FIS - Schaum - Spiegel (Mecanica Teorica)
380
o O a O a a a a o a a iD o a o a trf¡¡t
-
Upload
leonardo-andres -
Category
Documents
-
view
666 -
download
131
Transcript of FIS - Schaum - Spiegel (Mecanica Teorica)
oO
aO
aaa
aoaaiD
oaoa
trf¡¡t
SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM
TEORIA Y PROBLEMAS
DE
MECANICA TEORICAcon una introducción a lasEcuaciones de Lagrange ya la Teoría Hamiltoniana
POR
MURRAY R. SPIEGEL, Ph. D.Profesor de Matemáticas
Re nsselaer Poly technic Institute
TRADUCCION Y ADAPTACION
Joss ALssRro Po¡rro¡r
holexor Uniuersidod Nocionol d,e Cslombio
LIBROS MeGRAW-HILLMEXICO PANAMA MADRID BOGOTA SAO PAULO NUEVA YORK
AUCKLAND DUSSELDORF JOHANNESBURG LONDRES MONTREAL NUEVA LELHIPARIS SINGAPUR SAN FRANCISCO ST. LOUIS TOK I O TORONTO
o
MECANICA TEóRICA
Prohibida la reproducción tótal o parcial de esta obra,por cualquier med¡o, s¡n autorizac¡ón escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS
Copyright @ ISZS, respecto a la edición en español porLIBROS McGRAW-HILL DE MEXICO, S. A. de C. V.
Atlacomulco 499- sOi , Naucatpan de Juárez, Edo. de MóxicoMiembro de la Cámara Nacional de la Ind. Ed¡tor¡al. Reg. núm.465
0-07-091877-5
Traducido de la primera edición en inglós deTHEORICAL MECHAN¡CScopyrisht @ tsez, by McGRAW-HILL BOOK, Co., lNC" U.S.A.
2345678901 CC-76 7123¡,5d}87
lmpreso en México Printed in Mexico
Esta obrs se terminó en abril de 1977en Offset Rebosán, S. A.,Zacahuitzco 40, México. D. F.
Se tiraron 2 0(X) eiemplares
Prólogo
En el siglo 17, Sir Isaac Newton, formuló sus famosas leyes de Ia mecánica. Estas le-yes, de una maravillosa sencillez, sirvieron para describir y predecir los movimientosde Ios objetos visibles en el universo, incluyendo los de los planetas de nuestro sistemasolar.
A comienzos del siglo 20 se descubrió que varias de las conclusiones teóricas deduci-das de las leyes de Newton, no estaban de acuerdo con algunas conclusiones deducidastanto de Ia teoría del electromagnetismo como de los fenómenos atómicos, igualmentebien fundamentados en hechos experimentales. Estas discrepancias dieron lugar a lamecánica relatiuista de Einstein que revolucionó los conceptos de espacio y tiempo, ya la mecánica cuántico. Sin embargo, para objetos que se mueven con velocidades muchomenores que la de la luz y cuyas dimensiones son grandes comparadas con las de los áto-mos y moléculas, la mecánica newtoniana, también llamada clásica, sigue siendo com-pletamente satisfactoria, y por esta razón mantiene su importancia fundamental en lasciencias y la ingeniería.
EI propósito de este libro es presentar la mecánica newtoniana y sus aplicaciones.El Iibro está orientado de manera que puede usarse como suplemento a todos los textosde uso corriente, o como texto en un curso formal de mecánica. También será útil a losestudiantes que siguen cursos de física, ingeniería, matemáticas, astronomía, mecánicaceleste, aerodinámica y en general cualquier campo que requiera en su formulación losprincipios básicos de la mecánica.
Cada capítulo comienza con una presentación clara de las definiciones, principiosy teoremas junto con ilustraciones y material descriptivo, seguido de grupos graduadosde problemas resueltos y problemas propuestos. Los problemas resueltos sirven para ilus-trar y ampliar la teoría, haciendo énfasis en aquellos puntos sutiles sin dominar, los cua-Ies el estudiante no se siente nunca seguro, y permiten la repetición de los principiosbásicos, que es tan importante para un aprendizaje efectivo. En los problemas resueltosse incluyen muchas demostraciones de teoremas y deducciones de resultados básicos.Un gran número de problemas propuestos, con sus respuestas, sirve como un repaso muycompleto del material de cada capítulo.
En los temas tratados se incluyen Ia dinámica y estática de una partícula, sistemasde partículas y cuerpos rígidos. Se introducen desde el comienzo y se usan a lo largo deltexto los métodos vectoriales, que se prestan tan bien para la notación concisa y las in-terpretaciones físicas y geométricas. En el primer capítulo se hace una exposición sobrevectores que puede estudiarse al comienzo o bien utilizarse como referencia cada vezque sea necesario. Además están los capítulos sobre las ecuaciones de Lagrange y Iateoría hamiltoniana, que dan lugar a formulaciones equivalentes de Ia mecánica newto-niana y que son de gran utilidad práctica y teórica.
Se ha incluido mucho más material del que se puede ver por lo general en un cursocorriente; y esto se ha hecho para dar al libro mayor flexibilidad, hacerlo más útil comoobra de consulta, y estimular el interés en los temas.
Aprovecho esta oportunidad para agradecer al personal de la Schaum Publishing Com-pany su magnífica colaboración.
M. R. Sprncnl
Capítulo I
TABLA DE MATERIAS
Página
VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION IMecánica, cinemática, dinámica y estática. Fundamentos axiomáticos de lamecánica. Modelos matemáticos. Espacio, tiempo y materia. Escalares y vec-tores. Algebra vectorial. Leyes del álgebra vectorial. vectores unitarios.Vectores unitarios rectangulares. componentes de un vector. producto esca-lar o producto punto. Producto vectorial o producto cruz. productos triples.Derivación de vecto¡es. Integración de vectores. Velocidad. Aceleración. ve-locidad y aceleración relativas. Aceleración no¡mal y tangencial. Movimientocircula¡. Notación para derivadas con respecto al tiempo. Gradiente, dive¡-gencia y rotacional. Integrales de línea. Independencia de la trayectoria.Vectores lib¡es, deslizantes v fiios.
Capítulo 2 LEYES DE NEWTON SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO,ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTOLeyes de Newton. Definición de fuerza y masa. unidades de fue¡za y masa.Sistemas inerciales de diferencia. Movimiento absoluto. Trabajo. potencia.Energía cinética. campo de fuerza conservativo. Energía potencial o potencial.conservación de la energía. Impulso. Momento de una fuerza y momentum an-gular. conservación del momentum. conservación del momentum angular.Fuerzas no conservativas. Estática o equilibrio de una partícula. Estabilidaddel equilibrio.
33
Capítulo 3 MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME. CAIDA DECUERPOS Y PROYECTILEScampos uniformes de fuerza. Movimiento unifo¡memente acele¡ado. peso yaceleración debidos a la gravedad. Sistema gravitacional de unidades. supo-sición de que la Tiena es plana. cuerpos en caída libre. proyectiles. potencialy energía potencial en un campo uniforme de fuerza. Movimiento en un medioresistente. Sistemas aislados. Movimiento sometido a constricciones. Rnza-miento. Estática en un campo gravitacional uniforme.
62
Capítulo 4 OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLEoscilado¡ armónico simple. Amplitud, período y f¡ecuencia del movimiento ar-mónico simple. Energía de un oscilador armónico simple. oscilador armónicoamortiguado. Movimiento sobreamortiguado, críticamente amortiguado y bajo-amortiguado. oscilaciones forzadas. Resonancia. Péndulo simple. oscilado¡armónico en dos y tres dirnensiones.
86
Capítulo o FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO . I16Fue¡zas centrales. Algunas propiedades importantes de los campos de fuerzacentral. Ecuaciones del movimiento para una partícula en un campo cent¡al.Ecuaciones importantes deducidas de las ecuaciones del rnovimiento. Energíapotencial de una partícula en un campo cent¡al. conservación de la energía.Determinación de la órbita debida a una fue¡za central. Dete¡minación de lafuerza central conocida la órbita. secciones cónicas, elipse, parábola e hipérbole.Algunas definiciones en astronomía. Leyes de Kepler del movimiento planetario.Ley de la gravitación universal de Newton. Atracciones de esferas y otros obje-tos. Movimiento en un campo de fuerza dependiente del inverso del cuadrado.
Capítulo 6
TABLA DE MATERIAS
SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTOSSistemas coordenados no inerciales. sistemas coordenados en r<-rtación. opera-
dores de de¡ivadas. Velocidad en un sistema en movimiento. Aceleración en
un sistema en movimiento. Acele¡aciones de Coriolis y centrípeta. Movimien-to de una partícula respecto a la Tierra. Fuerzas de Coriolis y centrípetas. Sis-
temas coordenados en movimiento, en general. Péndulo de Foucault.
Página
144
Capitulo 7 SISTEMAS DE PARTICULASSistemas discretos y continuos. Densidad. Cuerpos elásticos y rígidos. Gra-dos de libertad. Centro de masa. Centro de gravedad. Momentum (o cantidadde movimiento) de un sistema de partículas. Movimiento del centro de masa.
Conservación del momentum. Momentum angular de un sistema de partículas.Momento extetno total que actúa sobre un sistema. Relación entre el momen-
tum angular y el momento externo total. Clonservación del momentum angular.
Energía cinética de un sistema de partículas. 1'rabajo. Energía poten-'al.Conservación de la energía. Movimiento relativo al cent¡o de masa. Impulso.
Const¡icciones. Constricciones holonómicas y no holonómicas. Desplazamientosvirtuales. Estática de un sistema de partículas. Principio de trabajo virtual.Equilibrio en campos conservativos. Estabilidad de equilibrio. Principio de
D'Alem bert.
165
Capítulo 8 APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETESY COLISIONESSistemas oscilantes de partículas. Problemas ielacionados con masa variables,cohetes. Colisiones de partículas. Sistemas continuos de partículas. Ouerdas
en vibración. Problemas con valotes de contr¡rno. Series de Fourier. Funcio-nes pa¡es e impares. Convergetlcia de las series de Fourier.
194
Capítulo I MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO 224Cuerpos rígidos. Traslaciones y rotaciones. Teorema de Euler Eje instantáneode rotación. Movimiento general de un cuerpo rígido. Teorema de Chasle. Mo-vimiento de un cuerpo rígido en el plano. Momento de inercia. Radio de giro.
Teorpmas sobre momentos de inercia. Momentos de inercia especiales Pares.
Energía cinética y momentum angular con r€specto a un eje fijo. Movimientode un cuerpo rígido con respecto a un eje fijo. Trabajo y Dotencla. In:pulso,
conservación del momentum angular. El péndulo compuesto. Movirniento ge-
neral de un cuerpo rígido en el plano. centro instantáneo. centrodes espacialy del cuerpo. Estática de un cuerpo rígido. Principio de trabajo virtual y prin-
cipio de D'Alembert. Principio de energía potencial, mínima. Estabilidad.
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIOMovimiento general de cuerpos rígidos en el espacio. Grados de libertad' Ro-
tación pura de cuerpos rígidos. Velocidad y velocidad angular de un cuerpo rígidocon un punto fijo. Momentum angular. lllomentos de inercia y productos de
inercia. Matriz o tensor del momento de inercia. Energia cinética de rotación.Ejes principales de inercia. Momentum angular y energía cinética con respecto
a los ejes principales. El elipsoide de inercia. Movimiento libre de fuerzas.
Línea y plano invariable. Construcciones de Poisont. Polhode. Herpolhode'
Cono espacial y cono del cuerpo. Cuerpos rígidos simétricos. Rotación de laTierra. Angulos de Euler, Velocidad angular y energía cinética en función de
los ángulos de Euler. Movimiento de spin de un trompo. Giróscopos.
capítulo 10 263
CapítuIo
TABLA DE MATERIAS
1 I EcuAcroNES DE LAGRANGEMétodos generales de la mecánica. coo¡denadas generalizadas. Notación.Ecuaciones de t¡asformación. Clasificación de los sistemas mecánicos. Siste-mas escleronómicos y reoiómicos. Sistemas holonómicos y no-holonómicos.Sistemas conservativos y no-.conservativos. Energía cinética. Velocidadesgeneralizadas. Fue¡zas generalizadas. Ecuaciones de Lagrange. Momentageneralizados. Ecuaciones de Lagrange para sistemas no-holonómicos. Ecua-ciones de Lagrange con fuerzas impulsivas.
Página
282
capírulo 12 TEORIA HAMILTONIANA . 3I1Métodos hamiltonianos. La hamiltoniana. Ecuaciones de Hamilton. La ha-miltoniana cíclicas o ignorables. Es-pacio de fa variaciones. principio deHamilton. Condiciones para que unatrasfo¡mació Ecuaciones de Hamilton-Jacobi. soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi. caso en que lahamiltoniana es independiente del tiempo. Integrales de fase. Va¡iables an-gulares y de acción.
APENDICE A UNIDADES Y DIMENSIONES 339
APENDICE B DATOS ASTRONOMICOS 342
APENDICE C SOLUCIONES DEESPECIALES
ECUACIONES DIFERENCIALES 344
APENDICE D INDICE DE SIMBOLOS Y NOTACIONES ESPECIALES 356
INDICE 36r
Copítulo I
Vectores, velocidod y oceleroción
MECANICA, CINEMATICA, DINAMICA Y ESTATICALa mecánica es una rama de la física que trata del movimiento o cambio de posición
de los cuelpos. Algunas veces se subdivide en:
1. cinemática, la cual trata del estudio de la geomet¡ía del movimiento.2. Dinámica, la cual trata de las causas físicas del movimiento.3. Estótica, la cual trata de las condiciones con las cuales no hay movimiento aparente.
FUNDAMENTOS AXIOMATICOS DE LA MECANICAUn desarrollo axiomático de la mecánica, como para cualquier ciencia, debe contener
los siguientes elementos básicos:
1. Términos o conceptos no definidos. Es clara su necesidad ya que en último términocualquier definición debe basarse en algo que no está definido.
2. Afirmacíones no comprobadas. Hay enunciados fundamentales corrientemente expre-sados en forma matemática, de los cuales se espera que lleven a descripciones válidas deun fenómeno en estudio. En general, estos enunciados, llamados axiimas o postulados,se basan en observaciones experimentales o abstracciones de ellas. En tal caso son llama-dos leyes.
3' Términos o conceptos definidos. En estas definiciones se emplean Ios términos oconceptos no definidos.
4. Afirmaciones demostradas, Son llamadas teoremas y se demuestran a partir de defi-niciones y axiomas.
Un ejemplo de la "forma de pensamiento axiomático" está dado por la geometría eucli-diana en la que punto y recta son conceptos no definidos.
MODELOS MATEMATICOSUna descripción matemática de un fenómeno físico se simplifica generalmente rempla-
zando los objetos físicos reales por modelos matemáticos apropiados. por ejemplo, en Ia áes-cripción de la rotación de la Tierra alrededor del Sol podemos, para nuestros propósitos,tratar la Tierra y el Sol como puntos.
ESPACIO, TIEMPO Y MATERIAPor la experiencia tenemos alguna idea del significado de cada uno de estos términos o
conceptos. No obstante, tendremos ciertas dificultades para formular definiciones completa-mente satisfactorias, por lo cual tomaremos estos conceptos como no definidos.1' Espacio- Este concepto está estrechamente relacionado con los de punto, posición, direc-
ción y desplazamiento. Las medidas en el espacio involucran los ctnceptós de longítud odistancia, con los cuales nos familiarizaremos. Las unidades de longitud son el pie, el
VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION tcAP. 1
metro, la milla, etc. En este libro supondremos que el espacio es euclidiano, es decir elespacio de la geometría de Euclides.
2. Tiempo. Este concepto se deriva de nuestra experiencia cuando consideramos dos euen-
üos que tienen lugar uno antes, o después, del otro, o simultáneamente. La medida deltiempo se realiza mediante el uso del reloj. Las unidades de tiempo son el segundo, lahora. el año. etc.
3. Materia. Los objetos físicos se cornponen de "pequeñas cuentas de materia" tales comolos átomos y las molóculas. Basados en lo anterior llegamos al concepto de objeto materialllamado partícula que ocupa un punto en el espacio y que se puede mover cuando eltiempo trascurre. Una medida de Ia "cantidad de materia" asociada con la partícula se
Ilama su rnoso. Las unidades de masa son gramos, kilogramos, etc. A menos que se digalo contrario consideramos que Ia masa de una partícula no cambia con el tiempo.
La longitud, la masa y el tiempo frecuentemente se llaman dimensiones, a partir de lascuales se pueden obtener otras cantidades físicas. Véase el apéndice A sobre unidades y di-mensiones.
ESCALARES Y VECTORES
Varias cantidades físicas, tales como longitud, masa y tiempo requieren para su especifi-cación un solo número real (además de las unidades cie medida que se usan generalmente),tales cantidades son llamadas escalqres y el número real se llama la magnitud de la cantidad.Un escalar se representa analíticamente por una letra tal como t, m, etc.
Otras cantidades físicas, tales como el desplazamiento, requieren para su especificacióntanto de dirección como de magnitud. Tales cantidades se llaman uectores. Un vector se repre-senta analíticamente por una letra en negrilla, como A en la figura 1-1. Geométricamente se
representa por una flecha PQ donde P se llama eI origen y Q el extremo. La magnitud o
longitud del vector se denota por lAl o A.
f ig. l-l Fig.l-2 Fig.l-3
ALGEBRA VECTORIALLas operaciones de suma, sustracción y multiplicación comunes en el álgebra de los nú-
meros reales pueden, con una definición apropiada, extenderse al álgebra de vectores. Lassiguientes definiciones son fundamentales.
1. Dos vectores A y B son iguales si tienen Ia misma magnitud y dirección prescindiendo de
sus puntos de origen. Así, A : B se ilustra en la figura 1-2'
2. Un vector cuya direcci ón e s opue sta a la del vector A pero con la mi sma Iongitud se denotapor - A como en la figura 1-3.
3. La suma o resultante de los vectores A y B de la figura 1-4(o) es un vector C el cual se
forma colocando el origen de B en el extremo de A y uniendo el origen de A con el extremode B Ifigura 1-4(ó)]. Escribimos C : A + B. Esta definición es equivalente a laley del paralelogramo para la suma de vectores como se indica en Ia figura 1-4(c).
AaA
-A
cAP. 1l
(b)
J"
VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION
"r_C=A*B
Fis.l-1
La extensión a sumas de más de dos vectores es inmediata. Por ejemplo, la figura1-5 indica cómo obtener la suma o resultante E de los vectores A, B, c y D.
/,
Fig.l-5
4. La díferencia de los vectores A y B, representada por A - B es un vector C, el cual su-mado a B da A. fuualmente, A - B puede definirse como A + (-B). si A : B,entonces A - B se define como el uector cero o uector nulo representado por O, que tieneuna magnitud cero pero que su dirección no está definida.
5. Elproducto deunvectorAporunescalarpesunvectorpAoApconmagnitud lpl vecesla magnitud de A y una dirección igual u opuesta a la de A según que p sea positivo onegativo. Si p : 0, pA : O, el vector nulo.
LEYES DEL ALGEBRA VECTORIALSi A"ByC sonvectores,y pyq escalaresentonces
1. A+B=B*A Leyconmutativaparalasuma2. A+(B+C) = (A+B) +C Leyasociativaparalasuma3' p(q[) = (pq)A = q(pL) Ley asociativa para la multiplicación4. (p + q)e : pfi * eA Ley distributiva5. p(A + B) = pA * pB Ley distributiva
Obsérvese que en estas leyes sólo está definida la multiplicación de un vector por uno omás escalares. En las páginas siguientes definiremos los productos de vectores.
VECTORES UNITARIOSLos vectores que tienen longitud igual a la unidad son
A es un vector con longitud A > 0, entonces A/A : a esmisma dirección de A y A : Aa.
C=A*E --
íi:-B+ c+D
llamados uectores unitarios. Siun vector unitario que tiene la
VECTORES UNITARIOS RECTANGULARESLos vectores unitarios rectangulares i, j y k son vectores unitarios perpendiculares entre
sí, que tienen la dirección positiva de los ejes r, y y z respectivamente de un sistema coorCe-nado rectangular (figura 1-6). Usamos un sistema coordenado rectangular dextrógiro, a
VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION IcAP. 1
no ser que se especifique uno diferente. Un sistema tal derivasu nombre del hecho de que un tornillo de rosca derecha que
rota 90" de O¡ a Oy avanzará en la dirección positiva de z'En general, de tres vectores, A, B y C, cuyos orígenes coin-cidan y no sean coplanarios, se dice que forman un sisúernodextrógiro si un tornillo de rosca derecha que recorra unángulo menor que 180" de A a B avanza en la direcciónde C (figura 1-7).
Fig. 1-6
(At,44 As)
Fig.1.7
COMPONENTES DE UN VECTOR
Fig.l-8
Cualquier vector A en 3 dimensiones puede ser representado con su punto inicial en el
origen O de un sistema coordenado rectangular (figura 1-8). Sean (Ar, Az, A¡) las coor-
denadas rectangulares del extremo del vector A con su origen en O. Los vectores Ari, A2iy A¡k se Ilaman componentes rectangulares uectoriales o simplemente componentes de Aen Ias direcciones x, y y z, respectivamente. Ar, A, y At se llaman componentes rectan'gulares o simplemente componentes de A en las direcciones x, J Y z, respectivarnente'
La suma o resultante de Ari, Ari y Atk es el vector A y por tanto podemos escribir
(r)
(2)La magnitud de A es
En particular, el uector de posición o radio uector r de O al punto (x, y, z) se escribe
r = ri *ai*zky tiene magnitud r - lrl =
(3)
A: Ari+árj+A3k
.4:lAl :1/fiT$TT"
PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO
El producto escalar o producto punto de dos vectores A yA punto B) se define como el producto de las magnitudes de
comprendido. En símbolos,A'B : AB cos?, O l0 f ¡,
Obsérvese que A . B es un escalar y no un vector.
B denotadopor A'B (léase
A y B y el coseno del ángulo
12*y2*22.
(4)
cAP. ll VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION
Las siguientes leyes son válidas:
1. A.B __ B.A Ley conmutativa para el prodücto escalar2. A'(B + C) = e. B + A. C Ley distributiva3. p(A.B) = (pA).B = A.(pB) = (A.B)p, donde p es un escalar.4. i.i = j.j = k.k = 1, i.j = j.k = k.i = 05. Si A=ári+Azi+Ask y B=Bi*Bzi*Brk, entonces
A.B = AtBt*AzBzIAsBzA.A=Az=A?+AZ+A3B.B=Br=B?+83+Bz
6. Si A'B:0 y AyB nosonvectoresnulos,entonces AyB sonperpendiculares.
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZEl producto vectorial o producto cruz de Ay B es un vector C : A X B (léase Ac¡uz
B)' Lamagnitudde A X B sedefinecomoelproductodelasmagnitudesde AyB yelsenodel ángulo comprendido. La dirección del vector C : A X B es perpendiculai al plano deA y B y tal que A, B y c forman un sistema dextrógiro. En símbolos
AxB = ABsendu, 0<e='' (5)
donde u es un vectorunitario que indica la dirección de A X B. Si A : B o si Aespara-leloa B, entonces send : 0y definimos A X B : O.
Las siguientes leyes son válidas:
1. A x B = -B X A (La ley conmutativa para el producto cruz no se cumple)2. Ax (B+C) = AxB + AxCLey distributiva3. p(AxB) = (pA)xB = Ax(pB) = (AxB)p, dondep es un escalar.4. ixi=ixj=kxk=0, ixj -k, jXk=i, kxi= j5. Si A=Ari+Azj+hk y B:Bi*Bzj*Btk, entonces
AxB =
ijkAt Az As
Bt Bz Bs
6. lA X Bl : á¡ea del paralelogramo con lados A y B.7. si A x B: o y AyB nosonvectoresnulos,entonces AyB sonparalelos.
PRODUCTOS TRIPLESEl triple producto escalar se define como
A.(B x C) =
At Az As
Bt Bz Bs
Ct Cz Cs
donde A : Ari * A"j + Aak, B - Ai + Brj * Brk, C : Cri + Crj + Crkrepresenta el volumen de un paralelepípedo que tiene como lados A, B C, o volumen consigno negativo según si A, B, C formen o no un sistema dextrógiro. Tenemos entoncesA. (nx c) : B. (c x A) : c. (Ax B).
El triple producto uectorial se define como
A x (B x c) = (A.c)B - (a.B)c (z)
Puestoque (AxB)xc = (a.c)B-(B.c)a,esclaroque Ax(Bxc) + (axB)xc.
VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION [cAP. I
DERIVACION DE VECTORES
Si a cada valor tomado por una variable escalar u le corresponde un vector A(u), o abre-
viadamente A, entonces el vector A(u) se llama una función (vectorial) de u. La derivada de
A(u) se define comodA A(u+.rz) - A(z)m = ^'lg a" (8)
(10)
con la condición de que este límite exista' Si A(u) : At (u)i * Az@li * A¡ (u)k' entonces
dA ilAt. iIAz. iIAta : #i * ffii +;|u (e)
En forma similar podemos definir derivadas de orden superior. Por ejemplo, la segunda deri-vada de A(u), si existe, se da por
d2a d2At. dzAz. d2As,W = dur'+ ¿rzl * dur*
Ejemplo. Si [ = (Lfi-32)i* Scos¿ j-Bsenuk, entonces
dA &Añ = ( zr-3)i-Ssenui-Bcoszk, # = 4i-Scoszj*3sen¿k
Las reglas de diferenciación comúnmente usadas en el cálculo pueden extenderse a los
vector€s, aunque el o¡den de los factores en los productos es importante. Por ejemplo, si d (u)
es una función escalar en tanto que A(u) y B(u) son funciones vectoriales, entonces
ft<+ot
ftto'rt
= aj-+#n' du qiu
= ^.+ + 44.nd,u au
(11 )
(12)
fue"u: o"H+ffixn
INTEGRACION DE VECTORES
Sea A(u) : Ar(u)i * Azfu)j -f Aa(u)k una función vectorial de u. Definimos la inüe-
gral indefínida de A(u) comof?ff) n1u¡au : tJ A{u)du * jJ Az(u)du * uJ Az(u)du (14)
Si existe una función vectorial B(u) tal que A(u\ = fr{r@D,
Q3)
(15)
donde c es un vector constante arbitrario independiente de u. La integral def inida entre los
límites tL : o¿ y u : É está en tal caso dada, como en el cálculo elemental, por
nB rqs lB
J, ng¡au = )" fiwtüta"La integral definida puede también definirse como el límite de una suma de manera
análoga a como se hace en el cálculo elemental.
VELOCIDAI)Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria C (figura 1-9).
El vector de posición del punto P en el tiempo t es r : r(ú) mientras que el vector de posición
delpunto Qeneltiempo ü + Aú es r * Ar : r(t+ Aü).llamada uelocidad instantánea) de la partícula en p es
d,rv: a = lin#= li* ü*f-CI e7)
y es un vector tangente a C en P.
Si r = r(i¡ = n(t)i+a(t)j+z(t)k= ri*yj-rzk,podemos escribir
dr dt. du . dzv = m = üi+ffii+ffiu (r8) *
La magnitud de la velocidad se llama rapidez y se da por
,.,=1.,t =l#l=w=#donde s es la longitud del arco a lo largo de C medida desde el origen hasta p.
_ dv ,._- v(ú + aú) - v(ú)a = al = llli aii--En términos de r : ¡i * yj I zk la aceleración es
_ d,zr _ dtfi, , dra . dzz,a : M = dtzr+ d;Fi+¿Uky su magnitud es
(L = ral = l(#)'.(#)'.(#)'
ACELERACION
Si v : dt/dt es la velocidad de la partícula, definimos la aceleración (también llamadaaceleración instantónea) de la partícula en el punto p como
cAP. 1l VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION
VELOCIDAD Y ACELERACION RELATIVASSi dos partículas Pt y Pz se mueven con velocidades v, y v,
respectivamente, los vecto¡es
ACELERACION NORMAL YTANGENCIAL
Supongamos que la partícula P con vec-tor de posición r : r(ü) se mueve a lo largode la curva C (figura 1-10). Podemos consi-derar un sistema de coo¡denadas rectangu-lares que se mueve con la partícula y definidopor el uector unitario tangente T, el uectornormal unitario principal N y el binormalunitario B a la curva C donde
ítot
Fig. 1.9
y aceleraciones ar y a2,
(23)
(1e)
(20)
(211
(22)
VP2/P|= Vz-Vr y Ap2/p, =82-8rse llaman, respectivamente, uelocidad relatiua y aceleración relatiua de P, con respecto a pr.
Entonces la
z
Fig. r-r0
VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION IcAP. r
n^_ 4! r 'rT^-¿ls,.I=Rdr-, B=TxN Q4)
donde s es Ia longitud del arco desde algún punto inicial a P, y R el radio de curuatura de
C en P. El inverso del radio de curvatura se llama curuatura y se da pot x : UR.
Podemos mostrar [véase el problema 1.35] que la aceleración a lo largo de C se da por
a: ffir*fiN w)El primero y segundo términos de la derecha son llama dos aceleración tangencial y aceleracióncentrípeta o normal, respectivamente.
MOVIMIENTO CIRCULARSupongamos que la partícula P se mueve sobre
un círculo C de radio R. Si s es la longitud del arcomedido a lo largo de C desde A hasta P y d es el
corresponriiente ángulo subentendido en el centro O,
entonces s : R0. La magnitud de la velocidadtangencial y aceleración tangencial se dan, respecti-vamente, por
u = b: Rdo = R^,ü: Kü= H' Q6l
da ¡lzs d.zAv ;t:ffi=Rffi=Ra Q7)
Llamamos a ,^, dT/dt y d. d2.0/dt2 la uelocidad angular y aceleración angular,
respectivamente. La aceleración normal como vimos en (25) se da por u2/R : ,2R.
NOTACION PARA DERIVADAS CON RESPECTO AL TIEMPO
Encontraremos que algunas veces es conveniente usar puntos colocados sobre un símbolo
para denotar derivadas con respecto al tiempo ú, un punto para la primera derivada, dos pun-
io. p"r" la segunda, etc., por ejemplo, i : dr/dt, f -- d2r/dt', I : ¿v/¿t, etc.
GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL
Si a cada punto (x, y, z) de un sistema de coo¡denadas rectangulares hacemos correspon-
der un vector A, decimos que A : A(¡, y, z') es una función uectorial de x, y, z. También
llamamos a A(x, y, z) ln catnpo uectorial. Similarmente, llamamos la función (escalar)
óG, y, z) un campo escalar.
Es conveniente considerar un operador diferencial vectorial llamado nabla dado por
v:,**ift+u-fi e8)
Flmpleando esto definimos las siguientes importantes cantidades
r. G¡rd,iente v+ = (t*.th*u*)r = rH*ift+ua$ Qs)
Este es un vector llamado gradiente de d Y que se escribe grad Ó.
z. Diversencía v.a = (r# * fh* u*)' (.4,i +A,i +Ask)(30)
|At 0A: d.als: aü- w EEste es un escalar llamado diuergencia de A y que se escribe div A'
Fig.1-11
U
o A
cAP. 1l
3. Rotaeional
VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION
vxA = (r*¿* th* n*) "(A,i+á,j+Ask)ijkaadAa AU Az
At Az As
/ lAs áA¿\,
-
tl\óa oz/'
(3r)
Este es un vector llamado rotacionalDos identidades importantes son
div rot A =
rot grad 6 =
.(#-#)'.(#-#).de A y que se escribe rot .{.
V.(Vxa) - 0
VX(VÓ) _ O
(32)
(3q)
INTEGRALES DE LINEASea r(¿) : ¡(¿)i * y(¿)i * z(ü)k, donde r(ú) es el vectorde posición d,e (x, y, z), que define
la curva C que une los puntos Pt y Pz correspondientes a t : tt y t : ü2, respectiva-mente. Sea A : A(¡, y, z) : Ari + Azi * A3k una función vectorial de posición (campovectorial). La integial de la componente tangencial de A a lo largo de C áe P, hasta p2,escrita como
?Pzffl- A.d¡ = f_e.a, = |.+ra,*Azitu*Asdz (a)J' Pr .rc sl c
es un ejemplo de :una integral de línea.Si C es una curva cerrada (la cual supondremos que es una curva simplemente cerrada,
es decir, una curva que no se intersecta consigo misma en ninguna partef la integral e me-nudo se denota por
fPJ e.dr = I Ld,x I Azds * Atitz (35)
En general, una integral de línea tiene un valor que depende de la curva. Para métodos deevaluación véanse los problemas 1.89 y 1.40.
INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIALa integral de línea (34) será independiente de la trayectoria que une a Pt y pz si y
sólo si A: v@ o,loqueesequivalente, v x A: 0. En lal caso su valor se a-" po,
f Pt ?P¡l^ A'il¡ = -l^ ¿+ = +(P¿) - O(Pr) : e(nz,uz,zz) - ó(nt,ut,zt) (J6)¿tpr Jh
considerando que las coordenadas de pr V pz son (r, , !t, 2t) y kz, !2, zz), res-pectivamente, mientras ó (¡, y, z) tenga derivadas parciales continuas. La integral (J5) eneste caso es cero.
VECTORES LIBRES, DESLIZANTES Y FIJOSHasta ahora hemos tratado con vectores que están especificados solamente por su mag-
nitud y dirección. Tales vectores se llaman uectores libres. Dos vecto¡es libres son igualescuando tienen la misma magnitud y dirección Ifigura l_12(o)].
10 VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION [cAP. I
(o) Vectores libres iguales (b) Vectores deslizantes iguales (c) Vecto¡ fijo
Fis. l-12
Algunas veces es importante tener en cuenta la línea de acción de un vector, caso en elcual dos vectores son iguales si y sólo si tienen la misma magnitud, dirección y línea de ac-ción. Tales vector€s se llaman uectores deslizantes Ifigura 1-12(b)].
Algunas veces es importante especificar eL punto de acción de un vector. Tal vector[figura 1-12(c)] se llama uector fijo. En este caso dos vectores son iguales si y sólo si sonidénticos.
En la mayoría de los casos trataremos con vectores libres. En los casos en que tratemoscon vectores deslizantes o con vectores fijos seremos muy explícitos en el contexto.
Proble mas resueltos
ALGEBRA VECTORIAL1.1. Demostrar que la adición de vectores es conmutativa, esto es, A * B': B * A (figura
1-13).OP+PQ-Oe o A*B=C
y OR+BQ-OQ o B*A=CEntonces A*B = B+A.
1.2. Demostrar que Ia adición de vectores es asociativa, esto es, A * (B + C) : (A + B) + C(figura 1-14).
OP+PQ=OQ=(A+B)Puesto que OP+PB = OB =
OQ+QB = OR =
y PQ*QR = P3 = (B*C)
I), i.e. A+(B+C) - D
D, i.e. (A+B)*C = D
tenemos A+(B*C) = (A+B)+C.Los resultados de los problemas 1.1 y 1.2 muest¡an que el resultado de una suma de vectores es inde-
pendiente del orden en que se tomen.
Fig.l-13 Fig. l-14
CAP. 1] VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION
1.3. Dados los vectores A B y c Ifigura l-15(a) ] encontrar gráficamente:
(o) A- B+2Q, (b)3C-i(z[-B).
l1
(o)
(c)
1.4. Demostrar que la magnitud áA:Ari+Ari+ásk es á =(Véase la figura 1-16.)
Po¡ el teo¡ema de Pitágoras,
¡oe¡z = (oQ'l'+ (TPY
donde OP denota la magnitud del vector OP, etc. Simi-larmente (@rz = (O-n)2 + (fr-e)z.
Entonces (dFl, = (Tn¡z a (@¡z a 1{p¡z o
Az = A?+ lf;+ 12", i.e. A = \M1.5. Determinar el vector dados su origen
P(xr, yr, zr)y su extremo Q(xz, yz, z) y encontrar su
magnitud (figura t-12).El vector de posición de P es rr = zrl * ¡ ,o - z1k.
El vector de posición de Q es 12 = ü21*y2i*22k.
r1*PQ = ¡, o
PQ = rz-rl =
Magnitud de PQ
(rz- nt)2 * (yz- yrlz * (22- zllz
(a2i * y¿ * z2k) - (c1i * ylj * z1k)
(r2- x)i * (az- y)l t (22- zllk
PQ
Fig. l-16
Obsérvese que esta es la distancia entre los puntos P y e. Fig.l-U
12 VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION IcAP. I
1.6. Determinar: (a) gráfica, y (b) analíticamente la suma o resultante de los siguientesdesplazamientos:
A, 10 pies al noroeste; B,2O pies 30" al norte del este; C, 35 pies hacia el sur (figura1_ 18) .
Gróficamente.En el ext¡emo de A colocamos el origen de B. En el
extrrmo de B colocamos el origen de C.
La resultante D se forma uniendo el origen de A conelextremodeC,estoes, D: A+ B+ C.
Se mide la resultante la cual tiene una magnitud de4,1 unidades : 20,5 pies y una dirección de 60' al surdel este.
Analíticamente.De la figura 1-18, si i y j son vectores unitarios en
las direcciones E y N tend¡emos
A = -10cos45o i + 10sen45o jB = 20 cos3Oo i + 20sen30o j s
Fig. l-lE
Undad:5pres
C = -35jLa resultante es, entonces,
D = A+B+C = (-10cos45o+20cos30o)i*(10sen46o
= e6{, + 10\6)i + (5\/2 + 10 - 35)j =
PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO1.7. Demostrar que la proyección de A sobre B es igual
a A . b, donde b es un vector unitario en la di-rección de B.
A través del origen de A hacemos pasar planos perpendi-culares a B en G y H, respectivamente, como se muestra enla figura 1-19; entonces
proyeccióndeAsobre B : ñ : trF : Acos0 : A . b
1.8. Demostrarque A. (B+ C) : A. B+ A. C.
Sea a un vector unitario en la dirección de A (figura 1-20),entonces,
proyección de (B * C) sobre [ : proyección de B sobre A* proyección de C sob¡e A
(B*C).a = B'¡*C'aMultiplicando por A,
(B*C).Aa = B.Aa*C.Aa(B+C).A
Entonces por la ley conmutativa para el producto escalar
a'(B+c) = a'B+a'cy la ley distributiva es válida.
* 20 sen 30o - 35)i
r0,%i - 17,stj
Fig. l-19
tlrE F GA
Así la magnitud de D er VIIóF +-OTpSit : 20,65 pies y la dirección es
tan-t 17,93/10,25 : tan-t 1,749 : 60"45' al su¡ del este
Obsérvese que los resultados gráfico y analítico concue¡dan bastante bien, el resultado analítico es dehecho más exacto.
BH
Fig.1-20
cAP. ll VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION
1.9. Calcular cada uno de los siguientes productos.(o) i.i : lil lil cos0o = (1)(t)(1) = 1
(ó) i. k = lil lkl cos g0o = (1)(t)(0) = 0
(c) k. j = lkl ljl cos e0" = (1)(l)(0) = 0
(d) j.(2i-Bj+k),= 2j.i-gj.j+ j.k = 0-B+0 = _B(e) (2i-j).(3i+k) = 2i.(si+k) - i.(si+k) = 6i.i + 2i.k _ Bi.i _ j.k
= 6*0-0-0 = 6
r.1o. Si A A'i + A"i + Ark y B B,i + Bri + B3k, demosrrar queA.B ArB, + ArB, + ArBr.A. B = (Ai+ A2j + Ask). (Bri + B2j + Bsk)
= Ari.(8ri+B2j+8sk) * Azi.(Bi+B2i+Bsk) + Ask. (B¡+B2i+Bsk)= AtBi.i+ A¡pzi. j + árBBi.k+ AzBi.i+ A2B2i.i + AzBti.k
+ AsBrk . i + AsBzk. i + 43.B3k. k= AtBt+ A2B2+ ABB¡
puestoque i' i : i' j : k . k : I y todos los ot¡os productos escalares soncero.
l.ll. si A = Arl+A2i+Aak, demostra¡ que .A = /Á.A = \/A1T4+ A"".A. A : (áXA) cos 0o = 42. Entonces ¿, = t[.-e,.
También, A.A = (Ai+A2i+Ask).(ári+ A2i+Ask)= (Ar)(ár) + (Az)(A2) + (ás)(¿B) = A1+ err+ e?"
para el problema l.l0, tomemos B : A_
Entonces 4 = \/I-'e = ,ET 4+ll es la magnitud de A. Algunas veces A . A se escri-be ^{.
1.12. Determinar el ángulo agudo entre las diago_nales de un cuadrilátero que tiene los vérticesen (0, 0, 0), (3, 2, 0), (4,6, 0), (1, g, 0) (figurar-2r).
Tenemos OA = Bi+Zi, OB = 4i*6i, OC = i*Bjpo¡ tanto
CA = OA_OC = 2i_jEntonces OB. CA = lOBl lCAl cos aesto es.
(4i + 6i) . (2i - j) = \/@T@ y'iDrTlIlF "o.
e
por tanto cosr = 2/(r/62{1, = O,tZlO y e = 82069,.
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZf.13. Demostrar AX B: -BX A.
Fig. r-22
Ax B: C tienenmagnitudABsencydireccióntalque AByC formanunsistemadextrógiroIfigura 1-22(a)].
13
I (4,6,0)
AXB = C
BXA__I)
l4 VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION [cAP. r
BX A: D tienemagnitudBAsen0ydircccióntalque BAyD formanunsistemadextrógiro
lfigura r-22(b)1.
EntoncesDtienelamismamagnituddeCperodirecciónopuesta,estoes,C:-DoAXB:-BX A"
La ley conmutativa no es válida para el producto vectorial'
1.14. Demostrar que
AX(B+C) = AXB+AXCpara el caso en el cual A es perpendi-culara ByaC.
Si Aesperpendicular a B,A X B es un
vector perpendicular al plano de A y B y con
una magnitud AB sen 90" : AB o magnitudde AB. Esto es equivalente a multiplicar el vec-
tor B por A y rotar el vecto¡ resultante un ángu-lo de 90' a la posición mostrada en la figurar-23.
Simila¡mente, A X C es un vectorque se
obtiene multiplicando C por A y rotando el
vector resultante un ángulo de 90" a la posiciónmostrada.
De la misma manera, A X (B * C) es el
vector obtenido al multiplicar B * C por A y
rota¡ el vecto¡ rtsultante un ángulo de 90" a laposición mostrada.
Puesto que A X (B + C) es la diagonaldel paralelogramo que tiene como lados A x By A x C tenemosque
Ax(B*C) = AxB+AxC.
1.15. Demostrar que
Fig. l-23
Ax(B+C):AxB+AxCen el caso general en que A BV C no son
coplanarios (figura 1-24).
Descomponemos B en dos vectores compo-
nentes, uno perpendicular a A y otro paralelo a
A, y los denotamos por B1 y Bt t, respectivamen-
te. Entonces B:B¡ * B¡¡.
Si d es el ángulo ent¡e A y B, entoncesB I : B sen d. Así, la magnitud de A x Btes AB sen 0, la misma magnitud de A x B. Tam-bién, la dirección de A X Ba es la misma direc'
ciónde A X B. Poresto, A X Ba: A X B.
Similarmente, si C se descompone en dos
vectoresC¡¡ VC',paraleloyperpendicularrespectivamenteaA,entoncesAXCl:AXC.También, puesto queB + C = 81 + B¡ + CI + C¡¡ = (81 +Cr) + (B¡¡ *C¡¡) por consiguiente
AX(Ba+Cr) = Ax(B+C)
Ahora bien, B, v c1 son vectores perpendiculares a A y según el problerna 1.14'
Ax(Ba+Cr) = AxBr+AxCl
Entonces AX(B+C) - AxB+AxC
y la ley distributiva será válida. Multiplicando por -1, y empleando los resultados del problema 1.13'
il"g"-o.a (B* C) X A: BX A+ C X A. Obsérvesequeelordendelosfactoresesimportanteenelprúucto vectorial. Las leyes usuales del álgebra se aplican sólo si es mantenido el orden apropiado.
Fig. l-24
cAP. 1l VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION
f.16. Si A= A1.i*Azi+Ask y B=Bri*Bzj+Bsk,demostrarqueAXB =
15
ijkAt Az As
Bt Bz Bs
AX B = (A¡+ Azi+Ask) x (Bri+B2i+B3k)
= Arix (Bli+B2i+Bsk) + Aúx (Bi+ Bú+Bak) + Ask x (BLi+ B2i+Bsk)- ALBú xi +ár8zixi + ÁrBsixk + A2Brj xi+ AzB2ixi + á2B3jxk
+ AsBrk x i + A3B2k x i + A3B3k x k
- (AzBs- AsBz)i + (A¡Bt_ ArBs)i + (Apz_ A2B1\k =
r.r7. siA:3i-j*2ky 3j-k,hallarAxB.
AxB =
B:2i+iik3-1 2
2 3 -1
l-1= il
l3= -5i+
322-L
iikAr A2 As
BL 82 B3
3-123
,l-rl7i+
_J +k
1lk
1.f8. Demostrar que el área de un paralelogramocon lados Ay B es lA X Bl.
Area del paralelogramo = ñ lBl
= lAlsen c lBl
= laxBlObsérvese que el área del triángulo con lados A y B
es ilAx Bl.
1.19. Determinar el área del triángulo con vértices en p(z,g,5), e(4,2,-!), R(g,6,4\.PQ = (4-2)i+ (z-s)j+(-l-ó)k =:2i- j-6kPR = (3-z)i+ (6-a)i+(4-b)k = i*Bj-k
Area del triánguro = +lpexpBl = ültz¡-i-6k)x(i+sj-k)l
BFig.l-25
B
Fig. l-26
= +l
= +/i1eFl=¡FTIt)t = +{426
i j kl2 -r -ull = +llei-4i+?kl1 3 -1 I
PRODUCTOS TRIPLESL.2O. Demostrar que A . (B X C) es igual en va_
lor absoluto al volumen del paralelepípedocon lados A, B v C.
Sea n una no¡mal unitaria al paralelogramo I quetiene la dirección de B X C, y sea h la altu¡a del extre_mo de A sobre el paralelogramo f.
volumen del paralelepípedo : (altura h)(área del paralelogramo /)
= (A. n)flB x cl)
- e'{lBxCln} = a.(BxC)si A,Byc noformanunsistema dettrógiro, A. n < 0 yelvolumen: lA. (Bx c)1.
I
PI
I
VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION [cAP. l
1.21. (o) sia=Ari*Azj*Ask, B = 8ri*Bzj*B¡k, c = Cri*Czi*C¡kdemostrar
A.(B x C) =
At Az As
Bt Bz Bs
Ct Cz Cs
(b) Dar un significado geométrico de A ' (B X C) : 0.
It i k(a) A.(BxC) = e'lBr Bz 8s
lc, c2 cs
- (Ari + Azj+ Á3k). [(B2Ca - Bsozll + (B3Cl - B]psli + (Bp2- B}Cr)kl
- At(BzCs- BsC) + A¡(B}C.- BtCi + As(Bpz- B2Ct',¡ -Ar A2 A8
Br 82 Bs
cr c2 c8
(b) Segúnelproblemal.20,si A. (BX C):0 entonces AByC soncoplanarios,estoes,estánenelmismoplano, e inversamente si A, ByC soncoplanariosentonces' A' (B x C) - 0.
1.22. Determinar el volumen del paralelepípedo con lados
A=3i-i, B-i+zk, C=i*6i+4k. Il3 -r 0l
Segúnlosproblemasl.20yl.Zlelvolumendelparalelepípedo = lA'(BxC)l = ll0 I 2llIr 6 4l
= l-201 = 20.
1.23. Si A = i*i, B = 2i-3i+k, c = Ai-Sk,hallar (o) (axB) x c, (b) Ax (Bxc).
i¡k iik(o) Axn = l1 1 0l= t-j-6k. Entonces (AxB)xC = | I -1 -6 = 281*3j+4k.
2-3 I 0 4 -3
rik(b) Bxc=12 -8 I
0 4-9
rik= 6i*6i+8k. Entonces Ax(BxC) =l 1 1 0 | - 8i-8i+k.
6n8Se sigue que, en general, (AxB)XC * AX(BxC).
DERIVADAS E INTEGRALES DE VECTORES
r.24. si r = (t4+2tli-3e-2t!*2sen5úk, hauar rq#,(b) l#l , @\#, @',|#len ú=0.
. d.r ¡L. 't 'tta) fi = ;¿Us+zt\i+fr|-s"-ztli+;i@sen6ú)k - (stz+2)i + u"-zti* 10cos6ük
En ú = 0, il¡ltlt = 271' 6i + 10k.
(b) De (o), lit¡lihtl = \rej4(e)-tTliott = /1¡0 = zt/s6 en ü=0.
.. ¡t\ d /,t,\ .t.k);i = ftl=o) = fr{(8t2+2)i+ ur-zt¡* 10cos6úk} = 6úi-72e-2ti -50sen6ük
En ú=0, *rlúr, = -12i.
(d) De (c), lilzrld'tzl - ll en t=0.
cAP. 1l VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION t7
1.26. Demostrar que *g.B) = O'..ff*#.U,donde A y B son funciones diferen-ciales de u. üu'
Método r. ftW,ul = Jf.W,. A.AB + AA.B + AA.AB
= *-. t"'ff * #'" . #'^") = *ffi + ffi*Método2. SeanA = Ari+A2i+Ask, B = Bri+B2j+Bsk. Entonces
.1 )á(A.B) = h@pt+ A2Bz+A3Bs)
/ dBr , ^ dBr, ^ dBs\ /dAt _ dAr_ dr4._ \= (o,T; a A,á+ ¡,d)+ ( drB, * Ét,+ ü8, )
- dB + da.R= A'du du -
1.26. Si ó(¡, y,z): rtyz y A:3¡2yi * yzri - xzk, hallar*ttnl enelpunto(r, - 2, - l). da ctz
gA = (rzgz)(3*gi* yz2i- rzk) = SraA2zi + r2y2zsi - rlyz*da*@A) = fi(\du2zi* r\2zsi- ssyz2k\ - g'¡ay2i + 3r2a2z2i - 2rlyzk
a2eW u@ll = !¡@du2i + 3xzu2z2i - 2rtvzkl - 6raai + 6x2az2i - 2rszk
Si ¡ : 1, y : -2, z : -1, de donde -l?l - l2j+ Zk.
¡21.27. Calcular | .e(z)d.u si A(z)= (Bur-L\i+(2u-B)j+(6u2-4u)k.
¿/ u=lLa integral dada es igual a
72| {(S", - 1)i + (2u- 3)i * (6yz - 4ulk\ du
./ u:r lz= (yt - u\i * (uz - Sulj 4 (2us - Zu2\k lu=,
= {(8-2)i + (4-6)j + (16-S)k} - {(1-l)i + (1-3)i + (2-2)k}
= 6i+8k
VELOCIDAD Y ACELERACION1.28, Una partícula se mueve a lo largo de una curva cuyas ecuaciones paramétricas son
x:3e-2', !:4sen3ü, z: S cosBü dondeúeseltiempo.(o) Hallar su velocidad y aceleración en cualquier tiempo.(b) Hallar las magnitudes de la velocidad y aceleración en ü : 0.
(o) El vector de posición r de la partícula es
r = ri1.yjtzk = 3¿-2ti*4sen3úi.*6cos3úkEntonces la velocidad es-
dr/d.t = -6e-2ti* 12 cos3ú j - 16 sen3ú ky la aceleración es
a = dvld.t = d2t/¡I¿2 = L2e-zti - 86 sen Sú i - 46 cos Bú k
18 VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION
(ó) Enú=0, y=ilrldt= -6i+12j y a=ilz¡ldt2 =12i-45k. Entonces
la magnitud de la velocidad en f : 0 es VIT)ZTliry = 6y'5
la magnitud de la aceleración en ú : 0 es = g{Ñ
(o)
Integrando,
VELOCIDAD Y ACELERACION RELATIVAS
1.30. Si un avión vuela en dirección nor-oeste a I25 mi/h con un viento di-rigido al oeste a 50 mi/h. ambosmovimientos con respecto a la Tierra,hallar: (o) gráfica, y (ó) analítica-mente qué tan rápido y en qué direc-ción estaría viajando el avión si nohubiera viento.
(o ) Gróficamente.
Sean W = velocidad del viento
Vo = velocidad del avióncon viento
Vu = velocidad del aviónsin viento Fig,.l-27
Entonces(figural-2?) Vo: Vu*Wo Vu = V.-
cAP. 1l VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION
EntoncesVu = Vo-W - (-12ócos46o-60)i*12bsen46"i - -l8g,Agi+88,99i.Por tanto, la magnitud de V¡ es \4=J38l-5t-+ (E8-Jg-tt : rc4,2 mi,/h y Ia dirección es
tan-t 88,89,/138,99 : tan-t 0,638? :92.84' al norte del oeste.
1.3f. Dos partículas tienen vectores de posición dados por rr : 2ti - t2i + (gt2 - 4ú)k y12 : (5t2 - Lzt + 4)i + ü3j - 3tk. Hallar: (o) la velocidad relativa, y (b) la acele-ración relativa de la segunda partícula con respecto a la primera en el tiempo t : 2.
(a) Las velocidades de laspartículas en t : 2 son, nspectivamente,
vr = ir = 2i-Zti+$t-4)kl = 2i-4j+8kIt=2
vz = ]z= (10ú-12)i+3¿z¡-3kl = 8i+12i-3k
La velocidad relativa de la particula 2 con respecto "
t" oi'.]r'"rr" ,- y2 v1 = (8i+lzi- 8k) - (2i-4i+8k) = 6i * 16j - 11k
(ü) Las aceleraciones de las partículas en ú : 2 son, respectivamenle,
I
ar = ür - ii = -2i+ohl : -2j+6ktt'='
az = iz= i; = 10i+O¿il = 10i+12i
La aceleración relativa de la partícula 2 con respecto , ," ,"rr"t" ,
- a2 a' = (10i+t2i\- (-2j+6k) = 10i*14i-6k
ACELERACION NORMAL Y TANGENCIAL1.32. Dada una curva C en el espacio con vector de posición
r = 3cos2úi + 3sen2ú j + (8ú-4)k(a) Hallar un vector unitario T tangente a la curva.(b) Si r es el vector de posición de la partícula que al tiempo ü se mueve sobre la curva
C, verificar que en este caso v : uT.(o) Un vecto¡ tangente a la cu¡va C es
d,¡ld.t = -6 sen2úi * 6coszúj + 8k
La magnitud de este vector es
liHafl=ihldt= @=roEntonces un vector tangente unitaúo a C es
a -_ I/4!-. - ¡IEliIt ilt -6sen2úi * 6cos2ú j * 8krdt/dtr m=ds=-
-**"2ti + t cos2ú j * f,k
(b) Esto se deduce de (o) ya que
y = itttitt = il,:T:: Lii{"1"*r,,'1 *n, = ,,r
Obsérvese que en este caso la velocidad de la partícula a lo largo de la curva es constante.
f.33. Si T es un vector tangente y unitario a una curva C en el espacio, demostrar quedT/ds es normal a T.
l9
20 VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION lcAP. 1
PuestoqueTesunvectorunitario, T. T: l. Difercnciandocon¡espectoa sobtenemos
r.4! + 4I .n 'r'r' r 'r.fl - n- ¿IB de - = zr.fr = 0 c - ds
lo cual establece que dT/ds es normal, esto es, perpendicular a T.
Si N es un vector unita¡io en la dirección d,e ilT/ds tenemos
dflds = rN
y a N lo llamamos normol printipol r¡nitaria de ('. Al escalar x : ldTids I se le llama curLtatura y a
R : l,/x radio de curuatura.
1.34. Hallar: (o) la curvatura, (b) el radio de curvatura, y (c) la normal principal uni-taria N en un punto cualquiera de la curva en el espacio del problema 1.32.
(o) Según el problema 1.32, T = -i?sen 2úi * $ cos?t i + +k. Entonces
f, dTldt (-615) cos 2ú i - (6/5) sen 2ú jils dsldt 10
= -# cos 2ú i - ft,sen2t i
Asi,racurvaturaes x: l#l = @" = *(ó) El ¡adio de cuwatura = R = Llrc = 2513
(c) De (¿), (b) y el problema 1.33,
N = :# = R# = -cos2úi -sen2Ú j
f.35. Demostrar que la aceleración a de una partícula que viaja a lo largo de una curvaen el espacio con rapidez v se da por
da. - a2ndt' R ^'
donde T es el vector tangente unitario a la curva en el espacio, N su normal principalunitaria y R es el radio de curvatura.
Velocidad v : magnitud de v multiplicada por el vecto¡ tangente unitario T, o
v:aT
Diferenciando, a = + = fior¡ = #r*r#
Pero
Entonces
Esto muestra que la componente de la aceleración en la dirección tangente a la trayectoria es du/dt y12/R en la di¡ección de la normal principal a la trayectoria. Esta última aceleración a metrudo se llamaotele'ración cen tríot,ta t¡ ort'lerotíón normor.
MOVIMIENTO CIRCULAR1.36. Una partícula que se mueve tiene un vector de posición dado por r : cos <.,ú i *
sen arú j donde @ es una constante. Demostrar que: (o) Ia velocidad v de la partí-cula es perpendicular a r, (b) la aceleración a está dirigida hacia el origen y tieneuna magnitud proporcional a la distancia desde el origen, (c) r X v : un vectorconstante.
dT ¿IT ils -- ds oNü = d" Zl = "^d¿ = Kufl = -n
d!_ /t,r*\ = 9r***^ = dtt-o\Rl e.E rr
CAP. II VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION
dr(o) v = E = -" sen rdü i * ur cosroú j, Entonces
= (ft<z"u - *,-*,), * (fraa - fie",ut)i + (*ea\ - ftaa)u= 2r2i * (r_Arali
(d) div(CA) = V.(ÉA) = 9.(rsgzti-üzAszsi-l 2r+gz¿y¡
= *r*o*, + ft<-,'v",q + fr@*uz*l= '¿r2U4 - 3n2A2zs I 6r<,yz2z
(e) rot (9A) = VX(gA) = YX(rayzti-r21¡ fi+Zr4y2zsk)
iikaldr alda a/02
,8a4 -*fe 2éyz¿(4rayzs+3*Asz2)i * (4nsy7s-8rsy2zlri - (2ry32t* 62\k
2l
Físicamente, el movimiento corresponde al de una partícula que se mueve sob¡e una ci¡cun-ferencia con velocidad angular o constante. La aceleración, dirigida hacia el centro del círculo, esla aceleraci ón c entrípeta.
GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONALf.37. Sió:"zrrt y A:xzi-y2j+2x2yk, encontrar (a)Vó, (b) V.A,(c) V X A, (d) div (O.l¡, 1"¡ rot (OA).
(o) vó = (1,*3¡+*r). = ftr+ffi*#n\dr da- d2 /'
= $<**1, + f,@zuzsli
+ fi@zazs)k = 2ryzti * r2ci * s'.zyzzk
(ó) v.A = (*t* fu+ftu).@zi-azit2r2akl
*f*l + ft<-u,l + fip,ry¡ = z - 2u
(c) VxA = (dr, á.,d,-\.,\¿, *
A-t + ark)x (rzi-y2i-t2n2yk)
r.v = [cosr,rú i * sen¿rú j]. [-"senoú i * o cosoú j]
= (cos r.rú)(-o sen oú) * (senoú)(r,r cos oú) = 0y r y v son perpendiculares.
,,. &t d.v\bl dF = d-, = -c¡2cogr.rúi-¡¡3sen¿rúi = -rz [cosr.rti*senorüil = -rz,Entonces, la acele¡ación tiene dirección opuesta a la de r, es decir, está dingida hacia el origen.
Su magnitud es proporcional a I rl que es la distancia desde el origen.
(c) rXv = [cosoúilsenroú j] x [-"sen¡,¡úia ocosroú j]rjk
cosúrú senúrú 0 | = r,r(cos2oú *sen2¡oü)k = ,k, un vector constante.
-o se:r oü ú, COs ú,rú 0
ijk0/0x Alay aldz
uz -A2 2o2U
r.38. (o) si a - (2rg +d)i+ (r'+2v)!* (Buz2-2)k, demostrar que v xA = 0.
VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION
(ó) Hallar una función escalaró tal que A = Vé.ijk
(o) VxA = | alar dlas 0/02 =02ry*23 r2*2g 3nz2-2
(ó) Método l. Si A = Vo = #r+fri+ffx entonces tendremos
(t) #=rru*"" (2) #=r'*r, (3) #=gr"'-zIntegrando, encontramos
(4) i'= u2Alnzs*Ft(A,z) (5) O = ü2A*U2 *'F2(r,zl(6) ó = rz3-2zlFs@,u)
Comparándolas, tenemos Fr(y, z'l : y2 - 22, FzG, z\ : xzs - 22, F¡Q, y) : r2y * y2 ytambién ó : t2! I xzr I )'' - 22.
Método 2. Si A = Vó, tenemos
A'dr = (#' *fu .tfu)' @ri * dui * dzk\
= fra" + #oo * #0" = itq
una diferencial exacta. Para este caso.
d6 = A'dr
=T ;t'.:"""r!:ii':ít'"I"1'1""?no1 '0" ,
= d(rzA * xzs * A2 - 2zl
Entonces ó : ¡rl' * .r¿3 * !'" -- 2r. Obsérvese que una constante a¡bitraria puede sumarse a O.
INTEGRALES DE LINEA E INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA
r.39. Si A: (3¡2 - 6yz)i't (2y lSxz)i -f (1 - 4xyz2)k, evaluar f e'drdesde(0,0,0) hasta (1, 1, 1) a lo largode las siguientes trayectorias C:
(a)¡:t,J:t2,2:tt.(b) las líneas rectas desde (0,0,0) hasta (0,0, 1) luego a (0, 1, 1) y luego a (1, l, 1).
(c ) la línea recta que une los puntos (0, 0, 0) y (1, 1, 1).
frI e.ar = | {(a',-Gaz\i + (2a-llrz)i * (l-4ruz2)k}'(d'ui* dyi I dzk\Jc .tC
= f ,tr, - 6yz) dr * (2a * 3rz) cly + (1 - Aryzzl ilzJ¿
(a) Si ¡: t,y:t2, z: t3 lospuntos(0,0,0)y(1,1,1)correspondena t:0y ü: l, respec-
tivamente. Entonces
f o.a, = Í'(B¿2-6(¿2)(¿s)'tdt+ {2¿2+B(¿)(rs)}d(t2')+ {1-4(¿Xú2X¿3)2}d(te)J¿ J t=o?l
= | ,tr,-6¿s)dt +(4¿s*6¿s)dt+(gt2-r2¿rr¡dt = 2J ,=o
Otro método.Alolargodelacurva C,A= (3ú2-6t5)i+(2t2+3ú4)j+(1 -4¿e)k v r = fi*ai*zk=
ti+ t2i * ü3k, dr = (i+ 2ti + 3¿2k) dú. Entonces
f ^.0" = (' ,rrr-6¿sldt + (4ts¡6¿sld,t + (gtz-12¿rrlitt = gJc Jo '
(ó) Alo larggde la línea rectadesde (0, 0, 0) hasta(0, 0, 1), ¡ : 0,,v : 0, d¡ : 0, dy : 0 dondezvaía de 0 a l. Entonces la integral sobre esta parte de la curva es
[cAP. l
cAP. tl VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION
?l rl| {atol, - 6(0xz))0 + {2(o) + B(0Xa)}0 + lr - 4(ol(0)(z2l} dz = IJ z=O J z=O
A lo largo de la línea ¡ecta desde (0, 0, 1) hasta (0, l, l), , : 0, z : .t, dx : 0,varía de 0 a 1. Entonces la integral sob¡e esta parte de la trayectoria es
Sea ABCD el paralelogramo dado con diagonales quese intersectan en P, como se muestra en la figura l-2g.Como BD*a = b, BD = b-a. Entonces Bp = ¡(b-a).Puesto que AC = a + b, AP = y(a * b).
Pero AB = AP*PB = AP-Bp,i.e. a = y(a*b)-r(b-a) = (c*y)a* (u-r)b.
Como a y b no son colineales, según el problema 1.41, Ax I y: I y y - ¡:0, i.e. x: y: { y p estáenelpunto medio de ambas diagonales.
23
d¿=1
dz :0 dondey
'l /'l| {alot, - o(y)(1)}0 * (2a + 3(0)(1)} ita * 0- a(0)(yxr)2}0 = r' 2a da = 1Jc=o ¿ a:o
Alolargodelalínearectadesde (0,1,1) hasta (1,1,1), y : l, z: l, d,y:0, dz:0 donde¡varía desde 0 a 1. Entonces la integral sobre esta parte de la trayectoria es
fr ^LI lt"r-6(1)(1)) dr * {2(rl+Bc(1)}0 + {r-a¡(1)(1)2}0 = | (Brz-6)d,r = -6J z=o Jr=o'- '
Sumando, f o.o, = l*l-b = -8.Jg
(c) Alolargodelalíncarcctaqueunelospuntos(0,0,0)y(1, l,l)tenemos x: t, !: t, z: ¿. Entonces,como d¡ : dy _ dz : dt,.
fff^A.dr = l_(Srt-6yz\dn I (Za*Brz)d,s + (1 -4ryz2)d.z.t C .tC
?L= | ,tt, - 6¿z) d.t + (2t + g¿z) itt * (L - 4tel atJ t:o
= f' et+L-4t4)dt : 6/EJ t=o
Obsé¡vese que en este caso el valor de la integral depende de la trayectoria en particular.
f1.4O. Si A: (2xy* z3)i+ (x, l2y)i-l(Bxz¿ - 2)kdemostrarque: (a) le.¿"¿Ces independie.te de la trayectoria c que une los puntos (1, - l, ll y (2, 1,2), y (b)encontrar su valor.
Segúnelproblemaf.3S, V x A: O o A.dr: do: d(x2y* xzt *y2 - 2e). Élntonceslaintegrales independiente de la t¡ayecto¡ia y su valor es
¡(2,r,2) ?(2,r,2)I A.dr = | A@ra*xzs*a2-22)
" n, -r,l) " (1, -l,r)= rzy * a2t * a2 - r"1"'''" = 18
t(1,-1,1)
PROBLEMAS VARIOS1.41. Demostrarque si ayb nosoncolineales, entonces ra + yb: o implica x: y : o.
supongamos ¡ l 0. Entonces ¡a * yb : o implica ¡s : -yb o a : - (y/x)b, esdecir, aybdeben ser paralelos a la misma línea (colineales), contrariamente a la hipótesis. Asi, r : 0; entoncesyb - O, de donde y : 0.
L.42. Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisectan entre sí.
Fig. l-2E
24 VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION [cAP. 1
1.43. Demostrar que para cualquier vector A,
(a) e = (a'i)i+(a'i)i+(a'k)k(b) A - A(cosoi*cosPj+cos7k)
donde a, p, "y son los ángulos que A forma con i, j, k, respectivamente, y cos a,
cos p, cos 7 se llaman los cosenos directores de A¡
(o) Tenemos A: Ari + A2i + .43k. Entonces
Así,
A.i - (Ari+A2i+á3k)ri - Ar
A.j - (Ari+Aú+Ask)'j - A2
A.li = (A¡+ A2: + A3k) 'k = As
a = (a.i)i + (A.j)j + (A'k)k
A.i = lAl lil cosa = AcoscA.j = lAlljlcosB = AcosPA.k = lAl lkl cosy = á cosy
Entonces de (o),
A = (A.i)i+ (A'i)i + (A'k)k = A(cosa i* cosÉ j * cosvk)
L-44. Demostrar que Vó es un vector perpendicular a la superficie ó(x, y, z) : c,
donde c es una constante.
Sea r : ú * yj f zk el vectorde posición de cualquierpunto P(¡, y, z) sob¡e la superficie.
Entonces dr : dxi * dyi + dzk estáen el plano tangente a la superficie en P. Pero
. dó. .a6, ,ao /aó,,0ó,-^^ \a6=¡ia,*ñoo+ffd.2 =o . (#,+tt+#")'(d'ri+dvirdzk) = 0
es decir g ó . dr : 0 así que V d es perpendicula¡ a dr y por consiguiente a la superficie'
1.45. Encontrar un vector unitario normal a la superficie 2r2 * 4yz - 522 : - 10 en el
punto P(3, -I,2).Según el problema 1.44, un vector normal a la superficie es
9(212*4yz-6zz) = 4ri I4zi * (4a-L0z)k =
Entonces un vector unita¡io normal a la superficie en P es ,/@+@FT@ 7
otro vecto¡ unitario nornal a la superficie en P es - 3i + 2j - 6k
'
1.46. La escalera AB delongitud o descansa sobre l¡ pared u"rti""t OA (figura 1-29). El pie
B de la escalera se hace mover con rapidez constante uo. (o) Demostrar que el pun-
to medio de la escalera describe un arco de circunferencia de radio a/2con centro en
O. (b) Encontrar la velocidad y rapidez del punto medio de la escalera en el instante¿ en que B está a una distancia b < a de la pared.
(o) Sea rel vectordeposicióndelpunto medio MdeA8.Si el ángulo OBA: d, tenemos
OB = ocose i' OA = osenc jAB = OB-OA = ocosdl-d,senc j
Entoncesr=OA*AM=OA++AB
= .rsen C i + *@cos, i - osene j)
- |o(cos, i * sen , i) .
Como lrl : *4, setend¡áuncírculode ndíoa/2concentro en O.
(b)
rzi+8i-24kLzi+8i-24k
en (3, -1,2)3i+2j-6k
Fig. r-29
cAp. 1l vEcroREs, vELocIDAD Y ACELERACION
(b) La velocidad del punto medio M es
d.¡ ¿
fr = frtlt"(cosci*sendi)) = to(-.enaói+cosoi¡¡donde á = ilelilt.
La velocidad del pie B de la escalera es
¿¿ooi = $1on) = *.@cosri) = -or"naái o osenc i = -¡o- clt' ctt'
En el instante en el cual I está a una distancia b de la pared tenemos, de (2),
@ . -ao -a¡send = " ' o =
"*"t =
ñAsí, de (I) la velocidad de M en este instante es
d.¡ /. ó .\ü = tro\. ,¡¿_6rtl
y su rapidez "" otrs/z\,Ñ.
1.47. Sean (r,0) las coordenadas polares que describen la posición de una partícula.Si r, es un vector unitario en la dirección del vector de posición r, ! Ct es un vec-tor unitario perpendicular a r en la dirección en que se incrementa 0 (figura 1-30),demostrar que
= cosdi*sendi, er = -s€D0i*coa?i= cos0 rt-sender, i = sen 0 tt+ cos? 0t
(o) Si r es el vector de posición de la partícula encualquier tiempo t, entonces fu/dr es un vec-
tor tangente a la curva , : constante, es decir,un vector en la dirección de r (en que se incre-menta r). Un vecto¡ unitario en esta di¡ecciónse da por
11 = +/l+l u)dr/ larlComo
r = ¡i+ai = rcosti*rsenc¡ \2)
como se ve en la figura l-30, tenemos
dr ldrl -;; = cost r + send ¡, laTl = r
así que11 = cosri*senrj (3) Fig.l-30
Simila¡mente, d¡/OC es un vecto¡ tangente a la curva r : constante. Un vector unitario enesta dirección se da por
Ahora, de (2), dE
ac
así (4) queda
(o) rr
(b) i
25
u)
(2)
(4)0r
-rsenci+rcos,i, l#l ='
o1 = -senri * cosci
(ó) Estos resultados se obtienen al rtsolver las ecuaciones simultáneas (3) v (5) para i y j.
(5)
26 VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION lcAP. I
1.48. Demostrar que: (o) ir=b|t (b) ór= -ó¡.(a) De (3), en el problemi ,.nr, ,.n.-o.
. dtt 0r1 ¿, 0r7 ¿¿11 = ü = T,f .!"!:,r*cosajxá) = óc,
(b) De (5), en el problema 1.47, tenemos
, üt dar dt aar dctr = E = TE-TIü= loltil + (-cosai-s€na jXá) = -árt
I.49. Demostrar que en coordenadas polares: (a) la velocidad se da por
v = ir, +ritoty (b) la aceleración se da por
a : (;- rb\r, + 1rd +Ziá¡e,
a) Tenemos r : rrr de modo que
iI¡ ilr d\v = ii = #1+rÉ = irr+ri, = ,ñ'+160,según el problerra 1.48(o).
(b) Según la parte (o) y el problema 1.48, tenemos
ilv ¿1,. . !a = u
=f:iiíír,:::i,!ji't'i^,-*,,
Problemas propuestos
ALGEBRA VECTORIAL
1.5O. Dados dos vectores cualesquiera Ay B, ilustrar geométricamente la igualdad 4A { 3(B - A) : A + 38.
1.51. Dados los vectores A, By C, obtener gráficamente los vectores (a) 2A - 38 + *C, (b) C - *.A + tB.
1.52. Si A y B son dos vectores cualesquiera diferentes de cero que no tienen la misma dirección, demostrar quepA * qB es un vector sob¡e el plano determinado por A y B.
1.53. (o ) Determinar el vector que tiene como origen (2, - 1, 3) y ertrcmo (3, 2, - 4). (b) Hallar la distancia entrelos dos puntos en (a). Resp. (o) i * 3j - 7k. (ó) V59
1.54. Untiángulotienevérticesenlospuntos A(2,L,-1),8(-1,3,2), C(L,-2, 1). Hallarlalongituddelamediana al ladoAB. Eesp. I V6-
f ,55. Un hombre viaja 2p millas al noreste,.15 millas al este y 10 millas al sur. Usando una escala apropiada de-terminar: (a) gráficamente, y (ó) analíticamente la distancia y la dirección desde su posición de partida.Resp. 33,6 millas, 13,2" al norte del este
cAP. 1l VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION
1.56. Hallarun vectorunitarioen ladireccióndelaresultantedelosvectores A:2t - i + k, B: i + i +2k,C : 3i - 2j + 4k. Resp. i(6i - 2i + 7k)/{89
PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO ESCALAR
r.67. Calcular l(A+B).(A- B)l si A:á-Sj+5kyB:3i+j-2k. Resp. 24
1.58. Halla¡odemodoque 2i - 3j + 5k y 3i * aj - 2k seanperpendiculares. 8esp. a: -4/3
1.59. Si A: fi +j+ k, B: i-Zj+ 2k y C:3i- 4j* 2k, hallarlaproyecciónde A* C enladirecciónde B. Resp. ll/3
1.60. Los vértices de un triángulo son los puntos A(2, 3, 1), 8(- 1, 1, 2), C(1, - 2, 3). Determinarel ángulo agudo
que forma Ia mediana al lado AC con el lado 8C. Resp. cos-t lg-t/t+
1.61. Demostrar la ley de los cosenos para el triánguloABC, es decir, c2 : a2 + b2 - 2ab cos C.
[Sugerencia. Toma¡losladoscomo ABC donde C: A- B. Luegousar C.C: (A- B).(A-B).1
1.62. Demostra¡ que las diagonales de un rombo son perpendiculares entrc sí.
PRODUCTO CRUZ O PRODUCTO VECTORIAL
1.63. Si A:2r- j+k y B: i+2i- 3k, hallar l(2A+ B) x (A- 2B)1. Resp. 25\/T
1.64. Hallarun vectorunitarioperpendicularalplanode losvectores A: 3i - 2i+ 4k y B: i + j - 2k.Resp. +(2i + kr/\E
1.65. Hallar el d¡ea del triángulo con vértices (2, -3, 1), (1, - L,2), (-L,2,31. Resp. +\6
1.66. Hallar la distancia rrínima del punto (3, 2, l) al plano determinado por (1, 1, 0), (3, - 1, 1), (- 1, 0, 2).
Resp. 2
1.67. Demostrar la ley de los senos para el triángulo ABC, es¿".¡r, t"n A -
sen B -
sen C- ;---6-- c'fsugerencia. Considera¡quelosladosson A,B,C donde A+ B + C : O yhacerelproductovectorialde ambos lados con A y B respectivamente.l
PRODUCTOS TRIPLESr.68. Si A = zi+j-3k, 3 = i-2i+k y C = -i+i-4k, hallar (o) A. (BxC), (ó) C' (AxB),
(c) Ax(BxC), (d) (AxB)xC. Resp. (a) 20, (ó) 20, (c) 8i-19i-k, (ü 25i-16j-10k
1.69. Demostrarque A. (B X C): (A X B). C, esdecir,quelosproductospuntoycruzpuedeninter-cambiarse.
1.7O. Hallarelvolumendeunparalelepípedocuyosladosestándadospor A:2i + 3i - k, B: i- 2i+2kyC:3i-j-2k. Resp.3l
1.71. Hallarelvolumendeltetraedroconvérticesen (2, 1, 1), (1,-1,2), (0, 1,-1), (1,-2, 1). Resp. UB
1.72. Probar que (o) A. (B x C) = B. (C X A) = C. (A X B),(b) Ax(Bxc) = B(a'c)-c(A.B).
1.73. (o) Sean t1, 12, rs los vectores de posición de los tres puntos P¡, Pz, Pa, respecttvamente. Demostiarque la ecuación (r - rr) . [(r - rz) X (r - r¡)] : 0, donde r : ¡i * yj * zk, representa unaecuación para el plano determinado por Pt, Pz ! P3. (ó) Hallar una ecuación para el plano que pasapor los puntos (-1,2, -3), (4, 1, 0). Resp. (bl 2x * y - 3z : I
DERIVACION E INTEGRACION DE VECTORES
1.74. Sea A:3ti-1¿z +¿)j+(ts -2t2)k. Hallar (o) dA/dty (b) dr{/dt, en ú:1.Resp. (¿) 3i - 3j - k, (b) -2j + 2k
27
28 VECTORES, VE LOCIDAD Y ACELERACIOT.- lcAP. I
l'7ó. Si r: acosot * bsenot, donde ayb sonvectoresconstantescualesquieranocolinealesyoun escalar constante, demostrar que: (o) r x dt/dt : o(a X b), (ó) d2t/d.t2 -F o2r : 0.
1.76. Si A: úi- senrk y B:cos¡i* sen¡j* k, hallar $t.n."1. Resp. -¿senr
I'77. Demostra¡ ou" ff{o x B) - n, ff*+ #, , donde A y B son funciones diferenciables cle u.
1.78. SiA(u) :4(u-l)i-(2u+S)j+6u2k,calcular(o) f'n,r, du,(bt ftrr-2k) .A(u)du.Resp. (o) 6i - sj + 38k, (b) -28
¿2 rr
1.79. HallarelvectorB(u) tal que d2B/du2:6ui - 48u2j* l2k donde B:2i- 3k y dB/dtt:i*para u:0. Resp (u;i*u +2)i + (-cu -4ur)j *(6ur -3)k
1.8o. Demostrarque I ""ffh, = o><#*c dondecesunvectorconstante.
1.81. Si R : .r2.r,i - 2.v2zj * x,r'2¿2k, h"llr. l= t *l en el punto (2, t, -21. rResp. 16y'5I dx. da. I
1.82. SiA:¡ri-.r'j*.tzkyB:¡,i*.tj-xlzk. hallar Jf t,nXB) enelpunro(1,-1,2).Resp - {i + 8j dx da
VELOCIDAD Y ACELERACION
radio de curvatura fr, y (d) la curva-
(t2 + 2)3/2/\lE, kt) \/, /G2 * z¡srz
5j
f.83. Unapartículasemuevealolargodelacurvaenel espacio r: (t'z * ¿)i + (3f - 2)j + (2ts - 4t2\k. Hallar:(o) la velocidad, (ó) la aceleración, (c) la rapidez o magnitud de la velocidad, y (d) la magnitud de la ace-
le¡ación en el tiempo t : 2. r?esp (o) 5i + 3j + 8k, (b) 2i + 16k, (cl 712, G\ 2\/6
1.84. Una partícula se mueve a lo largo de la curva en el espacio definida por ¡ : e-'cos t, )' : e-, sen ¿,
z : e-'. Hallar la magnitud de: (a) la velocidad, y (á) la aceleración en cualquier tiempo f.Resp. (o) 1B e-', (bl fre-'
1.8ó. El vectordeposicióndeunapartículasedapo¡ r: ocoso¡i * bsenotj * cf2k paracualquiertiempot. (o) Demostrar que aunque la rapidez de la particula aumenta con el tiempo, la magnitud de la acelera.ción es siempre constante. (ó) Describir geométricamente el movimiento de la partícula.
VELOCIDAD Y ACELERACION RELATIVA1.86. Los vectores de posición de dos partículas se dan, respectivamente, por r1 = ti - Éj + \2t + 3)k y
r, : (2t - 3¿2)i ! 4ti - t tk. Halla¡: (o) la velocidad relativa, y (ó) la aceleración relativa de la segundaparticula con respecto a la primera para f : 1. Resp. (o) -5i + 6i - 5k, (b) -6i + 2j - 6k
f.87. El conductor de un automóvil que viaja hacia el noreste a 26 mi/h, nota que el viento parece venir desdeel no¡oeste. Cuando se dirige hacia el sureste a 30 mi,/h el viento parece venir desde los 60' al sur del oeste.Hallar la velocidad del viento relativa a la Tierra Resp. 52 miz'h en dirección 30" al sur del oeste
1.88. Un hombre se halla en un bote en la orilla de un río ¡- desea llegar al punto directamente opuesto sobre laotra orilla. Considerando que la anchura del río es D y que la rapidez del bote y de la corrience del ríoson respectivamente V !' | < y, demostrar que: (o) debe enrumbar su bote agras arriba en un ángulo desen | (¿' /l/ ¡ con la orilla, y' (b) el tiempo para cruzar el úo es D/ l-V77F.
ACELERACION TANGENCIAL Y NORMAL1.89' Demostrar que la aceieración tangencial y normal de una partícula que se mueve sobre una curva en el es-
pacio se da por d2s'dt2 y x(ds/dt)2 donde s es la longitud del arco de la curva medida desde algúnpunto inicial y x es la curvatura.
1.9O. Hallar: (o) la tangente unitaria T, (b) la normal principal N, (c) eltura r de la curva en el espacio r : f, -\' : t2/2, z: t.Re,p. (a) (i + rj + ul/t/ t2 + z, (b) (-úi + zi - tx)/t/a+ t, (c\
cAP. 1l VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION
,¡2ab
1/a2sen2 6t * ó2 cos2 oú
29
l'91' Una partícula se mueve de manera que su vector de posición en cualquier tiempo t sea r : ti + +tzi + *.Hallar: (o) la velocidad, (ó) la rapidez, (c) la acele¡ación, (d) la magnitud de la aceleración, (e) la magnitudde la aceleración tangencial, (/) l" magnitud de la aceleración normal.Resp. (a) i + ¿j + k, (U \/F+ z, (c) j, (d) t, (r) t/t/T-+ z, Ul \tr /\/p + z
l'92' Hallar: (o) la aceleración tangencial, y (ó) la acele¡ación normal de una partícula que se mueve sobre laelipse r: ccos oti* b sen@tj.
. ,2(a2 - b2) s€n oú cos oú---';' ':' t-tsenro¿ +-¡tcosro¿ \4,
MOVIMIENTO CIRCULARl'93' Una partícula se mueve en una circunferencia de 20 cm de radio. Si su velocidad tangencial es 40 cm,/seg,
halla¡: (o) su velocidad angular, (ó) su aceleración angular, (c) su aceleración no¡mal.Resp. (al 2 radianes,/seg, (b) 0 radianes,/seg2, (c) g0 cm,/seg2
1'94' Una partícula que se mueve sobre un círculo de radio R tiene una aceleración angular constante c. Si lapartícula parte del reposo, demostrar que después del tiempo f: (o) su velocidad angular es o : at, (b) lalongitud del arco ¡ecorrido es s : IRo¿2.
t'95' Una partícula se mueve sobre una ci¡cunferencia de radio R con velocidad angular constante oe. En eltiempo f : 0 comienza a reta¡da¡se de modo que su aceleración angular es - a (o desaceleración al.Demostrar que: (a) se detiene en el tiempo ts/o, y (b) que la distancia iecorrida
"" ñr!,/Zo.
l'96' Si la partícula del problema 1.95 se mueve a 3600 ¡evoluciones por minuto en una circunfe¡encia de 100 cmde radio y desacelera a razón de 5 ¡adianes,/seg2: (o) ¿cuánto tiempo trascurrirá para que llegue al reposo?y (ó) ¿qué distancia habrá recorrido? Resp 75,4 seg, (b) 1,42 X 106 cm
GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL1.97. Si A: xzi*(2x2 -,r)j- J,z2ky d:B¡2), lJ,rzs, halla¡: (o) Vó, (ó) V.A y (c) VXAen el punto (1, -1, l). i?esp. (o) _6i + j + Sk, i¡l 2, (c) _i + j + 4k
f.98. Si O: ¡-y *-r,z I zt y A: ¡z.r'i *lrzi + z¿¡k, hallar: (o) .{.V0, (b) óV.A y (c) (Vó) XAenelpunto (3, -1,2). Resp. (o) 28, (b\ 2, (c) 56i _ BOj + 4?k
1'99' Demostra¡ que si L,f, v', A, B tienen derivadas parciales continuas, entonces: (o) V(U +Vr) - VU + VV,(ü) v.(a+B) = v.A+v.B, (c) vx(a+B) = vxa+vxB.l.lOO. I)emostrarque VX (¡2r) :O donde r:¡i*t,j*ekyr: lrl.l.l0l. Probarque: (o) div rot A : 0, V (ó) rot grad ó : O con condiciones dadas de A y ¿.
: x2y - 3xz2 I 2ryz, demostra¡ directamente que
Besp. -6ri * (62 - f)k
l'1o4. (o) Demostrar que v x (v x a) = -v2a+ v(v.a). (b) Verifica¡ el resultado en (a) si A es el vecto¡dado en el problema 1.103.
1.105. Demostrarque:(o) Vx(UA) = (VU)xA+U(VxA). (b) V.(AxB) = B.(VxA)_A.(VxB).
INTEGRALES DE LINEA E INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA
(0,0,0) hasta (1, l, l), donde C es la
(ó) la línea recta que une esos puntos;1) y luego hasta (1, I, l); (d) la curva
l'1O2. Si A : (2x2 - yzli * (.r,' - 2xzlj I x2z3k y gdivrot A:0 yrotgrad 6:0.
t.l03. Si A : 3xz2i - )zi + G * 2z)k, hallar ¡ot rot A.
r.106. SiF:(B¡-2.r,)i alcular f F.drd".deJ.
trayectoria correspo ¡ : f, ],": ¡2, ¿ : ¡1.(c) la línea recta de 1,0), luego hasta (0, l,x : zz, z : yr. 5/5, (c) O, (d) lB/gO
30 VBCTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION [cAP. l
l.f67. Calcular (A,.a, donde A:3r2i !(2xz -y)j +zk alolargode:(a)lalínearectadesdeJ¿
(0,0,0) hasta (2,1,3), (b)lacurvaenelespacio x:2t2,y: t, z:4t2 - ü desde t:0 hasta f:1,(c)lacurvadefinidapor x2 :4y,3¡3 :82 desde ¡ :0 hasta ¡ :2. Resp. (¿) 16, (b) 14,2, (c) 16
l.fg8. Hallar 6" .rt donde F : (t - 3y)i * (y - Zxlj y Ceslacurvacerradaenelplano xy, x:2cost,J¿
J:3sent, z:0 desde ¿:0 hasta t:2r. Resp. 6r
l.l09. (c)Si A : (4xy-3x222)i*(4yt2r2)i* (1-2¡3e)k, demostrarque f n'0, esindependiente¿C
de la curva C que une los dos puntos. (b) Calcular la integral en (o) si C es la curva desde los puntos
(1, -1, l) hasta (2, -2, -ll. Resp. (b) - 19
l.1l0. Determinar sl J"A.dr es independiente de la trayectoria C que une dos puntos cualesquiera si: (a)
A:2xyzi * x2z! * x2yk, (b)2xzi * (r2 - ylj * (22 - ¡2)k. Enelcasoqueseaindependientedeter-
l.lll. Calcula¡ f""'0, donde E: rr.
minar el valor de ó tal que A : Vó.
^Besp. (o) Independiente de la trayectoria, 0 : x2yz f ci (á) depende de la travectoria
0Pesp
PROBLEMAS VARIOS
1.112. si Ax B:8i - 14j+k v A* B:5i+3j*2k, hallar AvB'iesp. A :2i+ i - 2k, B: 3i + 2j + 4k
l.ll3. Sean lr, mt, nt y 12, nr2, n2 los cosenos di¡ectores de dos vectores. Demostrar que el ángulo 0 entre
ellos es tal que cos d : ltlz I mtmz * ntnz
l.l14. Demostrar que la línea que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer lado y
tiene la mitad de su longitud.
1.115. Demostrar que (A X B)'2 + (A 'B)' : A282.
l.fl6. Si A,ByC nosonvectorescoplanarios(vectoresquer¡oestánsobreelmismoplano)Y ¡rA* ytB* ztC:¡zA * lzB I ezC, demostrarque necesariamente rt : rz, lt : !z' zr :22.
1,117. Sea ABCD cualquier cuadrilátero y los puntos P, Q, n y S los puntos medios de los lados sucesivos.
Demost¡ar que: (¿) PQRS es un paralelogramo, (b) el perímetro de PQftS es igual a la suma de las longi-
tudes de las diagonales de ABCD.
1.118. Demostrar que un.ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.
1.119. Encont¡ar un vecto¡ unitario normal a la superficie f y - 2xz * tyt r' : 10 en el punto (2, l, -l).rtesp- +(3i + 4j - 6k),/\6'i
1.120. Demostrar que A' # = O#.
l.12l. Si A(u) es una función diferenciable de u y lA(u) | : 1 demostrar que dA/du es perpendicular a A.
1.122. Demost¡a¡ que V '(OA) = (VO) 'A + O(V 'A).
1.123. Si Ax B:Ax C, ¿esnecesariamente B: C? Explicar.
l.].}4. Un barco navega hacia el no¡este a l5 millas por hora. Un hombre sobre este barco observa que otro barco
situado 5 millas al oeste parece que navegara hacia el sur a 5 millas por hora. (¿) ¿Cuál es la velocidad real
de este barco? (b) ¿Cuál será su distancia minima?
1.I^2F,. Demostrarque (Ax B)' (C x D)+ (Bx C)' (Ax D)+ (C x A)'(Bx O) : O'
f.126. Resolverlaecuación d2r/dt2: -gk dondegesunaconstanteysecumpleque r: O, dt/dt: uok en
ü:0. i?esp. r:(ust-Lgt2\k
cAP. ll VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION
1.127. Si ó: (x'*y" * z2)-rtz, demostrarque Vzp = V.(Vd) = 0 entodoslospuntosaexcepcióndelpunto (0, 0, 0).
1'128' La velocidad de salida de una bala de cañón es de 60 mi,/h. Considerando que la bala se acelera uniforme-mente, ¿cuánto tiempo tardará la bala en recorrer un cañón de 2,2 pies de longitud? Besp. 0,0b seg
l'129' La escalera AB de 25 pies de longitud reposa sobre la pared ve¡tical OA como se muestra en la figura l-2g.Si el pie B de la escalera se hace mover alejándolo de la pared a 12 pies,/seg, hallar: (o) la velocidad, y (b)la aceleración del extremo superiorA de la escalera en el instante en que B está a 15 pies de la pared.Resp. (a) 9 pies,/seg hacia abajo. (b) 1L,25 pies,/segp hacia abajo
l'13o' Probarque(a) lA*Bl 5 tAl + lBl, (ó) lA+B+cl s lAl + IBI + lcl. Darunainterpretacióngeométrica posible.
l'l3l' Un tren parte del repo'so con acele¡ación uniforme. Después de l0 segundos tiene una rapidez d.e20mi/h.(o) ¿Cuánto ha reco¡rido desde su punto de partida en un tiempo de lb segundos? (b) ¿Cuál será la ra-pidez en mi,/h? Resp. (a) 830 pies, (ó) g0 mi,zh
r'132' Demostrar que la magnitud de la aceleraciónde una pa¡tícula en movimiento curvilíneo en el espacio es
!(útlAtz * ualfizdonde u es la rapidez tangencial y .R es el radio de curvatu¡a.
1.133' Si T es el vector unitario tangente a la curva C y A es un campo vectorial, demostrar que
f o.o, = f o.ro"J¿ J¿donde el parámetro s es Ia longitud del arco.
1.134. Si A : (2x - y + 4)i + (by * 3¡ _ 6)j, calcular(0,0,0), (3,0,0), (3, 2, 0). Resp. L2
l'r35' El conductor de un automóvil parte de un punto A en una autopista y se detiene en un punto B despuésde viajar una distancia D en un tiempo ?. Du¡ante el viaje alcanza una velocidad mrírima V. Suponiendoque el valor de la aceleración es constante tanto al comienzo como al final del viaje, demostrar que el tiempodurante el cual se mantuvo la velocidad máxima se da por 2D/V _ T.
1'136' Demostrar que las medianas de un trirítrgulo: (o) pueden fo¡mar un triángulo, (ó) se encuentran en un pun-to que divide la longitud de cada mediana en la relación dos a uno.
l'r37' Si una partícula tiene velocidad v y aceleración a a lo largo de una curva en el espacio, demostrar que elradio de curvatu¡a de su trayecto¡ia se da numéricamente por
n -",lvxal1.f38. Demostra¡queeláreadeuntriánguloformadoporlosvectores A,B v C es IlAx B+ BX C+Cx Al.
1.139. (o) Demostrarquelaecuación A x X: B puederesolverseparaXsiysólosi A.B:0 y A I o.(ó) Demostrar que una solución es X : B x A/A'. (c) ¿h¡eáe encontrar la solución general?8¿sp. (c) X : B X A/A2 * IA donde I es un escalar.
f.l40. Encontrar todos los vectores X tales que A . X : p.Resp. X : pA/A, + V X A dondeV es un vector arbitrario
l'141. Por un punto interno de un triríngulo se trazan tres líneas paralelas respectivarnente a cada uno de los treslados del triángulo. Cada línea termina sobre los otros dos lados. Demostrar que la suma de las relacionesentre las longitudes de estas líneas y sus lados correspondientes es 2.
L'142. Si T'NyB: T X N sonlosvectorestangentesunitariosyseconsideraquelanormalprincipalylabinor-mal a la curva en el espacio r : r(u) son dife¡enciables, demostrar que
dT dB dN6=*N, á=-tN, fr="8-*TEstas son las fórmulas de Frenet-Serret. En estas fórmulas r se llama la curuatura, r es la úorsión y susinversos R : l/x, o : L/¡ se llaman el rad,io de curuatura y el radio de torsíón.
3t
<p e. ar alrededor de un triángulo con vé¡tices en
32 VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION lcAP. l
1,143. En la figura 1-31, AB es una biela de pistón de longitud l. Si A se mueve a lo largo de una línea horizontal
CD, y B se mueve con velocidad angular constante o al¡ededor del círculo de radio a con centro en f),encontrar: (¿) la velocidad, v (b) la aceleración de A.
P
Fis. r-31
eFig. l-32
1.144. Un bote sale de un punto P (figura 1.32) sobre la orilla de un río y viaja con velocidad constante V dirigidohacia un punto Q sobre la otra orilla del río, situado en dirección directamente opuesta a P. La distancia
entre los dos puntos es D. Si r es la distancia instantánea desde Q al bote, 0 es el ángulo entre r y PQ, y
las ag¡as del río se mueven con rapidez u, demostrar que la trayecto¡ia del bote se da por
Dsecer=(seca*tana)u/Y
1.f45. Si en el problerna 1.144 u : V, demostrar que la trayectoria es un arco de parábola.
1.f46, (o) Demostrar que en coordenadas cilíndricas ( p, ó, z) (figura 1-33) el vector de posición es
r = pcoséi * psenói * zk
(b) Expresar la velocidad en coo¡denadas cilínd¡icas.(c) Expresar la aceleración en coo¡denadas cilindricas.
Resp. (b) v - ipt+p6Or+Lu(c) a = (í-piz)pr+(pt+zii)otI?u
Y,r
I
I
DlItOr)l,/
Coo¡denadas cilínd¡icasFig.l-33
Coordenadas esféricas
Fig.l-34
1.L47. (c) Demostra¡ que en coordenadas esféricas (¡, ,, ó) (figu¡a l-34) el vector de posición es
r = rsenrcosOi+ rsenrsenQi*rcosAk
I : I :::: : :: [ :::il:::il'J":i:,T"1'"1'":'iil:l';.Resp. (b) v = h, + r'cc, * ri sen o ¡1
(c) ¡ = ('i - rbz - rí2 sen2 c)q* Qiá + ri - ri2""n, co!¡,)'r¡ 1Zr'ci * 2ii se" e + r'ó senc)ár
1.f48, Demostra¡ que si una partícula se mueve en el plarro ry los resultados de los problemas l.L46y 1.147
¡educen a los del problema 1.49.
Copítufo 2Leyes de Newton sobre movimiento. Troboio,
energío y contidod de movimiento
LEYES DE NEWTONLas tres leyes del movimiento enunciadas por Sir Isaac Newton son consideradas como
los axiomas de la mecánica:
l' Toda partícula permanece en estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta(es decir, con velocidad constante) a menos que actúe una fuerza sobre ella.
2' Si actúa una fuerza F (externa) sobre una partícula de masa m y como consecuencia és-ta se mueve con velocidad v, entonces
F_dilo=*\tnv)=E(1)donde P : mv se llama momentum o cantid,qd de mouimienúo. Si m es independien-te del tiempo ú, entonces
F=
donde a es la aceleración de la partícula.3' Si una partícula l actúa sobre una partícula 2 con una fuerza F,, en dirección de la li
nea que une las partículas, la partícula 2 actúa sobre la partícula 1 con una f'uerza F2,,por tanto, Frt : -Frz. En otras palabras, para toda acción existe unareacción igualy opuesta.
DEFINICIONES DE FUERZAY MASALos conceptos de fuerza y mascr utilizados en los axiomas anteriores están aún sin definir,
a pesar de que intuitivamente tengamos alguna idea de masa como una medida de la ,.can-tidad de materia de un objeto" y de fuerza como una medida del "empuje o tracción sobreun objeto". Sin embargo, podemos usa¡ los axiomas anteriores para desarrollar las definicio-nes (véase el problema 2.28).
UNIDADES DE FUERZA Y MASALas unidades patrón de masa son el gramo (g) en el sistema CGS (centímetro-gramo-se-
gundo), elkilogramo (kg) en el sistema MKS (metro-kilogramo-segundo) y la libra (lb) en elsistema PLS (pie-libra-segundo). Las unidades patrón de fuerza en estos sistemas sonla dina,el newton (nt) y el poundal (pdl), respectivamente.IJna dina es la fuerza que imparte unaaceleración de I cm,/seg2 a I g. Un newton es aquella fuerza que imparte una aceleraciónde 1 m,/seg'
" tl kg masa. IJn poundal es la fuerza que imparte a 1 libra masa una acele-
¡ación de l pie,/seg2. Para las relaciones entre estas unidades véase el apéndice A.
SISTEMAS INERCIALES DE REFERENCIA. MOVIMIENTO ABSOLUTODebe hacerse énfasis en que las leyes de Newton se postularon con la consideración de que
todas las medidas u observaciones se hicieron con resplcto a un sistema coordenado de refe-rencia fijo en el espacio, es decir, en reposo absoluto. Este enunciado considera que tanto el es-
33
(2)d,v*a:ma
LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM lcAP. 2
pacio como el movimiento son absolutos. Sin embargo, una partícula puede esta¡ en reposo
o en movimiento uniforme en línea recta con respecto a un sistema de referencia, pero con res-
pecto a otro sistema de referencia puede estar moviéndose sobre una trayectoria curvilínea y
tener aceleración.
Podemos demostrar que si las leyes de Newton se cumplen en un sistema de referencia,
también se cumplen en cualquier otro sistema de referencia que se mueva con velocidad cons-
tante relativa al primero (véase el problema 2.3) . Tales sistemas de referencia se llaman
sistemas inerciales d.e referencia o sistemas newtonianos de referencia. Para todos Ios
observadores en estos sistemas inerciales, la fuerza que actúa sobre una partícula será la
misma, es decir, será inuarianüe. Esto algunas veces se Ilama el princípio clásico de rela-
tiuidad.La Tierra no es exactamente un sistema inercial, pero para muchos propósitos prácticos
podemos considerar que su movimiento tiene lugar con pequeña rapidez. Usaremos los méto-
hos del capítulo 6 para sistemas no inerciales. Para velocidades comparables con la velocidad
de la luz (186.000 mi/seg),las leyes de la mecánica de Newton deben remplazarse por las
leves de relatiuidad de Einstein o mecónica relatiuística'
TRABAJOSi una fuerza F actúa sobre una partí-
cula y la desplaza dr, entonces el trabajoefectuado por la fuerza sobre la partícula se
define comod,W = F' dr (3)
puesto que solamente Ia componente de Fen la dirección del desplazamiento dr es laque realmente produce el movimiento.
El trabajo total efectuado por un cam-po de fuerzas F (campo vectorial) al mover u
la partícula del punto P¡ al punto P, a lolargo de la curva C de la figura 2-1 se expre-
sa mediante la integral de línea (véase elcapítulo 1).
r fPzw = )"r.'a, = J", "'donde rr y tz son los vectores de posición de P1
Fig.2-l
frzdr = | r.arvrl
y Pr, respectivamente'
(4)
POTENCIALa variación en el tiempo del trabajo efectuado sobre una partícula frecuentemente se
denomina potencia instantónea. o simplemente potencio aplicada a la partícula. Usando los
símbolos W y ? para trabajo y potencia, respectivamente, tenemos
si actúa una fuerza F sobre una partícula cuya velocidad es v, tenemos
e = F'v (6)
ENERGIA CINETICASupongamos que las partículas anteriormente utiliaadas tienen masa constante y en los
tiempos tt ! tz están localizadas en P1 y P2 (figura 2-I) y se mueven con velocidades
adwdt
(5)
cAP. 2l LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM
vr : drr/dt y vz : drz/dt, respectivamente. Podemos demostrar el siguiente(véase el problema 2.8).
Teorema 2.7. El trabajo realizado al mover la partícula a lo largo de la curvaP, hasta & se da por
35
teorema
C desde
(7\
(8)
w : f"t.a,Si llamamos a la cantidad T : imu2
la energía cinética de la partícula, entonces el teorema 2.1 es equivalente a decir
trabajo total realizado desde P1 hasta & a lo largo de C: energía cinética en P2 - energía cinética en P,
o, en símbolos,
donde Tt = l¿mo?, 7, = $maf,.
W:72-Tl
CAMPO DE FUERZA CONSERVATIVOSupongamos que existe una función escalar V tal que F : - V V. Entonces podemos de-
mostrar el siguiente teorema (véase problema 2.15).
Teorema 2.2. El trabajo total realizado al mover la partícula a lo largo de C desde p1hasta P, se da por
(e)
(10)
w = fr*,'r. o, =
f "t.a, : o
v(Pi - v(P,) (/r)
(131
En tal caso, el trabajo realizado es independiente de la trayectorio C que une los puntos P, y&. Si el trabajo realizado por un campo de fuerza al mover una partícula de un punto aotro es independiente de la trayectoria que une los puntos, entonces se dice que el campo defuerza es conseruatiuo.
Los teoremas siguientes son válidos.Teorema 2.3. Un campo de fuerza F es conservativo si y sólo si existe un campo esca-
larVdiferenciablecontinuamentetalque F: -VV o,equivalentemente, siysólosi
VxF - rot F = 0 idénticamente (12)
Teorema 2-4- Un campo de fuerza F diferenciable continuamente es conservativo si ysólo si para cualquier curva cerrada C que no se intersecte consigo misma (curva cerradasimple),
es decir, el trabajo total realizado al mover la partícula sobre cualquier trayectoria cerrada escero.
ENERGIA POTENCIAL O POTENCIALEl escalar Vtal que F : - VV se llama energíapotencial,llamadodambiénelpotencial
escalar o simplemente potencial de la partícula en el campo de fuerza conservativo F. En talcaso, la ecuación (11) del teorema 2.2 puede escribirse
trabajo total realizado desde P1 hasta P2 a lo largo de C: energía potencial en P1 - energía potencial en P2
(14)
36 LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, E¡.ERGIA Y MOMENTUM tcAP. 2
o, en símbolos, W Vt V2 (15)
donde Vt : V(Pt), V, : V(Pr).
Debe notarse que el potencial se def inió sin sumar una constante arbitraria. Podemos ex-
presar el potencial como
v = -f"r.a,u¡o
donde suponemos que V : 0 cuando r : ro.
CONSERVACION DE LA ENERGIAPara un campo de fuerza conservativo tenemos de Ias ecuaciones (I0) y (15),
Tr-7, = Vr-Vz o Tr*Vt: Tz-lVz
lo cual puede escribirse como )¿ma'l* Vt - L2mu2r+ Vz
La cantidad E : T * V que es la suma de la energía cinética y energía potencial, se llamaIa energía total. De (t8) vemos que la energía total en P¡ es la misma que en Pr. Podemos
establecer nuestros resultados en la siguiente forma.
Teorema 2.5. En un campo de fuerza conservativo, la energía total (es decir, la suma
de energía cinética y energía potencial) es una constante. En símbolos, T + V : constan-te:8.
Este teorema se IIama frecuentemente el principio de conseruación de La energía.
(16)
(17)
(18)
IMPULSOSupongamos que la
tt y t.¿ con velocidadesdada por
partícula en la figura 2-1 está localizada en Pr y P2 en Ios instantesvr y v2, respectivamente. La integral en el tiempo de la fuerza F
ntz
I nat!1
(19)
se llama eI ímpulso de Ia fuerza F. Los siguientes teoremas pueden demostrarse (véase el pro-
blema 2.18).
Teorema 2.6. El impulso es igual al cambio de momentum; o, en símbolos,
ft,J. Fdt = mv, - nLvt : p, - p, Qol
.t
Este teorema es válido aunque la masa sea variable y la fuerza no sea conservativa.
MOMENTO DE UNA FUERZA Y MOMENTUMSi r es el vector de posición de una partícula
que se mueve en un campo de fuerza F (figura2-2). definimos
A = rXF (21)
como el momento de la fuerza F con respecto a O.
La magnitud de A es una medida del "efecto degiro" producido por la fuerza sobre Ia partícula.Podemos demostrar (véase el problema 2.20\
Teorema 2.7.
rxF : Lwíxv)\ Q2) rdt'
ANGU LAR
Fie.2-2
CAP' 2] LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM
La cantidad
A = m(r Xv) = ¡¡n
37
(23)se llama el momentum angular o momento del momentum con respecto a o. En otros térmi-nos' el teorema establece que el momento que actúa sobre una partícula es igual a la tasa devariación en el tiempo de su momentum angular, es decir.
da^- ü. e4)
Este teorema es válido aun sea la masa rn variable o Ia fuerza no conservativa.
CONSERVACION DEL MOMNNTÚUSi hacemos F : O en la segunda ley de Newton, encontramos
d.¿r(mv)=0 o ,rnv =constante (%\
lo cual lleva al
Teorema 2'8' Si la fuerza neta externa que actúa sobre la partícula es cero, su momen-tum será constante.
Este teorema se llama el principio d'e conseruación d,el momentum. para el caso de masaconstante, equivale a la primera ley de Newton.
CONSERVACION DEL MOMENTUM ANGULARSi hacemos
^ : 0 en (24), encontramos
ftWtxv))=0 o m(rxv) =constantelo cual nos lleva al
Teorema 2'9' Si el momento externo neto que actúa sobre una partícula es cero, elmomentum angular permanecerá constante.Este teorema se llama generalmente el principio de conser uación del montentum angular.
FUERZAS NO CONSERVATIVAS
ue F = -VZ (o, equivalentemente, si V X?rza no conseruatiuo. Los resultados (7), (20) yL todos los tipos de campos de fuerza, conserva-(17) o (18) se cumplen solamente para campos
ESTATICA O EQUILIBRIO DE UNA PARTICULAUn caso de especial importancia de movimiento de una partícula ocurre cuando la partí-cula está, o parece estar, en reposo o en equilibrio con respecto a un sistema inercial de coor-denadas o sistema de referencia. Una .orrdi"ión ,r"ces"ri" y suficiente, de la segunda ley deNewton, es
F=0 Q7)es decir, la fuerza neta (externa) que actúe sobre la partícula debe ser cero.Si el campo de fuerza es conservativo con potencial v, entonces una condición necesariay suficiente para que la partícula esté en equilibrio en un punto es
(26)
en el punto.Y7=0, i.e. u*{=#={=o
38 LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM ICAP. 2
ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIOsi una partícula en equilibrio es desplazada ligeramente de un punto P y tiende a volver
a P, entonces P se llama in punto de estabilidad o punto estable y se dice que el equilibrio es
estable. De otra manera, dirémos que el punto es de dnesúobilidad y que el equilibrio esinesta-
bJe. El teorema siguiente es fundamental'
Teorema 2.Io. Una condición necesaria y suficiente para que un punto en equilibrio
sea un punto de estabilidad, es que el potencial v en el punto sea un mínimo.
P roble ma s re sueltos
LEYES DE NEWTON
2.1. Debido a un campo de fuerza, una partícula de 5 unidades de masa se mueve a lo lar-
go de una curva en el espacio cuyo vector de posición se da como función del tiempo ü
por r - (2t"+ ú)i + (gt4 - t2+ 8)i - 12¿'zk
Hallar: (o) la velocidad, (b) el momentum, (c) la aceleración, y (d) el campo de
fuerza en cualquier tiemPo ü.
= t = (6¿2+l)i + (tzts-zt)i-zltkdt
mv = 5v = (30úz+5)i+(60¿s-10ú)i-120¿k
ú0, = # = r2ti+ (s6ú2 -z)i - zut*
(d) Fuerza = F = # - *# = 60Úi+ (180¿2-10)i- 120k
2.2. una partícula de masa rn se mueve en el plano ry de manera que su vector de posi-
ción esr : ocosoúi + bsenoüj
siendo a, b y ¡o constantes positivas y a > ¿. (o) Demostrarque la partícula se mue-
ve en una elipse. (b) Demostrar que Ia fuerza que actúa sobre la partícula está dirigi-
da siempre hacia el origen.
(o) EI vector de Posición es
r = ri+ai = ¿cosoúi*bsenoúj
así que r : o cos @t' Y : b sen of son las ecu:
ciones paramétricas de una elipse con semieje mayor
y semieje menor de longitudes o y ó, respectivamen-
te (figura 2-3).
Por tanto,
(r/a\z I (a/O¡z - cos2oú *sen2ot = 1
que es la ecuación de la elipse, ya que x¿"n2 *v'/b2 -- l'
(b) Considerando la partícula de masa constante m' Ia fuerza que actúa sob¡e ella es
dv d2r ü ,,- .-- 't:F = m7; = *# = *fr\t" cosoú)i * (ó senoÚ)il
= ml-oza cos ot i - o2b sen oÚ i]: -mrzle cosot i * ü senoÚ il = -rno2r
lo cual demuestra que la fuerza se dirige hacia el origen'
(o)
(b)
(c)
Velocidad: v
Momentum =
Aceleración =
p=
a=
a
b
Fis.2-3
cAP. 2l
2.3.
LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM 39
Dos observadores O y O,, fijos con rela_ción a dos sistemas coordenad.os Oxyzy O'x'y'z', respectivamente, observan elmovimi.ento de una partícula p en elespacio (figura 2-4). Demostrar que pa_ra ambos observadores actúa la mismafuerza sobre la partícula si y sólo si lossistemas coordenados se mueven convelocidad relativa constante ent¡e sí.
Sean los vectorcs de posición de la partículaen los sistemas coordenados Oxyz y O'x,y;2,, r y I ,respectivamente, y sea el vecto¡ de posición de O;con respecto a O, R : r _ r,.
.. 1
t|'
Fig.2-4
Para los observadores o y o' las fuerzas que actúan sobre p de acue¡do con las leyes de Newton seerpresan, respectivamente, por
La diferencia en las fuerzas obse¡vadas es
F_F' =
y ésta será cero si y sólo si
F=m#, ,,=*ffi
=*#*ffi{, -,,)
ffi=,.# = constante
es decir' que los sistemas coo¡denados están moviéndose a velocidad constante uno con relación al otro.Estos sistemas se llaman sistemas coordenados inerciales.El resultado es, algunas veces, llamado el principío clósico de ta relatiuidad.
2'4' una partícula de masa 2 se mueve en un campo de fuerza dependiente del tiempo yexpresado mediante
F = Z4t2i + (S6t_ 16)j _ fZ¿tSuponiendoquepara ü:0 lapartículaestálocalizadaen ro : Bi _ j + 4k ytienevelocidad vo : 6i + 15i - 8k, hallar: (o) la u"to"iá"¿, y (ó) la posición para cual-quier tiempo ü.
(o) De acuerdo con la segunda ley de Newton.
2dvldt = Z4t2i+ (S6ú_16)j _tltkdvldt = t2t2i+ (18¿_8)j_6¿k
Integrando con respecto a Í y llamando c, ra constante de integración, tenemos
como v=v0=6i+16i-; ""=,:: :i"--'l: =.,:;-'ru
"".,v = (4¿3+6)i + (9¿2_8ú+16)j _ (3¿2+8)k(b) Como v : d¡/dt, tenemos, de la parte (o),
drü = (4¿E+6)¡ + (9t2_8ú+16)i _ (3ú2+8)k
Integrando con respecto a f y llamando c, la constante de integración
40 LEYES SOBRE MOVIMIENTO' TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM ICAP' 2
r = (ü4+64i + (Sf -4t2+160i - (¿8+8ú)k + c2
Como r - to = 3i-j+4kenü : 0, tenemos cz = 3i-j+4k y
r = (¿4+6ú+3)i + (}ts-4t2+16Ú-l)i + (4-¿e-8ú)k
2.6. una fuerza F constante que actúa sobre una partícula de masa m cambia la veloci-
dad de vr e v2 en el tiempo r'(o) Probar que F : ¡n(vz - vr)/r'(b) ¿El resultado obtenido en (o) se mantendrá si la fuerza varía? Explique'
(o) De acuerdo con la segunda ley de Newton
---dv _ - ^ 4y - F (r)mA-I e ih-m
Entonces, si F y m son constantes' tenemos al integrar
v = (Flm)ttc,
Enú=0,V=Vrasíeuec1 =v1,i.e. v = (F/m)t*t, e)
En ú=r, v=vz así que Y2 = (Flm'¡r I v1
o sea. F = rn(v2-v1)lt (3)
Otro método
Escribi¡(I) como mdv: Fdü' Como v: vr Pa¡a t:0 y v - v2 pa¡a t: r tenemos
fv2 fJ|' *dt = | I"at o tn(vz-v1) = Fr
J ",
of ¡
que es el resultado deseado'
(b)No,engeneralelresultadonosemantienesiFnoesconstante,puestoqueentalcasonopodúamosobtener el resultado de la integración conseguido en (o)'
2.6. Hallar la fuerza constante necesaria para acelerar una masa de 10.000 g en movimien-
to a lo largo de una recta desde una rapidez de 5¿ km,/h a 108 km'lh en 5 minutos'
Expresarla: (o) en el sistema CGS, y (b) en el sistema MKS'
consideremos el movimiento en Ia di¡ección positiva del eje r' Entonces si v' y v' son las velocida-
des,tenemosdelosdatosdadosvt:54ikrrr'/h'vz:108ikn/h'm:10'0009't:5min'(o) En el sistema CGS
m:10a B, vr :54ikm,/h:1,5 x t03icm,/seg. tz = 3,0x103icm/seg' ú = 300seg
/v., - v,\ /1,5 X 103i cm/seg \Entonces Ir = ma, = *\?) = (10r s) \- Bxlgr*s i
= 0,5X 105i gcm/seg2 = 5X104idinas
Lamagnituddelafuerzaesde50.000dinasenladireccióndelejepositivor.
lb) En el sistema MKS
m = l¡kg, vr = $4ikm/h = 15i m/seg, v, = 30im/seg' ¿ = 300 seg
/v.-v,\ /15im/seg\Entonces F = rna = ^\-) = (10ks)\ g00*- /
= 0,5i kg m/seg2 = 0,5i newtons
Demodoquelamagnitudes0,Sntenladirecciónpositivadelejer.Esteresultadotarnbiénsehabría podido obtene¡ de la parte (¿) considerando que t nt : 105 dinas o sea que I dina : 10-5nt'
cAP. 2l LEYES SOBRE MOVIMIENTO, TRABAJO. ENERGIA Y MOMENTUM
En este problema el vecto¡ unitario i se omite algunas veces, se sob¡entiende que la fuerza F tend¡ála dirección positiva del eje r. Sin embargo, es próctico utilizar el vector unitario en problemas similarcspara hacer énfasis en el carácter vectorial de la fi¡erza, de la velocidad, etc. Esto ea impottante en los casosen los que las velocidades cambien sus direcciones. Véase, por ejemplo, el problema 2.46.
2.7. ¿Qué fuerza se necesita para detener en 4 segundos una masa de 2000 lb que se muevecon una rapidez de 0O mi,/h?
Supondremos que el movimiento se realiza a lo largo de una línea recta que hacenos coincidir con ladirección
;"-l ffi: ::": ffi 111H, -":;'='T;::;""
- 4 *s
Entonces F = tna = ,o f "'; "t) = (2000lb) ¡-aei e/seg
)\ ¿ / \ 4seg /= -4r4 x l0ti p lb,/seg2 = -4,4 x 10li poundals
De modo que la fuerza tiene una magnitud de 4,4 X 1ü poundals en la dirección negativa del eje r, osea que se opone al movimiento, como era de esperarae.
TRABAJO, POTENCIA Y ENERGIA CINETICA2.8. Una partícula de masa constante zr se mueve en el espacio bajo la influencia de un
campo de fuerza F. Suponiendo que en los tiempos tt y tz las velocidades son v, yv2, ¡espectivamente, demostrar que el trabajo dado es igual al cambio de energíacinética, esto es,
4l
t._¡l
trabajo realiza,j' = í'-ttntz
Jq
F.dr =
t .fiat
^fi' , a'
r^ l,::d(v . v)
gmal - gmal
= fo r."o,
= * !,1,,, ". n"
= r^*l[i, = f,tnof, - ltnt!
2.9. Hallar el trabajo realizado al mover un objeto a lolargo del vector r : 3i + 2j - 5k si la fuerza apli-cadaes F:2i - j - k (figura2-5).
trabajo ¡ealizado : (magnftud de la fuerza en la direccióndel movimiento) (distancia reco¡rida)
- (f' cos a)(r) - F. r
= (2i-j-k).(3i+2i-6k)- 6-2*6 = 9
fl
I
Fig.2ó
2.1O. Refiriéndonos al proble ma 2.2; (o) hallar la energía cinética de la partícula en los pun-tos A y B, (b) hallar el trabajo realizado por el campo de fuerza al moverse la partí-cula de A a B, (c) ilustrar el resultado del problema 2.8 en este caso, y (d) demostrarque el trabajo total rcalizado por el campo sobre la partícula que se mueve sobre unaelipse es cero.
42 LEYES SOBRE MOVTMIENTO. TRABAJO, ENERGTA y MOMENTUM tCAp. 2
(a) Velocidad : v : d¡/dt : -@o sen oti * ob cosoü j.
Energía cinética : \moz - $m(o2o2aer,2ot*,¡2b2cos2,;úl.
Energía cinética en A [donde cosúJ¿ = 1, senoú = 0] = SmrzbzEnergía cinética en I [donde coso¿ = 0, senoú = 1] = $mozaz
(b) Método l. De la parte (b) del problema 2.2,
trabajo ¡ealizado = f" ,. o" = f" ¡^t r¡. a, = -rntz (t ,. d.,¿A ot¡ .rA¡B= -t^, f
'- a1r. r¡ = -¡^-rrrl"-
"A - l¿
= $m,,Paz - $mlzbz = $m,P(az - gz)
Método 2. Podemos supone¡ que en A y B, t :0 y t : t/2o rcsge,tivamente; entonqeg
habajo realizado = ft t'r.J¡
?¡l2o= | l-^t (¿cosoú i * ü senóúi)] . [-"¿senú,úi * oü cos ot!]itt
¿o
frl2@= | mot(62 - b2) sen ot cos of d,t
uo
= l.mof(oz - 6z¡ "enz
ú1"t2' = lrru&(az - bz¡l0
(c) De las partes (a) y (b)
trabajo rearizado
= r:J^':^il-^:^
^r:::;T:: ^ "(d). Ugando el método 2 de la parte (ó) tenemos, que como t varía de 0 a ú : 2t/o, ae completa un ci-
clo al¡ededor de la elipse, az,to
trabajo realizado = | mr,¡s1o,2 - ü2) sen oú cos of d,tof¡
trur2(az - bz. senz ú12"t' = 0
El método I también se puede urar pa¡a obtene¡ el mismo *rt;:".
2.11. Demostrar que si F es la fue¡za que actúa sobre la partícula y v es la velocidad (instan-trínea) de la partícula, entonces la potencia (instantánea) aplicada a la partícula seda por
?=F.vPo¡ definición, el trabajo rtalizado por una fueza F sobre una paÉícula que se desplaza dr es
ilW = F.d,r
Entonces, la potencia (instantánea) se da por
comoqueríamos. #="'#="'o
2.12. Hallar la potencia (instantánea) aplicada a la partícula del problema 2.1por el campode fuerza.
CAP. 2I LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO. ENERGIA Y MOMENTUM 43
Porel ptoblema 2.1, Ia velocidad y la fuerza se dan, rcspectivamente, por
y = (6t2+ 1)i + (12¿s-ztli - 24tk
F = 60úi + (180ú2-10)i - 120k
Entonces, la potencia (por el pmblema 2.11) se da por
? = F.v = (60¿)(6ú2+ 1) + (1AO¿z- 10)(12¿3 -2t) + (1201(24t)
= 2160¿s - l20ts + 2960ú
2.13. Hallar el trabajo realizado por la fuerza en: (a) el problema 2.6, (b) el problema 2.7.(o) EnelsistemaCGS: tr¡ = lvrl :1,5X103cm/seg, 1)z= lv2l = 3,0X108cm/seg, m = l$aE.
Entonces, por el problema 2.8,
trabajo realizado : cambio de eneryía cinética
$m(of,- oll
{(1oa c)(9,0 x 106 -B,B8xlotogcm:
seg'
2,25 x ltr)cm:seg-
= 3,38 x ro'o(*# )"",,= 3,88 X 10lo ergios= 3,38 x 10lo dina cm
Similarmente, en el sistema MKS, tenemos
(b) Como en la parte (c),
trabajo realizado = $(10 ks)(900 -zlq#
= 3,38 x 103 (*eff) t.l = 3,38 x 103 newton metro
p2
CAMPOS DE FUERZAS CONSERVATIVOS, ENERGIA POTENCIAL YCONSERVACION DE LA ENERGIA2.14. Demostrar que el campo de fuerza F definido por
F = (U'zt - 6nz2\i * 2ryzgi * (3*9222 - 6a2z)k
es un campo de fuerza conservativo.
