauerer Betrachtung ist hier allerdings die „vertikale“ Spannung y an

der Lasteinleitungsstelle deutlich größer als die („horizontale“) maximale Biegespannung maxb :

Aus der Elastizitätstheorie folgt für eine Linienlast F = F

b über der Dicke b

eine radiale Druckspannung r in Abhängigkeit vom radialen Abstand r

und vom Winkel φ :

r (r, φ) =

2 1 cos F

r

Speziell für r = 0 entsteht r = - ∞ 2/N mm !

Typisch für derartige „singuläre“ Spannungen sind ∞ große Werte, die sehr

schnell in der Umgebung abklingen.

Das gilt auch hier für die

Druckspannungs-

verteilung r (r, 0)

über den Abstand r = 0

bis 100 mm

für φ = 0

F

r

50

r = 100 mm

= 0

r

r (r,0)

-100-300 -500

F

b

r

r = konst.

(isobar)


Joensson HTW Berlin Der dargestellte Spannungsverlauf r (r, 0) = y (r) hat folgende Daten:

r (r, 0) = 2 1

Fr

mit 2

F

= 2 2000

1

N

mm = - 1273 /N mm

und damit

r in mm 0,1 1 10 50 100

r in MPa -12 730 -1273 -127,3 -25,5 -12,7

10 mm unter der Lasteinleitung beträgt hier die Druckspannung in y-Rich-

tung noch 127, 3 MPa und am unteren Rand der Scheibe sind es 12,7 MPa.

Problem bei der FEM-Berechnung:

Auch die singulären Spannungen werden mit berechnet.

Dabei gilt:

Je feiner vernetzt, um so mehr wird das FEM-Programm dazu ange-

regt, mathematisch korrekt die ∞ großen Werte abzubilden.

! Aber:

In realen Bauteilen gibt es keine ∞ großen Spannungen !

Weil:

1.) Spannungen > mR das Bauteil zerstören

(mit mR = Zugfestigkeit)

2.) örtliche Spannungsspitzen durch 2 Effekte verhindert werden:

a) Mikrostützung des Materials

b) Makrostützung des Materials


Joensson HTW Berlin Zu a) Mikrostützung (nach Neuber)

Insbesondere bestehen Metalle aus Gefügeteilchen, die sich bei Belastung

gegenseitig abstützen.

Kontinuierliche Spannungsverläufe werden so zu „Treppenlinien“ mit

begrenzten Maximalwerten.

Beispiel:

Bauteil mit Kerbe

Zu b) Makrostützung (nach Neuber)

Bei Spannungen > eR (Streckgrenze oder Fließgrenze des Materials)

beginnt das Material plastisch zu „fließen“.

Dies führt zu Spannungs-

Umlagerungen in die

Umgebung der hoch

beanspruchten Bauteilzone

und damit

zur Absenkung der

Maximalspannung.

maxy : nur elastisch berechnet, maxy elastisch-plastisch berechnet

F

F

x

y

y

ymax

ymax

y

x

y

ymax

ymax begrenzt

Gefügeteilchen

für ∞ kleine Gefügeteilchen


Joensson HTW Berlin Die elastisch berechnete Spannung maxy ist nur korrekt, wenn diese Span-

nung kleiner als die Proportionalitätsgrenze p des Werkstoffes ist:

Nur bis dahin gilt das Hookesche Gesetz.

Jede mit elastischer FEM-Berechnung ermittelte Spannung größer als p

bzw. eR ist unrealistisch zu groß!

Fazit: Die Berechnung singulärer Spannungen mit FEM auf der

Basis des Hookeschen Gesetzes ist unrealistisch

Die Einleitung ∞ spitzer Lasten und Lager ist unrealistisch

Um trotzdem mit elastischer Berechnung realistische Ergebnisse zu erhalten,

gibt es folgende Möglichkeiten:

1.) Punktlasten flächenförmig verteilen

2.) Spannungen > eR ignorieren (bei der Ergebnis-Auswertung

ausblenden)

In beiden Fällen wird das „Saint-Venantsche Prinzip“ genutzt:

In hinreichender Entfernung von einer Belastung stellt sich ein

Spannungszustand ein, der unempfindlich gegen Veränderung der

Belastung ist, wenn dabei das statische Gleichgewicht erhalten bleibt.

Re P

Bruch

0 0

E (rein elastisch)

Rm


Joensson HTW Berlin Beispiel zum Saint-Venantschen Prinzip:

Fernbereich

Störungsgebiet (Nahbereich)

Die gezeigten Belastungen sind hier statisch gleichwertig (gleiche resultie-

rende Kraft).

Nur im Nahbereich der Lasteinleitung entstehen unterschiedliche Span-

nungsverteilungen, im „Fernbereich“ dagegen sind die Unterschiede nicht

mehr vorhanden.

8.2 Singuläre Spannungen an konkaven Kanten

Eckige Bauteile liefern an ihren konkav-eckigen Kanten singuläre Spannun-

gen.

Das gilt auch für die eckigen Kanten bei festen Einspannungen:

Alle anderen Kanten sind hier

konvex.

(konkav: „Kaffee einfüllen“)

Konvexe Kanten sind unkritisch, weil sie nicht den Kraftfluss stören.

Konkave Kanten sollten stets abgerundet werden!

Ansonsten entstehen wegen des Rundungsradius Null ∞ große singuläre

Spannungen.

F

F

F

= ≠

= ≠

konkav

konkav


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9. Plastisches Materialverhalten

9.1 Einleitung

Eine typische Spannungs-Dehnungs-Linie für Zugbeanspruchung zeigt z.B.

Baustahl S 235 (mit Streckgrenze eR = 235 MPa):

Bei Spannungen oberhalb eR beginnt das Material plastisch zu fließen, daher

auch die Bezeichnung pR - im Unterschied zur Proportionalitätsgrenze p ,

die nur anzeigt, bis zu welcher Spannung die Dehnung proportional ist.

1.) Elastisches Verhalten für < p

a) Die Spannung ist proportional zur Dehnung (Hookesches Gesetz)

b) Bei Entlastung entsteht vollkommene Rückfederung auf = 0.

2.) Elastisch-plastisches Verhalten für > pR

a) Die Dehnung nimmt stärker zu als die Spannung

b) Bei Entlastung entsteht eine plastische Restdehnung pl

c) Die Entlastung erfolgt stets linear nach dem Hookeschen Gesetz

Re = Rp

P

[N/mm²] Bruch

0 0

Rm

Gpl

E

ab hier Einschnürung

Entlastung


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9.2 Bilineares Materialverhalten

Einfachste Idealisierung des elastisch-plastischen Materialverhaltens:

Dabei wird vereinfachend angenommen, dass die Proportionalitätsgrenze p

mit der Fließgrenze eR = pR (englisch: yield stress y ) übereinstimmt.

Der Anstieg im elastischen Bereich ist der E-Modul.

Der wesentlich flachere Anstieg im plastischen Bereich ist der so genannte

Tangentenmodul T (Anfangstangente an die Spannungs-Dehnungs-Kurve).

Die größtmögliche elastische Dehnung el bei = eR ist aus dem Hooke-

schen Gesetz = E · berechenbar:

eR = E · el

Zum Beispiel gilt für Baustahl S 235 mit E = 2,1 · 510 MPa:

235 MPa = 2,1 · 510 MPa · el

el = 1,12 · 310 = 0,112 %

Der T-Modul folgt als Anstieg A aus einem Geraden-Ansatz :

( ) = A · + B

Um A und B zu ermitteln, genügen zwei Punkte im Diagramm:

Re = Rp

[N/mm²]

00

plel

Entlastung

Verfestigung des Materials


Joensson HTW Berlin 1 ( 1 ) = A · 1 + B (1)

2 ( 2 ) = A · 2 + B (2)

Gleichung (1) minus (2) ergibt: 1 2 = A · 1 - A · 2

und damit A = 1 2

1 2

(3)

Zum Beispiel gehört zur Streckgrenze eR = 1 die Dehnung el = 1

und zur Zugfestigkeit mR = 2 die „Gleichmaßdehnung“ G = 2 ,

siehe S. 84 und 83.

Für S 235 mit mR = 370 MPa gilt näherungsweise: G ≈ 15 %.

Eingesetzt in (3) und mit T = A entsteht:

T =

e m

el G

R R

= (235 370)

0,00112 0,15

MPa = 973 MPa

bzw. gerundet T ≈ 1000 MPa.

Für bilineare plastische Berechnungen mit Ansys sind nur zwei Werkstoff-

Kennwerte erforderlich:

Die Streckgrenze eR und der T-Modul, siehe Ansys Workbench-Übung

W18 Plastisch.


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9.3 Die Traglast als plastische Grenzbelastung

Beispiel: Bauteil mit Punktlast wie im Kapitel 8.

Plastifizierung durch die Punktlast:

Spannungen > pR = eR sind hier nur in einer kleinen Region wirksam

und werden real durch Abplattung der Lastspitze sowie durch Makrostützung

des Werkstoffes vermindert.

Plastifizierung durch Biegung:

Wird die Fließgrenze pR = eR jedoch durch Biegung überschritten, so ent-

stehen größere Regionen der plastischen Verformung, deren Spannungen

nicht mehr durch Makrostützung gemildert werden können.

Elastischer Grenzfall:

Die maximale Biegespannung ist gerade noch so groß wie pR :

F

F = Fely

x x (y)

0-Rp Rp

bmax

F


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Für elastische Biegung gilt: maxb = maxb

b

M

W

Elastischer Grenzfall: maxb = pR

Daraus kann das elastische Grenzmoment elM = maxbM ermittelt

werden:

pR = maxb

b

M

W = el

b

M

W

Also elM = pR · bW (4)

Erst bei einem Biegemoment M > elM beginnt das

Tragwerk infolge Biegung zu plastifizieren.

Speziell für das Beispiel von S. 77 und 86 soll die elastische Grenzbelastung

F = elF berechnet werden:

Hier gilt: bW = 1666,7 3mm und maxbM = a b

Fa b

mit a = 500 mm, b = 300 mm

also elM = el

a bF

a b

Einsetzen in Gleichung (4) liefert: el

a bF

a b

= pR · bW

und damit elF = pR · bW

a b

a b

Fy

x

500 mm 300

100


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Zahlenwerte: elF = 235 MPa · 1666,7 3mm 2

800 500 300

mm

mm

elF = 2089 N

Erst bei einer Belastung F > 2089 N beginnt dieses Tragwerk infolge

Biegung zu plastifizieren.

Traglast-Berechnung:

Die Traglast ist die plastische Grenzbelastung für ideal-plastisches Material-

verhalten.

Ideal-plastisch bedeutet:

Damit wird der T-Modul = 0

angenommen.

Mit dieser Annahme kann näherungsweise abgeschätzt werden, welche Last

das Bauteil bis zur Voll-Plastifizierung ertragen kann.

Bei Biegung mit M > elM wird der Balken zunächst nur teilweise plasti-fiziert:

Bei einem bestimmten Wert M = TrM (Traglast-Moment) wird der Quer-

schnitt voll plastisch und wirkt dann nachgiebig wie ein Gelenk:

F > Fel y

x x (y)

0-Rp Rp

elastisch

Rp

0 0


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Unter der Kraft entsteht dann ein so genanntes „Fließgelenk“.

Speziell für Biegung von Balken mit Rechteck-Querschnitten und ideal-

plastischem Materialverhalten gilt:

TrM = 1,5 · elM

(Herleitung dazu: Siehe z.B. Göldner: Höhere Festigkeitslehre, Band 2).

Daraus folgt auch für die elastische Grenzbelastung:

TrF = 1,5 · elF

Und somit für elF = 2089 N:

TrF = 3133 N

Wird dieses Tragwerk z.B. mit Ansys plastisch berechnet, so ist zu erwarten,

dass die Belastung diesen Wert nicht wesentlich überschreiten kann.

Das berechnete Bauteil verhält sich dann ähnlich wie ein echtes Bauteil voll-

plastisch, das unter der Last gelenkig nachgibt.

Im Programm wird allerdings nur angezeigt, dass keine Lösung möglich ist –

weil das Bauteil angeblich Starrkörperbewegungen ausführen würde.

Bei rein elastischer Berechnung treten diese Probleme nicht auf.

Warum?

F = FTr y

x x (y)

0-Rp Rp


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10. FEM-Bericht erstellen

10.1 Automatisiert in Ansys Workbench

Im Modul Mechanical kann jederzeit ein „Mechanical Report“ erstellt wer-

den: Mitte Berichtsvorschau

Dieser Bericht kann z.B. als Word-Datei gespeichert werden:

Links oben: Senden an > Microsoft Word > Datei > Speichern unter

> Ordner aussuchen > Dateiname z.B. Mechanical_Report A4 >

Dateityp: Word-Dokument > Speichern.

Auf dem Deckblatt ist die Geometrie zu sehen in der zuletzt verwendeten

(Schräg-) Ansicht. Es folgen seitenlang Tabellen und Grafiken, z.B.:

TABELLE 4 Modell (A4) > Koordinatensysteme > Koordinatensystem

Objektname Globales Koordinatensystem Zustand Vollständig definiert

Definition Typ Kartesisch

Koordinatensystemnummer 0, Ursprung

X-Ursprung 0, mm Y-Ursprung 0, mm Z-Ursprung 0, mm

Richtungsvektoren Daten der X-Achse [ 1, 0, 0, ] Daten der Y-Achse [ 0, 1, 0, ] Daten der Z-Achse [ 0, 0, 1, ]

Auch Abbildungen können eingefügt werden:

Oben: Abbildung. Z.B. im Strukturbaum für Netz, Statisch-

mechanisch und für Lösung Vergleichsspannung.

Vorteile des Mechanical Reports: Nahezu kein Aufwand.

Berichtsstruktur entspricht dem Aufbau des Strukturbaumes.

Nachteil: Seitenlange Auflistung von Daten und Ergebnissen ohne wesent-

liche Merkmals-Beschreibung der Berechnung.


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10.2 Bericht selbst erstellen

Vorteil: Wesentliche Berechnungsabläufe werden beschrieben.

Nachteil: aufwendiger im Vergleich zum automatisierten Bericht.

Grundstruktur des Berichtes:

Deckblatt mit prägnanter Abbildung

Einleitung (was wird berechnet?)

Projekt-Übersicht der Modell-Varianten

Modell-Variante 1 Grundvariante

Geometrie, evt. als Import aus CAD-Modell

Werkstoffkennwerte (mit Quellenangaben * )

Randbedingungen (Lager-Idealisierungen und Last-Annahmen)

Vernetzung

Berechnung (linear oder nichtlinear?) Var. 1 sollte stets nur linear sein.

Ergebnisse

Genauigkeitsnachweis * (gibt es singuläre Spannungen?)

Modell-Variante 2

Änderungen im Vergleich zur Variante 1

Eventuell weitere Varianten

Zusammenfassung

Quellenverzeichnis

Anlagen z.B. detaillierte Abbildungen oder spezielle Herleitungen

* unverzichtbar


Joensson HTW Berlin Zum Deckblatt:

Mindestens erforderlich: Name des Autors oder der Autoren, Titel der

Berechnung, Datum, Verwendetes Programm mit Versions-Nr., Anzahl der

Seiten des Berichtes.

Für Abbildungen im Bericht sollte der Grafik-Hintergrund aller Workbench-

Module weiß eingestellt werden:

Auf der Projektseite: Oben Extras > Optionen > Darstellung >

Hintergrundfarbe > weiß einstellen > Ok.

Abbildungen können am einfachsten mit Snipping Tool (Windows-Zubehör)

in die Word-Datei eingefügt werden:

Bildausschnitt markieren > Kopieren > in Word einfügen.

Zur Geometrie

Wesentliche Abmessungen sollten erkennbar sein.

Werkstoffkennwerte

Für linear-elastische Berechnungen mindestens E-Modul und Querkontrakti-

onszahl - mit Quellennachweis.

Genauigkeitsnachweis

Insbesondere für maximale Spannungen erforderlich.

Dazu Konvergenz-Nachweis und / oder Vergleich der gemittelten

Spannungswerte mit den ungemittelten Werten.

Gibt es singuläre Spannungen im Modell?

Diese theoretisch unendlich großen Werte können nur bei finiten

Flächen- und Volumen-Elementen auftreten.


Joensson HTW Berlin Maximale Spannungen an konkaven Kanten und / oder an Einzelkraft-

Einleitungsstellen sollten nicht ausgewertet werden, wenn sie außerhalb kriti-

scher Regionen liegen.

Dazu sollte z.B. das Bauteil im DesignModeler gefroren zerschnitten werden

und als Bauteilgruppe an das Modul Mechanical übergeben werden.

Anschließend kann dann die Spannungs-Auswertung ausschließlich für die

kritische Region erfolgen (wie in Übung W1 Blatt 7) ohne die theoretisch

unendlich großen singulären Spannungen.

Wenn in kritischen Regionen Einzelkräfte wirken, müssen diese als Flächen-

lasten modelliert werden. Dazu sind Flächengrößen anzunehmen und zu be-

gründen.

Wenn in kritischen Regionen konkave Kanten vorhanden sind, müssen diese

Kanten abgerundet werden.

Zum Beispiel wird ein Bauteil an zwei Kanten A und C mit Festlager und

Loslager befestigt und mit einer Linienlast in B belastet.

An den Kanten C, B und A entstehen hier singuläre Spannungen sowie an der

konkaven Kante am Absatz:

Um die Auswertung in der kritischen Region sinnvoll zu gestalten, sollten

vorher Teilkörper durch Frieren und Schneiden erzeugt werden.


Joensson HTW Berlin Damit ist die Spannungsauswertung für Teilkörper möglich:

Jetzt zeigt sich die konkave Kante als maximal beanspruchte Region.

Im nächsten Schritt sollte diese Kante abgerundet werden:

Auf der Projektseite Block dublizieren > Geometrie > die beiden Volu-

menkörper der kritischen Region anklicken > Tauen > Oben: Verrundung

> Fixierter Radius > die konkave Kante anklicken > Erstellen usw.

Abschließend könnte die gemittelte max. Spannung mit der ungemittelten

verglichen werden oder ein lokaler Konvergenz-Nachweis für die Abrun-

dungsfläche durchgeführt werden.


Joensson HTW Berlin Quellenverzeichnis

Alle Quellen (Bücher, Zeitschriften, DIN-Vorschriften, Bachelor- und Mas-

terarbeiten usw.) werden gemeinsam aufgelistet und nummeriert.

Im Text wird nur die Nr. der Quelle erwähnt, z.B. [8]. Lediglich bei Büchern

sollte zusätzlich noch die Seite angegeben, auf der diese Angabe zu finden

ist: [12, S.478]

Damit kann aus einem Buch rationell mehrfach zitiert werden - ohne das

Quellenverzeichnis unnötig zu vergrößern.

Quellen können sein:

Fachartikel mit Autor (nur Nachname ohne akademische Titel, Vor-

name abgekürzt), Titel des Artikels, In: Zeitschrift – Erscheinungsort,

Band-Nr., Jahr, Heft-Nr., Seite von bis.

Mehr als zwei Autoren: Nur der erste Autor wird genannt und alle an-

deren mit Abkürzung u.a. (und andere) oder lateinisch et al.

Fachbuch mit Autor oder Autoren (nur Nachname ohne akademische

Titel, Vorname abgekürzt), Titel des Buches, Verlag, Erscheinungs-

jahr, Erscheinungsort, Nr. der Auflage

Mündliche Mitteilung

Internet-Quelle: Ist stets zweitklassig (!) weil es jederzeit abgeschaltet

werden kann. Deshalb immer Datum für den letzten Zugriff angeben!

Außerdem muss die gesamte Adresse der konkreten Seite angegeben

werden und nicht nur die übergeordnete Homepage.

Vorlesungs-Skripte: Autor ohne akademische Titel, Vorlesungsbe-

zeichnung, evt. Kapitel-Nr., Hochschule, Fachbereich, Som-

mer/Wintersemester wann.


Joensson HTW Berlin

Abschlussarbeiten (Praktikum / Bachelor / Master): Thema, Jahr,

Hochschule, Fachbereich (!)

DIN-Vorschriften: Bezeichnung der DIN und Erscheinungsjahr

Verwendete Programme: Hier genügt die Internet-Homepage (mit

Datum des letzten Zugriffs) und die Versions-Nummer.

Beispiel Quellenverzeichnis

[1] Schreiner, P. u.a.: Entwicklung einer Methode zur Anwendung von Residuen. In: Zeitschrift für angewandte Technologie - Stuttgart 15 (2015) Heft 4, S. 231 - 236

[2] Schuster, K., Schmidt, M.: Signale und Systeme. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York. 2. Auflage 2015

[3] Hartmann, D.: Mündliche Mitteilung am 04. 10. 2015. Firma, Ort, Abteilung.

[4] http://www.schrauben.de/produkte/din-1052-din-6925/ 30. 5. 2015 [5] Lengren, C.: Vorlesung Verfahrenstechnologie, Kapitel 2.5. HTW

Berlin, Fachbereich Ingenieurwissenschaften II. Wintersemester 2014/15.

[6] Greiner, B.: Entwicklung und Konstruktion eines Antriebes mit Bewe-

gungssensorik für ein Endoskop. Bachelorthesis 2015. HTW Berlin, Fachbereich Ingenieurwissenschaften II.

[7] DIN 18800 Teil 1 Stahlbauten Bemessung und Konstruktion. Nov.

1990 [8] Ansys Workbench http://www.ansys.com/ 26. 05. 2015 [9] Inventor 2015 http://www.autodesk.de/products/inventor/overview

26. 05. 2015

D. Joensson FEM-Bericht Tellerfeder

26. Mai 2015 Seite 1 von 6

Programm: Ansys Workbench 16

Tellerfeder

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 5 10

Weg in mm

Kra

ft i

n N

Autor: Prof. Dr. D. Joensson HTW Berlin, Fachbereich 2



Inhaltsverzeichnis

Seite

1. Einleitung 3

2. Projekt-Übersicht 3

3. Modell-Variante A 4

3.1 Geometrie 4

3.2 Werkstoffkennwerte 4

3.3 Randbedingungen 4

3.4 Vernetzung 5

3.5 Berechnung 5

3.6 Ergebnisse 5

3.7 Genauigkeitsnachweis 6

3.8 Schlussfolgerungen 6

4. Modell-Variante B 6

4.1 Berechnung

4.2 Ergebnisse

4.4 Schlussfolgerungen

5. Modell-Variante C

4.1 Berechnung

4.2 Ergebnisse


4.5 Genauigkeitsnachweis

6. Zusammenfassung

Quellenverzeichnis

Anlagenverzeichnis



1. Einleitung

Mit Ansys Workbench [1] Version 16 wird die Verformung einer elastischen Tellerfeder bis

zum Plattdrücken und darüber hinaus berechnet – entsprechend einem Ansys-Classic Beispiel

in [2, S.678].