Método l.Elcampode fuerza esconservativosiysólosi ¡otF: V X F: O. Ahora
VXF =
iik610r Aldu dldz
a2zs - 6ü22 2rgzs 3ry222 - 6sZ,
trabajo realizado = +(2000 lbx882 -0r)#
= ?,24 x 106(F) (H) = ?,?4 x 1os p pdl
l#rt,o,* - 6a2z) - fi<r"r*t)
+ ilfi<ur"t - 6rz2) - fi@ruzzz - errrl)
= o + u}r<znu"l-*Llo'"'-a"\)
entonces el campo de fuerza es conservativo.
44 LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM [CAP. 2
Método 2.
El campo de fuerza E es consen ativo si y sólo si e¡iste una función escala¡ o potencial V(r, y, z) talque F : -grad V: - VV. Entonces,
F = -vv = -u,{i-#t-Y"= (A2zs - 6rz2\i * 2ryzsi I (3ry22z - 6n2zlk
De modo que si F es consenfativa, podremos encontrar un V tal que
dV/fu = 6fr22 - Azz3, dV/dy = -2ryz3, dV/02 = 612z - Bny22z (I)
Integrando la primera ecuación con respecto a r (manteniendo y y z constantes). Entonces,
V - !,4222 - rY22s 4 gt(U,a') (2)
donde 91 (y, z), es una función de y y z.
Análogamente, integrando la segunda ecuación con ¡esp€cto a y (manteniendo ¡ y z conatantes) y latercera ecuación con respecto a z (manténiendo ¡ y y constantes), tenemoa
V - -ry223 * g2@,zl (3)
v - g,¡222 _ ry22a * gs@,al v)
L¿s ecuaciones (2), (3) y (4), dan un ycomún si escogenos
g{u,z) = c, gz(u,zl = 3r222 * c, gs(r,ul = c (5)
donde c es una constante arbitraria; y se sigue que
v - 3n222_ry22a¡,es el potencial requerido.
Método 3.fr f G,v,z>
V = - | F.dr = - | (A2zs-Gxz2)dr i Zryzsdy * (Bry2zz-6x2zldzu ro " (uo'vo,zo,
?<x 'v'2)= - | d(xyz2s-gnzzzl = 3r222-rA2zs + c
¿ (t¡,v¡, zs)
donde c = roa2ozS-Brlz!.
2.L6. Demostrar el teorema 2.2 del capítulo 2: Si la fuerza que actúa sobre una partícula seda por F : - V% entonces el trabajo total realizado para mover la partícula a lo lar-go de una curva C desde P1 hasta P, es
w = f r',' r, 0, = v(p) - v(pr\
Tenemos
w = l'i," r.0, = t:," -yv . it¡ = !'i,' -0, = -" l": = ve) - v(pz)
2.16. Hallar el trabajo realizado por el campo de fueraa F del problema2.l4 para mover unapartícula desde el punto A(-2,1, 3) hasta B(1, - 2, -I).
trabajo realizado = I ^ ",
o, = ft -o, . o,
f (r,-2,-r) l(r, -2, -t)= | -dV = -V(r,y,zl I
" <-z't'g, l(-2'r'3)
= -Bn2z2 r ry22s - ,l(l'-z'-tl = 166l( -2,r,s,
CAP. 2] LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM
VXF =ijk
dldr AlAg 0/02
-¡noPr -m,¡Lu 0
45
2.11. (o) Demostrar que el campo de fuerza del problema 2.2 es consen¡ativo.(b) Hallarla energía potencial en lospuntos Ay Bde la figura 2-3.(c) Encontrar el trabajo realizado por la fuerza al mover la partícula desde A hasta
B y compararlo con el problema 2.10(ó).(d) Encontrar la energía total de la partícula y demostrar que ésta es constante,
i.e. demostrar el principio de la conservación de la eneriía.(o) Apartirdelproblema2(b), F: -mo2r- -mo2(xi *yj). Entonces
= t [#(o) - fiFrn zat *, l1<-,,,,,t- *.,]
= o * xlft<-*"u'| - hFm'zr¡)De modo que el campo es congeryativo.
(ó) Puesto que el campo ee consen¡ativo, eriste un potencial Vtal que
F = -mr,fxi - m-2Ui = -VV = AV . aV . AV --;;t-dut-E*Entonces |V/dr = mazs, |V/ay - ,aoozr, aV/az = 0de lo cual, omitiendo la constante, tenemos
V = $rno2r2++moU2 = \mo2(n2*U2l = $mrzrzque es el potencial requerido.
(c) Potencial en el punto A de la figura 2-8, [donde r : aJ : *mr2a2.Potencial en el punto I de la figura 2.3, [donde r : ¿r] : tmr2b2. Entonces,
trabajo ¡ealizado desde A hasüa g : potenciar en A -- potencial en g
= $mo2a2 - l2mtz6z = SmoP(az - bz¡que está de acuerdo con el problen" 2.f0(b),
(d) *::"il::,ffi:'j':JJ:::l?.= r __
$mvz = g,nlz
= $m(o2a2 sen2 úrü * @2b2 cos2 @tl
rrgía potencial en cualquier punto = V -- [moz&= |ma*(a2 cosz r,¡ü * b2 *n2 oúl
Si sumamos para cualquier punto y usamos sen2 oú * cos2 oü : 1,
ro cual ea una constante I v = $muz(az * bzl
IMPULSO, TORSION, MOMENTUM ANGULAR YCONSERVACION DEL MOMENTUM2.18. Demostrar el teorema 2.6: El imirulso de una fuerza es igual al cambio de momentum.
Por definición de impulso, (véase (19), página 36) y de la segunda ley de Newton, tenemog
ftz (tt¿ ftzl'" r'at = l'*w¡¿t = l-'a6v¡ = ^1" = ?nvz- tnvl
" ,, ., q ctc' J r, ', ""
,r,
46 LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM [CAP. 2
2.f9. ¿Cuál es el impulso de una masa de 5000 kg que se mueve en línea recta al pasar de
una rapidez de 540 km/h a una de 720 km,/h, durante dos minutos?
Método l.Supongamos que la masa viaja en la dirección positiva del eje r. En el sistema MKS,
v1 = 54oi+ = !1r##a = 1,5x1o2is
v^ = z2oik* = T2oixlooom
= 2,gv1gz¡E'-"' h 36oo seg seg
Entonces, del pmblema 2.18,
impulso = m(v2- v) = (5000 kg)(0,5 x 10zi m/seg)
= 2;5 x 10si kg m/seg = 2,5 x 105i newton seg
puesto que l nt : lkgm6eg2 o l nt seg : I kg m,/seg.
Entonces el impulso tiene una magrritud de 2,5 X 105 nt seg en la di¡ección positiva del eje r.
Método 2.Usando el sistema CGS, vr : 540i km4r : 1,5 x lOri cm/seg ! vz : 720t kmlh : 2,0 x
10{i cm/seg. Entonces
impulso = m(vz-vtl = (5000 x 10r g)(0,5 x l0{i cm,/seg)
= 2,50 x lOtoi g cm/*g = 2,50 x 1010i dina seg
puestoque I dina : lgcm/seg2 o l dina seg : l gcm,/seg-
Obsérvese que para hallar el impulso no hicimos uso del tiempo de 2 minutos que se dio al establecer
el Problemn'
2.2O. Demostrar el teorema 2.7: El momento de una fuerza o momento de torsión alrededordel origen o de un sistema de coordenadas es igual a la rapidez de cambio de la canti-dad de movimiento angular.
El momento de una fueza o mompnto de torsión al¡ededo¡ del origen O es
^ = rXF = rxft@vl
La cantidad de movimiento angular o momento de la cantidad de movimiento alrededo¡ de O es
o = m(rXv) = rx(mv)
Ahoratenemo. # = ftGx*u\ = ffx@v)+rxft@v)= vx(nr.v) +rxft@v\ = o*rxF = a
que era el rcsultado pedido.
2.21. Determinar: (o) el momento de torsión, y (b) la cantidad de movimientoangularal-rededor del origen para la partícula del problema 2.4 en cualquier tiempo ü.
(¿) Momento de torsión A : r X F
= [(ú4+ 6¿+3)i + (st}-4t2+rít- l)i + (4- Ú3-8¿)k] x l24t2i + (36ü-16X - 12úkl
t +6t+3 3t3-4t2+15¿-1- 4-tt-8t24t2 36¿ - 16 -12t
= (32t8+ 108¿2- 26Ot+64)í - (tzÉ+l92ts - 168ú2- 36úX
- (36ü5 - 80ú4 + 360¿:r -- 240t2 - 12¿ + 48)k
CAP. 2] LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM
(ü) Cantidad de movimiento angular O : r X (mv) : rn(r X v)
= 2ÍQ4+6t+3)i + (\ts-4t2 +16ú-1)i + (4-¿3-80k1x [(4¿3 + 6)i + (et2 - 8t + 15)j - (3ú2 + 8)k]
ijk¿4+6¿+3 3t3 - 4t2+l6t-L 4- t3 -gt
4t8+6 9ú2-8ú+15 -3t2-8= (8ú4+ 36ú3- 130¿2 +64t- 104)i - (2t6+ 48t4 - 66t3-18¿2_ 96)j
- (0¿0 - 16¿5 + 90ú4 - 80ú3 - 6t2 + 48t - toz\kObséwese que el momento de torsión es Ia derivada con respecto a ü de la cantidad de movimiento
angular, como se ilustra en el teorema del problema 2.20.
2.22. Una partícula se mueve en un campo de fuerza dado por F : fr, donde r es el vec-tor de posición de la partícula. Demostrar que la cantidad de movimiento angular dela partícula se consewa.
El momento de torsión que actúa sobre la partícula es
A = rXF = rX(r2r) - ¡'2(r Xr) = g
Por el teorema 2.9, la cantidad de movimiento angular es constante, esto es, la cantidad de movimientoangular se consen'a.
FUERZAS NO CONSERVATIVAS2.23. Demostrar que el campo de fuerza dado por F : x2yzi - xyzzk es no conserva-
tivo.
Tenemos iik0/0n alay 0l0z
szAz O -nyzz
mpo es no conservativo.
VXF = = -rzzi I (n2y * yzz)i - nzzk
47
.t
Entonces V *. n * O, el ca
ESTATICA DE UNA PARTICULA2.24. Una partícula P está sometida a
como se muestra en la figura 2-6.para evitar el movimiento de P.
la acción de las fuerzas Fr, Fr,Representar geométricamente la
Fr, Fn, Fs y Fo,fuerza necesaria
Fig.2-6 Fis.2-7 F4
La resultante R de las fue¡zas F,, Fr, Fr, Fn, Fs y Fo se puede encontrar por la suma vectorialindicadaenlafigura2-7.Tenemos,R:FrlFz*Fa*Fr*Fo*F6.Lafuerzanecesariaparaevitarel movimiento de P es - B, que es un vector de igual magnitud de R, pero de sentido contrario, llamadoalgunas veces equilibrante.
48 LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM lcAP. 2
2.26. UnapartículaestásometidaalasfuerzasF, :5i - 10i + 15k, Fz:10i +%i -20ky Fs : 15i - 20t + 10k. Encontrar la fuerza necesaria para mantener la partículaen equilibrio.
La ¡esultante de las fuerzas eg
E = Fr + F2+ F = (6i-10i+16k) + (10i+26i-20k) + (16i-20i+10k)
= 30i-5j+6kPor tanto, la fuerza necesaria para mantener en equilibrio la partícula es - R : - 30i + 5i - 5k.
2.26. Las fuerzas coplanarias indicadas en la figura 2-8 actúan sobre una partícula P. En-contrar la resultante de estas fuerzas: (a) analíticamente, y (b) gráficamente. ¿Quéfuerza es necesaria para mantener la partícula en equilibrio?
a-
Fis.2-E
(o) Atulíticanente. De la figura 2-8 tenemos,
Fig.2-9
Fr = 160(cos 460 i * sen 460 i). Fz = 100(- cos 30o i * sen 30o i)'Fg = 120(- cos 60" I - sen 60" i)
Entonces la resultante R es
B = Fr+F2+Fg- (160 cos 460 - 100 cos 30o - 120 cos 60o)i + (160 sen 460 * 100 sen 30o - 120 sen 60o)i
= -33,46i + 69,21i
Esc¡ibiendoB:ncoscifBsenajdondeceselángulofo¡madoconlapartepositivadeleje¡, medido en el sentido contrario al del movimiento de las agujas del reloj, tenemos rrue
.B cosa - -33,46, Esena = 69121
Así, la magnitud de R es F : \(-T,4iJ-:-159-llF - 68,0 lb, y la dirección de c con la partepositiva del eje r se da por tana : 59,21/(-33,4f) : -1,770 o a : 119' 28''
(b) Gróficanente. Escogemos una unidad de 20 Ib, como se muestra en la ñgura 2-9, y encontramos
que la resultante tiene como magnitud alrededor de 68 lb y que forma un ángulo de 61' con la par-
te negativa del eje r (usando un trasportador), de modo que el ángulo con la parte positiva del eje 'r es
aprorimadamente de 119'.
Es necesaria una fuerza -R, de sentido opuesto a R para mantener a P en equilibrio.
ESTABILIDAD DE L EQUILIBRIO2.27. Una partícula se mueve a lo largo del eje r en un campo de fuerza que tiene un poten-
cial V : |xx2, x > 0. (o) Determinar los puntos de equilibrio, y (b) investigar laestabilidad.
(a) Los puntosde equilibrio seprtsentan donde VV : O o' en estecaso,
dV/ds=xr=0 o ¡=0Por tanto, solamente hay un punto de equilibrio, en ¡ : 0.
o)\'//,
cAP. 2l LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM
(ó) Método l.Puesto que d2V/ú2 : r ) 0, se sigue que en ¡ : O, V es un mínimo. por el teorema 2.10,¡ : 0 es un punto de estabilidad. En el problema 2.36 también se ha demostrado que la partícula
oscila alrededor de ¡ : 0.
Método 2.
Tenemos F = -V-' dv ', =-Et =-rcl. por
tanüo, cuando r ) 0, sobre la partícula actúa unafue¡za hacia la izquierda y cuando ¡ ( 0 sobrela partícula actúa una fuerza hacia la derecha. Demodo que ¡ : 0 es un punto de equilibrio estable.
Método g.
El hecho de que x : 0 es un mínimo. sepuede ver en la gráfica de V(¡) contra r (figura2-10). Fig.2-10
¡ = ai*Ui= Scosúi*3senúi
Fig.2-U
49
PROBLEMAS VARIOS2'28' Mostrar cómo las leyes de Newton pueden utilizarse para desarrollar las definiciones
de fuerza y masa.
Conside¡emos primero una partícula P, suponiendo que la masa ¡7¡¿ no está definida, sino que sim-plemente es una cantidad escalar constante asociada con P. El axioma 1 establece que gi p se mueve convelocidad constante (inclusive cero), entonces la fuerza que actúa sobre ella es ce¡o. El a¡ioma 2 estableceque si la velocidad no es constante, entonces hay una fuerza que actúa sobre p dada por mpg,p,donde apes la acele¡ación de P- La fuerza se define así por los axioma. 1 y 2 (aunque el arioma I no es necesario,puesto que éste se puede deduci¡ del axioma 2 haciendo F : o). 3e puede notar que la fuerza es un vectory posee todas las propiedades de los vectores, en particular la ley del paralelogramo para la suma de vec-tores.
Pa¡a definir Ia masa mp de la partícula P, dejemos ahora que ésta interactúe con otra partícula queconside¡a¡emoa como partícula patrón y a la cual tomamos comi unidad de masa. Si ap y as son las ace-leraciones de la partícula P y de la partícula patrón, respectivamente, se concluye por los ariomas 2 y Bgu€ mpsp : -as. De modo que mp se puede defini¡ como _as./ap.
2'29' Calcular el trabajo realizado para hacer que una partícula efectúe una vuelta en unacircunferencia C en el plano ry, si su centro coincide con el origen, el radio es de B uni-dades y la fuerza del campo se da por
F = (2r-a+z)i + (r*a-zr)i + (Bn_2y+42)kEnel plano z:0, F: (2x - y)i * (.r *y)i * (Br _ 2y)k ! dt: dxi]- dyj demodoqueel
trabajo realizado es
l"''o' = l(zn - y)i * (r t üi I (sr - zu\kJ. litr i + dy il
(2r-údr * (r*üda
Escogemos las ecuaciones paramétricas del círculo como r :3cosú, y : 3sen f donde ú varía de 0a2r (figura2-ll). Entonces, laintegral de línea es igual a
n2tI trttcosú)-3senúl[-Bsenü] dú * [Bcosú*Bsenú][B cost]dt¿ c=o
r2t= | tr-9senücosú)df = st-fse¡ztl2" = 182ro 2---- -lo
Al recorre¡ C elegimos el sentido contrario al giro de las agujas delreloi, como se indica en la figura 2-11. Llamamos positivo este sentidoo decimos que a C lo hemos ¡ecorrido en el sentido positivo. Si ¡ecorre_mos a C en el sentido contrario (negativo), el valor de la integral seúa- 18r.
l"
Í"
v(xl
50 LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM lcAP. 2
2.3O. (o) SiF : -VV, donde Vesunvaloruniformeytienederivadasparcialescontinuas,demostrar que el trabajo realizado para mover una partícula desde un puntoPt = (¡r , !r, zt) de este campo hasta otro punto P2 : (x2, !2, zz) es inde-pendiente de la trayectoria que una los dos puntos.
(b) Inversamente, si f ".¿,
es independiente de la trayectoria C que une dosúrC
puntos cualesquiera, demostrar que existe una función v tal que F : - vy.
(a) Trabajo nalizado = l"i,' "'o, = - t:,' ev 'dr
= - (" ({t * {¡ * ryn) . ktui * d.yi + dzklJr, \ar'' da'' az^/
= -("Ya,*Yao+Ya"Jr, o, dU dz
¡P'= - | dv = v(Prl-v(Pz) = V(ryuuzl¡-V(r2,v2,22\
J,,
De modo que la integral depende únicamente de P1 y Pz y no de la trayectoria entre ellos. Es
claro que esto sólo es verdad si V(¡, y, z) es un valor uniforme en todos los valo¡es de P, y Pr.
(b) Sea F: Fri + ¡rj + lrsk. Porhipótesis, f r.O, esindependientedelatravectoria CqueuneJc
dos puntos cualesquiera a los que toma¡emos como (¡r, yr, ztl y (x, y, z), respectivamente. Entonces
n(t,v,z) fE,u,z)V(u,y,z) = - | F.dr = - I (Frdr*F2dv*F3dz)
J (t1,v1,21) ¿ (xvapzl)
es independiente de la trayectoria entre (¡r, yr, z¡\ Y @, y, z). Así que
V(a,u,zl = - J"Írt{",v,zl dr t F2@,a,2) da * Fs(r, a,z) ilzl
donde C es la trayectoria que une (¡r, yr, er) con (x, y, z). Elijamos como trayectoúaparticularlos segmentos ¡ectilíneos de (r¡, !t, z) a (r, yr, zr) a (x,y, zt) a (r, y, z\ y llamamos V(x, y' z)
el trabajo a lo largo de esta trayectoria en particular. Entonces
v(r,y,z\ = - f" rrrr,v1,z1)dr - f",rr,,u,z)du - .f' Fs(r,a,zldzJt, - Jvt ut,
Se concluye que
Y = -F3(r,y,z)Az
ov = (' 6q'-(r,u,"\d"
= -Fog-, (" 3F'
év =
'r','lr',,orn",',,', t',:,Ii,r!'oo" = -Fz@'a'zt\ - )"-#t"'v'ztd'z
lzr
-Fz(r,u,zt\ - Fz@,U,2) 1F2@,y,zll = -F2@,v'z'¡
(s a0o (' aF^-Fr(r,ut, zt\ - ) o,#r",y,z)
ila - ),, i{"'s, z) dz
(u aF, (' dF,-F,(", u1,21) - Jr,ñ(r,y,z1)oo - J,,a;@'a'z)dz
-Fr(r,ur,z) - Ft(r,a,")1" - rrP,Y,"¡l'lcl lzr
-Ffr,!1,21) - Fr(*,a,21\ * F(u,Urzt\-Fr(",Y,2) * F(r,g,z1\ = -Fr(r,y'z)
av=6r
cAP. 2l LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM 51
Entonces
Así, una condición necesaria y suficiente para que el campo F sea conservativo eg que rot F : V XF: O.
2.31. (o) Demostrar que el campo de fuerza F : (2xy * zs)i * rri * Bxz2k es con-servativo. (b) Encontrar el potencial. (c) Encontrar el trabajo necesario para moverun objeto en este campo desde (1, -2, 1) hasta (g, 1, 4).
(a) La condición necesaria y suficiente para que la fuerza sea conservativa es que rotF : V x F : O.
Aho¡abien VXF = 0/da Alaa Oldz
2*g I zs ü2 3az2
= l), Así que F es un campo de fuerza
F = ¡'ri+tr'2i+¡'sk = -{t-#t-#* = -vv
conservativo.
Como en el problema 2.14, métodos 2 ó 3, encontramos que V : - (x,2y * xza).
Trabajo realizado = -(rza+ rrt) ltt't't' = -202.t(r,-2,r)
f?J F.dr* J F.dr
P|API P2BPr
F.dr = 0
(ü)
(c)
?Pt2.32. Demostrar que si ^r" F'dr es independiente de la trayectoria que une dos puntosúpr
cualesquiera Pt Y P, en una región dada, entonces { f'.ar = 0 para toda trayec-toria cerrada en la región, y recíprocamente. J
Sea PTAPTBP¡ (figura 2-12) una curva cerrada. Entonces
f n.a' = I F.d.r =" plAp¡Bp1
= t ".or- ÍPrAP¡ PI.BP'
puesto que la integral de P, a p, a lo largo de una trayectoriaque pasa por A es la misma que la que pasa por B, por hipótesis.
Recíprocamente si f F.dr = 0, entonces
fr?J F.dr = J F.dr* J F.dr
PIAPIBPI PIAP| P2BP:
ffde modo que, J E. dr = J F. dr.
PIAP2 PrBp,
f/a
= | r'.¿r- | r.¿t = oJJP!AP2 P|BP,
2.33. (o) Demostrar que una condición necesaria y suficiente para que F1 dr * Fzd.y *Fs dz seauna diferencial exacta es que V X F : O dondeF : Fri * Fzj+ frt.
(b) Demostrarque (y2zs cos x - 4xsz) dx I 2zey sen xdy * (Syrz, sen, - xa) dzes una diferencial exacta de la función ó y hallar o.
(o) Supongamos que F, it* | F2dy I Fsitz - dO = ffa" + #0, * fd", ""^ una diferencialexacta. Entonces, puesto que x, y y z son variables independientés,
A
52 LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM lcAP. 2
n-_ - aO. ad aO
a{ tz=ú' ts:6;
de modoquetr = F¡+FrSl¡'rk = 9i+9;+9t - Vp.EntoncesVxF = VxVO - 0.dr' 0y' dz--
Recíprocamente,si VXF=0, entonces F=VO ycomo F'dr = 96'd'.=d9, i'e'Flilr * F2ily I Fsdz = dp, es una diferencial exacta.
(ó) F - lyz"s cosr- 4rszli*z.srseÍri*(\Uzzzsenr-¡4)k y VXF da cero, de modo que
por (c) se llega el rcsultado pedido.
2.34. Con relación al problema 2.4, hallar: (o) la energía cinética de la partícula para ú : 1
y t : 2, (b) el trabajo realizado por el campo en el movimiento de la partícula desde
el punto donde t : L hasta el punto donde t : 2, (c) el momentum de la partículaen t: 1 y ü: 2, y (d) elimpulsoenelmovimientodelapartículadesde ü: I has-
tat:2.(o) De la parte (a) del problema 2.4,
v - (4t3+6)i + (9ü2-8¿+ 15)j - (3¿2+8)k
Entonceslasvelocidadesen ,: 1 y ü:2 son
vr = 10i + 16i - 11k, vz = 38i + 35j - 20k
ylasenergíascinéticasen ü: 1 y ú:2 son
T, = lmvz, = {(2)[(10)2+ (16)2+ (-rr¡'1 = 477, T, = !mv22 = 3069
^2(ó) Trabajorealizado = | f'atJ t=l
v2= | fzarri + (86ú-16)i-12úkl.[(4¿s+6)i + (e¿2-8ü+15X - (3¿2+8)k]dú
J t:lf2
= )r-rÍ{ztt)ltúa+6) + (86ú-16x9ú2-8¿+15) + (L2tl(3t2 +8)ld¿ = 2692
Obsérvese que po¡ la parte (o) es lo mismo que la diferencia o cambio en la energía cinética
3069 - 477 : 2592, ilust¡ando así el teorema 2.1, esto es, trabajo realizado : cambio en la energía
cinética.
(c) Por la parte (o), el momentum en cualquier tiempo ü es
p = mv = 2v = (8¿3+12)i+(18¿2-16ú+30)j-(6ú2+16)k
Entonces, lascantidadesde movimientoen t : 1 y t : 2 son
Pr = 20i + 32i - 22k, P¿ = 76i + ?0j - 40k
¡2(d) Impulso = | f at
J t=l
^2= | lz4tzi+(86r-r6)i-rztkldt = b6i*B8i-18kJt=t'
Obséwese que por la parte (b) es lo mismo que la dife¡encia o cambio en el momentum, esto es,
pc-pr:(?6i+ZOi-40k)-(20i+32j-22k):56i+38j-lSk,locualilust¡aelteorema2.6,impulso : cambio en el momentum.
2.36. Una partícula de masa ¿1 se mueve a lo largo del eje r bajo la acción de un campo de
fuerzas conservativo cuyo potencial es V(¡). Si la partícula está localizada en las po-
siciones rt y Íz en los tiempos tt y tz, respectivamente, demostrar que si E es la
energía total,
tz-tt=Po¡ la congervación de la energía,
energía cinética * energía potencial :+m(doldt 2 + V(r) =
Entonces @aldt¡z = (2/mllE-v(rl)de lo cual obtenemog considerando la raíz cuadrada positiva,
dt = t/ñ(¿rtt@l
[ñ f'" dr\rlE J,, ,,fvOl
De donde, por integración,"rn
J r:,,' o' = tz - tt = tE l:,'
2'36' (c) Si la partícula del problema 2.35 tiene un potencial y : lxr2 y parte del reposo deÍ : a, demostra¡ que r : a cos vmt, y (b) describir el movimiento.(o) Apartirde (I) delproblema2.#, (dr/dt)z : (l/m)(E _ tt*x2). puestoque dr/dt:0 donde ¡ : a,hallamos B : lxa2 aaí que
@alaqz = Qlm)(oz - xz) o ¿r¡r@=P = t1ffi¿¿Laintegraciónda gen-t (x/a) : +Vffit * cr. puestoer¡e ¡ : c en ¿: 0, cr : ¡/2. Entonces
aen-r(rlol = *tffit+nlz o Í = aaenft/2*t/ffit¡ = acosrQiñ.t(ü) Lapartículagemantieneoscilandoalolargodelejerentre¡:ay x: -¿. Eltiempoparaelcualse completa una vibración u oscilación partiendode r. : a y regresando a o nuevarnente se llamaperíodo de Ia oscilación y se da por p -: 2¡ yffi.
2'37' Una partícula de 3 unidades de masa se mueve en el plano ry bajo la acción de uncampo de fuerza que tiene un potencial y : l2x(3y - 4x). La particula parte del re-poso en el tiem-po ü : 0 del punto cuyo vector de josición es 10i - 10j. (o¡ plantearla ecuación diferencial y las condiciones que desc"iien el movimiento. ia)' Resolver laecuación propuesta en (o). (c) Encontrar la posición en cualquier tiempá. (d) Hallarla velocidad en cualquier tiempo.(¿) Puesto que y : I2r(Sy - 4r) : 96", _ 4gr2, el campo de fuerza es
F = -vv = -fft- uuLi- *{k = (-s6y*96r)i-86¡jPor la segunda ley de Newton,
t# = .s6a +e6r)i - B6rj
o, en términos de componentes, empleando ¡ = al*Ul,dzsldtz - -l2U * g2r, &Aldtz = _l2n (I)
donde r=!0, i=0, U=-L1, ú=0 en ú= O e)utilizandoel hechodequelapartículapartede r : lOi - 10j con velocidad v : i - o.
(ó) De la segunda ecuación de (r), ¡ : -it d2y/dt2. sustituyendo en la primera ecuación de (I), da
d4u/dtt-82üy/¿¿z-t44y - o €)Si a es constante entonceg ! : eot es la solución de (J) dado que
aa-82a2 -144 = 0, i.e. (az+4¡1sz_86) = g 6 a=t2i,c=t6
cAP. 2l LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM 53
E
E
d,r
(r)
(2),/r4@,
& LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM tcAP. 2
Lassolucionesson ez,r, e. 2,r,e6,,e-6' o cos2ü,sen2t,e6t,e-6t (entérminosdefuncionesr€ales)
y la solución general es
U = c1 cos2t * c2sen}t * cse6t * coe-et @)
Así" a partir de ¡ : -hd2y/dt2 enconttamos, mediante (4)'
& = |o¡ tos 2t * [c2sen2t - Screot - Scoe-at (5)
Remplazando (2) en (4) v (5), obtenemos
|c1 - 3ca -Bca - lO, Ncr- lScs * 18ca = I'
c1 * ca * ca = -19, 2c2* 6cs - 6co - 0
Resorviendo "-"J':":;"1. r; : ;i ]r: i:,"' ; =''-: ":';1t:;":::::,(c) La posición en cualquier tiempo es
r = riIUi = (-6cos2t-2eot-'"-ot\i* (-2cos2t*6eot +6¿-6t)i
(d) La velocidad en cualquier tiempo es
v = i = ii+i¡ = $2sen2ú- l2e8'*t'"-atli* (4sen2ú*36¿0t-36e-6t)i
En términos de Ias funciones hiperbólicas
senhaü = $(eat-e-otl, coshaÚ = l(e"c+e-n'l
también Podemos escribir¡ = (-6 cos2t - 4 cosh 6Ú)i * (-2 cos 2t + L2 cosh 6ú)i
v = i - (12 sen 2t - z4senh 6¿)i * (4 sen 2t + 72 senh 6ú)i
2.38. Demostrar que en coordenadas polares (r, 0)'
Vv = #r, *'A{ut,
Sea
donde G y H están determinadas' Como
problema 1.47(b),
o
Ahora bien
Usando (1) v Q'l obtenemos
9V = Gt1 * Ho1 (1)
dt: ¿lti * dyj tenemoscon t: rcos0, y: rsen0 ydel
= ffa, + ffa'
dr = (cos 0 dr - rsenOXcosrrl - sen rrl) + (sene dr* r cosa dcxeena 11 * cosdll)
dr = d.rrtI rd'eov
iV.dt = ¡w = {a,*ffot
(2)
(Gr1 * Holl'(Ir4t ritcot) = Gilr * Hrde
demodoque G=#, "=l#Entonces (I) se convierte en vV = #', *lu#"
2.39. De acuerdo con la teoría de la relatiuidad, la masa m de una particula se da por
fn = flloffi
donde u es la velocidad, m.s la masa en reposo' c la velocidad de la luz y p : u/c'
CAP. 2I LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM 55
(o) Demostrar que ra variación de tiempo del trabajo rearizado se da por.l
rnoc' fr(l - Bz¡-rrz
(ó) Deducir a partir de (a) que la energía cinética esT = (m-mo)c2 = mocz{(l- pz)-r/z - l}
(c) Si u es mucho menorque c, mostrarque ? : irnu2 aproximadamente.
(a) Por la segunda rev de Newton
" = *<*o¡ = + (_!L_\e¿. d,ty¡¡_Bz/Entonces, si IZ es el trabajo realizado,
dwE = F.r = "+(4, \ -^¿t B \ _ *-oct/a-! "A\ñ) = *o"'lft(ffi) = *,"'#,(#)
obüenido por diferenciación directa.
(ó) Como trabajo ¡ealizado : cambio en la energía cinética, tenemosvariación de tiempo del trabajo realizado : variación de tiempo del cambio en la energía cinética
dw dT,#=#=*o"r!/+\út \{l - Br)ry mo&
t/t= Bz ' "'
Pa¡a dete¡minar c, nótese que, por definición, ? : 0 cuando- nroc2. Obtenemos así lo que necesitábamos.
T = #r-
ffiocz = (rn-mn¡cz
(c) Para É ( I tenemos por el teorema del binomio,1-- = (l-B2l-u2 = 1+{t-p2
Entonces T = f t"'z -l
moczlr +;b + .,.-.J -
o, por la parte (o),
Integrando,
u:0oP:O,demodoquecr:
Lu" *
tuoc2
l'8on *2. 4-
= f,*"
ffiu'* "'apmximadamente.
Problemas propuestos r
LEYES DE NEWTON
2'4o' Una paÉícula de 2 unidades de masa se mueve a lo largo de una curva en el espacio definida por r :(4t2 - tz)i - 6ti + (r. - 2)h" Hallar: (o) el momentu;, (b) la fuerza que actúa sobre ella en el tiempot:1.Resp. (a) 10i-t0j+8k, (D) 4i+Z4h
2'41' Una partícula que se mueve en un campo de fuerza F tiene su momentuú dado en cualquier tiempo t porp = 3e-ti- 2cosúj - Bsenük Halla¡F. Resp._Be_ti*2senü j_gcosúk
2'42' una partícula de masa rn se mueve bajo la influencia de un campo de fuerza a lo largo de la elipse
si p es er momentum, demosrrar o*,',"i, ::"=" ;:;,"a;"j.," = lm(bz - o2) sen2ot.
56 LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM lcAP. 2
2.4g. si F es la fuerza que actúa sobre Ia partícula del problema 2'42, demostrar que r x F : O' Explicar fisica-
mente este resultado.
2.44. una fuerza de 100 dinas dirigida en el sentido positivo del eje .r actúa sobre una partícula de 2 g de masa
du¡ante l0 minutos. ¿Qué veiocidad adquiere la partícula suponiendo que partió del reposo?
ResP.3x10'cm,/seg
2.46. Trabajar el problema 2.,t4 si la fuerza es de 20 nt y la masa es de I0 kg' Resp' 1200 m/seg
2,48. (o) Halla¡ la fuerza constante necesaria para acelerar una m¿sa de 40 kg desde una velocidad 4i - 5i + 3k
hasta una ¿. ai+ gt - Sk -/..g en 2ó."g' (b) ¿Cuál es la magnitud de Ia fue¡za en (o)?
Resp. (o) 8i + 16i - 16k nt o (8i * 16i - 16k) X ld dinas
(b) 24 nt o 24 x ld dinas
2,47. Unascenso¡viajasindetenersedesdeelpisosuperiorhastaelinferiordeunedificioalto' (¿) Explicarpor
qué un pa.a¡ero no siente el movimiento del ascensor. (b) ¿Puede Ia persona notar movimiento cuando
comienza a moverse o cuando se detiene? Explicar'
2,8. una partícula de masa unitaria se mueve en un campo de fuerza dado en té¡minos del tiempo t por
F = (6t-8)i - 60úei + (20¿3+36ú2)k
Suposiciónyvelocidadinicialsedan,respectivamente,pofro:2i-3kYvo:5i+4j.Encontrar:(o)laposición,y(b)lavelocidaddelapartículaeneltiempot:2'8esp. (o) 4i - 88i + ??k, (ü) i - 236i + 176k
2.45. La fuerza que actúa sobre una partícula de masa m se da en términos del tiempo ü por
F = ocosoÚi * bsenorúj
Si Ia partícula está inicialmente en reposo en el ongen, encontrar: (o) su posición, y (b) la velocidad en
cualquier tiemPo más tarde [ -.
""*. trl ffi<t -cosoú) i + fi<"t - senorü) i, (b) hsen"ti + *$ - cosoú) i
TRABAJO, POTENCIA Y ENERGIA CINETTCA
2.60. Una partícula se mueve bajo la acción de Ia fue¡za F : 20i
punto A al punto B cuyos respectivos vectores de posición son
bajo realizado. ResP. 315
- 30j + 15k segrin la Iínea recta que va del
2i + 7i - 3k y 5i - 3j - 6k. Hallareltra-
2.61. Hallar la energia cinética de una partícula de 20 unidades de masa que se mueve a la velocidad de 3i -
2.62.
2.63.
5j + 4k. ResP. 500
Debido a un campo de fuerza F, una partícula de masa 4 se mueve según la curva en eI espacio r :
(3t2 - 2t)i + ¿3j - t{k. Hallar el trabajo realizado ¡.ror el campo cuando se mueve la partícula desde el
punto donde ú : I hasta el punto donde t : 2' Resp' 2454
En cierto tiempo una partícula de masa 10 viaja a lo largo de una curva en el espacio con uf¡a velocidad
dada por 4i + l6k. En otro tiempo posterior su velocidaá es 8i - 20j' Encontrar el trabajo realizado so-
bre la partícula entre esos dos tiempos' Resp' 192
Verificar el teorema 2'1 para la partícula del problema 2'52'
Unapartículademasa''rsemuevebajolaaccióndeuncampodefuerzadadoporF:o(seno¿i*cos oü j). Si la partícula está inicialmente en reposo en el origen, probar que eI trabajo realizado sobre la
partícula se da por (a2/mo2)(l - cosot)'
Demostra¡ que Ia potencia instantánea aplicada a la particula del problema 2'55 es (a2/mo) seno''
unapartículasemueveconvelocidad 5i - 3j *6k bajolaaccióndelafuerzaconstante F:20i + 10j +
15k. ¿Curíl es Ia potencia instantánea aplicada a la partícula? Resp' 160
2.64.
2.66.
2.66.
2.67.
CAP. 2] LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM
CAMPOS DE FUERZAS CONSERVATIVOS, ENERGIA POTENCIAL YCONSERVACION DE LA ENERGIA2-64. (¿) Demostrarqueelcampodefuerza F: (yr-2xyzT)i + (3+ 2xy - x2zi)j * (6zr - Sx2yz2)k
es conservativo,(b) Halla¡ el potencial V asociado con el campo de fuerza de (o).
^Resp. (ü) ryz - s2y23 * 3y +$z+
2.59. Una particula se mueve en el campo de fuerza del problema 2.58 desde el punto (2, - 1,2) hasta ( - l, 3, - 2).Halla¡ el trabajo realizado. itesp. 5b
2.60. (o) Hallarlasconstantesa,byc,talesqueelcampodefuerzadefinidoporF: (x*2y-taz)it(bx_3y - z)i * (4¡ * cy * 2z)k es conservativo.
(b) ¿Cuál es el potencial asociado con el campo de fuerza (a)?iBesp. (o) a=4, b=2, c=-l (b) V = -+n2+tAz-zz-2u!J-Axz1.yz
2.fj1. Hallar el trabajo realizado al mover una partícula desde el punto (1, - 1, 2) hasta (2, B, - l) en un campode fuerza cuyo potencial es V : x" - y" * 2xy - y2 + 4r.. Resp. l5
2'62. Determinarsielcampodefuerza F: (x2y - z3)i+ (3xyz* xz2)j+ (2r2yz* yza)k esconservativo.iBesp. No es conservativo
2'63. Encontrar el trabajo necesario para mover una partícula en un campo de fue¡za F : 3¡2i * (2xz - y)j + zkalolargode: (a) la¡ectade(0,0,0) a(2,1,8), (b) lacurvaenelespacio x:2t2, !: t, z:4t2 - tdesde ü : 0 hasta ú : 1. ¿Es independiente de la trayectoria este trabajo? Erplicar.Besp. (o) 16, (b) r4,2
2'64. (a) Calcular t f'dr donde F: (r - 3y)i* (y -2x)j y Ceslacurvacer¡adaenelplano x!, x:2cost, /:3senf desde f:0 hasta t:2r. (b) Darunaexplicaciónfísicaal¡esultado(o).Resp. (a) 6¡ si C se recorre en la dirección positiva
2.66. (o) Demostrar que el campo de fuerza F : - ñ¡3r es conse¡vativo.(b) Escribir la energía potencial de la partícula que se mueve en el campo de fuerza dado en 1a¡.(c) Si una partícula de masa m se riueve con velocidad v : dr/dt en este campo, demogt¡ar que si la
energía total E es constante, entonces +m(dr/¡Itlz * frrs - E. ¿eué importante principio se ilustra?
2'66' Una partícula de masa 4 se mueve en un campo de fuerza definido por F : -2o0r/r3. (o) Mostrarqueel campo es conservativo y hallar la energía potencial. (b) Si la partícula parte de r : 1 con rapidez 20,¿cuál será la rapidez en r : 2? i?esp. (a) V : 200/r, (b) l5\O,
IMPULSO, MOMENTO DE TORSION Y MOMENTUM ANGULAR.CONSERVACION DEL MOMENTUM2.67, Una partícula de masa unitaria se mueve en un campo de fuerza dado por ¡ : (3ú, - 4t)i + (l2t - 6)j +(6t - L%2)k donde t es el tiempo. (o) Encontrar el cambio de momentum de la partícula desde el tiempoú: I hasta t:2. (b) Silavelocidaden ú: I es 4i _ bj+ lOk, ¿cuáleslavelocidad e¡t:2?
Resp. (a) i + 12j - 19k, (b) 5i + ?j - 9k
2.68. una partíc'la de masa /n se mueve a lo largo de la cu¡va definida por r : o cos ori * ó sen oü j. Encon-trar: (o) el momento de torsión, y (á) el momentum angular al¡ededor del origen.Resp. (a) O, (b) 2mabok
2.69. Una partícula se mueve en un campo de fuerza dado por F : O(r)r. probar que su momentum angular al_rededor del origen es constante.
2'7o' Hallar: (a) el momento de torsión, (b) el momentum angular al¡rdedor del origen de la partícula del pro-blema 2.67 en el tiempo ü : 2, suponiendo que para t : 0 está localizado en el origen.Resp. (a) - (36i + 128j + 60k), (b| - 44i+ b2j + 16k
2.71. Hallarelimpulsodesarrolladoporlafuerzadadapor F: 4ti + (ü, _ 2li+ 12k desde ¿: 0 hasta r: 2.rBesp. 8i * l2j | 24¡¡t
57
58 LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM [cAP. 2
2.72. ¿Cuál es la magnitud del impulso desarrollado por una masa de 200 g que cambia su velocidad desde
5i - 3j i ik m/seg hasta 2i * 3j + k m,/seg?
rBesp. 1,8 X 10ó dina seg o 1,8 nt seg
ESTATTCA DE UNA PARTICULA
2.73. SobreunapartículaactúanlasfuerzasFr=2iAaj-3k, Fz=5i*cj+6¡, Fe=ói-5¡+7k'F{:ci - 6j * ok. Hallar los valores de las constantes o, ó y c que permitan equilibrio en la partícula.
Resp.a:7,b:11.c:4
2.74, Hallar: (o) gráficamente, (b) analíticamente la resul-tante de las fue¡zas que actúan sob¡e Ia masa tn de la fi-gura 2-13, donde todas las fuerzas son coplanarias.
ftesp. (b) 19,5 dinas en la dirección que forma un ángu-lo de 85' 22' conla parte negativa de r
2.76. El potencial de una partícula en el plano ¡y se da porV:2x2 - lxy * 3y2 Í 6x - 7y. (a) Probarqueexisteun punto y sólo uno en el cual la partícula permanece enequilibrio. (ó) Encontrar las coo¡denadas de ese punto.
rlesp (b) (1, 2)
2.76. Probar que una partícula que se mueve en un campo defuerza de potencial V : 12 * 4y2 I z2 - 4xy - 4yz *2xz - 4x * 8y - 4z puede permanecer en equilibrio eninfinito número de puntos y localice esos puntos.
Resp. Todos los puntos del plano x - 2y I z : 2
ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO
Fig.2-13
2.77 . Una partícula se mueve sob¡e el eje r en un campo de fue¡za que tiene un potencial V : x2 (6 - ¡).(¿) Hallar los puntos de equilibrio. (b) Investigar la estabilidad.
Resp. x : 0 es un punto de equilibrio estable; ¡ : 4 es un punto de equilibrio inestable
2.78. Trabajarelproblema2.TTsi: (a) V: xa - 8¡3 - 612 *24x, (b) V: xa.
Resp. (o) x: I,2 sonpuntosdeequilibrioestable; r : -1 esunpuntodeequilibrioinestable(ó) ¡ : 0 es un punto de equilibrio estable
2,79, Trabajar el problema 2.77 si V : sen 2r.r.Resp. Si n :0, +1, +2,+3, entonces r : I + n sonpuntosdeequilibrioestable,entantoQue ¡ :i * n son puntos de equilibrio inestable
2,8O. Unaparticulasemueveenuncampodefue¡2adepotencial V: x2 lyt * z2 - 8x * 16y- 42. Hallar lospuntos de equilibrio estable. Besp. (4, - 8, 2)
PROBLEMAS VARIOS
2.81. (o)Demost¡a¡que F: (y2cos x *23)i * (2ysen x - 4)i * (3¡22 *2)k es un campo de fuerza conservativo. (b) Encontra¡ el potencial corres'pondiente a F. (c) Hallar el trabajo realizado al mover una partículaen este campo desde (0, 1, - 1) hasta (r/2, l, -2).Resp (a\ V = a2senf+sz|-4v*22*c, (b)15+4r
2.82. Una particula P está bajo la acción de 3 fuer¿as coplanarias, como se in-dica en la figura 2-14. Encontrar la fuerza necesaria para evitar el mo-
vimiento de P.
Resp. 323 lb en dirección opuesta a la fuerza de 150 lb
2,83. (o) Probarque F : rsr esconservativa. (b) Halla¡el potencialcorres'pondiente. ftesp. (ó) V - -lra I c Fig.2-14
cAP. 2l
2.44.
2.85.
2.86.
LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM 59
Explicar la siguiente paradoja: De acue¡do con la tercera ley de Newton, una grúa hala un automóvil conigual fuerza con la que éste hala a la grúa. Por tanto, el automóvil no se mueve.
Encontrar el potencial de una partícula colocada en un campo de fuerza dado por F : - rr-ar donde x
y n son constantes. Tratar todos los casos.
UnacaídadeaguadeS00piesdealturatieneunflujodeaguade440.000pies3,/seg. Suponiendoqueladen-sidad del agua es 62,5 lb/pies y que un caballo de potencia es igual a 550 lb-pie,/seg, encontrar el núme-ro de caballos de potencia de la caída de agua. Resp. 25 X 106 HP
2.A7. La potencia aplicada a una partícula por un carnpo de fuerza se da en función del tiempo ú por ?(¿) :3t2 - 4t * 2. Hallar el trabajo realizado al moverse la partícula desde el punto donde ü : 2 hasta elpunto donde ú : 4. Resp. 36
2.88. ¿Puede ser cero el momento de torsión sobre una partícula aunque la fuerza no sea ce¡o? Explicar.
2.A5. ¿Puede ser cero la fuerza sobre una partícula aunque el momentum angular no sea cero? Explicar.
2'9O. Una partícula de masa 2 se mueve bajo la acción de un campo de fuerza, según la curva en el espacio r :6t4i - 3t2j + (4t3 - 5)k. Hallar: (o) el t¡abajo para move¡ la partícula desde el punto donde t : 0
hasta el punto donde f : l, (ó) la potencia aplicada a la partícula en cualquier tiempo.Resp. (al 756 (bl 72t(48t4 + 8¿ + l)
2.91. Un campo de fue¡za mueve una partícula, según la curva en el espacio r : ¿ cos o, i * b sen o¿ j. (a)
¿Qué potencia se necesita? (b) Discutir fisicamente el caso ¿ - b.
Resp. (a) m(o"2 - ó2)@3 sen oú cos oú
2.92. EI momentum angular de una partícula se da en función del tiempo f por
a = 6Pi_ (2t+ 1)j + (12ú3_8ú2)k
Hallar el momento de torsión en el tiempo ü : I Resp. l2i - 2i + 20k
2.93. Halla¡ la fue¡za constante necesaria para imprimirle a un cuerpo de 36.000 lb una rapidez de 10 mi,/h en 5minutos partiendo del reposo. Resp. 1760 poundals
2.54. Una fuerza constante de 100 nt se aplica durante 2 minutos a una masa de 20 kg que está inicialmente enreposo. (o) ¿Cuál es la rapidez alcanzada? (b) ¿Qué distancia ¡ecorre?Resp. (a) 600 m./seg. (ó) 36.000 m
2.95. Una partícula de masa fn se mueve sobre el eje r bajo la acción de una fuerza de at¡acción hacia el origenO dada por F : - (^/x2)i. Si la partícula parte del reposo en Í : a, probar que llega al origen en untiempo dado por Loa{ñd..
2.96. Trabajar el problema 2.95 si F : - (x/x3)i.
2.97. Unaparticula de 2 unidades de masa se mueve en el campo de fuerza F : ú2i - 3rj + (t + 2)k donde ü
es el tiempo. (o) ¿Qué distancia recorre la partícula desde ú : 0 hasta f - 3 si estaba originalmente enreposo en el origen? (ó) Hallar la energía cinética en los tiempos t : L y ú : 3. (c) ¿Qué trabajo realizaelcampos<¡brelapartículadesde ú: t hasta t-- 3? (d) ¿Quépotenciaseaplicóalapartícula en t: L?
¿Quó impulso se suministró a la partícula en ú : 1?
2.98. Una partícula de masa unitaria está en reposo en el origen en el tiempo t : 0. Si se le ejerce la fuerzaF:100üe-21i, halla¡: (o) elcambiodemomentumdelapartículaenelintervalode t: L a t:2, (b)la velocidad después de que ha trascur¡ido un tiempo largo. fte.sp. (a) 25e-2(3-Ee-2)i, (b) 26
2.99. Una particula de 3 unidades de masa se mueve en el plano ry por la acción de un campo de fuerza cuyopotencial es V : 6x3 I L2y3 * 36ry - 48x2. Investigar el movimiento de la partícula si se desplaza dé-bilmente de su posición de equilibrio.(Sueerencia. Ce¡ca de ¡ : 0, y : 0 el potencial es aproximadamente 36ry - 48t2 puesto que 6ra y12y3 son despreciables.)
60 LEYES SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO. ENERGIA Y MOMENTUM lcAP. 2
2.100. Una partícula de masa unita¡ia se mueve sob¡e el eje r por la acción de un campo de fuerza cuyo potenciales V:6r(r - 2). (o) Demost¡arque ¡: l esunaposicióndeequilibrioestable. (b) Demostrarquesila masa es débilmente desplazada de su posición de equilibrio oscila¡á alrededor de ella con un período de4r{5.(Sugerencia. Haga r : I I u y desprecie los términos en u de grado mayorque uno.)
2.101, Una partícula de masa /n se mueve en el campo de fuerza F : -rri. (a) ¿Cuánto trabajo se realiza almove¡lapartículadesde ¡ : ¡r hasta x: xz? Siunapartículaunidadpartede ¡ : rr conrapidez
ur, ücuál es la rapidez cuando llega a x : x2? Resp (o) t.(q-rzr, @) \8l-J'/?',@42.IO2. Una partícula de masa 2 se mueve en el plano ry bajo la acción de un campo de fuerza cuyo potencial es
V : x2 * y2. La partícula parte del reposo en el tiempo t : 0 del punto (2, 1). (¿) Plantear la ecua-ción diferencial y las condiciones que describan el movimiento. (b) Hallar la posición en cualquier tiem-po f . (c) Hallar la velocidad en cualquier tiempo ü.
2.103. Desarrollar el problema 2.102 si V : 8xy.
2.104. ¿Es válido el teorema 2.7 relativo a sistemas o coordenadas de ¡eferencia no inerciales? Demostrar su resul-tado.
2,1O5. (o) Mostra¡quesiunapartículasemueveenelplanorybajolaaccióndeuncampodefuerzacuyopoten-ciales V: l2x(3y - 4r), entonces r:0, y:0 esunpuntodeequilibrioestable. (ó) Discutirla¡ela-ción del ¡esultado en (o) del problema 2.37.
2.106. (o) Demostrar que una condición suficiente pa¡a que el punto (o, ó) sea un mínimo de la función V(¡, y) es
que en (o, b)
(i) Y=*=0, (ii) A=dr oa/azv\/azV\ / azv 1z
\anz /\aa2 / \ar ay / >0 *rodt.
(b ) Con ayuda de (a) encont¡ar los puntos de equilibrio estable de una partícula que se mueve en el campode fuerza que tiene potencial V : x3 * y' - 3x - 12y..
Resp. (b) El punto (1, 2) es un punto de equilibrio estable
2.107. Suponerque una particula de masa unita¡ia se mueve en el campo de fuerza del problema 2.106. Halla¡ surapidez en cualquier tiempo.
2.108. Una partícula se mueve alrededor del círculo r : a(cosdi * send j) en un campo de fuerza
F - (ri-uil/@2+Yz¡
(a) Hallar el trabajo ¡ealizado. (b) ¿El campo de fuerza es conservativo? (c) ¿Cont¡adicen las respuestas(o) y (b) el teorema 2.4? Explicar.
2.f09. Algunas veces se establece que la mecánica clásica o newtoniana hace las suposiciones de que el espacio co-mo el tiempo son absclutos. Discutir el significado de esta proposición.
). Fdt2.llD. La cantidad Fprcm= i- r, se llama la fuerza medía que actúa sobre una partícula desde t, hasta t2.
¿Coincide el resultado (3) del p¡oblema 2.5, si remplazamos F porFp-- ? Explicar.
z.lll. Unapartículade2gdemasasemueveenelcampodefue¡za F:8¡yi I (4x2 - 8z)j - 8ykdinas. Sienel punto (-I,2, -1) tiene una rapidez d,e 4cm/seg, ¿cuál es su rapidez en el punto (1, -1, 1)?
Resp. ti cm,/seg
2.112. (¿) Hallar las posicidnes de equilibrio estable de una partícula que se mueve en un campo de fuerza de po-tencial l/ : lgrzr-zr.
(b) Si se suelta la partícula cuando r : l, hallar la rapidez cuando alcanza la posición de equilibrio.
(c) Hallarelperíodocuandolasoscilacionesalrededordelaposicióndeequilibriosonpequeñas.
2.113. De acuerdo cor,la teoría especiaL de Ia relatiuidad de Einstein, la masa ¡n dqlna partícula que se muevecon rapidez u, con respecto a un observador, se da por m : ^o/GW donde c es la velocidad
CAP. 2I LEYES SOBRE MOVIM¡ENTO. TRABAJO, ENERGIA Y MOMENTUM
de la : 300.000 km,/s la es el incrc-
rjT,i:;#d],".'il,,],il,H";2.114. Demostrar que en coordenadas cilíndricae
vv = 9!. *!av^ -ovopoo -;}lt, - 6..donde Grr G6r c, son vectores unitaríos en la direccíón en que aumentsn p, O y z,respectivamente.
2.1f6. Denostrar que en coordenadas esféúcas,
vv = av ,ldv 1 AV-
"c¡+Vi;co+ñiT%donde G',o¿,G¿ son vectores unitarios en la di¡ección a que aumentán ¡, c,,ó, respectivamente,
6l
Movimiento en un comPo uniforme
Cqpítulo 3
(2\
Coído de cuerpos y proyectiles
CAT\{POS UNIFORMES DE FUERZA
Un campo de fuerza que tiene magnitudy dirección constantes recibe el nombre de
uniforme o campo de fuerza constante- Si ladirección del campo se toma en la direcciónnegativa de z, como se indica en la figura3-1, y si la magnitud es la constante Fo > 0,
entonces el campo de fuerza está dado porFig.3-l
F = -Fok (1)
MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Si una partícula de masa constante m se mueve en un campo de fuerza uniforme, enton-
ces su aceleración es uniforme o constante. Entonces el movimiento se describe como ¡noui-
miento uniformemente acelerado. Si en (1) hacemos F : m8, la aceleración de una partícu-
la de masa m que se mueve en el campo de fuerza uniforme (1) está dada por
a= -ffu
PESO Y ACELERACION DEBIDOS A LA GRAVEDAI)
Se encuentra experimentalmente que ce¡ca
de la superficie terrestre los cuerpos caen con unaaceleración vertical que es constante si la resisten-cia del aire es despreciable. Esta aceleración se re-
presenta por g y se llama la aceleración debidaa la grauedad o la aceleroción grauitacional. Lamagnitud aproximada de g es 980 cm/seg2,9,80 m./seg2 o 32 pies/seg2, según se utilicenlos sistemas de unidades CGS, MKS, o LPS. Elvalor varía en diferentes partes de la superficie te-rrestre, aumentando ligeramente hacia los polos.
Suponiendo que el plano xy de la figura 3-2
representa la superficie de la Tierra, la fuerza que
actúa sobre una partícula de masa nr está dadapor
gt = -mgk (3) ÍEsta fuerza, que se llama el peso de Ia partícula,tiene la magnitud W : mg.
62
Fig.3-2
CAP. 3] MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME . CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES 63
SISTEMA GRAVITACIONAL DE UNIDADES
- Como W: ^g, entonces m: W/g. Este hecho ha conducido a muchos científicos e
ingenieros, que aplican con mucha frecuencia la mecánica sobre la superficie terrestre, a escri-bi¡ en las ecuaciones de movimiento el peso IjTen lugar de la masa m. Así, por ejemplo, la se-gunda ley de Newton se escribe como
Como en esta ecuación no aparece la masa rn, el movimiento de un cueryo que cae librementees independiente de su masa.
(4)F=Y^g
Enestaecuación,tanto IiÍcomogpuedenvariar,pero m :W/s esconstante.Unsistemade unidades que emplea (4) es el sistema grauitacional o sistema inglés próctico, en donde launidad de F o I'7 es la líbra fuerza (lb-O, la longitud se da en pies y
"1 ti"*po en segundos. En
este caso, la unidad de n es el slug y, con frecuencia, el sistema se llama sistemqpie-slug-se-gundo (FSS)' También son posibles otros sistemas. Por ejemplo, podemos expresar F o Wen kilogramos fuerza (kg-f) con la longitud en metros y el tiempo
"r, ,eg.rrrdor.
SUPOSICION DE QUE LA TIERRA ES PLANALa ecuación (3) indica que la fue¡za que actúa sobre la masa m tiene una magnitud cons-
tante mg y que en cada punto se dirige perpendicularmente a la superficie terrestre representa-da por el plano ry. En realidad, esta suposición llamad ala suposición de la tierra plana no escorrecta, primero poryue la Tierra no es plana y segundo porque la fuerza que actúa sobre lamasa m varía con la distancia desde el centro de la Tierra, como se explica en el capítulo b.
En la práctica, la suposición de la Tierra plana es bastante exacta para describir los movi-mientos de objetos sobre o cerca de la superficie terrestre y se utilizará en todo el capítulo. Sinembargo, para describir el movimiento de objetos alejados de la superficie terrestre deben em-plearse los métodos del capítulo 5.
CUERPOS EN CAIDA LIBRESi un objeto se mueve en tal forma que la única fuerza que actúa sobre él es su propio peso,
o sea la fuerza debida a la gravedad, entonces frecuentemente el objeto recibe el nomb¡e decuerpo encaída Libre- Si r es el vectordeposiciónyrn esla masa delcuerpo, entoncesla ecua-ción diferencial del movimiento, aplicando la segunda ley de Newton y la ecuación (J), es
*ffi=-msk " #=-ek (5)
PROYECTILES
Un objeto que se dispara desde una plataforma o se lanza desde un aeroplano en movi-miento recibe el nombre de proyectil. Si la ¡esistencia del aire es despreciable, se puede con-siderar el proyectil como un cuerpo en caída lib¡e, de tal forma que su movimiento se puededetermina¡ empleando la ecuación (5) y las condiciones iniciales apropiadas. Si la resisten-cia del ai¡e es despreciable, la trayectoria de un proyectil es un
"t.ó ¿é parábola (o una línea
recta, que puede considerarse como una parábola degenerada). Véase ef problema 8.6.
U MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME - CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES ICAP. 3
POTENCIAL Y ENERGIA POTENCIAL EN UN CAMPO UNIFORME DE FUERZA
El potencial de un campo uniforme de fuerza o la energía potencial de una partícula en
dicho campo de fuerza' se da por v = Fo(z - zo\ (6)
donde zo es una constante arbitraria, tal que, cuando z: 2o, V:0. Llamamoss' z: zo
el niuel de referencia.
En particular, para un campo gravitacional constant€, Fo :de la Partícula es
v = mg(z - zo)
mg y la energía potencial
@
Que conduce al
Teorema 3.1. La energía potencial de una partícula en un campo gravitacional cons-
tante se encuentra al multiplicar la magnitud de su peso por la altura medida desde un de-
terminado nivel de referencia. Obsérvese que la energía potencial es el trabajo realizado por
el peso al desplazarse la distancia z - zo.
MOVIMIENTO EN UN MEDIO RESISTENTE
En la práctica, un objeto no sólo experimenta la acción de su propio peso sino también lade otras fuerzas. Una clase importante de fuerzas es la de aquellas que tienden a oponerse al
movimiento de un objeto. En general, tales fuerzas son debidas al movimiento en algún me-
dio tal como el aire ó el agua y se llaman fuerzas resistentes, omortiguadoras o disipatiuasy se dice que el medio correspondiente es un medio resistente, amortiguador o disipatiuo.
Experimentalmente se encuentra que cuando las velocidades son pequeñas, la magnitudde la fuerza resistente ps proporcional a la velocidad. En estos casos puede serproporcional al
cuadrado (o a otra potencia) de Ia velocidad. Si Ia fuerza resistente es R, entonces el movi-
miento de una partícula de masa nt en un campo (gravitacional) uniforme de fuerza se da
Por dzn# = msk-F. (s)
Si R : O se reduce a (5).
SISTEMAS AISLADOS
Al considerar la dinámica o la estática de una partícula (o de un sistema de partículas
como veremos posteriormente) es en extremo importante tener en cuenta todas las fuerzas
que actúan sobre la partícula (o sobre el sistema de partículas). Frecuentemente este proceso
recibe el nombre de aislar el sistema.
MOVIMIENTO SOMETIDO A CONSTRICCIONES
En algunos casos una partícula P debe moverse sobre una curva o superficie específica, por
ejemplo, el plano inclinado de la figura 3-3, o sobre la superficie interna de la copa semiesféricade la figura 3-4. La curva o superficie sobre la que se debe mover la partícula se llama una cons-
tricción y el movimiento resultante recibe el nombre de mouimiento sometido a constricciones.
Por la tercera ley de Newton, cuando la partícula ejerce una fuerza sobre la constricciónaparece una fuerza de reacción de Ia constricción sob¡e la partícula. Frecuentemente, la fuerza
de reacción se describe dando sus componentes N y f, normal y paralela, respectivamente, a ladirección del movimiento. En la mayoía de los casos que se presentan en la práctica, f es la
fuerza debida al rozamiento y se toma en dirección opuesta al movimiento.
CAP. 3I MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME . CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES 65
Fig.3-3 Fig.3-4
Los problemas de movimiento sometidos a constricciones pueden resolverse utilizando lasegunda ley de Newton para llegar a las ecuaciones diferenciales del movimiento y luego resol-ver estas ecuaciones y someterlas a las condiciones iniciales.
ROZAMIENTOEn las partículas en que se presenta movimiento so_
metido a constricciones, una de las fuerzas más impor_tantes que se opone al movimiento es la debida al roza_miento. En la figura B-5, supongamos que N es la mag_nitud de la componente normal de la reacción de laconstricción sobre la partícula r¿. Se encuentra experi_mentalmente que la magnitud de la fue¡za f debida alrozamiento se da por
f =pN (9)
donde ¡r es el coeficiente de rozamiento. La dirección de f es siempre opuesta a la dirección delmovimiento. El coeficiente de rozamiento, que depende tanto dei maierial de la partícula co-mo del material de la constricción, se consider"
"tr l" práctica como una constante.
ESTATICA EN UN CAMPO GRAVITACIONAL UNIFORMEComo se indicó en el capítulo 2, una partícula está en equilibrio bajo la influencia de un
sistema de fuerzas si y sólo si la fuerza neta que actúa sobre ella es F : o.
Problemas resueltosCAMPOS UNIFORMES DE FUERZA Y MOVIMIENTOUNIFORMEMENTE ACELERADO3.1. Una partícula de masa rzl se mueve en
línea recta bajo la influencia de unafuerza constante de magnitud F. Si suvelocidad inicial €s u6, encontrar: (o)la rapidez o magnitud de la velocidad,(b) la velocidad, y (c) la distancia reco_rrida después de un tiempo ú.
Fig.3-5
Fi
Fig.3-6
66 MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME . CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES ICAP. 3
(o) Supongamos que la línea recta sobre la que se mueve la partícula P es el eje Í, como se indica en la fi-gura 3-6, y que en el tiempo ü la partícula está a una distancia r del origen O. Si i es un vector unita-rio en la dirección OPy u es la rapidez en el tiempo t, entonces la velocidad es ui. Po¡la segunda ley
de Newton, tenemos queil . daft(mai) = Fi o mfi= F (f)
Entonces du=Ldt " Íar= fftat
Iuego 1) = lt + ", (2\tn
donde c¡ es una constante de integración. Para encontrar cr, aplicamos la condición inicial que
cuando f: 0, u: uo, luegode (2), c¡ : uo Y
F , F.a = Lt+'¿n o 1) = 1¿¡*-t (3)rn - rn,
(ó) Según (3) la velocidad en el tiempo f es
ai = ¡;ni+Lfi o v = vn+I¿"rn-rndonde v: ui, vo : uoi y F: Fi.
(c) Como u : dx/dt obtenemosde (3),
ilr , F. / . r'-\ffi,=uo*-, o dx = (ro+Lt)dt
Ahora, integrando y suponiendo que c2 es la constante de integración, obtenemos
ú = ".¿+fg)P*c2\2m/Ya que ¡ : 0 cuando t : 0, encont¡amos cz : 0. Luego
r =,ot+(#)P
g.2. Demostrarque en el problema 3.1 la rapidez de la partícula en cualquierposición t se da
por u: la|+(ZFlm)u.Método 1.
A partir de (3) del problema 3.1, tenemos t : m(u - uo)/F. Sustituyendo en (l) y simplificando,encont¡amos r : (m/2F) (u2 - of;). Despejando u obtenemos el resultado rtquerido.
Método 2.
A partir de (I) del problema 3.1, tenemos
do - F iloilr F
¡tt m' l'e' E dt = *o como u -- dx/dt,
d'tt F = \d,
"7, = 'i, i.e. a du = *Integrando, t = Lr+cs
Ya que u : uo cuando ¡ : 0, encontramos c, : a2ol2 luego u
Método 3.
La variación de la energía cinética desde t : 0 hasta cualquier tiemPo t: trabajo realizado al desplazarse la partícula desde ¡ : 0 hasta cualquierposición.r
o fmu2 - t-o\ = F(r - 0). Entonces = \E+ AFffi.
(4)
cAP. 3l MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME - CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES 67
MOVIMIENTO LINEAL DE CUERPOSQUE CAEN LIBREMENTE3.3. Se lanza verticalmente hacia arriba desde la
superficie de la Tierra un objeto de masa rn f'=con velocidad ue. Encontrar: (a) la posiciónen cualquier tiempo, (b) el tiempo requeridopara alcanzar el punto más alto, y (c) la altu-ra máxima alcanzada.
(o) Sea el vector de posición de m en cualquier tiempoú r : ¡i * yj + zk. Suponemos que el objeto par-te de r : O cuando ü : 0. Como la fuerza queactúa sobre el objeto es - mgk, tenemos, por la leyde Newton, que
*# = *#, = -^ou ' #: -ekdonde v es la velocidad en el tiempo ú. Integrando (1) una vez, se tiene
v - -gúk*c,
(r)
(2)
(3)
(4)
(5)
Como la velocidad cuando ,uok, entonces
o
: 0 (es decir, la velocidad inicial) €s Dek¡ obtenemos de (2),
v - -gtk * toh - (úo- gtlkd¡== = (ao_ gt)k
cl
Al integrar (4) se tiene r - (o¡t-SOtz)k* cz
Como r: O cuando t: 0, cz: O. Entoncesel vectordeposición es
r - (o¡t-\otz\ko sea, r=0, U=0, z=Dot-*Ct,
(b) El punto más alto se alcanza cuando v : (uo - Cú)k : O, es decir, para t : uo/g.
(c) En el tiempo t : uo/g la máxima altura que se alcanza es, a partir d,e (7), z : úo/20.
Otro método.
Si suponemos, como es fisicamente evidente, que el objeto debe estar siempre en el eje z, podemos anu-lar los vectores escribiendo la ley de Newton en forma equivalente, como (véase la ecuación (I) anteriorytómese r: ek)
ilzzliltz = -gde la cual, haciendo z: 0, dz,/dt: uo cuando ü : 0, encontramos, como anteriormente, que
z = r,)ot-*Ct,Las respuestas de (b) y (c) se obtienen como se hizopreviamente.
3.4. Hallar la rapidez de la partícula del problema 3.3 en función de su distancia al origen O.
Método l. Apartirde las ecuaciones (J) y (fl del problema 8.3, tenemos
Despejando ú de ra primer" "",,".,1n ; ":r"i;^; ; ,::;11i1."""",."-..
/th-o\ /on-o\2 o?-tf= "t\ , )-+o\ o ) = "2, o o2=ozo-Zsz
Método 2. De la ecuación (1) del problema 3.3 obtenemos, ya que v : uk y u : dz/dt,ilo do d,z ilod=-0' l.e, d"ü=-C o uñ=-C
Luego, al integrar u2 /2: - gz * c¡. Como u : uo en z: 0, cs : 412 yentonces u, : oZ- 2gz.
Método 3. Véase el método del problema 3.9 que cumple el principio de la conservación de la energía.
(6)
(7)
Fig.3-7
68 MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME . CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES ICAP. 3
MOVIMIBNTO DE PROYECTILES3.5. Se lanza un proyectil con velocidad ini-
cial u6 formando un ángulo a con lahorizontal. Encontrar: (o) el vector deposición en cualquier tiempo, (b) eltiempo para alcanzar el punto más alto,(c) la altura máxima alcanzada, (d) eltiempo en que regresa a la Tierra, ( e ) elalcance.
(o) Sea r el vector de posición del proyectil y vla velocidad en cualquier tiempo t. Entonces,por la ley de Newton,
d2rmffi = -mok (t)
Fis.3-8
esto es,
Integrando,
-sk
v - -gúk*ctSupongamos que el proyectil se mueve inicialmente en el planoyz, entonces la velocidad inicial es
Vs = trocosdj * rrosenak (4)
Como v : vo cuando ú : 0, encontramos de (J),
v = trocosdj*(uosena-gú)k (5)
Sustituyendo v pot d,r/dt en (5) e integrando, obtenemos
r = (r.rs cos a)ú i * {(ro sen a)ú - $otz\k (6)
o, análogamente, r :0, A = kto cosa)ú, z = h)osenalt - $gt2 (7\
En consecuencia, el proyectil permanece en el plano.vz.
(b) En el punto más alto la componente de la velocidad v en la dirección k es cero. Entonces
osS€nd-gt = 0 Y | =o sea el tiempo requerido.
Con el valor de t obtenido en (b), encontramos de (7) que
?,g S€ll d
af,sen2 o
(uo sena)f - tct' - ú[(oo sena) - l2ot1 = ¡ocomo f +0,
d2rw = -gk
Obsérvese que este tiempo es el doble del calculado en (b).
(e) El alcance es el valor de y cuando el tiempo es el dado por (/0), esto es,
dvo-=-dt (2)
(3)
(c)
(8)
(e)Máxima altura alcanzada = (o6 sena) (T-) - +c (39jt":)' -
(d) El tiempo en que ¡egresa a la Tierra es el tiempo cuando e : 0, es decir, cuando
2g
QO\
3.6.
ufr sen 2o
Demostrar que la trayectoria del proyectil del problema 3.5 es una parábola.
De la segunda ecuación de (7) del problema 3.5, tenemos ¡ : y/\us cos a). Sustituyendo esta exp¡e-sión en la tercera ecuación de (7) del problema 3.5, encontramos
z = (uosena)(y/u6cosc) - $g(a/a¡cos"¡z o z = ytana-@/2t:!)V2seczaque es una parábola en el plano,r,e.
/ 2on sen a \ 2tt2n sen d cos aAlcance: (uocos")(:l = ------------:-- =\c/s
cAP' 3l MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME - CAIDA DE CUERPOS y pRoyBcrILES 69
3'7 ' Comprobar que el alcanc-e del proyectil del problema B.b es máximo cuando el ángulo delanzamiento es d : 45" ,
De acuerdo con el problema S.5(e) el alcance es (oisen 2o)/g. euees máximo cuando sen 2a : l, esdecir,2a:90ooa:45".
POTENCIAL Y ENERGIA POTENCIAL EN UNCAMPO DE FUERZA UNIFORME3'8' jl] un campo de fuerza uniforme es conservativo, (ó) hallar el poten-cta e a dicho campo, Y (c) deducir la energía potencial de una partículade ampo de fuerza gravitacional uniforme.
(a) SielcampodefuerzaescomoseindicaenlafiguraB-l,entonces F: - Fok.Tenemosque
VXF =
ijk0/3n Alay 0/32
00-FoEn consecuencia, el campo de fue¡za es conservativo.
=0
(b) F = -F¡k = -ev = -frr-r#t-r#n Luego Y, =0,#=0,#=roV =Fozi-c, Si 7=0cuando z=?¡, entonces c=-Fozo y V:Fs(z_z¡).
(c) Para un campode fuerza gravitacional uniforme, F : _rngk (figura 3-2) ycorlespondeEntonces, por la parte (ó), el potencial o la energía potencial .. y : mg (z _ z).
Hacer el problema 3.4 utilizando el principio de la conservación de la energía.De acue¡do con el principio de la conse¡vación de la energía, tenemos que
Eren z=0 *E"ena=0 = Eren z *E"en v
de donde
a Fo: mg.
3.9.
0
Luego, a2 = of,- 2gz,
+ L^3 = rnsz + *^r,
MOVIMIENTO EN UN MEDIO RESISTENTE3.fO. En el tiempo ü : 0, u gura
3-9) que tiene un peso estásituadoenz:0yse entehacia abajo con rapidez uo. Si la fuerza, oresistencia del aire que actúa sobre el para_caídas es proporcional a la rapidez instantá_nea, hallar: (o) la rapidez, (ó) la distanciarecorrida, y (c) la aceleración en cualquiertiempo ü > 0.
(¿) Suponemos que el paracaidista (considerado cono
por la ley de Newton.
¡l a¡mfik = (mg - Bu)k (r) Fig.3-9
70 MovIMIENToENUNcAMPoUNIFoRME-CAIDADEcUERPoSYPRoYEoTILEStcAP'3
es decir,
Integra ndo,
Como u: lo cuando
Luego
*# -- rns - 91) o
-Tr" @c - Fal
ú : o, cr : -Tln (rng- Éuo).
mdo = d,t,ng - Ba
= ttct
Entonces, de (2),
(2)
= ffnt*o-B?o) - frh1^s-Bo¡ = T^(ffi)ffi = ¿eum o 1) =ry*Q,-T)¿-et/m
(b)De(3),ilz|itt=¡ngtF*klo_mglB)e_9tln.p¡¡g¡ges,integrando,
z = ry - T("" -ae) e-atr^ + cz
Como z:0 cuando t:O, cz: @/P)(uo- mg/A) enconsecuencia,
,. = ¡ngt + Y( r^ -4¿\ n - e-Bttm¡z : p_- F\"0 B /'-
(c) Utilizando (3), la aceleración se da por
ilo 81,..-rns\e-¡,/m = (o-U"\"-ur,,^ (5)ú=ai =-t\"u-p/"'- \" m/-
g.ll. Demostrar que el paracaidista del problema 3.10 alcanza una rapidez límite dada por
ms/p.Método l.
De la ecuación (3) del problerna 3.10 u : mg/B + fuo - mg/A)e-Ptlm. Entonces, a medida que ú
aumenta, u tiende a mg/F "n
fo.-" tal que después de un corto tiempo el paracaidista se mueve con una
raPidez que es casi constante.
Método 2.Si el paracaidista tiende a una rapidez límite, la aceleración límite debe ser cero. Entonces, de la ecua-
ciór (I) del problema 3.10, tenemos que mg - 9uÍ^: 0 o olln¡ : mg/p'
g.12. Una partícula de masa m se desplaza sobre el eje r de tal modo que cuando ú : 0 está
situada en r : 0 y tiene rapidJz us. Sobre la partícula actúa una fuerza que se opone
al movimiento, fuerza cuya magnitud es proporcional aI cuadrado de la rapidez instan-
t¿í,nea. Hallar: (o) la rapidez, (b) la po.i"iótt, y (c) la aceleración de la partícula en
cualquier tiempo ú> 0.
(o) Suponemos que la partícula está situada a una di"i'an-
cia ¡ del origen O cuando t : O y que tiene una rapi-
dez u (véase la figura 3-10). En consecuencia, la fuerza
es F : - Bu2i, donde É ) 0 esuna constantedeproportionalidad. Po¡ la ley de Newton,
ilv , d.ts - F,mfri = -B,:zi ' í; -- -L-¡It (l)
Integrando, -l/u: -Bt/m * cr' Como u: uo
cuando ü : 0, tenemos cr : -l/uo' L'¡ego
-! = -Bt-t olU Út a¡que es la rapidez.
(b) De (2), # -- #+r. Entonces, f o, : Í ffi,rt = 98, I *+M o
ü = ftn(,+ffi)+",
(3)
(4)
Fis.3'10frlÚO
1) = ñlT* (2)
CAP' 31 MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME . CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES 7T
Como¡:0cuando t:0,c2 - rnt / r"\-v ,n \-/.
Lueco
m, /., ,¿\ rn1 / m\ n,. /- . Boot\N = p'"\r*p%)-prn\p^) = ¡=r,(r+;) (3)
(c) De (o),
ihs d/ rtluo \ B*o"oa=a=a\V"rt¡^) :-@f# v)Obsérvese que aunque la rapidez de la partícula disminuye continuamente, nunca se detiene.
3'f 3' Determinar: (a) la rapidez, y (ó) la aceleración de la partícula del problema 3.12 en fun-ción de la distancia r desde el origen O.
Método l.De las partes (a) V (b) del problema 8.12,
m ,_ / Fttot I m1 tuuo paot * m 1)¡pt\-* ), Y ¿¡=¡^¡¡* ' --:*-::=;
Entonces , =?t.(?) o a=po¿-er/m
y la magnitud de la aceleración es
dtt -
P?o
"-o',^d! = - FoZ
"-rur,^ar=E=tn-&rn
que también puede obtenerse de la ecuación (4) del problema 8.12.
Mótodo 2.
De la ecuación (I) del problema 8.12 tenemosd,o d.u dr i¡t*¿l = *A, ¿¡ = *r# _ _go2
ocomo ul o, ilo - da Brndu= -Po y ;= -hr. Integrando, lnu: _ \x/m* ca. yaque t): uocuando r:0, ca : lnuo. Luego ln (u/uo't: -Br/m o u: uoe- lr/m.
3'14' Suponer que sobre el proyectil del problema 3.5 actúa una fue¡za debida a la resistenciadel aire igual a - gv, donde I es una constante positivay v es la velocidad instantánea.Hallar: (o) la velocidad, y (ó) el vector de posición en cualquier tiempo.(o) La ecuación de movimienüo en este caso es
^ffi = -msk - pv " ^#* Bv = -msk (r)
Dividiendo por m y multiplicando por el factor "t
Flmat = elt/m,la ecuación puede escribirse como
¿
fr|"u"^v| = -gelt/m1a
Integrando, se tiene ¿Bt/mu = _ff "er,^k * c1 e)
La velocidad inicial o velocidad cuando J : 0 es
vo = trocosa j * t,osenak (J)Remplazando en (2) encontramos
cl = rrocosdj + oosen¿k *ryUEntonces, al dividi¡ (2) po¡ eB¡tn,, tenemos
v = (t'u cosa j * o6sen ak\e-Bt/m - Trt - ",Btr,nlk (4)
72 MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME - CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES ICAP. 3
(b) Remplazando en (4) v pot dr/dt e integrando, obtenemos
r = -ffOocosaj*oosend k)c-Btrn - ffUComo r: O cuando ú: 0,
mc2 = VQ;ocosc j*tr6senak) *
Sustituyendo (6) en (5), encont¡amos
'llIU gr = 7;(.o.a
j*senak)(1 -e-st/m) - ftc-a'lm - ?)-
3.15. Demostrar que el proyectil del problema 3.14 alcanza una velocidad límite y encontrarsu valor.
Método l.De acue¡do con la ecuación (4) del problema 3.14, cuando ü aumenta, e-gúlrt ¿¡.-¡nuye. Entonces, la
velocidad tiende a un valor límite igual I vü^ : - (me/ilU-
Método 2.
Si el proyectil tiende a una velocidad límite, su aceleración límite debe sercero. Luego de la ecuación
(1) del problema 3.14, - mgk - llo¡i^: 0 o v,r. : - (mg/P)k.
MOVIMIENTO SOMETIDO A CONSTRICCIONES
3.16. Una partícula P de masa /n se desliza sin ro-
dar por un plano inclinado liso AB que formaun ángulo a (figura 3-11). Si parte del repo-so desde el punto más alto A del plano, hallar:(a) la aceleración, (b) la velocidad, y (c) ladistancia recorrida después de un tiempo ü. ra
(o) Como no hay rozamiento, las únicae fuerzas que
actúan sobre P son el peso W : - mgk y la fuerzade reacción del plano que es la fuerza normal N.
Sean e¡ y e2 los vectores unitarios, paraleloy perpendicular, respectivamente, al plano inclina-do. Si representamos por s la magnitud del despla-zamiento desde el punto rnás alto A del plano in- O
clinado, tenemos, por la segunda ley de Newton,
)tz Fig' 3-llmfu(ee) = W + N = mqsenaal
como se indica en la figura 3-11, la resultante de W * N es igual a mg send et. De (l), tenemos
dzs/iltz = g send
En consecuencia, la aceleración hacia abajo del plano inclinado en cualquier tiempo t es una constante
igual a gsend.
(b) Como u : ds/dt es la rapidez, (2) se puede esc¡ibi¡ así
ila/d,t= gsena o u =(gsena)Ú*c¡al integrar. Con las condiciones iniciales u : 0 cuando Ú : 0, obtenemos ct :dez en cualquier tiempo t es 1¡ = (g sena)t
La velocidad es uer : (gsena)üe, de magnitud (gsenc)ü en la dirección e¡
(c) Como u : ds/dt, puede escribirse (3) así
deldt = (g sen c)ú o 8 = !(O sena)t2 * c2
al integrar. Con la condición inicial s : 0, cuando t : 0, encontramos c2 : 0,
recorrida ess = l(o sena)ú2
¡L"-arr^¡k + c2 (5)
(6)
@
w.
ry(,*
(r)
(2)
0, entonces la rapi-
(3)
hacia abajo.
así que Ia distancia
w= -mcklx Yvl;-mg COg a Q2/
(4)
cAP. 3l MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME . CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES 73
3.17. Si la longitud AB del plano inclinado del problema 3.16 es l, encontrar: ( a) el tiempo rrequerido por la partícula para llegar al punto más bajo B del plano, y (b) la rapidezen B.
(¿) Ya que en B, s : l, el tiempo r para llegar al punto más bajo es, de la ecuación (4) del problema 8.16,
I = +(c sen a)r2 o | = \tzt/(@.(b) La rapidez en I se calcula de (3) del problema 8.16, por u : (g sena)r : \lZETffi.
MOVIMIENTO CUANDO HAY ROZATVIIENTO
3.18. Hacer el problema 3.16 si el plano inclinadotiene un coeficiente de rozamiento constan-te p.
(¿) Además de las fuerzas W y N que actúan sob¡e p,interviene en este caso la fue¡za de rozamiento f(figura 3-12) dirigida hacia arriba del plano (endirección opuesta al movimiento) y de magnitud
pN = pmg cosa (I)
esto es, f = -Fmí cosa et e)entonces se remplaza la ecuación (/) del p¡oblema3.16 por
&Ge)maT = W+N+f =
^fri = -ttrngi o
Fig.3-12
m! 3e'ra1 et - pmg cos 4 el (3)
+f
f : - pmgi, y (f) se convierte en
-ttg
o d2s/dt2 - g(sena - p cosa) (4)
Por consiguiente,- la aceleración hacia abajo del plano inclinado tiene una magnitud constanteg(senc-pcosa)perodebecumplirsequesend>pcosaotana>¡(deot¡omodolafuerzade ¡ozamiento es tan grande que la partícula no se mueve).
(ó) Remplazando d2 s/dt2 por du/dt en (4) e integrando como en la parte (ü) del problema 3.16, en-cont¡amos que la rapidez en cualquier tiempo ú es
o = g(senc - p cos a)ú (5)
(c ) Remplazando u por ds /dt en (5) e integrando como en la parte (c ) del problema 3.16, encontramoa
s = {g(sena-pcosalt2
3.f9. Un objeto se desliza sobre una superficie de hielo a lo largo de una línea horizontal OA(figura 3-13). En cierto punto de la trayectoria la rapidez es uo y luego de recorrer unadistancia ro el objeto se detiene. Comprobar que el coeficiente de rozamiento esu2 /2gxs.
Sea ¡ la distancia instantánea del objeto de ma-sa m al origen O y supongamos que anando ú : 0,¡:0yd.x/dt:uo.
T¡es fuerzas actúan sobre el objeto, a saber: (l)el peso lV: rng, (2) la fuerza normal N de la super-ficie de hielo sobre el objeto, y (B) la fuerza de roza- Fig.3-13miento f.
Si u es la rapidez instantánea, tenemos, por la segunda ley de Newton, que
¿I1t .
^¿tí = W+N
Perocomo N: -W ylamagnituddef es /: ¡¡N: png
(6)
(J)
así que
th¡E= (2)
74 MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME . CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES ICAP. 3
Mótodo 1.
Escribir (2) como
d.ts ilx ihtdeü=-pg o odú=-llg
Entonces o iltt = -!g dú
Integrando y usando eI hecho que u : uo en ¡ : 0, encontramos
u2l2 = _ygr*of;12
Entonces como u : 0 cuando Í : 1o, (4) se convierte en
-p7ro'ltrtl2 = 0 o p = fil2ors
Método 2.De (2) obtenemos, al integrar y utilizar el hecho 9ue u : ue cuando ü : 0,
0 = ao-Fgt o d.rldt = ao-Fgt
Integrando nuevamente, empleando el hecho que ¡ - 0 cuando ü : 0, encont¡amos
De (z) vemos que el objeto se detiene c. d; ;: t;
"3""J"o¡-pgt=0 o t=aolpg
Remplazando en (7) y obsen¡ando 9ue ¡ : to, obtenemos eI r€sultado deseado.
ESTATICA EN UN CAMPO GRAVT.TACIONAL UNIT'ORME
3.2O. Una partícula de masa rn está suspendida, en equilibrio, de dos cuerdas no elásticas de
longitudesaybsujetasalasclavijasAyBseparadasunadistanciac.Encontrarlatensión en cada cuerda.
Fig.3-14 Fig.3-15
lV representa el peso de la partícula y Tr V Tz las tensiones respectivas en las cuerdas de longitudesc y b, como ee indica en la figura 3-14. Estas fuerzas se indican también en la ñgura 3-15 y ee supone que
están en el plano formado por los vectores unitarios j y k. Descomponiendo Tr Y Tz en componentes hori-zontales y verticales, se encuentra que
Tl = ?rsenck - Ircosa j, Tz = T2senp k * fzcosÉ j
donde T¡ y ?z son tas magnitudes de T1 y T2, respectivamente, y a y P son los ángulos respectivosen A y B. Tenemos también que
W = -mgkComo la partícula está en equilib¡io si y sólo si la fuerza neta que actúa sobre ella es cero, obtenemos que
F: Tr+T2+W= ?rsenak - ?rcosaj * T2senpk + T2cosq i - mgk
= (?2 cos B - T, cosa)i * (?¡ sen a I T2senp - mC)k
=0
(3)
(4)
(5)
(6)
@
cAp. 3l MoVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME
De lo anterior, debemos tener
TrcosB -flcosa = 0,
Resolviendo simultáneamente, encont¡amos
PROBLEMAS VARIOS3.21. Un plano inclinado (figura 8-16) forma un
ángulo d con la horizontal. Se dispara unproyectil desde el punto más bajo A delplano inclinado con rapidez uo formandoun ángulo É con la horizontal.(a) Demostrar que el alcance R sobre el
plano inclinado es
CAIDA DE CI'ERPOS Y PROYECTILES ID
?1 sena * ?o sen p - tttg -- 0
T, = mg.cos9 T^ _ ntg cosa' sen(a+F) z sen("*É)
Los ángulos c y É pueden encontrarse a partir de la ley de los cosenos
a = coS-r ( a'z + g:-- b'z\, B = cos-r (az +:: - azl\ za.c /. \ 2bc /
con los ángulos anteriores las tensiones pueden erq)¡esarse en función de a, ó, c.
(ó)
(a)
R- 2a2osen(B - a) cos Bp COS2 o Fig.3-16
Probar que el alcance máximo sobre er plano inclinado se da por
R-¿¡ = -"0g(1 * sena)
que se obtiene cuando E : "/4* o/2.Como en la ecuación (6) del problema 3.5, el vector de posición del proyectil en cualquier tiempo ¿ es
r = (oe cosB)új * ((oosenÉ)ú - 120t2\k
o .U = (o6 cosp)ú, z = (uosenÉ)ú _ tCt,La ecuación del plano inclinado (que en el planoyz es una ¡ecra, eg
z = Atana (J)Remplazando la ecuación (2) en (3), vemos que la trayectoria del proyectil y el plano se intersectan enaquellos valores de ü en que
(r.re sen B)ú - tCt, = [(oo cos B)ú] tan a
estoes, ¿:0 y t - 2tro(genÉcosa-cospsena)
- 2tr6sen(9-")
g COsd I COSd
(1)
(2)
El valor f : 0 da el'punto de intersección A. Con el eegundo valo¡ de ú se encuentra el punto B que esel punto requerido. Utilizando el segundo valor de t en la primera ecuación de (2), encontramos queel alcance R sobre el plano inclinado es
R = a sec d = (ro cos É) {"t:!^:! -'} r"" " - 2ot sen (É --a) cos F
L gcosa ) --- gcosza
(ó) Método l.El alcance ft puede exp¡esarse utilizando la identidad trigonométrica
senÁcos6 = {{sen(A+B) *senl,4-B))D
-A¡fi = =-- {sen(2p-o) - sena}0 COS'q '
76 MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME . CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES ICAP.
Es un máximo cuandosen(2p-a) =1, esto es, 2B-a=t/2 o B=a/2*r/4, yel valor de
este máximo es
Método 2.
El ¡esultado requerido puede obtenerse también por los métodos del cálculo diferencial para en-
cont¡ar máximos y mínimos.
,aí
R = ---*-(l - sena) =g COS'd
D2Do D¡
(1 - sena) =g(l - se¡2s) '- g(1 * senc)
(2)
-'nl2d = mzg-T
2lnrmoT = ----#Ulfll t fil2
3.22. Dos partículas de masas Í\ Y mz, respectivamente,se conectan a una cuerda no extensible de masa des-preciable que pasa por una polea fija y lisa de masadespreciable, tal como se muestra en la figura 3-1?.
Describir el movimiento encontrando: (o) la acelera-ción de las partículas, y (ó) la tensión en Ia cuerda.
Aislemos primero la masa mr. Hay dos fuerzas que actúansobre ella: (1) su peso m¡g: mtgk y (2) la fue¡za debida a lacuerda que es la tensión T : - 7h' Si a : ak es la aceleración,entonces, por la ley de Newton,
mlak = rnpk - Tk (1)
Aho¡a aislamos la masa m2.Hay dos fuerzas que actúan so-
bre ella: (1) su peso m2E : m2gk, y (2) la tensión T : - ?k (la
tensión es la misma en toda la cuerda ya que se considera de masadespreciable y no extensible). Como la cuerda es inertensible, laaceleración de mz es - a : - ok. Entonces, por la ley de Newton, Fig.3-17
-m2uk = mzg|r-Tk
De (1) y (2) tenemos7n1a = mrg - T,
Resolviendo simultáneamente, encontramosfflt - fllz
o = rnll rrbg'
Porconsiguiente, las partículas se mueven con aceleración constante, una partícula sube y la otra desciende.
En este sistema, algunas veces llamado máquina de Atwood,la polea puede rotar. Sin embargo, debi-
do a que la polea es lisa y no tiene masa (o es de masa despreciable) el efecto es el mismo que si la cuerda en
lugar de la polea pasara sobre una clavija lisa o sin rozamiento. Cuando la masa de la polea no es desprecia-
ble, se deben tener en cuenta los efectos de rotación que se consideran en el capítulo 9.
3.23. Una partícula P de masa m está colocada enel punto más alto A de una esfera fija lisa deradio b. La partícula se desplaza ligeramentepara que deslice sobre la esfera pero sin querote. (o) ¿En qué punto se separará de la es-fera? (b) ¿Curíl será la rapidez en dicho pun-to?
La partícula se deslizará formando un círculo de
radio o; hacemos que el círculo esté en el plano.ry, co-
mo se indica en la figura 3-18. Las fuerzas que actúansobre la partícula son: (l) su peso W : mgi, y (2) lafuerza normal de reacción N de la esfera sobre Ia par-ticula.
Método l.(a) Midamos la posición de la partícula sob¡e el círculo
por medio del ángulo 0 y supongamos que ,r yr¡ s€an vectores unitarios. Descomponiendo Wen componentes en las direcciones rl y ,1' tene-mos, como en el problema 1.,13,
Fig.3-1E
CAP. 3] MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME . CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES 77
W = (W.rr)rr+(W.rr)r,= (-rr,ci.r1)r1 t (-tnci.ot)ot - _r¿g 8€n c 11 _ m! cosc 01
También, N=Nrrusando la segunda ley de Newton y el resultado del problema 1.49, obtenemos
F = ma = ml(;_riz¡rr+(ri+Z|árorl= lt*N = (N-rngwne)r1 -mgcosdrr
Entonces m('i - ráz¡ - N - ,ng aene, m(ri + zii¡ = -rng coso
Mientras la partícula eetá sobr€ la esfera, tenemos que r : b. sustituyendo en (2),
-mbiz = l\f - ,rog¡y¿\c, bi = -g coac
Multiplicando la segunda ecuación po, i, n"-o, que puede escúbirse como
, ¿ /iz1 d.'ü\2 ) = -l7¡Geno)
Integrando, biz/z = -tsen c + cr.Ahora,cuando c = t/2, á = 0 asíque cr :g v
bcz = Zc(l - sen a)
Sustituyendo (4) en la primera ecuación de (J), encontramos que
N = mg(8 eenc - 2) (5)
Ahora bien, la partícula permanece sobre la esfe¡a cuando N > 0; pero cuando N: 0 eeinminentela separaci ón de la partícula de la esfera. Entonces el ángulo requeridá se da por B sen e - 2 : 0, esto es,
(1)
(2)
(3)
(4)
(ü)
senc = 2/3 o c =gen-rL/B
Haciendo sen d : Z en (4), encontramos
i, = zclgb
Entonces si u es la rapidez, tenemos u : b6, asíque de (fl obtenemos u2 : lbg o u:Método 2.
Por la conservación de la energía, tomando al eje r como nivel de referencia, tenemos
E, enA * E" en A : EpenP* E" enP
,¡tgb + 0 = mgbsen¡ * 1¿*o,
tsz = 2gb(L - sen t)Utilizando el ¡esultado del problema 1.35 y la segunda ley de Newton, tenemos, debido a que el radiode curvatura es b,
F = tna = (*,,-#t,) = w+N\o= (N - mg senc)r¡ - ntg coac ar
Empleando solamente la componente rr, tenemos que
o2lb = N-mgaenc (9)
De(8)y(9)encontramosque N: ms@senr- 2)quedaelángulorequeridosen-r G)comoenelmétodo 1. La rapidez se encuentra a pa¡ti¡ de (g).
(6)
@
,TTFE.
(8)
78 MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME - CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES ICAP. 3
Proble mas propuestos
CAMPOS UNIFORMES DE FUERZA Y MOVIMIENTO LINEALDE CUERPOS QUE CAEN LIBREMENTEg.24. Un objeto de masa m se deja cae¡ desde una altura H. Demostrar que si la resistencia del aire es desprecia-
ble, llega al suelo: (¿) en un tiempo \ñ878, y (b) con velocidad \E@-
g.26. Hace¡elproblema 3.24 si el objeto se suelta verticalmente hacia abajocon rapidez inicialde magnitud u6.
rBesp. (o) (rETzsH -tso)ls, 1o¡ t/fi+Wu
3.26. Comprobar que el objeto del problema 3.3 regresa a la superficie de la Tie¡¡a: (o) con rapidez de magnitud
igual a la r'apidez inicial, y (b) en un tiempo que es el doble del invertido en alcanza¡ la altura máxima.
g.27. Una esfera que se lanza hacia a¡¡iba alcanza una altura máxima de 100 pies y luego regresa al punto de par-
tida. (o) ¿Con qué rapidez se lanzó? (ó) ¿Cuánto tiempo gasta en regresar? Resp. (o) 80pies/seg, (b) 5 seg
3.28. Una esfera que se lanza hacia a¡riba pasa por cierta altura Il después de un tiempo 7r cuando se mueve ha-
cia arriba, y después de un tiempo r, cuando se mueve hacia abajo. Comprobarque: (c) le magnitud de
la velocidad inicial con que se lanzó Ia esfera es Ig(r, I ,"), y (ó) la altura ¡1 : lgt1r2.
3.29, ¿Cuáleslaaltu¡amá¡imaquesealcanzaenelproblemaS-ü)?Resp- tgQr+ 'r)t
B.BO. Dos objetos se dejan caer desde la cima de un farallón de altu¡a Il. El segundo se suelta cuando el primero ha
caído una distancia D. Comprobar que en el instante en que el primer objeto ha llegado al suelo el segundo
está a una distancia por encima del primero igual a 2VDH - D'
gjl. Un ascensor parte del ¡eposo y alcanza u¡a rapidez de 16 pies,/seg en 2 seg. Encontra¡ el peso en el ascenso¡
de un hombre de 160 lb si el ascensor: (o) está subiendo, (b) estábajando. ResP. (o) 200 lb' (b) 120 lb
g.g2. Una partícula de 3 kg de masa se mueve en línea rectay desacelera uniformemente desde una velocidad de
4O m/seg hasta 20 m/aeg en una distancia de 300 m. (a) Encontrar la magnitud de la desaceleracién. (b)
¿Cuánto más avanza antes de detenerse y cuánto tiempo gasta?
Resp. (a) 2 m/seg2, (b) lm m; 10 seg
g.Bg. ¿Cuál es el trabajo total hecho sobre la partícula del problema 3.32 para detene¡ la partícula desde la veloci-
dad de 4O m/seg'! Resp. 24ffi newtons metro (o julios)'
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
3.34. Un proyectil se dispara con una velocidad de 1800 milh formando un ángulo de 60' con la horizontal. Si
cae sobre el mismo plano, encontrar: (o) la altura máxima alcanzada, (b) el tiempo para alcanzar la altu¡amárima, (c) el tiempo total del movimiento, (d) el alcance, (e) la rapidez después del primer minuto del
disparo, (/ ) Ia rapidez a una altura de 32.000 pies.
Resp. (a) 15,5 mi, (b)7I,4 seg, (c) 142,8 seg, (d) 35'? mi/h, (l) 1558 mi,/h.
3,3ó. (o) ¿Curíü es el alcance máximo posible de un proyectil que se dispara con velocidad de 1mi,/seg? (ó) ¿Qué
altura se alcanza en este caso? Resp. ( o ) 165 mi' (b ) 4L,25 mi
g.86. El alcance máximo de un cañón es.tl^6r. Comprobar que: (o) la altura alcanzada es lRr6', y (b) el tiem-
po total ""
Vfiffi.g.87. Se desea disparar un proyectil desde el suelo para que haga impacto en cierto punto sobre el suelo que está a
una distancia inferio¡ a la del alcance má¡imo. Demostra¡ que hay dos ángulos posibles de disparo, uno me'
nor de 45' en determinada cantidad y otro mayor de 45' en la misma cantidad.
8,g8, Un proyectil que tiene un alcance ho¡izontal B llega a una altura máxima H. Demostrar que debe habe¡se
disparado: (o) con rapidez inicial igual a !Ñ-FTF-A\M, y (b) formando un ángulo con la hori-
zontal dado por sen-t Qn/'/-FFtaFz)'
CAP. 3I MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME . CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES 79
3.39. Se dispara un proyectil desde un acantilado dealtura 11 sobre el nivel del mar, formando un án-gulo a. Si cae al mar a una distancia D de labase del acantilado, comp¡obar que su alturamáxima por encima del nivel del mar es
Fig.3-19
MOVIMIENTO EN UN MEDIO RESTSTENTE
3.4o. Se lanza verticalmente hacia arriba con rapidez uo un objeto de peso W. Suponiendo que la resistencia delaire es proporcional a la velocidad instantánea y que la constante de proporcionalidad es r, comprobarque: (o) el objeto alcanza una altura má¡ima de
Wxa6 W. /. *ro\-Pr *'s-'n \' * W )
y que, (b) el tiempo requerido para alcanzar la altura máxima es
W . /. *on\*,"\'* *)
3'4r' Un paracaidista cae del reposoy adquiere una velocidad límite de 15 mi/h. Suponiendoque la resistenciadel aire es proporcional a la rapidez instantánea, encontrar qué tiempo se requiere para adquirir una ve-locidad de 14 mi,/h. Resp. 1,g6 seg
3'42' Una masa m se mueve en línea recta bajo la acción de una fue¡za constante F. Suponiendo que hay unafue¡za de resistencia que es numéricamente igual a ru2, donde u es la rapidez instantánea v r es unaconstante, demostrar que la distancia reco¡rida desde la rapidez u¡ hasta la rapidez u, es
rn, /F-*?r?\%tn\F=Ar)'
3'43' Una partícula de masa /n se mueve en línea recta y se ejerce sobre ella una fue¡za de resistencia constantede magnitud .F. Si parte con rapidez us, (o) ¿en cuánto tiempo se detiene? y (ó) ¿qué distancia ¡ecorreen dicho tiempo? Resp. (a) muo/F, (b) mu?/2F
3.44. ¿Puede ¡esolve¡se el problema 8.4Íl por consideraciones de energía? Explicar.
3'45. Una locomotora de masa m viaja con rapidez constante uo sobre rieles horizontales. (o) ¿En qué tiempose detiene la locomotora después que se desconecta la ignición, si la resistencia al movimiento se da pora I gu2, donde u es la rapidez instantánea y a y p son constantes? (b) ¿Curíl es la distancia recorri-da? Resp. (a) ñhan-, (uol&), $) (n/zp)ln(ri puf,/a)
3'46' Una partícula se mueve en dirección x y sólo experimenta la acción de una fuerza de resistencia que es p¡o-porcional al cubo de la rapidez instantánea. Si la rapidez inicial es u¡ y después de un tiempo r es *uo,probar que la rapidez será iuo en un tiempo 5r.
3'47' Encontra¡ la distancia total recorrida por la partícula del problema 3.46 para alcanzar las rapideces: (c)áuo, (b) iuo. Resp. (o) lu¡t, (b) un,
3.48. Demostrar que para el proyectil el problema 8.14,
(o) el tiempopara alcanzarelpunto más altoes 4ln 1, * É'ot"t"\ .P -\- rns /'
+h/, * u'o '"n",.l5- \ ,ng /
flLAg sarl a(ó) la altura máxima es
MOVIMIENTO SOMETIDO A CONSTRICCIONES Y ROZAMIENM3'49' Un cuerpo de 100 lb parte del reposo desde el punto más alto de un plano inclinado de 60' y de 200 pies de
longitud. Despreciando el rozamiento: (o) ¿qué tiempo requiere para llegar al punto más bajo del plano?,v (b) ¿con qué rapidez llega a dicho punto? Resp. (a) 3,80 seg, (ó) ios,gpies,zses
80 MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME . CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES [CAP. 3
g.5O. Hacer el problema 3.49 si el coeficiente de rozamiento es 0,3. Resp. (o) 4,18 seg, (b) 95,7 pies/seg
g.6f. (o) ¿Con qué rapidez debe lanzarse un objeto desde el punto más bajo de un plano inclinado, de ángulo c
y longitud I para que apenas alcance a llegar al punto más alto del plano. (b) ¿Qué tiempo gasta?
nesp. (o) \MQll@)g.62. Demost¡ar que el coeficiente de rczamiento de un objeto cuya rapidez inicial es uo y que requiere un tiem-
po r para detene¡se cuando se desliza gobre una superñcie de hielo es us/g''
g.b3. ¿Qué fuerza es necesaria para subir por un plano inclinado 30' un camión que pesa 10 t, si el coeficiente
de rozamiento es 0,1? ResP. 5,87 t
g.b4. Se coloca una masa rn sobre una tabla horizontal de madera. Se levanta la tabla por un extremo hasta que
la masa m empieza a deslizarse. Si en este instante la tabla fo¡ma un ángulo a con la horizontal, demos-
trar que el coeficiente de rozamiento es t : tan a.
g.56. Sobre una masa de 400 kg que está sobre un plano inctinado 30" se ejerce una fuerza de 4800 nt y que forma
un ángulo de 30' con el plano, como se indica en la figura 3-20. Encontrar la acele¡ación de la masa si
el plano: (¿) es liso, (b) tiene un coeficiente de rozamiento de 0,2' Resp.5,5 m/seg2 , (b) 5,0 m,/seg2
Fig.3-20 Fig.3-2r
3.66. Hacer el problema 3.55 si la fuerza de 48ffi nt actúa como se indica en la figura 3-21.
Resp. (a) 5,5 m/aeg2 , (bl 2,6m/ser2 .
ESTATICA EN UN CAMPO GRAVITACIONAL UNIFORME
3.67. Un peso de 100 kg se suspende verticalmente del centro de una cue¡da, como se muestra en Ia figura 3-22.
Determina¡ Ia tensión ? en la cue¡da. Resp. T - 1ü) kg-f : 980 nt
100 h3
Fig.8-22 Fis.3-23 Fig.3-%
3.58. En la ñgura 3-28, ABy AC son cuerdas fijas aI techo CD y a la pared 8D, en los puntos C y 8, respectiva-
mente. De A se suspende un peso Il¿. $i las cuerdas AB y AC forman, respectivamente, ángulos 0t y 0,
con la pared y el techo, encont¡a¡ las tensiones Tt J Tz en las cuerdas'
W cosl, Wsen ctResp. rr = ós (ará , T2 =
"*C,;;Encontrar la magnitud de la fue¡za F requerida para mantener en equilibrio sobrc el plano inclinado la ma-
sa m, si: (o) el plano es liso, (b) el plano tiene un coeficiente de rozamiento p.3.59.
Resp. (o) tr'= ffi, (D) ¡'= gffi4-99t")
cAP. 3l MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES 81
3'60. Qué fuerza debe aplicarse a un trtn que pesa 320 t para que adquiera una rapidez de lb mi,/h en 20 segun-dos, partiendo del reposo, si el coeficiente de rozamiento es 0,02 y: (a) cuando la üa fé¡rea es horizontal,(b) cuando la vía fér¡ea fo¡ma un ángulo de 10" con la horizontal y el tren va hacia arriba. (Use sen 10o :0,1737, cos 10" : 0,9813) Resp. (a) l?,4 t, (b) 129,6 t
3.6 f . Resolver el problema 3.60 ( b ) cuando el t¡en baia. Resp. 3,6 t
3.71. En la figura 3-25, AB es una mesa sin ¡ozamiento. Lasmasas mr y rn, están unidas por una cuerda quepasa sobre una polea liviana en B. Determina¡: (o) laaceleración de la masa mz, y (b) la tensión en la cuer_da.
3'62' Un tren de masa rn se desliza con rapidez constante uo sobre un plano inclinado que forma un ángulo4 con la horizontal, y de coeficiente de rozamiento ¡r. Demostrar que la fue¡za necesaria para detenerel t¡en en un tiempo ¡ se da por rng(seno - p cos a) I muo/r.
PROBLEMAS VARIOS
3'63' Una piedra se arroja a un pozo y el sonido producido al choca¡ con el agua es oído un tiempo r posterioral instante en que se soltó. Suponiendo que la rapidez del soniilo es c, probar que el nivel del agua del pozoestá a una profundidad (@ 2ec, - c)"/28.
3'64' Un proyectil se lanza hacia abajo desde la parte superior de un plano inclinado un ángulo a, formandoun ángulo 7 con el plano inclinado. Suponiendo que el proyectil golpea el plano, probar que (a) el alcance
se da por o : 2oó sely--c5y - ") y que, (ó) el arcance máximo hacia abajo del prano es
T:E,á, = td=;;t3'65' Un cañón se coloca sobre un cerro que tiene la forma de un plano inclinado que forma un ángulo c con la
horizontal. Un proyectil se dispara hacia a¡riba formando un ángulo É con el plano. probar que si se de-
seaqueelproyectilgolpeeelcerrohorizontarmente,debecumplirseque É: tan-t/=2*""21 \.\3 - cos 2a/'
3'66' Suponer que dos proyectiles se lanzan formando ángulos a y p con la horizontal desde el mismo puntoen el mismo instante, en el mismo plano vertical y con la misma rapidez inicial. probar que durante elmovimiento, la línea que une los proyectiles forma un ángulo constante con la vertical dado por t@ 1- il.
3.67. ¿Es posible resolver la ecuación F : d,\mv)/dt : dp/dt por el método de separación de variables?Explicar.
3'68' Cuando un pr<-ryectil se lanza formando un ángulo d, con la horizontal, cae a una distancia D¡ antesde su blanco, mientras que para un ángulo 0, cae a una distancia D, más allá del blanco. Determinarel ángulo para que al lanzar el proyectil dé en el blanco.
3'69' Un objeto fue arrojado verticalmente hacia abajo. Durante el décimo segundo de su viaje descendió dosveces lo que descendió du¡ante el quinto segundo. ¿Con qué rapidez fuc arrojado? Resp. 16pies,/seg
3'7o' La rapidez de salid¿i de una bala es uo; se sitúa el cañón a una altura h sobre un plano ho¡izontal. p¡oba¡que el ángulo con el cual debe hacerse el disparo para lograr el mayor alcance sob¡e el plano se da poro = +cos-rshl@iÍgh).
Resp. (a) mt, mzlmt
Qt #f#.; Fig.3-25
3.72. Hacer el problema 3.?l si la mesa AB tiene un coeficiente de ¡ozamiento ¡.
3'73' El máximo alcance de un proyectil cuando se dispara hacia abajo en un plano inclinado es dos veces el máxi-mo alcance cuando es disparado hacia arriba en el mismo plano inclinado. Dete¡minar el ángulo que for-ma el plano con la horizontal. Resp. sen-rl,/3.
82 MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME - CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES ICAP.
3.74. Las masas mt ! mz se colocan sobre los planos inclina-dos sin rozamiento de ángulos ar y d2, respectivamen-te, y se unen por una cue¡da no extensible de masa des-
preciable la cual pasa sobre una polea liviana en A (figura
3-26). Determina¡ la aceleración de las masas.
Resp. Las aceleraciones son de magnitud igual a
7t1 Sefldl - fk2S9fl d2
mr+ m2 Fis.3-26
rozamiento entre las masas y el plano inclinado es
- pm2 COS a2
3.7lo. Hacer el p¡oblema p,
Re sp.mr + 'rnz
7111 S€Il at -
3.?4 si el coeficiente de
nl2sen d2 - ¡t?ltt COS al
3.76. P¡oba¡ que la fuerza mínima F necesaria para subir un ci-lindro de ¡adio o y peso W sob¡e un obstáculo de altura b
(figu¡a 3-27) tiene una magnitud de
wt/ u-tza - olt(¿ - b).
3.77. Explicar matemáticamente por qué un píoyectil dispara' .|_do por el cañón A en la parte superior de un precipicio de +altu¡a H puede llegar a un cañón B, localizado en el fondo,
mientras que un proyectil disparado por el cañón B, con
Ia misma velocidad de salida no podrá llegar al cañón A'
3.78. En Ia figura 3-28 la masa rn cuelga de una cuerda no extensible OA'
Mediante una cuerda horizontal AB se sostiene la masa en tal fo¡ma
que OA forme un ángulo a con la vertical. Determinar la tensión en
cada cuenda.Resp. Tensión e¡ AB : mgtana; en OA : mgseca
3.79. sobre una partícula que se mueve a lo largo del eje r actúa una fue¡-
za resistiva tal que el tiempo ü para desplazarse la partícula una dis-
tancia ¡ es t : Ax2 I Br I C donde A, B, C sonconstantes' Pro-
bar que la magnitud de la fuerza resistiva es proporcional a Ia rapidez
instantánea al cubo.
3.8O. Un proyectil se lanza desde A hasta B (los cuales son, Fes-
pectivamente, Ias bases de dos planos inclinados un ángu'
lo a y p como se muestra en Ia figura 3-n) y justamen-
te alcanza a pasar por el extrerno de una asta de altu¡a H'Si la distancia ent¡e A y B es D, determinar el ángulo que
debe forma¡ el proyectil con la ho¡izontal, al ser lanzado'
3,8f , Una partícula de masa m se mueve sob¡e un plano inclina-do sin ¡ozamiento, que forma un ángulo c y tiene una
longitud J. Si la partícula parte del reposo en la parte su-
perior del plano inclinado, ¿cuál será su rapidez en la par- Ate inferior del plano suponiendo que la ¡esistencia del
aire es ru, donde u es Ia rapidez instantánea y ( es cons-
tante?
Fig.3-27
Fig.3-29
g.g2. Suponer que en el problema 3.23 Ia partícula P tiene una rapidez inicial us en Ia parte superior del círculo
(o esfera). (o) probar que si u¡ S \/Vl el ángulo r1ra¡a que la particula se separc del circulo se da por
sen-t (fi + o|llgb). (ó) Discutir que pasa si ue ) Vgb.
g,gg. Un cañón está situado en la parte superior de un risco con vista al mar, de altu¡a Il sobre el nivel del mar'
¿Cuál debe ser la meno¡ velocidad de salida del cañón para disparar un proyectil y pegar a un barto que
está a una distancia D del pie del risco?
g.g4. En el problema 3.83: (o) i,cuánto tiempo gasta el proyectil antes de pegar al barco?, y (b) ¿cu¡í'l es la veloci-
dad del proyectil al golpear el barco?
cAP. 3l
3.E5.
3.E7. un peso I7, cuelga de un lado de una polea fija de masa despreciable(figura 3-31). Un hombre de peso IV2 asciende por sí mismo de mane_¡a que su aceleración relativa a la polea ñja es a. probar que el peso W,se mueve hacia ar¡iba con una aceleración dada por
Íc(Wz-W) - W2a)/W1
Dos micos de igualcuerda que pasa poco comienza a treptras que el otro perel movimiento del segundo mico.Xesp. El segundo mico se mueve hacia arriba a ¡azón de 1 pie,/seg
3.9f. Dada la línea AB de la figura 3-32 y el punto p, dondeAB y P están en el mismo plano vertical. Hallar unpunto Q sobre AB tal que una partícula que parta del
3.92.
3.93.
3.94.
3.95.
MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES 83
Una cadena uniforme de longitud total a tiene una posi-ción 0< ó < a yestápendiendoporetextremodeuna mesa sin rozamiento AB (figura B-30). probar quesi la cadena parte del rcposo, el tiempo que gasta paradesliza¡se totalmente sobrB la mesa es
3.E6.
,/"tg l" (a + t/az - V)tt
Si la mesa del problema 3.85 tiene un coeficiente de rozamiento p probar que el tiempo gastado es
a " f" + /', -lt(l+ /,) - ,/,f l!A+rf ''16¡
3.88.
3.89.
wt
Fig.8-31
.P
Probar que la partícula del problema 3.23 llegará a una distancia dada por (4!ffi'+ ¡^9:y'-;)b/EL dela base de la esfera.
3'90. Probar que si el rozamiento es desprrciable, el tiempo que tanda una partícula para deslizarse cualquiercuerda de un círculo vertical, partiendo del reposo, en la parte superior del cfirulo es el rnismo que si notuviéramos en cuenta la cue¡da.
punto P llegue a Q en el menor tiempo posible.(Sugerencia. Use al problema 8.90.)
Resolver el problema 3.91 si la línea AB se remplaza poruna curva plana. ¿Puede hace¡se esto para una curva Aen el espacio? Explicar.
Hallar el trabajo realizado al mover la masa desde la parte superior del plano hasta su parte inferior en elproblema 3.18. 8esp. mgl(sen a - ¡ cos c)
La fuerza magnética, que obra sobre una partícula que tiene carga eléctrica g y que se mueve en un cam-po magnético de intensidad B, es F : q(v x B) donde v es la velocidad instantánea. Probar que si lapartícula tiene una rapidez inicial u6 en un plano perpendicular al campo magnético B de intensidadconstante y uniforme, entonces: (o) se moverá con rapidez constante uo, y (ó) describirá una trayecto-ria circula¡ de ¡adio mus/qB. Suponer que la fuerza gravitacional es despreciable.
Probar qtrc el período, esto es, el tiempo para una revolución completa, de la partícula del problema B.9r4es independiente de la rapidez de la partícula y hallar su valor.. Resp.2tm,/qB
Hacer el problema 3.94 si B es constante y uniforme pero Ia partícula tiene una rapidez uo en un planoque no necesariamente es perpendicular al campo magnético. ¿Podemos defini¡ en est€ caso un período?Explicar.
B
e
Fig.3-32
3.96.
84 MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES [CAP. 3
3.9?. Si una partícula de carga eléct¡ica g y masa rn se mueve con una velocidad v en un campo electromagné-tico que tiene una intensidad eléct¡ica E e intensidad magnética B, la fue¡za que actúa sobre ella, llama-da fuerza de Lorentz, se da por
F = g(E*vxB)
Suponer que B y E son constantes y están en la dirección negativa del eje y y positiva del eje z, respectiva-mente. Probar que si la partícula parte del reposo en el origen, describirá una cicloide en el plano yz cuyaecuación es
a = bte -send), z = b(I -cosa)donde ú : qBt/m, b : mE/qB2 y ú es el tiempo.
3.98. (o) Un astronauta de 80 kg de peso en la Tierra despega verticalmente en una nave espacial y alcanza una
rapidez de 2000 km,/h en 2 minutos. Suponiendo que la aceleración es constante, ¿cuál es su peso aparen-
te durante este tiempo? (b) Hacer la parte (o) si el astronauta tiene 180 libras de peso en la Tierra y Ianave espacial alcanza una rapidez de 1280 mi,/h en 2 minutos.Resp. (a) 11? kg de peso, (b) 268 libras peso
3.99. En el problema 3.82, ¿cuán lejos de la base de la esfe¡a caerá la partícula?
3. f OO. En la figura 3-33 el peso W¡ está sobre el peso lV2 , el cual está colocado sobre un plano horizontal' El coe-
ficiente de rozamiento entre Wt ! Wz es tr, y entre IV2 y el plano es ¡r. Suponer que se aplica so-
bre W, una fuerza F inclinada un ángulo c con la horizontal. Probar que si cota 2 ,¡r ) ,¡2, entonces
una condición necesaria y suficiente para que W2 se mueva con relación al plano mientras que W¡ no
se mueva con respecto a W2 es
p2(W1* W2)) <F= PtW tCOS a - /r2 sen a cosa - P¡ sena
Fig.3-33
3.fOl. Discuti¡ los resultados en el problema 3.100 si alguna de las condiciones no se satisface.
3.1O2. Dar una generalización del problema 3.100'
3,103. Describir el movimiento de la partícula del problema 3.9? si E y B son constantes y tienen la misma di'recci ón.
3.fO4. Una cuenta de masa m está localizada sobre un alambre de for-ma parabólica, como se indica en la figura 3-34, y cuya ecuaciónes cz : ¡2. Si el coeficiente de rozamiento es p, determinarla máxima distancia al eje r pa¡a que la partícula esté en equi-lib¡io. Resp. i *2 c
3.1O5. Hacer el problema 3.104 si la forma parabólica se remplaza por
una circunferencia de radio b, la cual es tangente al eje r. Fig.3-31
g.106. Un peso W se suspende de 3 cuerdas iguales de longitud J, las cuales se fijan a los 3 vértices de un triángulo
equilátero horizontal de lado s. Hallar la tensión en las cuerdas.
R"'p. WIltf6l2 - 3s2
B,lO7. Hace¡ el problema 3.106 si hay n cuerdas iguales fijas a los n vértices de un polígono regular de n lados'
cAP. 3l MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME - CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES 85
3.f08. Una cuerda pasa sobre la polea fija A de la figura 3-SS. De uno delos extr€moe de la cue¡da se cuelga una masa Mr. Del ot¡o extre_mo se cuelga otra polea de masa M, sobre la cual paaa otra cuer_da con masas ¡nl y no, sujetas a sus ext¡emos. Demostrar quela aceleración de la masa m1 se da por
SmzMz - mrMt - ¡ntMz - mzJltlt - 4mtm2 _(m1@s
3.f0g. Un automóvil de peso Wcon un motor que tiene potencia instantá_nea constante do un ángulo c. Supo-niendo que la unidad de peso son r,probar que la mantener subiendo el
Plano inclina¿o ". -- ?-.77(f + send) Fig. 3-36
3'rlo' Un automóvil de peso W sube por un plano inclingdo un ángulo o, impulsado por un motor que tiene unapotencia instantánea constante ?. Suponiendo que la resistencia al movimienio por unidad de peso es ru,donde u es la rapidez instantánea y r una constante, prcba¡ que la máxima rapidez posible sobre el planoinclinado es g@]ffiq - W aena)l\rW.
3'lll. Unacadenacuelgasobreunapolealiviana,conunalongitudadeunladoybdelotro,donde 0 1 b I a.Probar que el tiempo necesario para que la cadena se desiice totalmente sob¡e la polea es
3'l12' Probar que una cuenta P colocada en cualquier punto de un alambre sin rozamiento (figura 8-86) que tienela forma de una cicloide
r = b(0 *senA), y = b(]--cos¿)
sobrc un plano vertical llegará al punto más bajo en un tiempo que es independiente del punto de partiday determinarlo. Resp. *ffg
Fig.3-36
Oscilodor ormónico simple y péndulo simple
OSCILADOR ARMONICO SIMPLE
Uno de los extremos de un resorte de masadespreciable y longitud natural I se fija al pun-
to E, como se indica en la figura 4-1(a). En elotro extremo del resorte se acopla una masa Em que descansa sobre una superficie horizon-tal sin rozamiento, indicada en la figura por eleje r.
Si nr se desplaza a lo largo del eje ¡ (figu-
ra 4-1(b) y se suelta, oscilará o vibrará alrede-dor de la posición de equilibrio O.
Para determinar la ecuación de movimien-to, nótese que en el tiempo en que el resortetiene longitud I * ¡ (figura 4-1(b)) hav una E
fuerza que trata de llevar a tn a la posición de
equilibrio. De acuerdo con la ley de Hooke, es-
ta fuerza, llamada fuerza restauradora, es pro-porcional a la deformación r y está dada por
Copítulo 4
(D)
Fig.4-l
Fn = -^ci (r)
donde el subíndice R indica "fuerza restauradora", r es una constante de proporcionalidad
llamada constante del resorte, constante elóstica, factor de rigidez o módulo de elasticidad
e i es un vector unitario en la dirección positiva de ¡. De acuerdo con la segunda ley de New-
ton. tenemos
o rn:;*xíÍ = O
Este sistema en vibración se llama oscilador armónico simple u oscilad'or annónico lineaL
Este tipo de movimiento se llama mouimiento arrnónico simple.
(21
AMPLITUD, PERIODO Y FRECUENCIADEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Si resolvemos la ecuación diferencial (2) con las condiciones iniciales x : A y
enf:0,encontramosr = Acosrt donde , - l/*/m
(Para el caso en elcual A : 20, m : 2 y K : 8, véase elproblema 4.1.)
Yaque cosúrü varía entre -1y *1, la masa oscilaráentre ¡ : - A y x : A.
n 4-2 se muestra una gráfica de r en función de ú'
dx/dt : o,
(3)
En la figu-
86
cAP. 4l OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE
Fig.4-2
La amplitud del movimiento es la distancia A que es la máxima al punto de equilibrio.El período del movimiento es el tiempo necesario para efectuar una oscilación o vibra-
ción (algunas veces se le da el nombre de un ciclo) o sea el tiempo en ir desde x : A hastax - -A y regresar nuevamente a x -- A. Si pdenota el peúodo, entonces
P : Ztl, = Zr\htl/. (4)
La frecuencio del movimiento, se denota por f , es e-l número de oscilaciones o ciclos com-pletos por unidad de tiempo
87
TA
1
.1,¿117J- = P = ú = ,;rrl * (5)
\frln (6)
verá en el problema 4.2, la
En el caso general, la solución de (2) es
n = A cosrú f Bsen,,rü donde ú) :donde A y B se determinan de las condiciones iniciales. como seecuación (6) puede escribirse en la forma
y donde
r =, C cos(.ú-p)
C = {F¡@donde , -- \/*hn
y + = tan -t (B/A)
(7)
(8)
La amplitud en este caso es C en tanto que el peíodo y la frecuencia son los mismos que en lasecu¿ciones @) y (5); por consiguiente, no son afectados por un cambio de las condiciones ini-ciales' El ángulo ó se llama ánguro de fase o fase, escofiendo 0 < d < ¡-. si d : 0, (z) seconvierte en (3).
ENERGIA DE UN OSCILADOR ARMONICO SIMPLESi ?eslaenergíacinética, Vlaenergíapotencial y E: T + V laenergíatotaldelosci-
lador armónico simple, tenemos
(e)
(101v
Véase el problema 4.1?.
T-$moz, V-4*rzE - f,maz*l¡xn2
OSCILADOR ARMONICO AMORTIGUADOEn la práctica, varias fuerzas pueden actua¡ sobre un oscilador armónico, las cuales tien-
den a reducir la magnitud de las oscilaciones sucesivas alrededor de la posición de equilibrio.A estas fuerzas se les da el nombre d,e fuerzas amortiguadoras. Una fuerza amortiguadoraútil es aquella que es proporcionar a la verocidad y esrááad; por
FD = - Bv = -Faí = -B#, (111
88 OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE lcAP. 4
donde el subíndice D indica "fuerza amortiguadora" y 0 es una constante positiva llamada
coeficiente de amortiguamíento. Nótese que F¿ y v tienen direcciones opuestas.
Si además de la fuerza restauradora tenemos en cuenta la fuerza amortiguadora (ll), laecuación de movimiento del oscilador armónico, la llamaremos ahora ecuación del oscilador
amortiguado, y está dada Por
d,2x ^d* dzr ^dn ^*# = -.*-|ffi o 1nffi+Fffi+* = o {12)
la cual se obtiene aplicando la segunda ley de Newton. Dividiendo por m y llamando
B/m = 27, xfrn = ,2 (I3)
puede escribirse 'i+zy&*,2n = o Q4)
donde los puntos indican, como es corriente, la derivada con respecto a ü.
MOVIMIENTO SOBREAMORTIGUADO, CRITICAMENTE AMORTIGUADO Y
BAJOAMORTIGUADOEn la solución de la ecuaciín Qa) se obtienen tres casos
Caso 7, Movimiento sobreamortiguado, 12 ) ",
i'e' Ft ) xrrl
En este caso (I4) tiene la solución general
a - ¿-tt(Aeo¿ + Be-"t\ donde a -- Vq--l;y Ay B son constantes arbitrarias que se determinan con las condiciones iniciales.
Caso 2, Movimiento críticamente amortiguado, y2 : '2, i'e' Ét : 4xm
En este caso (/4) tiene Ia solución general
, _ ,_tt(A -l Bt\
A y B se determinan de las condiciones iniciales.
caso 3, Movimiento oscilatorio amortiguado o bajoamortiguado,
y2 1,u2, i.e' ll' 14ltm
u5)
(/6)
En este caso (14) tiene la solución general
* - "-tt(Asen,\,ú * B coslú)
- Ce-tt cos(,r,ú-4) donrle ¡ = 1/P1 Q7)
y donde c : vF-T-$, llamada amplitud Y Ó, el ángulo de f ase, se determi-
nan de las condiciones iniciales.
En los casos 1 y 2 el amortiguamiento es
tan grande que no hay oscilación y la masa /nregresa simplemente a la posición de equilibrio¡ : 0. En la figura 4-3 se ilustra lo anteriorsuponiendo las condiciones iniciales ¡ xe
y dx/dt : O. Nótese que en el caso crítica-mente amortiguado la masa rn regresa a laposición de equilibrio más rápidamente que
en el caso sobreamorüiguado.
En el caso 3, el amortiguamiento se reduce
a tal grado que hay oscilaciones alrededor del
Molimientocriticamente amtrrtiguado. 7'= o¡
Movimiento
Movimiento bajoamortiguado,
Fig.4-3
cAP. 4l OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE
punto de equilibrio, aunque la magnitud de esas oscilaciones decrece con el tiempo, como semuestra en la figura 4-3. La diferencia de tiempo entre dos máximos (o mínimos) sucesivosen el movimiento bajoamortiguado (u oscilatorio amortiguado) de la figura 4-3 se llama pe-ríodo del movimiento y está dado por
89
P=2-'¡=L=n {r'-'r'(18)
Q0)
(21)
y la fuerza amortiguadora
(22)
(23)
(%)
y la frecuencia, que es el inverso del peúodo, está.dada por
\MP (1el4tlT¿
Obsérvese que si A : 0, (IS) y (I9) se reducen a (4) y (5), respectivamente. El período y lafrecuencia correspondientes a p : O se llaman período natural y frecuencia natural, respec-tivamente.
El período P dado por la ecuación (I8) es también igual a la diferencia entre dos valoressucesivosdeüparaloscuales cos(trt - ó):1 (ocos(It -ó) - -1)comoseindicaenlaecuación (17). Supongamos que los valores de r correspondientes a los valores sucesivos ún
V t¡+t : t" i P son xn V frr+1 respectivamente. Entonces,
f=i = +=q==
La cantidad
o
donde
La
ünffin+t - A-rt"/e-tQ^+P) - evP
8 = ln (r"/rn+r) = yP
la cual es constante y recibe el nombre de decrecitniento logarítmico.
OSCILACIONES FORZADASSupongamos que además de la fuerza restauradora - r¡i
-Éui aplicamos a la masa rn una fuerza F(¿)i donde
F(t) = f'o cos aú
La ecuación diferencial del movimiento es
*# = -xn-p#*Focosaüt + zyi * ,zr = .fo cos oú
0<6Szr
I = F/2m, .2 = ¡alTL, f o= Fo/m (%)
solución general de Qa) se determina sumando la solución general de
'i+Zyi*,2ü = O (26)
(la cual ya se ha determinado y está dada por (15), (16) o (17)) a cualquier solución particu-Iar de (24). una solución particular de ee está dada por (véase el problema 4.1g)
x = J--cos(af-ó){("'- r2)2 + 4y2o2
donde tan4 = hComo hemos visto, la solución general d,e (26) tiende a cero en un tiempo corto, por lo
cual llamamos a esta solución, solución transitoria. Después de que ha trascurrido este tiem-po, el movimiento de la masa m estádado esencialmente por (27),la cual se llama soluciónde estado estable. Las oscilaciones, llamadas oscilacíones forzadas, ocurren con una fre-
(27)
(28)
90
cuencia igual a laa la fuerza.
OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE tcAP.4
frecuencia de la fuerza aplicada pero atrasadas un ángulo d con respecto
RESONANCIALa amplitud de las oscilaciones de estado estable (27) es
er4 = Qg)l/@'-.2)2 * 4y2a2
suponiendo .y I 0, i.e. 0.1 0 para que haya amorbiguamiento. El máximo valor deczltiene lugar en este caso cuando la frecuencia o/2n de la fuerza aplicada es tal que
o2 = o'*= 12-2.12
suponiendo que 72 < i.' (véase el problema 4.19). En Ia proximidad de esta frecuencia pue-den producirse oscilaciones de gran amplitud, las cuales en ciertos casos causan daños al siste-ma. El fenómeno se llama resonancia y Ia frecuencia an/2n se llama frecuencíaderesonan-cia o frecuencia resonante.
El valor de la máxima amplitud para la
@0)
cA^* =
frecuencia resonante es
t,0
^ t'-6'-----=ZyVo' - .l'
La amplitud (29) puede escribirse en
e/4 =
términos de a¡ como
Í,
(31)
{32)
Del último término de (33) vemos que las oscilaciones van creciendo con el tiempo hasta quefinalmente se rompe el resorte. (Véase el problema 4.20.)
Frecuencia de resonancia
Frecuencia con amortiguamiento
Frecuencia natural(s¡n amortiguamientol
t = Acos.ú*Bseno,ú +f{""n,t (33)
@2-f2 a2
a2P = tz-2''z
PENDU LO SIMPLEEl péndulo simple consiste en una masa m (figura
cuerda o varilla de masa despreciable, de longitud I (la4-5) suspendida del extremo de una
cual permanece siempre tensa, es de-
Una gráfica de eA en función de o2 se muestra en la figura 4-4. Nótese que la gráfica es si-métrica con respecto a la frecuencia resonante y que la frecuencia resonante, la frecuencia conamortiguamiento y la frecuencia natural (sin amortiguamiento) son diferentes. En el caso de
no haber amortiguamiento, esto es, T : 0 o I : 0, todas las frecuencias son iguales. Enesta forma la resonancia ocurre cuando la frecuencia de la fuerza aplicada es igual a la fre-cuencia natural de oscilación. La solución general es entonces
Fig.4-4
cAP. 4l OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE
cir, rígida). Si la masa rn, llamada algunas vecespéndulo, se desplaza y luego se suelta, resul-tará un movimiento oscilatorio.
Llamando d el ángulo instantáneo que forma la cuerda con la vertical, la ecuación di-ferencial de movimiento es (véase el problema 4.28)
d2e oW = -isená @)
la cual supone que no hay fuerzas amortiguadas o fuerzas externas.Para ángulos pequeños (por ejemplo menores de 5" con la vertical), sen d es aproxima-
damente igual a d, donde d está en radianes; la ecuación (J4), con un-alto grado de apro-ximación, se puede escribir como
d20 gnw -7v
Esta ecuación tiene la solución general
o - Acoslsnt * Bsent6|ltdonde A y B se determinan de las condiciones iniciales. por ejemplo, si d :ü : 0, tenemos
0 = 0o cos t6/I t
(35)
(36)
0o,á:0en(37)
En este caso, el movimiento del péndulo es un movimiento armónico simple. El período estádado por
P = 2n\/TIiy la frecuencia por
f = "l
= {nn (se)
Si los ángulos no son pequeños, podemos demostrar (véanse los problemas 4.29 y a.Bg) que elperíodo es igual a
p = nrFoÍ,",,#ITr /r\= ,"1*{r . (})'r,*(#+)'r,.*(#:+)'*.* ...} @0)
donde á : sen (0o/2). Para ángulos pequeños, esta ecuación se ¡educe a (3g).
Para el caso en que se tengan en cuenta fuerzas externas y de amortiguamiento, véanselos problemas 4.25 y 4.114.
OSCILADOR ARMONICO EN DOS Y TRES DIMENSIONESSupongamos que una partícula de masa m se mue_
ve en el plano ry bajo la influencia de un campo defuerza F que está dado por
F = -xrÍi - *rUi @I)donde Kt y xz son constantes positivas.
En este caso las ecuaciones de movimiento de rnestán dadas por
... d2t d2uftlp = -xrür mfip = -^zU (42)
y sus soluciones por
fr = ArcosliJrn t + Brsent/iJm t, U : Azcos 1/^"/m t + B2sent/*r/m t @J)donde Ar, Br, Az, Bz son constantes que se determinan de las condiciones iniciales. La ma-sa m sometida al campo de fuerza @1) a menudo se llama oscilad,or armónico bidimensional.
Fig.4-6
92 OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE [cAP. 4
Las diferentes curvas que describe m en su movimiento se llaman curuas o figuras de l,is-sajous.
Estas ideas se pueden extender fácilmente a un oscilador armónico tridimensional de
masa m sometido a un campo de fuerza dado por
F = -xrfi-*rUi-xrzkdonde Kr, x2, K3 son constantes positivas.
(44)
Problemas resueltos
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE YOSCILADOR ARMONICO SIMPLD4.1. Una partícula P de 2 unidades de masa se mueve a lo largo del eje ¡ atraída hacia el
origen O por una fuerza cuya magnitud es 8¡ (figura 4-?). Si inicialmente se encuen-
tra en reposo eu r : 20, determinar: (a) la ecuación diferencial y las condicionesiniciales que describen el movimiento, (b) laposición de la partícula en cualquier instante,(c) la rapidez y velocidad de la partícula encualquier instante, y (d) la amplitud, el pe-
ríodo y la frecuencia de la oscilación.
(a) Sea r : ¡i el vector de posición de P. La aceleración*2 l|2¿
de P es futril = ffii. La fuerza neta que actúa
sobre P es -8¡i. Por la segunda ley de Newton,
-8rt
zffii = -ari o ffi*n =o (r)
(b) La solución general de (l) es
Cuando ü:0, ¡:20 asíque
n--20i dr/d't=0 en ú=0
r -- Acos2t*B*¡2tA - 20. Por tanto
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(c )
(d)
I
I
Fig.l-7
la cual es la ecuación de movimiento. Las condiciones iniciales son
r = 20 cos2t * B sen 2ú
Entonces d.r/d.t = -40 sen 2t 4 28 cos?t
como en t : 0, dx/dt : 0 encont¡amos que I : 0' Entonces (3) se convierte en
r = 20 cos2t
que da Ia posición en cualquier tiempo.
De (6\ dr/dt : - 40 sen 2t que es la rapidez en cualquier tiempo. La velocidad será
ils.fr1 = -40 sen 2ú i
Amplitud: 20. Peíodo :2r/2: r. Frecuencia: /peiodo: L/*.
(o) Demostrar que la función A cos <.¡ü * B sen <^rú puede escribirse como C cos (<oú - @),
donde C: {F-+-P y ó : tan-r (B/A). (b) Determinarla amplitud, elperíodoy la frecuencia de la función en (o).
4.2.
cAP. 4l OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE
(a) A cosr¡ú * Bseno¡ú = ,/F¡W(-J- cosoú * -J- se.rü\\vá2 + 82 {A2 + 82 l
= {FBkosp cosort *sen f senr.rú)
= lF+E¡ cos (<,rú - p) = C cos (<oú - p)
donde cosa: A/\6T8, ysenó - B/\/TF-1fi2, i.e. tanó: B/A o O: tan-tB/A.y C: VTT-E Generalmentesetomaaóentrc0.y1g0",estoes,es { s r.
(b) Amplitud : máximo valor: c : \/Fry-Er. período :2r/o. Frecuencia : ,/2r.
Hacer el problema 4.1 si P está inicialmente en r : 20, pero en movimiento: (a) ha-cia la derecha con rapidez de 30, (b) hacia la izquierda cón rapidez de 30. Determinarla amplitud, el período y la frecuencia en cada caso.(c) La única diferencia es que la condición dx/dt - 0 en ú : 0 del problema 4.1 se remplaza por
dx/dt : 30 en t : 0. De la ecuación (5) del p¡oblema 4.1, hallamos B : lb; por tanto, la ecua_ción (3) del problema 4.1 se convierte en
ü = 20 cos2t * 15 sen2ú u)que da la posición de P en cualquier tiempo. También puede escribirse (véase el problema 4.2) como
t = \reO4llBt {-#cos2t i + *nzr}LV(zo)' + (16)2 1/1zs¡z + (16\2 )
= 26{$ cos 2t + g sen 2ú} = 26 cos (2t - q)
donde cosp = $, senÉ = t tZl
El ángulo @ puede determina¡se de la ecuación (2). Este ángulo se llama óngulo de fase.Ya que el coseno vaía entre - 1 y * 1, la amplitud : 25. El período y la frecuencia tienen los
mismos valores anteriores, período : 2r/2: , y f¡€cuencia?./2¡ : i-/r,
(b) En este caso, la condición dr/dt :0 en ú : 0 del problema 4.1 se remplazapor dx/dt: -80 enf : 0. Entonces B : - lb y la posición será
t = 2O cos2t - 15 sen2úla cual, como en la parte (¿), puede escribirse como
r = 2b(f cos 2t - ! sen2tl
= 25{cos,y' cos 2ú a ss¡ g een2t) = 25 cos (2t - ,¡,)
donde cos/ = f, sen 4 = -*.La amplitud, el período y la frccuencia tienen los mismos valores que en la parte (a). La única di-
ferencia está en el ángulo de fase. La relación entrc ú y ó es ', : ó l t, lo cual se describe diciendoque los dos movimientos están desfasados lg0' entre sí.
Un resorte de masa despreciable al suspenderse verticalmente de uno de sus extremosse alarga una longitud de 20 cm cuando una masa de 5 g se suspende de su extremolibre. El resorte y la masa se colocan sobre una mesa horizontal sin rozamiento, comoen la figura 4'7(a), con el extremo de suspensión fijo ahora al punto E. La masa se des-plaza una distancia de 20 cm con respecto al punto de equilibrio O y se suelta. Deter-minar: (o) la ecuación diferencial y las condiciones iniciales que describen el movi-miento, (ó) la posición en el tiempo ü, y (c) la amplitud, el peíodo y la frecuencia dela oscilación.
(o) La fuerza gravitacional sobre una masa de 5 g (peso de 5 g masa) es bg : 5(9g0) dinas : 4900 dinas.Lae 4900 dinas alargan el resorte 20 cm; por tanto, la constante del resorte es ¡ : 4nO/20 : 245dinas,/cm. Ahora, cuando el resorte se alarga 20 cm más allá de su posición de equilibrio, Ia fuerzarestau¡adoraes-245¡i.PorlasegundaleydeNewton,si r: ¡i eselvectordeposicióndelamasa,
93
4.3,
4.4.
94 OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE
6W = -245üi . ffi+ 4er = o
Las condiciones iniciales son r = 20, d.r/dt : 0 en t = 0
lcAP. 4
(r)
(2)
(3)
4.6.
(ó) La solución general de (I) es r = A cos?t * B senTü
Usandolacondición (2), encont¡anos A : fr, B : 0 asíque x : 20 cosTt
(c) De ¡ : 20cos ?ú vemosque: amplitud : 20cm; período : 2r/7 seg; frecuencia:7/2* viblseg o
1/2* ciclos/seg.
Una partícula de masa rn se mueve a lo largo del eje r, atraída hacia un punto fijo O
por una fuerza que actúa sobre ella, la cual es propo¡cional a la distancia a O. Inicial-mente la partícula está a una distancia re de O y se le imprime una velocidad u6
dirigida hacia O. Determinar: (a) la posición en cualquier tiempo, (b) la velocidaden cualquier tiempo, y (c) la amplitud, el peúodo, la frecuencia y la máxima rapidez.
(c) La fuerza de atracción hacia O es - ¡¡i donde r ee unaconstante positiva de proporcionalidad. Por la segundaley de Newton,
üx' -¡cri o ?i+g=o (t)m¿Pr = rL
Resolviendo (1 ), encontramos
tr, = Acos{-*/rnt*8snlxlmt (2)
También tenemos las condiciones iniciales
,=ro, dr/d.t=ao en t=0 (3)
De ¡ : ,o €n ú : 0 determinamos, usando (2), que A: xo. Entonces
tr = *o"o"fiiñt * Bsenr/¿*t
así que ilrldt = -ro ,,/ */m *n t/ .l^ t + B \Ftm cos \/ */rn t
De dr/dt: uo €n ú : 0 determinamos, usando (5), que B : uolm/x. Así (4) se convierte en
tr = ,o "os
t/*/* t + ,tot/n¿/* ""nr/*/*t
(6)
De acuerdo con el problema 4.2 podemos escribir
tr = \4T ^W cos (tf *lñ.t - ol
e = tan-r (ao/ro\ l/trilxdonde
(4)
(5)
(7)
(8)
(b) Usando (61 o (7), la velocidad se¡ó
v = frt = (-rot/ */m nntf */* t * tt¡ "o,
,f-*/*'t) i
-\l;n{4T *rT sen(\/-*lmt - ol i
= gen({-*lmt - Ol i
De (7), la amplitud "" ,@+ ^ozoh'
De (7), el período es P : 2*Fr/m. La frecr¡encia es / : l/P : z¡ffi'
De (9), la rapidez es máxima cuando sen 1ffi t - ü : + 1; la rapidez "" {l-o'¡ *r3/*.
Un objeto de 20 kg de masa se mueve con movimiento armónico simple sobre el eje x.Inicialmente (¿ : 0) está localizado a una distancia de 4 metros del origen' ¡ : 0 ytiene una velocidad de 15 m/seg y una aceleración de 100 m/seg2 dirigida hacia
(e)
(c)
4.6.
Fig.4-8
cAP. 4l OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE
5 = 4, de/d,t - -16, d2r/d,t2 = -100 en ú = 0
Para el movimiento armónico simple,ü = Acosoú * Bsenoú
Dife¡enciar¡do, encontramos d,r/dt = -áosen oú * Bo cosoú
dze/¡lt2 = -.4o2 cog o:t - BoP senot
Usardo las condiciones (I) en (2), (3) V (4), encontramos 4 : A, - l5 : Bo, - l1¡g :viendo simultáneamente, determinamos A: 4, o : 5, B: -g asíque
I = 4cos5ü - Ssen 6úque puede escribi¡se
95
r : 0. Determinar: (a) la posición en cualquier tiempo, (ó) la amplitud, el peíodoy la frecuencia de la oscilación, y (c) la fuerza sobre el objeto cuand; t : ohó seg.(a) Si ¡ denota la posición del objeto en el tiempo ü, entonces las condiciones iniciales son
u)
(2)
(3)
(l)
-4o2. Resol-
(5)
(6)r = 6 cos(6ü-g) donde cosp = *, r"o É = -g(b) De (6) vemos que: amplitud : 5 m, peiodo : 2r/5 seg, frecuencia : 5/2r vib,/seg.
(c) Magnituddelaaceleración=d2r/dtz =-100co¡6ü*?6eer¡6ú =75mlsegz en t=¡110.Fuerza sobre el objeto : (masa)(aceleración) : (20 kg)(?S m/seg2) : lb00 newtons.
4.7. Un objeto de 20 libras de peso se suspende del ex-trcmo libre de un resorte vertical de masa despre_ciable y lo alarga 6 pulgadas. (o) Determinar laposición del objeto en cualquier tiempo si inicial-mente se prduce un alargamiento de 2 pulgadasy se suelta. (b) Determinar la amplitud, el perío-do y la frecuencia del movimiento.(¿) D y E (figura 4-9) reprcsentan la posición del ert¡emo li-
bre del resorte antes y después de suspender el objeto. Laposición E es la posición de equilibrio del objeto.
Escojamos un sistema coordenado, como el que seindica en la figura 4-9, tal que el eje positivo z esté dirigi-do hacia abajo y tenga su origen en la posición de equi_librio.
Por la ley de Hooke, si 20 libras fuerza alargan el re-sorte I pie, entonces para alargar I pie se requieren 40 li-bras fuerza; por tanto, 40(0,5 + z) libras-peso producenun alargamiento de (0,5 * e). De lo anterior concluimosque cuando el objeto está en F, actuará sobre él una fuer-za de magnitud 4()(0,5 * e) hacia arriba y una fuerza demagnitud 20 hacia abajo debida a su peso. Aplicando lasegunda ley de Newton obtenemos
Hf:*. = zok - 4o(0,5 * z)k " #* 642 =.0Resolviendo, z =,4cos8ú*BsengúEn ¿ : 0, "
:* y dz,/dt: 0; entonce. A : t, g: 0 y
(ó) De (2): amplitud : tpi", período : r,)r: "j;""tr¡ecuencia : 4h vib/ses.
Resolver el problema 4.7 si inicialmente el objeto se desplaza hacia abajo B pul (enlugar de 2) y luego se le da una velocidad inicial d.e 2 plseg hacia abajá.
D----
E ----
r--F'----l
L--
J-
-lF
J
Fig.l-9
(r)
(21
4.8.
96 OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO STMPLE [cAP. 4
En egte caso la solución (I) del problema 4.? aún es válida pero las condicionee iniciales son: en ü : 0,
z: I y dz/dt - 2. Dedondeencontramosque A: I y B- l, demodoque
. = 1} cos 8ú * | sen 8ü = {214 "o"
(8t - ¡l4l
Así, la amplitvd : {2/4pie, peúodo : 2¡/8 - */4 geg, fiecuencia : 4/¡ vib/¿eg. Nótese que el peúodo
y la frecuencis no se afectan con el cambio de condicione¡ iniciales.
4.9. Una partícula se mueve con una frecuencia angular uniforme <,r alrededor d'e un círcu-
lo de radio b. Demostrar que su proyección sobre un diámetro oscila con movimientoarmónico simple de período 2r/,'t abededor del centro.
Eacojamos el círcr¡lo en el plano ¡y con su cent¡o en el origen como se indica en Ia figura 4'10. Sea Qla proyección de la partícula P pobre el diámet¡o AB a lo largo del eje r.
Si la partícula está inicialmente en B, en el tiempo ¿ habrárotado un Ángulo BOP : 0 - oti por tanto, en el tiempo ú la po-
sición de P se¡ár = bcosúrúi*üsenoúi (I)
La proyección Q de P sobre el eje r es una distancia
r.i = r = bcoatrt Q)
desde O en cualquier tiempo. De la ecuación (2) vemos que la pro-yección Q oscila con novimiento ar¡rónico simple de período
2¡/o al¡ededo¡ del cent¡o. Fis.4-10
OSCILADOR ARMONICO AMORTIGUADO4.1O. Supongamos que en el problema 4.1, sobre la partícula P hay también una fuerza
amortiguadora cuya magnitud es numéricamente 8 veces la rapidez instantánea.Determinar: (a) la posición, y (b) la velocidad de la partícula en cualquier tiempo.(c) Ilustrar gráfican¡ente la posición de la partícula en función del tiempo t.
(o) En este caso la fuerza neta que actúa gobre P es
(ñgura 4-11) -8ci - 8ffi. Por la segunda lev de
Newton,
,#, = -8¡i
, #+aff+u- r#,
=0La solución es (véage el problema C.14 del apéndice)
ü = a_2t(A+Bt)
Cuando t-0, r- my dx/dt:0; entoncesción en cualquier tiempo.
(b) La velocidad está dada por
ilr."=ái--$Ql¿-2ti
A : 20, B: 40, ! , : 2oe-zt (1 + 2t) da la posi-
r
(c) La gráfica de ¡ en función de t se indica en la fi-gura 4-12. Observamog que no es un movimientooscilatorio. La partícula se aproxima lentamentea O pero nunca llega. Este es un ejemplo de mo-
vimiento c íticd mente amortiguado.
4.1f . Una partícula de masa 5 g se mueve a lo largo del eje r bajo la influencia de dos fuer-zas: (i) una fuerza de atracción hacia el origen O la cual está dada en dinas y es nu-
méricamente 40 veces la distancia instantáneA a O, y (ii) una fuerza amortiguadoraproporcional a la rapidez instantánea, tal que cuando la rapidez es de 10 cm/seg lafuerza amortiguadora es de 200 dinas. Suponiendo que la partícula parte del reposo
cAP. 4l OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE
-40xi
97
a una distancia de 20 cm de O: (a) establecer la ecuación diferencial y las condicio-nes que describen el movimiento, (b) determinar la posición de la partícula en cual-quier tiempo, (c) determinar la amplitud, el período y la frecuencia de la oscilaciónamortiguada, y (d) representar gráficamente el movimiento.(a) Denotamos el vector de posición de la partícula
P por r : ¡i, como se muest¡a en la figura 4_13.La fuerza de at¡acción (dirigida hacia O) es
(r)
La magnitud de la fuerza amortiguadora / es pro_porrional a la rapidez; así que f : g dt/dt. don_de É es constante. Luego, si Í - M cuandodx,/dt:10, entonces F :20 y f : Ndx/dt.Para hallar f, nótese que cuando dx/dt > O yr ) 0, la partícula está sob¡e el eje positivo y mo-viéndose hacia la derecha. por tanto, la fuerza deresistencia debe estar dirigida hacia la izquierda. Esto sólo puede cumplirse si
f - -zoffi e)
Esfácilmost¡arquelamismaformadef esco¡r€ctasi r ) 0, dr/dt < 0, r ( 0, dt/dt> 0, ¡ < 0,dr,/dt < 0 (véase el problema 4.,15).
Por la segunda ley de Newton
u#, = -zofri- 4oni
ffi+tff+a, = o
Como la partícula parte del reposo a 20 cm de O, tendremos
r = 20, dr/dt = 0 en ú=0
(3)
(4)
(5)
donde suponemos que la partícula parte del Iado positivo del eje r (habíamos podido sr.poner que lapartícula parte del lado negativo, en este caso ¡ : - 20).
(b) x : eot es una solución de (4) si
a = +(-4tlto-S2) = -Zt}i
, - "-zt(A cos2t * B sen2tlSi ¡ : N en t : 0, encont¡amos de (6) que A : 20, i.e.,
t - e-2t(20cos2t* Bsen2ú)Diferenciando obtenemos,
dr/dt = (e-2tx-40 se¡2t * 28 cos2t) * (-2e-zt)(20 cos 2t * B aen2tl (s)
Puesto que dx/dt : 0 en ú : 0, de (g) tenemos, B : 20, Entonces (Z) se convierte en
a - 20e-2t(cos2t * sen 2ú) = 20t/2e-zt cos (2t - r/41 @)Usando el problema 4.2.
a2 I4rr*8 = 0 o
La solución general es
r20fr cn
(6)
(7)
Fig.1-r3
98 OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE lcAP. 4
(c) De (9): amplitud :2gt$"-zt cm, peúodo :2r/2: ¡ seg, frecuencia : l/r vib/seg.
(d) En la figura 4-14 se muestra la g¡áñca. Nótese que la amplitud de la oscilación decrece tendiendo ace¡o cuando t crece.
4.12. Determinar el decrecimiento logaítmico en el problema 4.11.
Método l.El máximo (c mínimo) de ¡ tiene lugar cuando dt/dt : 0. De (9), en el problema 4.11,
drldt = -80e-2t sen2ú = 0
cuando t : 0, r/2, r,3"/2,2r,5¡/2,. El máximo ocurre cuando t : 0, ¡,2¡, ; el mínimo ocurre
cuando t : r/2,3r,/2,5r/2, La ¡azón de dos máximos sucesivos ss ¿-z(oll¿-2G) s s-2(t)f¿-2(2nr,etc., i.e. e2-. Entonces el decrecimiento logarítmico es ó : ln (e2') : 2r.
Método 2.
De (9), en el problema 4.11, la diferencia entre dos valores sucesivos de ú, denotados po¡ t¡ y fn + r
para los cuales cos (2t - r/4) : 1 (ó -1) es ¡, que es el peíodo. Entonces
- 20{2 e-2'"
,*4, = lrBli; = "'" Y 3 = ln(tn/xn+t) = 2o
Método 3.
De (I3), (18) Y (21), tenemos
A = ^tP = /9\/ aTm 1- 2"9
\zrn )y,/n.'n -@ ) ,ta*, - p,
Puesto que m : 5, I : 20, r : 40 [Problema 4.11, ecuación @\1, 6 : 2r.
4.13. Determinar el período natural y Ia frecuencia de la partícula del problema 4.11.
El peúodo natural es aquel en que no hay amortiguamiento. En tal caso el movimiento está dadopor las ecuaciones (3) o (a), de las cuales se ha quitado el término dx/dt, del problema 4.11. Entonces
dzrliltz*8r=0 o tr = Acos21/-2tIBsen2l/lt
Así: peíodo natu¡al : 2r/2{Tseg: n/frseg; frecuencia natural - fr/" viblseg.
4.14. ¿Para qué intervalo de valores de la constante de amortiguamiento del problema 4.11
tendremos movimiento: (o) sobreamortiguado? (b) oscilatorio amortiguado? (c) crí-ticamente amortiguado?
Denotando la constante de amortiguamiento por É, la ecuación (3) del problema 4.11, queda como
- d2r. ^ilr . ilzx , B dx , o^- ^6 dtri = -FE'- 40fl o ü2 + E ü-r ón = u
Entonces, el movimiento es:
(o) Sobreamortiguado si (É/5)z ) 32, i.e. B > 201f2.
(b) Bajoamortiguado si (É/6)2 ( 32, i.e. B <20{r.(Nótese que este es el mismo caso del problema 4.11 donde P -- 20.)
(c) Críticamente amortiguado si (P/5)2 : 32, o sea, A : 201ft.
4.L6, Resolver el problema 4.7 teniendo en cuenta una fuerza externa de amortiguamientoÉu dada numéricamente en Iibras peso, donde u es la rapidez instantánea expresadaen pies,/seg y: (o) 0 : 8, (b) tl : 10, (c) P -- I2,5.
La ecuación de rnovimiento es
20 d2" dz dzz 89 dz , .,añ¿Fk = 20k -40(0,5+z)k- pfik o fi+ !fi+ aaz = 0
cAP. 4l OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE
(o) Si p : 8, entonces d2z/dt2 + t2,gdz/dt I Mz :0. La solución es
z - e-6,4t(A cos 4,8¿ * B sen 4,g¿)
Usandolascondiciones z: l/6, dz/dt:0 en f:0, encontramos A: L/6, B:2/g demodoque1Áz = ñe-6'1t(3 cos 4,8r * 4 sen 4,8t) = f6e-a,at cos (4,8t _ 5g"8,)
El moviniento es osóilatorio amortiguado con peíodo 2n,/4,g : 5rh2 seg.
(b) si p : r0, entonces d2z/dt2 r L6dz/dt r Mz :0. La solución es
z _ e_4t(a+Bt)Aplicando las condiciones iniciales obtenemos A = +, B = *;entonces z = f¿-at F+ 4t).
El movimiénto es críticamente amortigundo ya que cualquier decrecimiento en p producirámovimiento oscilato¡io.
(c) Si É : l2,b entonces d2z/dt2 -l Z\dz/dt * 642:0. La soluciónes
2 = l¿-4t+Be-r$tAplicandolascondicionesiniciales,obtenemos A: l/6, B: -l/zl; entonces z= f¿-at-fie-nt.
El movimiento es sob reamortiguado.
ENERGIA DE UN OSCILADOR ARMONICO SIMPLE4'16' (o) Demostrar que la fuerza F : - xri que actúa sobre un oscilador armónico simple
es conservativa. (ó) Determinar la energía potencial de un oscilador armónico simple.
ijk(o) Tenemos VXF = O/As A/Ay A/Az | = 0 de modo que F es conservativa.
-K,c 0 0
(ó) El potencial está dado por Vdonde F : _VV o
-rcxi = -(Yr+{r+*r)\d, da- dz /Entonces dv/Br=xx, ov/|y=0,|v/dz=0 delocual y:rxx2 *c. suponiendo v:0cuando ¡:0, encontramos c:0 asíque V: |rr2.
4'17' Expresar en símbolos el principio de la conservación de la energía para un osciladorarmónico simple.
Empleando el prrblema 4.16(ó), tenemos
energía cinética * energía potencial : ene¡gia total
o lmtz + t*rt = E
puesto que u : dx/dt, también puede escribirse como \m(dr/at¡z* $xrz = E.
Ot¡o método' La ecuación dife¡encial para el movimiento de un oscilador armónico simple es
tndzuldtz = -K!ÍYa que dx,/dt : u, puede escribirse como
da .. do ilr ilo^A = -*, o rn¿¿ú = -*r, i.e. mafi - -xn
Integrando, obtenemos $tnoz * \xrz = E.
99
r00 OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE lcAP. 4
OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA
4.18. Hallar la solución de estado estable (27) correspondiente a la ecuación diferencial (24).
La ecuación diferencial es
'i + zyi I o2r = /6 cosaú (I)
Considerando una solución particular de la forma
r = c1 cosaú * c2 senaú e)
donde c¡ y c2 deben determinarse. Sustituyendo (2) en (I), hallamos
(-a2c1 * 2yac2 I r,r2c1) cos aü ! (-a2c2 - 2yac1* r.r2c2) sencü = l¡ coa at
de la cual -a2c1 * 2yac2* oPcl = f¡, -a2cz- 2yac1 * o2c, = 0 (3)
o (o,2-o2)q-2.¡ac2=-fo, 2yo.q*(a2-o2'¡cr=Q V\
Resolviéndolas simultáneamente, encont¡amos
f oGz - o2l 2f o'lo4 = Éfufu' c2 = (5)
Así, (2) se convierte en
tr=(6)
Del problema 4.2,
(of - azl cos aú * 2ya senat = frr@@ cos (aü - p) (7)
donde tan 6 : 21a/(a2 - @2), 0 3 $ 3 r. De (7) en (6), encontramos
fotr' = fficos(aü-P)4.19. Demostrar que: (o) la amplitud en el problema 4.18 es un máximo cuando la fre-
cuencia aplicada es c, : \FT, y (b) el valor de esta máxima amplitud es
fo/Q^Y\/7---V,Método l.
La amplitud en el problema 4.18 es
f"h/@-cr'+ ¿tu' U)
que es un máximo cuando el denominador (o el denominador al cuad¡ado) es un mínimo. Pa¡a determi'
na¡ este mínimo, esc¡ibimos
(a2 - 62)2 * 4.¡2oz = a4 - 2(o2 -2'y2)a2 i ota
= a4 - 2(of - t72)sz + (o2 - Zyz)z I 01 - kú2 - 2yz)z
= fo,2 - (o2 - 2^/2\\2 * 4yz(oP - rz¡
eue es un mínimo cuando el primer término de la última línea se hace cero, esto es, cuando a2 : ¡'s2 - 212
y el valor es entonces 4t2(,,r2 - r2). Así, el valor máximo de la amplitud dada en (I) se obtiene para
¡o/1Z1Yr-72).
Método 2.La función (J : @2 - t2)2 * 4t2a2 tiene un mínimo o un máximo cuando
f,ff
# = rbr-6212ü*872c = 0 o a(a2-@2+2f2) - 0
i.e, a = 0t a = t/F@ donde 72 ( fo2. Ahora bien,
dzu/do2 = L2a2 - 4,,* * 8-12
For a = o, d2uldd2 = -4k;¿ - zfz) < O. Pa¡a o = 1fp-- 2y2, dztlld& = 8(úrP - 272\ > 0, En-
tonces c : \@-ry da el valor mínimo.
cAP. 4l
4.20.
OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE
(o) Obtener la solución (33), de la teoría del capítulo 4, para el caso en que no hayaamortiguamiento y la frecuencia aplicada sea igual a la frecuencia natural. (b) Daruna interpretación física.
(o) Elcasoporconsidera¡seobtienehaciendo 7:0 o g:0 y d: o enlasecuaciones(23)y (24) del capítulo 4. Entonces, debemos resolve¡ la ecuación
'ú + ,zr - /6 cos orú
Para encontrar la solución general de esta ecuación sumamos Ia solución general de
'iluzn = o
a la solución particular de (I).Ahora, la solución general de (2) es
ü = Acosroú*Bsenú,ú (J)
solución particular de (l) no sería conveniente suponer una solución particular de la
tr = c1 coS toú * c2 sen <oú (4)
porque al sustituir (¿) (quo tiene idéntica forma a (3)) en el lado izquierdo de (l), podríamog obtener ce¡o.Porconsiguiente, debemos modifica¡la fo¡ma de la soluciónparticularsupuesta (4). Como se anota en elapéndice C, la solución particular tiene la forma
r = t(ct cosoú * c2 senoü) (5)
Pa¡a verificar que corresponde a la solución particular, diferenciamos (5) para obtener
& - t(- onlsen r¡ü * o¿2 cos oú) * (cr cos oú * c2 senr,rú) (6)
'¿ - t(-uzcrcosr¿ü- o2c2senoú) * 2(- oclsenoú*oo2cosoú) (Z)
Sustituyendo (5), (6) y (7) en (l), encontramoe, después de simplificar,
- zocr sen of * 2ocz cosoú = /e cosorü
de donde cr : 0 y c2 : fo/zt. Así, la solución par-ticular requerida (5) es x : (fo/2o)t sen of. L¿ ssl¡-ción general de (I) es, por consiguiente,
r = ,4 cosr¿ * Bsen oú * (f¡/%,:)taenut (S)
(ó) Las constantes A y ¡l en (8) se determinande las condiciones iniciales. A diferencia del caso conamortiguamiento, los té¡minos en los que intervienenA y I no se hacen pequeños con el tiempo. Sin embargo,el último término que involucra ü aumenta con el tiern-po en tal magnitud que el resorte finalmente puede rom-perse. La representación gráfica del último término quese muegtra en la figura 4-15 indica la forma en la cualla oscilación aumenta en magnitud.
4.21. Un resorte vertical tiene un factor de rigidez igual a B lb-fuerza por pie. En ¿ : 0una fuerza expresada en lb-fuerza por F(ú) : 12 sen 4t, t > 0 se aplica a un cuer-po de 6 lb de fuerza en equilibrio que cuelga del extremo del resorte. bespreciando elamortiguamiento, encontrar la posición del peso para cualquier tiempo ü posterior.
Empleando el método del problema 4.7, tenemos, por la segunda ley de Newton,
##= -Bz*r2*¡4t
ffi* ,u" = 64 sen4ú
101
(/)
(2)
Para encontrar laforma
Fig.4-15
(r)
102 OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE IcAP.4
z -- 2 wnft - 8ú cos4ú (2)
Cuando t se hace mayor, el término -8t cos 4¿ aumenta numéricamente sin limitación, y fisicamente elresorte ñnalmente se romperá. El ejemplo ilust¡a el fenómeno de resonarwia. Nótese que l8 frecuencia na-
tu¡al del rcsofte (4/2r : 2/*l es igual a la frecuencia de Ia fuerza aplicada.
4.22. Desarrollar el problema 4.21 si F(t) : 30 cos 6t, ¿ > 0.
En este caso, la ecuación (1) del problema 4.21 se convierte en
Resolviendo,
Cuandot:0,2:0ydz/dt
y las condiciones iniciales son
La solución general de (I) es
z = Aeos4t*Bsen4t -8úcos4ú:0;entoncesA:0,8:2Y
üzldtz * 16z = 160 cos 5ú
z=0, dz/dt=0 en t:0
z = Acosft * Bsen4ú - 8cos6ú
(r)
(21
(3)
Usando las condiciones (2) y (3), encont¡amos A : 8, B : O y
z = 8(cos4ü-cos6ú) = 8{cos(5ú-Ú)-cos(6ú+0} = 16senüsen6ú
La gráfica de e en función de ¿ está representada por la curva continua de la figura 4-16. Las líneas a tra-zos corresponden a las curvas z : 116 sen ú obtenidas haciendo senSt : *1. Si consideramos que
16 sen ú es la amplitud de sen 5f , vemos que la amplitud varía sinusoidalmente. El fenómeno se conoce
como moduloción de la amplitud y tiene importancia práctica en comunicaciones y electrónica.
Fig.4-16
EL PENDULO SIMPLE4.23. Determinar el movimiento de un péndulo simple de longitud I y masa m consideran-
do oscilaciones pequeñas y ausencia de fuerzas de resistencia'
Conside¡emos que la posición de ¡n en cualquier tiempoestá determinada por s, longitud del arco medida desde Ia po-
sición de equilibrio O (figura 4-17). Sea 0 el ángulo formadopor el péndulo con la vertical.
Si T es el vector unitario tangente a la trayectoria circu-lar de la masa m del péndulo, entonces, de acue¡do con la se-
gunda ley de Newton,
d,ze ^^ffif = -mgseneT (l)
o,comos: J0.üe
= -9;seno \2)@¿Para pequeñas oscilaciones podemos remplazar sen d
por 0 con un buen grado de precisión, de manera que la ecua-ción (2) puede remplaza¡se por
4o**1t = o (3)
0 = co cos \/i|l t
De donde observamos que el período del péndulo es 2r{ffi.
4.24. Demostrar cómo puede obtenerse la ecuación (2) para el péndulo del problem a 4.2gusando el principio de la conservación de la energía.
Vemos,delafigura4-l?,que OA: OC _ AC: I _ lcose : \L _ cosr). Deacue¡doconelprin-cipio de la conservación de la energía (tomando el nivel de refercncia para la energía potencial el planohorizontal que pasa por el punto más bajo O) tenemosenergía potencial en I * energía cinética en B : energía total : E : constanre
CAP. 4] OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE
la cual tiene como solución
c = A eostñltt * B sentlilltTomandocomocondicionesiniciales e - 0o, d|/dt:0 en ú:0, encontramos A: 0s, B:0y
r03
mgl(l - cos a) + tm(ds/clt)2 = DComo s : ld,
mgl(l - cos a) + +rnl2(de /dt)2 : EDiferenciando ambos lados de (2) con respecto a ú, encontramos
mgl*neá+mlzií = 0 o .i+(c/lr""n, = o
de acuerdo con la ecuación (Z) del problema 4.23.
4'26' Resolver el problema 4.23 considerando que actúa una fuerza amortiguadora propor-cional a la velocidad instantánea.
En este caso, la ecuación de movimiento (i) del problema 4.28 se remplaza por
*#, = -mssenor-B#, , # = -rs€nr-{-#Usando s - ld y remplazando sen d por 0 para pequeñas oscilaciones. se obtiene
#-#,#*1, = o
Trcs casos se presentan:
Caso 1. F2/4rnz < 0,,Q = ¿-et/2m (A cosoú * I senroú) donde o = {l:/t _ pt¡4^z
Este es el caso de oscilociones amortiguadas o mouimiento de amortigwción débil.
Caso 2. F2/4m2 = gllQ = e_Bt/2n(A+Bt)
Este es el caso de mouimiento críticamente amortiguado.
Caso 3. B2/4m2 > Clt0 = e-Bt/2m(Aert¡Be-\.) donde, tr={p/nmz_¡¿
Este es el caso de mouimiento sobreamortiguado.En cada caso las constantes A y I pueden determinarse a partir de las condiciones iniciales. En elcaso t hay oscilaciones que disminuyen continuamente. En los casos 2 y B el péndulo gradualmente re-grcsa a la posición de equilibrio sin oscilar.
OSCILADOR ARMONICO EN DOS Y TRES DIMENSIONES4.26. Hallar la energía potencial para el oscilador armónico: (o) en dos dimensiones, y (ó)
en tres dimensiones.
u)
(2)
104 OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE [cAP. 4
(¿) En este caso la fuerza está dada porF = -rcpi-xzUi
puesto que V X F : O, el campo de fuerza es conservativo, Entonces eriete un potencial, es deci¡,
existe una función Vtal que F : -VV. Tenemos
F = -K/'i_ KzA! = -vv = -{l
a partir de la cual av/or = r¡r, |Vldy = xza, 0Vl0z = 0 o
V - lrP2 |t*ra'tomando igual a cero la constante arbitraria de integración, se obtiene así la energía potencial re-
querida.
(b) Enestecasotenemos F: -.r¡i - x¿li - (Bzk quetambiénesconservativapo¡que V X F: O' En-
contramos, como en la parte (a), |VlAr = xp, 0V/0U - x2A, dVl\z = xsz de la cual la energía
potencial requerida esl/ - lxpz * [¡*rU'* $xszz
4.27. Urra partícula se mueve en el plano xy en un campo de fuerza dado por F : -x¡i -xyj. Demostrar que Ia partícula se moverá generalmente en una trayectoria elíp'
tica.Si la partícula tiene masa m, su ecuación de movimiento es
¿2rm;; = F = -rri-xYi
-fft-{*
o,comor:¡i*yi,
Entonces ^ffi = -*u
(r)
(2)
*#r+*ffii = -rri-rvi&rrnAF = -Kr,
Estas ecuaciones tienen soluciones dadas respectivamente por
tr = A1 cos{ñt * A2"entflimt, u = Blcostflimt * B2sen '/-l^t (3)
supongamos que en ¿ : 0 la partícula está localizada en un punto cuyo vector de posición es r :o¡ + bj moviéndos!_gen velocidld dr/dt : uri * uzj. usando estas condiciones, encontramos At : a,
lr=1, A2=o¡flii, Bz=rz@ Y
fr = ocosoú*csenoú, A -- D cos c¡t * d sen oÚ (4)
donde c : ur{m, d : uzYffi. Despejando sen@t y cosot en (4) encontramos, si ad I bc,
cos dú =. oa-bt
, sñor=fi-fi
Elevando al cuadrado y sumando, y teniendo en cuenta que cos2ot * sen2ot: l, encontramos
(ilr-cal2 t (aa-br\z - (oil-bc)z
o (b2+¡12)n2-2(cd'*ab)rv*(a2*c2la2 = (o'il-bc¡z (5)
Considerando que la ecuaciónArz*Bra*Cyz - p donde A>0, c>0'D>0
correspondeaunaelipsesi 82 - 4AC < 0, aunaparábolasi 82 - 4AC:0 yaunahipérbolasi
82 - 4AC > 0. En (5) vemosque A: b2 + d2, B - -2(cdt ab), C: a2 * c2 asíque
82-4AC = 4(cd+-ob)z-4(bt*ü)(az+c2l = -4(otl-bc)z ' O
pues od I bc. Por tanto, en general, la trayectoria es una elipse y será una circunferencia si A : c'
Si o¿ -: bc la elipse se reduce a una línea rccta ay : br'
cAP. 4l OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE 105
PROBLEMAS VARIOS4.28. Un cilindro flota con su eje en posición vertical en un líquido de densidad o. Se em-
puja levemente hacia abajo y luego se deja libre. Encontrar el peúodo de la oscilaciónsi el cilindro tiene un peso Wy una sección trasversal de área A.
Sea i?S, la posición de equilibrio del cilind¡o, situadaa una distancia z de la superficie PQ del líquido en cual-quier tiempo ú. De acuerdo con el príncipio de Arquíme-des, la fuerza de empuje sob¡e el cilind¡o es (Ae)o. Apli-cando la segunda ley de Newton,
W&ze iltz = -Azo
#*t#" = o
Resolviendo,
z = c1 .os1@t + c2"entfffity el período de oscilación es zrfr@.
4.29. Demostrar que si no se suponen pequeñas oscilaciones, el peúodo de un péndulosimple es
Fig. {-18
. [7 f"'' da¿.1- t
-
I s Jo tFñó donde k = sen(00/2\
La ecuación de movimiento para un péndulo simple si no se suponen pequeñas oscilaciones es(ecuación (31), de este capítulo)
Sea d|/dt : ¿. Entonces
y (l) se trasfo¡ma en
Integrando (2) obtenemos
(r)
(2)
(3)* = +coac+c
Cuando 0 : Co, u : 0 entonces c : -(C/l) cosC¡. Portanto (J) puede eecribirse como
u2 = (2clll(cosr-cosro) o itolitt = *r,/@i @)
Si rtstringimos el movimiento de manera que el péndulo ¡c mueva de C : 0s a 0 : 0, locual corresponde en tiempo a una cuarta parte del perlodo, debemos usar el signo menos en (4) y obtene-mos entonces
deldt=-\MlSeparando las variables e integrando, tenemos
l= [t r dc\úJ ffiComo ü:0 en 0:0o y t: P/4 en 0:0, dondePeselpeíodo,
_ F fto ¿tcF = o\uJ, (5)
106 OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE
Haciendo uso de la identidad trigonométrica cosd : 2 sen2(0/2) - l,plaza 0 por de, (5) puede escribirse como
[cAP. 4
y de una similar, donde se rem.
P = ,rTli dc
Tomando sen(el2) =
{;pcñ -sep@Ia
sen (asl2) senp
(6)
t-)
Y tomando la dife¡encia en ambos lados.
o llamando k : sen (0o/2),
Vemostambiénde(7)quecuando0:0,ó:0,ycuando0:0o,ó:¡/2.Porconsiguiente,(6)setrasforma en la ecuación requerida,
f, cos(cl2) dc = sen(es/2) cos d dé
de=
[-l ¡ttz d6? = o \; J. fiur""nrrNótese que si se tienen pequeñas oscilaciones, es decir, si & es ce¡o o tiende a cero, entonces se obtiene pa-
ra el período (8),
como ya lo vimos.
La integral en (8) se llama integrol eúptica y no puede ser evaluada exactamente en términos defunciones elementales. La ecuación de movimiento del péndulo puede resolve¡se pa¡a I en términos de
funciones elípticas, las cuales son generalizaciones de las funciones trigonométricas.
4.30. Demost¡ar que el período obtenido en el problema 4.29 puede escribirse como
- ('\\' t,* /11)' k, * ( !-'3,' 1-)' ¿. *, . .]P = 2,t/Ugjl+(:¡ ,2/'" '\2'4/'" '\2'4'6/'- )
El teorema del binomío establece que si lr | ( 1, entonces
(l*c)a = | * pr *#* * W* * "'Si p : - *, la ecuación anterio¡ puede escribirse como
(r+a¡-rtz = t -i" +fi"r- !'35n' 1 ...
Haciendo x : -h2 sen2ó e integrando desde 0 a r/2, encontramos
_ _ fnt2 dOF = avrio )o
-,.ffi;;re= o* !:"{t . i k2*n2ó + ffit'."'no + "'}¿o
= 2,,/Tn{' . (;)'-, . (#+)' r + (}s. n. o)'" * . }donde hemos usado la fórmula derintegración
I senz" 6 dP =uo
(8)
(e)
La integración término por término es poóible porque lfr | < 1.
4.31. Una cuenta de masa m es obligada a moverse sobre un alambre sin rozamiento enforma de cicloide y colocado en un plano vertical, (figura 4-19) cuyas ecuaciones pa-ramétricas son
1.3.6"'(2n-l)r2.4.6...(2n) 2
cAP. 4l OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE
fr = a(rh -sen4), ?l = o'(L - cosó)
si la cuenta parte del reposo en el punto O, (a) encontrar su rapidez en el punto infe-rior de la trayectoria, y (b) demostrar que la cuenta realiza oscilaciones con peúodoequivalente al de un péndulo simple de longitud 4o.
107
(r)
(o) Sean P la posición de la cuenta en cualquier tiem-po f y s la longitud del arco a lo largo de la cicloi- Ode medida desde el punto O.
Teniendo en cuenta la conse¡vación de laenergía y midiendo la energía potencial relativaa la línea AB que pasa por el punto más bajo de
la cicloide, tenemos: A-
E, en P * E" en P : Eo en Q * E" en Q
msH + +m(0)2 = trlsz *$m(ils/dt\2donde s es la longitud de arco a lo largo de OPQ medida desde O.
n1,
Ep en P * Ec en P : Ep en O * Ec en O
ms(2a - a) 1- Im(dsld.t)2 = mg(2a\ * 0 (21
4.32. En el interior de un paraboloide de revolu-ción liso que tiene como ecuación cz
x2 * y', se coloca una partícula de masam en un punto P situado a una altura Hsobre la horizontal (considerada como el pla-no ry). Suponiendo que la partícula partedel reposo: (o) encontrar la rapidez con lacual alcanza el vértice O, (b) encontrar eltiempo r empleado, y (c) encontrar el pe-
iodo para pequeñas oscilaciones.
Es conveniente escoger el punto P en el plano yzde manera eue r : 0 y cz : y2. Aplicando el prin-cipio de la conservación de la energía en cualquier pun-to Q sobre la trayectoria PQO, tenemos
Entonces rz - (d,s/dtlz - 2gU o D = its/¿tt = {rWEn el punto más bajo ! : 2a la rapidez es u : @¡ : 2fga.
(b) De la parte (a), (ds/dt)2 : 2gy. Perc
(ds/ctt)z = (dnldt)z I(da/d.t)2 - a2(l-cosq)z$z*a2sen2¡O2 = 2a2(1 -cos{)¿z
Entonces 2a2(I - cos p)|z = 2ga(l - cos C) o A2 - g/a. Por tanto
ülctt : t/lla y 4 - fi¡at+ct \41
Cuando ó:O, t:0; cuando ó:2r, t: P/2 dondePeselpeíodo.Ydelasegundaecuaciónde(a)' P=A,r{a/c=2or/Tolgy el peíodo es el mismo que el de un péndulo simple de longitud I : 4a.
Véanse los problemas 4.86-4.88 donde aparecen algunas aplicaciones interesantes.
o Fig.4-19
De la ecuación anterior.
(3)
(dsldt)z = 2g(H-z\
íts/dt = -\/21Jl=Áusando el signo negativo puesto que s decrece con I
(o) Si e : 0, encontramos que la velocidad en el vértice es lT[rt.
(l)
(2)
108 OSEILADOR ARJVIONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE [cAP. 4
(41
r : 10, con una rapidez hacia O deDeterminar el tiempo en que la par-
(b) Como ¡ : 0 y cz :y2, tenemos
(b\' = /@\' * (@\' * (a\' = (@\' * !t(a\' = (, *!t\(du\'\E/ \ü/ -\drl-\ü) \Af/ -",\ü) \'-T)\dl)Portanto, (l) puede escribirse (I * 4y2/cr)(dy/dt)2 :2C(H - yr/r). Entonces
da = -.r;-\Gí-a'zdt Yzgc--: o
{c2 + 4u2
Usando el hecho de que z : H y, en consecuencia,
) : 0, al integrar tenemos
?r (o| -t@¿t = |
-du
oJo " l* ,,pn _7
Haciendo y : lffi cos d, la integral puede escribirse
¡ = -- | t/cz * 4cH cos2e de =1/2gc J t
{c + 4a,- {2gc dt = --: da
t/cH - Yz
y : Vcil en f : 0 mientras eue en ú :
1 ¡{cu \/A + ¿*7 = -----:tiy
tlzsc Jo lfH - ur-"
1f¡/2-= | lc + tcn - tcn se"z e ae{2sc J,
t/t - trn"za ¿e (3)
la cual puede escribirse
t=
donde k - t/aH/kIaH\La integral en (3) es una integral elíptica y no puede evaluarse usando funciones elementales.
Pero, sin embargo, puede evaluarse mediante series (véase el problema 4.11g).
(c ) La partícula oscila hacia atrás y hacia adelante dentro del paraboloide con un peúodo dado por
p = 4¡ : ^ rW !o"'' r/t - n"""nu ae (5)
Para pequeñas oscilaciones, el valor de &, dado Wt (4), puede conside¡arse tan pequeño que para p¡o-pósitos prácticos puede tomarse igual a cero. Por consiguiente, (5) se convierte en
p :2otf@*4H)/2s
La longitud del péndulo simple equivalente es I : Lk + 4H).
Problemas propuestosMOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Y OSCILADOR ARMONICO SIMPLE4'33. Una partícula de masa 12 g se mueve a lo largo del eje r at¡aída hacia el punto O po¡ una fuerza (en di-
nas) que es numéricamente igual a 60 veces su distancia instantánea ¡ cm desde O. Si la partícula partedel reposo en ¡ : 10, encontrar: (o) la amplitud, (ó) el pe¡íodo, y (c) la frecuencia del movimiento.Resp. (a) 10 cm, (b) 2oltfi see, k) t/llZo vib/see
4.34. (o) Si la partícula del problema 4.33 comienza su movimiento en20 cm/seg, determinar su amplitud, su período y su f¡ecuencia. (ó)tícula llega al punto O por primera vez.Resp. (¿) Amplitud : 6V5'cm, período : 2r/{-B seg, frecuencia : 15,/2r vib,/seg; (b) 0,33 seg
4'35. Una partícula se mueve sobre el eje r atraída hacia el origen O con una fuerza proporcional a su distanciainstantánea desde O. Si parte del reposo en .r : 5 cm y alcanza x : 2,5 cm por primera vez después de2 seg, encontra¡: (o) la posición en cualquier tiempo ú después de comenza¡ su movimiento, (b) la rapi-dez en ¡ : 0, (c) la amplitud, el período y la frecuencia de oscilación, (d) la máxima aceleración, (e)la máxima rapidez.
Resp. (a) ¡ : Scos (,t/a); (U) 5r/6 cm/segi (c) 5 cm, 12 seg, t,/12 vib/seg; (d) 5#/36 cm/seg2;(el 5r/6 cm/seg
Si una partícula se mueve con movimiento armónico simple a lo largo del eje r, probar que en la trayec-toria: (o) la acele¡ación tiene su máximo valo¡ en los extremos, (b) la velocidad tiene su máximo va-lor en el punto medio, (c) la aceleración es cero en la mitad, (d) la velocidad es cero en los extremos.
4.36.
cAP. 4l OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE
4.37. Una partícula se mueve con movimiento armónico simple en línea recta. Su máxima velocidad es 20pies/seg y su máxima acele¡ación es 80 pies,/seg2. Encont¡ar el período y la frecuencia del movimiento.Resp. r/2 seg, 2,/r vib/seg
4.38. Una partícula se mueve con movimiento armónico simple. Si su acéleración a la distancia D de su posi-ción de equilibrio es A, probar que el período de movimiento es:2¡!DA..
4'39' Una partícula que se mueve con movimiento armónico simple tiene rapidez de B cm,/seg y 4 cm/seg alas distancias 8 cm y 6 cm, respectivamente de su posición de equilibrio. Hallar el período de su mwimien-to. Resp. 4r seg
4'4O' Un peso de 8 kg está colocado sobre un resorte vertical alargándolo en 20 cm. El peso se hala hacia abajouna distancia de 40 cm y se suelta. (o) Encontrar la amplitud, el período y la frecuencia de la oscila-ción. (ó) ¿Cuál es la posición y la rapidez en cualquier tiempo?Resp. (a\ 40 em,2r/7 seg, 7l2r vib/seg
(ó) r = 40 cos Tú cm, a = -2g0 sen ?ú cm/seg
4'41' Una masa de 200 g se coloca en el extremo inferio¡ de un reso¡te vertical y lo extiende 20 cm. Cuando estáen equilibrio, la masa se golpea y sube una distancia de 8 cm antes de que empiece a bajar de nuevo. En-cont¡a¡: (a) la magnitud de la velocidad impartida a la masa cuando ésta se golpea, y (b) el períododel movimiento. Resp. (o) 56 cm,/seg, (b) 2"h sel
4'42' Una masa de 5 kg está en el extremo de un ¡eso¡te que se mueve con movimiento armónico simple a lolargo de una línea ¡ecta ho¡izontal con período de 3 seg y amplitud de 2 m. (o) Determina¡ la constantedel ¡eso¡te. (ó) ¿cuál es la fue¡za máxima ejercida sob¡e el resorte?Resp. (o) 1f40 dinas,/cm o l,l4 nt/m
(b) 2,28 X 105 dinas o 2,28 nt
4'43' Cuando una masa M cuelga del extremo inferior de un ¡esorte vertical y se hace mover, oscila con períodoP. P¡oba¡ que el período cuando se añade una masa M es prr-ñ7V
OSCI LADOR ARMONICO AMORTIGUADO4.44. (o) Resolverlaecuación d2x/dt2 *%]x,/dt *5¡:0 sometidaalascondiciones,:5, dx/dt: _s
en t : 0, V (b) da¡ una interpretación física del resultado.8esp. (a) ¡: le-t(I0cos2ü - 5sen2t)
4.45. Ve¡ificar que la fuerza amortiguadora dada por la ecuación (2) del problema 4.11 es co¡recta independien-temente de la posición y velocidad de la partícula.
4-46. Un peso de 60 lb que cuelga de un reso¡te vertical lo esti¡a 2 pies. El peso luego se hala hacia abajo 3 piesy se suelta. (o) Encontrar la posición del peso en cualquier tiempo si la fuerza amortiguadora es numé-ricamente igual a l5 veces el valor de la rapidez instantánea para esa posición. (b) ¿Es el movimiento os-cilatorio amortiguado, sobreamortiguado o críticamente amortiguado?Resp. (a) x : \e-rt(4t + l), (b) críticamente amortiguado
4.47- Desarrolla¡ el problema 4.46 si la fuerza amortiguadora es numéricamente igual a 18,?5 veces la rapidezinstantánea. Resp. (o) ¡ : 4e-2, - e-8,, (b) sobreamortiguado
4,44. En el problema 4.46 suponer que la fue¡za amortiguadora es numé¡icamente igual a ?,5 veces la rapidezinstantánea. (a) Probar que el movimiento es oscilatorio amortiguado. (b) Encontrar Ia amplitud, elperíodo y la frecuencia de las oscilaciones. (c) Encont¡ar el dec¡ecimiento logarítmico.Resp. (ó) Amplitud : 2\/T e-2r pies, período :
"/uT seg, frecuencia : t/T/, vib/seg; (c\ 2r/!3
4.49. Probar que el decrecimiento logarítmico es el tiempo requerido para que durante una oscilación la máxi-ma amplitud disminuya en l/e d,e su valor.
4.5o. La frecuencia natu¡al de una masa que oscila en un resorte es 20 vib,/seg mientras su f¡ecuencia conamortiguación es 16 vib,/seg. Encontrar el decrecimiento logarítmico. ilesp. 3/4
4.51. Probar que la dife¡encia en tiempo correspondiente adesplazamientos máximos sucesivos de un osciladorarmónico amortiguado dada por la ecuación (I2) del capítulo 4, es constante e igual a4¡mfifñ- Bz.
109
110 OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE IcAP.4
4.62. ¿Es la diferencia en tiempo entre desplazamientos minimos sucesivos de un oscilado¡ armónico amorti-guado la misma que en el problema 4.51? Justificar su respuesta'
OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA
4.53. La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje ¡ se determina mediante la ecuaciónd2r/dt2 * 4dt/dt * 8¡ : 20 cos 2ü. Si la particulaparte del reposo en ¡ : 0, hallar: (o) ¡ en funciónde t, (b) Ia amplitud, el período y la frecuencia de oscilación después de que ha trascur¡ido un tiempolargo.
Resp. (o) ¡ : cos2ü * 2 sen2t - e-2'(cos2t I 3 sen2t)(b) Amplitud : vE período : r, f¡ecuencia : 1/r
4.64. (o) Da¡ una interpretación física del problema 4.53 conside¡ando una masa en el extremo de un resortevertical. (ó) ¿Cuál es la frecuencia natural de la oscilación del resorte? (c) ¿Cuál es la frecuencia de lafuerza impulsora? Resp. (b) \E/r, (c) l/"
4.55. Un peso sobre un reso¡te ve¡tical está sometido a vibraciones forzadas de acue¡do con la ecuación
d2r/dt2 * 4x :8 sen ot donde ¡ es el desplazamiento desde la posición de equilibrioy o > 0 es una
constante.Sient:0,¡:0ydx/dt:0,encontrar:(a)¡enfunciónde¿,(b)elperíododela fue¡za externa para que haya resonancia.
Resp (a) x: (8senoü - 4osenzt)/( - o2) si o l2; x: sen2¿ - 2úcos2t si o:2(b) r:2 o período: r
4.66. Un reso¡te vertical de constante 17 lb/pie tiene suspendido un peso de 32 lb; se aplica una fuerza exter-na expresada como función del tiempo t por F(l) : 65 sen 4t, t > 0; se supone que actúa una fue¡za de
amortiguamiento expresada en lb por 2u, donde u es la rapidez instantánea del peso en pies/seg. Inicial-mente el peso está en teposo en la posición de equilibrio. (o) Dete¡minar la posición del peso en cualquiertiempo. (b) Indica¡ las soluciones de la oscilación momentánea y de estado estable y dar las interpreta-ciones físicas de cada una. (c) Encontrar la amplitud, el peíodo y la frecuencia de la solución de estadoestable (emPlear C : 32 pies,/seg2).
Resp. (a) x : 4e-' cos 4f * sen 4t - 4 cos 4t(ó) Transitoria,4e-t cos 4t; estado estable, sen 4t - 4 cos 4ú
(c) Amplitud : \fti pies, período : ,/2 seg, frecuencia : 2/o vib/seg
4.57, Un resorte se comprime 5 cm. al actuar sobre él una fue¡za de 50 dinas. Una masa de 10 g se coloca en el
ext¡emo inferior del resorte. Después de que el equilibrio se alcanza, el ext¡emo superior del resorte se mue-
ve hacia arriba y hacia abajo de manera que la fuerza que actúa sobre la masa está dada por F(t) :20 cos oú, ú > 0. (o) Encontra¡ la posición de la masa en cualquier tiempo medido I partir de su posi'ción de equilibrio. (b) Encont¡ar el valo¡ de o para que haya resonancia.
Resp (a) ¡ = (20 cos oú)/(1 - t2) - 20 cos ú, (b) o = 1
4.6A. Una fue¡za exte¡na periódica actúa sobre una masa de 6 kg suspendida del ertremo inferior de un ¡esorteve¡tical de constante 150 nt/m. La fuerza de amortiguamiento es proporcional a la rapidez instantáneade la masa y es 80 nt cuando la rapidez es 2 m/seg. Encontra¡ la frecue."ia para que haya resonancia.
Resp. 5/6" vib/seg
PENDULO SIMPLE
4.59. Encontra¡ la longitud de un péndulo simple cuyo período es 1 seg. Dicho péndulo que registra segundos es
llamado un péndulo de segundos. Resp. 99,3 crn o 3,26 pies
4,60. ¿Será el período de un péndulo que registra segundos en un cierto punto, mayo¡ o meno¡ cuando se llevaa otro punto donde la aceleración de la gravedad es mayor? Explicar. Resp. Aumenta su peúodo
4.61. Un péndulo simple cuya longitud es 2 m se desplaza hasta que la cuerda fo¡ma un ángulo de 30' con lavertical Entonces se suelta. (o) ¿Cuál es la rapidez del póndulo cuando pasa por un punto más bajo?(b) ¿Cuál es la rapidez angular en el punto más bajo? (c) ¿Cuál es la máxima aceleración y cuándo
ocu¡re? .Resp. (a) 2,93 m/seg, (ó) 1,46 rad/seg, (c\ 2 m/seg2
Probar que la tensión en la cuerda de un péndulc simple vertical de longitud I y de masa m está dadapor mg cos 0, donde d es el ángulo instantáneo que forma la cuerda con la vertical.
4.62.
cAP. 4l
4.63.
OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE 111
Un péndulo de segundos que registra ei tiempo correcto en cie¡to lugar es llevado a otro donde se ve quepierde T seg por día. Determinar la aceleración gravitacional en el segundo lugar.Resp. g(1 - T/86.4N)2, donde g es la acele¡ación gravitacional en el primer lugar
4.64. ¿Cuál es la longitud de un péndulo de segundos sobre la superficie de la Luna donde la aceleración de lagravedad es aproximadamente l/6 de la gravedad de la Tierra? Resp. 16,5 cm.
4.65. Un péndulo simple de longitud I y masa ln cuelga verticalmente de un punto fijo O. Se le da una veloci-dad horizontal inicial de magnitud us. Probar que el arco sobre el cual oscila en un período tiene unalongitud dada por 4l cos-t (1 - ul/2gl).
4.66. Encontrar el valor mínimo de us en el problema 4.65 con el fin de que el péndulo complete una ci¡cunfe-rencia vertical con centro en O. Resp. 2Qf
OSCILADOR ARMONICO EN DOS Y TRES DIMENSIONES4.67. Una partícula de masa 2 se mueve en el plano ry atraída hacia et origen por una fuerza dada por F :
- 18¡i - 50yj. En , : 0 la partícula se coloca en el punto (3, a) V se Ie da una velocidad de magnitudl0 en dirección perpendicular al eje ¡. (o) Hallar la posición y velocidad de Ia partícuia en cualquiertiempo. (b) ¿Qué curva desc¡ibe la partícula?Resp. (a) r = 3 cosS¿ i+ [4 cos6¿+2 senSú]j, v = -9 senSú i* [10 cos 6t-20 senSú]i
4.68.
4.69.
4.70.
Hallar la energía total de la particula del problema 4.67. Eesp. 581
Un oscilador armónico en dos dimensiones de masa 2 tiene energía potencial dada por V : 8(t2 I 4y').Si el vecto¡ de posición y la velocidad del oscilador en el tiempo t : 0 están dados respectivamente porro : 2i - j y ro : 4i + 8i, (o) hallarsuposición y velocidad en cualquier tiempo f ¡ 0, y (ó) de-terminar el período del movimiento.Resp. (a) r - (2 cos4ü*sen4ú)i* (sen8ú-cos8¿)j, y: (4 cos4ú-8sen 40i+ (8 cos8ú+8 sen8ü)j
(b\ T /8Desarrollar el problema 4.69 si V : 8(¡2 + A'). ¿Existirá en este caso un pe¡íodo definido para elmovimiento? Explicar.
4.71. Una partícula de masa m se mueve en un campo de fue¡za tridimensional cuyo potencial está dado porV : ir(t2 I 4y2 I 16z2). (a) Demostrar que si la partícula se coloca en un punto arbitrario en el es-pacio, diferente del origen, regresará a este punto después de algún período de tiempo. Determinar estetiempo. (b) ¿Es la velocidad con la cual regresa al punto de partida igual a la velocidad inicial? Explicar.
4.72. Suponer que en el problema 4.71 el potencial es V : lx(x2 + Zy2 + 522). ¿Regresará la partícula alpunto de partida? Explicar.
PROBLEMAS VARIOS
4'73. Un resorte vertical de constante ¡ tiene una longitud natural I y está sostenido en un punto fijo A. Unamasa m se coloca en el extremo inferior del resorte, se eleva a una altura h por debajo de A y se suelta. De-mostrar que el punto más bajo que alcanzará está a una distancia por debajo de A dada por | * mg/, *\/wF-+-n¿rn:
4.74. Resolver el problema 4.73 si se tiene en cuenta una amortiguación proporcional a la velocidad instantánea.
4.76. Dada la ecuación ^'i + pi I xt : 0 para oscilaciones amortiguadas de un oscilador armónico, de-mostrar que si E : ¡mi2 * lrx2, entonces E : -p;2. Esto demuestra que si hay amortiguamientola energía total E disminuye con el tiempo. ¿Qué ocu¡re con la energía perdida? Explicar.
4.76. (¿) Demostrar que .41 cos (oú - Ér) * A2cos(ot- q2) = A cos (oú - p)
donde.4 =@, e:(ó) Usar (a) para demostrar que la suma de dos movimientos armónicos simples de igual frecuencia ysobre la misma recta es un movimiento armónico simple de la misma frecuencia.
4.77. Dar una interpretación vecto¡ial a los resultados del problema 4.?6
,"r-, ( )
4.8 r.
4.42.
ttz OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE
4.78. Discutir el problema 4.76 en caso de que las frecuencias de los dos movimiéntos armónicos simples no seaniguales. ¿El movimiento resultante será a¡mónico simple? Justificar su respuesra.
4-79. Una partfoula oscila en un plano de mane¡a que sus distancias r y y desde dos ejes respectivamente per-pendiculares están dadas como funciones del tiernpo por
ü = A cos(oú*Pt), U = B cos(oú*d2)(o) Demostrar que la partícula se mueve en una elipse inscrita en el rectángulo definido por r : :EA,I : +8. (ó) Demostrar que el período en su trayectoria elíptica es 2*/o.
4.8O. Suponer que la partícula del problema 4.?9 se mueve de manera que
r = Acos(orü*41), A = B cos(oú*cttezldonde e se considera una constante positiva que se supone mucho mayor que o, Defnostrar que la par-tícula oscila en elipses que ¡otan lentamente inscritas en el rectángulo ¡ : +A, y : ¡9.
Ilustrar el problema 4.80 haciendo una gráfica del movimiento de una partícula que se mueve en la tra-yectoria
r = 3cosl2ttrl(l, a = 4 cos(2,4ü)
Una masa rn que se coloca sobre una mesa sin ro-zamiento (figura 4-21) se acopla a dos resortes fi-jos en los puntos A y .B, como se ilustra en la figu-¡a 4-21. Los resortes tienen igual longitud natural,masas despreciables y constantes r¡ ¡r 12, res-pectivamente. La masa rn se desplaza horizontal- Amente y lüego se suelta. Demostrar que el períodode oscilación estádadopo¡ P : 2¡ffiT ,)-.
Un resorte de constante r y masa despreciable tiene unode sus ext¡emos fijo en el punto A. En el otro extremose coloca una masa m sobre un plano inclinado c, co-mo se indica en la figura 4-22. Si la masa ¡n se halauna distancia re por debajo de la posición de equili-brio y luego se suelta, hallar el desplazamiento en cual-quier tiempo referido a la posición de equilib¡io, si: (o)el plano inclinado no presenta rozamiento, (ó) si el pla-no inclinado tiene un coeficiente de rozamiento ¡.
Fig. l-21
flig.l-22
4.84. Una partícula se mueve con movimiento armónico simple a lo largo del eje .r. En el tiempo to, Zto y Btoestá situada en ¡ : a, b y c, respectivamente. Demostrar que el período de oscilación es
4tt¡
"o"_r 1ol c)l2b
Un péndulo de segundos que da el tiempo cor¡ecto en un lugar, se lleva a orro lugar donde pierde 5 minu-tos por día. ¿En cuánto deberá alargarse o acorta¡se para que mida el tiempo correcto?
4.86. Un péndulo que tiene una masa rn se suspende del puntoO. Cuando oscila, la cuerda está constreñlda a moverse se-gún las curvas ODA (u OC), como se indica en la figura4-23. P¡oba¡ que si la curva ABC es una cicloide, entoncesel período de oscilación será el mismo, independientemen-te de la amplitud de la oscilación. En este caso el péndulose llama un péndulo cicloidal. Las curvas ODA y OC se
construyen de manera que sean las euolutas de la cicloide.(Sugerencia. Usar el problema 4.31.) Fig.l-23
4.a7. Una cuenta se desliza sobre un alambre sin rozamiento colocado en un plano vertical. Se desea encontrarla forma que debe tener el alambre para que la cuenta al moverse por acción de la gravedad llegue al pun-to inferio¡ del alamb¡e en el mismo tiempo, independientemente del punto donde se coloque inicialmen-te la cuenta sobre el alambre. Este es f¡ecuentemente un problema llamado de períodos iguales. Demos-trar que el alambre debe tener la forma de una cicloide. (Sugerencia. Usar el problema 4.31.)
4.83.
4.85.
cAP. 4l OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE 113
4'88' Demostrar que las curvas oDA y OC del problema 4.86 son cicloides que tienen la misma forma de la ci-cloide ABC.
4'89' El punto soporte de un péndulo simple de longitud I se mueve hacia adelante y hacia atrás, a lo largo deuna recta horizontal, de manera que su distancia a un punto fijo sob¡e la recta es A sen oú, ú > 0. Ha-llar la posición de la masa pendular en cualquier tiempo ¿ cons'ide¡ando que ésta se encuent¡a en reposoen la posición de equilibrio en ú : 0.
4'9o' Desarrollar el problema 4.89 si el punto soporte se mueve verticalmente en lugar de moverse horizontal-mente y si en ü : 0 la cuerda del péndulo forma un ángulo 0s con ra vertical.
4'91' una partícula de masa ¡n se mueve en un plano bajo la influencia de fuerzas de atracción hacia puntosfijos' las cuales.son directamente proporcionales a su distancia instantánea a estos puntos. Demostrarque, en general, la partícula describirá una elipse.
4'92' un resorte elástico vertical de peso despreciable que tiene su extremo superior fijo, soporta un peso w enel otro extremo' El peso es levantado de tal maneia que la tensión en el ¡esorte es cero y entonces se suel-ta. Demostrar que la tensión en el ¡esorte no excede 2IV.
4.93. un platillo en la par-24). Determina¡ la fre-oscila¡ de ma'nera que
4.95. Una particula se mueve en el plano .ry y su posición está dada porx : A cos @ú, y : B cos 2ot. Demostra¡ que describe u., "."ode parábola.
4.96. Una partícula se mueve en el plano.ry y su posición está dada por .r : A cos (o1ü * ót), y :B cos (o2f * dr)' Demostrar que la partícula describe una cu¡va cerrada o no según si o1/o2 sea o noracional. ¿En qué caso el movimiento es periódico?
4'97' La posición de una partícula que se mueve en el plano ¡y se expresa mediante las ecuaciones d2x/dt2 :-4y' dzy/¿¡z : -4x. En el tiempo f : 0 la particula se encuent¡a en reposo en el punto (6,3).Hallar en cualquier tiempo posterior: (o) su posició.r, V tbl su velocidad.
4'98' Hallar el períod^o de un péndulo simple de I metro de longitud si el ángulo máximo que forma con la ve¡-tical es: (o) J0", (b) 60., (c) 90..
4'99' Un péndulo simple de 3 pies de longitud se suspende verticalmente de un punto fijo. En t : 0 se le co-munica una velocidad horizontal de 8 pies,/seg. Hallar: (o) el ángulo máximo que forma el péndulocon la vertical, (ó) el período de las oscilaciones.Resp. (a) cos-t 2/B = 4Lo 49,, (b) 1,92 seg
4'loo' Demostra¡ que los promedios de.tiempo sobre un período de energía potencial y energía cinética de unoscilado¡ armónico simple son iguales a 2T2A2/P-2 donde A es la amplitud y p es el período del mo-vimiento.
4'lol' un cilind¡o de 10 pies de radio con su eje vertical oscila verticalmente en agua de densidad 62,5 lb/pieacon un período de b segundos. ¿Cuál es su peso? Resp. B,9g X 105 lb4'lo2' una partícula que se mueve en el plano ¡y en un campo de fuerza cuyo potencial está dado por v : x2 |xy + v2' si la partícula inicialmente está en el punto (3, 4) y tiene una velocidad de magnitud l0 enla di¡ección paralela al eje positivo ¡: (a) hallar la po.i.ion
"en cualquier tiempo, y (ó) determinar elperíodo del movimiento si existe.
4'lo3' En el problem" .' que o1,/r2 es irracional y que en t : 0 la partícula está en un punto deter-minado (¡o, yo) rectángulo definido por ¡ : +A, .y : tB. Demostrar que el punto (¡o, yo)no podrá ser alc evamente sino que la particula a., "l "rr..o
de su movimiento cerra¡á la curvaarbitrariamente er Dunto.
Fig.4-24
114 OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE IcAP. 4
4.104, Una partícula oscila sin rozamiento sob¡e una cicloide vertical con su vértice hacia abajo' Demostrar que
la proyección de la particula sobre un eje vertical oscila con movimiento armónico simple'
4.105. Una masa de b kg en el extremo inferio¡ de un resorte vertical que tiene una constante de elasticidad 20
nt,/m oscila con un período de 10 segundos. Hallar: (o) la constante de amortiguamiento, (b) el período
natural, y (c) el dec¡ecimiento logarítmico. Resp (a) 19 nt seglm, (ó) 3'r4 seg
4.106. Una masa de 100 g se sostiene en equilibrio mediante dos resortes
idénticos de masas despreciables y de constantes iguales a 50 di-
nas/cm. En la posición de equilibrio mostrada en la figura 4-25'
los resortes forman un ángulo de 30" con la horizontal y tienen
una longitud de 100 cm. Si la masa se hala hacia abajo una dis-
tancia de 2 cm y luego se suelta, encontrar el período de la oscila-
c ión. ¡esultante.
4.107. un cilind¡o circular hueco de radio interno 10 cm de paredes delga-
das se mantiene fijo con su eje horizontal' Se coloca una partícula
sobre Ia superficie interna sin rozamiento del cilindro de manera
que su distancia vertical con respecto al punto más bajo sea 2 cm'
Hallar: (o) el tiempo que trascurre para que la partícula alcance
el punto más bajo, y (b) el periodo de la oscilación'
4.log. Una caja cúbica de lado o y peso !l/oscila verticalmente en aguade densidad o. Demostrar que el perío-
do de vibración es (2"/o)\f6-7W:
4.1O9. Un resorte en oscilación tiene como ecuación de movimiento
mdzxldtz+Kr = F(0
Si¡:0,dr/dt:0ent:0,hallarrcomofuncióndeltiempo¿'
Resp. r = F(z) sen ,/it^ A - u) dn
4.110. Desar¡ollar el problema 4.10g si se tiene en cuenta un amortiguamiento proporcional a dx/dt.
4.1f 1, Un resorte en oscilación tiene como ecuación de movimiento
*¿zs/flfz ! rr
Si¡:0,;:usenl:0:(o)encontrarxencualquiertiempot'y(b)determinarlosvaloresdeopara que haYa resonancta.
4.112, Un resorte vertical que tiene una constante r tiene acoplada una masa /n en su extremo infe¡ior' En
t : 0 estando el resorte en equilibrio su extremo superior se mueve súbitamente en la dirección vertical
de manera que su distancia al punt<-r original esté dada por A sen ot, t Z 0 Hallar: (o) la posición de
lamasamencualquiertiempo¿,y(b)losvaloresdeoparaquehayaresonancia.
4.113. (o)Resolver d2x/dt2 *x:tsenf*cosf donde x:o,dx/dt:0ent:0,y (b)darunainterpre-
tación física.
1.114. Discutir el movimiento de un péndulo simple cuando existe amortiguamiento y fuerzas externas'
4,115. Hallar el periodo para pequeñas oscilaciones de un cilindro de radio o y altura h que flota con su eje hori-
zontal en agua de densidad o.
4.116. Un resorte vertical que tiene una constante elástica de 2 nt por metro tiene un peso de 50 g suspendido de
é1. Se aplica una fuerza en nt que está dada en función del tiempo ¿ mediante F(t) : 6 cosa t, t ¿ 0'
Suponiendo que al peso inicialmente en la posición de equilibrio se le imprime una velocidad bacia arri-
ba de 4 m/seg y que el amortiguamiento es despreciable, determinar en cualquier tiempo para el peso:
(¿) su Posición, Y (b) su velocidad'
4.117. En el problema 4.55, ¿puede la respuesta o : 2 deducitse de la respuesta pala o I 2 tomando el
limite cuando a - 2'l Justificar su respuesta'
BA
100 g
Fig.4-25
+rymK vo
cAP. 4l OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE 115
4.118. Sob¡e un oscilado¡ actúa una fuerza restauradora cuya magnitud es -¡tr - c¡2 donde . es muy pe-- queño coriparado con r. Demostrar que el desplazamiento del o¡cilador (en este caso llam¡do osciladoranarmónicol a partir de la posición de equilibrio está dado aproximadamente por
a = Aco¡(o¡ú-É) + +Í{coa2(ut-o)-B}donde A y 6 se determinan por las condicionee iniciales.
4'119. Demostrar que si las oscilaciones en el problema 4.32 no son necesariamente pequeñas entonces el períodoestá dado por
p : ,- ^[@- í, - /!\'ro- /r'g\2e¿ - /1'g.o\zte 'l"1Tt' - \¡i *- \¡l¡) i'-(rEñ) t -' j
Copítulo 5
Fuerzos centroles y movimiento plonetorio
FUERZAS CENTRALESSupongamos que una fuerza actúa sobre
una partícula de masa n-l de tal manera que (fi-gura 5-1):
(o) siempre está dirigida desde m hacia o
alejándose de un Punto fijo O,
(b) su magnitud depende solamente de ladistancia r desde O.
Entonces podemos llamar la fuerza una fuerzacentral o un caÍtpo de fuerza centrál con O como
centro de fuerza. En símbolos, F es una fuerza ü
central si y sólo sif = l(r) ¡' = f(r) ilr (1)
donde rt : r/r es un vector unitario en la dirección de r.
La fuerza central es de oürocciónhacia O o de repulsión desde O según si /(r) ( 0 o
f (r) > 0, respectivamente.
ALGUNAS PROPIEDADES IMPORTANTES DE LOS CAMPOS DE FUERZACENTRAL
Si una partícula se mueve en un campo.de fuerza central, entonces las propiedades si-
guientes son válidas.
1. La órbita o trayectoria de la partícula debe ser una curva plana, es decir, la partícu-
la debe moverse en un plano. El plano frecuentemente seleccionado es el plano ry. Véase
el problema 5.1.
Z. El momentum angular de la partícula se conserva, es decir, es constante. Véase el
problema 5.2.
B. La partícula se mueve de tal manera que el vector de posición o radio vector dibu-jado desde O a la partícula, barre áreas iguales en tiempos iguales. En otras palabras,
la tasa de cambio del á¡ea en el tiempo es constante. El enunciado anterior algunas ve-
ces se llama la ley de las óreas. Véase el problema 5.6.
Fig.5-l
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PARAUNA PARTICULA EN UN CAMPO CENTRAL
Según la propiedad 1, el movimiento de unapartícula en un campo de fuerza central tiene lu-gar en un plano. Escogiendo este plano como elplano ry y las coordenadas de la partícula como
coordenadas polares (r, 0), la ecuación de movi-miento obtenida es (véase el problema 5.3)
rn('i-rtP¡ = ¡1r¡
m(re+ zi'e¡ = ¡(2)
(3)
116
cAP. 5l FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO
donde los puntos denotan diferenciaciones con respecto al tiempo r.
De las ecuaciones (J) encontramos
12á:constante:hla que relaciona las propiedades 2 y B establecidas anteriormenre.
ECUACIONES IMPORTANTES DEDUCIDAS DE LAS ECUACIONES DELMOVIMIENTOLas siguientes ecuaciones deducidas de las ecuaciones fundamentales (2) v e) resultanser frecuentemente muy útiles.
1.
2.
donde u : l/r.3.
(e)
(10)
Lt7
(4)
'; - h' f(r)rrndzu 1¿gz-tu = -ffifrf(tlu)
d2r 2/dr\z = r^f(r)lF-n\m) -r mh2
ENERGIA POTENCIAL DE UNA PARTICULA EN UN CAMPO CENTRALun campo de fuerza central € sonservativo y, por consiguiente, puede deri-varse de un potencial' Este potenc nde solamente de 4 sin que aparezcala cons-tante arbitraria de integración, es
v(r) = -f fOlor (8)
y también corresponde. a la energía potencial de una partícula en un campo de fuerza central.La constante arbitraria de intelración puede obtenerse considerando, por ejemplo, v : 0en r: 0 o V.- 0 cuando r- @.
CONSERVACION DE LA ENERGIAEmpleando (8) y el hecho de que en coordenadas polares la energía cinética de una par-tícula es !m(P +1262¡, la ecuación de conservación de la energía puede escribirse como
*m(i"+r'it')+V(r) = fiLm(i"+r,áI-f flrlo, = E
donde E es la energÍa total que es constante. Empleando (4),la ecuación (10) puede escribir-se como
#l(#)'**l - f r@o, = D
y también como T(*.H) _ t ffio, = EEn función de u : I/r, podemos escribir la ecuación (9) como
(#)'*", = WDETERMINACION DE LA ORBITA DEBIDA A UNA FUERZA CENTRAL
si el campo de fuerza central se conoce, es decir, si /(r) está dado, es posible determinarla órbita o trayectoria de la partícula. Esta órbita puede obtenerse en la forma
(5)
(6)
@
(1 1)
(12)
(/3)
r - r(0) (14)
118 FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO lcAP.5
es decir, r como una función de d o, en la forma'
r=t'(t), 0:0(t) Q5)
que son las ecuaciones paramétricas en función del parámetro de tiempo ú'
para determinar la órbita mediante la expresión Qa\ es conveniente emplear las ecua-
ciones (6), (7) u (lt). Para obtener las ecuaciones como se indica en (15), algunas veces es con-
veniente usar las ecuaciones (12) y @) o @) y (5\'
DETERMINACION DE LA FUERZA CENTRAL CONOCIDA LA ORBITA
si conocemos la órbita o trayectoria de la partícula, entonces podemos encontrar la fuer-
za central correspondiente. si la órbita está expresada mediante r: r(0) o u: u(0)
donde u: l/r, la fuerza central puede expresarse como
f(r\ =ry{#-?(#)'-,}( il.zu. Is f (Uu) = -mh2uz \ffi * "l Qn
las cuales se obtienen de las ecuaciones (d) v (7) de la página anterior. También pueden obte-
nerse de otras ecuaciones, como por ejemplo de las ecuaciones (9) a (I3)'
Es importante notar que dada una órbita pueden existir infinitos campos de fuerza pa-
ra los cuales la órbita es posible. sin embargo, si existe un campo de fuerza central único' só-
lo será posible una órbita.
SECCIONESCONICAS,ELIPSE,PARABOLAEHIPERBOLAconsideremos un punto fijo o y una línea fija AB a una distancia D de o' como se mues-
tra en la figura b-8. Supongamos que un punto F en el plllo de O y de AB se mueve de ma-
nera que la relación "rrtr" .n distancia al punto o a su distancia a la recta AB es siempre
igual a una constante Positiva e'
Entonces la curva que describe P expresada
en coordenadas polares (r, 0) escá dada por
r = (18)lfecos0
Véase el problema 5'16.
El punto O se llama foco, la línea AB direc-
triz y el radio e excentricidad. La curva frecuen-
temente se llama seccíón cónica debido a que
puede obtenerse por la intersección de un plano
y r'rr, .ono a diferentes ángulos' Existen tres ti-pos de curvas de acuerdo con el valor de la ex-
centricidad.
1. Elipse: e ( 1 (figura 5-4)'
Si C es el centro de la elipse y CV : CU : o es la
entonces la ecuación de la elipse puede escribirse comoIongitud del semíeje maYor,
r = _a(l-¿)_ (19)1+.cosd
Nótese que el eje mayores la recta que une los uértices v y rJ de la elipse y tiene longitud
2a.
(r6)
- Fig.5-3
cAP. 5l FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO
Fig.5-6
119
Si b es la longitud del semieje menor(CW o CS en la figura b-4) y c es la dis_tancia CO desde el centro al foco, entoncestenemos el siguiente resultado importante
¿ - y/F-.@ = a, (20)Un círculo puede considerarse como uncaso especial de una elipse con excentrici-dad igual a cero.
2. Parábola:e :1(figura b-5).
La ecuación de la parábola es
r = ir¡*e eD
Podemos considerar una parábola co_mo el caso límite de la elipse (I9) dondec- - 1, lo cual significa eu€ ¿ + - (esdecir, el eje mayor se hace infinito) de talmanera que a(1 - .r) : p.
3. Hipérbola: r ) 1 (figura b_6).
La hipérbola consta de dos ramas. co_mo se indica en la figura b_6. La rama dela izquierda es la que nos interesa paranuestros propósitos. La hipérbola es asintó_tica a las líneas a trazos de la figura b_6,las cuales son llamadas asíntotas. El pun_to de intersección C de las asíntotas
". Uu-mado el centro. La distancia CV : adel centro C al vértice V se llama semiejemayor (el eje mayor, por analogía con laelipse, es la distancia entre los vértices Vy U). La ecuación de la hipérbola puedeescribirse como
r = ¿('2-1)
ti+dosd \22)
se pueden dar otras definiciones para secciones cónicas. por ejemplo, una elipse puede de-finirse como el lugar o trayectoria de todos los puntos "rryu-.rr*" de las distancias desde dospuntos fijos es una constante. Análogamente, una hipéibola puede definirse como el lugargeométrico de todos los puntos cuya diferencia entre las distancias a dos puntos fijos es unaconstante' En ambos casos' los dos puntos fijos son los focos y la constante es igual en mag-nitud a la longitud del eje mayor.
ALGUNAS DEFINICIONES EN ASTRONOMIA
rella (tal como nuestro Soltrella es un cuerpo que emi'la. Además hay objetos qulite s.
En nuestro sistema-solar, por ejemplo, la Luna es un satélite de la Tierra y ésta es unplaneta que se mueve alrededor del Sol. Además existen ."i¿tit", artificiales hechos por elhombre que pueden moverse alrededor de los planetas o de .r,. lunas.
ó
o
p
co' o
Fig.5-5
t20 FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO [cAP.5
La trayectoria de un planeta o satélite se llama su órbiúa' La máxima y mínima distan-
cia de un planeta con respecto al sol en su movimiento alrededor de éste se llaman afelio y
perihelio, respectivamente. La máxima y mínima distaplaneta alrededor del cual se mueve se llaman apogeo y
Se llama período el tiempo que el cuerpo emplea en
ta. Algunas veces se llama período sideral para distingui
del movimiento de la Tierra alrededor de su eje, etc'
LEYES DE KEPLER DEL MOVIMIENTOPLANETARIO
Antes de que Newton enunciara sus famosas
leyes de movimiento, Kepler, usando numerosos
datos recogidos por Tycho Brahe' formuló sus tres
leyes relativas al movimiento de los planetas alre-
dedor del Sol (figura 5-7)'
1. Cada planeta se mueve en una órbita elípticacon el Sol en uno de sus focos.
2. El radio vector desde el sol a cualquier planeta barre áreas iguales en tiempos iguales (la
tey de las áreas, como vimos anteriormente)'
3. Los cuadrados de los peiodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos
de los semiejes mayores de sus órbitas'
LEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL DE NEWTON
usando la primera ley de Kepler y las ecuaciones (f 6) o (17), Newton pudo deducir su
famosa ley de gravitación entre el Sol y los planetas, la cual luego postuló como válida para
todos los objetos en eI universo (véase el problema 5'21)'
Ley de la gravitación universal de Newton. Dos partículas cualesquiera de masas
trlt y tnz, ,arp"atiu"mente, separadas una distancia r, cada una atraerá a la otra con una
fuerza D _ Grnúnz .. (25)F : - r, -"donde G es una constante llamada constante grauitacional.
usando la ley de la gravitación de Newton, podemos deducir las leyes de Kepler, e inver-
samente (véanse los problemas 5.13 y 5.23). El valor de G se da en la tabla de la página342'
ATRACCION DE ESFERAS Y OTROS OBJETOS
n, podemos deterPara hacerlo' us
licamos la leY de
, por métodos de
fuerza resultante de atracción. una aplicación importante se
Teorema 5.1. Dos esferas uniformes sólidas o huecas de masas ÍIt Y tTLz' respecti-
vamente, que no se intercepten, se atraen entre sí como si fueran partículas de la misma ma-
sa situadas en sus respectivos centros geométricos'
Puesto que el potencial correspondiente a
Fig.5-7
F = -9yy!2 "(24)
cAP. 5l FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO
es V = -Gmtm", ,'u,también es posible hallar la fuerza de atracción entre objetos, obteniendo primero el poten-cial y luego usando F : - VV. Véanse los problemas S.ZO_S.gS.
MOVIMIENTO EN UN CAMPO DE FUERZA DEPENDIENTE DEL INVERSODEL CUADRADOHemos visto que los planetas se mueven sobre órbitas elípticas estando el sol en uno de
sus focos' De manera similar, los satélites (naturales o artificiales) pueden moverse alrededorde los planetas en órbitas elípticas. Sin embargo, el movimiento de un objeto en un campode fue¡zas dependiente del inverso del cuadraáo no necesariamente se moverá sobre unatrayectoria elíptica sino más bien parabólica o hiperbólica. En tales casos un objeto, tal comoun cometa o un meteorito, podrían entrar al sistema solar y salir de él sin ,"io..ru..
Las condiciones siguientes en función de la energía total E determinan la trayectoria deun objeto.
(i) si E ( 0 la trayectoria es una elipse.(ii) si E : 0 la trayectoria es una parábola.(iii) si E ) 0 la trayectoria es una hipérbola.
otras condiciones en función de la velocidad del objeto son también aprovechables. Véaseel problema 5.37.
En este capítulo supondremos que el Sol está fijo y que los planetas no interactúan entresí' Análogamente, en el movimiento de los satélites alreáedor de un planeta, tal como la Tie-rra' por ejemplo, suponemos que el planeta está fijo y además q,r" "i Sol y los otros planetas
no lo afectan.
Aunque tales consideraciones sean correctas, en principio, la influencia de otros planetasdeberá tenerse en cuenta para fines de cierta exactitud. En los problemas relacionados conel movimiento de dos, ttes, etc., objetos bajo sus atracciones mutuas se denominan frecuen-temente el problema de dos cu.erpos, o er probrema de tres cuerpos, etc.
Proble mas resueltosFUERZAS CENTRALES Y PROPIEDADES IMPORTANTES5'l' Demostrar que si una partícula se mueve en un campo de fuerza central, entonces su
trayectoria debe ser una curva plana.
Sea F : /(r)r, el campo de fue¡za cent¡al. Entonces
rXF = /(r)rXrr = 0 (r)como rt es un vector unitario en la dirección del vector de posición r. Como F : mdv/dt, puede escri-birse
tXdv/d,t = 0
ddú(rxv) = 0
rXv = h
donde h es un vectorconstante. Multiplicando ambos lados de (4) por r.,r.h = 0 t¡l
usandoelhechodeque r'(rx v) : (rX r)'v: o. Así,resperpendicularalvectorconstanteh,demodo que el movimiento se realiza en el plano. Suponemos que este plano es el plano ry cuyo origei está enel cent¡o de fuerza.
t2l
o
Integrando encontramos
L22 FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO IcAP. 5
6.2. Demostrar que el momentum angular de una partícula que se mueve en un campode fuerza central se conserva.
De las ecuaciones (4) del problema 5.1 tenemos,
rXv = h
donde h es un vector constante. Entonces multiplicando por Ia masa m,
m(txvl = 1¡ (/)
Como el lado izquierdo de (f) es el momentum angular, se deduce que el momentum angular se conserva,esto es, siempre es constante tanto en magnitud como en di¡ección.
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA EN UN CAMPOCENTRAL5.3. Escribir las ecuaciones del movimiento de una partícula en un campo de fuerza cen-
tral.Según el problema 5.1, el movimiento de la partícula tiene lugar en el plano ry y las coordenadas des-
criben la posicién de la partícula en cualquier tiempo ú para las coordenadas polares (r, d). Usando losresultados del problema 1.49, tenemos
(masa) (aceleración) : fuerza neta
mlr(; - ritz)t, + (ri + Zi'e)or) = .f(r') rr
Así, las ecuaciones del movimiento están dadas por
m(i-ráz¡ = fV)
m(ri*2|i¡ = s
6.4. Demostrar que 12 á : h, es constante.
Método l.La ecuación (3) del problema 5.3 puede escribi¡se como
mbii+zlit = ?bzi+zr;A\ = Trrn"t,*r|2i) - oy cono
(r)
(2)
(3)
ftv'at =Q
12á=hdonde h es una constante.
Mótodo 2.
Según el problema 1.49, la velocidad en coordenadas polares es
v = irtlr'oot
Entonces de la ecuación (4) del problema 5.1,
h = rxv = ilrxrr)*rá(rxct) = rzák Q)
yaque rX rr: O y rX lr: rk, dondekeselvectorunitarioenunadirecciónperpendicularalplanodel movimiento (el plano ¡y), esto es, en la dirección r X v. Usando h : hk en (2), vemos que 126 : h.
u)
5.5. Demostrar que r'd : 2Á donde Á es la tasade tiempo a la cual el área es barrida por elvector de posición r.
Supongamos que en el tiempo Aü la partícula se
mueve desde M hasta N (figura 5-8). El á¡ea AA bani-da por el vecto¡ de posición en este tiempo es aproxi-madamente la mitad del área de un paralelogramo de la-dos r y Ar (véase el problema 1.18) o
^A = lrlrxarlDividiendo por Aú y haciendo Aú -- 0,
l¡T, ^# : l¡*, 11. '* l = | r. x "l
Fig.5-t
cAP. 5l FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO t?3
es deci¡, Á = yrxvl = {rziusando los resultados el problema 5.4. Portanto 12á = 2Á, como se requeía. La cantidad vectorial
Á = it = {(rxv) = }(r2i)kse denomina a veces la uelocídad areal.
5.6. Demostrar que una partícula en movimiento en un campo de fuerza central tiene unavelocidad areal constante.
Según el problema 5.4, 126: h : una constante. Entonces la velocidad areal es
Á: |rriL: 'hk:
|h, un vector constante
El ¡esultado generalmente se enuncia en la siguiente forma: Si una partícula ge mueve en un campode fuerza central con O como su centro, entonces el radio vector dibujado áesde O hasta la partícula barreáreas iguales en tiempos iguales. Este ¡reultado se llama la ley de las óreas.
6.7. Haciendo la sustitución r: I/u, demostrar que la ecuación diferencial que descri-be la trayectoria de una partícula en un campo de fuerza central es
d2u , ^. f(l/u)@+u = _ffiDel problema b.4 o la ecuación (J) del problema 5.8, tenemos
12á=h o ó=h/rz=huvSustituyendo en la ecuación (2) del problema b.3, encontramos
m(';-h2lr+\ = f(r')Ahora si r : I/u, tenemos
, dr drder = E = dcü =
| = ü d/ .d*\ ¡tü = a¿\-^a) = üDe donde se obse¡va que (2) puede escribirse como
hdr ,durzA; = -nde
(-r#)# = -h2u2#
(r)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)o, como se deseaba.
m(-hzu,z dzul(ls2 - l¿2lrsl - l(Uu'l
dzu , -. f(llul=dez ¡nh2u2
ENERGIA POTENCIAL Y CONSERVACION DE LA ENERGIAEN CAMPOS DE FUERZA CENTRAL5.8. (o) Demostrar que un campo de fuerza central es conservativo. (ó) Encont¡ar la co-
rrespondiente energía potencial de una partícula en dicho campo.Método l.
Si podemos encontrar la energía potencial o el potencial, entonces podremos ptobar si el campo es con-servativo. Aho¡a, si el potencial V existe, debe se¡ tal que
F. d¡ = -ilVdonde F : /(r)r, es la fue¡za central. Tenemos
como r.dr : rd¡.F . dr = f(r)¡t, dr = f(r)\, d.t - f(r)dr
Como podemos determina¡ V tal que_¿y = l(r) d.r
(1)
t24 FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO IcAP. 5
(2)po¡ ejemplo,
se deduce que el campo es conservativo y que (2) rep¡esenta el potencial o la energía potencial.
Método 2.
Podemos demostra¡ que V X F : O directamente, pe¡o este método es tedioso.
5.9. Expresar el principio de conservación de la energía para una partícula de masa rn enun campo de fuerza central.
Método 1.
La velocidad de una partícula expresada en coordenadas polares es (problema 1.49)
" = |¡t*rbor demodoque u2 = v'u - i'z¡,zlzEntonces el principio de conse¡vación de la energía puede expresarse como
*maz*V = E oz
donde E es una constante.
que puede escribirse
Integrando ambos lados, tenemos
v = -J'tvto,
{n1}z + rz'ezt - J' r<rl o, = E
= ilrde = dr;de dt do-
mh2f/dr\z 1 r" ffiL(a,/ **)- ) r{''ta' = E
Método 2.
Las ecuaciones del movimiento de una partícula en un campo central son; según el problema 5.3,
m(i - ráz¡ = f@\ (I)
m@í+ziá\ = o (2)
Multiplicando la ecuación (t) por i Ia ecuación (2) por rá y sumándolas, obtenemos
m1|'i + r2i'i + r¡62¡ = fQ)|
¡*ft6,+r2b2\ = fttx,to"
gm1|z + rziz) - .f f<r, o, = E
mh2f/dr\2 "l f .. -
:,,L\Aa) *,")- ) f(r)dr = E
Según el problema 5.9, podemos exp¡esar la conservación de la energía como
¡m1i"z+rzá\ - f Xrlo, = E
(3)
(4)
(5)
5.f0. Demostrar que la ecuación diferencial que describe el movimiento de una partículaen un campo de fuerza central puede escribirse como
(r)
(2)Tambiéntenemos i - y,
Sustituyendo (21 en (1), encont¡amos
f t' \2 1
+-l(#)" *,,)a, - ! rvto, = E
.olno á : h,/r'¿.
5.11. (o) Si u: l/r, demostrar que ?r2 = i'+ r"á' - h2{(du/d0\2*u').(b) Usar (o) para demostrarque la ecuación de conservaciónde la energía se reduce a
(du/d|)z * tt2 = 2(E - V\lmhz
cAP. 5l FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO
De las ecuaciones (I) y (J) del problema b.? tenemos á: hu2, i: _hdu/de. Así,
o2 = P*r2i2 = hz(d.u/ttc\z* (yuzl(hfilz = lfl(duldgzauz¡
Del principio de conservación de la energía (problema b.9) y de la parte (o),
$mpz - [rn1i.z+rit2l = E-V o (duldc)z ! u2 = 2(E -V\/mhz
DETERMINACION DE LA ORBITA A PARTIR DE LA FUERZA CENTRALO LA FUERZA CENTRAL A PARTIR DE LA ORBITA6'12' Demostrar que la posición de la partícula como una función del tiempo ú puede de-
terminarse de las ecuaciones
125
(¿)
(ó)
t = ) [G(r)]-t/2dr, t - f!,"aedonde
Haciendo 6 : n,/r2 en la ecuación de conservación de la energía del problema b.9,
+rn(;2+hz/r2) - f ,<rlo, = E
|z = ,#.*! r<od,_# = G@)
Entonces, admitiendo la raíz cuad¡ada positiva, tenemos
4r¡¿¿ = t/@y separando las va¡iables e integrando, obtenemos
t = ) Íe{d|-t,ra,
La segunda ecuación se deduce escribiendo 6 : h/r2 como dt : 12 d\/h e integrando.
5.r3. Demostrar que si la ley de fuerza central se define mediante
f(r) = -K/r2, K>oes decir, como una ley de atracción del inverso del cuadrado, entonces la trayectoriade la partícula es una cónica.
Mérodo l.En este caso f (l/u) : - Ku2 . Sustituyendo en la ecuación diferencial del movimiento en el proble-
ma 5.7, encont¡amosdzulde2*u = Klmhz
Esta ecuación tiene como solución general
xL = Acoso*Bsene *Klmhzo usando el resultado del problema 4.2.
1tr = Klmh2 * Ccos(e-p)
1| = nffi+]cosp]Es siempre posible escoger los ejes de tal mane¡a que ó : 0, caso en el cual tenemos
- :' Klmhz I Ccose
G(r) = #*|frotd,-#
esto es,
(r)
(2)
(3)
(4)
(5)
126 FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO
la cual tiene la forma general de una cónica (véase el problema 5.16)'
olr = l+.cosa = l6FJ¡lelc.oe
Entonces, comparando (5) V (6) vemos que
llp = ¡¡¡^¡2, ,lP - C
o p-mh2lK, c-mhzClKMétodo 2.
Como /(r) : - K,/r2, tenemos
Método l.(a) La energía potencial es
v = -f ¡Olo, = f Wnlo, = -Klr =J'" Jdonde usamos u : l/r y elegimos la constante de integración tal que
ecuación (5) del p¡oblema 5.13,
7t = tlr = K/¡nh2 * Ccosa
Así del problema 5.11(b) y la ecuación (l), tenemos
o G = #.*h o c=\ffi(r)
IcAP. 5
-Ku U)
lim V : 0. Ahora de la
(2)
(4)
fV = -) f{r\a, = -KlrIcldonde c¡ es unA Constante. Si suponemos que V.+ 0 cuando r+ @, entonces cr : 0 y como
V = -KlrUsando el resultado del problema 5.10' encontramos
^nrf(L\'+ef = E+Lltr-L\t6l --) ' r
(6)
@
(8)
(e)
(10)
ull
(12)de donde
Separando va¡iables e integrando (véase el problema 5.66) encontramos la solución (5) donde C se erpresa
en función de la eneryía E.
5.14. (o) Obtener la constante C del problema 5.13 en función de la energía E' (b') Demos-
trar que la cónica es una elipse, una parábola, o una hipérbola dependiendo de si
E < 0, E : 0, E > 0, resPectivamente.
tlr:ae
(csen r)z + (ffi+c .o.r)' = ffi + #(#+ c"o"c)
haciendo C > 0.
(b) Usando el valor de C en la parte (o), la ecuación de la cónica es
comparándola con la ecuación (4) del problema 5.16 vemos que la ercentricidad es
Trzo^trc = {r__W_De donde puede concluirse que la cónica es una elipse si E < 0 (pero mucho mayorque - K2/2mh2)'
unaparábolasi E:0 yunahipérbolasi E>b, Iocualesequivalentea c< 1, e:1 y e) 1
respectivamente.
Mótodo 2.
EI valor de C puede obtenerse también utilizando el segundo método del problema 5.13.
. Iznr¿ , urr=, \lm i
-mh2- L
cAP. 5l FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO r27
5'15' Bajo la influencia de una fuerza central en el punto O, una partícula se mueve en unaórbita circular la cual pasa por o. Encontrarla ley de fuerza.Método l.
coo¡denadas polares la ecuación de un círculo, de ra-dio a, que pasa por O es (figura b-9)
r = 2acoso
Entonces como u : L/r : (sec 0)/2a. tenemos
d.u sec e tan e
de 2a
d.2u
ile2
= secs, * sec c tanz o
2a
Así, por el problema 5.7,Fig.5-9
f(t/u) = -mhzu2 (# - ") = -^uru, ("""
-mhLuz t-^'a ^ L -^^ ^ t.^-'o ¡nh2u2= - Zú {secüd+seca(tan2d+1)} =, -=if,.2aecac= -8mh2a2u5
fo\ _ 8mh2a2tE
Así, la fueza es de atracción va¡iando inversamente a la quinta potencia de la distancia deede O.
Método 2.
Empleando r: 2a cosd en la ecuación (16), tenemos
f(r) = %-{-r"cos, - *k(-2osen elz - 2a.orr}r L zaeogo. -- - )
4amh2 8ahnh2ra cose p
SECCIONES CONICAS, ELIPSE, PARABOLA E HIPERBOLA5'16' Deducir de la ecuación (18) de este capítulo la expresión pa¡a una sección cónica.
Haciendo referencia a la figura 5-3, por definición de una sección cónica, tenemos para cualquierpun-to P sob¡e ella,
r/d=, o d.=rlcHaciendo corresponder al punto particular e tenemos
P/D- G o p=cD
Pero D = d,Ircosc = !+r"o"c = I1l+.cosa¡
Entonces de (2) y (J), al elimina¡ D, obtenemos
p = r(l *ccos0) o r = l+ra¿*,La ecuacióncorresponderáa un cí¡culo si c : 0, a una elipse si 0< e ( l, a unaparábola si c : Iuna hipérbola ei c ) l.
6.17. Deducir la ecuación (I9) para una elipse.Haciendoreferencia alafiguraS-4,vemosquecuando 0: o, r: OV y entonces c: t, r- OU.Por tanto, usando la ecuación (4) del p¡oblema 5.t0,
(r)
(2)
(3)
(4)
ya
r28 FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO
pl(L - ,)
+p/(1 -e) = 2a
IcAP.5
(r)
o vE - ú-c (I)€
OV -- p/(l * ,),
Pero como 2¿ es la longitud del eje mayor,
OVÍOU = 2a o
de donde p =
Así la ecuación de la elipse es
r=
OU=
p/(r + e)
o(1 - ez¡
a(l - ez¡
1*ecosá
(2)
(3)
(4)
6.18. Demostrarque en la figura 5-4: (a) OV: a(l - .), (b) OU: ¿(1 * e)'
(o) Según el problema 5.1?, la ecuación (3) y la primera ecuación de (l),
ov = ío+- = {*4.' :- a(t - c)
(b) Según el problema 5.17, la ecuación (3) y la segunda ecuación de (I),
ou = :- = cll -e2) = a(l-r.)I -€ r - €
5.19. Demostrar que c : ¿e donde c es la distancia desde el centro al foco de la elipse. oes la longitud del semieje mayor y e la excentricidad.
De la figuraS-4tenemos c : CO : CV - OV: a- a(l- c) - se'
un resultado anólogo es válido para la hipérbola (véase el problema5.73(c)).
6.20. Si a y c reprcsentan lo mismo del problema 5.19 y b es la longitud del semieje menor'
demostrar que: (o) c = \F -F, (b) b = alh - ,'-(o) De la figura 5-4 y de acue¡do con la definición de elipse, tenemos
(r)
(2)
OV CV-CO - a-c'-W- vE vE
También como la excentricidad es la distancia desde O hasta tVdividida porla distancia desde Wala dircct¡iz AB (la cual es igual a CE), ten€mos
OWICE = ,
o, usando (t) y el resultado del problema 5.19,
OW = cCE =- e(CV*VEl : ela,* (a-c)/,) = cal a'- c = a
Entonces (OWl2 - (OC\|+(CW)2 o a2 = b2 lc2, i.e' "=1@=F.
(b) Según el problema 5.19 y la parte (a), a2 : b2 I a2'2 s $ : s\/l --ez'
LEYES DE KEPLER DEL MOVIMIENTO PLANETARIO YLEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL DE NEWTON
6.21. Demostrar que si un planeta se mueve alrededor del Sol en una órbita elíptica, con el
Sol en uno de sus focos (primera ley de Kepler), entonces la fuerza central necesaria
vaia inversamente con el cuadrado de la distancia del planeta al Sol.
Si la trayectoria es una elipse, con el Sol en uno de sus focos, entonces llamando r la distancia desde
el Sol, tenemos, según el problema 5'16,
cAP. 5l FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO
r-?-:- oI+€COSdlleu = - = -+-cosdrpp
r29
Tierra, la fue¡za de atrac-M es la masa de la Tierra_
Tierra como 6,38 X: 5,98 X 1027 g :
donde c ( 1. Entonces la
al sustituir el valo¡ de u en
fue¡za central está dada, como en el problema 5.?, por
Í0/u) = -^¡zyz(tl2u/de2 Iul = -mh\P/p(1). De (2) tenemos al remplazar upor I/r,
f(r)=-mh2/pr2=-Klrz
K = GM¡n
GMn/R2 = mg o GM-gR2
(1)
(2)
(3)
6'22' Discutir la relación de la ley de la gravitación universal de Newton con el problema5.2r.
Históricamente, Newton llegó a la ley de fuerza del inverso del cuadrado para los planetas usando laprimera ley de Kepler y el método del problema 5.21. Luego conside¡ó que todos los objeios del universo seatra¡an entre sí con una fuerza que e¡a inversamente proporcional al cuad¡ado de la distancia ry directa-mente propo¡cional ar producto de sus masas. Formuló su postulado como
^ GMn¿¡=-ürt(1)
3:10: I tt_ll constante de la gravitación universal. En forma equivalente, la ley de fuerza (J) del problemab.zt es la misma que (I) donde
(2)
6'23' Demostrar la te¡cera ley de Kepler: Los cuadrados de los períodos de los diferentes pla-netas son proporcionales a los cubos de sus correspondientes semiejes mayores.
Si o y b son las longitudes de los semiejes mayores y menores, entonces el área de la elipse es rob.Como la velocidad areal tiene magnitud h/2 (problema 5.6), el tiempo empleado en barrer toda el árearob, esto es, el peíodo, es
D - lreb 2rabhn h (Ir
Ahora por la ecuación (3) del problema 5.1?, el problema 5.20(b) y la ecuación (g) del problema b.13, tenemos
b = otfii4, p = a(L-.2) = mh2lK (21
Entonces de (1) y (2) hallamos
p = lvmr/2s3/2/Kr/2 o P2 _ 4zr2ma3/K
Así, los cuadrados de los períodos son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores.
6.24. Demostrar que GM : gR2.sobre la superficie de la Tierra, esto es, ¡: rR, donde B es er ¡adio de la
ción de la Tierra sob¡e un objeto de masa ,n es igual al peso mg der objeto. Así, si
6.26. Calcular la masa de la Tierra.según el problema 5.24, GM : gR2 o M : eR2/G. 'romando el radiode la
108 cm, g : g8o cm/seg2 y G :6,62 x r0-8 unidades cGS. encont¡amos M1,32 x 1025 lb.
ATRACCION DE OBJETOS5'26' Hallar la fuerza de atracción de una varilla delgada uniforme de longitud 2o sobre
una partícula de masa ¡n colocada a una distancia ó de su punto medi;.
130 FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO lcAP.5
odfr
-u+a
Escogemos el eje r a lo largo de la varilla y el ejey perpendicular a ella y hacemos que O esté en elcentro, como se muestra en la figura 5-10. Sea o lamasa por unidad de longitud de la varilla. La fuerzade atracción dF entre un elemento de masa o d¡de la varilla y la masa rn, según la ley de gravitaciónuniversal de Newton, es
dF = ffi(senai-cosri)Gmor d,r Gmob dn= @rTt4ol,
| - @2 + b\uz t
como de la figura 5-10, sen e : x/!T-F, cos d : b/\/;z#. Entonces la fue¡za total de at¡ac-ción es
F =, 1,"= -"#ffi - t .f,"= -"ffi,¡,,: f) - zit""ffiffi = -2Gmobi!," ¡pfu
Sea ¡: btand enestaintegral.Entoncescuando x:0,0:0; ycuando r: a,0: tan-t (a/bl.Así, la integral se convierte en
rt"n-l (o/b)F = -zcmobi I
"ob sec2 e de
(bz serz s)tlz
Fig.5-10
Como la masa de la varilla es M : 2oo, también podemos escribi¡
- GMm
b{a'2 + b2'
Asi vemos que la fuerza de at¡acción está diúgida desde m hasta el centro de la varilla y su magni-
tud es 2Gmoa/b{lrTT o GMm/bG +-l-b|.
6.27. Se coloca una masa m sobre la perpendicular que pasa por el centro de una placa cir-cular de radio a v a una distancia b del centro. Hallar la fuerza de atracción entre laplaca y la masa m.