Zunächst wird die Feder mit dem Standardverfahren für kleine Verformungen berechnet

(Theorie 1. Ordnung der Technischen Mechanik). Diese Berechnung wird hier als linear

bezeichnet.

Anschließend wird der Algorithmus „Große Verformung“ genutzt (geometrische Nicht-

linearität mit Theorie 3. Ordnung der Technischen Mechanik). Obwohl dabei das linear-

elastische Materialverhalten beibehalten wird, kann die Lösung nur iterativ erfolgen.

In einem dritten Berechnungsmodell wird die Belastung iterativ weg-gesteuert aufgebracht.

2. Projekt-Übersicht

Es werden insgesamt drei Modelle berechnet:

A Linear,

B nichtlinear kraft-gesteuert,

C nichtlinear weg-gesteuert.

Projekt-Übersicht in Workbench:



3. Modell-Variante A:

Grundvariante: Tellerfeder linear berechnet.

3.1 Geometrie Außendurchmesser 198 mm

Innendurchmesser 141 mm

Dicke 2 mm, Bauhöhe 8.15 mm

Querschnitts-Abmessungen in mm:

3.2 Werkstoffkennwerte

Federstahl

isotrop-elastisch mit E-Modul 2,06·105 MPa Querkontraktionszahl ν = 0.3 [2,S.679]

Eingabe in Workbench:

Baustahl dubliziert > Umbenannt zu Federstahl und nur E-Modul geändert.

3.3 Randbedingungen

Die Feder ist mit einem linienförmigen Loslager gelagert (ohne Reibung in der X-Z-Ebene

gleitend mit Y = 0) und wird mit einer ringförmig Linien-Last zusammengedrückt:



Die Belastung zum Plattdrücken der Feder beträgt Fplatt = 24 299 N:

Zuerst Berechnung mit F = 100 N, daraus Verformung in Y-Richtung berechnen. Um das

Plattdrücken zu erreichen, muss diese Verformung proportional auf 6,15 mm erhöht werden.

Der Proportionalitätsfaktor 242,98 liefert die proportional erforderliche Kraft Fplatt.

3.4 Vernetzung

13.300 Knoten 39.900 Gleichungen 1.760 Volumen-Elemente

3.5 Berechnung

Linear elastisch: isotrop, Hookesches Gesetz. Belastung Fplatt 3.6 Ergebnisse

Max. Vergleichsspannung beim Plattdrücken mit Fplatt = 24299 N:

3.7 Genauigkeitsnachweis

Ungemittelte Vergleichsspannung: maxV = 2510,1 MPa.

Die relative Abweichung zum gemittelten Maximalwert beträgt nur 0,0016 %.

Damit ist die Berechnung als ausreichend genau nachgewiesen.




Die Spannung ist viel zu groß [3, S.14]:

„Bei Tellerfedern aus Federstahl nach DIN EN 10089 und DIN EN 10132-4 mit ruhender bzw. selten wechselnder Beanspruchung sollte bei maximaler Einfederung der Betrag der rechnerischen Spannung OM von 1600 MPa nicht überschritten werden.“

Ursache ist hier die Nicht-Berücksichtigung der großen Verformungen. Deshalb ist eine

nichtlineare (iterative) Berechnung mit großen Verformungen erforderlich.

4. Modell-Variante B:

Nichtlineare (iterative) Berechnung mit großen Verformungen.

Geometrie, Werkstoffkennwerte, Randbedingungen und Vernetzung wie in Variante 1.

4.1 Berechnung

Belastung Fplatt

Werkstoff linear elastisch: isotrop, Hookesches Gesetz wie bisher, jetzt aber mit großen

Verformungen (Theorie 3. Ordnung der Technischen Mechanik):

usw.

Quellenverzeichnis

[1] Ansys Workbench Version 16. http://www.ansys.com/ 26. 05. 2015

[2] Müller,G., Groth,C.: FEM für Praktiker – Band 1 Grundlagen. expert-Verlag Renningen 7. Auflage 2002

[3] DIN 2093 Tellerfedern – Qualitätsanforderungen – Maße. März 2006

Finite Elemente

Übungen

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W1 Beginn

HTW Berlin Beginn Blatt 1 von 7


Vorbereitung: Erstellen Sie zunächst in Ihrem Verzeichnis für die Ansys-Übungen einen eigener Ordner, z.B. [ Ansys W 16 ] für Ansys-Workbench, Version 16

und darin für jede Übung einen extra Ordner z.B. [ W1 Beginn ]

[ W2 Genau A ] usw.

1. Aufgabe: Gekerbtes Bauteil erstellen und berechnen

Start > Programme > ANSYS 16.0 > Workbench 16.0

1.) Die Workbench-Projekt-Seite Jede FEM-Berechnung wird in Workbench als eigenständiges Projekt verwaltet.

Zuerst wird eine leere Seite mit einer Liste möglicher Analyse-Arten präsentiert.

Im vorliegenden Fall ist eine „statisch-mechanische“ Aufgabe zu bearbeiten.

Also links diese Analyse-Art doppelklicken Ein Analyse-Block A wird angelegt:



Im Block A sind bereits alle erforderlichen Teilschritte des Projektes aufgelistet, beginnend mit Materialdaten bis hin zu den Ergebnissen. Die Materialdaten haben hier bereits ein Häkchen, weil als Werkstoff für das zu berechnende Bauteil standardmäßig Baustahl voreingestellt ist. Der Werkstoff kann selbstverständlich geändert werden. In diesem Beispiel soll der Werkstoff Baustahl beibehalten werden.

2.) Bauteil-Geometrie erstellen Geometrie im Block A doppelklicken Das Programm DesignModeler wird gestartet.

Oben: Einheiten > Millimeter

Links: Skizzieren > Links: Rechteck > Mitte: Rechteck zeichnen >

Links: Kreis > Mitte: Kreismittelpunkt anklicken, Kreis ziehen >

Oben: Extrudieren > Links unten: FD1, Tiefe 30 mm anklicken > 5 Enter >

Links oben: Ergebnis:

Das modellierte Bauteil kann folgendermaßen bewegt werden:

Bauteil drehen: Oben anklicken > Linke Maustaste festhalten und Maus bewegen:

Zoom: Scrollrad bewegen oder ! mit rechter Maustaste Gebiet kennzeichnen

Zurück zur Gesamt-Ansicht: oben

Weitere Darstellungsmöglichkeiten oben:

Rechts unten: Die kleine Kugel im Koordinatensystem anklicken Schrägansicht (ISO-Darstellung des Bauteils) Eine der Achsen anklicken Auf diese Achse wird geblickt.



Seitenteil hinzufügen: Dazu neue Ebene definieren:

Links oben Neue Ebene > unten links: Typ Durch Ebene anklicken Durch Fläche

Basisfläche Nicht ausgewählt anklicken.

Mitte: Struktur drehen (oben: , dann ) und am Bauteil die Fläche anklicken, an der das Seitenteil angefügt werden soll > links oben:

Links im Strukturbaum : Diese neue Ebene 4 anklicken > Links: Skizzieren > Rechteck > Mitte: Rechteck zeichnen > Oben: Extrudieren > Tiefe 5 mm >

Geometrie des Bauteils speichern:

Unten: Projekt-Seite > Oben: Speichern > Ordner suchen, der zuvor erstellt wurde, z.B .

[ W1 Beginn ] oder neuen Ordner erstellen mit > Dateiname, z.B. Beginn > Speichern.

3.) FEM-Berechnung Auf der Projekt-Seite im Block A

doppelklicken das Programm Mechanical wird gestartet:

Oben: Maßeinheiten > Metrisch (mm,kg, …)

Links im Strukturbaum weisen Fragezeichen darauf hin, dass noch Eingabewerte fehlen sowie gelbe Blitze, dass noch Lösungsanweisungen fehlen.

Zum Auftakt fehlen insbesondere Angaben zur Lagerung und zur Belastung.



Lagerung und Belastung einfügen:

z.B.

Links im Strukturbaum Statisch-mechanisch (A5) anklicken

Oben: Lagerungen > Fixierte Lagerung >

Mitte: Struktur drehen, bis die Fläche sichtbar wird, die fixiert werden soll > diese Fläche

anklicken > [ dazu oben anklicken, dann ]

Links unten: Geometrie Anwenden anklicken. Oben: Lasten > Kraft >

Mitte: Struktur drehen, bis die Fläche zu sehen ist, auf die die Kraft wirken soll > diese Fläche mittig anklicken

Links unten: Geometrie Anwenden > Unten links: Größe: 3000 Enter

Alle Randbedingungen (Lager und Lasten) werden gleichzeitig sichtbar, wenn Sie links Statisch-mechanisch anklicken.

FEM-Berechnung: Oben:

Ergebnisse: Links im Strukturbaum Lösung (A6) keine Ergebnisse. Um Ergebnisse anzuzeigen, müssen vorher entsprechende „Ergebnis-Komponenten“ im Strukturbaum eingefügt werden. z.B.:

oben: Spannung > Vergleichs- (von Mises) = Vergleichsspannung σVG nach der Gestaltänderungs-Energie-Hypothese GEH

oben: Verformung > Gesamt = resultierende Verschiebung an jedem Knoten in mm

oben: Spannung > Max. im Hauptachsensystem = Hauptspannung 1

Dann erneut:

Links im Strukturbaum eine dieser Ergebnis-Komponenten anklicken → Ergebnis-Darstellung Eventuell oben Maßeinheiten einstellen (Metrisch mm, kg, … ), um die Spannungen in MPa zu erhalten.

Animation

z.B. für die berechnete Vergleichsspannung: unter dem Bild: Animation > den roten Pfeil anklicken > Stopp: rotes Quadrat.



Die Größe der Verformung ist zunächst mit einem Maßstab automatisch eingestellt (wie in allen FEM-Programmen).

Automatische Skalierung: Die größte berechnete Verformung wird so dargestellt, dass sie etwa 5 % der Bauteildiagonale entspricht.

Einblenden der unverformten Kontur: oben > Unverformte Drahtdarstellung anzeigen, z.B.:

Gesamtverformung Einheit mm

Die Skalierung ändern:

Links oben: Ergebnis Automatische Skalierung anklicken > andere Einstellung wählen, z.B. 1,0 Maßstabsgerecht oder 5x Automat.

Die Vernetzung zeigen: Links oben Netz

oder Vergleichsspannung anklicken > dann oben:

Den farbigen Würfel anklicken > Elemente einblenden.

Diese drei Buttons ermöglichen verschiedene Darstellungen (ausprobieren!), insbesondere auch die Einblendung der unverformten Struktur. ! Danach wieder den grauen Würfel links einstellen!

Wenn die Vernetzung links oben mit Netz eingestellt ist, liefert links unten die Statistik die

Anzahl der Knoten und Elemente. Bei der automatischen Vernetzung von Volumenkörpern werden standardmäßig in ANSYS finite Elemente mit 3 Freiheitsgraden je Knoten verwendet. Dabei gilt grundsätzlich:

Anzahl der Freiheitsgrade insgesamt = Anzahl der Gleichungen für dieses Berechnungsbeispiel. (hier also = 3 · Anzahl der Knoten).

Dünnwandige Flächen und Balken werden in Ansys in finite Elemente mit 6 Freiheitsgraden je Knoten vernetzt.

Feiner oder gröber vernetzen: Das gesamte Bauteil kann feiner oder gröber vernetzt werden mittels der so genannten „Relevanz“. Links im Strukturbaum: Netz > Links unten: Relevanz

Relevanz = 0 bedeutet mittlere Netzdichte, Relevanz = 100 feineres Netz > oben Lösung (siehe Blatt 1 dieser Übung), Relevanz = -100 grobes Netz.

Achten Sie bitte auf die veränderten Spannungswerte. Stellen Sie bitte abschließend wieder Relevanz = 0 ein.

Einzelne Werte abfragen: z.B. Links: Vergleichsspannung

Minimum und Maximum einblenden: Oben anklicken.

Einzelwerte anzeigen: oben > Mitte: Maus bewegen, Orte anklicken.



Ausblenden der angezeigten Einzelwerte:

Alle Werte ausblenden: Links Vergleichsspannung mit der rechten Maustaste anklicken > Erstellte Daten löschen > Ja > Neu berechnen: Oben: Lösung.

Weitere Ergebnis-Komponenten zur Lösung hinzufügen:

z.B. Normalspannung in x-Richtung

Links: Mit rechter Maustaste Lösung anklicken > Einfügen > Spannung > Normal >

oder Lösung anklicken > Oben: Spannung > Normal >

Diese Spannung genau benennen: Links Normalspannung mit rechter Maustaste anklicken > Umbenennen > Sx anfügen.

Normalspannung in Y-Richtung:

Links: Mit rechter Maustaste Normalspannung Sx anklicken > Dublizieren >

Umbenennen … Sy > Links unten: Ausrichtung X-Achse ändern zu Y-Achse.

Sowie Normalspannung in Z-Richtung: …. Sz …. Ausrichtung Z-Achse > Oben: Lösung

Schubspannungen:

Links: Lösung > Oben: Spannung > Schub >

Links unten Ausrichtung: z.B. XY-Ebene > Diese Schubspannung genau benennen: z.B. Tau-xy

Oben: Lösung. > Weitere Schubspannungen einfügen: … Tau-yz und Tau-xz.

Hauptspannungen:

Zum Beispiel die Hauptspannung 3 :

Links im Strukturbaum: Lösung (A6) > Oben: Spannung > Min. im Hauptachsensystem > Oben: Lösung.

Hauptspannungen in vektorieller Darstellung:

Links im Strukturbaum: Links: Lösung (A6) > Oben: Spannung > Hauptvektor > Oben Lösung.

Vektoren größer darstellen: oben , dann darunter den Schieberegler nach rechts bewegen.

Körper durchsichtig: Oben dann z.B. Animation.

Bei Bedarf: Einzelne Ergebnis-Komponenten löschen:

Links im Strukturbaum: Komponente anklicken > Taste: Entf > Ja



Separate Ergebnisse darstellen:

Mitunter interessieren auch Teil-Ergebnisse auf Flächen, Kanten oder Teilkörpern, z.B.

Links im Strukturbaum: Lösung (A6) > Oben: Spannung > z.B. Vergleichsspannung >

Oben z.B. Fläche anklicken, dann Mitte: Die gewünschte Region anklicken > Links unten: Geometrie > Anwenden > Oben: Lösung.

Die Zahlenwerte der Legende beziehen sich nun auf die ausgewählte Region. Auswertung auf Pfaden:

Auf Kanten und selbst gewählten Linien quer durch das Bauteil kann in Workbench auch der Funktionsverlauf für ausgewählte Ergebnisse ausgewertet werden.

Dazu muss zunächst eine Linie als Pfad definiert werden.

Links im Strukturbaum: Modell (A4) > oben: Konstruktionsgeometrie > oben: Pfad >

Links unten: Pfadtyp Kante > links unten: Geometrie > Mitte: Eine Kante anklicken, z.B. die vordere Bohrungskante > links unten Geometrie Anwenden

Links im Strukturbaum: Lösung (A6) > oben: Spannung > z.B. Vergleichsspannung >

Links im Strukturbaum: Die neue Vergleichsspannung anklicken und umbenennen (z.B. Vergleichsspannung Pfad 1)

Links unten: Auswahlmethode Pfad > darunter: Pfad Pfad > oben: Lösung.

Mit dargestellt wird ein Diagramm der berechneten Vergleichsspannung als Funktion über dem Pfad.

Die tabellarischen Daten rechts unten können per rechter Maustaste exportiert werden, z.B. auch zu Excel.

! Der Funktionsverlauf wird bei feinerer Vernetzung glatter.

Bei selbst gewählten geraden Pfad-Linien quer durch das Bauteil kann die Anzahl der zu berechnenden (Sampling-) Punkte zusätzlich verändert werden.

Um die Lage der Koordinaten sichtbar zu machen: Links im Strukturbaum: + Koordinatensysteme

Berechnungsmodell speichern: Oben links: Datei > Projekt speichern

oder unten: Projekt-Seite > Oben: Speichern. Ansys beenden.

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W2 Genau A

HTW Berlin Bauteil bemaßen und Ergebnis-Genauigkeit prüfen

Blatt 1 von 7

© Prof. Dr. Dieter Joensson HTW Berlin 2015

1.) Bemaßung erstellen mit DesignModeler Das Bauteil der Übung W1 Beginn soll folgende Maße erhalten: Höhe 300 mm, Länge 600 mm

Blech-Dicke 10 mm

Bohrungsdurchmesser 80 mm

Neuen Ordner erstellen: [ W2 Genau A].

Im Ordner [ W1 Beginn ] die Projekt-Datei mit der Endung .wbpj mit Workbench 16.0 öffnen → die Projektseite wird geöffnet. Links oben: Datei > Speichern unter > Dateiname: W2 in den Ordner [ W2 Genau A] speichern.

Jetzt gibt es im neuen Ordner das gleiche Projekt wie in Übung 1, aber mit neuem Namen.

Mitte: Im Block A Geometrie doppelklicken.

Bauteil bemaßen:

Links: + XY-Ebene > Skizze1 > Vorderansicht

Links: Skizzieren > Abmessungen > Allgemein > Mitte: die untere horizontale Kante des gelochten Teiles anklicken und senkrecht daran ziehen es kommt eine Bemaßung zum Vorschein >

links unten Abmessung ändern > Oben:

Die Bemaßung kann auch in Zahlen angegeben werden: Links unter Abmessungen: Anzeige > nur Wert anklicken.

Links: Allgemein > Mitte: die rechte vertikale Kante anklicken … und deren Bemaßung ändern > Erstellen > Links: Länge/Abstand > Mitte: zuerst Kreismittelpunkt anklicken und dann mit gehaltener Strg-Taste eine Kante anklicken eine Bemaßungslinie kommt zum Vorschein > Links unten: Abmessung ändern (entweder 150 oder 300) > Oben: Erstellen > Links: Länge/Abstand > Mitte: Abstand Kreismittelpunkt zur anderen Kante … ändern > Oben: Erstellen >

Links: Durchmesser > Mitte: Kreis anklicken > Links unten: Abmessung 80 > Oben: Erstellen > Das Seitenteil modifizieren:

Mitte, rechts unten: ISO > Links: Modellieren > Ebene4 > Skizze > Skizzieren > Modifizieren > Ziehen > Mitte: Eine Kante des Seitenteiles anklicken und senkrecht ziehen > Oben: Erstellen > Eventuell eine weitere Kante ziehen. Alternative dazu: Bemaßungen ändern wie oben. Die Dicken der beiden Teile ändern:

Links: Modellieren > Links: Extrudieren1 > Links unten: FD1, Tiefe 10 > Oben: Erstellen >

Links: Modellieren > Links: Extrudieren2 > Links unten: FD1, Tiefe 10 > Oben: Erstellen >

Projekt speichern: Links oben


HTW Berlin

Blatt 2 von 7

2.) FEM-Berechnung

Unten: Projekt-Seite > Mitte: Im Block A doppelklicken

das Berechnungs-Programm Mechanical wird gestartet. An Stelle der Kraft soll jetzt im Unterschied zur Übung W1 eine Flächenlast mit 100 MPa an dem Bauteil ziehen.

Links im Strukturbaum: Kraft > Rechte Maustaste: Element unterdrücken (oder löschen).

Geben Sie eine feste Einspannung am Seitenteil vor (wie in der 1. Übung) und eine Druckbelastung von - 100 MPa an der vorderen schmalen Fläche.

Wie groß ist jetzt die max. Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese?

………………… MPa Wie genau ist die Berechnung?

Bei jeder FEM-Berechnung ist zunächst unklar, wie genau die Spannungsergebnisse sind.

Zur Überprüfung der Genauigkeit gibt es verschiedene Möglichkeiten:

A) Vergleich der FEM-Lösung mit analytischen Ergebnissen, z.B. mit Formzahl-

Ergebnissen, die in der Regel nur für geometrisch einfache Bauteile verfügbar sind. *)

B) Vergleich verschieden fein vernetzter FEM-Modelle untereinander: Wenn bei feinerer

Vernetzung keine wesentliche Veränderung der maximalen Spannung auftritt, ist die

Lösung genau genug. Dies wird in Ansys mit der so genannten „Konvergenz“ untersucht.

C) Vergleich von gemittelten Spannungen an den Knoten der finiten Elementen mit den

ungemittelten original berechneten Spannungen an denselben Knoten:

Geringe Unterschiede dieser beiden Spannungs-Ergebnisse kennzeichnen genaue Lösungen.

Große Unterschiede dagegen weisen auf unzureichende Genauigkeit hin bzw. auf

„singuläre“ Spannungen.

D) Kontrolle der lokalen „Fehler-Energie“.

*) Die Formzahl-Berechnung der maximalen Spannung am Bohrungsrand ergibt für dieses Beispiel:

max = 327,3 MPa (siehe Hinweise ab Seite 5 dieser Übung)


HTW Berlin

Blatt 3 von 7 Genauigkeits-Test-Variante A:

Um wie viel Prozent weicht das numerische FEM-Ergebnis („num“) vom analytischen Formzahl-Ergebnis („ana“) ab?

100 % %num ana

Fehlerana

Hinweis: Die analytisch berechnete Spannung ist nur eine Spannungskomponente in Längsrichtung und entspricht hier der Normalspannung x in x-Richtung bzw. der größten Normalspannung

(Hauptnormalspannung) 1 .

Die numerisch berechnete Vergleichsspannung dagegen enthält alle vorhandenen Spannungs-komponenten und ist deshalb speziell für diese Fehlerberechnung nicht geeignet. Ermitteln Sie mit Workbench die größte Normalspannung in x-Richtung: …………… MPa (Spannung x wie in Übung W1) Daraus den Fehler im Vergleich zur analytischen Lösung: ………… % Wie groß ist die größte Hauptspannung 1max („Max. im Hauptachsensystem“): ………… MPa

Daraus den Fehler im Vergleich zur analytischen Lösung: ………… % Sind Sie mit den Fehlern zufrieden?