Método l.Sea n un vector unita¡io dibujado de manera que su
origen O coincide con el punto P donde está Iocalizada lamasa /n, y dirigido hacia el cent¡o O de la placa. Subdivi-diendo la placa circular en anillos circula¡es (tales comoABC en la figura 5-11) de radio ¡ y espesor dr. Si o es lamasa por unidad de área, entonces la masa del anillo eso(2rrd.r). Como todos los puntos del anillo están a la
misma distancia llR de P, la fue¡za de atraccióndel anillo sobre la masa m se¡á
Go(%rr d,r\md'I = --:-
COS I nt/rz + Uz
= Go 2tr dr mbffin (.1)
donde, debido a la simetría, la fuerza resultante de at¡ac-ción está en la dirección n. Al integrar sob¡e todos los ani-llos desde r: 0 hasta ¡ : a, encontramos que la atrac-ción total es Fig.5-1r
n' = 2tGom' (o r drb" ), Taffio el
Para evaluarla integral, sea 12 * b2 : u2 de manera que rdr: udu. Entonces, como u: b cuando
¡: 0 y u: G-T-F cuando r: a, la ¡esultante es
CAP. 5I FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO
F = 2¡Gomb" f* # = 2rGom^(, -+)rb \ 1/az*bz/Si hacemos a igual al valo¡ de { cuando r : d. entonces
l3l
F = 2¡Gom n (1 - cos a) (J)
Por tanto la fuerza está dirigida desde m al centro o de la placa y tiene una magnitud 2rGom(l - cos c).
Método 2.
El método de integración doble también puede utilizarse. En tal caso el elemento de área en A esrdrdq, donde d es el ángulo medido desde una línea (que puede ser el eje r) en el plano de la placacircular y que pase por el centro O. Entonces tenemos, como en la ecuación (l),
Gob dr d,c\mbctt = 6'+wn n
y, por integración sobre la placa circular,
ro (r" r d,r de (" 2trr d,rF = Go^un),=o)r=rt*íffi = ""^'nJ,=offiffi = 2rGomn(l -cosa)
6.28. Una placa uniforme está formada pordos semicírculos concéntricos de radiosinterno y externo a y b, respectivamen-te, como se muestra en la figura 5_12.Hallar la fuerza de atracción que ejercela placa sobre una masa rn localizadaen el centro O.
Es conveniente usar coo¡denadas polares(¿ d). El elemento de á¡ea de la placa (sombrea_do en la figura 5-12) es dA: rdrd|, y la masaes ordrd0. Entonces la fuerza de at¡acción en_tredAyOes Fig.5-12
dF = G(ordtde\m(cosa i 4sena i)rz
Así, la fuerza total de atracción es
F = Ír"=, l"'="futffu (cose i * sena j)
- /t\ fr /r\= Gomlnf : ) | (cosa i * sena j) da = ZGomln( !\¡
\ú / _e=o __-.." -.. \r/,Como M: a(!¡*b2 - tr"a2), tenemos o:2M/r(b2 _ a2) y lafueuapuedeescribirse
F = !=Q-M*=, r" /¿\ .;F6 ',n \;/'El método de integración simple puede también emplearse dividiendo la región comprrndida entrer - a y r : b en anillos circulares, como en el problema 5.2?.
5'29. Hallar la fuerza de atracción de un cascarón esférico delgado de radio o sobre una par-tícula P de masa 17¿ a una distancia r > a de su centro.
Sea O el centro de la esfera. Subdividiendo la superficie de la esfera en elementos ci¡tulares tales co-mo ABCDA, en la figura 5-rB, usando planos paralelos perpendiculares a op.
El área del elemento de superficie ABCDA, como se muestra en la figura 5-13, es
2t(asenc)(ad,cl - 2zraz Eeno do
ya que el radio es d sen 0 (de manera que el perímet¡o es 2r (o sen 0)) y el espesor es a d0. Entonceso eg la masa por unidad de área, la masa de ABCDA es 2¡a2o sen| d0.
t32 FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO IcAP. 5
Como todos los puntos de ABCDA están a la mis-ma distancia w : AP de P, la fuerza de at¡accióndel elemento ABCDA sobre ¡n es
cos C n (t)
teniendo en cuenta que por simetría la fuerza neta ac-tuará en la dirección del vector unitario n desde P ha-cia 0. Aho¡a, de la figura 5-13,
PE PO-EO r-a,cosecoso= lp= ¡p Q)
Usando (2) en (1) y empleando la ley de los cosenos
u)2 = a2 Irz-2arcoso Qlhallamos
dF= G(2ra2o sen e de\m(r - @ cos a)(a2 | r2 - 2or cos e\3/2
Entonces la fuerza total es /.¡
F = 2rGa2onn IJ o=o
(/ - o cos d) sen,(a2 I r2 - 2ar eose)3/2
Fig.5-r3
de \4)
Podemos calcular la integral usando la variable ¿¿ dada por (3) en lugar de d. Cuando d : 0,
u:2: a2 - 2arl r2: (r - o)2 demaneraque ¿, : r- a si r) ¿. Tambiéncuando f :v, ¡¡'2:a2 I 2ar* 12: (rI al2, asíque p: r* o. Porconsiguientetenemos
2w du = Zar sene do
/a2 * 12 - z¿2\ocosa : r-a\-- %r )
Entonces (4) se convierte en n ^r+a /F =
oGao:mn ('-" (, 12 - o2\ 'J,-o\+w2)au'
u2-a,2+122r
4rGa2omnP
5.30. Desarrollar el problema 5.29 si r < a.
En este caso la fuerza también está dada por (4) del problema 5.29. Sin embargo, al caleular la inte-gral observamos que al hacer la sustitución (3) del problema 5.29, 0 : 0, se obtiene ,'z : (a - r) 2 o
LL) : a- r si ¡( o Entonceselresultado(4)delproblemaS.29sereducea
F = ¡Gaolmn ('*' ( t _", -!\ a* = o- 12 J \- u)2 /-
Po¡ tanto un cascarón esférico no ejercerá ,."i; O" atracción sobre ninguna masa colocada en su interior.Esto significa que una partícula estará en equilibrio dentro del cascarón esférico.
5.31. Demostrar que la fuerza de atracción en el problema 5.29 es Ia misma si se consideraque la masa del cascarón esférico está concentrada en su centro.
La masa del casca¡ón es M : 4ra2o. Po¡ tanto, la fuerza es F : (GMm/r2)n, con lo cual se de-
muestra el resultado pedido.
5.32. (o) Hallar la fuerza de atracción de una esfera sólida uniforme de masa m colocadafuera de ella. (b) Demostrarque se obtiene la misma fuerza como si Ia masa estuvie-ra concentrada en su centro.
(o) Podemos subdividir la esfera sólida en cascarones esféricos concéntricos. Si p es la distancia desde
cualquiera de estos al centro y si do es su espesor, entonces, según el problema 5.29, la fuerza de atrac'ción de este cascarón sobre la masa in es
cAP. 5l FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO
¿I¡^ = P91U¡2.2-dP)m n
do¡de o es la masa por unidad de volumen. Entonces la fue¡za total obtenida al integrar desde0 hasta ¡: c es
E - A¡Gotnn (o ,, , G({nax)omn
-=- | u- r7¡t = --F-Jo
(ó) Como la masa de la esfe¡a "" ¡4: $raso, (2) puede escribirse como F : (GMm/r2)n, lo cual
demuestra que la fuerza de at¡acción es la misma c<¡mo si la masa estuviera concentrada en el centro.
Se puede también hacer integración triple para obtenereste resultado (véase el problema 5.180).
5'33' Deducir el resultado de los problemas 5.29 y 5.30 a partir del potencial debido a la dis-tribución de masa.
El potencial dV debido al elemento ABCDA es
cIV = -G(2¡a2osenede)mer la, + r, _ Zar coslEntonces el potencial totai es
V= ,
-
.'o {dr¡ r, - Zar cos o
-2rGaom tfrlrr\2 - rf¡n|fit,{V(¿* r\2 - t/(a-r)z)
133
(r)
(2)
-ZrGa2om.f sen 0 de
f
Si ¡) ¿ seobtiene
Si r< ¿ seobtiene
Entonces si r ) o la fuerza es
F=-VV
rr 4tGa2om GMmt¡
V = -4rGaont
- / GMm\ GMm
' / = --rz tty si r ( o la fuerza es
F=-VV=_y(_A¡Gaom\=¡lo cual está de acuerdo con loe Soblemas 5.2g y 5.30.
PROBLEMAS VARIOS5'34' Un objeto se lanza verticalmente desde la superficie de la Tierra con rapidez inicialuo' Despreciando la resistencia del aire: (a) Lallar la rapidez a una disiancia If por
encima de la superficie terrest¡e, y (b) la mínima velocidad de lanzamiento a fin deque el objeto nunca regrese.
F = _ry,, (1)
donde r, es un vecto¡ unitario dirigido ¡adialmente haciaafue¡a desde el centro de la Tie¡ra en la dirección del movi_miento del objeto.
Si u es la rapidez en el tiempo ú, de acuerdo con la se-gunda ley de Newton.
Fig.5.14
134 FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO lcAP.5
(2)
(3)
(4)
cuando r: n,
*#" = -Y" o
Lo cual puede escribirse como
#H=_e:! o o#=
GM12
GM
iloü
Al integrar se obtiene
o sea,
o2/2 = GMlr*cl
Como el objeto parte desde ls supelicie terrestre con rapidez ue, tenemos u : uo
así que c, : t:f,/2 - GM/R- Entonces (4) se reduce a
/t I \02 = zcMl;-i) *"7 (5)
Así, cuando el objeto está a una altura H sobre Ia superficie de la Tierra, es decir, cuando r: B * H'
D2 = rcM(E+E-+).4 = c-ff1**aI o zcMHO = \I ,¡
_ FIFTE
Usando el resultado del problema 5.24, se puede escribir
f^" - "BH1) = !0¡_ETE(6)
@
tenemos
(¡)
(2)
(3)rXv = h
# = ,+*#,,. De (r),
= rxv = *,r(,#*#,,) = r2r,xfi
(b) Cuando H - -, la rapidez límite dada en (6) es
lq=EÑncomo lim #ñ
,/q= rñ= 1. La rapidez inicial mínima ocurre cuando (7) es cero o cuando
oo : 1@ñiE = {rln €)
Esta rapidez minima se llama ropidez de escape y la correspondiente velocidad se llama uelocidad
de escape de la superficie terrestre'
ó.35. Demostrar que la magnitud de la velocidad de escape de un objeto de la superficie te-
rrestre es alrededor de 7 mi/seg.
De la ecuación (8) del problema 5.34, us :encontramos uo : 6'96 mi/seg'
@E- Tomando g: 32pies/seg2 y R - 4000 ni'
5.36. Demostrar por métodos vectoriales que la trayectoria de un planeta alrededor del Sol
es una elipse, con el Sol en uno de sus focos.
Como la fuerza F entre el planeta y el Sol es
dv GMmF = *A = -T-rtilv - -ry-r.¿lt rz
También, según el problema 5.1, ecuación (4), tenemos
YcomoÍ=rtb v=
h(4)
cAP. 5l FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO 135
De (21,
#"n = -ffr1xn = -GMr1r(r,"*)^..11 drr\ .d',.) d¡,= -Gn' t(rr o, )" - (rr'il-¿rl = e*i
usando la ecuación (4) anterior y la ecuación (z) del capítulo de vectores.
pero h es un vector constante, # " ^ = *ex h) así que
d d.t
ft(vxtr) = c*;integrando, vXh = GMtl*cdedonde
r.(vxh) = GMr.t1*r.c = GMr*rr1 .c = GMr*rccoacdonde c es un vector constante arbitrario que tiene magnitud c, y que forr¡a un ángulo d con rr.
Como r. (v X h) : (r X v).h : h.h : l¡2 [véase el problema 1.72(a)1,
h2 = GMr*rceose
Y así r = dFi*r* = ,Tffi "r*la cual es la ecuación de una cónica. como la única cónica que es una curva cer¡ada es una elipse, quedademostrado lo pedido.
5'37' Demostrarque la rapidez u de una partícula que se mueve en una trayectoria elípticaen un campo de fuerza del inve¡so del cuadrado está dada por
^.2 K /2 1\donde a es el semieje mayor.
u - m\r- a)
Según (8) del problema 5'r3, (4) del problema 5.14 y (J) del problema 5.1?, tenemr.¡s
o=ry =úú(r-G2)= "(-r#) (r)
de la cual E = _K/2a e)Y según el púncipio de conservación de la energía, usando v: _K/r tenemos
t^rt = E-V = -#.+o o, = 4(?-L\- m\r a/ (3)
Análogamente podemos demost¡ar que pa¡a una hipérbola
1)2 = 4/?*t\m\l -á/ (4)
mient¡as que para una parábola (lo cual corresponde a hacer a -. - bien sea en (J) o en (4)),
o2 = 2Kl¡nr
5'38' Un satélite artificial gira alrededor de la Tierra a una altura Il sobre su superficie.Determinar: (a) la rapidez orbital, y (b) el período orbital requerido para que un hom-bre dentro del satélite no experimente peso.(a) suponemos que la Tierra es esférica y que tiene un radio .8. No se erperimenta peso cuando la fuetzacentúfuga (igual en magnitud a la fue¡za centrípeta, esto eB, la fuerza debida a la aceleración centrl-
136 FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO IcAP.5
peta) que actúa sobr€ el hombre por efecto de la rotación del satélite alrededor de la Tierra iguale
exactamente la atracción de la Tier¡a. Entonces si us es la rapidez orbital,
,nD6 GMmETH = (R+H)2 -
po 0o = ffi{tn-Waproxi madamente.
snw(n+ m2
Si H es pequeña comparada con B, se obtiene VEg
(b)distancia ¡ecor¡ida en una ¡evolución
Rapidez o¡bital : tñpo d-e untrevolución o Período
Así' 1)¡ = ttg;lt
Entonces de la parte (c),
p = 2r(R*H) = z,(R!H\os -"\ n /Si H es pequeña comparada con fl, se obtiene z"lEG, aproximadamente.
5.39. Calcular: (o) la rapidez orbital, y (b) el peiodo en el problema 5'38 suponiendo que
la altura .E[ por en;ima de la superficie terrestre es pequeña comparada con el radio
de la Tierra.
TomandoelradiodelaTie¡racomo4000millasy g:32pies/seg2'encontramos:(¿) uo:tffig:4,92mi/seg, y (ó) P :2*lEE : 1,42h: 85 minutos aproximadamente'
5.40. Hallar Ia fuerza de atracción de una esfera sólida de radio omasa 17¿ a una distancia b I a a partir de su centro'
Según el problema 5.30, la fue¡za de atracción de cualquiercascarón esférico sobre una masa m en su inteúo¡ (tal como el
cagcarón esférico dibujado a trazos en la figura 5-15) es cero'
Así, la fuerza de atracción sobre m es la fuerza debida a la
esfera de radio b < o con centro en O. Si o es la masa por uni'dad de volumen. la fue¡za de atracción es
c(trbslcmlb2 = 1$tGom)b
Po¡ tanto, Ia fuerza varía en función directa a la distancia b de
Ia masa al centro.
sobre una partícula de
Proble mas propuestos
FUERZAS CENTRALES Y ECUACIONES DEL MOVIMIENTO5.41. Indicar cuál de los siguientes campos de fuerza cent¡al son atractivos hacia el origen O y cuáles son respul
sivos desde o. (o) F : -4r3rr; (ó) F : Krr/{1, K > O; (c) F : r(r - I)r't/(rz + 1); (d)
F: S€D rrlr.Resp. (a) atractiva; (b) repulsiva; (c) atractivasi 0 < r ( 1, repulsivasi r > 1; (d) repulsivaPara
2n 1 r < 2n *1, atractiva para 2n* 1 ( r < 2tt * 2 donde n : 0' 1' 2' 3
6.42. Demostrarque en coordenadas rectangulares la magnitud de la velocidad areal es i(¡i - yi)'
6.43. Dar un ejemplo de un campo de fue¡za dirigido hacia un punto fijo que no sea un campo de fuerza cen'
tral.
Fig.5-15
cAP. 5l FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO r37
6.44. Deducir la ecuación (Z) de este capítulo.
5'45' Si una partícula se mueve en una órbita ci¡cular bajo la acción de un campo de fuerza central dirigidohacia el centro, demostrar que el valor de su velocidaá alrededor de la órbita debe ser cons¡ante.
5'46' Una partícula de masa m se mueve en el campo de fuerza central definido por F : - Krr/rs. Si partedel eje r de un punto situado una distancia positiva a medida desde el origen y se mueve con rapidez u¡en una dirección que forma el ángulo c con la parte positiva del eje r, demostrar que la ecuación dife¡cn-cial para la posición radial r de la partícula en cualquier tiempo t es
d2r (K - rna2trtsenz a)dt, - -----ñ-
6'47' (a) Demostra¡ que la ecuación diferencial de la órbita del problema 5.46 en función de u: L/r estádada por
d2u,,.K¿rz+\t-t)u = 0 donde y = ñWna
(b) Resolver la ecuación diferencial de la parte (a) e interpreta¡ fisicamente los resultados.
5'48' Ylil,"-u*.'" se mueve bajo la acción de un campo de fuerza central tal que la magnitud de su velocidadorDlr'ar es sremp¡e constante e igual a uo. Deducir todas las órbitas posibles.
ENERGIA POTENCIAL Y CONSERVACION DE LA ENERGIA5'49' Hallar la energía potencial o el potencial correspondiente al campo de fue¡za cent¡al definido por
(¿) F--Kr1/É, (D) F= (a/r2tg/f)rt, (c) F=Krrr, (ill F=r/tlF, (e) F=senrrrt.Resp. (a) -K/2r2, (b) alr ! p/2r2, (c\ [Krz, (ü 2r,/V, (el (eost)lr
5'5o' (o) Hallar la energía potencial de una particula que se mueve en el ca-Fo de fuerza F : - Krr/r2.(b) ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza dada en (o) para mover una partícula desde un punto aobre el círcu-lo r: a ) 0 aot¡opunto sobreelcírculo r: b) 0? ¿Eltrabajodependedelatrayectoria?Brplicar.Resp. (a) - K/r, (b) K(a - b)/ab
5.51. Desa¡¡olla¡elproblemab.F0paraelcampodefuerza F: _K¡t/r Resp. (a) _Klnr, (b) _Kln(a/b)
6.62. Una partícula de masa m se mueve en el camp definido por F: _Kr¡/rs. (o) Ee_cribi¡ la ecuación de conservación de la energía. si E es la energía total de la partícula,su magnitud de velocidad está dada por u : V
5'53' Una particula de masa m se mueve en el campo de fuerza central E : Kr2rt. Si parte del reposo deun punto sobre el círculo r: o: (a) demost¡a¡que cuando alcance el círculo r: ó la magnitud de suvelocidad setá lTKl-@T ---jrfifi v que, (b) la magnitud de la velocidad es independiente de la t¡a-yectoria.
5'54' Una partículg de masa m se mueve en el campo de fuerza cent¡al F : Ktt/r" donde K y n son cons-tantes' Si parte del reposo de r: a y llega a r: 0 con una rapidez finita uo: (o) demostrar que sedebecumplirque ¿< ty K> 0, (b) demostra¡que us: \E-Kar=;l*A=¡, (c) discutirelsignifi-cado físico del ¡esultado (¿).
5.55. Derivando ambos lados de ra ecuación (/J), deduci¡ la ecuación (6).
DETERMINACION DE LA ORBTTA A PARTIR DE UNA FUERZA CENTRALO LA FUERZA CENTRAL A PARTIR DE LA ORBITA5'56' Una asa m se fuerza cent¡al cuya magnitud es /(r): -K¡ dondeK es positiva' n r : a, d - 0 con rapidez uo en la dirección per-
Pend determin de curva describe?
6'57' (a) Desar¡ollar el problema 5.56 si la rapidez uo tiene una dirección que forma un ángulo c con la partepositiva del eje r. (ó) Discuti¡ los casos cuando c : 0, a : r y dar el significado fÍsico.
138 FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO
5.58. Una partícula se mueve en un campo de fuerza central localizado en r :Demostrar que la magnitud de la fue¡za es inve¡samente propbrcional a
IcAP.5
0 y describe la espiral r : a-or3.
6.59.
ó.60.
5.68.
Hallar la fuetza necesaria para hacer que una partículadescriba la lemniscata 12 : a2 cos 20 (figura 5-16).
8esp. Una fuerza proporcional a r7
Obtener la órbita de Ia partícula del problema 5.46 y
explicarla físicamente.
5.61. Demostrar que las dos órbitas r : e-0 y r : l/0son posibles para un campo de fuerza inverso al cubo
de la distancia. Explicar fisicamente por qué es posibleesto,
5.62. (a) Demostrar que si la ley de fuerza está dada por
Fig.5-16
A¡,F=- f cose
entonces la partícula se puede move¡ en la órbita circular r: 2a cos 0. (b) ¿Qué se puede conclui¡ acerca
de las fuerzas únicas cuando se especifican las órbitas? (c) Responder la parte (b) cuando las fue¡zas son
centrales.
5.63, (¿) ¿Qué fuerza cent¡al en el origen O es necesaria pa¡a que una partícula se mueva alrededor de O con
una magnitud de velocidad que sea inversamente proporcional a la distancia medida desde O. (b) ¿Qué
tipos de ó¡bitas son posibles en cada caso? Eesp. (o) Una fuerza inve¡sa al cubo
5.64. Discutir el movimiento de una particula en el campo de fuerza dado po¡ F = (a/rz * P/f)tt
o.oo. Demostrar que no eriste una fuerza central capaz de hacer que una partícula se mueva en línea rec',a.
Completar la integración de la ecuación (12) del problema 5.13 para obtene¡ Ia ecuación (5) del mismo
problema. (Sugerencia. Hacer r : l/u.l5.66.
6.67. Suponer que la órbita de una partícula que se mueve en un campo de fue¡za central está dada por e :
d(r). Demostrarque la ley de fuerza "" -mh2f2e'*r,e'^'-*r2(e')31 donde las primas indican derivacio-
nes con ¡€specto a r. r5('')g
(o) A parti¡ del problema 5.6? demost¡a¡ que si 0 : L,/r, la fuerza central es de atracción y varía in'versamente con r3. (b) Dibujar la órbita de la parte (o) y expllcar fisicamente.
SECCIONES CONICA^S. ELIPSE, PARABOLA E IIIPERBOLA
b.69. La ecuación de una cónica es r = #A* Representarla gráficamente y halla¡: (o) el foco, (ó) los vé¡-
tices, (c) la longitud del eje mayor, (d) la longitud del eje menor, y (e) la distancia desde el cent¡o hasta la
direct¡iz.
5.7o. Resolver el problema 5.69 para la cónica , = I +'J "o",
.
6.71. Demostrar que la ecuación de una parábola se puede escribi¡ como r : p sec2 (0/2l..
6,72, Hallar la ecuación de una elipse que tiene uno de sus focos en el origen, su centro en el punto (- 4' 0) y su
eje mayor tiene una longitud de 10. Resp. r : 9/(5 * 4 cos d)
cAP. 5l
6.73. En la figura 5-17, Sn o ?N representan el eje menorde la hipérbola y su longitud generalmente se simbo-lizapor 2b. La longitud, del eje mayor W es 2o y ladistancia entre los focos O y O,es % (es decir, la dis.tancia del centro C al foco O u O,es C).(o) Demostrar que c2 : a2 I b2.(b) Demost¡a¡ que b : oVP--1. donde
excentricidad.(c) Demostra¡ eue c : o.. Comparar con
sultados de la elipse.
FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO r39
resla
los re-
5.74. Deducir la ecuación (22), pa¡a la hipérbola.
6'76' Las formas no¡males de las ecuaciones de la elipse y la hipérbola en coordenadas rectangulares son
2'.+t- ' a't-,or-br=' Y nr-t,
respectivamente, donde a y b son las longitudes de los semiejes mayor y meno¡. Dibujar estas ecuacionesy localizar los vértices, focos y directrices y explicar la relación de estas ecuacioneg con las ecuaciones (I9) ye2).
5.76. Apartirde las definiciones de elipse e hipérbola, hallarlas ecuaciones (1g) v e2).
5.77, Demostrar que el ángulo entre las asintotas de una hipérbola eg 2 cos-t (ll).
LEYES DE KEPLER Y LEY DE LA GRAVITACION DE NEWTON5'7E' El período de Ma¡te al¡ededor del Sol es aprorimadamente de 687 días Tierra; hallar la distancia media
de Marte al Sol. La distancia de la Tierra al Sol es de 93 millones de millas. iesp. 140 millones de millas
5'79' Resolver el problema 5.78: (o) para Júpiter, y (b) para Venus, cuyos respectivos peíodos son 4833 días Tie-nay 225 dias Tierra. Fesp. (o) 484 millones de millas, (ó) 6? millones de millas
6.80' Suponiendo que un pequeño planeta esférico de ¡adio l0 km y con una densidad media de 5 g/cmt:(a) ¿cuál seria la aceleración de la gravedad en la superficie? (b) ¿cuál se¡ía el peso de un hombre en eseplaneta sabiendo que en la Tierra pesa g0 kg?
5'81. Si la aceleración de la gravedad ell la superficie de un planeta esfé¡ico P es ge, su densidad media oe yel radio Be , demostrar que gp : trG&eor , donde G es la constante de la gravitación universal.
5'82' Si L, M y ? representan las dimensiones de longitud, masa y tiempo, hallar las dimensiones de la constan-te de la gravitación universal. Resp. LtM-tT-2
5.83. calcular la masa del sol teniendo en cuenta que la Tierra está a 150 Xvez al¡ededo¡ de él en 365 días. Resp. 2 X 10so kg.
5.84. calcular la fuerza entre el sol y la Tierra si la distancia entre ellos es desas de la Tierra y el Sol son 6X 102{ kg, y 2X l0ro kg, respectivamente.
ld kilómet¡os y que gira una
150 X fff kilómetros y las ma-rtesp. 1,16 X 102{ newtons
ATRACCION DE OBJETOS
5'85' Halla¡ la fuerza de atracción que ejerce una varilla uniforme delgada-de longitud ¿ sobre una masa m er-te¡ior a la varilla, pero situada a una distancia ó del extremo en el mismo eje de la varilla.Resp. GMm/b(o* b)
5'86' En el problema 5.85 determinar en dónde debeia esta¡ concentrada la masa de la varilla para que la fue¡-za de at¡acción sea la misma.Resp. En un punto de la varilla a una distancia V6'(áTJI - ó de uno de los extremos
5'87' Hallar la fuerza de atracción ent¡e una varilla uniforme delgada infinitamente larga y una masa m situa-da a una distancia b de la va¡illa. Resp. La magnitud ásde zGmo/b
Fig.5-17
140
6.88.
5.89. En Ia figura 5.18, A¡ es una bar¡a delgada de longi-tud 2a y m es una masa situada en el punto C a unadistancia b de la bar¡a. Demostrar que la fue¡za deatracción de la barra sobrc la masa tiene una magni-tud de
G\^ ""n*(o
+ É)úo
en una direpción que forma con la barra un ángulodado por
¿"tt-r lcosÉ * coso) o\senp-send/
Discutir el caso cuando o : I ! compararlo con el
del problema 5.2i.
FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO IcAP.5
Un alambre uniforme tiene forma de arco de circunferencia de ¡adio b y ángulo central Ú' Demostrarque la fuerza de atracción del alanbre sob¡e una masa m colocada en el centto tiene una magnitud de
2Gqm sen('t'/2|
donde M es la masa del
"/2 y 9: *.
b2,t,
alambre y o es la masa po¡ unidad de longitud. Discutir los casos cuando ry' :
G
B
Fig.5-rt
5.g0. Por comparación de los problemas 5.89 y 5.88, demost¡a¡ que la barra del problema 5.89 se puede rem-
plazat por el alamb¡r en forma de arco de circunferencia DEG (mostrado por la línea discontinua en la
figura 5-18) cuyo centro está en el punto C y es tangente a la bar¡a en el punto E. Demostrar que la fuer-
za de atracción es hacia el punto medio del arco.
5.91. Una semiesfera de masa M y radio a tiene una partícula de masa m localizada en su cent¡o. Hallar Iafuerza de atracción: (o) si es un cascarón semiesférico, (b) una semiesfera sólida.
Resp. (al GMm/za2, (b) 36 Mm/2a2
6.92. Resolve¡ el problema 5.91 para un cascarón semiesfé¡ico de radio exterior a y radio interio¡ b.
5.93. Demostrar a partir de las leyes de Kepler que si la fuerza de atracción ent¡e el Sol y los planetas tiene una
magnitud de lm/r2, entonces r debe ser independiente de un planeta en particular.
5,94. Un cono tiene altura H y radio o. Demostrar que la fuerza de atracción sobre una partícula de masa rn
colocada en su vértice tiene una magnitud de acYm (t - 4).
ó.95. Hallar la atracción ent¡e dos esferas que no 3e inte¡sectan.
5.96. Una partícula de masa m situada en el exterior de una semiesfera sólida unifo¡me de radio a a una dis'tancia a sobre la línea perpendicular que pasa por el centro de su base. Demostrar que la fue¡za de at¡ac-
ción tiene una magnitud de GMm(lT - ll/a2.
6.97, Resolver, hallando prime¡o el potencial, los problemas: (o) 6.26, (b) 5.n, y (c) 5.94.
PROBLEMAS VABIOS
5.9E. Una partícula es lanzada verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una rapidez ini'cial uq.
(c) Demostrar que la altura máxima alcanzada por encima de la superficie de la Tier¡a es de II :ozonl2gn - 1)201.
(ó) Discutir el significado del caso donde t;zo : 2gp(c) Demost¡a¡ que si H es pequeña, entonces ésta será aproximadamente igual a ofilLO.
5.99. (o) Demostrar que el tiempo necesario para alcanzar Ia altura máxima del problema 5.98 es
'---- l, --)
n+Hlw\ HE *L#.*_,(#))
cAP. 5l FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO t4l
(ó) Demostrar que si I/ es muy pequeña en comparación con B, entonces el tiempo en (a) es aprorima-damente \mE
6'loo' (a) Comprobar que si un objeto se deja caer desde una altura lr a la superficie terrestrc y si la resisten-cia del aire es despreciable, entonces llegará a la Tier¡a con velocidad u : IZ-g'EWT-(R + H) en don-de R es el radio de la Tie¡ra.
(b) Calcr¡Iar la velocidad de la parte (o) en los casos en que I{ : 100 millas y H : 10.000 millas,respectivamente. Toma¡ er ¡adio de la Tie¡ra como 4000 millas.
6'lol' Halla¡ el tiempo para que el objeto del problema 5.100 llegue, en ambos casos, a la superficie de la Tie¡ra.
5'lo2' ¿Cuál debe ser la ley de fuerza si la rapidez de la partícula en un campo de fuerza central debe ser propor-cional a r-", donde n es una constante?
5'fO3' ¿Qué velocidad debe tene¡ una nave espacial para mantenerla en ó¡bita alrededo¡ de la Tier¡a a una dis-tancia de: (¿) 200 millas? (b) 2000 millas sobre la superficie tenestre?
5'ro4' Se lanza un objeto hacia arriba desde la superficie te¡¡est¡e con velocidad u¡. Suponiendo que regresa ala Tierra y que la ¡esistencia del ai¡e es despreciable, hallar su velocidad al regreso.
5'ro5' (o) ¿Cudl es el trabajo realizado po¡ una nave espacial de masa m al desplazarse desde una altura opo¡ encrma de la superficie ter¡est¡e hasta la altu¡a ó ?
(ó) ¿Depende el trabajo de la trayectoria? Expricar. Resp. (a) GmM(a - b)/ab
5'106' (a) Demostra¡ que es posible que una partícula se mueva en una ci¡cunfarencia des6mFo de fuerza cent¡al cuya ley de fuerza sea /(r).
(b) Suponer que la partícula de la parte (o) se desvia ligeramente de su ó¡bita ci¡cular. Demostrarque regrcsará a la órbita, es decir, el movimiento es esfoóle, si
af'(a)* 8/(o) > O
pero de lo contraúo, es inestabie.(c) Ilustrar el resultado de (ó) considerando /(r) : l/r" y decidir para qué valores de n hay estabi_lidad. ftesp. (c) Hay estabilidad cuando n ( S
5'lo7' Si la Luna se detuviera súbitamente en su órbita, ¿cuánto tiempo requeriría para cae¡ a la Tierra, supo-niendo que la Tierra permanece en reposo? Resp. Aprox. 4 días 1g horas
5'lo8' Si la Tie¡ra se detuviera rtpentinamente en su órbita, ¿cuánto tiempo gastaúa en cae¡ al Sol?8esp. Ahededor de 65 días
5.1O9. Hacer el problema b.84, utilizando métodos de energía.
6'110' Encontrar la velocidad de escape de un objeto de la superficie de la Luna. Usa¡ el hecho de que la acele¡a-ción de la gravedad en la superficie de la Luna es apiorimadamente L/6 de la ter¡estre y que el radio dela Luna es L/4 d,el radio terrestre. gesp. l,b mi/seg
6'lll' Se deja cae¡ un objeto por un o¡ificio que pasa por el centro de la Tiena. Suponiendo que la resistenciaal movimiento es despreciable, demostrar que la,-rapidez de la partícula cuando pasa po¡ el centro de IaTierra es ligeramente inferior a 5 mi,/seg. (Sug'erencía. Emplear el problema b.40).
6'l12' Demostra¡ que en el problema anterior, el tiempo necesario para que el objeto ¡eg¡ese es aproximadamen-te 85 minutos.
5.110. Hacer los problemas 5.111 y 5.112 si el orifició eB r€cto pero no pasa por el centro de la Tier¡a.
6.114. Discutir la relación ent¡t los resultados de los problemas 5.111 y 5.1L2 y el problema b.89.
6.116. ¿Cómo erplicaúa usted el hecho de que la Tierra tenga atmósfera y Ia Luna no?
5.116. Demostrar el teorema 5.1.
6.117. Discutir el teorema 5.1 si las esfe¡as se inte¡sectan.
¡adio ¿ en cualquier
r42 FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO IcAP.5
5,118. Explicar cómo podría ugar el resultado del problema 5.27 pal.a hallar la fuerza de atracción de una esfera
sólida sobre una partícula.
ó.llg. Halla¡ Ia fuerza de atracción ent¡e un anillo ci¡cula¡ uniforme de radio e¡temo o y radio interno b y una
masa m eituada sobr€ 8u eje a una distancia b de su centro.
6.lZO. Dos naves espaciales se mueven alrededor de la Tierra sobre la misma trayectoria elíptica de excentricidad
c. Si en el perigeo están separadas por una pequeña distancia D, demostrar que en el apogeo estarán se'
paradas por una distancia D(l - e)/(L I e\.
5.121. (¿) Erplicar cómo calcula¡ía la velocidad de escape en la superficie de un planeta. (ó) Emplear su mé-
todo para calcular la velocidad de escape en Marte. Resp. (ó) íkm./seg, o aprox. S mi,/seg
6.122, Hace¡elproblema5.l2lpara: (o) Júpiter, (ó) Venus. 8esp. (o) Aprox.3€l mr'/seg. (b) Ap¡ox. 6,3 mi,/seg
6.f23. T¡es varillas uniformes delgadas, inf¡nitamente largas, tienen la misma masa por unidad de longitudy están situadas en un mismo plano formando un triángulo. Demostra¡ que la fuerza de atracción sobre
una partícula serÁ ce¡o si y sólo si la partícul a está ubicada en la intersección de las medianas del triángulo.
6.124. Hallar la fuerza de atracción entre una varilla uniforme de longitud ¿ y una esfera de radio b si no se in-
tersectan, y si la línea de la varilla pasa por el centro.
5.f25. Hacer el problema 5.124 si la va¡illa está situada de tal modo que una línea trazada desde el cent¡o y pe¡-
pendicular a la línea de la varilla co¡ta la vaÉlla en dos partes iguales.
5.f26. Un satélite de radio a ¡ota en una órbita ci¡cular alrededo¡ de un planeta de radio b con período P. Si la
distancia mÁs corta ent¡e sus superficies es c, demostrar que la masa del planeta ea 4r2 (a + b + c)a /GP'z .
6.127. Si la Luna está aprorimadamente a 240.000 millas de la Tierra y da una revolución completa al¡ededor
de la Tierra en 271 dias aprorimadamente, halla¡ la masa de la Tierra. Resp. 6 X 102{ kg
5.128. Discuti¡ la ¡elación entre el problema 5.126 y la terce¡a ley de Kepler.
6.f29. Comprobar que el único campo de fuerza central F cuya divergencia es cero, es un canpo de fue¡za del
inve¡so del cuadrado.
6.f30. Hace¡ el probtema 5.32 por integración triple.
6.131. Un cilind¡g sólido ci¡cular rccto unifo¡me tiene radio o y altu¡a IL Una partícula de masa m se coloca en
la prclongación del eje del cilindro, en forma tal que está a una distancia D de un ertremo del cilindro.
Demostrar que la fuerza de at¡acción está dirigida a lo Iargo del eje y su magnitud está dada por
ZGMW "I + {a2 + D2 - ltaz + 1o + nY¡--lz¡¡ r'
5.f32. Suponer que el cilind¡o del problema 5.131 tiene cierto volumen. Comprobar que la fuerza de atraccióncuando la partícula está en el cent¡o de uno de los e¡t¡emos del cilindro es máxima cuardo a/H :l(e- vii).
6.133. Hacer: (a) el problema 5.26 v (b) el problema 5.2/, suponiendo una ley de atracción del inve¡so del cubo.
5.134. ¿Son aplicables los t€sultados de log problemas 5.29 y 5.30 si hay una ley de atracción del inve¡so del cubo?
Erplicar.
5.135. ¿Cuál eeía la velocidad de escape en el planeta del problema 6.80?
5.f36. Un cascarón esférico de ¡adio interio¡ o y radio erterior b tiene una densidad constante c. Demostrarque el potencial gravitacional V(r) a una distancia r del centro está dado por
f2ro(bz-az¡ r1aV(r\ = j2""(b2-tt2) - 4taasl3r a 1 r 1 b
[4zo(b3-es)lBr r)b
cAP. 5l FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO 143
5.137. Si se tiene en cuenta la teoía de la relatiuidad de Einstein, la ecuación diferencial de la órbita de un pla-neta es eu K¿rr+": ffirtuzdonde t : 3K/mc2, y c es la velocidad de la luz. (o) Demost¡ar que si se escogen adecuadamente losejes, entonces la posición r del planeta puede determinarse aprorimadamente a partir de
Klmhzr : i + .;os; donde ¿ = 1 -.rKlmhz(ó) Emplea¡ (a) pa¡a demostrar que un planeta se mueve realmente en una trayectoria elíptica pero quedicha elipse rota lentamente en el espacio, siendo la velocidad angular de rotación 2qK/mh2.-(c)Demostrar que en el caso de Mercurio esta rotación es de 4Íl segundos por siglo. Esto ha sido observadoproporcionando una pmeba erperimental de la validez de la teoría de la relatividad.
5.138. Hallar la posición de un planeta en su órbita alrededor del Sol en función del tiempo ü medido desde elinstante en que está más alejado del Sol.
5.139. En el apogeo, a 200 millas desde la superficie te¡rest¡e, dos naves espaciales que tienen la misma t¡ayec-toria elíptica están separadas una distancia de 500 pies. ¿Cuál será la distancia entre ellas en el perigeo, a150 millas, suponiendo que flotan sin alterar su trayectoria.
5.14o. Una partícula de masa m está situada sobre la línea perpendicular que pasa por el centro de una placarectangular de lados 2a y 2b y a una distancia D del centro de la placa. Demostra¡ que la magnitud de lafuerza de atracción de Ia placa sob¡e la partícula está dada por
GMm ./------ sen -¡ [ao\ \/@Trri¡Qt-+D\
5.141. Hallar la fue¡za de atracción de una placa infinita uniforme de espesor despreciable y densidad o sobreuna partícula colocada a una distancia D de la placa. Resp. 2¡aGm
5.142. Se llaman ópsides los puntos en que i : 0. (o) Demostrar que en un campo de fuerza cent¡al con po-tencialV(r)yenergíatotalElosápsidessonraícesdelaecuación V(r)*hz/2rz:8. (b)Hallarlosáp-sides correspondientes a un campo de fuerza del inverso del cuadrado, demostrando que hay dos, uno oninguno, según si la órbita es una elipse, hipérbola o parábola.
6.143. Una partícula Ee mueve en un campo de fuerza central siguiendo una trayectoria que es la cicloide r:o(l - cos 0). Halla¡ la ley de la fuerza. Resp. El inverso de la cuarta potencia de r
5'144. Establecer las ecuaciones de movimiento de una partícula en un campo de fuerza central si ocurre en unmedio donde la resistencia es proporcional a la rapidez instant¡ínea de la partícula.
5.145. Las velocidades orbitales máxima y minima de un satélite son uDÁ¡.y u6irr r€specrivamente. De-
most¡ar que la excentricidad de la órbita del satélite es igual " *ffi;.
5.146. Demostra¡ que si el satélite del problema 5.145 tiene un peíodo igual a r, sigue entonces una trayectoriaelíptica cuyo eje mayor es de longitud ! r/o*,o-rn.
ab
Copítulo 6
Sistemos coordenodos en movimiento
SISTEMAS COORDENADOS NO INERCIALES
En los capítulos anteriores se supuso que los sistemas coordenados utilizados para des-
cribir el movimiento de las partículas eran inerciales Ivéase la pág.331. Sin embargo, en
muchos casos de importancia práctica no se garantiza dicha suposición. Por ejemplo, un sis-
tema coordenado fijo en la Tierra no es un sistema inercial debido a que la Tierra rota en el
espacio. En consecuencia, si empleamos este sistema coordenado para describir el movimien-
to de una partícula con relación a la Tierra, obtenemos resultados que pueden ser errados.
Debemos, por consiguiente, considerar el movimiento de partículas relativo a sistemas coor-
denados en movimiento.
SISTEMAS COORDENADOS EN ROTACION
XYZ rcpresenta en la figura 6-1 un sistemacoordenado inercial con origen en O que considera-remos fijo en el espacio. Dejemos que el sistemacoordenado r,yz qtJe tiene el mismo origen O ¡otecon respecto al sistema XYZ.
Consideremos un vector A que vaúa con el tiem-po. Para un observador fijo con relación al sistemaxyz se encuentra que la variación de A : Ari *Azi * Atk con el tiempo es
en donde el subíndice M indica la derivada con re-lación aI sistema en movimiento (xyz).
Sin embargo, se encuentra que la variación conel tiempo de A con respecto al sistema fijo XYZ rc-presentado por el subíndice F, es (véase el proble-ma 6.1)
+l = 4l * oxA (2)dt l, dt l,
donde <,¡ es la uelocidad ongular del sistema xyz con
dA d,At. iIAz . d,As'ff* = ffi*ffi+7u (1)
Fig.6-1
respecto al sistema XYZ.
OPERADORES DE DERIVADASHagamos que Dr y Dü representen los operadores de de¡ivadas con respecto al tiempo
en los sistemas fijo y en movimiento. En consecuencia, podemos escribir la equivalencia de
los operadoresDF = Dr+ox (3)
Este resultado es útil para relacionar derivadas de orden superior con respecto al tiempo en-
tre los sistemas fijo y en movimiento. Véase el problema 6.6.
tu
cAP. 6l
VELOCIDAD EN UN SISTEMA EN MOVIMIENTOSi en particular el vector A es el vector de posición r de una partícula, entonces de (2)obtiene
d,r I dt I
dtl, = d,l,+ 'xt
SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO
Aceleración de coriolis = 26X D*r = 2oXv*Aceleración centúpeta : r¿ X (<o X r)
t45
{4)
(5)Dr, = Drr*oXrEscribamos
v"ro = dt/dtl, : Drt = velocidad de la partícula P con relación al sistema fijo.V"rr = d'r/iltl, = D*t = velocidad de la partícula P con relación al sistema en mo-
vtmlento.vrr. = ¡,¡ X r = velocidad del sistema en movimiento con relación al sistema fijo.
Entonces @) o (5) pueden escribirse comoVplr = vetnr f vr," (6)
ACELERACION EN UN SISTEMA EN MOVIMIENTOSi D; - d2littzlr v D"* = d,2/d,t2 L son los operadores de la segunda derivada con res-
pecto a t y los sistemas fijo y móvil, entonces la aplicación de (J) resulta en (véase el proble-ma 6.6).
Escribamos
r"r¡, = d,2r/d,t2 le
rpl¡¿ = d,2t/dtz ln
D?, = D'z¡+ (Dror) xr*2oxD*r *oX(orXr) @
a¡rtr = (D,nr) xr!-2oXD*r *roX(.xr) =aceleración del sistema en movimiento con relación al sistema fijo.
Luego (7) puede eséribirse como ,ñ\i"lt = a"l" * atlt (d/
ACELERACIONES DE CORIOLIS Y CENTRIPETALos dos últimos términos a la derech a de (7) se denominan respectivamente la acelera-
ción de coriolis y la aceleración centrípeúo, es decir,
= D?r
= Di,r= aceleración de la partícula P con relación al sistema fijo.
= aceleración de la partícula p con relación al sistema enmovimiento.
(e)
(10)El segundo término a la derech a d,e (7) se Ilama a veces la aceleración lineal, esto es.
Aceleración lineal : (D,<o) x r = (#lr) r, (11)
Y Du. es la aceleración angular. En muchos casos de importancia práctica (por ejemploen la rotación de la Tierra) o¡ €s conStante y Dr<o : O.
Ala cantidad -ro X (ar x r) se le llama frecuentemente la aceleracióncentrífuga.
MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA RESPECTO A LA TIERRALa segunda ley de Newton se aplica estrictamente sólo a sistemas inerciales. Sin em-
bargo, empleando (7) obtenemos un resultado válido en sistemas no inerciales, que tiene laforma
mD2rr = F - m(Dr,r) x" - 2m(ox Drr) - mox (oxr) (12)
146 SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO IcAP.6
en donde F es la resultante de todas las fue¡zas que actúan sobre la partícula vista por unobservador en el sistema fijo o inercial.
En la práctica, estamos interesados en expresar las ecuaciones de movimiento en fun-ción de cantidades determinadas por un observador fijo en Tierra (o en otro sistema en mo-
vimiento). En tal caso, podemos omitir el subíndice My escribir (I2) como
(r3)
En el caso de la Tierra que rota con velocidad angular constante o¡ alrededor de su eje,
ó : 0 y entonces (-13) se convierte en
F - Zm(oxv) - mfurx(.¿ x r)] (14)
FUERZAS DE CORIOLIS Y CENTRIPETACon relación a las ecuaciones (13) o (/4) usamos frecuentemente la siguiente termino-
logía
*# : F - m(ix r) - 2m(rx v\ - mf'x (." x r)l
d2t*d* =
Fuerza de coriolis'
Fuerza centúpeta
Fuerza centrífuga
SISTEM AS COORDENADOS ENMOVIMIENTO, EN GENERAL
En los resultados anteriores suponemos que lossistemas coordenados xyz y XYZ tenían (figura 6-1)un origen común O. En caso que no tengan un ori-gen común, los resultados se obtienen fácilmente delos ya considerados.
Supongamos que R es el vector de posición delorigen Q con respecto al origen O (figura 6-2). En-tonces si R y ii ,"pr"."ttan la velocidad y la acele-ración de Q con respecto a O, Ias ecuaciones (5) y(7) se remplazan, respectivamente, por
D"r = É + Drr * oXr
2m(oxi) = z*("xn)mlox (, x r)]
-mfox (,o x r)]
Fig.6-2
= ir*#* ¡¡Xr
1- D2,rt -l
, d2r- dtr-
En la misma forma, la ecuación (I4) se remplaza porá2-m# = F-2m('xv) -mfox(.xr)] -mBdt'
(15)
(Drno) x t -l- 2'x Drrr * r,¡ X (o x r)
ó x r + 2oxv * or X (<o x r)
D7, .:R
=ñ (16)
(17)
PENDULO DE FOUCAULTConsideremos un péndulo simple que consiste de una cuerda larga y una perilla pesada
suspendidas verticalmente de un soporte liso. Supongamos que se desplaza la perilla de su
posición de equilibrio y puede rotar libremente en cualquier plano vertical. Entonces, debido
a la rotación de la Tierra, el plano en que oscila el péndulo toma una precesión gradual alre-
dedor del eje vertical. En el hemisferio norte la precesión es en la dirección del movimientc'
cAP. 6l SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO t47
de las agujas del reloj, si miramos hacia abajo, es decir, hacia la superficie de la Tierra. En elhemisferio sur, la precesión será en dirección contraria a la del movimiento de las agujas delreloj.
Este péndulo usado para detectar la rotación de la Tierra fue empleado por primera vezpor Foucaulü en 1851 y recibe el nombre de péndulo de Foucault.
Problemas resueltos
SISTEMAS COORDENADOS EN ROTACION6'1. Un observador situado en un punto fijo con relación a un sistema coordenad o xyz de
origen O (figura 6-l) ve un vector A : A, i + Azj + A3k y encuentra que su deriva_
da con respecto al tiempo "" ffi * #¡ * #u. Posteriormente observa que su sis-
tema coordenado rota con relación a un sistema coordenadoXYZque se considera fi-jo en el espacio y cuyo origen es también O. El observador ""
pr"grr.rt": ,.¿Cuál será laderivada con respecto al tiempo de A para un observado. q,r"-".iá fijo coir respecto alsistema coordenado XyZ?,,.
.., dAl dLlot ¿ lo y Af lM representan, respectivamente, las derivadas con respecto al
tiempo de A en los sistemas fijo y en movimiento, demostrarque existe una cantidadvectorial ' tal que
d[l dA I
ü1, = EIM+ @xa
Para al obse¡vado¡ fijo vaían en realidad con el tiempo los vectores unitarios i, j, k. En consecuencia,dicho obse¡vador debe calcular la derivada con respecto al tiempo como
# = #t*#t*#u*n,#*e,fr+e,ff (/)
Como i es un vector ur,itario, di/d,t es perpendicular a i y debe estar por tanto en el plano formadoporjyk.Luego
Similarmente,
dildt = a1i*a2k
djldt = a3k*aai
dk/dt = a5i*a6i
#" = *4l],*o,#*d,fi+e,ff (21
(3)
(4)
(D'
yaquei' j:0, ladif di di 'ti - )-,.,-. di-.-Luego ao - _cr.
erenciación da i'lt+ ¿t'i = 0' Pero i'fr= q¿ de (4\, ;t'i= dr de (3).
Delmismomodo i.k:0,,.#*#,U=0 yo,--o2; de j.k:0, ¡.#*j|.f =Oy do : -ar. Entonces
dildt = c1j * a2k, ¿lildt = a3k - a,i, ttk/dt = -a2i - a3!
Por consiguiente,
¿'r# + er4ol, + erff = (-a1Ar-a2As)i t (a1A1-osAii * @rA1*asA)k (6)
que puede escribirse comoiik
aB -d2 al
Ar A2 A3
148 SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO
Entonces, si hacemosque da : ot, -d2 : 62t dt : os el determinante seconvierte en
[cAP. 6
rikarl aDZ úrg
Ar A2 A8
= oXA
donde o: ori* o2j* <o3k.
De (2) y (6) encontramos lo que queríamos
d,^l d^lal" = ,lr * "oLa cantidad vectorial ¡ es la uelocidad angular del sistema en movimiento con relación al sistema
fijo.
6.2. Consideremos que Dr y Dx son operadores simbólicos de derivadas en los sistemasfijo y en movimiento, respectivamente. Demostrar la equivalencia del operador
DF = D*ltx
Po¡ definición D¡A = #1" = derivada en el sistema fijo
dADvA = A; = derivada e:r el sistema en movimiento
Entonces, del problema 6.1,
DnL = D¡¡A*oXA = (D¡a*oX)A
que demuestra la equivalencia de los operadores Dr = Dv * o X '
6.3. Demostrar que la aceleración angular es la misma en los dos sistemas de coordenadasryz y xYz.
En el problema 6.1 hagamos A : o Entonces
+l = +l *oXo = +liltlr drlu' dtlu
Como d o/dt es la aceleración angular, hemos demostrado el problema.
VELOCIDAD Y ACEIJRACION EN SISTTMAS EN MOVIMIENTO
6.4. Calcular la velocidad de una partícula en movimiento tal como la ven los dos observa-dores, del problema 6.1.
Remplazando A por el vector de posición de la partícula, tenemos
itrl ¿rl
"l, = ál'*'*' (1)
Si se erprrsa r en función de los vecto¡es unitarios i, j, k del sistema coordenado en movimiento, entonces
la velocidad relativa de la partícula a dicho sistema es, suprimiendo el subíndice M,
d,¡ ila. iltt . d.z.-dt = -dri * fri + ;u e)
y la velocidad de la partícula con ¡elación al sistema fijo es de (l),
d'l = 4+.tt (J)dt lr clt
La velocidad (3) recibe a veces el nombre de uelocidad uerdadera en tanto que (2) es la uelocid.ad aparente.
cAP. 6l SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO 149
6.5. Un sistema coordenado xyz rota con respecto a un sistema coordenado XyZ que tie-ne el mismo origen y que se supone fijo en el espacio (es decir, es un sistema inercial).La velocidad angular del sistema xyz relativa al sistem a XYZ €s o : 2ti - f i +(2ü + 4)k donde ú es el tiempo. El vector de posición de una partícula en el tiempo ü,tal como se observa en el sistema xyz está dado por r = (t2 + l)i - 6ti + 4;ak.Encontrar: (o) la velocidad aparente, y (b) la velocidad verdadera en el tiempo ü : l.(o) La velocidad aparente en cualquier ¡nstante t es
drlilt = 2ti-6i+LLtzkCuando ú : 1 éstees 2i- 6j+ 12k.
(b) En cualquier tiempo ú la velocidad verdadera es
d¡ldt * rxt = (zti-6i+r2t2kl + Ízti-t2i+ (2¿+4)kl x [(¿2+1)i-6új+4¿3k]Cuandoú:léstees
2i-6j+12k+iik2-t62-64
6.6. Determinar la aceleración de una partícula en movimiento tal como la ven los dos ob-servadores del problema 6.1.
La aceleración de la particula tal como la ve el observador en el sistema fljo XyZ es D?r : D r (Drr) .Empleando la equivalencia de los operadores establecida en el problema 6.2, tenemos
Dp(D¡) = Dr(Dr¡r*oxr)= (D¡a* ox )(Dyr * oxr)= D¡¡(D¡at *oXr) I ox(D¡¡r *oXr)= D2¡at + Dpl(oxr) * o XDyt * oX(cXr)
ocomo D¿(oXr) = (D¡ao)xr * oX(D¡ar),
O3, = D26+(Dyo)xrl2ox(Drr)*ox(oxr) (1)
Si se expresa el vector de posición r en función de los vectores unitarios i, j, k del sistema coordenadoen movimiento, entonces la acele¡ación de la partícula relativa a dicho sistema es, suprimiendo el subín-dice M.
#r* o*@i*ffiuLa aceleración de la partícula con relación al sistema fijo se deduce de (I) como
*2oX(#)-oX(oxr)Algunas veces a la aceleración (3) se le llama aceleración uerdadera en tanto que (2) es la aceleración apa-rente.
6'7' Hallar: (o) la aceleración aparente, y (b) la aceleración verdadera de la partícula delproblema 6.b.
(o) La acele¡ación aparente en cualquier tiempo t es
d2r d/tu\ ddt:" = dr\¡r) = h?ti-6i+12ú2k) = 2i+24tk
Cuando t : 1, éste es 2i * 24k.
(b) La aceleración verdade¡a en cualquier tiempo f es
d2, , n .,dr do..d.t2 + zn
^ at t üX, * oX (oXr)
= 34i-2j+2k
d.2r
dt, =
dzr | &r do@1, = ¿¿z+ *xr
(2)
(3)
150 SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO lcAP. 6
Cuando t:1 esiguala
2i + 24k + (4i-2i+tzk) x (2i-6j+12k)+ (2i- 2i + 2k) x (2i - 6i + 4k)
+ (2i-j+6k) x {(2i- j+6k)x(2i-6j+4k)}
= 2i + 24k + (48i-24i- 20k) + (4i-4j-8k) + (-14i+2r2i+40k)
: 40i + 184i + 36k
ACELERACIONES DE CORIOLIS Y CENTRIPETA
6.8. Con referencia al problema 6.5 hallar: (a) la aceleración de Coriolis, (b) la aceleracióncentípeta, y (c) sus magnitudes cuando t : l-
(o) Del problema 6.5 tenemos
Aceleración de coriolis = 2tx drld.t : (4i-2i + 12k) x (2i - 6i + 12k)
- 48i - 24i - 20k
(ó) Del problema 6.5 tenemos
Acele¡ación centipeta = o X (o X r) = (2i-i+6k) x (32i+4i-10k)= -lAi+ 212i + 40k
(c) De las partes (a) V (b) tenemos
Magnitud de la aceleración de Coriol¡5 = @ = 4{ñ6
Magnitud de la acele¡ación centrípeta = @ = z'/lÑ
MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA CON RESPECTO A LA TMRRA
6.9. (a) Expresar la segunda ley de Newton del movimiento de una partícula relativo a unsistema coordenado fijo XYZ (sistema inercial). (b) Usar (o) para encontrar unaecuación de movimiento de la partícula con relación a un sistema xyz que tiene el
mismo origen de XYZ pero que rota con respecto a é1.
(¿) Si m es la masa de Ia partícula (supuesta constante), d't/dt2 lr et.,, aceleración en el sistema fijoy F la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula, tal como se observa en el sistema
fijo, entonces la segunda ley de Newton establece que
ürl*ffi\, = F (r)
(b) Si el subíndice M representa las cantidades que se observan en el sistema en movimiento, tenemos
del problema 6.6,
ihrl dzrt ¿-l;Fl, = ffi\"* ixr+ 2cxfilr*.x(oxr) Q)
Sustituyendo en (1), hallamos Ia ecuación requerida
ürl / '¡-I \*&1, = t'- m(ixr) - zm\o"fr\") - mln x(oxr)l €)
Podemos suprimir el subíndice M si se tiene en cuenta que todas las cantidades, con excepción de F,
son determinadas por un observador en el sistema en movimiento. Debe hacerse énfasis en que la
cantidad F es la fuerza resultante que se observa en el sistema fijo o inercial. Si quitamos el subíndi-
ce M y hacemos que dr/dt : v, entonces (3) puede escribirse como
iPtm# = F-m(i'xr)-2m(oxv)-mlnx(oxr)l V)
cAP. 6l SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO
EN GENERAL
151
6.10. calcular la rapidez angular de la Tier¡a alrededor de su eje.Como la Tierra da una revolución (2r radianes) alrededor de su eje en 24 horas : 86.400 seg aproxi-
madamente, la rapidez angular es
,*" = 86;06 = i,Zt x l0-s rad/seg
El tiempo real de una revolución es muy próximo a 86.164 seg y la rapidez angular se¡á ?,2g x 10-¡rad,/seg.
SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO,6.11. Hacer el problema 6.4 si no coinciden los
orfenes de los sistemas xyz y XyZ.Sea R el vecto¡ de posición del origen e del siste_
ma ryz con respecto al origen O del sistema fijo (o iner_cial) XYZ (figura 6-3). La velocidad de la partícula prelativa al sistema en movimiento es, como antes,
drl = lr du, , dy, , ilzatl* A = ü'* dt¡+d¿k (I)
Ahora el vector de posición de p respecto a O esp : R * r, luego la velocidad de p tal, como se obser-va en el sistema XYZ, es
t|^lt
= = *(R*r)l =út ac' ' l¡
utilizando. la ecuación (J) del problema 6.4. Obse¡va- Xmos que R es la velocidad de e con respecto a O. SiR : O el resultado se reduce al del problema 6.4.
6'12. Hacer el problema 6.6 si los oígenes de los sitemas XYZ y xyz nocoinciden.Refi¡iéndonos a la figura 6-3, la aceleración de la particula P relativa al sistema en movimiento es.
como anteriormente.erl ilzr &r, , dzu, , d2",_at'lu E = Er+ffit+¿2x (t)
Como el vector de posición de p ¡elativo a O es p = R * r, la aceleración de p, tal como se ve en el siste_ma XYZ, es
dRl , ihlal" - al,ft*#*oXr (2)
Fig.6-3
#1" = *4e+.)1. = #1,*#1,+ fix, + * ox(oxr) (2)
empleando la ecuación (3) del problema 6.6. Nótese q,r. ii ". Ia aceleraci ón de e con respecto a O. Si R : oel ¡esultado se reduce al del problema 6.6.
í¡'13. Hacer el problema 6.9 si los oúgenes de los sistemas XyZ y xyz no coinciden.(¿) El vecto¡de posición de la partícula con r€specto al sistema fijo XyZ es p. Entonces la ecuación demovimiento requerida es
^3*1, = F
(b) Empleando el resultado (2) del problema 6-12 en (1), obtenemos
d2¡rnffi = r-z¿ii-m(ixr)- 2m(oxv)- mlox(oxr)l (2)
donde F es la fuerza que actúa sobre rn, vista desde el sistema inerciar v donde v : i.
= "*# 2, x#
(r)
t52 SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO
6.14. Encontrar la ecuación de movimiento de unaen la superficie de la Tierra.
Suponemos que la Tierra es una esfe¡a con cen-
t¡o en O (ñgura 6-4) que rota alrededor del eje Z con
r velocidad angular o = oK. Usamos también el he-
cho de que el efecto de la ¡otación de la Tierra al¡e-
dedor del Sol es despreciable, asíque el sistema XYZpuede considerarse como un sistema inercial.
Por consiguiente, podemos aplicar la ecuación(2) del problema 6'12. Para el caso de la Tierra, te-
nemosi:0
De la figura 6-4, tenemos que
IcAP. 6
partícula con relación a un observador
Fig.6-4
(r)
la primera ecuación se debe a que la ¡otación de la
Tierra al¡ededor de su eje se realiza a velocidad an-
guiar constante, la segunda se debe aI hecho de que
ia aceleración del origen Q relativa a O es la acelera- Xción centrípeta y la tercera proviene de la ley de lagravitación de Newton. Aplicándolas en (2) del pro-
blema 6.12, se llega a Ia ecuación requerida,
# = -#, - oX(oxR) - 2(oxv) - ox(oxr)
suponiendo que son despreciables las otras fuerzas que actúan sob¡e m (tal como la ¡esistencia del aire, etc')
Podemos definir
"*-'-ox(exR)s=-Tcomo la aceleración debida a la gravedad, así que (4) se convierte en
# = g - 2(nxv) - ox(oXr)
Cerca de la sr.perficie terrcstre el úItimo término de (6) puede despreciarse, así que en un alto grado de
aProximación' * = g-2(oxv) e\atv
En la práctica, consideramos la magnitud de g como una constante aunque vaúa ligeramente sobre la su-
perficie terrestrc. Si actúan otras fuerzas externas, las debemos sumar al lado derecho de las ecuaciones
(6) o (7).
6.15. Demostrar que si la partícula del problema 6.14 se mueve cerca de la superficie de la
Tierra, entonces las ecuaciones de movimiento son -
ü = 2o cos)''ít
ü = -2(orcosl;+'sen¡¿)2 - -g. * 2.sen^ i
en donde el ángulo )r es la colstitud (figura 6-4) y 90" - tr es la latitud'
B
(4)
to,
(6)
K = (K.i)i + (K. j)j + (K'k)k
= (-senl)i + 0j + (cos\)k = -sen)r i * cosX k
y asr o = o¡K = -csenli * ocos)rk
cAP. 6l SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO 153
Luego oXv = o x (;i +tti+2k')ijk
-o sen I 0 o¡ Cos ),
aaz
= (-ocoslr)i + (ocos)ri+rser, I;)i - (,,rsenri)kEntonces de la ecuación (7) del problema 6.14, tenemos
d.2r
dF =
t-rn'li,l.s¡r¡ii - 2(ocos¡.i*osenr,!)j * 2,¡sen¡,úk
fuualando los coeficientes correspondientes de i, j, k en ambos lados de esta ecuación, encontramos. comorequeríamos,u - 2r,rcostri'ú - -2(r.rcosXi * r¡senl!); - -g*2osentr!
i - 2ocosl,uIct, ú - _2(ocostr¡*osenl,z)*c2Comoen t:0, ¿=0, íl=0, ü=0, a=0, z-- h tenemos cr:0, cz:2osentr/¡. lugge
& - 2ocosl,,g, ú - -2(ocosl,r*osen)\z) _l_ 2osentrl¿ (11
Entonces (3) del problema 6.15 se convierte en
2 - -g * 2osen)ri : -g - rrsen)t[cos)rr*senI (z_¿)]Pero como los términos de la derecha que contienen ,2 son muy pequeños en comparación con _ g po-demosdespreciarlqsyesc¡ibi¡ 2: -g. porintegración,2: _gt* c". Como 2:0 e¡ ú:0, tenemosc¡:o o
z = -gt e)Aplicando la ecuación (2) y la primera ecuación de (I) en la ecuación (2) del problema 6.15, encon-Iramos
Ü = (-2o cos I)(2<.: cos I g) * (-2o sen rx-g¿)= -4o2 cos2 lt y * 2o sen \ gú
Despreciando el primer término, tenemos ü : Z, sen)\gt. Integrando,
-' ü: ogsenrt2*ca
Como i: 0 cuando ú: 0, tenemos c{ : 0 v ú - ogsentrt2. Integrandonuevamente,
A = |argsentrúo * c5
Pero como y : 0 cuando ú : 0, cs : 0 asi que, Eomo requeríamos,
A = $org sen )t ú3
Método 2.
Integrando las ecuaciones (l), (2) V (.?) del problema 6.15, tenemos
& - 2ocos)rU*c,iJ - -2(ocos)\r*osenl,z) * c2
2 - -Ct+ 2r¡sen)rU*c,
(1)
12)
(3)
6'16' Un objeto de masa m inicialmente en reposo, se deja caer a la Tierra desde una alturapequeña en comparación con el radio terrestre. Suponiendo que la rapidez angularr¡ de la Tierra alrededor de su eje es constante, demostrar que después de un tiempoü el objeto se deflecta hacia el este de la vertical en cantidad iguai a *, gtt sen tr.Método 1.
Suponemosqueelobjetoestálocalizadosobreelejezen,:0, y:0, z: h (fiilva6-4).Alinte_grar las ecuaciones (I) V e) del problema 6.15, tenemos
(3)
L54 SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO [CAP. 6
Usandoelhechodequecuando t:0, i=ú=i:0 y ¡:0; )':0, z: h, tenemos c¡ :0, c2:2oh sen)r, c¡ : 0. Por consiguiente
¿ - 2ocosh3t
ü = -2(or cos )r ¡ * o sen )r z) * 2ol¿ sen tr
2 - -Ct+ 2osentr3t
Integrando y aplicando las condiciones anteriores
tr = 2ocosh Ío'oou
u = 2ohtsen)r - 2o "o"x !o' ,d.u
z = h - $otz* 2osen x fo' uau
- 2o sen)\ Ío' "ou
\41
(5)
\6)
Como todas las incógnitas están bajo la integral, las ecuaciones se llaman ecuaciones integroles. Usaremosel llamado método de aproximaciones sucesiuos o método de iteración para obtener una solución con laexactitud deseada. El método consiste en usar un primer valor tentativo de ¡, y, z en las integrales (4), (5)
y (6) para obtener un valor más exacto. Como primer valor supuesto podemos eDsayar en las integralesx : 0, y - 0, z : 0. Encontramos entonces el segundo valor supuesto
ü = O, U = Zohtsenl¡, z = h-*ct'Sustituyéndolos en (4), (5) V (6) y despreciando los términos con o2, encontramos la tercera aproximación
tr=0, U =2ohtsentr-2osentr(l¿ü-|Ot3) = {ogü3sen)., z = l¿-tCt'
Usando estbs resultados en (4), (5) V (6) y despreciando nuevamente los términos con o2, encontramosel cuarto valor supuesto r=0, U - {ogú3 sen \, z = h- tgt"Como la cuarta aproximación es idéntica al tercer valor, estos resultados son exactos hasta términos que
contengan o2 y no es necesa¡io ensayar más apmximaciones. Se ha visto entonces que la deflexión es
t : logta sentr, como se requería.
6.17. Con referencia al problema 6.16, demostrar que un objeto que se deja caer desde unaaltura h por encima de la superficie terrestre hace impacto en la Tierra en un punto
al este de la vertical a una distancia f<oh sentr \mn.Pormediode(2)delproblema6.16obtenemosalintegrar, z:-Lgt'*c. Como z:hent:0,
c:hyz:h-lgü2.Entoncesenz-0,h:igt2ot:\mG.Encontramosladistanciarequeridasustituyendo este valor de t en (J) del problema 6.16.
EL PENDULO DE FOUCAULT6.18. Deducir la ecuación del movimiento de un
péndulo simple, teniendo en cuenta la rota-ción de la Tierra alrededor de su eje.
Escogemos el sistema coordenado ryz de la figura6-5. Suponemos que el origen O es la posición de equi-librio de la perilla B, el punto de suspensión es A y lalongitud de la cuerda AB es l. Si T es la tensión de lacuenda, tenemos entonces que
T = (T.i)i + (T.j)j + (T.k)k
= ?cosai * ?cosBi + T cosTk/-\ /",\ /t--\= -r(+ )i - r(í)¡ + r(=)k (1)\L/ \¿,/ \ ¿ /
Como la fuerza neta sobre I es T * mg, la ecuaciónde movimiento de B está dada por (véase el problema6.14)
,12-rnffi = T*mg-2m(axv) -rnox(rXr) (21Fig.6-5
cAP. 6l SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO
Si despreciamos el último término de (2), hacemor¡ g : - gk y usamos (I), podemos escribir las compo-nentes de (2) como
155
rntm,u
nLz
-T(s/t) * 2moi¡ coa)t.
-T(a/t) - zmo{i coetr * i senr)
T(l - zl/l - mg + 2rnoi sent
(3)
(4)
6)
6.19. Suponiendo que la perilla del péndulo simple del problema 6.18 realiza oscilaciones pe-queñas alrededor de la posición de equilibrio, de modo que se puede suponer que elmovimiento se hace en un plano horizontal, simplificar las ecuaciones de movimiento.
La suposición de que el movimiento de la perilla tiene lugar en un plano horizontal equivale a Bupo-ner que 2y 2
"e^n cero. Cuando las vibraciones son muy pequeñas (t - z) /tes casi igual a uno. Entonces
la ecuación (5) del p¡oblema 6.lg da
Q = l-mgI2mofiaenxo T = mg - 2mofi aen\ (l)
sustituyendo (1) en las ecuaciones (3) v (4) del problema 6.1g y simplificando, obtenemos
'; - -92 + 2"-|' '^- tr. ffi * 2o'ít cosx (21
:: - gu , 2rrú""nr ^ .--- +
-T- - 2.,'a coE
^ (3)
Estas ecuaciones dife¡enciales no son lineales debido a la presencia de los términos que contienen r! y w.Sin embargo, estos términos son despreciables en comparación con los otros ya que ol, r y y son pequeñor.Despreciándolos, obtenemos las ecuaciones diferenciales lineales,
'¿ - -gall * 2roi cos )r
Ü = -cylt - 2,¡i cos\
6.20. Resolver las ecuaciones del movimiento del péndulo obtenidas en el problema 6.lg su-poniendo condiciones iniciales apropiadas.
Suponemos que inicialmente la perilla está en el plano yz y se le imparte un desplazamiento z demagnitud A > 0 y después se suelüa. Entonces las condiciones iniciales son
r=0, i=t!, U=A, ú=O en t=OPara encontrar la solución de las ecuaciones (4) y (5) del problema 6.lg es conveniente hacer que
Kz = gll, d = ocosl
'| - -I(zr*Zaiü = -KzU-Zai,
Es también conveniente emplear números complejos. Multiplicando la ecuación (4) por i y sumándolaa (3), encontramos
'd + ¿Ü = -It2(r t ial + zaú - ütl = -Kz(r * iu', - zi¡¡(á + iü)
Haciendo u: xl i, podemos esc¡ibir
(4)
(5)
entonces se convierten en
(¡)
(2)
(3)
(4)
ü = -K2u - züit o
Si u - Cer donde C y I son constantes. entonces
así que
Ahora, como c2 :
|ú+z¿"í,*r?u = o (5)
y2*2iay1-K2 = 0
't - (-zio+6¡¡z-4yz)12 = -ia+¡1/p¡yz,2 cos2tr es pequeña en comparación con K¿ : g/t, podemos escribir
(6)
'l = -idliK @
156 SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO
Las soluciones de las ecuaciones son entonces (introduciendo coeficientes complejos)
IcAP.6
(Cr+ iCr¡e-x"-xtt y (Cz* iCn\e-i<a+x'tt
y la solución general es
1t = (c1* ic2)¡e-ila-K)¿ + (csl ico¡e-it"+x>t (8)
en donde se supone que C¡, Cr, Cr, Ca son reales. Utilizando las fó¡mulas de Euler
eio = cos, + isen d, e-iq = cosd - i send (9)
y el hecho de que u : x * iy, (8) podemos escribirlo como
n + ia = (Cr*iCz){cos (a-K)t - isen (a-Klt} + (Ca+iCn)(cos(aIK)t - isen (a+K)t)
fuualando entre sí las partes reales y las partes imaginarias, encontramos
o = C1 cos(c-K\t + C2sen(a -K)t + C3cos(a +K)t + C¿sen(a*K)ú Q0)
a = -C1 sen(o -Klt + C2cos(c -Klt - C3sen(c +K\t + C.rcos(a*K)ú (1I)
Empleandolacondicióninicial ¡:0 en f:0, encontramosde(10)que Cr+ C3:0 o Cs:- Cr. Del mismo modo, ,rsando i : 0 cuando t : 0, encontramos de (I0) que
c4 = ,,(f;:) = c'( )
Como o costr es pequeño comparado con @\ tenemos, en un alto grado de aproximación, C¿ : Cz.
Porconsiguiente, las ecuaciones (10) y (ll) se expresan como
tr = C¡ cos(c -K',t + C2sen(c -K\t - C1 cos(a+Klt + C2sen(alK)t (12)
A = -C1 sen (a-K)t * C2cos(a-K\t * C1 sen (a*K)t * C2cos(a*K\t (13)
Con la condición inicial y : 0, se obtiene de (I3) C, : 0. Similarmente, empleando J : A cuan-
do ú : 0 encontramos C, : |4. Entonces (12) y (13) se convierten en
t = |á sen (a - K\t + lA sen(a * K)t
y = {A cos (a - K)t * }A cos (a'l K)t
esto es.
a=
a=
A
A
A
A
cos KÚ sen a¿
cos Kú cos aü
cos \filt t sen (o cos )r t)
"o"r/gllt cos(d costr ¿)
(r4l
115)
6.21. Dar una interpretación física a Ia solución (15) del problema 6.20.
En forma vectorial, (/5) puede escribirse como
do nde
es un vector unita¡io.
r = rity! = Acostfllltnn = i sen (o cos ),)¿ + j cos (o cos \)ü
El peíodo d,e cos {fi t (a saber, 2" \/T6 es muy pequeño comparado con el peíodo de n (a saber,
2r/(ocos l)). Concluimos que n es un vecto¡ que gira muy despacio. Por consiguienle, el péndulo oscila
ñsicamente en un plano que pasa por el eje z, el plano ¡ota lentamente (o tiene una precesión) alrededor deleJe z.
Ahora,cuandof:0,n:jylaperillaestáeny:A.Despuésdeuntiempot:2¡/(4ocos¡\),por ejemplo, n : i{-Zi + L{2i entonces la rotación del plano se realiza en la dirección del movimiento de
las agujas del reloj, si se mi¡a desde arriba de Ia superficie terrestre en el hemisferio norte (donde cosl ) 0).
En el hemisferio sur, la ¡otación del plano es contra¡ia a la del movimiento de las agujas del reloj.
La rotación del plano fue observada por Foucault en 1851 y sirvió como evidencia experimental de
la rotación de la Tierra alrededor de su eje.
cAP. 6l SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO
PROBLEMAS VARIOS6.22. La varilla vertical AB de la figura 6_6 rota con veloci-
dad angular constante r,,. Una cuerda liviana inex-tensible de longitud I tiene un extremo fijo al puntoO de la va¡illa y en el extremo p de la
",r"rd" se colo-
ca una masa fn. Hallar: (a) la tensión en la cuerda.y (b) el ángulo que la cuerda Op forma con la verti_cal cuando se alcanza el equilibrio.
Escogemos los vecto¡es unitarios i y k de tal modo que seanrespectivamente perpendiculares y paralelos a la varilla y que ro_ten con ella. Puede escogerse el vectorj para que sea perpendicu_lar al plano de i y k. Sea
r = lsenai - lcosekel vecto¡ de posición de ¡n con respecto a O.
Sobre la particula ¡n actúan tres fuerzas(i) El peso, mg: - mgk(ii) La fuerza centrífuga
esto es,
o
-rn{ox.(o xr)) = _rn{[,.rk] x ([ok] X [l sena i_ Icosa k])]= -zt.{[ok] X (orl sena j)] = rnu2lsenc i
(iii) La tensión, T : - ?sen0i* Tcosdk
Cuando la partícula está en equilibrio, la resultante de todas las fuerzas es cero. Luego
-mgk * mo2lsenli - Tsenei * fcostk = 0
(mt;zlsend - ?sen e)i + (T cose - mg)k = 0
mo2lsen| - ?send = 0
Tcosa - mg = 0
(1)
(2)
Resolviendo (1) V Q) simultáneamente, encontramos (o) ? : mo2l, (bl 0 : cos-t(g/o2 l).
, .c:Tola.cue¡da oPylamasa¡nenPdescribenlasuperficiedeuncono,elsistemaesavecesllama-oo penctulo conrco.
6'23' Una varilla AOB (figura6-7) rota en un plano vertical (el planoyz) alrededor de uneje horizontal que pasa por O y que es perpendicular a dichó planó (el eje r) con velo-cidad angular constante o. Suponiendo que no hay fuerzas de rozamiento, determi-nar el movimiento de una partícula P de masa ¡n cánstreñida a moverse a lo largo dela varilla. Hay un problema equivalente cuando la varilla AOB se remplaza pá. u.ttubo hueco dentro del cual la partícula puede moverse.
Fig.6_2
En el tiempo t, supongamos que r es el vector de posición de la partícula y que d es el rángulo forma-do por la varilla con el eje y. Escogemos los vectores unitarios j y k en las direcciones y y z, respectivamen-
Fig.6-6
158 SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO [cAP.6
te,y elvectorunitario i: i X k. Sea rr unvectorunitarioenladirección rj 0¡ un vectorunitarioenla dirección en que aumenta 0.
Hay tres fuerzas que actúan sobre P:
(i) EI peso, mg: -mgk: -mgsend \ - mgcosel¡
(ii) La fuerza centrífuga
-zrrr x (c x r)r
: -i[''di -]"H;,',
(iii) La fue¡za de reacción N : l\?r de la varilla que es perpendicular a la varilla ya que no hay roza-miento o fuerzas de resistencia.
Entonces, por la segunda ley de Newton,
d.2tm# = -mgk*mo2r¡1 +Ner
&rmfrn = -rng sen e ¡t - mg cos e 01 * rno2rt1 + Ne 1
= (m.2r - ,ng sen a)rt * (N - mg cos e)e 1
Luego N : rng cos0 ydrr/dt" = oLr - gsenl (I)
Comoi:o,unaconstante,tenemos0:otsisuponemosc:0cuandot:0.Entonces(I)secon-vierte en
d2r/d.tz - o4 = -g senoú (2)
Si suponemos que cuando t - 0, r : ro, dr/dt : uo, encontramos
r = (2 + !- -s-) "'t + /2-3 + A) e-@' I *.e',ü (3)
\z'2" 4"2/' '\2 2o'4,¡2/ 2o2---'-'
o utilizando las funciones hiperbólicas
* frsen,tt = rq cosh oú . (? - zro)""nn"(4)
6.24. ( o) Demostrar que con condiciones apropiadas la partícula del problema 6.23 puede os-
cilar a lo largo de la varilla con movimiento armónico simple y hallar dichas condi-ciones. (b) ¿Qué ocurre a la partícula si no se satisfacen las condiciones de (o)?
(o) La partícula oscilará a lo largo de Ia varilla con movimiento armónico simple si y sólo si ro : 0
y uo : g/2r. En este caso r : (g/2@21 senot. Entonces la amplitud y el pgríodo del mo-
vimiento armónico simple están dados por g/2t' y 2¡/o, respectivamente.
(b) Si uo : G/Zt) - toro entonces r : roe-* I (g/zt') sen @¿ y después de cierto tiempo el movi-miento es aproximadamente a¡mónico simple. De lo contrario, la masa saldría despedida de la vari-lla si ésta es finita.
8.26. Un proyectil situado en la colatitud )\ es disparado con velocidad uo en dirección sud-
este formando un ríngulo a con la horizontal. (o) Hallar la posición del proyectil des-
pués de un tiempo ü. (b) Demostrar que después de un tiempo ú el proyectil es deflec-tado hacia el este del plano vertical del movimiento inicial en una cantidad
$r,rP sentr ts - auo cos (c - I) ú2
(c) Aplicamos las ecuaciones del problema 6.15. Suponiendo que el proyectil parte del origen, tenemos
r=0, A=0, z =0cuando ü=0 (r)
cAP. 6l SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO 159
También, la velocidad inicial es V0 = o0 cos c i * oo send k así que
&=o¡coso, ú=0, á=ro.erro cuando ú=0 (2)
Integrando las ecuaciones (I), (2) y (3) del problema 6.16 y empleando las condiciones (?), ob-tenemos
¿ - 2r.r cos )\ y * u¡ cos c (J)
ú - -2(o cos )\ r + o sen ¡\ z) (4)
; - -C¿+ 2osenly*ossenc (5)
En lugar de tratar de resolver estas ecuaciones directamente usamos el método de iteración ode aproximaciones sucesiuas como lo hicimos en et método 2 del problema 6.16. Integrando y utili-zando las condiciones (I), encontramos
f.r = 2r¡ cos )\ | U ,1" * (?q cos a)ú
"o?a ?ay = -2ocosl I xdtt- 2osentr | zituJo Jg
z = (o6 sen c)ú - *ct, * 2o¡ sen x lo u ilu
Como primera aproximación empleamos bajo la integral gue ¡ - 0, y : 0,los té¡minos que contienen ,2, (6), (7) v @) se convierten en
(6)
r = (o6 cos a)ú
y = 0
z, = (o6 sena)ü - tCt,
@
(8)
e - 0. Despreciando
(e)
Q0)
ut)
(r2)
(r3)
(r4)
Pa¡a obtener una mejor aprorimación ¡¿mFlazamos (9), (to) y (lI) en las integrales (61, (7) y (g),llegando a
ü = (u6 cos a)ú
Y = -o106 coS (c - I) ¿¿ * forgú8 sen )r
z = (ttq sen a)ú - tCt,donde nuevamente hemos despreciado los términos con ot. Con posteriores aprnrimaciones se lle_ga nuevamente a las ecuaciones (I2), (I3l y (l4l,luego estas ecuaciones son eractas en tanto no con-tengan o2.
(b) De la ecuación (13) hemos visto que el proyectil se desvía hacia el eate del plano rz en la cantidad|ogüa senr - o,uocos(a - r)ú2. Si u¡ :0 elresultadoanteriorconcuerdaconelproblema6.16.
6-26- Demostrar que cuando el proyectil del problema 6.25 regresa a la horizontal, estará auna distancia
orulsenr c . _
r (3 cos c cos ), * senc sentr)
hacia el oeste del punto donde hubiera caído suponiendo que no hubiera rotaciónaxial de la Tierra.
El proyectil regresará a la horizontal cuando z : 0, es deci¡,
(o6senc)ú-*Ctt = 0 o | = (2oosena)lg
Remplazando este valo¡ de t en la ecuación (I3) del problema 6.25, encontramos el re¡ultado requerido.
160 SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO IcAP.6
Problemas propuestos
SISTEMAS COORDENADOS EN ROTACION. VELOCIDAD Y ACELERACION
6.27. Un sistema coordenado ¡yz se mueve con velocidad angular . : 2i - 3i + 5k relativa a un sistema coo¡-
denado XYZ fijo o inercial que tiene el mismo origen. Si un vector relativo al sistema ryz es dado en fun-ción del tiempo ú por A : senüi - cos tj* e-t k, halla¡: (a) dA/dt con relación al sistema fijo, (ó)
dA/dt relativo al sistema en movimiento.
Resp. (o) (6cosü- 3¿-')i* (6sen t-2e-')i* (3sent- 2cosú- e-')k(ó) cosúi* senúj- e-rk
6,2A. Calcular d2A/dt2 del vector A del problema 6.27 con respecto: (a) al sistema fijo, y (ó) al sistema en
movimiento.Resp. (o) (6 cosú- 46sen¿* 16¿-')i * (40cosú - 6sen t - lLe-tli
* (10 sen ú - 23 cos ¿ * 16e-t)k(b) -senúi * costi * e-tk
6.29. Un sistema coordenado xyz rota con velocidad angular ¡ : 5i - 4i - 10k relativa a un sistema fijo de
coordenadas XYZque tieneelmismoorigen.Hallarlavelocidaddeunapartículafijaenelsistemaryzenel punto (3, l, -2) tal como la ve un observador fijo en el sistema XYZ.
Resp. 18i - 20j + 17k
6.30. Discutir la interpretación física cuando se remplaza . por - o en: (o) el problema 6.a y (b) el problema 6.6.
6.3f. Explicar desde un punto de vist,a fisico por qué es de esperar que el resultado del problema 6.3 sea correcto'
6.32. Unsistemacoordenado xyzrotaconvelocidadangular o: cosúi* sen¿i+ k conrespectoaunsiste-ma coordenado f.ijo XYZ que tiene el mismo origen. Si el vector de posición de una partícula es r :senúi- cosf j* tk, hallar:(o)lavelocidadapa¡ente,y(b)lavelocidadverdaderaencualquiertiempoü.Resp. (o)cosüi* senrj+ k (b) (¿ sen¿+ 2cosú)i* (2senú- ücosú)j
6.33. Determinar: ( ¿) la aceleración aparente, y (b ) la acele¡ación verdadera de la partícula del problema 6.32.
Resp. (o) -sen úi* cos ti ftl Qtcosü- 3sent)i* (3cosü* 2¿senÚ)i+ (l- r)k
ACELERACIONES Y FUERZAS DE CORIOLIS Y CENTRIPETA
6,34. Se lanza horizontalmente una bola en el hemisfe¡io norte. (a) ¿Seía la trayectoria de la bola, si se tiene en
cuenta la fuerza de Coriolis, hacia la derecha o hacia la izquierda de la trayecto¡ia vista por la persona que
lanza la bola y que no la tiene en cuenta? (b) ¿Curil sería su respuesta a (o) si la bola se lanzara en el hemis-
ferio su¡? Resp. (a\ a la derecha, (ó) a la izquierda
6.35. ¿Cuál sería su respuesta al problema 6.34 si la bola se lanzara en el polo no¡te o en el sur?
6.36. Explicar por qué en el hemisferio norte el agua que sale de un desagüe vertical forma remolinos en direccióncontra¡ia al del movimiento de las agujas del reloj y en la di¡ección del movimiento de las agujas del relojen el hemisferio sur. ¿Qué sucede en el ecuador?
6.37. Demostra¡ que la fuerza centífuga que actúa sobre una partícula de masa m en la superficie terrestre es un
vecto¡: (o) que se aleja de la Tierra y perpendicular al vector de velocidad angular ¡, y (b) de r-nagnitud
rno2 ft sen\ donde tr es la colatitud.
6.38. En el problema 6.3?, ¿en dónde sería la fue¡za centífuga: (¿) un máximo? (b) un mínimo?
Besp. (o) en el ecuador, (ó) en los polos norte y sur
6.39. Encontrar la fuerza centúfuga que actúa sobre un tren de 100.000 kg de masa en: (o) el ecuador, (b) colati-tud 30". Resp. (o) 35 kg-f, (b) 17,5 ke-f
6.40. (o) Un río de anchura D fluye hacia el norte con velocidad constante uo en la colatitud tr. Dernost¡a¡que la orilla izquierda del úo es más alta qug la orilla derecha en una cantidad igual a
(2Dotts cos I)(g2 * 4o2t¡2 cos2 I)-1l2
donde o es la velocidad angular de la Ticr¡a alrededor de su eje.
(ó) Demostra¡ que pa¡a todos los fines prácticos el resultado de la parte (a) se reduce a (2Douo cosl),/g.
cAP. 6l SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO 161
6'41' Si el úo del problema 6.40 tiene 2km de anchura y fluye a una velocidad de 5km/h en la colatitud 4b',¿curíl seúa la mayor altura de la o¡illa izquierda sob¡e la o¡illa derecha? Resp. 2,g cm
6'42' Un automóvil viaja por una curva cuyo radio de curvatu¡a es p. Si el coeficiente de ¡ozamiento es p, pro-bar que la máxima rapidez con que puede desplazarse sin que se deslice sobre la vía es {-ypg.
6.43. Determinar si el automóvil del problema 6.42 se deslizará si su rapidez es 60 mi,/h, p : 0,5 y: (a) p :500 pies, (b) p : 50 pies. Discutir los ¡esultados fisicamente.
MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA RELATIVO A LA TIERRA6'44' Un objeto se suelta en el ecuado¡ desde una altura de 400 met¡os. Si se desprecia la resistencia del ai¡e, de-
te¡minar la distancia medida sob¡e la superficie de la Tier¡a a la cual golpea el objeto el suelo, con relacióna la proyección vertical der punto desde el cual se dejó caer el objeto.Resp. 17,6cm hacia el este
6'45. Hace¡ el problema 6'44 si el objeto se suelta: (o) a una colatitud de 60", y (ó) en el polo norte.Resp. (a) 15,2 hacia el este
6'46' Un objeto se lanza verticalmente hacia a¡¡iba en una colatitud tr con rapidez u6. probar que cuando éstereg¡esa estará a una distancia (4ruo3 sentr)/3g2 al oeste del punto inicial.
6'47' Un objeto que está en el ecuador se lanza verticalmente hacia arriba con una rapidez de 60 mi,/h. ¿A quédistancia del punto inicial regresará? Resp. 0,Zg pulgadas
6'44' ¿Con qué rapidez se debe lanzar el objeto del problema 6.47 paraque retorne a la Tierra a un punto que dis-te 20 pies de la posición original? Resp. 4O6 mi/h
6'49' Un objeto se lanza hacia arriba con una rapidez inicial u¡. Probar que después de un tiempo ú el objeto seha deflectado hacia el este con respecto a la vertical una cantidad
doo sen ¡\ t2 + $o/ sen tr ú3
6'50' Demostrar que si el objeto del problema 6.49 se lanza hacia abajo desde una altura h sobre la superficie dela Tierra, la distancia a la cual toca tie¡¡a medida desde la práyección ve¡tical del punto inicial sobre laTierra está dada por
o sen r, , Fr--:--=-= , -=#t $/4+ zsh - oo¡z1t/QTlgh + zr'¡
6'5r' Suponer que la masa m de un péndulo cónico de longitud I se mueve en plano horizontal formando un círcu-lo de radio ¿. Probar que: (o) la rapidez ." ofi/ VF=¿ , y (ó) .la tensión en la cuerda es mgllt2T=-E
6'52' Si un objeto está cayendo hacia la superficie de la Tierra probar que su trayectoria es una parábola semi-cúbica.
PENDULO DE FOUCAULT
6'53' Explicar físicamente larazón por la cual el plano de oscilación del péndulo de Foucault debe rotar en el sen-tido de la ¡otación de las agujas del reloj cuando se ve desde encima de la superficie de la Tier¡a en el he-misferio no¡te y en el sentido contra¡io al del movimiento de las agujas del reloj en el hemisferio sur.
6'54' iCu¿ínto tiempo ta¡da en dar una revolución completa el plano de oscilación del péndulo de F.oucault si estásituado en: (a) el polo norte? (b) colatitud 45"? (c) colatitud 8b.?Resp. (¿) 23,94h, (b)33,86 h, (c)92,50h
6'55' Explicar fisicamente la ¡azón por la cual un péndulo de Foucault situado en el ecuador no detecta la ¡ota-ción de la Tierra alrededo¡ de su eje (de la Tierra). ¿Es válido maternáticamente este resultado? Explicar.
SISTEMAS DE COORDENADAS EN MOVIMTENTO, EN GENERAL6'56' Un sistema de coordenadas xyz rota al¡ededor del eje z con una velocidad angular o : cos úi f sen új
con ¡especto a un sistema de coordenadas XYZ fijo, siendo t el tiempo. El origen del sistema ryz está loca-lizadoconrespectoal sistemaXyZporelvectoráeposiciónR:fi_j+¿rk.Sielvectordeposiciónde
162 SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO fcAP.6
unapa¡tículacon¡espectoal sistemaenmovimientoes r: (3t+ l)i -2ti+ 5k, determinar:(a) lavelocidad aparente, y (b) la velocidad verdadera en cualquier tiempo'
6.67. Enelproblema6.S6determinar: (o) la aceleración aparente,y (b) la acele¡aciónverdaderadelapartícula.
6.58, Hacer: ( o ) el problem a 6.5, y ( b ) el problem a 6.?, si el vector de posición del sistema tyz relativo al s istemafijo XYZ es R : tzi - 2ti * 5k.
PROBLEMAS VARIOS
6.59. Demostrar que debido a la rotación de la Tierra alrededor de su eje el peso aparente de un objeto de masa m
enlacolatitudres¡ndondeReselradiodelaTierra.
6.60. Demostrar que el ángulo É que forma la vertical aparente con la vertical verdade¡a en la colatitud )t está
dado por tan B =#H#*6.61. Explicar fisicamente la razón por la cual la vertical verdadera y la vertical aparente deben coincidir en el
ecuador y en los polos norte y sur.
6.62, Una piedra se hace rotar en un círculo vertical mediante una cuetda de l0 pies de longitud. Demostrar que
necesita una rapidez a lo menos de 20 pies/seg para mantener su t¡ayectoria y poder completar el círculo.
6.63. Un miniauto C (figu¡a 6-8) se mueve en un cí¡culo verticalcer¡ado de radio a sin sali¡se de la vía. Suponiendo que lavía no tiene rozamiento, determinar la altura H de la cualdebe partir para que dé Ia vuelta completa.
6.64. Una partícula de masa rn está constreñida a moverse sob¡e
un círculo vertical sin rozamiento de ¡adio o el cual rotaalrededor de un diámetro fijo con velocidad angular oconstante. Demost¡ar que la partícula tendrá pequeñas os-
cilaciones alrededo¡ de su posición de equilibrio con una
frecuencia dada por 2*ar/lVli:!.
6.65. Discuti¡ lo que sucede en el problema 6.64 si , - \/in.
6.66. Un tubo cilíndrico hueco AOB de longitud 2o (figu¡a 6-9)
rota con velocidad angular constante o alrededor de un
eje vertical que pasa por su centro O. Una partícula se en-
cuentra inicialmente en ¡eposo dent¡o del tubo a una dis-tancia b de O. Suponiendo que no hay fue¡zas de ¡oza-miento dete¡minar: (¿) la posición, y (ó) la rapidez de lapartícula en cualquier tiemPo.
6,6?. (o) ¿Curinto tiempo emplea la particula del problema 6.66
para salir del tubo? (b) ¿Cuál es su rapidez al abandonarlo?I
Re.sP. (o) l ltt (o' + ,/@=Elo
Fig.6-8
Fig.6-9
6.68, Dete¡mina¡ la fuerza sobre la particula del problema 6.66 para cualquier posición dentro del tubo.
6.69. Una masa se sujeta a una cuerda, la cual se suspende de un punto fijo. La masa describe un círculo, que
está contenido en un plano horizontal y su centro está localizado en la vertical por debajo del punto fijo.Dete¡minar la distancia del centro del circulo al punto fijo si la masa se mueve con una frecuencia de 20
revoluciones por minuto. Resp. 2,23 metros
6.20. Una partfoula que está sobre un plano horizontal sin rozamiento en una colatitud )r tiene una rapidez ini-cial uo en la dirección norte. Proba¡ que ta partícula describe un círculo de radio uo/(2@ costr) con pe'
ríodo ¡/(o cos tr).
6.71. La masa de un péndulo cónico describe un cí¡culo horizontal de radio o. Si la longitud del círculo es l, pro-
bar que el peíodo está dado po, 4r'{Ñ/g.
cAP. 6l
6.85.
SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO 163
a'72' Una partícula con velocidad inicial vs está const¡eñida a moverse sobre un alamb¡e circula¡ de radio o ycoeficiente de rozamiento p. Suponiendo que no actúan ot¡as fuerzas, determinar cuánto tiempo tardala partícula en llegar al reposo.
6'73' (o) Demostrarquesilarapidezangularde¡otacióndelaTierra es \E|-ndondeRessuradioyglaace-le¡ación debida a la gravedad, el peso de una partícula de masa m se¡ía igual en todas las latitudes. (b)¿Cuál es el valor numérico de esta rapidez angular?Resp. (g) 1,74X l0-a rad/seg
a'74' Un tanque cilíndrico que contiene agua, gira al¡ededor de su eje con rapidez angular o, de manera que nose derrama el agua. Demostra¡ que la superficie del agua es un paraboloide de revolución.
6'76' Hacer: (a) el problema 6.16, y (ó) el problema 6.1?, aproximando hasta té¡minos que involucren o2.
6'78' Demostrar que el viento cuando en el hemisferio norte se desplaza de una área de alta presión a una á¡eade baja presión ¡ota en sentido contra¡io al del movimiento de las agujas del reloj,..r".do es visto desdearriba de la superficie de la Tierra, debido a la ¡otación de la Tierra. ¿Qué ocuniní a los vientos en el he-misferio sur?
6.77. (o) Demostrar que en el hemisfe¡io no¡te los vientos que vienen delnorte, este, sur y oeste se desplazan hacia el oeste, norte, este y surrespectivamente como indica la figura 6-r0. (ó) use este argumentopara explicar el origen de los c jclone.s.
o6.78. Determinar qué condición debe tener ra rapidez angular pa¡a que unapartícula desc¡iba un círculo ho¡izontal dentro de un cono vertical sinrozamiento de ángulo a.
6.79. Hace¡ el problema 6.78 para un cascarón hemisférico.
6'80' El peúodo de un péndulo simple es P. Demost¡a¡ que cuando el péndulo se suspende del techo de un trenque se mueve con rapidez uo sobre una trayectoria circula¡ de ¡adio p su peúodo está dado por
P\/ps/v4T7F6.81. Hacer el problema 6.25 aproximando a términos que contengan o2.
6.83. Hacer el problema 6.82 en el caso de que haya un coeficiente de roza-miento p.
6.84. Demostrar que la partícula del problema 6.g2 está en equilibrio esta.ble entre las distancias medidas desde O dadas por
úrsend/r-¡tan"\u2 \ tanc*p /
-- cseno/1*ptana\t --T \ tar"_/, /suponiendo tana < l/t.
Un tren que lleva una rapidez uo toma una curva de radio de curvatura p. Demostrar que si no hay fuer_za lateral sobre el riel externo, entonces éste deberá estar colocado con respecto al riel interno a una alturadada por aoltt@ donde o es la separación entre los ¡ieles.
Un proyectil se dispara en una colatitud tr con velocidad ue dirigida hacia el oeste y formando un ánguloa con la horizontal. Probar que al no tener en cuenta los términos en o2, el tiempo que necesita para al-canzar la máxima altura es
o0 sen d _ Zoaf;sen )r sen a cos a
o92
E
Fig.6-ll
6.86.
r&1
Comparar este resultado con el caso en que @
6.87, En el problema 6.86 demostrar que la máxima
ug2sen2 o
-wCompárelo con el caso en que o :0.
SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTO ICAP, 6
: 0, esto es, que la Tierra no gire alre<iedor de su eje'
altu¡a alcanzada es
2oofl sen Isen 2 d cos ¿
g2
6.88. Demost¡ar que el alcance del proyectil del problema 6.86 es
of; sen 2a otrf; sen a sen l, (8 sen 2 a - 6)
s -Ty demostrar que si no tenemos en cuenta los términos €n o2 y de orden superior a éste, el alcance se¡á
mayo¡, menoro igual como en el caso en que @ : 0 de acuerdo con que o ) 60', a{ 60" o c :60" respectivamente.
6.89, Si un proyectil se dispara con una velocidad inicial uli I ,.;"j + usk desde el origen de un sistema de
coordenadas fijo relativo a la superficie de la Tierra en una colatitud tr, demostrar que para cualquier ins-
tante posterior su posición estará dada por
ü : ts( * oo2t2 coslr
A : u2t - atz(a, costr * t'3sen)r) * $ogt3 sentr
z = tt3t - tgt2 * otr2Ú2 sen L
donde no se han tenido en cuenta los términos en o'.
6.90. Hacer el problema 6.89 incluyendo los términos en ,2 pero no los términos en o3.
6.9f . Un objeto de masa m que inicialmente está en reposo se suelta desde una altura h a la superficie de la Tie-
rra en una colatitud tr. Suponiendo que la resistencia del aire es proporcional a la rapidez instantánea del
objeto y que la Tierra rota alrededor de su eje, demostrar que después de un tiempo t el objeto se ha apar'
tado de la vertical hacia el este una cantidad2o s-9nr
Íg -zlt12)(l- e-Bt) + pzhtl--Bt - pct + $oB2t2)B3
donde no se han tenido en ctrenta los términos afl o2 y de orden superior.
6.92. Hace¡ el problema 6.91 indicando la exactitud cuando se incluyen términos en o2.
6.9g. Un plano inclinado un ángulo o, sin rozamiento y de longitud J se localiza en una colatitud tr y se coloca
de tal manera que una partícula colocada sobre él se desliza, debido a la influencia de la gravedad, de norte
a sur. Si la partícula parte del reposo en la parte superior del plano, demostrar que el tiempo empleado para
llegaralaparteinferio¡delplano,despreciandolostérminosdeorden o2, estádadopor
.ffi. srl=;-:I
y que su rapidez en la parte más baja es
\/U *"" - $rl sena cosd senl
6.94. (¿) Demostrar que cuando la partícula del problema 6.93 llega a la parte inferior del plano, su deflexión es
2ta I zI3 19*,'" cos(d1-^'
al esteuoesterespectivamentedeacuerdoconsi cos(a* I) esmayoromenorquecero.(b)Discutirelcasoen que cos (a * I) : 0. (c) Aplicar el resultado de (o) para obtene¡ el ¡esultado del problema 6.17.
Hacer el problema 6.93 y 6.94 si el plano inclinado tiene un coeficiente de rozamiento r-6.95.
Copítulo 7
Sistemos de portículos
SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOSHasta ahora hemos tratado principalmente con el movimiento de un objeto que puede
ser considerado como una partícula o masa puntual. En muchos casos prácticos los objetoscon los cuales debemos tratar pueden considerarse en una forma más real como una coleccióno sistema de partículas. Estos sistemas son llamad os d"iscretos o continuos de acuerdo con quelas partículas puedan considerarse separadas una de otra o no.
En muchos casos prácticos un sistema discreto que tenga un gran número, pero finito,de partículas puede tratarse como un sistema continuo. Inversamente un sistema continuopuede tratarse como sistema discreto con un gran número, pero finito, de partículas.
DENSIDADPara un sistema continuo de partícul una región en el espacio es con fre_cuencia conveniente definir una masa por umen, la cual se llama densidad uo_lumétrica o sirnplemente densidad. Mate si AM es la masa total de un volu-men a¡ de partículas, entonces la densidad puede definirse como
tMO=
A¡+o ArLa d'ensidad es una función de la posición y puede variar de un punto a otro. Cuando la den-sidad es una constante, se dice que el sistema tiene d,ensidad iniforme o simplem ente uni-forme.
Cuando un sistema continuo ocupa una superficie, podemos, en forma similar, definiruna densidad superficiol o mase nor unidad de área. Igualmente, cuando las partículas ocu-pan una línea (o curva) definimos una masa por unidad de longitud o densidad lineal.
CUERPOS ELASTICOS Y RIGIDOSEn la práctica, al aplicar fuerzas a sistemas de partículas la distancia individual entre
ellas cambiará. Tales sistemas se llaman deformable, o "u"rpo, elósticos. Sin embargo, en al-gunos casos, la deformación puede ser tan pequeña que para fines prácticos podemos suponerque no existe. Entonces es conveniente definir rrn .ntd"lo matemático en el cual la distancia
entre dos partículas cualesquiera de un sistema permanezca igual, sin considerar las fuerzasaplicadas' Tal sistema se IIama cuerpo rígido. La mecánica del cuerpo úgido se consideraráen los capítulos 9 y 10.
GRADOS DE LIBERTADEl número de coordenadas requeridas para determinar la posición de un srstema de una
o más partículas se llama el número d,e grados de libertad del sistema.Ejemplo 1.
Una partícula que se mueve libremente en el espacio necesita 3 coordenadas, es deci¡ (x, y, z),paradeterminarsu posición. Por tanto, el número de grados de libertad es igual a B.
(1)
165
166 SISTEMAS DE PARTICULAS tcAP. ?
Ejemplo 2.Un sistema compuesto de N partículas que se mueven libremente en el espacio necesita 3N coordenadas pa¡a
determinar su posición. Entonces el número de grados de libertad es 3N.
Un cuerpo rígido que puede moverse libremente en el espacio tiene 6 grados de libertad,esto es, se requieren 6 coordenadas para determinar su posición. Véase el problema 7.2.
CENTRO DE MASASean rr, 12, ., rN los vectores de posición de un sistema de N partículas de masas
tnt, trt2; .¡f2¡v, r€Sp€ctivamente (figura 7-1).
El centro de maso o centroide del sistema de partículas se define como el punto C que
tiene por vector de posición
i - 1múr+m2r2+"'*rttxt¡,t f gÍttr*1,ttz+-,.+nN = ili uZ-r',o""
N
M = >rnv esla masa total del sistema. Usaremos algunas veces )v=l v
N
lugar de ).
Í^"'a'
(21
o simplemente
Fig.7-l Fis.7-2
Para sistemas continuos de partículas que ocupan una región R del espacio en el cualla densidad volumétrica es or, el centro de masa puede expresarse como
donde
) "tt
v
donde
r= (3)
fn"o'donde la integral se toma en toda la región R (figrr¡a 7-2). si escribimos
i = ii+Ai+Zk, ¡u: s,i*A,il-z'lrentonces (3) puede escribirse como
,:ry, ú=>#t, 2=z#tf o*d,, f "ud', f ozil
- Jq - tlq = ¿'R,O=-:A , U=-M , 7= M
la masa total está dada por cualquiera de las dos siguientes expresiones
M = 2*"M = fn"a,
(4)
(5)
(6)
(7)
CAP. ?] SISTEMAS DE PARTICULAS 167
Las integrales de (3), (5) o (7) pueden ser integrales simples, dobles o triples, dependiendc delcaso en cuestión.
'En la práctica para pasar de sistemas discretos a sistemas coñtinuos es correcto cambiarlas sumatorias por integrales. Posteriormente presentaremos todos los teoremas para sist,e-mas discretos.
CENTRO DE GRAVEDADSi un sistema de partículas se encuentra en un campo gravitacional uniforme, el cen-tro de masa se llama algunas veces el centro de grauedad.
MOMENTUM (O CANTIDAD DE MOVIMIENTO)DE UN SISTEMA DE PARTICULAS
Si v, - ihJd,t = i, es la velocidad de m,, el momentum totalcomo
¡¡N
P = 2*,o, = 2*,i,Podemos demostrar (véase el problema Z.g) que
p=Mn=M+=MiaÍ
donde i : df/ü es la velocidad del centro de masa.Esto se expresa en forma de teorema de la siguiente manera:Teoremd 7'r' El momentum total de un sistema de partículas puede hallarse mul-tiplicando la masa total M del sistema por la velocidad y del centro de masa.
MOVIMIENTO DEL CENTRO DE IVIASASupongamos que las fuerzas internas entre dos partícuias cualesquiera de un sistema
obedecen a la tercera ley de Newton. Entonces si F es ia fuerza externa resultante que actúasobre el sistema, tenemos (véase el problema 2.4)
F = # = M# = MA;
CONSERVACION DELHaciendoF:Oen
MOMENTUM(10), hallamos que
N
P = 2*,u, = constante
del sistema se define
(1i )
(8)
(e)
(10)
Lo cual se expresa en el
Teorema 7'2' El centro de masa de un sÍstema de particulas se mueve como si lamasa total y la resultante de la fuerza externa estuvieran aplicadas en ese puntr).
Entonces tenemos el
Teorema 7.3. Si la fuerza externa resultante que actúa sobre un sistema de partículases cero' entonces el momentum total permanece constante, esto es, se conserva. En este casoel centro de masa permanece en reposo o en movimiento con velocidad constante_Este teorema se llama frecuentementeprincipio de La conseruación del momentum y es unageneralización del teorema 2.8.
168 SISTEMAS DE PARTICULAS [cAP. 7
MOMENTUM ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTICULAS
La caútidad N
o = 2rmr(r,xv,) U2)
se llama momentum angular total (o momento del momentum) de un sistema de partículas
con respecto al origen O.
MOMENTO EXTERNO TOTAL QUE ACTUA SOBRE UN SISTEMA
Si F, es la fuerza externa que actúa sobre Ia partícula r', entonces r, X F, se llama mo-
mento de la fuerza F, o torque con respecto a O y Ia suma
^ = jr,xF, (13)
se llama momento externo total conrespecto'"=ltot'*"t''
RELACION ENTRE EL MOMENTUM ANGULAR YEL MOMENTO EXTERNO TOTAL
Si suponemos que las fuerzas internas entre dos partículas cualesquiera están siempre
sobre la línea que las une (esto es, son fuerzas centrales), entonces podemos demostrar como
se verá en el problema 7.12 que ¿IA
^ =H Q4)
Entonces tenemos el
Teorema 2.4. EI momento total externo sobre un sistema de partículas es igual a la
tasa de cambio con respecto al tiempo del momentum angular del sistema, siempre que
las fuerzas internas entre las partículas sean fuerzas centrales.
CONSERVACION DEL MOMENTUM ANGUI,AR
Haciendo .d, : O en (14) hallamos queN
o :2rm'(r'xv') = constante U5)
Entonces tenemos el
Teorema 7.5. Si el momento externo resultante que actúa sobre un sistema de par-
tículas es cerg, el momentum angular total permanece Constante, esto eS' Se conserva'
Este teorema es llamado principio de la conseruaL;on del momentum angular y es una ge-
neralización del teorema 2'9.
ENERGIA CINETICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS
La energía cínética total de un sistema de partículas se define como
'n 1.1!... -., 1{-r = 22m'al = )2rm"I3 (,lb')
TRABAJOSi R es la fuerza (externa o interna) que actúa sobre la partícula r, entonces el traba-
jo total'réalizado para pasar el sistema de partículas de un estado (simbolizado por 1) a otro
(simbolizado por 2) es wtz = 2, Írrr,. or, \17)
cAP. 7l SISTEMAS DE PARTICULAS
Como en el caso de una sola partícula, podemos probar el
Teorent'a 7'6' El trabajo total realizado para pasar un sistema oe partículas desdeun estado donde la energía cinética es ?r a otrodonde la energía cinética ". ?r, ""
Wtz = Tz-Tt (/8)
169
ENERGIA POTENCIAL. CONSERVACION DE LA ENERGIACuando todas las fuerzas, externas e internas, son conservativas podemos definir unaenergía potencial total v del sistema. En tal caso podemos probar elTeorema 7'7' Si ? y V son la energía cinética total y la energía potencial total delsistema respectivamente, entonces
T + V: constante (1e)
Este es el principio de la conseruación de la energía paraun sistema de partículas.
MOVIMIENTO RELATIVO AL CENTRO DE MASAA menudo se acostumbra describir el movimiento de un sistema de partículas con res-pecto (o relativo) al centro de masa. Los siguientes teoremas son fundamentales. En todoslos casos las variables con el signo (prima) denotan cantidades referidas al centro de masa.Teorema 7'8' El momentum lineal total de un sistema de partículas con respectoal centro de masa es cero. En símbolos
(20)
Nil
Z*,"i:)^,ri = o
Teorema 7'9' El momentum angular total de un sistema de partículas con respecto acualquier punto o es igual al momentnm angular de la masa total, la cual suponemos locali-zada en el centro de masa, más el momentum angular con respecto al centro de masa. Ensímbolos,
O = ixMÍ+)m,ftixvi) (21)
Te energía cinética total de un sistema de partículas con respec-to a cu igual a la energía cinética de traslación del centro de masa (supo-niendo lizada en el centro de masa) más la energÍa cinética del movimien-to con de masa. En símbolos.1 rlT = =zMÍ, *;V=rm,a,,' {22)
Teorema 7'11. El momento externo total con respecto al centro de masa es igual ala tasa de cambio en el tiempo del momentum angul", "án
respecto al centro de masa, esroes, la ecuación (14) es válida no sólo para un sistema de coordenadas inercial sino tambiénpara un sistema que se mueve con el centro de masa. En símbolos,
L'=rydt e3)Si el movimiento se describe con relación a otros puntos diferentes al centro de masa,el resultado de los teoremas anteriores puede ser más complicado.
IMPULSOSi F es la fuerza total externa que actúa sobre un sistema de partículas, entonces
170 SISTEMAS DE PARTICULAS
Fdt
Como en
[CAP: 7
(24)
el caso de una sola partícula, podemos
Í:total.
se llama impuiso angular total. Podemos entonces probar el
Teorema 7.13. El impulso angular total es igual al cambio en el momentum angular.
CONSTRICCIONES. CONSTRICCIONES HOLONOMICAS Y NO HOLONOMICAS
En la práctica, a menudo, el movimiento de una partícula o sistema de partículas estárestringido a alguna trayectoria. Por ejemplo, en un cuerpo rígido (capítulos 9 y 10) el movi-miento debe ser tal que la distancia entre dos partículas cualesquiera del cuerpo úgido seasiempre la misma. Otro ejemplo se tiene cuando el movimiento de las partículas se restringea que sea sobre una curva o sobre una superficie.
Las limitaciones al movimiento se llaman con frecuencia constricciones. Si la condiciónde constricción puede expresarse en una ecuación como
g(rr, rz, . . ., r¡l, ú) = 0 (26)
Ia cual relaciona los vectores de posición de las partículas con el tiempo, entonces la constric-ción se llama holonómica. Si rto puede expresarse en esa forma la llamaremos no holonómica.
DESPLAZAMIENTOS VIRTUALESConsideremos dos configuraciones posibles de un sistema de partículas, en un instante
determinado, que sean compatibles con las fuerzas y constricciones. Para ir desde una confi-guración a otra necesitamos solamente dar a la v-ésima partícula un desplazamiento Er,de la antigua a la nueva posición. Llamaremos a 6r, desplazamiento uirtual para distinguir-lo del desplazamiento reol (denotado por d,r,l el cual tiene lugar en un intervalo de tiempo enel que las fuerzas y constricciones pueden estar cambiando. EI símbolo ó tiene las propie-dades usuales de la diferencial d; por ejemplo, D(sen d) : cos d ód.
se llama impulso lineal total o impulsoprobar el
Teorema 7.12. El impulso lineal
Similarmente si .1, es el momentocon respecto al origen O, entonces
total es igual al cambio en el
total externo aplicado a un
?tzI t¿t
momentum lineal.
sistema de partículas
(%)
que actúa sobreEr, : 0 donde
(27)
(28)
ESTATICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS.PRINCIPIO DE TRABAJO VIRTUAL
Para que un sistema de partículas esté en equilibrio, la fuerza resultantecada partícula debe ser cero, esto es F, : O. De lo anterior se sigue que F,'F,' 6r, se llama trabajo virtual. Sumándolos tenemos
N
)F,.6r, = o
Si hay constricciones podemos escribir
F, : F;")+Fj')donde FÍ'' y Fj") son la fuerza actual y la fuerza de constricción, respectivamente, que ac-
túan sobre la u-ésima partícula. Suponiendo que el trabajo debido a las fuerzas de constric-ción es cero (lo cual es válido para cuerpos rígidos y para movimiento sobre curvas y superfi-cies sin rozamiento), Ilegamos al
CAP. ?] SISTEMAS DE PARTICULAS L7l
sólo si el trabajo vir-
(2s)
(3r)
Teorema 7.14. Un sistema de partículas está en equilihrio si ytual total de la fuerza real es cero, esto es, siN
,¿ FÍ", . sr, = 0
con frecuencia este teorema se llama er principio de trabajo uirtuar.
EQUTLTBRIO EN CAMPOS CONSERVATTVoS.ESTABILIDAD DE EQUILIBRIO
Lo que se ha obtenido para el equilibrio de una partícula en un campo de fuerza conrerva.tivo puede generalizarse a un sistema de partícul"r. Lor "igarientes
teoremas resumen los re-sultados básicos.
Teorema 7'75' Si V es el potencial total de un sistema de partículas que dependende las coordenadas ett e2t. . ., entonces el sisterna estará en equilibrio siav^av
.oq, = o'
.A -= o,
Ya que el trabajo virtual realizado sobre un sistema es
sY = #'o'l-#oq,+"'(3I) es equivalente al principio de trabajo virtual.
Teorema 7'16' Un sistema de partículas estará en equilibrio estable si el potencial Ves un mínimo.
En el caso que vdependa solamente de una coordenada, digamos gr, las condiciones su-ficientes son dv _ ^ a2v - ^d4= '' u4'o
otros casos de equilibrio en que el potencial no es un mínimo se llaman de equilibri o inestable.
PRINCIPIO DE D'ALEMBERTAunque el teorema 7.14 se estableció para aplicarlo a la estática de un sistema de partícu-las, puede refo¡marse para obtene¡ un teoremq análogo para la dinámica. para hacer estoobservemos que de acuerdo con la segunda ley de N"*íorr-+t movimiento,
F,=i, o F,-i,=0 (,30)
donde Pv es el momentum de la v-ésima partícula. La segunda ecuación se valora diciendoque un sistema de partículas en movimiento se puede "orr.=id"r",
en equilibrio bajo una fuer-za Fu -if', esto es, la fuerza real más la fuerza -i, l" cual frecuentemente se llama la fuerzaefectiua inuersa sobre la partícula v-ésima. usaido "L
ptirr.ipio de trabajo virtual podemosllegar al
Teorema ?'I7'. un sistema de partículas se mueve de manera que el trabajo virtualtotal sea
) (r'i", - i¡,). ¡r, = o (32¡
con este teorema, el cual recibe el nombre deprincipio de D,Alemberü, podemos considerar ladinrímica como un caso especial de la estática.
t72 SISTEMAS DE PARTICULAS
Proble mas resueltos
IcAP. ?
GRADOS DE LIBERTAD7.1. Determinar el número,de grados de libertad en cada uno de los siguientes casos: (o)
una partícula se mueve sobre una curva dada en el espacio; (b) cinco partículas se
mueven libremente en un plano; (c) cinco partículas se mueven libremente en el es-
pacio; (d) dos partículas unidas por una varilla rígida se mueven libremente en unplano.
(o) La curva se puede describir por las ecuaciones paramétricas ¡ : ¡(s), y : y(s), z : z(s\ donde s
es el parámetro. Entonces la posición de Ia partícula sobre la curva está determinada por la especifica-
ción de una coordenada, y pot tanto, hay un grado de libertad.
(b) Cada partícula requiere dos coordenadas pa¡a fijar su posición en el plano. Así 5'2 : 10 coordena'
das son necesa¡ias para determinar las posiciones de todas las 5 partículas, esto es, el sistema tiene 10
grados de libertad.(c) Ya que cada partícula requiere tres coordenadas para determinar su posición, el sistema tiene 5'3 :
15 grados de libertad.
(d\ Método l.Las coordenadas de las dos partículas se pueden exp¡esar por (r¡, yr) y (¡r, y2), esto es, un
total de 4 coordenadas. Sin embargo, como la distancia entre esos dos puntos es una constante ¿ (la
longitud de la varilla úgida), tenemoe (xt - xz)2 * (yr - Jt)2 : c2 así que una de las coorde-
nadas se puede expresar en función de las otras. Entonces hay 4 - 1 : 3 grados de libertad.
Método 2.
El movimiento está totalmente especificado si damos las dos coo¡denadas del centro de masa y
el ángrlo que forma la varilla con alguna dirección específica. Entonces hay 2 * 1 : 3 grados de liber-
tad.
7.2. Determinar el número de grados de libertad,para un cuerpo igido el cual: (o) puede
moverse libremente en el espacio de tres dimensiones, (b) tiene un punto fijo pero
puede moverse en el espacio alrededor de ese punto.
(a) Método 1.
Si tres puntos, no colineales, de un cuerpo rígido están fijos en el espacio, el cuerpo también es-
táfijoenelespacio.Sean (¡t,!r,zt\, (xz,!z,zz), (xulz,zsl- lascoordenadasdeesospuntos,un total de 9. Ya que el cuerpo es rígido debemos tene¡ las rBlaciones
@t- rz)2 I (Ut- az\z * (zt- z2)2 = constante, (rz- r,s\2 * (Az- Asl2 * (zz- zs)2 = constante,
(rs- rt)2 * (Az- at\2 * (zs- zt)z - constante
por tanto 3 coo¡denadas se pueden expresar en función de las otras 6. Entonces se necesitan 6 coo¡'
denadas independientes para describir el movimiento, esto es, hay 6 grados de libertad.
Método 2.
Para fijar un punto del cuerpo ígido se requieren 3 coordenadas. Un eje a través de estos pun-
tos está fijo si especificamos 2 relaciones de los cosenos directores de este eje. Una rotación alrededo¡
de este eje se puede desc¡ibi¡ por I coordenada angular. El número total de coordenadas requeridas,
esto es, el núme¡o de grados de libertad, es 3 * 2 + 1 : 6.
(ó) EI movimiento está completamente determinado si conocemos las coo¡denadas de dos puntos, diga-
mos (¡r, !t, ztl y (xz, yz, er), donde el punto fijo se toma como el origen de un sistema de
coordenadas. Pe¡o como el cuerpo es úgido debemos tener
"?+ú* zl= constante, "3+a7*2f;=
constante, (r, - x)2 I (y, _ yr)' * (er -22)2:cons-tante, de lo cual 3 coo¡denadas se pueden determinar en función de las 3 ¡estantes. Entonces hay tresgrados de libertad.
CENTRO DE MASA Y MOMENTUM DE UN SISTEMA DE PARTICULAS
7.3. Demostrar el teorema 7.1: El momentum total de un sistema de partículas se puede
determinar multiplicando la masa total M del sistema por la velocidad ü del centrode masa.
CAP. ?] SISTEMAS DE PARTICULAS
pordefinición el centrc c^ ---- -- - -2*u'uLe masa es, i = --A-.