Sehen Sie sich das Netz an. Wie viele Knoten hat die Struktur? ………………

Wie viele Gleichungen mussten dafür berechnet werden? …….……… Vernetzung ändern:

Zum Ändern der Vernetzung gibt es 2 Möglichkeiten:

a) „global“ alles feiner oder gröber vernetzen – in Ansys mit der so genannten „Relevanz“

b) lokal feiner vernetzen a) Relevanz ändern

Zunächst gröber vernetzen: Links im Strukturbaum: Netz > links unten: Relevanz 0 ändern auf -100 >

Oben: Lösung. das Bauteil ist nun gröber vernetzt. Wie viele Knoten hat diese Struktur? ………… Anzahl der Gleichungen? …………

Tragen Sie bitte diese Werte in die zweite Zeile der folgenden Tabelle ein.

Modell Knotenanzahl Gleichungen 1max in MPa Fehler in %

1 Relevanz 0

2 Relevanz -100

3 Relevanz +100

Ergänzen Sie bitte die erste Zeile mit den zuerst ermittelten Werten vom aktuellen Blatt 3 oben. Dann alles feiner vernetzen mit Relevanz + 100.

! Die Spannungsverteilung des Grobmodells ist nicht symmetrisch.

Diese Unsymmetrie weist darauf hin, dass die Berechnung nur zufällig mit dem analytischen Wert besser übereinstimmt als die Lösung mit feinerer Vernetzung der Relevanz 0.


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Blatt 4 von 7 b) Lokal feiner vernetzen

Zum Beispiel Bohrung feiner vernetzen:

Zuerst Relevanz wieder auf Null stellen > Lösung.

Dann links im Strukturbaum: > Netz > rechte Maustaste > Einfügen > Verfeinerung > *)

Oben: Fläche anklicken > Mitte: Die Zylinderfläche der Bohrung anklicken > Links unten: Geometrie Anwenden > Oben: Lösung >

Tragen Sie bitte die Ergebnisse in die erste Zeile der folgenden Tabelle ein.

Fehleranalyse

Modell Knotenanzahl Gleichungen 1max in MPa Fehler in %

Bohrung feiner, Stufe 1

Stufe 3

Grob, Stufe 3

Zeile 2 der Tabelle Noch feiner: Links im Strukturbaum: > Netz > unten links Verfeinerung 1 auf 3 ändern > oben Lösung. Zeile 3 der Tabelle Das Grobmodell örtlich feiner vernetzen:

Relevanz -100 > Bohrung feiner vernetzen mit Stufe 3. *) Die Alternative zu dieser „vorgefertigten“ Verfeinerungsart mit nur 3 möglichen Stufen besteht in der Vorgabe der Elementgröße bzw. der Elementanzahl auf einer Kante.

Werden diese Werte selbst gewählt, kann die lokale Region beliebig fein vernetzt werden.


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Blatt 5 von 7 Was sind Formzahlen? Beispiel: Ein Blech mit Bohrung wird auf Zug mit einer Flächenlast p gleichmäßig belastet.

max : max. Spannung im Kerbgrund („Kerbspannung“), hier maxx

n : Nennspannung (mittlere Spannung im Netto-Querschnitt)

x (y) : tatsächlicher Spannungsverlauf im Netto-Querschnitt bei elastischem (linearem)

Materialverhalten (nach dem Hookeschen Gesetz)

Im Kerbgrund entsteht eine Spannungsüberhöhung, weil der Kraftfluss die Kerbe „umfahren“ muss

(siehe Ansys-Übung 1 Beginn, Blatt 6: vektorielle Darstellung der Hauptspannungen).

Nach elementarer Festigkeitslehre tritt im Netto-Querschnitt nur eine konstante Nennspannung auf:

n = n

F

A

mit nA : Flächeninhalt der Netto-Querschnittsfläche

und F = p ∙ bA resultierende Zugkraft infolge Flächenlast p an der Brutto-Fläche bA

Tatsächlich aber verläuft die Zugspannung über dem Netto-Querschnitt nicht-linear.

Die Spannungsüberhöhung max / n im Kerbgrund heißt Formzahl k oder tK (Kerbformzahl,

theoretischer Wert):

k = tK = max

n

d.h. die tatsächlich auftretende maximale elastische Spannung ist mehrfach größer als n :

max = k · n

pmaxx

x y

x

y n

Brutto-Querschnitts- fläche (Fläche bA )

Netto-Querschnitts- fläche (Fläche nA )


HTW Berlin

Blatt 6 von 7 Dieser Effekt tritt auch bei Biegung und bei Torsion auf. Beispiele:

Formzahl für Biegung: kb = maxb

nb

und damit maxb = kb · nb

Rundstab mit Umlaufkerbe:

Formzahl für Torsion: kt = maxt

nt

und damit maxt = kt · nt

Die Berechnung der tatsächlichen Spannungsverteilung ist aufwendig.

spezielle analytische Näherungsverfahren erforderlich

oder numerische Berechnung, z.B. mit finiten Elementen

oder experimentelle Ermittlung über Dehnungsmessungen mit Dehnmessstreifen.

Im Ergebnis derartiger Ermittlungen wurden Formzahl-Diagramme erstellt (zur Nutzung in der

Konstruktion).

Dabei werden je Diagramm Ergebnisse präsentiert für

unterschiedliche Kerbradien

unterschiedliche Kerbtiefen und

unterschiedliche Brutto-Breiten.

Zwei Beispiele dazu:

tnt

t

M

W

tMtM

maxt

bM

bnb

b

M

W

maxb


HTW Berlin

Blatt 7 von 7

Speziell für das flächenförmige Bauteil der Ansys-Übung W2 Genau A gilt das obere Diagramm mit

der Nennspannung n = ( 2 )

F

B H r

B = 10 mm Dicke, H = 300 mm Brutto-Breite, r = 40 mm Bohrungsradius

sowie F = p ∙ bA = 100 2

N

mm∙ 10 mm ∙ 300 mm = 3 ∙ 10 5 N

und damit: n = 136,36 2

N

mm = 136,36 MPa

Für 2r

H =

80

300

mm

mm = 0,267 folgt durch Ablesen im Diagramm die Formzahl tK ≈ 2,4

und demzufolge max = tK ∙ n ≈ 327,3 MPa

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W3 Genau B

HTW Berlin Adaptiv vernetzen und Konvergenz prüfen

Blatt 1 von 5


In der Übung W2 (Genau A) wurden die Ansys-Ergebnisse mit einer bereits bekannten analytischen Lösung verglichen. In dieser Übung W3 wird gezeigt, wie die Genauigkeit geprüft werden kann, wenn die Lösung vorher nicht bekannt ist. Das ursprüngliche Netz wieder herstellen:

Dazu das Beispiel von Übung W2 erneut starten > Berechnungsprogramm Mechanical > Links im Strukturbaum: Netz > Rechte Maustaste: Erstellte Daten löschen > Unten links: Relevanz = 0 setzen > +Netz > Verfeinerung löschen > Oben: Lösung.

Ergebnis Max. Hauptspannung Modell A:

Genauigkeits-Test-Variante B: (gemäß Übung 2, Blatt 2, Variante B)

Adaptive (automatische) Netzverfeinerung in Ansys mittels „Konvergenz“

Um die Ergebnisse der adaptiven Vernetzung mit denen des ursprünglichen Netzes übersichtlich vergleichen zu können, ist eine Modell-Duplizierung zu empfehlen:

Unten: Projekt-Seite Mitte: Block A

Rechte Maustaste: Dublizieren.

Das neue Modell B enthält dasselbe Material und dieselbe Geometrie wie Modell A. Das wird durch die blauen Verbindungslinien signalisiert.

Block B > Statisch-mechanische Analyse > Rechte Maustaste: Umbenennen: W3 adaptiv vernetzt

Im Block B doppelklicken > Oben: Lösung

Links im Strukturbaum: Max. im Hauptachsensystem > Rechte Maustaste: Einfügen > Konvergenz (Das Tool Konvergenz bewirkt in Workbench adaptive Netzverfeinerungen)

Oben: Lösung.

Das Bauteil wird selbständig feiner vernetzt.


HTW Berlin

Blatt 2 von 5 Links im Strukturbaum: Max. im Hauptachsensystem liefert jetzt

Links im Strukturbaum: Konvergenz > Mitte: Zu sehen ist ein Diagramm und eine Tabelle

mit dem Maximalwert 268,18 MPa der ursprünglichen Berechnung (siehe Modell A) im Vergleich zur neuen Lösung mit automatisch verfeinertem Netz. Der Unterschied beider Ergebnisse beträgt 13,19 %. Voreingestellt war ein Unterschied von 20 %. Dieser Wert kann kleiner eingestellt werden: Links unten: Zulässige Änderung z.B. 1 % > Oben: Lösung Ergebnis der weiteren Netzverfeinerung: Links im Strukturbaum Max. im Hauptachsensystem

Links im Strukturbaum: Konvergenz

Im dritten Verfeinerungsschritt beträgt also die Spannungs-Änderung zum vorher gehenden Modell 6,112 % (neu-alt)/neu. Weitere Verfeinerungen können erzeugt werden, indem immer wieder oben Lösung angeklickt wird.


HTW Berlin

Blatt 3 von 5 Ergebnis

Nach 5 Schritten beträgt hier die Spannungs-Abweichung zum vorher gültigen Wert weniger als 1 %. Links im Strukturbaum ist nun bei Konvergenz ein grünes Häkchen zu sehen. Sollte bei den Verfeinerungen einmal mehr als 256.000 Knoten erzeugt werden, wird damit die aktuelle Hochschullizenz überschritten. Deshalb würden weitere Verfeinerungen nicht mehr ausgeführt. Statt dessen käme dann nach erneuter Lösung die Fehlermeldung:

Ihre Produktlizenz hat eine Größenbeschrankung für numerische Probleme …

Achtung! Auch bei adaptiver Vernetzung ist die Einschränkung auf lokale Vernetzung dringend zu empfehlen, weil sonst Lager- und Belastungsregionen sowie kantige Übergänge unnötig fein vernetzt werden! Dazu bitte Links im Strukturbaum: Lösung > Rechte Maustaste: Erstellte Daten löschen > Links im Strukturbaum: Max. im Hauptachsensystem > Links unten: Geometrie >

Mitte: Die Bohrungs-Innenfläche anklicken > Links unten: Geometrie > Anwenden. Oben: Lösung > Lösung

jetzt sind nur 4 Lösungsschritte erforderlich, allerdings mit weniger Knoten und Elementen als vorher:


HTW Berlin

Blatt 4 von 5

Die Vernetzung insgesamt ist jetzt nicht sichtbar. Deshalb diese Spannung noch einmal einfügen:

Links im Strukturbaum: Lösung > Oben: Spannung > Max. im Hauptachsensystem Oben: Lösung Ergebnis Max. im Hauptachsensystem 2: bzw. umbenennen zu Max. im Hauptachsensystem gesamt

g

Im Vergleich zur Verfeinerung der gesamten Struktur:

1.) Etwa gleiches Ergebnis für die maximale Spannung, allerdings mit weniger Knoten und Elementen.

2.) Bei weiterer Verfeinerung der Variante von Blatt 2 würde die linke Kante automatisch immer feiner vernetzt werden, weil hier ein scharfkantiger Absatz mit theoretisch unendlich großen Spannungen vorhanden ist. (Dazu mehr in Übung W4 mit unbegrenzter Knotenanzahl)

Fazit: Auch die adaptive Vernetzung sollte nur lokal begrenzt angewendet werden .

Weitere Möglichkeiten zum Test der Genauigkeit:

Variante C

Gemittelte und ungemittelte Spannungen miteinander vergleichen, siehe Blatt 2 der Übung 2.

Dazu

Links im Strukturbaum: Lösung > Oben: Spannung > Max. im Hauptachsensystem

Max. im Hauptachsensystem 2

Umbenennen zu: Max. im Hauptachsensystem Nicht gemittelt

Links unten: Anzeigeoption > Nicht gemittelt > Oben: Lösung

Vergleichen Sie die gemittelten Ergebnisse mit den nicht gemittelten.

Um wie viel Prozent weichen die beiden Lösungen voneinander ab?

(ungemittelt - gemittelt)/gemittelt …………. %

Gehen Sie bitte auf die Projektseite in Block A und vergleichen Sie dort die max. gemittelte Hauptspannung mit der ungemittelten: ………. %


HTW Berlin

Blatt 5 von 5

Variante D Energie-Fehler (energy error) anzeigen

Dazu

Links im Strukturbaum: Lösung > Oben: Spannung > Fehler

Oben: Lösung.

! Dieser so genannte „Strukturmechanische Fehler“ ist kein Fehler in Prozent, sondern ein „Energie-Fehler“ (energy error) mit der Maßeinheit Milli-Joule.

Siehe oben: Hilfe > Hilfe zu ANSYS Mechanical > Suche > energy error > POST1 – Error Approximation Technique

Der Energie-Fehler ist wie jede mechanische Energie quadratisch abhängig von der Belastung.

Wenn Sie z.B. die Belastung 100 MPa in diesem Beispiel verdoppeln, werden die Werte des Energie-fehlers vierfach größer.

Auf der Grundlage dieses Energie-Fehlers (nach Zienkiewicz und Zhu) erfolgt in Ansys die adaptive Vernetzung: An den Stellen der Struktur, wo dieser Fehler am größten ist, wird bei Nutzung des Tools Konvergenz im nächst folgenden Berechnungsschritt die Struktur automatisch feiner vernetzt.

Projekt speichern: Links oben: Datei > Projekt speichern. Ansys beenden.

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W4 DesignSpace

HTW Berlin Blatt 1 von 2


DesignSpace ist eine abgerüstete Variante von Workbench mit eingeschränktem Funktionsumfang. Insbesondere nichtlineare Berechnungen großer Verformungen sowie Material-Nichtlinearitäten (z.B. Plastizität und Kriechen) sind damit NICHT möglich. DesignSpace im Unterschied zur Workbench wird ausführlich von C. Gebhardt beschrieben. Beide Bücher sind im Hanser-Verlag erschienen.

Für die Hochschul-Version besteht in DesignSpace keine Begrenzung der Knotenanzahl wie in der Workbench. An der HTW Berlin sind derzeit mit Ansys-Workbench nur Berechnungen mit jeweils maximal 256.000 Knoten möglich. Wer also nur lineare Berechnungen ausführen möchte, kann dies im PC-Labor mit unbegrenzter Knotenanzahl folgendermaßen tun:

Auf dem Desktop: Start > Programme > ANSYS 16.0 > ANSYS Client Licensing >

User License Preferences >

ANSYS Academic Teaching DesignSpace > rechts: Move up > Ok

Anschließend Ansys-Workbench starten. DesignSpace ist nur im Berechnungsprogramm Mechanical wirksam.

Die Geometrie-Modellierung mit dem DesignModeler sowie CAD-Importe sind bei DesignSpace identisch mit der Workbench.

! Beispiel-Berechnungen mit DesignSpace sollten Sie möglichst in einem Ordner auf dem Desktop ausführen, weil sonst Ihre Speicherkapazität überschritten wird.

Dieser Ordner wird nach dem Ausloggen automatisch gelöscht. Nach jedem Ausloggen wird die ursprüngliche Einstellung von Ansys-Workbench automatisch wieder hergestellt.

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W4 DesignSpace

HTW Berlin Blatt 2 von 2 Beispiel: Adaptiv vernetzen mit DesignSpace (dupliziert und getrennt gerechnet)

Lokal Global

Hinweis: Konvergenz auf 0 % setzen und dann immer wieder Lösung anklicken.

Wie viele Gleichungen werden hier im 6. Berechnungslauf verwendet? ……………......

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W5 Gefroren

HTW Berlin Frieren und tauen Blatt 1 von 2


Bauteile können in Workbench in mehrere Teile zerlegt werden, wenn sie vorher „gefroren“ werden. Derart zerlegte Bauteile führen oft zu gleichmäßigeren Vernetzungen, die wiederum für die Genauigkeit vorteilhafter sind. Beim Tauen werden diese unterschiedlichen Regionen wieder geschmolzen und zu einem Bauteil verbunden. Außerdem können an gefrorene Bauteile neue Bauteile angekoppelt werden, deren Koppelflächen im Berechnungsprogramm auch als bewegliche (Reibungs-)Kontakte interpretierbar sind. Zerlegung eines Bauteils durch Schneiden: Das Bauteil der Übung 2 und 3 soll in zwei Teile zerlegt werden.

Starten Sie im Ordner [ W2 Genau A] die Projektdatei. Mitte: Block A > Statisch-mechanische Analyse > Duplizieren > Umbenennen W5 Gefroren

Im neuen Block Geometrie doppelklicken.

Links im Strukturbaum: Ebene4 >

Oben: Neue Skizze >

Links im Strukturbaum: Diese Skizze anklicken >

Links: Skizzieren > Rechteck >

Mitte:

Rechteck zeichnen größer als das Seitenteil Links oben: Erstellen > Oben: Extras: Frieren (! Nur damit kann das Bauteil anschließend zerschnit-ten werden! ) > Oben: Extrudieren > Links unten: Operation Material schneiden > Links unten: Richtung: Normale > Links oben: Erstellen.

Jetzt gibt es 2 Bauteile und 2 Körper (ein Teil mit Bohrung und ein Seitenteil).

Diese beiden getrennten Körper würden bei der FEM-Berechnung auseinander fallen.

Deshalb Bauteilgruppe deklarieren: Links im Strukturbaum: + 2 Bauteile, 2 Körper > die beiden Volumenkörper mit Shift-Taste markieren > Rechte Maustaste > Bauteilgruppe erzeugen

Unten: Projekt > Block B Modell doppelklicken > Ja > … usw. … Relevanz = 0 und ohne Konvergenz: Max. im Hauptachsensystem

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W5 Gefroren

HTW Berlin Frieren und tauen Blatt 2 von 2 Bauteil nochmals teilen: Dazu DesignModeler öffnen (Projektseite, Geometrie anklicken) >

dann z.B.

die vordere schmale Fläche anklicken > oben: Neue Ebene > Links unten: Transformation 1:

Z-Versatz (weil der blaue Pfeil die z-Richtung der Ebene kennzeichnet) > FD1 -300 mm

Oben: Erstellen > Links im Strukturbaum: Die neue Ebene anklicken > Skizzieren > Rechteck >

Extrudieren … Material schneiden …

Ergebnis Max. im Hauptachsensystem

Projekt speichern > Ansys beenden.

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W6 CAD-Import



In Workbench können Modelle aus verschiedenen CAD-Systemen importiert werden, z.B. aus

Pro/Engineer, CATIA, Solid Edges, Inventor, Solid Works, Acis, Parasolid, Unigraphics und Mechanical Desktop.

Darüber hinaus können auch IGES- und STEP-Formate genutzt werden.

Beispiel 1: Ein Einzelteil

Pro/Engineer-Datei Hebel.prt

bzw. Hebel.igs aus dem Ordner [ W0 Muster ]

Ansys starten > Links: Statisch-mechanische Analyse doppelklicken > Bezeichnung umbenennen, z.B. Hebel IGES

IGES-Datei einlesen: Geometrie > Rechte Maustaste: Geometrie importieren > Durchsuchen > Datei Hebel.igs doppelklicken.

Block A: 4 Modell doppelklicken Das Programm Mechanical wird geöffnet.

Feste Einspannung und Einzelkraft einfügen … Lösung Vergleichsspannung (von Mises) und Verformung Gesamt.

Projekt speichern: Links oben : Datei > Projekt speichern > Neuer Ordner, z.B. [W6 CAD] > Dateiname, z.B. W-6

Beispiel 2:

Eine Baugruppe aus 2 Teilen

Pro/Engineer-Datei BAUGR.prt bzw. BAUGR.igs oder BAUGR.stp aus dem Ordner [ W0 Muster ]

Projektseite: Links: Statisch-mechanische Analyse doppelklicken > Bezeichnung Block B umbenennen, z.B. BAUGR.igs

IGES-Datei einlesen:

Block B: 3 Geometrie > Rechte Maustaste: Geometrie importieren > Durchsuchen > Datei BAUGR.igs doppelklicken >

Block B: 4 Modell doppelklicken Das Programm Mechanical wird geöffnet.


HTW Berlin Blatt 2 von 3 Workbench hat bereits automatisch den Kontaktbereich zwischen den beiden Körpern deklariert.

Links im Strukturbaum:

+ Kontakte/Verbindungen > + Kontakte > Kontaktbereich

Beide Kontaktkörper sind auch getrennt sichtbar.

Kontakteigenschaften:

Links im Strukturbaum: +Kontakte/Verbindungen > +Kontakte > Kontaktbereich Links unten

ist der Typ des Kontaktes zu sehen.

Standardmäßig werden Kontakte als Verbund deklariert, also fest miteinander verbunden.

Der Kontakt kann aber auch vom Nutzer reibungsfrei (als abhebender Kontakt) deklariert

werden oder reibungsbehaftet (abhebend mit Reibkoeffizient-Angabe), rau (abhebend, mit

∞ großem Reibkoeffizient) und nicht abhebend reibungsfrei gleitend (Keine Trennung).

Für dieses Beispiel soll der Verbund beibehalten werden. Dann feste Einspannung seitlich und Einzelkraft 1000 N …. Vergleichspannung …

Beispiel 1 mit Anbau:

Im Ansys-DesignModeler können die importierten CAD-Modelle auch zerschnitten werden (nur,

wenn sie gefroren sind!) oder erweitert werden. Zum Beispiel „Hebel mit Anbau“:

Projektseite (unten ) > Block A duplizieren > Block C umbenennen, z.B. zu

Hebel IGES mit Anbau > Block C: 3 Geometrie doppelklicken DesignModeler wird geöffnet

> Links oben >

das CAD-Modell ist jetzt im DesignModeler vorhanden (das war vorher nicht der Fall).

> Oben: Einheiten > Millimeter. Das Bauteil ist bereits gefroren (Kontrolle: oben Extras … )


HTW Berlin Blatt 3 von 3 Ein Rohr und eine Platte anfügen:

Oben Neue Ebene > unten links: Typ Durch Ebene anklicken Durch Fläche Basisfläche (gelb markiert): Nicht ausgewählt anklicken > Mitte: Struktur drehen und Fläche

anklicken (an der ein Rohr angefügt werden soll) > oben:

Dann links im Strukturbaum: Diese neue Ebene 4 anklicken > Oben: Ebene ausrichten >

Links: Skizzieren > Kreis > Mitte: Kreis zeichnen > evt. Modifizieren (Ziehen) …

Oben: Extrudieren > Mitte: Die Kugel im Koordinatensystem (ISO) anklicken >

Links unten: FD1, Tiefe 100 > Oben: > Jetzt ist kein Rohr, sondern ein Zylinder entstanden. Deshalb Extrudieren rückgängig machen: Links Extrudieren1 anklicken > Taste Entf > Ja. Noch einmal oben: Extrudieren > Links unten: Als dünne Geometrie/Oberfläche? Nein doppelklicken

> Oben: > Die Wandstärke des Rohres soll 10 mm betragen:

Links Extrudieren anklicken > Links unten: Dicke nach innen … …. Frieren.

…. Die Platte anfügen 10 mm Dicke … ! Bauteilgruppe erzeugen …

Links oben: Projekt speichern.

Diese Geometrie extra abspeichern:

Im DesignModeler Links oben: Exportieren > z.B. in den aktuellen Ordner [W6 CAD] :

> Dateiname: Hebel IGES mit Anbau jetzt gibt es im Ordner [W6 CAD] eine

DesignModeler-Geometrie-Datei mit der Datei-Erweiterung agdb.

Diese Datei kann nun für andere Berechnungen als Geometrie importiert werden.

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W7 Werkstoffe



Workbench starten > Links: Statisch-mechanische Analyse in die Mitte ziehen >

Geometrie doppelklicken > oben: Einheiten > Millimeter

Ganz oben: Erstellen > Grundelemente > Bogen > Links unten: Winkel 90° > Oben:

Projektseite > Block A: Modell doppelklicken Das Programm Mechanical wird gestartet. Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch >

Oben: Lagerungen > Fixierte Lagerung an der unteren Fläche

Oben: Lasten > Kraft > ….

Links unten: Definiert durch / Komponenten >

Y-Komponente / -1000 N

Vergleichsspannung nach Mises in MPa Gesamtverformung in mm

Projekt speichern … Neuer Ordner W7 Werkstoffe ...

Standardmäßig ist in Workbench als Material Baustahl voreingestellt.

Siehe links im Strukturbaum: + Geometrie > Volumenkörper > Links unten: Material Zuordnung.

Das Material kann auch bei der Geometrie mit angezeigt werden:

Links im Strukturbaum: Geometrie > Links unten Anzeigeformat / Material

Das ist besonders nützlich, wenn eine Struktur aus mehreren Körpern mit jeweils verschiedenen

Materialien besteht.



Einzelheiten zu dem aktuellen Werkstoff:

Projektseite > Block A: Technische Daten doppelklicken

5 Fenster:

Links die Toolbox mit allen möglichen Materialeigenschaften,

in der Mitte der so genannte Strukturbaum mit Angabe der Materialien einschließlich Quelle (Materialdatenbanken)

und darunter die einzelnen Kennwerte (Eigenschaften) des Materials,

rechts oben Tabellenwerte

und rechts unten Diagramm des jeweiligen Kennwertes.

! Falls die Fenster nicht angezeigt werden können: Oben links: Ansicht > Fensterlayout zurücksetzen > auf der Projektseite: Technische Daten erneut doppelklicken. Der hier verwendete Baustahl ist ein isotrop-elastischer Werkstoff und benötigt deshalb nur zwei Kennwerte, z.B. den E-Modul und die Querkontraktionszahl oder alternativ zwei andere Kennwerte, die sich daraus berechnen lassen. In der Toolbox links sind die entsprechenden Eigenschaften grau hinterlegt und damit festgelegt. Die Maßeinheiten der Kennwerte (unten in der Mitte sichtbar) kann geändert werden:

Oben: Maßeinheiten > z.B. Metrisch (kg, mm… ) > sowie Maßeinheiten > Werte in

Projektmaßeinheiten anzeigen.


HTW Berlin Blatt 3 von 5 Weitere Werkstoffe hinzufügen:

Oben: Quellen für technische Daten ein weiteres Fenster wird geöffnet:

Standardmaterialien doppelklicken > Aus dieser Datenbank einige Werkstoffe auswählen, z.B.

Aluminiumlegierung > Hinzufügen zum Projekt >

Grauguss

Polyethylen

Das Fenster Strukturbaum für Standardmaterialien schließen x Oben: > Mechanical öffnen > Links im Strukturbaum: + Geometrie > Volumenkörper > Links unten: Material / Zuordnung > den Pfeil bei Baustahl anklicken: Jetzt sind diese Materialien verfügbar.

Tragen Sie bitte in die folgende Tabelle 1 die Werte für Baustahl vom Blatt 1 dieser Übung ein und anschließend der Reihe nach die Ergebnisse für die anderen drei Werkstoffe. Dazu in Mechanical den Werkstoff einstellen: Links im Strukturbaum: + Geometrie > Volumenkörper > Unten links: Material Zuordnung ändern …

Werkstoff

Max. Vergleichsspannung

in MPa

Abweichung von Baustahl

in %

Max. Gesamtverfor-mung in mm

Abweichung von Baustahl

in %

Baustahl --- ---

Aluminiumlegierung

Grauguss

Polyethylen

Abweichung: (Neu / Baustahlwert) - 1, dann mal 100 %


HTW Berlin Blatt 4 von 5 Auffällig in Tabelle 1 ist, dass die Verformungen viel stärker vom Werkstoff abhängig sind als die Spannungen. Zur Erinnerung: Nach welcher Formel wird die Biegespannung bei Balken berechnet?

max baaaa Werkstoffkennwerte kommen darin nicht vor.

Also müsste die Spannung unabhängig vom Werkstoff sein. Bei der Durchbiegung von Balken jedoch tritt immer ein Term E I auf.

Zum Beispiel gilt für die Durchbiegung v eines einseitig fest eingespannten Balkens der

Länge a infolge einer Querkraftbelastung F am freien Ende:

3

max1

v 3

F a

E I

Die Durchbiegung sollte also irgendwie proportional zum E-

Modul sein.

Prüfen Sie bitte an Hand der vorliegenden Materialkennwerte diese Hypothese.

Um die Materialkennwerte aller 4 Werkstoffe zu sehen: Projektseite > Block A: Technische Daten doppelklicken > Links oben: Ansicht > Fensterlayout zurücksetzen >

Dann erneut Projektseite > Technische Daten doppelklicken jetzt sind alle 4 Werkstoffe sichtbar

Bitte die E-Modul-Werte und Zug-Streckgenzen in die folgende Tabelle 2 eintragen:

Werkstoff

E-Modul in MPa

Verformung in mm

extra berechnet

mit E-Modul *)

Abweichung

in % **)

Zug-

Streckgrenze in MPa

Baustahl 2e5 0,16761 ---

Aluminiumlegierung

Graugusseisen

Polyethylen

*) max max-Modul von Baustahl 2 5

v ( ) v . . 0.16761-Modul des Materials 71000

E eMaterial Baustahl z B mm

E

**) Abweichung zwischen den Ansys-Verformungsergebnissen der Tabelle 1 und Spalte 3 Tabelle 2 Fazit: Bei linear-elastischer Berechnung gilt auch für nicht-schlanke kompakte Bauteile:

Die Verformungen sind indirekt proportional abhängig vom E-Modul des jeweiligen Werkstoffes. Die Spannungen sind unabhängig vom Werkstoff.

Überprüfen Sie bitte die Festigkeitswerte der 4 Werkstoffe im Vergleich zu den berechneten maxi-malen Vergleichsspannungen (gemäß Tabelle 1 auf Blatt 3). Auch dazu bitte wieder die Materialdaten nutzen, insbesondere die Zug-Streckgrenze usw. Hinweis dazu: Wird mit der maximalen Vergleichsspannung die Streckgrenze oder die Zugfestigkeit überschritten, sind die berechneten Ergebnisse unrealistisch!


HTW Berlin Blatt 5 von 5 Das Überschreiten der Festigkeitswerte kann in Workbench auch angezeigt werden:

Unten: Mechanical > Links im Strukturbaum: Lösung > Oben: > Spannungs-Tool > Oben: Lösung. Links im Strukturbaum: Spannungs-Tool > Sicherheitsfaktor.

Angezeigt wird das Verhältnis von Zug-Streckgrenze und max. berechneter Vergleichsspannung.

Rechnen Sie bitte per Taschenrechner nach, ob Ansys richtig gerechnet hat.

Testen Sie bitte auch diese Berechnung mit Graugusseisen. Ausblick: Dimensionieren des Bauteils

Der Sicherheitsfaktor sollte für statische Beanspruchungen möglichst größer als 1,5 sein.

Dazu müssten Abmessungen („Dimensionen“) des Bauteils geändert werden und das Bauteil erneut berechnet werden.

Oder es müsste ein anderer Werkstoff eingesetzt werden.

Einen neuen Werkstoff hinzufügen:

Das Bauteil soll nun aus Baustahl S 235 gemäß FKM-Richtlinie bestehen. Dieser Werkstoff hat folgende Kennwerte:

E-Modul = 2,1∙105 MPa, Querkontraktionszahl 0,3

Zug-Streckgrenze = 235 MPa

Druck-Streckgrenze = 235 MPa

Max. Zugfestigkeit = 360 MPa

Max. Druckfestigkeit = 360 MPa.

Dazu Projektseite öffnen > Mitte: Technische Daten >

1. Möglichkeit:

Im oberen Fenster mittig Neues Material einfügen S 235 > links in der Toolbox Dichte anklicken

und in die Mitte ziehen auf das untere Fenster (Eigenschaften).

Ebenso Isotrope Elastizität und die 4 Kennwerte der Festigkeit Zug-Streckgrenze …

Dann die Werte in die gelb markierten Fenster eintragen ! Dabei Maßeinheiten beachten ! z.B. Dichte 7,85e-6 in kg mm^-3 wie bei Baustahl.

2. Möglichkeit zur Eingabe eines neuen Werkstoffes:

Baustahl duplizieren und die Werte ändern. …. Abschließend Projekt speichern.

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W8 Belastungen

HTW Berlin Einige ausgewählte Belastungsarten Blatt 1 von 5


Am Beispiel des Hebels mit Anbau aus der CAD-Übung 6 sollen verschiedene Lastarten demonstriert werden. Dazu neuen Ordner erstellen: [ W8 Belastungen ].

Dann aus dem Ordner [ W6 CAD ] die Geometrie-Datei Hebel IGES mit Anbau.agdb in den neuen Ordner kopieren.

Workbench starten > Links: Statisch-mechanische Analyse doppelklicken > Mitte: Geometrie > Rechte Maustaste: Geometrie importieren > Durchsuchen > Ordner [ W8 Belastungen ] …

Mitte: Block A Modell doppelklicken.

Links im Strukturbaum: Lösung > Vergleichsspannung (nach Mises) und Verformung Gesamt >

Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch > Oben: Lagerungen > Fixierte Lagerung auf der

Zylinderfläche der größeren Bohrung.

1.) Einzelkraft

Links im Strukturbaum: Oben: Lasten > Kraft … 1000 N > auf die obere Fläche …

Hinweis zur Einzelkraft-Einwirkung:

Wenn die Kraft auf eine Fläche (hier rot markiert) wirkt, kann diese Kraft auch außermittig angebracht sein und hat dann die gleiche Wirkung wie eine mittige Belastung.

Wenn Sie die Kraft jedoch auf eine Kante oder einen Eckpunkt der Fläche einwirken lassen, wirkt zusätzlich und unsichtbar auf die Fläche ein Versetzungsmoment mit Kraft mal Hebelarm = Abstand der Kante oder des Punktes vom Flächenschwerpunkt!

Übung dazu:

Links im Strukturbaum: Kraft > Links unten: Geometrie > Oben Eckpunkt > Mitte: Einen Eckpunkt der bisherigen Lastfläche anklicken > Links unten: Anwenden. Oben: Lösung.

Das Bauteil ist jetzt zusätzlich verdreht (infolge des Versetzungsmomentes) und hat außerdem lokal eine höhere Maximalspannung, die mit feinerer Vernetzung nur zunimmt.

Ursache für diese höhere Spannung: Bei linienförmiger und noch mehr bei punktförmiger Lasteinleitung entstehen „singuläre“ Spannungen, die unrealistisch sind.

Deshalb sollten Belastungen möglichst nur auf Flächen oder ganze Körper aufgebracht werden.



2.) Lastflächen definieren

Belastungen können in Workbench nur auf vorhandene Flächen, Kanten und oder Eckpunkte aufgebracht werden.

Oft werden aber auch Lastangriffsflächen benötigt, die auf einer größeren Geometriefläche liegen.

Zum Beispiel soll hier eine Kraft auf das Rohr wirken und eine weitere Kraft auf den vertikalen Steg:

Dazu gibt es im Ansys DesignModeler die Extrusions-Funktion „Flächen mit Prägung“

Voraussetzung: Das jeweilige Volumen muss getaut sein.

z.B.: Kraft 1: Projektseite öffnen: unten > Geometrie > ...

den Hebel tauen ….

Die Seiten-Fläche anklicken > Neue Ebene > Typ: Durch Fläche

> Oben: erstellen > Skizzieren … Rechteck oder Kreis …

Oben: Extrudieren > Links unten Operation / Flächen mit Prägung versehen >

Oben: Erstellen jetzt gibt es eine neue Fläche > Das betreffende Volumen (den Hebel) wieder frieren

Falls die Geometrie teilweise durchsichtig ist: Auf der Projektseite: Projekt aktualisieren! Kraft 2:

Zuerst das Rohr tauen >

Lastfläche auf gekrümmte Fläche aufbringen durch Projektion:

Die obere Fläche anklicken: oben: Neue Ebene >

Skizzieren > Rechteck oder Kreis > Extrudieren …

Flächen mit Prägung … Alles frieren

Falls keine brauchbare Bezugsfläche vorhanden ist, kann eine neue Ebene auch durch

„Transformation“ erzeugt werden:

Dazu ein anderes Beispiel:

Links im Strukturbaum: z.B. YZ_Ebene > oben: Neue Ebene > Links unten: Transformation 1 >

Z-Versatz (in Richtung des blauen Pfeils) > FD1: 50 mm >

oben: die neue Ebene ist jetzt um 50 mm versetzt.

Links: Skizzieren > Rechteck > Mitte: Rechteck zeichnen > usw.

1

2



3.) Trägheitslasten

Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch > Oben: Trägheitslasten >

a) Belastung infolge Eigengewicht

Erdanziehungskraft …

+Y

Die bisherige Kraft löschen …

b) infolge Beschleunigung

z.B. zusätzlich Seitenbeschleunigung a = 2 2/m s in x-Richtung bei Kurvenfahrt. (Der Hebel soll an einem Fahrzeug befestigt sein, das z.B. mit 50 km/h durch eine Kurve fährt.)

oben: Trägheitslasten > Beschleunigung > links unten: Definiert durch: Komponenten …

Wie groß ist der Kurvenradius, damit bei dieser Geschwindigkeit diese Seitenbeschleunigung entsteht? …….. m

Wie lautet die Formel dazu? ………………..

Skizzieren Sie die Bahnkurve.

… dann zusätzlich Bremsbeschleunigung in z-Richtung mit 3 2/m s (wohin fährt das Fahrzeug? Nach vorn oder nach hinten?)

c) Trägheitslast infolge Rotation („Fliehkraft“-Belastung)

Rotationsgeschwindigkeit … 200 U/min Maßeinheit beachten und einstellen

Die Lagerung muss dafür frei drehbar sein, z.B. als

Zylindrische Lagerung oder Reibungsfreie Lagerung …

(Zylindrische Lagerung funktioniert nur, wenn Sie vorher das

Modell "vereinfacht" haben, um die beiden Halbschalen in eine

durchgehende Fläche umzuwandeln. Dazu ganz oben: Erstellen

> Körperoperationen > Typ: Vereinfachen … )

… die bisherigen Lager und Belastungen unterdrücken. Wie ändert sich die Spannung, wenn die Drehzahl halbiert wird? Warum ist der Faktor genau 1/4 ? Wie lautet die Formel dazu? ………………..



4.) Externe Kraft (ist mehr als eine „normale“ Kraft!)

Projektseite (unten ) > Links: Statisch-mechanische Analyse doppelklicken ein neuer Block wird erstellt > Umbenennen zu Externe Kraft > Geometrie doppelklicken DesignModeler startet > Oben: Einheiten > Millimeter > Ganz oben: Erstellen > Grundelemente > Quader > lins

unten: FD6, X-Komponente 600 mm > Oben: Projektseite > In aktuellen Block Modell doppelklicken >

Randbedingungen: einseitig fest eingespannt und Kraft 1000 N:

Wie groß ist die max. Vergleichsspannung nach Mises? maxV = ………… in MPa

Und die max. Gesamtverformung? maxvges = ………… in mm

Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch > die Kraft unterdrücken und statt dessen:

Externe Kraft mit 1000 N in –Y-Richtung > Oben: Lösung gleiches Ergebnis wie vorher.

Links im Strukturbaum: Im Unterschied zur Kraft sind bei Externer Kraft links unten 3 Koordinaten zu sehen, die den Kraftangriffspunkt beschreiben.

Wird dieser Kraftangriffspunkt („extern“) versetzt, z.B. indem die Z-Koordinate auf -185 mm geändert wird, so entstehen andere Spannungs- und Verformungsergebnisse:

Ergebnisse:

maxV = …….... MPa

maxvges = …….. mm

Die rot gezeigte Bezugsfläche ist dieselbe wie vorher bei der einfachen Kraft.

(Das globale Koordinatensystem kann links im Strukturbaum gezeigt werden: + Koordinatensysteme).

Damit wird hier ein Versetzungsmoment M = F · a mit einem Hebelarm a = 185+15 = 200 mm bezüglich des Flächenschwerpunktes der Bezugsfläche wirksam.

Dieselben Ergebnisse für die Vergleichsspannung und die max. Gesamtverformung sollten demzufolge mit einer Kraft und einem Moment F · a an Stelle der externen Kraft erzeugt werden.

Ergebnisse:

maxV = …….... MPa

maxvges = …….. mm


HTW Berlin Einige ausgewählte Belastungsarten Blatt 5 von 5 Fazit:

Die externe Kraft dient dazu, entfernte Belastungen aufzubringen, ohne die beteiligten Körper der

Lastübertragung modellieren zu müssen.

! Eine externe Kraft, die NICHT an der Bezugsfläche angreift, erzeugt stets zusätzlich mindestens 1

Versetzungsmoment bezüglich des Flächenschwerpunktes.

Beispiel für einen typischen Anfängerfehler:

Mit einer externen Last soll eine Belastung „bequem“ positioniert werden, z.B. hier bei x = 300 mm:

Dazu wieder die externe Kraft einstellen mit den Bezugsflächen-Koordinaten x = 600 mm, y = 15 mm

und z = 15 mm.

Dann links unten X-Koordinate 300 mm > Oben: Lösung Ergebnis Vergleichsspannung

Interpretieren Sie das Ergebnis. Wie müsste die Verformung eigentlich aussehen, wenn hier nur eine Einzelkraft bei x = 300 mm wirken würde? (Um hier die Einzelkraft korrekt zu positionieren, müsste der Balkenkörper vorher entweder im DesignModeler zerlegt werden oder eine Flächenprägung erhalten.) Abschließend Projekt speichern.

D. Joensson Mechanical APDL 16 W9 Classic

HTW Berlin Datei Kerbe1 Blatt 1 von 4


Vorbereitung: Erstellen Sie zunächst in Ihrem Workbench-Verzeichnis einen speziellen Ordner für Ansys-Classic, z.B. [ W9 Classic ] Dort hinein kopieren Sie bitte die Textdatei Kerbe1.txt. (Text siehe Blatt 4)

Diese Datei enthält sämtliche Anweisungen zur Modellerstellung im so genannten Preprozessor (Eingabeprogramm), Berechnungsteil (Solution Part) und Postprozessor (Ergebnis-Darstellung).

Wird diese Datei von ANSYS Classic aufgerufen, werden alle diese Anweisungen der Reihe nach abgearbeitet. Jedes Ausrufezeichen auf S. 4 bedeutet: Kommentar.

Starten der Classic-Version: Links unten: Start > Alle Programme > ANSYS 16.0 > Mechanical APDL 16.0 > Links oben: File > Read Input from … > Verzeichnis (Drives) … Ordner [ W9 Classic ] > Datei Kerbe1 doppelklicken.

Dieses Beispiel entspricht dem Bauteil mit Bemaßung der Übung W2.

Rechts: Dynamic Model Mode jetzt kann das Modell mit der Maus bewegt werden.

Front View Isometric View Dargestellt wird die 1. Hauptspannung S1 mit dem Vermerk (AVG), siehe im Bild in der Legende links. AVG bedeutet: Die Spannung wird gemittelt („averaged“) an den Knoten angezeigt.


HTW Berlin Datei Kerbe1 Blatt 2 von 4 In der Textdatei sind keine Maßeinheiten erwähnt – nur bei den Kommentaren in der Textdatei wird die Länge mm genannt. Demzufolge sind hier die Spannungen automatisch in N/mm2 = MPa angege-ben. Die maximale Verformung (Displacement Maximal) ist in der Legende links mit DMX gekennzeich-net und entspricht hier einem Wert in mm. Verschiedene Spannungen anzeigen:

Dafür gibt es zwei Möglichkeiten: Alles mit der Maus auswählen oder mit Anweisungen per Tastatur.

a) Mauseingabe Links General Postproc > Plot Results > Contour Plot > Nodal Solution (Knoten-Lösung wird angezeigt) > Stress > X-Component of stress >

Die Normalspannung in x-Richtung wird dargestellt Links: Nodal Solution > von Mises stress >

Die Vergleichsspannung nach GEH (von Huber, Mises und Hencky) wird dargestellt

b) Tastatur-Eingabe

Oben: plns,s,x eingeben (plot nodal solution, stress, x)

Dann z.B.

plns,s,eqv Vergleichsspannung nach GEH

plns,s,xy Schubspannung

plns,s,1 1. Hauptspannung usw. Spannungsergebnisse elementweise:

z.B: ples,s,1 plot element solution, stress, 1 jetzt ist in der Legende NOAVG eingetragen (no averaged).

rechts: Zoom Model > die Bohrung vergrößert zeigen > plns,s,1 (Knotenlösung) Mit dem Scroll-Fenster der Tastatur-Eingabe kann nun jede schon vorhandene

Anweisung erneut aktiviert werden.

Alternative dazu:

Mauseingabe – Links: General Postprocessing > Plot Results > Contour Plot > Nodal Solution > Stress ….

Der Hintergrund kann auch weiß eingestellt werden:

Oben: PlotCtrls > Style > Colors > Reverse Video.


HTW Berlin Datei Kerbe1 Blatt 3 von 4 Weitere Eingabe-Möglichkeit:

Text-Datei ändern unabhängig von Ansys.

z.B.: im Ordner [ W9 Classic ] die Datei Kerbe1.txt doppelklicken > links oben: Datei speichern unter > Kerbe1a. In dieser Datei folgende Änderungen vornehmen:

/title, Kerbe1a neue Bildunterschrift pcirc,80 eintragen (die Bohrung soll jetzt einen Radius von 80 mm haben).