Entonces el momentum total es
7 '4' Demostrar el teorema 7.2: El centro de masa de un sistema de partículas se mueve co-mo si la masa total y la fuerza externa resultante estuvieran aplicadas a ese punto.Sea Fu la fue¡za erterna resultante que actúa sob¡e la partícula y mientrag que fr¡ es la fuerza in-terna sobre la partícula y debida a la partícula tr. Supond¡emos que fr, = 0, esto Js, la partícula rno ejerce fuerza alguna sob¡e sí misma.Por la segunda ley de Newton la fuerza totar sobre ra partícura r es
Fy+>ryr = + = ffi@"r,)
r73
(1)
donde el segundo término de la izquierda ¡epresehta la fuerza interria resultante sobre la partícula r de-bida a todas las demás partículas.Haciendo la sumatoria sobre y en la ecuación (^/), tenemos
?"'*;?',^ = #{}^,',}Ahora, de acuerdo con la terce¡a ley de Newton de acción y reacción, fr)r = _ff,, asÍ que la doble suma-toria de la izquierda de (2) es cero. Si escribimos
F = ?"" y r = h2*,r,F=M#
Ya que F es Ia fuerza exte¡na total sobre todas las particulas aplicadas en el cent¡o de masa i, el resultadopedido queda demostrado.
7.6. Determinar las coordenadas del centro de masa de un sistem.a que consta de una ma-sa de 3 gramos en (1, 0, - 1), otra de 5 gramos en (- 2, r, g) y otra de 2 gramos en(3, - 1, 1).
Los vectores de posición de las partículas son, respectivamente,
rr = i-k, tz = -2í+j+Bk, rs = Bi-j+tEntonces el centro de masa está dado por
I = 3(i-k)+5(-2i+j+3k)+2(3i-j+k) 1., 3,,7
-
= -ñi*frl +;tPor tanto, las coo¡denadas del centro de masa son (_rfu, is., Í).
7'6' Demostra¡ que si el momentum total de un sistema es constante, esto es, se conserva,entonces el centro de masa está en reposo o en movimiento con velocidad constante.
El momentum total del sistema es
p = 2*,n, = 2*,iu = *2^,r, = "*{¿#"1 = M#Entonces si p es constante, di/d,t también lo es, que es la velocidad de'l cent.o 0".""..
7 '7 ' Explicar la ¡azón por la cual la expulsión de gases a alta velocidad por la parte poste-rior de un cohete lo moverá hacia adelante.
Ya que las partículas del gae se mueven hacia atrás con gran velocidad y como el centro de masa nose mueve' el cohete debe moverse hacia adelante. Pa¡a aplicaciones que implican movimiento de cohetes,véase el capítulo 8.
(2) se convierte en
Q)
(3)
(4)
174 SISTEMAS DE PARTICULAS
7.8. Deto¡minar el centroide de una región R sólidacomo la de la figura 7-3.
Congidérese el elemento de volumen At, del sólido'L6 masa de este eleroento de volumen es
ÁMv - ouAlru = orÁartYu\z,
donde o, es la densidad (masa por unidad de volumen) y
Át.rrAUy,Azy son las dimeneiones del elemento de volumen'Entonces el centroide está dado aprorimadamente por
lcAP. 7
2 r, n, ^úv
LAv Lzu
2 tMu ) ou Ar, ) orAr, LllvLzvt
donde la sumato¡ia se toma ¡¡obre todos los elementos de Fig. ?-Bvolurnen del sólido.
Tomando el límite cuar.rdo el número de elementos de volumen se hace infinito de modo que Ar, + 0
o A5, + 0, 6Uu - O, Á2, s 0, obtenemos para el centroide del sólido
t:=Í^,0,
l^o*
ff Í ,,o dr dy dz
Á + R--ü = !¡¡ ^*"*' " =
R
fÍ[ ,"ilrdyitzfi.
[[[ "o"ooo"a.
donde la inte¡tal se ha,ce sobre { como se indica.
EscribieFdo r= ci *Ui*zk, f = ti+úi+zkpuede escribirse en forma de componentes como
!íÍ "odnd.ydzq.
o dr d.y dz
!ÍÍ "oitrilvilzq.
!Íf ,irritaitzfi.
7.g. Determinar el centroide de la región limitada por el plano r + y * z: o y los pla-
nosx:0,,y:0,2:0.La rcg,ión, como se indica en la figura ?-4, es un tetraedro. Para determinar el centroide, usa¡emos
lqg resulta'dos del Problema 7.8.
Al c alcula¡ Ia suma sobre todos los elementos de volumen de la región es conveniente proceder en for'
ma ordenada. Una posibilidad es suma¡ primero todos los términos correspondientes a elementoe de volu'
men contenido" .r, ,¡" columna tal como PO en la figura. Esto se obtiene manteniendo ty ! Ay fijos y su'
mando sobre todo zr. Después mantenemos ru fijo y sumamos sob¡e todo yr. Esto da la guma de todas las
columnas como pe, que están contenidas en una lámina iS y, en consecuencia, da la suma de todos los
cubos contenidos en la lámina. Finalmente variamos ru. Esto da la suma de todas las láminag tales como
ns.En la integración sobre q., usamos las mismas ideas'
Aeí manteniendo ¡ y y constantes integramos deede z :0 (basedelacolumnaPQ)hasta z: a- r-y(partesuperior de la columna PQ). Después se mantiene r cons'
tante y se integra con respecto ay. Esto da Ia suma de las
columnas con base en el plano ry Q:0) localizadag des-
de8(dondey: 0) haeta S (donde ¡ * y: a o y -o - ¡), y la integración es degde y : 0 hasta y : a -¡. Finalmente sumanos todas lag láminas paralelas alplano yz para lo cual ¡e integra deede ¡ - 0 hasta ¡ :o. Así obtenemos
ya que en este caso r es constante se puede cancelar. Al calcula¡ el denominador gin c se obtiene ¿3./6
yelnuneradorsinoes (da/2411(i+ j+k). Asíelcentrodemasaes i: (a/4')(i+j*k) o e: a/4,
ú: a/4, 2: a/4.
Áte = Lt" ÁllrMu
Fis. ?-r
cAP. 7l SISTEMAS DE PARTICULAS 175
7.ro. Encontrar el centroide de una región semicircular de radio o.
Método l.Usando coordenadas rectangulares.Escogemos la región corno en la figura 7-5. Laecuación del círculo C es ¡2 * y, : a2 o y : \/F7
yaque y 2 0.
Si o es la masa por unidad de área, la cual suponemos constante, entonces las coordenadas del cen-troide están dadas por
1,"=-" l"ftn**Í,"=-" l,T**
2o813 4a;AE s"
e (figura 7-6). Como en el método anterior, vemos que por simetría elasí que 0 : 0. Como en coordenadas polares y : ¡sen 0 y dl :
2osl3AIz
4ou
l:=, l:=, rd.r ü
7.11. Determinar el centro de masa de un hemisferio sólido uniforme de radio a.Por simetría el centro de masa está sobre el eje
e (figura 7-?). Subdividamos el hemisfe¡io en discosci¡culares sólidos de ¡adio ¡, tal como ABCDEA. Si elcentro G del disco eetá a una distancia z del centrc Odel hemisfe¡io, tenemos que r2 * e2 : o2. Enton.ces si el espesor del disco es dz su volumen será
¡¡2 d,z = r(az _ z2) dz
y la masa es ro(o! - z2ldz. Así tenemos
fd| rcz(o2 -
"21 &
2 = "z=o q
fa
-=¡'a
| "nG\ - z2l dz o
J z=o
Nótese que podemos escribir inmediatamente E :0 ya que por simetría el centroide está sobre eleje y' El denominado¡ para f se puede calcular sin integrar observando que éste representa el área semicir-culat la cual es jro2.
Ng. ?-5
Método 2.
Usando coordenadas polares.
La ecuación del círculo es r :cent¡oide debe estar sobre el eje y,rdrdC podemos escribir
o d,A
Fic.7{
?t ,^!
| | (r senc) ril¡ü" 0=o ¿ ¡=o
Fig.7-7
176 SISTEMAS DE PARTICULAS IcAP. 7
MOMENTUM ANGULAR Y MOMENTO DE UNA FUERZA
7.12. Demostrar el teorema 7.4. El momento externo total sobre un sistema de partí-culas es igual a la tasa de cambio temporal del momentum angular del sistema,siempre que las fuerzas internas entre las partículas sean fuerzas centrales.
Como en la ecuación (I) del problema 7.4, tenemos
Fy+>ryr = * = ft@,',\Premultiplicando vectorialmente ambos lados de (I) por ryX, tenemos
rrXF, * )rrXfr¡ = ,rXft(mrvrlI
," x fiQnov,l = ft{m,(t,x ",1\
r,XF, * )r,Xf,¡ = ft{m,(r,xv,))
sumando para todo ' ""rt'],;T:'. "; ) r, x r,¡ = ;1 {; m,r,,xv,)}
(1)
Ya que
(2) se convierte en
La ecuación de movimiento de
v,
Multiplicando escala¡mente a ambos
f,.i, =
¿ (- I) r, X Fu = " t;
m,(t,xv,)l o
donde A = )rrXF, O = lrnu(rrXvr).
(2)
(3)
(4)
(5)
La doble sumato¡ia de (5) está compuesta de términos tales como
r, X fr¡ i r¡ X f¡, (6)
la cual escribiendo fr, = -fr¡. de acue¡do con la tercera ley de Newton llega a ser
r, X fr¡ - r¡ X ly¡ = (r, - r¡) X fr¡ (71
Como hemos supuesto que las fuerzas son centrales, esto es, fu¡ tiene la misma dirección de tr-t¡,entonces (7) es cero como también lo es la doble sumatoria de (5). Así la ecuación (5) se convierte en
^=#
TRABAJO, ENERGIA CINETICA Y ENERGIA POTENCIAL7.13. Demostrar el teorema 7.6. El trabajo total realizado cuando un sistema de par-
tículas pasa de un estado a ot¡o con energías cinéticas ?r Y ?2 respectiva-mente es Tz - Tt.
Ya que
(2) se puede egcribir
la v-ésima partícula del sistema es
= Fy + >fy\ = fr@"i,Ilados por i, tetremos
F,. i, + ) fu^. i, = i,A
Fr. i, + ) fu^. i, =I
(r )
(2)
. d.¡v. Ttlmv¡vt
r,. i, =
, ft<^,i,t
L#,^.ú,,= tftv,G,.i,ll =
Sumando para todo v en la ecuación (3), encontramos
i *<^,"h
= 'rit(+^ú)
(3)
)I,.i, = )r,.i, + ))f,r.i, (4)
cAP. 7l SISTEMAS DE PARTICULAS
Integrandoconrespectoaüaambosladosde(l)desde ú:úr hasta t:12, encontramos
r77
(6)
wn = ] t,:,,, r,.i,dt = ] Í,:,," F"i,dt * ; ? t'," ',^'',o'
l] 1,,,' *,m,,fi\ dt
Usando el hecho de que i, dt = d,rv y los símbolos 1 y 2 para indicar los tiempos tt ! tz, regpec-tivamente, podemos escribir
wn = ]t'r,.a,, = ?f'",.d,r,*):f'f,¡.dr, = rz-rtI u Jt iiJr
donde ?r y ?2 son las energías cinéticas totales en tr y t2, respectivamente. ya que
wp = ] t.'r,.a,,"1.es el trabajo total realizado (por las fuerzas externas e internas) para mover el sistema de un estado aotro, lo cual da el resultado requerido.
Debemos observa¡ que la doble sumato¡ia en (5) indica que el trabajo realizado por las fuerzasinternas no puede reduci¡se a ce¡o usando la tercera ley de Newion o la suposición de fuerzas centrales.Esta es una cont¡adistinción a la doble sumatoria de los problemas ?.4 y 2.12 las cuales se reducen a cero.
7.14. Suponer que las fuerzas internas de un sistema de partículas son conservativas yse derivan de un potencial de la forma
Vx,(r'x,) = V,^(r,x)
donde Tr.v = Tvx = es la distancia entre las par-tículas tr y r del sistema.
(o) Demostrar que > ¿ fx,.dr, = -;) )ar^" donde fr, es la fuerza internasobre la partículi ,^O"OiO" a la partícula tr.
(b) Calcular la doble sumatoria ? ? fr'f^,.d,r, del problema 7.L8.
(o) La fuerza que actúa sobre la particula r es
frlr : dvx'' dvx'' dvxu- a"ri - ayri - *k = -gradrV¡, = -YuVx, (I)
La fuerza que actúa sobre la partícula tr es
- dvx, , |vx, . |vx, _f,,. = ar^ t - ay^t -
^x = -grad¡V¡, = -VrVr, = -frx Q)
El trabajo que estas fuerzas realizan para producir los desplazamientos dr, y dr¡ de las partículasy y )\ es, respectivamente,
t,¡.dr, * r¡.,.dr¡ = - {T0",.+da,+a+d,,+*drr+#au^+ffa"}- -dVx,
Entonces el trabajo total realizado por las fue¡zas inte¡nas es
))r^,.a', = -;;?ou^, (r)
el factor I de la derecha se introduce porque de otra manera los términos de la sumatoria entraríandos veces.
(5)
178 SISTEMAS DE PARTICULAS
(ó) Integrando (3) y teniendo en cuenta la parte (o), tenemos
¡'2 t f2? ? J, r¡"dr' = -; ? ? J, o'^' = Y(rtrt) - Y(rnt)
donde Vf¡nt)y Vr(int)denotan los potenciales totales internos
I, ??u.
en los tiempos ür Y tz, respectivamente.
[cAP.7
(41
(5)
7.L5. Demostrar que si tanto las fuerzas internas como las externas en un sistema de
partículas son conservativas, entonces eI principio de la conservación de la energía
es válido.
Si las fuerzas exte¡nas son conservativas. entonces
F' = -iVu
¡2 ¡2de lo cual ? Jr-",.r., = -] ), or" = y(ext) - fext)
donde V{""t) y V;"*" denotan el potencial exte¡no total
2v,en los tiempos ür y fz, respectivamente.
Usando (2) y la ecuación (4) del problema ?.14(ó) en la ecuación (5) del problema 7.13, encont¡amos
Tz-Tt = y(ext)-y(ext)+V(t^t'-V(t¡L' = Yr-Vz
donde Vr = yÍ"") + yÍtnt' y Vz = V<'\L' + V<tat'
son las energías potenciales totales (externa e interna) en los tiempos ür y ü2, respectivamente. Así, de(3) obtenemos
fr+Vr = TL+V2 o T+V = constante
que es el principio de la conservación de la energía.
(5)
MOVIMIENTO RELATIVO AL CENTRO DE MASA7.16, Sean ri y vi el vector de posición y velocidad, respectivamente, de la partícula
v relativos al centro de masa. Demostrar que (o) ) m,r', = 0, (b) > ft;,v'o = Q.
(o) Sea r, el vecto¡ de posición de la partícula v ¡elativo a
0 y I el vector de posición del centro de masa C relativo a O.
Entonces de la definición del centro de masa,
i = #]*,r, (I)
donde M = i *,. De la figura 7-8 tenemos O
(r)
(2)
(3)
(41
,,IY
tv = ri+rSustituyendo (2) en (I), encontramos
(2)
de lo cual
11r = i?^"1rj+t) = ¡2*,r|, +
2 ^rr'" = o
(ó) Diferenciando ambos lados de (3) con respecto a ,, tenemos 2mrv'u = g.
Fig.7-t
(3)
cAP. 7l SISTEMAS DE PARTICULAS
7.17. Demostrar el teorema 7.9. El momentum angular total de un sistema de partículascon respecto a cualquier punto O es igual al momentum angular de la masa totalconcentrada en el centro de masa más el momentum angular con respecto al centrode masa.
Sean r, el vecto¡ de posición de la partícula v relativo a O, r el vector de posición del centro demasa C relativo a O y r', el vector de posición de lapartícula y relativo a C. Entonces
Diferenciando con ¡especto " ,, "rr.orrrr"tj":
t;* t (I)
V, = i, = ];+ i = ní+V e)donde g es la velocidad del cent¡o de masa ¡elativo a O, v, la velocidad de la partícula / ¡elativa a Oy v'" la velocidad de la partícula relativa a C.
El momentum angular total del sistema con respecto a O es
O = )mr(r,xv,) = )m,l(r',+i) x(vi+v))
= ]*,<r',xvi) + ?*,t:xv) + }*,(rxvi) + )zc,(rxfl (J)
Por el problema 7.16,
)rn,(r',xi) = {>*r;}"o = 0v u Lt ")
>tny(ixv;) = t"{>*,o',,) = ov"'ln')r)
)zn,(rxV) = 1¿*,ftixvl = M(txv)L, )
Como se requeúa (J) se convierte en.
O = ]^,(,xvi) +M(rxv)
7.f8. Demostrar el teorema 7.10: La energía cinética total de un sistema de partículascon respecto a cualquier punto O es igual a la energía cinética del centro de masa(suponiendo la masa concent¡ada en el centro de masa) más la energía cinética delmovimiento alrededor del centro de masa.
La energía cinética relativa a O es (figura ?_g)
r = f,2*,,, = L;^ri,.i¡ (r)
Utilizando la ecuación (2) del problema Z.16 encontramos
ir=ili'r=v+v',Así (f ) se puede escribir como
r = L+^,r* *oi) . tv +,,)¡
= i,2*,u.o * ? m,i.v', * ; ; m,v',.v'
t /- \ f 'l= il¡-*)v2 + v.t?^";i * I]-,i'= i* * L7*,,,,
Ya que 2*u"'u = 0 del problema ?.16.
179
180 SISTEMAS DE PARTICULAS IcAP. 7
IMPULSO7.19. Demostrar el teorema 7.12:EI impulso lineal total es igual al cambio del momentum
lineal.Po¡ la ecuación (4) del problema 7.4 la fuerza exte¡na total es
F = M# = *Eo,
Entonces el impulso lineal total es
¡to /'a, E
l"l"at = l'affat = Mv2-twL = pz-prJ r, J r, cI'¿
donde pt : Mit y pz : MV2 representan los momenta totales en los tiempos t1 y t2, respecti-vamente.
CONSTRICCIONES. CONSTRICCIONES HOLONOMICAS Y NO HOLONOMICAS7.2O. En cada uno de Ios siguientes casos establecer cuándo Ia constricción es holonómica
o no holonómica y dar la razón de su respuesta: (o) una cuenta moviéndose sobre unalambre circular; (ó) una partícula deslizándose hacia abajo en un plano inclinadobajo la influencia de la gravedad; (c) una partícula deslizándose hacia abajo sobreuna esfera desde un punto cercano al punto más alto bajo la influencia de la gravedad.
(o) La constricción es holonómica ya que la cuenta, que puede ser considerada como una partícula,está constreñida a moverse sobre el alambre circular.
(b) La const¡icción es holonómica ya que la partícula está constreñida a moverse a lo largo de Ia super-ficie, que en este caso es un plano.
(c) La constricción es no holonómica ya que después de que la partícula llega a cierto punto sobre laesfe¡a se separa de la esfera.
Otro punto de vista es que si r es el vector de posición de la partícula relativo al centro de laesfera como origen y o el ¡adio de la esfera, entonces la partícula se mueve en tal forma que r2 ¿ o2.Esta es una constricción no holonómica ya que no tiene la forma de la ecuación (26). Un ejemplode una const¡icción holonómica seía r2 : a2.
ESTATICA. PRINCIPIO DE TRABAJO VIRTUAL. ESTABILIDAD7,21. Demosttar el principio de trabajo virtual, teorema 7.14.
Como hay equilibrio, la fue¡za neta resultante F, sobre cada partícula debe ser cero, así que
)F,'6r, = o (I)
Pe¡o como F, = F o'+ Ft") donde Ff") y Ff") son las fue¡zas real y de constricción que actúan sobrela v-ésima partícula, (1) puede esc¡ibirse como
? "Í"'' or, * ) F(c)' 6ry = o (2)
Si suponemos que el trabajo vi¡tual de las fuerzas de constricción es cero, el segundo sumando de laizquierda de (2) es cero, entonces
) X'fo). or, = 0
lo cual es el principio de trabajo virtual.
7.22. Dos partículas de masas mt y Ít2 están colocadas sobre un plano inclinadodoble sin rozamiento y están unidas por una cuerda inextensible de masa despre-ciable qr,fb pasa sobre una polea liviana (figura 7-9). Usar el principio de trabajovirtual y demostrar que para el equilibrio debemos tener
sen dr ,lftz
sen a2 tf¿t
donde dr y d2 son los ángulos de inclinación.
(3)
CAP. ?] SISTEMAS DE PARTICULAS
Método 1.
Sean r¡ y 12 los vectores de posición con rela-ción a O de las masas mt ! Í,2, respectivamente,
Las fuerzas que actúan (debidas a la gravedad)sob¡e mty mz son, respectivamente,
fro, = ^rg, F5", = *rg (I)
De acuerdo con el principio del trabajo virtual,
)x'jo)'or, = o
o Flo).6rr*F!").0r2 = O (2)
donde ór¡ y ór2 son los desplazamientos virtuales de rp¡ yinclinados. Remplazando (I) en (2),
m1g.8r1 * m2g.8r, =o m10 6f1 sen cl * *"0 ór2 sen a2
Entonces la cuerda no se extiende, esto es, ór¡ $ ó¡2 : Q
(m1g senal - m2g sena2ltrlPero como ór¡ es arbitraria, se debe cumplir mrgsendr -
?¿rg . 6rt I m"¿. 6t2 = 0
resultado que concuerda con el obtenido en (J).
7.23. Usar el teorema 7.15 para resolver el problema 7.22.
0
o 612 : -6¡t,-0
Fig.7-9
rn2 hacia abajo sobre
181
los planos
(3)
(41
(4) se trasforma en
sendt =
fllZ
S€IllI2 (tL7
Método 2.
Cuando no se conozca cla¡amente cuáles fue¡zas presentan constricción y no hacen trabajo,debemos tener en cuenta todos las fuerzas y luego aplicar el principio de trabajo virtual. Asi, porejemplo, teniendo en cuenta las reacciones Rr y R: de los planos inclinados sobre las partículas ylas tensiones Tr y Tz, el principio del trabajo virtual expresa
(m$+T1 +Rr).611 * (mzgIT2*R2).612 = 0
Como suponemos que los planos inclinados son lisos(las reacciones son perpendiculares a éstos) tenemos
R1'6r1 = 0, $.0r2 - 0 (7)
Además, como no hay rozamiento en el perno, lastensiones Tr y Tz tienen la misma magnitud. Te_niendo en cuenta que 6r¡ y ór2 se dirigen haciaabajo sobre cada uno de los planos inclinados entonces6r, : - ór, y, por tanto,
T,.611 *T2.612. = ;rr:r;r;r:rr:ro (s)
puesto que Tt : Tz. Entonces usando (Z) y (S), laecuación (6) queda
Ít2! SQrra2 : 0, es deCi¡,
Fis.7-10
sen dt ftuz
send2 fnl
(5)
(6)
Supongamos que la cuerda tiene una longitud I y que las longitudes de la cuerda OA y OBsobre los planos inclinados (figura ?-9) son r y I - r, respectivamente. Usando un plano horizontalque pasa por O como nivel de referencia, la energía potencial total es
V = -mtgn sen ct - rn2pQ - nl sena2
Entonces si hay equilibrio debe¡á cumplirse
avd, = -rfl,lg sendt * tn2g sena2 = 0 o
Debe notarse que V en este caso no es un mínimo de manera que el equilibrio no es estable locual es evidente físicamente.
r82 SISTEMAS DE PARTICULAS lcAP. 7
PRINCIPIO DE D'ALEMBERT7.24. Usar el principio de D'Alembert para describir el movimiento de las masas del
problema 7.22.
Introducimos las fuerzas efectivas contrarias ¡n r'ir y m2ii 2 en7.22 y obtenemos
(m$ - mtí¡. M, * (mzE - mr:ir¡. 6t" =que puede escribirse
(m1g senal - mr'ir¡6r, t (mzg sena2 - mrlir¡6r, = 0
Como la cuerda no se deforma rt I rz - constante, y por tanto
6rr + 612 = 0, 'i. *li, = ¡o 3r2 = -6ry 'ir- -lir Así (2) después de dividir por ór¡ 10, queda
ln1! senal - nt'it - fnZg sena2 - rrL2T¡ = 0
.. rnfl sen al - rtn2Jg Sen az-r
-
' fnl+m2
Entonces la partícula I se mueve hacia arriba o hacia abajo sobre el plano inclinado según quemlSsen a¡ ) m2(, send2 o mlgsen a1 1 m2S sena2, respectivamente. La partícula 2 irá hacia arribao hacia abajo respectivamente, con la misma aceleración constante.
Podemos también usar un método análogo al segundo método utilizado en el problema 7.22.
PROBLEMAS VARIOS7.26. Dos partículas de masas mt y m2 S€ lnü€V€D
en tal forma que su velocidad relativa es v yla velocidad de su centro de masa es V. SiM - Ít1 * mz es la masa total y ¡r :m tm 2/(m | + m z) es la masa reducidadel sistema, probar que la energía cinéticatotal es iMo2 I ipu2.
Sean r¡, 12 y F los vecto¡es de posición con ¡es-pecto a 0, de las masas rn t, mz J del centro de masaC, respectivamente.
De la definición de centro de masa. tenemos
¡ - ^,-\_t * T_,"
_rflll t rfi2
o usando v1 = i1, v, = ir, V = i,mpy 4 rrl2rr2 = Qq* m2)i
Si la velocidad de rn¡ relativa a rt2 eS v, entonces
d.v = *\tt-tzl = fl-12 = Yt-Y2
V1-V2 = Y
simultáneamente, encontramos'lflqY fltY
vr = v -r -------:-. vo = v - :-:------ ¡ m1 * m2' rnt -r 7n2
Entonces la energía cinética
T=
la ecuación (3) del problema
0 (r)
(21
(r)
(2)así que
Desarrolfando (ll V Q',
total es
l,^rn', + f,rnr"l
i^, (u + -!t-)' * L* (, - # *)''¿l*r* m2\o2 * r mr' = f,ao' + f,rr'
cAP. 7l SISTEMAS DE PARTICULAS
7.26. Hallar el centroide de un alambre semi.circular de radio a.
183
Fis.7-12
Ft, Fz, . . ., Fr, y masasel centroide de todos
De acuerdo con la simetúa (figura ?-12) el cen_troide del alambre debe esta¡ sobre el eje y, así quet :0. Si c es la masa por unidad de longitud delalambre y si ds reprcsenta un elemento de arco.
"r,-tonces ds : adC de modo que
Í0" ,o ""n e)(a de\
lo" oo'
2a
7,27. supongamos que n sistemas de partículas tienen centroides entotales Mr, IvI ,,...,Mo, respectivamente. Demostrar quelos sistemas está en Mftt*Mziz*.,,+Mnin
Mt*Mz+... +M,Consideremosqueelsistemalestácompueótodelas',rssssfn¡¡,m¡2¡ ,localizadas€¡r¡¡,r¡2,.. ,respectivamente' Análogamente consideremos que el sistema (2) est¡í compuesto de las masas rn2¡,ñzz, localizadas €rl 121,t22, Entonces, por definición,
= m¡1r11 *trlprp*...
rnÍ + rnp+ ...rn2¡21 irn22t22*,..
f1
,:=
l¡=
rn21 *,n22 1..,
rnnlt¡1-ttrn2r.n2 I'..
?r1¡r1¡ * mptp* ...M1
tn21t21 *m22r22 I...M2
tu¡ttrL*lttn2rr2*...m6imn2*.'.
Pero el centroide para todos los sistemas está localizado en
(rn¡¡¡ * rnptr2 + ' . . ) + (mzqzt * m22r2r+ . . .) + . . . * (rnn¡n1* mn2rn2* . . .l
Mn
f=\rn11-rnp+'..) + (rn21*m22+...) + ... * (m¡Imn2*.,.1
7.28. Hallar el centroide de un sólido de densidad cons-tante formado por un cilind¡o de radio o y alturaII y de una semiesfera de radio a acoplada sobreel cilindro (figura ?-1S).
Sea I la distancia del cent¡oide del sólido a su base. Elcentroide de la semiesfera de radio a está a una distanciata I H desde la base del sólido y su masa es M1 _ lrazo(véase el problema Z.1l).
El centroide del cilind¡o de radio o y altura H está a unadistancia f ll de la base del sólido y .u -'"r" es M, : ¡a2Ho.
Entonces, por el problema 2.22,
MFr + M2i2+ ... + Mnr^
@
F = (Iro3ol(to* H) * GozHol(tí)
Nroao * to2Ho
3a2*8aH*6Hz8o * t2H Ftg.7-18
184 SISTEMAS DE PARTICULAS IcAP. 7
7.29. Se perfora un orificio de radio a/2 en una región circular de radio o, como se muestraen la figura ?-14. Hallar el centroide de la región sombreada obtenida.
Fig. ?-14 Fig' ?-15
Por simet¡ia el centroide está localizado sobre el eje r, así que j¡:0'Podemos remplazar la región circular de ¡adio o por la masa M¡ : ra2o concent¡ada en su cen-
troide .r¡ : ¿ (figura ?-15). Análogamente, podemos remplazar el orificio circula¡ de radio a/2 pot
la masa negatiua M2 : -!*a2o concentrada en su cent¡oide x2 : Na. Entonces el centroide está
localizado sobre el eje r en
_ Mtrl * M2r2u = --E:+T; (¡ azo)(a) * (- lt a2o) (N a)
tuzo - Ltazo
o6"
7.30. Una varilla uniforme PQ (figura ?-16) de masa m y longitud L, tiene su extremo Pdescansando sobre una pared vertical lisa AB y su otro extremo Q sostenido medianteuna cuerda OQ indeformable de longitud I en el punto fijo O sobre la pared. Consi'derando que el plano que contiene a P, QV O, es vertical y perpendicular a la pared,
demostrar que existe equilibrio si
{[F=Vsena =
-,
senB :r\/g
Hay solamente una fue¡za real, el peso /ng de la varilla.Ot¡as fuerzas que actúan son la fuerza de la pared sobre lavarilla y la tensión en la cue¡da. Sin embargo, estas fue¡zasp¡esentan const¡icción y no pueden hacer trabajo, lo cual puede
visualiza¡se ya que si P se desliza¡a hacia abajo, la pared no
realiza¡ía trabajo porque no existe ¡ozamiento y por tanto lafuerza ejercida por la pared sobre la bar¡a es perpendicular a
la pared. También si Q cayera sólo podría moverse perpen-
dicularmente a la cuerda en Q.
Sea r el vector de posición del cent¡o de masa C, en este
caso también el centro de gravedad con relación a O. Si i y json los vectores unitarios en las direcciones ho¡izontal y vertical,respectivamente, entonces r: ¡i *yj'
De la figura 7-16,
OQ = OP+PQ
oQ = oc+CQ
Entonces de (I), tomando el producto escalar con i,
A
(r )
(2)
Como OP'i : 0, se ¡educe a
o
oQ.i = OP'i+PQ'i
oQ.i = PQ'i
lsena = LsenB
Fig.7-14
Fig. ?-r6
(3)
CAP. ?] SISTEMAS DE PARTICULAS
Análogamente al realizar el producto escala¡ de ambos lados de la ecuación (Z) con j,
oe.t = oc.i+ce.io le,ua = ailLcoaB
Ahora un desplazamiento virtual del cent¡o de masa c estÁ dado por
6r = 6r,l*tAlComo rng es la única fue¡za efectiva, aplicando el principio de trabajo virtual se tiene
mt'6t = 0
Usando (5), tenemos ,¡tg óy = 0 o EU = 0
Ahora de (g) v G) se obtiene
Icoca 6a = L coaB 69
-tsencta = Sa-ILsenBdppuesto que l y I son constantes y ó tiene lag mismas propiedades del operador diferencial d.
Segin (7) 6y - 0, entonces estas ecuacionee se t¡asforman en
fcocclta = LeosB6B
tsenc6a = {EsenBSB
senc 1 sen ll_ =
4-corc 2 co¿ F
senB = QlLl sena
corp = r/1-Wñ
gen c 1 | sena
Dividiendo
ffi ;vñpor sen a y elevando al cuadrado ambos lados, encontramos
@4sen d = ----¿{s
\/ñ=FSen P' = LtlS
r85
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(e)
Dividiendo (S) v (9)
De (3)
así que
Y la ecuación (10) puede erp¡esarse
y de (rI)
como se requería.
(10)
(11)
(12)
(13)
(r4l
(15)
7.31. Un sólido uniforme está formado por un cilindrode radio a y altura Il colocado sobre un hemisferiode radio tr, como se indica en la figura 7_L7. De_mostra¡ que el sólido estará en equilibrio establesobre un plano horizontalsi y sólo si a/H > \E
Según el problema T.2g el centroide C está a una distan_cia CB del centro I del hemisferio dada por
D 3a2 * 8aH * 6H2 6Hz - Bap"----a;FTDF-: Bf+nFEntonces la distancia del centroide C sobre el plano es
cP
= ::,::; ":":^"."c + BQ
8a + ::2H- coao + ü F|g.7.17
186 SISTEMAS DE PARTICULAS
de manera que la energía potencial (o potencial) es
v = -- /6vz-3az + o)tvls \8a +8, cosc /
El equilibrio tiene lugar cuando * = o , ao (#) sen e : o,ae -\Eo+LzH/Entonces el equilibrio será estable si
= "'(ffi) , o
[cAP. 7
esdeci¡e:0.
azyl /Saz-6gz\ |
@lu=o = twc \BúT LzH )"o"lr=o
es decir 3a2-6H2)0 o a/H>{.Z,
7.32. Una cadena uniforme tiene sus extre-mos suspendidos de dos puntos fijos ubi-cados sobre el mismo nivel horizontal.Hallar la ecuación de la curva que formala cadena.
Sean A y B (figu¡a 7-18) los puntos fijos. Unelemento de la cadena de longitud as está enequilibrio bajo las tensiones de magnitud T yT + LT por el resto de la cadena, y tambiénel peso ogas del elemento de la cadena. Ahora,si en la figura ?-18, las dirccciones de los vectorescorrespondientes a ?y T +
^T fo¡man los ángulos
0 y 0 I Ac con eI eje r respectivamente, tenemoscomo condición de equilibrio (despreciando lostérminos de orden (40)3 y mayores), Fig. ?-lE
(f +A1) cos(c*ad)i + (?+A?) sen(a*Ar)j - (?cosc i * ?sena j) - osiAs = 0
(?+af) cos(a*ao) = T coso (/)
(T+LT)sen(o*At) - fsend = ogLe (2)
La ecuación (I) indica que la componente horizontal ?cosd debe ser una constante, la cual podemos
tomar como ?6 5l eue corresponde a la tensión en el punto más bajo de la cadena, donde d : 0. Así'
Tcosd = To
Dividiendo (2) por A0, se obtiene
(f +Af) sen(e *Ad) - f send -Le
Tomando el límite a ambos lados de (4) cuando a'-0',l
fr(? sene) =
Usando (3) pa¡a elimina¡ ?, (5) se convierte en
A8
"c ^c
(3)
(41
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
¡lnü
d.r iladt dc
du da¡le d.c
d.rd.e
d,a =dc
ftQot^nr) =
+ = To
"."r, -dC og
= COg C,d.u
ü
encont¡amos
d,s
"c de
d,sogü
b secz o
= sen,
o
dondeó:To/'og.Aho¡a
y de (7) y (8),
(cos e)(ü sec2 e) = b sec c
c+L0
= (sene)(b secz a) = b sec t tan, (r0)
CAP. ?I SISTEMAS DE PARTICULAS
Integrando (9) V (10) con respecto a 0, encontramos
tr = óln(secd*tane\ * c1
y = bsece * cz
Considerandoque en el punto más bajo de la cadena 0 : 0, x : 0 y y : b,tramos cl : 0, cz : 0. Así
187
(1 1)
(12)
de (11) y (12) encon-
u
a
De (I3) 'tenemos
Pe¡o SeC2 C - tan2 0
Dividiendo (16) por (15), obtenemosSeC, - tAnd = e-rlb
Sumando (15) a (17) y usando (i4), encontramosAu = fi@xn+e-zrcl = Dcoshf
Curva que se llama catenaria (del latin, que significa cadena).
= ü ln (sec, + tan r)
= ó secd
secd + tan, = ¿rlb
= (sec c * tan a)(sec c - ta,n c) = 1
(/3)
(14)
(lD,
(16)
(17)
(r8)
Problemas propuestos
GRADOS DE LIBERTAD
7.33. Deterrninar el número de grados de libertad en cada uno de los siguientes casos: (o) una partícula rnovién-dose sobre una curva plana; (ó) dos partículas sobre una curva en el espacio que mantienen una distanciaconstante entre ellas; (c) tres partículas moviéndose en el espacio de manera que la distancia entre doscualesquiera de ellas es siempre constante. Resp. (a) 1, (ó ) l, (c ) 6
Encontrar el núme¡o de grados de libertad para un cuerpo rígido: (¿) que se mueve paralelamente a un pla-no fijo, (b) que tiene dos puntos fijos pero puede moverse lib¡emente en cualquier forma.Resp. (c) 3, (b) 1
7.34.
7.35. Encontrar el número de grados de libertad para un sistema constituido de una varilla rígida que puede mo-ve¡se libremente en el espácio y una partícula limitada a moverse sobre la varilla. Resp.4
CDNTRO DE MASA Y MOMENTUM DE UN SISTEMA DE PARTICULAS7.ffi. Un cuadriláte¡o ABC D tiene masas l, 2,3 y 4.unidades localizadas en sus vértices A (- L, - 2,2), B(8, 2, - l),
C(1, -2,0 y D(3, 1, 2). Encontra¡ las coo¡denadas del cent¡o de masa Resp. (2,0, 2l
7.37. Un sistema está formado de dos partículas de masas mt ! mz.Demostra¡ que el centro de masa del sis-tema divide la línea que une ilt¡ a tn2 en dos segmentos cuyas longitudes están en la relación Ít2 a t11.
7.38. Una bomba que se deja caer desde un aeroplano explota en el aire. Demcistrar que si se desprecia la resisten-cia del aire, entonces el centro de masa describe una parábola.
7.39. Tres partículas de masas 2, 1, 3 tienen respectivamente los vectores de posición rr : 5¿i - 2trj + (3t - 2)k,r":(2t-3)i+(12-5t2)i+(4+6r-3¿3)k, rs:(.2t-t)i+(tr+2)j-üskdonderesel tiempo.Encontra¡: (a) la velocidad del centro de masa en el instante t : l, I (b) elmomentum lineal del siste-ma-en t : l. Resp. (o) 3i - 2j - k, (b) r8i - 12j - 6k
188 SISTEMAS DE PARTICULAS [cAP. 7
7.4O. Tres masas iguales están colocadas en los vértices de un triángulo. Demostra¡ que el centro de masa estálocalizado en la intersección de las medianas del triángulo.
7.41. Una placa unifo¡me tiene la forma de la región limitada por la parábola
! : x2 y la recta y : H en el plano ry. Hallar el centro de masa.
ResP.7:0,Y-gH
7.42. Encontrar el centro de masa de un cono ci¡cular recto uniforme de radioo y altura H.fiesp. Sobre el eje r a la distancia lH del vértice
7.49. La región sombreada de la figura 7-19 es un casquete esférico de altu¡a Hobtenido al cortar una esfe¡a sólida uniforme de radio o. (o) Demostrarque el centroide del casquete está localizado a una distancia l(2a -H\2 /(3a - fI) desde la base AB. (b) Discutir los casos H : 0, H : ay H:2a.
7.44. Encont¡ar el centro de masa de una placa uniforme limi-
Fig. ?-19
tada Por Y : sen r Y el eje .r.
Resp.i.:*/2;Y:r/8
7.46. Hallar el centro de masa de una va¡illa de longitud I cuyadensidad es proporcional a la distancia del extremo O.
Resp. tl del extremo O
7.46. Encont¡ar el centroide de un sólido uniforme limitado porlosplanos 4x * 2y * z : 8, x : 0, y : 0, z : 0.
Resp.t:r.1o(i+2i+4k)
7.47. Un sólido uniforme está limitado por el paraboloide de ¡e-volución 12 * !2 : cz ! el plano z : H (fieu¡a 7-20).Hallar el centroide. Resp. 7 : 0, y- : 0, Z : ?H
MOMENTUM ANGULAR Y MOMENTO DE UNA FUERZA
7.8. Tres partículas de masas 2,3y 5 se mueven bajo la influencia de un campo de fuerza de manera que sus
vectores de posición ¡elativos a un sistema de coordenadas fijo están dados respectivamente por r¡ :zti- 3i + r2k, 12: (r+ l)i+ 3rj - 4k y rs : tzi+ tj+ (2t - l)k dondeúeseltiempo.Hallar:(o)elmomentum angular del sistema, y (b) el momento total exte¡no aplicado al sistema con relación al origen.
8esp. (o) (31 - 12¿)i + (6t' - 10t - 12)j + (2r + 5t'z)k(b) -r2i + (r2t - ro)j + 10úk
7.45. Resolver el problema ?.48 si el momentum angular total y el momento se toman con respecto al centro demasa.
7.5O. Verifica¡ que: (o) en el problema7.48, y (b) en el problema 7.49, el momento externo total es igual a lavariación en el tiempo del momentum angular.
7.61, En el problema 7.48 hallar: (a) el momentum angular total, (ó) el momento total exte¡no tompdo con ¡es-pecto a un punto cuyo vector de posición está dado por r : ti - 2tj * 3k. En este caso, ¿el mornento ex-terno total es igual al cambio en el tiempo del momentum angular? Explicar.
7.62. Verificar el teorema 7.9 para el sistema de partículas del problema 7.48.
7,63. Establecer y probar un teorema análogo al del problema 7.9 para el momento externo aplicado al sistema.
7.14. ¿Se conserva el momentum angular en el problema 7.38? Explicar.
TRABAJO. ENERGIA E IMPULSO7.66, Hallar el trabajo total realizado por el campo de fuerza del problema ?.48 al moverse las partículas de sus
posiciones en el tiempo t : L a sus posiciones en el tiempo t : 2. Resp. 42
Fis. ?-¿o
cAP. 7l SISTEMAS DE PARTICULAS
7'66.' ¿En el problema ?'55 el trabajo realizado es el mismo que se efectuaría sobre el centro de masa conside¡an-do que toda la masa estuvie¡a concentrada allí? Explicar.
7 '67 ' Hallar la energía cinética total de las partículas en el problema ?.48 en los tiempos: (o) t : r, y (b) t : 2.Discuti¡ la relación entre Bus ¡esultadosy los del probrema ?.b5. Resp. (o) ?2,5, (ü) g0,5
7'68' Encontrar el momentum lineal total del sistema de partículas del problema ?.4g en los tiempos t : I yt :2. Resp. (a) L7i+ 4i + l4k, (b) 27i + 4j + 18k
7'69' Encontrarelimpulsototalaplicadoalsistemadelproblema?.rEdesde ú: l hasta t:2ydiscutirlarelación de sus resultados con los del problema ?.bg. gesp. lOi * 4k
7.60. Demost¡ar el teorema ?.13.
7.61. Verificar el teorema ?.lB para el gistema de partículas del problema 2.4g.
CONSTRICCIONES, ESTATICA, TRABAJO VIATUAL, ESTABILIDAD Y PRINCIPIO DE D,ALEMBERT7'62' Establece¡ en cada caeo si la coÍstricción es holonómica o no holonómica y dar lag razones de su respuesta:(c) una partícula que está constreñida a move¡se bajo la gravedad en el inte¡ior de un paráboloide verti-cal de revolución cuyo vértice está hacia abajo; (ü) una pa.tí"ula que se desliza sobre un elipsoide bajo laacción de la gravedad; (c) una esfera que rueda y posiblemente se desliza hacia abajo en un plano inclina-do; (dl una esfera que rueda hacia abajo "t ,rn pi"no inclinado paralelo a un plano vertical fijo; ( e ) unapartícula que ee desliza por acción de la gravedad por filera de un corro vertical invertido.
Resp' (a) holonómica, (á) no holonómica, (c) no holonómica, (d) holonómica, (e) holonómica
7.63. Una palanca ABC (figura Z-21) tiene colocadrWt ! Wz a las distancias o¡ y o2 del soporrrUsando el principio de trabajo virtual, demos,una condición necegaria y suficiente para qulequilibrio es lfi o¡ : Wzaz.
7.64. Resolver el problema Z.68 si se colocan uno o madicionales sobre la palanca. Fig.7-2f
189
7.65. Una cuerda indeformable de masa despreciable que pa_sa sobre un perno liso en g (figura ?_22) conecta unamasa rnr sobre un plano sin rozamiento inclinado unángulo a, a otra masa rnr. Usando el principio deD'Alembert, demostra¡ que las masas esta¡án en equi_lib¡io si zl2 : rnr sen a,
?.66. Resolver el problema 2.65 si el plano inclinado tiene un A
coeficiente de rozamiento ¡.ResP. m2: zrt (Bena - tcosa)
7.a7 - una escalera .48 de masa m tiene sus extremos apoyados sob¡e unapared vertical y sobre er piso (figura z-29). El pie de la escaiera eg-tá sujeto mediante una cuerda inextensible de masa despreciablea la base C de la pared de mane¡a que la escalera forma un óngu-lo con el piso. usando el principio de trabajo virtual, encontrar-elvalo¡ de la tensión en la cuerda. Resp. lmgcota
7.68. Resolve¡: (a) el problema 7.68, y (b) el problema 2.65 usando elmétodo de energía potencial. Demost¡a¡ que el equilibrio encada caso es inestable.
7.8s. una variila uniforme delgada de longitud I tiene sus dos ertremos consrre-ñidos a moverse sob¡e la ci¡cunfe¡encia de un círculo ve¡tical liso de radioa (figura 7-24). Detetminar las condiciones de equilibrio.
FiS.'l-22
Fig. ?-28
190 SISTEMAS DE PARTICULAS
7.7O. ¿El equilibrio de la varilla del problema ?.69 es eetable, o no? Explicar'
7.7L. un hemisfe¡io sólido de radio ¿ está localizado sobre un plano perfectamen-
te rugoso el cual estó inclinado un ángulo o.
(a) Demostrar que está en equilibrio estable si a ( sen-t(3'l8)'(b) ¿Para qué otros valores de c podrá estar en equilibrio? ¿cuáles de es-
tos, si los hay, permitirán equilibrio estable? flis.7-?A
movimiento de las masas m¡ Y m2 del7.72, Usar el principio de D'Alembert para obtener las ecuaciones de
problema 7.65.
7.7g. Resolver el problema referente a la máquina de Atwood (véase el problema 7.22) usando el principio de
D'Alembert.
7.74. Usa¡ el principio de D'Alembert para determinar las ecuaciones de movimiento de un péndulo simple'
PROBLEMAS VARIOS
7,76. Demostra¡ que el centro de masa de un arco circular uniforme de radio o y ángulo central a está locali-
zado sobre el eje de simetúa a una distancia del cent¡o igual a (asenal/a.
7.76. Discutir los casos en que: (a) o : t/2, y (b) d : Í en el problema 7'75'
7.77. Se hace un orificio circular de radio o en una placa uniforrne de
radio b > c como se indica en la figura 7-25. Si la distancia en-
tre los centros A y B es D, encohtrar el centro de masa.
Resp. Estará por debajo de B a la distancia az D/(b2 - o2l'
7.7A. Desanolla¡ el problerna 7.?? si los círculos se remplazan por esferas'
Besp. Estará por debajo de I a la distancia otp/(6t - as).
7.7g. Demostrar que el centro de masa no depende del origen del sistema
de coordenadas utilizado.
7.8O. Demostrar que el centro de masa de un casca¡ón delgado semies'
férico de ¡adio o está localizado a una distancia Io del centro' Fig.7-25
2.8f. Considerando que el momentum angular de la Luna con respecto a la Tierra es A, encontrar el momen-
tum angular del sistema formado solamente por la Tierra y la Luna, con relación a su centro de masa'
suponer que las masas de la Tier¡a y la Luna son M¿ y M¡, respectivamente.
Resp. M.L/(M, * Mt\
7.g2. [El teorema ?.13 se aplicará en caso de que el momentum angular sea tomado con respecto a cualquier
punto arbitrario? ExPlicar.
7.83. En la figura 7'26, AD, BD v CD son varillas delgadas
uniformes de igual longitud o y de igual peso ru' Se
apoyan en Ll donde no existe rozamiento y sus ex-
tremos A, I y C descansan sobre un plano horizon-tal liso. Para impedir el movimiento de los extremos
A, B y C, se usa una cuerda indefo¡mable ABC de
masa despreciable que forma un trirí'ngulo equiláte-
ro como se indica en la figura. Si se suspende un pe-
so llf en D de tal manera que las varillas fo¡men án-
gulo: iguales c con el plano horizontal, demostrarque la magnitud de la tensión en la cuerda es
+rFW * 3a,) cota
7.A4. Resolver el problema ?.83 si el peso W se suspende
ahora del centro de una de las varillas- Fig.7-26
cAP. 7l SISTEMAS DE PARTICULAS
7.46. Deducir una erpresión para: (o) el momentum angular, y (ó) el momento totalto a un punto arbitrario.
7.86. gual al cam-sólo si: (o)o (c) P estáI movimien-
to del centro de masa.
7.87. Encontrar el centroide de un sólido de densidad constante formado de uncono circular de radio o y altura H y de una semiesfera de radio o coloca-dos como se indica en la figura 7.2?.Fesp. A una altura l(a2 * Hr)/(2a * Il) por encima de O
7.88. Desarrollar el problema ?.8? si la deneidad del cono es el doble de la densi_dad de la semiesfe¡a.
Resp. A una altura f (o2 * 2H2)/(a * II) por encima de O
7.89. Se cava una semiesfe¡a de radio a en un cubo sólido uniforme de aristat¡a¡ el centro de masa del sólido remanente.
19r
de un sistema con respec.
Fls.7-X
b > 2o, (figrua 7-E). Encon.
Fig.7-2t Fig.7-29 Fig. ?-30
7'9o' Una cadena unifo¡me de 45 kg de peso se suspende de dos soportes fijos separados lb metros. Si la flecha enla mitad es 20cm, encontrar la tensión en los soportes. Resp. 450kg
7'91' Una cadena de longitud L y densidad constante o se suspende de dos puntos fijos colocados al mismo ni.vel horizontal. Si la flecha en la mitad está a una distancia D por debajo de la línea ho¡izontal que une lospuntos fijos, demost¡ar que la tensión en el punto mrís bajo de la cadena es o(L2 - 4Dr)/gi.
7"92' Se colocan tres partículas de masas iltt,,nz, rn3 en los vértices de un triángulo de manera que quedenopuestas a los lados de longitudes at, oz ! o¡, respectivamente. Demostrar que el centro de masa estácolocado en la intersección de las bisectrices del triángulo si y sólo si mt/at : mz/az : ms,/as.
7"93' Dos masas, ñt ! mz, están colocadas sob¡e un cilindro sin rozamiento y unidas entre sí mediante unacue¡da inextensible de masa despreciable (ñgura 7-%). (a) Usando el principio de trabajo virtual, demos.trar que el sistema esti en equilibrio si rn¡ sen at : m2sena2. (á) ¿EI equitibrio es estable? Erplicar.
7.94- Resolver el problema 2.93 conside¡ando que existe ¡ozamiento.
7'glt' Deducir una expresión para la energía cinética total de un sistema de partículas con relación a un puntoque puede moverse en el espacio. ¿Con qué condiciones la expresión matemática puede simplificarse? Dis.cutir el significado fisico de la simplificación.
7'94' Encontrar el centro de masa de la placa unifo¡me que aparece sombreada en la figura ?.80 y que eatá limi-tada po¡ la hipocicloide r2/A -r U2ts =-- d2¡3 y las rectas ¡ : 0, y : 0. (Sugerencio. Las ecuaciones para.métricasdelahipocicloideson l: ocos¡C, y: asena A.) Resp. X:_f :2ffio,/Bl|¡
r92 SISTEMAS DE PARTICULAS lcAP. 7
relativas. (o) Demos-7.57. Sean m¡, mz y ma las maeas de t¡es pa¡tícul8s v vrz, vza, v¡3 su9 velocidades
trar que la energía cinética total del sistema con respecto a su centro de masa es
m 1m2r!2 * m¿mglr2zs * m 1ms1)ls
m¡* m2* mg
(b) Generalizar el resultado obtenido en (a).
Z.gt. Una cadena de densidad variable se suspende de dos puntos fijos colocados al mismo nivel horizontal. Si
la densidad de la cadena varía en función de la distancia ho¡izontal referida a la vertical que pasa por su
centro, demostrar que la cadena toma fo¡ma de parábola.
7,gg.. Discuti¡ las relaciones que pueden existir entre el problema ?.98 y la forma de suspensión de un puente.
Z.fOO. Un eólido formado po¡ un cono recto circula¡ uniforme de ángulo c en el vértice, y una semiesfera de la
misma densidad acoplados como se indica en la figura ?-31. Demostrar que el sólido sólo puede estar en
equilibrio estable soDre un plano horizontal si y sólo si a > 60''
Fig.7-31 Fig.7-82
7.lol. Un sólido uniforme (figura ?-32) consiste en una semiesfe¡a de radio o sobre la cual se ha montado un cubo
de lado ó colocado simét¡icamente con relación al eje que pasa po¡ el cent¡o de la semiesfera. Hallar la con-
dición que deben satisfacer d y ó para que el equilibrio sea estable. Resp. olb > lIffi
7.1O2. Hallar el centroide del á¡ea limitada por la cicloide
n = a,(C -sen,), u = a(l -cosr)y el eje r. Resp. (¡a,5a/6)
7.103. Si la componente del momento con respecto a un punto P en cualquie¡ dirección es cero, demostrar que la
componente del momentum angularcon respecto a Pen esadi¡ección seconserva si: (a) Pesunpunto fi-jo, (b ) P coincide con el centro de masa, o (c ) P es un punto que se mueve en la misma dirección del centro
de masa.
7 ,1O4. En el problem a 7.103, ¿el momentum angular se conserva sólo si se cumple ( o )' ( b ) o ( c )? Explicar'
?.106. Demostrar que el t¡absjo virtual de una fuerza es igual a la suma de los trabajos virtuales correspondientes
a todas las componentes de la fue¡za.
Z.fO6. Demostra¡ que es imposible el equilibrio estable de una esfera colocada sob¡e otra de superficie perfectamen-
te rugosa (es decir con coeficiente de ¡ozamiento p : 1). ¿Es posible alguna clase de equilib¡io? Erplicar'
7.1O7. Un sólido uniforme que tiene la forma del paraboloide de ¡evolución cz - { + y2, c > 0 estácoloca-
da sobre el plano ry ionsiderado horizontal. Si la altu¡a del paraboloide es I1, demostrar que el equilibrio
es estable si y sólo si H < lc.
Z.lO8. Resolve¡ el problema 7.10? si el plano ry está inclinado un ángulo a con la horizontal'
cAP. 7l SISTEMAS DE PARTICULAS r93
7.109. Sobre un plano vertical se colocan dos alambres AC y BC que forman ángulos de 60' y S0' respectiva-mente con la horizontal, como se indica en la figura ?-33. Dos masas de Bg y 6g unidas mediante una va-rilla delgada de masa despreciable se colocan sobre los alambres. Demostrar que el sistema estará en equi-librio cuando la va¡illa fo¡ma un ángulo con la horizontal dado por tan-ti6/l¡.
Fis.7-33
7.llo. Denostrar cada uno de los siguientes teoremas enunciados por pappus.
(¿) Si una curva cer¡ada C en un plano se mueve alrededo¡ de un eje en el plano que no se intersecta coné1, entonces el volumen generado es igual al área limitada por C multiplicada por la distancia ¡ecor¡i-da por el centroide del área.
(b) Si un arco de una curva plana (cenada o no) rota alrededor de un eje en un plano que no se intersec-ta con é1, entonces el área de la superficie generada es igual a la longitud deiarco multiplicada por ladistancia recor¡ida por el centroide del arco.
7'l I l' Usa¡ el teo¡ema de Pappus para encontra¡: ( o ) el centroide de una placa semicircular, (ü ) el centroide de unalambre eemicircular, (c) el centroide de una placa en forma de un triángulo rectángulo, (d) el volumende un cilindro.
7.112. Hallar: (a) el área superficial, y (b) el volumen de la región toroidal obtenida al hacer rotar un círculo de ¡a-dio c alrededor de una línea en su plano a una distancia ,ó ) a de su centro.Resp. (a) 4¡2ab, (b) 2¡2d2b
Copítulo 8
Aplicociones o sistemos oscilontes, cohetes y colisiones
SISTEMAS OSCILANTES DE PARTICULAS
Si se conectan mediante resortes dos o más partículas (o interactúan de alguna maneraequivalente), entonces las partículas oscilarán o vibrarán unas con respecto a otras.
Como vimos en el capítulo 4, una partícula que vibra o que oscila, tal como el osciladorarmónico simple o Ia masa de un péndulo simple, tiene una frecuencia única de oscilación.En el caso de sistemas de partículas, generalmente existe más de una frecuencia de vibra-ción. Tales frecuencias se llaman frecuencias normales. Los movimientos de las partículasen estos casos son frecuentemente uibracipnes multiperiódicas.
lJn modo de uibración (es decir, una manera peculiar como ocurre la vibración, debidopor ejemplo a condiciones particulares iniciales) en el-cual se presenta solamente una de lasfrecuencias normales se llama modo normal de uibracíón o simplemente modo normalVéanse los problemas 8.1-8.3.
PROBLEMAS RELACIONADOS CON MASAS VARIABLES. COHETES
Hasta ahora hemos restringido nuestro estudio al movimiento de partículas que
tienen masa constante. Existen situaciones importantes que se refieren a masas variables.Un ejemplo, es un cohete que se mueve hacia adelante a causa de la expulsión hacia atrás
de las partículas de una mezcla de combustible. Véanse los problemas 8.4 y 8.5.
COLISIONES DE PARTICULASDurante el curso de suF movimientos dos o más partículas pueden chocar. Los proble-
mas en los cuales consideremos el movimie¡rto de tales partículas se Ilaman problemas de
colisión o de choque.
En la práctica al considerar objetos que chocan, tales como esferas, suponemos que son
elásticos. El tiempo durante el cual están en contacto comprende: el tiempo de compresión,durante el cual ocurre una ligera deformación, y el tiempo de restitución durante el cual se
recupera la forma original. Consideramos que las esferas son Iisas de maneraque Ias fuerzasejercidas actúan a lo largo de una normal común a las esferas en el punto de contacto (yque pasa por sus centros).
Una colisión puede ser frontal u oblicua. En una colisión frontal, la dirección del movi-miento de ambas esferas se realiza a lo largo de Ia normal común en el puntb de contactotanto antes como después de la colisión. Una colisión que no es frontal se llama oblicua.
En los problemas de colisiones es fundamental el siguiente principio llamado regla de
colisiones de Newton, basado en Ia evidencia experimental. Se considera como un postulado.
Regla de colisión de Newton. Sean v,, y v,', las velocidades relativas de las
esferas a Io Iargo de la normal común antes y después de la colisión. Entonces
v'r, : -ev*
194
CAP. 8I APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES Y COLISIONES
La cantidad e, llamada el coeficiente de restitución, depende de los materiales de los ob-jetos y se toma generalmente como una constante cuyo valor vaúa entre 0 y 1. Si e : 0la colisión se denomina totalmente inelástico o simplemente inelóstica. Si e : 1 Ia coli-sión se denomina totalmente elástica o simplemente erástica.
En el caso de colisiones totalmente elásticas Ia energía cinética total antes y despuésdel choque es la misma.
SISTEMAS CONTINUOS DE PARTICULASEn algunos problemas el número de partículas por unidad de longitud , área o volumen
es tan alto que, para propósitos prácticos, el sistema puede considerarse continuo. Comoejemplos, una cuerda de violín en vibración, una membrana en vibración o una esfera querueda hacia abajo sobre un plano inclinado.
Las leyes básicas del capítulo 7 son válidas para tales sistemas continuos de partículas.Sin embargo, al aplicarlas es necesario usar integración en lugar de sumatoria ranro parael número total de partículas como para el concepto de densidad.
CUERDAS EN VIBRACIONConsideremos una cuerda elástica
tensionada entre dos puntos fijos r :Si la cuerda se desplaza de su posiciónde la posición de equilibrio.
tal como una cuerda de piano que está ligeramente0 y ¡ : I a lo Iargo del eje de las r (figura 8-1).inicial y luego se suelta, vibrará u oscilará alrededor
r=0 a=lII
Fig. t-l Fig. E-2
Si Y(x,t) denota el desplazamiento de cualquier punto ¡ de la cuerda desde su posi-ción de equilibrio en el tiempo ú (figura 8-2), entonces Ia ecuación que rige las vibracionesestá dada por la ecuacíón diferencial parcial
a2yat2
donde si ? es la tensión (constante) de launidad de longitud de la cuerda).
"dzy= "'# (1)
cuerda y r es la densidad (constante) (masa por
c2 : T/o
La ecuación (1) es válida para el caso de vibraciones que se consideren tan pequeñas que lapendiente 0Y/0r en cualquier punto arbitrario de la cuerda sea mucho menor que l.
PROBLEMAS CON VALORES DE CONTORNOLos problemas donde se debe resolver una ecuación tal como (l) sometidos a varias
condiciones, llamadas condiciones de contorno se suelen llamar problemas con ualores decontorno. Un método importante para resolver tales problemas hace uso de las series deFourier.
(2)
196 APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES. COHETES Y COLISIONES
SERIES DE FOURIERCon ciertas condiciones una función /(¡), definida en el intervalo 'y < x < t + 2l
tenga un período 2l fuera de este intervalo tiene el desarrollo en serie
f(r) = ? . ft(o,"o.ff + a^"""ff)donde los coeficientes en serie, llamados coeficientes de Fourier, están dados por
[cAP. 8
y que
(3)
I f'*'t ., fi.tx .(ln = i ), /(r) cos i dr V)
' 1 ("*" ,, --, ---- rlnx rbn = i J" /(c)sen Td* (5)
Una serie de éstas se llama serie de Fourier de /(¡). En muchos problemas r: 0 o -1.
FUNCIONES PARES E IMPARESSi y: -1,'pueden hacerse ciertas simplificaciones en los coeficientes (4) y (5) como
se indica a continuación:
1. Sii(-x)--f(x),A¡
En tal caso /(¡) se llamatiene solamente términos
2. Si i(- t¡ : -f (x),
2 (r.,, tL¡= ¡ )o r\4 "o"
j d'r, b' = 0 (6)
una funcíón par y la serie de Fourier correspondiente a /(r)en coseno
dn=0, bn =2,
!,' rc1""nff a* (7)
En tal caso /(¡) se llama una función impar y la serie de Fourier correspondiente a
f (x) tiene solamente términos en seno.
Si /(¡) es una función que no es par ni impar la serie de Fourier contendrá términostanto en coseno como en seno.
Son ejemplos de las funciones pares ra, 3ro * 4x2 - 5, cos x, e'* e-' y la funciónrepresentada gráficamente en la figura 8-3. Ejemplos de funciones impares son r3,2xt -5¡3 * 4, sen x, €' - e' y la función representada en la figura 8-4.
Ejemplos de funciones que no son pares ni impares son ¡a * rt, ¡ * cosr y la fun-ción representada gráficamente en la figura 8-5.
Fig. t-3
Si una función se define en elimpar entonces la función se conoceque contiene solamente términos en
Fig. t-l
"semiperiodo" x--0 a x,:en el intervalo .- I I x 1 l,
seno puede encontrarse. Esta
Fis.8-5
I y se especifica comode manera que la serieserie frecuentemente se
cAP.8l APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES Y COLISIONES
suele llamat serie seno de Fourier en un semí-interualo. Similarmente, una función definidadesde ¡ : 0 hasta ¡ : I la cual se especifica como par tiene un desarrollo en serie quese suele llamar serie coseno de Fourier, en un sem,i-interualo.
CONVE,RGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIERSupongamos las siguientes condiciones de /(¡):
r97
1.
2.
/(¡)estádefinidaenT( x 1t*2l¿. Í@)
f(x) y su derivada /'(¡) son continuasporsegmentos en 1 < x, ( r t 21. (Sedice que una función es continua porsegmentos en un intervalo, si el inter_valo puede dividirse en un númerofinito de subintervalos en cada unode los cuales la función es continua yacotada, esto es, existe una constanteB>0 talque -B< f\x) < B. Unejemplo de una función de esta clasese indica en la figura 8-6.) Fig. t-6
3. En cada punto de discontinuidad, por ejemplo, rr (o rr) en la figura g-6, /(¡) tienelímites finitos a la izquierda y la derecha dlsignados, respectivamente, por /(r1 * 0)Y /(rr - 0) (o f (xz * 0), /(¡z - 0)).
4. /(¡) tiene período 2l esto es /(r * 2l) : f(x).
Estas condiciones, si se satisfacen, son suficienúes para garantizar la validez de la ecua-ción (3) (esto es, las series a la derecha de (3) conu.rg"r, a f (x)) en cada punto donde /(¡) escontinua' En cada punto en que /(¡) es discontinua, (3) permanece válida si /(r) se rem-plaza por LUG -t 0) * /(¡ - 0)) es decir, el valor medio de los límites a la derecha y ala izquierda. Las condiciones descritas anteriormente se conocen como condiciones deDirichlet.
Problemas resueltosSISTEMAS OSCILANTES DE PARTICULAS8.f. Dos masas iguales m se conectan por
resortes que tienen la misma constan_te x, como se muestra en la figura g_Z
de modo que las masas están librespara deslizarse sobre una superficie lisaAB. Los extremos del resorte se hallanfijos a las paredes A y B. Determinarlas ecuaciones diferenciales del movi_miento de las masas.
Sean r,i y 12i (figura g_g) los desplaza_mientos de las masas desde sus posiciones deequilibrio C y D'en cualquier tiempo f .
Fig. t-Z
Ct xi Di rzi
ABFis.8-E
198 APLICACIONES A SISTEMAS OSCLANTES, COHETES Y COLISIONES tCAP.8
Consideremos las fuerzas que actúan sobre la primera masa en P. Hab¡á una fuerza debida al
¡esorte hacia la de¡echa dada por x(r2i - r¡i) : x(xz - ¡r)i' y una fuerza debida al ¡esorte
hacia la izquierda dada por -rr¡i. Así la fuerza neta que actúa sobre la primera masa en P es
x(r2- u)i - xrli
En la misma forma la fuerza neta que actúa sobre la segunda masa en Q es
x(n1- r2li - xr.2i
Entonces por la segunda ley de Newton tenemos
i2mfu(xil = x(t2- r)i - "tri¡2
m j*(xzil = x(t1- r2li - xr2i
o r"it = r(n2-Zxl¡ (I)
m'dz = r(n1-2x2) e)
B.Z. Hallar: (a) las frecuencias normales, y (b) los modos normales de vibración del
sistema del problema 8.1.
(o) Sea .r¡ : Ar cosoú, xz: At cos@t en las ecuaciones (I) y (2) del problema 8.1. Entonces
encontramos, después de simplificar,
(2r-mo2\A1 - rA2 - Q
-xA¡*(2x-rnozlA2- 0
Aho¡a si At ! Az son distintos de ce¡o, tenemos
2r - ma2 -x-r 2x - ma2
o (r*-^"2\(2x-m.21 -x2 = 0 o ¡¡t'2o4-4pnu2* 3r2 = 0
¿*m = {la* tz*4n2Despejando o2, encontramos cr2 : de donde
,2 = *ltn ! o2 = }rl¡n Ul
Entonces las frecuencias normales (o naturales) del sistema están dadas po¡
._ 1.f; v f =1^/E (5)r=2"\^ Y r -u\'^Las frecuencias normales se llaman también frecuencias coracterísticas y el determinante (3) se
llama determinonte caracteístico o determinante secular'
(ó) Para encontrar el modo normal correspondiente a o : !7ñ, tomamos o2 : ,/m en las ecua-
ciones (l) y (2). Entonces encontramosAt=Az
En este caso el modo normal de vibración corresponde al movimiento de las masas en la mísma
dirección (es decir, ambas a la derecha y ambas a la izquierda) como se indica en la figura 8-9.
'<> +r-o000L{ y0000\r-r0000
Modo normal correspondiente a o : \trlm Modo normal correspondiente a o : Vffi
Fis. t-9 Fig' t'10
Similarmente encontramos el modo normal corrtspondiente a ': l57l' tomando o2 :\x/m
en las ecuaciones (I) y (2). Entonces encontramos
At = -Az
=0
(r)
(21
(3)
8.3.
cAP. El APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES Y COLISIONES
En este caso el modo normal de vib¡ación correaponde al movimiento de la¡ masas en direccioneaopuestas (es decir, cuando una se mueve a la derecha la otra se rDueve a la izquierda, y vice-veraa) como ee indica en la figura 8-10.
Al reeolver este problema podríamos haber considerado, r¡ : Br sen ot, x2 - Il2 senorú oIr : ArCosoú +B¡eenoú, 1.z:AzCOsú,ú *8¡s€núrt o r.1:Qr¿lot, t2:Qr¿1o3.
Supongamos que en el problema 8.1 la primera masa se mantiene en su posición deequilibrio en tanto que la segunda masa se desplaza hacia la derecha un valor a > 0de su posición de equilibrio. Luego las masas se sueltan. Hallar la posición de cadamasa en cualquier instante posterior.
Escribiendo tt : lffi ! oz : Vffi, el movimiento general de amba¡ masas se describemediante
t1 = C1 coso¡ü * C2 senr^r1ú * Cs cos o2t * Caaeno2t
t2 = D1 cos o1t * D2 aeno{ * ps cos o2ú * D4 senlrtdonde loe coeficientes son todoe constantes. Suetituyendo Iao ecuacioñee anterioree en la ecuación (I) o€) del problema 8.1 (ambae dan et mismo ¡esultado) encohtramos los coeficientes correspondiente¡ decos@r r, genol t, coe @zt, aener2¿ respectivamente,
D¡ = C¡ Dz = Cz, Da = -Cs, Dt = -CqAsí las ecuacioneg (1) V Q) pueden escribirse
t1 = C¡ cosolú * C2senorú * Cscos o2t l- Caeeno4t
ü2 = C1 cosolú * C2senort - C¡ cos o2t _ Caaeno\t
Ahora determinamos cr, cz, cs, cn teniendo en cuenta las condiciones iniciales
üt=0, t2=o, it=0, iz-O en ü:0De eetas condiciones encont¡amos, respectivamente,
C1* Cs = Q, C1- C, = 6, Q2o1 ! C4o2 = e, Cz,¿t - C4ro2 = g
De donde hallamos Ct = ta, Cz= 0, C" = -\a, C^ = 0
Así, las ecuaciones (3) y (a) proporcionan las ecuaciones rcqueridas
donde o, : {ñ, tz: fiffi.
rt = $c(cos o¡ú - cos ro2ú)
12 = {o(cosr,r¡ú * coso2ú)
(r)
(2',)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Obsérvese que en el movimiento descrito por (7) y (8), están prcsentes ambas fiecuencias no¡males.Egtas ecuaciones demuestran que el movimiento general es una sr¿perposición de los modos normoles,que algunas veces se llama el príncípio de superposición.
MASA VARIABLE. COHETES8.4. Deducir una ecuación de movimiento
para un cohete que se mueve en línearecta,
Sea m la masa total del cohete en el tiem- Opo ¿. Un tiempo mCs ta¡de ü f Aú euponemosque la masa es ¡n * A¡n debida a la etpulsiónde una masa -Arn de gas que se desprcnde delcohete. Nótese que -Arn es ¡ealmente una can-tidad positiva porque An se considera negativa.
SeanvYv*avlasvelocidadesdelcoheteenloetiempos¿yü+Jttrrpectoal¡istenraine¡rialcon origen en o' La velocidad de la masa del gas expulaado dei coheíe relativo a o es v { v¡ donde -v6es la velocidad del gaa con relación al cohete.
Flg.t-U
2OO APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES Y COLISIONES [CAP.8
Como el cambio de momentum del sistema es igual al impulso, tenemos
momentum total en t + Lt - momentum total en t : impulso
((m*6m)(v 4av) * (-az¡)(v*v6)) - mv = Faú
donde F es la fuerza neta exte¡na que actúa sobre el cohete.
La ecuación (I) puede escribirse como
Av A,n AYrfu
^t - "0¡t + ¿J-L^ = I'
Entonces tomando el límite cuando A¿-. 0, encontramos
ilv .lmm&,-voE = !'
Escribiendo v : ui, vo : - u6i, F : .Fi, esto se convierte en
¡tvt d¡n
^d,¿ + ooE = r'
8.5. E:ncontrar la velocidad del cohete del problema 8.4 considerando que el gas es expul'sado a una tasa y velocidad constantes con respecto al cohete y que se mueve
verticalmente hacia arriba en un campo gravitacional constante.
Sielgasesexpulsadoaunatasaconstantec)0entoncesm:ms-at,dondem¡eslamasadelcoheteen ü:0. Como F: -mgi (o F: -me) y dm/dt: -c, laecuación(3)delproblema8.4 puede escribirse
Qno-atl#-'o, = -(mo-otls . # = -c+# (I)
Integrando encontramos u : - gt - ue ln (¡no - aü) * cr Ql
Si u : 0 en ü : 0, es decir, si el cohete parte del ¡eposo, entonces
Q = 0-oolnm¡|q o cr = uqlnth
./ mo \Así, (2) se puede exp¡esa¡ como u : - gt * u¡ ln
\rrr"-)que da la velocidad en cualquier tiempo. La velocidad es v : ui.
Nótese que debe tenerse ms - at > 0, porque de otra manera el cohete no expulsaría gas' caso
en el cual el cohete no tendría combustible.
COLISIONES DE PARTICULAS8.6. Dos masas rn, y mz que se mueven sobre la misma recta chocan. Encontrar
las velocidades de las partículas después de la colisión en función de las velocidadesantes del choque.
Conside¡emos que la recta sob¡e la cual se
mueven es el eje r y que las velocidades de laspartículas antes y después del choque son vr,vz y v{, vl, resPectivamente.
De acue¡do con la regla de colisión de Newton
vi-vi =.(vz-vr) (l)
Según el prir{cipio de la conservación del mo-mentum,
Fig.8-12
Momentum total después del choque: momentum total antes del choque
(r)
(2\
(3)
^rO_\, nr@_\, -n
rnpl*rn2vl = m1v1 1-m2v2 (21
CAP. 8J APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES Y COLISIONES
Resolviendo simultáneamente (I) y (2),
(m1- cm2)v1 i m2(L t c'lv2
rnr + ,nz
m1(l I clvl * Qn2- em)v2m1*m2
8.7.
v!2 =
Discutir el problema 8.6 para el caso de: (o) choque perfectamente inelástico, (ó) cho-que perfectamente elástico.
(a) Hagamos e : 0 en (3) V Q) del problema 9.6 para obtene¡
-,, _ tutyt*.m2v2 , ñty!*mrv,vt = -ñÍ6f,' v;= ffiDe modo que después del choque las dos partículas se mueven con la misma velocidad, es decir, semueven conjuntamente como si formaran una sola partícula.
(á) Hacemos c : I en (3) V U) del problema 8.6 y obtenemos
2mp1 * (mz- m)vz,nr + m2
oi - (*'-^'l'''* 2^'""
.,nr+,n2 ' vL =
Estas velocidades no son iguales.
8'8' Demostrar que en un choque perfectamente elástico de las partículas del problema g.6la energía cinética total antes del choque es igual a la energía cinética total despuésdel choque.
Usando el resultado (b) del p¡oblema 8.7 tenemosEnergía cinética total después del choque = L^rnit + Lrm2v,22
l'| (m2-m)v2mr+úh
l^1= i^r"í + )rnar,
= energía cinética total antes del choque
8'9' Dos esferas de masas m t Y mz chocan oblicuamente. Encontrar sus velocidadesdespués del choque en términos de sus velocidades antes del choque.
Sean v,, v:, y V,r, v,2 las velocidades an-tes y después del choque, respectivamente, como seindica en la figura 8-1S. Escogemos un sistema decoo¡denadas tal que el plano ry sea el plano de v¡! vz y que en el instante del choque el eje r pasepor los centros C, y C9 de las esferas.
Según la conse¡vación de momentum, tenemos
m1v1 * tttzy2 = rnpi * m2v'2
En la figura 8-13 podemos ver que
(1)
Fig. t-ltv1 = or(cos a, i - sen a1 j)
v, = o2(cos A2 I - sen ¿, j¡
ví = oí(cos p1 i - senp, j)
ví = oLkos4ri-sen6rj)
sustituyendo las ecuaciones (2)-(5) en (I) e igualando coeficientes de i y de i, tenemos
(2)
(3)
(4)
(5)
n2 APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES Y COLISIONES IcAP. I
rz,ru¡cogCl * m2a2cose2 = mta| cosg, * m2a'2cosg2
nxLarser.et I m2ttgsen02 = nr10l senpl I m2a'2 senq2
Por la regla de Newton sobre colisiones, tenemos
Velocidad ¡elativa a lo largo de r después del choque
- c I velocidad relativa a lo largo de ¡ antes del choque I
o vi 'i - vi'i = -e(v¡ 'i - vz'i)lo cual usando las ecuaciohes (2)-(5) se convierte en
ttl cos 41 - o'2 coa q2 = -c(o¡ cos e L - 02 cos ez)
Además, como las velocidades tangenciales antes y después del choque son iguales
vr'j = ví'jvz'i = vL'j
0t sen At = l,i sen Ér
u23en02 = aLsenqz
La ecuación (7) se satisface remplazando las ecuaciones (I2) v (I3).
De las ecuaciones (6) y (9) encontramos
= (m1- m2r)a1cos dl + m2(1 * e)tt2 cos e 2
fr\ -f fitz
(6)
(7)
(8)
(e)
(10)
(lr)
(12)
(r3)
oi cos Cr
,'2coa62 = rnt(1 *c)o1 cos c1 * (m2-m¡)o2coae2
m1*m2
Entonces, utilizando (I2) y (13) hallamos
v'1 : oi(cos P1 i - sen Pt i)(m¡ - m2c)a 1 cos ,r i * nz$ * e)o2 cos a2 i
- olsendljrnr + ftuz
v'2 = tt'2@os 62 i - sen P, i)
= m{l* c)o1 cos cri * (mz-tuf)ozcosezí
_
rnLtm2 -a2seno2i
SISTEMAS CONTINUOS DE PARTICULAS8.10. Hallar la ecuación diferencial parcial (/) de las oscilaciones trasversales de una cuerda
en vibración.
Fig. t-14
Consideremos el movimiento de un elemento de la cuerda de longitud As, que se r€presenta muyaumentado en la figura 8-14.
Las fuerzas que actúan sob¡e el elemento, debidas al resto de la cuerda, son las tensiones most¡adasen la figura 8-1,1, de magnitudes T(r) y T(x * A¡) en los ext¡emos x y x * A¡ del elemento.
CAP, 8J APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES Y COLISIONES
La fuerza neta horizontal que actúa sobre el elemento en la dirección i es
lT(r 1- Lr) cos r(, * Ac) - f(c) cos a(r)liLa fuerza neta que actúa sob¡e el elemento en la dirección j es
o, dividiendo por Arj,
[?(r * ar) sen d(r * tr) - T(rl sen r(r)]i (z)
Si suponemos que el movimiento horizontal en la dirección i es despreciable, la fuerza neta dada en (I) esnula. Teniendo en cuenta que la aceleración del elemento es azY/áP, aproximadamente, y que su maaaes oAs donde c es la masa por unidad de longitud, tenemos a partir ae iZ) v de la segunda ley de Newron,
' *ffi i = lT(r * a,r) sen 0(, + trl - T(r)sen a(r)li
203
(r)
(3)
(4)Aa 02Yt^"dt, =
Al tomar el límite cuando A¡ .- 0. tenemos
Como
la ecuación (5) se puede
= S{r."na}dYl0n
(5)
(6)
,/t + tx¡W
Para simplificar esta ecuación, suponemos que la oscilación es pequeña de modo que la pendiente dYlilxes pequeña en valor absoluto comparado con l. Por tanto (6Y/0r)z es despreciable en comparación con l,v (6) se convierte en azy a /- ay\
' at2 = a" \t' 'a,
) 0)
Si posteriormente suponemos que la tensión ? es constante a lo largo de la cuerda y que d también lo es,(7) se puede expresar como Azy ^Azydtz = "" aa (8)
donde c2 : T/o. A menos que se especifique lo contrario, utiliza¡emos la ecuación (8) en la oscilación deuna cuerda.
8.11. Hallar la ecuación del problema 8.10 si la cuerda es horizontal y se tiene en cuenta lagravedad.
En este caso debemos agregar al lado derecho de la ecuación (3) del problema 8.10 la fuerza sobre elelemento debida a la gravedad _rng = _o LB gi
El efecto de esto es remplazar la ecuación (8) del problema g.l0 por
# = "'#-oSERIES DE FOURIERa-12. Representar gráficamente cada una de las siguientes funciones.
| 3 0(o(6 ,(a)f(r) =t_g _5(c(0 ?eríodo:10
/ tY\z azY
\*) iF
, / aY\z azr- \d, / ¡¡
204 APLICACIONES A STSTEMAS OSCIANTES. COHETES Y COLISIONES IcAP. 8
Fig. t-15
Puesto que el período es 10, la porción de la gráfica de -5 ( ¡ ( 5 (línea gruesa en la figura8.15) se extiende periódicamente por fuera de este intervalo de variación (línea a trazos). Nótese
aue /(¡) no está definida en .r : 0,5, -5, f0, -f0, 15, -15, etc. Estos son los valores de discr¡n-
tinuidad de f(x).
fsettc 0<a<-r(b) /(c) = i --^ Período : 2¡
| 0 r1a12zr
Fig.8-16
Refiriéndonos a la figura 8-16 observamos que /(¡) está definida para todo r y es continua en to-das partes.
l(r)I
- Período +
8.13. Demostrar J' .".r ff a. =
I, *" To' =
I, 'o' Lt; a' =
8.14. Demostrar @ Í_, cosry cosry a, = Í_' ,
1a¡ J'r"., ff "o"ff d.x = o
(' k¡ü ,I cos ='r= d, = 0 si k = 1,2,3, . .. .v -, a'
I k¡txf ¿
-¿;"os¿l-, = -1/''cosT,tr
I krrlt I#r"n1= l_, = f;senkr -
I)- fi cos (-kn\ = 0
3 .rn (-ko) = otCÍ
fftrfr ll,t¡ü, l0 ,n+nSen-r- Sen--i- CLr = 1 _L r ll rn=n
donde m y n pueden tomar los valores L,2,3, . . ..
(o) Portrigonometría: cosA cos8: |lcos(A - B) + cos (A * 8)1, senÁ sen8: |[cos (A - Bl -cos (A * Il) l.
Entonces, si m I n, por el problema 8.13,
(' ^^^rnr& ^^-ntu s- ! C' I t*-n\rr (m|-nhx\ O, = 0J_, "o.T cos, de = t J_, ttot---l-
+ cos- r )
Similarmente si m* n,
lt mt, nru. l( | t*-n)rr (mtnlrr)J_, '"n=i=.envf dr = i J_, {"".--- - cosffl dr = 0
f(x)
cAP. 8l APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES Y COLISIONES 205
Sim:n, tenemos
!'-,*"*"osffa, = il_,(r+"."ff)a, = t
7l
Nótese que si m : n : 0 estas integrales son iguales a 2l y }respectivamente.
(ó) Tenemos que senA cosB : *lsen (¡ - B) + sen (A * D) f . Entonces, por el problema g.13, sim* n,
l-,"",T"o"ffa, = iÍ:,{*ry*.."9*}* = o
Sí rn=n, ?t
I -,'""T "o"T a, = L Í'-,*"'ff o, = o
Los resultados de las partes (c) y (á) se mantienen válidos aun cuando los limites de integra-ción -1, I se remplacen por y, .t + 21, respectivamente.
8.15. Sif(r) = , *'á (","o"ff+b,""nff)
demostrar que hacieldo las suposiciones convenientes, la integración término a térmi-no de las series infinitas, para n : 1,2,8, . . .,
tfl(a) a^ = i [_,/(z) cos T ¿r, (b) b" = !,
Í_, f(r)senff dx, (4 A = 9t.
(a) Multiplicando
f(al = n * "i (o, "o"ff +- b, ""^T)por cos ff e intezrando desde -l hasta l, y usando el problema g.14, tenemos
J-, tal "o"So" = n !' , "o"ff a,
(r)
Así, que am
(3)
drI"""ff """7
ü^l si m* 0
171= + | Í@) cosryz dr'u-l L
(ó) Multiplicando (1) por sen4rq e integrando desde -l hasta I del problema g.14, tenemos
^al" ¡<'l ""n-2 d, = á ft ,"n 42 ¿,ot_¡ c J ' I
+ "3 {"" í-, "o"ff "o"T ¡L + b,l' ,"ory"",T or}
ai rn=112,9,,..
= b^l
*"á {*I,'"n T"""Td, + b^l-.
206 APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES Y COLISIONES tcAP. 8
De nodo que
(c ) La integración de (I) desde - I hasta l, usando el problema 8'13, será
¡t rfI ftr)¿"=zAt o A=|¿.1 tAa,
.r_t -'v-l t IHaciendo m - o en el resultado de la parte (o), encont¡amos "o--i J_, f(r\ilx y asi
^oo^ =z'
Los resultados anteriores también se mantienen cuando los límites de integración -1, I se ¡em'
Plazan Nt t, t * 21,
Nótese que en todas las partes anteriores hemos supuesto intercambiables la sumatoria y la in-
tegración, Auttque no fueran juetificadas lae anteriores suposiciones, los coeficientes ¿' y ó-, talcomo fueron obtenidos, se ltaman coeficientes de Fourier conespondientes a /(¡) y Ias series correspon-
dientes con eoos valores de a. y ó. se llaman las series de Fourier de f(:). Un problema importan'
te en este caso es investigar las condiciones con las cuales estas series convergen a /(¡). Una condición
euficiente para esta convergencia es la condic ión de Dirichlet '
g.16. ( o) Hallar los coeficientes de Fourier correspondientes a la función
lo -6<r<of(r) -- {- , Período:10[3 01r16
( b ) Escribir la serie de Fourier correspondiente.
(c) ¿Cómosepodrádefinir/(¡)en x: -5, ¡:0 y x:5 conelfindequelaseriede Fourier converja a /(¡) para -5 3 r 3 5?
La gráfica de /(¡) se muestra en la figura 8-17'
f(xlI
Fig.8-r7
( o ) peíodo - 2l - 10 y I : 5. Escogemos el intervalo de r a r * 2l como -- 5 a 5, de modo que 7 : - 5.
Entonces
bm = | !' ,tt l ""nff a, si tm = r,2,8,...
an = !, !"'*' flrl "o"T ¿, = i .f:,* ff -, Qt coaff ilx +
;(*.""T)[ = 0 si ¿*0
3.f * = s'
! Í' ,'*' ""nff an
f(rl cosff dr
ry *\ = 3 t,' *"r; o,J' tr) "o.
$it=0, on = úo
br=
J',r,."nry*l = ?f *"ry*3(1 - cqs_zz)
= i Í"*"ff* =
-
Peñodo
-
cAP. 8l APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES Y COLISIONES n7
(b) La serie de Fouriercorrespondiente es
d¡ @ / nnü,, ¿r¡\ g* $g(l-cos¿r)s¿¡gg4; * "¿
(""*? + b,sen'T) = z ,!t nt 6
t . :(*"? + *.""Y + |s"nT. )( c ) Como /(¡) satisface la condición de Dirichlet, podemos decir que la serie converge a /(¡) en todos los
puntos de continuidad v ^ f@9j!9- 0) en los puntos de di¡continuidad. En t - -6,0, 5, que
son log puntos d9 discontinuidad, la serie conver8e a (g + O)/Z - 3/2, como se ve en la gráfica. Sivolvemoe a defini¡ /(¡) cono sigré
f(t)
(812 x = -6I
l0 -6(¡(0= lúz a=o período-lo
I
l3 0(¿(6l8l2 t=6
/(r)para-5S¡s5.entonces la serie convergerá a
8.r7. Si /(r) es pa¡, mostrar que (o) a^ = ? f"' tl4 cosT¿Ia, (b) b,. = 0.
(a) o, = lÍ'ror"o.ffa, = \, forrrr"orT**+1"'r*r*TeCambiandc t : -u.
I t', rat corff a, = l Ío' o-'r *" (7) n"
puestoque, pordefinición, de una funciónpar, f(-ul - /(¿). Entonces
on = | [' o, "o"ff dú + +, Ír' o, "o"ff ao = i Ír' o, "*ff a
= I ( ¡ol"nYdnalo a
Si hacemoe la trasformación ¡ : -u en la prinera integral del lado derecho de (I), obtenemoa
! (o ,,-r-^^i¡r,- | (t ,, -., /-nn2\ - t fr7 J-, f@l'"nffat = ', Jo ,r-ursen1-1-/ dn
dondehemosusadoe,n*'":u";: j":::ii^,:,_,:!{,r,:?":':i:'".on,.'l
variable de integración z puede ser remplazada por cualquier otro símbolo, en este caio por ¡. Asi de(I) y usando (2), teneinoa
bo = -i Í' t@l aenff * * + .f' ,rr, ""off ao = otuo ' lJo
8'18' Desarrollar f(x) : r, 0 < r 1.2, en un semi-intervalo, (a) en series de seno, (b) enseries de coseno.
(b) bn = if'r,*r""nffa, = |f,or""nff**rtÍ,'rrr,enffan u)
(o) Anpliamoa la definición de la función dada con el fin de dejar una función inpar de período 4, talcomo 8e muestra en la figura 8-1E Egto ee llama dgunas veces la eúensión impar de f(¡). E¡tonce¡2l:4, t:2.
208 APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES Y COLISIONES [cAP. 8
Fig. t-18
Así,on:Qy
bo = '7 f' ral ""nff a,
: {r,(#*"T) -
Entonces f(r) = 2r#"o.rn ""n!f,4/ tu | 2tn | \tr \= ;\t"nt-rsen2 +Ssen 2 -"')
(b) Ampliando la definición de /(¡) pa¡a que la función sea pa¡ de período 4, como se muestra en la figu-
¡a 8-19. Esta es la eúensíón par de f(x). Entonces 2l : 4, I : 2.
2 C2 n¡l.c ,= I Jo " se^-l- ar
/ -¿ rnor\l l' -4(r) (;%r *"=; )l l" = - cosnt
z/^\\o
Fig. t-l9
De modo que b" :9'
Siz=0, eo =
Entonces f(r)
= ? t,' " "o"ff a,
í,(#.".ry))1,
si n#O
= 1 !,' ''' "o"ff a'
= {*,(**"T) -= firco"nt - rl
f' ,a, = z."o
= t * "i, ftu{"o"no - l\ eosff
= | - Pr(*"t + #"""T! + #.""ry. ...)
Se puede notar que la función dada /(¡) : x, 0 < r ( 2' se representa correctamente por las dos
seriesdiferentes dadae en (o) y en (b).
cAP.8l APLICACIONES A SISTEMAS OSCLANTES, COHETES Y COLISIONES 209
SOLUCIONES DE PROBLEMAS SOBRE CUERDAS VIBRANTES8.f9. Encontrar el desplazamiento trasversal de una cuerda que oscila, de longitud l, cuyos
extremos están fijos, si Ia cuerda se desplaza en f (xl a partir de la posición de equi-librio y se suelta.
Sea Y(r, ü ) el desplazamiento trasversal de cualquier punto ¡ de la cuerda en el tiempo f. puesto quelosextremos ¡:0 y ¡:l delacuerdaestánfijos,tenemosque y(0,¿):0 y y(l,tl:0. Comoel des.plazamiento inicial es /(r), tenemos que Y(r, 0) : /(¡); y como la velocidad inicial es cero, tenemos queYt(x, 0) : 0, donde Yr denota la derivada parcial con respecto a f. Debemos resolver un problema devalores de contorno,
a2Y ^ azy
7F = "'aFÍ(0, ú) = 6, Y(l,t) = ¡, Y(r,O) = l(r), y¡ (r,0) = g
Supongamos una solución de (I) de la forma Y : XT, donde X depende únicamente de.r y ? úni.camente de ¿. Entonces sustituyendo en (1), y usando X,,para denota¡ d2X/dx2 y ?,,para denotard2 T/dt 2. tenemos
XT" = c2X"T
T"c2T
Puesto que un lado depende únicamente de r y el otro lado únicamente de f, en tanto que r y f sonindependientes, la única forma para 9ue (2) sea válida es si cada lado es una constante. la cual tomaremoscomo -trz. Así
x,,-x=X't + )\2X = 0, T,, * ¡Jczt - 0
Ecuaciones que tienen por soluciones
X = á1 cos l,r * 81 sen )rc, T = A2 cos trcú * 82 sen trcü
De modo que una solución está dada por
Y(x,t) : XT = (.41 cos },r * .8, sen lr)(l4.2 cos trc¿ * g2 sen trcú) (4\
De la primera condición en (2), tenemos
B r(42 cos ltct I 82 sen trcú) = 0
así que A r : 0 (si el segundo factor es cero, entonces la solución es idénticamente cero. lo cual no desea.m<¡s). Así
Y(a,tl = B¡ sen Lc (.42 cos ltct * 82 sentrcú)
= sen trc (ó cos trcú * ¿ sen \cú)o escribiendo, B,At: b, BtB¿:0.
En:pleando la segunda condición de (2) en (.i) encontramos que sen Il : 0 o tr1 : nr donde rr :L,2,3, Así que )t, : ¡t¡/l y la solución, hasta ahora es
(1)
(2)
(e)X"-7
T"cI- = -tr2
(5)
(6)Y(r, tl =
Derivando con respecto a ¿, teuemos
Y ' (r'o)
de donde o : 0. Por tanto, (6) es
nÍx / , nrctsen-i--(ocos t +
Y¡ @, t) = ""nn'!,' ( -
nncb rurct\-,vt ""., ¿ \-_r_senJ- +
de modo que la cuarta condición en (2)_nos conduce a
= ""n?T (t;") = o
noCt\úsen t )
nrCA n¡ct\¿"o" I)
ntÍ ntctsen-J- cos --Y(r, t) = b(71
2ro
Y(r,t) :
El método de solución que supone que
uariables.
8.20. Una cuerda fija en sus extremos es sepa-rada de su centro una distancia H a par-tir de la posición de equilibrio y se suelta.Encontrar el desplazamiento de un pun-to en cualquier tiempo.
De la figura 8-20 vemos que
inicial de la cuerda está dado por
APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES Y COLISIONES [cAP. 8
Para satisfacer la terce¡a condición de (2) usamos el hecho de que las soluciones de (7) multiplicadas por
las constantes o las sumas de las soluciones son también soluciones (teorema o principío de superposición
de las ecuaciones dife¡enciales lineales). De esta manera llegamos a la solución
Y(r,t) = 3 b^ senff "o"U!n=l L o
Usando Ia tercera condición de (2) en (8), tenemos
Y(r,01 = f(nl = "?,
O, """ffPero esto no es otra cosa que el desarrollo de /(¡) en series de seno de Fouriery los coeficientes están dados
Por ^ ^l.2ór = iJ,t<"1""nffa,Así, la solución está dada por
(8)
(e)
tr Í,' f(n) senffa,l *,ry"o"uf!
Y ,: XT es el método llamado frecuentemente de
@
¡=1
d, + l',r+A-ü
T o ,/r =&=ht?
(10)
separación de
el desplazamiento Fis. t-20
0<r3l/2ll2SrilIzHr/t
lzH(t - r)lt
n¡r ,1sen- | a, J
usando integración por partes para calcular las integrales. Empleando este resultado en la ecuación (10)
del problema 8.19, encontramos
8Il E sen(no/2\ nÍtr nrctY(x,t\ = nj,¿rffsenfcosf8H I t tt tct | 3¡o --\rct , 1 6tn ^^-6¡rct= -F1e,senf cosf - psen , cos-l- + E senTcos
¿
Ahora
El modo normal correspondiente a
de la solución del problema 8.20, o sea,
Y(r,O) = f(rl =
o?lbt = il t<rl""nT¿," Jo
2 | (ttz zHr nnx= tU. l-""n '
pH- sen(n"12\t2 n2
8.21. Encontrar las frecuencias normales y los modos normales de vibración de la cuerda
del problema 8.20.
la frecuencia normal rnás baja está dado por el primer término
8H ti ¡ctoe sen 7 cos -J-
La frecuencia está dada por /'r, donde
2rft =
cAP. 8j APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES Y COLISIONES ztl
Puestoqueelcosenova¡íaentre -1 y +t, elmodoestalquelacuerdaoscila,comogemuestraenlafi-gura 8-21, desde la curva continua a la curva a t¡azos y asÍ sucesivamente.
La frecuencia mayor siguiente está dada por el modo correspondiente al término siguiente de la serie,el cual, excepto por el signo, es
8H Brx Btct. gF sen -J- cos -l-
En este caso la frecuencia está dada por
2trfs = T o fg = X =
modo que está indicado en la figura 8-22.
Las mayores frecuencias normales están dadas por
t-J5
Las amplitudes de los modos correspondientes a Ias frecuencias pares
fz= ._4IT, 14 ,1;,son cero, de modo que tales f¡ecuencias no están presentes. En un desplazamiento, en general, se podíanpresentar.
Debido al hecho de que todas las mayores frecuencias normales son múltiplos ente¡os de la frecuencianormal más baja, ésta se suele llamar la frecuencia fundamental y la cuenda en oscilación emite ¿oüosmusicales. Las frecuencias mayores se llaman algunas veces armónicos.
8,22. Encontrar el desplazamiento trasversal de una cuerda en oscilación con extremos fi-jos, si la cuerda está inicialmente en la posición de equilibrio y se le imparte una dis-tribución de velocidad definida por g(r).
h\E
En este caso debemos resolver un problema de valores de contorno
a2Y ^a2YaF = ""6AY(0,t) ¿ 0, Y(l,t) = g, Y(o,0) = g, y¡@,0) = g(r)
Se emplea el método de separación de va¡iables y la aplicación de lasdos primeras condiciones(2) dan, como en el problema 8.19,
Y(r,t) = ""nT(¿.o. ff + "*"ry)Sin embargo, en este caso si aplicamos la tercera condición de (2), encontramos b : 0, así que
Y(r,t) = o""nY ""nn\"ttt
Pa¡a satisfacer la cuarta condición, debemos primero notar que el aplicar el principio de superposición,nos conduce a la solución
(r)
(2)
de
Fig.8-21 Fig. t-22
@
Y(r,t'¡ = ,!, ," ""nT ""nryf! (il
2r2 APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES Y COLISIONES
De aquí, por diferenciación con respecto a t, tenemos
Y¡@,tl = 2.Y? ""nT "o"Af¿=l
"i,?.""
ry=lf,'oat""nffa, o at= nÍu ,gle) senl- dfr
IcAP. 8
o Y¿(r,01 = C@l =
Por el método de las series de Fou¡ier vemos que
Así, la solución requerida es,
Y(r,t\
nÍtrt
*f,' (r)
remplazando (4) en (3),
= 2, {**f,' a<'t""^ffa'} (c,nrct
sen _-'-
* "i, {h !"' c@)""nTa,} ."' T *"7
nTÍsen -7_
8.23. Hallar el desplazamiento trasversal de una cuerda que oscila, de longitud l, cuyos ex-
tremos están fijos, si la cuerda inicialmente tiene un desplazamiento desde su posi-ción de equilibrio dado por f (x) y una distribución de velocidad dada por g(¡).
La solución del problema es la suma de las soluciones de los problemas 8.19 y 8.22. Así, la soluciónpedida es
,. b rt -. , nrr . ) nrx ntrctY(r,t\ ":, t )o tt"l sents drj sen -:f cosff
PROBLEMAS VARIOS
8.24. Una partícula se suelta sobre un plano horizontal fijo. Si ésta golpea al plano con ve-
locidad v, demostrar que rebotará con velocidad -ev.La solución de este problema se puede obtener a partir de los ¡esultados del problema 8.6, conside-
randoquem2esinfinitayvz:O;entantqquevr:v(dondelossubíndicesly2serefierenalapartícula y al plano, respectivamente)Jntonces las correspondientes velocidades después del choque están
dadas por (Qn1/m2l - ,\vlím vi = lím
mt+ ó m!+ ú I I (mllrn2l
lím vim2-@ = ^1,,y_Y## = o
:: ilf que la velocidad de la partícula después del choque es - (v. La velocidad del plano, por supuesto,
8.26. Suponer que la partícula del problem a 8.24 se suelta del reposo desde una altura Hpor encima del plano. Demostrar que la distancia teórica lotal que viaja la partículaantes de quedar en reposo está dada por H(l * ,2)/\t - ,21.
Sea u la velocidad de la particula justamente antes de golpear el plano. Entonces, por la conservación
delaenergía, lmu2 | 0:0+ mgH o t,2:2gH Así,delproblema S.24, laparticularebotaconrapidezeu y alcanzará una altu¡a (cul2/2g : c2H. Luego se devuelve hacia el plano recorriendo la distanciac2H, de modo que después del primer rebote ya ha viajado 2e 2H.
Razonamientoe análogos nos llevan a encont*ar que en los rebotes segundo, tercero, , lapártículaviaja a través de tas distancias 2caH, 2e6H, Entonces la distancia teórica total que viaja antes de
quedar en reposo es
H+z&H+24H+ze,Hr... = H+z¿H(t*e2*ea+...) = H+#= "(i#)usandoefresultado l*r* r2 *rs I : I/(l_ r) sil¡l < l
cAP. 8l
8.26.
APLTCACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES Y COLISIONES 213
Dos partículas de masas m y M se mue-ven a lo largo del eje r (sin rozamiento)con velocidades uri V Vi, respec-tivamente. Suponiendo que chocan y O
que las velocidades después del choqueson u ,i y V
"i, respectivamente, de-
mostrar que la velocidad del cent¡o demasa antes y después del choque per-manece igual.
Por la conse¡vación del momentum.Momentum total antes del choque : Momentum total después del choque
muf IMVri = rno2i*MV2i
conside¡emos que r v X son '"':;;::j.";"";;
l" i.t'".,"",as La ubicación der centro demasa será i : (mx * MX)/(m + Lttl.
La velocidad del centro de masa antes del choque es
r, = (mur l MV r)/(nr I M)
La velocidad del centro de masa después del choque ", i, - (ma2* MVz)/(m*M). Así9u" ,1, = ir.
8'27' Una partícula de masa n se desliza hacia abajo por un plano inclinado un ángulo .,sin de masa M y d,e longitud ¿, el lual está sobre una superficie horizon-tal to (figura 8-24). Si La partícula parte de lo alto del piano desde el re-pos que el tiempo para que alcance el punto más bájo está dado por
Escogemos un sistema de coordenadasverticales ¡_1', como en la figura 8.24. Sean Rel vecto¡ de posición del cent¡o de masa C dela partícula y el plano inclinad,, A un vector(constante) desde C hasta la parte superior delplano y s el vector de posición de la partículadesde lo alto del plano. Entonces, el vector deposición de la partícula /n con respecto al sis-tema fijo de coordenadas ry es R + A + s.Como la única fuerza que actúa sobre la par-tícula es su peso mg tenemos, por la segundaley de Newton aplicada a la particula,
.x¿mj*@*a*s) = rn7, (/)
^ üR,d2s" ¿tz-¿F = g, el
d2x .
ctt2 | +
Multiplicando por s ¡ ., esto viene a ser
d2x¿¡2 sr 't *
Fig.8-23
Fig.8-21
EscribiendoR:xi+Y,s:_ ciys:ssr,dondesresunvectorunitariohaciaabajodel planoenla dirección de s, la ecuación (2) se convierte en
d2s
Itz "t = -Ci
d2s¿psr.st = -gsr.j
/u-t1
2t4 APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES Y COLISIONES lcAP. 8
o -ffi"o"'+ffi = tsenc (3)
puesto que la fuerza neta horizontal que actúa sobre el sistema formado por la partícula y el plano es cero'
el momentum total en la dirección ho¡izontal antes y después de comenza¡ a deslizarse la partícula es
celo. EntoncesM#.i+ mft@*a*s)'i = o
Esto lo podemos escribir como
W+dff-^fi"o"o = o
Derivando (4) con respecto a t y despejando d2x/dt2' enconttamos
¡12X m cosa &edtt M*miltz
Sustituyendo en (3) da
(tuI * m)g sen (M * mlg sena
-y1*-n¿"oazoM*¡msen2a
Integrando (6) teniendo en cuentaque para ú : 0, s : O y ds/dt : 0'
la cual, cuando s : L, nos da el tiempo pedido'
8.28. Resolver el problema 8.19 teniendo en cuenta la aceleraciórr y la gravedad.
Se trata de un problema de valo¡eg de contorno dado por
azY ^AzYM = c'ia-c
f(0, ü) = g, Y(t, ú) = g, Y(r,ol = f(t), Y¡ (o,0) = g (2)
Debido al término -g el método de separación de variables no es adecuado en este caeo. Para elimina¡
este término, hacemos
Y(x,t') = Z(x'tl*'t'@)
en la ecuación y condiciones. Encontramos
d2zñ = éffi+cPg"-g (4)
Z(O,t't+rr(0) = 0, Z(t,tl+'y'(4 = 0, Z(t,01 *9@) = f(r)' Z,(n'01 = 0 (5)
La ecuación (¿) y l¡3 condiciones (5) eon simila¡es a problemas ya discutidos si escogemos ú tal que
c\{-| = 0, ú(0) = O' 9Q) = O (6)
(n
(8)
ú(ll : 0, obte-
En este caso (4) y (5) se trasforman en
Z(O,¿I - O, Z(t,tl - O, Z(n,O\ - f(rl-q@), Z¿(n,0) = g
De (6) encontramos ú" : g/c'o ú(¡) : gr2/2c2 { c¡r * c2l } corno t/(0) :0'Ir€rtrog c¡ : 0, cr : -gl,/2c2. Aaí
*(u\ = Slno-t"¡
(41
(5)
(6)iFodt2
1"=a P
(r)
(3)
a2Z "d2ZiF = "'fr
CAP. 8I APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES Y COLISIONES
La solución de la ecuación (7) con las condiciones (8) es, como en el problema g.19.
z(r,t) = > {+ ( Vrr-v@ll""nn!,¿r}..n nT, "o"n\"tr=r L¿Jo ¿ ) I --- I
y así
""nT "o"ff + ${az-tx¡
a'29' Suponer que una cuerda continua, fija en sus extremos, que oscila trasversalmente,es remplazada por N partículas de masa m a igual distancia una de la otra. Determi-nar la ecuación de movimiento de las partículas.
Suponemos que las particulas están uni-das unas con ot¡as con cuerdas elásticas quese mantienen a una tensión constante ? (figu_ra 8-25). También suponemos que la distan-cia horizontal de las partículas (o sea en la di-rección del vector unita¡io i) es igual a o yque el desplazamiento trasversal (o sea en ladirección del vector unita¡io j) de la partículat esY' Consideramos que las particulas nose desplazan en la dirección i ni -i.
Aislemos la partícula. v-ésima. Las fuerzas que actúan sobre esa partícula son las debidas a las par.tículas (r - l)-ésima y (, * 1)-ésima. Tene.rros entonces
@Y(r,tl =¡=l {? Í,' Irat - h,,,-@]""^Td,j
= Irt,-, - zYv + Yv+)
#r,-r-2Y,+Yv+i
2r5
12l
sistema de partí-
Fig. t-25
Fuerza trasversal debida a la (v - 1)_ésima partícula
Fuerza trasversal debida a la (r * l)-ésima partícula
De ra segunda r"r o" *;:;},l:*:""
::;;;,_,"ar que actúa sobre ra partícura r es
z,t = -rq" 'rY,-,)r _ ,(+),o
o sea,
&Yu*-E
Yu= (r)
Teniendo en cuenta qu-e los extremos son fijos, suponemos dos partículas que corresponden a y : 0y I : N{ I paralascuales Yo : 0 y fiv+r : 0. Entonces haciendo y : I y y : N enlaecua-ción (1), encontramos
V, = fr¡zvr+Yr¡, f,* = #rr*-r-2yN)
8.3o. obtener el determinante secular para las frecuencias normares derculas del problema g.29.
Sea f, = A, cosot en las ecuaciones (1) y (2) del problema 8.2g. Entonces, después de simplificar,encontramos
-Av-t + @ - mao2/T)A, - Av+t = 0 v = 2,..., N- 1 (ll(2-maoz/T)At-Az = 0, -árv_r +Q_mnflT)Ay = 0 el
Haciendo
esas ecuaciones se pueden escribi¡
2-maozlT = c
cA1 - A, = Q, -At* cA2- A, = g, !.., -á¡v_r * cA¡ = 6
(3)
216 APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES Y COLISIONES IcAP.8
Entonces si deseamos soluciones tales que Av*0, se debe cumplir que el determinante de los coefi'
cientes de orden N-ésimo sea cero, es decir,
c -L 0 0 0 ...
-1c-L000 -1 a -L 0 ..'
000000
0
0
0a¡v
0
0
0
0
000000
-1c-l0-1 c
Las frecuencias no¡males se obtienen resolviendo esta ecuación para los N valores de o2'
Aunque hemos usado Y, = A, costt, también habríamos podido tomat Y, = 8, sen rú o
yr= Arcosot * Brsenot o Yr= Qu"iot. El determinante secular tendria que ser el mismo (com'
párese con la nota al final del problema 8.2(b)).
8.31. Demostrar que las frecuencias normales del problema 8.30 son
.? = #(r-cosñT,) a=r,...,N
Desa¡rollando el determinante A¡ del problema 8.30 en función de los elementos de la primera
fila, tenemos
A,u = cA¡v-r - Ar-e (l)
Del mismo modo, Al = c, L2 = ¿2 - 1 Ql
Haciendo N:2 en (1), vemos que las ecuaciones (2) se satisfacen formalmente si tomamos lo: l.De modo que las condiciones consistentes con (l) Y (2) son
Ao=1,At=c (J)
Para resolver la ecuación de diferencia (/) suponemos que A¡ : pN, donde p es una constantepa¡a se¡ determinada. Sustituyendo en (I) J dividiendo Por Px-2, encontramos
p2-cp*1 = o o o = tF
Si llamamos c:2cos0, entonces
p = cOSd :t i sen, = elio
Así que las soluciones de la ecuación de dife¡eucia scn
(eie¡rv = eiNo = cosN¿ * isenNe y (a-ie¡N - e-Ni, = cosNd - isenNa
puesto que si se multiplican po¡ constantes estas soluciones y las sumas de soluciones son también
soluciones (como en el caso de las ecuaciones diferenciales lineales), vemos entonces que' la solucirín
Eeneral es
A¡ = G cos Ne * rll sen Na
De(3)tenemos ao: l,ar:2cos0, asíque G: l,H: cotá' Así,
(4)
sen N, cos,A¡y = cos NA t
-.".,J-Esto es igual a cerocuando sen(N * 1)0 : 0 o 0 : ar/lNproblema 8.30, encontramos
sen (N * 1)a
sen A
* 1), donde a : 1'
(5)
, N. Usando (.i) del
,r2q = #(t - "". oT.) (6)
CAP. 8I APLICACIONES A SISTEMAS OSCEANTES, COHETES Y COLISIONES 2I7
8.32. En el problema 8.30 obtener A, y por consiguiente encontrar el desplazamientotrasversal Y, de la partícula r.
De las ecuaciones (I) y (2) del problema 8.30 tenemos (usando las frecuencias normales darlas por(6) en el problema 8.31 y con el superíndice c que indica que las A dependen de a),
-AÍlr+zAt"r.o.ffT-A:?, = o (r)
junto con las condiciones finales.A["'=0, AÍo1r=o e)
La ecuación (f) sujeta a las condiciones (2), se puede resolver en forma exactamente igual al problema8.31; hallamos
donde co son constantes arbitrarias 1"'-:"r1";JT suponemos y,=B,senroú (véase elfinal del problema 8.S0) podemos obtener
BÍ"' = ao t"n ffiAsí que las soluciones están dadas por
d.ylf d.ytCL sen ¡a¡ cos orú ! Dnsen ffi sen rú
y como la suma de las soluciones también es solución, tenemos
Y, = -!i- *" ff<""€osoc*D¿senoú)Las constantes c. y Do se determr""l o" las condiciones iniciales.
Se puede ver fácilmente la analogía con la cuerda que oscila.
Problemas propuestosSTSTEMAS DE PARTICULAS OSCILANTES8.33. Encontrar las frecuencias normales de vibración en el problema 8.1, si las constantes de los resortes y las
masas son todas diferentes.
8.34. Dos masas iguales m se encuentran sob¡e una super-ficie horizontal sin rozamiento, como se muestra enla figura 8-26, y están unidas por resortes iguales. Elextremo de uno de los ¡esortes está fijo en A y lasmasas se ponen en movimiento. (o) Plantear las ecua-ciones de movimiento del sistema. (ü) Halla¡ las f¡e- Acuencias no¡males de vib¡ación. (c) Desc¡ibir losmodos nornales de vibración.
Fis. t-26
8.35. Desarrollar el problema 8.34 si las constanteg y las masas de los resortes son diferentes.
8.38. Dos masas iguales ¡n están unidas a los extremos de un resorte de constante r, el cual está sobre unasuperficie horizontal sin rozamiento. Si las masas se separan y luego se sueltan, demost¡ar que ellasvib¡arán una con respecto a la ot¡a con período 2rVffi.
8.37. Desarrollar el problema 8.36 si las masas son diferentes e iguales a Mt y M2, respectivamente.Resp. 2¡!& donde p: MtMz/(Mt* Mz)
2r8
8.38. En la figura 8-27 se muest¡an masas iguales m que están
sobre una superficie ho¡izontal sin rozamiento y unidasentre sí y con los puntos fijos A y B por medio de cuerdas
elásticas de tensión constante y longitud l. Si los des-
plazamientos desde la posición de equilibrio AB de las
masas son, respectivamente, Yr Y Y2, demostrarque las ecuaciones de movimiento están dadas por
i, = *(Yz-ZYr), ?z : *(Yt-2Yr\^ñ /donde ¡:3'1'/ml.
8.39. Demostrar que las frecuencias naturales de oscilacióndadas, respectivamente, por
APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES Y COLISIONES lcAP. 8
Fis. E-27
en el problema 8.38 están
8.4O. Encontra¡ las frecuencias y modos normales de oscilación del sistema de partículasde masas rÍtt ! trtz conectadas por resortes, como se indica en la figura 8-28,
MASA VARIABLE. COHETES
8.41. ( a ) Demost¡ar que la distancia total ¡ecorrid a por el cohete del problema 8.5 en el tiempo t está dada por
(b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el cohete y cuánto tarda¡á en llegar a esta altu¡a máxima?
8.42. Suponer que un cohete parte del reposo y cae bajo la acción de un campo gravitacional constante. En el
instante de la partida expulsa gas a velocidad constánte a en la dirección del campo gravitacional ya rapidez u¡ con resp€cto al cohete. Encontrar la rapidez después del tiempo ,.
/m¡\Resp. gt - r.16ln
\*;-)
| [sf%\l *¿
y describir los modos de vibración.
8.43. ¿A qué distancia se encuentra el cohete del problema 8.42en el tiempo ü?
Reso r¿ot2 - ,,{, .(ry)'"(1[g}
1Y2r
8.44. Desc¡ibi¡ cómo el cohete del problema 8.42 puede descende¡ suavemente sobre la superficie de un pla-
neta o satélite.
8.45. Demost¡ar el movimiento de un cohete de dos etapas, en el que una pa¡te se desprende y la otra con-
tinúa su movimiento.
COLISIONES DE PARTICULAS
8.46. Un cañón dispara una bala de masa rn con velocidad horizontal v y penetra en un bloque de made¡a
de masa M que estaba en reposo sobre un plano horizontal sin ¡ozamiento. Si la bala queda incrustadaen la madera: (o) dete¡mina¡ la velqcidad subsiguiente del sistema, y (b) la pérdida de energía cinética'
Eesp. (a\ mvl(M * m) (b) mMa2lZ(M ! m)
8.47. Desprrollar el problema 8.46 si el bloque estaba en rDovimiento alejándose del cañón con velocidad V.
8.44. Se suélta una pelota desde la altura If hacia el piso y-tebota a una altura h < I{. Dete¡minar el coefi-
ciente de ¡estitución. Resp. |TTH ./
8.49. Una masa ñl¡ s€ lnueV€ con rapidez u sobre un plano/horizontal y golpea a otra masa m2, Que s€
hallaba en reposo. Si el coeficiente de ¡estitución es e; demost¡ar que hay una pérdida de energía
cinética igual a m1m2(l - e2\u2/2(nryI ^").
9Tnl
8.50. Una bola de billar choca oblicuamente con otra formando un ángulo de 4b' con la línea de sus centrosen el instante del choque. Si el coeficiente de restitución es |, hallar el ángulo de ,,¡ebote',.Resp. tan-t (3,/5)
8'51' Las masas de dos partículas que chocan son m¡ y mz ! sus respectivas velocidades antes del choquesoll vl, v2' Si el coeficiente de restitución es c, demostrar que la pérdida de energía cinética a con-
secuencia del c' L 'nrrnzhoque es , ryT rnr(v1 - v2)z(1 - l).
cAP. 8l APLICACIONES A SISTEMAS OSCLANTES, COHETES Y COLISIONES 2r9
8.52. Demostra¡ que el momentum trasfe¡ido de la primera partícula a la segunda en el problema g.51,ffliftro
es ::-* (1*c)(vr-vz).,nt + 'rl1,z
Se deja caer una bola desde una altu¡a h por encima de un plano horizontal a un plano inclinado queforma un ángulo a con la horizontal. Demostrar que si el coeficiente de restitución es c, entonces ladistancia vertical entre los dos primeros puntos con los que choca la bola sobre el plano inclinado estádada por 4c(1 * r)h sen a.
SERIES DE FOURIER, FUNCIONES PARES E IMPARES, SERIES DE FOURIERDEL SENO Y EL COSENO
8'54' Representar gráficamente cada una de las funciones siguientes y encontrar las correspondientes seriesde Fourier, empleando, donde sea aplicable, las propiedades de las funciones pa¡es e impares.
E.53.
(a\ r(u\ = {-: i:::l r",ioao 4 @) r(r,) = 4r, o
(bt f(n) = {-: -:=:=_i período 8 (d) r@, = {:
Resp. (at f "3-
ry"*ff (c) ,o -+á*.*(b) z -3"iry "o"ff @, lz+
"i {*# "o"ff -u"#non"T}
En cada parte del problema 8.54, localizar las discontinuidades de /(¡) y hallar los valores hacia loscuales conve¡ge la serie en tales discontinuidades.
( r ( 10, Período 10
0<¡(3Período 6
-3(c(0,1.tü
o
8.56. Desa¡¡ollar
*"r, #{
8.55.
4.67.
Besp. @) r=0,!2,!4,...i O
(ó) sin discontinuidades
f(r)
7rücos 4
(o) Desar¡olla¡ f(r) : cosr, 0 ( r(ó) ¿Cómo se podría defini¡ /(¡) en
(c) r = 9,=10, !20, ... ; 20
(d) r= t3,=9,416,...;3
-r
{t-"[r-6
| ltn5t cos -Z-
01r<44 1 n I g "n
series de Fourier de peíodo 8'
,1 6tr l-r 52cos 4 * ..'l
< r, en una serie de seno de Fourie¡.¡ :0 y en r : r de modo que las series converjan a /(¡) para
0<r3r?Resp. (a) i "\ffi+ (b) f(0)=f(¡)=O
(o) Desarrollar en serie de Fou¡ier /(¡) : cos ¡, 0 < r < T, si el período es r. (b) Comparar con el¡esultado del problema 8.57, explicando las similitudes y diferencias entre ellos.Resp. La respuesta es la misma del problema 8.57
9.68.
220
8.59.
APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES Y COLISIONES IcAP. 8
Desarrollar f(r) =
Resp. (o) #P,
f o1r14L8-t 41n18I ntr nttnz""n Z senl-
en series de: (¿) senos, (b) cosenos.
(ó)5"3 P-ry^)*.ffLA CUERDA VIBRANTE
8.60. (o) Resolver el problema de valores de contorno
azY ezY
# = 4# o(¡(t,t)oyr(O,ú) = 0, Y(tr,t) = ¡, Y(c,0) = 9, Yt(c,0) = 0
(b) Dar una interpretación ñsica a la parte (¿) del problena'
Resp. Y(r,t) = * ":r#+ sen(z-|)r seir (2n-r\t
8.61. Resolver el problema de valo¡es de contorno
Ytt = Yt"-g 0(¡(t't)0f(0,ü) = g, Y(t,t) = g, Y(r,O'¡ = prb¡-rl, Y¡(r,0) = g
e interprételo físicamente.
Besp. Y(r., t) = ry ">,
iñ:lF sen (2n - l)c cos (2n - t\t - \orir - nl
8.G2. (o) Encontra¡ la solución de la ecuación # = O# la cual satisface las condiciones Y(O,t) : 0,
Y(¡,t):0,Y(¡,0):0,1sen¡*0,01sen4r,Y,(¡,0):0para0<¡(¡,ü)0.(b)Interpreta¡fisica'mente lás condiciones de conto¡no dadas en (o) y la solución.
Resp. (o) Y(¡, t) : 0,1 sen r coe 2ü * 0,01 sen 4¡ cos 8t
8.64.
E.63.
PROBLEMAS VARIOS
8.65. Una gota esfé¡ica de lluvia que cae en un campo gravitacional constante, crece por absorción de humedaddel ambiente a una velocidad que es proporcional al área superficial inetantánea. Suponiendo que partede radio cero, determinar su aceleración. Resp. l/8g
8.66. Un cañón de masa M está en reposo sobre un plano horizontal de coeficiente de ¡ozamiento ¡.Si dispara un proyectil de masa m con velocidad inicial uo en una dirección que forma un ángulo o
con la ho¡izontal, determinar cuónto retrocede el cañón por efecto del disparo.
8,67. Una bola es lanzada a la velocidad uo contra una superficie horizontal sin rozamiento, con un ángulo ccon la ho¡izontal. Si c es el coeficiente de restitución, demostra¡ que la velocidad de Ia bola después
del choque está dada por uoVT:(I-'¡ry€Tffi en una dirección que forma un ángulo tan-r(c tanc)con la horizontal.
(o) Resolver el problema de valoree de contorno # = n#, sujeto a las condiciones y(0,ú) : 0,
Y(2,t):0,Y(¡,0):0,05¡(2-r),YtG,0):0,donde0<,x12,ü>0.(b)Interpretarfísicamente'1.69 t (2n-L)¡a 3(2n-l\rt
Resp. (al Y(n,tl = ;S "¿ ofu sen ft- cos :ft-
Resolver el problema 8.63 con las condiciones de conto¡no para Y(r, 0) y Y,'(¡, 0) inte¡cambiadas, es decir,Y(¡,0) : 0, Y,(¡,0) : 0,05¡(2 - r), y dé una interpretación ñsica.