Links oben: Datei > Speichern. Diese geänderte neue Datei wird nun mit Ansys gestartet: ANSYS > Links oben: File > Clear & Start New

(unbedingt erforderlich, wenn Ansys schon geöffnet ist, weil ansonsten die Datenbasis der Datei Kerbe1.txt weiter verwendet wird)

OK > Yes. Links oben: File > Read Input from > Kerbe1a doppelklicken > Close. Sie können nun auch andere Zahlenwerte in der Datei ändern und mit Ansys neu starten. z.B. die Belastung auf 500 MPa erhöhen oder den E-Modul verändern …. Vorteile der Datei-Nutzung in Ansys-Classic:

1.) Sämtliche Anweisungen sind als lesbare Textzeilen sichtbar.

2.) Das Berechnungsbeispiel kann so rationell gespeichert werden. Eine kürzere Darstellung gibt es nicht.

3.) Änderungen des Modells können gezielt realisiert werden.

4.) Einzelne Textpassagen können als Makro-Befehle für andere Beispiele verwendet werden. Nachteil: Die Ansys Anweisungsprache ist anzuwenden. Diese Sprache heißt APDL (Ansys Parametric Design Language). Mehr dazu z.B.

im Buch FEM für Praktiker – Band 1 Grundlagen von Müller und Groth. oder in Ansys-Classic > Oben: Help > Help Topics > Search: apdl

In Ansys Workbench können diese Classic-Anweisungen als „Commands“ bzw. „Befehle“ zusätzlich im Strukturbaum links eingefügt werden, um spezielle Berechnungen auszuführen, die nur die Classic-Version bietet.


HTW Berlin Datei Kerbe1 Blatt 4 von 4

Text-Datei: Kerbe1.txt

/prep7 ! ----- Start des Preprozessors --------------- /title, Kerbe1 et,1,42,,,3 ! finites Flächenelement Plane42 r,1,10 ! Dicke der finiten Elemente = 10 mm ! Materialkennwerte für Stahl: mp,ex,1,2.1e5 ! E-Modul = 2.1 * 10 hoch 5 MPa mp,nuxy,1,0.3 ! Querkontraktionszahl = 0.3 rect,0,150,0,150 ! Rechteck x = 0 bis 150, y = 0 bis 150 mm pcirc,40 ! Kreis, Radius 40 mm asba,1,2 ! Fläche 1 minus 2 rect,150,300,0,150 ! weiteres Rechteck numm,all ! Automat. Verknüpfung benachbarter Ränder amesh,all ! Vernetzung aller Flächen arsy,x,1,3,2 ! symmetrisch spiegeln arsy,y,1,4,1 ! numm,all fini ! Ende des Preprozessors /SOLU ! ---- Solution Part -------------------- antype,static nsel,x,-300 ! linken Rand selektieren (x = -300 mm) d,all,all ! feste Einspannung alls ! alle Knoten selektieren nsel,x,300 ! rechter Rand bei x = 300 mm SF,all,pres,-100 ! Zug-Flächenlast -100 MPa alls SOLVE ! Berechnung ausführen fini /POST1 ! --- Postprocessing -------------------- /pbc,u,,1 ! Darstellung der Lager /psf,pres,2 ! Flächenlasten /edge,1,1 ! Vernetzung /eshape,1 ! Flächen-Dicke plns,s,1 ! plot nodal solution, stress, 1 ! Darstellung der Spannung S1 (1. Hauptspannung)

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W10 Balken A

HTW Berlin Balken als Linienkörper-Modell Blatt 1 von 6


Der Kragarm mit den Längen 200 und 100 mm soll ein U-Profil mit Höhe 20 mm, Breite 10 mm und Wandstärke 1 mm haben. 1.) Geometrie erstellen Workbench starten > Links: Statisch-mechanische Analyse doppelklicken > Block A umbenennen: Balken A > Block A: 3 Geometrie doppelklicken > Einheiten > Millimeter > Links im Strukturbaum: ZX_Ebene > links: Skizzieren > Linie 200 mm und 100 mm senkrecht zueinander … Abmessungen …. Linien für das Balkenmodell zuordnen: Links: Modellieren > + ZX-Ebene > Skizze1 > oben: Konzept > Linien durch Punkte > Mitte: Eckpunkte der beiden Linien mit gedrückter Strg-Taste anklicken (2 mal 2 = 4 Punkte) > links unten: Anwenden > Jetzt sollten links unten 2 Punktsegmente vorhanden sein > Oben Erstellen. oben: Konzept > Querschnitt > U-Profil > links unten: Werte kontrollieren > oben: Erstellen >

Links im Strukturbaum: + 1 Bauteil > Linienkörper > links unten: Querschnitt auswählen > oben: Erstellen. Oben: Ansicht > Querschnittsvolumenkörper. Der vordere Balken der Länge 100 mm ist nicht so ausgerichtet wie in dem oben gezeigten Bild. Ausrichtung des vorderen Balkens:

Oben Kanten > Mitte: Linie der Länge 100 mm anklicken > links unten: Ausrichtungsmodus Vektor >

Drehen -90 ° > Oben: Erstellen.

Links im Strukturbaum: Am Linienkörper ist das Häkchen noch nicht grün (Hinweis auf ein Problem) Linienkörper, Rechte Maustaste: Unausgerichtete Linienkanten auswählen > Links unten: Ausrichtungsmodus Vektor > Oben: Erstellen. Links oben: Datei > Projekt speichern > Neuen Ordner erstellen, z.B. [ W10 Balken A ], Ordner öffnen > Dateiname: z.B. W-10.


HTW Berlin Balken als Linienkörper-Modell Blatt 2 von 6 2.) FEM-Berechnung

Projektseite (unten ) > Block A: 4 Modell doppelklicken > Links im Strukturbaum: Netz > Rechte Maustaste: Netz erstellen.

Randbedingungen:

Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch >

oben: Lagerungen > Fixierte Lagerung > Oben: Punkt >

Mitte: Punkt wählen > links unten: Anwenden.

Oben: Lasten > Kraft > Mitte: Punkt wählen > links unten: Geometrie Anwenden > Links unten: Definiert durch Komponenten > Y: -8 N

Spannung und Verformung:

Links im Strukturbaum: Lösung (A6) > Oben: Spannung alle Spannungen sind gesperrt!

Zur Darstellung von Spannungsergebnissen wird hier das so genannte Balken-Tool benötigt!

Links im Strukturbaum: Lösung (A6) > Rechte Maustaste: Einfügen > Balken-Tool. Links im Strukturbaum: Lösung (A6) > Oben: Verformung > Gesamt. Oben. Lösung.

Im Balken-Tool werden nur drei Spannungen angezeigt: Eine „Normalspannung“ (= Zug-Druck-Längskraft-Spannung in Balkenlängsrichtung) und die „Min. und Max. Spannung (kombiniert)“, d.h. Biegespannung plus Zug-Druck-Längsspannung.

Wie groß ist die Max. Spannung (kombiniert) ? …………………… MPa

Im Balken-Tool von Workbench werden Schubspannungen, Hauptspannungen und

Vergleichsspannungen NICHT dargestellt !

Diese Spannungen sind jedoch in Ansys-Classic auch für Balken verfügbar.

Dazu bitte die Classic-Version mit dem modellierten Beispiel starten: Projektseite > Links unten: Komponentensysteme > Mechanical APDL mit linker Maustaste auf Block A 5 Setup ziehen. Ergebnis:

Oben: Berechnung aktualisieren


HTW Berlin Balken als Linienkörper-Modell Blatt 3 von 6 Block B: : 2 Analyse Rechte Maustaste: In Mechanical APDL bearbeiten …

die Classic-Version wird geöffnet.

Rechts: Schrägansicht > Fit View > Dynamic Mode (wie in Übung W9).

Gezeigt wird das Balkenmodell als Linien-Tragwerk in Schrägansicht.

Hintergrund weiß: PlotCtrls > Style > Colors > Reverse Video. Zur Darstellung der Vergleichsspannung z.B. nach Huber, Mises und Hencky sind folgende Anweisungen erforderlich (oben, per Tastatur) ähnlich wie in Übung W9:

/solu

solve

/post1

/esh,1

/view,1 ,1,1,1

plns,s,eqv

bedeutet: Lösungsprozessor starten

Gleichungssystem lösen

Postprozessor starten

Elementgestalt einschalten

Schrägansicht

Spannungs-Ergebnisse darstellen (plot nodal solution, stress)

eqv: Vergleichsspannung nach Mises …

Letzte Zeile mit Enter abschließen!

Diese Befehlsfolge (ohne Kommentierungen) könnte auch in eine Textdatei geschrieben werden, z.B.

mit dem Windows-Editor als Datei z.B. mit dem Namen Classic.txt und im aktuellen Ordner [ W10

Balken A ] gespeichert werden. Dann in Mechanical APDL: Links oben > File > Read Input File

> Classic.txt

Alternative, noch einfacher:

Diese Befehlsfolge als Commands (APDL) in Workbench-Mechanical einfügen:

Links im Strukturbaum Statisch-mechanisch > rechte Maustaste: Einfügen > Befehle

(APDL) > den oben eingerahmten Text eingeben, nach letzter Zeile: Enter.

Dann auf der Projektseite: Berechnung aktualisieren > Mechanical APDL > Analyse: rechte

Maustaste Block > In Mechanical APDL bearbeiten …

Ansys Classic zeigt sofort die Struktur in Schrägansicht mit Vergleichsspannungen.

Wie groß ist im aktuellen Beispiel die max. Vergleichsspannung? ……………… MPa Im Unterschied zur Workbench ist die Zug-Druck-Längsspannung für Balken in der Classic-Version

stets die Normalspannung σx in x-Richtung ( Eingabe: plns,s,x ) Hier also: Sx_max = …………... MPa

Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Balken-Tool der Workbench.

Wie groß ist die max. Schubspannung xy ? ( Eingabe: plns,s,xy ) Tau-xy_max = ………... MPa


HTW Berlin Balken als Linienkörper-Modell Blatt 4 von 6 Fazit:

In der Workbench werden Schubspannungen nicht angezeigt! Folgerichtig fehlen damit auch Vergleichsspannungen und Hauptspannungen.

Ergebnisse für dieses Beispiel:

Hier dargestellt mit maßstabsgetreuer Verformung im Vergleich zur unverformten Struktur. Die Umschaltung in die Classic-Version liefert:

Vergleichspannung nach GEH und Balken-Längsspannung Sx mit Ansys Classic Nur die Spannung Sx der Classic-Version stimmt mit der so genannten Max. Spannung (kombiniert) des Workbench-Balken-Tools überein. Die für die Festigkeitsbeurteilung duktiler Bauteile maßgebende Vergleichsspannung ist hier also deutlich größer als die in Workbench angezeigte max. Spannung!

! Vor weiteren Berechnungen mit Workbench sollte das Classic-Fenster geschlossen werden, weil ansonsten Probleme mit der Lizenzverwaltung entstehen.


HTW Berlin Balken als Linienkörper-Modell Blatt 5 von 6 3.) Anderes Profil

Der 200 mm lange Balken soll jetzt einen Rohrquerschnitt erhalten mit Außendurchmesser 20 mm und Wandstärke 2 mm.

Projektseite (unten ) > Block A: Statisch-mechanische Analyse > Duplizieren. Block C Bezeichnung neu: Balken A mit Rohr > … Geometrie …

Bisher existierte nur 1 Linienkörper mit 1 Profil. Jetzt sind 2 Linienkörper erforderlich, um verschiedene Profile zu modellieren.

Dazu sollten Teile des vorhandenen Körpers geschnitten bzw. entfernt werden.

Derartige Operationen sind in Workbench nur möglich, wenn der betreffende Körper „gefroren“ ist.

Oben: Extras > Frieren > Oben: Erstellen > Links im Strukturbaum: + ZX_Ebene > Skizze1 > links: Skizzieren > Modifizieren > Ausschneiden > Mitte: die Linie der Länge 200 mm anklicken > entfernen > oben: Erstellen der längere Balken ist verschwunden. Oben: Konzept > Linien durch Punkte > den ersten Punkt anklicken (z.B. den Koordinatenursprung) > mit Strg-Taste den zweiten Punkt anklicken > links unten Anwenden > oben: Erstellen nun gibt es 2 Linienkörper. Beim zweiten Linienkörper fehlt noch der Querschnitt. Oben: Konzept > Querschnitt > Ringprofil > Ri = 8 mm Ro = 10 mm > oben: Erstellen.

Links im Strukturbaum: den zweiten Linienkörper anklicken > unten links: Querschnitt Ringprofil1 > Erstellen.

FEM-Berechnung: Projektseite (unten ) > Block C: 4 Modell doppelklicken > Ja >

Oben: Lösung Fehler! Links im Strukturbaum: Rote Blitze. Das Bauteil ist nicht gelagert. Also … Oben: Lösung Fehler! Links im Strukturbaum: Erneut Rote Blitze.

Ursache: Die beiden Balken sind NICHT miteinander verbunden. Zurück zur Projektseite > Block C: 3 Geometrie doppelklicken > … Bauteilgruppe erzeugen … Projekt speichern > Erneut Projektseite > Block C: 4 Modell doppelklicken > Ja > Auch hier kann die Vergleichsspannung wieder mit Ansys Classic berechnet werden. Dazu bitte die entsprechende Classic-Befehlsfolge in Workbench einfügen, wie in Blatt 3 gezeigt wurde.

Die größte Schubspannung tritt jetzt im U-Profil auf. Warum? Schnittreaktionen in Workbench: (vorher Classic-Version schließen)

Links im Strukturbaum: Lösung > Oben: Balken-Ergebnisse > Längskraft, Biegemoment, Torsionsmoment und „Schubkraft“ (was ist damit gemeint?) Das so genannte „Schubmomentendiagramm“ erfordert vorher die Definition eines Pfades (wie in Übung W1, Blatt 7) … Dann können die Schnittreaktionen als Diagramme sichtbar gemacht werden. Zur Erläuterung siehe auch die Hilfe in Ansys: Links im Strukturbaum: Lösung > Vektor-Schub-Moment-Diagramm > Taste F1 Ansys Help Viewer wird geöffnet > Im neuen Fenster: Structural Beams > Shear-Moment-Diagram …


HTW Berlin Balken als Linienkörper-Modell Blatt 6 von 6 4.) Volumenkörper als Modellierungshilfe

Aus den Kanten eines kompakten Bauteils soll ein Balkentragwerk generiert werden:

Projektseite: Statisch-mechanische Analyse doppelklicken ein neuer Block wird angelegt > umbenennen zu W10 Tragwerk > Geometrie doppelklicken > Maßeinheit Meter > Ganz oben: Erstellen > Grundelemente > Pyramide > links unten: FD8 Z-Komponente 12 m > FD15 Pyramidenhöhe 6 m > FD13 und FD14 jeweils 2 m > oben: Erstellen.

Zerschneiden des Bauteils in drei Teile: Oben: Extras > Frieren > Links im Strukturbaum: XY Ebene > Skizzieren > Rechteck (größer als die Grundfläche) > Extrudieren > Material schneiden > Links unten: FD1 Tiefe 2 m > Oben: Erstellen … noch einmal mit Tiefe 4 m (XY Ebene > Skizze 1 Extrudieren). Dann müssten drei Körper entstanden sein.

Balken-Modell erstellen:

Oben: Konzept > Linien durch Kanten > Oben: Mitte: Kanten anklicken mit Strg-Taste > Oben: Erstellen 24 Kanten.

Volumenkörper: Links im Strukturbaum die drei Volumenkörper markieren > rechte Maustaste: Körper unterdrücken.

Quadratisches Kastenprofil zuordnen: Oben: Konzept > Querschnitt > Rechteckiges Hohlprofil. Der Querschnitt soll so beibehalten werden: 0,1 m hoch und breit sowie Wandstärke 0,01 m. … Querschnitt zuweisen … Oben: Ansicht > Querschnittsvolumenkörper.

Links im Strukturbaum: Linienkörper > rechte Maustaste > Unausgerichtete Linienkanten auswählen > Ausrichtungsmodus: Vektor …

Diagonale Streben mit L-Profil einfügen: Oben: Extras > Frieren (Ansonsten wird der gleiche Querschnitt weiter verwendet!) … Querschnitt L-Profil … Dann oben: Konzept > Linien durch Punkte > jetzt sollten 6 Punktsegmente vorhanden sein … Ausrichtungsmodus: Vektor …

Abschließend die Linienkörper als Bauteilgruppe zusammenfassen.

FEM-Berechnung:

z.B. fest eingespannt an 4 Punkten, Belastung durch Eigengewicht …. Vergleichsspannung berechnen … Abschließend Projekt speichern.

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W11 Balken B

HTW Berlin Balken als Linien- oder Volumenkörpermodell Blatt 1 von 3


Ein gekrümmtes Rohr soll jeweils mit finiten Balkenelementen und mit Volumenelementen berechnet werden, um beide Modelle vergleichen zu können. Rohrquerschnitt mit Außendurchmesser 20 mm Wandstärke 2 mm Das Bauteil soll rechts fest eingespannt sein und links oben mit einer Kraft von 500 N horizontal nach vorn gezogen werden.

1. Berechnung als Linien-Bauteil YZ-Ebene > waagerechte Linie zeichnen mit Länge 150 mm > Rechteck 200 x 200 > Kreis zeichnen mit Mittelpunkt rechts oben im Rechteck, Radius 200 mm > Kreis trimmen (Links im Strukturbaum: Zeichnen > Modifizieren > Trimmen), damit ein Viertelkreis übrig bleibt. Linienkörper erstellen: Oben: Konzept > Linien durch Skizzen > …. 1 Linienkörper entsteht > Ringprofil zuweisen. FEM-Berechnung mit finiten Balkenelementen: Ergebnis:

Wie viele Gleichungen wurden dafür vom Programm benötigt? …………………….. (Netz > links unten Statistik)

Berechnen Sie analytisch die max. Zug-Biegespannung σbmax-Zug und die max. Druck-Biegespannung

σbmax-Druck für dieses Beispiel.

Analytisch: σbmax-Zug = ……..…MPa σbmax-Druck = …………… MPa

Ansys-WB: σbmax-Zug = 220,53 MPa σbmax-Druck = …………… MPa

Abweichung in % vom Ansys-Ergebnis? Zug …….. % Druck ……. %



2. Berechnung als Volumen-Bauteil

Projektseite (unten ) > Links Statisch-mechanische Analyse neu > Neue Bezeichnung Block B: Balken Volumenkörper … Geometrie > Millimeter > Ok. XY-Ebene > 2 Kreise zeichnen mit Radien 10 und 8 mm > Extrudieren, Tiefe 150 mm Neue Ebene einfügen:

Links im Strukturbaum: XY-Ebene > oben: Neue Ebene unten links: Transformation 1: Z-Versatz 150 mm > Erstellen. Wieder 2 Kreise zeichnen 10 und 8 mm > eine Linie zeichnen parallel zur x-Achse (die als Drehachse für das anschließende Extrudieren per Drehung fungieren soll) im Abstand von 200 mm > Oben: Drehen > links unten Achse: Anwenden > Winkel 90 ° > Oben: erstellen.

Damit müsste jetzt ein Volumenkörper entstanden sein. FEM-Berechnung Fixierte Lagerung und Kraft wie beim Linienmodell Ergebnis:

! Diese Spannung ist NICHT die Biegespannung.



Für den Vergleich mit den Biegespannungs-Ergebnissen des Linienmodells wird hier die Normal-spannung in z-Richtung benötigt. Dazu Links im Strukturbaum: Lösung > Rechte Maustaste: Einfügen Spannung > Normal.

Wie groß sind die Biegespannungen? σbmax-Zug = ..…… MPa σbmax-Druck = ……… MPa

Wie groß ist die Abweichung in % vom analytischen Ergebnis? Zug …….. % Druck ….…. %

Wie viele Gleichungen wurden dafür vom Programm benötigt? …………………….. Netzdichte verändern: um nach Möglichkeit bessere Ergebnisse zu erreichen. Zum Beispiel kann mit Hilfe der Fehlerenergienorm in Ansys gezeigt werden, dass hier die Einspannstelle schlechter vernetzt ist als der Rest des Bauteils:

Links im Strukturbaum: Lösung > Rechte Maustaste: Einfügen > Spannung > Fehler Um Knoten zu sparen, Netz insgesamt gröber:

Links im Strukturbaum: Netz > links unten: Relevanz -100 Die Einspann-Ringfläche feiner vernetzen:

Links im Strukturbaum: Netz > Netzverfeinerung > links unten: Verfeinerung 3 Oben: Lösung der Strukturmechanische Fehler ist jetzt nicht mehr in der Einspannstelle am größten. Dort tritt jetzt ein anderes Problem auf. Welches? 3. Kraft 500 N in x- Richtung

Wie groß ist hier die analytisch berechnete max. Biegespannung? ………………….. MPa Wie groß ist die analytisch berechnete max. Torsions-Schubspannung? ….………….. MPa . Wie groß ist damit die Vergleichsspannung „nach Mises“ ? …………………. MPa Zum Vergleich numerische Berechnung mit Workbench:

a) als Linienkörper : max. Biegespannung ……………. MPa

b) als Volumenkörper mit feinster Vernetzung: max. Biegespannung ……………. MPa

max. Torsions-Schubspannung: ……………. . MPa

max. Vergleichsspannung …………….. MPa

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W12 Balken C

HTW Berlin Balken mit Lückenverbund Blatt 1 von 3


Die Berechnung von Balkentragwerken in Ansys erfolgt standardmäßig für die Schwerpunktlinien der Profile. Bei genauer Modellierung entstehen dadurch auch Lücken zwischen diesen Linien.

Diese Lücken können in Ansys durch die Kontakt-Art „Joint“ (Verbindung) als fester Verbund modelliert werden.

Als Beispiel soll berechnet werden:

I-Profil: Höhe 25 mm, Breite 10 mm, Wandstärke 1 mm, Länge 150 mm.

U-Profil: Höhe, Breite Wandstärke wie I-Profil, Länge 100 mm.

Material Baustahl.

Hinweis:

Höhenversatz durch eine zweite Ebene erzeugen und Schwerpunktlage des U-Profils beachten (Links

unten: Physikalische Eigenschaften > CGx, CGy)

Alternative zu den Schwerpunktlinien:

z.B. links im Strukturbaum: den unteren Linienkörper anklicken > Links unten: Versatztyp >

Benutzerdefiniert … )

FEM-Berechnung

Lücke als Verbund modellieren:

Links im Strukturbaum: Kontakte/Verbindungen > Rechte Maustaste: Einfügen >

Links unten: Bereich / Keine Auswahl > Mitte: Einen Punkt der Balken-Lücke anklicken > Links unten: Anwenden.

Links unten: Bereich / Keine Auswahl > Mitte: Den anderen Punkt der Balken-Lücke anklicken > Links unten: Anwenden.

Links im Strukturbaum: Lösung … Gesamtverformung … Balken-Tool …

Oben: Lösung.



Ergebnisse:

1.) Biegespannung in MPa mit dem „Balken-Tool“ in Workbench:

2.) Vergleichsspannung nach Mises, Huber und Hencky mit Ansys-Classic berechnet:

hier dargestellt mit einer älteren Classic-Version

Hinweise zur Classic-Berechnung:

1.) Wie in Übung W10 kann hier bereits in Workbench eine spezielle Befehlsfolge als eingefügt werden, damit dann in Classic die Vergleichsspannung sofort

angezeigt wird.

2.) Hintergrund weiß einstellen: Oben: PlotCtrls > Style > Colors > Reverse Video

3.) Nur in älteren Ansys Classic Versionen (z.B. in Version 13) wird sichtbar, dass als Verbund automatisch ein zusätzliches Balkenelement modelliert wird.

! Die Vergleichsspannung ist hier wegen der Einbeziehung der Torsionsspannungen deutlich größer als die Biegespannung, die in Workbench im Balken-Tool präsentiert wird.

Wie groß ist hier die max. Biegespannung? ………………… MPa



Alternative:

Vereinfachtes Modell ohne Geometrie-Versatz

(mit Durchdringung der beiden Profile):

Balken-Längen 150 und 100 mm

! Hier muss so vorgegangen werden wie in Übung W 10 :

Frieren anwenden

Bauteilgruppe

Keine Kontaktangaben im Simulationsmodul

Ergebnisse:

1.) Biegespannung in MPa mit dem „Balken-Tool“ in Workbench:

2.) Vergleichsspannung nach Mises, Huber und Hencky mit Ansys-Classic:

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W13 Balken-Tragwerk

HTW Berlin Balken-Tragwerk dimensionieren Blatt 1 von 3


Dimensionieren Sie ein Balken-Tragwerk, das durch eine statische, außermittige Last F und das eigene Gewicht belastet wird.

Geg.: Höhe = Breite = 1000 mm, Länge = 2000 mm. F = 5000 N in Gravitationsrichtung -y links fest eingespannt Balken-Werkstoff: Baustahl S235 mit Rm = 360 MPa und Re = 235 MPa

1. Zulässige Profil-Querschnittshöhe ermitteln,

wenn als Balkenquerschnitt ein Rechteck mit einer Breite b = 20 mm vorgegeben ist. Geometrie-Modellierung:

zunächst für eine bestimmte Profil-Querschnittshöhe, z.B. h = 50 mm ZX-Ebene > 2 Rechtecke zeichnen

Konzept Linien durch Punkte anwenden (je Linie 2 Punkte anklicken → 5 Punktsegmente) … Rechteck-Profil erstellen mit 20 x 50 mm > Profil zuordnen >

Querschnitte ausrichten: Alle Profile sollten hier hochkant stehen.

Falls dies nicht der Fall ist, oben Kanten > Mitte: Falsch stehende Profil-Linien anklicken > Links unten: Drehen > 90 > Ausrichtungsmodus: Auswahl > Vektor

Die schrägen Balken modellieren:

YZ-Ebene > 1 Rechteck vertikal zeichnen mit Höhe 1000 mm >

Konzept Linien durch Punkte anwenden für die schrägen Balken >

Linienkörper: Profil zuordnen > … Querschnitte ausrichten. Alles speichern: … neuen Ordner erstellen, z.B. [ W13 Tragwerk ] > Dateiname, z.B. W-13.



FEM-Berechnung:

…. Balken-Tool einfügen > … Lagerung …. Belastung ….

Lösung:

Wie groß darf die max. (Vergleichs-)Spannung sein? ………………………… MPa

Hinweis: Streckgrenze des Werkstoffes durch 1,5. D.h. die Sicherheit gegenüber der Streckgrenze sollte 1,5 betragen.

Die berechnete Spannung ist demzufolge offensichtlich zu groß.

Also Geometrie ändern und erneut berechnen: Dazu Block A duplizieren …Umbenennen Optimiert

Im neuen Block > DesignModeler:

Links im Strukturbaum: Rechteck1 unter Querschnitt anklicken > links unten: Höhe H ändern

> Oben: Erstellen > Links oben: Projekt speichern.

In Mechancial (unten ):

Links im Strukturbaum: Geometrie > Rechte Maustaste: Geometrie aktualisieren > Oben: Lösung.

Ist die Spannung nun in Ordnung?

Wenn nicht, erneut Geometrie ändern und erneut berechnen.

…. Ergebnis der Dimensionierung: h = ………… mm. !Achtung:

Im Balken-Tool der Workbench wird keine Schubspannung berücksichtigt (siehe Übung W10).

Vorsichtshalber sollte mit Ansys Classic die Vergleichsspannung nach Mises, Huber und Hencky berechnet und mit der zulässigen Spannung des Werkstoffes verglichen werden.

(Falls die max. Vergleichsspannung von der max. „kombinierten“ Spannung in Workbench deutlich abweicht, sollte der Querschnitt nach der Vergleichsspannung optimiert werden.)

Dazu die Classic-Version verwenden wie in Übung W10 und nach jeder Classic-Berechnung das Classic-Fenster schließen, ansonsten gibt es Fehlermeldungen bei der folgenden Workbench-Nutzung.

…. Classic-Ergebnis der Dimensionierung: h = ………… mm.

Die erforderliche Höhe h müsste jetzt größer sein als die mit Workbench berechnete Höhe.



2. Zulässigen Überstand ermitteln Block A erneut duplizieren …

Der vordere Balken war bisher 1000 mm von den Stützbalken entfernt. Dieser „Überstand“ soll nun

verändert werden.

Außerdem soll als Balken-Querschnitt ein T-Profil verwendet werden mit Flanschbreite = Steghöhe =

120 mm und Wandstärke 20 mm.

Projektseite > Block A duplizieren > in Block B: Querschnitt T-Profil …

Dann den Überstand dimensionieren:

a) Wie groß darf der Überstand maximal sein? ü = ……………. mm

b) Wie groß darf der Überstand maximal sein, wenn das Tragwerk mit F symmetrisch belastet wird?

ü = ……………. mm

c) Wie groß darf der Überstand maximal sein, wenn das Tragwerk nur durch sein Eigengewicht

belastet wird?

ü = ……………. mm

Abschließend Projekt speichern.

A

Workbench-Ergebnisse: zu 1) h ≈ 90 mm, 2) a) ü ≈ 2400 mm

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W14 Parameter

HTW Berlin Mit Parametern dimensionieren Blatt 1 von 4


In Übung W13 wurde das Tragwerk nur manuell dimensioniert.

In dieser Übung soll nun gezeigt werden, wie dieser Vorgang mittels Parametern optimiert werden kann.

Dazu soll das Projekt im Ordner [ W13 Tragwerk ] erweitert werden: In diesem Ordner die Datei W-13.wbdb doppelklicken Workbench wird gestartet > Block A enthält die ursprüngliche Tragwerksstruktur:

Auf der Projektseite Block A duplizieren neuer Block. In diesem neuen Block: DesignModeler > die Höhe h als Parameter deklarieren:

Links im Strukturbaum: Querschnitt > Rechteck1 > links unten: Abmessungen > das

Kästchen links neben H anklicken im neuen Fenster: Parametername eingeben z.B.

Rechteck1_Hoehe_H

In Mechancial ein Spannungsergebnis als Ausgabe-Parameter deklarieren:

Links im Strukturbaum: Balken-Tool > Max. Spannung (kombiniert) > Links unten:

Ergebnisse > das Kästchen neben Maximum anklicken.

jetzt gibt es auf der Projektseite einen Paramersatz für die Ein- und Ausgabe:


HTW Berlin Mit Parametern dimensionieren Blatt 2 von 4 Parametersatz doppelklicken

Eventuell Maßeinheit auf MPa umstellen: Oben: Maßeinheiten Metrisch (kg, mm …). Die Rechteck-Höhe ändern, z.B. auf 100 >

Oben: die komplette Neuberechnung wird automatisch durchgeführt

Oben: Projekt > Modell > Ergebnis in Mechanical :

Workbench kann auch mehrere Parameter-Varianten in einem Durchgang berechnen und als Diagram darstellen.

Dazu unten > Parametersatz doppelklicken > Das rechte Fenster (Tabelle von Design Points) enthält den aktuellen Eingabe-Parameter für die Höhe und den zugehörigen Ausgabe-Wert. Das Feld unter 100 anklicken und dort z.B. 90 eintragen dies ist nun „Design Point 1“ (DP 1) mit noch unbekanntem Ergebnis. Gemeint ist damit eine Variante 1 des Parametersatzes Hoehe P1-Max. Spannung P2.


HTW Berlin Mit Parametern dimensionieren Blatt 3 von 4 Die Höhe 50 mm war viel zu klein, die Höhe 100 mm ist offenbar zu groß für die zulässige Spannung 156,7 MPa. Deshalb bietet sich hier an, weitere Zwischenwerte berechnen zu lassen, z.B.:

Oben: > Ja Diese Parameter-Varianten können nun auch als Diagramm dargestellt werden. Dazu im mittleren Fenster (Strukturbaum der Parameter) Zeile 10 Diagramme anklicken > dann darunter Parameterdiagramm 0 doppelklicken ein neues Fenster wird geöffnet.

Dort in Zeile 4 die Hoehe P1 wählen und in Zeile 6 die Max. Spannung P2.

Rechts erscheint jetzt das zugehörige Parameter-Diagramm:

Der Verlauf zeigt den nichtlinearen Zusammenhang P2 über P1. Wie wir schon aus der Übung W 13 wissen, ist h ≈ 90 mm ein guter zulässiger Wert für die Querschnittshöhe.


HTW Berlin Mit Parametern dimensionieren Blatt 4 von 4 Um abschließend die FEM-Struktur in ihrer optimalen Geometrie zu präsentieren, schreiben wir nun

den Zahlenwerte 90 an Stelle von 100 in der Tabelle rechts oben in die Zeile mit DP 0 >

dann wieder oben: > Projekt > Modell >

Ergebnis in Mechanical :

Nachteil dieser Parameter-Variation:

Eine Dimensionierung auf Vergleichsspannung ist in dieser aktuellen Workbench-Version für

Balken-Linientragwerke noch nicht verfügbar.

Die Parameter-Variation funktioniert aber uneingeschränkt für Volumen- und Flächenkörper.

Weitere Möglichkeiten der Strukturoptimierung mit Workbench werden im „Praxisbuch FEM mit

ANSYS Workbench“ von Christoph Gebhardt unter dem Stichwort Parameterstudie erwähnt.


D. Joensson ANSYS Workbench 16 W15 Flächen A

HTW Berlin Flächenmodelle Blatt 1 von 5


Dünnwandige Flächenkörper (so genannte Schalenkörper) können im DesignModeler auf verschie-dene Weise erstellt werden:

1) mittels Konzept > Oberflächen durch Skizzen

2) mittels Konzept > Oberflächen durch Kanten

3) durch Extrudieren von Skizzen senkrecht zur Zeichnungsebene

4) als Oberfläche von Volumenkörpern

5) als „Mittelflächen-Modell“ aus Volumenkörpern

Die so erstellten Flächenkörper werden in Workbench automatisch mit ebenen finiten Schalen-Elementen vernetzt. 1. Flächenmodell mittels Oberflächen durch Skizzen

Neuen Ordner erstellen … Workbench starten … Block A Bezeichnung OF durch Skizzen >

Geometrie > oben: Einheiten > Millimeter > Links im Strukturbaum: XY-Ebene > Skizzieren >

Oval, Rechteck und Kreis.

Oben: Konzept > Oberflächen durch Skizzen >

Links im Strukturbaum: XY-Ebene > Skizze1 >

Links unten Basisobjekte: Anwenden >

Oben: Erstellen

Links im Strukturbaum: Schalenkörper angezeigt wird links unten: Dicke 0 mm. (Die tatsächliche Dicke wird erst im Simulations-Modul zugeordnet).

Projekt speichern. FEM-Berechnung:

Projektseite > Block A Modell > Links im Strukturbaum: + Geometrie > Schalenkörper > Links

unten: Dicke eintragen, z.B. 2 mm >

Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (A5) >

Lagerungen > z.B. feste Einspannung an der Kreisbohrung:

Oben: Kante auswählen >

… Erdanziehungskraft z.B. senkrecht zur Fläche> …

Links im Strukturbaum: Lösung (A6) …

Gesamtverformung und Vergleichsspannung (von Mises)


HTW Berlin Flächenmodelle Blatt 2 von 5

2. Flächenmodell mittels Oberflächen durch Kanten

Projektseite > Block A duplizieren > Block B Bezeichnung OF durch Kanten > Block B Geometrie

! Nur wenn bereits mindestens 1 Körper als Volumen-, Flächen- oder Linienkörper vorhanden ist, können Flächen aus Körperkanten modelliert werden.

Oben: Konzept > Oberflächen durch Kanten >

Mitte: Einzelne Kanten anklicken (ab der zweiten Kante mit Strg-Taste).

! Damit kann jeweils nur 1 zusammenhängende Fläche erzeugt werden! Hier z.B. die ovale Fläche mit 4 Kanten.

Oben: Erstellen.

Der ursprüngliche Schalenkörper sollte anschließend unterdrückt werden: Links im Strukturbaum: + 2 Bauteile, 2 Körper > Den ersten Schalenkörper anklicken > Rechte Maustaste: Körper unterdrücken.

Projekt speichern.

FEM-Berechnung:

Projektseite > Block B Modell > Ja > Links im Strukturbaum: +Geometrie > Schalenkörper > Links unten: Dicke eintragen, z.B. 2 mm > … z.B. fixierte Linien-Lagerung am rechten Halbkreisbogen und Erdanziehung senkrecht zur Fläche liefert:

2. Flächenmodell durch Extrudieren von Skizzen (Flächenerzeugung senkrecht zur Skizze)

Projektseite > Block A duplizieren > Block C Bezeichnung OF durch Extrudieren von Skizzen >

Block C Geometrie >

Links im Strukturbaum: Schalenkörper1 löschen

Links im Strukturbaum: +XY-Ebene > Skizze1 > Oben: Extrudieren > Links unten:

Als dünne Geometrie/Oberfläche > Ja > Links unten: Dicke nach innen > 0 mm > Oben: Erstellen.

Jetzt sind drei Schalenkörper vorhanden! Links im Strukturbaum: +3 Bauteile, 3 Körper


HTW Berlin Flächenmodelle Blatt 3 von 5 Für die FEM-Berechnung müssen diese Körper entweder teilweise unterdrückt werden oder mitein-ander durch eine weitere Fläche verbunden werden, z.B. durch eine Fläche mittels Skizze1.

! Dazu wiederum müssen die 3 Körper zuerst gefroren werden! Erst danach kann ein neuer Körper modelliert werden.

Oben: Extras > Frieren >

Dann wird die neue Fläche modelliert: Links im Strukturbaum: Skizze1 > Oben: Konzept > Oberflächen durch Skizzen > Links unten: Anwenden > Oben: Erstellen > Oben: Ansicht > Transparenz gefrorener Körper

Diese 4 Körper sollten nun als Bauteilgruppe deklariert werden, wenn sie fest miteinander verbunden sein sollen (ansonsten müssten sie anschließend im Simulations-Tool einzeln mittels Kontakt-Bedingungen verbunden werden).

Also Links im Strukturbaum: Die 4 Schalenkörper markieren > Rechte Maustaste: Bauteilgruppe erzeugen jetzt ist nur noch 1 Bauteil vorhanden mit 4 Körpern.

Projekt speichern.

FEM-Berechnung:

Projektseite > Block C Modell > Ja > Links im Strukturbaum: +Geometrie > Alle Schalenkörper

markieren > Links unten: Dicke eintragen, z.B. 2 mm

(jeder Schalenkörper kann auch extra markiert werden und jeweils eine andere Wandstärke erhalten).

… z.B. fixierte Linien-Lagerung am rechten hinteren Halbkreisbogen und Erdanziehung senkrecht zur hinteren Fläche liefert:

z.B. Gesamtverformung


HTW Berlin Flächenmodelle Blatt 4 von 5 4. Flächenmodell als Oberfläche von Volumenkörpern

Projektseite > Block A duplizieren > Block D Bezeichnung OF aus Volumen >

Block D Geometrie > Links im Strukturbaum: Schalenkörper, Extrudieren und Frieren löschen.

Einen Volumenkörper erzeugen:

Links im Strukturbaum: +XY-Ebene > Skizze1 > Oben: Extrudieren > Oben: Erstellen.

(beachten Sie den Unterschied zur blau markierten Zeile auf Blatt 2 dieser Übung).

Von diesem Volumenkörper sollen nun zwei Flächen als Schalenmodell verwendet werden.

Links im Strukturbaum: + 1Bauteil, 1 Körper > Volumenkörper > Oben: Dünne Geometrie/Oberfläche > Links unten: Dicke 0 mm > Auswahltyp : Beizubehaltende Flächen > Mitte: Flächen anklicken (ab zweite Fläche mit Strg-Taste).

Links unten: Geometrie Anwenden > Oben Erstellen.

Projekt speichern.

FEM-Berechnung:

Projektseite > Block D Modell > Ja > Links im Strukturbaum: +Geometrie > Schalenkörper >

Links unten: Dicke eintragen, z.B. 2 mm

Z.B. fixierte Linien-Lagerung an der unteren Querkante und Erdanziehung vertikal nach unten

liefert:


HTW Berlin Flächenmodelle Blatt 5 von 5 5. Mittelflächen-Modell aus Volumenkörpern

Hier soll nun ein anderer Volumenköper verwendet werden.

Projektseite > Block A duplizieren > Block E Bezeichnung Mittelflächen-Modell >

Block E Geometrie > Oben links: Datei > Modell neu beginnen > Ja >

Oben links: Erstellen > Grundelemente > Bogen >

Links unten: Winkel 90 > Basislänge 5 mm > Basisbreite 20 mm > Oben: .

Oben: Extras > Mittelfläche > Mitte: gegenüberliegende Flächen als Flächenpaar anklicken (mit Strg-

Taste) > Links unten: Anwenden > Oben:

Links unten: Körper beibehalten: Ja > Oben: (das hat den Vorteil, dass der ursprüngliche Körper jeder Zeit zur Kontrolle eingeblendet werden kann).

Projekt speichern.

FEM-Berechnung:

Projektseite > Block E Modell > Ja >

Links im Strukturbaum: +Geometrie > Volumenkörper > Rechte Maustaste: Körper unterdrücken >

Links im Strukturbaum: Schalenkörper Links unten ist jetzt die Dicke des Schalenkörpers bereits

eingetragen!

Lagerungen und Belastung vorgeben … z.B. fixierte Linien-Lagerung an der unteren geraden Kante

und Erdanziehung senkrecht zur Fläche liefert:


D. Joensson ANSYS Workbench 16 W16 Flächen B

HTW Berlin Flächenmodelle aus Volumen generieren Blatt 1 von 3


1. Volumenmodell der Übung W2 umwandeln

Ordner der Übung W2 kopieren und neu benennen, z.B. [ W16 Fläche B ] > In diesem neuen Ordner Datei *.wbpj doppelklicken Workbench startet.

Oben: Datei > Speichern unter … W-16 > (später im Ordner [ W 16 ] die Dateien von W2 löschen)

Dieses Modell soll als Flächen-Bauteil modelliert werden.

Dazu auf der Projektseite:

Block A umbenennen zu Volumen-Modell > Block A duplizieren > Block B umbenennen zu Flächen-Modell.

Block B: Geometrie doppelklicken >

Nur zur eigenen Information: Die Wandstärke der beiden flächenförmigen Volumenkörper beträgt jeweils 10 mm.

(Kann am Volumenmodell ausgemessen werden: Oben Kante > Mitte: Eine Kante der Dicke anklicken unten wird die Länge dieser Kante angezeigt).

Das Volumenmodell soll nun durch ein Mittelflächen-Modell ersetzt werden. Links oben: Extras > Mittelfläche > Mitte: gegenüberliegende Flächen als Flächenpaare anklicken (mit gedrückter Strg-Taste der Reihe nach alle gegenüberliegenden Flächen anklicken) > Links unten:

Anwenden jetzt müssten 2 Flächenpaare vorhanden sein > Oben: .

Damit sind zwei Schalenkörper entstanden, die auch gleich automatisch von Workbench zu einer Bauteilgruppe zusammengefasst wurden mit der Bezeichnung Volumenkörper.

Projekt speichern.

FEM-Berechnung:

Projektseite > Block B Modell > Ja >

Falls Pfade angegeben waren (aus Überbleibsel aus der Übung W1):

Links im Strukturbaum: Konstruktionsgeometrie löschen und alle Pfad-Berechnungen löschen >

Links im Strukturbaum: +Geometrie > Schalenkörper

Links unten sind jetzt die richtigen Dicken der Schalenkörper bereits eingetragen!


HTW Berlin Flächenmodelle aus Volumen generieren Blatt 2 von 3 Lagerung und Belastung NEU festlegen … entsprechend Übung W2

! An Stelle des Druckes -100 N/mm2 muss jetzt ein Liniendruck aufgebracht werden. …

Ergebnisse: Vergleichsspannung (von Mises): ……………..MPa

1. Hauptspannung: ……………..MPa Zur Erinnerung:

327,3 MPa für die 1. Hauptspannung wäre perfekt. Deshalb eventuell Bohrungsrand feiner

vernetzen, z.B. mit Verfeinerung 3.

Ergebnisse: Vergleichsspannung (von Mises): ……………..MPa

1. Hauptspannung: ……………..MPa

Vergleich mit dem Volumenmodell: (Relevanz 0, Netzverfeinerung Stufe 3 in der Bohrung)

Vergleich der Freiheitsgrade (Anzahl der Gleichungen) je Modell:

Jeweils links im Strukturbaum: Netz > Links unten: Statistik

Volumenmodell: ……….. Knoten …..…… Gleichungen

Flächenmodell: : ……….. Knoten …..…… Gleichungen

(Freiheitsgrade je Knoten: Siehe Vorlesung Seite 9-10 bzw. Übung W1, Blatt 5)


HTW Berlin Flächenmodelle aus Volumen generieren Blatt 3 von 3 2. Kasten-Bauteil

Gegeben ist ein Volumen-Geometriemodell eines Kasten-Bauteils mit drei U-Profilen als Umrandung.