Resp. Y(r,q : #">, iñ+iF "^ff ""nry
cAP. 8l APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES Y COLISIONES 22r
8'68' Demost¡ar que el tiempo teórico total para que la partícula del problema g.67 se detenga es
V2E7E 0*c)/(r-c)8'69' Demost¡a¡ que mientras la partícula del problema 8./l se desliza desde el punto más alto al más bajodel plano inclinado, éste se desplaza una distancia (mZcos a)/(M I m).
E'7o' Demostrar que la pérdida de energía cinética de las esferas del problema g.9 es
*p(ur cosdr - u2 cos 0)2 (r - c2) donde ,¡ es la masa ¡educida m¡m2/(mrl m).8'71' Demostrar que la aceleración en el doble plano inclinado (figurag-29) de masa M que está en una
superficie lisa está dada por (,'rr sen 41 cos q - ?'1r1'28en dz cos dz)g..
8'72' Si la aceleración del plano inclinado del problema 8.?l es A, demostrar que las aceleraciones relativasde las masas al plano inclinado son numéricamente iguales a
rn{A cosal * g senal) * m2(A cosa2 - g sena2lfn1 -t 7t1,2
Fig. t-29 Fig. t-30
['ig.8-81
(o) r(¡ - u) =
8'73 Una masa m se desliza hacia abajo de un plano inclinado de masa igual con coeficiente de rozamiento,¡ y que está en un plano horizontal. Demostrar que el plano se mueve hacia la derecha con aceleraciónigual a (t - gñ/(3 _ p) (figura 8_80).
a'74' Una arma de masa M eetá localizada sob¡e un plano inclinado un ángulo a. El plano está sob¡e unasuperficie ho¡izontal lisa. El arma dispara una bala de masa m que se aleja horizontalmente del planocon velocidad us. Encontrar la velocidad de retroceso del arma.Resp. (mu cos a)/M hacia ar¡iba del plano inclinado
8'7ó' ¿Cuánto sube el a¡ma del problema 8.?4 por el plano antes de que se detenga, si el plano es: (¿) liso?(ó) tiene coeficiente de rozamiento ¡?
8.76. se deja caer un peso w desde una altura r/ por encima de ra placa Agde la figura 8-81 que es sostenida por un reso¡te de constanie r. En-contrar la velocidad con que rebota el peso.
8:77, Se lanza una bola con velocidad ue formando un ángulo a con unplano horizontal. si rebota sucesivamente en el plano, encontrar suposición después de n rebotes. suponer que el coeficiente de resti-tución es é y que la resistencia del aire es despreciable,.
8'78' Desarrollar el problema 8'?? si el plano horizontal se remplaza por un plano inclinado de ríngulo p y labola se lanza: (a) hacia abajo, (ó) hacia arriba.
8'79' obtener la ecuación (1), de este capítulo, para la cue¡da vibrante considerando las ecuaciones de movi-miento de las N partículas del problema g.29 haciendo que jg.. _.
8'8o' Demostrar que cuando N* - las f¡ecuencias normales dadas en el problema 8.s1 se aproximan a lasde una cuerda continua en vibración.
8.81. Demostrar que cuando 0S ¡ (¡,
+-(Y*ry*+es. )
:(W*W*"+P..)(ó) u(r - r) ='
222
8.89.
8.90.
APLICACIONES A SISTEMAS OSCIANTES, COHETES Y COLISIONES IcAP.8
8.82. Emplear el problema 8.81 para demostrar que
(¿) 2,#=+,(D) },cF=É,(c) "i#+ =#'
8.83. Demostrar que y : f(x -l ctl * SQ - cú) es una solución de la ecuación
Ary "A2ydF = "'Ñy discutir la relación entre esta solución y el problema de la cuerda vibrante.
(¿) Demostrar que la energía potencial total de una cuerda vib¡ante es 7 =
Demostrar que las frecuencias de vibración de la cuerda amortiguada del problema 8.88 son
,/ffi14n, 1=!,2,8,....
Resolverelproblemadelacuerdavibranteamortiguadasisefijaporlosext¡emos ¡:0 y x: I y
la cuerda: (o) tiene una forma inicial /(¡) y luego se suelta, (ó) está en la posición de equilibrio y se le
da una distribución inicial de velocidad g(¡), (c) se le da una forma inicial /(¡) y una distribución de
velocidad g(¡).
I Í,' (#)'*
(ó) Entonces demostrar que 7 = # |rn'(o,"o"Y * bn sen ry)".
8.8b. (a) Demostra¡ que la energía cinética de la cuerda vib¡ahte es E.C. = * lo (#)'Ot'
(ó) Por consiguiente demostrar que E.C. = # Prn'(o""o"ff - b' sen tf)''
(c) ¿Puede ser infinita la energía cinética? Explicar.
Demost¡a¡ que la energía total de una cuerda vit "" \r¡ante es E = T ^2,
n2@? + a2,¡.
8,82, Encontrar la energía potencial, la energía cinética y la energía total de la cuerda: (o) del problema 8'20,
(b) del Problema 8.28.
8,88. Si se tiene en cuenta que el amortiguamiento es proporcional a la velocidad trasversal instantánea' en
azY ^AY .dLYelproblemadelacuerdavibrante,derhostra¡quesuecuacióndemovimientoes F + F E = e ffi '
8.g1. Hace¡ el problema de la cúe¡da vibrante amortiguada teniendo en cuenta la gravitación.
8.92. Desarrollar: (o) el problema 8.84(o), (b) el problema 8.85(a), (c) el problema 8.86, (d) el problema 8'88
cuando la cue¡da se remplaza por N partículas, como en el problema 8.29.
En la figura 8-32 el sistema del doble péndulo puede vibrar libremente en un
plano vertical. Encontrar las frecuencias y modos normales suponiendo vibra-
ciones pequeñas.
8,94. Desarrolla¡ el problema 8.93 si se suspende una masa adicional ms de mz
por medio de una cuerda de longitud 13.
8.95. Generalizar el movimiento de: (o) el problema 8.1, (b) el problema 8.34 para
N partículas Y resortes iguales.
8.96. Investigar en el problema 8.95 el caso límite cu¿ndo N- -. Discutir el
significado fisico de los resultados. Fig. t-32
CAPI 8 | APLICACIONES A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES Y COLISIONES 223
8.97. Resolve¡ el problema de condiciones de contorno
Y(0, t) = 6,
y dar una interpretación fisica.
azY ^a2YiF = c'* + asenoú
Y(l,t) : g, Y(r,O) = f(nl, y, 1r,0¡ = g
8.98. Desa¡¡ollar el problema 8.g? si se remplaza la condición y,(¡,0) : 0 po¡ y,(¡,0) : g(x).
8.99. Desa¡rollar el problema 8.9? si se remplaza la ecuación diferencial parcial por
e interpretarlo fisicamente.
a2Y , ^dY ^d2Yatr*PE = c¿r¿* asenoÚ
8'loo' Establecer las ecuaciones diferenciales y las condiciones iniciales del movimiento de un cohete en uncampo gravitacional del inve¡so de la distancia al cuadrado. ¿Cree usted que estas ecuaciones se puedenresolve¡? Explicar.
8'lol. Dos cuerpos (tales como el Sol y Ia Tierra, o la Tierra y la Luna) de masas mr y m2 se muevenrelativamente entre sí bajo la at¡acción mutua del inverso al cuadrado de acuerdo con la ley unive¡salde la gravitación. Si rr v rz son sus vectores de posición relativos a un sistema coordenado fijo yr : rr - rr, demostra¡ que sus ecuaciones de movimiento son
.. Gmr(rr - rz) .. Gmr(rz _ rr)tt = - ---r, __ , tZ =Esto se conoce como el problema de d.os cuerpos.
8'lo2' En el problema 8'101 tomar el nuevo origen en el cent¡o de masa de los dos cuetpos, es decir, tal queÍl¡rr a Ít2r2 : O' Demostrar entonces que si hacemos que r sea el vector de posici'ón ¿" a, *nrespecto a m2, entonces.f.
- _G(mt*m)rt . _ G(m1*m2)rr_rl - - la-, tz = - ,s-.i _ _G(¡q*mz\r
fPor consiguiente, demostrar que el movimiento de rn¡ relativo a Ít2 aa exactamente el mismo,si el cuerpo de maea m2 estuviera fijo y su masa aumentara a m1l m2.
8'lo3' Utilizando el problema 8.102 obtener la órbita de rn1 relativa I nL2 y compararla con los resultadosdel capítulo 5. ¿Se modifican en alguna forma las dos primeras leyes de Kepler? Explicar.
t'104. Si P es el período de revolución de m, con respecto a mz ! o es el semieje mayor de la trayectoriaelíptica de m¡ alrededor de m2, demostrar que
o, al restar,
P2 4¡r2
A eon,-<rnr+A
Comparar este resultado con la tercera ley de Kepler: En el caeo de la Tierra (u otro planeta) y el Sol,¿tiene mucho efecto esta ley modificada de Kepler? Erplicar.
8'105. Establecer las ecuaciones que describan el movimiento de 3 cuerpos bajo una ley mutua de atraccióndel inverso al cuadrado.
8'106' Trasformar las ecuacionee obtenidas en el problema 8.10b para que las poeiciones de los cuerpos seandescritas con relación a su centro de masa. ¿Cree usted que estas ecuacionee puedan se¡ resueltasexactamente?
8.107. Desanollar los problemae 8.105 y g.106 para N cuerpos.
Copítulo IMovimiento de cuerpos rígidos en el plono
CUERPOS RIGIDOSUn sistema de partículas en el que la distancia entre dos partículas cualesquiera no cam-
bia a pesar de las fuerzas que actúen, se llama vn cuerpo rígido. Como un cueryo rígido es uncaso especial de un sistema de partículas, valen también para los cuerpos rígidos todos los
teoremas desarrollados en el capítulo 7.
TRASLACIONES Y ROTACIONESlJn desplazamiento de un cuerpo rígido es un cambio de una posición a otra. Si durante
un desplazamiento todos los puntos del cuerpo permanecen fijos sobre una línea, el desplaza-
miento es una rotación alrededor de la línea. Si durante un desplazamiento todos los puntos
del cuerpo rígido se mueven entre sí en líneas paralelas, el desplazamiento es una traslación.
TEOREMA DE EULER. EJE INSTANTANEO DE ROTACION
El siguiente teorema llamado teorema de Euler es fundamental en el movimiento de
cuerpos rígidos.
Teorema 9.7. La rotación de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo del cuerpo
es equivalente a una rotación alrededor de una línea que pase por el punto.
Esta línea se llama el eje instantóneo de rotación.
Las rotaciones pueden considerarse como finitas o infinitesimales. Las rotaciones finitasno pueden representarse por vectores debido a que no se cumple la ley conmutativa. Sin em-
bargo, las rotaciones infinitesimales pueden representarse por vectores.
MOVIMIENTO GENERAL DE UN CUERPO RIGIDO. TEOREMA DE CHASLE
En el movimiento general de un cuerpo rígido ningún punto del cuerpo puede ser fijo.En tal caso es fundamental el siguiente teorema llamado teorema de Chasle.
Teorema 9.2. El movimiento general de un cuerpo rígido puede considerarse como
una traslación más una rotación alrededor de un punto apropiado que frecuentemente es el
centro de masa.
MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO EN BL PLANO
El movimiento de un cuerpo rígido se simplifica considerablemente cuando todos los
puntos se mueven paralelos a un cierto plano fijo. En tal caso son posibles dos clases de mo-
vimiento, llamados mouimientos en el plano.
l. Rotación alrededor de un eje fijo. En este caso el cuerpo rígido rota alrededor de un
eje fijo perpendicular al plano fijo. El sistema tiene solamente un grado de libertad (véa-
se el capítulo 7) y, por consiguiente, sólo se necesita una coordenada para describir el mo-
vimiento.
224
cAP. el MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO 225
2. Movimiento general en el plano. En este caso, el movimiento puede considerarse co-mo una traslación paralela a cierto plano fijo más una rotación aliededor de un eje apro-piado perpendicular al plano. Frecuentemente el eje se hace pasar por el centro de masa.En tal movimiento el número de grados de libertad es 3: dos coordenadas que se empleanpara describir la traslación y una para describir la rotación.El eje es el eje instantóneo y el punto donde el eje instantáneo intersecta al plano fijo se
denomina el centro instantóneo de rotación.Consideraremos en este capítulo estas dos clases de movimiento en el plano. El movi-
miento de un cuerpo rígido en el espacio de tres dimensiones es más complicado y se consi-derará en el capítulo 10.
MOMENTO DE INERCIAUna cantidad geométrica de gran importancia al discutir el movimiento de cuerpos rí-
gidos es el momento de inercia.El momento de inercia de una partícula de masa m con respecto a una línea o eje AB
se define comoI=mf
donde r es la distancia de la masa a la línea.El momento de inercia de un sistema de partículas de
masas rn1, rrr2, .. ,frtrN se define con respecto a la líneao eje AB como
I- = rn{? + tnrrz" * .. . + enNrk e)
donde rr, r2,. .,rN son sus distancias respectivas a AB.El momento de inercia de una distribución continua
de masa, como la del cuerpo rígido sólido (. de la figura9-1 está dado por
(l)
N
2 m,r3v=l
I - f *o*atR
donde r es la distancia desde AB al elemento de masa dm.
RADIO DE GIRON
Sea / = P-_r^,r3 el momento de inercia de un sistema de partículas con respecto ail
AB y M = .2 *" la masa total del sistema. Entonces la cantidad K tal que
2 rwri
)m,se llama el radio de giro del sistema con respecto a AB.
Para una distribución continua de masa se remplaza (4) por
(3)
nz = # =
I? = M!- =
(4)
Fic.9-r
(5)
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO [cAP. e
TEOREMAS SOBRE MOMENTOS DE INERCIAl. Teorema 9.3: Teorema d.e los ejes paralelos. Sea I el momento de inercia
de un sistema con respecto al eje AB y sea .I¿. el momento de inercia del sistema con respec-to a un eje paralelo a AB y que pasa por el centro de masa del sistema. Entonces, si b es ladistancia entre los eies v M es la masa total del sistema. tenemos
I = I"+Mbz (6)
2. Teorema 9.4: Teorema de los ejes perpendieulares. Consideremos una dis-tribución de masa en el plano xy de un sistema coordenado ryz. Supongamos que .I,, f" e
f, representen los momentos de inercia con respecto a los ejes r, y y z, respectivamente.Entonces
I, = I'*Iu
MOMENTOS DE INERCIA ESPECIALESEn la siguiente tabla aparecen los momentos de inercia de varios cuerpos rígidos que se
presentan en la práctica. Se supone en todos los casos que el cuerpo tiene densidad uniforme(es decir, constante).
Cuerpo rígido Momento de inercia
l. Cilindro circular sólidode radio a y masa Mcon ¡especto al eje del cilindro
LMo'
2. CiLindro circuLar huecode ¡adio a y masa Mcon respecto al eje del cilindro.Espesor de la pared despreciable.
Mo2
3. Esfera sólidade ¡adio a y masa Mcon respecto a un diámetro.
*Mo'
4. Esfera huecade radio a y masa Mcon respecto a un diámet¡o.Espesor de la esfera despreciable.
Ma2
5. Placa rectangulardeladosdybymasaMalrededor de un ejeperpendicular a la placa y quepasa por el centro de masa.
$M(az * bz)
6. VarilLa delgadade longitud a y masa Mcon respecto a un ejeperpendicular a la varilla y quepasa por el centro de masa.
#Mo'
PARES
Dos fuerzas iguales y paralelas que actúan en direccio-nes opuestas pero que no tienen la misma línea de acción(figura 9-2) reciben el nombre de un por. Dicho par tieneun efecto de rotación y eL momento de fuerzo o el momen-to del par está dado por r X F.
EI siguiente teorema es importante.
(7)
cAP. el MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO
Teorema 9-5- Cualquier sistema de fuerzas que actúe sobre un cuerpo rígido puederemplazarse en forma equivalente por un par apropiado y una fuerza única que actúe en unpunto específico.
ENERGIA CINETICA Y MOMENTUM ANGULARCON RESPECTO A UN EJE FIJO
Supongamos que un cuerpo rígido está rotando alrede-dor de un eje fijo con velocidad angular o que tiene Ia di-rección del eje AB (figura 9-3). Entonces la energía cinéticade rotación está dada por
donde 1 es elpecto al eje.
En forma
T - ¡I.z (8)
momento de inercia del cuerpo rígido con res-
similar, el momentum angular está dado por
A=Io (9)
MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO CON RESPECTO A UN EJE FIJOLos dos teoremas siguientes proporcionan dos métodos importantes para tratar el movi-
miento de un cuerpo rígido con respecto a un eje fijo.
Teorema 9.6: Principío del momentunt angular. Si A es el momento de todaslas fuerzas externas con respecto al eje y O : .Io es el momentum angular, entonces
A = *U, = h = Iaen donde d es la aceleración angular.
Teorema g-7: Principio de la conseruación d.e la energía. Si las fuerzas queactúan sobre el cuerpo rígido son conservativas, de tal modo que el cuerpo rígido tiene unaenergía potencial V, entonces
T+V = +1.2+V = E =constante
TRABAJO Y POTENCIAConsideremos un cuerpo rígido fi. que puede rotar
en un plano alrededor de un eje O perpendicular al plano,como se indica en la figura g-4. Si A es la magnitud delmomento aplicado al cuerpo en el punto A, bajo la in_fluencia de la fuerza F, el trabajo realízad.o al rotar elcuerpo un ángulo dá es
dW = Ld| U2\y la potengio instantánea desarrollada es
?dW= -E = A<'¡
donde <¡ es la velocidad angular.
(10)
(1 1)
(13)
Fis.9-1
Tenemos el
Teorema 9-8- El trabajo total realizado al rotar un cuerpo rígido desde un ángulod1, donde la velocidad angular es <,r1 hasta un ángu\o 0r, donde Ia velocidad angulareS rrr2, es la diferencia de la energía cinética de rotación en t,lr y c.r2. En símbolos,
Fig.9-3
f'"tae = y,E-,lL? (14)
228 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO [cAP. e
IMPULSO. CONSERVACION DEL MOMENTUM ANGULARLa integral con respecto al tiempo del momento
?t"J = ),, L dt (I5)
se llama impulso angular desde el tiempo úr hasta el tiempo ü2.
Tenemos los siguientes teoremas.
Teorema 9.9. El impulso angular es igual al cambio delsímbolos rb
I Lat = oz - orJtt
Teorema 9. IO: Conseruación del ntomentum angular.za neto aplicado a un cuerpo rígido es cero, entonces el momentumdecir, se conserva.
EL PENDULO COMPUESTO
Supongamos que ( (figura 9-5) es un cuerpo rígido quepuede oscilar libremente bajo la influencia de la gravedad enun plano vertical alrededor de un eje horizontal fijo que pasapor O. Llarnamos a tal cuerpo rígido un péndulo compuesto.
Supongamos que C es el centro de masa y que el ánguloentre OC y la vertical OA es 0. Entonces, si 16 es el mo-mento de inercia de ( con respecto al eje horizontal que pasapor O, M es la masa del cuerpo rígido y o es la distancia OC,tenemos que la ecuación del movimiento es
momentum angular. En
d+ff""ne = 0
(16)
Si el momento de fuer-angular es constante, es
Fig.9-l
(r8)
(te)
(17)
Cuando las oscilaciones son pequeñas, el período de vibración es
p = 2,t/hNisa,
La longitud del péndulo simple equivalente es
I - IolMa
El siguiente teorema es interesante.
Teorema 9.11. El período de vibración de un péndulo compuesto es mínimo cuan-do la distancia O C : a es igual al radio de giro del cuerpo con respecto al eje horizontalque pasa por el centro de masa.
MOVIMIENTO GENERAL DE UN CUERPO RIGIDO EN EL PLANO
El movimiento general de un cuerpo rígido en el plano puede considerarse como unatraslación paralela al plano más una rotación alrededor de un eje apropiado perpendicularal plano. Los siguientes teoremas proporcionan dos métodos importantes para tratar el mo-
vimiento general de un cuerpo rígido en el plano.
Teorema 9.12: Principio d.el molrúentum líneal. Si r es el vector de posición delcentro de masa de un cuerpo rígido con respecto a un origen O, entonces
*,*r, = Mi: F (20)
cAP. el MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO 229
donde M es la masa total que se supone constante, y F es la fuerza neta externa que actúasobre el cuerpo.
Teore¡na 9.13: Princípio det momentum angular. Si Ic es el momento deinercia del cuerpo rígido con respecto al centro de masa, o¡ es la velocidad angular v A" elmomento total de las fuerzas externas con respecto al centro de masa, entonces
^c= frV",)=I"i (21)
Teorema g. 14: Principío de la conservacíón d,e la energía. Si las fuerzas ex-ternas son conservativas, tal que la energía potencial del cuerpo rígido es V, entonces
T+V - tm|r++Ico,2*V = E = constante (22)
observamos que *mi' - lmaz es la energía cinética de traslación y ilc.,2 es laenergía cinética de rotacióru del cuerpo rígido alrededor del centro de masa.
CENTRO INSTANTANEO.CENTRODES ESPACIAL Y DEL CUERPO
aSupongamos que un cuerpo rígido ( se mueveparalelamente a cierto plano fijo, digamos el planory de la ñgura g-6. Consideremos un plano x,y, pa_ralelo al plano ry y que se sujeta rígidamente alcuerpo.
Como el cuerpo se mueve, habrá en cualquierinstante ü un punto del plano móvil r'y, que estéinstantáneamente en reposo con respecto al planory. Dicho punto, que puede estar o no en el cuerpo.se llama centro instantóneo. La línea perpendicuiar oal plano y que pasa por el centro instantáneo se lla-ma eje instantáneo.
A medida que el cuerpo se mueve, se mueve también el centro instantáneo. El lugar geo-métrico o trayectoria del centro instantáneo relativo al plano fijo se llama lugar geométricoespacial o centrode espacial. El lugar geométrico relativo al plano móvil se llamá lugar geo-métrico del cuerpo o centrode del cuerpo. El movimiento del cuerpo rígido puede describirsecomo el giro o rodamiento del lugar geométrico del cuerpo sobre ellugar geométrico espacial.
El centro instantáneo puede considerarse como el punto alrededor del cual hay rotaciónpero no traslación. En una traslación pura de un cuerpo rígido, el centro instantáneo está enel infinito.
ESTATICA DE UN CUERPO RIGIDOLa estática o equilibrio de un cuerpo rígido es el caso especial cuando no hay movimien-
to. El siguiente teorema es fundamentai.
Teore¡na 9. 15. Una condiciónen equilibrio es que
Fig.9-6
necesaria y suficiente para que un cuerpo rígido esté
F=0, A=0 eB)
donde F es la fuerza externa neta que actúa sobre el cuerpo y A es el momento exrerno neto.
PRINCIPIO DE TRABAJO VIRTUAL Y PRINCIPIO DE D'ALEMBERTComo un cuerpo rígido es sólo un caso especial de un sistema de partículas, el principio
de trabajo virtual y el principio de D'Alembert también se aplican a los cuerpos rígidos.
2n MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO [cAP. e
PRINCIPIO DE ENERGIA POTENCIAL MINIMA. ESTABILIDAD
En una posición de equilibrio la fuerza neta externa es cero, tal que si las fuerzas son con-
servativas y la energía potencial es V,
F--V7=0 (24)
(%)o en componentes,
CUERPOS RIGIDOS
9.1. Un cuerpo rígido en forma de un trián-gulo ABC (figura 9-7) se mueve en unplano hasta la posición DEF, es decir, losvértices A, B y C se llevan a D, EY fl res-
pectivamente. Demostrar que el movi-miento puede considerarse como unatraslación más una rotación alrededorde un punto apropiado.
Escojamos un punto G en el triángulo ABCque corresponde al punto H del triángulo DEF. H*gamos la traslación en la dirección GH o sea que el
triánguloABC se desplaza hasta A'B'C'' Hagamos ro-
tar el triángulo A'B'C' un ángulo d tomando a Hcomo centro de rotación, como se indica, para que
A1B'C' coincida con DEF. En consecuencia, el movi-miento ha sido realizado por una traslación más
una ¡otación.
9.2.
#=0, #:o'{=oEn tal caso V puede ser o no un mínimo. Si es un mínimo se dice que el equilibrio es estable y
un pequeño cambio de la configuración restaurará el cuerpo a su posición original. Si no es
un mínimo se dice que el cuerpo está en equilibrio ínestoble y un pequeño cambio de la con-
figuración desplazará el cuerpo alejándolo de su posición inicial. Tenemos el
Teorema 9.16. Una condición necesaria y suficiente para que un cuerpo rígido esté
en equilibrio estable es que su energía potencial sea mínima.
Proble mas resueltos
AFig.9-/
Dar un ejemplo para demostrar que las rotaciones finitas no pueden representarsepor vectores.
Hagamos que A, represent€ una rotación de un cuerpo (tal como el paralelepípedo rectangular de
la figura $8(o)) alrededor del eje r en tanto que A, represente una rotación al¡ededor del eje y. Supone-
mos qúe tales rotaciones se ¡ealizan en sentido positivo o sea contrario al del movimiento de las agujas del
reloj de acuerdo con la regla de la mano derecha.
l¡t/
(ó)
cAP. el MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO
Fig.9-9
En la figura 9-8(a) empezamos con el paralelepípedo en la posición indicada y efectuamos la ¡otaciónA' alrededor de ¡, como se indica en la figura 9-8(b) y luego la rotación al¡ededor de y, como se indicaen la figura 9-8(c). Entonces la figura 9_g(c) es el resultado de la rotación A, + Ay de la figura 9-g(o).
En la figura g-9(a) comenzamos con el paralelepípedo en la misma posición de la figura 9-g(o), peroesta vez hacemos primr¡ró la rotación Ar alrededor del eje y, como se indica en la figura s-stal v luego larotación A' alrededo¡ del eje l, como se indica en la figura g-9(c). Luego la figura 9-9(c) es el resultadode la rotación Ay + A, de la figura 9-9(a).
Como la posición del paralelepípedo de la figura g-8(c) no es la misma de la figura 9-9(c), concluimosque la operación A' * At no es la misma que la operación A, * .A,. En consecuencia, no se satisfa-ce la ley conmutativa y, por tanto, no es posibre representar por vectores a A, y A".
MOMENTOS DE INERCIA9'3' Dos partículas de masas m t y m2 s€ conectan por una varilla de masa despreciable
de longitud o que se rr\ueve libremente en un plano. Demostrar que el momento deinercia del sistema con respecto a un eje perpendicular al plano y que pasa por el cen-tro de masa es pa2 donde la masareducida es ¡r: mrm2/(mrIm).
Sea r¡ la distancia de la masa m r al cen_tro de masa C. Entonces la distancia de la masam2 al centro C es e - rt. Como C es el cen_tro de masa.
rnyrl = m2(a-r) de donde tr =,n2ú
n\ + ,na
Luego el momento de inercia con respecto a un eje que pasa por C es
mtú+mz(a-rttz - *,(ffi)'* ^,(ffi)' = ffi"2 = po2
9'4' Encontrar el momento de inercia de un cilindro circular sólido de radio a, altura h ymasa M con respecto al eje del cilindro.Método l.
Por integración eimple. SuMividir el cilindro, cuyasección trasversal apa¡ece en la figura g-11, en anillos concén-tricos, uno de los cualeg es el elemento sombreado que se mues-tra. El volumen de dicho elemento es
(área)(espesor) - (2tr dr)(D) = 2¡"rh ilrel elemento de masa es dm : 2rarh dr.
El momento de inercia de dm es
12 d,m = 2¡otsh d,r
la densidad y, por tanto, el momento total de
237
m2
Y'- " Fig.9-10
Tlltúv ll-ft = m1 * rn2
donde o esine¡cia es
= tr2ttfhitr = l¡nohoa (r) Fig.9-U
232 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO tcAP. e
Entonces, como la masa es AoM=lznorhdr=
J ¡=oencont¡amos ¡ : \Ma2.
Método 2.Por integración doble. De la figura 9-12 vemos que
empleando coordenadas polares (¿ e) el momento de ine¡-cia del elemento de masa dm situado a una distancia r deleJe es
12 d.m = rzohr dr ¿le = ohrs dr ¡Ie
como hr dr d0 es el elemento de volumen y d es la masapor unidad de volumen (densidad). Entonces el momento de
inercia es
V2t ¡oI - | | otus ilr do = $rohoa (1)v 0=0 v ¡=0
La masa del cilindro esFig.9-12
M = f'" f " olv d.r ilo = otúh @l
v0=ovf=0
que también puede encontrarse directamente al observar que el volumen del cilindro es razh. Divi-diendo Ia ecuación (l) por (2), encontramos I/M : la2 o I: !Ma2.
9.ó. Encontrar el radio de giro K del cilindro del problema 9.4.
como K2 : I/M : *a2, K : o/t¡i : la]r,.
9.6. Encontrar: (¿) el momento de inercia, y (b) el radio de giro de una placa reótangularde lados o y b con respecto a un lado.
Método l.Por integración simple.(o) El elemento de masa sombreado en la figura 9-13 es ob dt y 8u momento de inercia con respecto
al ejey es (obdr)rz : abx2 dx. Luego el momento total de inercia es
aao
! = | obazils = foborJz=o
Como la masa total de la placa es M : oóo, tenemos I/M : ta2 o I : lMa2'
(ó) K2 : I/M: !a2 o K: a/VT: Ia{t.
Fig.9-18
Método 2.
Por integración doble.
Flg.9-ll
Supongamos que el espesor de Ia placa es la unidad. Si dm : odydx es un elemento de masa(figura 9-14), el momento de inercia de dm con rcspecto al lado que escogemos como el ejey es x2 dm :ox2 dy dx. Entonces el momento total de inercia es
tña ?b!-llorzdUtu=|oüo8
v x=0 v !=0
La masa total de la placa es M : abo. Luego, como en el método l, encontramo" ¡ : lMa2 IK: io\6
dn¿ = ohr dr dc
dm = od,A dr
cAP. el
9.7. Encontrar el momento de inercia derespecto a su eje.
Método l.
233
un cono circular recto de altura h y radio a con
Fig.9-15
Fig.9-16
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO
Por integración simple. El momento de inerciadel disco circular cilíndrico, del cual se representa lacuarta parte PQ^B en la figura 9-lb es, por el problema9.4,
[(rr2o d,z)(rz) = $rora d.z
ya que dicho disco es de volumen ¡r2 dz y radio r.
De la figura g-rc, L-" -' /h-\h _a o r="\__T_).
Entonces el momento total de ine¡cia con respecto aleje r es
ah ( rh-r\ln,I - t"n J"=o 7"\T )l * : fizraaoh ü
También,
¡'h ( /n-r\l'-M = "" | 10 (T )l d, = fzrazhar'¿=o L \ '¿ /)Luego f = frMaz.
Mérodo 2.Por integración triple. Subdividimos el cono,
del cual se muest¡a una cuarta parte en la figura 9-leen elementos de masa drn, como se indica en la figura.
El elemento de masa dm del cilind¡o en coordena-das cilíndricas (r, 0, zl es dm : ordrd,|d,z dondeo es la densidad.
, ". tt momento de inercia de d¡n con respecto al eje
12 d,m - af ilr d.c itz
Comoenelmétodo 1,b" r /'-\
Entonces "r -o-"',to r,l;:.:,":::#- )",)",
"""¡2¡ 4c ¡h(a-r)/aI = J r=o J,=o J,=o of itr d'c dz = firaaoh
La masa total del cono es
M = .f^* -f" - f<a-ntt ordrdcd.z = ltazhoJg=9,,r7=¡ Jr=¡que puede obtenerse directamente observando que el volumen del cono es !ra2h.
Luego / - $Maz.
9.8. Encontrar el radio de giro K del cono del problema 9.2.
Kz= IlM - #o, y I( =o1@=+oú0.
TEOREMAS SOBRE MOMENTOS DE INERCIA9.9. Demostrar el teo¡ema de los ejes paraleios (teorema g.B).
Sean OQ cualquier ejey ACP un eje paralelo que pasa por el centroide C y a una distancia ó de Oe.En la figura g-17 se hizo que OQ fue¡a el eje z y entoncer ¡p
". perpendicular al plano ry en el punto p.
dz
d.m= o¡iI¡doik
234 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN
Si b ¡ es un vector u-nitario en la direcciónOP, entonces el vector ó?está dado por
rnr(rr. b1\2 =
m,,(r',.b)z * 2
1N+ 2b( 2 ^,r1,\v=l
EL PLANO [cAP. I
b=bbr (I)
en donde b es constante y es la distancia entre loseJes.
Sean r, y rf los vectores de posición de lamasa 7ny con relación a O y C, respectivamente.Si t es el vecto¡ de posición de C con respecto a Otenemos
rv = {v+i Q)
El momento total de inercia de todas lasmasas rny con respecto al eje OQ es ü
N Fig.9-l7| = ) mr(r,. $t¡z (3)
v=l
El momento total de inercia de todas las masas ?t¿v con respecto al eje ACP es
N
Ic = ) m,(ri.b¡)2y=l
Empleando (2) encontramosN
I_v=l
N
= y=l
=Ic
9.fO. Utilizar el teorema de los ejes paralelos para encontrarel momento de inercia de un cilind¡o circular sólido conrespecto a una línea sobre la superficie del cilindro y que
es paralela al eje del cilindro.
Supongamos que en la figura 9-18 representamos la sección
t¡asversal del cilindro. Entonces el cilind¡o se representa por C y lalínea sobre Ia superficie del cilindro se representa por A.
Si a es el radio del cilindro, entonces según el problema 9.4 y el
teorema de los ejes paralelos, tenemos
It = Ic*Moz = lMazi¡4sz - |Maz
9.11. Demostrar el teorema de los ejes peryendicu-lares (teorema 9.4).
Sea el vector de posición, en el plano ry, de la par-tícula de masa .¡nv
ru = trí*Yri(figura 9-19). El momento de ine¡cia de mr co¡ respectoal eje z es rnrlrrlz.
Entonces, el momento total de inercia de todas lasparticulas con respecto al eje z es
(4)
N
2 m,(ri. br + i. br)2v=l
N
2 m,(r'r. b1xi. bl) +v=l
\N).t, + b22m, =
/-v=l
N
> "b(r. br)2
v=l
Ic + Mb2
Fig.9-rt
NNcomof.br=b, 2^"=M y >mrtl= 0 (Problema?.16)-
- v=l v=l
El ¡esultado se ertiende fácilmente a sistemas continuos de masa utilizando integrales en lugar de
sumatorias.
Fig.9-19
cAP. el MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO n5
Fig.9-20
actúa sobre un cuerpoun punto específico y
f-rz mo lr,12
mrtj +
m,1r|+ fi)N
v=l
N
v=l
N
= y=l
N
2 *,ú,v=l = Ir+ Iy
donde 1' e 1" son los momentos totales de ine¡cia con relación a los ejes ¡ y y, respectivamente.El ¡esultado se extiende muy fácilmente a sistemas continuos.
9.12. Encontrar el momento de ine¡cia de una placa rectangular de lados ¿ y b con respectoa un eje perpendicular a la placa y que pase por un vértice.
Tomamos la placa rectangular (figura g-20) en elplano ry con lados sobre los ejes r y y. Escoger el eje zperpendicular a la placa en un vértice.
Del problema 9.6, tomamos los momentos deinercia con respecto a los ejes r y y
Ix - +Mb2, Iu = $MazEntonces aplicando el teorema de los ejes paralelos elmomento de inercia con respecto al eje z es
I, = I,* Iu - $M(bz lozl u
= fM(az * bzl
PARES
9.13. Demostrar que una fuerza que actúa en un punto de un cuerpo rígido puede rempla-zarse en forma equivalente por una fuerza única que actúa en unpun¿o específicoyun par apropiado.
Sea la fuerza F¡ que actúa en el punto p¡ co_mo se indica en la figura 9-21. Si e es cualquier punroespecífico, vemos que el efecto de F¡ si estuvie¡a solaes el mismo si aplicamos en e dos fue¡zas fr y -fr,
En particular, si escogemos f, : -F¡, es decir,si f¡ tiene la misma magnitud de F¡ pero direcciónopuesta, vemos que el efecto de F1 si estuviera solaes el mismo que el efecto del par fornado por F¡ yfr : -F¡ (que tiene un momento r¡ X F¡) más lafuerza-fr:Pr.
9.14. Demost¡ar el teo¡ema 9.5: cualquier sistema de fuerzas querígido puede remplazarse por una fuerza única que actúa enpor un par apropiado.
Según el problema 9.13 podemos remplazar lafuerza F, en P, por la fuerza F, en Q más un parde mo-mento r, X Fu. Luego los sistemas de fuerzas F,,F¿, . . , F, en los puntos pr, pz, , pn puedencombina¡se en fuerzas F,, Fr, , F¡ en e cuya re_sultante es
F = Fr+F2+.'. *F¡vy con pa¡es de momentos
r¡XF1, 12XFr, ..., r¡yXF¡que pueden sumarce para producir un par único. Enconsecuencia, el sistema de fue¡zas puede remplazar_se en fo¡ma equivalente por la fuerza única que actúaen Q más el par.
.P¿.Pt
Fis.9-21
Fig.9-22
236 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO lcAP. e
ENERGIA CINETICA Y MOMENTUM ANGULAR
9.15. Si un cuerpo rígido rota alrededor de un eje fijocon velocidad angular ro, demostrar que la ener-gía cinética de rotación es 7 : llo2, donde Ies el momento de inercia con respecto al eje.
Sea AB en la figura 9-23, el eje. Una partícula P de masam, rotará alrededor del eje con velocidad angular o. Por tan-bo describirá un cí¡culo PQRSP con velocidad lineal a, = o¡r,donde r, es la distancia de la partícula al eje AB. Entonces su
energía cinética de ¡otación alrededor del eje AB es $rnrtl =$mr,,t2r! y la energía cinética total de todas las partlculas es
N /N -\T = 2,$^,"rr7 = +(> ^,ri)",v=l - - \v=1 ,l
= trl""N
en donde I = 2 ^rrl es el momento de inercia con ¡espec-v:l
to a AB.
El resultado también hubie¡a podido demostrarse por in- Fig.9-23tegración de la sumatoria.
9.f6. Demostrar que el momentum angular del cuerpo rígido del problema 9.15 está dadopor O = .ft0.
El momentum angular de la particula P con respecto al eje AB es mrrzrn. Entonces el momentum
angular total de todas las partículas con ¡especto al eje AB es
N
O = )m,fi. =v=l
N
donde f = 2 ^r r? es el momento de inercia alrededor de AB'
Este resultado podría haberse demostrado por integración en lugar de la sumatoria.
MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO CON RESPECTOA UN EJE FIJO9.17. Demostrar el principio de momentum angular para un cuerpo rígido que
respecto a un eje fijo (teorema 9.6).
rota con
L = dAldtangular to-
Por el problema 7.12, como un cuerpo rígido es el caso especial de un sistema de partículas,
donde A es el momento de todas las fuerzas externas con respecto al eje y O es el momentumtal con respecto al eje.
Como O: Iútporelp¡oblema9.l6, ¡ = fiO.l = I# = ür.
9.18. Demostrar el principio de la conservación de la energía para un cuerpo rígido que rotacon respecto a un eje fijo (teorema 9.7), siempre y cuando que las fuerzas que actúansean conservativas.
El principio de la conservación de la energía se aplica a cualquier sistema de partículas en que lasfue¡zas que actúen sean conservativas. De aquí que en particular se aplica al caso especial de un cuerpo rígi-do que rota con respecto a un eje fijo. Si T y V son las energías cinética y potencial totales, tenemos entonces
T*V = constante: E
Empleando el resultado del problema 9.15, podemos escribir |It' i V : E.
(5-,d). = ro\v=l /
Fig.9-23
cAP. el MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO
TRABAJO, POTENCIA E IMPULSO9'r9' Demostrar la ecuación (f2) del trabajo realizado al rotar un cuerpo rígido con respec-to a un eje fijo.
consideremos la figura 9-4. sea la velocidad angular de un cuerpo o : ok donde k es un vectorunita¡io en la di¡ección del eje de rotación. El trabajo reilizado po. F ".dW = F.dr = n.fiat = F.vitt = F.(oxr)dú
= (rXF).odú = A.odt = Lod,t = Ld¿en los dos últimos pasos empleamos A=Ak, o=rk y o: d\/dt.
9'2o. Demostrar la ecuación (rJ) de ra potencia desarrolada.Del problema 9.19 y del hecho que d0 /dt : o,
?=dwldt=Ade/dt=Lo
9.21. Demostrar el teorema g.g.
,",rurrl".tt-ot L=Ido/dt asÍque A= I&¡/dt, Entoncesdelproblemag.lgydelhechoque d0: odt,
Trabajo realizado = -ft' no, = f'" ,ff,., = f"" rro, = tlr? _ +16lue, Jr, clt - J^, 2--z
9'22' Demostrar el teorema g.9: El impulso angular es igual al cambio del momentumangular.
?tz (, dO -I Lat = | =dt = oz_orut, Jt, dt
9'23' Demostrar el teorema 9.10 de la conservación del momentum angular si el momen-to de fuerza neto es cero.
Del problema 9.22, si A = 0 entonces O2 _ O1.
EL PENDULO COMPUESTO9.24. Obtener la ecuación de movimiento
péndulo compuesto.
Método l.
(17), de un
Supongamos que el plano vertical de vib¡ación es eIplano ry (figura 9-24) en donde el eje z que pasa por el ori_gen O es el eje horizontal de suspensión.
Sea a el vecto¡ de posición de C con relación a 0. Co.mo el cuerpo es rígido, I a | : o es constante y es la distan.ciaent¡e Oy C.
La única fuerza erte¡na que actúa sobre el cuerpo es supeso Mg : - MSi que actúa verticalmente hacia abajo.Por tanto, tenemos
A = momentototalexternoconrespectoaz
= aX Mg - -arfgj = aMg sene k (f)donde k es un vecto¡ unitario en la dirección z positiva (hacia afuera
También la velocidad angular instantánea es
o = -ak = ¿le'-EK = -'¡r
luego si Iq es el momento de inercia con respecto al eje z
237
Fig.9-24
del plano del papel, hacia el lector).
\2)
238 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO lcAP. e
O = momentum angular con respecto al eje z = Io¡ = -foák
Sustituyendo de (I) y (2) en A = dA/d't,
.1oMssenek = h_Iobil o í+ff""nc = o (3)
Mótodo 2.La fuerza MS : - MCj es conservativa, entonces la energía potencial V es tal que
-vv = -{t-#t-#* = -Mci . #=0,#=Mg, #=oendonde V = Mga I c = -Mgacosc * c V)
ya que y : -o cos0. Esto se pudo haber observado directamente debido a que y : -¿ cos0 es la alturade C por debajo del eje r que se toma como nivel de referencia.
Según el problema 9.15, la energía cinética de rotación es {1so2 = +Io;)2, Entonces el principio
de la conservación de la energía conduce a
T+V = lloiz-Mgacoae = constante = E (5)
Diferenciando la ecuación (5) con respecto a ú,
Ioi-'r. + Msa*ne á = o
o,como inoesigualacero, fsT+ futgo sen, = 0 como se requiere'
9.26. Demostrar que para pequeñas vibraciones el péndulo del problem a 9.24 tiene período
P :2"\/Wm.Cuando las vibraciones son pequeñas podemos hacer la aproximación sen C : 0, entonces la ecuación
del movimiento se convierte en
'i+M!o, = o (1)I6
Por tanto, como en el problema 4.23, encontramos que el período es P : 2,t/7Wá'
9.28. Demostrar que la longitud I de un péndulo simple equivalente al péndulo compuestodel problema 9.24 es I : Io /Ma.
La ecuación del movimiento correspondiente a un péndulo simple de longitud I suspendido vertical-
mente de O es (véase el problema 4.23, ecuación (2))
ü+f.""e = 0 (l)
Comparando esta ecuación con (/) del problema 9.25 vemos que I : Io/Ma.
MOVIMIENTO GENERAL DE UN CUERPO RIGIDO EN EL PLANOg.27. Demostrar el principio del momentum lineal, teorema 9.12, en el movimiento
general de un cuerpo rígido en el plano.
Se demuegt¡a inmediatamente del teorema conespondiente de sistemas de partículas (teorema ?.1)
debido a que los arerpos rígidos son casos especiales.
9.28. Demostrar el principio del momentum angular, teorema 9.13, en el movimiento ge-
neral de un cuerpo rígido en el plano.
Se demuestra inmediatamente del teorema correspondiente de sistemas de partículas (teorema 7.4), ya
que los cuerpos ígidos son casos especiales.
cAP. ei MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO 239
9.29. Un cilindro sólido de radio a y ma-sa M rueda sin deslizarse por unplano inclinado de ángulo a. De-mostrar que la aceleración es cons-tante e igual a tg sen c.
Supongamos que inicialmente el cilin-dro está en contacto con el punto O del pla-no y que después de un tiempo t el cilind¡oha rotado un ángulo c (figura 9-%).
Las fuerzas que actúan sobre el cilin-d¡o en el instante t son: (i) el peso Mg queactúa verticalmente hacia abajo en el cen-tro de masa C; (ii) la reacción R del planoinclinado que actúa perpendicularmente alplano; (lli) la fuerza de rozamiento f que üactúa hacia ar¡iba en Ia dirección del plano.
Escojamos el plano ry como el plano en el que se efectúa elsitivo hacia abajo del plano y el origen en O.
Si r es la posición del centro de masa en el instante ú, entonces por el principio de la conservación delmomentum lineal,
Mí = Mg*R tfPero g : g senai - gcosaj, R : ftj, f : - fi.Portanto(I)puedeescribirse
M2; = (Mg sena - /)i + (R - Mg cosa)i
EI momento externo total con respecto al eje horizontal que pasa por el centro de masa es
A = |xMg +0xR+CBxf = CBxf F (-oj)x(-/i) = -aÍk (J)
El momentum angular total con respecto al eje horizontal que pasa por el centro de masa es
a = Ico = /c(-;k) = -Ici)k (4)
donde fs es el momento de inercia del cilindro con respecto a este eje.
Sustituyendo (3) v (a) en A = clo/d.t, encontramos -alk - -IcTk o Isl; = of .
Usando r : ¡i * yj en (2), obtenemos
Mt = Mgsena-f, MÜ = R-Mgcosa (5)
Ahora, si no hay deslizamier¡to, x : aC o 0 : x/a. Del mismo modo, como el cilind¡o pe¡mane-ce sobre el plano inclinado, Í : 0; pot tanto, de (5), n : Mgcos a.
Empleando 0: x/a en I-"?i: o¡f, tenemos f : Ic'i/a2. Delproblemag.4, Ic: iMa2. Entoncessustituyendo f : ItM'; en la primera ecuación de (5), obtenemos i : lg sen o como se requería.
9.3O. Demostrar que en el problema 9.29 el coeficiente de rozamiento debe ser por lo menosI tan a.
El coeficiente de rozamiento es p: l/R.Delproblema9.29tenemos f : iMí: trMgsena y R: Mgcosc. Luegopa¡aquenohayadesliza-
miento p debe ser por lo menos f /R : I tan a.
9.31. ( o ) Hacer el problema 9.29 si el coeficiente de rozamiento entre el cilindro y el planoinclinado es p. (ó) Discutir el movimiento para diferentes valores de p.
(¿) En la ecuación (5) del problema 9.29 sustituimos /: pR - pj/'/gcosd y obtenemos
.? - g(sena-pcosa)Observamos que en este caso el centro de masa se mueve de la misma forma que una particula
que desciende por el plano inclinado. Sin embargo, el cilindro puede tanto desliza¡se como rodar.
Fig.9-25
movimiento, en donde el eje r se toma po-
(r)
e)
240 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN
a2pllIg cosa
tMo'tr-ae =
EL PLANO
= 2Fg cosa.
g(senc - 3p cosc).
lcAP. e
La aceleración al ¡odar "" o'i = I =tC
La aceleración debida al deslizamiento es
9.32.
(ó) Si (seno- Spcosa) > 0, esdecir, p < jtana, entonceshaydeslizamiento. Si (senc - 3pcosc)S 0, es decir, p 2 |tana, entonces hay rodamiento pero no deslizamiento. Estos resultados sonconsistentes con los del problema 9.30.
Demostrar el principio de la conservación de la energía (teorema 9.14).
Se dernuest¡a del teorema correspondiente de un sistema de partículas (teorema 7.7). La energía ci-nética total ? es la suma de la energía cinética de traslación del cent¡o de masa más la energía cinética derotación alrededor del centro de masa. esto es,
Si Veses constante,
T - lmiz*llso2la energía potencial, entonces el principio de la conse¡vación de la energía establece que si E
T*V = $mlz+ll¿o2-tV = E
9.33. Hacer el problema 9.29 aplicando el principio de la conservación de la energía.
La energía potencial está compuesta de la energía potencial debida a las fuerzas externas (en este casola gravedad) y la energía potencial debida a las fue¡zas inte¡nas (que es una constante y puede omitirse).Tomando como nivel de referencia la base del plano y suponiendo que inicialmente la altura del centro de
masa es H y que en cualquier instante t es h, tenemos
+Mi2+llsoztMgh = MgH
o remplazando H- h: ¡seno y iz=iz+ú'=;t' como!-0,
+Miz+*Icrz - Mgrsena
Sustituyendo ,¡ = ó = i/a y I" : lMa2, encontramos i, - tg, sena. Diferenciando con respectoa ü obtenemos
2iü={o&un" o 't =fiosena
CENTRO INSTANTANEO. CENTRODES ESPACIAL Y DEL CUERPO
9.34. Encontrar el vector de posición del centro instantáneo de un cuerpo rígido en mo-uvimiento paralelo a un plano fijo dado.
Escogemos el plano XY de la figura g-26 como elplano fijo y el plano ry fijo al cuerpo rígido (. y quese mueve con é1. Supongamos que el punto P del pla-no ry (que puede estar o no en el cuerpo rígido) tengavectores de posición R y r con respecto a los planosXY y xy. Si v y v¡ son las velocidades respectivasde P y A relativas al sistema XY
v=vA * ¡Xr = v¡ * ox(B-B¡) (1)
donde R¡ es el vector de posición de A ¡elativo a O.Si P es el centro instantáneo, entonces v : O luego
ox(B-B¡) = -v¡ e)
Multiplicando ambos lados de (2) por . X como se
indica y usando (7),
o{o' (R - R¿)} - (R - B¡X"' t) = -. X ve
Entonces como ó es perpendicular a R - R^, se trasforma en
(R-R¡)o2 = oXvA o R = Re*a+
Fig.9-26
(3)
cAP. el
9.35.
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO 241
Un cilindro se mueve sobre un plano horizontal. Hallar: (o) el centrode espacial, (ó)el centrode del cuerpo. Discutir el caso en que haya deslizamiento.(o) El movimiento general conesponde al caso en el
cual el cuerpo rueda y se desliza. Supongamosque el cilindrc se mueve hacia la derecha convelocidad v¡ (la velocidad de su cent¡o demasa) y está ¡otando alrededo¡ de A con veloci_dad angular o.
Ya que ó : -ok y v¡ : u¡i, tenemoso X vi : -outi así que (3) del problema9.34 se convierte en
(,na )i 1) tR=R¡-j-:.o..=Ro-fjEn forma de componentes,
Xi + Yj = Xti * ai - @t/u)i o
Así el centro instantáneo está localizado verticalmente arriba del punto de contacto del cilindro con elplano y a una altu¡a a - ut/o sob¡e é1.
Entoncés el centrode espacial es una línea paralela al plano ho¡izontal y a una distancia ¿ -u^/o sob¡e éste. Si no hay deslizamiento, entonces uA : a6 y el centrode espacial es el eje Xmientras que el centro instantá¡reo es el punto de contacto del cilindro con el eje X.
(ó) El centrode del cuerpo está dado por lrl : uo/t, o un círculo de ¡adio uo/o. En caso de que no hayadeslizamiento, Do : ao y el centrode del cuerpo es la ci¡cunfe¡encia del cilindro.
9.36. Hacer el problema 9.29 usando el centro instantáneo.Según el problema g.35, si no hay deslizamiento
entonces el punto P de contacto del cilind¡o con elplano es el centro instantáneo. El movimiento de pes paralelo al movimiento del centro de masa asíque podemos usar el resultado del problema ?.g6(c).
El momento de inercia del cilindro con respectoa P, según el teo¡ema de los ejes paralelos, es trMa2 IMa2 - NMa2. El momento con respecto al eje ho-rizontal que pasa por p es Mga sen a. Así
d
" r'*:':;,:::*"'d = 3.:
sen,
Ya que x : a0, la aceleración es ü= |0sene,
ESTATICA DE UN CUERPO RIGIDO9.37. Una escalera de longitud I y peso lZ¡ tiene un ex-
tremo contra una pared vertical sin rozamientoy el otro extremo sobre el piso, que suponemos eshorizontal. La escalera forma un ángulo d conel piso. Demostrar que una persona de peso IV_podrá escalar sin que la escalera se deslice si elmínimo coeficiente de rozamiento ¡¡ entre la
escalera y el piso "" ffiffi "ot,.
Representemos la escalera por AB en la figura 9_2g y se-leccionemos un sistema de coo¡denadas ¡y como se indica.
Fig.9-27
X = X* Y = a-a¡/o
Fig.9-2E
Fis.9.29
242 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO lcAP. e
La situación crítica para que la escalera se deslice corresponde a cuando la persona está en el extremo
superior de ella. Por tanto, debemos tene¡ en cuenta en este caso que la escalera debe estar en equilibrio.
Las fuerzas que actúan sobre la escalera son: (i) la reacción Rr : Rri de la pared; (ii) el peso
W. : W.j de Ia persona; (iii) el peso Tf, = -Wí de la escalera concent¡ado en el centro de grave-
dad C; (iu) la reacción R, : Rzj del piso; (u) Ia fuerza de rozamiento f : 'fi'En el equilibrio se requiere que
F=0, A=0 (l)
donde F es la fueua extema total sobre la escalera y A el momento extemo total con respecto a un
eje conveniente el cual se tomará como el eje borizonta! que pasa por A y perpendicular al plano ry'
F = Br+W-+Wr*&*f = (Rr-fli+(-W^-W*BLli - 0
Rt-f =O y -W^-WtIRz=0 Q)
^ = (0)xnr + (0)xWn + (AC)xWr + (AB)x& + (AB)xt
= (0) x (Rri) + (0)x (-W^i) * (|l cos ai - $l senc j)x (-Wd)
* (l cosa i - | sena i) x (Rgi) * (t coe qi - lsen a j) x (-/i)
= -tlWrcosck * lE2cosak- lfsenak = 0
si -$W¡cosa*R2costt-/sena = 0
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (2) v (3)' encontramos
f = Rt = (W^*$W¡)cota t Rz = lil^*Wt
la polea. Discutir el movimiento.
Escojamos los vectores unitarios i y j en el plano de rota-ción como se muestra en la figura 9-30.
Si representamos la aceleración de la masa m¡ por
Aj, entonces la aceleración de la masa mz es -Ai,Escojamos las tensiones Tr Y T: en Ia cuerda como
se indica en la figura. De acuerdo con la segunda ley de Newton,
mtAi - T1 * m1g = -Tti*múi (r)
-m,Ai = Tz * rn2g = -Tr1 * m2Pi QI
st
También,
(3)
Entonces el coeficiente mínimo de rozamiento necesario para evitar que se deslice la escalera es
f w^* twttt = 4 = fillficota
PROBLEMAS VARIOSg.88. Dos masas mt y mz se unen mediante una cuerda inextensible de masa despre-
ciable la cual pasa sobre una polea sin rozamiento de masa M' radio a y radio de
giro K la cual puede rotar con respecto a un eje que pasa por c y es perpendicular a
Así m1A = t1\! - Ty
o Tt = mlg-Al,m2A = Tz-nzg (3)
T, = m"(g * A\ V)
El momento externo total con respecto al eje que pasa
por C es A = (-oi) x (-rri) + (oi) x (-fd) = a(T1- T2lk
El momentum angular total con respecto a O es
O=fco=lcr¡k=Icilk
Ya que l, = d0/dt, determinamos de (5) y (6)'
a(Tt- Tzl = Ici = MIP'|
(5)
(6)
Fis.9-30
(7)
CAP. 9I MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO
Si no hay deslizamiento sobre la polea, también tenemos
Entonces las masas se mueven con acele¡ación constante cuya magnitud está dada por (10). Nótese quesi M : 0 el resultado (I0) se reduce al problema 8.22.
9.39. Determinar el momento de inercia de una esfera sólida con respecto a un diámetro.Sea O el cent¡o de la esfera y AOB el diámetro con
¡especto al cual se toma el momento de inercia (figura9-31). Dividimos la esfe¡a en discos tales como enS?eperpendiculares a AOB y con centro sobre AOB en P.
Tomamos el ¡adio de la esfe¡a igual a a, Op: z,SP : r y el espesor del disco igual a dz. Entonces, segúnel problema 9.4 el momento de inercia del disco con res-pecto a AOB es
l2(rr2o d,z)rz - $to/ dz (I)
Del triángulo OSP, r2 : a2 - 22. Sustituyendo en (I),el momento de ine¡cia total es
faI - | ln"(a2 - z2)2 dz = ftroas (2)Jt=
-o -
La masa de la esfe¡a es
/4M = ) ro(o2 - z2) dz = f,raso (J)
resultado que habríamos podido "b,.""r, ,;;"ndo en cuenta que el volumen de la esfera es fza8.
De (2) y (3) tenemos I/M : taz o I : lMaz.
9,4O. Un cubo de lado s y masa M se suspende verticalmente de uno de sus lados. (o) De-mostrar que el período para pequeñas oscilaciones es P : 2r{2V;nE. (b) ¿Cuáles la longitud del péndulo simple equivalente?( o) Ya que la diagonal de un cuad¡ado de lado s tiene una longitud \/T# :
sVZ, la distancia OC desde el eje O hasta el centro de masa es |sVZ.El momento de inercia f de un cubo con respecto a uno de sus lados
es igual al de una placa cuadrada con respecto a un lado. Entonces segúnel problema 9.6, 1: áM(s, * s2) : ?Ms2.
De acr¡erdo con el problema 9.25, el período para pequeñas oscila-clones es,
P = 2¡ r,[eM'Wc$'$n = ztw\/ilsc(ó) Por el problema 9.26, la longitud del péndulo simple equivalente es
| = lMsz/[MQ¿"{l¡] = fri/2 e Fig.9-32
9.4I. Demostrar el teorema 9.11: El período de pequeñas oscilaciones de un péndulo com-puesto es mínimo cuando la distancia OC : o es igual al radio de giro del cuerpocon respecto a un eje horizontal que pasa por su centro de masa.
Si Is es el momento de ine¡cia con respecto al eje del centro de masa e ^fe el momento de inerciacon respecto al eje de suspensión, entonces de acuerdo con el teorema de los ejes paralelos tenemos
Usando (8) en (7),
Usando (a) en (9),
243
(8)
(e)
(10)
Fig.9-31
244 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO
Io = IcIMozEntonces el cuadrado del período para pequeñas oscilaciones es
4¡2InP2=Er;=donde Ki = Ic/M es el cuadrado del radio de giro con respecto al eje del centro de masa.
Derivando P2 con respecto a o e igualando a cero, obtenemos
f, = 4(-4*r\ = oüe\ = T\--a*,,de donde a : Kc. Se puede demostrar que es uh mínimo ya que d'(P2)/da'z < 0. Así el teoremaqueda demostrado.
El teorema también es válido aunque no se supongan pequeñas las oscilaciones. Véase el problema 9.147.
9.42. Una esfera de radio o y masa m reposa en la parte superior de una esfera rugosa fijade radio b. La primera esfera se desplaza ligeramente de su posición de manera querueda sin deslizarse hacia abajo sobre la segunda esfera. ¿En qué punto abandonarála primera esfera a la segunda?
Escojamos el plano ry tal que pase por los cen-tros de las dos esferas, de modo que su origen O coin-cida con el centro de la esfe¡a fija O (figura 9-33). Laposición del centro de masa C de la primera esferaestá localizado por un ángulo 0, y supongamos que
el cent¡o de masa C con respecto a O está localizadopor el vector de posición r. Sean rr Y 0r vectoresunitarios como se indican en la figura 9-33.
Descomponiendo el peso W : - ^gi en sus com-ponentes en las direccion€s r¡ ] C¡ tenemos (compa-
re con el problema 1.43)
W = (W.r1)r1+(W.rr)rr
= -rng sen C tt - fng CoS, ,l
La fuerza de reacción es N : Nr¡ y la de ro-zamiento f : fCt Usando el teorema 9.12, juntocon el resultado del problema 1.49, tenemos Fis.9-39
F = rnL = mÍ(; - r'ezlr, + 1rT + Zíó¡e ,1
= W+N+f= (N - mg send)r, + (f - mg cosorCr
delocual m('i-r'ez¡ = N-mgsenc, m(ri+Z|ól = f -mgcosl (l)
Yaque r: a * b (distanciade Ca O),estasecuacionesseconvie¡tenen
-rn(a+b)'c2 = N-tngsenc, m(a|bl'i = f -mgcoseAhora aplicamos el teorema 9.f3. El momento total externo de todas las fue¡zas con respecto al centro
de masa C es (ya que W y N pasan por C),
A = (-orr)xf = (-or1)x(/Cl) = -alkTambién, la acele¡ación angular de la primera eslera con respecto a C es
d2,d = -f*to+vlu = -tii+ülrYa que sólo rueda y no desliza, el arco AP es igual al arco BP o bó :(b/al("/2 - d), así que
lcAP. I
4¡2/ Ic , \ 4r2/K3 \c\M"*") = o\"*")
o = -(t+ü)k = -(-r-*o)n =
orl,.Entonces Q=r/2-c y 9=
/ a + b\..-\ " )'"
cAP. el
CUERPOS RIGIDOS
9.43. Demostra¡ que el movimiento por el cual la región f( lle_ga a la región j(, de la figura 9-34 puede hace¡se por me.dio de una t¡aslación más una ¡otación con respecto aun eje conveniente.
9.44. Hace¡ el problema 9.1 haciendo primero una traslacióndel punto A del triángulo ABC.
9.45. Si 4,, Ar, A¿ r€p¡esentan las ¡otaciones de un cuerporígido con ¡especto a los ejes x, y y z respectivamente,¿secumple la ley asociativa, esto es, es A, + (A, + A"): (A' + A") + A,? Justificar la respuesta.
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO 245
Como el momento de inercia de la primera esfe¡a con ¡especto al eje horizontal de rotación que Fasapo¡ C es I : lmaz, tenemos por el teorema g.13,
A. = Iq, -úfk = *n"r(ff);x o | = -lm(o*eTUsando este valo¡ de / en la segunda ecuación de (I), encontramos
A - - 6s ^^^^TGTTI cosr
Multiplicandoa ambosladospor i e integrando,despuésdeusa¡lacondicióndeque í:0 en ú:0o g: ¡/2, encontramos
iz = =lg;t (1 - sen e) (3)7(¿ * ó) .-
Usando (3) en la primera de las ecuaciones (I ) obtenemos N : I*C G7 sen , - 10). Entonces la primeraesfera abandona a la segunda esfera cuando N : 0, esto es cuando d : sen- | Lo/17.
Problemas propuestos
(2)
Fis.9-M
MOMENTOS DE INERCIA9.46. Trespartículasdemasass,Sy2estáncolocadasenlospuntos(-1,0, 1),(2,-1,3) y (-2,2,L),respectiva-
mente. Encont¡ar: (o) el momento de inercia, y (ó) el radio de giro con respecto al eje r.Resp. 7I
9'47 ' Encontrar el momento de inercia del sistema de particulas del problema 9.46 con respecto: (a) al ejey, (ó) aleje z. Resp. (a) 81, (b) 44
9'48' Determinar el momento de inercia de una va¡illa uniforme de longitud I con respecto a un eje perpendiculara ella y que pasa por: (o) el cent¡o de masa, (b) un extremo, (c) un punto que d,ista t/4 de un extremo.Resp. (a) #MIr, (b, +M12, (c) tÚt2
9'49' Dete¡mina¡ el: (o) momento de inercia, y (b) radio de giro de un cuadrado de lado a con respecto a una dia-gonal. Resp. (a) #Mot, (A) t"y'59'5O' Determina¡ el momento de ine¡cia de un cubo de arista con ¡especto a una arista. Resp. !Ma29'51' Dete¡mina¡ el momento de inercia de una placa rectangular de laios o y ó con respecto a una diagonal.
Resp. fMazb2l(az + b2')
9'52. Determinar el momento de ine¡cia de un paralelogramo de lados a y b que forma un ángulo c, con res-pecto a un eje perpendicular a él que pasa por su centro. Resp. *M(o" + ó2) sen2 o
246 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO lcAP. 9
Determina¡ el momento de inercia de un cubo de lado o con respectoa una diagonal.
Determina¡ el momento de inercia de un cilindro de radio a y alturah con respecto a un eje paralelo al eje del cilindro y a una distancia b
de su cent¡o. Resp. trM(a2 * 2b2)
Un sólido de densidad constante está formado por un cilindro de radioa y altu¡a h y un hemisferio de ¡adio o como se muest¡a en la figura9-35. Determinar el momento de inercia con respecto a un eje verticalque pasa por sus centros. Resp. M(2a3 + l5a'h)/(10¿ * l5h)
Hace¡ el problema 9.55 si el cilind¡o se remplaza po¡ un cono de ¡adioo y altura h.
Hacer el problema 9.62 para un disco cilíndrico sólido de radio o. Resp. lMu2
Un volante que tiene un ¡adio de giro de 2 metros y masa 10 kilogramos rota con velocidad angular de
5 radianes,/seg con respecto a un eje perpendicular a él que pasa por su cent¡o. Encontrar la energÍa ciné-
tica de rotación. Besp. 1000 julios
Encontra¡ el momentum angular de: (o) la varilla del problema 9.60, (ó) el volante del problema 9.64.
Resp. (c) 5 p2 lb,/seg, (ó) 200 m2 kg/seg
Probar el resultado: (o) del problema 9.15, (ó) del p¡oblema 9.16, usando integrales en lugar de sumato'r¡as.
TI
h
I
_l_
9.5?. Dete¡rninar el momento de inercia de una región sólida uniforme li-mitada por el paraboloide cz : x2 I y2 y el plano z : h con
respecto al eje z. Resp. IMch Fie.9-35
9.58. ¿Cómo puede definir el momento de inercia de un sólido con respecto a: (o) un punto? (b) un plano? ¿Tie-nen significado fisico estos resultados? Explicar.
9.59. Usar las definiciones del problema 9.58 para determinar el momento de inercia de un cubo de lado o con
respecto a: (¿) un vértice, y (b) una cara. 8esp. (o) Ma2, (b) trMa2
ENERGIA CINETICA Y MOMENTUM ANGULAR
9.60. Una varilla uniforme, de longitud 2 pies y masa 6 lb, rota con velocidad angular de 10 radianes por se-
gundo con respecto a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro. Determinar la energía cinéticade rotación. Resp. 100 p2 lb/segz.
9.61. Hacer el problema 9.6O si el eje de rotación es perpendicular a la varilla y pasa por uno de sus ext¡emos.
Rcsp. 400 p2 lb/seg2.
9.62. Un disco cilíndrico hueco de radio ¿ y masa M rueda por un plano horizontal con rapidez u. Determinarla energía cinética total. Resp. Mu2
9.53.
9.54.
9.55.
9.56.
9.63.
9.65.
9.66.
9.64.
9.67. Hallar un "teorema de ejes paralelos" de: (a) la energía cinética, y (b) el momentum angular y explicar
el significado fisico.
MOVIMIENTO DE UN CUERPIO RIGIDO. PENDULO COMPUESTO.TRABAJO, POTENCIA E IMPULSO
9.68. Una fuerza de magnitud constante Fo se aplica tangencialmente a un volante que puede rota¡ con res-
pecto a un eje fijo perpendicular a él y que pasa por su centro. Si el volante tiene un radio a, radio de giro
K y masa M, demostrar que la aceleración angular está dada por Fsa/MK2'
9.69. ¿Cuánto tiempo trascurre antes de que el volante del problema 9.68 alcance una velocidad angular oq
si parte del reposo? Resp. MK2o¡/Fsa
cAP. el MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO 247
S'7O. Suponiendo que el volante del problema 9.68 parte del reposo, encontrar: (o) el trabajo total realizado,(ó) la potencia total desarrollada, y (c) el impulso total aplicado para adquirir la velocidad angular @0.Resp. (a\ *MKr&o, (b) F¡ao¡ @) MI?os
g-71. Hacer: (o) el problema 9.6E, (b) el problema 9.69, y (c) el problema 9.70, si Fo : 10 newton, o : I me-tro, K : 0,5 metros, M : 20 kilogramos y oo : 20 radianes,/geg.Resp. (a) 2tad/seg2; (ó) 10 seg; (c) 25Ojulios, 200 julios,/seg, 100newton seg
s'72' Determinar el peúodo de vibraciones pequeñas para un péndulo simple suponiendo que la cue¡da que sos-
tiene la masa m se remplaza por una varilla uniforme de longitud I y masa M. Resp. 2n
9.73. Discutir los casos: (a) M : 0, V (b) m : 0 en el problema 9.72.
Fig.9-37
2(M Ilm\lW,4 +r^)s
S'74' Una placa rectangular, con lados de longitud a y b, cuelga verticalmente del lado de longitud o. (o) Deter-minar el período para oscilaciones pequeñas, y (b) la lóngitud del péndulo simple equñalente.Resp. (a) zTVZFBEI $) tb
9'76' Una esfe¡a sólida uniforme de ¡adio ¿ y masa M se suspende verticalmente de un punto sobre su supe¡-ficie' Encont¡ar: (a) el peíodo para oscilaciones pequeñas en un plano, (b) la longitud del péndulo simpleequivalente. Resp. (a) 2*yTl6g, ft) 7a/5
9'76' Un yo-yo se compone de un cilindro de 80 g de masa alrededor del cual se enrolla una cuerda de 60 cm delongitud. Si el extremo de la cuerda se mantiene fijo y el yo-yo se deja caer verticalmente, partiendo delrelDso' determina¡ su rapidez cuando llega al extremo de la cuerda. Resp. 2t0 cm/seg
9-77, Encontrar la tensión en la cuerda del problema g.76. Be.sp. 19.600 dinas
9.78. un disco cilíndrico hueco de masa M que se mueve con rapidez constan-tc u6 llega a un plano inclinado de Angulo a. Demostra¡ que si no haydeslizamiento llegará a una distancia a2r/(g sen o).
9.79. si el disco hueco del problema g.7g se remplaza por un disco sólido, ¿aqué altura llegará? Resp. g u2o/6C sen a).
gao. En la figura g-36 se muestra una polea sin rozamiento de 0,2 metros deradio y 0,1 metros de radio de giro. ¿cuál es la aceleración de la masade 5 kg? Resp. 2,45 m/seg2 5kg
Fig.9-36
CENTBO INSTANTANEO. CENTRO}ES ESPACIAL Y DEL CUERPOg'Er' Una escalera de longitud I se mueve en tal forma que uno de sus extremos está sobre una pared verticaly el otro sobre el piso horizontal. Encont¡ar: (a) el centrode espacial, (b) el centrode del cuerpo.
Resp. (a) Un círculo de radio I con centro en el punto O donde el piso y la pared se unen.(b) Un cfrculo cuyo diámetro es la escalera
9.42. Una varilla de longitud AB se mueve en tal forma que per-manece en contacto con el extremo superior de un postede altura h rnientras su pie I se mueve sobre la líneahorizontal CD (figura 9-3?). Suponiendo que el movinien-to es en un plano, determinar el cent¡o instantáneo.
9.83. ¿Cuál es el: (o) centrode del cuerpo? y (b) centrode espa_cial en el problema 9.82?
9.84. Hacer los probtemas 9.82 y g.g3 si el poste se remplaza por C
un cilindro fijo de radio o.
ESTATICA DE UN CUERPO RIGIDO9'86' Una escale¡a uniforme de peso t7y longitud J tiene su parte euperior cont¡a una pared lisa y su pie sobre
un piso que tiene coeficiente de rozamiento p. (a) Encontrar el menor ángulo o que la escalera puedehacer con la horizontal y permanecer en equilibrio. (ó) ¿Puede haber equilibrio si p : 0? Explicar.
248 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO tcAP. e
9.86. Hacer el problema 9.85 si la pared tiene un coeficiente de rozamiento ¡¡.
9.87. En la figura 9-38, AB es una ba¡ra uniforme de longitud I y peso lrfl que está soportada en C. Se colocanpesos W¡ en Ay W2 en D en tal forma que AC : a y CD: ó. ¿En qué punto debe colocarse un pe-
so Wa para que el sistema esté en equilibrio?
wr ws w,D nc f-lAADB
Fig.9-3t Fig.9-39
9.88. Una placa delgada de forma triangular y uniforme cuelga desde un punto fijo O por medio de las cuer-das OA, OB y OC de longitudes a, b y c respectivamente. Demostra¡ que las teneiones 71, T2 y Tsen las cue¡das son tales que T1/a: T2/b: Ts/c.
9.89, Una tabla uniforme AB de longitud I y peso I;f se apoya en los
puntos C y D que distan o de A y b de8, respectivamente (figu-¡a 9-39). Determinar las respectivas fuerzas de ¡eacción en C y D.
9.9O. En la figura 9-4ll., OA y OB son va¡illas unifo¡mes que tienen lamisma densidad y que están unidas en O así que AOB formaángulo recto. El sistema se soporta en O tal que AOB pstá en unplano vertical. Encontrar los ángulos a y p para que haya equi-librio. Resp. a: tan- | (a/b), fl : r/2 - ,^n- r (a/b) Fis.9-40
PROBLEMAS VARIOS
9.91. Un cilindro ci¡cular tiene ¡adio ¿ y altura h. Demostrar que el momento de inercia con respecto a un ejeperpendicular al eje del cilind¡o y que pasa por el centroide es $M1h2 * 3c2).
9.92. Demostrar que el efecto de una fue¡za sobre un cuerpo ígido no cambia si Ia fuerza se desliza a lo largode su línea de acción.
9.93. Un cilindro de radio o y radio de giro K rueda sin deslizarse hacia abajo sobre un plano inclinado un ángu-
lo c y de longitud l. Si el cilindro parte del reposo en Ia parte superior del plano inclinado, demostrar que
cuandollegaalapartemásbajadelplanolarapidezse¡Affi.
A un cilindro que reposa sobre la parte superior de un cilindro, fijo se le aplica un pequeño desplazamientoen tal fo¡ma que rueda sin deslizarse. Determina¡ en qué punto abandona al cilindro fijo.
Resp. 0 : sen- | 4h donde 0 se mide como se indica en la figura 9-33
Hace¡ el problema 9.42 si se aplica a la esfera una velocid.¿d uo.
9.94.
9.96. Hace¡ el problema 9.94 si al cilind¡o se aplica una rapidez inicial uo'
g.g7. Una esfera de radio o y radio de giro K con ¡especto a un diámetro rueda hacia abajo sin deslizarge sobre
un plano inclinado un ángulo a. Demostrar que desciende con una acele¡ación constante dada por(go2 sen o)/(a2 * K2).
9.98. Hacer el problema 9.97 si la esfe¡a es: (o) sólida, (ó) hueca y de espesor despreciable.Resp. (o) f/ sen o, (ó) *g sen "
9.99. Una esfera hueca tiene radio interior o y radio exterior b. Demostra¡ que si M es su masa, entonces el mo'mento de inercia con ¡especto a un eje que pasa po¡ su centro es
Dc
9.96.
z"( aa 1 a8b * a2b2 * ¿bs * ü4\-lDiscutirloscasos enque b : 0 Y a : b.
a2*obIb2
cAP. el MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO
9.lOO. Bloques de madera de la misma forma rectangularee colocan uno gobre ot¡o como se indican en la figu_ra 9-41. (o) Si la longitud de cada bloque es 2c,demostrar que las condiciones de equilibrio preva-lecerán si el (n * l)-ésimo bloque sobrcsale unadigtancia má¡ima d.e a/n sobre el n-ésimo bloquedonde n : 1,2, 3, . . (ó) ¿Cuál es la márima dis-tancia horizontal a la cual ae puede llegar si más ymás bloques se adicionan?
9.l0l. Hace¡ el problema 9.100 si los .bloques se colocan so-bre una esfe¡a de ¡adio .R en lugar de colocarlos so-bre una superficie plana como se supuso en ese pro-blema.
Fig.9-41
9.102. Un cilindro de radio a rueda sobre la superficie interio¡ de un cilindro liso de radio 2a. Demostrar que elperíodo de pequeñas oscilaciones es 2rvTdt!.
9.ro3. Una escalera de longitud I y peso despreciable reposa con uno de sus ert¡emos cont¡a una pared que tienecoeficiente de rozamiento rr y su otro extremo sobre un piso que tiene coeficiente de rozamiento ¡2.La escalera fo¡ma un ángulo a con el piso. (¿) ¿Cuónto puede subir por la escalera un hombre antes deque ella se deslice? (ü) ¿Cuál es la condición para que la escalera no se deelice indiferentemente de dondeel hombre esté colocado? iesp. (¿) pzl(pt I tan al/(ptz I l), (b) tan a ) l/pz
9.104. Hacer el problema 9.103 si el peso de la escalera no es desprecia-ble.
249
9.105. Una escalera AB de longitud I (figura 9-42) tiene su extremo Asobre un plano inclinado un ángulo a y el extremo B sobre unapared vertical. La escalera está en reposo y forma un ángulo pcon el pfano inclinado. Si la pared es lisa y el plano inclinado tie-ne un coeficiente de rozamiento p, encontrar el valor más pe-queño de ¡¡ para que un hombre de peso W- pueda eubir porla escalera sin que ésta se deslice. Comprobar su respuesta con elresultado obtenido en el problema g.B?, como un caso especial.
9.fO6. Hace¡ el problema 9.105 si la pared tiene un coeficiente de roza-miento ¡1. Fis.9-t2
9.107. Una varilla uniforme AB con punto fijo en A ¡ota con respecto a un eje vertical formando un ángulo cons-tante c con la ve¡tical (figura 9-49). Si la longitud de la varilla es l, demostrar que la velocidad angularneceearia para que esto suceda €s o - VT! seg
"J7TI.
A,
Fig.9-48 Fis.9-¿4 Fig.9-15
9.108. Un cilindro circula¡ de masa m y radio c se suspende del techo por medio de un alamb¡e como f¡e mues-tra en la figura g-44. El cilindro se gira un ángulo c6 ! se suelta. Si suponemos que el momen[o es p¡o-porcional al ángulo que se ha rotado el cilindro y que la constante de proporcionalidad es tr, demostrarque el cilindro oscila con movimiento armónico simple de peúodo 2ra!ffi.
9.109. Encont¡ar el peúodo en el problema 9.108 si el cilindro se remplaza po¡ una esfera de radio ¿.
Resp.2ra!ñffi
2ffi MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO IcAP. e
9.lfO. Hacer: (a) el problema 9.108, y (ó) el problema 9.109 si el amortiguamiento es proporcional a Ia velocidadangular. Discuti¡lo fi sicamente.
9.lll, Una viga uniforme, AB, de longitud I y peso l;f/ (figura 9-45) es soportada por las cuerdas AC y BD de lon-gitudes o y ó respectivamente que forman los ángulos c y É con el techo CD al cual las cuerdas estánfijas. Si las condiciones de equilibrio prevalecen determinar las tensiones en las cuerdas.
9.112. En la figura 9-46 la masa m está atada a una cuerda la cual se en¡olla al-rededor de una polea fija de masa M y radio de giro K. La polea puede ro-tar libremente alrededor de O. Si Ia masa se deja en reposo, dete¡minar:(o) la velocidad angular de la polea un tiempo ú posterior, y (b) la tensiónen la cuerda.
9.113. Demost¡ar que la acele¡ación de la masa ¡n en el problema 9.112 es
gaz/(a2 + K2).
9.f14. Describi¡ cómo se puede usar el problema 9.112 para determinar el ¡adiode giro de una polea.
9.115. Una va¡illa uniforme, AB, (figura 9-47) de longitud I y peso !V tiene susextremos sobre Ia pared OA y el piso OB ambos sin rozamiento. La varillase desliza partiendo del reposo cuando su pie I| está a una distancia d deO. Demost¡ar que el otro extremo A abandonará Ia pa¡ed cuando el pie B
esté a una distancia de O dada po, ¡rftnTaiP .
9,1f6. Un cilindro de masa 10 lb rota al¡ededor de un eje ho¡izontal fijo que pasapor su centro 5, es perpendicular al cilindro. De una cuerda enrollada alre-dedor pende una masa de 20 Ib. Suponiendo que la masa parte del reposo,encontrar su rapidez 5 segundos después. Resp. l28p/seg
Fis.9¿6
Fig.9-47
9.117. ¿Cuál debe ser la longitud de una varilla que se suspende de un extremo para formar un péndulo de se-
gundos y que ejecuta pequeñas vib¡aciones en un plano? ftesp. 149 cm
9.118. Una esfera sólida y una esfe¡a hueca que tienen igual radio parten ambas del reposo en la parte superiorde un plano inclinado un ángrrlo a y ruedan sin deslizarse hacia abajo por el plano. ¿Cuál de ellas llegaprimero a la parte inferior del plano? Explicar. Resp. La esfera sólida
9.119. Un péndulo compuesto de masa M y radio de giro K se desplaza con respecto a un eje horizontal en talforma que hace un ángulo 0s con la vertical y se deja en ¡eposo. Demost¡ar que si el cent¡o de masa estáa una distancia o del eje, entonces la fuerza de reacción sobre el eje está dada por
lu^ffiA{(Kz+2o21 coa. - a2 cog do)2 * (K2 sen a)2
9.12O. Un paralelepípedo rectangula¡ de lados a, b y c se suspende verticalmente del lado de longitud o. Determi-nar el período de pequeñas oscilaciones.
9.121, Dete¡minar el menor coeficiente de rozamiento necesa¡io para prevenir el deslizamiento de un aro circu-lar sobre un plano inclinado un ángulo a. Resp. ftan c
9.122. Encontrar el período de pequeñas oscilaciones de una varilla de longitud I suspendida ve¡ticalmente conrespecto a un punto que está a * de I de un ext¡emo.
9.f23. Un sistema de poleas consta de dos discos sólidos de racHos r¡ ] 12 eueestán rígidamente unidos uno al otro y que puede rota¡ librenente al¡ede-do¡ de un eje horizontal fijo que pasa po¡ el centro O. Un peso 17 se suspen-de por medio de una cuerda que se en¡olla al disco menor como se muestraen la figura 9-48. Si el radio de giro del sistema de poleas es K y su peso es
¿, encontrar: (a) la aceleración angular con la cual desciende el peso, y (ó)la tensión en la cuerda..Resp. (a) Wsrtl\ryrz1* wlf¿), (b) Wutl?l(Wrl + uXz¡
9.LZJ. Una esfera sólida de radio b rueda en el interior de una esfera hueca lisa deradio o. Demostrar que el período de pequeñas oscilaciones está dado por
z,\nG _-bVlA.
Fig.9-4t
cAP. el MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO
9.12ó. Una placa sólida circular y delgada, de radio a se suspende verticalmentede un eje que pasa por una cue¡da AB (figura 9-49). Si hace pequeñas os-cilaciones con respecto a este eje, demostra¡ que la frecuencia de tales osci.laciones es máxima cuando AB está a una distancia a/2 del cenbo.
9.126. Una varilla uniforme de longitud 5l se suspende verticalmente por mediode una cuerda de longitud 2l que tiene su otro extremo fijo. Demostra¡ quelas f¡ecuencias normales para pequeñas oscilaciones en un plano son
! rE v I f E, y describir los modos normales.2r lóI'2r't c
25r
Fig.9-49
9.127. Una varilla uniforme de masa m y longitud I se suspende de uno de sus extremos. ¿Cuál es la mínimavelocidad que se le debe dar al ext¡emo libre para que describa un círculo vertical completo?
9.12E. (o) Si la masa de un péndulo simple es una esfera sólida unifo¡me de radio a en vez de una masa pun-tual, demostrar que el período de oscilaciones pequeñas es 2*{TF2fllii.
(ó) ¿Para qué valo¡ de I el período (o) es mínimo?
9.129. Una esfera de radio o y masa M rueda a lo laryo de un plano horizontal con rapidez constante u6. Laesfera llega a un plano inclinado de ángulo a. Suponiendo que rueda sin deslizarse, ¿qué distancia subepor el plano inclinado? Resp. Lluf;,/eg sen o\
9.f3O. Demost¡ar que el momento de ine¡cia del toroide sólido de la figura9-50 con respecto a su eje está dado pot IM(3a2 + 4b2).
9.131. Un cilindro de masa rn y radio c ¡ueda sin deslizarse hacia abajo so-bre un plano inclinado 45', cuya masa es M y está colocado sob¡euna mesa horizontal sin rozamiento. Demostrar que mientras elrodamiento tiene lugar, el plano inclinado se moverá con una ace-leración dada por me/@M * 2m).
9.f32. Hacer el problema 9.131 si el plano inclinado tiene un ángulo c.Resp. (mg sen 2al/(3M * 2m - rn cos 2c).
Fig.9-50
9.133. Encontra¡: (o) la tensión en la cuerda, (ó) la acelera-ción del sistema que se muestra en la figura 9-51 si el¡adio de giro de la polea es 0,5 m y su masa 20 kg.
9.134. Comparar el resultado del problema 9.133 con el que seobtiene suponiendo que la masa de la polea es despre-ciable.
9.f35. Demostrar que si el momento erterno neto con respec-to a un eje es cero, entonces también será cero con res-pecto a cualquier otro eje.
Fig.9-51
9.136. Un disco cilíndrico sólido de radio ¿ tiene un hueco de radio b cuyo cent¡o está a una distancia d de! cen-tro del mismo. Si el disco rueda hacia abajo sobre un plano inclinado un ángulo c, encontrar su acele-ración (figura 9-52).
Fig.9-529.137. Dete¡mina¡ el momento de ine¡cia
9-53) con respecto al eje r. Resp.de la región limitadaMo2(3r - 8)/8
Fig.9-58por la lemniscata 12 : o2 cos 20 (figura
252 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO lcAP. e
9.13E. Encontrar el mayor ángulo de un plano inclinado para que uncoeficiente de ¡ozamiento del plano inclinado es p.
9.139. Hacer el problema 9.138 para una esfera sólida.
9.140, Discutir el movimiento de un cilindro hueco de radio inte¡iorsobre un plano inclinado un ángulo a.
cilindro sólido ruede sin deslizarse. si el
c y radio exterior b si rqeda hacia abajo
9.141. El table¡o de una mesa de peso despreciable tiene la fo¡ma de un triángulo equilátero ABC de lado s. Laspetas son perpendiculares al tablero de la mesa y están colocadas en sus vértices. Un gran peso Wse colo-ca sobre el tablero de la mesa en un punto que dista a del lado BC y b del lado A C. Determinar qué partedel peso es soportado por las patas en A, B y C, respectivamente.
n",p. ), '+, w (t - 2o +-2ü)avg avg \ ¡VB /
9.142. Discuti¡ el movimiento del problema 9.136 cuando se mueve hacia abajo por el plano inclinado si el coe-ficiente de ¡ozamiento es ¡.
9.143. Un monte tiene sección trasversal en fo¡ma de ci-cloide
, = a(c * sen d), A -- ú(l - cos r)
como se indica en la figura 9-54. Una esfera sólidade radio ó que parte del reposo en la parte superiordel monte rueda sin desliza¡se hacia abajo. Encon-trar la rapidez de su cent¡o cuando llega a la partemás baja del monte. Resp. ffiE-Qa --61fr Fig.9-51
9.144. Hacer el problema 3.108 si la masa y los momentos de inercia, de las poleas se tienen en cuenta.
9.145. Hace¡ el problema 9.38, si se tiene en cuenta el rozamiento.
9.146. Una varilla uniforme de longitud I se coloca verticalmente sobre una mesa y se deja caer. Suponiendoque su punto de contacto con la mesa no se mueve, demostra¡ que su velocidad angular en el instante enque forma un ángulo d con la vertical está dada por @|Fañ-|VIE
9.147. Demostrar el teorema 9.11, en el caso de que las vibraciones no sean necesariamente pequeñas. Compararsu resultado con el problema 9.41.
9.f48. Un cuerpo rígido se mueve paralelamente a un plano fijo determinado. Demost¡ar que sólo hay un puntodel cuerpo rígido cuya aceleración instantánea es cero.
9.f49, Un hemisferio sólido de radio o reposa con su superficie convexa sobre una mesa horizontal. Si el hemis-ferio se desplaza suavemente una pequeña cantidad, demost¡ar que oscilará con un período igual al de unpéndulo simple equivalente de longitud 4c,/3.
9,150. Un cilindro sólido de rsdio ¿ y altura h se suspende del eje AB como se Aindica en la figura 9-55. Encontrar el período de pequeñas oscilaciones conrespecto a este eje.
9.151. Demost¡a¡ que una esfera sólida rodará hacia abajo por un plano inclina-do un ángulo a sin deslizarse si el coeficiente de rozamiento es por Io me-nos I de tan o.
9.152. Encontra¡ el menor coeficiente de ¡ozamiento de un plano inclinado unángulo c para que un cilindro sólido ruede hacia abajo sin deslizarse.Besp. I de tan a Iüc.0{6
Copítulo l0Movimiento de cuerpos rígidos en el espocio
MOVIMIENTO GENERAL DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIOEn el capítulo 9 tratamos el movimiento de los cuerpos úgidos referente a una trasiación
del centro de masa más una rotación con respecto a un eje que pasa por el centro de masa yperpendicular a un plano fijo. En este capítulo trata¡emos el movimiento general de un.rr"rpirígido en el espacio. Este movimiento general se compone de una traslación de un punto fijodel cuerpo (usualmente el centro de masa) más una rotación con respecto a un eje que pasapor un punto fijo el cual no necesariamente tiene dirección restringida.
GRADOS DE LIBERTADEl número de grados de libertad para el movimiento general de un cuerpo rígido en el
espacio es 6, esto es, se necesitan 6 coordenadas para especificar su movimiento. Usualmentetomamos 3 de éstas para determinar las coordenadas de un purito del cuerpo (usualmente elcentro de masa) y las tres restantes para los ángulos (por ejemplo, los ánlulos de Euler) loscuales describen la rotación del cuerpo rígido con respecto al punto.
Si un cuerpo rígido está constreñido en alguna forma, como por ejemplo manteniendoun punto fijo, el número de grados de libertad se reduce de acuerdo con las constricciones.
ROTACION PURA DE CUERPOS RIGIDOSYa que el movimiento general de un cuerpo rígido se puede expresar también en función
de la traslación de un punto fijo del cuerpo úgido más la rotación con respecto a un eje quepasa por ese punto, es natural considerar primero el caso de una rotación pura y posterior-mente adicionar los efectos de la traslación. Para hacer esto, primero supondremos que unpunto del cuerpo rígido está fijo en el espacio. Los efectos de traslación son relativamentefáciles de manejar y se pueden obtener usando el resultado (/0) del capítulo ?.
VELOCIDAD Y VELOCIDAD ANGULAR DE UNCUERPO RIGIDO CON UN PUNTO FIJO
Supongamos que el punto O del cuerpo rígido fr dela figura 10-1 está fijo. Entonces en un instante dadoel cuerpo esta¡á rotando con una uelocidad angular ocon respecto al eje instantáneo que pasa por O. Unapartícula P del cuerpo cuyo vector de posición rv conrespecto a O tendrá una velocidad instantánea v,dada por
v, = i, = oXryVéase el problema 10.2.
253
(/ )
Fig.10-l
Entonces lablema 10.3)
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO IcAP. 10
ITIOMENTUM ANGULAREl momentum angular de un cuerpo rígido, que tiene un punto fijo, con respecto a un
eje instantáneo que pasa por el punto fijo es
O = )m,(r,xv,l = )m,{t'x(oxrr} Q)
donde früv¡ es la masa de la y-ésima partícula y donde la sumatoria se toma sobre todas
las partículas de R.
MOMENTOS DE INERCIA Y PRODUCTOS DE INERCIA
Escojamos un sistema de coordenadas xyz fijo con origen en O y escribamos
o = o,i+oj+ork, o = o,i+"'j+"'¡ (3)
fv = 'vi]-u,j+zkecuación (2) se puede escribir en forma de componentes como (véase el pro-
e" = Ir".r* I-.u * /rrrrlllu = Iyrrr* Iuuru*Iur,rl U)
Q. = Ir,r, Il.ru*I-..)
donde 1,, = 2rn,(ú,+z?), I- = 2m,(z?+r;3), I* = 2m,(ú+u?,\ (5)
I"! = -) munuau = I*lIo. : -) m,guz, = I-l (6)
Iu = -), mrzur, = Ir.)Las cantidades I", 1"", 1,, se llaman nlotnentos de inercia con respecto a los ejes r'y y z, respectivamente. Las cantidades lrr, I* se llaman productos de inercia' PAra
distribuciones continuas de masa éstas se pueden calcular por integración.
Nótese que los productos de inercia en (6) se han definido asociándoles un signo menos.
Como consecuencia los signos menos se eluden en (4).
MATRIZ O TENSOR DEL MOMENTO DE INERCIA
Las nueve cantidades 1", I'", ..., 1", se pueden escribir en un arreglo que con fre-
cuencia se llama una matriz o tensor dado por
(;. '; r) e)
\r* 14, I-ly cada cantidad se llama un elemento de la matriz o tensor. La diagonal que constituye los
elementos 1,,, Iyy, 1," se llama principal o diagonal principal' Ya que
I-= Iy", I".-- Iu, Ivr= I.t (8)
los elementos son simétricos con respecto a la diagonal principal. Por esta taz6n (7) se llama
matriz o tensor simétrico.
ENERGIA CINETICA DE ROTACION
La energía cinética de rotación está dada por
(e)
cAP. 101 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACTO 255
EJES PRINCIPALES DE INERCIASe llaman ejes principales de inercia o simpleme nte ejes princípales al conjunto de 3 ejes
mutuamente perpendiculares cuyo origen es O los cuales están /ryos en el cuerpo rotando conél y tienen la propiedad de que los productos de inercia con respecto a ellos son cero.
Una propiedad importante de un eje principal (la cual puede tomarse también comouna definición) es que si un cuerpo rígido rota con respecto a é1, la dirección de su momen-tum angular es la misma que la de su velocidad angular. Así
A=Itdonde / es url escalar. De lo anterio¡ encontramos (véase el problema 10.6) que
(10)
(12)
(r3)
(1,,- I\^" * I-,o, * Ino, = 0 IIy,r,*(Iu-I).yII*'. = 0l (11)
I ua, * I.o, * (I *- I),r, = 0 )
Para que (1I) tenga soluciones no triviales <.¡¡ : 0, oy : 0, .nz:0, debe cumplirse
1,"-I 14 InIw I'tr-I IwIu I4 Io- I
=0
Esto conduce a una ecuación cúbica en .f que tiene 3 raíces reales I1,I2,I', las cuales sellaman momentos principales de inercia. Las direcciones de los ejes principales se puedendeterminar de (11), como se hace en el problema 10.6 por la determinación de la relacióna,'x:oy:oz.
Un eje de simetría de un cuerpo rlgido es siempre un eje principal.
MOMENTUM ANGULAR Y ENERGIA CINETICA CON RESPECTO ALOS EJES PRINCIPALES
Si llamamos @1,!)2,@s Y Or, Oz, O¡ las magnitudes de las velocidades angularesy los momenta angulares con respecto a los ejes principales, respectivamente, entonces
O, = /rorr, ar= Iro* O, = fr-,
La energía cinética de rotación con respecto a los ejes principales está dada por
T : f,(Irrzr+ I2r?2+ 18,03)
la cual puede escribirse en forma de vector como (compare con la ecuación (9))
T - 1¡o'O
EL ELIPSOIDE DE INERCIASea n un vector unitario en la dirección de o. Entonces
(14)
(15)
o: orn = ,(cosci*cosÉitcosyk) (16)
donde cosd'cosp,cosy sonloscosenosdirectoresdeo onconrespectoalosejesr, y y z.Entonces la energía cinética de rotación está dada por
7- tr" (17)
256 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO
donde I - I""cos2a * I*cossp + Ir.cos2¡
+ 2I ,ycosdcos p + zly"cosp cos.¡ * Zl".cosc cosT
Definiendo un vectorP = ^/\/T
donde P = P'i * "t
* i.!;r':,i _:; :T_";:';;:.o * 2r u.pup. * 2r..p.p. = |
Err las coordenadas pr, py, pz la ecuación (20) representa un elipsoide el cualelipsoide de inercia.
Si los ejes de coordenadas se rotan para que coincidan con los ejes principalessoide, la ecuación se trasforma en
Irpl+ IrpT* Irp? = |donde pL, p2, pa representan las coordenadas de los nuevos ejes.
lcAP. lo
(18)
(re)
(20)
se llama
del elip-
(21)
ECUACIONES DE EULER DEL MOVIMIENTOEs conveniente describir el movimiento de un cuerpo rígido con respecto a un conjunto
de ejes de coordenadas que coincidan con los ejes principales fijos al cuerpo y roten con elcuerpo. Si
^r,^2,^B y @t,@2, @a representan las respectivas componentes de los momentos
externos y de las velocidades angulares a lo largo de los ejes principales, las ecuaciones de
movimiento están dadas por
(22)
las cuales con frecuencia se
MOVIMIENTO LIBRE DE FUBRZAS.LINEA Y PLANO INVARIABLE
Supongamos que un cuerpo rígido está rotan-do con respecto a un punto fijo O y que no hayfuerzas que actúan sobre el cuerpo (excepto la reac-ción en el punto fijo). Entonces el momento externototal es cero. Por tanto el vector momentum an-gular O es constante y tiene una dirección fija enel espacio como se indica en la figura 10-2. La líneaque indica esta dirección se llama línea inuariable.
Puesto que la energía cinética es constante(véase el problema 10.34), de (I5) tenemos
o. O = constante (23)
Esto significa que la proyección de o sobre O es constante, por tanto el punto extremo de odescribe un plano. Este plano se llama plano inuariable.
A medida que un cuerpo sólido rota, un observador en reposo con relación a los ejes delcuerpo debe ver una rotación o precesión del vector velocidad angular ó con respecto al vectormomentum angular O.
Fig.10-2
cAP. l0l MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO
Fig. r0-3
257
CONSTRUCCION DE POINSOT. POLHODE. HERPOLHODE.CONO ESPACIAL Y CONO DEL CUERPO
Como lo hizo notar Poinsot, las ideas an_terio¡es se pueden interpretar geométrica_mente como el rodamiento, sin deslizar sobreel plano invariable, del elipsoide de inerciacorrespondiente al cuerpo rígido. Se llamaherpolhode la curva descrita sobre el planoinvariable por el punto de contacto entre elplano invariable y el elipsoide (figura 10-B).El polhode es la curva correspondiente sobreel elipsoide.
A un observador fijo en el espacio le debeparecer que el vector o describe un cono, elcual se llama cono espacial. A un observadorfijo en el cuerpo le debe parecer que o tambiéndescribe un cono el cual se llama cono delcuerpo. Entonces el movimiento se puede des_cribir equivalentemente co'mo un rodamientosin deslizar, de un cono sobre el ot¡o. Véaseel problema 10.19.
CUERPOS RIGIDOS SIMETRICOS. ROTACION DE LA TIERRAEn el caso de un cuerpo rígido simétrico se pueden hacer algunas simplificaciones. Eneste caso por lo menos dos momentos principaleÁ de inercia son iguales, d-ig"-o. It : Iz,y el elipsoide de inercia es un elipsoide áe revolución. Podemos demostrar (véase el problema
10'17) que el vecto¡ velocidad angular o efectúa precesión alrededor del vector momentumangular f! con una frecuencia
f: llIg-/rl,: z"l-T-lA (24)
donde la constante A es la óomponente de la velocidad angular en la dirección del eje desimetría.
En el caso de la Tierra, la cual se puede suponer como un elipsoide de ¡evolución ligera-mente achatado en los polos, se puede predecir un período de precesión de más o menos300 días' Sin embargo en la práctica, el período es alrededor de 480 días. La explicaciónde esta diferencia está en el hecho de que la Tierra no es un cuerpo perfectamente rígido.
ANGULOS DE EULERPara describir la rotación de un cueryo rí_
gido alrededor de un punto usamos tres coo¡de-nadas angulares que se llaman óngulos deEuler. Estas coordenadas, denotadas poró, 0 y ú se indican en la figura 10_4. En z'
esta figura el sistema de coo¡denadas xy zpuede trasformarse en el sistema x'y,2, me-diante rotaciones sucesivas de ángulos ó,0 y ú (véase el problema 10.20). La líneaOA con frecuencia se llama línea nodal.
Fig.10-4
(%)
(26)
a,,: ol : isendsenú+ásen,¿l,y, = u2 : isendcosú - i.""g I6"' = os : 6cosd + i )
La energía cinética de rotación esta dada por
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO IcAP. 10
VELOCIDAD ANGULAR Y ENERGIA CINETICAEN FUNCION DE LOS ANGULOS DE EULER
Las componentes o)1, ti2, t, s de la velocidad angular a lo largo de los ejes x', !', Y
z', en función de los ángulos de Euler están dadas por
7 = $(Ir.l+12,?+/8.:)donde 11, 12, 13 son los momentos principales de inercia.
MOVIMIENTO DE SPIN DE UN TROMPO
Un ejemplo interesante del movimiento de uncuerpo úgido es el de un cuerpo rígido simétrico que
tiene un punto sobre el eje de simetúa fijo en el es-
pacio y tiene movimiento de spin en un campo gra-
vitacional. Uno de estos movimientos es el de untrompo de juguete como el que se muestra en lafigura 10-5, donde el punto O se supone como el pun-to fijo.
Para una discusión de las diferentes ciases de
movimiento que pueden ocurrir, véanse los proble-mas 10.25 - 10.32 y 10.36.
GIROSCOPOS
Supongamos un disco circular, que tiene su eje montado sobre uniones uniuersales o
cardqnes (figura 10-6) y tiene un spin de velocidad angular o. Si el cardón exterior se rota
un ángulo, el eje de spin del disco apuntará en la misma dirección inicial (figura 10-7). Lo
anterior, supone que el rozamiento en el cardán es despreciable.
En general Ia dirección del eje de spin se mantiene fija cuando el cardán exterior se
mueve libremente. Este mecanismo llamado giróscopo tiene muchas aplicaciones en
casos en los que es importante mantener una dirección determinada, como por ejemplo
en navegación y guía o control de barcos, aviones, submarinos, misiles, satélites u otros
vehículos en movimiento.
Un giróscopo es otro ejemplo de movimiento de spin de un cuerpo rígido simétrico
con un punto fijo sobre el eje de simetría (usualmente el centro de masa).
Fig.l0-5
Fig. l0-7
cAP. l0l MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO
Problemas resueltosMOVIMIENTO GENERAL DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO1O.1. Determinar el número de grados de libertad para un cuerpo rígido que: (o) puede
moverse libremente en el espacio, (ó) tiene un punto fijo, (c) tiene dos puntos fijos.(o) 6 [véase el problema 7.2(o) ](b) 3 [véase el problema 7.2(ó)](c) Si dos puntos están fijos, entonces el cuerpo puede rotar alrededor del eje que los une. Entonces el
número de grados de libertad es l, el cual, por ejemplo puede ser el ángulo de rotación del cuerpoígido alrededor de este eje.
1O.2. Un cuerpo rígido rota con velocidad angular o respecto a un punto fijo O. Demostrarque la velocidad v de cualquier partícula del cueryo que tenga vector de posición rrelativoaOesv:(.Xr.
Se deduce inmediatamente del problema 6.1, teniendo en cuenta que la velocidad relativa al siste-ma en movimiento es dr/dtly : dr/dtl¿: O.
MOMENTUM ANGULAR, ENERGIA CINETICA.MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIAfO.3. Encontrar las ecuaciones (4) de este capítulo, para las componentes del momentum
angular en función de los momentos y productos de inercia dado por las ecuaciones(5) V (6) de este capítulo.
El momentum angular total está dado por
o = Srn,(r,xvu¡ = á-,,",x(oxr,))donde hemos usado el problema 10.2 aplicado a la y-ésima particula.
Ahora por la ecuación (Z), del capítulo 1, tenemos
r, X (o X rr) = o(rr. rr) - rr(o. rr)
: (o,i * ,oyi + ,¡Ji(g.? + u? + 4,)
- (ari * y,j * z,k)(o;r, * oyUy I o,zr)
= fu,fu?,+ 4\ - 'un,a, - o4erzr)i
+ {ov(*,+ 4) - oxavAv - 6zU&,\i
* (t"(ú+a?,1 - @sü&v- @yrrzulk
Entonces multiplicando por rnv, sumando sobre y e igualando los coeficientes de i, j y k a O,, 0"y O, respectivamente, obtenemos como se desea
f N I r N ) r N lo, = 1.2. m,(uT+ 4,)l ", + i - 2. *,r,u,f r, + .i- > *,r,",1,"Ly=r J L y-=1 --') - t vEr ...)
= I"ro" * Irool * Irrot,
r N I rN I r N .)
oy = J- >. ñvivu,f ", + ]2.m,(r3+4llrn + .{- ) mny,zul,"L y=r .J Lu=r ) - t vÉr --'-)
= Ir¡,s" * Iur,,tu I lyro,
r N I r N I rN loz = l- > rnvtrvzvf "" + {- > mruvzvf ", + 12 ^,@t,+ú,11,,L r=r J L y=l ) - lv=t ')
= Irro" * Iy2uu I lr"o"
259
zffi MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO IcAP. 10
Para una distribución continua de masa de densidad c, podemos obtener el mismo resultadopartiendo de
11 fO = | o(rxv)dr = | o{rx(rxr))drr'R "t
1O.4. Si un cuerpo rígido con un punto fijo, rota con velocidad angular o tiene un mo-mentum angular O, demostrar que la energía cinética está dada por ? : * o . O.
T = S2m,o2, = ¡)rm,(i,.i,)= {)nt{(.xrr)'(rxr,)} = })m,{.'[r,x(oxr,)]]= f,. . )m¡,X (r X r,) = *.. O
donde hemos usado la abreviación ) en lugar d" i .
1O.5. Demostrar que la energía cinética "" ., or"=Or"ma 10.4 se puede escribir como
T = 1¿(I ,,r2rt luorzu* I..t2* 2I .r,rn*21 ,,,'trt"*2lu.roo.,)
Del problema 10.4, tenemos
T = t..O = *("rt*orrj+orrk).(ori+Oyi+ozk)
= {(rr0, * o¡Ílr.| o{2.1
= tlot(I*.* I-oo* Iriu.l* oy(Iyxox* Iufy* Iy*r)
I o"(Ir¡trl lru,'so1. I".otrl)
= \(Ir*? t lrr,al, + I*2 * 2lr,¡t¡uu * 21"¿o.o, * 2lr7,tuo.l
usando el hecho de que f- = Iy' Io= Ir, Iyr-- Irv,
MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA Y EJES PRINCIPALES
fO.6. Encontrar las ecuaciones (//), de este capítulo, de los momentos principales de iner-cia y las direcciones de los ejes principales.
Usando A=Io (1)
junto con las ecuaciones (3) V (4), de este capítulo, tenemos
I"du"* I-o"l lr¿'t. = Io,
Iy"or* Iorol* Iyz!'tz = Ioy
Irrtt * Iu.ou* Ir¿o. = Io4
(Ir"-I)t,* Irrlnr* 1,,u" = 0
Iyrut * (Iuu- Doy * Iur,,t, = o
Ir*" * Iy*y * (1,,- Ilo, = Q
Los momentos principales de inercia se dete¡minan haciendo que el determinante de los coeficientes de
@2, @tt o, en (2) sea igual a cero, esto es,
e)
Irr-I Iu IflIu, Ioo-I Io,
I* Iu, Ir, - I=0
cAP. 1ol MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO 26r
Fig.10-8
o(rz * 12) dx dy, así que el mo-
=0
Esta es una ecuación cúbica en r que conduce a tres valores 11,12, Is los cuales gon los momentospri Haciendo I : It en (2) obtenemos lag reücilnee @si oyi o, lae cuales danla dirección del eje principal correspondientes a f¡. En forma similar, por sustituciónde las direcciones de loe "or.".porrdi"rrtes
ejee principales.
lo'7' Encontrar: (o) los momentos de inercia, y (b) los productos de inercia de una placacuadrada de lado o con respecto a los ejes x, ! y z tomados como se muestra en lafigura 10-8.
(a) El momento de inercia de un elemento dx dy de la placa conrespecto al eje r, si la densidad es a ee o1r2dr dy. F.n_tonces el momento de inercia de la placa completa conrespecto al eje r es
/^¿ A1,. = | | nU2du¿U = *oo+ = $Moz (r)¿x=o Jy=o ó
ya que la masa de la placa ea M - oa2.
Análogamente, el momento de inercia de le placa conrespecto al eje y es
fa f¿Iou = .t - -t or2d.ndy = *nno = t [o, (2)v x=0 t y=0
lo cual ee evidenüe por la simetría de la placa.
El momento de inercia de dx dy con reepecto el eje z csmento de ine¡cia de la placa completa con ¡€specto al eje z es
1", = Í"_^ f ^^n2rszlitnd.y = tnoz + *Map = *rwaz (s)"z=0 úl=olo cual tanbién se obtiene del teorema de los ejes perpendiculares.
(ó) El producto de inercia 'lel clemento dx dy de la placa con respecto a los ejes , y y es ory dx dy, demanera que el producto de inercia de ra placa total respecto a estos e¡es es
I,t = Io, = -1,"=o f_onruorn, = -loa+ = -tAoz U)
El producto de inercia del elem¿nto dx dy de la placa con ¡especto a los ejes r. y z esel productoodx dy por las distancias a loe plcnot yz y xy, las cudcs .on , y 0 respectivamente. Entonces te-
Ir, = Iu = Q, y análogamente Iy2 = Ia = g
ro'8' Determina¡: (o) los momentos principales de inercia, y (b) las direcciones de los ejesprincipales para la placa del problema t0.?.(¿) Segrin el problema 10.6 y los resultados (I)-(5) del problema 10.?, obtenemos
*Mú-I -lMot 0
-tMú +Mú-r o
0 lMoz-Io [($aaz-Ir(trMa\-I) - (-lÚaz)flaa2\lfiMaz-4 = 0
la cual puede escribirse
llz - lMozl + +lHÚzgtll}Úo,z - 4 = 0
Haciendo el primer factor igual a cG¡o y u¡ando la f&mul¡ de la ecueción cuadrática para obtener/,encontramos que las tree raíces dc (I) con,
11 = .frMol, 12 = fiMé, I" = NMozque son los momentos principales dc inprcie.
(5)
(J)
(2)
262 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO
(á) Para determinar Ia dirección del eje principal correspondiente a 1r, tomamos
las ecuaciones(fÚaz-Ilr,- lMazotu * 0o, = 0 I
-!Mo2o,*([Moz-I)oo*0o, = 0 |0ror * }ou * ($MaL-I),, = 0
J
Las dos primeras ecuaciones dan ot : o' mientras que la tercera da o' :ción del eje principal es la misma que la del vecto¡ velocidad angular
c = o¡i*otri*r.k = otri*'"i = or(i*i)
En la figurade masa o d¡ conpecto al eje z es
IcAP. ro
I:It:$Mozen
(3)
0. Po¡ tanto, la direc-
Entonces eI eje principal correspondiente a fr está en la dirección i * j'
Similarmente, haciendo I : I¿ : Lr"Mo" en (3) en-
contramos @v : -az¡ @z :0 de manera que la direcciónde los correspondientes ejes principales es r = ori - t"i =
lO.lO. Encontrar los momentos principales de inereia en el centro del elipsoide
frz -a2 -?2 : lar- v- e r
""(i-i) o i-i.Si hacemos I : Is : trMa2 e¡ (3) encontramos o' :
0, ,, : 0 mient¡as que @, es arbit¡ario. Esto da, ¡ :o,k de donde se deduce que el terce¡ eje principal está en
la dirección k.
Las di¡ecciones de los ejes principales se indican por
i + i, i - j y k en la figura l0-9. Nótese que son mutuamen-
teperpendicularcsyque i+i e i - j tienenlasdireccionesde las diagonales de la placa cuadrada que son las líneas de
simetría.
El momento principal de inercia puede también de-
terminarse identificando las líneas de simetría.Fig.10-9
lo.g. Encontrar los momentos principales de inercia en el centro de una placa rectangular
deladosayb.El eje principal se encuentra a lo largo de las direcciones de simet¡ía y debe estar a lo largo del eje r,
del ejey y del eje z (este último perpendicular al plano ry) como en la figura 10-10.
En los problemas g.6, g.9 y 9.11 se encontró que los momentos principales de inercia eran fr : ]nMa2,12:+,Mb2, Ie: +M(a2 + b2).
Fig. r0-10 Fig. l0-lr
l0-11 se indica una octava parte del elipsoide. El momento de inercia del elemento drrespecto al eje z o eje "3" es (r2 * y2lndr, y el momento total de inertia con res-
I3 = ,1""=, !,':* Í"",:* (rz*v2)odzd.ada
Integrando con respecto a z obtenemos
cAP. 101 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO
ra nbr/'t -- - "-:FF8"c | | trz+yz¡F @rlo+uryo\ ¿a a,Jx=o Jl=o
263
Pa¡a efectua¡ la integración hacemos aX, y : bY, donde X y y son nuevas va¡iables. Entonces la
(ozXz * bzy\ \/T= etz + yE\ ¿Iy dX
integral puede escribirse
Introduciendo coordenadas polares g, e en el plano Xy se obtiene
fr ¡t/2Soabc | | @rn, cos2 o * b2R2 senz e) y'f: nz R dR de
"R=o "e=o
= zroabc(az + b\ .f ̂ ns {t - nz ¿n = ftroabc(az + bz¡-R=o
donde hemos hecho la sustitución I - R2 : (J2 pa¡a calcular la última integral.Como el volumen del elipsoide
", ,rar:ó":.la_masa ll : ftoa_bc y por tanto Is : +M(a2 + b2).Por simetría encont¡amog I, : *M(br" I c2), I, : $M1az \ ez¡.
lo'11' Supongamos que el elipsoide del problema 10.10 es un esfe¡oide achatado tal quea : b en tanto que c difiere ligeramente de a o b. Demostra¡ que con un alto gra-do de aproximación (/a - Ir) fi, : | _ c /a.
Delproblema 10.10, si o: b entonces rs|rl
= "? -4^ - (o--cXotc). perosicdifiereIr a2 I cz - a,2 + c2-'
sólo ligeramente de o entonces o * c = 2a y a2 t c2 = 2a2. Asíaproximadamente.
(Is-It)/I: (a-cl(2a)/2az = t-c/a,
lo'12' Resolver el problema 10.11 si se considera la Tiena como un esferoide achatado.Como el diámetro polar o distancia entre los polos norte y sur es alrededor de ?g00 millas mientrasque el di¡6met¡o ecuatorial tiene aprorimadamente ?926 nillÁ, entonces tomando el eje polar como eleje "S" tenemos % : 79ff, 2a - 7!26 o c : 3g50, a : 8g6g.De acuerdo con el problema 10.11 (.f¡ _ I)/h : | _ ggfi/ggfi} : 0.OO32S.
ELIPSOIDE DD INERCIAl0.l3. Sup ercia de un cuerpo rígido t conresp se intersecta en O son 1,,, f"",I:, ue el momento de inercia de
ff gulos a, A y I con los ejes Í, ! y z, respec_
I - I,,CoS2aJ-Iyycos2B+ Iucos2y+ z[,!cosa cos B + Zl,"cosc cos.y * Zly.cosp cosy
tserl ¡'l t-xz
soobc | |ux=o ¿y=o
Un vector unitario en la dirección del eje está da-do por
n = cosci * cospj * coaykEntonces si rar, tiene un vector de posición ry, su mo_'¡ento de ine¡cia con respecto al eje OA es *rDj d,oo_de D., : lr, X nl. Pe¡o
üv Uv zu
cos a cos B cos Y
(Vv cosf - z, coe pli* (2, coaa - r, coayli
ryXD =
* (rrcoeF - A, cosa)k Fig.10-12
2U MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO IcAP. 10
y lr,Xnl2 = (yrcosy-zveosF)2 * (zrcosd- rrcos¡lz * (rrcosp-gucosa)2
= fu\+1)cos2c * 1r!+zl¡coszp * (4,*a?)coszt
- 2rr1rcogdcos B - 2rrzrcosacos1r - ZUrz, cosBcosT
Así, el momento total de ine¡cia de todas las masas zl, es
| = 2-rD?r ) ( -') ( ^l12*,<o3+fi¡l cosz" + 1> m,,1rl+4,)l.o"B + j2*"@?+u?)l cosz^¡
L-)tJlrr I (- I
+ 2'{ -2*,nua,f .o.o.o. P + 2l-2*,',",f cosocosTtJl.')* ,
{->*,u,",\ cosp cosY
= I""cosza * fru cos2 B * It cosz'Y
+ zlxy cos d cos P + zln cos a cos 'y * 2Iy, cos p cos 1
10.14. Encontrar una ecuación para el elipsoide de inercia correspondiente a la placa cua-
drada del problema 10.7.
Según el Problema 10.? tenemos
1", = fMaz, Ion = $Mo2, 1., = ftMaz, Iru = -[Maz, Ir, = 0, Iu" = 0
Entonces la ecuación del elipsoide de inercia está dado por la ecuación (20) de este capítulo,
*Mrrp?t fMazp!,* NÚazpz,- [Mazp,pu = L
p?+ p?+2p?-tp'py = slMo?
ECUACIONES DE EULBR DEL MOVIMIENTOl0.l5. Determinar una relación entre la variación en el tiempo del momentum angular
de un cuerpo con respecto a ejes fijos en el espacio y ejes fijos al cuerpo.
Si los ejes del cuerpo rígido se escogen como ejes principales que tengan las direcciones de los vecto-
r€s €1, €r Y ec respectivamente, entonces el momentum angular será
0 = ft¿¡r€r I l2o¿e2* /3o3es
Ahora, según el problema 6.1, si n^ y ü se refieren respectivamente a los ejes fijos en el espacioy a los ejes
en movimiento sobre el cuerpo, entonces
dql dol ¿ oX07ll" = Elo r= t'0"'**,"lllT;i;::;
X (r¡0,1e1 * r2o2e2*rso,ses)
= t¡'s' I 'il;J'i;;;I;,;,,1'fi'
* (rr - rs)o1orsle2
lO.16. Deducir las ecuaciones (22) de Euler del movimiento'
Según el principio del momentum angular, tenemos
. dol^ = fr| (t)
donde A es el momento externo total. Escribiendo
A = Arer * L2e2* Ases Q)
donde a1, A2¡ As son las componentes del momento externo a lo largo de los ejes principales; usando (l)
y los resultados del problema trO.15' encontramos
cAP. 101 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO
IrSr+(Is-I2lo2ogIz32 + Qr- fs)ú,s(ú1
Is33 + (I2 -I1lo4ot2
_ ^,.l-Arf
_ ^sJ
2ffi
(3)
MOVIMIENTO LIBRE DE FUERZAS DE UN CUERPO RIGIDO.ROTACION DE LA TIERRA10'17' Un cuerpo rígido simétrico con respecto a un eje tiene un punto fijo sobre este eje.Discutir el movimiento rotacional del cuelpo, suponiendo que no hay fuerzas que
actúan, exceptuando la fuerza de reacción en el punto fijo.Escogemos los ejes de simetría coincidentes con uno de los ejes principales, digamos en la direccióne¡. Entonces It : Iz y lae ecuaciones de Euler ." arpr"r"r,
"rí.¡r;r + (fs-f¡)ro2r,r3 = g
Ii'2+ Qr-fs)ruso¡ - 0
fsós = IDe (3), o,a : constante : A así que (I) v e) después de dividir por f¡ se escriben,
. /Is-Ir\.*+\-f )a"z = o
' ' /It-I"\óz+\f,)e', = o
Diferenciando (5) con respecto a ¿ y usando (4), encontramos
;,+(+)'*,, = o
'ó2* x2o2 = g
tr = ltt;ttl,I rt I
.ú2 = Bcogrú{f,senrüSi escogemos la escala de tiempo de mane¡a eue rrr2 : 0 cuando ú - 0, entonces
oz = Ceenrt (g)
y de (5) obtenemos
Por tanto la velocidad angular ea
ot = C co'rt
a = úrrcr t tt2Q2 I ogeg
= Ccosrú e, * Csenrúe2 * Áca eI)De donde se concluye que la velocidad angular tienemagnitud constante igual a o : l.l : \rcTAny tiene movimiento de precesión ahededor del eje ,.8,'con frecuencia
o
donde
Regolviendo (7), encontramos
(r)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
@
(8)
(r0)
(r2)
como se indica en la figura 10-18.
Nótese que el vector o desc¡ibe un cono al¡ede_dor del eje "3". Sin embargo, este movimiento es re_ ülativo al eje principal del cuerpo que a su vez está ro-tando en el espacio con velocidad angular o.
Fig. 10-18
ro'r8' Calcular la frecuencia de precesión del problema 10.1? en el caso de la Tierra querota alrededor de su eje.
f - * = w^
266 MOVIMIENTO DE CUERPOS RreIDOS EN EL ESPACIO lcAP. 10
Como la Tierra rota alrededor de su eje una vez por día, tenemos que oa : A - 2¡ radianes/día.Entonces la frecuencia de precesión scgún los problemas 10.12 y 10.17 es,
| = l/Is-Ir\. L/ -\ Ir - úlT)^ = ;(t -;)o = ;;to,ooaxt (2¡):0,00328radianes/día
El peíodo de precesión es P - l/ t : 305 días. El período obse¡vado es de 430 días, y la dife¡enciapuede erplica¡se debido a que la Tie¡ra no cs complctamente rígida.
LINEA Y PLANO INVARIABLES.PHOLODE, HERPOLHODE, LOS CONOS ESPACIAL Y DEL CUERPO
lO.l9. Describir la ¡otación de la Tierra con respecto a su eje en función de los conos espa-
cial y del cuerpo.
Según el problema 10.1? la vclocidad angular o y el momentum angular f) est¡í¡ expresados
respectivamente por
; = ;::" ;",i;i:,;::';:;.:.:;;i":i",, *,"n",
Supongamos que a es el lngulo entre r¡ - oaG¡ - Ae¡ Y O. Entonces
.s.o = l.sl lol coec = At@@cos" = IsAz
Y co' 't = IEA
,{FtwAnálogamente si p es el ángulo entre os y o. Entonces
.s'o = lrsl lrl cos p = A¡/CL lT cos p = Az
cosÉ =tlC¿ + lz
D€ (I) y (2) vemos que
3€nd = senll = C
{O +E
AsíI'c ctlnc = ;|-, tanB = :Ist'^' A
t¿nc = \tan P ¡s
(5)
Ahora, para la Tierra o para cualquier esferoidc achatado (achatado en los polos) tenemos It 1 Ia.Portanto c( P.