Dieses Bauteil soll an den beiden unteren seitlichen

Kanten fest gelagert werden und mit seinem

Eigengewicht in Richtung –Y belastet werden.

Zuerst bitte die Datei Kasten-Bauteil.agdb in den Ordner [ W 16 ] kopieren.

Dann Projektseite: Links: Statisch-mechanische Analyse doppelklicken Block C wird erstellt >

neue Bezeichnung, z.B. Kasten-Bauteil

Block C: Geometrie > Rechte Maustaste: Geometrie importieren …

FEM-Berechnung dazu:

Lagerung … Belastung … Oben: Lösung

Das Modell ist offensichtlich fehlerhaft.

Das fällt erst richtig auf, wenn die Verformung

maßstabsgerecht eingestellt wird.

Die Spannungen sind auch viel zu hoch.

Außerdem ist bei diesem dünnwandigen Bauteil die Volumen-Vernetzung fragwürdig!

Deshalb: Flächenmodell NEU erstellen.

Projektseite: Block C duplizieren >

Block D: Neue Bezeichnung: Kasten-Bauteil als Flächenmodell > Block D Geometrie >

Mittelflächen-Modell erzeugen >

… falls dies aber scheitert:

Links oben: Datei > Modell neu beginnen > Ja >

Das Modell neu zeichnen und Skizzen extrudieren wie in Übung W 15 …

Dazu vorher die Maße des Modells (Höhe, Breite, Länge, Wandstärken) aus der Geometrie

des Volumenmodells abmessen.

Ergebnisse Block D: Vergleichsspannung (Mises) …………….. MPa

Max. Verformung ………….. mm

Anzahl der Knoten: ……………. Anzahl der Gleichungen: ………..

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W17 Modal

HTW Berlin Modalanalyse für freie Schwingungen Blatt 1 von 3


1.) Irgendeine Geometrie erstellen

Bevor Sie Ansys starten, erstellen Sie bitte für diese Übung einen neuen Ordner, z.B. [ W17 Modal ].

Dort hinein z.B. die IGES-Datei Hebel.igs aus dem Ordner [ W0 Muster ] der Übung W6

CAD-Import kopieren.

Workbench starten Projektseite: Links: Modalanalyse doppelklicken

Block A wird erstellt > neue Bezeichnung, z.B. Modalanalyse

Block A: Geometrie > Rechte Maustaste: Geometrie importieren …

Auf der Projektseite links oben: Speichern > Modal

Dann Block A: Modell doppelklicken Mechanical startet.

2.) Modalanalyse – zunächst frei schwebend ohne Lagerung

Oben: Lösung.

Links im Strukturbaum: Lösung Rechts unten (Tabellenbereich Daten) ist eine Tabelle sichtbar mit 6 Frequenzen.

Das sind die ersten 6 Eigenfrequenzen dieses Bauteils.

Die Anzahl kann verändert werden:

Links im Strukturbaum: Analyseeinstellungen > Unten links: Höchstanzahl zu suchender Moden: 6 z.B. ändern auf 10.

Oben: Lösung.

Links im Strukturbaum: Lösung Rechts unten sind jetzt in der Tabelle 10 Eigenfrequenzen sichtbar.

Darstellung der zugehörigen Eigenschwingformen:

In der Tabelle das Wort Frequenz anklicken (alle Frequenzen sind nun markiert) > Rechte Maustaste: Ergebnisse generieren

Links im Strukturbaum sind nun 10 Gesamtverformungen eingetragen > Oben: Lösung.

Links im Strukturbaum: Jede dieser Verformungen kann nun einzeln angeklickt werden

Sichtbar wird damit jeweils die Schwingform zu jeder berechneten Eigenfrequenz.

Im Vergleich dazu die Ausgangslage: Oben Kanten > Unverformte Drahtdarstellung anzeigen

Zum Beispiel

Schwingform der 9. Eigenfrequenz

Im Vergleich zur Ausgangslage.

Schwingform in Bewegung: Unten Mitte: Graph (Diagramm) > Animation ►


HTW Berlin Modalanalyse für freie Schwingungen Blatt 2 von 3 Maßeinheit der Auslenkungen:

! Die im Grafik-Fenster links oben angezeigte Einheit mm ist irreführend !

Schwingformen haben keine Auslenkungen in mm oder in Meter.

Starrkörper-Bewegungen:

Rechts unten in der Tabelle Die ersten 6 Eigenfrequenzen sind hier Null (oder fast Null im Vergleich zur 7. Eigenfrequenz).

Ursache:

Weil dieses Bauteil nicht gelagert ist („frei schwebend“), kann es 6 Starrkörperbewegungen ausführen ( 3 Verschiebungen und 3 Rotationen). Diese möglichen Bewegungen werden von Ansys als Eigenschwingformen mit Frequenz Null interpretiert.

Erst die 7. Eigenfrequenz führt hier zu einer echten Schwingform mit elastischer Verzerrung des Bauteils.

Wird das Bauteil gelagert, so verringert sich die Anzahl der Starrkörper-Freiheitsgrade.

Mit einer festen Einspannung (6 Freiheitsgrade fest gesetzt) irgendwo am Bauteil dürften demzufolge keine „Null“-Eigenfrequenzen auftreten, wie jetzt noch rechts unten im Tabellenbereich Daten zu sehen ist.

3.) Modalanalyse mit fixierter Lagerung

Zurück zur Projektseite (unten ) : Block A Modalanalyse > Rechte Maustaste: Duplizieren > Bezeichnung Block B: Modalanalyse mit Lagerung.

Block A umbenennen zu Modalanalyse frei schwebend.

Block B Modell doppelklicken > Links im Strukturbaum: Modalanalyse > oben: Lagerungen > Fixierte Lagerung >

Eine Fläche auswählen, z.B.

Oben: Lösung.

Jetzt dürften in der Tabelle rechts unten keine Null-Frequenzen mehr vorhanden sein.

Wie groß ist z.B. die 3. Eigenfrequenz? ……………… Hz

Welcher Anregungs-Drehzahl in U/min entspricht diese Frequenz? ………………


HTW Berlin Modalanalyse für freie Schwingungen Blatt 3 von 3 3.) Modalanalyse – mit Vorspannung

Beispiel: Geigensaiten. Die Vorspannung beeinflusst die Tonhöhe (die Frequenz)

Dies soll hier mit einer zusätzlichen statischen Kraft gezeigt werden.

! Zur Modalanalyse mit Vorspannung ist stets vorher eine statische Berechnung erforderlich!

z.B: Statische Berechnung mit 1 Kraft:

Projektseite (unten ) > Block B: Modalanalyse > Rechte Maustaste: Duplizieren > Block C:

Modalanalyse > Rechte Maustaste: Ersetzen durch: Statisch-mechanische Analyse.

(Damit wird das gleiche Bauteil mit gleicher Geometrie und gleicher Lagerung verwendet wie im Block B)

Block C: Setup doppelklicken > Links im Strukturbaum: Gesamtverformung bis Nr. 10 löschen >

Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch >

Oben: Lasten > Kraft > …z.B. 5000 N

Vergleichsspannung und Gesamtverformung berechnen …

Dann erst Modalanalyse mit Vorspannung:

Projektseite (unten ) Ganz links: Modalanalyse mit der linken Maustaste anklicken und auf

Lösung von Block C ziehen.

Den neuen Block D umbenennen zu Modalanalyse vorgespannt. Ergebnis:

Block D: Setup doppelklicken > …. 10 Frequenzen einstellen … 10 Schwingformen bereitstellen … Vergleichen Sie die Eigenfrequenzen, indem Sie die Frequenzen jeweils kopieren (rechts unten „Zelle kopieren“), z.B. in Excel einfügen und dann die prozentuale Abweichung berechnen:

Ohne Vorspannung Mit Abweichung (Mit – Ohne)/Ohne

113,95 121,07 6,25%219,82 221,06 0,56%

usw. für alle 10 Eigenfrequenzen. Welche Schlussfolgerung ziehen Sie aus diesem Vergleich?

Projekt speichern.

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W18 Plastisch

HTW Berlin Metall-Plastizität Blatt 1 von 5


Standardmäßig wird in Ansys Workbench mit rein elastischem Materialverhalten gerechnet.

Die Berechnung mit nicht-elastischem Materialverhalten wird in Ansys Workbench allein

dadurch aktiviert, indem diese Eigenschaft beim Material eingestellt wird.

Ansys bietet verschiedene nichtlineare Werkstoffgesetze für Kunststoffe und Metalle zur Auswahl an,

insbesondere vier „Verfestigungs“-Arten im plastischen Bereich für Metalle:

Bilinear isotrop

Multilinear isotrop

Bilinear kinematisch

Multilinear kinematisch

In dieser Übung wird als Beispiel bilineares kinematisches Materialverhalten verwendet.

Bilinear heißt lediglich, dass eine

vereinfachte Spannungs-Dehnungs-Linie

mit zwei Geraden verwendet wird,

für die nur zwei Kennwerte erforderlich

sind:

Streckgrenze und Tangentenmodul.

Zur kinematischen oder isotropen Verfestigung (hardening) im plastischen Bereich:

Siehe z.B. Kapitel 4.2 der Help-Funktion von Ansys Classic Version 13 (in der Datei "zu W18

Help A13-4.2.pdf") Dort sind diese Verfestigungsmodelle im Überblick beschrieben.

Weitere Details sind in der Help-Funktion der aktuellen Ansys-Version unter dem Suchwort "Plasticity" zu finden.


HTW Berlin Metall-Plastizität Blatt 2 von 5 Das Flächenmodell von Übung W16 plastisch berechnen

Neuen Ordner erstellen, z.B. [W18 Plastisch].

Dort hinein die Geometrie-Datei des Flächenmodells der Übung W16 kopieren:

Dazu Ordner W16 öffnen > W16 starten > Block B Flächen-Modell:

Geometrie doppelklicken > Links oben: Datei > Exportieren >

Oben: Speichern in > Ordner W18 Plastisch > unten: Dateiname:

Fläche-W16 > Speichern.

Im Ordner W18: Diese Datei doppelklicken Workbench startet.

Auf der Projektseite: Block A umbenennen zu Fläche-W16 >

Links Statisch-mechanische Analyse mit der linken Maustaste auf Block A Zeile 2 Geometrie ziehen.

Block B umbenennen zu elastisch:

Block B Modell doppelklicken … Fixierte Lagerung am Seitenstreifen …. Einzelkraft an der vorderen Linie für eine Zugbeanspruchung von 100 N/mm2 …. Kraftrichtung wie oben dargestellt.

Zunächst nur elastische Berechnung:

Zur Erinnerung: Die max. Normalspannung sollte hier 327,3 MPa sein.

Dazu Netz mit Relevanz 100 … Verfeinerung Stufe 3 am Bohrungsrand ….

Ergebnis Max. im Hauptachsensysten:

Die zugehörige Vergleichsspannung ist etwas niedriger: ………….. MPa (Warum eigentlich?)

! Die Vergleichsspannung (nach Mises) ist maßgebend für die plastische Berechnung.



Die Streckgrenze des verwendeten Materials Baustahl beträgt allerdings nur 250 MPa, siehe Projektseite:

Block B Technische Daten > Tabelle in der Mitte (Eigenschaften ... Zug-Streckgrenze, eventuell Maßeinheiten auf mm umstellen)

Das Bauteil wird also in der Kerbregion bereits plastisch beansprucht (dies wird allerdings bei elastischer Berechnung ignoriert).

Elastisch-plastische Berechnung des Bauteils:

Zum Beispiel mit bilinearer kinematischer Verfestigung.

Dies soll hier mit BKIN abgekürzt werden.

Oben: Zurück zum Projekt.

Auf der Projektseite: Block B duplizieren > Block C umbenennen zu BKIN elastisch-plastisch

Block C Technische Daten > In der oberen mittleren Tabelle den vorhandenen Baustahl duplizieren (Rechte Maustaste) > In Zelle A4 Baustahl anklicken und die Bezeichnung ändern zu Baustahl BKIN

Dann links: +Plastizität > Bilineare kinematische Verfestigung doppelklicken > In der mittleren Tabelle die beiden gelben Felder ausfüllen:

Streckgrenze 250 MPa und Tangentenmodul 1000 MPa. Jeweils mit Enter abschließen.

Wird dann das Wort Streckgrenze angeklickt, erscheint rechts unten das folgende Diagramm:

Oben: Projekt speichern > zurück zum Projekt.

Block C: Modell > Ja > Links im Strukturbaum: +Geometrie > Volumenkörper > links unten: Zuordnung Baustahl Baustahl BKIN > Links im Strukturbaum: Geometrie > links unten: Anzeigeformat: Material.

Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (C5) Analyseeinstellungen > links unten: Große Verformung Ein

Oben: Lösung.

! Die Berechnung erfolgt jetzt automatisch nicht-linear (in mehreren Lösungsschritten mit programm-internen Konvergenzkontrollen).



Ergebnis:

Links im Strukturbaum: Lösung > Lösungsinformation > Links unten: Lösungsausgabe > z.B. Kraftkonvergenz.

(Weitere Informationen dazu siehe z.B. in der Workbench-Hilfe.)

Im Modell B elastisch ist bei Lösungsinformation (Links im Strukturbaum) nur die Solver-Ausgabe verfügbar, weil keine nichtlineare Berechnung erforderlich ist.

Verdopplung der Belastung:

Auf der Projektseite: Block C duplizieren > Block D … Umbenennen: Kraft verdoppelt >

Kraft: Wert verdoppeln …

Lösung > Ergebnis Vergleichsspannung:

Warum ist jetzt die maximale Spannung größer als die Streckgrenze?

Entlastung auf Null:

In Workbench können auch mehrere Lastschritte hintereinander gerechnet werden.

Eine Entlastung auf Null hätte im elastischen Fall welche Auswirkung?

Ergebnis mit Null Belastung ……… MPa.

(ohne Ansys zu bemühen)


HTW Berlin Metall-Plastizität Blatt 5 von 5 Aber im plastischen Fall:

Auf der Projektseite: Block D duplizieren > Block E … Umbenennen: Entlastet

Zweiten Lastschritt einfügen:

Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch > Analyseeinstellungen > Links unten: Anzahl Lastschritte 2 >

Links im Strukturbaum: Kraft > Rechts unten: Tabellarische Daten > für den Schritt 2 als Kraft den Wert 0 eintragen.

Oben: Lösung.

Ergebnis Vergleichsspannung:

So also sehen hier die „Eigenspannungen“ nach vollkommener Entlastung aus.

Elastisch-plastische Berechnung als Platten-Bauteil:

Block C duplizieren > Block F … Platte W18

Belasten Sie das Bauteil senkrecht zur Scheibenebene, z.B. mit F = 3500 N am freien Rand. Dann müsste maßstabsgerecht folgende Plattenbiegung entstehen:

Wie groß ist die maximale Verformung nach Entlastung auf F = 0 N?

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W19 Tellerfeder

HTW Berlin Geometrisch nichtlineare Berechnung und

weg-gesteuerte Belastung

Blatt 1 von 7


Berechnet werden soll eine Tellerfeder entsprechend dem Ansys-Classic Beispiel 18 aus dem Buch Müller, G., Groth, C.: FEM für Praktiker, Band 1, expert-Verlag 2002, 7. Auflage, ab S. 678

Das Bauteil soll folgende Maße haben: Außendurchmesser 198 mm Innendurchmesser 141 mm Dicke 2 mm, Bauhöhe 8.15 mm

Material: Federstahl mit E = 2,06·105 MPa und ν = 0.3.

1.) Geometrie erstellen Neuen Ordner erstellen (z.B. W19) > Workbench starten > Links: Statisch-mechanische Analyse doppelklicken > Block A umbenennen: Tellerfeder > 3 Geometrie doppelklicken > Millimeter, OK >

Die Tellerfeder soll zunächst im Schnitt dargestellt werden:

(Rechts ist hier die detaillierte Ansicht zu sehen.)

Links im Strukturbaum: XY_Ebene > Oben: Neue Skizze , diese Skizze anklicken > Oben Ansicht ausrichten > Links: Skizzieren > Rechteck durch 3 Punkte > auf der horizontalen Achse beginnend 3 Punkte anklicken, damit ein Rechteck schräg liegend entsteht.

Bemaßung: Links: Abmessungen > Mitte: Die Kante anklicken, die später die Dicke 2 mm der Tellerfeder sein soll und mit der Maus Bemaßung herausziehen > links unten: L1 = 2 > Den am weitesten rechts liegenden Punkt anklicken > die vertikale Achse anklicken > Links unten: H2 = 99 > usw. ! Eingabe 70.5 und 8.15 jeweils mit Komma!

Bis hierhin ist die Bemaßung mit Buchstaben versehen. Umstellen in Zahlenwerte: Links: Abmessungen, Anzeige - Name anklicken.

Tellerfeder als 3D-Modell erzeugen:

Oben: > vertikale Achse (Y-Achse) anklicken > links unten Achse: Anwenden > Links

oben:

Links oben: Datei > Projekt speichern > DesignModeler schließen.



2.) Tellerfeder berechnen Material: Federstahl mit E = 2,06·105 MPa und ν = 0.3. Die Materialeingabe soll hier lediglich durch Modifizieren von Baustahl erfolgen.

Projektseite > Block A: 1 Technische Daten doppelklicken > Material: Baustahl > Rechte Maustaste: duplizieren > Baustahl 2 umbenennen zu Federstahl > Mitte: Eigenschaften von Federstahl: E-Modul 2,06e5 MPa > Zug-Streckgrenze 1500 MPa, Druck-Streckgrenze 1500 MPa, Max. Zugfestigkeit 1800 MPa, Druckfestigkeit 1800 MPa

Oben: Projekt speichern > zurück zum Projekt.

Block A: 4 Modell doppelklicken > Links im Strukturbaum: + Geometrie > Volumenkörper > Material: Federstahl Das Material kann auch in der Grafik unter Geometrie angezeigt werden: Links im Strukturbaum: Geometrie anklicken > Links unten: Anzeigeformat – Material. Randbedingungen: Die Feder soll reibungsfrei aufliegen bei y = 0 mm. Das betrifft nur die untere Kante.

Oben: Kante > Mitte: Die entsprechende untere Kante anklicken > Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch > oben: Lagerungen > Verschiebung > Links unten: Y-Komponente = 0 Belastung: Auf der oberen Kante soll eine Last von 100 N in negative Y-Richtung aufgebracht werden. Mitte: Diese Kante anklicken > Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch > oben: Lasten > Kraft > Links unten: Definiert durch: Komponenten; Y-Komponente = -100 N

Verformung in Y-Richtung anzeigen: Zusätzlich zur Gesamtverformung soll hier die Y-Verschiebung angezeigt werden. Links im Strukturbaum: Lösung > Rechte Maustaste: Einfügen > Verformung >

Verschiebungskomponente > links unten: Ausrichtung – Y-Achse. Berechnen: Oben: Lösung. Ergebnisse:

Max. Vergleichsspannung Svmax = ………… MPa, Gesamtverformung v_max = ………... mm,

max. Y-Verformung vy_max = …………….. mm. Links oben: Ergebnis 1,0 (Maßstabsgerecht) einstellen > unten: Graph (Diagramm) > Animation .

Die gewählte Kraft ist offenbar für diese Tellerfeder viel zu klein, um sichtbare Verformungen zu erzeugen.


HTW Berlin Blatt 3 von 7 Folgende Fragen entstehen daraus:

Welche Last hält diese Feder aus?

Wie groß muss die Kraft sein, um die Feder platt zu drücken?

Größere Kraft zum Vergleich:

Links im Strukturbaum: Kraft > Links unten: -10000 > Oben: Lösung.

Welche Ergebnisse sind jetzt vorhanden?

Vergleichsspannung Sv_max = …………… MPa Verschiebung vy_max = …………….. mm. Sowohl die Spannung als auch die Verformung müssten jetzt bei x-facher Kraft exakt x-mal größer sein im Vergleich zu vorher.

Das muss so sein, wenn standardmäßig linear-elastisch gerechnet wird. Daraus könnte eine (fiktive) Kraft berechnet werden, die für das Plattdrücken der Feder zuständig ist:

10000 N drücken die Feder um den Weg vy mm zusammen. Plattdrücken bedeutet hier h = 6.15 mm (8,15 mm Bauhöhe minus 2 mm Dicke der Feder). Daraus folgt: Fplatt = …………. N. (z.B. 24299 N)

Diese Kraft bitte in Ansys eingeben.

Oben: Lösung:

Wie groß ist jetzt die max. Verformung in Y-Richtung? …………… mm Na also – Problem gelöst. ?!

Auffällig ist, dass die Vergleichsspannung bei weitem die Streckgrenze des Federstahls (1500 MPa) überschreitet. Derartige Federn sollten aber beim Plattdrücken nahezu elastisch bleiben.

Des Weiteren treten hier Verformungen mit Verdrehwinkeln von mehreren Grad auf. Allein daraus folgend könnte vermutet werden, dass hier ein Mechanik-Problem mit großen Verformungen vorliegt („Theorie 3. Ordnung“).

Standardmäßig wird in Ansys mit kleinen Verformungen gerechnet (Theorie 1. Ordnung der Technischen Mechanik).

Um wie viel Grad dreht sich hier der Tellerfederquerschnitt, wenn die Feder platt gedrückt wird?

………. Grad.



3.) Nichtlinear berechnen

Dazu einen neuen Block auf der Projektseite erstellen: Block A umbenennen zu Tellerfeder linear berechnet > Block duplizieren >

Block B neu benennen: Tellerfeder NICHT linear > im Block B Modell doppelklicken >

Zunächst für Fplatt nichtlinear rechnen:

Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch > Analyseeinstellungen > Unten links: Solver-Steuerungen: Große Verformung – Ein

(damit wird die Berechnung nach Theorie 3. Ordnung aktiviert) Oben: Lösung. Die Lösung konvergiert nicht! (Rote Blitze links im Strukturbaum) Anzeige des Konvergenzverhaltens: Links im Strukturbaum: Lösungsinformation > links unten: Lösungsausgabe – Kraftkonvergenz.

Berechnet wurden mehrere Zwischenschritte der Last (sogenannte Substeps).

Bei nichtlinearer Berechnung (hier mit Einstellung Große Verformung) sollten möglichst die Zwischenschritte angezeigt werden.

Dann können wenigstens die Anteile der Lösung ausgewertet werden, die konvergierten.

Also Anzeige der Zwischenergebnisse: Analyseeinstellungen > Unten links: Automatische Zeitschrittsteuerung – Ein > Anfängliche Substeps 100 > Min. Substeps 30 > Max. Substeps 1000

Das bedeutet: Die Berechnung soll mit 1/100 der Gesamtlast beginnen. Das Programm entscheidet selbst nach jedem Substep, ob die Schrittweite verändert wird. Die größte Schrittweite soll aber 1/30 der Gesamtlast nicht überschreiten und insgesamt sollen nur max. 1000 Zwischenschritte gerechnet werden.

die Lösung konvergiert auch jetzt nicht (Rote Blitze links im Strukturbaum). Spannungs- und Verformungswerte sind allerdings jetzt im Unterschied zu vorher scheinbar realis-tischer. Aber! Diese Ergebnisse gelten nur für den letzten konvergierten Zwischenschritt. Für welche Kraft dies gilt, kann im Diagramm unten festgestellt werden: Links im Strukturbaum: Vergleichsspannung > Mitte unten: Graph (Diagramm)

Zu sehen ist ein Diagramm mit einer grünen und einer roten Kurve, die jeweils bei weniger als einem Drittel der Abszisse zu einer Geraden übergeht.


HTW Berlin Blatt 5 von 7 Die „Zeit [s]“ in der Tabelle in Tabellarische Daten (Mitte, unten) zeigt den Anteil der Kraft, die den letzten brauchbaren Lösungsschritt mit Konvergenz darstellt. Z.B. die vorletzte Zahl 0,21258 mal Fplatt = 24299 N liefert eine „kritische“ Kraft F_krit = 5165 N. Zu dieser Kraft gehört eine y-Durchsenkung von -2,8077 mm, anzeigbar links im Strukturbaum: Verschiebungskomponente (Y-Achse). Die Kraft-Weg-Funktion kann auch gesondert dargestellt werden:

Links im Strukturbaum: Lösung > Rechte Maustaste: Einfügen > Stichprobe > Verformung >

links Verformungsstichprobe > Oben: Kante > Mitte: die Kante anklicken, an der die Belastung F angreift > links unten: Geometrie > Anwenden 1 Kante Links unten: Ergebnisauswahl > Y-Achse. Oben: Lösung. Die Registerkarte Graph (Diagramm) unten zeigt den Verlauf der Verformung vy in Abhängigkeit der Kraftanteile (Weg-Kraft-Diagramm):

Weiteres Beispiel:

Kraft 10000 N nichtlinear mit Zwischenschritten:

Links im Strukturbaum: Kraft > Umbenennen zu Kraft Fplatt > Kraft Fplatt duplizieren > Umbenennen zu Kraft 10000 N Kraft links unten ändern zu -10000 N Links im Strukturbaum: Kraft Fplatt > Rechte Maustaste: Element unterdrücken. Oben: Lösung. Die Verformungsstichprobe zeigt nun im vorletzten Wert der Tabelle eine Verformung von 2,8729 mm. Dazu gehört ein „Zeitschritt“ von 0,51762 (tatsächlich ist dies der Kraftanteil der Gesamtlast). Die zugehörige Kraft F_krit des letzten konvergierten Lastschrittes ist demzufolge F_krit = 10000 N mal 0,51762 = 5176,2 N. Also sehr ähnlich zu der Kraft F_krit bei Vorgabe der größeren Kraft Fplatt. Mehr als F_krit kann offenbar nicht aufgebracht werden, weil hier ein “Durchschlag-Problem“ vorhanden ist ähnlich wie beim Knicken von Stäben. ! Und: Noch immer ist ungeklärt, welche Kraft erforderlich ist, um die Feder platt zu drücken. Die bisherigen Berechnungen erfolgten mit schrittweiser Erhöhung der Last. Dies nennt man „kraftgesteuerte Berechnung“ oder „kraftgesteuerte Belastung“.



Weg-gesteuerte Belastung

z.B. durch Vorgabe des Y-Weges von 0 bis 6,15 mm schrittweise steigend.

Projektseite > Block B duplizieren > Block C umbenennen: anhängen WEG-gesteuert > Block C: 4 Modell doppelklicken >

Mitte: Die Kante anklicken, die vorher mit F belastet war > Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch > oben: Lagerungen > Verschiebung > Links im Strukturbaum: Verschiebung 2 umbenennen: Verschiebung 2 Vy > links unten: Y-Komponente -6,15

Kraft Fplatt und Kraft 10000 N löschen.

Oben: Lösung die Lösung konvergiert!

Ergebnisse Vergleichsspannung Sv_max = …………… MPa vy_max = …………….. mm. Interessant wäre jetzt noch, wie der Kraft-Weg-Verlauf dieser Belastung aussieht. Links im Strukturbaum: > Lösung > Rechte Maustaste: Einfügen > Stichprobe > Kraftreaktion > links unten: Randbedingung Verschiebung 2 Vy Oben: Lösung. Links im Strukturbaum: Kraftreaktion > Mitte: Graph (Diagramm) Ein Diagramm mit 2 Kurven wird gezeigt. Links unten: Ergebnisauswahl Gesamt > oben: Lösung Gezeigt wird das Kraft-Weg-Diagramm mit Kraft in N und Weg von 0 bis 1 (mal 6,15 mm).

Aus dem Diagramm und der Tabelle in Tabellarische Daten ist erkennbar, dass die max. Kraft etwa bei vy = 0,5 · 6,15 mm auftritt (also bei etwa 3 mm) und dann kleiner wird. Bei 6,15 mm beträgt die Kraft nur noch 2221 N. (Im Vergleich zur linearen Berechnung extrem wenig!). Mit diesem Bild wird auch klar, warum die Kraftsteuerung scheitern musste. Bei Überschreiten einer bestimmten Kraft (F_krit) kommt es hier zu einem „Durchschlageffekt“. Dieser physikalische Effekt kann mit Wegsteuerung perfekt berechnet werden, nicht aber mit Kraftsteuerung, weil dabei die Kraft in jedem Schritt nur größer werden kann.


HTW Berlin Blatt 7 von 7 Erneut berechnen mit einem maximalen Weg von 13 mm.

Ergebnis:

Gesamt (entspricht dem Betrag der wirkenden Kraft)

bzw. für die Y-Komponente Fy ohne Betrags-bildung:

Export der Fy-Daten zu Excel: Rechts unten in Tabellarische Daten: Die Spalten Zeit und Kraftreaktion (Y) markieren > Rechte Maustaste: Zelle kopieren >

Excel > Einfügen > Die Kraftwerte mit (-1) multiplizieren > die Weg-Werte mit 13 multiplizieren > beide Spalten markieren > Oben Einfügen > Diagramm > Diagrammtyp Punkt (XY) > Punkte mit interpolierten Linien > usw. Excel-Diagramm:

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 5 10

Weg in mm

Kra

ft i

n N

Vergleich mit linearer Lösung:

Berechnen Sie analytisch für eine Kraft Fy = 8000 N die Auslenkung vy nach linear-elastischer Berechnung (ohne erneut Ansys zu bemühen!): vy (8000 N) = …………… mm und tragen Sie diesen Wert in das Diagramm ein, um die lineare Federkennlinie infolge linearer Berechnung sichtbar zu machen.

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W20 Symmetrie

HTW Berlin Symmetrische Bauteile mit symmetrischer Belastung Blatt 1 von 5


1.) Einfache Symmetrie Erstellen Sie zunächst einen neuen Ordner, z.B. [ W20 Symmetrie ].

Für die erste Symmetrie-Übung soll erneut das Bauteil der Übung W2 genutzt werden.

Dazu die Geometrie-Datei Kerbe-1.agdb in den Ordner [W20 Symmetrie] kopieren.

Diese Datei doppelklicken Workbench startet > Block A umbenennen zu Kerbe-1 > Links: Statisch-mechanische Analyse auf Block A ziehen > Block B: Geometrie doppelklicken >

Zur Erzeugung symmetrischer Teilkörper gibt es zwei Möglichkeiten:

a) Nutzung der Ansys-Funktion Symmetrie oder

b) durch Extrudieren mit Material wegschneiden.

In beiden Fällen müssen vorher Symmetrieebenen vom Nutzer angegeben werden.

Im vorliegenden Fall ist das Bauteil horizontal symmetrisch mit einer Symmetrieebene.

Diese Ebene wird zuerst erzeugt:

Dazu die obere schmale Fläche anklicken > Links oben Neue Ebene >

Links unten Transformation 1 > Z-Versatz > FD1 Wert1 : -150 (die Hälfte der Höhe und minus, weil der blaue Pfeil der neuen Ebene hier nach oben zeigt – blau kennzeichnet die z-Richtung)

Links oben: Erstellen. Damit gibt es jetzt eine neue Ebene, die gleichzeitig die Symmetrieebene des Bauteils ist. a) Ansys-Funktion Symmetrie

Links oben Extras > Symmetrie >

Links im Strukturbaum: die neue Ebene anklicken > Links unten Symmetrieebene Anwenden > oben: Erstellen > Links oben Projekt speichern.

Projektseite : Block A Modell doppelklicken >

Belastung Druck -100 MPa und Lagerung feste Einspannung wie in Übung W2. Lösung: Vergleichsspannung, Max. im Hauptachsensystem, Verformung Gesamt …

Wenn das Bauteil animiert dargestellt wird, ist sehr gut zu sehen, wie es auf der Symmetrieebene hin und her gleitet.

Das Netz könnte auch feiner sein … wie in Übung W2.


HTW Berlin Symmetrische Bauteile mit symmetrischer Belastung Blatt 2 von 5 Die Alternative:

b) Symmetrieteil erzeugen durch Extrudieren

Projektseite : Block A duplizieren > Block B umbenennen zu Symmetrie durch Extrudieren > Block B Geometrie doppelklicken.

Links im Strukturbaum: Symmetrie löschen. Links im Strukturbaum: Die neue Ebene5 anklicken > Oben: Extrudieren >

Links unten: Operation Material wegschneiden

Links unten: FD1 Tiefe (muss größer sein als das restliche Bauteil) hier also z.B. 200 > Erstellen.

Das Ergebnis ist nicht überzeugend. Beim Extrudieren muss offenbar eine größere Fläche gezeichnet werden, die dann extrudiert wird.

Links im Strukturbaum: Extrudieren 3 löschen > Ebene5 anklicken >

Oben: Neue Skizze > links: Skizzieren > Rechteck > Mitte: Ein Rechteck zeichnen, das größer ist als die Bauteilkontur in der Symmetrieebene:

Links im Strukturbaum: Skizze3 > Oben: Extrudieren > Links unten: Material wegschneiden > Tiefe 200 > oben: Erstellen.

Lagerung und Belastung wie vorher … Lösung. Jetzt ist das Bauteil verbogen!

Hier fehlen noch die Symmetrie-Randbedingungen – in Form reibungsfreier Lagerung auf der Symmetrie-Fläche. Also bitte einfügen: Verschiebung y = 0 … Kontrolle per Animation …

Im Unterschied zur Symmetrieerzeugung mittels Extrudieren werden diese zusätzlichen Rand-bedingungen von Ansys automatisch angebracht, wenn die Funktion Symmetrie genutzt wird.



2.) Mehrfach-Symmetrie Dazu werden mehrere Symmetrieebenen benötigt. Dies soll an dem Bauteil ohne seitlichen Steg demonstriert werden. Projektseite : Links Statisch-mechanische Analyse doppelklicken > neuer Block C Geometrie Rechte Maustaste: Geometrie importieren > Kerbe-1. Den seitlichen Steg löschen: Links im Strukturbaum: Extrudieren2 löschen:

Neue Ebene 5 erstellen mit Z-Versatz -150 mm, gemäß Blatt 1 dieser Übung. Dann eine zweite Symmetrieebene in vertikaler Lage deklarieren:

Dazu die vordere vertikale schmale Fläche anklicken > Oben neue Ebene > Unten links: Transformation 1 > Z-Versatz > FD1 Wert -300 (die Hälfte der Länge 600 mm) Oben: Erstellen.

Oben: Extras > Symmetrie > Links unten: Anzahl der Ebenen 2 > Links im Strukturbaum: Ebene 6 > Links unten: Symmetrieebene 1 Anwenden > das Gleiche für Ebene 5 … Oben: Erstellen.

In Mechanical muss nur noch die Belastung -100 MPa aufgebracht werden. Die Lagerung erfolgt hier bereits automatisch durch die beiden Symmetrieebenen.

Ergebnis der Spannungsberechnung (ohne feinere Vernetzung!):

Wenn allerdings die Symmetrie manuell erzeugt wird (z.B. durch Extrudieren), dann müssen auf den

beiden Symmetrie-Flächen zusätzlich reibungsfreie Lagerungen angebracht werden.



3.) Rotationssymmetrie

(in Ansys als „Axialsymmetrie“ bezeichnet)

! Die Geometrie des Axialschnittes muss für derartige Berechnungen zwingend im ersten Quadranten der XY-Ebene liegen! Ansonsten verweigert Ansys die Bearbeitung. Beispiel Tellerfeder. Projektseite : Links Statisch-mechanische Analyse doppelklicken > neuer Block D …

! Bevor die Geometrie erstellt oder importiert wird, muss für 2D-Modelle die Analyse-Art 2D eingestellt werden:

Block D Geometrie > Rechte Maustaste: Eigenschaften > Rechtes Fenster: Erweiterte Geometrie-Optionen: Analyseart 2D > Fenster schließen x.

Block D: Geometrie doppelklicken, Skizze zeichnen in der XY-Ebene wie auf Seite 1 der Übung Tellerfeder …

Anschließend NICHT Drehen anwenden, sondern die Fläche für das 2D-Modell erzeugen: Links im Strukturbaum: +XY-Ebene > Skizze1 > Oben: Konzept > Oberflächen durch Skizzen > Links unten: Anwenden > Oben: Erstellen.

wurde eine „Axialschnittfläche“ als Schalenkörper erzeugt. Diese Fläche hat die Dicke 0 mm.

FEM-Berechnung: Projektseite Block D Modell …

Zuerst muss die Axialsymmetrie als Sonderform der 2D-Analyse eingestellt werden: Dazu Links im Strukturbaum: Geometrie > Links unten: 2D-Verhalten: Axialsymmetrisch.

Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch > Oben: Lagerung > Verschiebung > Mitte: Punkt anklicken … Links unten Y-Komponente 0. Lasten: Kraft … Komponenten … Mitte Punkt anklicken … Y-Komponente -10000 Zunächst Große Verformung AUS Oben: Lösung. Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch > Umbenennen 2D – 10000 N


HTW Berlin Symmetrische Bauteile mit symmetrischer Belastung Blatt 5 von 5 Vergleich mit dem 3D-Modell: z.B. Mises-Vergleichsspannung linear berechnet für F = 10 000 N (große Verformung AUS):

Rotationssymmetrisch für 10 000 N linear berechnet:

Modell 3D Modell 2D

Anzahl der Knoten

Anzahl der Gleichungen

Gesamtverformung max. in mm

Max. Strukturmech. Fehler in mJ

Berechnen Sie anschließend die Kraft Fplatt sowie den Kraft-Weg-Verlauf nichtlinear wie in Übung

W19 und erzeugen Sie abschließend eine Grafik mit Excel wie in der Übung W19:

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 5 10

Weg in mm

Kra

ft i

n N

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W22 FlanschHTW Berlin Baugruppe modellieren,

zyklische Symmetrie und Schraubenvorspannung

Blatt 1 von 4


Unter Nutzung von Newsletter-Beschreibungen der Firma CADFEM GmbH soll dieser Rohrflansch modelliert und für axiale Zugbelastung mit 5000 N und vorgespannte Schrauben (jeweils mit 6000 N) berechnet werden entsprechend der Datei Flansch.pdf (CADFEM Newsletter 05/2005).

Abweichend von der Beschreibung in Flansch.pdf soll bei der FEM-Berechnung zunächst die Symmetrie des Bauteils unbeachtet bleiben, um anschließend mit dem Symmetrie-Modell vergleichen zu können.

Auch die Schraubenvorspannung soll zunächst nicht aufgebracht werden.

1.) Geometrie komplett erstellen

Modellieren Sie gemäß der Anleitung in Flansch.pdf das oben gezeigte Bauteil.

2.) FEM-Berechnung für das komplette Modell

Randbedingungen:

Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch > oben: Lagerungen > Verschiebung > Mitte: hintere Ringfläche wählen > links unten: Anwenden > 0 mm. Oben: Lasten > Kraft > Mitte: Vordere Ringfläche wählen > Z-Komponente 5000 N

Oben. Lösung. Ergebnis Vergleichsspannungen:

Das Ergebnis sieht schön bunt aus – ist aber vollkommen falsch! Ausgerechnet die Schrauben zeigen hier die geringste Beanspruchung.

Ursache: Standardmäßig werden verschiedene Geometrie-Körper einer Baugruppe in Workbench fest miteinan-der verbunden.

D. Joensson ANSYS Workbench 16 W22 FlanschHTW Berlin Blatt 2 von 4

Im vorliegenden Fall handelt es sich um 6 Körper und 9 Kontaktbereiche, siehe links im Struktur-baum: Modell > + Geometrie und + Kontakte/Verbindungen.

Alle Kontakte sind auf Verbund eingestellt.

Das Modell kann auch umbenannt werden: Projektseite > Block A umbenennen in Modell fest verbunden Neues Modell mit nicht verbundenen Körpern: Block A duplizieren und B umbenennen zu Modell reibungsfrei.

Dort in + Kontakte/Verbindungen > Kontaktbereich > links unten: Typ Verbund Reibungsfrei. Alle anderen Kontaktbereiche ebenso umstellen. Oben: Lösung. Ergebnis Vergleichsspannung:

Die größte Beanspruchung tritt jetzt in den Schrauben auf. Die Bauteile können auch einzeln betrachtet werden:

Links im Strukturbaum: + Geometrie > einen der Schraubenkörper anklicken > Alle anderen Körper ausblenden > Vergleichsspannung > Oben Maximum Das Maximum wird lokalisiert.

Im nächsten Schritt könnte je Schraube die Schraubenvorspannung aufgebracht werden, insgesamt also viermal. Weil hier aber sowohl der Flansch als auch die Belastung symmetrisch sind, sollte besser vorher die Symmetrie genutzt werden.


3.) Zyklische Symmetrie Projektseite: Block B duplizieren und C umbennennen zu Zyklische Symmetrie Schneiden Sie gemäß der Anleitung in Flansch.pdf ein Achtel der Baugruppe heraus.

! Zu Beginn der Beschreibung wird nicht erwähnt, dass dieses Schneiden nur gelingen kann, wenn alle Körper gefroren sind! Also links im Strukturbaum: 6 Bauteile, 6 Körper > oben: Extras > Frieren.

Dann gemäß Anleitung. Ergebnis: Drei Bauteile.

Die Bauteile können auch einzeln dargestellt werden, indem die anderen Körper ausgeblendet werden (Bauteil anklicken > Rechte Maustaste: Alle anderen Körper ausblenden).

FEM-Berechnung (frei vernetzt): Auf eine Hexaeder-Vernetzung wie in Flansch.pdf soll zunächst verzichtet werden. Randbedingungen vom vorigen Modell kopieren und aktualisieren:

Links im Strukturbaum: Modell vorher > Verschiebung und Kraft markieren > Rechte

Maustaste: Kopieren > Modell 2 Statisch-mechanisch > Rechte Maustaste: Einfügen > Links im Strukturbaum: Verschiebung > Mitte: hintere Fläche anklicken > unten links: Geometrie Anwenden. Links im Strukturbaum: Kraft …vordere Fläche … 5000 N ?

! Symmetrie-Randbedingung:

Geschnittene Flächen mit Randbedingung Reibungsfreie Lagerung ausstatten (7 Flächen).

Anzeige aller Randbedingungen:

Links im Strukturbaum: Modell 2 > Kontakte/Verbindungen > Typ Reibungsfrei.


Oben: Lösung. Ergebnis ähnlich wie im Komplettmodell auf Blatt 2. Allerdings Warnung unten rechts (bei Meldungen): Mindestens ein Körper ist möglicherweise nicht mit genug Randbedingungen versehen, so dass sich Starrkörperbewegungen ergeben. Es wurden schwache Federn eingesetzt … usw.

Ursache: Die reibungsfreien Kontaktflächen zwischen Schraube und Flanschkörper führen hier zur Starrkörperbewegung.

Vermeidungsversuch: Reibung berücksichtigen, zumindest in geringer Form, z.B. mit Reibkoeffizient = 0,1. Auch dieser Effekt wird in den Newsletter-Beschreibungen nicht erwähnt. Zusätzlich Schraubenvorspannung:

Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch > oben: Lasten > Schraubenvorspannkraft > Oben: Fläche > Mitte: zylindrische Fläche des Schraubenschaftes anklicken (evt. vorher alle anderen Körper ausblenden) > links unten: Geometrie Anwenden > Vorspannkraft 6000 ? N > Alle Körper einblenden. Oben: Lösung. Ergebnis: Sehr hohe Vergleichsspannung lokal. In Workbench oben: Stichprobe > Mitte: den Schraubenschaft anklicken > wie groß ist die Spannung? Vergleichen Sie diese Spannung im Schraubenschaft mit dem analytisch berechneten Wert, indem Sie die Vorspannkraft durch die Querschnittsfläche des Schaftes dividieren (Radius 2,3 mm). Alles in Ordnung? Vernetzung mit Hexaedern: (gemäß Newsletter-Anleitung in der Datei Flansch.pdf). Dazu neues Geometrie-Modell erstellen: … Das Netz sollte dann so aussehen:

usw.

Literatur-Empfehlung für Finite Elemente

Gebhardt, Ch.: Praxisbuch FEM mit ANSYS Workbench. Carl Hanser Verlag, 2.Auflage 2014 Rieg, F., Hackenschmidt, R.: Finite Elemente Analyse für Ingenieure. Carl Hanser Verlag, 5. Auflage 2014 Steinke, P.: Finite-Elemente-Methode. Springer-Verlag, 5. Auflage 2015 Knothe, K., Wessels, H.: Finite Elemente. Springer-Verlag, 4. Auflage 2008 Betten, J.: Finite Elemente für Ingenieure, 2 Bände. Springer-Verlag 2. Auflage 2003 Silber, G., Steinwender, F.: Bauteilberechnung und Optimierung mit der FEM. Teubner Verlag 2005 Rust, W.: Nichtlineare Finite-Elemente-Berechnungen. Springer Vieweg Verlag, 3. Auflage 2016

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