La situación puede representarse geométricamenüe mediante la figura 10-14. El cono con eje en Ia
dirección f) está fijo en el espacio y se llama cono espociaL El cono con eje t3 : o3€s que se consi-
dera fijo en la Tiena se llama cono del cuerpo. El cono del cuerpo puede rotar sobre el cono espacial de
manera que el elemento en común sea el vector velocid¡d angular ¡. Ahora
rgXo =
C1 O2 C3
004I1C cos xt I1C aen xt IsA
= -AILC sen rú c1 + AILC cos rú e2
O . (rs x o) = (I1C eot rü c1 * /¡C sen tt c2 * IsAcs)
.. t'AItCa¡ rú r1 * AIIC aotxt c2l
=Q
Así pues
cAP. 1ol MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO 267
LOS ANGULOS DE EULER1o'2o' Usando tres figuras separadas demostrar la forma como el sistema coordenado ryz
de la figura 10-4 se trasforma en el sistem a x'y'z'mediante rotaciones sucesivas de losángulos de Euler ó, 0 y ú.
Se deduce del problema l.2l(ü) que O, og y ¡ están sobre elmismo plano.
.- Un observador fijo en el espacio podría ver el vector o des-cribiendo el cono espaciat (figura 10-14). Un observador fijo alcuerpo podría ver el vector o describiendo el cono del cuerpo.
En el el con conodel cuer¡ro ( Ie. roidealargado, I sa es y elcono espac del co lema10.121).
Refiriéndonos a las figuras 10_15, 10-16 y l0-l?, lañgura 10-15 indica la rotación de los ejes : y y un ánguloC para llegar a los ejes X y y, respectivamente, mante-niendo el eje z igual al eje Z.
En la figura 10-16 se indica la rotación del eje X unángulo 0 de manera que los ejes y y Z de la figura 10-15se trasforman en los ejes y,y Z', respectivamente, de la fi-gura 10-16.
En la figura 10-1? los ejes Z' o e, se rotan en ángulof de manera que los ejes X, y y, se trasforman, respecti-vamente, en los ejes r, y y'.
En las figuras ee han indicado los vectores unita-rios sobre los ejes r, y, z; X, y, Z; X,, y,, Z'y r', y,, z,pori, j, k; I, J, K; I,, J,, K, e i,, j,, k,, respecrivamenre.
Fig. l0-16
ro.21. Errcont¡ar las relaciones entre los vecto¡es unitarios:10-15, (ó) I, J, K eI,, J,, K'de la figura 10_16, (c)10-17.
Fig.l0-15
z
Fig. r0-r7
(a) i, j, k e I, J, K de la figural', J', K'e i', j', k'de la figura
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO [CAP. 10
(a) De la figura 10-15,,
i = (i.t)f +(i.J)J +(i.K)K = cosóI-senÉJt - (i.I)I+(j'J)J+(i'K)K = senCI+cosoJk - (k'I)r+G'J)J+(k'K)K = K
(b) De la figrrra 10-16,
I - (t. t')I' + (r. r')J' + (I . K')K', = l'J - (t.I')I' + (J.J')J' + (J'K')K' = cosdJ' - senrK'K = (K.l')I' + (K. t')J' + (K. K')K' = sen t J' * cos, K'
(c) De la figura 10-17,
l' = (I'.i')i' + (I'.j')j' + (l'.k')k' = cos,y'i' - senúi'
! = (J'.i')i' + (J'.i')i' + (J'.k')k' = aeng i' * cosg j'K' = (K' . i')i' + (K'. j')j' + (K' . k')k' = k'
LO.22. Expresar los vectores unitarios i, i, k en función de i', j" k'.Segin el problema 10-21,
i - cospt-senÉJ, t - senpl*cospJ, k=K
I = t', t = cosrJ' - sendK', K = senrJ' * costK'
l' = cosúi' - sen'y' j', J' = senúi' * cosgi', K' = k'
Entonces i = cosóI-s€nOJ = cosóI'-senÉcosdJ'*senpsenrKf
= coso cosg i' - cososen!y' jl
- senO cosdsen I i' - senp cos, cos,¿ i' * sen ÓEent k'
= (cos p cos ry' - sen O cos, sen ú)i'* (- cos É sen ú - sen O cos , cos ú)i' * sen d sen , k'
j - senpI + cospJ = senpI' * cospcosrJ' - cospsenrK'
= sen o cos.ry' i' - sen o senú if* cosp cosdsen g i' * cosp cosr cosrr i' - cos4send k'
= (senp cos 'y' * cos O cos, senrr)i'
* (-senpsen ú * cosqt cost cos'y')i' - cospsen, k'
t¡ = senrJ'* costK' = senrsen,pi'* senrcosry' j'* cosak'
10.23. Deducir las ecuaciones (25)
ó = or6k*rol,*ogK'= ih+irr+,!r,= fisencsen 9i' + a.senrcosVi' + 6 cosrk'
* ácos,t,i'- ásenúi7 +,ik'= (ó sen e sen {, * i cos,p)i'
* (ó sena cosú - isen,y')j' * (ó cog, +'¡)k'
Como o = or,i'* or,i'* tr,Ix',
@r, ol : i."na."og*icoag6t, -J oz = iretracosg - iseng
@2. os = icosc * 'i,
cAP. 101 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO
10.24. (a) Expresar la energía cinética de rotación de un cuerpo úgido con respecto al ejeprincipal en función de los ángulos de Euler. (b) Si It : Iz, ¿qué resultado se ob_tiene en (o)?
(o) Usando los resultados del problema 10.23, la energía cinética está dada por
T = [(I'"? + 1".!+ Iruzr¡
]I¡(isen esen ry' * i cos,¿¡z
* $I2(isen e cos4 - ósenp¡z + tlrti cose + i¡z(ó) Si f, : 12, el resultado puede escribirse
T = llr($zaenzc+A\ + *Ir(ócosa+,i,¡z
MOVIMIENTO DE SPIN DE TROMPOS Y GIROSCOPOS10.25. Establecer las ecuaciones del movimiento de un trompo que tiene un punto fijo O
(figura 10-18).
Representemos por ryz un sistema iner-cial frjo de ejes que tienen el origen O, y porx'y'z' los ejc,l principales del trompo que tie-nen el mismo origen. Escojamos la orienta-ción del plano r'y' de tal manera que Oz, Oz,y Qr' sean coplanarios. Entonces el eje r, estáen el plano ry. La línea ON en el plano r,y,forma un ángulo ry' con el eje r, que se supo-ne fijo al trompo.
La velocidad angular correspondiente ala rotación de los ejes r'y'z' con respecto a losejes ryz es
ó = olel * o2e2 * o3e3 (,f )
Al obtener el momentum angular debemosusar el hecho de que al sumar la componenteos debida a la rotación del sistema r,y,z,existe también la componente s : se3 : fe3 rdebido a que el trompo tiene spin alrededordel eje z'. Entonces el momentum angular es Fig. l0-lt
O = f1o1e1 * I2a4e2 * /3(os * a)es e)Ahora si los subíndices / y ó denotan el sistema fijo y el eistema del cuerpo respectivamente, tenemossegún el problema 6.1,
* oXO
Remplazando (1) V Q) en (3), encontramos
269
do ¡tod,t, dtu (3)
(4)
(5)
#1, = {r1;r + Qs- I2l.,2os* rsr.r2s}e1
+ {12;t2 * (Ir - fs)r1,.rs - fsorls)e2
+ {Is(;s + ¡) + (t2 - f1)ro1ro2}e3
El momento de fuerza total con respecto a O es
I = (teJ x(msl = (hs) x(-rnskl
k = (k.c1)e1 * ft .e2)e2 * ft .eJcs = coa(r/Z- o)e2*cosc o¡
= sen , cz + cog, es
Como
el momento es A = -mgl(esKk) = m4l senC e1 (d)
270 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO f cAP. ro
Entonceg usando A con ft : f2, encontramos de (4) y (6),
fr¿r + (fs -11\,,;2us* I*zc = ,nglsenc
Iirz + gr- ls)ú,1ú,¡ - Isúr1e = 0
ts(ós+i) = O
10.26. Expresar las ecuaciones (7) del problema 10.25 en función de los ángulos de Euler 0
y ó de la figura 10-18.
Las componentea r.r¡, r¡r2, .r3 pueden obtenerse del problema 10.23 haciendo ú : 0.
Encontramos @t = ó, u2 = $sen.o, or, = i cosa (t)
Entonce¡ lag ecuaciones (7) del problema 10.25 se convierten en
IrA + Qs-Irl62senrcosd I lg$e sen, = motsenefI1(fisenc+6bco8t)+(It-Is)'cbcosr-Isbs= 0 I Q)'l
r3(ffcosc - j,isenr+i) = o )
Las cantidade " ó, i y s se conocen como las magnitudes de la uelocidad angular de precesión, de nutación
y del spin respectivamente.
10.27. Demostrar que las ecuaciones (2) del problema 10.26 pueden escribirse como
(a) ItU - f,ó2sen 0 cosl * IA$senl = mglsenl
(b) /r(fisen e + 26b coso) - IsAá = 0
donde A es una constante.
De la tercera ecuación en (7) del problema 10.25,
og*e =,4 o I = A-tsSuatituyendo estos ¡esultados en la primera y segunda de las ecuaciones (7) se obtiene
I1ó1 - I{'t2tts * Istr2A = ,¡'tgl senl
fr,i2 * frotrng - fsr.r¡r{ = 0
Usando los resultados (f) del problema 10.26, encontramos que las ecuaciones (2) V (3) corresponden a
las ecuaciones deseadas.
10.28. (a) Encontrar la condición de precesión constante de un trompo.(ó) Demostrar que son posibles dos frecuencias precesionales.
Co¡¡o 0 es constante entonces ii : O, y según el problema LO.27(a),
.tOl=-l dt lt
(7)
(r)
(2)
(3)
o
de lo cual
(friz cos c - ItA$ I mgll aena = O
Ir$2 coae - IAi I mgl = o
. IsA = t/@ lng¿Ireo.c- , "t"0
(r)
Por tanto hay doe frecuenciae ya que
filz , Amglllcoae (2)
Si ftnz : 4 mgllt cos 0 sólo es posible una sola frecuencia.
Si á e¡ muy grande, es decir si el spin del trompo es muy grande, entonces existirán dos frecuencias,una grande y una pequeña, dadas por
IsAl(l1 coe el, mCIlIsA (3)
cAP. r0l MOVIMIENTO DE CUERPOS RreIDOS EN EL ESPACIO
fO.29. Demostrar que
(¿) tI{42 +i2sen2 0) + +IA, + nlg|ccn| = constante = E(b) /rósen2l * IsAcos| : constante : K
y dar una interpretación física de cada resultado.(o) Multiplicando las ecuaciones (7) del problena 10.2b por e,r, 2 y o¡ * s, reepectivamente, y aumán_
dolas obtenemog
^I1(o1ó1 *'Árl * fs(os + aXrh + i) = mgü¡r'ito á
lo cual puede escribirse como.T
fitgr<"?+ ,?rl + {re(o¡ * r)2} = frFm4.oaolIntegrandoyusando c¡s *s :A y también or : í y .rz: iseni, ¡eobtiene
*It|2+62tr'ln.z0l+*1¡A2*mslcoto = E (t)
donde E es constante. El resultado es equivalcnte al principio de la conservación de la enprgía, pues-to que la energía cinética es
f = f,Ir1iz* Feenlo) + {I¡tzmient¡as que la energía potencial es V = mgl cocl
y T + V : E es laenergíatotal.
(ó) Multiplicando el resultado del problema LO.ng) por sen 0
llieen2o t Zlr$ósenrco€o - IsAi*no = 0
,tfr(Iisenzo*I¡Acorcl = 0
flisen2o t ly'coao = coristante = K
Para inte-rpretar este resultado físicamente, nótese que la componente vertical del momentunangular es f¡f sen2 0 + IsA cos | (véase el problema ro.rzg), que debe ¡er constante porque elmomento debido al peso del trompo tiene una componcnte cero en la dirección vertical.
lO.3O. Sea u : cos d. Demost¡ar que
(a) ú,t = ("-Fu)(t-utl-0-su), = f(uldonde n= 2(E -llf,Ázlllu F = 2mgtllb | = KlIt 6 = IAII|
271
(2)
(3)
lo cual puede escribirse
Integrando,
(b)
(a) Segrin el problema 10.29,
(4)
tlr(iz + i2 een¿ ol
fli seni r
De (2), A =Sustituyendo éata en (I)
t - Í#*constante
+ y4' * nglcoao = E
i l¡Accro = K
K-Iy'esc11rr;n2 o
(1)
el
Lf.Zt + (K - It/l co¡cPttr'-T --7¡6;t, +yr'Lr*ñglcoso = E
(3)
272
rO.3l. (a)
(b)
(o)
MOVIMIENTO DE CUERPOS RJGIDOS EN EL ESPACIO IcAP. l0
Tomando u: cos0 entonces ú: -senCd y sen20p¡esa
Y'h.##rmstu- /K_J#"\z - 2mslu(l-uz)
=Así ú2 + l-r rt / Ir
lo cual puede escribirse como
: 1 - u2, la ecuación anterior se ex-
= E-tl$t
,!f ,, -+rsAz,)
donde
'i& - ("-Fu\(l-uz)- (r-or¡' = f(u\
a - (28 - IsAz)lIb g = Zmglll¡ 1 = KlIy A = IsAlIt
(4)
(5)
(ó)
Obgé¡vese que con esta notación (3) puede escribirse
¿,_#Del resultado de (a) como ri > 0 tenemos
. ilu r-;;--- ,, duu=ñ=VÍlu') o ctc= rm
Integrando t = !f*."La integral puede calcularse en términos de funciones elípticas, las cuales son periódicas.
Demostrar qne d : 0 en aquellos valores de u para los cuales
f (u) = (a - Bu)(L - u2) - (t, - 8z)'¿ - 0
Demostrar que la ecuación en (a) tiene tres raíces reales, ttr, ttz, u3, auDQü€
en general, no todos los ángulos correspondientes a éstas son reales.
Según el problema 10.30(¿) irz = l(u') = (a - ?u)(l - 6\ - (y - 6u\z (t)
Como r?: -senc á:O sededuceque á:0 donde ü:0, o f(u\:0.Así, d:0 enlas
(6)
(7)
¡aíces de la ecuación rfu) = (a- Fu)ll-uzl - (l-dz¡z : g
(b) La ecuación (I) puede escribirse como
Í@l = put - (62* a\uz 4 (2.16- P)u t a - 72
Como P > 0, se deduce que
/(.) - ., /(-.) - -./(1) - -(7 - 6)2, /(-1) = -(r + 0¡,
Entonces hay un cambio de signo de-. a * cuandou varía de I a -, y portanto debe existir una raí2, digamos u¡,entre 1 e ó como se indica en la figu-ra 10-19.
Sabemos que para que el tromPose mueva debe cumplirse Ífu)ú2 Z o. Además, como 0 3 c < r/2,debemos tener 0 < u 5 1. De dondese deduce que deben existir dos raícesut ! uz entre 0 y 1, como se indica en
la figura.Se deduce que en general haY dos
ángulos correspondientes 0¡ y 02 talesque cosC¡ : tttt cos02 : u2. Encasos especiales puede ocurrir que u, :II2Oll2:U¡:I.
(2')
(3)
f(ul
Fig. l0-19
cAP. 101 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO 273
f O.32. Dar una interpretación física de los resultados encont¡ados en el problema 10.31.
El hecho de que existan dos ¡aíces ut y uz conespondientes a 0¡ ! a 0z respectivamente, de-muestra que el movimiento del trompo es tal que su eje siempre forma un ángulo e con la vertical ubi-cada entre ct ! 0¿. Este movimiento, de cabeceo del eje entre los línites 0t ! 02, se llama nutacióny tiene lugar simultáneamente con el mouimiento de precesión del eje del trompo alrededor de la vertical,y con el de spin del tr,ompo con ¡especto a su eje. Debido a que el movimiento puede erpresarse en térmi-nos de funciones elípticas (véase el problema f0.104), podemos demost¡ar que es perirídico.
En general el extremo superior del eje del trompo describirá uno de los diferentes tipos de curvasque se indican en las figuras 10-20, 10-21 y L0-22. El tipo de curva dependerá de la raíz de la ecuación(véase la ecuación (6) del problema 10.30)
6=#=oSi la raíz dada por t/¿ es mayor que ur, se obtiene la cu¡va de la figura 10-20. Si es igual a ur, serála curva de la figura 10-21. Si está entre ut ! uz, describirá la curva de la figura 10-22. Pueden presen-tarse otros casos si la raíz es igual o menor que u1 (véase el problema 10.124).
(t)
0=or 0 = 0l
yl6 ) u"
Fig. l0-20f/8:u2Fig.10-21
tt, 1 yl6 1u2Fig.10-22
Además del movimiento general en el cual ocurre nutación y precesión, pueden presentarse varioscasos especiales. Uno de éstos es el de precesión estable sin nutación (véase el problema f0.28). En este ca-so lz¡ : u2 de manera que tr : 02 o 0 : constante. Ot¡o caso es el del "trompo dormido", que ocu¡Tecuar¡do u2 : ttx : 1 y el eje de spin del trompo permanece siempre vertical (véase el problema 10.36).
PROBLEMAS VARIOS1O.33. Si ? es la energía cinética total de rotación de un cuerpo rígido con un punto fijo, de-
mostrar qtre dT/dt : o'A donde todas las cantidades se refieren a los ejes prin-cipales del trompo.
Multiplicando ambos lados de las ecuaciones (3) de Euler del problema 10.1G por @r, @2 y @s,respectivamente, y sumando obtenemos
.ft"tó1 * Iro2á2 I f3orsóg = o1A1 *o242*r,rsA3
Pero r,oró1 * I2o2á2* r3osós - f,ftU"?*Iroftts,ll = {
y o¡41 * o2A2 * o3As = (oler * o2e2* o3ca).(Ater* A2e2*A3e3)
Así (1) es
= o.A
ilTld,t = o.L
fO.34. (a) Demostrar que si no hay fuerzas que actúen sobre un cuerpo rígido con un puntofijo, entonces la energía cinética de rotación es constante. (b) Entonces probar queo.O :27 : constante.
(r)
(2)
(3)
(4)
(o) como no hay fuerzas, A : o. Entonces según el problema lo.gs, dr/dt : 0, o ? : constante.
274 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO
(b) Como O = /1o1e¡ * I2o¡e2* f3r,rse3 y . = o1G1* olp2t os3gr
r'O = lr,,ft+ Itazr* Isu! - 2? = constante
10.35. Determinar la f¡ecuencia de precesión del problema 10.17 en función de la energía ci-nética y del momentum angular del cuerpo rígido.
La energía cinética es
r = $(I."?* ly,fi* rsú,!) - |(/r"? + rr.or2 + rr,3) = {(Ir@ + IsAzl'
o sea
El momentum angu.lar es
IrCe+IsAz=27
O = f¡<o1c1 *I2o¿92*Is@scs = f1ole¡*Ip2e2*fso3e3
= frC(cos rú c1 * srin rú c2) * IsAcs
así o=lol=t@z+PrA2 o
Écz+IlAz = sz
Resolviendo simultáneamente (I) y (2), encontramos
2TI" _ Q2 Q2 _ 2TIIc2 = Tñ-n' Az = 4gr-tu
Entonces según el problema 10.1?, ecuación (12), la frecuencia de pregesión es
1 ll(o, - 2flrxts - IJIt- últ
fO.36. Encontrar la condición del movimiento de un "ttompo dormido".
Paraun"trompodormido"debecumplirseque0-0ye:0,debidoaquesuejedebeestarvertical y no debe ocu¡rir nutacion. Entonces según el problema 10.29,
I4 = K, IsAz - z(E-mstl
También,según elproblema10.30, o:2mgl/lt,9:2mgt/It,t: IsA/It, ¡: IÁ/\. Entoncesa : A J 1 : 6, Yportanto
f(ul = (a-Pu\(l-u2)- (r-orr¡, = c(1-ul(L-uzl-72(l-u)z = (L-u)zla(Ltul-'¡21De donde se deduce que ¡f(u) : 0 tiene una ¡aíz doble u : 1, mientras que la tercera raíz está dadapor
lcAP. 10
(r )
(2)
(3)
(4)
Entonces el trompo estará "dormido" si esta raíz es mayor o al menos igual a l, así que
Az 2 4¡ngTtll?
En general, aunque esta condición pueda aplicarse al comienzo del movimiento, en la práctica laenergía disminuye debido al rozamiento en el soporte, de manera que después de algún tiempo se tendrá
A2 < 4mElIt/I!. n" tat caso se presentará nutación además de precesión. Además la pérdida de ener-
gía ocasionará finalmente la caída del trcmpo.
fO.37. Encontrar el momento necesario para que una placa de lados o y b (fieura 10-23) rote
alrededor de la diagonal con velocidad angular constante o.
Según el problema 10.9 los momento¡ piincipales de inercia de la placa en el centm de O están da'
dos por
t--1= #,-,
11 = SMoz, Iz - #Mb\ It = $M(a2 * b2)
(o. i)t + lo. t)loa.ob
t/oz I Sz {oz * V
Tenemoso
(r)
(2)
cAP. 1ol 275
(3)Así
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO
¡,Jl = -oó{a, + br' {oz t gz
úrg=0
Sustituyendo (l) V (3) en las ecuaciones de Euler
frór+(fs-12)oúls = ¡,I2irz+ Ur-fs)oso1 = A,
Isi4 + Q2- f1)or1r,r2 - Ag
momento requerido con respecto aOes
(4)Á = M(b2 - azlab<'P ,-
n@2+b4 R
Nótese que si la placa rectangular es cuadrada, es decir, si o : b entonces a = 0.
Problemas propuestos
MOVIMIENTO GENERAL DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIOlo'3E' Determinar el número de grados de libertad de: (a) una esfera que rueda lib¡emente sobre un plano, (b)
un elipsoide que rota con respecto a un punto fijo, (c) un avión que se mueve en el espacio.8esp. (¿) 3, (b) 3, (c) 6
fO.39. En la figura 10-24 se indica el desplazamientode un tetraedro en el espacio. Demost¡ar di¡ecta-mente que el desplazamiento puede exp¡esa¡secomo uno de traslación más uno de rotación conrespecto a un eje adecuado, como se ilustró enel teorema de Chasle para el espacio.
lO,4O. Dar una ilustración similar a Ia del problema10.39, para un cuerpo rígido cuyas superficies noson planas.
l0.4l. Deducir los ¡esultados del problema 10.2 sin usarlos del problema 6.1.
encontramos Ar = 0, Az = 0, n, = H##. Así el
(a) (ó)
Fig. r0-24
MOMENTUM ANGULAR. ENDRGIA CINETTCA. MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIAlo'42' Un cuerpo rígido formado de 3 partículas de masas 2, L, 4 localizadas respectivamente en los puntos (1,
-1' 1)' (2,0,2), (-l' l' 0). Encontrar el momentum angular del cuerpo si éste rota alrededo¡ del origencon velocidad angular o: 3i - 2i + 4k. Resp. -6j * 42k
10.43. Deterninar: (c) los momentos de inercia con respecto a los ejes r, y y z, y (ó) los productos de inercia delcuerpo rígido del problema 10.42.
Resp. (o) 1,, : L2,1r, : 16, I*: 16; (b) 1," : 6, Iy,: 2, 1,,: -610.44. ¿Cuál es la energía cinética de rotación del sistema del problema 10.42? .Resp. 1g0
lo'45' Encontrar: (a) los momentos de inercia, y (ó) los productos de inercia de una placa rectangular uniformeABCD d'e lados AB : a y AD: b, tomados con ¡especto a los ejes AB, AD y a una línea perpendiculara la placa en 8.Resp. (a) 1,, - +Mb2, Iuu = $Maz, 1," = fM(az I b2l
(b) Iry - -lMab, Io. = 0, 1". = 0llamando los ejes que pasan por ág y AD respectivamente r y y.
Fis.10-23
276 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO IcAP. r0
fO.46. Encontrar: (o) los momentos de inercia, y (b) los productos de inercia de un cubo de arista o tomados con
respecto a los ejes t, y, z qne coinciden con las tres aristas del cubo que se inte¡sectan.
Re.sp. (o) I"r= Iuy- Irr= lMa2, (bl I"u= Irlr= Ir.= -fMa2
10.47, Encontrar: (o) el momentum angular, y (b) la energía cinética de rotación del cubo del problerna 10.46
con respecto al punto de intersección O de las t¡es aristas del cubo, si este tiene una velocidad angularo : 2i * 5j - 3k conrespecto a o. Resp. (a)$,Mor(lü * 43i - 45k), (b) l85Ma2A2
10.48. Encontrar: (o) los momentos de ine¡cia, y (b) los productos de inercia de una esfera sólida uniforme 12 +y2 I z2: ¿2 enelprimeroctante,esdecir,enlaregión r>0, y >0, z>0.Resp. (o) 1",= Iyy- Iu= lMoz, (b) I-= Iy.= Ir.= -2Mozl6¡
MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA. EJES PRINCIPALES. ELIPSOIDE DE INERCTA
10.49, Demost¡ar que los momentos principales de inercia de ún sistema formado por dos partículas de masas
Í,t y t7.z conectadas mediante una varilla ígida de masa despreciable y longitud I son f¡ : Iz :m¡m2l'/(^r+m), I":9.
1O.5O. Encontrar: (a) los momentos principales dé inercia, y (b) las direcciones de los ejes principales del sistema
del problema 10.42.
8esp. (o) f, = 18, Iz= l3-1/i3, fs = 13 +\/il(ó) i+k, +(r+y'?'li-i +k, ü(1-/75)i-i +k,
10.61. Determina¡: (¿) los momentos principales de inercia, y (b) lasdirecciones de los ejes principales para el triángulo rectánguloABC de la figura 10-25 con respecto al punto C.
10.52. Encontrar: (a) los momentos principales de inercia en el cen-
t¡o de un paralelogramo de lados a y b y ángulo agudo a.
10.53. Encont¡ar: (o) Ios momentos principales de inercia, y (ó) lasdirecciones de los ejes principales del cubo del problema 10.46'
ResP. (c) It= Iz- tlMo2, It= fMazFig. r0-25
(ó) El eje asociado con 13 está en la dirección de la diagonal desde el origen. Los ejes asociados con
Ir e Iz tienen direcciones cualesquiera perpendicula¡es entre sí sobre un plano perpendicular
a esta diagonal.
10.54. Encontrar los momentos de inercia de un cilindro uniforme de radio o y altura h,
Resp. 11- Iz = fiM(la2 + h2), Is = $Maz
10.55, Obtener los momentos principales de inercia y las direcciones de los ejes principales de un rectángulo de
lados o y b usando los resultados del problema 10.45 y las ecuaciones (11). Hacer una compa¡ación con el
problema 10.9.
10.56. Encontrar las longitudes de los ejes del elipsoide de inercia correspondientes al rectángulo del problerna
10.55. Retp. ttffia2, 4,ffi, tt/slu1oz + oz¡
1O.57. Encontrar las longitudes de los ejes del elipsoide de inercia correspondientes al cubo del problema 10.46.
R " "
p. 4{3 / flM o2, ^f-Z
I ttÚ oz, 2\/ 6 / M o'
10.58. Demostrar que el elipsoide de inercia de un tetraedro regular es una esfera y determinar su radio.
10.59. Si Ir, ¡2, /3 son los momentos principales de inercia, demostrar que
It = Iz]- Is, 12 < 11* Is, Is = It* Iz
IO.GO. ¿Con qué condiciones permanecen uno o todos los signos de igualdad del problema 10.59?
cAP. l0l MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO 277
10'61' Demostrar que si un cuerpo rígido es un sólido de revolución alrededor de una línea z, entonces .L es el ejeprincipal correspondiente a cualquier parte de .L.
10'62' Suponer que un cuerpo rígido es simétrico con respecto a un plano p. Demostrar que si .L es una línea per-pendicular a P en el punto o, entonces z es un eje principai que pasa por el punto o.
ECUACIONES DE EULER DEL MOVIMIENTO10'63' Un cuerpo rígido que tiene un punto fijo o sobre el cual no actúa momento externo con respecto a o, tle-
ne dos ejes principales de inercia iguales. Demost¡ar que debe rotar con velocidad angular constante.
10'64' Escribi¡ las ecuaciones de Euler para el caso del movimiento de un cuerpo ígido en un plano y discutir susignificado fisico.
10'66. Resolver el problema de un péndulo compuesto usando las ecuaciones de Eule¡.
f 0'66' Describi¡ la forma en que pueden usarse las ecuaciones de Euler para discutir el movimiento de un cilindrosólido que rueda por un plano inclinado.
10.67. Expresar las ecuaciones de Euler en el caso en el cual los ejes no son los ejes principales.
MOVIMIENTO LIBRE DE FUERZA. LINEA Y PLANO INVARHBLDS.FOLHODE, HERPOLHODE, CONOS ESPACIALES Y DEL CUERPO10'68' Si dos momentos principales de inercia correspondientes al punto fijo con respecto al cual rota el cuerpo
rígido son iguales, demostra¡ que: (a) el elipsoide de Poinsoies un eiipsoide de revolución, (b) el polhodees un círculo, y (c) el herpolhode es un círculo.
10'69' Discuti¡: (a) la línea y el plano invariables, (ó) el polhode y el herpolhode, y (c) los conos espacial y del cuer-po en el caso de un cuerpo rígido que se mueve paralelamente a un plano dado, es decii, el movimientoen el plano de un cuerpo rígido.
1o'7o' (¿) ¿Cómo podría usted definir el eje instantáneo de rotación del movimiento de un cuerpo rígido en elespacio? (ü) ¿Cuál es la relación entre el eje instantáneo de rotación y los conos espacial y del cuerpo?
lo'71' Demostrar que con ¡elación al centro de masa el eje con respecto al cual gira en un día rotará alrededorde un eje inclinado 28,5. con respecto a éste 2b.?g0 años.
ANGULOS DE EULER
lO'72. Usando la notación del problema 10.20, encontrar: (a) I, J, K en función de i, j, k; (ó) I,, J,, K, en funciónde I, J, K; (c) i,, j,, k, en función de I,, J,, K,.rBesp. (o) I = cogpi*sengi, J = -senCi*cospj, K = k
(ó) lt = l, J, = cos'J*sendK, K, = _sene J*cosAK(c) i/ = cogú I'* seng J,, J, = -senú I, * cosú J,, k, = K,
10.73. Demostrar los resultados .t. = , CoSO * ¡! send sen p
t,l', = ,senó - úsenrcosó.tz = i+*.o"t,
Lo'74' Si 1r - Iz : Is, demostrar que la energia cinética de rotación de un cuerpo rígido referido a los ejesprincipales es ? = *Ir(it + 6, + i, + Zii coa e).
MOVIMIENTO DE SPIN DE TROMPOS Y GIROSCOPOSlo'75' Un trompo, que tiene un ¡adio de giro con respecto a su eje igual a 6 cm, rota al¡ededo¡ de su eje. El punto
de giro está fijo y el cent¡o de gravedad egtá sobre el eje a-uni distancia de B cm del punto fijo. Si se ooser-va que el trompo tiene un movimiento de precesión alrededo¡ de la vertical dando 20 revoluciones,/mi-nuto, encontrar la magnitud de la velocidad angular del trompo alrededo¡ de su eje.Resp. 3,10 rev/seg ó 19,5 rad,/seg
278 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO IcAP. 10
10.76, Un cono recto circular sólido de ¡adio a y altura l¿ rota de modo que su vértice está fijo y su eje está incli-nado un ángulo c constante con relación a la vertical. Si el eje tiene un movimiento de precesión de pe-
úodo P, encontrar la magnitud de la velocidad angular del cono con respecto a su eje.
l}.l7. Desarrollar eI problema 10.?6 si sobre el cono se acopla una semiesfera sólida uniforme de radio o y de lamisma densidad del cono.
10.78. Explicar físicamente por qué el eje de spin del giróscopo de las figuras 10-6 y 10-7 debe mantener su di-rección.
10.79. Explicar la forma en la cual un giróscopo puede usarse para consegui¡ que un barco, un avión, un sub-
marino o un proyectil siga una trayectoria determinada.
PROBLEMAS VARIOS
lO.8O. Un cubo sólido uniforme de a¡ista ¿ y masa M se dispone de manera que tres de sus a¡istas coincidan conlos ejes positivos x, y y z de un sistema de coordenadas y el vértice con el origen O- Si rota al¡ededor deleje z con velocidad angular o, constante, encontrar el mo¡nentum angular.
Resp. -SMa2o(3i * 3j - 8k)
fo.$l. Encontrar el momento de inercia de un cono sólido uniforme de ¡adio o, altura h y masa M con respecto
a: (c) la base, (b) el vértice. 8esp. (o) hMo", (b)*M(2h2 * a2)
fO.82. Encontrar los momentos principales de inercia centroidales de una placa elíptica uniforme de semieje
mayor o y semieje menor b. Resp. It : +Mb2, Iz : IMa2, Ix : IM(a2 + b2')
fO.83. Un trompo tiene Ia fo¡ma de un disco sólido uniforme de radio a ymasa M y una varilla delgada de masa m y longitud I acoplada a su
centro (figura 10-26). Encontrar la velocidad angular con la cual el trom-po debe rotar para que parezca "dormido". Suponer que el punto O es
fijo.
10.84. Desarrollar el problema 10.&3 ¡eferido a un cono de ¡adio c, altura lr ymasa M.
10.85. Desa¡rolla¡ el problema 10.8Íl para un cono de radio a, altura h y masaM sobre el cual se ha acoplado una semiesfera de radio o y masa m.
10.86. Una moneda de radio t¡ se pone en rotación, con respecto al eje vertical,con velocidad angular o (figura 10-27). Demostrar que el movimientoes estable si o2 2 4g/s-
10.87. Suponer que la moneda del problema 10.86 rota con velocidad angulars alrededor de un diámetro que está inclinado un ángulo d con ¡espec-
to a la vertical y el cual está fijo en O. Suponiendo que no hay nutación,encontrar el valor de la velocidad angular de precesión de la monedaalrededor del eje vertical.
10.88. Discutir la forma en que pueden usarse los giróscopos para controlarlos movimientos de un barco en un mar tormentoso.
Fig. l0-26
Fig. l0-27
10.89. El vé¡tice de un cono sólido uniforme de radio c, altura h y masa M se fija a un punto O de un plano ho-
rizontal. Demost¡ar que si el cono rota con velocidad angular r¡ alrededor de un eje que pasa por O y
perpendicular al plano, entonces la energía cinética de rotación es 3Mh1\:'=+ 2l!:'"'' 4ü(oz* hz)
lO.9O. Explicar cómo pueden encont¡arse los ejes principales de un cuerpo rígido conociendo la dirección de uno
de los ejes principales.
cAP. 101 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO 279
ro'91. un cono sólido uniforme tiene un radio igual al dobre de su al-tura. Demostrer que el elipsoide de inercia correspondiente a suvé¡tice es una esfera.
ro.92. Explicar cómo puede usarse el giróscopo como brujula, frecuente-mente llamado u,na brújula giroscópica.
10.93. El sistema most¡ado en Ia figura 10-23 muestra dos masas M
lo'94' (a) Demostrar que la magnitud del momento necesario para mantener el sistema 10.98 en movimientoI +Ml2@2 sen 20¿. (ü) ¿Cuál es la dirección del momenio?
lo'95' Desarrollar: (a) el problema 10.93, y (b) el problema 10.94 si la varilla tiene una masa m.
10.96. Una placa sólida delgada y uniformc de forma circular y dc ra_dio a tiene su centro acoplado ar e¡tremo superior de una varilladeliada vertical OA (figura 10-29). Este gira con un valor cons_tante oe alrededor de un eje inclinado un ángulo a con lanormal OB a la placa. (a) Demost¡ar que el vector velocidad an-gular o tiene una precesión alrededor de la normal OB de pe_Áodo 2r/(os cos c). (b) Demostrar que el eje Og describe uncono espacial y su periodo es 2r/(os\nTá cosu;).
fO.97. En el problema 10.96 encontrar el ángulo que gira la placa en eltiempo en que OB desc¡ibe el cono especial.
ro.98. Encontra¡ los momentos principales de inertia de un cono sólidouniforme de ¡adio c, altura h y masa M con rcspecto al: (o) vór-tice, (b) centro de masa.Resp. (o) It = Iz = tW(a2 + thzl, Is = fiHcz
(ó) Ir - tr=SM1nz*4o\, Ir= $Aot
B
Fig. l0-2t
Fig. 10-29
lo'99' Un péndulo compuesto de masa M o¡cila ¡lrededor de un eje ho¡izontal que forma los ángulos a, F, tcon respecto a los ejes principales de ine¡cia. Si log momenlos principales de inercia son.I¡, f2, f3 res-pectivamente y la distancia del centro de masa al eje de ¡otación es l, demostrar que para pequeñas oscila-cioneselperíodoes 2"1@i donde 1: Mlz +Itcoe2 af I2coe2 AlIa coe2 t.
fO.1OO. Encontrar el período de pequeñas oscilacionés de un conosólido uniforme que rota alrededor de un eje horizontalcoincidente con el vértice del cono.
l0.l0l. Una placa elíptica (figura 10-30) de aemieje mayor ¿ ysemieje menor b rota con un valor o6 conrtante alredcdorde un eje que forma un ángulo a con el eje rrayor. En_contrar el momento requerido para producir estc movi_miento,
lO,lO2. Desarrollar el problema 10.101 si la placa elíptica re ¡rÉ-plaza por un elipsoide, Fig.10-30
280 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO lcAP. 10
lO.1Og. Dadas las ecuaciones de Euler del movimiento Ce un cuerpo rígido cuando no existe momento externo
a un punto fijo O, es decir,
flór+(^I3-12)o2,is = 0, 1232+gr-f3)rsor1 = 0, Isüs+(12-f1)o1r'r2 = I
demostrar que tr"! + tro?, * Is"! = constante = 2T
Y I?"1 + t?'7+ 13"3 = constante = I12
lO.lO4. Demost¡ar del problema 10.103 que @r, 02 y dB satisfacen una ecuación diferencial de Ia forma
dy/dx : \/G-pl¡--TJ|¡, y comprobar así que la velocidad angular puede expresarse en térmi-
nos de funciones elípticas.
lO.lO5. Encont¡ar el momento de inercia de un cono sólido uniforme de radio o, altura h y masa M con respec-
to a una linea que coincide con su generatriz. Resp. -ftMa2(a2 l6h2),/(a2 + h2)
10.106. Losmomentosyproductosdeinerciadeuncuerporígidoconrespectoalosejesx,yyzsonl":3, Ivv:l,/g, 1,, : g,/8, I,y : 4/8, 1,, : -4/3, Iy, : o. Encontrar: (o) los momentos principales de inercia, y
(b) las dirccciones de los ejes principales.
Resp. (dl fr = 8, I2=2, lt- 4
(D) e1 = l-2t-2k, e2= -2i+i-2k, ee = -2i-2i+klO.lO7. Ur¡ cono de ángulo a con Ia vertical rueda con un valo¡ o constante sobre un plano horizontal con el
vértice fijo en el punto O. Demostrar que el eje del cono rota alrededo¡ del eje vertical que pasa por O con
una velocidad angular de valor o tan a constante.
lO.lO8. Un plano horizontal rota alrededo¡ de un eje vertical con una velocidad angular o constante. Una esfera
sólida uniforme de ¡adio o se coloca sobre este plano. Demost¡ar que el centro desc¡ibe un círculo con velo-
cidad angular de valor fior.
lo.lo9. Desarrollar el problema 10.108 si la esfe¡a no tiene densidad constante.
Resp. oK2,/(Kz ¡ sz) donde K es el radio de giro con respecto a un diámetro
lO,flO. Demost¡ar cómo pueden encontrarse las distancias ¡elativas máxima y mínima del origen al elipsoide
¿D : Ar2 I By' + Cz2 * Dxy * EYz I Fxz: l.(Sugerencia. Encontrar el má¡imo y el míninto de la función * : x2 * y2 * z2 para la condición,D : l. Para hacerlo, úsese el método de los multiplicadores de Lagrange, esto es, considérese la función
G : V * Ió donde )r (constante) es el multiplicador de Lagrange y eI conjunto AGlan' AG/da,0Gl0z
es igual a cero.)
lo,llf. Explicar la relación entre el problema 10.110 y el método de la prígina 255 para obtener los momenios
principales de inercia y las direcciones de los ejes principales.
lO.lf2. (c) Encontrar las distancias relativas máxima y mínima del origen al elipsoide 9x2 * LOy2 | 822 *4xY - 4xz:3-
(b) Discutir la relación entre los ¡esultados de (o) con l.; del problema 10.106.
lg.ff3. Encontrar el momento de inercia del sistema de partículas del problema 10.42 con respecto a una línea
que pasapor el punto (2, -I,3) en Ia dirección 3i - 2i + 4k.
10.114. Demostra¡ que el movimiento del "trompo dormido" del problema 10.36 es estable si A2 2 anglIJI?.
lo.1l5. Encont¡a¡ el momento de ine¡cia de la lemniscata r2 : a2 cos20 con respecto al eje z. Resp' [Ma2
f 0.116. Sobre un cuerpo rígido plano (una lámina) se toman dos sistemas coordenados ty y x'y' con su origen O
coincidiendo de modo que el ángulo entre los ejes r y r'es c (figura 10-31). Demostrarque
(o) Ir'r' = Irx cos2 a - 2lto send cos a I l*sen2 a
(b) It'u' = I*een2 o * 2lry sen d cos a * Iuosenz q
1O.117. Usar el problema 10.116 para demostrar que
Ir'r' + Iv'u, = I""I Iouy dar una interpretación fisiba.
cAP. 101 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO 28r
lo.ll8. Con refe¡encia al problema 10.116, encontrar una expresión de lr,o, en función de f,,, I,r, I, y a,
lo.ll9. Usando los resultados de los problemas 10.116 y 10.118 probar que para una región plana cuyos momenrosy productos de inercia se definen mediante 1,,, I,r, /r, con relación a un sistema coordenado parti-cular ry, los ejes principales se obtienen rotando los ejes un ángrllo c dado por tan 2a : I,r/(Ir, - 1,,).
l0.l2o. Demostra¡ que las longitudes de los ejes principales en el problema 10.116 están dadas por
,(1,,+t"¡+1/[email protected]. Discutir el problema 10.19, si I, ) 1".
lo.l22. Halla¡ el momento de inercia de un alambre semicircula¡ de masa M y radio a con respecto a 8u centro.Resp. 2M(r - 2la2/r
r0.r23. Demostra¡ que la expresión del lado izquierdo de la ecuación (4) en el problema 10.29 es la componenteve¡tical del momentum angular.
lo.l24. Discutir el problema 10.32 si la raíz de la ecuación (1) es: (o) igual a u,, (b) menor eu€ u1.
roJ25. un cuerpo rígido consta de 3 partícul8s Dl¡, mz ! ms. Las distancias entre ¡n t ! mzi mz y maimt ! m ¡ son J¡2, lzs ! let, respectivamente. Demostrar que el momento de inercia del sistema alre-dedor de un eje perpendicula¡ al plano de las partículas y que pasa po¡ su centro de masa está dado por
mtmzt?zj,rcr*msmi!,
lo'126' Deducir un "teorema de los ejes paralelos" para los productos de inercia e ilustrarlo con un ejemplo.
LO'127' Demostra¡ que los momentos principales de inercia de un triángulo de lado a, b, c y de masa M al¡ededordel cent¡o de masa están dados por
It = Iz = ff@r+b2+"2+2@, Is = fff""*b2+c2)lo'l2E' Una moneda de 1,5 cm de ¡adio rueda sin deslizarse sob¡e una mesa horizontal en tal forma que el plano
de la moneda hace un ángulo de 60o con la mesa. Si el centro de la moneda se mueve con rapidez de3 m/seg, demostrar que la moneda se mueve en una trayectoria circular y hallar el radio . Resp. 2,5 m
Fig.l0-31
Copítulo llEcuociones de Logronge
METODOS GENERALES DE LA MECANICAHasta ahora la formulación de los problemas de mecánica ha sido tratada fundamental-
mente con las leyes del movimiento, de Newton. Es posible tratar la mecánica desde puntosde vista más generales, en particular los que se deben a Lagrange y a Hamilton.
^A,unque tales procedimientos se reducen a las leyes de Newton, ellos se caracterizan nosolamente por la relativa facilidad con que muchos problemas se pueden formular y resolversino por su relación tanto teórica como práctica en campos avanzados, tales como mecánicacuántica, mecánica estadística, mecánica celeste y electrodinámica.
COORDENADAS GENERALIZADASSupongamos que una partíóula o un sistema de N partículas se mueven sujetas a posi-
bles constricciones, como por ejemplo una partícula que se mueve a lo largo de un alambrecircular, o un cuerpo rígido que se mueve a lo largo de un plano inclinado. Entonces, se ne-cesita un número mínimo de coordenadas independientes para especificar el movimiento.Estas coordenadas denotadas por
Qt, Qz, . . ., Qn (1)
son llamadas coordenadas generalizadqs y pueden ser distancias, ángulos o cantidades quelas relacionan. El número n de coordenadas generalizadas es el número de grados de libertad.
En un problema dado son posibles varios conjuntos de coordenadas generalizadas, perouna elección apropiada puede simplificar el análisis considerablemente.
NOTACION
En adelante el subíndice a denotará el rango de I a n, del número de grados de liber-tad, en tanto que el subíndice y indicará el rango de 1 a A, del número de partículas delsistema.
ECUACIONES DE TRASFORMACION
Sea r,= fivi'lU,i*z,k el vector de posición de la ¡,-ésima partícula con. respectoa un sistema de coordenadas xyz. Las relaciones de las coordenadas generalizadas (1) a lascoordenadas de posición están dadas por las ecuaciones de trasformación
rv = rr(Qt, Qz, . . ., q', t)lUv : U,(qr, qz, . ' ., Q", t) | (2)
2v = lr(Qr, qr, . . ., qr, t) |
donde ú representa el tiempo. En Ia forma vectorial (2) se puede escribir así
ru : rr(et, ez, , , ., en, t) (3)
Se ha supuesto que las funciones (2) V (3) son continuas y tienen derivadas continuas.
cAP. 111 ECUACIONES DE LAGRANGE
CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS MECANICOSLos sistemas mecánicos se pueden clasificar en escreronómicos o
cos o no-holonómicos y conseruatiuos o no-conseruatiuos de acuerdofiniciones.
283
reonómicos, holonómi-con las siguientes de-
SISTEMAS ESCLERONOMICOS Y REONOMICOSEn muchos sistemas mecánicos importantes el tiempo ú no aparece explícitamente en las
ecuaciones (2) o (3). Tales sistemas algunas veces se llaman escleronómicos. En otros, comopor ejemplo aquellos que implican movimientos con constricción, el tiempo ü aparece explí-citamente. Tales sistemas se llaman reonómicos.
SISTEMAS HOLONOMICOS Y NO.HOLONOMICOSDenotemos por g r, e z, . ., Q n las coordenadas generalizadas que describen un sis_tema y llamemos ü el tiempo. Si todas las constricciones del sistema se pueden expresar por
ecuaciones que tengan la forma ó(qt, e2,..., Qo, t) - 0, o su equiválente, se'dice, en-tonces, que el sistema es h'olonómico y en caso contrario se dice qué el sistema es no-holo-nómico.
SISTEMAS CONSERVATIVOS Y NO.CONSERVATIVOSSi todas las fuerzas que actúan sobre un sistema
función potencial (o energía potencial) V, entonces elso contra¡io será no-conseru at iuo.
de partículas se pueden obtener de unasistema se llama conseruatiuo. en ca-
ENERGIA CINETICA. VELOCIDADES GENERALIZADASLa energía cinética total de un sistema es
La energía cinética se puede escribir como una forma cuad,rótica de las uelocidades generali-zadas ó". Si el sistema es escleronómico (o sea, explícitamente independiente del tiempoü) entonces la fo¡ma cuadrática tiene solamente términos de la forma a,pQ.ep. Si estees reonómico, también están presentes los términos lineales enQ,.
(4)T = !2L*,*
FUERZAS GENERALIZADASSi I;[/ es el trabajo total realizado sobre
actúan sobre la y-ésima partícula, entonces
dW=
donde oa =
se llama la fuerza generalízado asociada conma 11.6.
ECUACIONES DE LAGRANGELa fuerza generalizada se puede relacionar con
se el problema 11.10)
un sistema de partículas por las fuerzas F,
I
2 oodq,i;*E-" 6q"
la coordenada generali zad.a q o. Véase el proble-
la energía cinética por las ecuaciones (véa-
(5)
que
(6)
d ldT \ arA\ail/ - ¡,q" =Oa (7)
2U ECUACIONES DE LAGRANGE IcAP. 11
Si el sistema es conservativo de modo que las fuerzas se pueden obtener de un potencial o dela energía potencial V, podemos escribir (7) como
d /aL\ ó¿ti\iil) -t": o (8)
donde L=T-V (9)
que se llama función lagrangiana del sistema o simplemente lagrangiana.
Las ecuaciones (7) y (8) se llaman ecuaciones de Lagrange y son válidas para sistemasholonómicos los cuales pueden ser escleronómicos o reonómicos.
Si algunas de las fuerzas del sistema son conservativas o sea que se pueden obtener deun potencial V', en tanto que otras fuerzas tales como el rozamiento, etc., son fuerzas no-con-servativas, podemos escribir las ecuaciones de Lagrange como
d /aL\ a¿ :Qcdt\aq"/ lqo
dTFa:fil
ALpa=fil
(10)
donde L : T - V' y qL son las fuerzas generalizadas asociadas con las fuerzas no-conservativas del sistema.
MOMENTA GENERALIZADOSDefinimos
(1 1)
el momentum generalizado asociado con la coordenada generalizada q,. Con frecuenciallamamos a p, el momentum conjugado de go, o ¡nomentum conjugado.
Si el sistema es conservativo y su energía potencial depende únicamente de la coorde-nada generalizada, entonces (lI) se puede escribir en función de la Lagrangiana L : T - V
ECUACIONES DE LAGRANGE PARA SISTEMAS NO-HOLONOMICOS
Supongamos que hay rn ecuaciones de constricción de la forma
2 A"dq, + Adt
)A"d"+a =0, )8"A"+B:0,o su equivalente
(12)
(13)
(14)
Por supuesto debemos tener m ( n donde n es el número de coordenadas g".
Las ecuaciones (I3) o (I4) pueden o no ser integrables para obtener relaciones que invo-lucren las go. Si no son integrables las constricciones son no-holonómícas o no-integrables;en caso contrario son holonómicos o integrables.
En cualquier caso las ecuaciones de Lagrange se pueden remplazar por
donde los rn parámetros trr, tr2, son los llamados multiplicadores de Lagrange (véaseel problema 11.18).
Si las fuerzas son conservativas (15) se puede escribir en función de la lagrangiana Z :
d laT \ a?;¡\iil - ,* = @o * trrao + )'28" + (15)
?- V comod /aL\ a¿a\;=*) - ," = trrao * '\28" + "' (16)
cAP. lrl ECUACIONES DE LAGRANGE
Hacemos énfasis en que los resultados anteriores son aplicables a sistemas(como también a los no-holonómicos) puesto que una condición de const¡icción
ó(Qtqz,...,Qn,t) = 0por diferenciación se puede escribir como
saÓaa"+ffat = ola cual tiene la forma (IJ). ? aq"*
285
holonómicosde Ia forma
(17)
08)
(/e)
ECUACIONES DE LAGRANGE CON FUERZAS IMPULSIVASSupongamos que las fuerzas F, que actúan sobre un sistema son tales que
lím ('\dt = J,r+O )¡
donde 7 representa un intervalo de tiempo, F,, las fuerzas impulsiuas y J" los ímpulsos.Si empleamos los subíndices 1 y 2 para denotar, respectivamente, las cantidades antes
y después de la aplicación de las fuerzas impulsivas, las ecuaciones de Lagrange se conviertenen (véase el problema 11.28):
donde
d?\ad"l, -T"=
a?\ñ)' = l"
1t,.#,
(20)
(21)
si llamamos f" el ímpulso generalizado, (20) se puede escribir
Impulso generalizado : cambio en el momentum generalizado e2llo cual es la generalización del teorema 2.6.
Proble mas resueltosCOORDENADAS GENERALIZADAS Y ECUACIONES DE TRASFORMACION11.1. Dar un conjunto de coordenadas generalizadas necesarias para especificar completa-
mente el movimiento en cada uno de los casos siguientes: (o) una partícula constre-ñida a moverse sobre una elipse, (b) un cilindro que rueda hacia
"b"¡o rn un plano
inclinado, (c) las dos masas de un péndulo doble (figura 1l-3) constreñidas a mover-se en un plano.
(o) Consideremos que la elipse está en el plano ry de la figura ll-1. La partícula de masa m en movi-miento sob¡e la elipse tiene las coordenadas (r, y). Sin embargo, puesto que tenemos las ecuacionesde t¡asformación ¡ : a cos t, y : b sen d, podemos especificar completamente el movimientoempleado por la coordenada generalizada c.
v
,'ó
Fig. l1-l Fis. lr-2 Fis. U-8
zffi ECUACIONES DE LAGRANGE lcAP. 11
La posición del cilindro (filu¡a l1-2) sobre el plano inclinado está completamente especificada por ladistancia r, que se ha movido por el centro de masa y por el ángulo d que ha rotado el cilindro alre-dedor de su eje.
Si no hay deslizamiento r y d están relacionados, de modo que tan solo se necesita una coor-denada generalizada (bien sea r o e). Si hay deslizamiento son necesarias las dos coordenadas ge-neralizadas r y e.
Las dos coordenadas 0t ! 02, especifican completamente la posición de las masas m1 y m2 (véa-se la figura l1-3) y pueden ser consideradas como las coordenadas generalizadas pedidas.
11.2. EScribir las ecuaciones de trasformación para el sistema del problema 11.1(c).
Escojamos un sistema de coordenadas.ry como se muest¡a en la figura 11-3. Sean (¡t, yr) y(tz, yzl las coordenadas rectangula¡es de n¿t ! fiz respectivamente. Entonces en la figura 11-3 ve-mos que
(b)
(c)
I1
52
son las ecuaciones de
11 cos d1 Ut = 11 sen 01
J1 cosdl * l2cosC2 A2 = 11 sendl * l2sen02
trasformación pedidas.
11.3. Demostrar que * - aP-.
0Q" \qo'Tenemos tu = tr(Qbgz, ..., {¡, t). Entonces
. dtr.ru = Aqrer +
Así 4dan
dr,0qo
02t, 02¡u d2tu= t*t*qr*"'+aqiq"c"+acá¡ Q)
0 /|r,\dq, O f d:,\dqu a/a\\acr\acJE- "'- a%\a%)E- ü\a%/02r, 02¡u 02ru
aq¡*tr + "' + auauq" + an,- (3)
, orr. , oru"'-'-ll;q¡tE
. Arv. , Arv. 0¡,¡v = afier+ "'+l¡%+E
(r)
(2)
Podemos considerar este resultado como una "cancelación de los puntos"
11.4. Demostrar que 4/!IL\ = 9i..dt\aq"/ 0Q"'
Tenemos de (I), del problema 11.3,
(r)
Entonces
Ahora
Como se supuso que r, tiene derivadas parciales continuas de segundo orden, el orden de la deriva-ción no tiene importancia. De modo que de (2) y (3) se llega al resultado pedido.
El resultado se puede interpretar como un intercambio en el orden de los operadores, o sea
¿/ a\ a /¿I\¿¡\aq") = aq"\E )
CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS MECANICOS11.5. Clasificar cada uno de los siguientes sistemas según ellos sean: (i) escleronómicos o
reonómicos, (ii) holonómicos o no-holonómicos y (iii) conservativos o no-conservati-vos.
cAP. rll ECUACIONES DE LAGRANGE 287
(a) Una esfera que rueda hacia abajo desde la parte superior de una esfera fija.(b) Un cilindro que rueda sin deslizarse hacia abajo en un plano rugoso inclinado un
ángulo c.( c ) Una partícula que se desliza hacia abajo sobre la superficie interior, con coeficien-
te de rozarniento ¡r, de un paraboloide de revolución que tiene su eje vertical ysu vértice inclinados.
(d) Una partícula que se mueve sobre un alambre muy largo siñ rozamiento, el cualrota con velocidad angular constante alrededor de un eje horizontal.
(o) escleronómico (las ecuaciones no contienen el tiempo ú erplícitamente,¡no-holonómico (puesto que la esfera que rueda abandona la esfera fija en algrin punto)conservativo (la fuerza gravitatori a se puede obtener de un potencial)
escleronómicoholonómico (la ecuación de constricción es la de una línea o un plano)congervativoescleronómicoholonómicono-conservativo (puesto que las fuerzas de rozamiento no se pueden obtener de un potencial)
reonómico (las constricciones contienen erplícitamente el tiempo ü)holonómico (la ecuación de constricción es lg de una línea que contiene erplícitamente el
tiempo ü )
conservativo
TRABAJO, ENERGIA CINETICA Y FUERZAS GENERALIZADAS11.6. Deducir las ecuaciones (5) y (6) para el trabajo realizado sobre un sistema de partícu-
las.
(b)
(c)
(d)
Supongamos que un sistema erperimenta inc¡ementos dqr, dq", , dqn de las coordenadas ge-neralizadas. Enüonces la v-ésima partícula experimenta un desplazamiento
d'u = ,2r*,oo'
11.7. Demostrar que ec = 0W/0q".
Tenemos dw = t#oo".También, por el problem a rL.6, dw: ) ood{,. Entonces
>(*" -#)o'" = o
Así el trabajo total realizado es
dw = ":),
r,. at,
donde
Llamamos th"lafuerzageneralizada, asociadaconlacoordenadagenerarizadaqo.
Así, puesto que las dg" son independientes, todos los coeficientes de dqo deben ser ce¡o, y por tanto ó" :
= .i {"i n,'}}au = "i+"aa"
+a = á".;
= ?','#,
la
0í,aq"- )m,i,'
0W/)qo,
f 1.8. Sea F, laDemostrar
actúa sobre y-ésima partícula de un sistema.fuerza netaque
#{e
288 ECUACIONES DE LAGRANGE
De acue¡do con la segrnda ley de Newton aplicada a la partícula r-ésima, tenemos
mr'i, = ú,
lcAP. rr
(r)
elEntonces *ti,.# = \.*
Ahora, por el problema r1.4, ir(r". #) = ;". # * i".*r(r?)
= .;,.y;; * ,,.*Aeí i,.dqfu; = *(r,.*E) - i,'.*Por tanto, de (2) tenemos, ya que my es constante,
*(^,','*) - ^,','* = ','frSumando en ambos lados cún respecto a todas las partículas r, tenemos
f 1.9. Si ? es la energía cinética de un sistema de partículas, demostrar que
(a) #=1*,r,.*, (b) # = )m,i,.H(o) La energía cinérica es f = I7^r3 = L2^"|". i,. Así
aT s Oiu
ac" = iry"'ll;(b) Tenemos por la "cancelación de los puntos" (problena 11.3),
d1'siirs.ot"ñ = zmr\'ñ = zmu¡u'ld
ECUACIONES DE LAGRANGE
ll.lo. Demostrar su" #(#) - # = tba¡ d= l, ...,fi, donde oa = > F,. #.Del problema 11.8,
#{; *r'#) - }^r.'*, = ?",.# (,,
De loe problemas 11.9(o) y r1.9(b),s oi, aTj^"'r* = r* e)
s.irudTi mur,. ñ = ft (3)
Enüoncea, eustituyendo (2) V @) en (I), encontramos
*(#)-# = óa v)
(4)
cAP.11l ECUACIONES DE LAGRANGE 289
La cantidad Pa = #es llamada el momentum generalizado o momentum conjugado asociado con la coordenada generaliza-d" g"'
ll.1l. Suponer que las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas se pueden obtenerde una función potencial V es decir, considerar que el sistema es conseryativo. Demos-trar que si la función lagrangiana es -L : T _ V, entonces,
d /aL\ d¿d¿\ail) -d* = o
Si las fue¡zas se pueden obtener de un potencial V, entonces (véase el problema 11.?),
(5)
éa = # = -#Puesto que el potencial o la energía potencial es función únicamente de las q (y posiblemente del tiem-
aL a- aT
= = :-€-vl =leo iltin' din
po ¿,)
Entonces del problema 11.10
f 1.12. (a) Determinar la lagrangiana de un péndulo simple,describe su movimiento.(¿) Escogemos como coordenada generalizada el ángulo d que
forma la cuerda del péndulo OB y la vertical OA (véase la fi!u_ra 11-4). Si I es la longitud OB, entonces la energía cinética es
T = Smoz = *,n(lirz = \rntzáz (r)
La energía potencial de la masa m (tomando como nivelde referencia el plano horizontal en el punto más bajo Á) estádada por
V - ms(OA-OCl = ms(t- Icosa)
= ¡ngl(L _ cos r) elAsí la lagrangiana es
L=
(ó) La ecuación de Lagrange es
De (J),
Sustituyendo en (4) tenemos
ALd0 = -mglsene,
*(#)-#,=-#'*(#)-# =0
(ó) obtener la ecuación que
Fig.ll-4
T - V = t*lt;, _ mgt(l_ cosr)
4,4-\ -eL = odc\ae ) ae
mlzá
mlz'i+mglsenc = 0 o 'i+f""nc = 0
la cual es la ecuación de movimiento pedida (comparar con el problema 4.23).
dLTó=
(3)
(4)
(5)
(6)
rl'13' Una masa M2 cuelga de uno de los extremos de una cuerda que pasa sobre una po-lea sin rozamiento y que no rota, (véase la figura 11-5). En el otro extremo de la cuer-da hay una polea que no rota de masa M¡ sobre la cual pasa una cuerda que portalas masas mt Y mz. (a) Determinar la lalrangiana del "i.t"*". (ó) Hallar la ace-leración de M z.
2n ECUACIONES DE LAGRANGE lcAP. l1
Sean respectivamente Xt y Xz las distancias de las masas Mt ! Mz por debajo del centro de lapolea fija. Sean ¡r y ¡z las respectivas distancias de m¡ y m2por debajo del centro de la polea mó-
vil M1.Puesto que las cuerdas son de longitud fija,
XL+ Xz = constante = 6', tt+ü2 = constante = ü
Entonces diferenciando con respecto al tiempo ú,
ir+li, = s o *r- -*,Y rr+tt2 = 0 o fr2 = -xrAsí tenemos
Velocidad de M, - *,Velocidad de M, - *, = -*,
.l .Velocidad de rn, = ;16r+ rtl = Xt 4 rt
= *r*r* 12) =' *, + i, = *, - i,Entonces, Ia energía cinética total del sistema es
,nlFig. rl-5
r = twr*i + +Mr*1 * gm¡(*1+i,)z + L m, (*, - i,\' (r)
La energía potencial total del sistema medida con relación al plano horizontal que pasa por el cen-
tro de la polea fija es
v = -Tn',oo**', -:::: -.1"1.;J,i;',;,:":.;:i*',* o -,u e)
Entonces la lagrangiana es
L = T-V= tMr*1 + +M2*1 + Sml*1*ir¡z ¡ ¡m¡*r-ir¡z
* MúX, -l M2s@-Xt) + mú(Xt*¡r) 4 mzc(Xt*ü-r1) (3)
Las correspondientes ecuaciones de Lagrange para X ¡ j a ¡ son
d/aL\ a¿ ^ d/aL\ dLal#;)-#, = o, a\r;)- r, = o
De (3) tenemosAf.
d¡, = Mú-Mzg+rnplm2g = (Mt-Mz*m1lrn2)g
(4'
AL
oXtdLdnt
AL
d&t
nlr*r+ ar*r+ m¡i.r+ir¡ + ^r1*r-ir¡ = (Mt+Mz+m1+m2)*1 * (m1-m2)i1
mp-n¿zg = Q\-mzlg
= m¡*r+ir¡ - ^¡*r-ir¡ = pnr-m2)*r * (m1im2li1
Así, las ecuaciones (4) vienen a ser
(ML+ M2*m1*m2)X1 * (mr-rn2)11 = (Mr-Mz+m1*m)g
@r-*z)i, * (mt*mz)'í = (mt-mzls
Resolviendo simultáneamente. encontramos
CAP. 111 ECUACIONES DE LAGRANGE
Entonces la aceleración hacia abajo de la masa M2 es constante e igual a
o sea
MK2';*Mghsene = 0 o T+*""ne = 0'K2Compare con el problema 9.24.
29r
Refiriéndonos a las figuras 8-T y 8-g, la energía cinética es
T = \mil+ grni:l (1)
Como los alargamientos de ios reso¡tes AP, PQ y QB de la figura 8-8 son numéricamente iguales a r¡,xz - xt y 12 respectivamente, la energía potencial del sistema es
De modo que la lagrangiana es y = ¡*r2'-t !r(r2- r1)2 r lx',?"
L = T-V - +nxil+t*i,tr-**"1_ t*@r_n112_$rxf,Las ecuaciones de Lagrange son
Entonces como y - -Krr* x(r2-n1l = r(r2-Zrr),0rt
ALdn,= -*(n'-e)-Krz = 'c(rt-2'r),
las ecrraciones (4) se convierten "n mt, = K(rc2-rrrr, m'iz
en concordancia con las que se obtuvie¡on en el problema g.1.
1r'15' Usar las ecuaciones de Lagrange para hallar la ecuación diferencial de un péndulocompuesto que oscila en un plano vertical alrededor de un eje horizontal fijo.
X2=-Xt=g
l1'14' Usar las ecuaciones de Lagrange para determinar la ecuación diferencial de las ma-sas en oscilación del problema g.1.
Consideremos que el plano de oscilación está representadopor el plano ry de la figura ll-6, donde O es la inte¡sección conel eje de rotación y C es el cent¡o de masa.
Co que la masa del péndulo es M y su momentode inerc cto a su eje de rotación es 16 : MK2 (K :radio de istancia OC : h.
Si d es el ángulo instantáneo que hace OC con el eje verti-cal que- pasa po¡ O, entonces la energía cinética es ? : ¡tobt :lMXz'ez. La energía potencial con relación al plano ho¡izontalque pasa por O es V : -Mgh cos d. po¡ tanto la lagrangianaes
L = T-V - l2Mlfziz*MghcosePuesto queóL/Oe = -Meh sen d y dL/6it = MR26, la ecua-ción de Lagrange es
d /aL\ a¿ ^ d /aL\Tr\;l) a''=u' ¿¡l;il-
e)
(3)
u)
(5))
#(#)- -e = o
Fig.ll-6
ll'16' Una partícula de masa /n se mueve en un campo de fuerza conservativo. Hallar (o)la función de Lagrange (b) las ecuaciones de movimiento en coordenadas cilíndricas(p, ó, e) (véase el problema LI47).
292 ECUACIONES DE LAGRANGE [CAP. 1I
(o) La energía cinética total ? = t*lb, * p2í2 + izl. La energía potencial V : V(0, d, z). Enton-ces la lagrangiana es
L = T-V - **liz+e242+r2)-V(p,e,zl(b) Las ecuaciones de Lagrange son
¿t / aL\ aL:-l:=- l-- = 0,estoesdr\a; ) ao
¡l / aL\ aL_=t: \-- = 0,estoesdú \a¿ ) ao
4(+\-* = o,estoesdú\a; ) a"
Yn = *(#)-# = ]*,;,.*
i, -. av-0 o mZbzd ---' dt" " ao
avU o ¡nz=-E
#,^;, - (^or"
ftwr"b *fid..,.av¿\mz) + E =
_avdp
11.17. Hacer el problema 11.16 si la partícula se mueve en el plano ry y si el potencial de-pende únicamente de la distancia al origen.
En este caso V depende únicamente de p y z : 0. Entonces las ecuaciones de Lagrange en laparte (b) del problema 11.16 vienen a ser
m(í_p6\ = _#, ftG,it = o
Estas son las ecuaciones de movimiento en un campo de fuerza central obtenidas en el problema 5.3.
ECUACIONES DE LAGRANGE PARA SISTEMAS NO.HOLONOMICOS11.18. Deducir las ecuaciones de Lagrange para constricciones no-holonómicas.
Supongamos que hay m condiciones de constricción de la forma
?O"Oo. I Ailt = 0, 2B.dqn * Bilt = o,
donde ¡n < n, el núme¡o dq coordenadas 9".Como en el problema 11.10, tenemos
(r)
(2)
Si 8r, son los desplazamientos virtuales que satisfacen las constricciones instantáneas (obtenidas consi-derando que el tiempo , es una constante), entonces
(3)
= )Yoeq, Q)a
6r' = ? *'0"Ahora el trabajo virtual realizado es
sW = )m,i,'6r, = ??-,i'*ro'Ahora, puesto que el trabajo virtual se puede escribir en función de las fuerzas generalizadas Oo como
por resta de (4) y (5) tenemos,
swd
>(Y"-óo)6go = 0q
Puesto que ógo no son todos independientes, no podemos concluir que Y" : éo, lo cual nos con'duciía a las ecuaciones de Lagrange como en el problema 11.10.
A partir de (l), como t es constante para constricciones instantáneas, tenemos las ¡n ecuaciones
)Ar8qo = g, )8oEqo = o,qd
(5)
(6)
(7)
cAP. Ul ECUACIONES DE LAGRANGE
Multiplicando por los m multiplicadores de Lagrange trr, tr2, y sumando, tenemos
) (Irao + )\zBa * .. .) e go = 0 (s)
Restando de (6) y (8) nos da
? ("" - éd - ¡,r¿a - tr¿Bo - ...) 8qo = o (9)
Ahora según (7) podemos resolver ¡n de las cantidades 69" (digamos 6qt, ..., óg.) en función de lasrestantes fo" (digamos 0qm+¡ , óC^). Así en (9) se pueden .orr.id"r* inr, .., óg. como de-pendientes y 6e m+r¡ . . ., 8{, como independientes.
Consideremos arbitra¡iamente los coeficientes de las va¡iables dependientes iguales a cero, es decir,
Yo-óo-trtÁo-)\¿Bo-.., - 0, a=1,2,..,rrn (10)
Entonces quedarán en la suma (9) únicamente las cantidades independientes óq" y, puesto que éstasson a¡bitra¡ias, se deduce que sus coeficientes deben ser ce¡o, Así.
Yo- úo-)\ta, -\zBo_ ... - 0, a=tt|,*Lr.,.rnLas ecuaciones (2), (I0) y (lI) nos conducen a
293
utl
d /aT\ dTA\ffl-ñ, = oc+rraa+tr28o+"' a=1,2,..',n (12',
corlo se pedía. Estas ecuaciones junto con (I) establecen las ¿ * ¡n ecuaciones con n * m incógnitae,
r1.19. Deducir las ecuaciones (16), para sistemas no-holonómicos conservativos.Del problema 11.18
n"(#")-# = ód + r'ád + ^2Ba
+ "'Entonces las fuerzas se pueden obtene¡ de un potencial, é, = -aV/ilqo donde V no depende de rio. Aeí,(1) se puede escribir
#t(fn) - # : rr,c + r28a + "'
(r)
(21
f f.2O. Una partícula de masa fn se mueve bajo la ac-ción de la gravedad sobre la superficie internadel paraboloide de revolución x2 + J2 : azel cual suponemos sin rozamiento (véase lafigura 11-7). Obtener las ecuaciones de movi_miento.
dondeZ:T-V.
Según el problema 11.16, la lagrangiana en coorde.nadas cilíndricas está dada por
L = f,m1i,z + p2;i2 + iz¡ - mgz (r)Puesto que x2 I y2 : pz, la condición de constricciónesp2-az-0asíque
2p8p-o6z = O e)Si llamamos gt : 0, Qz : tf, Qt : z y comparamos(2) con las ecuaciones (Z) del problema 11.1g, vemos que Fig.11-7
At=2p, Az=0, As=-a (J)
puesto que sólo se da una const¡icción. Las ecuaciones de Lagrange (véase el problema U.l9) se puedenescribi¡
d /aL \ ó¿¿i\ñ)- ú, = trrl' a = tr2r$
294 ECUACIONES DE LAGRANGE
d /aL\ dLA(rA) dp = u'
*6-p6\ = 2)rrP
^ftb'it = o
m2 = -mg-^roTambién tenemos la condición de const¡icción
2pp-o2 = O
Las cuatro ecuaciones (4), (5), (6) v (7) nos facilitan encontrar las cuatro incógnitas p, ó, z, ]¡.
IcAP. 1r
-)rro
(4)
(5)
(6)
(7)
(5)
hallamos A : aho, así que
(6)
hallamos, remplazando z : á
(7)
es decir, *(#) -ú = ,^,0,
Usando (l), esto viene a ser
d /aL\ aLTr\rz )- a" =
Ll-.zL. (a) Demostrar que la partícula del problema 11.20 describirá un círculo horizontalen el plano z : h siempre y cuando se le imprima una velocidad angularde magnitud igual I o : \tr|n.
(b) Demostrar que si la partícula se desplaza ligeramente de su ttayectoria circular,entrará en oscilación alrededor de su trayectoria con una frecuencia dada por(r/")\/2e8.
(c) Discutir la estabilidad de la partícula en la trayectoria circular.
(¿) El radio del círculo que se obtiene al intersectar el plano z : h con el paraboloide p2 : az es
oo - tlob
Rcmplazando z : h en la ecuación (6) del problema 11.20 hallamos
ltt = -'nglo e)Entonces remplazamos (1) V Ql en la ecuación (4) del problema 11.20 y llamando i : a, encon-tramos que rn (-p9ro2) = 2(-mglolpo o ,¿2 = 2glo de lo cual
El período y la frecuencia de la partícula ": ":tmtoria circula¡ están dados, .""o""ri""-"n,1,
(/)
(4)
= t('*#)-' = t('-#)
,,=r,G y lt=*"\rc
ü-m = -!too*u)
Pero con un alto grado de aproximación,
11
(b) De la ecuación (5) del problema 11.20 hallamos
P2ó =constante= A
Si suponemos que la particula partió con velocidad angular o,
i = olu¡lP2
Como las oscilaclones tienen lugar muy cerca del plano z : h,en la ecuación (6) del problema 11.20, que
\t = -'ngloRemplazando (6) v (7) en la ecuación (l) del problema 11.20 hallamos
i - oznz']¡rt = -zgplú (8)
Ahora si la trayectoria se aparta ligeramente del círculo, entonces p se aparta ligeramente de p6.
Esto nos perrnite hacer la t¡asformacióno - pstu (9)
en (8); donde u es pequeña en comparación con p¡. Entonces (8) viene a ge¡
6,+"F = wÑ
Q0)
cAP. 111 ECUACIONES DE LAGRANGE
po¡ el teorema del binomio, en donde despreciamos los términos que tienen u2, u3,.. Emplean-do los valo¡es de po y o dados en (I) y (J) respectivamente, (I0) vlene a ser
ü+(Sslolu = o
cuya solución es 1t = q cos 1f Bgll ú * c2 sen 6c/" t, Así
p = po*u = t/ií+,reos{ffiú*e2sen{ag/"tDe esto se concluye que si la partícula se desplaza ligeramente de su trayecto¡ia circular de radiopo : \/ffi, esta entra¡á en oscilación al¡ededor de la trayectoria con frecuencia
rz = +rE =:tEo período Pz-= "rEEs interesante obsen'ar que el peúodo de oscilación en la trayectoria circular dada por (4) es el do-ble del peíodo de oscilación alrededo¡ de la trayectoria ci¡cular dada por (z).
( c ) Puesto que la partícula tiende a ¡egresar a la trayectoria circular cuando se desplaza ligeramente deella, el movimiento es estable.
11.22. Discutir el significado físico de los multiplicadores de Lagrange rr, )rz,blema 11.18.
del pro-
ECUACIONES DE LAGRANGE CON FUERZAS DE IMPULSO11.23. Deducir la ecuación (20).
295
(5)
(6)
(7)
En el caso que no haya constricciones, las ecuaciones de movimiento, según el problema 11.10, son
!/9L\-ar = óat \ad" ) lea
En el caso que haya const¡icciones las ecuaciones, según el problema 11.1g, son
d /aT \ a?ñ\d) - d = Óa + ¡'rÁa + r28a + "'
Se sigue que los té¡minos rrA" * rrB" * "' cor¡esponden a las fuerzas generalizadas asociadas conlae const¡icciones.
Físicamente, los multiplicado¡es de Lagrange están asociados con las fue¡zas de constricción queactúan sobre el sistema- Así, cuando determinamos los multiplicadores de Lagrange esencialmente esta-mos tomando en cuenta los efectos de las fuerzas de constricción sin que encontremos explícitamente es-tas fuerzas.
Para el caso de las fue¡zas finitas tenemos, según el problema 11.10,
¡l /aT \ a?A\rü-f* = 'Da
donde .Da = >r...9_-r \qn
lntegrando a ambos lados de (r) con ¡especto a t desde ü - 0 hasta ü : r.
Í,' *(#)" - Íl #3 = !' *"a,
/aT\ /aT\\ilil),=, - (A/,=, - = ;{({ "'")'*}
asr que
(r)
(2)
(3)
Tomando el límite cuando ¡- 0. tenemos
'r-fl+\ -/dr\ I-r-o [\dlc,/t=r \ad"/r=J
í,'#n
)n!:#," = ;{(l* 11,"4'Hl
(4)
296 ECUACIONES DE LAGRANGE IcAP. 11
o
usando
(#),-(#), = +r"#, =Tn
rsf #* = 0 puesto 0"" # es finito, r lS { Dudt = gn
11.24. Un cuadrado ABCD formado por cuatrobarras de longitud 2l y de masa ,7¿, articu-ladas en sus extremos, reposa sobre unamesa horizontal sin rozamiento. Un impul-so de magnitud .l se aplica en el vé¡tice Aen la dirección AD. Hallar la ecuación delmovimiento.
Después de golpear el cuadrado, su fo¡ma en gene-ral será un rombo (figura 11-8).
Supongamos que en cualquier instante ü, los án-gulos formados por los lados AD (o BC) y AB (o CD)con el eje r son respectivamente 0t ! 0z y las coor-denadas del centro M son (1, y). De modo que r, y, er,C2 son las coordenadas generalizadas.
ODe la figura 11-8 vemos que los vectores de posi-
ción de los centros de las barras E, F, G, II están da-dos, respectivamente, por Fig.U-t
rs = (u -lcosc)i*(A -lsencl)it¡, = (x *tcoser)i*(U -lsene)its = (u *lco¡cr)i*(y*lsenar)jr¡7 = (u -tcoser)i1'(A *Isenc/i
Lasvelocidades instantáneas de E, F, G, H están dadaspor
vr = i¡ - G +lsencl át)i+ (ü- Icosot ár)i
v¡ = ir = (¿-laene2ór:lt+6-lcoscri2l¡vc = ic = (;-!sendlbr)i+ú*tcoscrJl)jv¡r = ir = (¿+Isenc2ór)i+ ú+leoac2it2l!
La energía cinética de la bar¡a AB es la misma que la energía cinética de una masa m localizadaen el centm de masa E, más la energía cinética de ¡otación con respecto a un eje que pasa por E perpen-
dicular al plano ry. Puesto que la velocidad angular tiene magnitud ti2 y el momento de inercia de unabar¡a de longitud 2l con respecto a su centro de masa es .[^, : lml2, la energía total de la barra AB es
Ttn = *m;3+üIo"b?Análogamente, las energías cinéticas totales de las barras BC, CD y AD son
Tac = ¡m12, + Ut"i?, Tco = $mize + trIcDilZ, Tto = \mifu + *Inoi",
Así, la energía cinética total es (usando el hecho de que .I -- In : I"c : I"o : [ml2)
T = Tna+TBc+TcD+TAD
= gm(f;+ i3 + iá + iil + \;?+ áZ)
= \m(tlz * tiz a zr2|l + 2t24) + ¡mtzlá1, + 'fi¡
= zm(i:z + ít2) + tmt2(ü+ ilrr)
Supongamos que inicialmente el rombo era ún cuadrado con sus lados paralelos a los ejes coordena-
dos y su centro localizado en el origen. Entonces tenemos
r=O,A=0, c1=t/2, ez=0, &=0,ú=0, át=0,i2-0
Si usamos la notación ( )r y ( )2 para las cantidades antes y después de aplicarse el impulso, tenemos
CAP. lrl ECUACIONES DE LAGRAN6E
(#), = (4tni)' = o (#), - Qmit' = s
(fi), =gtnni,),- o (#),=1tu12ó),=o
(#),= (mit2 = Ami (#),= @rnürz - 4mú
(#),= Qmtzi,)2 = Jmtz61 (#),= gmt2i2 - fimtzá"
Entonces ff'),-(#),= ''
o 4¡ni = r'
(#),-(#),= r, o 4,,,:i¡ = v,
(#),-(#), ", o f;'mtzá1 = rs,
(#),-(#,), =', o tmtzá' = re,
donde hemos suprimido el subíndice ( )r.Para hallar Tt, Ty, Tcr, Te" notamos que
To = 7J,.#donde 7!, son las fuerzas impulsivas. Así tenemos
297
(1)
(5)
T, = .g".u# * Je .'# * t".'ff * .gr.t#
ry = .g^.d#* J".#* t".#*.g".#Tr, = s",#r J".#r* t".'utrr*.g".'#,
r," = J^.#r J".#* t".#..g".H (e)
Ahora, de la figura 11-8 encontramos que los vectores de posición de A, B, C, D eatdn dadoe por
t¡ = (r - lcos0, - I cos czli * (a - | send¡ * lsena2fi
rs = (r- Icoscl * t cos e2li * (y - l sencl - t senczl!
rg = (r * | cosel * I cos czli * (u * | sencl - I aene)i
rp = (r * l cosal - l cos czli -l (U * lsen el * l aenc2li
Puesto que la fuerza impulsiva en A está inicialmente en la di¡ección poeitiva del ejey, tenemog
Jt = .9iEntonces las ecuaciones (6)-(g) dan
f , = 0, Ty = .9, Te, = -,91 coslr, Te, = ,91 eoaez QllEntonces las ecuaciones (l)-(a) se convierten en
4m& = 0, ¿mü = ,9, lnAzá, - -¿!lcosc1, fimtrá, = ¿lleoal2 U2l
11.26. Demostrar que la energía cinética desarrollada inmediatamente después de la apli-cación de las fuerzas impulsivas en el problema 11.24 es T : ,g/ztn.
298 ECUACIONES DE LAGRANGE
De la ecuación (I2) del problema 11.24, tenemos
i = o, ü = *, 6t = -ffi"o"rr, 'e, = ffi"oscz
IcAP. 11
Sustituyendo estos valores en la energía cinética obtenida en el problemaLL.24, hallamos
| = # . Ynos2 d, * cos2 a2) (I)
Pero inmediatamente después de la aplicación de las fue¡zas impulsivas, 0, : ,/2 ! 0z : 0 aproxi-madamente. De modo que (I) viene a se¡ ? : J"/Z^.
PROBLEMAS VARIOS
11.26. En la figura ll-9, AB es un alambre recto y li- z
so, fijo en el punto A sobre el eje vertical OA.AB gira alrededor del eje OA con velocidadangular constante úr. Una cuenta de masa¡? está const¡eñida a moverse sobre el alam-bre. (c) Determinar la lagrangiana. (b) Escri-bir las ecuaciones de Lagrange. (c) Determi-nar el movimiento en cualquier instante.(c) Sea r la distancia de la cuenta al punto A en el ins-
tante ¿. Las coordenadas rectangulares de la cuentaestán dadas por
U = fSenaCOgr¡ü
A = rsendseno¿
z = h_rcoaa rdonde hemoe supuesto que en ü : 0 el alamb¡eeetá en el plano ¡z y que la distancia OA es h.
La energía cinética de la cuenta es
T = [m(iz+úz+¿2\= $ml(i sen a cos o¿ - of sen a sen oú)2
* (i sen a sen orú + o/ sen a cos r,rú)2 * (-i cos a)2)
= ¡m(iz * o42sen2a)
La energía potencial tomando el plano ry como nivel de referencia, es V : mgz : mC(h -r cos d). Ehtonces, la lagrangiana es
L = T-l = $m1|z+o2r2senzel-m¡(h-rcosc)
(b) Tenemosmt¡zrsenza * mg coaa.,
Fig.U-9
AL
0rAL----- = lnfdr
y la ecuación de Lagrang. d / aL\ dLees A\$)-t = o "
es deci¡,
m'i - 1m^zrsen2c * mg cosal = 0
ii_1"zsen2c)r = gcosd (r)
(c) La solución general de la ecuación (I) remplazando el lado de¡echo por cero es
cra(o sen a)t j ¿r¿-(osen a)t
Puesto que el lado derecho de (I) es una constante, una solución particular esAsí, la solución general de (1) es
r = Cle(usen art + cze-<osen c)! - gr
a".o! ".¿2 sen2 a
- g cos q/62 sen2 d.
(2)
CAP. 11] ECUACIONES DE LAGRANGE
Este resultado también se puede escribir en términoe de funciones hiperbólicas como
Así que el tiempo necesario eg
299
(3)r = cs cosh (r,r senc)ü * c4 senh (o sen c)ú - ffi
11.27. Suponer que en el problema 11.26 la cuenta pa¡te del reposo en A. ¿Cuánto tiempotomará para alcanzar el extremo B del alambre suponiendo que su longitud es l?
Comolacuentapartedelreposoenelinstante ú:0, tenemosque r:0, ;:0 en t:0. Enton-ces, de la ecuación (2) del problema 11.26,
\*c2 = ffi Y %-cz = 0
Así c, = o, = ffi y (2) del problema ll.Zi viene a se¡
r = ffi(e(oeend)t+o-(orena)¿) -
ro".u"r t"-¡¡¿n se puede obtener.:,":.,":ffi,":ff::1.;::"""." r - r, (2) da
cosh(osenc)ü =, * lo2sen2¿g codd
(r)
(2)
t = 1 cosh-r 1, * ün'z ¡enz c \ür8enc \ Ceaaza,/
I I I ün¡2 sens o\= ;",""1(t + **a=)+rr.28. Un péndulo doble (véanse el problema 11.1(c) y la figura 11-3) oscila en unplano ver-
tical. (a) Escribir la lagrangiana del sistema. (b) Obtener las ecuaciones de movi_miento.(o) Las ecuaciones de traeformación dadas en el problema 11.2,
ú1 = 11 coaCl U1 = \aene1rz = It cosel * l2co8C2 Uz = ltsendl * l2sen12
dan át = -ltitsenct út = ltitcosctit = -titséne1 - t2i2seno2 úz = titcosdl * l2á2cosc2
La energía cinética del sistema es
r = ¡tnrlil+ü! +**"<n|+ül
= Snllil + **rlfrá? + tZiT + ztthbi2 cu (e1- e )lLa energía potencial del sistema (tomando como nivel de refe¡eneia un plano a la distancia
lt + 12 por debajo del punto de suspensión de la figura 11-B) es
V = múl\+.lr-\coscl * m2g[\+ ¿2- ercosdl A t2cosa2l]
Entonces la lagrangiana es
L = T-V= +mfi6? + lmrltiói + qó? + 2tlt26i2 coa (c1_ c2l!
-núl\t k- \ corrrl - m2g[\I tz- (\eos11+ tscoec2ll
(b) Las ecuaciones de Lagrange asociadas con ,r y ,2 son
d /aL\ ¿¿A\A,)- t', = o, -# = o¿l /aLü\r,:.,
(/)
(2)
300 ECUACIONES DE LAGRANGE IcAP. 1r
De (I) hallamos
aL/acr = -m2l1l2i762sen(c1 - e2l - mplrsencl -- m2g\sene,
aLlail = mtli, + mrtl6, + m2ll2á2cos(e1- erl
ALlAez = m2tlriri2sen (d1 - e2) - m,g12*ne2
aLtaiz = mr$6, + rn2ll261coa(e1- e2)
Las ecuaciones (2) vienen a ser
^'P"i'=4,';,iuiÍ:i';:;':)!),:""::,u!":',;,'':":::''-'u
y m24t, + nztlz'it cos (c1 - e2\ - mrlrlrórfr- árl sen (ar - e¿)
= m2ll2i$2sen (c1 - 02) - m2gl2sen c2
lo cual se rpduce, respectivamente, a
@r+^)4ír+ m"lrtrircos(e1 -02\ * m2lrlráf,*n@¡-c2l = -b\*m2lg\senc1
y mztlii, + nt ll2|l cos (c1 - e2\ - m2lrtrfi een(c, - o2) = -m2gl2aenc2
11.29. Escribir las ecuaciones del problena 11.23 para el caso Ítry - trl2 : m Y lt12:1'
Remplazando Drt : tnz, lt : lz en las ecuaciones (3) y (4) del problema 11.28 y eimplificando,se pueden eecribir
zr';t + tí2 cot (ct- o) t rá22 sen(c1- c2) = -zg *ncr (t)
ti'1 cos (et- cz\ + l'riz - litzrsen(e1- o2l = -! een02 Ql
1f.3O. Obtener las ecuaciones del problema 11.29 para el caso en que suponemos oscilacio-nes pequeñas.
Empleando lae aprorimaciones een C - C y cos C - 1 y despreciando los términos que incluyan
i'd, 1". ecuaciones (1) v Ql del problema 11.29 vienen a ser
2t'ú+t;2 = -2settir+tí, = -gcz
11.31. Hallar (a) las frecuencias normales y (b) los modos normales correspondientes a pe-queñas oscilaciones del péndulo doble.
(o) Sean C¡ - Ar cos <oü, cz : Az cos 6t [o A¡etd, Azet*l en Ias ecuaciones del problema11.30. Entonces, ellas se pueden eecribir como
(3)
(4)
2(g-Ióz)Ar-&ozAr = O1
-tÉAt*@-wrAz- o) (t)
Con cl fin de que A¡ y A2 sean diferentes de cero, debemos hacer el determinante de los coeficien-tes igual a cero, er decir,
z(c-W\ -l/ú2
-lr,rz g - lr,
o l2oa - 4lgo2 t 2gt -- 0. Resolviendo, hallamos
=0
^ 4ts t \/@ - 8W @={2)cú = --a- =.-T-. (z+filc , (Z-filc
,i = ----T-, .i = I(2)
cAP. 111 . ECUACIONES DE LAGRANGE
Luego las frecuencias normales son
La energía potencial es V = mgl cosc
(o) Al integrar las ecuaciones (5) v (6) del probrema 1r.82 obtenemog
flisen2 c + Is(A cose i,i,¡ "osa = constante = KocoEr+ú = A
flisen2e *IgAcoso = K(ó) Utilizando (2) en la ecuación (4) del problema 11.82, encontramos que
\'i -- tr$z Een, co¡ c I IsA$ $nc = mglaenc
301
(ó) sustituyendo tt - ,'r: (2 + filg/t en las ecuaciones (I) de laparte (o) se obtiene
A, = _1/TA,
Esto corresponde al modo normal en el que las masas se mueven en direcciones opuestas.
Sustituyendo ., - t, : (Z - ñg/t en las ecuaciones (I) de la parte (o) se obtiene
A' = t/i'A'Que corresponde. al modo normal en el cual las masas se mueven en las nrisrnas direcciones.
ll'32' (a) Establecer la lagrangiana del movimiento de un trompo simétrico (véase el pro-blema 10.25) y (b) obtener ras ecuaciones de movimiento.(a) La energía cinética en función de los Ángulos de Euler (véase el problema 10.24) es
T = [(I*!t l2o?"r IgeE\ = ll1(jzaenz o + iz)+ +Il; cosa +,i,¡z
Y fz=#= (3)
(4',)
(5)
(r)
(21
como se ve en la figura 10-18 ya que la distancia OC : I y la altura del centro de masa C por enci.ma del plano ry es I cos d. Luego
L = T - v = $I1(izsenzo+iz)+ *¡r(icoge* i¡z - mgtccsc
(b) dLldc = flizsenrcos, + Is(icosc+irlisena) * tnslv.lno
dLlAi = IriaLlaó = 0
dLld6 = I1$senz e + Is(i, cos c * ü) .o. a
dLla't = 0
dLlai = Is(ócosa*i)Entonces las ecuaciones de Lagrange son
*(#)- ,,ü = o, *(#)-# =
o lr'i - trlzsen, cos c + Is|tcos, * il6nn0 : mglaeno = o
ftVri""nrc + Is(a.cose * ü) cosal = o
*V'<icose +i)l = o
1r.33. Utilizar los resultados del problema 11.32 para esta¡ de acuerdo con la(a) problema 10.29(b), y (b) problema 10.2?(o).
(3)
0, #(#) -# = o
(6)
ecuación de
G)
(5)
(r)
(2)
Remplazando (2) en (I)
n2 ECUACIONES DE LAGRANGE f cAP. 11
11.34. Obtener las ecuaciones de Euler del movimiento de un cuerpo rígido empleando lasecuaciones de Lagrange.
La energía cinética en función de los ángulos de Euler es (véase el problema 10.24)
T = *(rr"i + trol+ tt,:?t¡
= {I¡(f sentsenú+ ácog,t\z + Ltr(isentcosg-ir"nú)z + tlsfcosc+i)zLuego AT/d,, = I¡(isenrseng + i cos*Xósen, cos g - iaeng¡
+ IzG send cosú - i."n *X-ó sen, senry' - ó cosg)
= I¡oyt2 I l2(or2)(-o1) = (11- I2)up2
arhi = Ir(icosa+i) = fs,s
Entonces por el problema ll.l0, la ecuación de Lagrange correspondiente a 1| es
d. / dT\ aTú\rt) - ,r = +'!
fsirs+(12-I)op2 = +,, (r)
Esta es la tercera de las ecuacioneg (22) de Eule¡. La cantidad Oú, reprcsenta la fuerza generalizadacorrespondiente a una ¡otación ry' alrededor de un eje y representa ñeicamente la componente A3 delmomento con respecto a eate eje (véase el problema f 1.f02).
Las ecuaciones restantesfr&r + (fs - f/o2ors = ¡t (21
I2¿oz + Qr - Is)rsrol = ¡, (3)
pueden obtenerge por consideracionee de eimetría, permutando log índices. No se obtienen directamenteusando las ecuaciones de Lagrange conespondientes a t y O, pero pueden deducirse indi¡ectamente deellae (véase el problema 11.79).
11.35. Una pequeña esfera se desliza sin rozamien-to en un alambre liso doblado en forma decicloide (figura 11-10) cuya ecuación es
n = a(0 -sen0), a = a(l *cos0)
donde 0 < 0 3 2r. Encontrar (¿) la fun-ción lagrangiana, (b) la ecuación del movi-miento.
(c) Energíacinética = T = !m(iz+'fi2¡
11.36. (a) Demostrar quepuede escribirse
Fig. u-10
= lmoz(l(L - cosa)i¡z * [-sena i]z]
= ú2(l - coso¡iz
Energíapotencial = Y = rngy = mgo(l*cosclLuego la
lagrangiana = L = T-Y = moz(L-cosa¡iz -mga(l*cosa)
d/dL\ AL ¿(b) ál#)-= = 0,esdecir frlz*"rtt-cosr)il -Imozaene '024msosenel = Q
¿-frUr-co8r);l -¡fsenei,2-f,""nc = o
que puede escribirse (1 - cos c)i + +r"nc i" - {r*"c = 0
la ecuación del movimiento de la parte (b) del problema 11.35
dUoffi + h" = 0 donde u= cos(0/2)
cAP. 111 ECUACIONES DE LAGRANGE 303
y por tanto (ó) muestra que la esfera oscila con período Z"{lVg.(c) Si u: cos (o/21, entonces
# = -+sen(ct2)it, # = -á*,elq,.-leos(clz)izLuego # * #" = o es lo mismo que
-lsen(e/zl? -|cos(e/|irz+ f,eos(clz) = 0
que puede escribirse como
T + + cot(elzláz - f,cor@lz) = 0
cot(ctz)=ffi=a##!4 =#hse concluye que la ecuación (I) es iguar a la obtenida en el problema r1.BS(ó).
(b) La solución de la ecuación es
It = coa (e/2) = ct coít/Glg t * c2 "ent@Il
tde donde vemos que cos (0/2) vuelve a su valor original después de un tiempo 2rtlWj el crtales el período requerido. Observar que este perÍodo es el mismo que el de un péndulo simple de longi-tud I : 4o.
Una aplicación es el péndulo cicloidal. Véase el problema 4.g6.
1l'37' Obtener las ecuaciones para la esfera que rueda, en el problema 9.42 empleando lasecuaciones de Lagrange.
, observa¡ la figura 9-ÍlÍ| en donde { y / representan coo¡denadas generalizadas. Como la esfera deradio cP : o rueda sin deslizarse sobre la esfera de radio op : ó, Énemos
bd6ldt = od,l,/d,t o b$ = qique implica que si 6 : 0, cuando ú : 0, entonces
bó=ogPor consiguiente ó y ú [y por tanto dó y d{ o so y sú] no sorr independientes.
La energía cinética de la esfe¡a que está rotando es
T = [m(a*b)z]z*fr*= [m(o * blz]z ¡ t.enorl$ + i¡z
ya que .f 1 Imo' es el momento de inercia de la esfera con respecto a un eje ho¡izontal que pasa porsu centro de masa.
La energía potencial de la esfe¡a que está rotando [considerando el plano horizontat que pasa por Ocomo el nivel de referencial es
V = rng(a * ó) cos 6
Luego la lagrangiana es
L = T-V = $m(o+blzjla*m"r(6+i)r-rns(a*ü)cosp e)Utilizaremos las ecuaciones de Lagrange (16) de sistemas no-holonómicos. De (.1) tenemos que
b8¡-a8'y' = 0
así que si hacemos 9t : ó y q2 : r, y comparamos con la ecuación (Z) del problema ll.lg, encont¡a-mos que
(r)
Ya que
(r)
At= b, Az= -oEn consecuencia, las ecuaciones (16) se trasforman en
d /dL\ _ dLñ\;ó)- ,, = trrD
d /dL\ aLú\ú)- rf = -)tr@
(3)
(4)
(5)
(6)
3(X ECUACIONES DE LAGRANGE
Remplazando (2) en (5) y (6) obtenemos
n(otbltii + |noz(l+'i) - *c@*ü)senp = ).rü
Xmozl'$ +',i) = -).ro
Sustituyendo ú : (b/a)ó (de (I)) en (7) y (8), encontramos
m(o*blz'$ + Xmozlt+blol'ó - rns(a*ó) senp = rrü
lcAP. 11
lmo2(L+blúí = -)rld
;r1 = -fzo(o * ü) ií
(e)
(10)
y remplazando eete resultado en (9) se obtiene después de simplificar y despejar ií,
6oo - (oT Dt seno
Eeta ecuación es igual a la (2) del problema 9.42, con ó - ,,/2 - e . Véase eI problema 11.104 para calcu-lar el Ángulo requerido para que caiga la esfera.
11.38. (a) Resolver las ecuaciones de movimiento obtenidas en elproblema Ll.24y, (b) in-terpretarlas fisicamente.(s) De la primera de las ecuaciones (I2), problema 11.24, tenemos
¡:constante:Q (I)
ya que ¡ : 0 cuando , : 0. Análogamente, de la segunda de las ecuaciones (I2) tenemos que
@
(8)
De (I0) tenemos
v-*,debido aque y : 0 cuando ú : 0.
De la tercera de las ecuaciones (I2) obtenemos al separar variables,
sectr drr = -#0,
"*,(;-f) = -#*",*" (; - ?) = aoasuuemt
(2)
Entonces como ,r : ¡/2 ctando ü : 0, tenemos cz : 0. Esto significa que en todo instantedebemos tener c1 -- */2.
De la cua¡ta de las ecuaciones (.12) del problema 11.24 obtenemos
o integrando
esto es
o al integrar
esto es
se,ozil,cz = #nt
"*.(l-?) = ffi* ",
*" (: - ?) = cao-l'ltt8nr
Ahora cuando t : O, cz: 0, así eu€ c¿ : l. Entonces
^"G-?) = e-lJ't8n¿ o 0z = i-2t¿n-r?-4'9¿t8"")
(ü) Las ecuaciones (t) y (2) indican que el centro se desplaza en dirección y con velocidad constante
,9/lm. Las varillas ADy BC siempre sonparalelas al ejey en tantoque las varillas ABy CDgiranlentamente hasta que finalmente [t - o ] el rombo se desploma, de tal forma que todas las
cuatro varillae estarán sobre el eje y.
cAP. ul ECUACIONES DE LAGRANGE 305
Problemas propuestosCOORDENADAS GENERALIZADAS Y ECUACIONES DE TRASFORMACIONl1'39' Da¡ un conjunto de coo¡denadas generalizadas necesa¡ias para especificar completamente cada uno de
los movimientos slguientes: (c) una esferita constreñida a moverse en un alambre circular; (ó) una par-tícula const¡eñida a moverse sobre una esfera; (c) un péndulo compuesto; (d) una má¡uina de Atwood(véase el problema 3-22); (e) un disco ci¡cular que rueda en un plano horizontal; (/) un cono que rueda so-bre un plano ho¡izontal.
ll'4o' Esc¡ibi¡ ecuaciones de t¡asfo¡mación del movimiento de un péndulo triple en función de un conjuntoapropiado de coo¡denadas generalizadas.
ll'41' Una partícula se mueve sob¡e la superficie superior de un paraboloide de revolución, sin rozamiento, cuyaecuación es ¡2 * !2 : cz. Escribi¡ las ecuaciones de trasformación del movimiento de lapartícula enfunción de un conjunto apropiado de coordenadas generalizadas.
ll''42' Esc¡ibir las ecuaciones de t¡asformación del movimiento de una partícula constreñida a move¡se sobreuna esfera.
CLASIFICACION DE SISTEMAS MECANICOSl1'43' Clasificar de acuerdo con si son: (i) escleronómico o ¡eonórnico, (ii) holonómico o no-holonómico, (iii)
conservativo o no-conservat ivo:(o) un cilind¡o horizontal de radio a ¡ueda dentro de un cascarón cilínd¡ico horizontal totalmente rugo-
so de ¡adio b > ¿;(b) un cilindro que rueda (y que posiblemente se desliza) hacia abajo por un plano inclinado un ángu-lo a;(c) una esfe¡a que rueda hacia abajo sobre otra esfera que está ¡odando con velocidad unifo¡me en unplano horizontal;(d) una partícula constreñida a desplazarse sobre una línea bajo la influencia de una fuerza que es in-
versamente proporcional al cuad¡ado de su distancia a un punto fijo y con una fuerza amortiguado-ra proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea.
Resp. (a) escleronómico, holonómico, conservativo(b) escleronómico, no-holonómico, conservativo(c) reonómico, no-holonómico, conservativo(d) escle¡onómico, holonómico, no-conservativo
TRABAJO, ENERGIA CINETICA Y FUERZAS GENERALIZADAS11.44. Demostrar que si las ecuaciones de trasfe¡mación son rv : tv(qt, qz, , gn), es decir, no contienenexplicitamente el tiempo t, entonces la energía cinética puede escribirse como
donde oop son funciones de las go.
T = "¿r¿
aoPüoiP
ll'45' Discr¡tir el problema 11.44 en el caso en que las ecuaciones de trasformación dependan explícitamentedel tiempo t.
11.46. Se dice que F es una t'unción homogénea de orden 4 si F(tr.r, Iy, Iz) : I" ¡(r, y, z) donde tr es unparámetro. Determinar cuáles de las siguientes funciones son homogéneas (si es que lay), dando en cadacaso el orden:(al uzIU2+.2*rylaztrz(bl 3a-2y*42(c) rgz * 2ry * Zaz * 2gz(ü @+u*zl/r
(el rt tan-r (y/rl(fl 4 senag
@) (xlatzll(uz*y2*22)
Resp' (a) homogénea de orden 2, (ó) homogénea de orden 1, (c) no-homogénea, (d) homogénea de ordencero, (e) homogénea de orden B, (/) no-homogénea, (g) hornogéneaáe orden -1.
Si F(¡, y, z) es homogénea de orden n (véase el problema 11.46) comprobar que
..aF , aF aF'Al+uau*"-l; = nF
rt.47.
306 ECUACIONES DE LAGRANGE IcAP. 11
Esta ecuación se llama teorema de Euler d,e funciones homogéneos.' (Sugerencia. Derivar ambos lados de la identidad F(I¡, Iy, Iz) : I'F(¡, y, z) con respecto a I y
luegohacerl:1.)
11.48. Gene¡aliza¡ el resultado del problema 11.4?.
11.49. Comprobar que si las ecuaciones de trasforrnación no dependen explícitamente del tiempo , y ? es laenergía cinética, entonces
.aT toT, ,.,AT'itfr + tzfi+ "' ¡ o"fi = 2T
¿Puede demostra¡lo directamente sin utilizar el teorema de Euler de funciones homogéneas (problemarr.47)?
ECUACIONES DE LAGRANGE
ll.5O. (¿) Establecer la lagrangiana de un oscilador armónico en una dimensión y, (b) escribi¡ las ecuaciones
de Lagrange. Resp. (a) L = tm¿z - **r2, (ü ¡nU + xr = 0
tl.5l. (o) Establecer la lagrangiana de una partícula de masa rn que cae lib¡emente en un campo gravitacionaluniforme y, (b) escribir las ecuaciones de Lagrange.
11.52. Resolver el problema 11.51 en el caso en que el campo de fuerza gravitacional va¡íe inve¡samente con elcuad¡ado de la distancia desde un punto fijo O, suponiendo que la partícula se mueve en una recta quepasa por O.
f l.ó3. Emplear las ecuaciones de Lagrange para desc¡ibir el movimiento de una partícula de masa m que bajapor un plano liso inclinado un ángulo a.
f1.54. Utilizar las ecuaciones de Lagrange para describir el movimiento de un proyectil lanzado con velocidadinicial ue formando un ángulo o con Ia horizontal.
11.55. Resolver con las ecuaciones de Lagrange el problema de un oscilador armónico (o) en dos dimensiones,(ó) en tres dimensiones.
11.56. Una partícula de masa m en un plano horizontal está unida a un punto fijo P por medio de una cuerdade longitud l. El plano rota con velocidad angular constante o alrededo¡ de un eje vertical que pasa porunpuntoOdelplano,donde OP:o. (a)Establece¡lalagrangianadelsistema,(b)escribirlasecuacionesdel movimiento de la partícula.
11.57. Las coo¡denadas rectangulares (r, y, e) que definen la posición de una partícula de masa m que se mue-ve en un campo de fuerza que tiene un potencial 7 están dadas en función de las coo¡denadas csfé¡icas(r, 0, ó), por las ecuaciones de trasfo¡mación.
n = rsenocosr, u = rse¡csenr, z = rco30
Utilizar las ecuaciones de Lagrange para establecer las ecuaciones del movimiento.
Resp. ml'i - r$z - rá2 cosz d' = -'l*f a 1 ravml¿@zol * r2c2senÉcosol = -; ,,;". tivrn dt\rze senz p¡ = - r *" d Aó
11.58. Resolver el problema 11.56 si la partícula no se mueve necesariamente en una línea recta que pasa por O.
11.59. Resolver el problema 4.23 con las ecuaciones de Lagrange.
ECUACIONES DE LAGRANGE PARA SISTEMAS NO-HOLONOMICOS
fl.60. (a) Resolver el problema 11.20 si se remplaza el paraboloide por el cono x2 * y2 : c222. (ó) ¿Qué mo-
dificación debe hacerse en este caso al problema 11.21?
ll.6l. Usar el método de las ecuaciones de Lagrange para sistemas no-holonómicos para resolver el problemade una partícula de masa rn que baja sin ¡ozamiento por un plano inclinado un ángulo a.
cAP. lll ECUACIONES DE LAGRANGE
ll'62' Resolver el problema 3.?4 por el método de las ecuaciones de Lagrange pa¡a sistemas no-holonómicos.
ECUACIONES DE LAGRANGE CON FUERZAS IMPULSIVASll'63' Una varilla unifo¡me 'le longitud I y masa M está en reposo sobre una mesa ho¡izontal lisa. Se aplica unimpulsodemagnitud.9enunext¡emoAdelavarillayperpendicularaella. Comprobarque(a)lavelo-
cidad comunicada aI extremo A es a.9/M, (ó) la velocidad del centro de masa is .g/U'V, (c) la vari_lla gira alrededor del centro de masa con velocidad angular de magnitud 6,!/ul.
307
rl'6ó. Demostrar que la energía cinética total desarrollada por el sistema del problema 11.64 después del impul-so es lMof,.
r1'66' Un cuadrado de lado tr y masa M, formado por cuatro varillas unifo¡mes que están unidas en sus vérticespor bisagras sin rozamiento descansa sobre un plano horizontal liso. Se aplica en uno de los vé¡tices unimpulso en dirección de la diagonal que pasa por el vértice así que éste adquiere una velocidad de magni-tud uo. Comprobar que las varillas se mueven alrededor de sus centros de masa con velocidad angular3' o/4o
11.67. (¿) Si en el problema 11.66 JJ es la magnitud del impulso aplicado en el vértice, ve¡ificarque la energiacinética de las varillas es 5,92/4M. (ü) ¿Cuál es la energía cinética en función de uo? (c) ¿Tiene ladirección del impulso alguna diferencia? Explicar
rl'68' Suponer en el problem a 11.24 que el impulso se aplica en el centro de una de las varillas en dirección per-pendicularalava¡illa. comprobarquelaenergíacinéticadesa¡¡ollada es,t2/gm.
PROBLEMAS VARIOS
ll'69' Una partícula de masa /n se mueve en el interior de un cascarón hemisférico liso de ¡adio a con su vérti-ce sobre un plano horizontal. ¿Con qué velocidad ho¡izontal debe lanzarse la partícula para que pe¡manez-ca en un círculo horizontal a una artura h por encima del vé¡tice?
11.64. En la figura lL-ll, AB y BC representan dos varillasuniformes que tienen la misma longitud I y masa Munidas en B sin ¡ozamiento, y están en ¡eposo en unplano horizontal liso. Se aplica en C un impulso nor_ Amal a 8C en la dirección indicada en la figura ll-11y la velocidad inicial del punto C es v6. Hallar, (o)las velocidades iniciales de los puntos A y B y (ó) lasmagnitudes de las velocidades angulares iniciales deAB y BC con respecto a sus centros de masa.Resp. (a) voh,-2voh; (b) Buohl,-9uohL
ll.7O. Una partícula de masa m está constreñida a moversedentro de un tubo delgado sin ¡ozamiento (véase la fi_gura 11-12), el cual está rotando con velocidad angularconstante o en un plano horizontal ry alrededo¡ deun eje vertical fijo que pasa po¡ O. Describi¡ el movi-vimiento utilizando las ecuaciones de Lagrange.
ll.7l. Resolver el problema 11.20 si el plano .ry es vertical.
11.72. Una partícula de masa /n se mueve en un campo defuerza central de potencial V(r) donde ¡ es la distanciadesde el centro de fuerza. Usando coordenadas esfé¡i_cas, (o) establece¡ la lagrangiana, (ó) determinar lasecuaciones de movimiento. ¿podrÍa deducir de estasecuaciones que el movimiento @urre en un plano?(Comparar con el problema 5.1.)
Fig. ll-ll
Fig. ll-12
ll'73' Una partícula se mueve sin rozamiento en un alambre horizontal de ¡adio c y experimenta la acción deuna fuerza resistente que es proporcional a la velocidad instantánea. Si la partícula tiene una velocidadinicial us, halla¡ la posición de ra partícula en cuarquier tiempo t.Resp. e = (mas/x)(l - e-xtlma], donde d es el ángulo que un radio trazado desde ¡n forma con un ra-
dio fijo tal que ú : 0 cuando f : 0 y ( es una constante de proporcionalidad.
308 ECUACIONES DE LAGRANGE IcAP. 11
t1.74. Resolver el problema 11.73 si la fuerza resistente es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea.
't1'' /m*rtt¡t\Ilesp. c =;rt\ _ )
11.75. Un péndulo esférico está fijo en un punto O pero puede movetse libternente en cualquier dirección. Es-
cribir sus ecuaciones de movimiento.
11.76. Resolver el problerna 9.29 empleando las ecuaciones de Lagrange.
11.77. Resolver el problema 11.20 si se remplaza el paraboloide de revolución por el paraboloide elíptico oz :bx2 * cy2, donde a, ó, c son constantes positivas.
11,?8. Comprobar que la fuerza generalizada correspondiente al ángulo de rotación alrededor de un eje, repre'senta físicamente la componente del momento con respecto a dicho eje.
11.79. (o) Obtener las ecuaciones de Lagrange correspondientes a 0 y d en el problema 11.34 y demostrar que
no son iguales a las ecuaciones (2) V (3) de ese problema. (á) Indicar cómo se pueden obtener, mediantelas ecuaciones de Lagrange, de la parte (¿) las ecuaciones (2) y (3) del problema 11.34.
fl.8o, Dos discos circula¡es de radios de giro Kt ! Kz y masas Ítt, trtz,respectivamente, están suspendidos verticalmente de un alambre de ma-
sa despreciable (véase la figura 11-13). Se ponen en movimiento girandouno o ambos discos en sus planos y luego se sueltan. Sean 0r y f2 Ios án-gulos formados con alguna dirección específica.(a) Verificar que Ia energía cinética es
7' = g(mí?'ez + mrxf,'ezr¡
(ó) Comprobar que la energía potencial es
Y = $lr$? I ry@2- e1\2)
donde ¡r y 12 son las constantes de torsión, es decir, los momentosrequeridos para hacer girar los discos un radián.
(c) Establecer las ecuaciones de movimiento de Lagrange.
11.81. Resolver el sistema vibrante del problema 11.80, calculando (a) las frecuenciasnormales de vibración.
Fig.1l-13
normales, y (b) los modos
11,82. Generalizar los resultados de los problemas 11.80 y 11.81 pa¡a 3 o más discos.
11.83. (o) Ve¡ifica¡ que si el péndulo doble del problema 11.28 con mt * mz Y lt I ¿2 entonces las fre-
cuencias normales de oscilaciones pequeñas están dadas por o/2r, dond,e
u2=(m1* m2l(1+ ¿zr !
2l{gn1
(ó) Analizar los modos normales correspondientes a las frecuencias de la parte (a).
f 1.84. En el problema 11.83 examinar el caso especial lt : lz, tftt I mz-
11.85. Utilizar las ecuaciones de Lagrange pa¡a describir el movimiento de una esfera de radio o que rueda sobre
la superficie interior de un cascarón hemisfé¡ico liso de radio b > ¿.
1f.86. Una partícula que está sobre la superficie interior lisa de un paraboloide de revoluciór az : x2 * y2
tiene una velocidad horizontal uo a una altura H¡ por encima del vértice. Encontrar el valor de us
para que la partícula oscile entre los planos z : Ht y z : H2 Resp. us : \/En
ll.E7. En el problema 11.86 encontra¡ el período de oscilación.
11,88. A una esfera de radio a se le imprime una velocidad inicial uo hacia arriba de un plano inclinado un
ángulo c sin rozamiento, en una dirección que no es la de la línea de máxima pendiente. Demost¡ar
que su centro describe una parábola.
cAP. rll
11.93. Suponer que el potencial V depende tanto
Tes constante,
11.94. Emplear las ecuaciones detió en el capítulo b.
(a) Establecer la lagrangiana del sistema.(ó) Escribir una ecuación dife¡encial del
función de r.(c) Encontrar laResp. (ol L -
(b') 'i =(c)i-
ECUACIONES DE LAGRANGE
movimiento de P en
309
l1'69' Una esfe¡ita de masa ¡n tiene la constricción de moverse sin rozamiento en un alamb¡e circular horizon-tal liso de radio o el cual está girando con velocidad angular constante o al¡ededor de un eje verticalfijo que pasa por un punto del alambre. Comprobar qo" "-on
relación al alamb¡e la esferita oscila comoun péndulo simple.
ll'9o' si una partícula de masa m y catla e se mueve con velocidad v en un campo eléctrico E y un campomagnético B, entonces la fuerza que actúa sobre ella es
F = e(E * vxB)En función de un potencial escalador é y un potencial vectorial A, el carnpo puede expresarse mediantelas ¡elaciones
E = -Vé_AA/AL B = VXAcomprobar que la lagrangiana que define el movimiento de la partícula es
L = [mo2 * e(A. v) _ ea
ll.9l. Hacer el problema 10.g6 con las ecuaciones de Lagrange.
ll'92' una varilla uniforme de longitud I y masa M tiene sus extremos constreñidos a moverse sobre la circun-fe¡encia de un alambre circula¡ ve¡tical liso de radio a > I/2. El alambre rota al¡ededo¡ del diámetrove¡tical con velocidad angular constante o. obtene¡ ecuaciones del movimiento de la varilla.
de i, como de gr. Verificar que la cantidad
+v->a,#Lagrange para establecer y resolver el problema de dos cuerpos que se discu_
11.95' Encontrar ra aceleración de ra masa de 5 g en el sistema de poleasde la figura 11-14. Resp. 7tg/622
esta desigualdad.
11.97, Emplear las ecuaciones de Lagrange para resolver el problema8.27.
11'98. Desc¡ibir el movimiento de las va¡illas del problema 11.64 despuésde un tiempo cualquiera f de aplicar el impulso.
magnitud de la velocidad de p para cualquier posición.
[mlZia * rziz1 * ms(t- r)az&/f - g
Fig.11-11
Fig. 11-15
t/2aúoi 2C@-rl - 2azúolr
310 ECUACIONES DE LAGRANGE [cAP. u
ll.foo. Hacer el problema 11.99 si las masas de las partículas P y Q son, respectivamente, mr y m2-
ll.lol. Demost¡ar que si uo : 5 la partícula P del problema 11.99 permanece en equilibrio estable en el
cí¡culo r : a y que "i se despla"a ligeramente de su posición de equilibrio oscilará al¡ededo¡ de esa po-
sición con un movimiento armónico simple de período Z"t/Ulgg'
ll.lo2, Comprobar que la cantidad O,¡ del problema 11.34 representa fisicamente la componente A¡ del mo-
mento.
rl.log. Deecribir el movimiento del sistema del (¿) problema 11.63 y, (b) problema 11.66 despuée de un tiempo
cualquiera f de aplicar el impulso.
ll.lo4. Indicar cómo calcular el ángulo con el cual cae la esfera del problema 11'37'
rl.lo5. (o) Establecer la Iagrangiana del péndulo triple de la figura 1l-16.
(b) Encontra¡ las ecuaciones de movimiento'
ll.106. Obl,ener las frecuencias y modos normales del péndulo triple del problema 11.105 considerando oscilacio-
neó pequenas.
ll.lOZ. Hacer los problemas 11.105 y 11.106 cuando las masas y las longitudes son dife¡entes.
Fig. rr-16 Fig. l1-1?
1l.ro8. un resorte ve¡tical tiene una masa M y una constante ¡. si se suspende del ¡esorte una masa m y se
pone en movimiento, demoetrar, utilizando las ecuaciones de Lagrange, que eI sistema iniciará un mo-
vimiento armónico simple de período 2,@ +ffi'
Copítulo 12
Teorío homiltoniono
METODOS HAMILTONIANOSEn el capítulo 11 estudiamos una formulación de la mecánica debida a Lagrange. En
este capítulo estudiaremos una fo¡mulación debida a Hamilton y conocida en conjunto co-mo métodos hamiltonianos o teoría hamiltoniano. Aunque esta teoría puede emplearse pa-ra resolver problemas específicos de la mecánica, se encuentra que es más útil en proporcio-nar postulados fundamentales en campos tales como la mecánica cuántica, la mecánicaestadística y la mecánica celeste.
LA HAMILTONIANADel mismo modo que en el capítulo 11 la función lagrangiana, o brevemente la lagran-
giana, es fundamental, en este capítulo será fundamentálla ¡unción hamiltoniana o la ha-miltoniana.
La hamiltoniana que se representa por H, se define en función de la lagrangiana como
H = to"A"-" (r)
y debe expresarse en función de las "oord""n=j¿^s
generalizadas go y los momentos genera-lizadosp.. Para cumplir este propósito deben eliminarse de (I) las velocidades ri" rriitir"rr-do las ecuaciones de Lagrange (por ejemplo véase el problema 12.3). En tal caso la funciónff puede esc¡ibirse
H(Pr, , . ., Pn, et, , . ., q¡, t)o más brevemente H(po, eo, t), que también recibe el nombre de hamiltoniana del sistema.
ECUACIONES DE HAMILTONLas ecuaciones del movimiento del sistema
función de la hamiltonianapueden escribirse en forma simétrica en
Fn=
Qo=
(2)
(3)
Estas son las ecuaciones canónicas de Hamilton o ecuaciones de Hamilton. Las ecuacionessirven para indicar que las p. y las go desempeñan papeles similares en una formulacióngeneral de los principios de la mecánica.
LA HAMILTONIANA DE SISTEMAS CONSERVATIVOSSi un sistema es conservativo, la hamiltoniana puede interpretarse como la energía to-tal (cinética y potencial) del sistema, esf,o es.
H = T TV
Esta ecuación proporciona frecuentemente un método fácil de establecer la hamiltonianade un sistema.
(4)
311
3r2 TEORIA HAMILTONIANA [cAP. 12
COORDENADAS CICLICAS O IGNORABLES
Una coordenada go que no aparece explícitamente en la lagrangiana es wa coordeno-
da cíclica o ignorable. En tal caso
de tal modo que po es una constante, llamada frecuentemente constante del mouimiento.
En este caso tenemos también que óIIlóq" = 0.
ESPACIO DE FASE
La formulación hamiltoniana proporciona una simetría obvia ent¡e las p" y las go a
las que, respectivamente, llamamos coordenadas de momentum y posición' Con frecuencia
es riiit imaginar un espacio de 2n dimensiones en eI cual un punto representatiuo está indi-
cado por 2n coordenadas
(Pt, .. .,Pn, Qt, . .,, Q")
Tal espacio se llama un espacio de fase de 2n dimensiones o un espacio de fasepq.
Siempre y cuando que conozcamos el estado de un sistema mecánico en un tiempo ü'
esto es, conozcamos todas las coordenadas de posición y momentum, entonces este estado
corresponde a un punto particular en el espacio de fase' Recíprocamente, un punto en el es-
pacio de fase especifica el estado de un sistema mecánico. Aunque el sistema mecánico se
mueve en el espacio físico de 3 dimensiones, el punto representativo describe una trayecto-
ria en el espacio de fase de acuerdo con las ecuaciones (3).
TEOREMA DE LIOUVILLEConsideremos un gran número de sistemas mecánicos conservativos que tienen la mis-
ma hamiltoniana. En tal caso la hamiltoniana es la energía total y es constante, es decir,
H(Pr, . . ., Pn, Qt, , . ', qn) = constante = 'E
que puede representarse por una superficie en el espacio de fase'
b,=*--o (5)
(6)
(7)
Supongamos que las energías totales de to-
dos estos sistemas están comprendidas entreEt V Ez. Entonces la trayectoria de todos es-
tos sistemas estará comprendida, en el espacio
de fase. entre las dos superficies H Et Y
H Ez, como se indica esquemáticamenteen la figura l2-1.
Debido a que los sistemas tienen condicio-nes iniciales diferentes, se desplazarán en el es-
pacio de fase por trayectorias diferentes. Imagi-nemos que los puntos iniciales están contenidosen la región (r de la figura l2-l y que después
de un tiempo f estos puntos ocupan la región
fi.r. Por ejemplo, el punto representativo co-
rrespondiente a un sistema particular se des-
plaza desde el punto A hasta B. Es obvio que
el número de puntos representativos en fi.r y Rzsiguiente teorema, llamado teorema de Liouuille.
Fig. l2-l
es el mismo. Lo que no es tan obvio es el
cAP. 121 TEORIA HAMILTONIANA 313
Teorema 12.12 Teorema de Liouuille. Los volúmenes de 2n dimensiones de Rry tz son los mismos, o si definimos la densidad como el número de puntos por unidadde volumen, entonces la densidad es constante.
Podemos conside¡ar los puntos de Rr como partículas de un fluido incompresible que se
desplaza desde tr hasta fi.2 en un tiempo ú.
CALCULO DE VARIACIONESUn problema que se presenta frecuentemente en matemáticas es hallar una curva ] :
Y(¡) queunelospuntos x: a y x: ó talquelaintegral(endonde y' :dy/dxl?b
)" F(n,y,y') dr (8)
sea un máximo o un mínimo, llamado también ualor extremo. Con frecuencia a la curvase le da el nombre d.e extrernal. Puede demostrarse (véase el problema 12.6) que una condi-ción necesaria para que (8) tenga un valor extremo es
d/{\-{ = o (e)ñ\w/- u v
que es la llamada ecuación de Euler. Este problema y problemas similares se estudian enuna rama de las matemáticas llamada cálculo de uariaciones.
PRINCIPIO DE HAMILTONLa semejanza de (9) con la ecuación de Lagrange conduce a considerar el problema de
calcular los vq,lores extremos de
ftzI L(qr, . . ., e,, qr, . . ., e^, tl d,t Q0)
{tt
o brevemente, ft" r a,úat
donde L : T - V es la lagrangiana de un sistema.
Podemos demostrar que la condición necesaria de una curva extremal es
+(9L \ a¿ (rr)il\lt) - aq" = u
que son precisamente las ecuaciones de Lagrange. El resultado llevó a Hamilton a'formularun principio variacional general conocido como el
Príneipio de Hamilton. Un sistema mecánico conservativo se desplaza desde
un tiempo ü r hasta un tiempo t 2 en tal forma que
?tz
J,, " O' Q2\
llamada la integral de acción, tiene un valor extremo.
Debido a que frecuentemente el valor extremo de (12) es un mínimo, el principio se conocetambién como el principio de Harnilton de la mínirna acción.
El hecho de que la integral (12) es un mínimo, se simboliza estableciendo que
?.2,Jr,"O = 0 (I3)
donde ó es el símbolo de variación.
314 TEORIA HAMTLTONIANA lcAP. 12
TRASFORMACIONES CANONICAS O DE CONTACTOLa facilidad de la solución de muchos problemas de mecánica depende frecuentemente
de las coordenadas generalizadas que se empleen. En consecuencia es necesario examinar lastrasformaciones de un conjunto de coordenadas de posición y momentum en diferentescoordenadas generalizadas. Por ejemplo, si go ypa son las antiguas coordenadas de posicióny momentum y si Q' Y P, son las nuevas coordenadas de posición y momentum, la tras-formación es
Po = Po(pr, ...,Fn, et, ...,en, t), Qo = Q,(pr¡ ...¡Fn, et, ...,en, t)o brevemente
Pn = Po(Pn,eo,t'), Q" = Q"(po,eo,t\
Nos limitamos a las trasformaciones llamadas trasformacíones canónicas o de contacto,para las que existe una función ¡tl, llamada la hamiltoniana en las nuevas coordenadas,tal que
i,"=-'& : aJ{'ñ, q"=ffi (/6)
En tal caso Qo y P" reciben el nombre d,e coordenodas canónicas.
Las lagrangianas en las antiguas y en las nuevas coordenadas son, respectivamente,L(Po, Qn, f) y {( Pn, Qo, t). Ellas están relacionadas con las hamiltonianas H(po, qo, t)y J{(P", Q", ü) por las ecuaciones
H = 2pod"-L, J( = )p"ó"-{donde la sumatoria se extiende desde c : t hasta n.
CoNDICION PARA QUE UNA TRASFORMACION SEA CANONTCAEl siguiente es un teorema importante.Teoremo 12.2. La trasformación
Po = Po(po,en,t), Q" = Q"(po,eo,t\
(17)
(14)
(15)
FU NC IONES GENERATRICESPo¡ el principio de Hamilton las t¡asformacioñes canónicas Qa) o (/5) deben satisfacer
las condiciones de que f" r,at , f" {ilt tengan ambas valores extremos, esto es, debe-ut\ lr ar
mos tener simultáneamente que
es canonrca 8r
es una diferencial exacta.
Zp"dq" > P"dQ"
(r8)
(1e)
(21')
las antiguas coorde-también del tiempo
af,,"Ldt = o y tf"'<at : 0 (20)
Se satisfarán estas condiciones si hay una función e tal que
-"(Véase el problema 12.11. Llamamos a g una función generatriz.
Suponiendo que q es una función, que representaremos por sf, denadas de posición go, de las nuevas coordenadas de momenturn Po yü, es decir,
# = L
cAP. 121 TEORIA HAMILTONIANA
Q = d(q" P", t)
podemos comprobar que (véase el problema 12.13)
315
(22)
Pa=
donde
También, si identificamos lasPo, entonces
H*r(#,q",t)= o
Cuando se obtiene esta solución podemos determinarde momentum por
AeJF" = -aqn
Q" = Yp,, J{ -aJ{ A aJl
nuevas coordenadas de momentum Po con
aów__=./-c EB" td
entonces las antiguas coordenadas
(2u)
las constantes
aól,t"'
Dad -
H*, (23)
(24)
(%)
(26)
(2e)
'1 " Y t,
Resultados similares son válidos si la función generatriz es función de otras coordenadas(véase el problema 12.12).
ECUACION DE HAMILTON.JACOBISi podemos encontrar una trasformación canónica que conduzca a J{ = 0, vemos en-
tonces de (%) que P, y Q" serán constantes (es decir, P, y Q, serán coordenadas ignora-bles o cíclicas). Entonces por medio de la trasformación podemos encontrar po y Qn V deellas determinar el movimiento del sistema. El procedimiento depende de encontrar la fun-ción generatriz correcta. De la tercera ecuación de (23) vemos que al hacer J( = 0 la fun-ción generatriz debe satisfacer la ecuación diferencial parcial.
ddat
I H(p", q", t) = 0
La ecuación rdcibe el nombre de ecuación de Hamilton-Jacobi.
SOLUCION DE LA ECUACION DE HAMILTON-JACOBIPara aleanzar nuestro objetivo debemos encontrar una solución apropiada de la ecua-
ción de Hamilton-Jacobi. Como esta ecuación contiene un total de n * 1 variables inde-pendientes, es decir, et, ez, ...,en y t, una solucirin completa tendrá n * L constan-tes. Omitiendo una constante aditiva arbitraria y representando las n constantes restantespor At, 92, ..., Ao (ninguna de ellas es aditiva) la solución puede expresarse como
ó = ó(qr, Qz, . . ., Qn, Fb 92, . . ,, Fn, t) (27\
donde ^l q, d : 1, . . ., n son constantes.
Utilizando estas constantes podemos encontrar entonces ga en función de Éo,con lo que obtenemos el movimiento del sistema.
CASO EN QUE LA HAMILTONIANA ES INDEPENDIENTE DEL TIEMPOAl obtener la solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi es frecuentemente
útil considerar una solución de la forma
316 TEORIA HAMILTONIANA [cAP. 12
eJ = S'(sr)+S¿(qc)+...+S"(q")+f'(ú) (30)
en donde cada función de la derecha depende solamente de una variable (véanse los proble-mas 12.15 y 12.16). Este método, llamado separación de uariables, es especialmente útilcuando la hamiltoniana no depende explícitamente del tiempo. Entonces encontramos queF(ü) : - Et, y si se representa la parte independiente dei tiempo de eJ por
S = S'(9,) +Sz(qz) +...+S"(q") (31¡
la ecuación de Hamilton-Jacobi (26) se reduce a
H(!s \ -XA.^,q") = E (32)
donde E es una constante que representa la energía total del sistema.
También puede obtenerse di¡ectamente la ecuaci6n (32) considerando una función ge-neratriz que sea independiente del tiempo. En tal caso se remplazan las ecuaciones (23) y(24) por
Po= J{=H=Eo"=r*
donde
Se suelen representar lasse remplazan por
aJ{dQo'
as asPc = ;-, I4n =
-oVa 8J"
nuevas coordenadas Qo por aro,
as ósPo==-rüq:-oq"' aJ"
f"=#
(33)
(u)
(37)
entonces las ecuaciones (37)
(38)
asaq"'
F"
t
8" _ dJ{-eEdonde
INTEGRALES DE FASE. VARIABLES ANGULARES Y DE ACCIONLos métodos hamiltonianos son útiles en la investigación de sistemas mecánicos perió-
dicos. En tal caso las proyecciones del movimiento del punto representativo en el espacio defase sobre cualquier plano pog. serán curvas cerradas C". A la integral de línea
Jo = 6 ?odeoJcn
se Ie llama integral de fase o la uariable de acción.
Podemos demostrar (véanse los problemas 12.17 y 12.18) que
S = S(qr, ...,(ln,Jr,,,.,Jn\
(35)
(36)
La ecuación de Hamilton se convierte, entonces, en (véanse las ecuaciones (33) y (34))
in=.a.q{ aJ{-#,,' '": ffi (39)
donde .9{ = E depende solamente de las componentes J". Entonces de la segunda ecua-ción de (39),
wo - fot+co (40)
donde fo Y co son constantes. Las rrc son las variables de ángulo. Las frecuencias '¡lt, son
Véanse los problemas 12.19 y 12.20.
(41)
cAP. 121 TEORIA HAMILTONIANA
Problemas resueltos
317
TIAMILTONIANA Y ECUACIONES DE HAMILTON12.L. Si la hamiltoniana H : Ep"do - L, en donde la suma se extiende desde c : 1
hasta n, se expresa en función de las coordenadas go y los momenta pn, compro-bar las ecuaciones de Hamilton,
,ñ"=-#, A"=#independientemente de si If: (a) no contenga, o (b) contenga el tiempo ú como unavariable explícita.
(o) H no contiene explícitamente a t.Diferenciando H : Ep"á" - L, tenemos que
itH = 2pnitdn + >¿" dpo - ,#oo, - ,#or" (I)
Luego utilizando el hecho de que po = 0Ll0ün y in = |Lldqo, se reduce a
dH = 2doap, - 2ño¿q, e)
Pero como lf está erpresada en función d" p" y go, tenemos
dH = saL¿".- + >..aH '- apo-,n -ifidu (3)
Comparando (2) V $) llegamos al resultado deseado,
irH.aHla=¡¿, O"=-Agn
(ó) H contiene explícitamente a t.En este caso lag ecuaciones (l), (2) v (3) de la parte (o) se remplazan por las ecuaciones
dH = 2p.¡ti, + >i" ilpn - ,#oo" - ,#or" - #ot v)
dH = 2&n¿po - >ó" aq, - fiat (5)
dH = >ffiur" + 2ffaa, + ffat (6)
Luego, comparando (5) y (6) tenemos que
.dH.dHdHdLQa=6, Fa=-¡¿, ü=-ü
12.2. Si la hamiltoniana es explícitamente independiente de ü, demostrar que es: (a) unaconstante y es, (b) igual a la energía total del sistema.
(a) De la ecuación (12) del problema 12.1 tenemos
# = >¿"i"->ó"i" = o
Por consiguiente H es una constante, digamos E.
(ó) Po¡ el teorema de Eule¡ de funciones homogéneas (véase el problema 11.47),
>¿-+ = 2r-
-- dúo
318 TEORIA HAMILTONIANA [cAP. 12
donde ? ea la energía cinética. Entonces, como pa - ALhAn = ATlilin suponiendo que el poten-cial V no depende de {o, tenemoe )po üo = ZT, po¡ tanto comprobamos que
H = 2poi,-L = LT-(T-V,) = T+V = E
12.3. Una partícula se mueve en el plano ry bajo la influencia de una fuerza central quedepende únicamente de su distancia al origen. (a) Establecer la hamiltoniana delsistema. (b) Escribir las ecuaciones de Hamilton del movimiento.(o) Suponer que la posición de la partícula se erpresa en coordenadas polares (r, c) y que el potencial
debidoalafue¡zacentraleeVb). Comolaenergíacinéticadelapartículaes ?: trm(i2 l'¿i2l, lalagrangiana es
L = T-V = ¡mftz+rz'sz¡_V(rlp, = aLlO; - ni, pe = 0Ll6i = ¡nr26
i=pJm, i-prlmrzTenemoe entonces que la hamiltoniana es
t-
Tenemos
así que
H = "?rn"a'-L
= ei/e,\ / pc \ _= o,\^) + nt\ñ)
+ poi - G¡n(i¿ + nlózl - v(rl)
{*(# * ,,.#*)- v(d} G)
(r)
(2)
(3)
(5)
(6)
p7 e8= z^+ñ+V(r)Obsen¡ar que esta es la energía total erpresada en función de las coordenadas y los momenta.
(ó) Las ecuaciones de Hamilton gon iln = dHl|ps, iio - -ilHllqnLuego i=dHldp,=pJn, it=dVl¡pe-pl¡nrz
b, = -aHl|, = plnÉ - V(r\, ,ie = -dHlAc = 0
Observamos que las ecuaciones (5) son equivalentes a las ecuaciones (B).
ESPACIO DE FASE Y TEOREMA DE LIOUVILLE12,4. Demostrar el teo¡ema de Liouville en el caso de un grado de libertad.
Podemos imaginar el sistema mecánicodesc¡ito en función del movimiento de puntosrepresentativoa a t¡avés de un elemento de volu-men en el eapacio de fase. En el caso de un siste-ma mecánico con un grado de libertad, tenemosun espacio de fase de dos dimensiones (¿ g) yel elemento de volumen se reduce a un elementode Area dpdq (figora l2-2).
Sea p : p(p, C, t) la densidad de los pun-tos rep¡esentativos, eato es, el número de puntosrepresentativos por unidad de área, el cual seobtiene por un procedimiento apropiado de lími-tes. Como la velocidad con que los puntos repre-sentativos entran a través de AB es Q, el núme-ro de puntos representativoe que entran a travésde ÁB por unidad de tienpo es
pi ¿p (r)
El número de puntos representativos que salen a través de CD es
f . d ')
{n,i + frteilao¡ao
Fig.l2-2
(2)
cAP. 121 TEORIA HAMILTONIANA 319
Por coneiguiente el número de puntos que permanecen dentrc del elemento ee (I) menos (2), oá^
- 6obtl dn do (s)
Similarmente el núme¡o de puntos representativos que entran pot AD y salen por 8C son, respectiva-menüe, / \
pi¿c l' a "'v tee
+ *blldplacLuego el número que permanece en eI elemento es
d , ., .-¡obildndt Ul
El aumento de puntos representativos es, po¡ consiguiente, (sumando (g) V (a))
{@ * a!i't\ oooo
Loc dp)
Como es iS,aal a fiiQdq, debemos üener
g*J4O+i@] = odt Laq ae)
**,#*#a+,**hb = o (5)
Po¡ las ecuaciones de Hamilton b = -aVlaq, i = |Hldp así que
9i- = - a'H . aA -- azr0p 0p 0q' Aq dq dp
Por tanto, como supon_emos que la hamiltoniana tiene derivadas continuas de segundo orrden, ee con-cluye que dfilap = -ailaC. Remplazando este resultado en (5), tenemos que
**#a*#b = o (6)
Pe¡o esto se puede esc¡ibir como ilpldt = 0 (7')
lo que demuestra que la densidad en el espacio de fase es constante y, €n cons€cü€ncia, hemos verificadoel teorema de Liouville.
12.6. Demostrar el teorema de Liouville en el caso general.
En el caso general el elemento de volumen en el espacio de fase es
dV -- dq1 .. . ilqnilpt... ilpn
Se encuentra en una forma exactamente igual a la del problema 12.4, que el aumento de puntos repre-sentativos en dV es
- l@ + ... + abi,,| + abitl +... , abiJ\,,,-iacr ?""- aqr- apr-"'+ aerlov
y como es igual " fraV, debemos tener que
?p * a(p,ir) + ... + a(p,in) + abbtl +... * a(páo) = odt 0h lqn lpt ign
o to+ $. a!ed")+ i @ = oAt ' Et ilqn ' "€, ae"
Esto puede escribirse como
dpt s lao:.@;-\+ 3 "/4*91=) = o (r)u - ,At \aq" o" - ap"o" ¡ - o3, o \ac"- ae") u
320 TEORIA HAMILTONIANA
Por las ecuaciones de Hamilton in= -dVl\qo, iin= 0HlOpn
,io _ _ azH ,dn _ipn |po1qo' lgu
Luego Abnl|pn= -\iollqn y (l) ge convierte en
esto eE,
o p - constante
dpld.t
lcAP. 12
así que
a2H
dqodpo
=0
Observemos que hemos usado el hecho de que si p : p(qt,
dp { laoit!y+g¿l,.:)+g = 3ü "á \ac"E- a4E/ - dt a=l
(2)
(3)
. *¡")=Q
,p', ü) entonces
+ !;t") + fi
CALCULO DE VARIACIONES Y PRINCIPIO DE HAMILTON
12.6. Verificar que la condición necesaria para que f : fo ,rr, y, y') dx sea un valor extre-
mo (máximo o mínimol * *(#)-ff = o. vc
Suponer que la curva que hace que f sea un ertremo está dada por
a = Y(xl, o=rSb
Luego U = Y(xl*c1@l = Y*cndonde e que es independiente de r, es una curva cercana que pasa po¡ ¡ : ¿ y ¡
q@)=z(b)=0
(l)
(2)
: b si hacemos que
(3)
el valor de .I para esta curva cencana es
abI(.) = J"rrr,Y*q,Y'*cr¡'ldr (4\
Eeta es un ertremo cuando e : 0. Una condición necesaria para que esto sea ".i, ".
qu. $ | - = Q.Pero de¡ivando dentro de la integral, suponiendo que esto es válido, encont¡amos 6€ l€=0
¿il1 (olaP ar',\¿ l.=o = J" \*' + *t' )ar =
que puede escribirse integrando por partes como
Í"' #,¡ itr I # rl'" - Í"o , *(#) *(b lap ¿ /ar\l= )",\*_ú\r¡)Jo" = o
en donde hemos utilizado (3). Debido a que z es arbitraria, debemos tener
#-*(#) =. ¿ /ar\ aFo t\ú)-fr = o
que es la ecuación de Euler o de Logrange. El resultado se ertiende fácilmente a la integral
vbI r@, yt,yl; gz,uL, , ' ., un,!'nl tluua
y conduce a las ecuaciones de Euler o de Lagrange
cAP. 121 TEORIA HAMILTONIANA
d,/aF\_aFú\aI) -dY" = o a=l'Z'""n
Por el desarrollo de la serie de Taylor, de (4) encontramos que
rG) - r(0) = " l"'(il, . #r)t6 -f términos de orden superior sn c2,ra, erc. (5)
El coeficiente de t en (5) sb llama con frecuencia uariacíón de la integral.y se denota por/'b
s I F(x, y, y,l drJ
F(a,A,U'l da sea un extremo es indicado por
r+E I F(x,y,y,) ilr = 0
ul
12.7. Discutir la relación del principio de Hamilton con el problema 12.6.
Identificando la función F(x, y, y') con la lagrangiana .L(ú, q, i) donde t, y y y, se han rempla.zado por Ú, g, i respectivamente, observamos que una condición necesaria para que Ia integral de acción
El hecho a, ou. Jo
t." , o,.l
sea un extremo (máximo o mínimo) está dada por
! /at\ .aLa\A)- dq = o
321
(t )
(2)
Como lo hemos visto (2) describe el movimiento de la partícula, por tanto para que se realice tal movi.miento se requiere que (.r) sea un extremo, lo cual corresponde al frincipio de Hamilton.Para sistemas que involucren n grados de libertad consideramos la integral (I) donde
L = L(t,qbAt,qz,ü2, .,.,qn,ünlque conduce a las ecuaciones de Lagrange
d/aL\_aL ^¿t\ad"/ oÍa v
12.8. Una partícula se desliza desde el reposo, sobreun alambre en un plano vertical, desde unpunto hasta otro por la influencia de la gra-vedad. Determinar el tiempo total empleado.
Indicamos la forma de la curva C del alambre en lafigura 12-B y suponemos que los puntos inicial y final delmovimiento son el origen y el punto A(¡o, yo), res-pectivamente.
Supongamos que la partícula tiene masa m y quesu posición está dada por p(r, f). Según el principio dela conservación de la energía, si elegimos como nivel derefe¡encia una línea horizontal que pase por A, tenemos
e. = lr2, ,. .rn
Fig.12-B
o ...*" potencial en O -| energía cinética en O : energía potencial en p * energía cinética en p
msys * 0 = rns(aó-ú + *m(ü/dtzdond,e ds/dt es la rapidez instantánea de la partícula en el tiempo ú. Entonces
daldt = ¡Fw ,)Si medimos el arco s desde el origen, entonces s aumenta cuando la partÍcula se mueve. Entonces ds/dfea positivo, así que ds/dt : {td o dt : ds/VW.
El tiempo total empleado para ir desde y : 0 hasta y : yo es
322 TEORIA HAMILTONIANA [cAP. 12
ft frto= l'¿, = l-" ds
Jo Jy=o @
pe¡o (ds)2 : (d.x)2 1- @y), o ds: ,Ñ d¡. Enüonceseltiemporequeridoes
I rYo '/f+7 .¡ = -r/w
)"=o ,lo "" e)
12.g. Si la partícula del problema 12.8 viaja del punto O al punto A en el menor tiempo po-
sible, demostrar que la ecuación diferencial de la curva C que define la forma del
alambre es 1 * y'2 + 2yy" :0.Una condición necesaria para el tiempo r según la ecuación (2) del problema 12.8 para ser un míni'
mo es que
donde
Ahora
Sustituyendo ésta en (I), haciendo la derivación indicada con respecto a r y simplificando obtenemos la
ecuación diferencial requerida.
El problema de determinar la forma del alambre ee llama frpcuentemente el problema de la braquis-
tocroma.
12.f O. (a) Resolver la ecuación diferencial del problema 12.9 y así, (b) demostrar gue la curva
requerida es una cicloide.
(a) Ya que .r no apa¡ece en Ia ecuación diferencial, hagamos !' : u aeí que
y,, = #= #y"= Hu, = "#Entonces la ecuación diferencial ee convierte en
¡t /dF\ ¿rú\Ú)-;i = o (r)
¡' = (1 *g'\rtzg-rrz (21
ilFloy, = (l+g,\-rrz u' u-rtz, 0Fl0g = -ü(r + o'z¡ttzn-ttz
LtuzIZuufr= O o
Integrando obüenemos
ln(1*22)*ln/=lnü
2uilu,du-nt+dÉ-T - "
o (1 +u2lu - b
donde b es una constante. Entonces dt f_
u=u.=á={-3ya que la pendiente debe se¡ posiüiva. separando las variables e integrando, encontramos
' = I Fr-"du*cHaciendo J : b senz e, podemos esc¡ibir
/. r--ü = J {f#*'2D sen c coEo ilc + c
ff
Entonces las ecuaciones paraméüricas de la curva requerida son
n - [b(zc-sen20)*o' tt = bsen2' = *ütr-co¡2c)Ya que la curva debe pasar Por ¡ : 0, y - 0' tenemos c : 0' Entonces haciendo
o=2c, o=*blas ecuaciones paramétricas requeridas son
t = o(Q -senP), ! = o(L -coso)
(r)
(2)
cAP. r2l TEORIA HAMILTONIANA
\t\----l
a
Fig. t2-4
323
(ó) Las ecuaciones (2), son lae ecuaciones paramétricas de una cicloide (figura l2-4). La constanüe o sedebe determinar en tal forma que la cuiva pase po¡ el puntoA. La cicloide es la trayectoria desc¡itapo¡ un punto fijo sobre un cí¡culo que rueda a lo largo de una línea dada (véase el problema l2.gg).
TRASFORMACIONES CANONICAS Y FUNCIONES GENERATRICESl2'll' Demostrar que una trasformación es canónica si existe una función e tal que itrqldt =L- -q.
¡en se¡ simultáneamente extremas así que sus variaciones
?tty ól lat=Out,
Entoncee por resta,
Eeto se puede cumpiir si eriste una función f tal que
como en tal caso
dT¡lt
dT
Las ecuaciones
af'," {t -<)dt = o
L-1= d,Qldt
, l,':#* = 6(aa)-detD = o
La función 6 ae llama furción generatriz.
L2'12' Suponer que la función generatriz es una función f de las antiguas y nuevas coor-denadas de posi-ción Q' Y Q" respectivamente como también del tiempo t, estoes, f : ,f (en, eo, f ). Demostrar que
p" = #, ," = -#, J{ = #** donde
Según el problema 12.11,
ir"= -#,, e"=ff"
L-1= 2pnáo-H-{t"á"-"}2poi, - )po ó, + .gt - n
= 2poitqn - >Pa itQn * ll!- H\ dt
Pero si T = T(qo,Qo, ú), entonces
dr = 2f*oo, + ># ao, + f, at e)
Comparando (l) V e), tenemos como se requiere
o"=#, Po=-#n, J¡-r=#b"=-W, ón=#
(r)
debido a que f es la hamiltoniana en las coordenadas P", Q" de manera que las ecuaciones de Ha-milton corresponden a las del problema 12.1.
TEORIA HAMILTONIANA
eS = f +>PaOa
[cAP. 12
12.13. sea et una función generatriz que sólo depende de go, Po, ü. Demostrar que
-^ _ AeJ Aof .. Aol i- = -ry. e, =p"=ffi,Q"--ffi, J4=#+H donde ra=-¿fit '
De la ecuación (I) del problema 12'12, tenemos
¿IT = 2pndqo - >P"dQ" + (J1- Hl.lt
: 2pndqo- o{>""o"} * >QodP, + (.gil-Hl¡tt
¿( r +>p"o") ='roo d,q'o + 2QoEo + (Jl-H\¿It\/
deJ = 2poilqo + >SditPo + Ul-$dt
a-91
ñ,
o
esto esr
donde
(1) 1
(2)
(3)
(41
Pero como g[ es una función de 9", P", t'
d,er = r,Hoo, + 2ftae" + flatcomparando (2\ Y v)'
,, = H, g, = ffi, g¡ = fl*,
Los resurtado. É " : -'#,, á" ='#
sonconsecuenciadelproblema]12.12,y8que¿l|esl^ahamiltoniana.
L2.14. Demostrar que la trasformación P : á(p' * q'\, Q : tan-'(q/p) es canónica'
Método l.sean I/(p, il v ,9I@, Q) las hamiltonianas en coordenadas P, 9 v P' Q' respectivaFente, así
que H(p, ql : ,9{@, Q). y" que p, g son coo¡denadas canónicas'
. aH :_dH (t)O = --ll, C : il
pero ;=fti+ffio,;=#b+#á e\
aH a,.9{ ap , a.g{ aQ a:H a.9l q. - oJ{ aQ
dq : dP f,* ,Q uo' de # "*
ññ (3)
De las ecuaciones de trasfo¡mación dadae, tenemos
aP dP aQ- -q dQ= p -:ap = P' -ll = o' -ap
= 12 + dt' aq - T+ qD
También. diferenciando las ecuacionee de trasformación con ¡especto a P y Q respectivamente obtenemos
. dp , .ao ^ / oq "9L\ /r,.r+oltt = e#+q#, 0 = (our-uU)/\P 'v,
o = ,fr * ,fr, t = (r:á- oft) /w'**tResolviéndolas simultáneamente, encontramos
# = Fir' u4, = F1*' # = -o' # = o (4)
cAP. l2l TEORIA HAMILTONIANA
Entonces las ecuaciones (1) y (Z) se convierten en
b = FiOF-qe, ; = ffiF+ooaH
= nuú * p dJ{ dH _aJ{ q a,!{dq '7F-erTc'r¿@, ap = Pap:-F;VñAsí, de las ecuaciones (1), (5) y (6) tenemos
ffii_oá = _,#_F+#
ffii +,ó = ,#- F+d#Resolviéndolas simultáneamente encontramos
F=-V ^-aJ{- ad' v = ;Plas cuales muest¡an que Py Q son canónicas y que por consiguiente la trasfo¡mación es canónica.
Método 2.Por el teorem a 12.2, la trasformación es canónica si
2poitqn - >podg"es una diferencial exacta. En este caso (g) se convierte en
pilq - PdQ = p¿Ic - t@z+qz¡ (p¿q^ , q!e\\ p2*q2 /
= t@h + odol = ,t(tpq)una diferencial exacta. Entonces la t¡asformación es canónica.
ECUACIONES DE HAMILTON.JACOBI12'16' (o) Escribir la hamiltoniana para un oscilador armónico unidimensional de masa ¡n.(b) Escribir la correspondiente ecuación de Hamilton-Jacobi. (c) Usar el método deHamilton-Jacobi para oi¡iener el movimiento del oscilador.
(a) Método l.Sea q la coordenada de posición del oscilado¡ armónico, asi que f es su velocidad. ya que laenergía cinética es ? : *mdt y la energía potencial V : trrqr, la lagrangiana es
Er momentum es " =
i =orrlrrT-*^u* (r)
e)así que i = p/* (J)
Entonces la hamiltoniana es
H = 2podn-L = n&-l¡mflz-t*czl= |f/m + ¡*qz Vl
Mótodo 2.
según el problema l2'2,ya que la hamiltoniana es la misma energía total para un sistema con-servativo,
H = $mlz***q'= tn(plmrz|t*q" = lp2/m*L*q,
325
(5)
(6)
(7)
(8)
326 TEORIA HAMILTONIANA [c AP. 12
v la hamiltoniana de Ia parte (o), la ecuación de Hamilton-Jacobi es (véaee la
'#. *(H)'* ¡0, = o
Supongamos una solución de (5) de la forma
eJ = Sr(q)+sz(ú)
Entonces (5) ee convierte en h,(+)' * **q' = -#
Haciendo cada lado igual a la constante p, encontramos
,*,(+)'*t*c' = F'
omitiendo las constantes de integración, las soluciones son
st= Í t/ffiaq, s2 = -Bt
así que (6) ee convierte en eJ = Í,/@dc - Ft
AóloidentificamosconlanuevacoordenadadelmomentumP.Entoncesparalanuevacoor.
(b) Usando P = deJlAqecuación (26)
tc,
(c)(6)
(71
fr=-a
(8)
(e)
Q0)
(/)
ael * !f/q\' * rfg)'I - + = odl- 2^l\a"/ ra\de/ ) r
ef = Sr(r)*S¿(a)+Ss(Ú)
(2)
denada de posición tenemos, z -\
e=H=#u,@oo-P'j
o integrando
Entonces despejando g,
La hamiltoniana es
Entonces como pr = |ef l0r, Pc= Oól0c,la ecuación de Hamilton'Jacobi es
@¡ dq _,= n-J 'fñ-=Pero ya que la nueva coordenada Q es una constante ?'
@(-,tq _-. =.12r{s4t/ffi ""n-r <qr/;ilPl = t I t
q = rfll7l""n./ñ1t+^¡¡
la cual es la solución requerida. Las constantes p y 1 se pueden determina¡ de lae condiciones ini'
ciales.Es interesante notar que la cantidad p es ñsicamente igual a Ia energía total E del sistema
(véaseeIproblemal2.g2(o)).Elresultadoconp:Eilustralaecuación(31).
12.L6. Usar los métodos de Hamilton-Jacobi para resolver el problema de una partícula en
un campo de fuerza central que depende del inverso del cuadrado'
H = *(e.'J)-i
Sea(3)
cAP. 121 TEORIA HAMILTONIANA327
Entonces (z) se convierl 1 r/ds.\2'een ,hl(H".i(#)]-f = -#
Haciendo ambos lados iguales a la constante Éa, encontramos
d.Ss/ilt = -B,
+{/E)'+1/1&\1 _ szml\dr/',2\¿f/l-; = es
La integración de (4) da, además de una constante de integración,
S, = _Bsú
Multiplicando ambos rados de (5) por 2mr2 y esc¡ibiéndora en ra forma
/dso\2 ((#) = "lz^o,+zryK -(#)]
"ttrrT:t"i."r"1t:ljio" depende sólo de d mienüraa que el otro depende de r, se concluve que cada lado
dS2filo=B, o 52=Bro
,,{z^m+w-(#)} = pz
d'St
-
E = Yznqs*2mKlr-Fltrztomando la ¡aíz cuadrada positiva. Entonces
^s, = [@a, (s)
Po¡ tanto fel = ) {znA+ znxt-@ dr + B2c _ Bst (e)
Identificando a az y É3 con log nuevos momenta a p, ! pr, respectivamente, tenemos
Q, = H= &lWd.r*c = yr
Qe=&=&Í@dr-t=rz
:;":::r"lJrtc son constantes, digamos .rty "t2. Efectuando las diferenciaciones con respecto a
(4)
(5)
(7)
fffi=c-r,| .are^tr'- p-21r.
t + f2
La integral -en
(i0) se puede calcular haciendo la sustitución r : Icomo ecuación de la órbita,
t
/u,
Az ! As,
Q0)
(t t¡
y después de integrar encontramos
r=
La constante p3 se puede identificar con la energía E (véase el problema L2.g2(b)),la cual ilust¡a la ecua-ción (3/) de este capítulo'-si E : at a o, i. IrTir" es una eliise; .;; : Éa : 0, es unaparábola; y siE : Fa ) 0' es una hipérbola. E.to *n"uli" ""r r* resurtados der capíturo 5.La ecuación (I1) cuando se integra da laposición en función del tiempo.
cos (r * il2 - ^¡r¡
328 TEORIA HAMILTONIANA [cAP. 12
INTEGRALES DE FASE Y VARIABLES ANGULARES
12.17. Seá ef una solución completa, de la ecuación de Hamilton-Jacobi, que contiene las n
constantes Ft, . . . , i.o. sea J" : f o,on.. Demostrar que las o/, son funciones
sólo de É".
Tenemos ó = Sr(gr,Ét' "''9') + .'' + St(gt'Fl' "''Pn) - Bí (I)
donde Ia constante 0t: E' es la energía total' Ahora
aeJ d,saPo=ac"=a%
,In = f n,au
pero al hacer la integración ga no aparece, así que las únicas cantidades que permangcen eon las constantes
0t, .., É". Así tenemos las n ecuaciones
Jo = Js(B1'"''|n) a=L¡"'¡rltr V)
usando (4) podemos resolver Ft, ,pn en función de Jr, ,J" y expresar (I)enfuncióndeloeJ"'
12.18. (a) Suponer que las nuevas coordenadas de posición y de momentum son u'c y Ja'
respectivamente.DemostrarquesiJlleslanuevahamiltoniana'jo = -0-91/0wo, tbn = AJlldJ"
(b) De (o) se deduce que
o[, = constante Y 6n = fotl0"
donde f n! co son constantes y f' -- dJlldJ"'
(o) Según las ecuaciones de Hamilton para las coordenadas canónicas Q., P",
Fo = -oJUaQo, (¿o = ¿,!{laP'
Entonces, ya que las nuevas coordenadas de posición y momentum se toman como Qo
P" : J", estas ecuaciones vienen a ser
io = -|Jlllu", 'ñn = alfllaln
(ó) Ya que ,!H : E, la nueva hamiltoniana depende sóIo de J" y no de r¿"' Entonces de (2) tenemos
Entonces
12.19. (c) Denotemos por Lt¡)o el cambio de
Particular g," Demostrar que
(2\
(3)
(')
:Uoy
(21
(3)
(5)
jo = 0, óo = constante = fa
donde fc = aJlUaJn De (3) encontramos, como se requiere'
Jc = constante, uto = fot* cn (4)
Las cantidades J" se llaman uariables de acción y las correspondientes integrales
f o'ao' = Jo
se llaman integrales de fase siempre y cuando la integral se realice en un ciclo completo de Ia coorde'
nada q". Las cantidades ud se llaman uariables angulares'
un ciclo completo en la coordenadaw
Aü)t =sl
si
r€l
{ld=f
a*T
[CAP. 12 TEORIA HAMILTONIANA
(b) Dar una interpretación fisica del resultado en (o).
329
(o) Lu)o. = fffoo,d tAS )- 0J. ft si 4=7= 4,Yfiao' = ú = {o siallr
donde hemos usado el hecho de que üra = ilSllJo (véanse los problemas 12.17 y L2.Lg) y hemos su-puesto que el orden de la diferenciación e integración no influye.
(ó) De (c) se sigue que ar" cambia en uno, cuando g" realiza un ciclo completo, pero que no hay cambiocuando cualquier otro g realiza un ciclo completo. Entonces gc es una función peritídica de u" deperíodo igual a uno. Físicamente esto significa que las .f, en ia ecuación (4) del problema 12.1g sonlas frecuencias.
12.20. Deterrninar la frecuencia del oscilador armónico del problema 12.15.
Un ciclo completo de la coordenada g(véase la ecuación (I0) del problema 12.15) consiste en el movi-mientodesde g : -\Eil* hasta q : +\trm yregresa a q: -frú,. Entonceslavariabledeacció¡
= f #(ñ)",= f #(#)".
-d.il1vt=J!:LAJ 2r
12'21. Determinar la frecuencia del problema de Kepler (véase el problema 12.16).
a r *.::*::11r":'":il,'"':ffH:-rT'.1',TjitTi."ffJ"lT;.r*,n fti'"liTjifrcuad ión (I0) del problema 12.16)
flm ¡Et*=, J_u*t/znlp-r-ñ aq = n J, {zrntp-¡,.ñ aq
-Jl
ro = f ,,0, = f#0, = f#" = Ío'"uro, = %ruz e)
fJ - (b eiloJ
= z"Bt/ffi
Entonces F = E Jf;= %\*
2mBs*2mKlr- gf,lrz = O
De las ecuaciones (6) y (Z) del problema 12.16 tenemos,
l, = f o,o, = f #* = f#* = ,!_'^.*' mtn
= zrrmK/1/ñp" - 2ogz
De (2) y (3) por eliminación de p2 tenemos,
Jo+ J¡ = UmXtt/-ZmB"
Ya que h : E, (4) se obtiene
F : - 2n2nK2' - - O;77$ asr que
Entonces las fipcuencias son
,^=u4 _ 4t%nKLoJc (Jo+ J,l0'
(r)
(3)
(4)
Como estas dos frecuencias son iguales, hay una sola frecuencia, entonces decimos que el sistema esdegenerado.
330 TEORTA HAMILTONIANA lcAP. 12
PROBLEMAS VARIOS12.22. Una partícula de masa m se mueve en un campo de fuerza potencial V. Escribir:
(c) la hamiltoniaDa, y (b) las ecuaciones de Hamilton en coo¡denadas esféricas(r, o,ó) .
(a) La energía cinética en coordenadas esfé¡icas es
y = ¡m(ie + rziz + Pser'zc izlEntoncee la lagrangiana es
(r)
(2)
(4)T
L = T-l = tnfz+*A,+rz."tr¿ai2) -V(r,0,9)Tenemoe
p, = \Lla| = mi, pe = 0Lla6 = mt¿á, 90 = dLlai - mf aenzol (3)
.9¡.9e.P.b,=ñ,, c=ffir o=ffi;n4
La hamiltoniana eatá dada Por
H = 2p,i"-L= oj + o& + po| - *n|z + rziz l rzgs¡zo $z¡ + v(r,o,gl
e7 pZ ^?= #*#+ffi*v(r,c,el (5)
donde hemos usado los regultadog de la ecuación (4).
Tanbién podemos obtener (5) directamente, usando el hecho de que para un eistema con'aervativo la hamiltoniana es la energía total, esto ea, H : T + V,
(ü) Las ecuaciones de Hemilton son ' aH ' aHú" = fr, i" = -fr,. Entonces de la parte (c),
]-0H -p,. . AH Pe . 0H P6
oP, ,n'o=ñ=ffi'9=6=ffi;F6
b. = -#=#.4-*b,=-'#=H-X
.dHdVFo = -ao = -a6
12.29. Una partícula de masa lz¿ se mueve en un campo de fuerza cuyo potencial en coor-
denadas esféricas es V : -(Kcos 0)/r2. Escribir la ecuación de Hamilton-Jacobi que describa su movimiento.
Segrim el pmblema 12'22 la hamiltoniana e¡
1/^,e3,e?o \ KcoroH = f^\fi+i+ffi) (I)
Escribiendo ,r=H, or= H, eo=H, la ecuación de Hamilton-Jacobi requerida es
dó - | Jlaó\'-ll9\'* = r= lgYI -Kceec = o (2)
T+ ztnt\rr7 -nl\u / -7'"."20\aa lJ ,¿
12.24. (a) Encontrar una solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi del proble-
ma 12.23.
(b) Indica¡ cómo se puede determinar el movimiento de la partícula.
(o) Tomando e[ : St(r) + Sr(c) * S¡(C) - Et en la ecuación (2) del problema L2.8, se puede
escribir
cAP. 121 TEORIA HAMILTONIANA 331
I /6t\t _L 1 /6r\, , r /dS¡\, Kc2m\itr/ -F#\#) +ffi\fl -+ge = E (I)
Multiplicando la ebuación (l) por 2mr2 y reagnrpando tórminos,
,,/6t\' 7¿sr\t I /ds¡\l.*\E) -z,ttu'n = -\A;) -.#;1fl t2mKcoco
Como el lado izquierdo depende solamenüe de r y el lado derecho depende de 0 y 6, se deduce quecada lado debe se¡ igual a una constante, la cual llamamos pr. Así
rf+)'-z,no,' = Ftyar /
y -/6r\t- 1 /d'srtr- \7; ) - '*6 \7; ) t 2¡nlt coto = Ft
Multiplicando la ecuación (B) por gen2 d y reagrupando términos,
/dso \t(A)" = Zmreen2oco!, - B1sen2, -senrr(*)t u)
Como el lado izquierdo depende únicamente de 4 mientras que el lado derccho depende sólo de !,cada lado debe ger igual a una constante que llamamos p2. sin embargo, como
det dsrPo=6=6 (5)
podemos eecribir P2 : pl. Esto eg consecuencia del hecho de que C es una cpordenada clclicao ignorable. Entonces (4) se trasforma en
2mK senzo cos, - B1 sen2 c - seng /dSr \2 o
'\6) = e6 (6)
Resolviendo las ecuaciones (2), (6) y (5), obtenemos
s, =Jt/@dr, sr= Í@*, s¡=pordonde hemos escogido la ¡afz cuadrada poaitiva y se han omitido las constanü€¡ arbitrariag deintegración. La golución completa es
et = !' rtW d, + Í @ü * p6e - Et
(b) Las ecuaciones requeridas del movimiento se encuentran escribiendo
ae| - -. deJ _ deJ _lfi=rt' 7E=rr, fi=tt
y luego resolviéndolas obtenemoe lae coordenadas r, c, ó como funciones de tiempo ugando lagcondiciones iniciales para carcular laa constantes arbit¡arias.
12.2ó. Si las funciones F y G dependen de las coordenadas de posición gr, de log momentapo y del tiempo t el corchete de poísson de F y G se define
"o-o-'
t.,c) = ?(#.,#-#,#)Demostra¡ 9ue (o) LF, Gl : - [p, F], (b) t4 + Fz, Gl : IFr, G) + lF2, G),(c) t4 Q,l : oFlop,, (d,) lP,p,l - -dF/aq,.
(o) r.,ct = ?(*a#,-##) = -tffi#-##) = -Íc,F1
Esto demuestra que el corchete de Poisson no obedece la lqr conmutatiua del ólgebra.
(21
(3)
332 TEORIA HAMILTONIANA [cAP. 12
rF,+ Fz, ct = ; {*i{¿ #- ry t*}
= ".1u", aG -o4tdc\ * t ('i un -
arr!9\? \dp" dg" lqo lpo/ 7 \0p" 0q" 0q" 0P"/
= [F'r, G] + fPz, G)
Esto demuestra que el corchete de Poisson obedece la lq distributiua del ólgebra.
t-,c) = ) (# #_ #,,#) = ,;como |qt|qn: I para a:r ! Opara alr,y iqr/}pc:0 paratodoc. Comoresarbitraria,se obtiene el resultado requerido.
t*,p)=;(#H,_#"H) = _#,
como lprlilqn: 0 para todo a, y ApJApo : 1 pa¡a a : | ! 0 para cl r. Como ¡ es aibi-traria, se obtiene el resultado requerido.
12.26. Si fI es la hamiltoniana, demostrar que si / es cualquier función que dependa dela posición, de los momenta y del tiempo, entonces,
,tl ¡ft = fr,*w,fldt = {at+Z(#""*fiuo")
# = #*?(*,u*#r")Pero por las ecuaciones de Hamilton, = #, i" = -#
Así (2) puede escribirse cou¡o
#=H*tC+#,-##) = #*w,n
Problemas propuestosLA HAMTLTOMANA Y II\S ECUACIONES I'E HAMILTON12.27. Una partícula de masa m se mueve en un cdmpo de fuerza, de potencial V. (¿) Escribir la hamilüo-
niana. (b) Las ecuacioneg de Hamilton en coordenadaa rectangulares (¡,y,2).iBesp. (al H = @?+e3+ últZ* * V(¡,a,zl
(ü) i = pJm, ú=pJn,2=pJm, ñ,= -dVldr, ñu=-AVldU, ñ,=-¡Vlaz
12.2A. Usando laa ecuaciones de Hamilton deecribir el movimiento de una partícula de maea m que bajasin rozamiento por un plano inclinado un ángulo a.
12.25. Resolver el problema de pequeñas ogcilaciones de un péndulo simple usando las ecuaciones de Hamilton.
12.30. Usar las ecuacionee de Hamilton para obtener el movimiento de un proyectil lanzado con rapidez u6
formando un ángulo a con la horizontal.
(ü)
(c)
(d)
(t)
(2)
(3)
cAP. 121 TEORIA HAMILTONIANA 333
12'31' Usar la¡ ecuaciones de Hamilton para resolver el problema del oscilador armónico en: (o) una dimensión,(b) dos dimensiones, y (c) tres dimensiones.
12.32. Resolve¡ el problema Bi2? usando la ecuación de Hamilton.
ESPACIO DE FASE Y TEOREMA DE LIOUVILLE12'33' Explicar por qué la trayectoria de un punto fase en un espacio de fase que representa el movimiento deun sistema de partículas no puede cruzarse nunca po¡ sí mismo.
12'34' Considerar todos los detalles en la demostración del teo¡ema de Liouville para el caso de dos grados delibertad.
CALCULO DE VARIACIONES Y PRINCIPIO DE HAMILTON12'35' Usar los métodos del cálculo de variaciones para encontra¡ la curva de mínima longitud que conecta
dos puntos fijos de un plano.
¡b12.36. Demostrarquesilafunción.Fenlaintegral I FG,y,y,)d.r esindependienteder,entonceslaintegrales un extremo si I - y,Fy,: c donde " ír"una constante,
12'37 ' Usar los resultados del problema 12.36 para resolver: (o) el problema 12.9, (b) el problema 12.3b.
12.38. Si se desea que la curva de la figura l2_5 que tieneextremos finales fijos en p(¡,,y¡) y eGz,yz)rote alrededo¡ del eje r de manera que el área.t de lasuperficie de revolución sea mínima.
(o) Demosrrar que r = ,, l-" at/T + ao ar.-l
(b) Obtener la ecuación dife¡encial de la curva.(c) Demostrar que la curva requerida es una ca_
tenaria.Resp. (b) w":r *(y,)r.
12.39. Dos alambres circulares idénticos en con[acto que secolocan en una solución de jabón y luego Ee separanforman una pelicula de jabón. ExplicJr por qué lafo¡ma de la película de jabón está relacionada con elresultado del problema l2.Bg. Fig.l2-5
l2'4O, Usar el principio de Hamilton para determinar el movimiento de un péndulo simple.
12'41' Resolver el problema del movimiento de un proyectil usando el principio de Hamilton.
12'42. Usar el principio de Hamilton para determinar el movimiento de un cilindro sólido que rueda sobre unplano inclinado un ángulo c.
TRASFORMACIONES CANONICAS Y FUNCIONES GENERATRICES12.43. Demostrar que la trasformación e : p, p : _q es canónica.
12.44. Demostrar que la trasformación e : qtanp, p: lnsenp es canónica.
12'46' (o) Demostrar que la hamiltoniana pa¡a un oscilador armónico simple puede escribirse en la forma¡¡:lp2/mlü*q".(ó) Demostrar que la traeformación; o = llut/-- sen e, e = \[*prfrcose es canónica.(c) Expresar la hamiltoniana de la parte (a) en función de p y e y demostrar que e es cíclica.(d) obtener la solución del oscilado¡ armónico usando los resultados anteriores.
L2'46' Demostrar que la función generatriz s : ¿\6q, cot Q, da lugar a las trasformaciones canónicas enel problema 12.45(b).
334 TEORIA HAMILTONIANA lcAP. 12
t2-47. Demostrar que el resultado de dos o más trasformaciones canónicas, es también una canónica-
12.48. Sea 1,1 una función generatriz dependiente únicamente de Qo, Po, t. Demostrar que
rururuP" = -ú,, eq = -li, Ji = ¡¡''. H
12.49. Sea ? una función generatriz dependiente únicamente de los momenta inicial y final Pn ! Pn respec-
tivamente y del tiempo ü. Demostrar que
aT .1 - d'u n, - &.uq" = -ñ; va = f,fit Jr - -;¡r u
12.ó0. Demoetrar que la función generatriz U del problema 12.48 estÁ rclacionada con la función generatriz Íl-
del problema 12.12 mediante 1l = T - 2poqo.
12.61. Demostrar que la función generatriz ? del problema 12.49 egtá relacionada con Ia función generatriz fdel problema 12.12 mediante 7) -- f +>PaQo - )pogo.
ECUACION HAMILIION.JACOBI
12.62. Uear el método Hamilton-Jacobi para determinar el movimiento de una partícula que ijae vertical-
mente en un campo gravitacional uniforme.
12.68. (o) Establecer la ecuación Hamilton-Jacobi del movimiento de una partícula que 3e desliza hacia
abajo sin rozamiento sobre un plano inclinado un ángulo a. (ó) Resolver la ecuación H¡milton-Jacobi despejado en (a) y determinar el movimiento de la partícula'
12.64. Desarrolla¡ el problema de un proyectil lanzado con rapidez uo fórmando un ángulo c con la horizontal
usando los métodos de Hamilton-Jacobi.
t2.6ó. Uea¡ loa método¡ de Hamilton-Jacobi para describir el movimiento y encont¡a¡ las frecuencias de un
ogcilador armónico en (a) 2 dimensiones, (ó) 3 dimensiones'
f2.66. Usar los métodos de Hamilton-Jacobi para obtener la función generatriz del problema 12.46.
INTEGBALES DE FASE Y VARIABLES ANGULARES
L2.67. Usar log métodos de integrales de fase y de variables angulares para encontrar la frecuencia de un péndulo
simple de longitud I suponiendo oscilaciones pequeñas' nttp. lf l92¡lll
12.ó8. Encont¡ar las frecuencias de: (o) un oscilador armónico bidimensional, (b) un oscilador armónico t¡i-dimensional.
12.óg. Usando las integrales de fase obtener la frecuencia de pequeñas oscilaciones de un péndulo compuesto.
f2.6O. Se conectan mediante reeorteg igualea dos
masas'igualee m que pueden desliza¡se sin ro-zamiento sobre un plano AB. Los extremos de
dos de los ¡esorteg se fijan a las paredes en A yB (figu¡a 12-6). Usardo integrales de fage de-
termina¡ lag frecuencias de los modos normales.
12.81. Discutir el problema 12.5? si laa oscilacioneg noson pequeñas.
PROBLEMAS VABIOS
l2.BZ. Una partícula de masa m se mueve en un campo de fue¡za de potencial V(p,6,2) donde p,C, z son
coordenadas cilíndricas. Dar: (¿) la hamiltoniana, y (ó) las ecuaciones de Hamilton para la partícula'
Resp. (al ¡¡ -- lclo+ p?61p2 + ú)tz^ * V(p,Q,z)
(ü) i = polrn, ó = p¡lmr2, 2 - p,/m,'ño = pllmpt - |Vldp, io= -aVl\o' i'= -aVldz
Fig. 12-6
cAP. 121 TEORIA HAMILTONIANA
12'63' Una partícula de masa tn que se mueve en un plano, con relación a un conjunto fijo de ejes, tiene unahamiltoniana dada por la energía total. Encontrar la hamiltoniana relativa a un tonjunto de ejes querotan con velocidad angular constante ¡ con relación a los ejes fijos.
12'6,4' Establece¡ la hamiltoniana para un péndulo doble. Usar los métodos de Hamilton-Jacobi para determinarlas frecuencias normales en el caso de pequeñas vibraciones.
12.65. Probar que la condición necesaria para que f = f" ,1r,r,i,:il¿t gea un e¡t¡emo ea"tt
aF_d/ar\_ü/aF\dr-dt\a-i *n\a) = o
¿Puede generalizar este resultado?
12.66. Desar¡ollar el problema B.T2 por métodos hamiltonianos.
12'67' Una partícula de masa ¡n se mueve sin rozamiento dentro de un cono vertical cuya ecuación esx2 * !2 : z2 tan2a. (o) Escribir la hamiltoniana, y (ü) las ecuaciones de Hamilton usandocoordenadas cilíndricas.
335
Resp. (ol H = ry.#r*rnspcota(ó) i - 4#, i, = #-mscota
12'68' Usar los resultados del problema 12.67 para demostrar que la partícula describirá una órbita estable encualquier plano horizontal z : t¿ > 0, y encontrar la frecuencia en esta órbita.
12'69' Demost¡a¡ que el producto de una coordenada de posición y su momento canónicamente conjugadodeberá tene¡ las dimensiones de acción o energía mulüiplicada por el tiempo, esto es, ML2T-r.
l2'zo' Efectuar la integración de la ecuación (I0) del problema 12.16 y comprobarla con la solución de Keplerdel capítulo 5.
12.71. Verificar los resultados de la integración (J) del problema 12.21.
12-72. Demostrar que la ecuación (9) de Euler, capítulo 12, puede escribirse como
,,,#+u,ffi+#+-# = o
12.79. Un hombre puede viajar en bote con rapidez u1 ypuede caminar con rapidez u2. Refiriéndose a la figura12-? demostra¡ que con el fin de ir en el mínimo tiempodesde.el punto A situado sobre una de las riberas del rioa un punto B del ot¡o lado, ól debe dejar su bote en unpunto P donde los ángulos ,r y ,2 sean tales que
sen r, o1
r*% = %
Discutir la relación de estos resultados con la ref¡acciónde la luz en la teoría de la óptica.
12.74. Demostra¡ que si una particula se mueve sin que sobreella actúen fuerzas exterr-ras, esto es, una partícula libre,entonces el principio de la mínima acción correspondeal del mínimo tiempo. Discutir la relación de estos resul-tados con los del problema 12.?8. Fig. r2-?
12.75. Deducir la condición de reflexión de la luz en la teoría de óptica usando el principio del mínimo tiempo.
336 TEORIA HAMILTONIANA [c AP. 12
12.76. Se desea encontrar Ia forma de una curva sobre un plano que tenga los puntos extremos fijos, tal que
su rnomento de ine¡cia con respecto a un eje perpendicular al plano y que pese por un origen fijo sea
mínimo.(o) Usando coordenadas polares (r,0) demostrar que el problem es equivalente a minimiza¡ la in-
tegral f\I - | ,"r/t 'f f(d.eld':;'
v f=fl
donde los e¡trtmos frjos del alambre son (r¡, c1), Q2,c2).(b) Escribir la ecuación de Euler, o sea obtener Ia ecuación diferencial de Ia curva.
(c) Resolver la ecuación diferencial obtenida en (b) o sea encontrar la ecuación de la curva.
ftesp. (c) rt : ct sec (30 - c2) donde c¡ y cz se determinan teniendo en cuenta que la curvapasa a través de los puntos fijos.
12.77. Usar el nétoCo liamilton-Jacobi para establecer la ecuación del movimiento de un péndulo esférico.
12.7E. Usar los métodos de Hamilton-Jacobi para resolver los problemas 11.20 y 11.21.
12.7$.. Si tF, C I es el corchete de Poisson (véanse los problemas 12.25 y 12.26), demostrar que
(o) [¡'r ¡'2, C] = I'tlFz, G\ + F2 [Í'r, G]
e = [c{. "l + [r.E'l(ü) atlP, c)
L a¿ , -l L- ,
aú J
" = [sr. c-l + [r.41(c) ;;IF,G1 Ldú,-J L-, ¡rt)12.80. Derrostrar que (¿) [qo, eo] = 0, (bl lpn,pp) = 0, (a) lpo,epl = inp
ll sic=Édonde 6op = { ^ es llamado delta de Kronecher.
[0 sia*B
f2.tl. Evaluar [I{, ü] donde Il es la hamiltoniana y ú es el tiempo. ¿¡I y t son las variables canónicamenteconjugadas? Erplicar.
12.82. Demost¡ar la identidad de Jacobi para los corchetes de Poisson.
[tr'r, [tr'2,f's]l t fPz, [f's,Fr]l * [Fr, [Fr,Fz]I = 0
12.83. Ilust¡ar el teorema de Liouville usando un oscilado¡ armónico unidimensional.
12.84. (o) ¿La lagrangiana de un sistema dinámico será única? Explicar'(b) Discutir la unicidad de los momentageneralizados y la hamiltoniana generalizada de un sistema.
12,A6. (c) Establecer la hamiltoniana de una cuerda formadapor Npartículas (véase el problema 8.29)'
(b) Usa¡ los métodos Hamilton'Jacobi para encontrar los modos ! Ias f'egr¡e¡sias normales'
f2.86. Demost¡ar que el corchete de Poisson es invariante bajo una t¡asformación canónica.
12.87. Demost¡ar que el teorema de Liouville es equivalente al resultado \p/At=[p,H].
l2.BE. (o) Sean Qo= 2nouqn, Pc- 2borpn donde ooryó"rsonconstantesdadasy c:|¡=l 4=l
l, 2, , n. Demostrar que la trasformación es canónica si y sólo si b", : L.y/t dond,e A es el
determinante.Qt ap at,ozt ozz azn
útt d¡2 úrr
y Ao¡ es el cofacto¡ del elemento aar en este determinante.
(ó) Demostrar que las condiciones en (a) son equivalentes a lá condición >Po8o = )'pr4o.
cAP. 121 TEORIA HAMILTONIANA
12.89. Demostrar que la trayectoria descrita por un determinado punto de un círculo que rota a lo largo de unalínea dada es una cicloide.
12.90. (a) Expresar como una integral la energía potencial total de una cadena uniforme cuyos extremosestán suspendidos de dos puntos fijos. (b) Teniendo en cuenta que en el equilibrio la energía potencialtotal es un mínimo, usa¡ el cálculo de variaciones para demostrar que la ecuación de la curva quep¡esenta la cadena es una cotend¡i¿ como en el problema 7.32. (Sugerencio. Encontrar el mínimo de laintegral sometida a la condición de constricción de que la Iongitud de la cadena sea una constante).
12.91. Usar los métodos del cálculo de variaciones para encontrar la curva plana cerrada de máxima área.
12.52. Demost¡ar que las constantes: (a) É en el problema 12.15, y (b) É¡ en el problema 12.16 pueden iden-tificarse con Ia energía total.
12.93. Si se tiene en cuenta la teo¡ía de la ¡elatividad en el movimiento de una particula de masa m en uncampo de fuerza de potencial V la hamiltoniana está dada por
H = t/fcz+n¿z¿+Vdonde c es la velocidad de la luz. Obtener las ecuaciones de movimiento para esta partícula.
L2.94. Usa¡ los métodos hamiltonianos para resolver el problema de una partícula que se mueve en un campode fuerza que varía con el inve¡so del cubo de la distancia.
L2.96. Usar coo¡denadas esféricas para resolver el problema de Kepler.
12.96. Suponer que m de las n coordenadas g1,g2, ,gn son cíclicasQt,Qz, 'g-). Sea
m
9t = 2"oüo-L donde cüa=t
Probar que para a: m * r, ,n d / d?'' \ at¿¡\aE) = ,%
La función ( es llamada lunción de Routh o la routhiano. Usándola en un problema que contenga ngrados de libertad se puede ¡educir a uno que contenga n - m grados de libertad.
L2.97, Usando las propiedades sL = fiuo * #r0,, (8a), = ta,
del símbolo va¡iacional ó (véase problema 12.6) y considerando que el operador 6 puede colocarse bajoel signo de la integral, demostrar cómo las ecuaciones de Lagrange pueden deducirse del principio deHamilton.
r2.9E. Sea P : P(p,c), Q : Q(p,s). Suponer que la hamiltoniana expresada en términos d,e p,q y p,eestá dada 9or H : H(p, q) y .gI: Jt@, Q) respectivamente. probar que si
i=dHlap, ñ=-aílaqó=aJ{/ar, i=-dtl{laQ
dado que el determinante jacobíano (o jacobiano)
aP/dp aP/ac
aQ/ap dQlaq
Discutir la relación entre estos resultados con la teo¡ía hamiltoniana.
12.99. (o) Establece¡ la hamiltoniana del movimiento de un cilindro sólido que rueda hacia abajo sobre unplano inclinado un ángulo c.
(ó) Escribir las ecuaciones de Hamilton y deducir de ellas la ecuación del movimiento del cilindro.(c) Usar los métodos de Hamilton-Jacobi para obtener el movimiento del cilind¡o y compararlo con la
parte (b).
12.loo. Desar¡ollar el problema ?.22, usando los métodos de Hamilton-Jacobi.
337
entonces
(digamos los primeros m, esto es
- aL/ad,,
=1
338 TEORIA HAMILTONIANA lcAP. 12'
l2.l01. Escribir: (o) la hamiltoniana, y (b) las ecuaciones de Hamilton de una partícula de carga e y masa mque se mueve en un campo electromagnético (véase el problema 11.90).
Resp. (¿) U=*$-ealz+e+
(b) v - !1p-eA), i = -¿VoA¿V(A'v)
l2.10l2. (a) Obtener la ecuación de Hamilton-Jacobi del movimiento de la partícula del problema 12.101. (b)
Usa¡ el ¡esultado para escribir las ecuaciones de movimiento en un campo electromagnético de unapartícula cargada.
f2,f03, (o) Obtener la hamiltoniana del movimiento de un trompo simétrico y obtener aeí las ecuaciones de
movimiento. (b) Comparar los resultados obtenidos en (a) con los obtenidos en el capítulo 10.
l2.l04. Demostra¡ el teorema 12.2.
l2.fo5. Un átomo con un electrón de carga -e el cual se mueve en un campo de fuerza central F al¡ededor delnúcleo de carga Ze tal que
v--@-r8donde r es el vector de posición del electrón con relación al nricleo y Z es el nrimero atómico. En la teoríacuántica de Boh¡ del átomo, las integrales de fasé son múltiplos enteros de la constonte h de Planch,esto es, ? r
t o,a, = nth, t otat = n2h
Usando eatas ecuaciones, demostrar que existirá solamenüe un conjunto diecreto de energías dado por
zaernn6lEi^ = -@donde n : nr * nz: L,2,3,4,... es el número cuóntico orbital.
Apéndice A
Unidodes y dimensiones
UNIDADESLos patrones de longitudes, tiempos y masas en función de los cuales se miden otras
longitudes, tiempos y masas se llaman unidades. Por ejemplo una distancia puede medirseen función del pie o del metro patrón. Un tiempo puede medirse en segundos, horas o días.Una masa puede medirse en poundal o e\ granxos. Son posibles diferentes tipos de unidades.Sin embargo, actualmente se utilizan principalmente los siguientes cuatro sistemas.
1. CGS
2. MKS
3. FPS
4. FSS
o
o
o
o
sistema centímetro- gramo- segundo.
sistema metro-kilogram o- segundo.
sistema pie-poundal-segundo.
sistema pie-slug-segundo, también llamado el sistema gravitacional inglés o
de ingeniería.
Los dos primeros se llaman sistemas métricos, en tanto que los dos últimos se llamansistemas íngleses. Existe una tendencia que se está incrementando para usar los sistemasmétricos.
A continuación se presentan cuatro conjuntos consistentes de unidades en los sistemasmencionados que se pueden usar según la ecuación F : ma:
Sistema CGS:
Sistema MKS:Sistema FPS:
Sistema FSS:
F (dinas)
F (newtons)
F(poundals)
F (librasl
nz (gramos)
m (kilogramos)
m (libra)
m (slugs)
X a (cm/seg2)
X. a (m/seg2)
X a (p/seg2)
X a (p/seg2)
dan las unidades de varias
las unidades de los diversos
En la tercera columna de la tabla que se presenta adelantd secantidades de estos sistemas.En la página 341 hay una tabla de factores de conversión desistemas.
DIMENSIONESLas dimensiones de todas las cantidades mecánicas pueden expresarse en función de
las dimensiones fundamentales de lqngitud Z, masa M y tiempo ?. En la segunda columnade la siguiente tabla, se indican las dimensiones de varias cantidades físicas.
339
340 UNIDADES Y DIMENSIONES
UNIDADES Y DIMENSIONES
[APENDICE A
Cantidad física Dimensión Sistema CGS Sistema MKS Sistema FPS Sistema FSS
Longitud L cm m p p
Masa M c kg lb slug
Tiempo T seg seg seg seg
Velocidad LT-I cm/seg m/seg p/seg P/seg
Acele¡aci ón LT_2 cm/seg2 m/se92 p/seg2 P/seg2
Fuerza MLT_2g cm/seg2,
: dinakgm/seg2: newton
lb p/seg2: poundal
slug p/seg2:Ib
Momentum, impulso MLT_Ig cm/seg
: dina seg
kgm/seg: nt seg
lb P,/seg: pdl seg
slug p,/seg: lb seg
Energía, trabajo ML2 T_2g cm2 /se92
: dina cm: e¡gro
kgm2 /seg2:ntm: julio
lb p2 /seg2: ppdl
slug p2lseg2: plb
Potencia MLz T-3g cm2 /segl
: dina cm/seg: ergio/seg
kg m2 /segt: julio,/seg: vatio
lb p2 /segg: p ¡dl,/seg
slug p2,/sega: plb/*E
Volumen Ls cm3 m3 pie 3 pie t
Densidad ML-S E/cm¿ kg/ml lb,/pie g slug,/pie 3
Angulo ¡adián (¡ad) rad rad ¡ad
Velocidad angular T-r rad/seg rad/seg rad/seg rad,/seg
Aceleración angular T-2 rad,/seg2 rad/seg2 rad/seg2 tad./seg2
Momento MLz T_2g cm2 /seg2
: dina cmkgm2 /seg2: ntm
lb p2 /seg2: ppdl
slugp2 /seg2: pIb
Momentum angular MLzT_L g cmz /seg kg m2 /seg lb p2,/seg slug p2,/seg
Momento de inercia ML2 g cm2 kg m' lb p2 slug pie 2
Presión ML_I T-2g/(cm seg2)
- dina/cm2kg/(m seg2)
: ntlm2 pdl/p2 lb/p2
APENDICE A] UNIDADES Y DIMENSIONES 341
FACTORES DE CONVERSION
Longitud I kilómetro (km) : 1000 metros 1 pulgada : 2,b40 cm
I metro (m) : 100 centímetros 1 pie (p) _ B0,rE cm
I centímetro (cm) : l0-2 m 1 milla (mi) : 1,609 kmI milírnetro (mm) : 10-a m 1 mil : 1Q-a pul1 micra (¡r) : 10-6 m I centímetro :0,398?pul1 milimicra (mp) : l0-e m I metro : 89,3?pulI angstrom (A) : 10-ro m I kilómetro :0.6214milla
Area 1 metro cuad¡ado (m2) : 10,76 pie2 I milla cuad¡ada (mi2) : Bl0 acres
1 pie cuadrado (pie2) : 929cm2 ' I acre : 48.5ffi p2
Volumen I litro (l) : 1000crn3 : 105?quart (qt) : 6f,0Zpula : 0,08532 pa
I metro cúbico (m3) - 1000 I :35,32p4I piecúbico (pB) :7.481 gal americano :0,02832 ms :2fJ,B2 I
I galón americano (gal) : 231pul3 : 3,285 l; I galón inglés : 1,201gaIón ame¡icano :277,4pu|s
Masa 1 kilogramo (xg) :2,2.046 lb :0,06852 slug; f lb :458,69:0,08108 slug1 slug : 32,174 lb : 14,59 kg
Rapidez 1 km,/h :0,2778 m/seg :0,6214 mi/h: 0,9118 p/seg
I milh : r,467 p/ses :1,609 kmA : 0,&70 m/ses
Densidad I g/cmt : 103 kg,/m3 :62,481b/ps - 1,940 slug,/ps
I lb/ps :0,01ffi2g/cm}; 1 slug/pa :0,5L54g/cms
Fuerza 1 newton (nt) : 1gs dinas : 0,1020 kg fuerza : 0,224g libra fuerzaI poundal 0bf) : 4,448 nt : 0,4536 kg-f : 32,L7 poundals
I kilogramo fuerza(kgf) : 2,2M lbf : 9,80? ntI t co¡ta americana : 2000 lbf; I t larga : 2240 rbf;l t métrica : 2205 lbf
Energía t julio: l ntm : r07 ergios :0,?326 plbf :0,2389ca1 :9,4Er X r0-{ Btur lbf : 1,356 julios :0,9239 cal : 1,285 X t0-B Btu1 caloría(cal) :4,186 julios:3,08? plbf :9,968 X 10-a BtuI Btu : ZZ8 p lbf : 10b5 julios : 0,298 vatio h
I kilovatiohora (kwh):3,60 X 106 julios :860,0 kcal :3413BtuI elect¡ón voltio (ev) : 1,602 X t0-rs julios
Potencia 1 vatio : 1 julio,/seg : 107 ergios,/seg :0,23gg cal/segt horsepower(HP) : 550 plbf,/seg : 33.000 plbf,/min : ?4b,? vatiosI kilovatio (kw) :1,34r HP : ?8?,6 plbf/aeg : 0,9488 Btu,/seg
Presión L nt/m2: 10 dinas,/cm' :9,g69 X 10-6 atmósfe¡as - 2,0g9 x ro-2 lbfh21 lbf,/pulr-689b nt/m2: b,l?l cm de mercurio :27,6g pul de-agua1 atmósfera (atm) - f,013 X ]:O5 nt/m2 : 1,018 X 106 dinas,/cm2 : 14,7O lbfrfiul2
: 76 cm me¡rurio :406,gpul agua
Angulo 1 radián (rad) : 57,296"; 1' : 0,012453 rad
Apéndice B
Dotos ostronómicos
I.A LUNA
EL SOL
Masa 4.4 X 10ao lb o 2,0 X 1030 kg
Radio 4,32 X lOs mi o 6,96 X 105 km
Densidad media 89,21b/p3 o 1,42 g/cmr
Aceleración media de la gravedaden la superficie
896p,/seg2 o 273 m/segz
Velocidad de escapeen la superficie 385 mi,/seg o 620 km,/seg
Período de rotaciónalrededo¡ de su eje 25.38días o 2,L87 X 106 seg
Constante de gravitaciónuniversal G
t'lTÁ::;: o 6,6?3 x ro-t cm3/g-segz
Distancia media a la Tierra 239 X 103 mi o 3.84 X 105 km
Peíodo de rotaciónalrededor de la Tier¡a 2?,3 días o 2,36 X 106 seg
Radio ecuatorial 1080 mi o 1738 km
Masa 1,63 X 1023 ;b o 7,38 X 1022 kg
Densidad media 208 lb,/p3 o 3,34g/cms
Aceleración de la gravedaden la superficie 5,3O p/seg2 o 1,62m/seg2
Velocidad de escaPe l,48mi/seg o 2,38km,/seg
Período de rotaciónalrededor de su eje 2?,3 días o 2,36 X 100 seg
Rapidez orbital 0,64 mi,/seg o L,D2km/seg
Excentricidad orbital 0,055
342
tOS PLANETAS
Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón
Distanciamediaal Sol
36,2 X 106 mi
58,2 X 106 km
67,2 X 106 mi
108 X 106 km
92,9 X l0o mi
150 X 106 km
141 X 106 mi
227 x 106 km
484 x 106 mi
778 x 106 km
887 X 100 mi
1427 X 106 km
1784 X 106 mi
:28?1 x 106 km
2795 X 106 mi
4498 x 106 km
3670 X 106 mi
5910 X 108 km
Período derotaciónalrededordel Sol
88,0 días
0,241 años
224,7 üas
0,615 años
365,26 días
1,000 años
687,0 días
1,88 años
4333 días
11,86 años
10.760 días
29,46 años
30.690 días
84,0 años
60.180 días
164,8 años
90.730 días
248,4 años
Radioecuato¡ial
1500 mi
24?okm
3850 mi
6200 km
3963 mi
6378 km
2110 mi
3400 km
44.370 mi
71.400 km
37.500 mi
60.400 km
14.800 mi23.800 km
13.900 mi
22.300 km
1850 mi
2960km
Masa0,071 x 1025 lb
0,32 X 102i kg
1,1 x 1025 lb
4,9 X 1024 kg
1,32 x 1025 lb
5,98 X 102{ kg
0,14 x 1025 lb
0,64 x l02i kg
420 x 1025 lb
1900 x 102{ kg
126 x 1025 lb
570 x 102r kg
19 x 1025 lb
87 x 1021 kg
22,7 x L025 lb
103 x 102. kg
1,2 x 1025 lb
5,4 X 102. kg
Densidadmedia
$otbóe
5,3 g/cmz
306 lb,/pa
4,95 g/cmg
340lb,/p 3
5,52g,/em¡
247 lb/pi3,959/cmr
81 lb,/p3
L,33 g/cmg
44lb/px
0,70 g/cma
r00 lblpa
1,56g,/cms
t4llb,/pt2,28 g/c6a
?50|b/pt
4,0g/emr
Aceleraciónmedia
de la gravedaden la superficie
L2p/seg2
3,6m/seg2
28 p/seg2
8,5 m/seg2
32,2p/seg2
9,81m/seg2
12,5p/seg2
3,8 m/seg2
85 p/seg2
26 Q^/seg2
37 p/seg2
LL,2m/seg2
3Lp,/seg2
9,4m/seg2
49p,/seg2
L5,0m/seg2
26p/seg2
8,0 m/seg2
Velocidadde escape
2,6mi/seg
4,2km/seg
6,3 mi,/seg
I0,2km/seg
7,0 mi/seg
LL,2km,/seg
3,1mi,/seg
5,0 km,/seg
38 mi,/seg
61 km,/seg
23 mi,/seg
37 km,/seg
14mi/seg
22km/seg
L6mi/seg
25km/seg
6mi/seg
10 km,/seg
Período derotaciónalrededorde su eje
88,0 días
7,58 x 106 seg
30 dias
(estimado)
23,93 h
86.164 seg
24,6r h
88.580 seg
9,84 h
35.430 seg
10,23 h
36.840 seg
10,8 h
38.900 seg
15,7 h
56.400 seg
16,0 h
57.600 seg
Rapidezorbital
D,8 mi/seg
47,9km/seg
2l,8mi/seg
35,1 km,/seg
18,5 mi,/seg
29,8 km,/seg
15,0 mi,/seg
24,1km/seg
8,L2mi/se9
13,1km,/seg
6,00 mi,/seg
9,65 km,/seg
4,22mi/seg
6,80 km,/seg
3,38 mi,/seg
5,44km/seg
2,95mi/seg
4,75km/seg
Excentricidadorbital
0,206 0,0068 0,017 0,093 0,048 4,055 0,047 0,009 0,247
'tr(5zF
()trlTE
rlaa"l
z
oa
A
Apéndice C
Soluciones de ecuociones diferencioles esPecioles
ECUACIONES DIFERENCIALESUna ecuación que contenga derivadas o diferenciales de una función desconocida se llama
ecuación diferencial El orden de la ecuación diferencial es el orden de la más alta derivadao diferencial que esté presente. lJna solución de la ecuación dife¡encial es cualquier relaciónentre las variables que conduzca a una identidad en la ecuación diferencial.
Ejemplo 1._ .. dltLa ecuación ffi=r, es una ecuación diferencial de primer orden o de orden 1. Una solución de esta
ecuación es y : ce2' donde c es una constante cualquiera, ya que al sustituir ésta en la ecuación diferencialdada nos conduce a la identidaO
,ce2, = Zce%
Ejemplo 2.
La ecuación x2dx I y"dr :0 es una ecuación diferencial de primer orden. Una solución es xz /3 * ya/4 : c
donde c es una constante cualquiera, puesto que al tomar la diferencial de la solución tenemos
il(rs/3*úln¡ = ¡ o r2d.r*usda - 0
Ejemplo 3,. üa ,r^,
La ecuación #, - 3# + 2A = 4n es una ecuación dife¡encial de segundo orden. Una solución es
U = are'* cre2t I 2r * 3 Puesto que
4- "4*
Za = (cre,*4c2e2x) - 3(cp, 1-2a2ebl2) * 2(ap"*a2ebi2n*31 = 4r¿ltz "dr' -'
En los ejemplos anteriores hemos usado a r como variable independiente y a y como
variable dependiente. Sin embargo, es obvio que pueden utilizarse otros símbolos cuales-quiera. Así por ejemplo, la ecuación diferenciai del ejemplo 3 podría ser
dzr ,'*W-3ffi+2t = 4t
con ú como variable independiente y r como variable dependiente y con solución ¡cze2' l2t + 3.
Las ecuaciones anteriores frecuentemente se llaman ecuaciones diferenciales
para distinguirlas de las ecuaciorres diferencia.les parciales, tales "o o ff =relacionan dos o más variables independientes.
CONSTANTES ARBITRARIAS. SOLUCIONES GENERALES Y PARTICULARES
En los ejemplos anteriores, las constantes c, ct, c2 pueden tomar cualquier valory se llaman constantes arbitrarias. En la práctica Ia ecuación diferencial de n-ésimo orden
tendrá una solución que involucra exactamente a n constantes arbitrarias independientes.Tal solución se llama solución general. Todos los casos especiales de la solución general en-
contrados al dar valores especiales a las constantes se llaman soluciones particulares. En el
caso del ejemplo 3 si hacemos a cr : 5, cz: -3 en la solución general ! : ct'e'*c2e2'* 2x * 3 obtenemos la soluciónparticular ! :5e'- 3e2'* 2x 13.
:cpt*
ordinarias
"azY€5p [ue
344
APENDICE C] SOLUCTONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES 345
Las soluciones particulares se encuentran con frecuencia a partir de ciertas condicionesque se imponen al problema, las cuales se llaman condiciones de contorno o condicionesiniciales. En el caso del ejemplo 3, si queremos satisfacer las condiciones I : 5 cuandox : O ! y' : dy/dx cuando tr :0, obtenemos cr :5, cz: -8.
Un problema en el que necesitamos resolver una ecuación diferencial sujeta a determi-nadas condiciones se llama problema de uarores de contorno.
SOLUCIONES DE ALGUNAS ECUACIONES ESPECIALES DE PRIMER ORDENEn la siguiente lista se indican algunos métodos importantes para hallar las solucio-
nes generales de las ecuaciones diferenciales de primer órden.
l. Separación de variablessi se puede escribir la ecuación diferencial de primer orden como
F(al ila + G(u\ dv = 0se dice que las variables son sepcrc btes y la solución quedirectaes
f ,rr¡ax+f G@)¡ru = c
(r )
se obtiene por integración
(2)
2. Ecuacionee linealesSe llama ecuación lineal a una ecuación diferencial de primer orden si tiene la forma
fr*n6¡n = e(n)
Multiplicando ambos lados por J'*, obtenemos
*uJ'1 = eJ'*Entonces integrando, la solución general es
urlr* = f o"tr*darc
u = "-!r*Í grtr*d,, * ce_!r*
El factor J'u se llama factor integrdnte.
(3)
(4)
3. Ecuación exactaLa ecuación
Mds * N¿lA = 0 (5)donde M y N son funciones de ¡ yy se llama ecuación diferencial exacta sí M dx * N dyse puede erpresar como una diferencial exacta dIl de una función U(r,y). En este casola solución está dada por U(r,y) : s.
La condición necesaria y suficiente para que (5) sea exacta es
AM ATV=0g 0a
En algunos casos una ecuación que no es exacta se puede convertir en exacta mul-tiplicándola por un factor adecuado llamado factor integrante como en el caso de laecuación lineal.
(6)
346 SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES TAPENDICE C
4. Ecuaciones homogéneasSi una ecuación tiene la forma
a1 = F&\ (7)úü \fr/se llama ecuación homogénea y se puede resolver haciendo la trasformación y : ux,.
Así (7) se trasforma en
. do dr dt¡o+nA; F(a) o | = F¡¡4 (8)
en la cual se han separado-Tás variables. Entonces la solución general es
(ils f daJ; = )ffi+" donde u:Y/x (e)
Ocasionalmente se pueden usar otras trasformaciones, las cuales pueden o no ser eviden-tes dependiendo de la forma de la ecuación diferencial dada, con la cual se obtiene Iasolución general.
SOLUCIONES DB LAS ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR
En la lista siguiente se indican ciertas ecuaciones de orden superior las cuales se puedenresolver frecuentemente.
1. # = ,@). En este caso la ecuación se puede integrar n veces y obtener
u = I I F@)ita^* cr * czÍ * csaz + ... + cnan-r
2. # = , (r,#). En este caso no aparecey y se puede hacer el remplazo dy/dx : u
con el cual la ecuación se trasforma en
* = Fk.o\dn
la cual es una ecuación de primer orden. Si ésta se puede resolver remplazamos u pordy/dx y obtenemos una ecuación de primer orden la cual entonces se puede calcular.
, d'a - n (^, datd,r2 - . \o, ilr). Como en esta ecuación no aparece r se puede hacer la sustitución
dv/dx : u' obteniendo ipa .a ita,,a .aafr=¿i=úñ=oú,la ecuación hallada se puede escribir como una ecuación de primer orden
Áq¡
la cuar debemos resolver. afi = F(a'o)
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN MAYOR QUE UNO
Consideraremos la solución de la ecuación diferencial de segundo orden. Los resultadosse pueden extender a las ecuaciones lineales de orden superior.
Una ecuación líneal de segundo orden tiene Ia forma
d'u - pt-\'t^'d,r2 ' -,4# + Q(a)u = E(r) (to)
APENDICE C] SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERECIALES ESPECIALES
Si y" es la solución general de la ecuación
t!- - p(,'dudrz -,r)ñ+q@)u = 0 (1/)
(obtenida remplazando el miembro derecho de la ecuación (10) por cero) y si Jp es cual-quier solución particular de (i0) entonces la solución general de (10) es
a : a"+ ?lp Q2)La ecuación (11) se llama ecuación complementariay su solución general se llama solucióncomplementaria.
ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTESLa solución complementaria se puede obtener fácilmente cuando P(x) y Q(r) son res-
pectivamente las constantes A y B. En tal caso la ecuación (11) se puede escribir como
(4*efl+ay = o (rr)dnz'--dr'-oSi suponemos como solución ! : eo' donde a es constante en (11), hallamos que a debesatisfacer la ecuación
oz + Ao + B = o
Esta ecuación tiene dos raíces y presentan los siguientes casos.
l. Las raíces son reales y diferentes, o sea qt I az.
En este caso las soluciones son ¿ott y eor'. De esto se concluye que ereatt y creazr gontambién soluciones y por tanto la suma ctedt + c2ed2, es la solución general.
2. Las raíces son reales e iguales, o sea dt : c 2.
En este caso las soluciones halladas son ¿or' y fleot" y la solución general escreaF + czfredp.
3. Las raíces son complejas.siAyBsonreales, lasraícescomplejassonconjugadas,osea o * bi y a - bi. En
tal caso las soluciones son
e@+btrt=eorebtr -rcr(cos bx * í senbr) y e@-vt¡¡(cosbr - jsenb¡).La solución general se puede escribir e"'(ct cosb¡ * cz senb¡).
SOLUCIONES PARTICU LARESPara hallar la solución general de
347
#*afr+nu = R(r) (14)
debemos hallar una solución particular de esta ecuación y sumarla con la solución generalde (13) obtenida anteriormente. Hay dos métodos importantes para hallar esta solución.
1. Método de coeficientes indeterminados.Este método se puede aplicar únicamente para funciones especiales ft(r) tales
como funciones de polinomios, exponenciales o trigonométricas que tengan la formaep', cospÍ, senpr donde p es constante, también es válido con las sumas o productosde tales funciones. Véanse los problemas C.1T y C.1g.
2. Método de variación de parámetros.En este método se escribe primero la solución complementaria en función de c¡y cz. Luego se remplazár c1 y c: por las funciones fr(x) y fze) que se han
escogido para que satisfagan la ecuación dada. El método se ilustra en el problema C.19.
348 SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES [APENDTCE C
Proble mas resueltosECUACIONES DIFERENCIALES. CONSTANTES ARBITRARIAS.SOLUCIONES GENERALES Y PARTICULARES
C.f. (a) Demostrar que ! : ce-' * x - 1 es Ia solución general de la ecuación diferen-cial itu
áí-r*a = o
(b) Hallar la solución particular tal que J : 3 cuando ¡ : 0.
(a) Siy:6¿-'*¡- 1, entonces dy/dt : -ce-'* I yasí
dAldr-r*g = (-c"-"+1)- r*(ce-t*r-1) = g
Aeí y : ce-' * ¡ - 1 es una solución; y como tiene un número arbitrario de constantes (en este
caso sólo una) igual al orden de la ecuación diferencial, esta es la solución general.
(b) Comoy:3 cuando ¡:0, tenemosdey:ce-'* ¡- 1,3-c- 1 o c:4. Asíy:4e-'+¡ - I es la solución particular pedida.
C.2. (o) Demostrar que x : cpt I c2e-?t + sen ü es la solución general de
* * z* - Br =Zcosú - 4senüdtz - dt(b) Hallar la solución particular tal que x : 2, dx/dt - -3 en ú : 0.
(c) Apartirde ¡ : c¡et I cze-t' * sent tenemos
,rr i20fr = crct-Bc2e-8t*cost, ffi = cret*9a2e-8ú-senü
Entonces ffi + zfr- s" = (",u':;¿11;'i;;r,1,***lyi,,-lc,e-at *cosú)
= 2cosú - 4senü
Asi ¡: cp'4c2e-3! * sent esunasolución;ypuestoquetienedosconstantesarbitrariasylaecuación diferencial es de orden dos, esta es la solución general.
(ó) De la parte (o), haciendo ú : 0 en las erpresiones de r y dt/dt, te¡emos
| 2=c1*c2 [q*a2=2t-t = cr-3c2 +L o
1", -8c2 = -4Resolviendo, hallamos c¡ : *, cz : 3/2. Por tanto, la solución particularpedida es
- t", * Ne-tc t sen ú
SEPARACION DE VARIABLESC.3. (o) Hallar la solución general de (¡ * xy') dx * (y * x'y) dy : O.
(b) Hallar la solución particular tal que I : 2 cuando x : l.(¿) Escribimos la ecuación así ¡(1 I y2l dt * y(l * x2) dy : g. Dividiendo por (1 * ¡2)
(1 + y2) # 0 al sepa¡ar las variables, hallamos
_, t"_ + =U_4= = o (I )l*.r2 LluzEntonces integrando tenemos,
f rih C udaJffi+ Jffi = c1
{ ln(1+ ú21 + It ln(1*s2) = c1
APENDICE CI SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES 349
Esto se puede escribir como I ln l(t * ¡2)(l * yr)l - cr o
(1*rsX1*y1 = az ella cual es la solución general pedida.
(ü) Como y:2 cuando x - I, tenemosremplazando en(2), cz - l0; portantolaeoluciónparti.cular pedida es
(1 * at)(l *y2) = 10 o s2 * y2 + ¡zyr = I
C.4. Calcular fi : pt¡, si R : 1 cuando ü : 1.dtSeparando variables, tenemos O&- ,, dt. Integrando ambos lados
-* = f *"Remplazando t : L, R : t halla¡nos que c - -4lB. truf
1_¿r 1 ^ 8_E = T_s o fi = ¡_
ECUACION LINEALdqtC.5. Calcular ffi +2xy: xs *x siy:2 cuando ¡:0.
Eeta es una ecuación lineal de la forma (J), con p : 2x, e - ¡¡ * ¡. Un factor intcgrante es,tu* = F. Multiplicando la ecuación po¡ este factor, hallamoe
eH*2ayct = (aar.xl/.,
lo cual se puede escribir como ftO C¡ = e, + alé
Inregrando, uci = [e*s,lp¿s+ao, remplazando u - x2 en la integral,
ut = *sr/+oAsí y = Ld loc#Como y:2 cuando ¡:0, hallamosque c:2. Así
t -- lat l2c-'2Verificación: Si y = fd + Zc'i, entonces dy/dx : x - 1re-'2. Ag!
#*ra = a-lxc-ú*2r({d*2c-é¡ = ;rta
C.6. Resolver ff: sU + 1 si U: 0 cuando ü : 0.
Escribiendo la ecucción en la forma
#-to = 1 (r)
350 SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES TAPENDICE C
vemosqueesraesunaecuaciónlinealconunfactorintegrante "t-tot =¿-8t. Multiplicando(1)pore-a', podemos escribir
d .-.frlu"-t'¡ = e-ot
Integrando, tenemos Ue-at - -te-at * c
Como U : 0 cuando ú : 0, hallamos que c : l/3. Así
(Je-Bt= -te-3r+t o u -$(e3t-l) Q)
Otro mótodo. Esta ecuación también se puede resolver por el método de separación de va¡iables. Así te-nemos
dUlu+l = dt
Integrando, $ln(3U+1) = t*cComo U:0 cuando ü:0, haltamosque c:0 po¡tanto I ln (3U* l): r. Así U: +(e3' -1).
ECUACIONES EXACTAS
C.7. Rcsolver (3r2 *y cos r) dr * (sen x - 4ys) dy : O.
Comparando con Md¡ * N dy : 0, tenemos M : 3x2 * ycos¡, N - senl - 4y3. Entonces
dMldg = cosr = 0Nl0r por tanto la ecuación es exacta. Hay dos métodos adecuados de solución.
Mótodo l.Como Ia ecuación es exacta, el lado izquierdo de la ecuación debe ser una dife¡encial eracta dé una
función U. Reagrupando términos hallamos que la ecuación se puede escribir
3n2dr * (ycosrilr* senrda) - afda = 0
osea, d.(rs)* d(ysenxl*il(-t') = g o il(rs *gsenr-ú') = O
Integrando, obtenemos la solución pedida, ¡3 + y sen ¡ - la : c.
Método 2.
La ecuación se puede escribir en la siguiente forma
(3rz*ycosel¿Í-*(senr-4salifu = .tU = flar*ffOoEntonces, tendremos
(I) # = 3t2*Ycosr (21 # = senr-4Yg
Integrando (1) con respecto a ¡, manteniendoy constante, tenemos
U = u3+aseno*tr'(y)
Remplazando en (2), hallamos
sen'+F'(!r) = senr-4gs o F'(al--44
donde F'(y) -- dF/dy. Integrando, omitiendo la constante de integración, tenemos F(y) : -y{ po¡
tantoU = é * usenr - yl
De modo que la ecuación diferencial se puede escribi¡
iIU = d.(xs *yeeni-úl = 0
y así la solución es ¡3 I y sen r - la : c.
APENDICE C] SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES 351
ECUACIONES HOMOGENEAS
C.8. Resolver #: ""'" *I.
Haciendo ! : ux. La ecuación puede escribirse
o+r* = eor, o ,* = co(tfr dt
Separando variables, * = "-tüo. Integrando, ln ¡ : -e-u * c. Así la solución general es ln r fe-r l' : C.
SOLUCIONES DE ECUACIONES DE ORDEN SUPERIORezffC.9. Resolver +: t*cosü donde (I:2, dU/dt:3 en ú:0.dt
Integrandounavez' du/dt = ú * sen t r c1
Entonces como dIl/dt: 3 en f : 0, encontramos cr : 3. Así
¡luldt = ú*senú*3
Integrandodenuevo, U = ltz- cottlSt* c2
Ahora como U:2 en t:0, encontramos cz:3. La solución requerida es
U = +¿2-cosü+8ú+3
C.fO. Resolver xy" + 2y' : x2 donde y' : dy/dx, !" : d2y/dx2.
Como y no aparece, hacemos y' : dy/dx : u. La ecuación puede escribirse
do,^ . iht,2(t) r¿I2o = sD o Ql fr+i" = ú
Esta es una ecuación lineal en u con factor integrante ul "'"ds -- ¿ltx - ,la12= ¡t. Multiplicando(2) por 12, puede escribi¡se como ,,
fr@al = úa
Entonces por integración, x2u : ta/4 f cr o
rntegrando nuevamenre, y: xa/Lz\ ',r"i'ii = r2/4 * alln'
C.f f. Resolver yy" + (y')' :0 donde y': dy,/dx, y't: d2y/dx2.
Como ¡ no aparece, hacemos y' : dy/dx : u. Entonces
u,,=#=#.H="#oy la ecuación dada puede esc¡ibirse
iht l¿o \ -uofitoz = 0 o r:\afi+o) = 0
asíque (1) o = 0 o Q') Ufi+o = O
De(1), y':0 o!:c,. De(2), **?=0, estoes lnu*ln!:cz o ln(uy):c¡ así
Que u1' :6 t Y
352 SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES IAPENDICE C
u = dyldn - ca/A o UdA = csda
Integrando, y2l2 - csr * c4 o az = Ar * B
Por tanto las soluciones son y : ct ! !2 : Ax * 8. Como la primera es un caso especial de la se-
gunda, la solución general requerida puede escribirse y2 : Ax * B.
ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTESA2¡t ¿l¡t
C.tz. Resolver 4_4?_6u = 0.da" dtHaciendo J - en' en la ecuación, obtenemos
(a2-4a-6)ecr = 0 o a2-4a- 6 = 0
Así(a-5)("+1):0yc:5,-l.Lasaolucionessones'ye-'ylasolucióngeneralesr:cre63+c2e-'.
¿zqt AqtC.f3. Resolver #+10++26u = 0.(t0- at
Haciendo y : eo', encontramos o2 * lOa + 25 : 0, estoes (a * 5)(a * 5) : 0' o a : -5,-5. Como la raiz está repetida, las soluciones son e-5' y xe-í'. La solución general es y:c ¡e-3' * c 2fe-5t.
i2a loC.14. Resolver 1# + 4# + 4a = 0.dt" d,t
Haciendor-eot,encontramoga2 l4a*4=0oc:-2,-2.Entonceslasolucióngeneralesx : C p-2. I c rt¿-2, : ¿-2t (sr * c¡f ).
tl2at ¿l¡tC.r6. Resolver 44 + 2Y + 6u = 0.úa' d,x
Haciendo y - en', encontramos a2 *2a *5:0 o d: -l*.2i. Entonceslaseolucionesson6(-l*ttlr =6-x62|c - 6-z(coa2r *deen2o) y c(-r-21)x = 6-x¿-28 = ¿-z(cos2u-ísen2ol.La ¡olución general es y - e-'(c ¡ cos 2r * c z aen 2¡).
C.16. Resolver dLuld,az * '29 -- g.
Haciendo !: e"', encont¡amos o2 +t2:0 o a- *io. Entonceslassolucionesson e¡":coso¡*isene,¡ y e-t-:cosa,¡- igeno¡. Lasolucióngenera[esy-crcos6¡*c2senol.
METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOSALt Aqt
c.17. Resolver + _ 4? _ 6a = ar + zeE .úü' aúSegún el problema C.12 la solución complementaria, es decir, la solución general,
ü", )".ffi-tffi-au = o
es uc = cre6t * c2e-" (t)
Como el lado derecho de la ecuación dada contiene un polinomio de segundo grado (esto es, ¡2)y una erponencial (2e3'), ensayamos la solución particular trivial
Ue = Art*Bn*C+De8' (2)
donde A, B, C, D son constantes que deben ser determinadas.
Sustituyendo (2) en la ecuación dada y simplificando, tenemos
(2A - 48-6C) + (-8z{ - 68lr - 6Arz - SDdz = ú' + 2d'
Ya que esta debe ser una identidad, se deberá tene¡
APENDICE C] SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES 353
2A-48 -5C = 0, -BA-EB = 0, -6A = l, -gD = 2
Encontrando A = -!, B =*,C = -#, D = -I. Entonces de (2),
ao = -trz + *" - #- ¡"t'Así la solución general lequerida de la ecuación dada es
A = UcaUo = cpl,+c2a-x-lrz+ftr-#-IA,lo cual puede verificarse por sustitución directa.
- d2ot datC.f8. Resolver i* + l0+ + 26u = 20 cos2r.CLü" d,ÍLa solución complementaria (según el problema C.lB) es
lc = cra-ít * c2re-sx (I)como el lado derecho contiene el término cos 2¡. obtenemos la solución trivial
Up = Acos2r * Bsen2r (21
Sustituyendo en la ecuación dada, y simplificando,
(2lA + 208) coa?r * (2lB - 20Al senBr = 20 coa2r
Igualando los coeficientes de los términos comunes, obtenemos 2U + nB : n, nB - 20A : 0. Re.solviendo, encontramos a=#,8=# de modo que la solución particular es
U, = #cos2c * ,.9 ser,2r
y la solución general de la ecuación dada es
U = U"*.Up = c¡e-sz¡c2ú6-tz*fficoa2a *Ssen2o
METODO DE VARHCION DE PARAMETROSC.19. Resolver ilLAldat*A = tanc.
La solución complementaria, como en el problema C.16 con o: 1:
Uc = dlcoS& I c2aenr (I)
Suponemos ahora que la solución a la ecuación dada tiene la forma
U = .fr cost * /2sen a (2)
donde /¡ y /2 son funciones de ¡. De (2), usando el signo prima para denota¡ la derivación con res-pecto a l, tenemos
ilulda = -flaeni * f2coau + fi, cosr + flsenr (J)
Antes de encont¡a¡ d2y/dx2 observemos que como hay dos funciones lt y fz que deben determi.narse y sólo una relación que debe satisfacerse (en particular que la ecuación dife¡encial dada debe sa-tisfacerse) estamos en libe¡tad de imponer una relación entre /¡ y /2. Escogemos la relación
flcosnlfLsenx = 0 U)la cual permite simplificar (J) obteniéndose
dylilr = -.f¡ sena * f2cosr (5)
Ot¡a derivación conduce a
ilzglflr,z = -.f¡ cos! - f2seno - fl senr 1- fLcosx (61
De (2) y (6) vemos que la ecuación diferenciar dada puede escribirse
üuldrz*y = -fisenr* fLcosr = tan¡ (71
Así -/l sen x * f'2cosr = t¿n¡ (S)
De (4) y (8) encontramos /i : -sen2 ¡,/cos r, f ; : sen ¡. Asi
354 SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES IAPENDICE C
fsenzr, f t_e¡*r, (ft = -J"k;d" = -JÉ0, = -J (r*r-cosr)dn
= -ln(seca * tanr) * senr * c1
?fz - fsenada = -cosr*c2
Sustituyendo "n (z) ln.orrtramos Ia solución general requerida
A = c1 co'ü 'l- c2 sen t - cos c ln (sec r I lant)
Problemas propuestos
ECUACIONES DIFERENCIALES, CONSTANTES ARBITRARIAS.SOLUCIONES GNNERALES Y PARTICULARES
C.2O. Verificar si cada una de las ecuaciones diferenciales tiene la solución general indicada.
"ixzx ^o'=*x=ti I=(c1 Ic2tlct+t+21o) @ - z1t
.rf I(b) tfri U = tt) F-ítU = a
C.21. (a) Demostrar eue z : e-r(c¡ sen t * cz cos t) es una solución general de
)|¿- ,r.íá+zfr+zz = o
(b) Determinar la solución particular tal que z : -2 y dz/dt: 5 en t : 0.
Resp. (b) z:e-'(3 senú- 2costú)
SOLUCTONES A ECUACIONES ESPECIALES DE PRIMER ORDEN
C.22. Resolve¡ dy/dx:-2xy siy:4cuando ¡:0. Resp. !=4e-t2
dq 6/éC.23. Resolver fr= ffi. Resp. V7 - t2 - Yl - z¿ : c
C.24. Resolve¡ "*-
2u = r si y(1) :5. Resp. y:6x2 - r'
Q.26. Resolve¡ (x*2y\dx*(2x -fu)dy:0 si y: l cuando r.:2. Resp. 12 *Axy -fu2:7
c.zr.. Resolver H = "r*#. Resp. ln 'I G/vl: c
C.27. Resolver (ye' - e-v)dr+ (ir-" * e')dy :9. Resp. ye' - xe-! : c
C.28. Resolver (x*r'y)dx*(ry*y)dy:0. Resp. (x + lXv+l):¿¿'+t
C,zg' Demostrar que la ecuación diferencial (4u - x2) dx * xdy : ¡ tiene un factor integrante que de'
pende solamente de una variable y resolver la ecuación. Resp. ray - |ro : c
SOLUCIONES DE ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR
C.3o. Resolve¡ d2IJ/dt2 : t + e-t gi IJ:3, du/dt:2 en t:0. Resp. IJ:{tr t e-t * 3t * 2
c.3r. Resolver ,#- Sfr = az. Resp. y: -i¡3 * c tra * c2
APENDICE CI SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES 355
d.r! _r/¿u\, AC.32. Resolver U dtr*r\E) = 0. Resp. IJP:cú|_cz
c.3s. Resolver lt *(4\'f' = (*\' Resp. (x - A), +(y - R), : 1- L \d"/J \¿h2/
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR,12", )",
C.34. Resolver 7*r-zffi-83 = 0. Resp.y:ctet'*cr¿-z'
C.35. Resolver ffi+n#*4U =0 siU: r, du/dt:0 en ú:0. Resp. IJ:(r!2t)e-21
J2o JoC.36. Resolver ffi+ 4# * 6a = 0, Resp. z:¿-zt(s¡cosf f c2senf)
)2",C.37. Resolver n#* 26a - 0 siy(0) :10,y'(0):25. Resp. y:10(cosf r+senf r)
d.2¡t JatC.38. Resolver #-4#-A = O. Resp.y=ezz(¿r¿'lEr*c2e-'llx¡
C.39. Resolver 4y" - 2Oy' I 25y : 0. Resp. (c t I c zx)e5'/2
c.4o, Resolver # * tH * ro = e-8'. Resp. y : crp-' i c"e-z' * Lr-r,
,t2f | .tf fC.4L. Resoiver ffi+fi-ZU = 6¿-10cos2ú*6.
Resp. U: cp-2t + c2et - 3t - 4+ , sen 2t - N cos 2ü
C.42. Resolver y" + y : sec r usando el método de la va¡iación de parámetros.Resp. y : cr SeD¡ *cz cos¡ * ¡ senr - cos¡ln sec¡
C,43. Resolve¡ (a) El problema C.40 y (ó) el problema C.41 por va¡iación de parámetros.
C.44. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones por cualquier método.(a) U" - 6A' I 6y = 60 sen4a (cl A" I 4g = cscar(bl a" *2A'-By = s¿-z (d) A,,I8a,*25y - 25r *83*18e-¿Resp. (a) g = cLez'* crel, * 2 cos 4r - sen4s
(b\ A = clar * c"e-32 - f,re-"(c) A = c1 cos2a I c2 sen2a - {r cos 2, - * sen2c,ln (csc2r)(ü a = "-tt(4cos3r * c2 senSo) * n * | I e-r
C.46. Resolve¡ t" * 4y'l4y: s-z'. Resp. y: (cr + c2x)¿-zt * lrx2e-z'
C.46. Resolver simultáneamente: dx/dt t y : €t, Í - dy/dt : t.Resp. n = ct cos t - c2 sent I $et * t,
U = ctsenú* c2cost*$et-t
C,47, Resolver y" +y:4cost si y(0) :2, y'(O): -1. ¿Esaplicableelmétododecoeficientesindetermina-dos? Explicar. Resp. y: 2 cost ü: sen t+2t sen t
C.48. Demostrar cómo resolve¡ ecuaciones lineales de orden mayor que dos y encontra¡ las soluciones genera-les de
(a) A"' - 6A" I lly' - Gg = 36n, (ó) y<tvl * 29" I U = n2.
Besp. (o) U = crer * cre2t * crett - 6c - 11
(b) a = cr cost * c2sen a I r(c"cosa * casen r) * a2 - 4
Apéndíce D
Indice de símbolos y notociones especioles
La siguiente lista presenta los símbolos y notaciones especiales que se usan en este librojunto con el número de la página en la cual aparecen por primera vez. Todas las letras en ne-grilla denotan vectores. Los casos en los cuales un símbolo tenga más de un significado estese aclarará según el contexto.
Símbolos
o longitud del semieje mayor de la elipse o de la hipérbola, 38
or coeficientes coseno de Fourier, 196
¡ aceleración. ?
ap¡n, aceleración de la partícula P2 relativa a la partícula P¡, 7
A área,122
A vector potencial del campo electromagnético, 309
i velocidad a¡eal,l22
et amplitud de oscilación de estado estable, 90
ú^¿, amplitud máxima de oscilación de estado estable, 90
D longitud del semieje menor de la elipse o de la hipérbola, 38
ó¡ coeficienüe seno de Fou¡ie¡,196
B intensidad magnética, 83
B binormal unitaria, 7
o velocidad de la luz, 54
C curva,6
Dr,Du operador derivada con respecto al tiempo en sistemas fijos y móviles, 14{
c1¡ G2r G3 vectores unitarios, 72
E energía total, 36
E intensidad eléctrica, &l
f fuerza debida al rozamiento, 65
frr fuerza interna sobre la partícula r debida a la particula I,173
/ frecuencia, 89
ln frecuencias,316
F fuerza,33
Fr¿ fuerza de la particula I sob¡e la partícula 2,33
Fo.. fuetra promedio, 60
F¡ fuerza de amortiguamiento, 87
Fy fuerzas impulsivas, 2&5
Fv(a),F(c) f'uerzas reales y de constricción que actúan sobre la partícula r, 1?0
t" impulso generalizado, 2&5
V, fte¡za (externa e interna) que actúa sobre la partícula v de un sistema de partículas, 168
356
APENDICE D] INDICE DE SIMBOLOS Y NOTACIONES ESPECIALES
g aceleración de la gravedad,62G congtante de gravitación universal, 120
q función generatriz, 314
fr, cpnatante de Planck, 838
H hamiltoniana, 311
Jl hamiltoniana bajo una t¡aaformación canónica, Jl4I vector unitario en la dirección positiva del eje r, B
f momento de inercia, 225
Ie momento de ine¡cia con respecto al eje que pasa por el centro de masa, 226Ir'Iy',Iu momentos de ine¡cia con respecto a los ejea x, y, 2,2ilIqpIy,I¡, productos de inercia, 254
I¡12,Is momentos principalee de inercia, lb6
.9, impuleos, 285
,9 impulso angular, 228
I vector unitario en la di¡ección positiva del eje y, B
Js integral de fase o variable de acción, 316
k vector unitario en la dirección positiva del eje z, B
K ¡adio de giro, 2p5
I longitud, 90
L lagrangiana,2S4
m masa, <n¡ masa en reposo, 54
M masa total de un sistema de partículas, tggr número de grados de libertad,282n núnero cuántico orbital, ggg
N componente normal de la fuerza de ¡eacción,65N número de partículae de un ei¡tema, 1616
N no¡mal unita¡ia, Z
pa Eomenta generalizado o conjugado, 2&4
¡, mortrentum, 33
P peúodo, E9
Pd nuevos momenta generalizados bajo una trasformación canónica,3l4e poüencia,34
q catga elécürica, g{
ea coordenadas generalizadas, 2g2
Qo nuevas coordenadag generalizadas bajo una t¡asformación canónica. 314r coordenadas esféricas, 82
r vector de posición o ¡adio vector,4f vector de posición del cent¡o de masa, 166
r1 vecto¡ unita¡io en dirección radial,25ri vecto¡ de posición de la partícura v relativo ar centro de maga. rsn ¡adio de curvatura,8n alcance, TS
E-t alcance máximo,75B fuerza resistiva, 64
B resultante de fue¡zas,47
I cuerpo rígido,228
R función de Routh o rcuthiana, BB7
e longitud del arco, Z
s velocidad angr,rlar de spin, 269
S función generatriz, 316
el función generatriz que depende de las cooFdenadas de posición antiguas y de los nuevosrnomenta. 914
357
358 INDICE DE SIMBOLOS Y NOTACIONES ESPECIALES TAPENDICE D
f tiempo, 6
T energía cinética,35T tensión, 74
T vector unitario tangente, T
f función genetatriz que depende de las coordenadas de posición antiguas y nuevas,323
u función generatriz de las coordenadas nuevas y de los momenta antiguos, 334
0tím rapidez límite,70omÁ¡ omín rapidez orbital máxima y mínima, 143
v velocidad, T
V velocidad del centro de masa,167
Ye¡p, velocidad de la partícula P2 relativa a la partícula P1,7
vi velocidad de la partícula v relativa al centro de masa, 169
vp,v!2 velocidadee relativas de las partículas a Io largo de una normal común antes y después del
choque, 194
V energía potencial o función potencial, &5
I función generatriz que depende de los antiguos y nuevos momenta,334
rt)d variables angulares,316
W trabajo,34W Peso,62
Uc solución comPlementaria, 347
Ue soluciónParticular,347Y desplazamiento trasversal de una cuerda vibrante,195
a coordenada cilíndrica, 32
Z número atómico, &38
t
Símbolos griegosc ángulo formado por el vector con la dirección positiva del eie r,24
a índice de sumaüoria, 282
a aceleraciónangular,29
B ángulo formado por el vector con la dirección positiva del eje y,24
P constante de amortiguamiento,SS
B relación de la velocidad de la partícula a la velocidad de la luz, eeto es, u/c,54
7 ángulo formado por el vector con la dirección positiva del qe 2,24
6 dec¡ecimiento logarítmico, 89
I símbolo de variación,313
6cE delta de Kronecker, 336
A determinante, 336
¡ coeficiente de restitución,195
€ ercentricidad,118
, coo¡denadacilíndrica,32
¿ ángulo de Euler,257
, coordenada Polar, 32
, coordenada eeférica' 257
Cr vector unitario perpendicular a la dirección ¡adial, 2i
r curvatura,8r constante de un resorte, 36
I celatitud, 152
11, )r2, 18, . . . multiplicadores de Lagrange,ASO' 284
r\1, a2, ag componentes del momento a lo largo de los ejes principales, 256
A momento. 36
Lc momento respecto al centro de masa, 229
APENDICE D] INDICE DE SIMBOLOS Y NOTACIONES ESPECIALES
,¡ coeficiente de mzamiento, 65
Í masa reducida, 182
r índice de suma, 166
p coordenada cilíndrica, 32
p densidad en el espacio de fase, 31g
c densidad, 114
o torsión. 3lr radio de torsión. 81
r tiempo, 81
r volumen, 166
p ángulo de Euler,25T
0 ángulo de fase, 88
á coo¡denada esférica, 32
ó potencial escalar, B0g
óa fuerza generalizada, 28S
r¡ velocidad angular (magnitud de la). g
or,.,zr.Ds componentes de la velocidad angular según los ejes principales, 256o velocidad angular, 144
ArrA,,,Í22 componentes del momentum angular según los ejes x, y, z, 254OlrO2rOs componentes del momentum angular según los ejes principales, 25b
O momentum angular, 3?
NotacioneslAl magnitud de A, 4
A-E magnitud de la distancia desde A hasta g, llA. B producto escalar o producto punto de A y B, 4
A X.B producto cruz o producto vecto¡ial de A y B, b
A. (B X C) triple producto escalar, 5
A X (B X C) triple producto vectorial, 5
A(¿) función vectorial de ¿, 6A(s,y,z) función vectorial de x, y, z, g
É(¿) fünción escalar de u, 6
e(a,y,zl función escalar de x, y, z, g
Á,Á de¡ivadasconrespectoaltiempodeA estoes dA/dt, d2\/dtz. g
fI A(ul ilu integral indefinida de A(u), 6J
nBI áifr¿¡au integral definida de A(u), 6
{a
I irrt"g."l a lo largo de la curva C, 9"C?0 integral al¡ededor de una curva cerrada, 9JV operador nabla. g
Vp = grad p gradiente de ó, g
V . A = div A divergencia de A, 8
V X A = rot A ¡otacional de A, 9
f(rl magnitud de una fuerza central, 116
[f', G] corchete de poisson de F y G, J31
359
Aceleración, 7
angular, 8
debida a la gravedad, 62centrípeta, 145
de coriolis, 145
en un sistema en movimiento, 105instantánea,7normal y tangencial. 7-8relativa, 7
Algebra vectorial, 2-3leyes del, 3
Amplitud, 86€7modulación de la, 102
Angulo(s),de Eule¡, 25?
de fase, 87, 93Astronomía, algunas definiciones en,
r19-u0
Cálculo de va¡iaciones, 313Campo(s),
central, 1f6, 117
energía potencial de una partícula en un,tt?
de fuerza conservativo, 35escala¡. 8
uniformes de fuerza, 62vectorial, 8
Centro instantáneo, 229Cent¡odes espacial y del cuerpo, 229Cinemática, 1
Coeficiente de amortiguamiento, 88Colisiones,
de partículas, 194
regla de, de Newton, 194Componentes rectangulares vectoriales, 4Cono,
del cuerpo, lb1espacial, 257
Constante,del resorte, 86elástica, 86
Const¡icciones holonómicas v noholonómicas, 170
Coordenadas,cíclicas o ignorables, 312generalizadas, 282
Cosenos.directores,24ley de loe, 27
Cuerdas en vibración, 19.5
Cuerpo(s),en caída libre, 6Ílelásticos y rígidos, 165
rígid,os, 224gimétricos. 257
INDICEDatos astronómicoq 342-3,1Í|Densidad lineal, volumétrica y uniforme; 165Dinámica, IDivergencia, 8
Ecuación(es),de Eule¡ del movimiento, 256de Hamilton, 311de Hamilton-Jacobi, 315
soh¡ción de la, 315de Lagrange, An-zú
con fuerzag impulsivaa, 285para sistemaa no holonómicos, W
de t¡aeformación. 282Elipse, 11E-ll9Energía,
cinética, 3/'45, m,2Ade rotación. 254
de un sistema de partículas, 168
en función de loa ángulos de Euler, 258consewación de la, 3O ll7de un oscilado¡ armónico simple, 8?potencial, &5
total, 36Equilibrio,
estabilidad del, 38inestable, 38
Escalar(es), 2producto, 4
Eapacio, Ide fase, 312
Estática, Ide un cuerpo Ágido,2Dde un gistema de partículas, 1?0en un campo gravitacional uniforme, 65o equilibrio de una partícula, 3?
Factor de rigidez, 86Figuras de Lisajous, 92Fó¡mulas de Frenet-Senrt, 3lFrecuencia, 87
de resonancia, 90del movimiento armónico simple, 86natural, 89
F\nciones,generatrices, 314pafes e impares, 196-19/
Fuerza(s),amortiguadoras, 87centrales,116-121
propiedades importantes de las, 116de co¡iolis y centrípeta, 146de reacción, &ldefinición y unidades de, 33generalizadas, 2&|media, 60
361
no conservativas, 37
restauradora, 86
Giróscopo, 258
Gradiente, 8
Grados de libe¡tad, 253
G¡avedad, cent¡o de, 16?
Herpolhode, 257
Hipérbola, l1&119
Impulso, 36, 169-170
angular y total, 170
Inerqia,ejes principales de, 255
elipsoide de, 255
Integral (es),
de fase. 316de línea, 9elíptica, 106
La hamiltoniana, 311
caso en que, es independiente del tiempo,315
de sistemas conservativos, 311
Ley(es),de Kepler del movimiento planetario, 120
de la gravitación, 120
de las áreas, 116
de Newton, 33Línea invariable, 256
Máquina de Atwood, 76Masa,
centro de, 166, 167
movimiento del, 16?, 169
definición y unidades de, 33
Materia, 2
Mecánica,fundamentos axiomóticos de la, 1
métodos generales de la, 82Métodos hamiltonianos, 311
Momenta generalizados, 284
Momento(s),de ine¡cia, Y25, 254
mat¡iz tenso¡ del, 254del par, 226
de una fuerzal 36Momentum. 167-168
angular, 36-37, 168, 227,254, 255de un sistema de partículas, 168
congervación del, L67. 2%Movimiento,
absoluto. 33-34armónico simple, 86circular, 8críticamente amortiguado, 88-96de un cuerpo rígido con respecto a un eje
fijo, 227
ecuaciones del, en un cuerpo central, llGfl?en el plano de cuerpos rígidos, 224-230en un campo uniforme, 62-65en un medio resistente. &
INDICE
general de cuerpos rígidos en el espacio, 253
lib¡e de fuerzas, 256oscilatorio amortiguado, 88
sobreamortiguado, 88
sometido a constricciones, 64-65
uniformemente acelerado. 62
Nivel de referencia, 64Notaciones, 359
Oscilaciones forzadas, 89
Oscilador armónico,amortiguado, 8?€8bidimensional, 92
en dos y tres dimensiones, 91-92
simple, 86-92
Parábola, 118-1 19
Partícula patron, 49
Péndulo,cicloidal, 3Glcompuesto, 221
de Foucault, 146-147
simple, 86-92
Período, 86-87
del movimiento, 89
natural, 89
Pe9o, debido a la gravedad, 62
Plano invariable. 256
Polhode, 257
Potencia instantánea. 34
Potencial en un campo uniforme de fuerza,u
Principio,de D'Alembert, l7\ 2nde energíi potencial mínimai 230
de Hamilton, 313
de trabajo virtual, 170,2ndel momentum,
angular, 229
lineal,228Producto (s),
triples, 5
üectorial, 5
hoyectiles, 63
Radio,de curvatu¡a, 20, 3lde giro, 225
de torsión, 3lRapidez de escape, 134
Resonancia, 90Rotación pura de cuerpos rígidos, 253Rotacional. 9
Rozamiento, 65coeficiente de, 65
Secciones cónicas, 118-119
Series,convergencia de las, 197
de Fourier, 195-196
Símbolos, 356-358griegos, 358-359
962
Sistema(s),congen¡ativos y rio conservatiVos, 283continuos de partículas, lg5coordenados,
en movimiento, 144, 148en rotación, 114
inerciales, 39no inerciales, 114
de partículas, 165-17fdiscretos y continuos, 165egcleronómicos y reonómicos, 288gravitacional de unidades, 63holonómicoe y no holonómicos, 283inercialee de referencia, 38-84mecánicos.
clasificación de loq 289oscilantes, cohetes y colisiones, Lg4-Ln
Solución,de estado estable, 89transitgria, 89
Teorema(s),de Liouville, 312-313sobre momentos de ine¡cia. 226
Teo¡la hamiltoniana, 3f 1-316Tiempo, 1-2Tierra, suposición de que la, es plana, 86
INDICE
Trabajo, 34, f68-169y potencia, 2n-2Al
Tlasfonnaci ón (es),
canónicas o de contacto, 314condición para que una, sea canónica, 814
Traslaciones y rotaciones, 224Trayectoria, independencia de la, 9Trompo, movimiento de spin de un, 2b8
Unidades y dimensiones, 339-341
Variables angulares y de acción, 816Vector(es),2
componentes de un, 4de posición, 4derivación de, 6fijo, 10
integración de, 6lib¡es, 9-10unitarios, 3
rectangulares, 3-4Velocidad(es), 6-7, 253
angular, 8, 253en función de los ángulos de Euler, 258
de escape, 134en un gistema en movimiento, 145generalizadas, 289instantánea, 7
¡elativa, 7
363
^/
\
\
LIBROS DE LA SERIE SCHAUM PUBLICADOSEN ESPAÑOL
AcústicaAlgebra elementalAlgebra elemental modernaAlgebra linealAlgebra superiorAnálisis estructuralAnál isis estructural a,",anzado
Análisis de FourierAnálisis numéricoAnálisis vector¡alCálculo diferencial e integralCálculo superiorCiencias de las computadorasCiencias f ísicasCircuitos eléctricosCircuitos electrónicosContabilidad I
Contabilidad llContabilidad intermedia | (en prensa)
Contabilidad intermedia ll (en prensa)
Contab¡l¡dad cle costos (en prensa)Dinámica de los fluidosDinámica de L.agrange
Diseño de concreto armadoDiseño de mác¡uinasEconomía internacional (en prensa)
Ecuaciones básicas de las cienciasde la ingeniería
Ecuaciones diferencia les
Ecuaciones diferencia les modernasEspacio de estado y sistema linealEstad ísticaF ísica general
Fundamentos de matemáticas superioresGenéticaGeometría analíticaGeometría descriptivaGeometría diferencial
Geometría plana
Geometría proyectivaLíneas de trasmisiónMacroeconom íaManual de fórmulas matemáticasMatemáticas aplicadas a ciencia y
tecnolog íaMatemáticas financierasMatemáticas finitasMatemáticas superiores para ingenieros
y científicosMateria les de construcciónMatricesMecánica de los fluidos e hidráulicaMecánica del medio continuoMecánica técnicaMecánica teóricaMétodos crrantitativos para administración
de empresas (en prensa)
Macroeconom íaMicroeconom ía
ópticaProbabilidadProbabilidad y estadística con cálculoProgramación BASICOuímica f ísica (en prensa)
Ouímica general
Resistencia de materialesRetroalimentación y sistemas de controlTeoría de conjuntos y temas afinesTeoría de grupos
TermodinámicaTopolog ía
Trasformadas de LaplaceTrigonometríaVariables complejasVariables realesVibraciones mecánicas
Ídifi0-07-091877-5
![[Schaum murray.r.spiegel] mecanica teorica](https://static.fdokument.com/doc/165x107/55cfa4c8bb61eb872b8b45ed/schaum-murrayrspiegel-mecanica-teorica-55d0d13e38fd6.jpg)
